Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.7 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 11069 1100687 1085780 2026-06-17T10:47:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100687 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Für {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist die Einheitengruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod| 2^r|}} |SZ=}} im Allgemeinen nicht zyklisch. Für {{ Relationskette | r || 1 || || || |SZ= }} ist sie zyklisch {{ Zusatz/Klammer |text=sogar trivial| |ISZ=|ESZ= }} und für {{ Relationskette | r || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | ( {{op:Zmod| 2^2|}} )^\times ||( {{op:Zmod| 4 |}} )^\times || || || |SZ= }} ebenfalls zyklisch der Ordnung zwei, und zwar ist {{math|term= 3 |SZ=}} primitiv. Für {{ Relationskette | r || 3 || || || |SZ= }} hingegen ist {{ Relationskette | ( {{op:Zmod| 2^3|}} )^\times ||( {{op:Zmod| 8 |}} )^\times || || || |SZ= }} nicht zyklisch. Es gilt nämlich {{ Math/display|term= 1^2{{latexzieh|}}= {{latexzieh|}}1 \!\!\! \mod 8,\, 3^2{{latexzieh|}}= {{latexzieh|}}9{{latexzieh|}}= {{latexzieh|}}1 \!\!\!\mod 8, \, 5^2{{latexzieh|}}= {{latexzieh|}}25{{latexzieh|}}= {{latexzieh|}}1 \!\!\! \mod 8 \text{ und } 7^2{{latexzieh|}}= {{latexzieh|}}49{{latexzieh|}}= {{latexzieh|}} 1 \!\!\! \mod 8 |SZ=, }} sodass alle Einheiten die Ordnung zwei haben und es keinen Erzeuger gibt. Die Einheitengruppe ist isomorph zu {{ Relationskette/display | ( {{op:Zmod| 8 |}} )^\times | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 2 |}} || || || |SZ=. }} Ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt |SZ= }} zeigen, dass die Einheitengruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod| 2^r|}} |SZ=}} für {{ Relationskette | r | \geq | 3 || || || |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod| 2^{r-2}|}} \times {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=}} ist, und zwar ist stets {{math|term= 5 |SZ=}} ein Element der Ordnung {{mathl|term= 2^{r-2} |SZ=.}} Jede Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod| 2^r|}} |SZ=}} hat somit eine Darstellung der Form {{math|term= \pm 5^{i} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primitiv |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9na9gg2f3burv43pg2xr7j84j6yxhzi 0 12600 1100424 1085559 2026-06-17T08:13:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100424 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | p || 13 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man sieht natürlich sofort eine Darstellung| |ISZ=|ESZ=. }} Mit dem in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Summe von Quadraten/Bestimmungsverfahren mit Gaußschen Zahlen/Verfahren |Nr= |SZ= }} beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen: In {{mathl|term= {{op:Zmod| 13|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette | 5^2 || 25 || -1 || || |SZ=, }} also kann man {{ Relationskette | a || 5 || || || |SZ= }} nehmen. Dies führt zum Ideal {{mathl|term= ( 13 , 5- {{Imaginäre Einheit}} ) |SZ=}} in {{mathl|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=.}} Division in {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit}} ] |SZ=}} liefert {{ Relationskette/display | \frac{13}{5- {{Imaginäre Einheit}} } || \frac{13(5+ {{Imaginäre Einheit}} )}{(5- {{Imaginäre Einheit}} )(5+ {{Imaginäre Einheit}} )} || \frac{65+13 {{Imaginäre Einheit}} }{26} || || |SZ= }} und {{math|term= 2 |SZ=}} ist eine beste Approximation in {{mathl|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ] |SZ=.}} Damit ist die Division mit Rest {{ Relationskette/display | 13 || 2 \cdot (5- {{Imaginäre Einheit}} )+r || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | r || 3+2 {{Imaginäre Einheit}} || || || || |SZ=. }} Die nächste durchzuführende Division liefert {{ Relationskette/display | \frac{5- {{Imaginäre Einheit}} }{3+2 {{Imaginäre Einheit}} } || \frac{(5- {{Imaginäre Einheit}} )(3-2 {{Imaginäre Einheit}} ) }{13} || {{op:Bruch| 13-13 {{Imaginäre Einheit}} | 13}} || 1- {{Imaginäre Einheit}} |SZ=. }} Damit ist also {{ Relationskette | 5- {{Imaginäre Einheit}} ||(1- {{Imaginäre Einheit}} ) (3+2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ= }} und somit ist {{mathl|term= 3+2 {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} ein Erzeuger des Ideals. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hadgadm0p1s275x9j2kp47ishic9hf 0 12748 1100220 1085353 2026-06-17T07:40:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100220 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Man möchte entscheiden, ob die Gleichung {{ Relationskette/display | x^2 || 10 \mod 13 || || || |SZ= }} eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| 10| 13}} || {{op:Legendre-Symbol| 2 | 13}} {{op:Legendre-Symbol| 5 | 13}} || || || |SZ=. }} Der erste Faktor {{ Math/display|term= {{op:Legendre-Symbol| 2 | 13}} |SZ= }} lässt sich mit Hilfe {{ Faktlink |Präwort=des|zweiten Ergänzungssatzes|Faktseitenname= Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt |Nr= |SZ= }} zu {{math|term= -1 |SZ=}} bestimmen, weil {{ Relationskette | 13 || 5 \mod 8 || || || |SZ= }} und dies das Vorzeichen {{math|term= -1 |SZ=}} ergibt. Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an: {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| 5 | 13}} || + {{op:Legendre-Symbol| 13| 5}} || || || |SZ=, }} weil {{ Relationskette | 5 \mod 4 || 1 || || || |SZ= }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=der Rest {{mathl|term= 13 \mod 4 |SZ=}} braucht gar nicht mehr berechnet zu werden, da es ausreicht, dass hier {{math|term= 5 |SZ=}} oder {{math|term= 13 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 1 |SZ=}} lässt, damit das Vorzeichen {{math|term= +|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Jetzt nutzt man aus, dass {{ Relationskette | 13 || 3 \mod 5 || || || |SZ= }} ist. Man schreibt: {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| 13| 5}} || {{op:Legendre-Symbol| 3 | 5}} || || || |SZ=. }} Wiederum wendet man hier das Quadratische Reziprozitätsgesetz an: Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| 3 | 5}} || {{op:Legendre-Symbol| 5 | 3}} || {{op:Legendre-Symbol| 2 | 3}} || -1 || |SZ=, }} da {{ Relationskette | 5 \mod 4 || 1 || || || |SZ= }} ist und da {{ Relationskette | 2 || -1 || || || |SZ= }} kein Quadrat modulo {{math|term= 3 |SZ=}} ist. Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich folgendes Resultat: {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| 10| 13}} || {{op:Legendre-Symbol| 2 | 13}} {{op:Legendre-Symbol| 5 | 13}} || {{makl| -1 |}} \cdot {{makl| -1 |}} || 1 || |SZ=. }} Damit weiß man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=die beiden Lösungen lauten {{math|term= 6 |SZ=}} und {{math|term= 7 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Auf dieses Ergebnis kommt man leider nur durch Probieren. Hat man aber eine Lösung, z.B. die {{math|term= 6 |SZ=,}} so berechnet man die zweite Lösung, indem man das additive Inverse im Körper {{mathl|term= {{op:Zmod| 13|}} |SZ=}} bestimmt {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | 13-6 || 7 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 13 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e3vhjwfkidwjjoxw7865mal7yx6uckn 0 13211 1100674 1085769 2026-06-17T10:45:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100674 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= p |SZ=}} und {{math|term= q |SZ=}} ungerade verschiedene Primzahlen, und man möchte {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| p |q}} |SZ=}} berechnen, also herausfinden, ob {{math|term= p |SZ=}} ein quadratischer Rest modulo {{math|term= q |SZ=}} ist oder nicht. Ist {{ Relationskette | p | > | q || || || |SZ=, }} so berechnet man zuerst den Rest {{mathl|term= p \mod q |SZ=,}} und ersetzt {{math|term= p |SZ=}} durch den kleineren Rest, der natürlich keine Primzahl sein muss. Ist hingegen {{ Relationskette | p | < | q || || || |SZ=, }} so berechnet man die Reste von {{math|term= p |SZ=}} und {{math|term= q |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} und kann dann mittels dem quadratischen Reziprozitätsgesetz {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| p |q}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| q |p}} |SZ=}} zurückführen. In beiden Fällen kommt man also auf eine Situation, wo {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| k |q}} |SZ=}} zu berechnen ist, wo {{math|term= q |SZ=}} eine ungerade Primzahl ist und {{ Relationskette | k | < | q || || || |SZ= }} beliebig. Es sei {{ Relationskette | k || 2^{\alpha} \cdot p_1^{\alpha_1 } \cdots p_r^{\alpha_r} || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= k |SZ=.}} Dann ist nach {{ Faktlink |Präwort=der|Multiplikativität des Legendre-Symbols|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| k |q}} || {{op:Legendre-Symbol| 2^{\alpha}|q}} \cdot {{op:Legendre-Symbol| p_1^{\alpha_1 } |q}} \cdots {{op:Legendre-Symbol| p_r^{\alpha_r } |q}} || {{op:Legendre-Symbol| 2 |q}}^{\alpha} \cdot {{op:Legendre-Symbol|p_1 |q}}^{\alpha_1 } \cdots {{op:Legendre-Symbol|p_r|q}}^{\alpha_r} || || |SZ=. }} Jetzt kann {{math|term= {{op:Legendre-Symbol| 2 |q}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=dem|zweiten Ergänzungsgesetz|Faktseitenname= Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt |Nr= |SZ= }} berechnet und die {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol|p_i |q}} |SZ=}} können für {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} r || || || |SZ= }} nach dem gleichen Verfahren auf die Berechnung von {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol|q | p_i }} |SZ=}} zurückgeführt werden {{ Zusatz/Klammer |text=von den Exponenten {{mathl|term= \alpha, \alpha_i |SZ=}} kommt es nur auf die Parität an| |ISZ=|ESZ=. }} Bei diesem Verfahren werden natürlich die Nenner {{ Zusatz/Klammer |text=und damit auch die Zähler| |ISZ=|ESZ= }} in den Legendre-Symbolen kleiner, sodass man schließlich das Resultat erhält. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Algorithmische Berechnung des Legendre-Symbols unter Verwendung von Primfaktorzerlegungen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jucuyk3vkl1rn7y64nisekgrzk7duai 0 13276 1100204 1074408 2026-06-17T07:37:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100204 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Eisenstein integer lattice|png| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Eisenstein_integer_lattice |Text=Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene |Autor=Gunther |Benutzer=Gunther |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form {{ Relationskette/display |z || a + b {{makl| \frac{1}{2} +\frac{\mathrm i}2\sqrt3 |}} || || || |SZ= }} mit ganzen Zahlen {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= b |SZ=.}} Insbesondere ist {{ Relationskette/display | \omega || -\frac{1}{2} +\frac{\mathrm i}2\sqrt3 || e^{2\pi\mathrm i/3} || || |SZ= }} eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine {{ Zusatz/Klammer |text=primitive| |ISZ=|ESZ= }} dritte Einheitswurzel {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term=\omega^3=1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} sodass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen {{ Relationskette | \omega^3-1 ||(\omega -1)(\omega^2+\omega +1) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \omega |\neq| 1 || || || |SZ= }} gilt die Gleichung {{ Relationskette/display | \omega^2 + \omega + 1 || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Bereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort=Eisenstein-Zahlen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} exlzv57oj5d4yw9ymy3k0435m6oq6vk 0 15930 1100709 1085825 2026-06-17T10:51:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100709 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Man kann den Divisor zu einem Ideal auch durch {{ Relationskette/display | \operatorname{div}( {{ideala|}}) || \operatorname{min} {{Mengebed| {{op:Hauptdivisor| f |}} |f \in {{ideala|}} | f \neq 0 }} || || || |SZ= }} definieren, wobei das Minimum über Divisoren komponentenweise erklärt ist. Es gibt im Allgemeinen kein Element, das an allen Primstellen simultan das Minimum annimmt. Da zu einem einzelnen Element {{ Relationskette | 0 |\neq|f | \in | {{ideala|}} || || |SZ= }} der zugehörige Hauptdivisor nur an endlich vielen Stellen von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist, gilt das erst recht für den Divisor zu einem Ideal. Die Ordnung {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung| {{ideala|}} | {{idealp}} }} |SZ=}} kann man auch als Ordnung des Ideals {{mathl|term= \operatorname{ord}( {{ideala|}} R_ {{idealp|}}) |SZ=}} im diskreten Bewertungsring {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} ansehen. Dabei ist {{mathl|term= {{ideala|}} R_ {{idealp|}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} in {{mathl|term= R_{{idealp}} |SZ=.}} Dieses Ideal hat einen Erzeuger {{math|term= p^k |SZ=,}} wobei {{math|term= p |SZ=}} ein Primelement im diskreten Bewertungsring ist; die Ordnung ist dann {{math|term= k |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Divisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ideal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwjbhu175z1zht4kfxiiwqxprl5fabo 0 16124 1100711 1036178 2026-06-17T10:51:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100711 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei einer {{ Definitionslink |endlichen Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} werden {{ Definitionslink |Norm| |Definitionsseitenname= Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Spur| |Definitionsseitenname= Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Definition |SZ= }} eines Elementes {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} über die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung {{ Abbildung |name=f | L | L || |SZ= }} definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung {{ Relationskette/display |\Q | \subset | \Q[\sqrt{D}] || || || |SZ= }} sind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= \sqrt{D} |SZ=}} eine {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis bilden, ist {{ Relationskette |z || a+b\sqrt{D} || || || |SZ= }} und damit ist die Multiplikationsmatrix durch {{ Math/display|term= \begin{pmatrix} a & bD \\ b & a \end{pmatrix} |SZ= }} gegeben. Somit ist {{ Relationskette/display | N(z) || a^2-b^2 D || (a+b \sqrt{D})(a -b \sqrt{D}) || z \overline{z} || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | S(z) || 2a || (a+b \sqrt{D}) + (a -b \sqrt{D}) || z + \overline{z} || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Norm und Spur |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bilo8xmal869fiqrsm07s3ctjw0q5ls 0 16273 1100671 1085766 2026-06-17T10:44:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100671 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A_D |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \triangle |SZ=.}} Wir wollen ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} aus {{math|term= A_D |SZ=}} als ein {{ Zusatz/Klammer |text=vollständiges| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Gamma_{{ideala}} |SZ=}} in {{math|term= \R^2 |SZ=}} auffassen. Bei {{ Relationskette | D | < | 0 || || || |SZ=, }} also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die natürliche Einbettung {{ Relationskette/display | {{ideala}} | \subseteq | A_D | \subset | L || \Q [\sqrt{D}] | \subset | {{CC}} | \cong| \R^2 |SZ=. }} Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element {{mathl|term= q_1 + q_2 \sqrt{D} |SZ=}} entspricht in der reellen Ebene das Element {{ Relationskette | (q_1,q_2 \sqrt{-D}) || (q_1,q_2 \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | D | > | 0 || || || |SZ=, }} also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung {{ Abbildung/display |name= | L {{=|}} \Q [\sqrt{D}] | \R^2 | q_1 +q_2 \sqrt{D} | (q_1,q_2 \sqrt{D}) |SZ=. }} Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel {{math|term= \sqrt{D} |SZ=}} mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine {{math|term= \Q |SZ=-}}lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} nach {{math|term= {{CC}} |SZ=}} vorliegt. Das Ideal {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} sei nun {{ Zusatz/Klammer |text=bei positivem oder negativem {{math|term= D |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch die {{math|term= \Z |SZ=-}}Basis {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} erzeugt, mit {{ Relationskette | (a) || \Z \cap {{ideala}} || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | b || \alpha+ \beta \omega || || || |SZ= }} wie in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |SZ= }} beschrieben. Hierbei sei {{math|term= 1, \omega |SZ=}} die übliche {{math|term= \Z |SZ=-}}Basis von {{math|term= A_D |SZ=,}} also {{ Relationskette | \omega || \sqrt{D} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | \omega || \frac{1+ \sqrt{D} }{2} || || || |SZ=. }} Das Basiselement {{math|term= \omega |SZ=}} wird auf {{mathl|term= (0,\sqrt{ {{op:Betrag|D}} }) |SZ=}} bzw. auf {{mathl|term= {{makl| \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }{2} |}} |SZ=}} geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter {{mathl|term= \Gamma_{{ideala}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \R^2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Math/display|term= (a,0) \text{ und } {{makl| \alpha, \beta \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } |}} \text{ bei } D = 2,3 \mod 4 |SZ= }} und {{ Math/display|term= (a,0) \text{ und } {{makl| \alpha + \frac{\beta}{2}, \beta \frac{\sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }{2} |}} \text{ bei } D =1 \mod 4 |SZ= }} aufgespannt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jyma42l6d7wftgl003wzuy9rtxppu2z 0 17086 1100331 1085459 2026-06-17T07:58:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100331 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir die Frage, welche natürlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, für welche {{math|term= n |SZ=}} hat die Gleichung {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 || || || |SZ= }} Lösungen mit ganzen Zahlen {{math|term= x,y |SZ=?}} Es ist {{ Relationskette/display | 0 || 0+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 1 || 1+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 2 || 1+1 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 3 |SZ= }} {{ Relationskette/display | 4 || 4+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 5 || 4+1 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 6 |SZ= }} {{ Math/display|term= 7 |SZ= }} {{ Relationskette/display | 8 || 4+4 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 9 || 9+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 10 || 9+1 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 11 |SZ= }} {{ Math/display|term= 12 |SZ= }} {{ Relationskette/display | 13 || 9+4 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 14 |SZ= }} {{ Math/display|term= 15 |SZ= }} {{ Relationskette/display | 16 || 16+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 17 || 16+1 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 18 || 9+9 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 19 |SZ= }} {{ Relationskette/display | 20 || 16+4 || || || |SZ= }} Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie üblich, solche Fragen erstmal für {{ Definitionslink |Primzahlen| |Kontext=| |SZ= }} zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu übertragen. Von den Primzahlen {{math|term= \leq 20 |SZ=}} sind {{mathl|term= 3,7,11,19 |SZ=}} keine Summe von zwei Quadraten, während {{mathl|term= 2, 5,13 |SZ=}} und {{math|term= 17 |SZ=}} es sind. Es fällt auf, dass die Zahlen der ersten Reihe alle den Rest {{math|term= 3 |SZ=}} bei Division durch {{math|term= 4 |SZ=}} haben, und die Zahlen der zweiten Reihe {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 2 |SZ=}} abgesehen| |ISZ=|ESZ= }} den Rest {{math|term= 1 |SZ=.}} Hier zeigt sich bereits, dass es sinnvoll ist, zu anderen Ringen überzugehen, um Fragen über natürliche oder ganze Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur {{Stichwort|Division mit Rest}} durch {{math|term= 4 |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | \Z | {{op:Zmod| 4}} {{=|}} \{0,1,2,3\} | n | n \mod 4 |SZ=. }} Dabei ist in {{mathl|term= {{op:Zmod| 4}} |SZ=}} die Addition und die Multiplikation modulo {{math|term= 4 |SZ=}} erklärt, also etwa {{ Relationskette | 3 \cdot 3 || 9 || 1 || || |SZ=. }} Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= \Z |SZ=}} eine Lösung besitzt, so liefert das sofort auch eine Lösung modulo {{math|term= 4 |SZ=,}} nämlich {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | (n \mod 4 ) || (x \mod 4)^2 + (y \mod 4)^2 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette/display | \overline{n} || \overline{x}^2+ \overline{y}^2 || || || |SZ=. }} Nun sind aber in {{mathl|term= {{op:Zmod| 4 |}} |SZ=}} die Quadrate einfach {{ Relationskette/display | 0^2 || 2^2 || 0 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 1^2 || 3^2 || 1 || || |SZ= }} und damit sind {{math|term= 0,1 |SZ=}} und {{math|term= 2 |SZ=}} Summen von zwei Quadraten in {{mathl|term= {{op:Zmod| 4 |}} |SZ=,}} aber nicht {{math|term= 3 |SZ=.}} Es bestätigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass natürliche Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht nur Primzahlen| |ISZ=|ESZ=, }} die den Rest {{math|term= 3 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein können. Für Primzahlen mit dem Rest {{math|term= 1 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} liefert die Betrachtung im Restklassenring {{mathl|term= {{op:Zmod| 4 |}} |SZ=}} natürlich nur, dass eine notwendige Bedingung erfüllt ist, woraus sich natürlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen lässt. Die Zahl {{math|term= 21 |SZ=}} zeigt auch, dass eine Zahl, die modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist. Wir werden aber im Verlauf der Vorlesung sehen, dass es für Primzahlen mit dieser Restbedingung gilt. Dafür werden wir in einem weiteren Ring arbeiten, nämlich im {{Stichwort|Ring der Gaußschen Zahlen|SZ=}} {{ Relationskette/display | \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || \Z \oplus \Z {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einem Unterring der komplexen Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Dort können wir {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 || (x+ {{imaginäre Einheit|}} y)(x- {{imaginäre Einheit|}} y) || || |SZ= }} schreiben, wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von natürlichen Zahlen in diesem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pf269vcxcw95y4mn0dhuyomj314sal 0 17522 1100670 1085850 2026-06-17T10:44:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100670 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Der {{ Zusatz/Klammer |text=Einheits| |ISZ=-|ESZ= }}Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene {{ Zusatz/Klammer |text=Teil| |ISZ=-|ESZ= }}Parametrisierungen für ihn, etwa durch {{ Math/display|term= x \longmapsto {{makl| x, \sqrt{1-x^2} |}} |SZ=, }} oder die trigonometrische Parametrisierung {{ Math/display|term= t \longmapsto (\cos (t), \sin (t)) |SZ=, }} Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind. Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt {{math|term= t |SZ=}} auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse auf den Durchstoßungspunkt {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} abbildet, den der Einheitskreis mit der durch {{ mathkor|term1= (0,t) |und|term2= (-1,0) |SZ= }} definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| t | 1}} || {{op:Bruch| y | 1+x}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | y ||t(1+x) || || || |SZ=. }} Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man {{ Relationskette/display | 1 || x^2+y^2 || x^2+t^2 (x+1)^2 || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | 0 || (x^2-1)+t^2 (x+1)^2 || (x+1) {{makl| (x-1)+t^2(x+1) |}} || || |SZ=. }} Da uns die erste Lösung {{ Relationskette | x || -1 || || || |SZ= }} nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor {{ Relationskette/display | 0 ||(x-1)+t^2 (x+1) || x(1+t^2) +t^2-1 || || |SZ=, }} die zu {{ Math/display|term= x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \, \, \, \text{ und } \, \, \, y = t \cdot (x+1) = t \cdot {{makl| \frac{1-t^2}{1+t^2}+1 |}} = \frac{2t}{1+t^2} |SZ= }} führt. Die Abbildung {{ Math/display|term= t \longmapsto {{makl| \frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2} |}} = (x,y) |SZ= }} ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort=Pythagoreische Tripel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ut1rue2ctj0rb6110lxruhzbbgc3e4 0 17540 1100068 1085172 2026-06-17T07:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100068 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} zwei Geraden in der reellen Ebene {{math|term= \R^2 }} und sei {{math|term= S }} eine bewegliche Gerade (eine Stange) mit zwei Punkten {{math|term= P_1,P_2 |SZ=,}} die voneinander den Abstand {{math|term= d }} haben. Erlaubte Konfigurationen des Systems sind diejenigen Lagen von {{math|term= S |SZ=,}} für die gleichzeitig {{ mathkor|term1= P_1 \in L_1 |und|term2= P_2 \in L_2 |SZ= }} gelten. Die Geraden seien durch {{ Relationskette | L_1 || {{Mengebed| (x,y) | a_1x+b_1y {{=|}} c_1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | L_2 || {{Mengebed| (x,y) | a_2x+b_2y {{=|}} c_2 }} || || || |SZ= }} festgelegt. Die erlaubten Konfigurationen werden dann gemäß {{ Bemerkungslink |Präwort=der|Situationsbeschreibung|Bemerkungsseitenname= Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} durch die drei Bedingungen festgelegt: {{ Aufzählung3 | {{ Relationskette | a_1x_1+b_1y_1 || c_1 || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | a_2x_2 +b_2y_2 || c_2 || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | (x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 || d^2 || || || |SZ=. }} }} Die Lösungsmenge der beiden linearen Gleichungen sind {{ Zusatz/Klammer |text=einzeln betrachtet| |ISZ=|ESZ= }} dreidimensionale Unterräume. Die Lösungsmenge der dritten Gleichung kann man als das Produkt eines Kreises {{ Zusatz/Klammer |text=in den Variablen {{mathlk|term= x_2-x_1 }} und {{mathlk|term= y_2-y_1 }} | |ISZ=|ESZ= }} mit einer affinen Ebene auffassen. Das ist eine Art von Zylinder, wobei allerdings die Fasern zweidimensional sind. Wie kann man die gemeinsame Nullstellenmenge beschreiben, und wie sieht die Trajektorie des mechanischen Systems aus, die ein Punkt {{ Relationskette | P | \in | S || || || |SZ= }} erzeugt? Durch eine Variablentransformation kann man annehmen, dass die erste Gerade die {{math|term= x |SZ=-}}Achse ist, also durch die Gleichung {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} definiert ist, und die andere durch {{ Relationskette | ax+by || c || || || |SZ=. }} Das liefert für das System die Bedingung {{ Relationskette | y_1 || 0 || || || |SZ=, }} und das bedeutet, dass man die Variable {{math|term= y_1 }} eliminieren kann. Man gelangt dann zu einem System mit den drei Variablen {{mathl|term= x_1,x_2,y_2 }} und den zwei Bedingungen {{ Aufzählung2 | {{ Relationskette | (x_2-x_1)^2 +y_2^2 || d^2 || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | ax_2+by_2 || c || || || |SZ=. }} }} Parallele Geraden {{ inputbild |Parallelle lijnen|png| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Parallelle_lijnen |Autor= |Benutzer=Ellywa |Domäne=nl.wikipedia.org |Lizenz=GFDL |Bemerkung= }} Wenn die zweite Gerade parallel zur ersten ist, so ist {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} und man kann die zweite Gleichung nach {{math|term= y_2 }} auflösen und erhält {{ Relationskette | y_2 || \frac{c}{b} || e || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | b |\neq | 0 || || || |SZ=, }} sonst liegt keine Gerade vor| |ISZ=|ESZ=. }} Die Zahl {{math|term= e |SZ=}} ist der Abstand der parallelen Geraden. Man kann nun auch {{math|term= y_2 }} eliminieren, und übrig bleibt die einzige Gleichung {{ Relationskette | (x_2-x_1)^2 +e^2 || d^2 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | (x_2-x_1)^2 || d^2-e^2 || (d-e)(d+e) || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | e | > | d || || || |SZ= }} gibt es hierfür keine Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=der konstante Abstand der parallelen Geraden ist größer als der Koppelungsabstand auf der Stange| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette | e || d || || || |SZ= }} ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette | x_1 || x_2 || || || |SZ=. }} Dies entspricht der Situation, wo der Parallelabstand der Geraden gleich dem Koppelungsabstand ist. Dann sind die einzigen erlaubten Konfigurationen diejenigen, wo die Stange senkrecht zu den beiden Geraden ist. Die Lösungsmenge ist also eine Gerade. Für jeden Punkt auf der Stange ist die Trajektorie einfach eine weitere parallele Gerade. Es sei nun {{ Relationskette | e | < | d || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | x_2-x_1 || \pm \sqrt{(d-e)(d+e)} || || || |SZ=. }} Die Lösungsmenge besteht aus zwei disjunkten Geraden. Dies entspricht den beiden unterschiedlichen Einhängungen, die nicht ineinander überführt werden können. Das mechanische System besteht also aus zwei Zusammenhangskomponenten. Für einen Punkt auf der Stange ergibt sich aber bei beiden Einhängungen die gleiche Trajektorie, nämlich eine parallele Gerade, die in gewissem Sinne doppelt durchlaufen wird. Hier besteht also die Lösungsmenge des vollen mechanischen Systems aus zwei {{ Zusatz/Klammer |text=parallelen| |ISZ=|ESZ= }} affinen Geraden im vierdimensionalen affinen Raum, deren Trajektorien zu einem fixierten Punkt aber nur eine Gerade ist. Nicht parallele Geraden Wir betrachten nun den Fall, wo die beiden Geraden nicht parallel sind. Dann treffen sie sich und die Lösungsmenge kann nicht leer sein. Wir können durch eine weitere lineare Transformation annehmen, dass der Schnittpunkt gleich dem Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) }} ist. Die zweite Gleichung wird dann durch {{ Relationskette | x_2 || ey_2 || || || |SZ= }} beschrieben. Damit kann man {{math|term= x_2 }} eliminieren und erhält in den beiden Variablen {{mathl|term= x_1,y_2 }} die einzige Gleichung {{ Relationskette/display | (ey_2 - x_1)^2 + y_2^2 || d^2 || || || |SZ=. }} Der Konfigurationsraum des mechanischen Systems spielt sich also in einer {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{ Relationskette/k | y_1 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | x_2 || ey_2 || || || |SZ= }} definierten| |ISZ=|ESZ= }} Ebene ab und wird durch eine Quadrik beschrieben. Betrachtet man {{mathl|term= ey_2-x_1 }} als eine neue Variable, so sieht man, dass es sich um eine Ellipse {{ Zusatz/Klammer |text=in den Koordinaten {{mathlk|term= x_1, y_2 |SZ=;}} in den Koordinaten {{mathlk|term= ey_2-x_1, y_2 }} ist es ein Kreis| |ISZ=|ESZ= }} handelt. {{ inputbild |Ellipse tri|png| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Ellipse_tri |Autor= |Benutzer=Matanya (usurped) |Domäne=he.wikipedia.org |Lizenz=GFDL |Bemerkung= }} Wie sehen die Trajektorien aus? Es sei {{math|term= P }} derjenige Punkt auf der Stange, der durch {{mathl|term= P_1+ {{{elet|t}}}(P_2-P_1) }} gegeben ist. Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Situationsbeschreibung|Faktseitenname= Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} hat der Punkt {{math|term= P }} die Koordinaten {{ Math/display|term= ( (1-{{{elet|t}}}) x_1+ {{{elet|t}}} ey_2,{{{elet|t}}} y_2 ) |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | (ey_2 - x_1)^2 + y_2^2 || d^2 || || || |SZ= }} sein muss. In den Extremfällen {{ mathkor|term1= {{{elet|t}}} = 0 |und|term2= {{{elet|t}}} = 1 |SZ= }} ergeben sich {{mathl|term= (x_1,0) }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x_1 }} beliebig| |ISZ=|ESZ= }} bzw. {{mathl|term= ( ey_2, y_2) }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= y_2 }} beliebig| |ISZ=|ESZ= }} als Lösungsmenge. Hierbei muss nach wie vor {{ Relationskette | (ey_2 - x_1)^2 + y_2^2 || d^2 || || || |SZ= }} erfüllt sein, d.h. es muss zu gegebenem {{math|term= x_1 }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= y_2 }} | |ISZ=|ESZ= }} eine Lösung der Gleichung in der anderen Variablen geben. Die gibt es, wenn {{math|term= x_1 }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= y_2 }} | |ISZ=|ESZ= }} hinreichend klein ist. Insgesamt ergeben sich also gewisse Strecken auf den Ausgangsgeraden. Die Punkte {{math|term= P_1 }} und {{math|term= P_2 }} müssen ja auf ihren Bahnen bleiben, und können sich von der anderen Geraden nicht beliebig weit entfernen. Es sei also {{ Relationskette | {{{elet|t}}} | \neq | 0, 1 || || || |SZ=. }} Aus dem Ansatz {{ Relationskette/display | (x,y) || ( (1-{{{elet|t}}})x_1+ {{{elet|t}}}ey_2,{{{elet|t}}}y_2 ) || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | y_2 || \frac{y}{ {{{elet|t}}} } || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x_1 || \frac{ x- {{{elet|t}}} ey_2 }{1-{{{elet|t}}}} || \frac{x- ey}{1-{{{elet|t}}}} || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das Urbild ist also eindeutig festgelegt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gleichung wird dann zu {{ Relationskette/display | {{makl| \frac{ey}{{{{elet|t}}}}- \frac{x - ey}{1-{{{elet|t}}}} |}}^2+ \frac{y^2}{{{{elet|t}}}^2} || d^2 || || || |SZ=, }} was wieder die Gleichung einer Ellipse ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanischen ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Geraden |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8vf4b8ptfou5y3yvwtz8hi3npk7xsgd 0 18111 1099809 1074361 2026-06-17T06:33:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099809 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{Bildskip|}} {{ inputbild |Cusp|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die {{Definitionswort/enp|Neilsche Parabel}} {{math|term= C |SZ=}} ist das Bild unter der monomialen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affine Gerade| K |}} | {{op:Affine Ebene| K |}} | t | (t^2,t^3) {{=|}} (x,y) |SZ=. }} Die zugehörige Gleichung ist {{ Relationskette | y^2 || x^3 || || || |SZ=, }} d.h. es ist {{ Relationskette |C || V(Y^2-X^3) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort=Die Neilsche Parabel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q6csa5rmok16c2nasd9c7yk0o0oqorc 0 18184 1100161 1085289 2026-06-17T07:30:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100161 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Faktlink |Präwort=das|Kartesische Blatt|Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Beispiel |Nr= |SZ=, }} das durch {{ Relationskette | X^3+Y^3-3XY || 0 || || || |SZ= }} gegeben ist, im Nullpunkt und bezüglich der durch {{ Relationskette |Y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Tangente und wollen die Potenzreihe bestimmen, mit der sich der {{Anführung|Zweig}} der Kurve, der diese Tangente definiert, als Graph beschreiben lässt. Wir setzen also {{ Relationskette |X || T || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | H || b_2T^2+b_3T^3+b_4T^4+ \ldots || || || |SZ= }} an und haben diese Koeffizienten zu bestimmen {{ Zusatz/Klammer |text=die Charakteristik von {{math|term= K}} sei nicht {{math|term= 3}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Koeffizienten {{math|term= b_\ell |SZ=}} sind durch die Bedingung {{ Relationskette/align | 0 || T^3+ H^3-3TH || T^3+(b_2T^2+b_3T^3 + \ldots )^3 -3T(b_2T^2+b_3T^3 + \ldots ) || || |SZ= }} festgelegt. Das Einsetzen bzw. Ausmultiplizieren dieser Potenzreihe liefert zum ersten Mal für {{ Relationskette |k || 3 || || || |SZ= }} eine Bedingung. Der Summand {{math|term= X^3}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= T^3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} muss überhaupt nur einmal berücksichtigt werden, nämlich für {{ Relationskette |k || 3 || || || |SZ=. }} Der Summand {{math|term= Y^3}} muss erst ab {{ Relationskette |k | \geq | 6 || || || |SZ= }} berücksichtigt werden, da ja {{ Relationskette |Y || H || || || |SZ= }} ein Vielfaches von {{math|term= T^2}} ist. Der Summand {{math|term= XY}} muss ab {{ Relationskette |k || 3 || || || |SZ= }} berücksichtigt werden. {{math|term= b_2 |SZ=.}} Hier hat man die Bedingung {{ Relationskette/display | 1 -3 b_2 || 0 || || || |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette | b_2 || \frac{1}{3} || || || |SZ= }} ergibt. {{math|term= b_3 |SZ=.}} Dies taucht erstmals in der Bedingung für den vierten Koeffizienten auf. Dort steht es aber isoliert, sodass {{ Relationskette |b_3 || 0 || || || |SZ= }} sein muss. {{math|term= b_4 |SZ=.}} Aus dem gleichen Grund ist {{ Relationskette |b_4 || 0 || || || |SZ=. }} {{math|term= b_5 |SZ=.}} Hierfür ist der sechste Koeffizient entscheidend, und dabei ist jetzt auch {{math|term= Y^3}} zu berücksichtigen. Es ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette/display | b_2^3-3 b_5 || 0 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette |b_5 || \frac{1}{81} || || || |SZ=. }} {{mathl|term= b_6, b_7,b_8 |SZ=.}} Der Summand {{ Relationskette/display | Y^3 || {{makl| b_2T^2 +b_5T^5+ \ldots |}} {{makl| b_2T^2 +b_5T^5+ \ldots |}} {{makl| b_2T^2 +b_5T^5+ \ldots |}} || || || |SZ= }} leistet erstmals wieder für den neunten Koeffizienten einen Beitrag, und zwar ist dieser {{mathl|term= 3b_2^2b_5 |SZ=.}} Dies bedeutet, dass {{math|term= b_6}} und {{math|term= b_7}} isoliert stehen und daher null sein müssen. Für {{math|term= b_8}} ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette/display | 3b_2^2b_5 -3 b_8 || 0 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette |b_8 ||\frac{1}{729} || || || |SZ=. }} Die Anfangsglieder der Potenzreihe {{math|term= H |SZ=,}} die den einen Kurvenzweig im Nullpunkt als Graph beschreibt, ist also {{ Relationskette/display |H || \frac{1}{3} T^2 + \frac{1}{81} T^5 + \frac{1}{729}T^8 + \ldots || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Kartesische Blatt |Stichwort=Potenzreihe für Kartesisches Blatt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} teuc9642yugq5ytm3bw80q75kyqht04 0 18186 1100160 1064853 2026-06-17T07:30:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100160 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung {{ Relationskette | F || X^3+XY+Y || 0 || || |SZ= }} gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind {{ Math/display|term= \frac{\partial F}{\partial X} =3 X^2 + Y \text{ und } \frac{\partial F}{\partial Y} = X+1 |SZ=. }} Die zweite Ableitung ist nur bei {{ Relationskette | X || -1 || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} dort hat aber {{math|term= F }} den Wert {{math|term= -1 |SZ=,}} d.h. die Kurve ist glatt. Im Nullpunkt haben die partiellen Ableitungen den Wert {{mathl|term= (0,1) |SZ=.}} Die zugehörige Tangente ist also die {{math|term= X |SZ=-}}Achse, was dazu passt, dass der lineare Term der Kurvengleichung {{math|term= Y }} ist. Wir berechnen die Potenzreihe {{ Relationskette | Y || H(T) || {{potreiein| \ell| b | T}} || || |SZ=, }} die die Kurve im Nullpunkt als Graphen beschreibt {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{ Relationskette/k | X || T || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Anfangsbedingungen sind {{ Relationskette |b_0 ||b_1 || 0 || || |SZ=. }} Für die folgenden Koeffizienten von {{math|term= H }} müssen wir aus der Gleichung {{ Relationskette/display | F(T,H) || T^3+TH+H || 0 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | T^3 + T( b_2T^2+b_3T^3 + \ldots ) + ( b_2T^2+b_3T^3 + \ldots ) || 0 || || || |SZ= }} über die Koeffizienten der {{math|term= T^k |SZ=}} die Bedingungen an {{math|term= b_\ell }} herauslesen. {{math|term= b_2 |SZ=.}} Der zweite Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der Gleichung| |ISZ=|ESZ= }} liefert sofort {{ Relationskette | b_2 || 0 || || || |SZ=. }} {{math|term= b_3 |SZ=.}} Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung {{ Relationskette | 1+b_3 || 0 || || || |SZ=, }} woraus {{ Relationskette |b_3 || -1 || || || |SZ= }} folgt. Die folgenden Koeffizienten liefern die Bedingung {{ Relationskette | b_{\ell-1} + b_{\ell} || 0 || || || |SZ=, }} sodass also die folgenden {{math|term= b_\ell }} abwechselnd {{math|term= 1 }} und {{math|term= -1 }} sind. Man hat also eine einfache Rekursionsformel und es ist {{ Relationskette/display | H || -T^3+T^4-T^5+T^6-T^7 + \ldots || || || |SZ=. }} Die Umformung der Kurvengleichung in {{ Relationskette/display | Y || \frac{-X^3}{1+X} || || || |SZ= }} zeigt, dass hier der Graph einer rationalen Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem Pol bei {{ Relationskette/k | X || -1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} vorliegt. Die angegebene Potenzreihe beschreibt also den Graphen einer rationalen Funktion als Graphen einer formal-analytischen Funktion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f9cdihvqzr9915ihcckyz732p7wqj9q 0 18232 1099714 1084819 2026-06-17T06:18:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099714 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=Körper| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|a_{11} | a_{21} | a_{12} | a_{22}|}} }} ist durch die vier Zahlen {{ Relationskette | a_{11} ,a_{21} , a_{12}, a_{22} | \in | K || || || |SZ= }} eindeutig festgelegt. Man kann eine solche Matrix also mit einem Punkt im {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| 4 |K}} }} identifizieren. Bei dieser Interpretation ist es sinnvoll, die Variablen mit {{mathl|term= X_{11} ,X_{21} , X_{12}, X_{22} }} zu bezeichnen. Man kann sich dann fragen, welche Eigenschaften von Matrizen sich durch algebraische Gleichungen beschreiben lassen. Wir diskutieren dazu einige typische Eigenschaften. Eine {{ Definitionslink |obere Dreiecksmatrix| |Kontext=| |SZ= }} liegt genau dann vor, wenn {{ Relationskette | a_{12} || 0 || || || |SZ= }} ist. Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ist also die Nullstellenmenge von {{mathl|term= X_{12} |SZ=.}} Eine {{ Definitionslink |invertierbare Matrix| |Kontext=| |SZ= }} liegt vor, wenn {{ Relationskette | a_{11}a_{22}- a_{12}a_{21} | \neq | 0 || || || || |SZ= }} ist. Die Menge der nicht invertierbaren Matrizen wird also durch die algebraische {{Stichwort|Determinantenbedingung}} {{ Relationskette | X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} || 0 || || || |SZ= }} beschrieben. Eine Matrix beschreibt die Multiplikation mit einem Skalar, wenn sie eine Diagonalmatrix mit konstantem Diagonaleintrag ist. Diese Menge wird durch die drei Gleichungen {{ Relationskette | X_{12} || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | X_{21} || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | X_{11}-X_{22} || 0 || || || |SZ= }} beschrieben. Ein Element {{ Relationskette | \lambda | \in | K || || || |SZ= }} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |SZ= }} einer Matrix genau dann, wenn {{math|term= \lambda }} eine Nullstelle des {{ Definitionslink |charakteristischen Polynoms| |Kontext=| |SZ= }} der Matrix ist, d.h. wenn {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| \lambda - a_{11} | - a_{21} | - a_{12} | \lambda - a_{22} }} |}} || \lambda^2 - \lambda {{makl| a_{11} + a_{22} |}} + a_{11}a_{22}- a_{12}a_{21} || 0 || || |SZ= }} ist. In der linearen Algebra ist normalerweise die Matrix vorgegeben und man sucht nach Nullstellen {{math|term= \lambda }} dieses Polynoms in einer Variablen. Man kann es aber auch umgekehrt sehen und {{math|term= \lambda }} vorgeben, und das Nullstellengebilde {{ Relationskette/display | \lambda^2 - \lambda (X_{11}+X_{22})+ X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} || 0 || || || |SZ= }} in den vier Variablen untersuchen. Diese Gleichung beschreibt also die Menge aller Matrizen, die {{math|term= \lambda }} als Eigenwert besitzen. Entsprechend besitzt eine Matrix genau dann die beiden Eigenwerte {{ Relationskette | \lambda | \neq | \delta || || || || |SZ=, }} wenn {{ mathkor/display/drucktrenn|term1= \lambda^2 - \lambda (X_{11}+X_{22})+ X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21}=0 |und|term2= \delta^2 - \delta (X_{11}+X_{22})+ X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21}=0 |SZ=. }} ist. Die Differenz der beiden Gleichungen ist {{ Relationskette/display | \lambda^2- \delta^2 - (\lambda - \delta)(X_{11}+X_{22}) || 0 || || || |SZ=, }} die eine solche Matrix erst recht erfüllen muss. Wegen {{ Relationskette | \lambda | \neq | \delta || || || || |SZ= }} kann man das als {{ Relationskette/display | X_{11}+X_{22} || \lambda + \delta || || || |SZ= }} schreiben. Für eine Matrix nennt man die Summe der Diagonaleinträge die {{ Definitionslink |Spur| |Kontext=| |SZ= }} der Matrix. Die zuletzt hingeschriebene Gleichung besagt also, dass für eine Matrix mit Eigenwerten {{ Relationskette | \lambda | \neq | \delta || || || || |SZ= }} die Spur die Summe dieser Eigenwerte sein muss. Das charakteristische Polynom einer Matrix kann man auch schreiben als {{ Math/display|term= \lambda^2 - \lambda \cdot {{op:Spur(|M|}} + {{op:Determinante(|M|}} |SZ=, }} mit {{ Mathkor/display|term1= {{op:Spur(|M|}} = X_{11}+X_{22} |und|term2= {{op:Determinante(|M|}} = X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} |SZ=. }} Insbesondere haben Matrizen genau dann das gleiche charakteristische Polynom, wenn ihre Spur und ihre Determinante übereinstimmen. Damit kann man auch sagen, dass die Menge der Matrizen mit einem vorgegebenen charakteristischen Polynom die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} unter der Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affiner Raum| 4 | K |}} | {{op:Affine Ebene| K |}} | M | ( {{op:Spur(|M|}} , {{op:Determinante(|M|}}) |SZ=, }} ist. Diese Abbildung ist durch einfache polynomiale Ausdrücke gegeben. Ist diese Abbildung surjektiv? Sehen die Fasern immer gleich aus, d.h., besitzt die Menge der Matrizen mit vorgegebener Spur und Determinante immer die gleiche Struktur, oder gibt es da Unterschiede? Es sei {{math|term= s }} und {{math|term= d }} vorgegeben. Dann geht es um die Lösungsmenge zu {{ Mathkor/display|term1= X_{11} + X_{22} =s |und|term2= X_{11}X_{22}- X_{12}X_{21} = d |SZ=. }} Hierbei ist {{math|term= X_{11} }} durch {{math|term= X_{22} }} eindeutig festgelegt, und umgekehrt. Man kann daher eine Variable {{Stichwort|eliminieren|SZ=,}} indem man {{ Relationskette | X_{22} || s- X_{11} || || || |SZ= }} setzt. Dann ergibt sich das {{Anführung|äquivalente}} System in den drei Variablen {{mathl|term= X_{11},X_{12},X_{21} |SZ=,}} mit der einzigen Gleichung {{ mathkor/display/drucktrenn|term1= X_{11}(s-X_{11}) - X_{12}X_{21} = d |bzw.|term2= X_{11}^2 -sX_{11} + X_{12}X_{21} + d =0 |SZ=. }} Unter {{Anführung|äquivalent}} verstehen wir hier, dass die Lösungen des einen Systems mit den Lösungen des anderen Systems in einer Bijektion stehen, die durch Polynome gegeben ist. An dieser letzten Umformung sieht man, dass es stets eine Lösung geben muss: Man kann für {{math|term= X_{11} }} einen beliebigen Wert vorgeben und erhält eine Gleichung der Form {{ Relationskette | X_{12} X_{21} || a || || || |SZ=, }} die Lösungen besitzt. Durch eine {{Stichwort|lineare Variablentransformation}} kann man die Gleichung noch weiter vereinfachen. Sie vorausgesetzt, dass {{math|term= 2 }} in {{math|term= K }} invertierbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=dass also die Charakteristik von {{math|term= K }} nicht {{math|term= 2 }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Dann kann man mit {{ Relationskette | X || X_{11} - s/2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und mit {{mathlk|term=Y=X_{12}, Z=X_{21} }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | X^2 + YZ + c || 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c || - {{op:Bruch|s^2| 4}} +d || || || |SZ= }} schreiben. Daraus sieht man, dass die Gestalt der Matrizenmenge mit vorgegebener Spur und Determinante nur von {{mathl|term= -\frac{s^2}{4}+d }} abhängt. In der Tat ist nun, abhängig davon, ob dieser Term null ist oder nicht, das Nullstellengebilde verschieden. Im ersten Fall hat es eine Singularität, im zweiten Fall nicht, wie wir später sehen werden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Varietäten zu linearen Objekten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Matrizen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7qelwiyfqz4zfabngc3vkguaffmydl1 0 18241 1100562 1034863 2026-06-17T10:28:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100562 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Für einen {{ Definitionslink |glatten Punkt| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Relationskette |P | \in | C || V(F) || || |SZ= }} einer ebenen algebraischen Kurve ist die {{ Definitionslink |Multiplizität| |Kontext=Kurve| |SZ= }} {{ Relationskette |m || 1 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |P || (0,0) || || || |SZ= }} ist also der lineare Term der Kurvengleichung {{ Relationskette | F_1 || uX+vY || 0 || || |SZ= }} und es ist {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung| F | X}} (P)=u |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| F | Y}} (P)=v |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=da die höheren homogenen Komponenten von {{math|term= F}} keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten| |ISZ=|ESZ=. }} Diese lineare Gleichung ist also die Tangentengleichung. Auch für einen beliebigen glatten Punkt {{ Relationskette |P ||(a,b) | \in | C || || || |SZ= }} kann man aus den partiellen Ableitungen von {{math|term= F}} in {{math|term= P}} direkt die Tangentengleichung ablesen, und zwar ist die Tangente durch {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| F | X}} (P) (X-a) + {{op:Partielle Ableitung| F | Y}} (P) (Y-b) || 0 || || || |SZ= }} gegeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} avpuh221el2vmsk0zvj1ehro810fymc 0 18253 1100069 1037041 2026-06-17T07:15:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100069 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Als Bahnen betrachten wir jetzt zwei Kreise, wobei wir uns auf gleichen Radius beschränken, den wir zu {{math|term= 1}} normieren. Durch verschieben können wir annehmen, dass {{math|term= (0,0)}} und {{math|term= (0,a)}} die Mittelpunkte der beiden Kreise sind. Die Länge der Koppelungsstange sei wieder {{math|term= d}}, sodass die drei algebraischen Gleichungen {{Aufzählung3| {{math|term= (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=d^2 }} | {{math|term= x_1^2+y_1^2=1 }} | {{math|term= (x_2-a)^2 + y_2^2 =1 }} }} das mechanische System beschreiben. Wir interessieren uns für die Trajektorie des Mittelpunktes der Stange. Dessen Koordinaten sind gegeben durch {{Einrückung|term= {{math|term= z_1 = \frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2}y_1 \text{ und } z_2 = \frac{1}{2} x_2 + \frac{1}{2}y_2 \, . }} }} Wir drücken das System in den Variablen {{math|term= z_1,z_2,x_1,x_2 }} aus, ersetzen {{math|term= y_1=2z_1-x_1, y_2=2z_2-x_2 }} und erhalten {{Aufzählung3| {{math|term = (x_2-x_1)^2+(2z_2-2z_1 -x_2+x_1)^2=d^2 }} | {{math|term= x_1^2+(2z_1-x_1)^2= 2x_1^2 +4z_1^2 -4x_1z_1 =1 }} | {{math|term= (x_2-a)^2 +(2z_2-x_2)^2 = 4z_2^2 - 4x_2z_2 +x^2+(x_2-a)^2=1 }} . }} In der Gleichung (3) kommt {{math|term= x_1 }} nicht vor, und aus den Gleichungen (1) und (2) wollen wir {{math|term= x_1 }} eliminieren. [[Datei:Watt curve animated.gif| 250px]] |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} 75hz6ym8xyvt885kshl1605spcdu9xt 0 18290 1100538 1085609 2026-06-17T10:25:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100538 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt| }} besagt insbesondere, dass eine offene Menge {{ Relationskette |D(f) | \subseteq | {{op:KSpek| R |}} || || || |SZ= }} selbst das {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrum| |Kontext=K| |SZ= }} einer {{ Definitionslink |endlich erzeugten| |Kontext=Algebra| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich von {{math|term= R_f |SZ=,}} das über {{math|term= R |SZ=}} von {{math|term= 1/f |SZ=}} erzeugt wird| |ISZ=|ESZ=, }} und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus {{ Relationskette/display |R_f | \cong| R[T]/(Tf- 1) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} }} erhält man eine solche Realisierung. Es sei {{ Relationskette | R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} || || || |SZ=. }} Dann liefert der {{ Definitionslink |surjektive| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,T] \longrightarrow (K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} )[T] {{Mathbruch}} \longrightarrow ((K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} )[T])/(Tf-1) \cong R_f }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektren als Funktor/Verschiedene Homomorphismen/Fakt |Nr=3 |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |abgeschlossene Einbettung| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= D(f) }} in {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n+1|K}} |SZ=.}} Ist {{math|term= \psi }} die Gesamtinklusion {{ Relationskette/display | D(f) | \subseteq | {{op:KSpek|R}} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || |SZ=, }} so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als {{ Abbildung/display |name=\psi \times \frac{1}{f} |D(f)| {{op:Affiner Raum| n | K}} \times {{op:Affine Gerade|K}} || |SZ= }} auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lial927yr4wzs39rc8xjdubqf59iqxi 0 18293 1099713 1034774 2026-06-17T06:18:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099713 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir in Anschluss an {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Bemerkung |Nr= |SZ= }} die offene Menge {{ Relationskette/display | D(X) || {{Mengebed|P \in {{op:Affine Gerade|K}} | P \neq 0 }} | \subset | {{op:Affine Gerade|K}} || || |SZ=. }} Diese offene Menge nennt man die {{Definitionswort/enp|punktierte affine Gerade|SZ=.}} Auf dieser offenen Menge ist {{math|term= X}} invertierbar, d.h. die rationale Funktion {{math|term= \frac{1}{X} }} ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} Inklusion {{ Relationskette | D(X) | \subseteq | {{op:Affine Gerade|K}} || || || || |SZ= }} die abgeschlossene Inklusion {{ Abbildung/display |name= |D(X) | V(XY-1) \subseteq {{op:Affine Ebene|K}} | x | {{op:Zeilenvektor| x | \frac{1}{x}|}} |SZ=, }} dessen Bild eine {{ Zusatz/Klammer |text=in der affinen Ebene abgeschlossene| |ISZ=|ESZ= }} Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph {{ Zusatz/Klammer |text=und die zugehörigen Ringe, nämlich {{ Relationskette | K[X]_{X} || K[X,X^{-1} || || || |SZ= }} und {{mathl|term= K[X,Y]/(XY-1) |SZ=,}} sind isomorph| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Hyperbola_one_over_x|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Ktims |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Stichwort=Die punktierte affine Gerade als Hyperbel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyq39c16on7dvh7c3tejqs7q3neae1p 0 18327 1099712 1034764 2026-06-17T06:18:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099712 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | V || V(WX-ZY) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| 4 |K}} || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette | U || D(X,Y) || D(X) \cup D(Y) | \subset | V || || || |SZ= }} die durch {{math|term= X }} und {{math|term= Y }} definierte Zariski-offene Menge. Auf {{math|term= U }} ist die durch {{ Relationskette/display | f || {{op:Bruch| Z | X}} || {{op:Bruch| W | Y}} || || |SZ= }} definierte Funktion algebraisch. Die beiden rationalen Darstellungen liefern offenbar eine algebraische Funktion auf den beiden offenen Teilmengen {{math|term= D(X) }} und {{math|term= D(Y) |SZ=.}} Damit es eine Funktion auf {{math|term= U }} definiert muss sichergestellt werden, dass die Brüche auf dem Durchschnitt, also auf {{ Relationskette | D(X) \cap D(Y) || D(XY) || || || |SZ=, }} die gleichen Funktionswerte haben. Es sei also {{ Relationskette | Q || (w,x,y,z) | \in | D(XY) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | Q | \in | V || || || |SZ=. }} D.h. {{ Relationskette | x,y |\neq| 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | wx || zy || || || |SZ=. }} Dann ist aber sofort {{ Relationskette/display | \frac{Z}{X}(Q) || \frac{z}{x} || \frac{w}{y} || \frac{W}{Y}(Q) || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen auf affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik UX-VY |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hm10y4dbinxje39utd60f5oicmgc2n1 0 18407 1100091 1074390 2026-06-17T07:18:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100091 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Bildskip}} {{ inputbild |Whitney_unbrella|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname= Whitney unbrella |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung {{ Relationskette/display | X^2 Z || Y^2 || || || |SZ= }} gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei {{ Relationskette/display |M || \langle (1,0),(1,1),(0,2) \rangle | \subset | \N^2 || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | (1,1)-(1,0) || (0,1) || || || |SZ= }} ist {{math|term= \Z^2 }} das Differenzengitter {{ Zusatz/Klammer |text=Differenzengruppe| |ISZ=|ESZ=. }} Da {{ Relationskette | 2(0,1) || (0,2) | \in | M || || |SZ= }} ist, muss {{math|term= \N^2 }} die {{ Definitionslink |Normalisierung| |Kontext=Monoid| |SZ= }} von {{math|term= M }} sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | \N^3 | M | e_i | m_i |SZ=. }} Diese monomiale Abbildung {{ Abbildung |name= | \N^3 | M \subset \N^2 || |SZ= }} bedeutet geometrisch die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affine Ebene| K |}} | {{op:KSpek|K[M]}} \hookrightarrow {{op:Affiner Raum| 3 |K}} | (s,t) | {{makl| s ,st ,t^2 |}} |SZ=. }} Dabei gehen {{ Zusatz/Klammer |text=monomial gesehen| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= 2e_1+e_3 |und|term2= 2e_2 |SZ= }} beide auf das Element {{mathl|term= (1,1) |SZ=,}} und das liefert die Gleichung {{ Relationskette | X^2Z || Y^2 || || || |SZ=, }} die man natürlich auch direkt ablesen kann. Man kann die definierende Gleichung auch als {{ Relationskette | Z || {{makl| {{op:Bruch| Y | X}} |}}^2 || || || |SZ= }} ansehen. Von {{mathl|term= K[X,Y] }} ausgehend wird also ein Quadrat zu {{math|term= {{op:Bruch| Y | X }} }} adjungiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hyperflächen in drei Variablen |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^2Z-Y^2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2o9iakr8fssg0ugku3us6f8a6iufxwo 0 18884 1100425 1085560 2026-06-17T08:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100425 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Jeder Punkt {{ Relationskette/display |P || (a_1 {{kommadots|}} a_n) | \in | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Zariski-abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition |SZ=, }} und zwar ist {{ Relationskette/display |P || V(X_1-a_1,X_2-a_2 {{kommadots|}} X_n- a_n ) || || || |SZ=. }} Punkte sind {{ Zusatz/Klammer |text=neben der leeren Menge und dem gesamten Raum| |ISZ=|ESZ= }} die einfachsten affin-algebraischen Mengen. Das Ideal {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Punktideal|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (X_1-a_1, X_2-a_2 {{kommadots|}} X_n- a_n )}} ist {{ Definitionslink |maximal| |Kontext=Ideal| |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Affiner Raum/Punktideal/Maximal/Aufgabe |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Punkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svlg5z5bs5njfy70tqpll5x3tj2wfh5 0 18904 1099711 1084814 2026-06-17T06:18:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099711 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ=. }} Wir wollen die reellen Quadriken klassifizieren, und zwar hauptsächlich hinsichtlich der affin-linearen Äquivalenz für die erzeugten Hauptideale. D.h. wir dürfen affine Variablentransformationen durchführen und {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{math|term= -1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} teilen. Aufgrund von {{Faktlink |Faktseitenname= Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt }} kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form {{ Relationskette/display | Y^2 || aX^2+bX+c || || || |SZ= }} hat. Bei {{ Relationskette | a || b || 0 || || |SZ= }} kann man durch eine Transformation {{mathl|term= Y \mapsto \sqrt{c}Y }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | c | > | 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} bzw. {{mathl|term= Y \mapsto \sqrt{-c}Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | c | < | 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und anschließende Division durch {{math|term= \pm c }} erreichen, dass die rechte Seite gleich {{ mathlist|term1= 1 ||term2= -1 |oder|term3= 0 |SZ= }} ist. Bei {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | b |\neq| 0 || || || |SZ= }} kann man {{mathl|term= bX+c }} als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung {{ Relationskette | Y^2 || X || || || |SZ=. }} Es sei nun {{ Relationskette | a |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann kann man durch eine Transformation {{mathl|term= X \mapsto X/\sqrt{a} }} bzw. {{mathl|term= X \mapsto X/\sqrt{-a} }} erreichen, dass {{ Relationskette | a || \pm 1 || || || |SZ= }} ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man {{math|term= b }} zu {{math|term= 0 |SZ=}} machen. Bei {{ Relationskette | c || 0 || || || |SZ= }} kann man auf {{ Relationskette | Y^2 || \pm X^2 || || || |SZ= }} transformieren. Es sei also {{ Relationskette | c |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann kann man durch eine simultane Transformation {{mathl|term= X \mapsto uX,\, Y \mapsto uY}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | u || \sqrt{ \pm c} || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und anschließende Division erreichen, dass {{ Relationskette | c || \pm 1 || || || |SZ= }} ist. Wir haben also noch die Möglichkeiten {{ Relationskette | Y^2 || \pm X^2 \pm 1 || || || |SZ= }} zu betrachten, wobei {{ Relationskette/display | Y^2-X^2 || \pm 1 || || || |SZ= }} zueinander äquivalent sind. Wir wissen also, dass jede reelle Quadrik auf eine der folgenden neun Formen gebracht werden kann. {{ Auflistung9 | {{mathl|term= Y^2=0 \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist eine {{Stichwort|verdoppelte Gerade|SZ=.}} | {{mathl|term= Y^2=1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= Y= \pm 1 |SZ=,}} das sind also {{Stichwort|zwei parallele Geraden|SZ=.}} | {{mathl|term= Y^2=-1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist {{Stichwort|leer}}. | {{mathl|term= Y^2=X \, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist eine {{Stichwort|Parabel|SZ=.}} | {{mathl|term= Y^2=X^2\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)=0 |SZ=,}} es handelt sich also um {{Stichwort|zwei sich kreuzende Geraden|SZ=.}} | {{mathl|term= Y^2=-X^2\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Die einzige Lösung ist der {{Stichwort|Punkt}} {{mathl|term= (0,0) |SZ=.}} | {{mathl|term= Y^2=X^2+1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das bedeutet {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)=1 |SZ=,}} das ist also eine {{Stichwort|Hyperbel|SZ=.}} | {{mathl|term= Y^2=-X^2+1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist ein {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=.}} | {{mathl|term= Y^2=-X^2-1\, }} {{math|term= \,}} {{math|term= \,}} Das ist wieder {{Stichwort|leer|SZ=.}} }} Sind diese neun Typen alle untereinander verschieden? Das hängt davon ab, welchen Äquivalenz-Begriff man zugrunde legt. Die Typen III und IX sind beide leer, haben also identisches Nullstellengebilde. Andererseits sind die zugehörigen Restklassenringe {{ Mathkor/display|term1= \R[X,Y]/(Y^2+1) |und|term2= \R[X,Y]/(X^2+Y^2+1) |SZ= }} nicht isomorph, und über den komplexen Zahlen sind die Nullstellengebilde nicht gleich. Deshalb werden sie auch hier als verschieden betrachtet. Ansonsten sind diese Nullstellengebilde meistens schon aus topologischen Gründen verschieden {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. ist der Einheitkreis {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=top| |SZ=, }} die Hyperbel ist nicht kompakt und hat zwei Zusammenhangskomponenten, die Parabel ist nicht kompakt mit einer Zusammenhangskomponenten, etc.| |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings ist die verdoppelte Gerade und die Parabel reell-topologisch gleich, und die Hyperbel und die parallelen Geraden ebenfalls. Hier sind aber jeweils die Restklassenringe und im zweiten Fall auch die komplexen Versionen verschieden. Z. B. ist {{mathl|term= K[X,Y]/(Y^2) |SZ= }} nicht reduziert, aber {{ Relationskette | K[X,Y]/(Y^2-X) | \cong| K[Y] || || || |SZ= }} ist ein Integritätsbereich. Die komplexe Hyperbel ist zusammenhängend, da sie isomorph zu {{ Relationskette | {{CC}}^\times || {{CC}} \setminus \{ 0\} || || || |SZ= }} ist, also zur punktierten komplexen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade| {{CC}} |}} \setminus \{ 0\} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1tms1i9z660z0wjo0pugj2j2h2os4rw 0 18968 1099806 1084907 2026-06-17T06:32:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099806 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein typisches und wichtiges Beispiel für eine rationale Funktion ist {{ Relationskette | Y || 1/X || || || |SZ=. }} Den zugehörigen Graphen nennt man {{Definitionswort/enp|Hyperbel}} {{math|term= H |SZ=.}} Nennerfrei geschrieben ergibt sich die Gleichung {{ Math/display|term= XY=1 \text{ bzw. } H = {{Mengebed| (x,y)| xy {{=|}} 1 }} |SZ=. }} Diese rationale Funktion ist auf {{ Relationskette | K^\times || K \setminus \{0\} || || || |SZ= }} eine echte Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= H}} als Graphen| |ISZ=|ESZ= }} und stiftet eine {{Anführung|natürliche}} Bijektion {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| K |}} | H | x | {{makl| x,{{op:Bruch| 1 | x}} |}} |SZ=. }} {{math|term= K^\times }} und {{math|term= H }} sind also in einem später zu präzisierenden Sinn {{Anführung|äquivalent}} oder {{Anführung|isomorph|SZ=.}} Beide Beschreibungen haben etwas für sich. Die Beschreibung als {{ Relationskette | K^\times | \subset | K || || || || |SZ= }} spielt sich auf einer Geraden ab {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man an {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ= }} denkt| |ISZ=|ESZ=, }} dafür gehört der Punkt {{math|term= 0 |SZ=,}} der ein {{Stichwort|Häufungspunkt}} von {{math|term= K^\times }} ist, nicht zu {{math|term= K^\times |SZ=.}} D.h., {{math|term= K^\times }} ist nicht {{Stichwort|abgeschlossen|SZ=.}} Dagegen ist die Hyperbel in {{math|term= \R^2 }} abgeschlossen, für die abgeschlossene Realisierung muss man also in eine höhere Dimension gehen. Die Frage, was eine gute Beschreibung für ein Objekt der algebraischen Geometrie ist, wird immer wieder auftauchen. {{ inputbild |Rectangular hyperbola|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Rectangular_hyperbola |Autor= |Benutzer=Qef |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im reellen Fall, also bei {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ=, }} besteht {{mathl|term= \R^\times }} {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend {{mathlk|term= H_{\R} }} | |ISZ=|ESZ= }} aus zwei disjunkten {{Anführung|Zweigen|SZ=,}} ist also nicht {{Stichwort|zusammenhängend|SZ=.}} Im komplexen Fall, also bei {{ Relationskette | K || \Complex || || || |SZ=, }} ist {{mathl|term= \Complex^\times}} {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend {{mathlk|term=H_{\Complex} }} | |ISZ=|ESZ= }} eine punktierte reelle Ebene, also zusammenhängend. Dies ist ein typisches Phänomen der algebraischen Geometrie, dass wichtige Eigenschaften vom Grundkörper abhängen. Besonders wichtig sind dann aber Eigenschaften, die nur von den beschreibenden Gleichungen abhängen und für die Lösungsmengen zu allen Körpern gelten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hyperbel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hsbge7t1utx15o3wnz8plodkmyf5v64 0 20104 1100617 1035223 2026-06-17T10:35:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100617 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein Morphismus {{ Abbildung/display |name= {{morpsi}} | Y | X || |SZ= }} induziert nach Definition zu jeder offenen Teilmenge {{ Relationskette | {{{U|U}}} | \subseteq | X || || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \tilde{{morpsi}} | {{op:Schnittring| {{{U|U}}} | X}} | {{op:Schnittring| {{morpsi}}^{-1}({{{U|U}}})|Y}} || |SZ=, }} Insbesondere gibt es einen {{Stichwort|globalen Ringhomomorphismus|msw=Globaler Ringhomomorphismus}} {{ Abbildung/display |name= \tilde{{morpsi}} | {{op:Schnittring| X | X}} | {{op:Schnittring| Y|Y}} || |SZ=. }} Sind {{ Relationskette | {{{U|U}}}_1 | \subseteq | {{{U|U}}}_2 || || || || |SZ= }} offene Teilmengen in {{math|term= Y |SZ=,}} so liegt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen vor {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die senkrechten Pfeile offene Inklusionen sind| |ISZ=|ESZ= }} {{ Kommutatives Quadrat/ru| {{morpsi}}^{-1}({{{U|U}}}_1) | {{{U|U}}}_1 | {{morpsi}}^{-1}({{{U|U}}}_2) | {{{U|U}}}_2 |SZ=, }} das wiederum zu dem kommutativen Diagramm {{ Kommutatives Quadrat/lo| {{op:Schnittring| {{morpsi}}^{-1}({{{U|U}}}_1)}} | {{op:Schnittring| {{{U|U}}}_1 }} | {{op:Schnittring| {{morpsi}}^{-1}({{{U|U}}}_2)}} | {{op:Schnittring| {{{U|U}}}_2 }} |SZ= }} von Ringhomomorphismen führt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08zzdnutdg4b5me9l4z1uesgwrirx1f 0 20549 1100090 1062480 2026-06-17T07:18:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100090 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das durch {{mathkon|(1,0), (-1,2)|und|(0,1) |SZ=}} erzeugte Untermonoid {{ Relationskette |M | \subseteq| \Z^2 || || || |SZ=. }} Für den zugehörigen {{ Definitionslink |Monoidring| |Kontext=| |SZ= }} gilt {{ Relationskette | K[M] | \cong| K[X,Y,Z]/ {{makl| Z^2-XY |}} || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} und {{mathl|term= (-1,2) |SZ=}} definieren je eine Gerade in {{math|term= \R^2 |SZ=,}} und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten {{ Zusatz/Klammer |text=Punkte im {{math|term= \Z^2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen {{ Math/display|term= {{Mengebed| (s,t) \in \Z^2| t \geq 0 \text{ und } t \geq -2s }} |SZ= }} gegeben. Ein Punkt daraus mit {{ Relationskette |s | \geq | 0 || || || |SZ= }} gehört offensichtlich zu {{math|term= M |SZ=.}} Es sei also {{mathl|term= (s,t) |SZ=}} ein Punkt daraus mit {{ Relationskette |s | < | 0 || || || |SZ=. }} Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man {{ Relationskette/display | (s,t) || -s (-1,2) + (t+2s) (0, 1) || || || |SZ= }} schreiben, was wegen {{ Relationskette | t+2s | \geq | 0 || || || |SZ= }} zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Mit den zwei Geraden lässt sich {{math|term= M |SZ=}} auch sofort als {{ Relationskette | M || M_1 \cap M_2 || || || |SZ= }} beschreiben, mit {{ Relationskette | M_1 || {{Mengebed|(s,t)|t \geq 0}} | \cong| \Z \times \N || || |SZ= }} und {{ Relationskette | M_2 || {{Mengebed|(s,t)|t \geq -2s }} | \cong| \Z \times \N || || |SZ=, }} wobei die zweite Identifizierung von der {{math|term= \Z |SZ=-}}Basis {{mathl|term= (-1,2),(0,1) |SZ=}} herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xd79q2a9tyoquq7bqvvjkxhjclbawu 0 20718 1099784 1084890 2026-06-17T06:29:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099784 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die projektive Gerade {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K}} |SZ=}} ist als die Menge der Geraden durch den Nullpunkt in der affinen Ebene {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K}} |SZ=}} gegeben. Eine solche Gerade ist entweder die {{math|term= x |SZ=-}}Achse oder aber eine Gerade, die die Gerade {{mathl|term= V(y-1) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die zur {{math|term= x |SZ=-}}Achse parallele Gerade durch {{mathlk|term= (0,1) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in genau einem Punkt schneidet. Umgekehrt liefert jeder Punkt {{ Relationskette |P | \in | V(y-1) | \cong | {{op:Affine Gerade|K}} || || |SZ= }} eine eindeutig bestimmte Gerade durch den Nullpunkt. D.h. die projektive Gerade besteht aus einer affinen Gerade und einem weiteren Punkt, den man den {{anführung|unendlich fernen}} Punkt nennt. Wichtig ist dabei aber, dass dieser unendlich ferne Punkt nicht wesensverschieden von den anderen Punkten ist. Wenn man eine beliebige Gerade {{math|term= G |SZ=}} durch den Nullpunkt nimmt sowie eine dazu parallele Gerade {{ Relationskette |L |\neq|G || || || |SZ=, }} so übernimmt {{math|term= L |SZ=}} die Rolle der affinen Geraden, und {{math|term= G |SZ=}} repräsentriert dann einen {{ Zusatz/Klammer |text=von dieser affinen Geraden aus gesehen| |ISZ=|ESZ= }} unendlich fernen Punkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort=Die projektive Gerade |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzj64thfie1n2zpy32fp28ao82u7ft7 0 20974 1099783 1084889 2026-06-17T06:29:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Punkte in der projektiven Ebene {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene| K |}} |SZ=}} entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| 3 |K}} |SZ=.}} Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=,}} wobei nicht alle {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} gleichzeitig {{math|term= 0 |SZ=}} sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar {{ Relationskette | \lambda |\neq| 0 || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich {{ Math/display|term= D_+(X),\, D_+(Y) \text{ und } D_+(Z) |SZ=. }} Dabei besteht {{mathl|term= D_+(Z) |SZ=}} aus allen Punkten, deren dritte Koordinate nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Durch Multiplikation mit {{math|term= z^{-1} |SZ=}} kann man diese Punkte mit {{ Relationskette/display | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| x |z}} | {{op:Bruch| y |z}} | {{op:Bruch| z |z}} |}} || {{op:Zeilenvektor| u | v | 1}} || || || |SZ= }} identifizieren, sodass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene {{mathl|term= D_+(Z) |SZ=}} ist die Menge {{mathl|term= V_+(Z) |SZ=}} der Punkte, wo die dritte Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist {{mathl|term= V_+(Z) |SZ=}} eine projektive Gerade. Ein Punkt {{mathl|term= (x,y,0) |SZ=}} auf dieser Geraden und der Nullpunkt {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} von {{mathl|term= D_+(Z) |SZ=}} definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und der homogenen Geradengleichung {{ mathkor/k|term1= yX-xY{{=}}0 |bzw.|term2= V_+(yX-xY) |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen {{ Zusatz/Klammer |text= {{Anführung|unendlich fernen|}} | |ISZ=|ESZ= }} Punkt definiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Ebene |Stichwort=Die projektive Ebene |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 13paq4c1gqv77fdp3bnj8onovmgb38r 0 21057 1099807 1084909 2026-06-17T06:33:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099807 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Beschreibung/Beispiel |Nr= |SZ= }} an, d.h. wir betrachten die Kurve {{mathl|term= V(y^2-x^2-x^3) |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Parametrisierung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} {{ Relationskette/display | (\varphi(t), \psi(t)) || {{op:Zeilenvektor|t^2-1| t {{makl| t^2-1 |}} }} || (x,y) || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen von {{math|term= F |SZ=}} sind {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung| F | x}} = -2x-3x^2 \text{ und } {{op:Partielle Ableitung| F | y}} = 2y |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} der Parametrisierung ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Partielle Ableitung|\varphi|t}}, {{op:Partielle Ableitung| \psi|t}} |}} || {{op:Zeilenvektor| 2t| 3t^2-1}} || || || |SZ=. }} Damit ist in der Tat {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | P || (\varphi(t),\psi(t)) || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/drucklinks | {{makl| {{op:Partielle Ableitung| F | x | P}}, {{op:Partielle Ableitung| F | y | P}} |}} {{op:Spaltenvektor| 2t| 3t^2-1}} || {{makl| -2 {{makl| t^2-1 |}}-3 {{makl| t^2-1 |}}^2 , 2 {{makl| t^3-t |}} |}} {{op:Spaltenvektor| 2t| 3t^2-1}} || -4t(t^2-1) - 6t {{makl| t^2-1 |}}^2 +2 {{makl| t^3-t |}} {{makl| 3t^2-1 |}} || -4t^3 +4t -6t^5+12t^3 -6t +6t^5 -2t^3 -6t^3 +2t || 0 |SZ=. }} Für {{ Relationskette | t || 2 || || || |SZ= }} ergibt sich beispielsweise der Bildpunkt {{ Relationskette | P || (3,6) || || || |SZ=. }} Für diesen Wert ist der Ableitungsvektor gleich {{mathl|term= (4,11) |SZ=.}} Die partiellen Ableitungen an {{math|term= P |SZ=}} ergeben den Gradienten {{mathl|term= (-33, 12) |SZ=,}} der senkrecht zum Tangentialvektor steht. Die Tangente selbst wird durch {{ Math/display|term= {{Mengebed| (3,6)+s(4,11)| s \in K}} \text{ oder als } V(-11x+4y+9) |SZ= }} beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2kbvx5sryhgfh91guqonf18wgx61x3p 0 21275 1099811 1066009 2026-06-17T06:33:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099811 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Standardkegel {{ Relationskette/display | V(X^2+Y^2-Z^2) | \subset | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} || || || |SZ=. }} Da dies durch eine homogene Gleichung gegeben ist, kann man diesen Kegel auch sofort als eine ebene projektive Kurve {{ Zusatz/Klammer |text=vom Grad zwei| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | V_+(X^2+Y^2-Z^2) | \subset | {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} auffassen. Die Schnitte des Kegels mit einer beliebigen Ebene {{ Relationskette |E | \subset | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} || || || |SZ= }} nennt man {{ Definitionslink |Kegelschnitte| |Definitionsseitenname= Algebraische Kurven/Kegelschnitt mit Standardkegel/Definition |SZ=. }} Diese bekommen nun eine neue Interpretation. Eine Ebene {{math|term= E |SZ=,}} auf der nicht der Nullpunkt liegt, kann man in natürlicher Weise identifizieren mit einer offenen affinen Ebene {{ Relationskette | D_+(L) | \subseteq | {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= L |SZ=}} eine homogene Linearform ist, die den Untervektorraum zu {{math|term= E |SZ=}} beschreibt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Schnitte mit dem Kegel sind dann verschiedene affine Ausschnitte aus der ebenen projektiven Kurve {{mathl|term= V_+(X^2+Y^2-Z^2) |SZ=.}} Insbesondere sind also Kreis, Hyperbel und Parabel solche affinen Ausschnitte. Die Schnitte mit einer Ebene durch den Nullpunkt sind hingegen projektiv verstanden die endlichen Teilmengen {{mathl|term= V_+(X^2+Y^2-Z^2) \cap V_+(L) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kegelschnitte |Kategorie2=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektiv |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dljhg4a1lmrc0qx3qzer5hhly0pogi2 0 22001 1100336 1085463 2026-06-17T07:59:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100336 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen Würfel {{ Relationskette |W | \subset |\R^3 || || || |SZ= }} mit der Seitenlänge {{math|term= 2 |SZ=}} und dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Die Eckpunkte sind also {{ Math/display|term= (\pm 1, \pm 1, \pm 1) |SZ=. }} Wir fragen uns, welche Möglichkeiten es gibt, den Würfel in sich selbst zu überführen. Dabei soll der Würfel nicht in irgendeiner Form deformiert werden, es ist nur erlaubt, ihn als Ganzes zu bewegen, und zwar soll die Bewegung wirklich physikalisch durchführbar sein. Man spricht auch von einer {{ Zusatz/Klammer |text=eigentlichen| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Bewegung|SZ=}} des Würfels. Bei einer solchen Bewegung verändert der Würfelmittelpunkt seine Lage nicht, und es werden Seiten auf Seiten, Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet. Ebenso werden Seitenmittelpunkte auf Seitenmittelpunkte abgebildet, und gegenüberliegende Seitenmittelpunkte werden auf gegenüberliegende Seitenmittelpunkte abgebildet. Die Seitenmittelpunkte sind die sechs Punkte {{ Math/display|term= (\pm 1,0,0),\, (0,\pm 1,0), \, (0,0,\pm 1) |SZ=. }} Wenn der Punkt {{mathl|term= (1,0,0) |SZ=}} auf den Seitenmittelpunkt {{math|term= S |SZ=}} abgebildet wird, so wird {{mathl|term= (-1,0,0) |SZ=}} auf den gegenüberliegenden Punkt, also {{math|term= -S|SZ=,}} abgebildet. Hierbei ist jede Vorgabe von {{math|term= S |SZ=}} erlaubt, doch dadurch ist die Bewegung noch nicht eindeutig bestimmt. Für den Seitenmittelpunkt {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} gibt es dann noch vier mögliche Bildpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=nur {{math|term= S |SZ=}} und {{math|term= -S|SZ=}} sind ausgeschlossen| |SZ=, }} da man den Würfel um die durch {{math|term= S |SZ=}} gegebene Achse um ein Vielfaches von {{math|term= 90 |SZ=}} Grad drehen kann. Diese Drehungen entsprechen genau den Möglichkeiten, den Punkt {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} auf einen der vier verbliebenen Seitenmittelpunkte abzubilden. Durch die Wahl des zweiten Seitenmittelpunktes {{math|term= T |SZ=}} ist die Bewegung dann eindeutig festgelegt. Ist das völlig klar? Um sich das klar zu machen, sind folgende Beobachtungen sinnvoll. {{ Aufzählung3 |Bewegungen lassen sich hintereinander ausführen, d.h. wenn man zwei Würfelbewegungen {{mathkon|\varphi|und| \psi|SZ=}} hat, so ist auch die {{Stichwort|Hintereinanderausführung|SZ=}} {{mathl|term= \psi \circ \varphi |SZ=,}} die zuerst {{math|term= \varphi |SZ=}} und dann {{math|term= \psi |SZ=}} durchführt, sinnvoll definiert. |Die {{Stichwort|identische Bewegung|SZ=,}} die nichts bewegt, ist eine Bewegung. Wenn man zu einer beliebigen Bewegung die identische Bewegung davor oder danach durchführt, so ändert das die Bewegung nicht. |Zu einer Bewegung {{math|term= \varphi |SZ=}} gibt es die {{Stichwort|entgegengesetzte Bewegung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|Rückwärtsbewegung|}} | |SZ= }} {{math|term= \varphi^{-1} |SZ=,}} die die Eigenschaft besitzt, dass die Hintereinanderausführungen {{mathkon| \varphi^{-1} \circ \varphi|und| \varphi \circ \varphi^{-1} }} einfach die Identität sind. |}} Mit diesen Beobachtungen kann man sich das oben erwähnte Prinzip folgendermaßen klar machen: angenommen, es gibt zwei Bewegungen {{mathkon|\varphi|und| \psi|SZ=,}} die beide {{math|term= (1,0,0) |SZ=}} auf {{math|term= S |SZ=}} und {{math|term= (0,1,0) |SZ=}} auf {{math|term= T |SZ=}} abbilden. Es sei {{math|term= \psi^{-1} |SZ=}} die umgekehrte Bewegung zu {{math|term= \psi|SZ=.}} Dann betrachtet man die Gesamtbewegung {{ Relationskette/display | \theta || \psi^{-1} \circ \varphi || || || |SZ=. }} Diese Bewegung hat die Eigenschaft, dass {{mathkor|term1=(1,0,0)|auf|term2=(1,0,0) |SZ=}} und dass {{mathkor|term1=(0,1,0)|auf|term2=(0,1,0) |SZ=}} abgebildet wird, da ja {{math|term= \varphi |SZ=}} den Punkt {{mathkor|term1=(1,0,0)|auf|term2= S |SZ=}} schickt und {{math|term= \psi^{-1} |SZ=}} den Punkt {{mathkor|term1=S|auf|term2=(1,0,0) |SZ=}} zurückschickt {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend für {{mathlk|term= (0,1,0) |SZ=}} | |SZ=. }} {{math|term= \theta |SZ=}} hat also die Eigenschaft, dass sowohl {{ mathkor|term1= (1,0,0) |als auch|term2= (0,1,0) |SZ= }} auf sich selbst abgebildet werden, d.h., es handelt sich um {{Stichwort|Fixpunkte|msw=Fixpunkt|SZ=}} der Bewegung. Dann ist aber bereits die gesamte {{math|term= x,y|SZ=-}}Ebene fix. Die einzige physikalisch durchführbare Bewegung des Würfels, die diese Ebene unbewegt lässt, ist aber die identische Bewegung. Daher ist {{ Relationskette | \psi^{-1} \circ \varphi || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette | \varphi || \psi || || || |SZ=. }} Man beachte, dass die {{Stichwort|Spiegelung|SZ=}} an der {{math|term= x,y|SZ=-}}Ebene die Punkte {{ mathkor|term1= (0,0,1) |und|term2= (0,0,-1) |SZ= }} vertauscht, doch ist dies eine sogenannte {{Stichwort|uneigentliche Bewegung|SZ=,}} da sie nicht physikalisch durchführbar ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Würfel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} podeyuwlua9w0uw9fxdyekgofe0j05r 0 22058 1100334 1085461 2026-06-17T07:59:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100334 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Einheitskreis {{ Relationskette/display |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2{{=|}}1}} || || || |SZ=. }} Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel {{ Relationskette | \alpha | \in | [0, 2 \pi) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der {{math|term= x |SZ=-}}Achse, gegen den Uhrzeigersinn| |SZ= }} den zugehörigen Punkt {{ Math/display|term= (\cos \alpha, \sin \alpha) |SZ= }} auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls {{mathl|term= [0, 2 \pi] |SZ=}} in {{math|term= n |SZ=}} gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen {{ Math/display|term= 0,\, \frac{2 \pi}{n},\,2\frac{2 \pi}{n},\,3 \frac{2 \pi}{n} {{kommadots|}} (n-1) \frac{2 \pi}{n},\, n\frac{2 \pi}{n}=2 \pi |SZ= }} gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten {{ Math/display|term= (1,0),\, {{op:Zeilenvektor| \cos \frac{2 \pi}{n} | \sin \frac{2 \pi}{n}||}} ,\, {{op:Zeilenvektor| \cos 2\frac{2 \pi}{n} | \sin 2\frac{2 \pi}{n} }},\, {{mathbruch|}} {{op:Zeilenvektor| \cos 3 \frac{2 \pi}{n} | \sin 3 \frac{2 \pi}{n} }} {{kommadots|}} {{op:Zeilenvektor| \cos (n-1) \frac{2 \pi}{n} | \sin (n-1) \frac{2 \pi}{n} }} |SZ=. }} Diese Punkte sind die Eckpunkte eines {{Stichwort|regelmäßigen|msw=Regelmäßiges n-Eck||SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}{{Stichwort|Ecks|msw=Regelmäßiges n-Eck|SZ=.}} Das regelmäßige {{Anführung|Zweieck}} besitzt die Ecken {{mathkon|(1,0)|und|(-1,0) |SZ=,}} das regelmäßige {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|gleichseitige|msw=Gleichseitiges Dreieck|SZ=}} | |SZ= }} Dreieck besitzt die Ecken {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 1 | 0}} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| \sqrt{3} | 2}} }} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | - {{op:Bruch| \sqrt{3} | 2}} }} |SZ=, }} das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken {{ Math/display|term= (1,0),\, (0,1),\, (-1,0),\, (0,-1) |SZ=, }} usw. Wir fassen ein solches reguläres {{math|term= n |SZ=-}}Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=Schwerpunkt| |ISZ=|ESZ= }} des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| \sin \frac{2 \pi}{n}| \cos \frac{2 \pi}{n} |}} |SZ=}} auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von {{math|term= (1,0) |SZ=}} abgebildet werden. Bei einer eigentlichen {{ Zusatz/Klammer |text=physikalisch in der Ebene!| |ISZ=|ESZ= }} durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Orientierung}} | |SZ= }} der Ecken erhalten, sodass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären {{math|term= n |SZ=-}}Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von {{math|term= 2 \pi/n |SZ=}} sind. Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei {{math|term= n |SZ=}} gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei {{math|term= n |SZ=}} ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt. Es sei {{math|term= n |SZ=}} fixiert, und setze {{ Relationskette | \alpha || 2 \pi/n || || || |SZ= }} und sei {{math|term= \varphi|SZ=}} die Drehung des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes um {{math|term= \alpha |SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am {{math|term= n |SZ=-}}Eck schreiben als {{math|term= \varphi^k |SZ=}} mit einem eindeutig bestimmten {{math|term= k |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= n-1 |SZ=. }} Dabei ist {{ Relationskette |\varphi^0 || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} die Nulldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=die identische Bewegung| |ISZ=|ESZ=, }} bei der nichts bewegt wird. Wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= m |SZ=-}}mal ausführt, dass dann das Endergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=also die effektive Bewegung| |SZ= }} nur vom {{Stichwort|Rest|SZ=}} {{math|term= m \mod n |SZ=}} abhängt. Die inverse Bewegung zu {{mathl|term= \varphi^k |SZ=}} ist {{mathl|term= \varphi^{-k} |SZ=,}} also {{math|term= k |SZ=-}}mal wieder zurück, oder gleichbedeutend {{mathl|term= \varphi^{(n-k) } |SZ=.}} Es sei nun {{math|term= \psi |SZ=}} eine bestimmte Drehung am {{math|term= n |SZ=-}}Eck, also {{ Relationskette | \psi ||\varphi^k || || || |SZ= }} mit einem eindeutig bestimmten {{mathbed|term=k|bedterm1=0 \leq k \leq n-1 |SZ=.}} Dann kann man sich überlegen, welche Drehungen sich als Hintereinanderausführung von {{math|term= \psi |SZ=}} schreiben lassen, also zur Menge {{ Math/display|term= \psi^0=\operatorname{id} \, , \psi^1=\psi, \psi^2 , \psi^3, \ldots |SZ= }} gehören. Da die Menge der Drehungen endlich ist, muss es eine Wiederholung geben. Wie sieht diese aus, wann durchlaufen die Hintereinanderausführungen von {{math|term= \psi |SZ=}} sämtliche Drehungen am {{math|term= n |SZ=-}}Eck? Dafür gibt es recht einfache Antworten im Rahmen der elementaren Gruppentheorie. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3=Theorie der ebenen Drehungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rj1qokmyj9tmsj22oqfu29irrra4jc1 0 22227 1100341 1038285 2026-06-17T08:00:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100341 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die positiven ganzen Zahlen {{math|term= \N_+|SZ=}} zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Man sagt, dass eine Zahl {{math|term= k |SZ=}} die Zahl {{math|term= n |SZ=}} teilt, geschrieben {{Math/display|term=k {{|}} n |SZ=,}} wenn es eine weitere natürliche Zahl {{math|term= m |SZ=}} mit {{ Relationskette |n || km || || || |SZ= }} gibt. Die Bezeichnung ist nicht sonderlich glücklich gewählt, da ein symmetrisches Symbol für eine nichtsymmetrische Relation verwendet wird. Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets {{mathl|term= n{{|}}n|SZ=}} ist, wie {{ Relationskette |m || 1 || || || |SZ= }} zeigt. Die Transitivität sieht man so: sei {{ mathkor|term1= k {{|}} n |und|term2= n{{|}}m |SZ= }} mit {{mathkor|term1= n =ak |und|term2= m=bn |SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette |m ||bn ||bak || || |SZ= }} und daher {{math|term= k{{|}}m|SZ=.}} Die Antisymmetrie folgt so: Aus {{ mathkor|term1= n=ak |und|term2= k=bn |SZ= }} folgt {{ Relationskette |n ||(ab)n || || || |SZ=. }} Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt {{ Relationskette |ab || 1 || || || |SZ= }} und daraus {{ Relationskette |a ||b || 1 || || |SZ=. }} Also ist {{ Relationskette |k || n || || || |SZ= }} Einfache Beispiele wie {{mathkon| 2 |und| 3 |SZ=}} zeigen, dass hier keine {{ Definitionslink |totale Ordnung| |Kontext=| |SZ= }} vorliegt, da weder {{math|term= 2 |SZ=}} von {{math|term= 3 |SZ=}} noch umgekehrt geteilt wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Teiler |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nf0ph13lwa8q2oxx8tkme1nbi59p93j 0 22235 1099895 1035910 2026-06-17T06:46:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099895 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine Menge {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein reelles Intervall, oder ein topologischer Raum| |SZ=, }} so ist die Menge der {{ Zusatz/Klammer |text=stetigen| |SZ= }} Funktionen {{ Abbildung |name=f | X | \R || |SZ= }} geordnet, indem man {{ Relationskette |f | \geq |g || || || |SZ= }} dadurch definiert, dass {{ Relationskette |f(x) | \geq |g(x) || || || |SZ= }} für jeden Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} sein muss. Dies ist offensichtlich keine totale Ordnung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktordnung |Kategorie2=Theorie der reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Funktionen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ek9j09rd1156qy1922zrqokclcpmqpl 0 22425 1099981 1085079 2026-06-17T07:00:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099981 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Wir betrachten innerhalb der komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}} |SZ=}} die Lösungen der Gleichung {{ Relationskette/display | x^n || 1 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= {{CC}} |SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, gibt es genau {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Man nennt sie die {{math|term= n |SZ=-}}ten {{Definitionswort/enp|Einheitswurzeln|msw=Einheitswurzel|SZ=.}} Wegen {{ Relationskette |(xy)^n || x^ny^n || 1\cdot 1 || 1 |SZ= }} ist diese Menge multiplikativ abgeschlossen, und wegen {{ Relationskette |(x^{-1})^n || x^{-n} ||(x^{n})^{-1} || e^{-1} || e |SZ= }} gehören auch die multiplikativen Inverse dazu. Durch Betrachten des Betrages folgt aus {{mathl|term= x^n=1 |SZ=}} direkt {{mathl|term= {{op:Betrag| x}}=1 |SZ=,}} d.h. {{math|term= x |SZ=}} liegt auf dem Einheitskreis. Aufgrund der Eulerschen Formel {{ Relationskette/display | e^{ {{imaginäre Einheit|}} z} || \cos z + {{imaginäre Einheit|}} \sin z || || || |SZ= }} ist {{math|term= x=e^{ {{imaginäre Einheit|}} z} |SZ=}} mit {{math|term= z \in \R|SZ=,}} und wegen {{mathl|term= e^{iz} \cdot e^{ {{imaginäre Einheit|}} w} =e^{ {{imaginäre Einheit|}}(z+w)} |SZ=}} folgt {{ Relationskette/display | x || e^{ \frac{k 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} } {n} } || || || |SZ= }} für ein {{math|term= k |SZ=,}} d.h. die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln bilden die Ecken eines regulären {{math|term= n |SZ=-}}Ecks. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungssstand }} 43p1m7asfgput2is4mjmj5thzztjes7 0 22477 1099870 1035770 2026-06-17T06:42:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099870 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für {{ mathkor|term1= 52 |und|term2= 30 |SZ= }} eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers finden. Wir führen dazu den euklidischen Algorithmus durch. {{Ma:Gleichungsfolge | 52 | 1 \cdot 30 + 22 | 30 | 1 \cdot 22 + 8 | 22 | 2 \cdot 8 + 6 | 8 | 1 \cdot 6 + 2 | 6 | 3 \cdot 2 + 0 |SZ=. }} D.h. {{math|term= 2 |SZ=}} ist der größte gemeinsame Teiler von {{ mathkor|term1= 52 |und|term2= 30 |SZ=. }} Rückwärts gelesen erhält man daraus die Darstellung {{ Relationskette/align | 2 || 8-6 || 8-(22- 2 \cdot 8 ) || 3 \cdot 8 -22 || 3 \cdot (30-22) -22 || 3 \cdot 30 - 4 \cdot 22 || 3 \cdot 30 - 4 \cdot (52-30) || 7 \cdot 30 -4 \cdot 52 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3csr2rxeszgmd459qd8qkjfp6hx9ec 0 22872 1099939 1085027 2026-06-17T06:54:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099939 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachte die analytische Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R| {{CC}} | t |e^{ {{Imaginäre Einheit|}} t}{{=}}\cos t + {{Imaginäre Einheit|}} \sin t |SZ=. }} Aufgrund des Exponentialgesetzes {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette | e^{ {{Imaginäre Einheit|}} (t+s)} || e^{ {{Imaginäre Einheit|}} t} e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s} || || || |SZ=. }} Daher liegt ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |SZ= }} von der additiven Gruppe {{mathl|term= (\R,+,0) |SZ=}} in die multiplikative Gruppe {{mathl|term= ({{op:Einheiten| {{CC}}}}, \cdot, 1) |SZ=}} vor. Wir bestimmen den {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe |SZ= }} und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen {{math|term= t |SZ=}} bestimmen, für die {{ Mathkor/display|term1= \cos t = 1 |und|term2= \sin t = 0 |SZ= }} ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn {{math|term= t |SZ=}} ein ganzzahliges Vielfaches von {{math|term= 2 \pi|SZ=}} ist. Der Kern ist also die {{ Definitionslink |Untergruppe| |SZ= }} {{mathl|term= 2 \pi \Z|SZ=.}} Für einen Bildpunkt gilt {{ Relationskette | {{op:Betrag|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} t} }} || \sin^2 t + \cos^2 t || 1 |SZ=, }} sodass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, sodass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pyxr975hy0d2fzv7f5jh6xn8wmcyevd 0 22895 1100451 1038784 2026-06-17T08:17:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100451 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |M || \R^{n+1} \setminus \{0\} || || || |SZ=. }} Der {{mathl|term= \R^{n+1} }} ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von {{ Relationskette | \lambda | \in | \R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | \R^{n+1} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \lambda \cdot x}} bezeichnet wird. Es sei weiter {{ Relationskette/display/handlinks | R || {{Mengebed| (x,y) \in M \times M | \text{ es gibt ein } \lambda \in \R \setminus \{0\} \text{ mit } \lambda \cdot x {{=}} y }} || || || |SZ=. }} Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar {{ Relationskette | \lambda |\neq| 0 || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren. Dass wirklich eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus {{ Relationskette | x || 1x || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} Zur Symmetrie sei {{mathl|term= xRy |SZ=,}} d.h. es gibt ein {{ Relationskette | \lambda |\neq| 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \lambda x || y || || || |SZ=. }} Dann gilt aber auch {{ Relationskette | y || \lambda^{-1}x || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= \lambda |SZ=}} ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei {{ mathkor|term1= xRy |und|term2= yRz |SZ= }} angenommen, d.h. es gibt {{ Relationskette | \lambda, \delta |\neq| 0 || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \lambda x=y |und|term2= \delta y =z |SZ=. }} Dann ist insgesamt {{ Relationskette | z || \delta y || (\delta \lambda) x |SZ= }} mit {{ Relationskette | \delta \lambda |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=aber ohne den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} heißt {{Stichwort| reell-projektiver Raum}} {{ Zusatz/Klammer |text=der reellen Dimension {{math|term= n }} | |ISZ=|ESZ= }} und wird mit {{math|term= {{op:Projektiver Raum| n |\R}} }} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der reell-projektiven Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektiv |Autor=Anakin |Autor2=Bocardodarapti |Bearbeitungsstand= }} 4tcqoew3i25vevf0dt463bvi1hca40s 0 22909 1100448 1038763 2026-06-17T08:17:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1100448 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|Gaußklammer|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder den {{Anführung|floor}} | |ISZ=|ESZ= }} einer reellen Zahl, also die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\lfloor \,\, \rfloor |\R|\Z | t | \lfloor t \rfloor |SZ=. }} Eine Zahl {{math|term= t |SZ=}} wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich {{math|term= t |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Vorkommazahl}} | |SZ=. }} Dabei wird das gesamte ganzzahlige {{ Zusatz/Klammer |text=also mit ganzzahligen Intervallgrenzen| |ISZ=|ESZ= }} rechtsseitig offene Intervall {{mathl|term= [n,n+1) |SZ=}} auf {{ Relationskette | n | \in | \Z || || || |SZ= }} abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei reelle Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen. Statt der Vorkommazahl kann man auch die {{Anführung|Nachkommazahl}} betrachten. Das ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R | [0,1) | t | t-\lfloor t \rfloor |SZ=. }} Unter der durch diese Abbildung definierte Äquivalenzrelation sind zwei reelle Zahlen genau dann gleich, wenn sie die gleiche Nachkommazahl besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qdhzocdnnmadwrcv2pg7zexnjmir1av 0 23310 1100696 1035984 2026-06-17T10:48:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100696 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I |SZ=}} eine beliebige Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen, die nicht geordnet sein muss, und sei {{math|term= \pi |SZ=}} eine Permutation auf {{math|term= I |SZ=.}} Dann kann man nicht von {{ Definitionslink |Fehlständen| |Definitionsseitenname= Permutation/Fehlstand/Definition |SZ= }} sprechen und die {{ Definitionslink |Definition des Signums| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ= }} ist nicht direkt anwendbar. Man kann sich jedoch an {{ Faktlink |Faktseitenname= Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt |SZ= }} orientieren, um das Signum auch in dieser leicht allgemeineren Situation zu erklären. Dazu schreibt man {{math|term= \pi |SZ=}} als Produkt von {{math|term= r |SZ=}} Transpositionen und definiert {{ Relationskette/display | {{op:Signum| \pi}} || \begin{cases} 1 \, ,\text{ falls } r \text{ gerade ist} \, , \\ -1 \, , \text{ falls } r \text{ ungerade ist}\, . \end{cases} || || || |SZ= }} Um einzusehen, dass dies wohldefiniert ist, betrachtet man eine Bijektion {{ Abbildung/display |name=\varphi | I | {{Menge1n|}} || |SZ=. }} Die Permutation {{math|term= \pi |SZ=}} auf {{math|term= I |SZ=}} definiert auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} die Permutation {{ Relationskette | \pi' ||\varphi \pi \varphi^{-1} || || || |SZ=. }} Sei {{ Relationskette | \pi || \tau_1 \cdots \tau_r || || || |SZ= }} eine Darstellung als Produkt von {{math|term= r |SZ=}} Transpositionen auf {{math|term= I |SZ=.}} Dann gilt {{ Relationskette/display | \pi' || \varphi \pi \varphi^{-1} || \varphi \tau_1 \cdots \tau_r \varphi^{-1} || \varphi \tau_1 \varphi^{-1} \varphi \tau_2 \varphi^{-1} \varphi \cdots \varphi^{-1} \varphi \tau_r \varphi^{-1} || \tau_1' \tau_2' \cdots \tau_r' |SZ= }} mit {{ Relationskette | \tau_j' || \varphi \tau_j \varphi^{-1} || || || |SZ=. }} Dies sind ebenfalls Transpositionen, sodass die Parität von {{math|term= r |SZ=}} durch das Signum von {{math|term= \pi' |SZ=}} festgelegt ist. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9umoxeas5x2p3sv8phxi5h9vsqou9k 0 23322 1100136 1037361 2026-06-17T07:26:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100136 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Permutation {{Wertetabelle6 |text1= {{math|term= x |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |text2= {{math|term= \sigma(x) |SZ=}} | 2 | 4 | 6 | 5 | 3 | 1}} mit der Zyklendarstellung {{ Math/display|term= \langle 1 , 2, 4, 5, 3, 6 \rangle |SZ=. }} Die Fehlstände sind {{Math/display|term=(1,6), \, (2,5), \, (2,6),\, (3,4),\, (3,5),\, (3,6),\, (4,5),\, (4,6),\, (5,6) |SZ=,}} es gibt also {{math|term= 9 |SZ=}} Stück davon. Das Signum ist also {{ Relationskette | (-1)^9 || -1 || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt |Nr= |SZ=, }} und die Permutation ist ungerade. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ai1ub161p0a7h4vkhc66ljo0ojideeo 0 24869 1100264 1037955 2026-06-17T07:47:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100264 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Einheitengruppe| |Kontext=| |SZ= }} des {{ Definitionslink |Restklassenkörpers| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod| 23|}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} ist sie {{ Definitionslink |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also {{ Definitionslink |primitive Elemente| |Kontext=| |SZ=. }} Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe {{math|term= 22 |SZ=}} Elemente besitzt, als {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung/Definition |SZ= }} von Elementen dieser Gruppe kommen also nur {{ mathlist|term1= 1,2,11 |und|term2= 22 ||term3= |SZ= }} in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=,}} nämlich {{math|term= 1 |SZ=,}} und ein Element mit der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=,}} nämlich {{ Relationskette | -1 || 22 || || || |SZ=. }} Alle anderen Elemente haben also die Ordnung {{ mathkor|term1= 11 |oder|term2= 22 |SZ=, }} und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist {{math|term= 2 |SZ=.}} Wir müssen also {{ Math/display|term= 2^{11} \mod 23 |SZ= }} ausrechnen. Es ist {{ Relationskette | 2^5 || 32 || 9 |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display | 2^{11} || 9 \cdot 9 \cdot 2 || 12 \cdot 2 || 24 || 1 |SZ=. }} Die Ordnung ist also {{math|term= 11 |SZ=,}} und die {{math|term= 2 |SZ=}} ist nicht primitiv. Betrachten wir die {{math|term= 3 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | 3^3 || 27 || 4 |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display | 3^{11} || 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 9 || 18 \cdot 9 || 162 || 1 |SZ=, }} also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat {{math|term= 4 |SZ=}} muss nicht gecheckt werden, denn wegen {{ Relationskette | 4 || 2^2 || || || |SZ= }} ist sofort {{ Relationskette | 4^{11} || 2^{22} || 1 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo {{math|term= 23 |SZ=}} ein Quadrat sind| |SZ=. }} Betrachten wir also {{math|term= 5 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | 5^2 || 2 || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/display | 5^{11} || 2^{5} \cdot 5 || 9 \cdot5 || 45 || -1 |\neq| 1 |SZ=. }} Daher hat {{math|term= 5 |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 22 |SZ=}} und ist ein primitives Element. Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| 22}} | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| 23}}}} | k | 5^k |SZ=, }} einen {{ Definitionslink |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer {{Stichwort|diskreten Exponentialfunktion|msw=Diskrete Exponentialfunktion|SZ=}} und nennt die Umkehrabbildung auch einen {{Stichwort|diskreten Logarithmus|msw=Diskreter Logarithmus|SZ=.}} Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der {{Stichwort|Kryptologie|SZ=.}} Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der {{Anführung|einfacheren|}} Gruppe entscheiden. Z.B. sind in {{mathl|term= {{op:Zmod| 22}} |SZ=}} alle ungeraden Elemente außer {{math|term= 11 |SZ=}} ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form {{ Mathbed/display|term= 5^u ||bedterm1= u \text{ ungerade} ||bedterm2= u \neq 11 |SZ=, }} primitiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenkörper von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 23 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 55fxiuwofate0353mmcr9whb8ojioyj 0 24873 1099860 1084957 2026-06-17T06:41:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099860 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir konstruieren einen Körper mit {{ Relationskette | 23^2 || 529 || || || |SZ= }} Elementen und knüpfen dabei an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Restklassenring (Z)/mod 23/Primitive Elemente/Beispiel |SZ= }} an. Da die {{ Relationskette | 5 | \in | {{op:Zmod| 23}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |primitiv| |Kontext=Einheit| |SZ= }} ist, folgt, dass das Polynom {{ Relationskette | X^2-5 | \in | {{op:Zmod| 23}}[X] || || || |SZ= }} irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre {{ Relationskette | 5 || a^2 || || || |SZ= }} ein Quadrat mit {{ Relationskette | a | \in | {{op:Zmod| 23}} || || || |SZ=. }} Doch dann wäre {{ Relationskette | 5^{11} || a^{22} || 1 || || |SZ=, }} was nicht der Fall ist. Es folgt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{ Relationskette/display | K || {{op:Zmod| 23}}[X]/(X^2-5) || || || |SZ= }} ein Körper ist. Dieser hat {{math|term= 23^2 |SZ=}} Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als {{ mathbed|term= ax+b |mit|bedterm1= a,b \in {{op:Zmod| 23}} ||bedterm2= |SZ= }} schreiben kann {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x |SZ=}} bezeichne die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} | |SZ=. }} Dieser Körper enthält {{mathl|term= {{op:Zmod| 23}} |SZ=,}} und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht {{ Zusatz/Klammer |text=und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper| |SZ=. }} Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Ordnung von {{math|term= {{op:Einheiten| K |}} |SZ=}} ist {{ Relationskette | 528 || 16 \cdot 3 \cdot 11 || || || |SZ=. }} Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die {{math|term= 2 |SZ=}} hat die Ordnung {{math|term= 11 |SZ=.}} Das Element {{mathl|term= 11-x |SZ=}} hat die Ordnung {{math|term= 3 |SZ=,}} es ist nämlich {{ Relationskette/display | (11-x)^3 || 121\cdot 11 - 3 \cdot 121 x +33 x^2 -x^3 || 66 - 3 \cdot 6 x +50-5x || 116-23 x || 1 |SZ=. }} Um ein Element der Ordnung {{math|term= 16 |SZ=}} zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus {{math|term= -1 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | (3x)^2 || 9x^2 || 45 || -1 |SZ=. }} Eine Quadratwurzel aus {{math|term= 3x |SZ=}} ist {{mathl|term= 14+19x |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (14+19x)^2 || 196 +361 \cdot 5 + 2 \cdot 14 \cdot 19 x || 12+ 16 \cdot 5 + 5 \cdot 19 x || 3x |SZ=. }} Um eine Quadratwurzel für {{mathl|term= 14+19x |SZ=}} zu finden, setzen wir {{ Relationskette | (a+b x)^2 || 14+19x || || || |SZ= }} an, was zum Gleichungssystem {{ mathkor|term1= a^2+5b^2=14 |und|term2= 2ab=19 |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Zmod| 23}} |SZ=}} führt. Es ist dann {{ Relationskette/display | a || 21 \cdot b^{-1} || || || |SZ=, }} was zu {{ Relationskette | 4 b^{-2} +5b^2 || 14 || || || |SZ= }} bzw. zur {{Stichwort|biquadratischen Gleichung|msw=Biquadratische Gleichung|SZ=}} {{ Relationskette/display | 5b^4 +9 b^2 +4 || 0 || || || |SZ= }} führt. Normieren ergibt {{ Relationskette | b^4 + 11 b^2 +10 || 0 || || || |SZ=. }} {{Stichwort|Quadratisches Ergänzen|SZ=}} führt zu {{ Relationskette/display | (b^2+17)^2 || 17^2-10 || 49 |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette | b^2 || 13 || || || |SZ= }} und somit {{ mathkor|term1= b=6 |und|term2= a=15 |SZ=, }} also ist {{mathl|term= 15+6x |SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 16 |SZ=.}} Damit ist insgesamt {{ Relationskette/display | 2 (11-x) (15+6x) || 2 (165-30 +51x ) || 2 (20 +5x ) || 17+10x |SZ= }} eine {{ Definitionslink |primitive Einheit| |Kontext=| |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper mit 529 Elementen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xbncd7znibeze83901q062d9em37y4 0 24967 1100265 1037958 2026-06-17T07:47:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100265 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |L ||\Q[X]/(X^3+2X^2-5) || || || |SZ= }} und bezeichnen die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} mit {{math|term= x |SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} besitzt jedes Element {{math|term= f |SZ=}} aus {{math|term= L |SZ=}} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette |f || ax^2 + bx +c || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a,b,c | \in | \Q || || || |SZ=, }} sodass also ein dreidimensionaler {{math|term= \Q|SZ=-}}Vektorraum vorliegt. Da {{mathl|term= X^3+2X^2-5 |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht wird, gilt {{ Relationskette/display | x^3 || -2x^2+5 || || || |SZ=. }} Daraus ergeben sich die Gleichungen {{ Relationskette/display | x^4 || -2x^3+5x || -2(-2x^2+5) +5x || 4x^2+5x-10 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | x^5 || -2x^4+5x^2 || -2(4x^2+5x-10) + 5 x^2 || -3x^2 -10x +20 |SZ=, }} etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren. Berechnen wir nun das Produkt {{ Math/display|term= (3x^2-2x+4)(2x^2+x-1) |SZ=. }} Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist {{ Relationskette/align/handlinks | (3x^2-2x+4)(2x^2+x-1) || 6x^4+3x^3-3x^2 -4x^3-2x^2+2x +8x^2+4x-4 || 6x^4 -x^3 +3x^2+6x-4 || 6(4x^2+5x-10) +2x^2-5+3x^2+6x-4 || 29x^2 +36x-69 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5yzs8et7r7eba9bm9c7tj6c2sfgf74l 0 25001 1100630 1070000 2026-06-17T10:38:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100630 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Polynom/Restkörper/Situation |SZ=.}} Dann kann man zu {{ mathbed|term= z = F(x) ||bedterm1= z \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=F \in K[X], \,x = \overline{X} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auf folgende Art das Inverse {{math|term= z^{-1} |SZ=}} bestimmen. Es sind {{ mathkor|term1= P |und|term2= F |SZ= }} teilerfremde Polynome in {{mathl|term= K[X] |SZ=}} und daher gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=,}} die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn {{ Relationskette | RF+SP || 1 || || || |SZ= }} ist, so ist die Restklasse von {{math|term= R |SZ=,}} also {{ Relationskette | \overline{R} || R(x) || || || |SZ=, }} das Inverse zu {{ Relationskette | \overline{F} || z || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oatknuxpzfws4qph14ju62td2l1wns6 0 25501 1099992 1085107 2026-06-17T07:02:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099992 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine {{math|term= n |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} oder {{math|term= 2 |SZ=}} ist der Kreisteilungskörper gleich {{math|term= \Q|SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n || 3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | X^3-1 || (X-1) {{makl| X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und der zweite Faktor zerfällt {{ Relationskette/display | X^2+X+1 || {{makl| X + {{op:Bruch| 1 | 2}} - {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Bruch| \sqrt{3}| 2}} |}} {{makl| X + {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Bruch| \sqrt{3}| 2}} |}} || || || |SZ=. }} Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von {{ Relationskette | \sqrt{-3} || \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit|}} || || | |SZ= }} erzeugte Körper, es ist also {{ Relationskette |K_3 || \Q[ \sqrt{-3}] || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} der rationalen Zahlen. Bei {{ Relationskette |n || 4 || || || |SZ= }} ist natürlich {{ Relationskette/align | X^4-1 || {{makl| X^2-1 |}} {{makl| X^2+1 |}} || (X-1)(X+1) {{makl| X^2+1 |}} || (X-1)(X+1) (X- {{Imaginäre Einheit|}} )(X+ {{Imaginäre Einheit|}} ) |SZ=. }} Der vierte Kreisteilungskörper ist somit {{ Relationskette | \Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] | \cong | \Q[X]/(X^2+1) || || || |SZ=, }} also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der dritte Kreisteilungskörper über Q |Objektkategorie2=Der vierte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqt37ytwmpel0allr2z3xf6bn6q60b9 0 25510 1099991 1085106 2026-06-17T07:02:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1099991 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl {{mathl|term= e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5} |SZ=}} erzeugt. Er hat aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt |SZ= }} die Gestalt {{ Relationskette/display | K_5 | \cong| \Q[X]/{{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei die Variable {{math|term= X |SZ=}} als {{mathl|term= e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine andere {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} | |SZ= }} zu interpretieren ist. Es sei {{ Relationskette | x || e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5} || || || |SZ=, }} wir setzen {{ Relationskette | v || x-x^2-x^3+x^4 || - {{makl| 2x^3+2x^2+1 |}} || || |SZ=. }} Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist {{ Relationskette/align | v^2 || 4x^6+4x^4+1+8x^5+4x^3+4x^2 || 4x+4x^4+1+8+4x^3+4x^2 || 5+4 {{makl| x^4+x^3+x^2+x+1 |}} || 5 |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette | v || \sqrt{5} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die positive Wurzel| |SZ= }} und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen {{ Relationskette/display | \Q | \subset | \Q[\sqrt{5}] | \subset | K_5 || || |SZ=. }} {{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 165qty1ve8pcsezvdz5u7s0p25p894q 0 25595 1100716 1085829 2026-06-17T10:52:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100716 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir zeigen direkt, dass man den Winkel {{mathl|term= {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} Grad nicht konstruieren kann {{ Zusatz/Klammer |text=obwohl man {{mathl|term= {{op:Winkelgrad| 60|}} |SZ=}} Grad konstruieren kann| |SZ=. }} Aufgrund der {{Stichwort|Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen|SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | \cos 3 \alpha || 4 \cos^3 \alpha -3 \cos \alpha || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/align/handlinks | (2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} )^3 - 3(2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}}) -1 || 2 {{makl| 4 \cos^3 {{op:Winkelgrad| 20|}} - 3 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} |}} || 2 {{makl| \cos {{op:Winkelgrad| 60|}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} |}} || 0 |SZ=. }} Also wird {{mathl|term= 2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} vom Polynom {{mathl|term= X^3-3X-1 |SZ=}} annulliert. Dieses Polynom hat keine ganzzahlige Nullstelle und ist daher nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Normiertes Polynom über Z/Grad maximal 3 ohne Nullstelle/Irreduzibel/Fakt |SZ= }} irreduzibel. Also muss es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt |Nr= |SZ= }} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= 2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} sein. Daher kann {{mathl|term= 2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt |SZ= }} nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig {{mathl|term= \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X-1 |Stichwort=Winkeldreiteilung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kadbp7y40yzkjpat2hp6qpxm3usu9iv 0 26698 1099743 1026257 2026-06-17T06:23:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099743 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl {{Anführung|berechnen|SZ=,}} sagen wir von {{math|term= 5 |SZ=.}} Eine solche Zahl {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term= x^2=5 |SZ=}} gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. In jedem angeordneten Körper {{math|term= K |SZ=}} gibt es eine {{math|term= 5 |SZ=,}} ob es aber ein solches {{math|term= x |SZ=}} gibt ist eine nichttriviale zusätzliche Eigenschaft von {{math|term= K |SZ=.}} Wenn es in {{math|term= K |SZ=}} eine solches {{math|term= x |SZ=}} gibt, so hat auch {{math|term= -x|SZ=}} diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nicht geben, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen. Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung {{mathl|term= x^2=5 |SZ=}} gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Abweichung| |SZ= }} unterhalb jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzeln beliebig anzunähern, ist das {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=,}} das man auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} nennt. Dies ist ein {{Stichwort|iteratives Verfahren|SZ=,}} d.h. die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit {{mathl|term= a=x_0=2 |SZ=}} als erster Näherung. Wegen {{ Relationskette/display | x_0^2 || 2^2 || 4 | < | 5 || |SZ= }} ist {{math|term= x_0 |SZ=}} zu klein, d.h. es ist {{mathl|term= x_0 <x|SZ=,}} wobei diese Ungleichung {{ Zusatz/Klammer |text=zunächst| |SZ= }} nur Sinn ergibt, wenn {{math|term= x |SZ=}} in {{math|term= K |SZ=}} existiert. Aus {{mathl|term= a^2<5 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a |SZ=}} positiv| |SZ= }} folgt zunächst {{mathl|term= 5/a^2 >1 |SZ=}} und daraus {{mathl|term= (5/a)^2 >5 |SZ=,}} d.h. {{mathl|term= 5/a >\sqrt{5} |SZ=.}} Man hat also die Abschätzungen {{ Math/display|term= a < \sqrt{5} < 5/a |SZ=, }} wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} liegt, und zwar unabhängig davon, ob {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} zu {{math|term= K |SZ=}} gehört oder nicht, solange nur {{math|term= a |SZ=}} dazu gehört. Die Differenz {{mathl|term= 5/a -a|SZ=}} ist ein Maß für die Güte der Approximation. Beim Startwert {{math|term= 2 |SZ=}} ergibt sich, dass die Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5/2 |SZ= }} liegt. Man nimmt das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |SZ= }} der beiden Intervallgrenzen, also {{ Relationskette/display | x_1 ||\frac{2+ \frac{5}{2} }{2} ||\frac{9}{4} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | {{makl| \frac{9}{4} |}}^2 ||\frac{81}{16} | > | 5 |SZ= }} ist dieser Wert zu groß und daher liegt {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} im Intervall {{mathl|term= [5\cdot\frac{4}{9} , \frac{9}{4}] |SZ=.}} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt {{ Relationskette/display | x_2 ||\frac{ 5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{9}{4} }{2} ||\frac{161}{72} |SZ= }} als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bg3y1x7usmuexrie68b3k6799ss2r5f 0 26708 1099737 1034949 2026-06-17T06:22:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099737 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort|konstante Folge|SZ=}} {{ Relationskette | x_n || c || || || |SZ= }} ist stets konvergent mit dem Grenzwert {{math|term= c |SZ=.}} Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} als Aufwandszahl {{ Relationskette |n_0 || 0 || || || |SZ= }} nehmen kann. Es ist ja {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-c}} || {{op:Betrag|c-c}} || {{op:Betrag| 0}} || 0 | < | \epsilon |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=.}} Es sei nun {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist die Folge {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=ang| |SZ= }} mit dem Grenzwert {{math|term= 0 |SZ=.}} Es sei dazu ein beliebiges {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon >0 ||bedterm2= |SZ=, }} vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon || || || |SZ=. }} Damit gilt für alle {{ Relationskette |n | \geq | n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 06goyhjjzrtfmd1f9a69usjt3dli22m 0 26785 1099733 1034929 2026-06-17T06:21:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099733 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ mathbed|term= c\in K ||bedterm1= c \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Dann ist die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Relationskette/display | x_n ||(-1)^n c || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=ang| |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=ang| |SZ=. }} Die Beschränktheit folgt direkt aus {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n }} || {{op:Betrag|(-1)^n}} {{op:Betrag|c}} || {{op:Betrag|c}} |SZ=. }} Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass {{ Relationskette | x | \geq | 0 || || || |SZ= }} der Grenzwert sei. Dann gilt für positives {{ Relationskette | \epsilon | < | {{op:Betrag|c}} || || || || |SZ= }} und jedes ungerade {{math|term= n |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} || c+x | \geq |c | > | \epsilon || |SZ=, }} sodass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} otaubbmz1pw8nvru2uvhvdq8sdgalhf 0 27090 1099955 1036317 2026-06-17T06:56:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099955 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette/display | M_n || {{Mengebed| x \in \N| x \geq n}} || || || |SZ= }} die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie {{math|term= n |SZ=}} sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von {{math|term= \N |SZ=.}} Es gelten die Inklusionen {{ Math/display|term= M_n \subseteq M_m \text{ für } n \geq m |SZ=. }} Der Durchschnitt {{ Math/display|term= \bigcap_{n \in \N} M_n |SZ= }} ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzi3tudp07hfkn71kmyx3vu2ekr5ige 0 27092 1099956 1036325 2026-06-17T06:56:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099956 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette/display | \N n || {{Mengebed| x \in \N_+| x \text{ ist ein Vielfaches von } n}} || || || |SZ= }} die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von {{math|term= n |SZ=}} sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von {{math|term= \N|SZ=.}} Es gelten die Inklusionen {{ Math/display|term= \N n \subseteq \N m \text{ für } m \text{ teilt } n |SZ=. }} Der Durchschnitt {{ Math/display|term= \bigcap_{n \in \N_+} \N n |SZ= }} ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 0 |SZ=}} ist ein solches Vielfaches| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Vielfache |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iaqs7oi28qh5r7f5x50y6lunnl9v7sx 0 27302 1100022 1036773 2026-06-17T07:07:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100022 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen nach einer {{ Definitionslink |Körperstruktur| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{0,1\} |SZ=.}} Wenn {{math|term= 0 |SZ=}} das neutrale Element einer Addition und {{math|term= 1 |SZ=}} das neutrale Element einer Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da {{ Relationskette | 1+1 || 0 || || || |SZ= }} sein muss, da {{math|term= 1 |SZ=}} ein inverses Element bezüglich der Addition besitzen muss, und da in jedem Körper {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Präwort=nach||Faktseitenname= Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt |Faktseitenname2= Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |SZ= }} {{ Relationskette | 0 \cdot 0 || 0 || || || |SZ= }} gelten muss{{{zusatz1|}}}. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus. {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Additionstafel}} und {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Multiplikationstafel}} Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} handelt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5cqc2v4x979iklv8s6rert4l89r7s7o 0 27928 1100071 1037065 2026-06-17T07:15:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100071 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |E ||\R^2 || || || |SZ= }} die reelle Ebene und {{math|term= G |SZ=}} die Menge aller Geraden in der Ebene. Die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |SZ= }} {{ Math/display|term= E \times G |SZ= }} besteht aus allen Paaren {{mathl|term= (P,g) |SZ=,}} wobei {{math|term= P |SZ=}} ein Punkt der Ebene und {{math|term= g |SZ=}} eine Gerade ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben, und damit auch mehrere Möglichkeiten, ein solches Paar zu beschreiben. Beispielsweise ist {{ Math/display|term= ((2,-5), {{Mengebed|(u,v)| 4u-3v {{=|}} 6 }}) |SZ= }} ein Paar, wobei der Punkt vorne durch die beiden Koordinaten und die Gerade hinten durch eine Geradengleichung angegeben wird. Bei einem solchen Paar besteht keine Bedingung zwischen dem Punkt und der Geraden. Die {{Stichwort|Inzidenzrelation|SZ=}} zwischen Punkten und Geraden wird ausgedrückt durch {{ Relationskette/display |I || {{Mengebed|(P,g) \in E \times G| P \text{ liegt auf } g }} || || || |SZ=. }} Statt {{Anführung|liegt auf}} kann man auch einfach {{ Relationskette |P | \in |g || || || |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2=Elementare Geometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Inzidenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} idv9uen86a3bp59av7xgfgq6yoivzdo 0 28331 1100163 1085292 2026-06-17T07:30:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100163 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Geometri cylinder|png| 250px {{!}} thumb {{!}} | | |Zusname=Geometri_cylinder |Text=Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= S |SZ=}} ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und {{math|term= I |SZ=}} eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene {{math|term= E |SZ=}} und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden {{math|term= G |SZ=,}} sodass für die Produktmenge die Beziehung {{ Relationskette/display | S \times I | \subseteq | E \times G || || || || |SZ= }} gilt. Die Produktmenge {{mathl|term= E \times G |SZ=}} stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge {{mathl|term= S \times I |SZ=}} ein Zylindermantel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 65842yeffig27iye7n8ucig4ctn75eg 0 28342 1099904 1084996 2026-06-17T06:48:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099904 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Construction blackboard integers|jpg| 500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Construction_blackboard_integers |Autor=Construction blackboard integers |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= \N|SZ=}} die Menge der natürlichen Zahlen und {{ Relationskette |M || \N \times \N || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |SZ= }} mit der komponentenweisen Addition{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Passende Interpretationen für die Paare in diesem Kontext sind beispielsweise: Das Paar {{math|term= (a,b) |SZ=}} repräsentiert das Ergebnis eines Fußballspieles, wobei {{math|term= a |SZ=}} die Toranzahl der Heimmannschaft und {{math|term= b |SZ=}} die Toranzahl der Gastmannschaft repräsentiert, oder: Das Paar {{math|term= (a,b) |SZ=}} repräsentiert das Alter eines menschlichen Paares, wobei {{math|term= a |SZ=}} für das Alter der Frau und {{math|term= b |SZ=}} für das Alter des Mannes steht. Der Übergang zu den Äquivalenzklassen bedeutet dann, sich nur noch für die Tordifferenz bzw. den Altersunterschied zu interessieren, nicht mehr für das genaue Ergebnis bzw. das Alter der einzelnen Personen. Man kann auch das Paar als eine Schrittfolge aus {{math|term= a |SZ=}} Schritten nach rechts und {{math|term= b |SZ=}} Schritten nach links ansehen| |ISZ=.|ESZ=. }} Wir erklären auf {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |SZ= }} durch{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Das Paar {{mathlk|term= (a,b) |SZ=}} wird später die Differenz {{math|term= a-b |SZ=}} repräsentieren| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d =b+c |SZ=. }} Dies ist bei {{ Relationskette |a | \leq |c || || || |SZ= }} genau dann der Fall, wenn es ein {{ Relationskette | e | \in | \N || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{ Relationskette/k | e || c-a || || || |SZ= }} | |ESZ= }} mit {{ Relationskette/display | (c,d) || (a,b)+ (e,e) || || || |SZ= }} gibt. D.h. die beiden Paare unterscheiden sich um ein Diagonalelement, also um ein Paar, wo beide Komponenten übereinstimmen. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/NxN/Äquivalenzrelation/Aufgabe |SZ=. }} Wenn man {{mathl|term= \N \times \N |SZ=}} als ein quadratisches Gitter anordnet {{ Zusatz/Klammer |text=das ist ein {{Anführung|diskretes Koordinatensystem|}} | |ESZ=, }} so sind die Äquivalenzklassen durch die Punkte auf einer zur Diagonalen parallelen {{Anführung|diskreten Geraden|SZ=}} gegeben. Die Punkte {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} mit {{ Relationskette |a | \geq |b || || || |SZ= }} sind äquivalent zu {{mathl|term= (a-b,0) |SZ=,}} sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die zweite Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Die Punkte {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} mit {{ Relationskette |a | \leq |b || || || |SZ= }} sind äquivalent zu {{mathl|term= (0, b-a) |SZ=,}} sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die erste Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Die Punkte {{mathl|term= (a,a) |SZ=}} sind zu {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} äquivalent. Den Repräsentanten einer Äquivalenzklasse, bei dem mindestens eine Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist, nennen wir den {{Stichwort|Standardvertreter|SZ=}} dieser Äquivalenzklasse. Die Standardvertreter sind die diskreten Punkte des begrenzenden Viertelkreuzes; zu einem Punkt ergibt sich der Standardvertreter, wenn man parallel zur Diagonalen in Richtung der Halbachsen wandert, bis man auf einer der Halbachsen landet. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Standardvertreter besitzen. Wir bezeichnen nun die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ=, }} also die Menge der Äquivalenzklassen unter dieser Äquivalenzrelation, als {{Definitionswort/enp|Menge der ganzen Zahlen|SZ=}} und bezeichnen sie mit {{math|term= \Z |SZ=.}} Jede ganze Zahl hat dann genau einen Standardvertreter der Form {{ Relationskette | n | {{defeq|}} | (n,0) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ=, }} der Form {{ Relationskette | 0 | {{defeq|}} | (0,0) || || || |SZ= }} oder der Form {{ Relationskette | -n | {{defeq}} | (0,n) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ=. }} Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} fassen wir von nun an als die ganze Zahl {{mathl|term= (n,0) |SZ=}} auf. Wir wollen nun zwei ganze Zahlen, also zwei solche Äquivalenzklassen {{ mathkor|term1= [(a,b)] |und|term2= [(c,d)] |SZ= }} miteinander {{Anführung|addieren|SZ=,}} also eine Verknüpfung {{math|term= \oplus |SZ=}} auf {{math|term= \Z |SZ=}} einführen. Der naheliegende Ansatz ist, diese Verknüpfung mittels der komponentenweisen Addition als {{ Relationskette/display | [(a,b)] \oplus [(c,d)] | {{defeq|}} | [ (a+c, b+d) ] || || || |SZ= }} zu definieren. Hier tritt das Problem der {{Stichwort|Wohldefiniertheit|SZ=}} auf, denn die Verknüpfung wird erklärt unter Bezug auf Repräsentanten, und es ist nicht von vornherein klar, dass unterschiedliche Repräsentanten zum gleichen Ergebnis führen. Wenn also {{ Relationskette | (a,b) | \sim | (a',b') || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | (c,d) | \sim | (c',d') || || || |SZ= }} sind, so muss man überprüfen, dass {{ Relationskette/display | (a+c,b+d) | \sim | (a'+c', b'+d') || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette | [ (a+c, b+d) ] || [ (a'+c', b'+d') ] || || || |SZ= }} ist. Dies ist der Fall, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/Wohldefiniertheit der Verknüpfungen/Aufgabe |SZ=. }} Man kann weiterhin zeigen, dass die so definierte Verknüpfung auf {{math|term= \Z |SZ=}} {{ Definitionslink |assoziativ| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |kommutativ| |Kontext=| |SZ= }} ist, dass {{mathl|term= [(0,0)] |SZ=}} das {{ Definitionslink |neutrale Element| |Kontext=| |SZ= }} der Verknüpfung ist und dass es zu jedem Element {{mathl|term= [(a,b)] |SZ=}} ein {{ Definitionslink |inverses Element| |Kontext=| |SZ= }} gibt, nämlich {{mathl|term= [(b,a)] |SZ=.}} Wir definieren nun eine Multiplikation auf {{math|term= \Z |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | [(a,b)] \cdot [(c,d)] | {{defeq|}} | [(ac+bd, ad+bc)] || || || |SZ=. }} Dies ist wieder wohldefiniert und man kann zeigen, dass die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist mit {{ Relationskette | 1 || [(1,0)] || || || |SZ= }} als neutralem Element und dass das Distributivgesetz gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhjwto0c4utgmkha4ljtm9zjx2rfa7e 0 28409 1099944 1036251 2026-06-17T06:54:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099944 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P |SZ=}} eine Menge von Personen, die ein Café besucht, {{math|term= G |SZ=}} eine Menge von Getränken, die auf der Getränkekarte des Cafés aufgelistet sind, und {{math|term= Z |SZ=}} die Arbeitskräfte im Café, die für die Zubereitung verschiedener Getränke zuständig sind. Es wird eine Bestellung aufgegeben, wobei jede Person {{mathl|term= p \in P |SZ=}} genau ein Getränk {{mathl|term= g=g(p) \in G |SZ=}} bestellt, d.h. man hat eine {{ Zusatz/Klammer |text=Bestell-| |ESZ= }}{{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \beta | P | G | p |\beta(p) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Injektivität| |Kontext=| |SZ= }} der Abbildung bedeutet, dass alle Personen ein verschiedenes Getränk bestellen {{ Zusatz/Klammer |text=was sein kann oder nicht sein kann, das ist eben eine Eigenschaft der Bestellung=Abbildung| |ESZ= }} und die {{ Definitionslink |Surjektivität| |Kontext=| |SZ= }} bedeutet, dass jedes Getränk der Karte mindestens einmal bestellt wird. Das Bild der Abbildung ist die Menge aller Getränke, die von der Personengruppe bestellt wird {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens ein Mal| |ESZ=. }} Dies ist eine Teilmenge der Getränkemenge. Zu einer Teilmenge {{math|term= S |SZ=}} der Personen, also beispielsweise alle Frauen oder alle Männer oder alle mit großem Durst gehört die {{ Definitionslink |Bildmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition |SZ= }} {{mathl|term= \beta(S) |SZ=,}} die aus allen Getränken besteht, die diese Teilmenge bestellt. Zu einer Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq G |SZ=}} der Getränkemenge ist das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=abb| |SZ= }} {{mathl|term= \beta^{-1}(T) |SZ=}} die Menge aller Personen, deren bestelltes Getränk zu {{math|term= T |SZ=}} gehört. Wenn {{math|term= A |SZ=}} die alkoholischen Getränke sind und {{math|term= H |SZ=}} die Heißgetränke, so ist {{mathl|term= \beta^{-1}(A) |SZ=}} die Teilmenge der Personen, die was Alkoholisches bestellt hat und {{mathl|term= \beta^{-1}(H) |SZ=}} sind die Heißgetränkeliebhaber. Im Café ist für jede Getränkeart genau ein Zubereiter zuständig. Alle Kaffee-ähnlichen Getränke werden von Bertha zubereitet, alle Cocktails von Heinz geschüttelt, für's Bier ist Claudia zuständig, etc. Dies kann man als eine Zuständigkeitsabbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | G | Z | g |\varphi(g) |SZ=, }} auffassen. Auf dem Dienstplan wird wahrscheinlich diese Abbildung dadurch beschrieben, dass zu jedem Zubereiter {{mathl|term= z\in Z |SZ=}} das Urbild {{mathl|term= \varphi^{-1}(\{z\}) |SZ=}} angegeben wird, also die Teilmenge der Getränke, für die {{math|term= z |SZ=}} zuständig ist. Die Zuständigkeitsabbildung ist vermutlich surjektiv, da jeder Zubereiter für mindestens ein Getränk zuständig sein sollte {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man mit der Gesamtpersonalmenge {{math|term= Z'|SZ=}} arbeitet, sieht das anders aus| |ESZ=. }} Injektiv ist sie vermutlich nicht, denn das würde bedeuten, dass jeder Zubereiter nur für ein Getränk zuständig ist. Zu einer Teilmenge {{math|term= T |SZ=}} der Getränkemenge ist das Bild {{mathl|term= \varphi(T) |SZ=}} diejenige Teilmenge der Zubereiter, die genau alle Zubereiter dieser Getränketeilmenge umfasst. Zu {{mathl|term= U \subseteq Z |SZ=}} ist {{math|term= \varphi^{-1}(U) |SZ=}} die Teilmenge aller Getränke, deren zuständiger Zubereiter zu {{math|term= U |SZ=}} gehört. Alle Personen waren nun hoch zufrieden mit ihren Getränken und wollen über die Bedienung einen Dankesgruß an die jeweiligen Zubereiter ihrer Getränke weiterreichen. Besucher Hans war mit seinem Bier sehr zufrieden, das von Claudia ausgeschenkt wurde, deshalb möchte Hans die Claudia grüßen. Die Hintereinanderschaltung aus der Bestellungsabbildung {{math|term= \beta|SZ=}} und der Zubereitungsabbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} ergibt dann die Grußabbildung {{ Abbildung/display |name=\gamma = \varphi \circ \beta |P | Z | p |\varphi( \beta(p)) |SZ=. }} Es gelten vielfache Beziehungen zwischen den Einzelabbildungen und der Gesamtabbildung. Beispielsweise gilt {{ Relationskette/display | \gamma^{-1}(\{ \text{Heinz}\}) || \beta^{-1}( \varphi^{-1}(\{\text{Heinz}\}) ) ||\beta^{-1}(\text{Cocktails}) || |SZ=, }} d.h., die Menge der Personen, die Heinz grüßen, ist gleich der Menge der Personen, die einen Cocktail bestellt haben. Wenn die Bestellung nicht injektiv ist, so kann auch die Grußabbildung nicht injektiv sein, die Umkehrung muss aber nicht gelten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3apyrdfiokb2c7ebd9nf2onkdgixq9 0 28779 1099786 1074356 2026-06-17T06:30:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099786 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Konstruktionen 007|jpg| 500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Konstruktionen_007 |Autor= |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir wollen ausgehend von der Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=,}} die einen kommutativen Ring bildet, die Menge der {{Stichwort|rationalen Zahlen|msw=Rationale Zahlen|SZ=}} konstruieren. Wir gehen dabei wieder ähnlich wie bei der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vor, indem wir auf einer {{Anführung|zu großen}} Menge eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} einführen, sodass die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} ein Modell für die rationalen Zahlen sind. Wir starten mit der Produktmenge {{ Relationskette/display |P || \Z \times \N_+ || {{Mengebed| (a,b) |a \in \Z \text{ und } b \in \N_+ }} || || |SZ=. }} Zur Orientierung sei schon jetzt gesagt, dass das Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} später den Bruch {{mathl|term= a/b|SZ=}} repräsentieren soll{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man kann sich vorstellen, dass in {{math|term= (a,b) |SZ=}} die erste Zahl eine Anzahl an Kuchen und die zweite Zahl eine Anzahl von Personen bedeutet| |ISZ=.|ESZ=. }} Auf {{math|term= P |SZ=}} wollen wir eine Äquivalenzrelation definieren, wobei zwei Paare als äquivalent gelten sollen, wenn sie {{Anführung|den gleichen Bruch}} repräsentieren {{ Zusatz/Klammer |text=den es noch nicht gibt| |ESZ=. }} Wir definieren {{ Math/display|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc \text{ ist} |SZ=. }} Diese Relation wird also unter Bezug auf die Gleichheit in {{math|term= \Z|SZ=}} erklärt. Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzrelation, wie man direkt nachrechnen kann, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Aufgabe}}} |SZ=. }} Die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation nennen wir {{math|term= \Q|SZ=.}} Für die Elemente in {{math|term= \Q|SZ=}} schreiben wir vorläufig noch {{mathl|term= [(a,b)] |SZ=.}} Es ist hilfreich, sich diese Situation zu veranschaulichen, indem man die diskrete obere Halbebene{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Man könnte auch {{math|term= \Z \times (\Z \setminus \{0\}) |SZ=}} nehmen| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= \Z \times \N_+ \subset \Z \times \N |SZ=}} betrachtet. Ein Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} ist dann ein Gitterpunkt, wobei wir uns die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} als die Punkte {{Math/display|term=(n,1),\, n \in \Z|SZ=,}} vorstellen. Die zugehörige durchgezogene {{Anführung|Zahlengerade}} {{ Zusatz/Klammer |text=wo also die zweite Komponente konstant {{math|term= 1 |SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }} bezeichnen wir mit {{math|term= G |SZ=.}} Ein jeder Punkt {{mathl|term= (a,b) \in \Z \times \N_+ |SZ=}} definiert eine eindeutige Gerade, die durch diesen Punkt und durch den Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} verläuft. In dieser geometrischen Interpretation sind zwei Punkte {{ mathkor|term1= (a,b) |und|term2= (c,d) |SZ= }} genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Gerade definieren, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre {{Anführung|Steigungen|}} übereinstimmen. Zwei Punkte liegen ja auf der gleichen Geraden genau dann, wenn sie, wenn man durch Streckung ihre zweite Koordinate zur Übereinstimmung bringt, dann auch die erste Koordinate übereinstimmt. Wenn man den ersten Punkt mit {{math|term= d |SZ=}} streckt {{ Zusatz/Klammer |text=multipliziert| |ESZ= }} und den zweiten Punkt mit {{math|term= b |SZ=,}} so erhält man die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (da,db) |und|term2= (bc,bd) |SZ=, }} und die Gleichheit vorne war die Definition für die Relation. Auch die Identifizierungsabbildung zu dieser Äquivalenzrelation kann man sich gut vorstellen. Der Schnittpunkt der durch einen Punkt {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} definierten Geraden {{math|term= H |SZ=}} mit der Zahlengeraden {{math|term= G |SZ=}} ist ein Punkt, der dem Bruch {{math|term= a/b|SZ=}} entspricht. Wir wollen nun auf {{math|term= \Q|SZ=}} eine Addition und eine Multiplikation definieren. Wir setzen{{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Die Definition der Addition kann man als Addition der Steigung sehen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= [(a,b)] + [(c,d)] := [ ( ad + bc, bd)] \text{ und } [(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)] |SZ=. }} Man muss jetzt zeigen, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Wohldefiniertheit der Verknüpfungen/Aufgabe |Refname= {{{ref2|Aufgabe}}} |SZ=. }} Sodann kann man mit einigem Aufwand nachweisen, dass {{math|term= \Q|SZ=}} mit diesen Verknüpfungen und mit den ausgezeichneten Elementen {{ Math/display|term= 0:=[(0,1)] \text{ und } 1:= [(1,1)] |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} bilden, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Ist Körper/Aufgabe |Refname= {{{ref3|Aufgabe}}} |SZ=. }} Das Negative eines Elementes {{mathl|term= [(a,b)] |SZ=}} ist {{mathl|term= [(-a,b)] |SZ=}} und das Inverse eines von null verschiedenen Elementes {{mathl|term= [(a,b)] |SZ=}} ist {{mathl|term= [(b,a)] |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathl|term= [(-b,-a)] |SZ=,}} falls {{math|term= a |SZ=}} negativ ist| |ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper der rationalen Zahlen |Stichwort=Konstruktion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvi5kkah3ns6ofp75c6o6y5s9i7ka8e 0 28850 1100257 1085384 2026-06-17T07:46:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100257 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=,}} einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei {{ Relationskette/display | C || {{Mengebed| {{Folge|}} |\text{Cauchy-Folge in } \Q }} || || || |SZ= }} die Menge aller {{ Definitionslink |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |SZ= }} mit rationalen Gliedern. Wir definieren in {{math|term= C |SZ=}} eine Relation durch {{ Math/display|term= {{Folge|}} \sim {{Folge| y}} , \text{ falls } {{Folge|Glied=x_n-y_n }} \text{ eine Nullfolge ist} |SZ=. }} Dies ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Nullfolgenäquivalent/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wir definieren nun die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} unter dieser Relation als reelle Zahlen, also {{ Relationskette/display |\R || C/ \sim || || || |SZ=. }} Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als {{mathl|term= [{{Folge| x}}] |SZ=.}} Auf {{math|term= C |SZ=}} gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz {{ Math/display|term= [{{Folge| x}}] +[{{Folge| y}}] := [{{Folge|Glied=x_n+y_n }}] \text{ und } [{{Folge| x}}] \cdot [{{Folge| y}}] := [{{Folge|Glied=x_n \cdot y_n }}] |SZ=. }} Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf {{math|term= \R|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Addition und Multiplikation/Wohldefiniert/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl {{mathl|term= q\in\Q|SZ=}} ergibt sich eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\Q|\R | q |(q)_{n \in \N} |SZ=, }} die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge| |ISZ=|ESZ= }} ist {{math|term= \R|SZ=}} ein Körper, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Ist Körper/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Für jede Cauchy-Folge {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} gilt die ausschließende Alternative: {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} ist eine Nullfolge, oder es gibt ein {{mathl|term= q>0 |SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \geq q |SZ=}} für fast alle{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das bedeutet für alle bis auf endlich viele| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} oder es gibt ein {{mathl|term= q< 0 |SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \leq q |SZ=}} für fast alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Darauf aufbauend kann man {{math|term= \R|SZ=}} in null, in positve und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine {{ Zusatz/Klammer |text=totale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Ordnungsrelation| |Kontext=| |SZ= }} darauf definieren. Damit wird {{math|term= \R|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ=, }} der auch {{ Definitionslink |archimedisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Archimedisch angeordneter Körper/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass {{math|term= \R|SZ=}} auch {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vollständig angeordneter Körper/Definition |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Vollständig/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cu4y98ktcjsx853uwy83oe03hisu03g 0 29066 1100402 1085532 2026-06-17T08:09:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100402 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Beim {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=}} zur näherungsweisen Berechnung von {{math|term= \sqrt{c} |SZ=}} einer positiven Zahl {{math|term= c |SZ=}} geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert {{math|term= x_0 |SZ=}} und berechnet davon das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |SZ= }} aus {{ mathkor|term1= x_0 |und|term2= {{op:Bruch| c | x_0 }} |SZ=. }} Dieses Mittel nennt man {{math|term= x_1 |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display | x_1^2-c || {{makl| \frac{x_0 + \frac{c}{x_0 } }{2} |}}^2-c || \frac{x_0^2+2c+ \frac{c^2}{x_0^2} }{4} - c || \frac{x_0^2-2c+ \frac{c^2}{x_0^2} }{4} || {{makl| \frac{x_0 - \frac{c}{x_0 } }{2} |}}^2 | \geq | 0 |SZ=. }} D.h. dass {{math|term= x_1 |SZ=}} mindestens so groß wie {{math|term= \sqrt{c} |SZ=}} ist. Auf {{math|term= x_1 |SZ=}} wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so {{math|term= x_2 |SZ=}} usw. Die rekursive Definition von {{mathl|term= x_{n+1} |SZ=}} lautet also {{ Relationskette/display | x_{n+1} || {{op:Bruch| x_n + {{op:Bruch| c | x_n }} | 2}} || || || |SZ=. }} Nach Konstruktion weiß man, dass {{math|term= \sqrt{c} |SZ=}} in jedem Intervall {{mathl|term= [c/x_n, x_n] |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Relationskette/k | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} liegt, da aus {{ Relationskette | x_n^2 | \geq | c || || || |SZ= }} direkt {{ Relationskette | {{makl|\frac{c}{x_n }|}}^2 || {{op:Bruch|c^2| x_n^2}} | \leq | {{op:Bruch|c^2|c}} || c || || || |SZ= }} folgt. Bei jedem Schritt gilt {{ Relationskette/display | [ {{op:Bruch| c | x_{n+1} }}, x_{n+1} ] | \subseteq | [{{op:Bruch| c | x_{n} }}, x_{n} ] || || || |SZ=, }} d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2uz601utxhn3yievxi2wudhx1rat0x 0 29172 1099983 1085083 2026-06-17T07:00:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099983 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | z || a+b {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |komplexe Zahl| |Kontext=| |SZ=. }} Dann hat die komplexe Zahl {{ Relationskette/display | u || \frac{1}{ \sqrt{2} } {{makl| \sigma \sqrt{ {{op:Betrag| z |}} +a } + {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag| z |}}-a } }} || || || |SZ= }} mit dem Vorzeichen {{ Relationskette/display | \sigma || \begin{cases} 1, \text{ falls } b \geq 0 \, , \\ -1 \text{ falls } b < 0 \, , \end{cases} || || || |SZ= }} die Eigenschaft {{ Relationskette/display | u^2 || z || || || |SZ=. }} Insbesondere besitzt also {{math|term= z |SZ=}} zwei Quadratwurzeln, nämlich {{ mathkor|term1= u |und|term2= -u |SZ=, }} die bei {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} zusammenfallen. Wir zeigen dies für den Fall {{ Relationskette/display |b | \geq | 0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/align/handlinks | u^2 || {{makl| \frac{1}{\sqrt{2} } {{makl| \sqrt{ {{op:Betrag| z |}} +a } + {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag| z |}} - a } }} }}^2 || \frac{1}{2} {{makl| {{op:Betrag| z |}} + a - {{makl| {{op:Betrag| z |}}-a }} + 2 {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{makl| {{op:Betrag| z |}} +a }} {{makl| {{op:Betrag| z |}}-a }} } }} || \frac{1}{2} {{makl| 2a + 2 {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ {{op:Betrag| z |}}^2 - a^2 } }} || \frac{1}{2} {{makl| 2a + 2 {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{ b^2 } }} || \frac{1}{2} {{makl| 2a + 2 {{Imaginäre Einheit|}} b }} || a+b {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkq6ipt82r3kaqyu1ihu9jnlo317dcb 0 29212 1100376 1085505 2026-06-17T08:05:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100376 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ=. }} Dann ist die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=m| |SZ= }} {{ Relationskette/display |K^n || \underbrace{K {{timesdots|}} K }_{n\text{-mal} } || {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor1n| x}} | x_i \in K }} |SZ= }} mit der komponentenweisen Addition und der durch {{ Relationskette/display | {{skalar}} {{op:Zeilenvektor1n| x}} || {{op:Zeilenvektor1n| {{skalar}} x}} || || || |SZ= }} definierten Skalarmultiplikation ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Man nennt ihn den {{math|term= n |SZ=-}}di{{drucktrenn}}mensionalen {{Stichwort|Standardraum|SZ=.}} Insbesondere ist {{ Relationskette |K^1 || K || || || |SZ= }} selbst ein Vektorraum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ks09vb1c92n1e4mozs2r6nrxq0gh0vc 0 29216 1100375 1085503 2026-06-17T08:05:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100375 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ Math/display|term= V = {{Mengebed| x | x : \N \rightarrow K \text{ Abbildung} }} |SZ= }} die Menge der Folgen in {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Folgenmenge in K/Beispiel |Refname= {{{ref1|Beispiel}}} |SZ= }} |ISZ=.|ESZ=. }} Dann sind die beiden Teilmengen {{ Math/display|term= U= {{Mengebed| x \in V| x \text{ konvergiert in }K }} |SZ= }} und {{ Math/display|term= C= {{Mengebed| x \in V| x \text{ ist Cauchy-Folge} }} |SZ= }} {{ Definitionslink |Untervektorräume| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} mit {{mathl|term= U \subseteq C |SZ=.}} Die erste Aussage folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} (1),(3) |SZ=, }} für die zweite Aussage siehe [[Vektorraum/Folgenmenge in angeordnetem K/Cauchyfolgen als Unterraum/Aufgabe| {{{ref2|Aufgabe}}}]]. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3v51lvtg0yil27ijqpahk3hd00dh6pw 0 29537 1100019 1085131 2026-06-17T07:06:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100019 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{ Relationskette | m | \in | \N || || || |SZ=. }} Im {{math|term= K^m |SZ=}} seien {{math|term= n |SZ=}} Vektoren {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= m |SZ=-}}Tupel| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= v_1 = {{op:Spaltenvektor12n|n=m| a | 1}},\, v_2= {{op:Spaltenvektor12n|n=m| a | 2}} {{kommadots|}} v_n = {{op:Spaltenvektor12n|n=m| a |n}} |SZ= }} gegeben und sei {{ Relationskette/display | w || {{op:Spaltenvektor12n|n=m|c}} || || || |SZ= }} ein weiterer Vektor. Wir wollen wissen, wann sich {{math|term= w |SZ=}} als {{ Definitionslink{{{opt1|}}} |Linearkombination| |Kontext=| |SZ= }}{{{zusatz1|}}} der {{math|term= v_j |SZ=}} darstellen lässt. Es geht also um die Frage, ob es {{math|term= n |SZ=}} Elemente {{ Relationskette | {{skalar}}_1 {{kommadots|}} {{skalar}}_n | \in | K || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft {{ Relationskette/display | {{skalar}}_1 {{op:Spaltenvektor12n|n=m| a | 1}} + {{skalar}}_2 {{op:Spaltenvektor12n|n=m| a | 2}} {{plusdots|}} {{skalar}}_n {{op:Spaltenvektor12n|n=m| a |n}} || {{op:Spaltenvektor12n|n=m|c}} || || || |SZ= }} gibt. Die Gleichheit von Vektoren bedeutet, dass Übereinstimmung in jeder Komponente vorliegen muss, sodass dies zum {{ Definitionslink |linearen Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{Lineares Gleichungssystem inhomogen| a | {{skalar}} | m |n}} |SZ= }} führt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cd39lajri7684bpxev0zgwe7pevmhp0 0 29542 1100374 1085502 2026-06-17T08:05:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100374 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Mulled-wine-3|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Loyna |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} An einem Stand auf dem Weihnachtsmarkt gibt es drei verschiedene Glühweintöpfe. Alle drei beinhalten die Zutaten Zimt, Gewürznelken, Rotwein und Zucker, allerdings mit unterschiedlichen Anteilen. Die Zusammensetzung der einzelnen Glühweine ist {{ Math/display|term= G_1 = {{op:Spaltenvektor| 1 | 2 | 11| 2}} , \, G_2 = {{op:Spaltenvektor| 2 | 2| 12| 3}} , \, G_3 = {{op:Spaltenvektor| 3 | 1 | 20| 7}} |SZ=. }} Jeder Glühwein wird also repräsentiert durch ein Vierertupel, deren einzelne Einträge für die Anteile an den Zutaten stehen. Die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=möglichen| |ISZ=|ESZ= }} Glühweine bilden einen Vektorraum{{{zusatz2|,}}} und die drei konkreten Glühweine sind drei Vektoren in diesem Raum. Nehmen wir an, dass keiner dieser drei Glühweine genau den gewünschten Geschmack trifft und dass der Wunschglühwein die Zusammensetzung {{ Relationskette/display |W || {{op:Spaltenvektor| 1 | 2 | 20| 5}} || || || |SZ= }} hat. Gibt es eine Möglichkeit, den Wunschglühwein durch Zusammenschütten der vorgegebenen Glühweine zu erhalten? Gibt es also Zahlen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Sinnvoll interpretierbar sind in diesem Beispiel nur positive Zahlen, da man schwerlich aus einem Glühweingemisch die einzelnen verwendeten Glühweinsorten wieder herausziehen kann. In der linearen Algebra spielt sich aber alles über einem Körper ab, sodass wir auch negative Zahlen zulassen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette | a,b,c | \in | \Q || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette/display | a {{op:Spaltenvektor| 1 | 2 | 11| 2}} + b {{op:Spaltenvektor| 2 | 2| 12| 3}} + c {{op:Spaltenvektor| 3 | 1 | 20| 7}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 2 | 20| 5}} || || || |SZ= }} gilt? Hinter dieser einen vektoriellen Gleichung liegen vier einzelne Gleichungen in den {{Anführung|Variablen}} {{math|term= a,b,c|SZ=,}} wobei die Gleichungen sich aus den Zeilen ergeben. Wann gibt es eine solche Lösung, wann keine, wann mehrere? Das sind typische Fragen der linearen Algebra. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Glühwein |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iuyxud6ez8cz29s77go3rr5j99v6eti 0 29886 1100011 1036725 2026-06-17T07:05:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100011 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= K^n |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=eeVR| |SZ= }} {{ Definitionslink |Standardraum| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist die {{math|term= i |SZ=-}}te {{Stichwort|Projektion|SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |K^n | K | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_{i-1}| x_i | x_{i+1} | \ldots| x_n }} | x_i |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die {{math|term= i |SZ=-}}te Projektion heißt auch die {{math|term= i |SZ=-}}te {{Stichwort|Koordinatenfunktion|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpq11zkl63wp402rk8fa2e1ozrzcr0d 0 29959 1100635 1085726 2026-06-17T10:38:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100635 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn man eine {{ Definitionslink |prä=m\times n|Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |A ||(a_{ij})_{ij} || || |SZ= }} mit einem Spaltenvektor {{ Relationskette | x || {{op:Spaltenvektor12n| x}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |multipliziert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Matrizenmultiplikation/Definition |SZ=, }} so erhält man {{ Relationskette/display | A x || {{op:Matrixmn|a}} {{op:Spaltenvektor12n| x}} || {{op:Spaltenvektor| a_{11}x_1 + a_{12}x_2 {{plusdots|}} a_{1n} x_n | a_{21}x_1 + a_{22}x_2 {{plusdots|}} a_{2n} x_n | \vdots | a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 {{plusdots|}} a_{mn} x_n }} || |SZ=. }} Damit lässt sich ein {{ Definitionslink |inhomogenes lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{Stichwort|Störvektor|SZ=}} {{math|term= {{op:Spaltenvektor12n|n=m|c}} |SZ=}} kurz als {{ Relationskette/display |Ax || c || || || |SZ= }} schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen{{{zusatz2|}}} durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix {{ Zusatz/Klammer |text=unter Berücksichtigung der Störvektorseite| |ISZ=|ESZ= }} ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8hamebn4575cm1k312g6v2ygfigmma 0 30033 1099964 1036373 2026-06-17T06:58:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099964 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zur Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix33| 1 | 3 | 1 | 4 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1}} |SZ=}} gemäß dem in {{ Faktlink |Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |SZ= }} beschriebenen Verfahren die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M^{-1} |SZ=}} bestimmen. {{ma:tabelle27 | {{op:Matrix33| 1 | 3 | 1 | 4 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1}} | {{einheitsmatrix3|}} | {{op:Matrix33| 1 | 3 | 1 | 0 | -11| -2| 0 | 1 | 1}} | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| -4| 1 | 0 | 0| 0 | 1}} | {{op:Matrix33| 1 | 3 | 1 | 0 | 1 | 1| 0 | -11| -2}} | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 0| 1 | -4| 1 | 0}} | {{op:Matrix33| 1 | 3 | 1 | 0 | 1 | 1| 0 | 0| 9}} | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 0| 1 | -4| 1 | 11}} | {{op:Matrix33| 1 | 3 | 1 | 0 | 1 | 1| 0 | 0| 1}} | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 0| 1 |\frac{-4}{9}|\frac{1}{9}|\frac{11}{9} }} | {{op:Matrix33| 1 | 0 | -2| 0 | 1 | 1| 0 | 0| 1}} | {{op:Matrix33| 1 | 0 | -3| 0 | 0| 1 |\frac{-4}{9}|\frac{1}{9}|\frac{11}{9} }} | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0| 0 | 1}} | {{op:Matrix33|\frac{1}{9}|\frac{2}{9}|\frac{-5}{9}|\frac{4}{9}|\frac{-1}{9}|\frac{-2}{9}|\frac{-4}{9}|\frac{1}{9}|\frac{11}{9} }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invertierung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qcuhlf5lndkg08b6rtlu84ov4iwnfq4 0 30156 1100029 1085139 2026-06-17T07:08:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100029 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |K^n | K^m || |SZ= }} wird zumeist durch die Matrix {{math|term= M |SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Standardbasen| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} links und rechts beschrieben. Das Ergebnis der Matrixmultiplikation {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor1n|n=m| y}} || M {{op:Spaltenvektor1n| x}} || || || |SZ= }} ist dann direkt als Punkt in {{math|term= K^m |SZ=}} interpretierbar. Die {{math|term= j |SZ=-}}te Spalte von {{math|term= M |SZ=}} ist das Bild des {{math|term= j |SZ=-}}ten Standardvektors {{math|term= e_j |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8oc6sk4i6vujwahq8ukxr71yjle4vl 0 30490 1100631 1035394 2026-06-17T10:38:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100631 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Neben dem {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette | 0 | \in | K || || || |SZ=, }} der der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |SZ= }} der linearen Abbildung ist, sind die Eigenwerte {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} besonders interessant. Der Eigenraum zu {{math|term= 1 |SZ=}} besteht aus allen Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden. Auf diesem Untervektorraum wirkt also die Abbildung wie die Identität, man nennt ihn den {{Stichwort|Fixraum|SZ=.}} Der Eigenraum zu {{math|term= -1 |SZ=}} besteht aus allen Vektoren, die auf ihr Negatives abgebildet werden. Auf diesem Untervektorraum wirkt die Abbildung wie eine Punktspiegelung. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19l25db626knd87yp7ecybboqlbqpxv 0 30546 1100552 1085626 2026-06-17T10:27:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100552 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte {{Stichwort|Leibniz-Formel|SZ=.}} Diese lautet für eine {{ Definitionslink |Prämath= n \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | M || {{makl| a_{ij} |}}_{ij} || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| M |}} || {{Determinanteleibnizformel| n | a | \sigma}} || || || |SZ=. }} Dabei wird über alle {{ Definitionslink |bijektiven| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht in diesem Zusammenhang von {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= {{Menge1n||}} |SZ=}} auf sich summiert. Zu einer Permutation {{math|term= \sigma |SZ=}} ist das {{Stichwort|Signum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder das {{Stichwort|Vorzeichen|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= {{op:Signum| \sigma|}}\in \{ 1,-1\} |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | {{op:Signum| \sigma}} || {{signumalsprodukt| i | j | \sigma}} || || || |SZ= }} definiert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkszll598umizva34ljayyr3o37wpqf 0 30596 1100061 1085164 2026-06-17T07:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100061 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\Q^2|\Q^2 | {{op:Spaltenvektor| x | y}} | {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} {{=}} {{op:Spaltenvektor| 5y| x}} |SZ=. }} Die Frage, ob diese Abbildung {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |SZ= }} besitzt, führt zur Frage, ob es {{ Relationskette | \lambda | \in |\Q || || || |SZ= }} derart gibt, dass die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || \lambda {{op:Spaltenvektor| x | y}} || || || |SZ= }} eine nichttriviale Lösung {{ Relationskette | (x,y) |\neq| (0,0) || || || |SZ= }} besitzt. Bei gegebenem {{math|term= \lambda |SZ=}} kann dies auf ein lineares Problem zurückgeführt werden, das mit dem Eliminationsalgorithmus einfach gelöst werden kann. Die Frage aber, ob es Eigenwerte überhaupt gibt, führt wegen des variablen {{Anführung|Eigenwertparameters|}} {{math|term= \lambda |SZ=}} zu einem nichtlinearen Problem. Das obige Gleichungssystem bedeutet ausgeschrieben {{ Math/display|term= 5y = \lambda x \text{ und } x = \lambda y |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ=, }} der Nullvektor ist aber kein Eigenvektor. Es sei also {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Aus den beiden Gleichungen erhält man die Bedingung {{ Relationskette/display | 5y || \lambda x || \lambda^2 y || || |SZ=, }} woraus {{ Relationskette | 5 || \lambda^2 || || || |SZ= }} folgt. Da in {{math|term= \Q|SZ=}} die Zahl {{math|term= 5 |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Quadratwurzel| |Kontext=| |SZ= }} besitzt, gibt es keine Lösung und das bedeutet, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} keine Eigenwerte und damit auch keine {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |SZ= }} besitzt. Wir fassen nun die Matrix {{math|term= M |SZ=}} als eine reelle Matrix auf und untersuchen die zugehörige Abbildung {{ Abbildung/display |name=\psi |\R^2|\R^2 | {{op:Spaltenvektor| x | y}} | {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} {{=}} {{op:Spaltenvektor| 5y| x}} |SZ=. }} Die gleichen Rechnungen führen auf die notwendige Lösungsbedingung {{ Relationskette | 5 || \lambda^2 || || || |SZ=, }} die jetzt von den beiden reellen Zahlen {{ Mathkor/display|term1= \lambda_1 = \sqrt{5} |und|term2= \lambda_2 = - \sqrt{5} |SZ= }} erfüllt wird. Für diese beiden Werte kann man unabhängig voneinander nach Eigenvektoren suchen. Wir betrachten zuerst den Fall {{ Relationskette | \lambda || \sqrt{5} || || || |SZ=, }} was zum linearen Gleichungssystem {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || \sqrt{5} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || || || |SZ= }} führt. Dies schreibt man als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || {{op:Matrix22| \sqrt{5}| 0 | 0| \sqrt{5}|}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || || || |SZ= }} bzw. als {{ Definitionslink |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| \sqrt{5} | -5| -1| \sqrt{5} }} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || {{op:Spaltenvektor| 0 | 0}} || || || |SZ=. }} Dieses ist einfach lösbar, der Lösungsraum ist eindimensional und {{ Relationskette/display |v || {{op:Spaltenvektor| \sqrt{5}| 1}} || || || |SZ= }} ist eine Basislösung. Für {{ Relationskette | \lambda || - \sqrt{5 } || || || |SZ= }} führen dieselben Umformungen zu einem weiteren linearen Gleichungssystem, für das der Vektor {{ Relationskette/display |w || {{op:Spaltenvektor| -\sqrt{5}| 1 }} || || || |SZ= }} eine Basislösung ist. Über {{math|term= \R|SZ=}} sind also {{ mathkor|term1= \sqrt{5} |und|term2= - \sqrt{5} |SZ= }} Eigenwerte und die zugehörigen {{ Definitionslink |Eigenräume| |Kontext=| |SZ= }} sind {{ Mathkor/display|term1= {{op:Eigenraum| \psi| \sqrt{5} }} = {{Mengebed| s {{op:Spaltenvektor| \sqrt{5}| 1}} |s \in \R }} |und|term2= {{op:Eigenraum| \psi| -\sqrt{5} }} = {{Mengebed| s {{op:Spaltenvektor| - \sqrt{5}| 1}} |s \in \R }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i723r0ijucrpq7e96zt6emgug3pjn5u 0 30648 1100053 1085156 2026-06-17T07:12:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100053 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term= 2\times 2 |SZ=-}}{{Stichwort|Scherungsmatrizen|msw=Scherungsmatrix|SZ=}} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | a | 0 | 1}} |SZ= }} mit {{ Relationskette | a | \in | K || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Eigenwertbedingung| |Kontext=| |SZ= }} für ein {{ Relationskette | \lambda | \in | K || || || |SZ= }} bedeutet {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 | a | 0 | 1}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || \lambda {{op:Spaltenvektor| x | y}} || || || |SZ=, }} was zu den beiden Gleichungen {{ Math/display|term= x+ay = \lambda x \text{ und } y = \lambda y |SZ= }} führt. Bei {{ Relationskette | \lambda |\neq | 1 || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} und dann auch {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ=, }} d.h. es kann nur {{math|term= 1 |SZ=}} ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu {{ Math/display|term= x+ay=x \text{ bzw. } ay =0 |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} muss also {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} sein und dann ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| x | 0}} |SZ=}} der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= 1 |SZ=,}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} |SZ=}} ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} liegt die Einheitsmatrix vor, und der {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |SZ= }} zum Eigenwert {{math|term= 1 |SZ=}} ist die gesamte Ebene. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Scherung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} elbftvro03kqyyfimswybtgiju5rpub 0 30650 1100062 1085165 2026-06-17T07:14:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100062 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir schließen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Matrix/Eigenwerte/0510/Q und R/Beispiel |SZ= }} an. Es gibt die beiden {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| \sqrt{5}| 1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| -\sqrt{5}| 1}} |SZ= }} zu den verschiedenen {{ Definitionslink |Eigenwerten| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= \sqrt{5} |und|term2= - \sqrt{5} |SZ=, }} sodass die Abbildung {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Verschiedene Eigenwerte/Diagonalisierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=ev| |SZ= }} ist. Bezüglich der {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |SZ= }} {{math|term= {{basis|u}} |SZ=}} aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| \sqrt{5}| 0 | 0| - \sqrt{5} }} |SZ=. }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} von der Basis {{math|term= {{basis|u}} |SZ=}} zur durch {{ mathkor|term1= e_1 |und|term2= e_2 |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} ist einfach {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix| u |v}} || {{op:Matrix22| \sqrt{5}| - \sqrt{5}| 1 | 1}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} dazu ist {{ Relationskette/display | \frac{1}{2 \sqrt{5} } {{op:Matrix22| 1 | \sqrt{5}| -1| \sqrt{5}|}} || {{op:Matrix22|\frac{1}{2 \sqrt{5} }| \frac{1}{2}|\frac{-1}{2 \sqrt{5} }|\frac{1}{2} }} || || || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt |SZ= }} besteht die Beziehung {{ Relationskette/align | {{op:Matrix22| \sqrt{5} | 0 | 0| - \sqrt{5} }} || {{op:Matrix22|\frac{1}{2 }| \frac{ \sqrt{5} }{2}|\frac{1}{2 } | \frac{ -\sqrt{5} }{2} }} {{op:Matrix22| \sqrt{5}| - \sqrt{5}| 1 | 1}} || {{op:Matrix22|\frac{1}{2 \sqrt{5} }| \frac{1}{2}|\frac{-1}{2 \sqrt{5} } | \frac{1}{2} }} {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} {{op:Matrix22| \sqrt{5}| - \sqrt{5}| 1 | 1}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6tv1vjjfqyspbp4k0303uhx0ppw2mbv 0 31266 1100433 1038711 2026-06-17T08:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100433 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |\Q|\Q | x | x^2-2 |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |SZ=, }} sie genügt aber nicht dem {{ Faktlink |Zwischenwertsatz| |Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |SZ=. }} Für {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | f(0) || -2 | < | 0 || || |SZ= }} und für {{ Relationskette | x || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | f(2) || 2 | > | 0 || || |SZ=, }} es gibt aber kein {{ Relationskette | x | \in | \Q || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |f(x) || 0 || || || |SZ=, }} da dafür {{ Relationskette | x^2 || 2 || || || |SZ= }} sein muss, wofür es in {{math|term= \Q|SZ=}} keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} chkiaqgyd34ejs3jx9eygr7xo5iqmmi 0 31280 1100262 1085392 2026-06-17T07:47:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100262 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Harmonische Reihe/Definition|opt=Text}} Es geht also um die {{Anführung|unendliche Summe}} der Stammbrüche {{ Math/display|term= 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 3}} + {{op:Bruch| 1 | 4}} + {{op:Bruch| 1 | 5}} + {{op:Bruch| 1 | 6}} + {{op:Bruch| 1 | 7}} + {{op:Bruch| 1 | 8}} + \ldots |SZ=. }} Diese Reihe divergiert: Für die {{math|term= 2^{n} |SZ=}} Zahlen {{ Relationskette | k || 2^n +1 {{kommadots|}} 2^{n+1} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} | \geq | \sum_{k {{=|}} 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{2^{n+1} } || 2^n \frac{1}{2^{n+1} } || \frac{1}{2} || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} || 1+ \sum_{i {{=|}} 0}^n \left( \sum_{k {{=|}} 2^{i} +1 }^{ 2^{i+1} } \frac{1}{k} \right)|| | \geq | 1 + (n+1) \frac{1}{2} || |SZ=. }} Damit ist die Folge der Partialsummen {{ Definitionslink |unbeschränkt| |Kontext=Folge ang|msw=beschränkt| |SZ= }} und kann nach {{ Faktlink{{{optlink1|}}} |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt |Faktseitenname2= Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=Folge R| |SZ= }} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die harmonische Reihe |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 41efyp3pjeekncj5pv7i7iy4m3m4hfm 0 31536 1100073 1037081 2026-06-17T07:15:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100073 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Dann ist {{math|term= T}} ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man {{ Relationskette/display | d_T(x,y) | {{defeq|}} | d(x,y) || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x,y | \in | T || || || |SZ= }} setzt. Diese Metrik heißt die {{Stichwort|induzierte Metrik|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einschränkung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6m32f40f15m8yjr77qmcwl830px7y8 0 31539 1099871 1084966 2026-06-17T06:42:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099871 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette/display | d(v,w) | {{defeq}} | {{op:Norm|v-w|}} | {{defeq}} | \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v-w|v-w}} } || || |SZ= }} der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt |SZ= }} die Eigenschaften einer {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |SZ=. }} Insbesondere ist im {{math|term= \R^n |SZ=}} der durch {{ Relationskette/display | d(x,y) || \sqrt{ (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 {{plusdots|}} (x_n-y_n)^2 } || || || |SZ= }} gegebene {{Stichwort|euklidische Abstand|msw=Euklidischer Abstand|SZ=}} eine Metrik. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xs4d1lba2ifuxjlowjqbwriqp3u2ur 0 31570 1100283 1085413 2026-06-17T07:50:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100283 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Abstand| x | y}} || \sum_{i{{=}}1}^n {{op:Betrag| x_i-y_i |}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |SZ=, }} die man die {{Stichwort|Summenmetrik|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summenmetrik |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4j5esxqbx2v8i2z0qb29z4ebzbt8440 0 31571 1100280 1085411 2026-06-17T07:50:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100280 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Abstand| x | y}} || {{op:max| {{op:Betrag| x_i-y_i |}} | i {{=|}} 1 {{kommadots|}} n }} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Metrik| |Kontext=| |SZ=, }} die man die {{Stichwort|Maximumsmetrik|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Maximumsmetrik |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b298n773dgtnqe6e34hldy4g81keuen 0 31751 1099936 1036149 2026-06-17T06:53:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099936 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Limes {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes| x | 0 | \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} }} |SZ=, }} wobei {{mathl|term= x \in \R \setminus \{0\} , \, x \geq -4 |SZ=,}} ist. Für {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit {{mathl|term= \sqrt{x+4} +2 |SZ=}} erweitern, und erhält dann {{ Relationskette/align | \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} || \frac{ {{makl| \sqrt{x+4} - 2 |}} {{makl| \sqrt{x+4} + 2 |}} }{x {{makl| \sqrt{x+4} +2 |}} } || \frac{ x+4 -4 }{x {{makl| \sqrt{x+4} +2 |}} } || \frac{ x }{ x {{makl| \sqrt{x+4} +2 |}} } || \frac{ 1 }{ \sqrt{x+4} +2 } |SZ=. }} Aufgrund der {{ Faktlink |Rechenregeln|Faktseitenname= Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt |SZ= }} für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Quadratwurzel/Stetig/Aufgabe |Nr= |SZ= }} verwenden, und es ergibt sich insgesamt {{mathl|term= 1/4 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amgizli6zbeocphefkuaapdockvxs5e 0 31857 1099897 1084989 2026-06-17T06:47:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099897 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |T || [0,1] || || || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=f_n | [0,1] |\R | x | x^n |SZ=. }} Für jedes {{ mathbed|term= x \in [0,1] ||bedterm1= x < 1 ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=K| |SZ= }} die {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge|Glied=x^n}} |SZ=}} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahl/Betrag kleiner 1/Potenzfolge/Konvergenz/Aufgabe |Nr= |SZ= }} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} und für {{ Relationskette | x || 1 || || || |SZ= }} liegt die konstante Folge zum Wert {{math|term= 1 |SZ=}} vor. Die Grenzfunktion ist also {{ Relationskette/display | f(x) || \begin{cases} 0, \, \text{ falls } x <1\, , \\ 1 \text{ sonst} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Diese Funktion ist nicht {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |SZ=, }} obwohl alle {{math|term= f_n |SZ=}} stetig sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5iutm2v2yeruky6mvm7qsvslx53vgim 0 32710 1099699 1026210 2026-06-17T06:16:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099699 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Abbildung/display |name=f^{-1} |\R_+ |\R_+ | x | \sqrt{x} |SZ=, }} ist die {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |SZ= }} der Funktion {{math|term= f |SZ=}} mit {{ Relationskette | f(x) || x^2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eingeschränkt auf {{math|term= \R_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Deren {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} in einem Punkt {{math|term= a |SZ=}} ist {{ Relationskette |f'(a) || 2a || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt |SZ= }} gilt daher für {{ Relationskette |b | \in | \R_+ || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{makl| f^{-1} |}}' (b) || \frac{1}{f'(f^{-1} (b))} || \frac{1}{2 \sqrt{b} } || \frac{1}{2} b^{-\frac{1}{2} } || |SZ=. }} Im Nullpunkt ist {{math|term= f^{-1} |SZ=}} nicht differenzierbar. Die Funktion {{ Abbildung/display |name=f^{-1} |\R |\R | x | x^{\frac{1}{3} } |SZ=, }} ist die {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |SZ= }} der Funktion {{math|term= f |SZ=}} mit {{ Relationskette |f(x) || x^3 || || || |SZ= }} Deren Ableitung in {{math|term= a |SZ=}} ist {{ Relationskette |f'(a) || 3a^2 || || || |SZ=, }} dies ist für {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden. Nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt |SZ= }} ist für {{ Relationskette |b |\neq| 0 || || || |SZ= }} somit {{ Relationskette/display | {{makl| f^{-1} |}}' (b) || \frac{1}{f'(f^{-1} (b))} || \frac{1}{3 {{makl| b^{\frac{1}{3} } |}}^{2} } || \frac{1}{3} b^{-\frac{2}{3} } || |SZ=. }} Im Nullpunkt ist {{math|term= f^{-1} |SZ=}} nicht differenzierbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qya53aiet7mt0tg7f2dr2lrlmwxuj4h 0 32726 1099946 1085037 2026-06-17T06:55:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099946 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=1K| |SZ= }} {{ Math/display|term= 3x^2-5x-2 \text{ und } x^3-4x^2+x+6 |SZ= }} haben beide für {{ Relationskette | x || 2 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |SZ=. }} Es ist also nicht von vornherein klar, ob der Limes {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes| x | 2 | \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6} }} |SZ= }} existiert und welchen Wert er besitzt. Aufgrund der {{ Faktlink |Regel von l'Hospital|Faktseitenname= Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt |SZ= }} kann man den Grenzwert über die Ableitungen bestimmen, und das ergibt {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| x | 2 | \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6} }} || {{op:Funktionslimes| x | 2 | \frac{ 6x-5}{3x^2-8x+1} }} || \frac{7}{-3} || - \frac{7}{3} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Regel von Hospital |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} apb92zu7ay99sfy9qr2qmcgf05b1nez 0 33611 1099820 1084925 2026-06-17T06:35:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099820 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 {{=|}}1| -1 \leq x \leq 1| y \geq 0 }} |SZ=. }} Zu gegebenem {{ mathbed|term= x ||bedterm1= -1 \leq x \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es genau ein {{math|term= y |SZ=,}} das diese Bedingung erfüllt, nämlich {{ Relationskette | y || \sqrt{1-x^2} || || || |SZ=. }} Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion {{mathl|term= x \mapsto \sqrt{1-x^2} |SZ=}} über dem Intervall {{mathl|term= [-1,1] |SZ=,}} also gleich {{Math/display|term= {{op:Integral| -1| 1 |Integrand= \sqrt{1-x^2}|| x }} |SZ=.}} Mit der {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |SZ= }} {{ Math/display|term= x = {{op:cos| t |}} \text{ bzw. } t = {{op:arccos| x |}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{mathl|term= {{op:cos||}} :[0, \pi] \rightarrow [-1,1] |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} bijektiv ist| |ISZ=|ESZ=, }} erhält man unter Verwendung von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align | {{op:Integral| a | b | Integrand= \sqrt{1-x^2}|| x }} || {{op:Integral| {{op:arccos| a |}} | {{op:arccos| b |}} | Integrand= \sqrt{1- {{op:cos| t |exp=2}} } (- {{op:sin| t |}} ) || t }} || - {{op:Integral| {{op:arccos| a |}} | {{op:arccos| b |}} | Integrand= {{op:sin| t |exp=2}} |t }} || {{op:Integralstamm| {{op:arccos| a |}} | {{op:arccos| b |}} |stamm= \frac{1}{2} ( {{op:sin| t |}} {{op:cos| t |}} -t )}} || |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| x \cdot {{op:sin(| {{op:arccos| x |}} |}}- {{op:arccos| x |}} |}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| x \cdot \sqrt{1-x^2} - {{op:arccos| x |}} |}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |SZ= }} zu {{mathl|term= \sqrt{1-x^2} |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/align | {{op:Integral| -1| 1 |Integrand= \sqrt{1-x^2}|| x }} || {{op:Integralstamm| -1| 1 |stamm= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| x \cdot \sqrt{1-x^2} - {{op:arccos| x |}} |}} }} || {{op:Bruch| 1 | 2}} ( - {{op:arccos| 1 |}} + {{op:arccos|(-1)|}} ) || \pi/2 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Elementkategorie=Die Zahl pi |Stichwort=Fläche |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2ibon8y4n3kvew0pp699sba23n2cl6 0 33613 1099957 1085045 2026-06-17T06:57:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099957 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Sinusfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:sin| x |}} |SZ=}} ist {{mathl|term= - {{op:cos| x |}} |SZ=.}} Um Stammfunktionen zu {{mathl|term= {{op:sin| x |exp=n}} |SZ=}} zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von {{math|term= 0 |SZ=}} ausgehen, also für {{math|term= 0 |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzen. Für {{ Relationskette |n | \geq | 2 || || || |SZ= }} ist mittels {{ Faktlink |partieller Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |SZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n}} }} || {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n-2}} \cdot {{op:sin| t|exp=2}} }} || {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n-2}} \cdot {{makl| 1- {{op:cos| t|exp=2}} |}} }} || {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n-2}} }} - {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{makl| {{op:sin| t|exp=n-2}} {{op:cos| t|}} |}} {{op:cos| t|}} }} || {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n-2}} }} - {{op:Integralstamm| 0 | x |stamm =\frac{ {{op:sin| t |exp=n-1}} }{ n-1} {{op:cos| t |}} }} - \frac{1}{n-1} {{makl| {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n}} }} |}} |SZ=. }} Durch Multiplikation mit {{mathl|term= n-1 |SZ=}} und Umstellen erhält man {{ Relationskette/display/handlinks | n {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n}} }} ||(n-1) {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=n-2}} }} - {{op:sin| x |exp=n-1|}} {{op:cos| x |}} || || || |SZ=. }} Speziell ergibt sich für {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Integral| 0 | x | Integrand= {{op:sin| t|exp=2}} }} || \frac{1}{2} {{makl| x- {{op:sin| x |exp=}} {{op:cos| x |}} |}} || || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 122oe77xqw45vlc9l4zjis0ub3pzpgc 0 33619 1100359 1085491 2026-06-17T08:03:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100359 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= f(t)=t^{n} |SZ=}} mit {{math|term= n |SZ=}} negativ und ganzzahlig. Wir interessieren uns für die {{ Definitionslink |uneigentlichen Integrale| |Kontext=|msw=uneigentliches Integral| |SZ= }} für {{mathl|term= t |SZ=}} von {{ mathkor|term1= 1 |nach|term2= \infty |SZ=. }} Bei {{mathl|term= n=-1 |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:ln| t |}} |SZ=}} die Stammfunktion von {{math|term= 1/t|SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Integral| 1 | x | Integrand= \frac{1}{t} }} || {{op:ln| x |}} || || || |SZ=, }} und der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=mr| |SZ= }} für {{mathl|term= x \mapsto \infty|SZ=}} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Es sei nun {{mathl|term= n \leq -2 |SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= \frac{1}{n+1} t^{n+1} |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= t^n |SZ=}} und daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| x | \infty| ( {{op:Integral| 1 | x | Integrand= t^n }} ) }} || {{op:Funktionslimes| x | \infty| ( {{op:Integralstamm| 1 | x |stamm = \frac{1}{n+1} t^{n+1} }} ) }} || {{op:Funktionslimes| x | \infty| ( \frac{x^{n+1} }{n+1} - \frac{1}{n+1} ) }} || - \frac{1}{n+1} || |SZ=, }} wegen {{mathl|term= {{op:Funktionslimes| x | \infty| x^{n+1} }} =0 |SZ=.}} Das uneigentliche Integral existiert also und es ist {{ Math/display|term= {{op:Integral| 1 | \infty|Integrand= t^n }} = -\frac{1}{n+1} |SZ=. }} Diese Zahl ist positiv, da {{mathl|term= n \leq -2 |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7efsozh55tvcapt0q3fz220rey6789r 0 33659 1099962 1085051 2026-06-17T06:57:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099962 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Rektifizierbarkeit| |Kontext=Rn| |SZ= }} ist schon für Funktionen {{ Abbildung/display |name=f | I |\R | t |f(t) |SZ=, }} ein nicht-trivialer Begriff, siehe {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Beispiel |SZ=. }} Wenn allerdings {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionslink |wachsend| |Kontext=abb| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionslink |fallend| |Kontext=abb| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist, so lässt sich die Länge einfach ausrechnen. Zu einer beliebigen Unterteilung {{ Relationskette | a || t_0 | \leq | t_1 | {{leqdots|}} | t_k ||b || |SZ= }} ist dann nämlich {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 1}^k {{op:Betrag|f(t_i) -f(t_{i-1})||}} || \sum_{i {{=|}} 1}^k (f(t_i) -f(t_{i-1})) || f(b) -f(a) || || |SZ=, }} d.h. die Länge ist einfach die Differenz der Werte an den Randpunkten des Intervalls. Insbesondere existiert die Länge, d.h. monotone Funktionen sind rektifizierbar. Wenn {{math|term= f |SZ=}} wachsend ist und {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=K| |SZ=, }} so ergibt sich dies natürlich auch aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |SZ= }} und aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt |SZ=. }} Wenn {{math|term= f |SZ=}} allerdings nicht monoton ist, so müssen bei der Längenberechnung auch die Richtungsänderungen mitberücksichtigt werden. Für das Integral {{mathl|term= {{op:Integral| a | b | Integrand= {{op:Betrag|f'(t)|}} }} |SZ=}} gibt es dann keine direkte Berechnung, da {{mathl|term= f'(t) |SZ=}} das Vorzeichen ändert. Man kann aber das Intervall in {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell unendlich viele| |ISZ=|ESZ= }} Abschnitte unterteilen, wo die Funktion wachsend oder fallend, bzw. wo die Ableitung positiv oder negativ ist, und dann abschnittsweise die Länge berechnen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdzhpzctatuf22zwj3vsi2dnjgeb2c0 0 33661 1100445 1085580 2026-06-17T08:16:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100445 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Punkt {{math|term= V |SZ=}} auf der Peripherie eines Kreises mit Radius {{math|term= 1 |SZ=}} fixiert {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein Ventil| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{Stichwort|Zykloide|SZ=}} ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=der {{math|term= x |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn {{math|term= t |SZ=}} den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt {{math|term= V |SZ=}} sich zum Zeitpunkt {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch {{ Abbildung/display |name=W |\R|\R^2 | t | W(t) {{=|}} {{op:Zeilenvektor| t- {{op:sin| t |}} | 1 - {{op:cos| t |}} |}} |SZ=. }} beschrieben. {{ inputbild |Cycloid f|gif| 400px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Cycloid_f |Autor= |Benutzer=Zorgit |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um {{math|term= 2 \pi|SZ=.}} Die Ableitung dieser Kurve ist {{ Relationskette/display | W'(t) || {{op:Zeilenvektor| 1 - {{op:cos| t |}} | {{op:sin| t |}} }} || || || |SZ=. }} Die Länge der Zykloide {{ Zusatz/Klammer |text=also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges| |ISZ=|ESZ= }} ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |SZ= }} im Zeitintervall von {{ mathkor|term1= 0 |nach|term2= s |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Integral| 0 | s | Integrand= \sqrt{ (1- {{op:cos| t |}})^2 + {{op:sin| t |exp=2 }} } }} || {{op:Integral| 0 | s | Integrand= \sqrt{ 2- 2 {{op:cos| t |}} } }} || \sqrt{2} {{op:Integral| 0 | s | Integrand= \sqrt{ 1- {{op:cos| t |}} } }} || 2 \sqrt{2} {{op:Integral| 0 | \frac{s}{2}|Integrand= \sqrt{ 1- {{op:cos| 2 u |}} } || u}} || 2 \sqrt{2} {{op:Integral| 0 | \frac{s}{2}|Integrand= \sqrt{ 1- {{op:cos| u |exp=2}} + {{op:sin| u |exp=2}} } || u}} || 2 \sqrt{2} {{op:Integral| 0 | \frac{s}{2}|Integrand= \sqrt{ 2 {{op:sin| u |exp=2}} } || u}} || 4 {{op:Integral| 0 | \frac{s}{2}|Integrand= \sqrt{ {{op:sin| u |exp=2}} } || u}} || 4 {{op:Integral| 0 | \frac{s}{2}|Integrand= {{op:Betrag| {{op:sin| u |}} }} || u}} || 4 {{op:Integral| 0 | \frac{s}{2}|Integrand= {{op:sin| u |}} || u}} || 4 {{makl| {{op:Integralstamm| 0 | \frac{s}{2}|stamm = - {{op:cos| u | }} }} |}} |SZ=, }} wobei die letzte Umformung für {{ Relationskette | s | \leq | 2 \pi || || || |SZ= }} gilt. Für {{ Relationskette | s || 2 \pi || || || |SZ= }} ist dies gleich {{ Relationskette | 4 \cdot 2 || 8 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Zykloide |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eibedi5rxtpa24jei993m99y8tehec6 0 33853 1100247 1085377 2026-06-17T07:44:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100247 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die rationale Funktion {{ Relationskette/display | \frac{X^3-X+5}{X^4+X^2} || \frac{X^3-X+5}{X^2 {{makl| X^2+1 |}} } || || || |SZ=, }} wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz {{ Relationskette/display | \frac{X^3-X+5}{X^2 {{makl| X^2+1 |}} } || \frac{a}{X} + \frac{b}{X^2} + \frac{cX+d}{X^2+1} || || || |SZ= }} führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf {{ Relationskette/align/handlinks | X^3-X+5 || aX {{makl| X^2+1 |}} + b {{makl| X^2+1 |}} + (cX+d)X^2 || aX^3+aX+bX^2+b+cX^3+dX^2 || (a+c)X^3+(b+d)X^2+aX+b || |SZ=. }} Koeffizientenvergleich führt auf das {{ Definitionslink |inhomogene lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= a+c =1 \text{ und } b+d =0 \text{ und } a =-1 \text{ und } b =5 |SZ= }} mit der Lösung {{ Math/display|term= b=5,\, a=-1,\, d=-5,\, c=2 |SZ=. }} Insgesamt ist die {{ Faktlink |Partialbruchzerlegung|Faktseitenname= Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt |SZ= }} also gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|X^3-X+5|X^2(X^2+1)}} || - {{op:Bruch| 1 |X}} + {{op:Bruch| 5 |X^2}} + {{op:Bruch| 2X-5|X^2+1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evd6nhobrbukyxkh2av18a1fm12i3od 0 33857 1100316 1038171 2026-06-17T07:56:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100316 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten eine Stammfunktion zu {{ Relationskette/display | f(x) || {{op:Bruch| x^3-x+5| x^4+x^2}} || || || |SZ= }} bestimmen. Nach {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Reelle Partialbruchzerlegung/x^3-x+5 durch x^2(x^2+1)/Beispiel |SZ= }} ist die {{ Faktlink |reelle Partialbruchzerlegung|Faktseitenname= Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x^3-x+5| x^2(x^2+1)}} || - {{op:Bruch| 1 | x}} + {{op:Bruch| 5 | x^2}} + {{op:Bruch| 2x-5| x^2+1}} || || || |SZ=. }} Als {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |SZ= }} ergibt sich daher {{ Math/display|term= - {{op:ln| {{op:Betrag| x |}} |}} - 5 x^{-1} + {{op:ln(| x^2+1|}} - 5 {{op:arctan| x |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0f95d01vq1jftgcfel2rrc3rsgvac2i 0 33910 1100034 1026647 2026-06-17T07:09:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100034 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || y || || || |SZ= }} besitzt genau die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=gdg| |SZ= }} {{ Math/display|term= y(t)= c e^{t} \text{ mit } c \in \R |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=y |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m9viuhstp7aw85m91qkmu3k6c619886 0 33914 1100030 1036837 2026-06-17T07:08:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100030 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || 0 || || || |SZ= }} besitzt genau die {{ Definitionslink |konstanten| |Kontext=abb|msw=konstant| |SZ= }} {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=gdg| |SZ= }} {{ Math/display|term= y(t)= c \text{ mit } c \in \R |SZ=. }} Dies folgt direkt aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Intervall/Stammfunktion/Konstante Differenz/Fakt |SZ=, }} aber auch aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=0 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eemu1m78iop2wzodm29spuafg2xrp0n 0 33916 1100033 1036853 2026-06-17T07:09:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100033 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Relationskette |c | \in | \R || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || cy || || || |SZ= }} besitzt nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |SZ= }} die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=gdg| |SZ= }} {{ Math/display|term= y(t)= a e^{ct}\text{ mit } a \in \R |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=ay |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1g2s2txjq5dfua4zyaxnk70xou1653l 0 33920 1100032 1085140 2026-06-17T07:09:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100032 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette |t | > | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| y |t^2-1}} || || || |SZ=. }} Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | g(t) ||\frac{1}{t^2-1} ||\frac{1}{(t-1)(t+1)} || \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1} || |SZ=. }} Aus der {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=R| |SZ= }} gelangt man zur Stammfunktion {{ Relationskette/display |G(t) || \frac{1}{2} {{op:ln|(t-1)|}} - \frac{1}{2} {{op:ln|(t+1)|}} || || || |SZ=. }} Daher sind die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=gdg| |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/handlinks | c \cdot {{op:exp| {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t-1)|}} -{{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t+1)|}} |}} |}} || c {{op:Bruch| {{op:exp(| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t-1)|}} |}} | {{op:exp(| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t+1)|}} }} }} || c {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:exp(| {{op:ln|(t-1)|}} |}} }| \sqrt{ {{op:exp(| {{op:ln|(t+1)|}} }} } }} || c \cdot \frac{\sqrt{t-1} }{\sqrt{t+1} } || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der homogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=y/(t^2-1) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2v90ioosgjer6qgqc5bsq4si5tkzvyp 0 34022 1100392 1085519 2026-06-17T08:08:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100392 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= p(t) |SZ=}} die Größe einer Population zu einem Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=.}} Wie setzen voraus, dass die Populationsentwicklung {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} ist; die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} {{mathl|term= p'(t) |SZ=}} repräsentiert dann das {{ Zusatz/Klammer |text=infinitesimale| |ISZ=|ESZ= }} Bevölkerungswachstum zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=.}} Den Quotienten {{ Relationskette/display | {{{r|r}}} (t) || \frac{p'(t)}{p(t)} || || || |SZ= }} nennt man die {{Stichwort|Wachstumsrate|SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=.}} Wir fragen uns, inwiefern man den Populationsverlauf aus der Wachstumsrate rekonstruieren kann. Die Wachstumsrate kann von der Zeit {{ Zusatz/Klammer |text=Jahreszeit, Nahrungsvorkommen, Entwicklung von anderen Populationen etc.| |ISZ=|ESZ= }} abhängen, aber auch von der aktuellen Populationsgröße {{math|term= p |SZ=.}} Die Zeitabhängigkeit der Wachstumsrate beruht auf äußeren Einflüssen, während die Abhängigkeit von der aktuellen Populationsgröße eine innere Dynamik ausdrückt. Sie beruht darauf, dass eine große Population sich hemmend auf die Fortpflanzung auswirkt. Wir beschränken uns auf eine Situation, wo die Wachstumsrate nur von der Populationsgröße abhängt, nicht aber von sonstigen Einflüssen. Dann wird die Wachstumsrate durch eine Funktion {{mathl|term= {{{w|w}}}(p) |SZ=}} beschrieben, und die Wachstumsrate zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} ist demnach durch {{ Relationskette | {{{r|r}}} (t) || {{{w|w}}}(p(t)) || || || || |SZ= }} gegeben. Die Wachstumsrate wirkt sich auf die Populationsentwicklung aus. Gemäß dem oben formulierten Zusammenhang gilt {{ Relationskette/display | p'(t) || p(t) \cdot {{{r|r}}} (t) || p(t) \cdot {{{w|w}}}(p(t)) || || |SZ=. }} Es liegt also eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |SZ= }} der Form {{ Relationskette/display |p' || p \cdot {{{w|w}}}(p) || || || |SZ= }} vor, die {{ Definitionslink |zeitunabhängig| |Kontext=| |SZ= }} ist, sodass insbesondere {{ Definitionslink |getrennte Variablen| |Kontext=| |SZ= }} vorliegen {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Funktion {{ Relationskette/k | h(p) || p \cdot {{{w|w}}}(p) || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{Stichwort|konstanter Wachstumsrate|msw=Konstante Wachstumsrate|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{{w|w}}}(p) || a || || || |SZ= }} liegt die Differentialgleichung {{ Relationskette |p' || ap || || || |SZ= }} vor, deren Lösungen die Funktionen {{mathl|term= ce^{at} |SZ=}} sind. Das bedeutet {{Stichwort|exponentielles Wachstum|msw=Exponentielles Wachstum|SZ=.}} Wenn wir die Wachstumsrate so ansetzen, dass es bei einer gewissen Populationsgröße {{math|term= {{{g|g}}} |SZ=}} kein Wachstum mehr gibt, und bei sehr kleiner Bevölkerung die Wachstumsrate maximal gleich {{math|term= s |SZ=}} ist, und dazwischen die Wachstumsrate {{ Definitionslink |linear| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=}} abhängt, so erhält man die Wachstumsrate {{ Relationskette/display | {{{w|w}}}(p) || s {{makl| 1 -\frac{1}{ {{{g|g}}} } p|}} || || || |SZ= }} und die Differentialgleichung {{ Relationskette/display |p' || sp {{makl| 1 -\frac{1}{ {{{g|g}}} }p|}} || sp -\frac{s}{g} p^2 || || |SZ=. }} Eine solche Differentialgleichung nennt man {{Stichwort|logistische Differentialgleichung|SZ=.}} Gemäß dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |SZ= }} müssen wir eine Stammfunktion zu {{ Relationskette/align | {{op:Bruch| 1 |s p {{makl| 1 - {{op:Bruch| 1 | {{{g|g}}} }} p|}} }} || {{op:Bruch| g |s}} \cdot {{op:Bruch| 1 |p(g-p)}} || {{op:Bruch| 1 |s}} {{makl| {{op:Bruch| 1 |p}} + {{op:Bruch| 1 |g-p}} |}} || |SZ= }} finden. Eine solche Stammfunktion ist {{ Relationskette/display | H(p) ||\frac{1}{s} ( {{op:ln| p |}} - {{op:ln| ({{{g|g}}} -p)|}}) || \frac{1}{s} {{op:ln|\frac{p}{ {{{g|g}}} - p}|}} || || |SZ=. }} Zur Berechnung der {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= H^{-1} |SZ=}} lösen wir die Gleichung {{ Relationskette/display |u || \frac{1}{s} {{op:ln|\frac{p}{{{{g|g}}}-p}|}} || || || |SZ= }} nach {{math|term= p |SZ=}} auf. Es ergibt sich {{ Relationskette/display | {{op:exp |(su)|}} || \frac{p}{ {{{g|g}}}-p} || || || |SZ= }} und daraus {{ Relationskette/display | {{{g|g}}} \cdot {{op:exp|(su)|}} || p+p \cdot {{op:exp|(su)|}} || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display |p ||\frac{ {{{g|g}}} \cdot {{op:exp|(su)|}} }{1+ {{op:exp|(su)|}} } || \frac{ {{{g|g}}} }{1+ {{op:exp|(-su)|}} } || || |SZ=. }} Da die Differentialgleichung zeitunabhängig ist, ist {{ Relationskette/display |p(t) || \frac{ {{{g|g}}} }{1+ {{op:exp|(- s t)|}} } || || || |SZ= }} eine Lösung. Bei {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |p(0) || {{op:Bruch| g | 2}} || || || |SZ=, }} für {{mathl|term= t \rightarrow + \infty|SZ=}} strebt die Lösung gegen {{math|term= g |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Grenzbevölkerung| |ISZ=|ESZ= }} und für {{mathl|term= t \rightarrow - \infty|SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der logistischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Logistische Differentialgleichung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c3ldiz4pkx2zbljb77tjopiclmne0mg 0 34144 1099943 1085034 2026-06-17T06:54:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099943 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Beschleunigung| |ISZ=|ESZ= }} in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in {{math|term= \R_+|SZ=}} befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante {{math|term= 1 |SZ=}} gelangt man zur {{ Definitionslink |linearen Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zweiter Ordnung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | y^{\prime \prime} || -y || || || |SZ=, }} die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir {{ mathkor|term1= y(0)=0 |und|term2= y'(0)=v |SZ=, }} zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit {{math|term= v |SZ=}} besitzen. Man kann sofort die Lösung {{ Relationskette/display | y(t) || v \cdot {{op:sin| t |}} || || || |SZ= }} angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| y_0'| y_1' }} || {{op:Spaltenvektor| y_1 | -y_0 }} || {{op:Matrix22| 0 | 1 | -1| 0}} {{op:Spaltenvektor| y_0 | y_1 }} || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=glg| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | x^2+1 ||(x- {{Imaginäre Einheit}} ) (x+ {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ=, }} und Eigenvektoren sind {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Eigenwert {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | - {{Imaginäre Einheit}} }} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Eigenwert {{math|term= - {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |allgemeine komplexe Lösung| |Kontext=glg| |SZ= }} ist also nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| y_0(t)| y_1(t)}} || c_1 e^{ {{Imaginäre Einheit}} t} {{op:Spaltenvektor| 1 | {{Imaginäre Einheit}} }} +c_2 e^{- {{Imaginäre Einheit}} t} {{op:Spaltenvektor| 1 | - {{Imaginäre Einheit}} }} || || || |SZ=, }} wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu {{ Mathkor/display|term1= c_1+c_2 = 0 |und|term2= c_1 {{Imaginäre Einheit}} - c_2 {{Imaginäre Einheit}} = v |SZ=. }} Also ist {{ mathkor|term1= c_2=-c_1 |und|term2= c_1 = \frac{v}{2 {{Imaginäre Einheit}} } |SZ=. }} Daher ist die Lösung {{ Relationskette/display | \frac{v}{2 {{Imaginäre Einheit}} } e^{ {{Imaginäre Einheit}} t} - \frac{v}{2 {{Imaginäre Einheit}} } e^{- {{Imaginäre Einheit}} t} || v \cdot {{op:sin| t |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Harmonischer Oszillator |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33zm2gss2hxrb9jjvq6iis6gj9uqr6u 0 34160 1100268 1085395 2026-06-17T07:48:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100268 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=f | [0,1] |\R | t |t^2 |SZ=, }} die bekanntlich in diesem Intervall {{ Definitionslink |streng wachsend| |Kontext=R| |SZ= }} ist. Für ein Teilintervall {{ Relationskette | [a,b] | \subseteq | [0,1] || || || |SZ= }} ist daher {{mathl|term= f(a) |SZ=}} das {{ Definitionslink |Minimum| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= f(b) |SZ=}} das {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=| |SZ= }} der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei {{math|term= n |SZ=}} eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} in die {{math|term= n |SZ=}} gleichlangen Teilintervalle {{ Mathbed/display|term= \left[ i {{op:Bruch| 1 |n}} , (i+1) {{op:Bruch| 1 |n}} \right] ||bedterm1= i=0 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} der Länge {{math|term= {{op:Bruch| 1 |n}} |SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |Kontext=| |SZ= }} zu der zugehörigen {{ Definitionslink |unteren Treppenfunktionen| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} \frac{1}{n} {{makl|i \frac{1}{n}|}}^2 || \frac{1}{n^3} \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} i^2 || \frac{1}{n^3} {{makl| \frac{1}{3} n^3 - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n|}} || \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink{{{optlink1|}}} || Aufgabeseitenname= Zweite Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |Aufgabeseitenname2= Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |SZ= }} für die Formel für die Summe der Quadrate | |ISZ=|ESZ=. }} Da die beiden {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{Folge|Glied=1/2n|}} |und|term2= {{Folge|Glied=1/6n^2|}} |SZ= }} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergieren| |Kontext=Folge R| |SZ=, }} ist der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=| |SZ= }} für {{mathl|term= n \rightarrow \infty |SZ=}} von diesen Treppenintegralen gleich {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |Kontext=| |SZ= }} zu der zugehörigen {{ Definitionslink |oberen Treppenfunktion| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display/druckalign | \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} \frac{1}{n} {{makl|(i+1) \frac{1}{n}|}}^2 || \frac{1}{n^3} \sum_{i {{=|}} 0}^{n-1} (i+1)^2 || \frac{1}{n^3} \sum_{j {{=|}} 1}^{n} j^2 || \frac{1}{n^3} {{makl|\frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n|}} || \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} || |SZ=. }} Der Limes davon ist wieder {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=.}} Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt |SZ= }} überhaupt das {{ Definitionslink |Ober| |Kontext=Integral| |SZ=- }} und das {{ Definitionslink |Unterintegral| |Kontext=| |SZ= }} übereinstimmen, sodass die Funktion {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Kontext=kompakt| |SZ= }} ist und das {{ Definitionslink |bestimmte Integral| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Integral| 0 | 1 |Integrand=t^2||t}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardparabel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cm8w7ih4ylfj9p4w2igep7v7k64ciu7 0 34229 1099799 1084901 2026-06-17T06:31:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099799 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f(x,y) | {{defeq}} | \begin{cases} \frac{ xy^3 } { x^2+y^6 } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, . end{cases} || || |SZ= }} Für einen Vektor {{ Relationskette |v ||(a,b) || || || |SZ= }} und einen reellen Parameter {{math|term= s |SZ=}} erhalten wir auf der Geraden {{math|term= \R v |SZ=}} die Funktion {{ Abbildung/display |name=f_v |\R | \R | s | f(sa,sb) {{=|}} \frac{ sas^3b^3 } { s^2 a^2 + s^6b^6 } {{=|}} \frac{ s^2 ab^3 } {a^2 + s^4 b^6} |SZ=. }} Für {{ Relationskette | a |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist der Nenner stets positiv und die Funktion {{math|term= f_v |SZ=}} ist stetig mit dem Wert {{math|term= 0 |SZ=}} bei {{ Relationskette | s || 0 || || || |SZ=, }} und als {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= s |SZ=}} differenzierbar. Für {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} ist die Funktion {{math|term= f_v |SZ=}} konstant {{math|term= = 0 |SZ=}} und damit ebenfalls differenzierbar. Also existieren in {{math|term= 0 |SZ=}} alle Richtungsableitungen zu {{math|term= f |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= f |SZ=}} ist allerdings nicht stetig: Für die Folge {{mathl|term= (1/n^3,1/n) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die gegen {{ Relationskette/k | 0 || {{op:Zeilenvektor| 0 | 0}} || || || |SZ= }} konvergiert| |ISZ=|ESZ= }} gilt {{ Relationskette/display | f {{makl| {{op:Bruch| 1 |n^3}} , {{op:Bruch| 1 |n}} |}} || {{op:Bruch|(1/n^3)(1/n^3) |(1/n^6) + (1/n^6)}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette | f(0,0) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} b4icqt5s6zpyzjv4uqpj3ot4ipbtrcm 0 34236 1100128 1037337 2026-06-17T07:25:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100128 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung |name= {{{f|f}}} | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || |SZ=, }} die durch {{ Math/display|term= (x,y,z) \longmapsto {{makl| xy^2-z^3, {{op:sin|(xy)|}} + x^2 \cdot {{op:exp| z |}} |}} =({{{f|f}}}_1(x,y,z),{{{f|f}}}_2(x,y,z) ) |SZ= }} gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von {{math|term= {{{f|f}}}_1 |SZ=}} sind {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}_1 | x}} = y^2, \, {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}_1 | y}} = 2xy, \, {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}_1 |z}} = -3z^2 |SZ=, }} und die partiellen Ableitungen von {{math|term= {{{f|f}}}_2 |SZ=}} sind {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}_2 | x}} = y {{op:cos|(xy)|}} + 2x \cdot {{op:exp| z |}}, \,{{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}_2 | y}} = x \cdot {{op:cos|(xy)|}} , \,{{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}_2 |z}} = x^2 \cdot \exp(z) |SZ=. }} Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt {{ Relationskette |P ||(x,y,z) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext= {{{K|}}} | |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix23| y^2| 2xy| -3z^2| y \cos(xy) + 2x \exp (z)| x \cos (xy)| x^2 \exp(z)}} |SZ=. }} Für einen speziellen Punkt, z.B. {{ Relationskette |P ||(2,1,3) || || || |SZ=, }} setzt man einfach ein: {{ Math/display|term= {{op:Matrix23| 1 | 4 | -27| \cos (2) + 4 \exp(3)| 2 \cos (2)| 4 \exp (3)}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} ov7qadkehwwin7aza5yjqz32amdr0wn 0 34238 1099798 1084900 2026-06-17T06:31:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099798 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung |name=f | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3| {{KRC/{{{K|K}}} |}} || |SZ=, }} die durch {{ Math/display|term= (x,y,z) \longmapsto 2xy^2 + x^2z^3+ z^2 |SZ= }} gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich: {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung| f | x}} | {{op:Partielle Ableitung| f | y}} | {{op:Partielle Ableitung| f |z}} }}_{(x,y,z)} || {{op:Zeilenvektor| 2y^2 + 2xz^3| 4xy| 3x^2z^2+ 2z}} || || || |SZ=. }} {{Alternative{{{opt1|}}} |alt1=Da diese alle stetig sind, haben wir nach {{ Faktlink{{{opt2|}}} ||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/{{{K|K}}}/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |SZ= }} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ= }} in jedem Punkt gefunden. |alt2=Wir werden in der nächsten Vorlesung sehen, dass diese Abbildung in jedem Punkt total differenzierbar ist, und dass die Jacobi-Matrix das totale Differential beschreibt.}} Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene {{ Math/display|term= E \subset {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3, \, E = {{Mengebed|(x,y,z)| 3x+2y-5z {{=|}} 0}} |SZ= }} interessiert sind. {{math|term= E |SZ=}} ist also der Kern der linearen Abbildung {{ Abbildung/display |name=L | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3| {{KRC/{{{K|K}}} |}} |(x,y,z)| 3x+2y-5z |SZ=. }} Als Kern ist {{math|term= E |SZ=}} selbst ein {{ Zusatz/Klammer |text=zweidimensionaler| |ISZ=|ESZ= }} Vektorraum. Die Einschränkung von {{math|term= f |SZ=}} auf die Ebene ergibt also die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\tilde{f} {{=|}} f{{|}}_E | E | {{KRC/{{{K|K}}} |}} || |SZ=. }} Diese Abbildung kann man als die Komposition {{ Abbildung |name= | E \subset {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3 | {{KRC/{{{K|K}}} |}} || |SZ= }} auffassen und diese ist nach {{ Faktlink{{{opt3|}}} |Präwort=der|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/{{{K|K}}}/Kettenregel/Fakt |SZ= }} differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von {{math|term= E |SZ=}} in {{math|term= {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3 |SZ=}} mit {{math|term= N |SZ=}} bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt {{ Relationskette |P | \in | E || || || |SZ= }} gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential|\tilde{f}|P}} {{=|}} {{op:Totales Differential| f | P}} \circ N | E | {{KRC/{{{K|K}}} |}} || |SZ=. }} Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen. Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung {{ Abbildung |name= f {{|}}_E | E | {{KRC/{{{K|K}}} |}} || |SZ= }} zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf {{math|term= E |SZ=}} gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von {{math|term= E |SZ=}} zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine {{Anführung|beste Wahl|SZ=,}} und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus. Eine Basis von {{math|term= E |SZ=}} ist beispielsweise durch {{ mathkor|term1= v_1=(0,5,2) |und|term2= v_2=(5,0,3) |SZ= }} gegeben, und eine weitere durch {{ mathkor|term1= w_1=(1,1,1) |und|term2= w_2=(2,-3,0) |SZ=. }} Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen {{ Abbildung |name= | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 | E || |SZ= }} und somit numerische Beschreibungen der Abbildung {{ Abbildung |name= | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 \cong E | {{KRC/{{{K|K}}} |}} || |SZ=, }} womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können. In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung {{ Math/display|term= (s,t) \longmapsto s v_1 + t v_2 = s(0,5,2) + t (5,0,3)=(5t,5s,2s + 3t) |SZ= }} und dieser Ausdruck wird durch {{math|term= f |SZ=}} abgebildet auf {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | 2(5t)(5s)^2+(5t)^2(2s+3t)^3+(2s+3t)^2 || 250ts^2+25 t^2(8s^3+36s^2t+ 54 st^2+ 27t^3) | 3teil2= + 4 s^2+ 9t^2 + 12st || 250ts^2 + 200s^3t^2 +900s^2t^3+1350st^4 | 5teil2= + 675 t^5+ 4s^2+9 t^2+ 12st || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen dieser Komposition {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir sie {{math|term= g |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezüglich dieser Basis sind gegeben durch {{ Relationskette/display/handlinks | \partial g / \partial s || 500ts+ 600s^2 t^2+1800st^3 + 1350 t^4 + 8s + 12 t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display/handlinks | \partial g / \partial t || 250s^2+ 400s^3t + 2700s^2 t^2+ 5400 s t^3+ 3375 t^4 + 18 t + 12s || || || |SZ=. }} In der zweiten Basis {{mathl|term= w_1=(1,1,1) |SZ=}} und {{mathl|term= w_2=(2,-3,0) |SZ=}} ist die Identifikation gegeben durch {{ Math/display|term= (r,u) \longmapsto r w_1 + u w_2 = r(1,1,1)+u(2,-3,0)=(r+2u,r-3u,r) |SZ= }} und dieser Ausdruck wird unter {{math|term= f |SZ=}} abgebildet auf {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | 2(r+2u)(r-3u)^2+(r+2u)^2 r^3+ r^2 || 2 r^3 + 4 r^2u - 12 r^2u - 24 ru^2 | 3teil1 = + 18r u^2+36u^3 + r^5+4r^4u+4r^3u^2+r^2 || 2r^3-8r^2u-6ru^2+36u^3+r^5+4r^4u | 5teil1 = + 4r^3u^2+r^2 |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen der Komposition {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir sie {{math|term= h |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezüglich dieser Basis sind {{ Relationskette/display/handlinks | \partial h / \partial r || 6r^2 - 16 ru -6u^2 + 5 r^4 +16 r^3u + 12 r^2u^2 + 2r || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \partial h / \partial u || -8 r^2 - 12 ru + 108 u^2 + 4 r^4 + 8 r^3 u || || || |SZ=. }} Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} 3zco2ymgjhk0y3jlloff6zojy683nhx 0 34439 1100312 1085441 2026-06-17T07:55:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100312 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | t |f(t) |SZ=, }} mit {{ Relationskette/display | f(t) | {{defeq|}} | \begin{cases} 0 \text{ für } t {{=|}} 0, \\ \frac{1}{t} {{op:sin| \frac{1}{t^2} |}} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases} || || || || |SZ= }} Diese Funktion ist nicht {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |SZ=, }} da sie weder nach oben noch nach unten {{ Definitionslink |beschränkt| |SZ= }} ist. Es existieren also weder untere noch {{ Definitionslink |obere Treppenfunktionen| |SZ= }} für {{math|term= f |SZ=.}} Trotzdem besitzt {{math|term= f |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |SZ=. }} Dazu betrachten wir die Funktion {{ Relationskette/display | H(t) | {{defeq|}} | \begin{cases} 0 \text{ für } t {{=|}} 0, \\ \frac{ t^2}{2} {{op:cos|\frac{1}{t^2}|}} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases} || || || |SZ= }} Diese Funktion ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R |SZ=. }} Für {{ Relationskette |t |\neq| 0 || || || |SZ= }} ergibt sich die Ableitung {{ Relationskette/display | H'(t) || t {{op:cos|\frac{1}{t^2}|}} + \frac{1}{t} {{op:sin| \frac{1}{t^2}|}} || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Differenzenquotient| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | \frac{ \frac{h^2}{2} {{op:cos|\frac{1}{h^2} |}} }{h} || \frac{h}{2} {{op:cos|\frac{1}{h^2} |}} || || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= h \mapsto 0 |SZ=}} existiert der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb R| |SZ= }} und ist gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} sodass {{math|term= H |SZ=}} überall differenzierbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=aber nicht stetig differenzierbar| |ISZ=|ESZ=. }} Der erste Summand in {{math|term= H'|SZ=}} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |SZ= }} und besitzt daher nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stetige Funktion/Stammfunktion existiert/Fakt |SZ= }} eine Stammfunktion {{math|term= G |SZ=.}} Daher ist {{mathl|term= H - G |SZ=}} eine Stammfunktion von {{math|term= f |SZ=.}} Dies ergibt sich für {{ Relationskette |t |\neq| 0 || || || |SZ= }} aus der expliziten Ableitung und für {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ= }} aus {{ Relationskette/display |H'(0)-G'(0) || 0-0 || 0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9c5hvd8hyfqdyyhurp11ug1x7mjwn8a 0 34518 1100313 1085445 2026-06-17T07:55:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100313 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} des {{ Definitionslink |natürlichen Logarithmus| |Kontext=R| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:ln| x |}} |SZ=}} mittels {{ Faktlink |partieller Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |SZ=, }} wobei wir {{ Relationskette | {{op:ln| x |}} || 1 \cdot {{op:ln| x |}} || || || |SZ= }} schreiben und die konstante Funktion {{math|term= 1 |SZ=}} integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist {{ Relationskette/display | {{op:Integral| a | b | Integrand= {{op:ln| x |}} || x}} || {{op:Integralstamm| a | b |(x \cdot {{op:ln| x |}})| x}} - {{op:Integral| a | b | Integrand=x \cdot {{op:Bruch| 1 | x |}} || x}} || {{op:Integralstamm| a | b |(x \cdot {{op:ln| x |}})| x}} - {{op:Integral| a | b | Integrand=1 || x}} || {{op:Integralstamm| a | b |(x \cdot {{op:ln| x |}})| x}} - {{op:Integralstamm| a | b | x || x}} || |SZ=. }} Eine Stammfunktion ist also {{mathl|term= x \cdot {{op:ln| x |}} - x |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2=Theorie des natürlichen Logarithmus |Kategorie3= |Objektkategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3inkjdhmtc4o4c8erkfsg1cwcsq53w0 0 34566 1100318 1085448 2026-06-17T07:56:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100318 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= \sqrt{x^2-1} |SZ=}} unter Verwendung der Hyperbelfunktionen {{ mathkor|term1= {{op:sinh| t |}} |und|term2= {{op:cosh| t |}} |SZ=, }} für die nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hyperbelfunktion/R/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette | {{op:cosh| t |exp=2}} - {{op:sinh| t |exp=2}} || 1 || || || |SZ= }} gilt. Die {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |SZ= }} {{ Math/display|term= x= {{op:cosh| t |}} \text{ mit } dx = {{op:sinh| t |}} dt |SZ= }} liefert{{{zusatz1|}}} {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Integral| a | b | Integrand= \sqrt{x^2-1}|| x}} || {{op:Integral| {{op:arcosh| a ||}} | {{op:arcosh| b ||}} | Integrand= \sqrt{ {{op:cosh| t |exp=2}}-1 } \cdot {{op:sinh| t |}} |t}} || {{op:Integral| {{op:arcosh| a ||}} | {{op:arcosh| b ||}} | Integrand= {{op:sinh| t |exp=2}} |t}} || || |SZ=. }} Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus {{ Relationskette/display | {{op:sinh| t |exp=2}} || {{makl|\frac{1}{2} {{makl| e^t - e^{-t} |}} |}}^2 || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{makl| e^{2t} + e^{-2t} -2 |}} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Integral||| Integrand= {{op:sinh| u |exp=2}} || u }} || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} e^{2u} - {{op:Bruch| 1 | 2}} e^{-2u} - 2u|}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{op:sinh| 2 u|}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} u || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Integral||| Integrand= \sqrt{x^2-1} || x}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{op:sinh|(2 {{op:arcosh| x |}}) |}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:arcosh| x |}} || || || |SZ=. }} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Additionstheorems|Faktseitenname= Hyperbelfunktion/Additionstheoreme/Aufgabe |Nr= |SZ= }} für Sinus hyperbolicus ist {{ Relationskette | {{op:sinh| 2u}} || 2 {{op:sinh|u}} {{op:cosh|u}} || || || |SZ= }} und daher kann man diese Stammfunktion auch als {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:sinh| {{makl| {{op:arcosh| x |}} |}} }} {{op:cosh| {{makl| {{op:arcosh| x |}} |}} }} - {{op:arcosh| x |}} |}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| \sqrt{ {{op:cosh| {{makl| {{op:arcosh| x |}} |}}^2 -1 } \cdot x - {{op:arcosh| x |}} |}} |}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| \sqrt{ x^2 -1 } \cdot x - {{op:arcosh| x |}} |}} || || |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcq1yrwamr5jzh9hin7wnv8hgrmdyxn 0 34619 1100319 1085449 2026-06-17T07:56:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100319 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=| |SZ= }} für die Funktion {{ Relationskette/display |f(x) || {{op:Bruch| x^2|(x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} )^2}} || || || |SZ= }} bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} }} |SZ=. }} Diese ist {{ Relationskette/display/handlinks | - {{op:Bruch| {{op:cos| x |}} -x {{op:sin| x |}} - {{op:cos| x |}} | (x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} )^2 }} || {{op:Bruch| x {{op:sin| x |}} | (x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} )^2 }} || || || |SZ=. }} Wir schreiben daher {{math|term= f |SZ=}} als ein Produkt {{ Relationskette |f(x) || {{op:Bruch| x {{op:sin| x |}} | (x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} )^2 }} \cdot {{op:Bruch| x | {{op:sin| x |}} }} || || || |SZ= }} und wenden darauf {{ Faktlink |partielle Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |SZ= }} an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| x | {{op:sin| x |}} }} |}}' || {{op:Bruch| {{op:sin| x |}} - x {{op:cos| x |}} | {{op:sin| x |exp=2}} }} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Integral||| f| x}} || {{op:Bruch| 1 | x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} }} \cdot {{op:Bruch| x | {{op:sin| x |}} }} {{bruchhilfealign|}} - {{op:Integral||| Integrand= {{op:Bruch| 1 | x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} }} \cdot {{op:Bruch| {{op:sin| x |}} - x {{op:cos| x |}} | {{op:sin| x |exp=2}} }} || x}} || {{op:Bruch| 1 | x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} }} \cdot {{op:Bruch| x | {{op:sin| x |}} }} + {{op:Integral||| Integrand= {{op:Bruch| 1 | {{op:sin| x |exp=2}} }} || x}} || {{op:Bruch| 1 | x {{op:cos| x |}} - {{op:sin| x |}} }} \cdot {{op:Bruch| x | {{op:sin| x |}} }} - {{op:cot| x | }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swmexljh14gcgaj60g71mp707zzzi25 0 34679 1100246 1085376 2026-06-17T07:44:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100246 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=K| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \frac{1}{X^3-1} || \frac{1}{(X-1) {{makl| X^2+X+1 |}} } || || || |SZ=. }} wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | \frac{1}{X^3-1} || \frac{a}{X-1} + \frac{bX+c}{X^2+X+1} || || || |SZ= }} geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf {{ Relationskette/align | 1 || a {{makl| X^2+X+1 |}} + (bX+c)(X-1) || (a+b) X^2 + (a+c-b)X+ a-c || || |SZ=. }} Koeffizientenvergleich führt auf das {{ Definitionslink |inhomogene lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= a+b =0 \text{ und } a+c-b =0 \text{ und } a-c =1 |SZ= }} mit den eindeutigen Lösungen {{ Math/display|term= a= {{op:Bruch| 1 | 3}} ,\, b = - {{op:Bruch| 1 | 3}},\, c= - {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=. }} Die {{ Faktlink |Partialbruchzerlegung|Faktseitenname= Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt |SZ= }} ist also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |X^3-1}} || {{op:Bruch| {{op:Bruch| 1 | 3}} | X-1}} + {{op:Bruch| -{{op:Bruch| 1 | 3}}X - {{op:Bruch| 2 | 3}} | X^2+X+1}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 1 |X-1}} - {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| X + 2 | X^2+X+1}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ohas8r6fhmyn2oxc4ekabu1ebfzprlc 0 34680 1100315 1038168 2026-06-17T07:56:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100315 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten eine Stammfunktion zu {{ Relationskette/display | f(x) || {{op:Bruch| 1 | x^3-1}} || || || |SZ= }} bestimmen. Nach {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Reelle Partialbruchzerlegung/1 durch x^3-1/Beispiel |SZ= }} ist die {{ Faktlink |reelle Partialbruchzerlegung|Faktseitenname= Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Bruch| 1 | x^3-1}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 1 | x-1}} - {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| x + 2 | x^2+x+1 }} || {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 1 | x-1}} - {{op:Bruch| 1 | 6}} \cdot {{op:Bruch| 2x + 4 | x^2+x+1 }} || {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 1 | x-1}} - {{op:Bruch| 1 | 6}} \cdot {{op:Bruch| 2x + 1 | x^2+x+1 }} - {{op:Bruch| 1 | 6}} \cdot {{op:Bruch| 3 | x^2+x+1}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 1 | x-1}} - {{op:Bruch| 1 | 6}} \cdot {{op:Bruch| 2x + 1 | x^2+x+1 }} - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | x^2+x+1}} |SZ=. }} Als {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |SZ= }} ergibt sich daher {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:ln| {{op:Betrag| x-1||}} |}} - {{op:Bruch| 1 | 6}} \cdot {{op:ln(| x^2+x+1|}} - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{3} }} \cdot {{op:arctan| {{op:Bruch| 2 | \sqrt{3} }} {{makl| x+ {{op:Bruch| 1 | 2}} |}} |}} |SZ=, }} wobei wir für den rechten Summanden {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Negative Potenzen von quadratischen Polynomen/Rekursionsformel/Fakt |SZ= }} verwendet haben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71p0nizj4gnrbm544w0z3x9zaz2fkkz 0 34687 1100698 1085798 2026-06-17T10:49:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100698 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Negative Potenzen von quadratischen Polynomen/Rekursionsformel/Fakt |SZ= }} kann man auch {{ Definitionslink |rationale Funktionen| |Kontext=| |SZ= }} der Form {{ Math/display|term= {{op:Bruch|rx+s|(x^2+bx+c)^n}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= r,s \in \R,\, r \neq 0 |SZ=,}} | |ISZ=|ESZ= }} integrieren, wo also das Zählerpolynom linear und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei {{mathl|term= n=1 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl| {{op:Bruch| r | 2}} {{op:ln(| x^2+bx+c|}} |}}' || {{op:Bruch| r | 2}} \cdot {{op:Bruch| 2x+b| x^2+bx+c}} || {{op:Bruch|rx + {{op:Bruch|rb| 2}} | x^2+bx+c}} || || |SZ=. }} D.h., dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ {{ Math/display|term= {{op:Bruch| u | x^2+bx+c}} |SZ= }} ist, was wir aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Negative Potenzen von quadratischen Polynomen/Rekursionsformel/Fakt |SZ= }} integrieren können. Bei {{ Relationskette |n | \geq | 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{makl| {{op:Bruch| -r| 2 (n-1) }} \cdot {{op:Bruch| 1 | {{makl| x^2+bx+c |}}^{n-1}|}} |}}' || {{op:Bruch| -r| 2 (n-1) }} \cdot (-n+1) \cdot (2x+b) \cdot {{op:Bruch| 1 | {{makl| x^2+bx+c |}}^{n}|}} || {{op:Bruch|rx + {{op:Bruch|rb| 2}} | {{makl| x^2+bx+c |}}^{n}|}} || || |SZ= }} und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7jy6y2r68t2bept8570vwp9o2jltia 0 34751 1100314 1085446 2026-06-17T07:55:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100314 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 |t^2 \sqrt{1-t^2}^3}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=| |SZ= }} bestimmen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |SZ= }} beschriebenen {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |SZ= }} {{ Mathkor/display|term1= t = {{op:sin| s |}} |und|term2= dt= {{op:cos| s |}} ds |SZ= }} werden wir auf die Funktion {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | {{op:sin| s |exp=2}} \cdot {{op:cos| s |exp=3}} }} \cdot {{op:cos| s |}} || {{op:Bruch| 1 | {{op:sin| s |exp=2}} \cdot {{op:cos| s |exp=2}} }} || || || |SZ= }} geführt. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt |SZ= }} beschriebenen Substitution {{ mathlist4/disp|term1= s =2 {{op:arctan| u |}} ||term2= ds = {{op:Bruch| 2 | 1+u^2}} du ||term3= {{op:sin| s |}} = {{op:Bruch| 2u| 1+u^2}} |und|term4= {{op:cos| s |}} = {{op:Bruch| 1-u^2| 1+u^2}} |SZ= }} werden wir auf die {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Bruch| {{makl| 1+u^2 |}}^2| 4u^2}} \cdot {{op:Bruch| {{makl| 1+u^2 |}}^2| {{makl| 1-u^2 |}}^2}} \cdot {{op:Bruch| 2 | 1+u^2}} || {{op:Bruch| {{makl| 1+u^2 |}}^3| 2u^2 {{makl| 1-u |}}^2 {{makl| 1+u |}}^2}} || {{op:Bruch|u^6+3u^4+3u^2+1| 2u^6-4u^4+2u^2}} || || |SZ= }} geführt. Hierfür müssen wir die {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=| |SZ= }} finden. Die {{ Faktlink |Präwort=|Division mit Rest|Faktseitenname= Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt {{ Relationskette/display | u^6+3u^4+3u^2+1 || {{makl| 2u^6-4u^4+2u^2 |}} {{op:Bruch| 1 | 2}} + 5u^4+2u^2+1 || || || |SZ=, }} sodass es also um die rationale Funktion {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 5u^4+2u^2+1| 2u^6-4u^4+2u^2 }} |SZ= }} geht. Diese Funktion ist eine rationale Funktion in {{mathl|term= v=u^2 |SZ=,}} sodass wir zuerst die Partialbruchzerlegung von {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 5 | 2}} v^2 +v+ {{op:Bruch| 1 | 2}} |v^3-2v^2+v }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch| 5 | 2}} v^2 +v+ {{op:Bruch| 1 | 2}} |v (v-1)^2 }} || || || |SZ= }} bestimmen. Der Ansatz {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 5 | 2}} v^2 +v+ {{op:Bruch| 1 | 2}} |v (v-1)^2 }} || {{op:Bruch| a |v}} + {{op:Bruch| b |v-1}} + {{op:Bruch| c |(v-1)^2}} || || || |SZ= }} führt zu {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 5 | 2}} v^2 +v+ {{op:Bruch| 1 | 2}} || a (v-1)^2 +b v(v-1) + c v || || || |SZ=. }} Einsetzen von {{ Relationskette |v || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |v || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |v || 2 || || || |SZ= }} führt zu {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} || a || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 4 || c || || || |SZ=, }} und {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 25| 2}} = a+ 2b +2c = {{op:Bruch| 1 | 2}} +2b + 8 ,\, \text{ also } b =2 |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 5 | 2}} v^2 +v+ {{op:Bruch| 1 | 2}} |v (v-1)^2 }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch| 1 | 2}} |v}} + {{op:Bruch| 2 |v-1}} + {{op:Bruch| 4 |(v-1)^2}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 5 | 2}} u^4 +u^2 + {{op:Bruch| 1 | 2}} |u^2 (u^2-1)^2 }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch| 1 | 2}} |u^2}} + {{op:Bruch| 2 |u^2-1}} + {{op:Bruch| 4 |(u^2-1)^2}} || || || |SZ=. }} Mit den Identitäten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 2 |u^2-1}} || {{op:Bruch| 1 |u-1}} - {{op:Bruch| 1 |u+1}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | {{op:Bruch| 4 | {{makl| u^2-1 |}}^2}} || {{makl| {{op:Bruch| 1 |u-1}} - {{op:Bruch| 1 |u+1}} |}}^2 || {{op:Bruch| 1 | {{makl| u-1 |}}^2}} + {{op:Bruch| 1 | {{makl| u+1 |}}^2}} - {{op:Bruch| 2 |(u-1)(u+1)}} || {{op:Bruch| 1 | {{makl| u-1 |}}^2}} + {{op:Bruch| 1 | {{makl| u+1 |}}^2}} - {{op:Bruch| 1 |u-1}} + {{op:Bruch| 1 |u+1}} || |SZ= }} ergibt sich schließlich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 5 | 2}} u^4 +u^2 + {{op:Bruch| 1 | 2}} |u^2 {{makl| u^2-1 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch| 1 | 2}} |u^2}} + {{op:Bruch| 1 |(u-1)^2}} + {{op:Bruch| 1 |(u+1)^2}} || || || |SZ=. }} Die Stammfunktion von {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 5u^4+2u^2+1| 2u^6-4u^4+2u^2 }} |SZ= }} ist daher {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} u - {{op:Bruch| 1 | 2 u}} - {{op:Bruch| 1 |u-1}} - {{op:Bruch| 1 |u+1}} |SZ=. }} Daher ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| s | 2}} |}} |}}-{{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| s | 2}} |}} |}} }} - {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| s | 2}} |}} |}} -1}} - {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| s | 2}} |}} |}} +1}} |SZ= }} eine Stammfunktion von {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | {{op:sin| s |exp=2}} \cdot {{op:cos| s |exp=2}} }} |SZ=, }} und {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| {{op:arcsin| t |}} | 2}} | |}} |}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| {{op:arcsin| t |}} | 2}} |}} |}} }} - {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| {{op:arcsin| t |}} | 2}} |}} |}} -1}} - {{op:Bruch| 1 | {{op:tan| {{makl| {{op:Bruch| {{op:arcsin| t |}} | 2}} |}} |}} +1}} |SZ= }} ist eine Stammfunktion von {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 |t^2 \sqrt{1-t^2}^3}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jj2v52e1novh2mhuraihkg5syb8gnd0 0 34760 1099880 1035825 2026-06-17T06:44:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099880 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{mathl|term= e^{-t^2} |SZ=}} ist nicht elementar integrierbar, d.h., man kann keine geschlossene Stammfunktion mit rationalen Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrfunktionen angeben. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Integral| -\infty| \infty|Integrand= e^{-t^2}||t}} || \sqrt{\pi} || || || || |SZ=, }} was wir hier ohne Beweis mitteilen, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt |Nr= |SZ=. }} Durch eine einfache Substitution ergibt sich daraus {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} {{op:Integral| -\infty| \infty|Integrand= e^{- {{op:Bruch|t^2| 2}} }||t}} || 1 || || || |SZ=. }} Dieses Integral nennt man {{Stichwort|Fehlerintegral|SZ=;}} es spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2=Theorie der Normalverteilung |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lr98czse7207rbsuguxjvkagv04ejnl 0 34777 1099872 1084967 2026-06-17T06:43:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099872 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Abbildung/display |name=f | [1, \infty] |\R | t | {{op:Bruch| 1 |t}} |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |streng fallend| |Kontext=abb| |SZ=. }} Daher ist die Funktion {{math|term= g |SZ=,}} die für {{math|term= x |SZ=}} mit {{ Relationskette | k | \leq | x | < | k+1 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | k | \in | \N || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} durch {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |k}} |SZ=}} definiert ist, eine {{ Anführung |Majorante| {{{def|}}} |SZ= }} für {{math|term= f |SZ=,}} also {{ Relationskette | g(t) | \geq | f(t) || || || |SZ=. }} Auf jedem Intervall {{mathl|term= [1,n] |SZ=}} liefert {{math|term= g |SZ=}} eine {{ Definitionslink |obere Treppenfunktion| |SZ= }} zu {{math|term= f |SZ=.}} Ebenso liefert die durch {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |k+1}} |SZ=}} bei {{ Relationskette | k | \leq | x | < | k+1 || || |SZ= }} definierte Funktion {{math|term= h |SZ=}} eine untere Treppenfunktion für {{math|term= f |SZ=.}} Daher gelten die Abschätzungen {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^{n-1} {{op:Bruch| 1 |k}} | \geq | {{op:Integral| 1 | n | Integrand= {{op:Bruch| 1 |t}} || t }} | \geq | \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} {{op:Bruch| 1 |k+1}} || || || || |SZ=. }} Das Integral in der Mitte besitzt den Wert {{mathl|term= {{op:ln| n |}} |SZ=.}} Daraus ergibt sich mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt |Nr= |SZ= }} ein neuer Beweis, dass die {{ Definitionslink |harmonische Reihe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |divergiert| |Kontext=Reihe| |SZ=. }} {{ inputbild |Gamma-area|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar, die Darstellung ist überhöht. |Autor= |Benutzer=Kiwi128 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist {{mathl|term= 1- {{op:Bruch| 1 |n}} |SZ=.}} Daher ist die Differenz {{ Math/display|term= \sum_{k=1}^{n-1} {{op:Bruch| 1 |k}} - {{op:ln| n |}} |SZ= }} für jedes {{math|term= n |SZ=}} positiv, mit {{math|term= n |SZ=}} wachsend und {{ Definitionslink |nach oben beschränkt| |SZ=. }} Daher existiert für {{mathl|term= n \rightarrow \infty |SZ=}} der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis {{math|term= n |SZ=}} aufsummiert anstatt bis {{mathl|term= n-1 |SZ=.}} Wir setzen {{ Relationskette/display | \gamma | {{defeq}} | {{op:Folgenlimes| n | \infty|Glied= {{makl| \sum_{k {{=|}} 1}^{n} {{op:Bruch| 1 |k}} - {{op:ln| n |}} |}} }} || || || |SZ= }} und nennen sie die {{Stichwort|eulersche Konstante|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Mascheronische Konstante|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Ihr numerischer Wert ist ungefähr {{ Relationskette/display | \gamma || 0{,}5772156649\dotso || || || |SZ=. }} Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl {{ Definitionslink |rational| |Kontext=Zahl| |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Konstante |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b74ekkq7556l9fekwhsk2j4p78dwicw 0 34817 1100362 1085493 2026-06-17T08:03:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100362 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | x | > | -1 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R_{+}|\R | t | t^xe^{-t} |SZ=. }} Wir behaupten, dass das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Integral| 0 | \infty|Integrand=t^xe^{-t}||t}} |SZ= }} existiert. Für den rechten Rand {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= \infty|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} betrachten wir eine natürliche Zahl {{ Relationskette |n | \geq | x || || || |SZ=. }} Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialreihe/Durch x^n/Unbeschränkt/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} gibt es ein {{ Relationskette |a | \in | \R_+ || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | t^n e^{ - {{op:Bruch| t | 2}} } | \leq | 1 || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |t | \geq |a || || || |SZ= }} gilt. Daher ist {{ Relationskette/align | {{op:Integral| a | b | Integrand= t^x e^{-t}||t}} | \leq | {{op:Integral| a | b | Integrand= t^n e^{-t}||t}} || {{op:Integral| a | b | Integrand= t^n e^{- {{op:Bruch| t | 2}} } e^{- {{op:Bruch| t | 2}} } ||t}} | \leq | {{op:Integral| a | b | Integrand= e^{- {{op:Bruch| t | 2}} } ||t}} || 2 {{makl|e^{ - {{op:Bruch| a | 2}} } - e^{ - {{op:Bruch| b | 2}} }|}} | \leq | 2 e^{ - {{op:Bruch| a | 2}} } |SZ=. }} Für {{mathl|term= b \rightarrow \infty |SZ=}} wächst das linke Integral und ist durch {{mathl|term= 2 e^{ - {{op:Bruch| a | 2}} } |SZ=}} {{ Definitionslink |beschränkt| |SZ=, }} sodass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand {{ Zusatz/Klammer |text=das nur bei {{ Relationskette/k | -1 | < | x | \leq | 0 || || |SZ= }} problematisch ist| |ISZ=|ESZ= }} müssen wir wegen {{ Relationskette | e^{-t} | \leq | 1 || || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt |SZ= }} nur {{mathl|term= {{op:Integral| 0 | 1 |Integrand=t^x||t}} |SZ=}} betrachten. Eine Stammfunktion davon ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | x+1}} t^{x+1} |SZ=,}} deren Exponent positiv ist, sodass der Limes für {{mathl|term= t \rightarrow 0 |SZ=}} existiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lf87tbmp7g0614d2e6rhplwoca27jq 0 34834 1100037 1085142 2026-06-17T07:09:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100037 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten für {{ Relationskette |t | > | 1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| y |t^2-1}} + t-1 || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette | y(2) || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist also {{ Relationskette | h(t) || t-1 || || || |SZ= }} die Störfunktion und {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| y |t^2-1}} || || || |SZ= }} ist die zugehörige {{ Definitionslink |homogene lineare Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ=. }} Eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |t^2-1}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | G(t) || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln| ( t-1 )||}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln| ( t+1)||}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln| {{makl| {{op:Bruch|t-1|t+1}} |}} ||}} || {{op:ln| {{makl| {{op:Bruch| \sqrt{t-1}| \sqrt{t+1} }} |}} ||}} || |SZ=. }} Daher ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. nach {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/y' ist 1 durch t^2-1 mal y/Beispiel |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | a(t) || {{op:Bruch| \sqrt{t-1}| \sqrt{t+1} }} || || || |SZ= }} eine Lösung zur homogenen Differentialgleichung. Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung brauchen wir eine Stammfunktion zu {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|h(t)|a(t)}} || {{op:Bruch| \sqrt{t+1}| \sqrt{t-1} }} \cdot (t-1) || \sqrt{t+1} \cdot \sqrt{t-1} || \sqrt{t^2-1} || |SZ=. }} Eine Stammfunktion dazu ist {{ Relationskette/display | c(t) || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| t \sqrt{t^2-1} - {{op:arcosh| t |}} |}} || || || |SZ=. }} Die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung haben also die Gestalt {{ Math/display|term= \sqrt{ {{op:Bruch|t-1|t+1}} } \cdot {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| t \sqrt{t^2-1} - {{op:arcosh| t |}} |}} +c |}} |SZ= }} Die Anfangsbedingung führt zu {{ Relationskette/display | 5 || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{3} }} \cdot {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| 2 \sqrt{3} - {{op:arcosh| 2 |}} |}} + c_0 |}} || 1- {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{3} }} {{op:arcosh| 2 |}} + c_0 {{op:Bruch| 1 | \sqrt{3} }} || || |SZ=. }} Also ist {{ Relationskette/display |c_0 || 4 \sqrt{3} + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:arcosh| 2 |}} || || || |SZ= }} und die Lösung des Anfangswertproblems ist {{ Relationskette/display/handlinks | y(t) || \sqrt{ {{op:Bruch|t-1|t+1}} } \cdot {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| t \sqrt{t^2-1} - {{op:arcosh| t |}} |}} + 4 \sqrt{3} + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:arcosh| 2 |}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1j2n3tmxfhkhwnzstwu8opctigkpo9d 0 34842 1099921 1036080 2026-06-17T06:51:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099921 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |zeitunabhängige Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| 1 | y}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | y | > | 0 || || || |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette |h(y) || {{op:Bruch| 1 | y}} || || || |SZ= }} und damit müssen wir nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt |SZ= }} {{math|term= y |SZ=}} {{ Definitionslink |integrieren| |Kontext=R| |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} dazu ist {{ Relationskette/display |H(y) || {{op:Bruch| 1 | 2}} y^2 || || || |SZ=. }} Die Umkehrfunktion berechnet sich aus dem Ansatz {{ Relationskette |z || {{op:Bruch| 1 | 2}} y^2 || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette | y || \sqrt{2z} || H^{-1}(z) || || |SZ=. }} Also haben die {{ Definitionslink |Lösungskurven| |Kontext=| |SZ= }} die Gestalt {{ Relationskette/display | y(t) || \sqrt{2(t +c)} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |c | \in |\R || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 89riy3p60m9panogrs6jnnkbddj2roc 0 34845 1099917 1085009 2026-06-17T06:50:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099917 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Differentialgleichung mit getrennten Variablen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || t \cdot y^3 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | y | > | 0 || || || |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | y^3}} |SZ=}} ist {{ Relationskette |H(y) || - {{op:Bruch| 1 | 2}} y^{-2} || z || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= z |SZ=}} ist also negativ| |ISZ=|ESZ= }} mit der {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y || H^{-1}(z) || \sqrt{ - {{op:Bruch| 1 | 2}} z^{-1} } || || |SZ=. }} Die Stammfunktionen zu {{ Relationskette |g(t) ||t || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2}}t^2 + c |SZ=.}} Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form {{ Relationskette/display | y(t) || \sqrt{ - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}}t^2 + c|}}^{-1} } || \sqrt{ {{op:Bruch| -1| t^2 + 2c }} } || || |SZ=. }} Hierbei muss {{math|term= c |SZ=}} negativ gewählt werden, damit diese Lösung einen nichtleeren Definitionsbereich besitzt. Der Definitionsbereich ist dann das Intervall {{mathl|term= ]{{-\sqrt{-2c}},\sqrt{-2c} [} |SZ=.}} Insbesondere sind die Lösungen nur auf einem beschränkten offenen Intervall definiert, obwohl die Differentialgleichung auf ganz {{math|term= \R^2 |SZ=}} definiert ist. An den Intervallgrenzen strebt {{mathl|term= y(t) |SZ=}} gegen {{mathl|term= {+\infty} |SZ=,}} d.&nbsp;h., die Lösung {{Anführung|entweicht|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} derrvx9rowgtvcbqfudqonkolezhzsv 0 34846 1099916 1085008 2026-06-17T06:50:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099916 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Differentialgleichung mit getrennten Variablen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || - t \cdot y^3 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | y | > | 0 || || || |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | y^3}} |SZ=}} ist {{ Relationskette |H(y) || - {{op:Bruch| 1 | 2}} y^{-2} || z || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= z |SZ=}} ist also negativ| |ISZ=|ESZ= }} mit der {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y || H^{-1}(z) || \sqrt{ - {{op:Bruch| 1 | 2}} z^{-1} } || || |SZ=. }} Die Stammfunktionen zu {{ Relationskette |g(t) || -t || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= - {{op:Bruch| 1 | 2}}t^2 + c |SZ=.}} Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form {{ Relationskette/display | y(t) || \sqrt{ - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 2}}t^2 +c|}}^{-1} } || \sqrt{ {{op:Bruch| 1| t^2 - 2c }} } || || |SZ=. }} Insbesondere erhält man bei {{ Relationskette |c || 0 || || || |SZ= }} die auf {{math|term= \R_+|SZ=}} definierte Lösung {{ Relationskette/display | y(t) || {{op:Bruch| 1 |t}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o4frjvkveczmb2yqm2pbgn6abq163v3 0 34854 1100031 1036845 2026-06-17T07:08:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100031 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| y |t^2+1}} || || || |SZ=. }} Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | g(t) || {{op:Bruch| 1 |t^2+1}} || || || |SZ=, }} eine solche ist {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Inverse trigonometrische Funktionen/Ableitung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Relationskette/display |G(t) || {{op:arctan| t |}} || || || |SZ= }} gegeben. Daher sind die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=gdg| |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= c \cdot {{op:exp|( {{op:arctan| t |}} ) }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der homogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=y/(t^2+1) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ghypuwg6z4sbfjm6z69jiscg1uenqj 0 34878 1100360 1085492 2026-06-17T08:03:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100360 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | f(t) | {{defeq|}} | t^{ {{{c|c}}} } || || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{{c|c}}} | \in | \R || || || |SZ=. }} Wir interessieren uns für das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |SZ= }} zu {{math|term= f |SZ=}} für {{math|term= t |SZ=}} von {{ mathkor|term1= 1 |bis|term2= \infty |SZ=. }} Der kritische {{ Definitionslink |(uneigentliche) Randpunkt| |SZ= }} ist also {{math|term= + \infty |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | c || -1 || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:ln| t |}} |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= 1/t |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Integral| 1 | x | Integrand= \frac{1}{t} }} || {{op:ln| x |}} || || || |SZ=, }} und der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb R| |SZ= }} für {{mathl|term= x \rightarrow + \infty|SZ=}} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Es sei nun {{ Relationskette | {{{c|c}}} | < | -1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= t^{ {{{c|c}}} } |SZ=}} und daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| x | \infty| {{makl| {{op:Integral| 1 | x|Integrand= t^{ {{{c|c}}} } }} |}} }} || {{op:Funktionslimes| x | \infty| {{makl| {{op:Integralstamm| 1 | x |stamm = \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} t^{ { {{{c|c}}} }+1} }} |}} }} || {{op:Funktionslimes| x | \infty| {{makl| \frac{x^{ { {{{c|c}}} } + 1} }{ { {{{c|c}}} }+1} - \frac{1}{ { {{{c|c}}} }+1} |}} }} || || |SZ=. }} Da es sich um eine Potenz von {{math|term= x |SZ=}} mit einem negativen Exponenten handelt, ist {{ Relationskette | {{op:Funktionslimes| x | \infty| x^{ { {{{c|c}}} }+1} }} || 0 || || || |SZ=. }} Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert {{mathl|term= - {{op:Bruch| 1 | {{{c|c}}} +1}} |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | {{{c|c}}} | > | -1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | t^{ {{{c|c}}} } | \geq | t^{-1} || || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | t | \geq | 1 || || || |SZ= }} und daher kann nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt |SZ= }} das uneigentliche Integral nicht existieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sco8ibnu6sjvho8nh8sdwpi86g5o49r 0 35520 1100125 1085231 2026-06-17T07:24:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100125 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Länge der {{Stichwort|Standardparabel|SZ=}} berechnen, also die Länge der durch {{ Abbildung/display |name= |\R|\R^2 | t |(t,t^2) |SZ=, }} gegebenen Kurve. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt |SZ= }} ist die Länge von {{ mathkor|term1= 0 |nach|term2= b |SZ= }} unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align | {{op:Integral| 0 | b | Integrand= \sqrt{1+4x^2}|| x}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Integral| 0 | 2b|Integrand= \sqrt{1+u^2}|| u}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{op:Integralstamm| 0 | 2b|stamm = {{makl| u \sqrt{1+u^2} + {{op:arsinh| u |}} |}} || u}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} b \sqrt{1+4b^2} + {{op:Bruch| 1 | 4}} {{op:arsinh|(2b)|}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardparabel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2t4pudpmqwfvwvldnhwkmf6mhbjf40 0 35536 1100036 1036861 2026-06-17T07:09:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100036 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || y + t^2 || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette | y(3) || 4 || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |a(t) || e^t || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=| |SZ= }} der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |SZ= }} müssen wir daher eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|t^2|e^t}} || t^2 \cdot e^{-t} || || || |SZ= }} finden. Mit zweifacher {{ Faktlink |partieller Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |SZ= }} findet man die Stammfunktion {{ Math/display|term= {{makl| -t^2-2t-2 |}} e^{-t} |SZ=. }} Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form {{ Relationskette/display | e^t {{makl| {{makl| -t^2-2t-2 |}} e^{-t} +c |}} || -t^2-2t-2 +c e^t || || || |SZ=. }} Wenn wir noch die Anfangsbedingung {{ Relationskette | y(3) || 4 || || || |SZ= }} berücksichtigen, so ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette/display | -9-6-2+c e^3 || -17 +c e^3 || 4 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette |c || {{op:Bruch| 21|e^3}} || || || |SZ=. }} Die Lösung des Anfangswertproblems ist also {{ Relationskette/display | y(t) || -t^2-2t-2 + {{op:Bruch| 21|e^3}} e^t || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejsntya597aj069mczlifv8963t702j 0 35546 1099800 1084902 2026-06-17T06:32:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099800 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{CC}} \cong \R^2| \R^2 \cong {{CC}} || |SZ=, }} die in reellen Koordinaten durch {{mathl|term= (x,y) \mapsto (4x^2-xy,2xy^2+y^3)=(g,h) |SZ=}} gegeben ist. Diese ist offenbar reell differenzierbar mit der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 8x-y| -x| 2y^2| 4xy+3y^2 }} |SZ=, }} aber nicht komplex differenzierbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} 6jg8pebribjeifue6mxtvvfnrg03ueu 0 35547 1099797 1084899 2026-06-17T06:31:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099797 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{CC}} \cong \R^2| \R^2 \cong {{CC}} || |SZ=, }} die in reellen Koordinaten durch {{mathl|term= (x,y) \mapsto (x^4-6x^2y^2+y^4,4x^3y-4xy^3)=(g,h) |SZ=}} gegeben ist. Diese ist offenbar reell-differenzierbar mit der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 4x^3-12xy^2| -12x^2y+4y^3| 12x^2y-4y^3| 4x^3-12xy^2 }} |SZ=. }} Damit erfüllt die Abbildung die Cauchy-Riemann Differentialgleichung und ist somit komplex-differenzierbar. In der Tat ist die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} grade die Abbildung {{ Math/display|term= z \longmapsto z^4 = (x^4-6x^2y^2+y^4,4x^3y-4xy^3) |SZ=. }} Das komplexe Differential ist also {{mathl|term= 4z^3 |SZ=.}} Diese komplex-lineare Abbildung schickt {{ Math/display|term= 1 \longmapsto 4z^3 = 4(x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i) |SZ= }} und {{ Math/display|term= i \longmapsto 4iz^3=4((x^3-3xy^2)i - (3x^2y-y^3)) |SZ=. }} Diese beiden Vektoren bilden die Spalten der zugehörigen reellen Matrix. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} o9lq036c83w1r8p9yrxd3qn9kh9fqwy 0 35582 1100356 1085487 2026-06-17T08:02:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100356 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|trigonometrische Parametrisierung|SZ=}} des {{Stichwort|Einheitskreises|msw=Einheitskreis|SZ=,}} also die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R^2 | t |( {{op:cos| t |}} , {{op:sin| t |}} ) |SZ=. }} Diese Abbildung ist für jedes {{ Relationskette |t | \in |\R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | f'(t) ||( - {{op:sin| t |}}, {{op:cos| t |}} ) || || || |SZ=. }} Die Norm dieser Ableitung ist zu jedem Zeitpunkt gleich {{ Relationskette/display | {{op:Norm|f'(t)||}} || \sqrt{ {{op:sin| t |exp=2}} + {{op:cos| t |exp=2}} } || 1 || || |SZ=. }} Wählen wir das Intervall {{mathl|term= [0,2 \pi] |SZ=,}} so ist {{ Relationskette/display |f(0) ||(1,0) || f(2 \pi) || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass in der {{ Faktlink |Mittelwertabschätzung|Faktseitenname= Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt |SZ= }} nicht Gleichheit gelten kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Mittelwertabschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8jjb80p50kg42uu5ks4d35xayln08d 0 35584 1099794 1084896 2026-06-17T06:31:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099794 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Kurve| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R^3 | t | {{op:Zeilenvektor|t^2-t^3|t \cdot {{op:sin| t |}} | e^{-t} }} |SZ= }} ist in jedem Punkt {{ Relationskette |t | \in | \R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |SZ=, }} und zwar ist {{ Relationskette/display | f'(t) || {{op:Zeilenvektor| 2t-3t^2 | {{op:sin| t |}} + t \cdot {{op:cos| t |}} | - e^{-t} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 95r4cfv897hwr7edekzkei5dna0ly8t 0 35619 1099922 1085015 2026-06-17T06:51:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099922 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |zeitunabhängige Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || {{op:sin| y}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | y | \in | J || {]0, \pi[} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt |SZ= }} müssen wir also {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | {{op:sin| y |}}}} |SZ=}} {{ Definitionslink |integrieren| |Kontext=| |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} dazu ist nach {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Stammfunktion/1 durch Sinus/Beispiel |SZ= }} die Funktion {{ Abbildung/display |name=H | J | J' {{=|}} \R | y | H(y) {{=|}} {{op:ln| {{makl| {{op:tan| {{op:Bruch| y | 2}} |}} |}} }} |SZ=. }} Die Umkehrfunktion {{mathl|term= H^{-1} |SZ=}} berechnet sich über {{ Relationskette |u || {{op:ln| {{makl| {{op:tan| {{op:Bruch| y | 2}} |}} |}} }} || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | H^{-1}(y) || 2 {{op:arctan| {{makl| e^u |}} |}} || || || |SZ=. }} Also haben die {{ Definitionslink |Lösungskurven| |Kontext=| |SZ= }} die Gestalt {{ Relationskette/display | y(t) || 2 {{op:arctan| {{makl| e^{t+c} |}} |}} || || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette |c | \in |\R || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppy8j23yheytju3eoz54hcj33l5wqs7 0 35731 1100129 1085235 2026-06-17T07:25:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100129 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung |name= | {{KRC}}^3| {{KRC}}^2 || |SZ=, }} die durch {{ Math/display|term= (x,y,z) \longmapsto (xy^2-z^3, {{op:sin|(xy)|}} + x^2 \cdot {{op:exp| z |}})=(f_1,f_2) |SZ= }} gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von {{math|term= f_1 |SZ=}} sind {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung|f_1 | x}} = y^2, \, {{op:Partielle Ableitung|f_1 | y}} = 2y, \, {{op:Partielle Ableitung|f_1 |z}} = -3z^2 |SZ=, }} und die partiellen Ableitungen von {{math|term= f_2 |SZ=}} sind {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung|f_2 | x}} = y {{op:cos|(xy)|}} + 2x \cdot {{op:exp| z |}}, \,{{op:Partielle Ableitung|f_2 | y}} = x \cdot {{op:cos|(xy)|}} , \,{{op:Partielle Ableitung|f_2 |z}} = x^2 \cdot \exp(z) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8fcqir8ozaror1uzp2z1qdn8tdn2zbu 0 35732 1100266 1085394 2026-06-17T07:48:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100266 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 | {{KRC/{{{K|K}}} |}} |(x,y)| x^2y |SZ=, }} in einem Punkt {{ Relationskette |P ||(a_1,a_2) || || || |SZ= }} in Richtung {{ Relationskette |v ||(v_1,v_2) || || || |SZ=. }} Der Differenzenquotient ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Bruch|f(P+sv)-f(P)|s}} || {{op:Bruch|f( (a_1+sv_1,a_2+sv_2) )-f((a_1,a_2))|s}} || {{op:Bruch|(a_1+sv_1)^2 (a_2+sv_2)-a_1^2a_2 |s}} || {{op:Bruch|a_1^2a_2+ 2sa_1a_2v_1 +s^2a_2v_1^2 + s a_1^2v_2 +2s^2a_1v_1v_2 + s^3 v_1^2v_2 -a_1^2a_2 |s}} || 2a_1a_2v_1 +a_1^2v_2 + s(a_2v_1^2 +2 a_1v_1v_2) + s^2( v_1^2v_2 ) |SZ=. }} Für {{mathl|term= s \rightarrow 0 |SZ=}} gehen die beiden hinteren Summanden gegen {{math|term= 0 |SZ=,}} sodass sich insgesamt {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| s | 0 | {{op:Bruch|f(P+sv)-f(P)|s}} }} || 2a_1a_2v_1 +a_1^2v_2 || || || |SZ= }} ergibt. Im Punkt {{ Relationskette |P ||(2,5) || || || |SZ= }} ergibt sich in Richtung {{ Relationskette |v || (1,-3) || || || |SZ= }} beispielsweise die Richtungsableitung {{ Relationskette/display | 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 + 2^2 \cdot (-3) || 8 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4p6xkjeghuyturhylhmcj8e49s2b09v 0 35781 1100020 1085132 2026-06-17T07:07:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100020 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |polynomiale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^n | {{KRC/{{{K|K}}} |}} |(x_1 {{kommadots|}} x_n)| x_1 \cdots x_n |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ= }} in Richtung {{ Relationskette |v ||(v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} in einem beliebigen Punkt {{ Relationskette/display |P ||(x_1 {{kommadots|}} x_n) || || || |SZ= }} ergibt sich durch Betrachten des Differenzenquotienten, also {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Bruch|(x_1+sv_1) \cdot (x_2+sv_2) \cdots (x_n+sv_n) - x_1\cdot x_2 \cdots x_n |s}} || {{op:Bruch| x_1\cdot x_2 \cdots x_n +s {{makl| \sum_{i {{=|}} 1 }^n v_i {{op:Bruch| x_1 \cdots x_n | x_i }} |}} + s^2 g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n) - x_1\cdot x_2 \cdots x_n |s}} || \sum_{i {{=|}} 1 }^n v_i {{op:Bruch| x_1 \cdots x_n | x_i }} +s \cdot g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n ) || || |SZ=. }} Dabei ist {{mathl|term= g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n ) |SZ=}} eine polynomiale Funktion in {{math|term= s |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{mathlk|term=x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} und die {{mathlk|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} sind fixierte Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=Abb| |SZ= }} von {{mathl|term= s \cdot g(s, x_1 {{kommadots|}} x_n,v_1 {{kommadots|}} v_n ) |SZ=}} geht für {{mathl|term= s \rightarrow 0 |SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Richtungsableitung| f | P |v}} || \sum_{i {{=|}} 1 }^n v_i {{op:Bruch| x_1 \cdots x_n | x_i }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0popi11546rsbtiizgd6mjt9l95tg4 0 36226 1099875 1084970 2026-06-17T06:43:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099875 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Funktion| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)| x+3x^2-2xy-y^2+y^3 |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |SZ= }} sind {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung| f | x}} = 1+6x-2y |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| f | y}} = -2x-2y+3y^2 |SZ=. }} Zur Berechnung der {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |Kontext=Funktion| |SZ= }} dieser Funktion eliminieren wir {{math|term= x |SZ=}} und erhalten die Bedingung {{ Relationskette/display | 9y^2-8y+1 || 0 || || || |SZ=, }} die zu {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch| \pm \sqrt{7}| 9}} + {{op:Bruch| 4 | 9}} || || || |SZ= }} führt. Die kritischen Punkte sind also {{ Mathkor/display|term1= P_1 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 2 \sqrt{7} -1| 54}} | {{op:Bruch| \sqrt{7}| 9}} + {{op:Bruch| 4 | 9}} }} |und|term2= P_2 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| -2 \sqrt{7} -1| 54}} | {{op:Bruch| - \sqrt{7}| 9}} + {{op:Bruch| 4 | 9}} }} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Hesse-Form| |SZ= }} ist in einem Punkt {{ Relationskette |Q || (x,y) || || || |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Hesse| f | Q}} || {{op:Matrix22| 6 | -2| -2| -2+6y}} || || || |SZ=. }} Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir {{ Faktlink{{{opt1|}}} ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt |Faktseitenname2= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |SZ= }} heran, wobei der erste Minor, also {{math|term= 6 |SZ=,}} natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist {{ Math/display|term= -16 +36 y |SZ=, }} was genau bei {{ Relationskette | y | > | {{op:Bruch| 4 | 9}} || || || |SZ= }} positiv ist. Dies ist im Punkt {{math|term= P_1 |SZ=}} der Fall, aber nicht im Punkt {{math|term= P_2 |SZ=.}} Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt {{math|term= P_1 |SZ=}} nach {{ Faktlink{{{opt2|}}} ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt |Faktseitenname2= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |SZ= }} positiv definit und somit besitzt die Funktion {{math|term= f |SZ=}} im Punkt {{math|term= P_1 |SZ=}} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |SZ= }} ein isoliertes {{ Definitionslink |lokales Minimum| |SZ=, }} das zugleich ein {{ Definitionslink |globales Minimum| |SZ= }} ist. In {{math|term= P_2 |SZ=}} ist die Determinante negativ, sodass dort die Hesse-Form {{ Definitionslink |indefinit| |SZ= }} ist und somit, wiederum nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |SZ=, }} kein Extremum vorliegen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nc47bt6v9v40ej2w0kbepkuuzgy9hwx 0 36353 1100140 1085243 2026-06-17T07:27:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100140 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(r, \alpha)| (r {{op:cos|\alpha|}} , r {{op:sin|\alpha|}} ) |SZ=, }} heißt {{Stichwort|Polarkoordinatenauswertung|SZ=.}} Sie ordnet einem Radius {{math|term= r |SZ=}} und einem Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein| |ISZ=|ESZ= }} denjenigen Punkt der Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=in kartesischen Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels {{ Zusatz/Klammer |text=gemessen von der {{math|term= x |SZ=-}}Achse aus gegen den Uhrzeigersinn| |ISZ=|ESZ= }} die Strecke {{math|term= r |SZ=}} zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt {{mathl|term= (r,\alpha) |SZ=}} {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| {{op:cos|\alpha|}} | - r {{op:sin|\alpha|}} | {{op:sin|\alpha|}} | r {{op:cos|\alpha|}} }} |SZ=. }} Diese Abbildung ist nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel {{math|term= \alpha|SZ=,}} {{ Definitionslink |periodisch| |Kontext=| |SZ= }} mit der Periode {{math|term= 2 \pi|SZ=}} ist. Bei {{ Relationskette |r || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Gs |text=unabhängig von {{math|term= \alpha|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} das Bild gleich {{mathl|term= (0,0) |SZ=.}} Ferner ist {{ Relationskette | \varphi(-r, \alpha + \pi ) ||\varphi(r, \alpha) || || || |SZ=. }} Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein. Die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der Jacobi-Matrix ist {{ Relationskette/display | r( {{op:cos|\alpha|exp=2}} + {{op:sin|\alpha|exp=2}} ) || r || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |r |\neq| 0 || || || |SZ= }} liegt also nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt |SZ= }} ein {{ Definitionslink |bijektives| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |totales Differential| |Kontext=| |SZ= }} vor. Nach dem {{ Faktlink |Satz über die lokale Umkehrabbildung|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |SZ= }} gibt es zu jedem Punkt {{mathl|term= (r, \alpha) |SZ=}} mit {{ Relationskette |r |\neq| 0 || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Relationskette | (r, \alpha) | \in | U_1 || || || |SZ= }} und eine bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi {{|}} _{U_1 } | U_1 | U_2 {{=|}} \varphi(U_1) || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |r | > | 0 || || || |SZ= }} kann man beispielsweise als offene Umgebung das {{ Definitionslink |offene Rechteck| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |U_1 || {]r- \delta, r+ \delta[} \times {]\alpha - \epsilon, \alpha+ \epsilon [} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |r | > | \delta | > | 0 || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | \pi | > | \epsilon | > | 0 || || |SZ= }} wählen. Das Bild davon, also {{math|term= U_2 |SZ=,}} ist der Schnitt des {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} Kreisringes zu den Radien {{ mathkor|term1= r-\delta |und|term2= r+ \delta |SZ= }} und dem {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Kreissektor| |Kontext=| |SZ=, }} der durch die beiden Winkel {{ mathkor|term1= \alpha- \epsilon |und|term2= \alpha+ \epsilon |SZ= }} begrenzt ist. Man kann diese Abbildung zu einer {{ Definitionslink |bijektiven Abbildung| |Kontext=| |SZ=, }} und zwar zu einem {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ=, }} auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu {{ Abbildung/display |name= |\R_+ \times {]- \pi, \pi[}| \R^2 \setminus {{Mengebed|(x,0)| x \leq 0}} |(r, \alpha)|(r {{op:cos|\alpha|}} , r {{op:sin|\alpha|}} ) |SZ=. }} Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der {{ Definitionslink |trigonometrischen Funktionen| |Kontext=| |SZ=, }} siehe insbesondere {{ Faktlink{{{opt1|}}} ||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Faktseitenname2= Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt |SZ=. }} Wenn man das offene Intervall {{mathl|term= ]{-\pi}, \pi[ |SZ=}} durch das halboffene Intervall {{mathl|term= ]{-\pi}, \pi] |SZ=}} ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen {{mathl|term= \R_+ \times {]{-\pi}, \pi]} |SZ=}} und {{mathl|term= \R^2 \setminus \{ (0,0) \} |SZ=.}} Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polarkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7buwsswo41ifhy6g17xjo3wlnyej4gj 0 36359 1100612 1085846 2026-06-17T10:35:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100612 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=\varphi |\R^n |\R^m || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display/handlinks | \varphi(x_1 {{kommadots|}} x_n) || ( \varphi_1 (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots|}} \varphi_m (x_1 {{kommadots|}} x_n) ) || (y_1 {{kommadots|}} y_m) || || |SZ= }} führt unmittelbar zu einem Gleichungssystem {{ Math/display|term= y_1 = \varphi_1 (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots|}} y_m = \varphi_m (x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=. }} Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems ist gerade die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} über {{ Relationskette | y || (y_1 {{kommadots|}} y_m) || || || |SZ=. }} Man kann sich fragen, wie zu gegebenem {{ Relationskette | y || {{tupel1m| y |}} || || || |SZ= }} die Lösungsmenge aussieht, welche Struktur sie hat und wie sie sich mit {{math|term= y |SZ=}} verändert. Das {{Anführung|grobe Muster}} zeigt sich schon deutlich bei einem {{Stichwort|linearen Gleichungssystem|msw=Lineares Gleichungssystem|SZ=}} in {{math|term= n |SZ=}} Variablen und {{math|term= m |SZ=}} Gleichungen. Dort sind bei {{ Relationskette/display | n | \geq | m || || || |SZ= }} und wenn die Gleichungen {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |SZ= }} sind, die Lösungsmengen {{mathl|term= (n-m) |SZ=-}}{{ Definitionslink |dimensionale| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |affine Untervektorräume| |Kontext=| |SZ= }} des {{math|term= \R^n |SZ=.}} Insbesondere sind alle Lösungsmengen gleich und besitzen die gleiche Dimension. Das Bestimmen der Lösungsmengen ist im Allgemeinen sehr viel schwieriger als im linearen Fall und auch gar nicht effektiv durchführbar. Dennoch vermittelt die lineare Approximation durch das totale Differential den richtigen Ansatz für das Studium allgemeiner Fasern. Eine reichhaltige Strukturaussage über die Gestalt der Faser in einem Punkt {{math|term= P |SZ=}} ist nur dann zu erwarten, wenn das totale Differential in {{math|term= P |SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist. In diesem Fall ist der Kern des totalen Differentials, also die Lösungsmenge des durch diese lineare Abbildung gegebenen linearen Gleichungssystems, {{Stichwort|tangential|SZ=}} an die {{ Definitionslink |Faser durch| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= P |SZ=,}} und man kann auf hinreichend kleinen offenen Mengen eine Bijektion zwischen dem Kern und der Faser stiften. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mn6ohhahxh7l5iskby5cacq6tyr3sbc 0 36367 1100357 1085488 2026-06-17T08:02:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100357 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y,x+xy) |SZ=. }} Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 2x| -1| 1+y| x}} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Determinante| |SZ= }} davon ist {{ Math/display|term= 2x^2+1+y |SZ=, }} sodass die Bedingung {{ Relationskette/display | y |\neq| -2x^2-1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |regulären Punkte| |Kontext=Rang| |SZ= }} der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des {{ Faktlink |Satzes über die lokale Umkehrbarkeit|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |SZ= }} lokal eine {{ Definitionslink |Bijektion| |SZ= }} vorliegt, d.h. es gibt {{ Definitionslink |offene Umgebungen| |SZ= }} {{ mathkor|term1= U_1 |und|term2= U_2 |SZ= }} von {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |eingeschränkte Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi {{|}}_{U_1 } |U_1 | U_2 || |SZ= }} bijektiv ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung| |ISZ=|ESZ=. }} Wie groß kann dabei {{math|term= U_1 |SZ=}} gewählt werden? Wir beschränken uns auf {{ Definitionslink |offene Ballumgebungen| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Offener Ball|(0,0)|r}} |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |r | > | 1 || || || |SZ= }} enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form {{ Math/display|term= ( \pm x,-1) |SZ=. }} Diese werden unter {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{ Relationskette/display | \varphi( \pm x, -1) || {{op:Zeilenvektor| x^2-(-1)| x+x(-1) }} || {{op:Zeilenvektor| x^2+1| 0 }} || || |SZ= }} abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht {{ Definitionslink |injektiv| |SZ=, }} und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben. Betrachten wir hingegen {{ Relationskette/display |U_1 || {{op:Offener Ball|(0,0)| 1}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |U_2 | {{defeq|}} | \varphi(U_1) || || || |SZ= }} Da {{math|term= U_1 |SZ=}} keine {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |SZ= }} enthält, ist nach {{ Aufgabelink || Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Überall bijektives Differential/Bild offen/Aufgabe |SZ= }} das {{ Definitionslink |Bild| |SZ= }} {{math|term= U_2 |SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |SZ=. }} Die eingeschränkte Abbildung {{ Abbildung |name=\varphi {{|}}_{U_1 } |U_1 | U_2 || |SZ= }} ist nach Definition von {{math|term= U_2 |SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |SZ=, }} sodass nur die {{ Definitionslink |Injektivität| |SZ= }} zu untersuchen ist. Das Gleichungssystem {{ Mathkor/display|term1= x^2-y = u |und|term2= x+xy = v |SZ= }} führt auf {{ Relationskette/display | y || x^2 - u || || || |SZ= }} und auf {{ Relationskette/display | x (1+x^2 -u) || x^3 + (1-u)x || v || || |SZ=. }} Seien {{ mathkor|term1= (x,y) |und|term2= (\tilde{x},\tilde{y}) |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:Offener Ball|(0,0) | 1}} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |\varphi(x,y) || \varphi( \tilde{x} , \tilde{y}) || || || |SZ= }} gegeben. Dann ist {{ Relationskette/display | x^3+(1-u)x || v || \tilde{x}^3 + (1-u) \tilde{x} || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | 0 || x^3 - \tilde{x}^3 + (1-u) (x- \tilde{x} ) || (x- \tilde{x} ) {{makl| x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u |}} || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \tilde{x} || || || |SZ= }} folgt direkt {{ Relationskette | y || \tilde{y} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x | \neq | \tilde{x} || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u || 0 || || || |SZ= }} sein. Dies bedeutet {{ Relationskette | y || x^2-u || - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 || || |SZ= }} und ebenso {{ Relationskette | \tilde{y} || -x \tilde{x} -x^2 -1 || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | x(y+1) || v || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y+1 | > | 0 || || || |SZ= }} müssen {{ mathkor|term1= x |und|term2= v |SZ= }} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch {{ mathkor|term1= x |und|term2= \tilde{x} |SZ= }} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber {{ Relationskette/display | y || - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 | \leq | -1 || || |SZ=, }} sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius {{math|term= 1 |SZ=}} keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man kann auch folgendermaßen argumentieren: Die {{ Definitionslink |Ableitung| |SZ= }} von {{mathl|term= x^3 + (1-u)x |SZ=}} nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Relationskette | 3x^2 + (1-u) || 3x^2 +1 - (x^2-y) || 2x^2 +1 +y || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/k | {{op:Betrag| y |}} | < | 1 || || || |SZ= }} ist dies positiv. Somit ist {{mathl|term= x^3 + (1-u)x |SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |SZ= }} in {{math|term= x |SZ=}} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt |SZ=. }} Daher gibt es zu einem vorgegebenen Punkt {{ Relationskette | (u,v) | \in | U_2 || || || |SZ= }} nur ein {{math|term= x |SZ=,}} das die Bedingung {{ Relationskette/display | x^3 + (1-u)x || v || || || |SZ= }} erfüllt. Wegen {{ Relationskette | y || x^2-u || || || |SZ= }} ist auch die zweite Komponente {{math|term= y |SZ=}} eindeutig bestimmt| |ISZ=.|ESZ=. }} Mit {{ Relationskette |U_1 || {{op:Offener Ball|(0,0)| 1}} || || || |SZ= }} liegt also eine Bijektion {{ Abbildung |name= |U_1 | U_2 || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} macmqr3rku1j6gq062098kt47npx4rn 0 36410 1100260 1085389 2026-06-17T07:47:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100260 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R \times ( \R \setminus \{0\} ) |\R |(x,y)| {{op:Bruch| x | y}} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} dieser Funktion ist {{ Math/display|term= {{makl| {{op:Bruch| 1 | y}} , - {{op:Bruch| x | y^2}} |}} |SZ=, }} sodass die Funktion in jedem Punkt {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=rang| |SZ= }} ist und der {{ Faktlink |Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |SZ= }} anwendbar ist. In diesem Fall kann man die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} auch direkt bestimmen. Die Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x | y}} || c || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |c | \in |\R || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette | x || cy || || || |SZ=, }} sodass die Fasern der Abbildung die {{Stichwort|punktierten Geraden|msw=Punktierte Gerade|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. ein Punkt ist rausgenommen| |ISZ=|ESZ= }} durch den Nullpunkt sind {{ Zusatz/Klammer |text=außer der {{math|term= x |SZ=-}}Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist| |ISZ=|ESZ=. }} Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach {{math|term= x |SZ=}} gegeben. Dass die Fasern unter dieser {{Stichwort|Divisionsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=punktierte| |ISZ=|ESZ= }} Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern. Der {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |SZ= }} in {{ Relationskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} selbst {{ Definitionslink |aufgespannt| |Kontext=| |SZ=. }} Der Tangentialraum an {{math|term= P |SZ=}} ist hier also die Gerade, die durch {{math|term= P |SZ=}} und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} mit der Faser überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Divisionsabbildung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdhgviz2iifkl6d913crik7svkv475c 0 36416 1100259 1085388 2026-06-17T07:46:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100259 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R_+ \times \R| \R |(x,y)| x^y |SZ=. }} {{Schalter{{{opt1|}}} | Nach {{ Aufgabelink || Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Beziehung zur natürlichen Exponentialfunktion über Logarithmus/Aufgabe |SZ= }} | Es}} ist {{ Relationskette/display | x^y || e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y } || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} sind {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi| x}} = {{op:Bruch| y | x}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} = {{op:Bruch| y | x}} \cdot x^y |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi| y}} = ( {{op:ln| x}} ) \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} = ( {{op:ln| x}} ) \cdot x^y |SZ=. }} Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist {{ Relationskette |P ||(1,0) || || || |SZ= }} der einzige {{ Definitionslink |kritische Punkt| |Kontext=Funktion| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Matrix22 | {{op:Bruch| -y+y^2| x^2}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y}|( {{op:ln| x |}})^2 \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} }} || {{op:Matrix22 | {{op:Bruch| -y+y^2| x^2}} \cdot x^y | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot x^y | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot x^y|( {{op:ln| x |}})^2 \cdot x^y }} || || || |SZ=. }} In {{math|term= P |SZ=}} ist dies {{ Relationskette/display | {{op:Hesse|\varphi|P}} || {{op:Matrix22| 0 | 1 | 1| 0}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |SZ= }} ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder {{ Definitionslink |positiv definit| |Kontext=| |SZ= }} noch {{ Definitionslink |negativ definit| |Kontext=| |SZ=. }} Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix {{ Definitionslink |indefinit| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |SZ= }} {{mathlk|term=(1,1) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} da diese Bilinearform auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 1}} |SZ=}} positiv und auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | -1}} |SZ=}} negativ definit ist. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |SZ= }} liegt in diesem Punkt also kein {{ Definitionslink |Extremum| |Kontext=| |SZ= }} vor. Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für {{ mathkor|term1= x=1 |oder|term2= y=0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y || 1 || || || |SZ=. }} Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen. {{ Aufzählung4 |Für {{ mathkor|term1= 0<x<1 |und|term2= y>0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | < | 1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= x>1 |und|term2= y>0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | > | 1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= 0<x<1 |und|term2= y<0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | > | 1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= x>1 |und|term2= y<0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | < | 1 || || || |SZ=. }} }} Daher gibt es in jeder Umgebung von {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als {{math|term= 1 |SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hou0q37tvawldoyrm69umm2jqabf99l 1100453 1100259 2026-06-17T08:35:02Z Bocardodarapti 2041 1100453 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R_+ \times \R| \R |(x,y)| x^y |SZ=. }} {{Schalter{{{opt1|}}}|Nach {{ Aufgabelink || Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Beziehung zur natürlichen Exponentialfunktion über Logarithmus/Aufgabe |SZ= }}|Es}} ist {{ Relationskette/display | x^y || e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y } || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} sind {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi| x}} = {{op:Bruch| y | x}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} = {{op:Bruch| y | x}} \cdot x^y |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi| y}} = ( {{op:ln| x}} ) \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} = ( {{op:ln| x}} ) \cdot x^y |SZ=. }} Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist {{ Relationskette |P ||(1,0) || || || |SZ= }} der einzige {{ Definitionslink |kritische Punkt| |Kontext=Funktion| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Matrix22 | {{op:Bruch| -y+y^2| x^2}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y}|( {{op:ln| x |}})^2 \cdot e^{ ({{op:ln| x |}}) \cdot y} }} || {{op:Matrix22 | {{op:Bruch| -y+y^2| x^2}} \cdot x^y | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot x^y | {{op:Bruch| 1 + y {{op:ln| x |}} | x}} \cdot x^y|( {{op:ln| x |}})^2 \cdot x^y }} || || || |SZ=. }} In {{math|term= P |SZ=}} ist dies {{ Relationskette/display | {{op:Hesse|\varphi|P}} || {{op:Matrix22| 0 | 1 | 1| 0}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |SZ= }} ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder {{ Definitionslink |positiv definit| |Kontext=| |SZ= }} noch {{ Definitionslink |negativ definit| |Kontext=| |SZ=. }} Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix {{ Definitionslink |indefinit| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |SZ= }} {{mathlk|term=(1,1) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} da diese Bilinearform auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 1}} |SZ=}} positiv und auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | -1}} |SZ=}} negativ definit ist. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |SZ= }} liegt in diesem Punkt also kein {{ Definitionslink |Extremum| |Kontext=| |SZ= }} vor. Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für {{ mathkor|term1= x=1 |oder|term2= y=0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y || 1 || || || |SZ=. }} Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen. {{ Aufzählung4 |Für {{ mathkor|term1= 0<x<1 |und|term2= y>0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | < | 1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= x>1 |und|term2= y>0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | > | 1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= 0<x<1 |und|term2= y<0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | > | 1 || || || |SZ=. }} |Für {{ mathkor|term1= x>1 |und|term2= y<0 |SZ= }} ist {{ Relationskette | x^y | < | 1 || || || |SZ=. }} }} Daher gibt es in jeder Umgebung von {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als {{math|term= 1 |SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8e540tq4wyg216i4w9giubbeausgha3 0 36417 1100261 1085390 2026-06-17T07:47:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100261 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild | 1 durch Ln|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Fasern der Abbildung {{mathlk|term= (x,y) \mapsto x^y |SZ=}} für {{ Relationskette/k |c || e || || || |SZ= }} (rot) und {{ Relationskette/k |c || -e || || || |SZ= }} (grün). |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R_+ \times \R| \R |(x,y)| x^y |SZ= }} und knüpfen an {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Reguläre Punkte und Extrema/(x,y) nach x hoch y/Beispiel |SZ= }} an. Der einzige {{ Definitionslink |kritische Punkt| |Kontext=Rang| |SZ= }} ist {{ Relationskette |P ||(1,0) || || || |SZ=, }} ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} als Graphen beschreiben. Die Faser über {{math|term= 1 |SZ=}} besteht aus der durch {{ Relationskette | x || 1 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden und der durch {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung {{ Relationskette/display | x^y || c || || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette |c | \in | \R_+ || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |c |\neq| 1 || || || |SZ=, }} bestimmt {{ Zusatz/Klammer |text=für nichtpositives {{math|term= c |SZ=}} sind die Fasern leer| |ISZ=|ESZ=. }} Wir schreiben diese Bedingung als {{ Relationskette | e^{ ( {{op:ln| x |}} ) y } || c || || || |SZ= }} und daher als {{ Relationskette/display | ( {{op:ln| x |}} ) y || {{op:ln| c |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | x |\neq| 1 || || || |SZ= }} kann man dies zu {{ Relationskette | y || {{op:Bruch| {{op:ln| c |}} | {{op:ln| x |}} }} || || || |SZ= }} auflösen und wegen {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | x || e^{ {{op:Bruch| {{op:ln| c |}} | y}} } || || || |SZ=. }} Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die {{ Relationskette | x | > | 1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | x | < | 1 || || || |SZ= }} entsprechen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Potenz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwpjlqeur8sqvztphcniuswywtyaoxy 0 36438 1099954 1036309 2026-06-17T06:56:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099954 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name=f |\R|\R | x |f(x) |SZ=, }} eine Funktion in einer Variablen. Dazu kann man die Funktion in zwei Variablen, {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^2|\R |(x,y)| y-f(x) |SZ=, }} betrachten. Die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} über {{ Relationskette |c | \in |\R || || || |SZ= }} sind durch {{ Relationskette/display |F_c || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| y {{=|}} f(x) +c }} || || || |SZ= }} charakterisiert. D.h. die Faser über {{math|term= c |SZ=}} ist einfach der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |SZ= }} der durch {{mathl|term= x \mapsto f(x)+c |SZ=}} definierten Funktion. Alle Fasern gehen durch eine Verschiebung ineinander über, sie sind parallel zueinander. Die Punkte einer jeden Faser stehen in Bijektion mit der {{math|term= x |SZ=-}}Achse, indem nämlich {{math|term= x |SZ=}} auf {{mathl|term= (x,f(x)+c) |SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6c9n7fscm1zq5x2xwj44nyigjmx0lw7 0 36557 1099792 1084894 2026-06-17T06:30:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099792 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |SZ= }} {{ Math/display|term= v' = 3v^{2/3} \text{ mit } v(0) = 0 |SZ= }} zum {{ Definitionslink |zeitunabhängigen Vektorfeld| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | v | 3 v^{2/3} {{=|}} 3 \sqrt[3]{v^2} |SZ=. }} Offensichtlich gibt es die {{ Definitionslink |stationäre Lösung| |SZ= }} {{ Relationskette/display |h(t) || 0 || || || |SZ=, }} aber auch {{ Relationskette/display |g(t) || t^3 || || || |SZ= }} ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu {{ Relationskette |a | < | b || || || |SZ= }} reelle Zahlen. Dann ist auch {{ Relationskette/display | \varphi(t) || \begin{cases} (t-a)^3 \text{ für } t < a, \\ 0 \text{ für } a \leq t \leq b , \\ (t-b)^3 \text{ für } t > b, \end{cases} || || || |SZ= }} eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange {{ Zusatz/Klammer |text=im Zeitintervall von {{ mathkor/k|term1= a |nach|term2= b |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ruht und danach {{ Zusatz/Klammer |text=und davor| |ISZ=|ESZ= }} sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt {{math|term= \neq 0 |SZ=}} befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Existenz- und Eindeutigkeitstheorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wnj84ctvzqs6pqy706un0z94h5ebqq 0 36584 1099927 1085018 2026-06-17T06:52:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099927 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{Stichwort|Produkt{{drucktrenn}}abbildung|SZ=}} {{ Abbildung/display |name=h |\R^2|\R |(x,y)| xy |SZ=. }} Das zugehörige {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |SZ= }} ist {{ Abbildung/display |name= |\R^2|\R^2 |(x,y)| {{{G|G}}}(x,y) {{=|}} (y,x) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Fasern| |SZ= }} von {{math|term= h |SZ=}} sind das Achsenkreuz {{ Zusatz/Klammer |text=die Faser über {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und die durch {{ mathbed|term= xy=c ||bedterm1= c \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gegebenen {{ Definitionslink |Hyperbeln| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=Differentialgleichung| |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Differentialgleichung| |Kontext=System| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|\varphi_1'|\varphi_2' }} || {{op:Spaltenvektor|\varphi_2 |\varphi_1 }} || {{op:Matrix22| 0 | 1 | 1| 0}} {{op:Spaltenvektor|\varphi_1 |\varphi_2 }} || || |SZ= }} sind von der Form {{ Relationskette/display | \varphi(t) || (\varphi_1(t), \varphi_2(t)) || ( a {{op:cosh| t |}} + b {{op:sinh| t |}} , a {{op:sinh| t |}} + b {{op:cosh| t |}}) || || |SZ= }} mit beliebigen {{ Relationskette |a,b | \in | \R || || || |SZ=, }} wie man direkt nachrechnet und was sich auch aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Differentialgleichungssystem/(u,v)' ist (v,u)/Allgemeine Lösung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt. Dabei ist {{ Relationskette | \varphi(0) || (a,b) || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |a ||b || 0 || || |SZ= }} ist dies die {{ Definitionslink |stationäre Lösung| |SZ= }} im Nullpunkt, in dem die Produktabbildung nicht {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |SZ= }} ist. Bei {{ Relationskette |a ||b || 1 || |SZ= }} ist {{ Relationskette | \varphi(t) || (e^t,e^t) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die obere Halbdiagonale {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ=, }} bei {{ Relationskette |a ||b || -1 || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | \varphi(t) || (-e^t,-e^t) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die untere Halbdiagonale, bei {{ mathkor|term1= a=1 |und|term2= b=-1 |SZ= }} ist {{ Relationskette | \varphi(t) || (e^{-t},-e^{-t}) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die untere Hälfte der Nebendiagonalen, bei {{ mathkor|term1= a=-1 |und|term2= b=1 |SZ= }} ist {{ Relationskette | \varphi(t) || (-e^{-t},e^{-t}) || || || || |SZ=, }} das Bild dieser Lösung ist die obere Hälfte der Nebendiagonalen. Ansonsten treffen die Lösungskurven das Achsenkreuz in einem Punkt {{mathl|term= \neq (0,0) |SZ=.}} Wenn man diesen Punkt als Anfangswert zum Zeitpunkt {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ= }} nimmt, so kann man die Lösungskurven als {{Math/display|term=(a {{op:cosh| t |}}, a {{op:sinh| t |}} ) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Zeitpunkt {{mathlk|term=t=0 |SZ=}} befindet sich die Lösung auf der {{math|term= x-|SZ=}}Achse im Punkt {{mathlk|term=(a,0) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} und als {{Math/display|term=(b {{op:sinh| t |}}, b {{op:cosh| t |}} ) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Zeitpunkt {{ Relationskette/k | t || 0 || || || |SZ= }} befindet sich die Lösung auf der {{math|term= y-|SZ=}}Achse im Punkt {{mathlk|term=(0,b) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} realisieren. Die Bahnen dieser Lösungen erfüllen die Gleichung {{ mathkor|term1= x^2(t)-y^2(t)=a^2 |bzw.|term2= x^2(t)-y^2(t)=b^2 |SZ=, }} d.h. sie sind selbst Hyperbeln. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu linearen Gradientenfeldern mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Produktabbildung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jx0gpmrgoxobhubdsnzgnenij97u7cw 0 36748 1100042 1085148 2026-06-17T07:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100042 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |lineare Differentialgleichungssystem| |Kontext=konstant| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 }}' || {{op:Matrix22| \lambda| \gamma| 0 | \mu}} {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 }} || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette/display |v_2(t) || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente| |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich aus der ersten Zeile {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf skalare Vielfache| |ISZ=|ESZ= }} sofort {{ Relationskette |v_1 || e^{\lambda t} || || || |SZ=, }} was insgesamt der Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=der ersten Fundamentallösung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|e^{\lambda t}| 0}} |SZ= }} zum Eigenvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} |SZ=}} gemäß {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt |SZ= }} entspricht. Es sei nun {{ Relationskette |v_2 |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann führt die zweite Zeile zu {{ Relationskette |v_2 || e^{\mu t} || || || |SZ=, }} was wir {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt |SZ= }} entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit {{ Relationskette/display | v_1' || \lambda v_1 + \gamma e^{\mu t} || || || |SZ=. }} Die Lösung der {{ Definitionslink |zugehörigen homogenen Gleichung| |Kontext=| |SZ= }} ist {{mathl|term= c \cdot e^{\lambda t} |SZ=,}} sodass sich mit der {{ Faktlink |Variation der Konstanten|Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |SZ= }} der Ansatz {{ Relationskette |v_1(t) || c(t) \cdot e^{\lambda t} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |c'(t) || \gamma \cdot e^{\mu t} \cdot e^{- \lambda t} || \gamma \cdot e^{( \mu- \lambda) t} || || |SZ= }} ergibt. Bei {{ Relationskette | \mu || \lambda || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette |c(t) || \gamma t || || || |SZ= }} und damit die zweite Fundamentallösung {{ Relationskette/display | v(t) || {{op:Spaltenvektor| \gamma t e^{\lambda t} |e^{\lambda t} }} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | \gamma |\neq| 0 || || || |SZ= }} gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor. Bei {{ Relationskette | \mu |\neq| \lambda || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette |c(t) || {{op:Bruch| \gamma| \mu - \lambda}} e^{(\mu - \lambda)t} || || || |SZ= }} und damit die zweite Fundamentallösung {{ Relationskette/display | v(t) || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| \gamma| \mu - \lambda}} e^{\mu t} |e^{\mu t} }} || e^{\mu t} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| \gamma| \mu - \lambda}} | 1}} || || |SZ=. }} Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16tkoruxmfb5ilcmbj0ocy2d6a28gvz 0 37424 1099721 1084833 2026-06-17T06:19:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099721 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das Volumen einer {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius {{math|term= r |SZ=}} berechnen, also von {{ Relationskette/display | B_n(r) || {{Mengebed| x \in \R^n | {{op:Norm| x |}} \leq r }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |SZ= }} gilt dabei {{ Relationskette | \lambda^n (B_n(r)) || r^n \lambda^n ( B_n(1)) || || || |SZ=, }} d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen. Ihr Volumen bezeichnen wir mit {{ Relationskette | \beta_n || \lambda^n(B_n(1)) || || || |SZ=. }} Zur Berechnung gehen wir induktiv vor {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{ Relationskette/k | \beta_1 || 2 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten {{ Relationskette/display | B_n | \subseteq | \R^{n-1} \times \R || || || |SZ=. }} Für jedes fixierte {{ mathbed|term= h ||bedterm1= -1 \leq h \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} kann man den Querschnitt als {{ Relationskette/align/handlinks | B_n (h) || {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}) \in \R^{n-1} | (x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}, h) \in B_n }} || {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1} ) \in \R^{n-1} | x_1^2 {{plusdots|}} x_{n-1}^2 +h^2 \leq 1 }} || {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}) \in \R^{n-1} | x_1^2 {{plusdots|}} x_{n-1}^2 \leq 1 -h^2 }} || B_{n-1} {{makl| 0, \sqrt{ 1-h^2 } |}} |SZ= }} schreiben, d.h. als eine {{math|term= (n-1) |SZ=-}}dimensionale Kugel vom Radius {{mathl|term= \sqrt{ 1-h^2 } |SZ=.}} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Cavalieri-Prinzips|Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt |SZ= }} ist daher {{ Relationskette/align |\beta_{n} || \lambda^{n} (B_{n}(1)) || {{makl| \lambda^{n-1} \otimes \lambda^1 |}} (B_{n}(1)) || {{op:Integralmaß| \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}( \sqrt{1-h^2}) |}} | [-1,1] | \lambda^1}} || {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}(1) |}} | [-1,1] | \lambda^1}} || \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}(1) |}} \cdot {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} | [-1,1] | \lambda^1}} || \beta_{n-1} \cdot {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} | [-1,1] | \lambda^1}} |SZ=. }} Dabei können wir das Integral rechts wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt |SZ= }} und {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt |SZ= }} über {{ Definitionslink |Stammfunktionen| |SZ= }} ausrechnen. Die {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |SZ= }} {{ Relationskette/display | h || {{op:sin| t |}} || || || |SZ= }} liefert {{ Relationskette/display | {{op:Integral| -1| 1 |Integrand= {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} || h}} || {{op:Integral| - {{op:Bruch| \pi| 2}} | {{op:Bruch| \pi| 2}} | Integrand= {{op:cos| t |exp=n|}} |t}} || 2 {{op:Integral| 0 | {{op:Bruch| \pi| 2}} | Integrand= {{op:sin| t |exp=n|}} |t}} || || |SZ=. }} Im [[Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink ||Faktseitenname= Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt |SZ= }} wurden diese Integrale berechnet; mit {{ Relationskette | a_n || {{op:Integral| 0 | {{op:Bruch| \pi| 2}} | Integrand= {{op:sin| t |exp=n|}} |t}} || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | a_n || \begin{cases} {{op:Bruch|(n-1)(n-3)\cdots 3 \cdot 1|n(n-2) \cdots 4 \cdot 2 }} \cdot {{op:Bruch| \pi| 2}} \text{ bei } n \text{ gerade } \geq 2\, , \\ {{op:Bruch|(n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2|n(n-2) \cdots 5 \cdot 3 }} \text{ bei } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift {{ Relationskette | \beta_n || 2 \beta_{n-1} a_n || || || |SZ= }} kann man schließlich mit Hilfe der {{ Definitionslink |Fakultätsfunktion| |SZ= }} das Kugelvolumen als {{ Relationskette/display | \beta_n || {{op:Bruch| \pi^{n/2}| {{op:Fak(|n/2|}} }} || || || |SZ= }} schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Fakultätsfunktion/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Fakultätsformel/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} idwgemloxo1vy83mzizhcudz3gv1fqr 0 37430 1100644 1085735 2026-06-17T10:40:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100644 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{ Relationskette | Z | \subseteq | M || || || |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Maßraumes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} heißt {{Definitionswort/enp|Nullmenge|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | \mu(Z) || 0 || || || |SZ= }} ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in {{math|term= \R^n |SZ=}} eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen {{math|term= Z |SZ=,}} für die es eine messbare Menge {{ Relationskette | Z | \subseteq | Z' || || || |SZ= }} gibt mit {{ Relationskette | \mu(Z') || 0 || || || |SZ=. }} Für eine Eigenschaft {{math|term= E |SZ=,}} die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft {{Definitionswort/enp|fast überall|SZ=}} gilt, wenn die Ausnahmemenge {{ Math/display|term= {{Mengebed| x \in M|E(x) \text{ gilt nicht} }} |SZ= }} eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von {{Stichwort|fast überall definierten Funktionen|msw=Fast überall definierte Funktion|SZ=.}} Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche {{Anführung|kleinen|}} Undefiniertheitsstellen ignorieren. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Nullmenge |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh2568g36y4x3ryor0gvngf2ixwal6o 0 37444 1099959 1085047 2026-06-17T06:57:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099959 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das {{ Definitionslink{{{opt1|}}} |Integral| |Kontext=Maß|kon2=kompakt| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)| x^2-xy+2y^3 |SZ=, }} über dem Rechteck {{ Relationskette |Q || [-2,1] \times [0,2] || || || |SZ= }} {{ Faktlink{{{opt2|}}} |Präwort=mit dem|Satz von Fubini|Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt |Faktseitenname2=Kompaktes Rechteck/Satz von Fubini/Fakt |SZ= }} ausrechnen. Dies führt auf {{ Relationskette/align | {{op:Integralmaß| f | Q | \lambda^2}} || {{op:Integral| 0 | 2 |Integrand= {{makl| {{op:Integral| -2| 1 |Integrand= {{makl| x^2-xy+2y^3 |}} || x}} |}} || y}} || \int_0^2 {{makl| {{op:Integralstamm| -2| 1 |stamm= {{makl| {{op:Bruch| 1 | 3}} x^3- {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2y+2y^3x |}} |}} |}} dy || {{op:Integral| 0 | 2 |Integrand= {{makl| {{op:Bruch| 1 | 3}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} y+2y^3 + {{op:Bruch| 8 | 3}} + 2 y+ 4y^3 |}} || y}} || {{op:Integral| 0 | 2 |Integrand= {{makl| 3+ {{op:Bruch| 3 | 2}} y+ 6y^3 |}} || y}} || {{op:Integralstamm| 0 | 2 |stamm= {{makl| 3y+ {{op:Bruch| 3 | 4}} y^2+ {{op:Bruch| 3 | 2}}y^4 |}} }} || 6 + 3+ 24 || 33 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1jnnb6iyptlvo70ulvetj1zsric998 0 37572 1100349 1085481 2026-06-17T08:01:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100349 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Kreislinie| |Kontext=| |SZ= }} mit sich selbst, also {{ Relationskette | M || S^1 \times S^1 || || || |SZ=, }} heißt {{Stichwort|Torus|SZ=.}} Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da {{ Relationskette | S^1 | \subset | \R^2 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Untermannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im {{ Relationskette | \R^2 \times \R^2 || \R^4 || || || |SZ= }} realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im {{math|term= \R^3 |SZ=}} realisieren. Dazu seien {{ mathkor|term1= r |und|term2= R |SZ= }} positive reelle Zahlen mit {{ Relationskette | 0 | < | r | < | R || || |SZ=. }} Dann ist die Menge {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y,z) \in \R^3| {{makl| \sqrt{x^2+y^2} -R |}}^2 +z^2 {{=|}} r^2 }} |SZ= }} ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines {{ Zusatz/Klammer |text=aufgeblasenen| |ISZ=|ESZ= }} {{Anführung|Fahrradschlauches|SZ=,}} dessen {{Anführung|Radradius|SZ=}} gleich {{math|term= R |SZ=}} und dessen {{Anführung|Schlauchradius|SZ=}} gleich {{math|term= r |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=das Rad liegt in der {{mathlk|term=x-y|SZ=-}}Ebene| |ISZ=|ESZ=. }} Der Zusammenhang mit dem Produkt {{mathl|term= S^1 \times S^1 |SZ=}} ergibt sich, indem man dem Produktwinkel {{mathl|term= ( \varphi, \psi) |SZ=}} den Punkt {{mathl|term= ( (R +r {{op:cos| \psi|}}) {{op:cos|\varphi|}}, (R+ r {{op:cos| \psi|}} ) {{op:sin|\varphi|}} , r {{op:sin| \psi|}} ) |SZ=}} zuordnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Torus |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24o8rc9689p2oekfs3yyditd18abedv 0 37582 1100643 1085734 2026-06-17T10:40:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100643 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Mannigfaltigkeit. Gibt es ein sinnvolles Volumen für {{ Zusatz/Klammer |text=Teilmengen von| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= M |SZ=,}} wann kann man eine auf {{math|term= M |SZ=}} definierte Funktion sinnvoll integrieren? Wenn man die Maßtheorie als allgemeines Konzept zugrunde legt, so ergibt sich folgendes Bild: es sei vorausgesetzt, dass {{math|term= M |SZ=}} einen abzählbaren Atlas {{mathl|term= (U_i,V_i,\alpha_i, i \in I) |SZ=}} besitzt. Ein Maß {{math|term= \mu |SZ=}} auf den Borelmengen {{mathl|term= {{Mengensystem|B}}(M) |SZ=}} ist dann durch die Einschränkungen {{ Relationskette | \mu_i || \mu {{|}}_{U_i } || || || |SZ= }} des Maßes auf die offenen Teilmengen {{math|term= U_i |SZ=}} eindeutig bestimmt. Für jedes {{ Relationskette | i | \in | I || || || |SZ= }} definiert die Homöomorphie {{ Abbildung/display |name=\alpha_i |U_i | V_i || |SZ= }} das Bildmaß {{ Relationskette | \nu_i || {\alpha_i }_* \mu_i || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | V_i | \subseteq | \R^n || || || |SZ=. }} Dabei stehen die Bildmaße {{ mathbed|term= \nu_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} untereinander in der Beziehung {{ Relationskette/display |\nu_i ( \alpha_i(T)) || \mu(T) ||\nu_j( \alpha_j(T)) || || |SZ= }} für jede messbare Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | U_i \cap U_j || || || |SZ=. }} Mit den Kartenwechseln {{ Relationskette | \psi_{ij} || \alpha_j \circ \alpha_i^{-1} || || || |SZ= }} bedeutet dies {{ Relationskette/display | \nu_i(S) || \nu_j ( \psi_{ij} (S)) || || || |SZ= }} für jede messbare Menge {{ Relationskette | S | \subseteq | V_i || || || |SZ=, }} die ganz innerhalb des Definitionsbereiches der Übergangsabbildung liegt. Nehmen wir nun an, dass sich die Bildmaße {{math|term= \nu_i |SZ=}} jeweils mit einer {{ Definitionslink |Dichte| |Kontext=| |SZ= }} bezüglich des {{ Definitionslink |Borel-Lebesgue-Maßes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \lambda^n |SZ=}} schreiben lassen, sagen wir {{ Relationskette/display | \nu_i || g_i d \lambda^n || || || |SZ=, }} mit auf {{math|term= V_i |SZ=}} definierten {{ Definitionslink |integrierbaren Funktionen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=g_i |V_i |\R || |SZ=. }} Für eine messbare Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | U_i || || || |SZ= }} gilt dann also {{ Relationskette/display | \mu(T) || \nu_i(\alpha_i(T)) || {{op:Integralmaß|g_i |\alpha_i(T)| \lambda^n}} || || |SZ=. }} Für eine messbare Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | U_i \cap U_j || || || |SZ= }} gilt somit nach {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt |SZ=, }} angewendet auf die diffeomorphe Übergangsabbildung {{ Abbildung/display |name=\psi_{ij} | \alpha_i(U_i \cap U_j) | \alpha_j(U_i \cap U_j) || |SZ=, }} die {{mathl|term= \alpha_i(T) |SZ=}} in {{mathl|term= \alpha_j(T) |SZ=}} überführt, die Gleichheit {{ Relationskette/align | {{op:Integralmaß|g_i |\alpha_i(T)| \lambda^n}} || {{op:Integralmaß|g_j |\alpha_j(T)| \lambda^n}} || {{op:Integralmaß| {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Totales Differential| \psi_{ij}|}} |}} |}} \cdot ( g_j \circ \psi_{ij} )|\alpha_i(T)| \lambda^n}} || || |SZ=. }} Dies legt für die Dichtefunktionen {{ mathbed|term= g_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} das Transformationsverhalten {{ Relationskette/display | g_i || {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Totales Differential| \psi_{ij}|}} |}} |}} \cdot ( g_j \circ \psi_{ij} ) || || || |SZ= }} nahe {{ Zusatz/Klammer |text=auch wenn es dies nicht erzwingt, da eine Dichte durch ihr Maß nicht eindeutig bestimmt ist| |ISZ=|ESZ=. }} Wir werden die Integrationstheorie für Mannigfaltigkeiten auf dem Konzept der {{math|term= n |SZ=-}}Differentialformen aufbauen, die in natürlicher Weise dieses Transformationsverhalten {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Betrag| |ISZ=|ESZ= }} besitzen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Mannigfaltigkeit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qj45io826ty5zqf3obx1o2so7ns8l02 0 37718 1100002 1036681 2026-06-17T07:04:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100002 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe {{ Relationskette | h | \in | [0,1] || || || |SZ= }} ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch {{ Relationskette | z || h || || || |SZ= }} definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius {{mathl|term= \sqrt{1-h^2} |SZ=.}} Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist {{mathl|term= 2 \pi \sqrt{1-h^2} |SZ=.}} Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Substitution {{ Relationskette/k | h || {{op:sin| s |}} || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | A || 2 {{op:Integral| 0 | 1 |Integrand=2 \pi \sqrt{1-h^2}|| h}} || 4 \pi {{op:Integral| 0 | 1 |Integrand= \sqrt{1-h^2}|| h}} || 4 \pi {{op:Integral| 0 | {{op:Bruch| \pi| 2}} | Integrand= {{op:cos| s |exp=2}} || s}} || 4 \pi {{op:Integralstamm| 0 | {{op:Bruch| \pi| 2}} |stamm= {{op:Bruch| 1 | 2}} (s + {{op:sin| s |}} {{op:cos| s |}}) }} || 2 \pi {{op:Bruch| \pi| 2}} || \pi^2 |SZ=. }} Der wahre Wert ist aber mit {{math|term= 4 \pi |SZ=}} deutlich größer. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} af45je6tpuo6axog9g715vh1vtdiyig 0 37726 1100003 1085118 2026-06-17T07:04:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100003 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^2|\R^3 |(u,v)|({{op:cos| u |}} {{op:cos| v |}} , {{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} , {{op:sin| u |}} ) |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |SZ= }} auf der {{Stichwort|Einheitssphäre|SZ=}} landet. Geographisch gesprochen gibt {{math|term= u |SZ=}} den {{Stichwort|Breitenkreis|SZ=}} und {{math|term= v |SZ=}} den {{Stichwort|Längenkreis|SZ=}} des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an {{ Zusatz/Klammer |text=in {{Stichwort|geozentrischen Koordinaten|msw=Geozentrische Koordinaten|SZ=;}} die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist| |ISZ=|ESZ=. }} Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|u}} = {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin| u |}} {{op:cos| v |}} | -{{op:sin| u |}} {{op:sin| v |}} | {{op:cos| u |}} }} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|v}} = {{op:Spaltenvektor| - {{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} | {{op:cos| u |}} {{op:cos| v |}} | 0 }} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=| |SZ= }} dieser Abbildung auf das offene Rechteck {{ Math/display|term= {]{- {{op:Bruch| \pi| 2}}}, {{op:Bruch| \pi| 2}} [} \times {]{-\pi}, \pi[} |SZ= }} ist {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} ihr Bild ist die Einheitskugel bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |SZ= }} verwendeten Notation ist {{ Relationskette/display |E || {{op:sin| u |exp=2}} {{op:cos| v |exp=2}} + {{op:sin| u |exp=2}} {{op:sin| v |exp=2}} + {{op:cos| u |exp=2}} || {{op:sin| u |exp=2}} + {{op:cos| u |exp=2}} || 1 || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F || {{op:sin| u |}}{{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} {{op:cos| v |}} -{{op:sin| u |}}{{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} {{op:cos| v |}} || 0 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |G || {{op:cos| u |exp=2}} {{op:sin| v |exp=2}} + {{op:cos| u |exp=2}} {{op:cos| v |exp=2}} || {{op:cos| u |exp=2}} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | \sqrt{EG-F^2 } || \sqrt{ 1 \cdot {{op:cos| u |exp=2}} } || {{op:cos| u |}} || || |SZ=. }} Somit ist die Kugeloberfläche nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Fubini|Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align |A || {{op:Integralform| {{op:cos| u |}} \,du \wedge dv| ]- {{op:Bruch| \pi| 2}} , {{op:Bruch| \pi| 2}} [ \times ]-\pi, \pi[ }} || {{op:Integralmaß| {{op:cos| u |}} | [- {{op:Bruch| \pi| 2}}, {{op:Bruch| \pi| 2}}] \times [-\pi, \pi] | \lambda^2 }} || {{op:Integral| -\pi| \pi|Integrand= {{op:Integral| - {{op:Bruch| \pi| 2}} | {{op:Bruch| \pi| 2}} | Integrand= {{op:cos| u |}} || u}} | |v }} || {{op:Integral| -\pi| \pi|Integrand= 2 | |v }} || 4 \pi |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3ky7npnj5ytzpvi9bsw4jj0kp4x6tc 0 37729 1100004 1085119 2026-06-17T07:04:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100004 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | [0, 2 \pi] \times [-1,1] |\R^3 |(u,v)| {{op:Zeilenvektor| \sqrt{1-v^2} {{op:cos| u |}} | \sqrt{1-v^2} {{op:sin| u |}} | v }} |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |SZ= }} auf der {{Stichwort|Einheitssphäre|SZ=}} liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das Rechteck zu einer Zylinderoberfläche gemacht wird und anschließend die Kreise des Zylinders auf die horizontalen Kreise einer Kugel mit derselben Höhe projiziert werden. Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|u}} = {{op:Spaltenvektor| - \sqrt{1-v^2} {{op:sin| u |}} | \sqrt{1-v^2} {{op:cos| u |}} | 0 }} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|v}} = {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| -v| \sqrt{1-v^2} }} {{op:cos| u |}} | {{op:Bruch| -v| \sqrt{1-v^2} }} {{op:sin| u |}} | 1 }} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=| |SZ= }} dieser Abbildung auf das offene Rechteck ist {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} ihr Bild ist die Einheitssphäre bis auf einen einzigen halben Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |SZ= }} verwendeten Notation ist {{ Relationskette/display |E || {{makl| 1-v^2 |}} {{op:sin| u |exp=2}} + {{makl| 1-v^2 |}} {{op:cos| u |exp=2}} || 1-v^2 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F || v {{op:sin| u |}}{{op:cos| u |}} - v {{op:sin| u |}}{{op:cos| u |}} || 0 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |G || {{op:Bruch|v^2| 1-v^2}} {{op:cos| u |exp=2}} + {{op:Bruch|v^2| 1-v^2}} {{op:sin| u |exp=2}} +1 || {{op:Bruch|v^2| 1-v^2}} +1 || {{op:Bruch| 1 | 1-v^2}} || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | \sqrt{EG-F^2 } || 1 || || || |SZ=, }} d.h. diese Kartenabbildung ist {{Stichwort|flächentreu|SZ= {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Sie ist aber nicht längentreu. Die horizontalen Strecken auf dem Rechteck werden zu den Polen hin stark gestaucht. Dafür werden die vertikalen Strecken zu den Polen hin zunehmend gestreckt, und diese beiden Phänomene neutralisieren sich| |ISZ=.|ESZ=, }} |}} und somit ist die Kugeloberfläche gleich {{ Relationskette/align |A || {{op:Integralform| 1 du \wedge dv| ]- 1 , 1 [ \times ]0, 2 \pi[ }} || {{op:Integralmaß| 1 | [- 1 , 1 ] \times [0, 2 \pi] | \lambda^2 }} || 2 \cdot 2 \pi || 4 \pi |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tch09f7bynou7sodxplijqu10o2bx8g 0 37731 1100005 1085120 2026-06-17T07:04:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100005 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | [0, 2 \pi] \times \R|\R^3 |(u,v)| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+v^2} }} ( {{op:cos| u |}} , {{op:sin| u |}} , v ) |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |SZ= }} auf der {{Stichwort|Einheitssphäre|SZ=}} liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das {{ Zusatz/Klammer |text=in eine Richtung unbeschränkte| |ISZ=|ESZ= }} Rechteck {{mathl|term= [0, 2 \pi] \times \R |SZ=}} zu einem unendlichen Zylindermantel über dem Einheitskreis gemacht wird und anschließend jeder Punkt dieses Zylindermantels über die Verbindungsgerade mit dem Kugelmittelpunkt auf die Kugel projiziert wird. Unter dieser Abbildung werden mit der Ausnahme des Nord- und des Südpols alle Punkte der Kugeloberfläche erreicht. Ferner ist sie injektiv, wenn man die Randpunkte des Intervalls herausnimmt {{ Zusatz/Klammer |text=dann fehlt ein halber Längenkreis im Bild| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|u}} = {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| - {{op:sin| u |}} | \sqrt{1+v^2} }} | {{op:Bruch| {{op:cos| u |}} | \sqrt{1+v^2} }} | 0 }} = {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+v^2} }} {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin| u |}} | {{op:cos| u |}} | 0 }} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|v}} = {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| -v {{op:cos| u |}} | \sqrt{1+v^2}^3 }} | {{op:Bruch| -v {{op:sin| u |}} | \sqrt{1+v^2}^3 }} | {{op:Bruch| \sqrt{1+v^2 } - v^2 {{makl| 1+v^2 |}}^{- 1/2} | 1+v^2 }} }} = {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+v^2}^3 }} {{op:Spaltenvektor| -v {{op:cos| u |}} | -v {{op:sin| u |}} | 1 }} |SZ=. }} Man kann mit diesen Koordinaten die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |SZ= }} verwendeten Notation ist {{ Relationskette/display |E || {{op:Bruch| 1 | 1+v^2}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |G || {{op:Bruch| 1 | {{makl| 1+v^2 |}}^3}} {{makl| v^2 {{op:cos| u |exp=2}} + v^2 {{op:sin| u |exp=2}} +1 |}} || {{op:Bruch| 1 | {{makl| 1+v^2 |}}^2}} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | \sqrt{EG-F^2 } || \sqrt{ {{op:Bruch| 1 | {{makl| 1+v^2 |}}^3 }} } || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+v^2}^3 }} || || |SZ=. }} Die Kugeloberfläche ist somit unter Verwendung von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align |A || {{op:Integralform| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+v^2}^3 }} du \wedge dv| ]0, 2 \pi[ \times \R }} || {{op:Integralmaß| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+v^2}^3 }} |]0, 2 \pi[ \times \R | \lambda^2 }} || 2 \pi {{op:Integral| - \infty|+ \infty|Integrand= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+v^2}^3 }} || v }} || |SZ=. }} Das Integral ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Integration/Eine Variable/1 durch Wurzel(1+t^2)^3/Beispiel |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= 2 |SZ=,}} sodass sich der Flächeninhalt {{mathl|term= 4\pi|SZ=}} ergibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n63l4slctwsnd4cn8ebtl6gddeev7es 0 37732 1099960 1085048 2026-06-17T06:57:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099960 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Integral| 0 | \infty|Integrand= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+t^2}^3 }} ||t}} |SZ=}} berechnen. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | {{op:Integral| 0 | u | Integrand= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+t^2}^3 }} ||t}} || {{op:Integral| {{op:arsinh| 0 |}} | {{op:arsinh| u |}} | Integrand= {{op:Bruch| 1 | {{op:cosh| s |exp=2}} }} || s}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Stammfunktion| |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | {{op:cosh| s |exp=2}} }} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| {{op:sinh| s |}} | {{op:cosh| s |}} }} |SZ=.}} Die untere Intervallgrenze ergibt den Wert {{math|term= 0 |SZ=,}} für die obere Intervallgrenze ergibt sich {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| s | \infty| {{op:Bruch| {{op:sinh| s |}} | {{op:cosh| s |}} }} }} || {{op:Funktionslimes| s | \infty| {{op:Bruch|e^s-e^{-s} | e^s +e^{-s} }} }} || 1 || || |SZ=. }} Daher hat das uneigentliche Integral der Wert {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in Quadratwurzeln |Kategorie2=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gkj0168gwai8p3shd68qdxls398xqau 0 37837 1099830 1084934 2026-06-17T06:36:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099830 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort|achsenparalleles Ellipsoid|SZ=}} wird im {{math|term= \R^3 |SZ=}} durch {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed|(x,y,z)|ax^2 +by^2+cz^2 \leq r^2 }} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a,b,c | > | 0 || || || |SZ= }} beschrieben. Es ist das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Einheitskugel| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | K_3 || {{Mengebed|(u,v,w)|u^2 +v^2+w^2 \leq 1 }} || || || |SZ= }} unter der {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R^3|\R^3 | {{op:Spaltenvektor| u | v |w}} | {{op:Matrix33| {{op:Bruch| r | \sqrt{a} }} | 0 | 0| 0 | {{op:Bruch| r | \sqrt{b} }} | 0 | 0| 0 | {{op:Bruch| r | \sqrt{c} }} |}} {{Op:Spaltenvektor| u | v |w}} |SZ=, }} also mit {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| r | \sqrt{a} }} u || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | y || {{op:Bruch| r | \sqrt{b} }} v || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | z || {{op:Bruch| r | \sqrt{c} }} w || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |SZ= }} ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich {{ Relationskette/display | \operatorname{vol} \, ( E) || {{op:Bruch|r^3 | \sqrt{abc} }} \cdot \operatorname{vol} \, ( K_3) || || || |SZ=. }} Das Volumen der Einheitskugel ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 4 | 3}} \pi|SZ=,}} siehe {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3z5blrimng1ynieawfsy1m5voos6ql4 0 37899 1100387 1085517 2026-06-17T08:07:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100387 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |abgeschlossene Kugel| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Abgeschlossener Ball| 0 |r}} || {{Mengebed| x \in \R^n | \sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} \leq r }} || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath=C^\infty|differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{Stichwort|Sphäre|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{op:Sphäre| 0 |r}} || {{Mengebed| x \in \R^n | \sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} {{=|}} r }} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Rand| |Kontext=Mfk| |SZ=. }} Dies folgt unmittelbar aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt |SZ= }} angewendet auf die differenzierbare Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^n |\R |(x_1 {{kommadots|}} x_n) | \sqrt{x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2} |SZ=, }} die in jedem Punkt {{math|term= \neq 0 |SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=abb| |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cihtif3m1ebpz9a88kde97pk5juteag 0 38078 1100006 1085121 2026-06-17T07:04:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100006 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Kugeloberfläche {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed|(x,y,z)| x^2+y^2+z^2 {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} und nennen den Punkt {{ Relationskette | N || (0,0,1) || || || |SZ= }} Nordpol und den Punkt {{ Relationskette | S || (0,0,-1) || || || |SZ= }} Südpol. Ein Punkt {{ mathbed|term= P=(x,y,z) \in K ||bedterm1= P \neq N ||bedterm2= |SZ=, }} definiert zusammen mit dem Nordpol eine eindeutige Gerade im Raum, die durch {{ Math/display|term= (tx,ty ,1+t(z-1))=(0,0,1) + t ((x,y,z) -(0,0,1)), \, t \in \R |SZ=, }} parametrisiert ist. Der Vektor {{mathl|term= (x,y,z) -(0,0,1) |SZ=,}} der diese Gerade definiert, ist nicht parallel zur {{math|term= x-y|SZ=-}}Ebene, d.h. dass es genau einen Schnittpunkt dieser Geraden mit dieser Ebene gibt. Dieser ergibt sich zum Parameter {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| 1 | 1-z}} || || || |SZ=, }} es handelt sich um den Punkt {{ Math/display|term= {{makl| {{op:Bruch| x | 1-z}}, {{op:Bruch| y | 1-z}} ,0 |}} |SZ=. }} Wir fassen diese Konstruktion als eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\alpha |K \setminus \{N\}| \R^2 |(x,y,z)| {{makl| {{op:Bruch| x | 1-z}}, {{op:Bruch| y | 1-z}} |}} |SZ= }} auf. Es ist anschaulich klar, dass diese Abbildung eine Bijektion ist, was sich auch einfach über die Formeln nachrechnen lässt. Die Umkehrabbildung ergibt sich, indem man einen Punkt {{mathl|term= (u,v,0) |SZ=}} der Ebene mit dem Nordpol verbindet und den Durchstoßungspunkt {{math|term= \neq N |SZ=}} mit der Kugeloberfläche berechnet. Dies führt zur Bedingung {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Norm|(0,0,1) +a((u,v,0) - (0,0,1) ) ||}}^2 || {{op:Norm|(au,av,1-a) ||}}^2 || a^2u^2+a^2v^2+(1-a)^2 || 1 || |SZ=, }} was auf {{ Relationskette/display | a {{makl| au^2+av^2 -2 +a |}} || 0 || || || |SZ= }} führt. Die Lösung {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} entspricht dem Nordpol, an der wir nicht interessiert sind, sodass wir auf {{ Relationskette | a || {{op:Bruch| 2 |u^2+v^2+1}} || || || |SZ= }} geführt werden, also auf die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^2 | K \setminus \{N\} | (u,v) | {{makl| {{op:Bruch| 2u|u^2+v^2+1}}, {{op:Bruch| 2v|u^2+v^2+1}} ,1- {{op:Bruch| 2 |u^2+v^2+1}} |}} |SZ=. }} Insbesondere ist also die reelle Ebene {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |SZ= }} zur in einem Punkt {{Anführung|gelochten|}} Kugeloberfläche. Eine entsprechende Überlegung kann man für {{mathl|term= K \setminus \{S\} |SZ=}} anstellen. Dies führt zur Abbildung {{ Abbildung/display |name=\beta | K \setminus \{S\} | \R^2 | (x,y,z) | {{makl| {{op:Bruch| x |z+1}}, {{op:Bruch| y |z+1}} |}} |SZ= }} mit der Umkehrabbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^2 | K \setminus \{S\} | (s,t) | {{makl| {{op:Bruch| 2s|s^2+t^2+1}}, {{op:Bruch| 2t|s^2+t^2+1}}, -1+ {{op:Bruch| 2 |s^2+t^2+1}} |}} |SZ=. }} Der Südpol entspricht bei der ersten Abbildung dem Mittelpunkt der euklidischen Ebene und der Nordpol entspricht bei der zweiten Abbildung dem Mittelpunkt der euklidischen Ebene. Wir nennen beide Abbildungen bzw. ihre Umkehrabbildungen Karten. Beide Karten decken zusammen die gesamte Kugeloberfläche ab. Da es sich um Homöomorphismen handelt, geben sie die wesentlichen topologischen Eigenschaften der Sphäre richtig wieder. Sie sind beide nicht für die Geographie der Erde gut geeignet, da die Karten die gesamte Ebene benötigen und die Längen sehr stark verzerren. Beide Karten sind gleich gut. Es ist einfach, Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=und allgemeiner andere Figuren| |ISZ=|ESZ= }} auf der einen Karte in die andere Karte umzurechnen. Man muss dabei allerdings beachten, dass die beiden Pole nur in einer Karte vertreten sind. Die Punkte der Menge {{mathl|term= K \setminus \{N,S\} |SZ=}} finden sich auf beiden Karten, und zwar stehen sie durch beide Karten in Bijektion zu der im Mittelpunkt gelochten Ebene {{mathl|term= \R^2 \setminus \{0\} |SZ=.}} Die {{Stichwort|Übergangsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der {{Stichwort|Kartenwechsel|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} wird durch {{ Relationskette | \psi || \beta \circ {{makl| {{op:Einschränkung|\alpha^{-1}|\R^2 \setminus \{0\} }} |}} || || || |SZ= }} gegeben. Dabei ist {{ Relationskette/align/handlinks | \psi(u,v) || \beta {{makl| {{op:Bruch| 2u|u^2+v^2+1}}, {{op:Bruch| 2v|u^2+v^2+1}} ,1- {{op:Bruch| 2 |u^2+v^2+1}} |}} || {{makl| {{op:Bruch| {{op:Bruch| 2u|u^2+v^2+1}} | 2 - {{op:Bruch| 2 |u^2+v^2+1}} }} , {{op:Bruch| {{op:Bruch| 2v|u^2+v^2+1}} | 2 - {{op:Bruch| 2 |u^2+v^2+1}} }} |}} || {{makl| {{op:Bruch| {{op:Bruch| u |u^2+v^2+1}} | {{op:Bruch|(u^2+v^2+1) -1|u^2+v^2+1}} }} , {{op:Bruch| {{op:Bruch| v |u^2+v^2+1}} | {{op:Bruch|(u^2+v^2+1) -1|u^2+v^2+1}} }} |}} || {{makl| {{op:Bruch| u |u^2+v^2 }} , {{op:Bruch| v |u^2+v^2}} |}} |SZ=. }} Diese Übergangsabbildung induziert nicht nur einen Homöomorphismus zwischen {{mathl|term= \R^2 \setminus \{0\} |SZ=}} mit {{mathl|term= \R^2 \setminus \{0\} |SZ= {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Es empfiehlt sich hier nicht, {{Anführung|mit sich}} zu sagen, da man sich die beiden Kartenebenen als unabhängig voneinander vorstellen sollte. Die Beziehung zwischen ihnen entsteht allein dadurch, dass sie beide die gleiche Kugeloberfläche beschreiben| |ISZ=.|ESZ=, }} }} was unmittelbar daraus folgt, dass die Kartenabbildungen {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \beta |SZ= }} Homöomorphismen sind, sondern sogar einen {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Dies ist direkt aus der Funktionsvorschrift ablesbar; es macht aber keinen Sinn zu sagen, dass die Kartenabbildungen Diffeomorphismen sind, da ja die Kugeloberfläche keine offene Teilmenge im {{math|term= \R^3 |SZ=}} ist. Was bisher fehlt ist eine {{Anführung|differenzierbare Struktur|}} auf dieser Oberfläche, um von diffeomorph sprechen zu können. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stereographische Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogx7o65tv2nuym2e25on4eu8gt1w921 0 39133 1099896 1035915 2026-06-17T06:46:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099896 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die konstante Funktionenfolge {{ Relationskette | f_n | {{defeq}} | - {{op:Bruch| 1 |n}} || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} auf einer beliebigen Menge {{math|term= M |SZ=.}} Deren Supremum ist die {{math|term= 0 |SZ=-}}Funktion. Dabei ist {{ Relationskette/display | {{Mengebed| x \in M| {{op:sup|f_n |n \in \N_+}} (x) \geq 0}} || M || || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette/display | \bigcup_{n \in \N_+} {{Mengebed| x \in M|f_n (x) \geq 0 }} || \emptyset || || || |SZ=, }} d.h. ohne den Durchschnitt über {{ Relationskette | k | \in | \N_+ || || || |SZ= }} mit dem Abweichungsterm {{mathl|term= - {{op:Bruch| 1 |k}} |SZ=}} ist die Gleichung im [[Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt |SZ= }} nicht richtig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der messbaren numerischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mr5lfahxvuo7r9l7540ve8r0lmbfm3 0 39441 1100353 1085485 2026-06-17T08:02:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100353 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll eine Straße in der Ebene der Breite {{math|term= 2a|SZ=}} asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve {{ Abbildung/display |name= | [0,s] |\R^2 | t | \psi(t) {{=|}} {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} |SZ=, }} bestimmt ist. Dabei sei {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |zweimal stetig differenzierbar| |Kontext=Kurve| |SZ= }} und {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Kurve| |SZ=. }} Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | [0,s] \times [-a,a] | \R^2 |(t,r)| {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} + r {{op:Bruch| 1 | \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} {{op:Spaltenvektor| -g'(t)|f'(t)}} |SZ=, }} parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung {{math|term= \psi|SZ=}} injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll. Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential|\varphi|(r,t)}} || {{op:Matrix22|f^{\prime} (t) + r {{op:Bruch|g^{\prime \prime}(t) \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} -g'(t) {{op:Bruch|f'(t)f^{\prime \prime}(t) + g'(t)g^{\prime \prime }(t) | \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} | - {{op:Bruch|g'(t)| \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} | g^{\prime} (t) + r {{op:Bruch|f^{\prime \prime}(t) \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} -f'(t) {{op:Bruch|f'(t) f^{\prime \prime}(t) + g'(t) g^{\prime \prime }(t) | \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} | {{op:Bruch|f'(t)| \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} }} }} || || || |SZ=. }} Die Determinante davon ist {{ Relationskette/align | || {{op:Bruch| f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t)| \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} |}} + r {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - g'(t)f'(t) {{op:Bruch| f'(t)f^{\prime \prime } + g'(t) g^{\prime \prime } | f'(t)^2 + g'(t)^2 |}} - f^{\prime \prime}(t) g'(t) + f'(t)g'(t) {{op:Bruch| f'(t)f^{\prime \prime } + g'(t) g^{\prime \prime } | f'(t)^2 + g'(t)^2 |}} | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} || \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} + r {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} || || || |SZ=. }} Daher ist die Asphaltfläche nach {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align | || {{op:Integralmaß| {{op:Betrag| \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} + r {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} ||}} | [0,s] \times [-a,a] | \lambda^2}} || 2a {{op:Integral| 0 | s | Integrand=\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} || t }} + ( {{op:Integral| -a| a | Integrand=r|| r}} ) ({{op:Integral| 0 | s | Integrand= {{op:Bruch| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) | f'(t)^2 + g'(t)^2 }} || t }} ) || || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Asphalt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68e4e5gokmmn5fvdwgb64v4187e02e4 0 39443 1100355 1085486 2026-06-17T08:02:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100355 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll eine Straße in der Ebene der Breite {{math|term= 2a|SZ=}} asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve {{ Abbildung/display |name= | [0,s] |\R^2 | t | \psi(t) {{=|}} {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} |SZ=, }} bestimmt ist. Dabei sei {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |zweimal stetig differenzierbar| |Kontext=Kurve| |SZ= }} und {{ Definitionslink |bogenparametrisiert| |Kontext=Kurve| |SZ=, }} d.h. es sei {{ Relationskette | f'(t)^2 +g'(t)^2 || 1 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | [0,s] \times [-a,a] | \R^2 |(t,r)| {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} + r {{op:Spaltenvektor| -g'(t)|f'(t)}} |SZ=, }} parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung {{math|term= \psi|SZ=}} injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll. Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential|\varphi|(t,r)}} || {{op:Matrix22|f^{\prime} (t) - r g^{\prime \prime}(t) | - g'(t)| g^{\prime} (t) + r f^{\prime \prime}(t) | f'(t) }} || || || |SZ=. }} Die Determinante davon ist {{ Relationskette/align/handlinks | f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t) - r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || || || |SZ=. }} Daher ist die Asphaltfläche nach {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Integralmaß| {{op:Betrag| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} }} | [0,s] \times [-a,a] | \lambda^2}} |SZ=. }} Wenn wir weiter annehmen, dass {{ Relationskette/display | {{op:Betrag|g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t)|}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |a}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist| |ISZ=|ESZ=, }} so ist dieses Integral nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |SZ= }} geich {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Integralmaß| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} | [0,s] \times [-a,a] | \lambda^2}} || 2a s - {{makl| {{op:Integral| -a| a | Integrand=r|| r}} |}} {{makl| {{op:Integral| 0 | s | Integrand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) || t }} |}} || 2a s - 0 \cdot {{makl| {{op:Integral| 0 | s | Integrand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) || t }} |}} || 2as || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Asphalt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 886mg9ru5f28yb891bp651zyn85ac67 0 39812 1099795 1084897 2026-06-17T06:31:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099795 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= An eindimensionalen {{ Definitionslink |Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |SZ= }} gibt es zunächst die offenen Teilmengen des {{math|term= \R^1 |SZ=.}} Diese sind Vereinigungen von offenen Intervallen, und sie sind genau dann {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=Topologie| |SZ=, }} wenn sie ein offenes Intervall sind. Jedes offene, beschränkte oder unbeschränkte Intervall ist {{ Definitionslink |homöomoph| |Kontext=| |SZ= }} und auch {{ Definitionslink |diffeomorph| |Kontext=R^n | |SZ= }} zum {{ Definitionslink |offenen Einheitsintervall| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= ]0,1[ |SZ=}} und zu den reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=}} selbst. Die abgschlossenen Intervalle {{ mathbed|term= [a,b] |mit|bedterm1= a < b ||bedterm2= |SZ= }} sind keine Mannigfaltigkeiten, da es für die Randpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=die Intervallgrenzen| |ISZ=|ESZ= }} keine offene Umgebung gibt, die homöomorph zu einem offenen Intervall ist {{ Zusatz/Klammer |text=sie sind aber sogenannte {{Stichwort|Mannigfaltigkeiten mit Rand|msw=Mannigfaltigkeit mit Rand|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Darüber hinaus gibt es noch den {{Stichwort|Kreis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Sphäre|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= S^1 |SZ=}} als weitere zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist {{ Relationskette/display | S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=|}} 1 }} || || || |SZ=. }} Für jeden Punkt {{ Relationskette | P | \in | S^1 || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= S^1 \setminus \{P \} |SZ=}} homöomorph zu {{math|term= \R |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=durch stereographische Projektion| |ISZ=|ESZ=. }} Der Kreis ist nicht homöomorph zu {{math|term= \R |SZ=,}} da der Kreis {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=| |SZ= {{{zusatz1|}}} }} ist, die reellen Zahlen aber nicht. Neben {{ mathkor|term1= S^1 |und|term2= \R |SZ= }} gibt es keine weiteren eindimensionalen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten mit {{ Definitionslink |abzählbarer Basis der Topologie| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was hier ohne Beweis erwähnt sei| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort=Eindimensional |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pebehpnwe54gxuesethmwhtbcr3sj5f 0 39817 1100557 1085634 2026-06-17T10:27:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100557 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Mannigfaltigkeit| |Kontext=differenzierbar| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} mit einem {{math|term= C^k |SZ=-}}Atlas {{mathl|term= {{makl| U_i,U_i',\alpha_i, i \in I |}} |SZ=}} gibt es einen {{Stichwort|maximalen Atlas|msw=Maximaler Atlas|SZ=,}} der mit der durch den Atlas gegebenen differenzierbaren Struktur verträglich ist. Er besteht aus der Menge aller {{ Definitionslink |Homöomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\beta | U | V || |SZ= }} mit offenen Mengen {{ Relationskette | U | \subseteq | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | V | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass diese Abbildungen {{ Definitionslink |Prämath=C^k | Abbildungen |Kontext=differenzierbar Mfk| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der durch den Atlas gegebenen Struktur| |ISZ=|ESZ= }} sind. Dieser maximale Atlas enthält natürlich den Ausgangsatlas, ist aber im Allgemeinen bei weitem größer. Beispielsweise enthält er zu jeder Karte {{ Abbildung |name=\beta | U | V || |SZ= }} und jeder offenen Teilmenge {{ Relationskette | U' | \subseteq | U || || || |SZ= }} auch die auf {{math|term= U' |SZ=}} eingeschränkte Kartenabbildung. Wichtig ist, dass die identische Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:Identität||}} |(M,A)|(M,B) || |SZ=, }} wobei {{math|term= A |SZ=}} den Ausgangsatlas und {{math|term= B |SZ=}} den maximalen Atlas bezeichnet, ein {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Diffeomorphismus| |Kontext=Mfk| |SZ= }} von Mannigfaltigkeiten ist, wie unmittelbar aus der Definition folgt. Wichtiger als der Atlas ist die durch ihn vertretene differenzierbare Struktur auf der Mannigfaltigkeit, die festlegt, welche Abbildungen differenzierbar und welche Diffeomorphismen sind. Die Karten des maximalen Atlas werden manchmal auch {{ Zusatz/Klammer |text=verallgemeinerte| |ISZ=|ESZ= }} Karten der Mannigfaltigkeit genannt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Maximaler Atlas |Autor= |Bearbeitungsstand= }} op93ojpi5rwifigo4lnjtqsgv11nh8p 0 40059 1100393 1085521 2026-06-17T08:08:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100393 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Differentialform {{ Relationskette/display | \omega || {{makl| xy+z^2 |}} dx+zdy+x^3dz || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^3 |SZ=}} und den {{ Definitionslink |affin-linearen Weg| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\gamma | [0,1] |\R^3 | t |(1,2,0) +t(3,0,2) {{=|}} (1+3t,2,2t) |SZ=. }} Die unter {{math|term= \gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |zurückgenommene Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \gamma^* \omega|SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| {{makl| (1+3t)2 + (2t)^2 |}} dx + 2tdy + (1+3t)^3 dz |}} {{op:Spaltenvektor| 3 | 0 | 2}} || {{makl| 3 ((1+3t)2 + (2t)^2) + 2(1+3t)^3 |}} dt || {{makl| 12t^2+18t+6+54t^3+54t^2+18t+2 |}} dt || {{makl| 54t^3+66t^2+36t+8 |}} dt || |SZ=. }} Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Integral| 0 | 1 |Integrand=54t^3+66t^2+36t+8||t}} || {{op:Integralstamm| 0 | 1 |stamm= {{makl| {{op:Bruch| 27| 2}} t^4 + 22 t^3 + 18t^2 +8t|}} ||}} || {{op:Bruch| 123| 2 |}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pz565tuxpboku3cjdqfq0d9x7l1w858 0 40067 1100705 1085816 2026-06-17T10:50:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100705 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Wegintegral| |Kontext=| |SZ= }} wird folgendermaßen berechnet. Es sei {{math|term= \omega|SZ=}} eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Form auf {{ Relationskette | G | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} offen, die durch {{ Relationskette/display | \omega || g_1dx_1 {{plusdots|}} g_ndx_n || || || |SZ= }} beschrieben werde, wobei die {{ Abbildung |name=g_j | G |\R || |SZ= }} messbare Funktionen sind. Es sei eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Kurve| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=\gamma | [a,b] | G || |SZ= }} gegeben mit den {{ Zusatz/Klammer |text=stetig differenzierbaren| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Komponentenfunktionen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \gamma_j |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | t | \in | [a,b] || || || |SZ= }} wird dann {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt |SZ= }} durch den Vektor {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| \gamma_1'(t)| \ldots | \gamma_n'(t) |}} |SZ=}} beschrieben. Die {{ Definitionslink |zurückgezogene Differentialform| |Kontext=1-Form vr| |SZ= }} {{mathl|term= \gamma^* \omega |SZ=}} hat dann im Punkt {{math|term= t |SZ=}} in Richtung {{math|term= 1 |SZ=}} den Wert {{ Relationskette/align/handlinks | \omega(\gamma(t); \gamma'(t)) || {{makl| g_1(\gamma(t))dx_1 {{plusdots|}} g_n(\gamma(t))dx_n |}} {{op:Spaltenvektor| \gamma_1'(t) |\vdots | \gamma_n'(t) }} || g_1(\gamma(t)) \gamma_1'(t) {{plusdots|}} g_n(\gamma(t)) \gamma_n'(t) || || |SZ=. }} Im mittleren Ausdruck wird eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} auf einen Vektor angewendet. In {{mathl|term= g_j(x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} wird also {{ mathkor|term1= x_i |durch|term2= \gamma_i(t) |SZ= }} und {{ mathkor|term1= dx_i |durch|term2= \gamma_i'(t) dt |SZ= }} ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare {{math|term= 1 |SZ=-}}Form auf {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} bzw. eine messbare Funktion von {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=,}} die man integrieren kann. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1ybdtwwyyqrhb8j6191ewuvfsot0oh 0 41517 1099887 1084983 2026-06-17T06:45:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099887 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das von den Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 0 | 2 | 3}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 1 | 4 | -2}} |SZ= }} {{ Definitionslink |aufgespannte Parallelogramm| |Kontext=| |SZ= }} im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt |SZ= }} müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist {{ Math/display|term= {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| 0 | 2 | 3}} | {{op:Spaltenvektor| 0 | 2 | 3}} }} = 13,\, {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| 0 | 2 | 3}} | {{op:Spaltenvektor| 1 | 4 | -2}} }} = 2,\, {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| 1 | 4 | -2}} | {{op:Spaltenvektor| 1 | 4 | -2}} }} = 21 |SZ=. }} Dies führt zur Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 13| 2 | 2| 21}} |SZ= }} mit der Determinante {{mathl|term= 269 |SZ=.}} Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also {{mathl|term= \sqrt{269} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlwzr3qnz04ul2687eye8iuoeg8l6z8 0 42245 1100337 1085466 2026-06-17T07:59:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100337 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=2|Sphäre| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= S^2 |SZ=}} als {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= 0 |SZ=}} zur {{ Definitionslink |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=R total| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^3|\R |(x,y,z)| x^2+y^2+z^2-1 |SZ=. }} Wir können darauf {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |SZ= }} anwenden und erhalten durch {{ Abbildung/display |name= |\bigwedge^2 T_P S^2|\R |v_1 \wedge v_2 | {{op:Determinante| ({{op:Gradient|\varphi(P)|}},v_1,v_2) |}} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Tangentenvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} wegen {{mathl|term= T_PS^2 \subseteq T_P\R^3=\R^3 |SZ=}} direkt im {{math|term= \R^3 |SZ=}} aufgefasst werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} eine stetige nullstellenfreie {{ Definitionslink |Flächenform| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=.}} Dies führt zu einer {{ Definitionslink |positiven Flächenform| |Kontext=| |SZ= }} und zu einer {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=Mfk| |SZ= }} auf {{math|term= S^2 |SZ=.}} Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} repräsentieren die Orientierung, wenn {{mathl|term= \omega(v_1,v_2) >0 |SZ=}} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren {{mathl|term= {{op:Gradient|\varphi(P)|}},\, v_1,\, v_2 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Standardorientierung| |Kontext=| |SZ= }} des {{math|term= \R^3 |SZ=}} repräsentieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Sphären |Kategorie2=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie3=Theorie der Volumenformen |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4g6b8snplv8fa7cpg80v524k94ltbh5 0 42807 1099770 1084874 2026-06-17T06:27:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kubische Gleichung {{ Relationskette/display | x^3+2x-1 || 0 || || || |SZ= }} und wenden darauf {{ Faktlink |Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |SZ= }} an. Es ist demnach {{ mathlist|term1= p=2 ||term2= q=-1 |und|term3= D=-59 |SZ= }} und somit {{ mathkor|term1= u= \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| 1 + {{op:Bruch| 1 | 9}} \sqrt{177} |}} } |und|term2= v= \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| 1 - {{op:Bruch| 1 | 9}} \sqrt{177} |}} } |SZ=. }} Dabei wählen wir jeweils die reellen dritten Wurzeln, was automatisch die reelle Bedingung {{ Relationskette |uv || - {{op:Bruch| 2 | 3}} || || || |SZ= }} sicherstellt. Somit ist {{mathl|term= u+v|SZ=}} eine reelle Lösung der Gleichung. Man sieht, dass diese Lösung aus Lösungen von rein-quadratischen und rein-kubischen Gleichungen mittels arithmetischer Ausdrücke zusammengesetzt ist, darüber hinaus aber keine einfache Gestalt besitzt. Den numerischen Wert dieser Lösung kann man beliebig genau durch beliebig genaue Berechnungen der Lösungen der reinen Gleichungen ausrechnen, doch könnte man genauso gut direkt {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Halbierungsverfahren oder Ähnlichem| |ISZ=|ESZ= }} die Nullstelle numerisch berechnen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9aansxjedb3kzwe1co0fref21lcmqb2 0 43051 1100263 1037940 2026-06-17T07:47:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100263 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= a \in K |SZ=}} und {{mathl|term= n\in \N|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= X^n - a |SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} ist. Dann ist {{ Relationskette |K | \subseteq | K[X]/(X^n-a) || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Eine Variable/Körper/Restklassencharakterisierung von irreduzibel/Fakt |Nr= |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reine Gleichung über Körper/Als graduierte Algebra/Beispiel |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|n}} |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ=. }} Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von {{mathl|term= X^n-a|SZ=}} ist, dass {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= K |SZ=}} keine {{math|term= n |SZ=-}}te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |n || 3 || || || |SZ= }} ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} und wenn die {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= K |SZ=}} nicht gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist {{ Relationskette | 1 |\neq| -1 || || || |SZ= }} und der nichttriviale Charakter {{ Abbildung/display |name=\chi |D {{=|}} {{op:Zmod| 2}} | K^\times || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \chi(0)=1 |und|term2= \chi(1)=-1 |SZ= }} definiert über {{ Faktlink |Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |SZ= }} den nichttrivialen {{ Definitionslink |Prämath=K|Körperautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} mit {{mathl|term= x \mapsto -x|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= x |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} sei| |ISZ=|ESZ=, }} also die {{ Definitionslink |Konjugation| |Kontext=Quadratische Körpererweiterung| |SZ= }} in der {{ Definitionslink |quadratischen Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K | \subseteq | K[X]/(X^2-a) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c118eihji3bbymz16g5uml5u6773v3u 0 43053 1099928 1036104 2026-06-17T06:52:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099928 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath=\Q|Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= \Q[X]/(X^4+4) |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod| 4}} |graduierte| |Kontext=über Körper| |SZ= }} {{math|term= \Q|SZ=-}}Algebra. Das Polynom {{mathl|term= X^4+4 |SZ=}} besitzt keine Nullstelle in {{math|term= \Q|SZ=,}} es ist aber nicht {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ=, }} wie die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+4 ||(X^2-2X+2)(X^2+2X+2) || || || |SZ= }} zeigt. Es liegt also keine graduierte Körpererweiterung vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8835pmm16v2ghq1pxb7htw793qbhqcb 0 43054 1099930 1036114 2026-06-17T06:52:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099930 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den von {{ mathkor|term1= \sqrt{2} |und|term2= \sqrt{3} |SZ= }} erzeugten Unterkörper {{ Relationskette |L ||\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3} ) || \Q[\sqrt{2}, \sqrt{3} ] || || |SZ= }} von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder von {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Elemente {{mathl|term= 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} |SZ=}} bilden dabei unmittelbar ein {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ= }} und sogar eine Basis, da man andernfalls {{math|term= \sqrt{3} |SZ=}} als rationale Linearkombination von {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= \sqrt{2} |SZ= }} ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} vier vor. Sei {{ Relationskette |D || {{op:Zmod| 2}} \times {{op:Zmod| 2}} || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Math/display|term= L_{(0,0)} =\Q, \, L_{(1,0)} =\Q \cdot \sqrt{2}, \, L_{(0,1)} =\Q \cdot \sqrt{3} \, , L_{(1,1)} =\Q \cdot \sqrt{6} |SZ=, }} und erhalten dadurch eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte Körpererweiterung| |SZ= }} von {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Körpererweiterung Q(\sqrt(2), \sqrt(3)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77g3ukiq0q9t9zqrffo7aoha3rhvua6 0 43056 1099706 1084805 2026-06-17T06:17:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099706 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |\Q | \subseteq | L | {{defeq|}} |\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} , \sqrt{2} ] || || |SZ= }} in {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} Diese besitzt eine {{ Definitionslink |Prämath=D= {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 2 |}} | Graduierung| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ=, }} bei der {{mathl|term= 1, {{Imaginäre Einheit|}} ,\sqrt{2}, {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt{2} |SZ=}} eine homogene Basis bilden. Das {{ Zusatz/Klammer |text=in dieser Graduierung nicht homogene| |ISZ=|ESZ= }} Element {{ Relationskette | \zeta_8 || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| \sqrt{2} + \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} |}} || || || |SZ= }} ist eine {{math|term= 8 |SZ=-}}te {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} und wegen {{ Relationskette | \zeta^2 || {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |L ||\Q(\zeta_8) || || || |SZ= }} der achte {{ Definitionslink |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |SZ= {{{zusatz1|.}}} }} Das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= \zeta_8 |SZ=}} ist {{mathl|term= X^4+1 |SZ=,}} sodass man auch {{ Relationskette |L | \cong|\Q[X]/(X^4+1) || || || |SZ= }} schreiben kann. Dies zeigt, dass {{math|term= L |SZ=}} auch eine {{mathl|term= {{op:Zmod| 4 |}} |SZ=-}}graduierte Körpererweiterung von {{math|term= \Q|SZ=}} ist, bei der {{math|term= \zeta_8 |SZ=}} homogen ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqgw3mvnwzhfmi0j2gt3j2r6dza3nec 0 43227 1099929 1085019 2026-06-17T06:52:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099929 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod| 6 |}} |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \Q | \subseteq | L || \Q[ \sqrt[3]{2}, \sqrt{-3} ] || \Q [\sqrt[6]{-108}] || \Q[X]/(X^6+108) |SZ=. }} Die Graduierung ist durch {{ Relationskette |L_i ||\Q \cdot x^{i} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | x || \sqrt[6]{-108} || \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{-3} || || |SZ= }} gegeben. Es ist {{ Relationskette | \sqrt{-3} || - {{op:Bruch| 1 | 6}} x^3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \sqrt[3]{2} || {{op:Bruch| 1 | 18}} x^4 || || || |SZ=. }} Da es in {{math|term= \Q|SZ=}} keine primitive dritte Einheitswurzel gibt, ist {{ Relationskette | {{op:Charaktere| {{op:Zmod| 6 |}} | \Q^\times }} | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} || || || |SZ= }} und daher gibt es nur zwei {{ Definitionslink |homogene Automorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=somit ist dies auch keine {{ Definitionslink |Kummererweiterung| |Kontext=| |SZ= {{{zusatz1|}}} }} | |ISZ=|ESZ=. }} Dennoch handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ=. }} Zunächst gehört {{ Relationskette/display |\zeta_3 || {{op:Bruch| -1 + \sqrt{-3} | 2}} || {{op:Bruch| -6-x^3| 12}} || || |SZ= }} zu {{math|term= L |SZ=}} und es ist {{ Relationskette | \Q(\zeta_3) || \Q(\sqrt{-3} ) || L_0 \oplus L_3 || || |SZ=. }} Ein weiterer {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Graduierung verträglicher| |ISZ=|ESZ= }} Zwischenkörper ist {{ Relationskette | \Q {{makl| \sqrt[3]{2} |}} || L_0 \oplus L_2 \oplus L_4 || || || |SZ=. }} Die durch {{mathl|term= x^{i} \mapsto (-1)^{i} x^{i} |SZ=}} gegebene Abbildung ist ein {{ Definitionslink |homogener Automorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=}} mit {{ Relationskette | \varphi^2 || {{op:Identität||}} || || || |SZ=. }} Aber auch die Zuordnung {{mathl|term= x^{i} \mapsto (\zeta_3)^{i} x^{i} |SZ=}} definiert einen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht-homogenen| |ISZ=|ESZ= }} Automorphismus {{math|term= \psi|SZ=}} mit {{ Relationskette | \psi^3 || {{op:Identität|}} || || || || |SZ=. }} Es gibt also insgesamt {{math|term= 6 |SZ=}} Automorphismen und daher liegt eine Galoiserweiterung vor. Dabei ist {{ Relationskette/display | (\varphi \circ \psi)(x) || \varphi (\psi(x)) || \varphi {{makl| \zeta_3 x |}} || \varphi {{makl| {{op:Bruch| -6x-x^4| 12}} |}} || {{op:Bruch| 6x-x^4| 12}} |SZ= }} und {{ Relationskette/display | (\psi \circ \varphi)(x) || \psi (\varphi (x)) || \psi (- x ) || - \psi(x) || - {{op:Bruch| -6x-x^4| 12}} || {{op:Bruch| 6x+x^4| 12}} |SZ=. }} Daher ist die Galoisgruppe nicht kommutativ, und es muss {{ Relationskette | {{op:Galoisgruppe|\Q|L}} || S_3 || || || |SZ= }} sein. Der Körper {{mathl|term= \psi {{makl| \Q {{makl| \sqrt[3]{2} |}} |}} |SZ=}} ist ein nichthomogener Zwischenkörper. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zerfällungskörper zu X^6+108 über Q |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5h1xs6y5irolf83y7bnlms83dkpk7vp 0 43274 1100024 1036789 2026-06-17T07:07:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100024 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{mathl|term= X^2-3 |SZ=,}} dessen Koeffizienten zu {{math|term= \Q |SZ=}} gehören. In den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} besitzt dieses Polynom die Nullstelle{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die Existenz der Nullstelle beruht auf dem {{ Faktlink |Präwort=|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |SZ=, }} wobei sich die Existenz von {{math|term= \sqrt{3} |SZ=}} auch direkt aus der {{ Definitionslink |Vollständigkeit| |Kontext=ang| |SZ= }} von {{math|term= \R |SZ=}} ergibt | |ISZ=.|ESZ= }} {{math|term= \sqrt{3} |SZ=,}} die irrational ist. Über {{math|term= \R |SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Relationskette | X^2-3 || (X - \sqrt{3})(X+ \sqrt{3}) || || || |SZ=. }} Um dies auszudrücken, braucht man aber nicht die gesamten reellen Zahlen, sondern lediglich {{math|term= \sqrt{3} |SZ=,}} das man einfach als ein Symbol auffassen kann mit der Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich {{math|term= 3 |SZ=}} sein soll. Eine {{Anführung|Verortung}} innerhalb der reellen Zahlen ist dazu nicht nötig. Präziser formuliert betrachtet man {{ Relationskette/display |L || \Q 1 + \Q u || {{Mengebed|a+b u|a,b \in \Q}} || || |SZ=, }} also einen zweidimensionalen {{math|term= \Q |SZ=-}}Vektorraum mit den Basiselementen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= u |SZ=, }} wobei eine Multiplikation durch die Bedingung {{ Relationskette |u^2 || 3 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und distributive Fortsetzung| |ISZ=|ESZ= }} festgelegt wird. Das Element {{math|term= u |SZ=}} ist hier lediglich ein Symbol, für das man häufig wegen der intendierten Eigenschaft auch {{math|term= \sqrt{3} |SZ=}} schreibt {{ Zusatz/Klammer |text=man schreibt auch {{ Relationskette/k | L || \Q[\sqrt{3}] || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} In {{math|term= L |SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Relationskette | X^2-3 || (X-u)(X+u) || || || |SZ=, }} und wegen {{ Relationskette/display | (a+bu) {{makl| {{op:Bruch| a | a^2 -3b^2 }} - {{op:Bruch| b |a^2 -3b^2}} u |}} || {{op:Bruch|a^2 -3b^2|a^2 -3b^2|}} || 1 || || |SZ= }} handelt es sich um einen Körper. Dazu muss man sich klar machen, dass bei {{ Relationskette | a+bu |\neq| 0 || || || |SZ= }} mit rationalen Zahlen {{ Relationskette | a,b | \in |\Q || || || |SZ=, }} die nicht beide {{math|term= 0 |SZ=}} sind, auch {{ Relationskette | a^2 -3b^2 |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist, was äquivalent zur Irrationalität von {{math|term= \sqrt{3} |SZ=}} ist. Es sind also wesentliche Eigenschaften des Polynoms {{mathl|term= X^2-3 |SZ=,}} die über {{math|term= \R|SZ=}} sichtbar werden, bereits über {{math|term= L |SZ=}} sichtbar. Es gibt aber auch Unterschiede, beispielsweise sind bei dieser algebraischen Konstruktion von {{math|term= L |SZ=}} die beiden Elemente {{ mathkor|term1= u |und|term2= -u |SZ= }} vollkommen gleichberechtigt, während innerhalb der reellen Zahlen die eine Quadratwurzel positiv und die andere negativ ist. Diese Gleichberechtigung zeigt sich auch darin, dass durch {{ Abbildung/display |name= | L | L | a+bu | a-bu |SZ=, }} eine {{Anführung|Konjugation|}} definiert wird, die es innerhalb der reellen Zahlen nicht gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Körper Q(sqrt(3)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmg9hlcc92ecyobklbu7x4hn448ig28 0 43521 1100117 1085221 2026-06-17T07:23:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100117 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körperkette {{ Relationskette | \Q | \subseteq | {{{M|M}}} | \subseteq | {{{L|L}}} || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | {{{M|M}}} ||\Q(\sqrt{3}) || || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{{L|L}}} || {{{M|M}}}(\sqrt{1+ \sqrt{3} }) || || || || |SZ= }} ist. Das sind zwei {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterungen| |Kontext=| |SZ=, }} die beide nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ= }} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} sind. Wir setzen {{ Relationskette |u || \sqrt{1+ \sqrt{3} } || || || |SZ=, }} und dieses Element erzeugt {{math|term= {{{L|L}}} |SZ=}} über {{math|term= \Q|SZ=.}} Wir können {{math|term= {{{L|L}}} |SZ=}} als einen Unterkörper von {{math|term= \R|SZ=}} auffassen, indem wir für {{math|term= \sqrt{3} |SZ=}} und dann für {{mathl|term= \sqrt{1+ \sqrt{3} } |SZ=}} die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben {{ Relationskette/display |u^4-2u^2-2 ||(u^2-1)^2-3 || 0 || || |SZ=, }} d.h. das Polynom {{mathl|term= X^4-2X^2-2 |SZ=}} wird von {{math|term= u |SZ=}} annulliert. Dieses Polynom besitzt über {{math|term= {{{L|L}}} |SZ=}} die Zerlegung {{ Relationskette/align |X^4-2X^2-2 || {{makl| X^2-1 |}}^2-3 || {{makl| X^2-1- \sqrt{3} |}} {{makl| X^2-1 + \sqrt{3} |}} || {{makl| X^2 - u^2 |}} {{makl| X^2-1+ \sqrt{3} |}} || (X-u)(X+u) {{makl| X^2-1+ \sqrt{3} |}} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | {{{L|L}}} | \subseteq | \R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \sqrt{3} -1 | > | 0 || || || |SZ= }} ist das hintere quadratische Polynom über {{math|term= {{{L|L}}} |SZ=}} unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über {{math|term= {{{L|L}}} |SZ=}} nicht in Linearfaktoren und somit ist {{ Relationskette | \Q | \subseteq | {{{L|L}}} || || || |SZ= }} nicht normal. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der Radikalerweiterungen |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfa2bxozx158x28ezvasi244dzgiy5f 0 43685 1099855 1084952 2026-06-17T06:40:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099855 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | {{op:Endlicher Körper| p |}} | \subseteq | {{op:Endlicher Körper| q |}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |q || p^{ {{{n|n}}} } || || || |SZ= }} eine Körpererweiterung endlicher Körper. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dies eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |zyklischer| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n |SZ=,}} die vom {{ Definitionslink |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Phi|SZ=}} erzeugt wird. Die Galoisgruppe ist also isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod| {{{n|n}}} |}} |SZ=.}} Die Untergruppen von {{mathl|term= {{op:Zmod| {{{n|n}}} |}} |SZ=}} sind von der Form {{ Relationskette/display |H || \langle {{{m|m}}} \rangle || \{0, {{{m|m}}}, 2 {{{m|m}}} {{kommadots|}} ( {{{k|k}}} -1 ) {{{m|m}}} \} || || |SZ= }} mit einem Teiler {{math|term= {{{m|m}}} |SZ=}} von {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=,}} wobei {{ Relationskette | {{{k|k}}} || {{op:Bruch| {{{n|n}}} | {{{m|m}}}}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} der Untergruppe ist. Der zugehörige {{ Definitionslink |Fixkörper| |Kontext=| |SZ= }} ist der Fixkörper zu {{math|term= \Phi^{ {{{m|m}}} } |SZ=,}} der nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt |Nr= |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} |SZ=}} ist, und {{math|term= H |SZ=}} ist die Galoisgruppe von {{ Relationskette | {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} | \subseteq | {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{n|n}}} } |}} || || || |SZ=. }} Zu jeder Untergruppe {{ Relationskette |H || \langle {{{m|m}}} \rangle || || || |SZ= }} gibt es die {{ Definitionslink |Restklassenabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| {{{n|n}}} |}} | ({{op:Zmod| {{{n|n}}} |}})/H \cong {{op:Zmod|{ {{{m|m}}} }|}} || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Restklassengruppe dabei die Galoisgruppe von {{ Relationskette | {{op:Endlicher Körper|p |}} | \subseteq | {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} || || || |SZ=, }} und der Frobenius {{math|term= \Phi|SZ=}} von {{math|term= {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{n|n}}} } |}} |SZ=}} wird dabei auf den Frobenius von {{math|term= {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{m|m}}} } |}} |SZ=}} eingeschränkt. Insbesondere hängen die Anzahl und die Inklusionsbeziehungen der Zwischenkörper von {{ Relationskette | {{op:Endlicher Körper|p |}} | \subseteq | {{op:Endlicher Körper|p^{ {{{n|n}}} } |}} || || || |SZ= }} nur von {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} und nicht von der Primzahl ab. |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2=Der Frobeniushomomorphismus auf endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sy1tughbjhxe13gb5xtb70yfjwm3lql 0 44656 1100195 1085326 2026-06-17T07:36:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100195 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {\mathbb A}^\times || {\mathbb A}^1 \setminus \{ 0 \} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink/- |punktierte affine Gerade| |Kontext=| |SZ=, }} also die affine Gerade ohne das maximale Ideal {{mathl|term= (X) |SZ=.}} Für jede natürliche Zahl {{ Relationskette |n | \geq | 1 || || || |SZ=, }} die kein Vielfaches der Charakteristik von {{math|term= K |SZ=}} ist, ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{\mathbb A}^\times |{\mathbb A}^\times | x | x^n |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=die dem Einsetzungshomomorphismus zu {{mathlk|term=X \mapsto X^n |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }} eine endliche {{acutee|}}tale Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der Ableitung von {{math|term= X^n |SZ=,}} da sich aus {{ Relationskette | nX^{n-1} dX || 0 || || || |SZ= }} direkt {{ Relationskette |dX || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= \Omega_{ {\mathbb A}^\times {{|}} {\mathbb A}^\times } |SZ=}} ergibt. Die Automorphismengruppe dieser Überlagerung entspricht den {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln in {{math|term= K |SZ=,}} wobei eine solche Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=}} auf {{math|term= {\mathbb A}^\times |SZ=}} durch {{mathl|term= x \mapsto \zeta x |SZ=}} wirkt, und ist daher zu {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=}} isomorph. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie3=Theorie der Potenzierung in einem Ring |Kategorie4=Theorie der endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mxnfp2azpd8zb6bay0fdzlnjmpbyx4x 0 44657 1100141 1074397 2026-06-17T07:27:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100141 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= F \in K[X] |SZ=}} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Polynom vom Grad {{math|term= n |SZ=,}} das wir als Morphismus {{ Abbildung/display |name=F |{\mathbb A}^1|{\mathbb A}^1 | x | F(x) |SZ=, }} auffassen {{ Zusatz/Klammer |text=zum Einsetzungshomomorphismus {{mathl|term= Y \mapsto F |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Auf der Ringebene beschrieben geht es um die {{mathl|term= K[Y] |SZ=-}}Algebra {{ Math/display|term= K[X] \cong K[X,Y]/(Y-F) \cong K[Y] \cdot 1 \oplus K[Y] \cdot X {{oplusdots|}} K[Y] \cdot X^{n-1} |SZ= }} {{ inputbild |Courbe troisième degré 4|GIF| 280px {{!}} right {{!}} | |espname=Courbe_troisième_degré_4.GIF |Text=Die Abbildung, um die es geht, ist die horizontale Projektion der roten Kurve auf die {{math|term= y |SZ=-}}Achse. Die beiden Verzweigungspunkte sind die beiden Extremumspunkte. Wenn man deren horizontalen Projektionspunkte {{ Zusatz/Klammer |text=also ihre beiden {{math|term= y |SZ=-}}Koordinaten herausnimmt, bekommt man eine {{acutee|}}tale Abbildung. Wenn man von diesen {{math|term= y |SZ=-}}Koordinaten alle Urbildpunkte herausnimmt, so liegt eine Überlagerung vor| |ISZ=|ESZ=. }} |Autor= |Benutzer=Lydienoria |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} mit der durch {{math|term= F |SZ=}} definierten Multiplikationsregel für {{math|term= X^n |SZ=.}} Daher ist diese Abbildung endlich und frei vom Rang {{math|term= n |SZ=}} und insbesondere {{ Definitionslink |flach| |Kontext=Modul| |SZ=. }} Der Modul der relativen Differentiale ist {{ Math/display|term= K[X]dX/ (dF) \cong K[X]dX/ (F'dX) |SZ=. }} Daher ist die Einschränkung auf das Komplement der Verzweigungspunkte, also auf die offene Menge {{mathl|term= D(F') \subseteq {\mathbb A}^1 |SZ=,}} ein {{acutee|}}taler Morphismus. Diese Einschränkung ist im Allgemeinen nicht endlich und bei {{mathl|term= K= {{CC}} |SZ=}} auch keine Überlagerung. Wenn man dagegen aus {{ Zusatz/Klammer |text=dem Bildbereich| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= {\mathbb A}^1 |SZ=}} sämtliche Bildpunkte {{math|term= B |SZ=}} der Verzweigungspunkte herausnimmt und die Abbildung auf diese offene Menge und ihr Urbild einschränkt, so erhält man eine endliche {{acutee|}}tale Abbildung. Es handelt sich ja einfach um eine Nenneraufnahme zu der vorgegebenen endlichen Abbildung, wobei sich die Endlicheit und der Rang überträgt. Zu jedem Punkt {{mathl|term= P \in {\mathbb A}^1 \setminus B |SZ=}} besteht die Faser aus {{math|term= n |SZ=}} Punkten, da die zugehörige {{math|term= K |SZ=-}}Algebra, die die Faser beschreibt, die {{math|term= K |SZ=-}}Dimension {{math|term= n |SZ=}} besitzt, separabel {{ Zusatz/Klammer |text=wegen der Unverzweigtheit| |ISZ=|ESZ= }} über {{math|term= K |SZ=}} ist und sämtliche Restklassenkörper wegen der algebraischen Abgeschlossenheit isomorph zu {{math|term= K |SZ=}} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h165rvvt3hpzc5jjzm8ij81gyrvq0bw 0 44882 1099975 1036473 2026-06-17T06:59:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099975 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein nichtkonstantes {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition |SZ= }} {{ Relationskette |P || a_0 + a_1X+a_2X^2 {{plusdots|}} a_nX^n | \in | K[X] || || |SZ=, }} wobei {{math|term= K |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} bezeichne, ist genau dann {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=kommutativer Ring| |SZ=, }} wenn es keine Produktdarstellung {{ Relationskette |P || QR || || || |SZ= }} gibt, die die {{ Definitionslink |Gradbedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Polynomring/Grad/Definition |SZ= }} {{ Relationskette/display | 0 | < | {{op:Grad Polynom| Q |}} | < | {{op:Grad Polynom| P |}} || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Irreduzibles Polynom |Definitionswort2= |Stichwort=Irreduzibel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krappvz17dvbs4uefzabux0g91s0x5j 0 44971 1099942 1085032 2026-06-17T06:54:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099942 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine Menge und {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette | M || X {{timesdots|}} X || || || |SZ= }} mit {{math|term= n |SZ=}} Faktoren. Die {{ Definitionslink |Permutationsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= S_n |SZ=}} operiert auf {{math|term= M |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | \sigma (x_1 {{kommadots|}} x_n) || {{makl| x_{\sigma (1)} {{kommadots|}} x_{\sigma (n)} |}} || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= \sigma|SZ=}} vertauscht die Indizes. Die {{ Definitionslink |Fixpunkte| |Kontext=Operation| |SZ= }} dieser Operation sind genau die Diagonalelemente, also die Elemente der Form {{mathl|term= (y {{kommadots|}} y) |SZ=.}} Wenn {{math|term= r |SZ=}} die Anzahl der verschiedenen Elemente in {{ Relationskette | x ||(x_1 {{kommadots|}} x_n) || || || |SZ= }} bezeichnet und {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq r ||bedterm2= |SZ=, }} die Anzahl angibt, wie oft die einzelnen Werte auftreten, so ist die {{ Definitionslink |Isotropiegruppe| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= x |SZ=}} gleich {{mathl|term= S_{a_1 } {{timesdots|}} S_{a_r} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das sind diejenigen Permutationen, die einen jeden Index auf einen Index mit gleichem Eintrag abbilden| |ISZ=|ESZ= }} und besitzt genau {{mathl|term= a_1! \cdots a_r!|SZ=}} Elemente. Die zugehörige {{ Definitionslink |Bahn| |Kontext=Operation| |SZ= }} besitzt entsprechend {{mathl|term= {{op:Bruch|n!| a_1! \cdots a_r! }} |SZ=}} Elemente. Bei {{ Relationskette | X || \R || || || |SZ= }} sind die polynomialen Funktionen {{ Math/display|term= x_1 {{plusdots|}} x_n ,\, \sum_{i <j} x_ix_j {{kommadots|}} x_1 {{cdots|}} x_n |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die {{ Definitionslink |elementarsymetrischen Polynome| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=S_n |invariante Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} nach {{math|term= \R|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdrx8inqaexeipw6yv5kz0u1nha6vtn 0 45401 1099931 1085021 2026-06-17T06:52:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099931 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} und sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} der eine {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} enthält. Es sei {{ Relationskette | a | \in | K || || || |SZ= }} derart, dass das Polynom {{mathl|term= X^n-a |SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} sei. Dann ist {{ Relationskette/display |K | \subseteq | L || K[X]/ {{makl| X^n-a |}} || || |SZ= }} eine nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reine Gleichung über Körper/Als graduierte Algebra/Beispiel |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=D= {{op:Zmod| n |}} |graduierte Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ=, }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt |Nr= |SZ= }} handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Galoisgruppe| K | L}} || {{op:Charakterdual| D |}} | \cong| {{op:Zmod| n |}} || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= L |SZ=}} auch der {{ Definitionslink |Zerfällungskörper| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= X^n-a |SZ=.}} Wenn {{math|term= x |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} bezeichnet, so sind die {{math|term= n |SZ=}} verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich {{ Mathbed/display|term= \zeta x |mit|bedterm1= \zeta \in \mu_n(K) = {{Mengebed| z \in K|z^n {{=|}} 1}} ||bedterm2= |SZ=, }} die allesamt {{ Definitionslink |homogene Elemente| |Kontext=Graduierung| |SZ= }} der Stufe {{ Relationskette | 1 | \in | D || || || |SZ= }} sind. Ein {{ Definitionslink |Charakter| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{ Relationskette | \chi | \in | {{op:Charakterdual| D |}} || || || |SZ= }} bzw. der zugehörige Automorphismus {{math|term= \varphi_\chi |SZ=}} operiert gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Fakt |Nr= |SZ= }} auf dieser Nullstellenmenge {{math|term= M |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die nichtkanonisch isomorph zu {{mathlk|term= \mu_n(K) |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Abbildung/display |name= \varphi_\chi | M | M | \zeta x| \chi(1) \zeta x |SZ=. }} Die graduierende Gruppe {{math|term= D |SZ=,}} sein Charakterdual {{mathl|term= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ=,}} die Gruppe der {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln {{mathl|term= \mu_n(K) |SZ=,}} die Galoisgruppe {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe| K | L}} |SZ=}} und die Nullstellenmenge {{math|term= M |SZ=}} bestehen aus {{math|term= n |SZ=}} Elementen, die Permutationsgruppe von {{math|term= M |SZ=}} besteht somit aus {{math|term= n!|SZ=}} Elementen. Zu je zwei Nullstellen {{ mathkor|term1= x_1= \zeta_1 x |und|term2= x_2 = \zeta_2 x |SZ= }} gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation {{math|term= x_1 |SZ=}} in {{math|term= x_2 |SZ=}} überführt, nämlich derjenige Charakter {{math|term= \chi |SZ=}} mit {{ Relationskette | \chi(1) || \zeta_2 \zeta_1^{-1} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |K ||\Q || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |L ||\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] ||\Q[X]/{{makl| X^2+1 |}} || || |SZ= }} sind {{ Relationskette | M || \{ {{Imaginäre Einheit|}} ,- {{Imaginäre Einheit|}} \} || || || |SZ= }} die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen {{ Relationskette | 2! || 2 || || || |SZ= }} rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her. Bei {{ Relationskette |K ||\Q[ {{Imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | X^4-3 | \in | K[X] || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | L || K[X]/ {{makl| X^4-3 |}} || || || |SZ= }} eine {{mathl|term= {{op:Zmod| 4 |}} |SZ=-}}graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind {{ mathlist|term1= \sqrt[4]{3} ||term2= - \sqrt[4]{3} ||term3= {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |und|term4= - {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |SZ=. }} Die Irreduzibilität von {{mathl|term= X^4-3 |SZ=}} ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu {{mathl|term= K[X] |SZ=}} gehört. Jeder Charakter {{math|term= \chi |SZ=}} ist durch {{mathl|term= \chi(1) |SZ=}} bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit {{mathl|term= \chi(1) |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | \chi(1) || -1 || || || |SZ= }} ist das die Permutation {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \leftrightarrow -\sqrt[4]{3} ,\, {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} \leftrightarrow -{{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |SZ=,}} bei {{ Relationskette | \chi(1) || {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} ist das die Permutation {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \mapsto {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} \mapsto -\sqrt[4]{3} \mapsto - {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} |SZ=}} und bei {{ Relationskette | \chi(1) || - {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} ist das die Permutation {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \mapsto - {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} \mapsto -\sqrt[4]{3} \mapsto {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |SZ=.}} Unter den {{math|term= 24 |SZ=}} Permutationen rühren also nur {{math|term= 4 |SZ=}} von einem Charakter her, eine Permutation wie {{mathl|term= \sqrt[4]{3} \leftrightarrow \sqrt[4]{3} |SZ=,}} {{mathl|term= -\sqrt[4]{3} \leftrightarrow -\sqrt[4]{3} |SZ=,}} und {{mathl|term= {{Imaginäre Einheit|}}\sqrt[4]{3} \leftrightarrow - {{Imaginäre Einheit|}} \sqrt[4]{3} |SZ=}} z.B. nicht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fasnh9t5utw0yxustgm5m1pyv8n8kzc 0 45523 1100309 1085440 2026-06-17T07:55:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100309 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Sphäre| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |S || {{Mengebed| x \in \R^{n+1}| {{op:Norm| x |}} {{=|}} 1 }} || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |antipodale Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\alpha | S | S | x | -x |SZ=, }} die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt abbildet. Wegen {{ Relationskette/display | \alpha \circ \alpha || {{op:Identität| S |}} || || || |SZ= }} gibt dies Anlass zu einer {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} von {{ Relationskette |G ||\{1,-1 \} | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} || || |SZ= }} auf der Sphäre {{math|term= S |SZ=,}} bei der {{math|term= 1 |SZ=}} durch die Identität und {{math|term= -1 |SZ=}} durch {{math|term= \alpha|SZ=}} operiert. Diese Operation ist {{ Definitionslink |treu| |Kontext=Operation| |SZ= }} und jede {{ Definitionslink |Bahn| |Kontext=Gruppenoperation| |SZ= }} ist zweielementig von der Form {{mathl|term= \{x, -x\} |SZ=.}} Insbesondere besitzt die Operation keinen Fixpunkt. Der {{ Definitionslink |Bahnenraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=versehen mit einer geeigneten {{ Definitionslink |Topologie| |Kontext=| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} heißt {{math|term= n |SZ=-}}dimensionaler {{Stichwort|reell-projektiver Raum|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k75nkq4bkk9zoybhezuc9r3icz4n06p 0 45773 1100296 1085424 2026-06-17T07:53:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100296 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Schema| |SZ= }} und {{math|term= {\mathcal L} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=,}} die in der Picardgruppe {{math|term= {{opsyn|Pic| X |tief=|hoch=}} |SZ=}} endliche {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} besitze, wobei {{math|term= n |SZ=}} in {{math|term= X |SZ=}} invertierbar sei. Mit einem fixierten {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=Garbe| |SZ= }} {{mathl|term= {\mathcal L}^n \cong {\mathcal O}_X|SZ=}} kann man auf der direkten Summe {{ Math/display|term= {\mathcal O}_X \oplus {\mathcal L} \oplus {\mathcal L}^{2} {{oplusdots||}}{\mathcal L}^{n-1} |SZ= }} eine {{math|term= {\mathcal O}_X |SZ=-}}Algebra-Struktur {{math|term= {\mathcal A} |SZ=}} definieren. Das zugehörige {{ Zusatz/Klammer |text=relative| |ISZ=|ESZ= }} Spektrum definiert einen endlichen Schemamorphismus {{ Abbildung/display |name= |Y {{=|}} {\rm Spec} {\mathcal A}|X || |SZ=. }} Dieser ist flach, da die Algebra lokal frei ist. Die Unverzweigtheit weist man auch lokal nach, wobei man zu offenen affinen Mengen {{mathl|term= U \subseteq X |SZ=}} übergeht, über denen {{math|term= \mathcal L |SZ=}} trivial ist. Auf einer solchen Menge {{mathl|term= U = {\rm Spec} R |SZ=}} wird die Algebra durch {{mathl|term= B=R[T](T^n -r) |SZ=}} mit einer Einheit {{mathl|term= r \in {{op:Einheiten| R |}} |SZ=}} gegeben. Die relativen Differentiale werden von {{math|term= dT|SZ=}} erzeugt und dafür gilt {{ Relationskette/display | 0 || d(T^n-r) || nT^{n-1} dT || || |SZ=. }} Da sowohl {{math|term= n |SZ=}} als auch {{math|term= T |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als Teiler von {{math|term= r |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} Einheiten sind, ist {{ Relationskette |dT || 0 || || || |SZ=. }} Wenn man die invertierbare Garbe {{math|term= {\mathcal L} |SZ=}} nach {{math|term= Y |SZ=}} zurückzieht, so ergibt sich wegen {{ Relationskette/display/handlinks | ({\mathcal O}_X \oplus {\mathcal L} \oplus {\mathcal L}^{2} {{oplusdots||}}{\mathcal L}^{n-1}) \otimes_{ {\mathcal O}_X} {\mathcal L} | \cong | {\mathcal L} \oplus {\mathcal L}^2 \oplus {\mathcal L}^{3} {{oplusdots||}}{\mathcal L}^{n} | \cong | {\mathcal A} || || |SZ= }} die Strukturgarbe. Die konstruierte {{acutee|}}tale Abbildung trivialisiert also diese Torsionsgarbe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 301nbk6ck8vmcod8p5osicgt2hfi1bk 0 45864 1100578 1034993 2026-06-17T10:31:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100578 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu einem integren normalen Schema {{math|term= X |SZ=}} ist es relativ einfach, eine geordnete Menge anzugeben, die sämtliche Galoisüberdeckungen von {{math|term= X |SZ=}} erfasst {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Prorepräsentierung| |ISZ=|ESZ=. }} Man betrachtet den Funktionenkörper {{ Relationskette | K || K(X) || || || |SZ= }} und startet wie in {{ Faktlink |Faktseitenname= Etale Fundamentalgruppe/Galoistheorie/Körper/Bemerkung |Nr= |SZ= }} mit der Menge aller {{ Definitionslink |endlichen| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{ Definitionslink |Galoiserweiterungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K | \subseteq | L || |SZ= }} mit {{ Relationskette | L | \subseteq | K^{\rm sep} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= K^{\rm sep} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |separabler Abschluss| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} von {{math|term= K |SZ=}} ist. Man beschränkt sich dann auf diejenigen Erweiterungen {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ=, }} für die der integrale Abschluss von {{math|term= X |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} selbst {{acutee|}}tale {{ Zusatz/Klammer |text=und dann automatisch galoissch| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=diese Auswahl konstituiert also die Indexmenge, wobei die natürliche Inklusion die Ordnung festlegt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung {{ Math/display|term= {{op:Spec| K^{\rm sep}|}} \longrightarrow {{op:Spec| L |}} \longrightarrow Y |SZ= }} definiert dabei die Punktierung von {{math|term= Y |SZ=}} über der Basispunktierung {{mathl|term= {{op:Spec|K^{\rm sep}|}} \rightarrow {{op:Spec| K |}} \rightarrow X |SZ=,}} d.h. man nimmt den generischen Punkt des Schemas als Basispunkt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mk27cv0bgkg22xx4m4wp9w4xsog7prn 0 46864 1100693 1085793 2026-06-17T10:48:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100693 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= For a surjective morphism {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Strukturgarbe|}}^n_X | {{op:Strukturgarbe|}}_X || |SZ= }} on a scheme {{math|term= X |SZ=}} given by elements {{ Relationskette | f_1 {{kommadots|}} f_n | \in | \Gamma(X, {{op:Strukturgarbe|}}_X ) || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=the surjectivity means that these elements generate locally the unit ideal| |ISZ=|ESZ= }} we can realize the corresponding locally free kernel sheaf in the following natural way. We can directly look at the corresponding surjection of geometric vector bundles {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{op:Affiner Raum| n | X}} | {{op:Affine Gerade|X}} |( v_1 {{kommadots|}} v_n) | \sum_{i {{=|}} 1}^n f_i v_i |SZ=, }} and the kernel consists for every base point {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} in the solution set {{ Math/display|term= {{Mengebed| ( v_1 {{kommadots|}} v_n) \in (\kappa(x) )^n | \sum_{i {{=|}} 1}^n f_i(x) v_i {{=|}} 0}} |SZ= }} to this linear equation over the residue class field {{mathl|term= \kappa(x) |SZ=.}} So fiberwise this syzygy bundle is a very simple object, but of course the solution space varies with the basis. If {{mathl|term= X= {{op:Spec| R |}} |SZ=}} is affine, then one can also describe the syzygy bundle as the spectrum of the {{math|term= R |SZ=-}}algebra {{ Math/display|term= R[T_1 {{kommadots|}} T_n]/ {{makl| f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n |}} |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j55r5yrokx7m0efqm3bmzknp6hba7xz 0 46880 1100692 1085792 2026-06-17T10:48:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100692 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= {{GarbeS}} }} denote a locally free sheaf on a scheme {{math|term= X |SZ=.}} For a cohomology class {{ Relationskette | c | \in | H^1(X, {{GarbeS}}) || || || |SZ= }} one can construct a geometric object: Because of {{ Relationskette | H^1(X ,{{GarbeS}}) | \cong | \operatorname{Ext}^1( {{op:Strukturgarbe| X |}}, {{GarbeS}}) || || || || |SZ=, }} the class defines an extension {{Math/display|term= 0 \longrightarrow {{GarbeS}} \longrightarrow { {{GarbeS}}'} \longrightarrow {{op:Strukturgarbe| X |}} \longrightarrow 0 |SZ=.}} This extension is such that under the connecting homomorphism of cohomology, {{ Relationskette | 1 | \in | \Gamma(X, {{op:Strukturgarbe|}}_X) || || || |SZ= }} is sent to {{ Relationskette | c | \in | H^1(X, {{GarbeS}}) || || || |SZ=. }} The extension yields a projective subbundle{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text= {{math|term= {{GarbeS}}^{\vee } |SZ=}} denotes the dual bundle. According to our convention, the geometric vector bundle corresponding to a locally free sheaf {{math|term= {{garbeT|}} |SZ=}} is given by {{math|term= {{op:Spec| \oplus_{k \geq 0} S^k({{GarbeT|}}) |}} |SZ=}} and the projective bundle is {{math|term= {{op:Proj| \oplus_{k \geq 0} S^k({{GarbeT|}}) |}} |SZ=,}} where {{math|term= S^k |SZ=}} denotes the {{math|term= k |SZ=}}th symmetric power| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P}({{GarbeS}}^{\vee }) | \subset | {\mathbb P}({ {{GarbeS}}'}^{\vee}) || || || || |SZ=. }} If {{math|term= V |SZ=}} is the corresponding geometric vector bundle of {{math|term= {{garbeS}} |SZ=,}} one may think of {{mathl|term= {\mathbb P}({{GarbeS}}^{\vee}) |SZ=}} as {{mathl|term= {\mathbb P}(V) |SZ=}} which consists for every base point {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} of all the lines in the fiber {{mathl|term= V_x |SZ=}} passing through the origin. The projective subbundle {{mathl|term= {\mathbb P}(V) |SZ=}} has codimension one inside {{mathl|term= {\mathbb P}(V') |SZ=,}} for every point it is a projective space lying {{ Zusatz/Klammer |text=linearly| |ISZ=|ESZ= }} inside a projective space of one dimension higher. The complement is then over every point an affine space. One can show that the global complement {{ Relationskette/display | T || {\mathbb P}({ {{GarbeS}} '}^{\vee}) \setminus {\mathbb P}({{GarbeS}}^{\vee}) || || || |SZ= }} is another model for the torsor given by the cohomology class. The advantage of this viewpoint is that we may work, in particular when {{math|term= X |SZ=}} is projective, in an entirely projective setting. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hz5xz7u0goeoxufpwt5anzngfja4wnm 0 47373 1099744 1070034 2026-06-17T06:23:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099744 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl {{Anführung|berechnen|SZ=,}} sagen wir von {{math|term= 5 |SZ=.}} Eine solche Zahl {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Relationskette | x^2 || 5 || || || |SZ= }} gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn {{ Relationskette | x | \in | R || || || |SZ= }} ein solches Element ist, so hat auch {{math|term= -x|SZ=}} diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht geben, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen. Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung {{ Relationskette | x^2 || 5 || || || |SZ= }} gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Abweichung| |SZ= }} unter jede gewünschte positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig anzunähern, ist das {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=,}} das man auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} nennt. Dies ist ein {{Stichwort|iteratives Verfahren|SZ=,}} d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit {{ Relationskette |a | {{defeq|}} | x_0 | {{defeq|}} | 2 || || |SZ= }} als erster Näherung. Wegen {{ Relationskette/display | x_0^2 || 2^2 || 4 | < | 5 || |SZ= }} ist {{math|term= x_0 |SZ=}} zu klein, d.h. es ist {{ Relationskette | x_0 | < | x || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette |a^2 | < | 5 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a |SZ=}} positiv| |SZ= }} folgt zunächst {{ Relationskette | 5/a^2 | > | 1 || || || |SZ= }} und daraus {{ Relationskette | (5/a)^2 | > | 5 || || || |SZ=, }} d.h. {{ Relationskette | 5/a | > | \sqrt{5} || || || |SZ=. }} Man hat also die Abschätzungen {{ Relationskette/display |a | < | \sqrt{5} | < | 5/a || || |SZ=, }} wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} liegt. Die Differenz {{mathl|term= 5/a -a |SZ=}} ist ein Maß für die Güte der Approximation. Beim Startwert {{math|term= 2 |SZ=}} ergibt sich, dass die Quadratwurzel {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5/2 |SZ= }} liegt. Man nimmt nun das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |SZ= }} der beiden Intervallgrenzen, also {{ Relationskette/display | x_1 | {{defeq|}} |\frac{2+ \frac{5}{2} }{2} ||\frac{9}{4} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | {{makl|\frac{9}{4}|}}^2 ||\frac{81}{16} | > | 5 |SZ= }} ist dieser Wert zu groß und daher liegt {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} im Intervall {{mathl|term= [5\cdot\frac{4}{9} , \frac{9}{4}] |SZ=.}} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt {{ Relationskette/display | x_2 | {{defeq|}} |\frac{ 5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{9}{4} }{2} ||\frac{161}{72} |SZ= }} als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Abstraktere Version=Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3lxjhyd9sq50o429x73a1iwe3j6clv 0 47379 1100256 1037874 2026-06-17T07:46:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100256 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort|konstante Folge|SZ=}}{{{zusatz1|}}} {{ Relationskette | x_n | {{defeq|}} | c || || || |SZ= }} ist stets konvergent mit dem Grenzwert {{math|term= c |SZ=.}} Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} als Aufwandszahl {{ Relationskette |n_0 || 0 || || || |SZ= }} nehmen kann. Es ist ja {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-c}} || {{op:Betrag|c-c}} || {{op:Betrag| 0}} || 0 | < | \epsilon |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=.}} Die Folge {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=R| |SZ= }} mit dem Grenzwert {{math|term= 0 |SZ=.}} Es sei dazu ein beliebiges positives {{math|term= \epsilon|SZ=}} vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon || || || |SZ=. }} Insgesamt gilt damit für alle {{ Relationskette |n | \geq |n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Abstraktere Version=Angeordneter Körper/Konvergente Standardfolgen/Beispiel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cetgehgo87syz77veti32wwl2hookh6 0 47384 1100254 1037865 2026-06-17T07:46:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100254 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= c > 0 |SZ=}} eine positive reelle Zahl. Dann ist die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Relationskette/display | x_n | {{defeq|}} | (-1)^n c || || || |SZ= }} beschränkt, aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=R| |SZ=. }} Die Beschränktheit folgt direkt aus {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n }} || {{op:Betrag|(-1)^n}} {{op:Betrag|c}} || c |SZ=. }} Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich {{ Relationskette | x | \geq | 0 || || || |SZ= }} der Grenzwert, so gilt für positives {{ Relationskette | \epsilon | < | 1 || || || |SZ= }} und jedes ungerade {{math|term= n |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} || {{op:Betrag| -c-x}} || c+x | \geq |c | > | \epsilon || |SZ=, }} sodass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Abstrakterer Variante=Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qy5jbh3wm4l3aodbahvfk6cynkv7te6 0 47423 1100249 1085379 2026-06-17T07:45:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100249 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Reihe {{ Math/display|term= \sum_{k=1}^\infty {{op:Bruch| 1 |k(k+1)}} |SZ= }} berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die {{math|term= n |SZ=-}}te Partialsumme angeben. Es ist {{ Relationskette/display |s_n || \sum_{k {{=|}} 1}^n {{op:Bruch| 1 |k(k+1)}} || \sum_{k {{=|}} 1}^n {{makl| {{op:Bruch| 1 |k}} - {{op:Bruch| 1 |k+1}} |}} || 1- {{op:Bruch| 1 |n+1}} || {{op:Bruch| n |n+1}} |SZ=. }} Diese Folge konvergiert gegen {{math|term= 1 |SZ=,}} sodass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1p3ci1br7smkdn0p8gad78llltfa652 0 47424 1100248 1085378 2026-06-17T07:45:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100248 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen bestimmen, ob die Reihe {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^\infty {{op:Bruch| 1 |k^2}} || 1 + {{op:Bruch| 1 | 4}} + {{op:Bruch| 1 | 9}} + {{op:Bruch| 1 | 16}} + {{op:Bruch| 1 | 25}} + \ldots || || || |SZ= }} konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das {{ Faktlink |Präwort=|Majorantenkriterium|Faktseitenname= Reelle Reihe/Majorantenkriterium/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Reelle Reihe/Summe 1 durch k(k+1)/Beispiel |Nr= |SZ= }} heran, wo wir die Konvergenz von {{mathl|term= \sum_{k {{=|}} 1}^n {{op:Bruch| 1 |k(k+1)}} |SZ=}} gezeigt haben. Für {{ Relationskette |k | \geq | 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |k^2}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |k(k-1)}} || || || || |SZ=. }} Daher konvergiert {{mathl|term= \sum_{k=2}^\infty {{op:Bruch| 1 |k^2}} |SZ=}} und somit auch {{mathl|term= \sum_{k=1}^\infty {{op:Bruch| 1 |k^2}} |SZ=.}} Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Stammbruchquadrat/Summe/Bernoulli-Polynome/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} kann man zeigen, dass diese Summe gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| \pi^2| 6}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 97ipzmp3rcly4euzab1g31nh2gxv6qz 0 47428 1100241 1037823 2026-06-17T07:43:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100241 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x |c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=\R| |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta |SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(c,c) || 0 | \leq | \epsilon || |SZ= }} gilt. Die Identität {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x | x |SZ=, }} ist ebenfalls {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=\R| |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} kann man hier {{ Relationskette | \delta || \epsilon || || || |SZ= }} wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn {{ Relationskette | d(x,x') | \leq | \delta || \epsilon || || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(x,x') | \leq | \epsilon || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3l6pts18ipaqvamdkzj1tp9h08hrcm 0 47449 1100240 1069165 2026-06-17T07:43:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100240 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Heaviside|svg| 270px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Lenny222 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f(x) || \begin{cases} 0, \text{ falls } x < 0 \, , \\ 1, \text{ falls } x \geq 0 \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Diese Funktion ist im Nullpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} nicht stetig. Für {{ Relationskette | \epsilon || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || || |SZ= }} und jedes beliebige positive {{math|term= \delta |SZ=}} gibt es nämlich negative Zahlen {{math|term= x' |SZ=}} mit {{ Relationskette | d(0,x') || {{op:Betrag| x'|}} | \leq | \delta || || |SZ=. }} Für diese ist aber {{ Relationskette | d(f(0),f(x')) || d(1,0) || 1 |\not\leq| {{op:Bruch| 1 | 2}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Indikatorfunktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pip83bds71dsol1y4flwld4ys3c6itv 0 47518 1100545 1034723 2026-06-17T10:26:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100545 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Für den Binomialkoeffizienten {{ Math/display|term= {{op:Binomialkoeffizient| n |k}} |SZ= }} gibt es eine wichtige inhaltliche Interpretation. Er gibt die Anzahl der {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmengen in einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge an. Z.B. gibt es in einer {{math|term= 49 |SZ=-}}elementigen Menge genau {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 49| 6}} || {{op:Bruch| 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} || 13 983 816 || || |SZ= }} {{math|term= 6 |SZ=-}}elementige Teilmengen. Der Kehrwert von dieser Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu haben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6643tad453uhxuor3vamrefskttrqnx 0 47522 1099827 1084931 2026-06-17T06:36:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099827 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Wbridge2|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Rhdv |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein elektrisches Netzwerk {{ Zusatz/Klammer |text=ein Gleichstrom-Netzwerk| |ISZ=|ESZ= }} besteht aus mehreren miteinander verbundenen Drähten, die in diesem Zusammenhang die Kanten des Netzwerks genannt werden. In jeder Kante {{math|term= K_j |SZ=}} liegt ein bestimmter {{ Zusatz/Klammer |text=vom Material und der Kantenlänge abhängigen| |ISZ=|ESZ= }} Widerstand {{math|term= R_j |SZ=}} vor. Die Verbindungspunkte {{math|term= P_n |SZ=,}} in denen die Kanten zusammenlaufen, nennt man die Knoten des Netzwerks. Wenn an das Netzwerk {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. gewisse Kanten davon| |ISZ=|ESZ= }} eine Spannung angelegt wird, so fließt in jeder Kante ein bestimmter Strom {{math|term= I_j |SZ=.}} Es ist sinnvoll, für jede Kante eine Richtung zu fixieren, um die Fließrichtung des Stromes in dieser Kante unterscheiden zu können {{ Zusatz/Klammer |text=wenn der Strom in die entgegengesetze Richtung fließt, so bekommt er ein negatives Vorzeichen| |ISZ=|ESZ=. }} Man spricht von gerichteten Kanten. In einem Knotenpunkt des Netzwerks fließen die Ströme der verschiedenen anliegenden Kanten zusammen, ihre Summe muss {{math|term= 0 |SZ=}} ergeben. Entlang einer Kante {{math|term= K_j |SZ=}} kommt es zu einem Spannungsabfall {{math|term= U_j |SZ=,}} der durch das Ohmsche Gesetz {{ Relationskette/display |U_j || R_j \cdot I_j || || |SZ= }} beschrieben wird. Unter einer Masche {{ Zusatz/Klammer |text=oder einem Zykel| |ISZ=|ESZ= }} des Netzwerks versteht man eine geschlossene gerichtete Verbindung von Kanten. Für eine solche Masche ist die Gesamtspannung {{math|term= 0 |SZ=,}} es sei denn, es wird {{Anführung|von außen}} eine Spannung angelegt. Wir listen diese {{Stichwort|Kirchhoffschen Regeln|msw=Kirchhoffsche Regeln|SZ=}} nochmal auf. {{ Aufzählung3 |In jedem Knoten ist die Summe der {{ Zusatz/Klammer |text=ein- und abfließenden| |ISZ=|ESZ= }} Ströme gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |Wenn in einer Masche eine Spannung {{math|term= V |SZ=}} angelegt wird, so ist die Summe der Spannungen gleich {{math|term= V |SZ=.}} }} Aus {{Anführung|physikalischen Gründen}} ist zu erwarten, dass bei einer angelegten Spannung in jeder Kante ein wohlbestimmter Strom fließt. In der Tat lässt sich dieser aus den genannten Gesetzmäßigkeiten berechnen, indem man diese in ein lineares Gleichungssystem übersetzt und dieses löst. In dem durch das Bild angegebenen Beispiel seien die Kanten {{mathl|term= K_1 {{kommadots|}} K_5 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Widerständen {{mathlk|term=R_1 {{kommadots|}} R_5 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von links nach rechts gerichtet, und die Verbindungskante {{math|term= K_0 |SZ=}} von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= C |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=an die die Spannung {{math|term= V |SZ=}} angelegt sei| |ISZ=|ESZ=, }} sei von unten nach oben gerichtet. Die vier Knotenpunkte und die drei Maschen {{ mathlist|term1= (A,D,B) ||term2= (D,B,C) |und|term3= (A,D,C) |SZ= }} führen auf das lineare Gleichungssystem {{ Zusatz/Klammer |text=einfließende Ströme gehen negativ und abfließende Ströme positiv ein; für die Maschen wählt man eine {{Anführung|Kreisrichtung|SZ=,}} im Beispiel nehmen wir den Uhrzeigersinn, und führen die gleichorientierten Spannungen positiv an| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{Zeile&6| I_0 |+ I_1 || -I_3 |}} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | || I_3 |+I_4| +I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| - I_0 ||+I_2 || -I_4| }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | -I_1 | -I_2 ||| -I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | R_1 I_1 ||+R_3 I_3 || -R_5 I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | | -R_2 I_2 || -R_4I_4|+R_5I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | -R_1I_1 |+R_2I_2 ||| }} & = & -V \, . \end{matrix} |SZ= }} Dabei sind die {{math|term= R_j |SZ=}} und {{math|term= V |SZ=}} vorgegebene Zahlen und die {{math|term= I_j |SZ=}} sind gesucht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der elektrischen Netzwerke |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j29nwrnykivrvfrga3fyq06mc7w2vi7 0 47531 1100048 1085152 2026-06-17T07:11:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100048 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das inhomogene lineare Gleichungssystem {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{Zeile&5| 2x | +5y |+2z|| -v }} & = & 3 \\ {{Zeile&5| 3x | -4y ||+u|+2v}} & = & 1 \\ {{Zeile&5| 4x|| -2z|+2u| }} & = & 7 \, \end{matrix} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} lösen. Wir eliminieren zuerst {{math|term= x |SZ=,}} indem wir die erste Zeile {{math|term= I |SZ=}} beibehalten, die zweite Zeile {{math|term= II|SZ=}} durch {{mathl|term= II - {{op:Bruch| 3 | 2}}I |SZ=}} und die dritte Zeile {{math|term= III|SZ=}} durch {{mathl|term= III-2I|SZ=}} ersetzen. Das ergibt {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{Zeile&5| 2x | +5y |+2z|| -v }} & = & 3 \\ {{Zeile&5|| - {{op:Bruch| 23| 2}} y | -3z|+u|+ {{op:Bruch| 7 | 2}} v}} & = & {{op:Bruch| -7| 2}} \\ {{Zeile&5|| -10y| -6z|+2u| +2v }} & = & 1 \, . \end{matrix} |SZ= }} Wir könnten jetzt aus der {{ Zusatz/Klammer |text=neuen| |ISZ=|ESZ= }} dritten Zeile mit Hilfe der zweiten Zeile {{math|term= y |SZ=}} eliminieren. Wegen der Brüche eliminieren wir aber lieber {{math|term= z |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dies eliminiert gleichzeitig {{math|term= u |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir belassen also die erste und zweite Zeile und ersetzen die dritte Zeile {{math|term= III|SZ=}} durch {{mathl|term= III-2II|SZ=.}} Dies ergibt, wobei wir das System in einer neuen Reihenfolge der Variablen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Eine solche Umstellung ist ungefährlich, wenn man den Namen der Variablen mitschleppt. Wenn man dagegen das System in Matrizenschreibweise aufführt, also die Variablennamen einfach weglässt, so muss man sich diese Spaltenvertauschungen merken |ISZ=.|ESZ= }} aufschreiben, das System {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{Zeile&5| 2x|+2z| |+5y| -v }} & = & 3 \\ {{Zeile&5|| -3z|+u| - {{op:Bruch| 23| 2}} y|+ {{op:Bruch| 7 | 2}} v}} & = & {{op:Bruch| -7| 2}} \\ {{Zeile&5|||| 13y| -5v}} & = & 8 \, . \end{matrix} |SZ= }} Wir können uns nun {{math|term= v |SZ=}} beliebig {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|frei}} | |ISZ=|ESZ= }} vorgeben. Die dritte Zeile legt dann {{math|term= y |SZ=}} eindeutig fest, es muss nämlich {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch| 8 | 13|}} + {{op:Bruch| 5 | 13}} v || || || |SZ= }} gelten. In der zweiten Gleichung können wir wieder {{math|term= u |SZ=}} beliebig vorgeben, was dann {{math|term= z |SZ=}} eindeutig festlegt, nämlich {{ Relationskette/align |z || - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| - {{op:Bruch| 7 | 2}} -u - {{op:Bruch| 7 | 2}} v + {{op:Bruch| 23| 2}} {{makl| {{op:Bruch| 8 | 13|}} + {{op:Bruch| 5 | 13}} v|}} |}} || - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| - {{op:Bruch| 7 | 2}} -u - {{op:Bruch| 7 | 2}} v + {{op:Bruch| 92| 13}} + {{op:Bruch| 115| 26}} v|}} || - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| {{op:Bruch| 93| 26}} -u + {{op:Bruch| 12| 13}} v|}} || -{{op:Bruch| 31| 26 }} + {{op:Bruch| 1 | 3}} u - {{op:Bruch| 4 | 13}} v |SZ=. }} Die erste Zeile legt dann {{math|term= x |SZ=}} fest, nämlich {{ Relationskette/align | x || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| 3 -2z -5y +v|}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| 3 -2 {{makl| -{{op:Bruch| 31| 26 }} + {{op:Bruch| 1 | 3}} u - {{op:Bruch| 4 | 13}} v|}} - 5 {{makl| {{op:Bruch| 8 | 13|}} + {{op:Bruch| 5 | 13}} v|}} + v|}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| 30| 13}} - {{op:Bruch| 2 | 3}} u - {{op:Bruch| 4 | 13}} v|}} || {{op:Bruch| 15| 13}} - {{op:Bruch| 1 | 3}} u - {{op:Bruch| 2 | 13}} v |SZ=. }} Daher kann man die Gesamtlösungsmenge als {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{makl| {{op:Bruch| 15| 13}} - {{op:Bruch| 1 | 3}} u - {{op:Bruch| 2 | 13}} v, {{op:Bruch| 8 | 13|}} + {{op:Bruch| 5 | 13}} v ,-{{op:Bruch| 31| 26 }} + {{op:Bruch| 1 | 3}} u - {{op:Bruch| 4 | 13}} v ,u,v|}} | u,v \in \R}} |SZ= }} schreiben. Eine besonders einfache Lösung ergibt sich, wenn man die freien Variablen {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} setzt. Dies führt auf die spezielle Lösung {{ Relationskette/display | (x,y,z,u,v) || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 15| 13}} | {{op:Bruch| 8 | 13}} | - {{op:Bruch| 31| 26}} | 0 | 0|}} || || || |SZ=. }} In der allgemeinen Lösung kann man {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} als Koeffizienten rausziehen und dann die Lösungsmenge auch als {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{makl| {{op:Bruch| 15| 13}} , {{op:Bruch| 8 | 13}} , - {{op:Bruch| 31| 26}} ,0,0|}} {{Latexzieh|}} + {{Latexzieh|}} u {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 3}}, 0 , {{op:Bruch| 1 | 3}} ,1,0|}} {{Latexzieh|}} + {{Latexzieh|}} v {{makl| - {{op:Bruch| 2 | 13}}, {{op:Bruch| 5 | 13}}, - {{op:Bruch| 4 | 13}},0,1|}} {{Latexzieh|}} | {{Latexzieh|}} u, v \in \R {{Latexzieh|}} }} |SZ= }} schreiben. Dabei ist {{ Math/display|term= {{Mengebed|u {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 3}}, 0 , {{op:Bruch| 1 | 3}} ,1,0|}} +v {{makl| - {{op:Bruch| 2 | 13}}, {{op:Bruch| 5 | 13}}, -{{op:Bruch| 4 | 13}},0,1|}} |u,v \in \R }} |SZ= }} eine Beschreibung der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Fußnote=x |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7gmznvu5f6nofrgqwddwdd1a43wtvk 0 47538 1100047 1036909 2026-06-17T07:11:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100047 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an die homogene Version von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel |Nr= |SZ= }} an, d.h. wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{Zeile&5| 2x | +5y |+2z|| -v }} & = & 0 \\ {{Zeile&5| 3x | -4y ||+u|+2v}} & = & 0 \\ {{Zeile&5| 4x|| -2z|+2u| }} & = & 0 \, . \end{matrix} |SZ= }} über {{math|term= \R|SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Lösungsmenge {{math|term= L |SZ=}} ein Untervektorraum von {{math|term= \R^5 |SZ=.}} Wir haben ihn in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel |Nr= |SZ= }} explizit als {{ Math/display|term= {{Mengebed| u {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 3}}, 0 , {{op:Bruch| 1 | 3}} ,1,0|}} + v {{makl| - {{op:Bruch| 2 | 13}}, {{op:Bruch| 5 | 13}}, -{{op:Bruch| 4 | 13}},0,1|}} |u,v \in \R }} |SZ= }} beschrieben, woraus ebenfalls erkennbar ist, dass dieser Lösungsraum ein Vektorraum ist. In dieser Schreibweise wird klar, dass {{math|term= L |SZ=}} in Bijektion zu {{math|term= \R^2 |SZ=}} steht, und zwar respektiert diese Bijektion sowohl die Addition als auch die Skalarmultiplikation {{ Zusatz/Klammer |text=die Lösungsmenge {{math|term= L'|SZ=}} des inhomogenen Systems steht ebenfalls in Bijektion zu {{math|term= \R^2 |SZ=,}} allerdings gibt es keine sinnvolle Addition und Skalarmultiplikation auf {{math|term= L'|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings hängt diese Bijektion wesentlich von den gewählten {{Anführung|Basislösungen}} {{ mathkor|term1= {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 3}}, 0 , {{op:Bruch| 1 | 3}} ,1,0|}} |und|term2= {{makl| - {{op:Bruch| 2 | 13}}, {{op:Bruch| 5 | 13}}, -{{op:Bruch| 4 | 13}},0,1|}} |SZ= }} ab, die von der gewählten Eliminationsreihenfolge abhängen. Es gibt für {{math|term= L |SZ=}} andere gleichberechtigte Basislösungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57klxipgtdcredpegvgb7qgm574tczg 0 47542 1100039 1085145 2026-06-17T07:10:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die drei Vektoren {{ Mathlist/display|term1= {{op:Spaltenvektor| 3 | 3| 3}} ||term2= {{op:Spaltenvektor| 0 | 4 | 5}} |und|term3= {{op:Spaltenvektor| 4 | 8 | 9}} |SZ= }} sind {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |SZ=. }} Es ist nämlich {{ Relationskette/display | 4 {{op:Spaltenvektor| 3 | 3| 3}} + 3 {{op:Spaltenvektor| 0 | 4 | 5}} -3 {{op:Spaltenvektor| 4 | 8 | 9}} || {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 0}} || || || |SZ= }} eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eht75nzco15mi33qd27x6d530lsf0kn 0 47545 1100322 1085452 2026-06-17T07:57:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100322 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Standardvektoren| |Kontext=| |SZ= }} im {{math|term= K^n |SZ=}} sind {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |SZ=. }} Eine Darstellung {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^n {{skalar}}_i e_i || 0 || || || |SZ= }} bedeutet ja einfach {{ Relationskette/display | {{skalar}}_1 {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 |\vdots| 0}} + {{skalar}}_2 {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 |\vdots| 0}} {{plusdots|}} {{skalar}}_n {{op:Spaltenvektor| 0 | 0|\vdots| 1}} || {{op:Spaltenvektor| 0 | 0|\vdots| 0}} || || || |SZ=, }} woraus sich aus der {{math|term= i |SZ=-}}ten Zeile direkt {{ Relationskette | {{skalar}}_i || 0 || || || |SZ= }} ergibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 152g1fkzuxelud063jrvfdastacaptq 0 47598 1099701 1024310 2026-06-17T06:16:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099701 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | \R | \R | x | x^2 |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Differenzenquotient| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{ mathkor|term1= a |und|term2= a+h |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|f(a+h) -f(a)|h}} || {{op:Bruch|(a+h)^2 -a^2|h}} || {{op:Bruch|a^2+2ah+h^2 -a^2 |h}} || {{op:Bruch| 2ah+h^2 |h}} || 2a+h|SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=abb R| |SZ= }} davon für {{math|term= h |SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{math|term= 2a|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= a |SZ=}} ist daher {{ Relationskette | f'(a) || 2a || || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zt464v8xtfk3xj0ff1ve2lopz8bmzc 0 47599 1099700 1034634 2026-06-17T06:16:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099700 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | s,c | \in | \R || || || |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name=\alpha |\R | \R | x |sx+c |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |affin-lineare Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Zur Bestimmung der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | a | \in | \R || || || |SZ= }} betrachtet man {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|(sx+c) - (sa+c)| x-a}} || {{op:Bruch|sx - sa| x-a}} || s || || |SZ=. }} Dies ist konstant gleich {{math|term= s |SZ=,}} sodass der Limes für {{math|term= x |SZ=}} gegen {{math|term= a |SZ=}} existiert und gleich {{math|term= s |SZ=}} ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich {{math|term= s |SZ=.}} Die {{Stichwort|Steigung|SZ=}} der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} heothtqooqq2qj71xh0b4o8h4p53znq 0 47669 1100429 1085565 2026-06-17T08:14:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1100429 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel |Nr= |SZ= }} an, d.h., es liegen zwei Massen {{ mathkor|term1= M |und|term2= m |SZ= }} vor, die untereinander den Abstand {{math|term= R_0 |SZ=}} besitzen. Wie viel Energie muss man aufwenden, um die beiden Massen unendlich weit voneinander zu entfernen? In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel |Nr= |SZ= }} haben wir die Energie berechnet, um den Abstand von {{math|term= R_0 |SZ=}} auf {{math|term= R_1 |SZ=}} zu erhöhen, und erhielten {{ Relationskette/display |E(R_1) || {{op:Integral|R_0 | R_1 | Integrand= \gamma {{op:Bruch|Mm| r^2}} | | r }} || \gamma M m {{makl| {{op:Bruch| 1 |R_0 }} - {{op:Bruch| 1 |R_1 }} |}} || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= R_1 \rightarrow \infty|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |R_1 }} \rightarrow 0 |SZ=}} und daher ist {{mathl|term= E(R_1) \rightarrow \gamma M m {{op:Bruch| 1 |R_0 }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2=Mathematische Physik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gravitation |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fy9gmv7mn9s4hppl1ydvrz202o8wcru 0 47696 1099687 1084784 2026-06-17T06:14:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099687 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix33| 2 | 2| 1 | 0 | 2 | 3 | 0 | 0| 2}} || || || |SZ= }} und wollen sie auf {{ Definitionslink |jordansche Normalform| |Kontext=| |SZ= }} bringen. Es ist {{ Relationskette |u || e_1 || {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0}} || || |SZ= }} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= 2 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | A | {{defeq|}} | M- 2 E_3 || {{op:Matrix33| 0 | 2 | 1 | 0 | 0| 3 | 0 | 0| 0}} || || |SZ=, }} sodass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem {{ Relationskette |e_1 || A v || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich sofort {{ Zusatz/Klammer |text=aus der zweiten Zeile| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette |v_3 || 0 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | 2v_2 || 1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= v_1 |SZ=}} können wir frei als {{math|term= 0 |SZ=}} wählen| |ISZ=|ESZ=. }} Also setzen wir {{ Relationskette |v || {{op:Spaltenvektor| 0 | {{op:Bruch| 1 | 2}} | 0}} || || || |SZ=. }} Schließlich brauchen wir eine Lösung für {{ Relationskette |v || Aw || || || |SZ=. }} Dies führt auf {{ Relationskette |w || {{op:Spaltenvektor| 0 | - {{op:Bruch| 1 | 12}} | {{op:Bruch| 1 | 6}} }} || || || |SZ=. }} Für die durch die Matrix {{math|term= M |SZ=}} beschriebene lineare Abbildung gilt somit {{ Math/display|term= Mu=2u,\, M v = 2v +u,\, Mw =2w + v |SZ=, }} sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 2 | 1 | 0 | 0| 2 | 1 | 0 | 0| 2}} |SZ= }} beschrieben wird. Diese Matrix ist eine {{ Definitionslink |Jordanmatrix| |Kontext=| |SZ= }} und insbesondere in {{ Definitionslink |jordanscher Normalform| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qn8be5gll1utaapcx5yi7jwv7rp4p5u 0 47698 1099686 1034544 2026-06-17T06:14:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099686 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Relationskette/display | M || {{op:Matrix33| 2 | 0 | 0| 0 | 2 | 3 | 0 | 0| 2}} || || || |SZ= }} und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind {{ Relationskette | u || e_1 || {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v || e_2 || {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0}} || || |SZ= }} linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert {{math|term= 2 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display |A | {{defeq|}} | M- 2 E_3 || {{op:Matrix33| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 3 | 0 | 0| 0}} || || |SZ=, }} sodass {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix {{math|term= A |SZ=}} sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem {{ Relationskette/display |e_2 || Aw || || || |SZ= }} die Lösung {{ Relationskette |w || {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 3}} }} || || || |SZ=. }} Für die durch die Matrix {{math|term= M |SZ=}} beschriebene lineare Abbildung gilt somit {{ Math/display|term= Mu=2u,\, M v = 2v,\, Mw =2w +v |SZ=, }} sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 2 | 0 | 0| 0 | 2 | 1 | 0 | 0| 2}} |SZ= }} beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken {{ mathkor|term1= (2) |und|term2= {{op:Matrix22| 2 | 1 | 0 | 2}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5p9pqqpyf884kibrps4f7mtn2tthfrv 0 47950 1099816 1074364 2026-06-17T06:34:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099816 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |IntersectingPlanes|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden. |Autor= |Benutzer=ShahabELS |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Im {{math|term= \R^3 |SZ=}} seien zwei Ebenen {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed|(x,y,z) \in \R^3| 4x-2y-3z {{=|}} 5}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |F || {{Mengebed|(x,y,z) \in \R^3| 3x-5y+2z {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} gegeben{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=An dieser Stelle diskutieren wir nicht, dass solche Gleichungen Ebenen beschreiben. Die Lösungsmengen sind {{Anführung|verschobene Untervektorräume der Dimension zwei|}} |ISZ=.|ESZ=. }} Wie kann man die Schnittgerade {{ Relationskette |G || E \cap F || || || |SZ= }} beschreiben? Ein Punkt {{ Relationskette |P || (x,y,z) || || || |SZ= }} liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden {{Stichwort|Ebenengleichungen|msw=Ebenengleichung}} erfüllt; es muss also sowohl {{ Mathkor/display|term1= 4x-2y-3z {{=|}} 5 |als auch|term2= 3x-5y+2z {{=|}} 1 |SZ= }} gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit {{math|term= 3 |SZ=}} und ziehen davon das {{math|term= 4 |SZ=-}}fache der zweiten Gleichung ab und erhalten {{ Relationskette/display | 14 y - 17 z || 11 || || || |SZ=. }} Wenn man {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} setzt, so muss {{ Relationskette |z || - {{op:Bruch| 11| 17}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| 13| 17}} || || || |SZ= }} sein. D.h. der Punkt {{ Relationskette |P || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 13| 17}} | 0 | - {{op:Bruch| 11| 17}} |}} || || || |SZ= }} gehört zu {{math|term= G |SZ=.}} Ebenso findet man, indem man {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} setzt, den Punkt {{ Relationskette |Q || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 23| 14}} | {{op:Bruch| 11| 14}} | 0}} || || || |SZ=. }} Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also {{ Relationskette/display |G || {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 13| 17}} | 0 | - {{op:Bruch| 11| 17}} |}} + t {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 209| 238}} | {{op:Bruch| 11| 14}} | {{op:Bruch| 11| 17}} |}} | t \in \R |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9k7f6ibtummciay009qfa88zpjhrf1 0 47985 1100699 1085804 2026-06-17T10:49:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100699 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=f | I |\R || |SZ= }} eine {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=-}}fach {{ Definitionslink |differenzierbare| |Kontext=höher R| |SZ= }} Funktion, für die das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |SZ= }} im Entwicklungspunkt {{ Relationskette |a | \in | I || || || |SZ= }} bis zum Grad {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} bekannt sei und für die {{ Relationskette |f(a) |\neq| 0 || || || |SZ= }} sei. Dann ist die Funktion {{mathl|term= 1/f|SZ=}} auf einem offenen Intervall um {{math|term= a |SZ=}} definiert und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt |Nr=4 |SZ= }} differenzierbar in {{math|term= a |SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Relationskette/k | {{op:Betrag| x |}} | < | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 1-x}} || \sum^\infty_{i {{=|}} 0} x^{i} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | x}} || \sum^\infty_{i {{=}} 0} (1-x)^{i} || \sum^\infty_{i {{=}} 0} (-1)^{i} (x-1)^{i} || || |SZ= }} d.h. für die Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | x}} |SZ=}} ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt {{math|term= 1 |SZ=}} bekannt. Wir ersetzen {{math|term= f |SZ=}} durch {{ Relationskette |h || {{op:Bruch| 1 |f(a)}} f || || || |SZ=, }} sodass {{ Relationskette |h(a) || 1 || || || |SZ= }} gilt. Dann kann man die Funktion {{mathl|term= 1/h|SZ=}} als die Verknüpfung von {{math|term= h |SZ=}} mit der Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | x}} |SZ=}} schreiben. Daher erhält man wegen {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Taylorreihe/R/Einsetzen/Bestimmung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} das Taylor-Polynom bis zum Grad {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} von {{mathl|term= 1/h|SZ=,}} indem man in {{mathl|term= \sum_{i = 0}^{ {{{n|n}}} } (-1)^{i} (x-1)^{i} |SZ=}} das Taylor-Polynom {{ Zusatz/Klammer |text=bis zum Grad {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= h |SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term= a |SZ=}} einsetzt und beim Grad {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} abschneidet. Das Taylor-Polynom von {{math|term= 1/f|SZ=}} erhält man, indem man durch {{mathl|term= f(a) |SZ=}} teilt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Potenzreihenansatz für Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rehwi2fe1hbf041bnwz0sg0jnhehcwd 0 47987 1100340 1085469 2026-06-17T08:00:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100340 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad {{math|term= 6 |SZ=}} von {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | {{op:cos| x |}} }} |SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term= 0 |SZ=}} gemäß {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/Bestimmung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} bestimmen. Nach {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=cos R| |Definitionsseitenname= Reelle Kosinusfunktion/Potenzreihe/Definition |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:cos| x |}} || {{op:cosinusreihe| x |}} || 1 - {{op:Bruch| 1 | 2!}} x^2 + {{op:Bruch| 1 | 4!}} x^4 - {{op:Bruch| 1 | 6!}} x^6 \ldots || 1 - {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 + {{op:Bruch| 1 | 24}} x^4 - {{op:Bruch| 1 | 720}} x^6 \ldots || |SZ=. }} Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad {{math|term= 6 |SZ=}} braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad {{math|term= 6 |SZ=.}} Das Taylorpolynom bis zum Grad {{math|term= 6 |SZ=}} von {{mathl|term= 1/ {{op:cos| x |}} |SZ=}} im Nullpunkt ist somit {{ Relationskette/align/drucklinks | 1- {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 + {{op:Bruch| 1 | 24}} x^4 - {{op:Bruch| 1 | 720}} x^6|}} + {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 + {{op:Bruch| 1 | 24}} x^4 - {{op:Bruch| 1 | 720}} x^6|}}^2 - {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 + {{op:Bruch| 1 | 24}} x^4 - {{op:Bruch| 1 | 720}} x^6|}}^3 || 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 - {{op:Bruch| 1 | 24}} x^4 + {{op:Bruch| 1 | 720}} x^6 + {{op:Bruch| 1 | 4}} x^4 - {{op:Bruch| 1 | 24}} x^6 + \cdots + {{op:Bruch| 1 | 8}} x^6 + \ldots || 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 + {{op:Bruch| 5 | 24}} x^4 + {{op:Bruch| 61| 720}} x^6 + \ldots || || |SZ=. }} Dabei wurden nur die für den Grad {{math|term= 6 |SZ=}} relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also {{ Math/display|term= 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 + {{op:Bruch| 5 | 24}} x^4 + {{op:Bruch| 61| 720}} x^6 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aieq41keyza5bjb0fyqe4wkq3bzwz11 0 47990 1100700 1085805 2026-06-17T10:49:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100700 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=f | I | J || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= I,J|SZ=}} seien reelle Intervalle| |ISZ=|ESZ= }} eine bijektive, {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=-}}mal {{ Definitionslink |differenzierbare| |Kontext=höher R| |SZ= }} Funktion, und in einem festen Punkt {{ Relationskette |a | \in | I || || || |SZ= }} gelte {{ Relationskette |f'(a) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Umkehrfunktion {{ Abbildung/display |name=g=f^{-1} | J | I || |SZ= }} ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} der Umkehrfunktion {{math|term= g |SZ=}} kann man aus der Taylorreihe {{math|term= S |SZ=}} bis zum Grad {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} berechnen. Man macht dazu ausgehend von {{ Relationskette | f \circ g || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} den Ansatz {{ Relationskette/display | S \circ T | \stackrel{!}{ {{=}} }| x || || || |SZ=. }} Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom {{math|term= T |SZ=}} mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom {{math|term= S |SZ=}} einsetzen {{ Zusatz/Klammer |text=die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad {{math|term= \geq n+1 |SZ=}} ignoriert |ISZ=|ESZ=. }} Der Einfachheit halber sei {{ Relationskette |a || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |f(a) || 0 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |S || a_1 x+ a_2x^2 {{plusdots|}} a_{ {{{n|n}}} } x^{ {{{n|n}}} } || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a_1 |\neq| 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} vorgegeben und {{ Relationskette |T ||b_1 x+ b_2x^2 {{plusdots|}} b_{ {{{n|n}}} } x^{ {{{n|n}}} } || || || |SZ= }} gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung {{ Relationskette/align | x || S \circ T || a_1 T+ a_2T^2 {{plusdots|}} a_{ {{{n|n}}} } T^{ {{{n|n}}} } || a_1 (b_1 x {{plusdots|}} b_{ {{{n|n}}} } x^{ {{{n|n}}} } )+ a_2 {{makl|b_1 x {{plusdots|}} b_{ {{{n|n}}} } x^{ {{{n|n}}} }|}}^2 {{plusdots|}} a_{ {{{n|n}}} } {{makl|b_1 x {{plusdots|}} b_{ {{{n|n}}} } x^{ {{{n|n}}} }|}}^{ {{{n|n}}} } || || || |SZ=. }} Damit erhält man die Einzelbedingungen {{ Zusatz/Klammer |text=durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad {{math|term= \leq n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | 1 || a_1b_1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 0 || a_1b_2 +a_2b_1^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 0 || a_1b_3 + 2a_2b_1b_2 +a_3b_1^3 || || || |SZ=, }} aus denen man sukzessive die Koeffizienten {{mathl|term= b_1,b_2,b_3, \ldots|SZ=}} berechnen kann. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Potenzreihenansatz für Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8lne80gnxzqhp41khalqonsz6s2hsoe 0 47992 1100105 1085210 2026-06-17T07:21:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100105 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Taylor-Reihe des {{ Definitionslink |natürlichen Logarithmus| |Kontext=| |SZ= }} im Entwicklungspunkt {{math|term= 1 |SZ=}} bestimmen. Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} des natürlichen Logarithmus ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= 1/x|SZ=.}} Diese Funktion besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt |Nr= |SZ= }} die Potenzreihenentwicklung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | x}} || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty (-1)^k (x-1)^k || || || || |SZ= }} im Entwicklungspunkt {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die für {{ Relationskette/k | {{op:Betrag| x-1|}} | < | 1 || || || |SZ= }} konvergiert| |ISZ=|ESZ=. }} Daher besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Konvergente Potenzreihe/R/Stammfunktion/Fakt |Nr= |SZ= }} der natürliche Logarithmus die Potenzreihe {{ Math/display|term= \sum_{k=1}^\infty {{op:Bruch|(-1)^{k-1} |k}} (x-1)^k |SZ=. }} Mit {{ Relationskette |z || x-1 || || || |SZ= }} ist dies die Reihe {{ Math/display|term= z- {{op:Bruch|z^2| 2}} + {{op:Bruch|z^3| 3}} - {{op:Bruch|z^4| 4}} + {{op:Bruch|z^5| 5}} - \ldots |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie des natürlichen Logarithmus |Kategorie3= |Objektkategorie=Natürlicher Logarithmus (reell) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4i345bzbr9cp24jkxqt7me9uz66btl 0 48269 1100343 1015614 2026-06-17T08:00:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100343 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Grundtermmenge| |Kontext=| |SZ= }} sei durch die Variablenmenge {{ Relationskette |V ||\{x,y,z\} || || || |SZ=, }} eine Konstantenmenge {{ Relationskette |K ||\{c_1,c_2\} || || || |SZ=, }} die einstelligen Funktionssymbole {{ Relationskette |F_1 ||\{f,g\} || || || |SZ= }} und die zweistelligen Funktionssymbole {{ Relationskette |F_2 ||\{\alpha, \beta, \gamma\} || || || |SZ= }} gegeben. Dann sind die folgenden Wörter Terme. {{ Math/display|term= x,y,z,c_1,c_2,fx,fc_1,gz, \alpha x y, \alpha x x, \alpha x fy , \alpha fx gc_1, \gamma \gamma x x x,\beta \alpha x gc_2 \gamma fy \alpha gz x |SZ=. }} Auch wenn es für das Auge etwas ungewohnt aussieht, so sind diese Terme auch ohne Klammern allesamt wohldefiniert. Davon überzeugt man sich, indem man die Terme von links nach rechts liest, und dabei bei jedem Funktionssymbol die zugehörige Stelligkeit bestimmt {{ Zusatz/Klammer |text=zu welchem {{math|term= F_n |SZ=}} gehört das Funktionssymbol| |ISZ=?|ESZ= }} und dann die folgenden Symbole in die geforderten {{math|term= n |SZ=}} Terme aufspaltet {{ Zusatz/Klammer |text=wenn dies nicht geht, so ist das Wort kein Term| |ISZ=|ESZ=. }} Dabei entsteht schnell eine große Verschachtelungstiefe. Den letzten angeführten Term, also {{ Math/display|term= \beta \alpha x gc_2 \gamma fy \alpha gz x |SZ=, }} kann man mit {{ Zusatz/Klammer |text=suggestiven| |ISZ=|ESZ= }} Klammern und Kommata nach und nach lesbarer gestalten. Er beginnt mit dem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term= \beta|SZ=,}} also muss das Folgende aus zwei Termen bestehen. Es folgt zunächst das ebenfalls zweistellige Funktionssymbol {{math|term= \alpha|SZ=,}} worauf zwei Terme folgen müssen. Wenn diese gefunden sind, muss der verbleibende Rest {{ Zusatz/Klammer |text=also alles, was weiter rechts steht| |ISZ=|ESZ= }} den zweiten Term bilden, der von {{math|term= \beta|SZ=}} verlangt wird. Die beiden Terme des an zweiter Stelle stehenden {{math|term= \alpha |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= x |und|term2= gc_2 |SZ=. }} Man kann also den Term nach dieser Analyse auch als {{ Math/display|term= \beta (\alpha (x , g(c_2) ), \gamma fy \alpha gz x) |SZ= }} schreiben. Wenn man ebenso den zweiten Term für das äußere {{math|term= \beta|SZ=}} auflöst, so erhält man {{ Math/display|term= \beta (\alpha (x , g(c_2) ), \gamma ( f(y) , \alpha (g(z) , x))) |SZ=. }} Übrigens kann man auch bei einem beliebigen Funktionssymbol mittendrin beginnen und die zugehörigen Terme, auf die es Bezug nimmt, bestimmen. Besonders übersichtlich wird die Termstruktur durch einen {{Stichwort|Termstammbaum}} ausgedrückt. Dabei werden die verwendeten Variablen und Konstanten {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach, um die unterschiedlichen Stellen, in die sie eingesetzt werden, beachten zu können| |ISZ=|ESZ= }} als Blätter{{{zusatz1|}}} nebeneinander aufgeführt. Sie bilden die {{math|term= 0 |SZ=-}}te Reihe des Baumes. Wenn ein {{math|term= n |SZ=-}}stelliges Funktionssymbol auf {{math|term= n |SZ=}} solche Blätter angewendet wird, so zeichnet man einen Knoten, bezeichnet ihn mit dem Funktionssymbol {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. dem Funktionssymbol mit den eingelesenen Termen| |ISZ=|ESZ= }} und verbindet es mit den eingelesenen Blättern {{ Zusatz/Klammer |text=die Einlesungsreihenfolge entspricht der Blätterreihenfolge| |ISZ=|ESZ=. }} So entsteht aus allen Funktionssymbolen, die nur auf Variablen und Konstanten Bezug nehmen, die erste Reihe des Baumes. Die Funktionssymbole, die auf solche Knoten {{ Zusatz/Klammer |text=und Blätter| |ISZ=|ESZ= }} Bezug nehmen, bilden die nächste Reihe, u.s.w. Der Stamm des Baumes ist dann der in Frage stehende Term. In unserem Beispiel sieht das so aus: {{ inputbild |Termstammbaum|png| 400px {{!}} center{{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Funnyflowerpot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23797hih4ct2y5a6ng6q0vg9kioxp0u 0 48277 1100342 1038294 2026-06-17T08:00:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100342 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein Modell für die Termmenge der natürlichen Zahlen. Als Grundtermmenge nehmen wir eine Variablenmenge {{math|term= V |SZ=,}} die Konstantenmenge {{ Relationskette |K ||\{0\} || || || |SZ=, }} die einstelligen Funktionssymbolmenge {{ Relationskette |F_1 ||\{N\} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= N |SZ=}} steht für Nachfolger| |ISZ=|ESZ= }} und die zweistellige Funktionssymbolmenge {{ Relationskette |F_2 ||\{\alpha, \mu \} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ=. }} Allein aus der Konstante {{math|term= 0 |SZ=}} und dem Nachfolgersymbol {{math|term= N |SZ=}} kann man dann für jede natürliche Zahl eine Repräsentierung finden, nämlich {{ Math/display|term= N0 \, , NN0, \,NNN0, \, NNNN0, \, etc. |SZ= }} Typische Terme sind dann Ausdrücke wie {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= u,v,w|SZ=}} seien Variablen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= \alpha NN0 NNNv,\, \mu NN0 \alpha NN0 NNN0,\, \mu \alpha NNN0 \mu NNu N0 NNNNw, \, \text{etc}. |SZ= }} Wenn man {{math|term= x'|SZ=}} statt {{math|term= Nx|SZ=,}} {{mathl|term= (x+y) |SZ=}} statt {{mathl|term= \alpha xy|SZ=}} und {{mathl|term= (x \cdot y) |SZ=}} statt {{mathl|term= \mu xy|SZ=}} schreibt, so {{Anführung|verschönern}} sich diese Terme zu {{ Math/display|term= (0^{\prime \prime} + v^{\prime \prime \prime} ),\, (0^{\prime \prime} \cdot ( 0^{\prime \prime } + 0^{\prime \prime \prime} )),\, (( 0^{\prime \prime \prime} + ( u^{\prime \prime} \cdot 0^\prime)) \cdot w^{\prime \prime \prime \prime}), \, \text{etc}. |SZ= }} Mit den Abkürzungen {{ Relationskette | 1 || 0^\prime || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | 2 || 0^{\prime \prime } || || || |SZ= }} etc. wird daraus {{ Math/display|term= 2 + v^{\prime \prime \prime} ,\, (2 \cdot (2 + 3 )) ,\, (( 3 + ( u^{\prime \prime} \cdot 1)) \cdot w^{\prime \prime \prime \prime}), \, \text{etc}. |SZ=. }} Man beachte, dass die Einführung dieser Abkürzungen nicht bedeutet, dass dadurch die üblicherweise mit diesen Symbolen verwendeten Rechenregeln erlaubt sind. Der zweite Term oben ist nicht gleich {{math|term= 10 |SZ=,}} dem zehnten Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bmt8ouzlhr65o2i0wlh7anpea8lcus3 0 48319 1100581 1085663 2026-06-17T10:31:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100581 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Variablenbedingung in der Existenzeinführung im Antezedenz ist wesentlich. Das zeigt am besten die Betrachtung {{ Relationskette | {{logprop2|}} || {{logprop|}} || || || |SZ=, }} wobei darin die Variable {{ Relationskette | x || y || || || |SZ= }} frei vorkommen möge {{ Zusatz/Klammer |text=also z.B. {{ Relationskette/k | {{logprop|}} || Rx || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= R |SZ=}} ein einstelliges Relationssymbol sei| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist natürlich {{ Math/display|term= \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ= }} richtig, und die Variablenbedingung an {{math|term= x |SZ=,}} bezogen auf diesen Ausdruck, ist nicht erfüllt. Die Aussage {{ Math/display|term= \exists x {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ=, }} die man unter Missachtung dieser Variablenbedingung ableiten könnte, ist keine Tautologie. Aus der Existenz eines Elementes {{ Relationskette |m | \in | M || || || |SZ=, }} das die Relation {{mathl|term= R^M |SZ=}} erfüllt, folgt ja keineswegs, dass die Relation für alle Elemente gilt. Diese Ableitungsregel lässt sich also insbesondere nicht durch eine interne Tautologie ersetzen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qp9suh4gouf2lpebmm48byujt9mx754 0 48359 1100192 1037634 2026-06-17T07:35:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100192 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper, d.h. es gebe eine zweielementige Konstantenmenge {{ Relationskette |K ||\{0,1\} || || || |SZ=, }} eine zweielementige Menge für die zweistelligen Funktionssymbole {{mathl|term= \{+, \cdot \} |SZ=}} und eine einelementige Menge {{mathl|term= \{ \geq \} |SZ=}} für ein zweistelliges Relationssymbol{{{zusatz1|.}}} Wir betrachten die Interpretation {{math|term= I_1 |SZ=}} mit der Grundmenge {{math|term= \Q|SZ=}} und die Interpretation {{math|term= I_2 |SZ=}} mit der Grundmenge {{math|term= \R|SZ=,}} wobei Konstanten, Funktionssymbole und das Relationssymbol in natürlicher Weise interpretiert werden {{ Zusatz/Klammer |text=und die Variablenbelegung irgendwie festgelegt sei| |ISZ=|ESZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Ausdruck| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | 1+1 | \geq | 1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der Ausdruck {{mathlk|term=\geq + 1 1 1 |SZ=}} in vorgestellter Notation| |ISZ=|ESZ= }} wird unter den Interpretationen als {{ Relationskette | 1_\Q + 1_\Q | \geq | 1_\Q || || || |SZ= }} bzw. als {{ Relationskette | 1_\R + 1_\R | \geq | 1_\R || || || |SZ= }} interpretiert und daher gelten {{ mathkor|term1= I_1 \vDash 1 +1 \geq 1 |und|term2= I_2 \vDash 1 +1 \geq 1 |SZ=. }} Dagegen ist der Ausdruck {{mathl|term= \forall x (x \geq 0 \rightarrow \exists y (x =y \cdot y)) |SZ=}} unter {{math|term= I_1 |SZ=}} falsch und unter {{math|term= I_2 |SZ=}} richtig, also {{ Mathkor/display|term1= I_1 \vDash \neg ( \forall x (x \geq 0 \rightarrow \exists y (x =y \cdot y))) |und|term2= I_2 \vDash \forall x (x \geq 0 \rightarrow \exists y (x =y \cdot y)) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qr97fka134lebid7e3zxxamzv1d0k6z 0 48412 1099698 1034614 2026-06-17T06:16:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099698 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x | x^2 |SZ=, }} ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} da die verschiedenen Zahlen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= -2 |SZ= }} beide auf {{math|term= 4 |SZ=}} abgebildet werden. Sie ist nicht {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ=, }} da nur nichtnegative Elemente erreicht werden {{ Zusatz/Klammer |text=eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R_{\geq 0} |\R | x | x^2 |SZ=, }} ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn {{ Relationskette | x |\neq| y || || || |SZ= }} ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir {{ Relationskette/display | x | > | y | \geq | 0 || || |SZ=. }} Doch dann ist auch {{ Relationskette | x^2 | > | y^2 || || || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette | x^2 |\neq| y^2 || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R|\R_{\geq 0} | x | x^2 |SZ=, }} ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R_{\geq 0}|\R_{\geq 0} | x | x^2 |SZ=, }} ist injektiv und surjektiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6z62vpjjh7qmupjk7zwb6gkpq5fxnjp 0 48881 1100144 1085249 2026-06-17T07:27:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100144 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir führen die {{ Definitionslink |Polynomdivision| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= P=(4+3 {{Imaginäre Einheit}} )X^3+X^2+5 {{Imaginäre Einheit}} \text{ durch } T=(1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} |SZ= }} aus. Das Inverse zu {{mathl|term= 1+ {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und daher ist {{ Relationskette/align | (4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) (1+ {{Imaginäre Einheit}} )^{-1} || (4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || 2 + {{op:Bruch| 3 | 2}} -2 {{Imaginäre Einheit}} + {{op:Bruch| 3 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} || {{op:Bruch| 7 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} || |SZ=. }} Daher beginnt {{math|term= Q |SZ=}} mit {{mathl|term= {{makl| {{op:Bruch| 7 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X |SZ=}} und es ist {{ Relationskette/align/drucklinks | ( (1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} ) {{makl| {{op:Bruch| 7 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X || (4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) X^3 + {{makl| {{op:Bruch| 7 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl| -{{op:Bruch| 19| 2}} + {{op:Bruch| 17| 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X || || || |SZ=. }} Dies muss man nun von {{math|term= P |SZ=}} abziehen und erhält {{ Relationskette/align/drucklinks | P - {{makl|(4+3 {{Imaginäre Einheit}} ) X^3 + {{makl| {{op:Bruch| 7 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl| -{{op:Bruch| 19| 2}} + {{op:Bruch| 17| 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X|}} || {{makl| -{{op:Bruch| 5 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl| {{op:Bruch| 19| 2}} -{{op:Bruch| 17| 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X + 5 {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Auf dieses Polynom {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir es {{math|term= P'|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet {{ Relationskette/align | {{makl| -{{op:Bruch| 5 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || -1 + {{op:Bruch| 3 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Daher ist der konstante Term von {{math|term= Q |SZ=}} gleich {{mathl|term= -1 + {{op:Bruch| 3 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und es ergibt sich {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl|(1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} |}} {{makl| -1 + {{op:Bruch| 3 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || {{makl| -{{op:Bruch| 5 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl| -1 + {{op:Bruch| 3 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X - {{op:Bruch| 13| 2 |}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Dies ziehen wir von {{math|term= P' |SZ=}} ab und erhalten {{ Relationskette/display/handlinks |P' - {{makl| {{makl| -{{op:Bruch| 5 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X^2 + {{makl| -1 + {{op:Bruch| 3 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X - {{op:Bruch| 13| 2 |}} {{Imaginäre Einheit}} |}} || {{makl| {{op:Bruch| 21| 2 |}} - 10 {{Imaginäre Einheit}} |}} X + {{op:Bruch| 23| 2 |}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} Dies ist der Rest {{math|term= R |SZ=,}} die vollständige Division mit Rest ist also {{ Relationskette/align/drucklinks | (4+3 {{Imaginäre Einheit}} )X^3+X^2+5 {{Imaginäre Einheit}} || ((1+ {{Imaginäre Einheit}} )X^2+X -3 +2 {{Imaginäre Einheit}} ) {{makl| {{makl| {{op:Bruch| 7 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} X-1 + {{op:Bruch| 3 | 2}} {{Imaginäre Einheit}} |}} + {{makl| {{op:Bruch| 21| 2 |}} -10 {{Imaginäre Einheit}} |}} X + {{op:Bruch| 23| 2 |}} {{Imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05589k627f35t3hvpkyg59bwcyuceha 0 48910 1100083 1085190 2026-06-17T07:17:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100083 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir lösen nach dem im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Verfahren die {{math|term= 2\times3 |SZ=-}}Matrix {{mathl|term= M = {{op:Matrix23| 2 | -4| -2| 6 | -3| -18}} |SZ=}} auf. Es greift zunächst Fall 2 der unteren Fallunterscheidung: {{ Relationskette/align | {{op:Matrix23| 2 | -4| -2| 6 | -3| -18}} || {{op:Matrix23| 2 | 0 | -2| 6 | 9 | -18}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | -2| 0 | 0| 1 | 0 | 0| 0 | 1}} || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 3 | 1}}\cdot {{op:Matrix23| 2 | 0 | -2| 0 | 9 | -12}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | -2| 0 | 0| 1 | 0 | 0| 0 | 1}} || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 3 | 1}}\cdot {{op:Matrix23| 2 | 0 | -2| 9 | 9| -12}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| -1| 1 | 0 | 0| 0 | 1}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | -2| 0 | 0| 1 | 0 | 0| 0 | 1}} || L_1\cdot {{op:Matrix23| 2 | 0 | -2| 9 | 9| -12}}\cdot R_2\cdot R_1 |SZ=. }} Für diese Matrix können wir vorgehen wie in Fall 1 der unteren Fallunterscheidung. {{ Relationskette/align | {{op:Matrix23| 2 | 0 | -2| 9 | 9| -12}} || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 4 | 1}}\cdot {{op:Matrix23| 2 | 0 | -2| 1 | 9 | -4}} || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 4 | 1}}\cdot {{op:Matrix22| 0 | 1 | 1| 0}}\cdot {{op:Matrix23| 1 | 9 | -4| 2 | 0 | -2}} || L_2\cdot L_3\cdot {{op:Matrix23| 1 | 9 | -4| 2 | 0 | -2}} |SZ=. }} Die innere Induktion erlaubt hier also einen Sprung zu einem kleineren {{math|term= {{op:Betrag|a_{1,1} }} |SZ=.}} Hier ist das 1 und damit teilt es alle Elemente. Dies erlaubt folgendes Vorgehen: {{ Relationskette/align | {{op:Matrix23| 1 | 9 | -4| 2 | 0 | -2}} || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 2 | 1}}\cdot {{op:Matrix23| 1 | 9 | -4| 0 | -18| 6}} || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 2 | 1}}\cdot {{op:Matrix23| 1 | 0 | -4| 0 | -18| 6}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | 9 | 0 | 0| 1 | 0 | 0| 0 | 1}} || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 2 | 1}}\cdot {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | -18| 6}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | 0 | -4| 0 | 1 | 0 | 0| 0 | 1}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | 9 | 0 | 0| 1 | 0 | 0| 0 | 1}} || L_4\cdot {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | -18| 6}}\cdot R_4\cdot R_3 |SZ=. }} Nun können wir einen Rekursionsschritt bezüglich der inneren Induktion anwenden und uns auf die kleine Teilmatrix unten rechts konzentrieren. Das weitere Vorgehen nach dem Verfahren sieht folgendermaßen aus: {{ Relationskette/align | {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | -18| 6}} || {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | 6 | -18}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 0| 1 | 0 | 1 | 0}} || {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | 6 | 0}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 1 | -3| 0 | 0| 1}}\cdot {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 0| 1 | 0 | 1 | 0}} || {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | 6 | 0}}\cdot R_6\cdot R_5 |SZ=. }} Die resultierende Matrix hat Diagonalform. Es gilt insgesamt {{ Relationskette/align |M || {{op:Matrix23| 2 | -4| -2| 6 | -3| -18}} ||(L_1\cdots L_4)\cdot {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | 6 | 0}}\cdot (R_6\cdots R_1) || {{op:Matrix22| 2 | 1 | 15| 7}}\cdot {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | 6 | 0}}\cdot {{op:Matrix33| -8| 25| -4| 3 | -9| 1 | -1| 3 | 0}} |SZ= }} und {{ Math/display|term= D = {{op:Matrix23| 1 | 0 | 0| 0 | 6 | 0}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Elementarteilersatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqruni5jgq1ci30zszebsq87k5u6qgn 0 48985 1100377 1085506 2026-06-17T08:05:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100377 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} und gegebenen natürlichen Zahlen {{mathl|term= m,n|SZ=}} bildet die Menge {{ Math/display|term= {{op:Mat| m | n | K}} |SZ= }} der {{mathl|term= m \times n |SZ=-}}Matrizen mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen {{ Definitionslink |Prämath=K|Vektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Das Nullelement in diesem Vektorraum ist die {{Stichwort|Nullmatrix|SZ=}} {{ Relationskette/display | 0 || {{op:Matrix33| 0 | \ldots| 0 |\vdots| \ddots|\vdots| 0 | \ldots | 0}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5tss5x2u6snrq6svih9ra0rr39weein 0 49040 1099746 1084854 2026-06-17T06:23:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099746 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \R^2 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{basis|u}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} , \, {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} || || || || |SZ= }} und die Basis {{ Relationskette/display | {{basis|v}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 2}} , \, {{op:Spaltenvektor| -2| 3}} || || || || |SZ=. }} Die Basisvektoren von {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich {{ Mathkor/display|term1= v_1= {{op:Spaltenvektor| 1 | 2}} = 1 {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} + 2 {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} |und|term2= v_2= {{op:Spaltenvektor| -2| 3}} = -2 {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} + 3 {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} |SZ=. }} Daher erhält man sofort {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix| v |u}} || {{op:Matrix22| 1 | -2| 2 | 3}} || || || |SZ=. }} Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Koordinaten| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (4,-3) |SZ=}} besitzt, bezüglich der Standardbasis {{math|term= {{basis|u}} |SZ=}} die Koordinaten {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix| v |u}} {{op:Spaltenvektor| 4 | -3}} || {{op:Matrix22| 1 | -2| 2 | 3}} {{op:Spaltenvektor| 4 | -3}} || {{op:Spaltenvektor| 10| -1}} || || |SZ=. }} Die Übergangsmatrix {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix| u |v}} |SZ=}} ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Kontext=| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} ausdrücken. Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen| |ISZ=|ESZ= }} ergibt {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} || {{op:Bruch| 3 | 7}} {{op:Spaltenvektor| 1 | 2}} - {{op:Bruch| 2 | 7}} {{op:Spaltenvektor| -2| 3}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} || {{op:Bruch| 2 | 7}} {{op:Spaltenvektor| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 7}} {{op:Spaltenvektor| -2| 3}} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix| u |v}} || {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 3 | 7}} | {{op:Bruch| 2 | 7}} | - {{op:Bruch| 2 | 7}} | {{op:Bruch| 1 | 7}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8cmh7nuzs01jekc5ljcnl6bz8qyru3 0 49191 1099970 1085060 2026-06-17T06:58:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099970 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Beispiel|opt=Text}} Es sei {{math|term= A_n |SZ=}} der Flächeninhalt und {{math|term= L_n |SZ=}} die Länge des Randes der {{math|term= n |SZ=-}}ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge {{math|term= A_n |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=Folge R| |SZ= }} und die Folge {{math|term= L_n |SZ=}} bestimmt gegen {{math|term= \infty|SZ=}} {{ Definitionslink |divergiert| |Kontext=Folge R| |SZ=. }} Die Anzahl der Kanten von {{math|term= K_n |SZ=}} ist {{mathl|term= 3 \cdot 4^n |SZ=,}} da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge {{mathl|term= 1/3 |SZ=}} der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei {{math|term= r |SZ=}} die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht {{math|term= K_n |SZ=}} aus {{mathl|term= 3 \cdot 4^n |SZ=}} Kanten der Länge {{mathl|term= r {{makl| {{op:Bruch| 1 | 3}} |}}^n |SZ=}} und die Gesamtlänge der Kanten von {{math|term= K_n |SZ=}} ist gleich {{ Relationskette/display |L_n || 3 \cdot 4^n r {{makl| {{op:Bruch| 1 | 3}} |}}^n || 3 r {{makl| {{op:Bruch| 4 | 3}} |}}^n || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | {{op:Bruch| 4 | 3}} | > | 1 || || || |SZ= }} divergiert dies gegen {{math|term= \infty |SZ=.}} Beim Übergang von {{math|term= K_{n} |SZ=}} nach {{mathl|term= K_{n+1} |SZ=}} kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge {{math|term= s |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| \sqrt{3}| 4 }} s^2 |SZ=}} (Grundseite mal Höhe durch {{math|term= 2 |SZ=}}). Im Schritt von {{mathl|term= K_{n} |SZ=}} nach {{mathl|term= K_{n+1} |SZ=}} kommen somit {{mathl|term= 3 \cdot 4^{n} |SZ=}} Dreiecke mit dem Flächeninhalt {{ Relationskette | {{op:Bruch| \sqrt{3}| 4 }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 3}} |}}^{2(n+1)} r^2 || {{op:Bruch| \sqrt{3}| 4 }} r^2 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 9}} |}}^{n+1} || || || |SZ= }} hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von {{math|term =K_n |SZ=}} gleich {{ Relationskette/align/handlinks | |\,| {{op:Bruch| \sqrt{3}| 4 }} r^2 \left( 1 + 3 {{op:Bruch| 1 | 9}} + 12 \left({{op:Bruch| 1 | 9}}\right)^2 + 48 \left({{op:Bruch| 1 | 9}}\right)^3 {{plusdots}} 3\cdot 4^{n-1} \left({{op:Bruch| 1 | 9}}\right)^{n} \right) || {{op:Bruch| \sqrt{3}| 4 }} r^2 \left( 1 + {{op:Bruch| 3 | 4}} \left ({{op:Bruch| 4 | 9}} \right)^1 + {{op:Bruch| 3 | 4}} \left({{op:Bruch| 4 | 9}}\right)^2 + {{op:Bruch| 3 | 4}} \left({{op:Bruch| 4 | 9}}\right)^3 {{plusdots}} {{op:Bruch| 3 | 4}} \left({{op:Bruch| 4 | 9}}\right)^{n} \right) || || |SZ=. }} Wenn wir hinten die erste {{math|term= 1 |SZ=}} und den Faktor {{mathl|term= {{op:Bruch| 3 | 4}} |SZ=}} ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu {{math|term= {{op:Bruch| 4 | 9}} |SZ=,}} welche konvergiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2=Theorie der Fraktale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71so64yqhzrc16ejyu5pd4l0emn6wa2 0 49245 1100028 1036821 2026-06-17T07:08:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100028 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{Op:Matrix43| 0 | 1 | 1| 0 | 2 | 2| 1 | 3 | 4 | 2 | 4 | 6 |}} || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^3|\R^4 | {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} | M{{op:Spaltenvektor| x | y |z}} {{=}} {{op:Spaltenvektor| y+z| 2y+2z| x+3y+4z| 2x+4y+6z}} |SZ=. }} Zur Bestimmung des {{ Definitionslink |Kerns| |Kontext=lineare Abbildung| |SZ= }} müssen wir das {{ Definitionslink |homogene lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| y+z| 2y+2z| x+3y+4z| 2x+4y+6z}} || {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 0 | 0}} || || || |SZ= }} lösen. Der Lösungsraum ist {{ Relationskette/display |L || {{Mengebed| s {{op:Spaltenvektor| 1 | 1| -1}} |s \in \R}} || || || |SZ= }} und dies ist der Kern von {{math|term= \varphi|SZ=.}} Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach {{ Faktlink |Präwort=der|Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |SZ= }} gleich {{math|term= 2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bpgt8ed8oss5t4es1vi6ivydpbgmqxr 0 49483 1100238 1085370 2026-06-17T07:43:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100238 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine räumliche Variante von {{ Beispiellink |Präwort=|Polarkoordinaten|Beispielseitenname= Reelle Ebene/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel |Nr= |SZ= }} wird durch {{Stichwort|Zylinderkoordinaten}} gegeben. Ein Tripel {{ Relationskette | (r, \alpha, z) | \in |\R_+ \times [0, 2 \pi[ \times \R || || || |SZ= }} wird dabei auf die {{ Definitionslink |kartesischen Koordinaten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |(x,y,z) || (r {{op:cos|\alpha|}} ,r {{op:sin|\alpha|}} ,z) || || || |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zylinderkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p82rn5aikie7urfordrx6a3fytixgw3 0 49499 1100253 1037862 2026-06-17T07:45:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100253 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |a | \in | \R_{\geq 0} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |k | \in | \N || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| x \in \R_{\geq 0} | x^k \leq a}} || || || |SZ=. }} Diese Menge ist wegen {{ Relationskette | 0 | \in | M || || || |SZ= }} nicht leer und {{ Definitionslink |nach oben beschränkt| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=a \leq 1 |SZ=}} ist {{math|term= 1 |SZ=}} eine obere Schranke, sonst ist {{math|term= a |SZ=}} eine obere Schranke| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Relationskette |s || {{op:sup| M |}} || || || |SZ=, }} das es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt |Nr= |SZ= }} geben muss. Dann ist {{ Relationskette |s^k || a || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= s |SZ=}} ist eine {{math|term= k |SZ=-}}te Wurzel von {{math|term= a |SZ=,}} da sowohl die Annahme {{ Relationskette |s^k | < | a || || || |SZ= }} als auch die Annahme {{ Relationskette |s^k | > | a || || || |SZ=, }} zu einem Widerspruch führt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Beliebige Wurzel/Als Supremum/Nachweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dwaixa1zu9p9dxrn8ssbqb9eq5qgbf5 0 49793 1100680 1085773 2026-06-17T10:46:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100680 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Exponentialfunktionen {{mathl|term= x \mapsto a^x|SZ=}} zur Basis {{ Relationskette |a | > | 0 || || || |SZ= }} kann man auch anders einführen. Für natürliche Zahlen {{ Relationskette | n |\neq| 0 || || || |SZ= }} nimmt man das {{math|term= n |SZ=-}}fache Produkt von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst, also {{math|term= a^n |SZ=,}} als Definition. Für eine negative ganze Zahl {{math|term= x |SZ=}} setzt man {{ Relationskette |a^x | {{defeq|}} | (a^{-x} )^{-1} || || || |SZ=. }} Für eine positive rationale Zahl {{ Relationskette | x || r/s || || || |SZ= }} setzt man {{ Relationskette/display | a^x | {{defeq|}} | \sqrt[s] { a^r } || || || |SZ=, }} wobei man natürlich die Unabhängigkeit von der gewählten Bruchdarstellung beweisen muss. Für eine negative rationale Zahl arbeitet man wieder mit Inversen. Für eine beliebige reelle Zahl {{math|term= x |SZ=}} schließlich nimmt man eine Folge {{math|term= q_n |SZ=}} von rationalen Zahlen, die gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergiert, und definiert {{ Relationskette/display | a^x | {{defeq|}} | {{op:Folgenlimes|Glied= a^{q_n }|}} || || || |SZ=. }} Hierzu muss man zeigen, dass diese Limiten existieren und unabhängig von der gewählten rationalen Folge sind. Für den Übergang von {{math|term= \Q|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} ist der Begriff der {{ Definitionslink |gleichmäßigen Stetigkeit| |Kontext=R| |SZ= }} entscheidend. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5c9f6bstjiusluq2doxxvemqdp40lz 0 50780 1099920 1085014 2026-06-17T06:50:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099920 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung {{ Relationskette | y' || y || || || |SZ=, }} in der {{math|term= t |SZ=}} gar nicht explizit vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text=solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig| |ISZ=|ESZ=. }} Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion {{mathl|term= y(t) |SZ=,}} die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion {{ Relationskette | y(t) || e^t || || || |SZ= }} diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion {{mathl|term= a e^t|SZ=}} mit einem festen {{ Relationskette |a | \in |\R || || || |SZ= }} eine Lösungsfunktion. Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung {{ Relationskette/display | y' || cy || || || |SZ= }} mit einer festen Zahl {{math|term= c |SZ=.}} In diesem Fall sind {{ Relationskette | y(t) || a e^{ct} || || || |SZ= }} die Lösungen. Bei {{ Relationskette |c | > | 0 || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|exponentiellem Wachstum|msw=Exponentielles Wachstum|SZ=}} und bei {{ Relationskette |c | < | 0 || || || |SZ= }} von {{Stichwort|exponentiellem Verfall|msw=Exponentieller Verfall|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q3235lvga8gfb17f5qc8b7shrqahw37 0 50782 1099919 1085013 2026-06-17T06:50:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099919 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung {{ Relationskette | y' || yt || || || |SZ=. }} Gesucht ist also nach einer Funktion {{mathl|term= y(t) |SZ=,}} die differenzierbar ist und deren Ableitung die Gestalt {{mathl|term= y(t) t |SZ=}} besitzt. Hier ist nicht unmittelbar klar, wie eine Lösung aussieht und wie man sie findet. Durch Probieren findet man die Lösung {{ Relationskette | y(t) || e^{ {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 } || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfa1ot5ft3vfgsfm0n88gzhdug1xzoh 0 50794 1099728 1084839 2026-06-17T06:20:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099728 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |ortsunabhängige| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Math/display|term= y'= {{op:Bruch| 1 |t^2-1}} \text{ mit der Anfangsbedingung } y(5)= 3 |SZ=. }} Die Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |t^2-1}} |SZ=}} besitzt die{{{zusatz1|}}} {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |t^2-1}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1 |t-1}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1|t + 1}} || || || |SZ=, }} daher sind die Stammfunktionen {{ Zusatz/Klammer |text=wir beschränken uns auf {{ Relationskette/k |t | > | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Relationskette/display | y(t) || {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln|(t-1)|}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln|( t +1) }} +c || || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung {{ Relationskette | y(5) || 3 || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln| 4 |}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln| 6}} +c || 3 || || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display | c || 3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln| 4 |}} + {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln| 6}} || || || |SZ= }} und die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist {{ Relationskette/display/handlinks | y(t) || {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln|(t-1)|}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln|(t+1)}} + 3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln| 4 |}} + {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:ln| 6}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6uhqz4q6a7o0xulkepd0ir3h2s2odzl 0 50961 1099789 1084892 2026-06-17T06:30:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099789 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || ay +b || || || |SZ= }} mit Konstanten {{ Relationskette | a,b | \in | \R || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | z(t) || e^{at} || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=| |SZ= }} der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |SZ= }} müssen wir daher eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{mathl|term= b e^{-at} |SZ=}} bestimmen. Diese sind durch {{mathl|term= - {{op:Bruch| b |a}} e^{-at} +c|SZ=}} gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form {{ Relationskette/display | {{makl| - {{op:Bruch| b |a}} e^{-at} +c|}} \cdot e^{at} || c \cdot e^{at} - {{op:Bruch| b |a}} || || || |SZ=. }} {{ inputbild |Cup of coffee 5084862159|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Cup_of_coffee_5084862159 |Text=Lieber den Kaffee trinken, bevor er gemäß einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung die Außentemperatur angenommen hat. |Autor=Jason Walsh |Benutzer=Lobo |Domäne= |Lizenz=CC-by-2.0 |Bemerkung= }} Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein {{ Zusatz/Klammer |text=heißer| |ISZ=|ESZ= }} Körper {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise eine Tasse Kaffee| |ISZ=|ESZ= }} sich in einem umgebenden Medium {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise in einem Straßencafé| |ISZ=|ESZ= }} mit konstanter Außentemperatur {{math|term= A |SZ=}} befindet, so wird die Temperaturentwicklung {{mathl|term= y(t) |SZ=}} des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung {{ Relationskette/display | y'(t) || - d (y(t) - A ) || || || |SZ= }} beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Proportionalitätsfaktor {{ Relationskette |d | > | 0 || || || |SZ= }} hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab| |ISZ=|ESZ=. }} Die Lösungen sind {{ Relationskette/display | y(t) || c e^{-dt} + A || || || |SZ=. }} Dabei ist das {{math|term= c |SZ=}} durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangs{{drucktrenn}}temperatur des Körpers zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=.}} Für {{mathl|term= t \rightarrow +\infty|SZ=}} nimmt der Körper die Außentemperatur {{math|term= A |SZ=}} an. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2=Mathematische Physik |Kategorie3=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jao70mcdihhqhz235f5290g0zjx5d0k 0 51201 1100395 1085523 2026-06-17T08:08:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100395 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=F |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y^3,xy) |SZ= }} und den Weg {{ Abbildung/display |name=\gamma | [-3,4] |\R^2 | t |(t^2,t^3-5t) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} von {{math|term= \gamma|SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \gamma'(t) ||(2t , 3t^2-5) || || || |SZ=. }} Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich {{ Relationskette/align | \int_\gamma F || \int_{-3}^5 {{op:Skalarprodukt| F | \gamma'(t)}} dt || \int_{-3}^5 {{makl| \gamma_1(t)^2 - \gamma_2(t)^3|}} \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_1(t) \gamma_2(t) \cdot \gamma_2'(t) dt || \int_{-3}^5 {{makl| t^4 - (t^3-5t)^3|}} \cdot 2t + t^2 (t^3-5t) \cdot (3t^2-5) dt || \int_{-3}^5 {{makl|t^4-t^9 + 15 t^7 - 75 t^5 + 125 t^3|}} 2t + t^2 {{makl| 3t^5 -5t^3-15t^3+25t|}} dt || \int_{-3}^5 2t^5-2t^{10} + 30 t^8 - 150 t^6 + 250 t^4 +3t^7 -20t^4+25t^3 dt || \int_{-3}^5 -2t^{10} + 30 t^8 +3t^7 - 150 t^6 + 2t^5 + 230 t^4 +25t^3 dt |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i17ont6p9gncr4n717ij113c0ne3k6w 0 51207 1100706 1085818 2026-06-17T10:50:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100706 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Das Vektorfeld {{ Abbildung/display |name=F | U |\R^n || |SZ= }} sei durch die Komponentenfunktionen {{ Math/display|term= F_1 (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots|}} F_n (x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ= }} und die Kurve durch die Komponentenfunktionen {{ Math/display|term= (\gamma_1(t) {{kommadots|}} \gamma_n(t)) |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} {{ Math/display|term= (\gamma'_1(t) {{kommadots|}} \gamma_n'(t)) |SZ= }} gegeben. Dann wird das {{ Definitionslink |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |SZ= }} durch {{ Relationskette/align/handlinks | \int_\gamma F || \int_a^b F_1(\gamma_1(t) {{kommadots|}} \gamma_n(t) ) \cdot \gamma_1'(t) {{plusdots|}} F_n(\gamma_1(t) {{kommadots|}} \gamma_n(t) ) \cdot \gamma_n'(t) dt || \sum_{i {{=}} 1}^n \int_a^b F_i(\gamma_1(t) {{kommadots|}} \gamma_n(t) ) \cdot \gamma_i'(t) dt || || |SZ= }} berechnet. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} neo555cw8efouvjvbp5gwwqe35amu53 0 51263 1100370 1085499 2026-06-17T08:04:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100370 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das lineare {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=G |\R^2|\R^2 | {{op:Spaltenvektor| x | y}} | {{op:Spaltenvektor| -y| x}} {{=}} {{op:Matrix22| 0 | -1| 1 | 0}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} |SZ=, }} erfüllt wegen {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|G_1 | y}} || -1 |\neq| 1 || {{op:Partielle Ableitung|G_2 | x}} || |SZ= }} nicht die {{ Definitionslink |Integrabilitätsbedingung| |Kontext=| |SZ=. }} Es kann also nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Kontext=| |SZ= }} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p76h8nin6ck4jxh5wvvb5vrtkqt7655 0 51265 1100372 1038435 2026-06-17T08:04:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100372 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Vektorfeld| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=G |\R^2 \setminus \{(0,0)\}|\R^2 | {{op:Spaltenvektor| x | y}} | {{op:Bruch| 1 | x^2+y^2}} {{op:Spaltenvektor| -y| x}} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|G_1 | y}} || {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{makl| {{op:Bruch| -y| x^2+y^2}} |}} || {{op:Bruch| -(x^2+y^2)+y(2y)|(x^2+y^2)^2}} || {{op:Bruch| -x^2+y^2|(x^2+y^2)^2}} || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|G_2 | x}} || {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{makl| {{op:Bruch| x | x^2+y^2}} |}} || {{op:Bruch|(x^2+y^2)-x(2x)|(x^2+y^2)^2}} || {{op:Bruch| -x^2+y^2|(x^2+y^2)^2}} || |SZ= }} erfüllt dieses Vektorfeld die {{ Definitionslink |Integrabilitätsbedingung| |SZ=. }} Es handelt sich aber nicht um ein {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |SZ=: }} Das {{ Definitionslink |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |SZ= }} zur {{ Zusatz/Klammer |text=geschlossenen| |ISZ=|ESZ= }} trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises {{ Abbildung/display |name=\gamma | [0,2 \pi] | \R^2 | t | {{op:Spaltenvektor| {{op:cos| t |}} | {{op:sin| t |}} }} |SZ=, }} ist {{ Relationskette/align | \int_\gamma G || \int_0^{2 \pi} {{op:Skalarprodukt|G(\gamma(t))| {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin| t |}} | {{op:cos| t |}} }} }} dt || \int_0^{2 \pi} {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin| t |}} | {{op:cos| t |}} }} | {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin| t |}} | {{op:cos| t |}} }} }} dt || \int_0^{2 \pi} {{op:sin| t |exp=2}} + {{op:cos| t |exp=2}} dt || \int_0^{2 \pi} 1 dt || 2 \pi |\neq| 0 |SZ= }} im Gegensatz zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Gradientenfeld/Geschlossenes Wegintegral/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j913c7fbpcii5vjtgj0glbejonsf5du 0 52099 1100007 1085122 2026-06-17T07:04:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100007 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius {{math|term= r |SZ=}} berechnen, also von {{ Relationskette/display | B(r) || {{Mengebed| x \in \R^3| {{op:Norm| x |}} \leq r }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt |SZ= }} gilt dabei {{ Relationskette | \lambda^3 (B(r)) || r^3 \lambda^3 ( B(1)) || || || |SZ=, }} d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen. Für jedes fixierte {{ mathbed|term= {{{u|u}}} ||bedterm1= -1 \leq {{{u|u}}} \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} kann man den Querschnitt als {{ Relationskette/align/handlinks | T( {{{u|u}}}) || {{Mengebed|(x_1 ,x_2, x_3) \in B(1) | x_{3} {{=|}} {{{u|u}}} }} || {{Mengebed|(x_1 , x_{2}) \in \R^{2} | x_1^2 + x_{2}^2 \leq 1 -{{{u|u}}}^2 }} || |SZ= }} schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius {{mathl|term= \sqrt{ 1-{{{u|u}}}^2 } |SZ=.}} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Cavalieri-Prinzips|Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Cavalieri/Stetige Querschnitte/Integration/Fakt |SZ= }} ist daher {{ Relationskette/align | \lambda^{3} (B (1)) || {{op:Integral| -1| 1 |Integrand= \lambda^{2} {{makl| B_{2} {{makl| \sqrt{1-{{{u|u}}}^2} |}} |}} || h}} || \pi {{op:Integral| -1| 1 |Integrand= 1-{{{u|u}}}^2|| {{{u|u}}} }} || \pi {{op:Integralstamm| -1| 1 |stamm= {{makl| {{{u|u}}} - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{{u|u}}}^3 |}} ||}} || \pi {{makl| 1- {{op:Bruch| 1 | 3}} - {{makl| -1 + {{op:Bruch| 1 | 3}} |}} |}} || \pi {{op:Bruch| 4 | 3}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pzjtncg4iettjyabmpzzyudkx3bxmjw 0 52147 1100275 1085408 2026-06-17T07:49:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100275 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R^3|\R |(x,y,z)| 2x+3y-z |SZ=. }} Als Unterraum des {{math|term= \R^3 |SZ=}} trägt {{math|term= V |SZ=}} ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von {{math|term= V |SZ=}} bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis aus den Vektoren {{ Mathkor/display|term1= v_1= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 2}} |und|term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 3}} |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt|v_1 |v_2 }} || 6 || || || |SZ=, }} die Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander. Wir ersetzen {{math|term= v_2 |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | w_2 || v_2 - {{op:Bruch| {{op:Skalarprodukt|v_1 |v_2 }} | {{op:Norm|v_1 |}}^2 |}} v_1 || {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 3}} - {{op:Bruch| 6 | 5 |}} {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 2}} || {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 6 | 5 |}} | 1 | {{op:Bruch| 3 | 5 |}} }} || |SZ=. }} Jetzt stehen {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= w_2 |SZ= }} senkrecht aufeinander. Somit ist {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 2}} = {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} | 0 | {{op:Bruch| 2 | \sqrt{5} }} }} |und|term2= {{op:Bruch| \sqrt{5}| \sqrt{14} }} {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 6 | 5 |}} | 1 | {{op:Bruch| 3 | 5 |}} }} = {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 6 | \sqrt{70} |}} | {{op:Bruch| \sqrt{5}| \sqrt{14} }} | {{op:Bruch| 3 | \sqrt{70}|}} }} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4pubr13abgwnp64kjg5wiuwpe45dhls 0 52164 1100072 1037077 2026-06-17T07:15:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100072 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem offenen {{ Zusatz/Klammer |text=oder abgeschlossenen| |ISZ=|ESZ= }} Intervall {{ Relationskette |]a,b[ | \subseteq | \R || || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} die beiden {{ Definitionslink |Randpunkte| |Kontext=| |SZ=. }} Zu einer offenen {{ Zusatz/Klammer |text=oder abgeschlossenen| |ISZ=|ESZ= }} Kreisscheibe {{ Relationskette/display |K || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| \sqrt{ x^2+y^2 } < r}} || || || |SZ= }} ist die Kreislinie {{ Relationskette/display |S || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| \sqrt{ x^2+y^2 }{{=}} r}} || || || |SZ= }} der Rand. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pm57a2gi4lc4fymxomfgvi70aqzdvx4 0 52430 1100281 1085412 2026-06-17T07:50:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100281 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | V || \R^n || || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |SZ= }} versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum {{mathl|term= \R e_i |SZ=}} zum Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} besteht das {{ Definitionslink |orthogonale Komplement| |SZ= }} aus allen Vektoren {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| x_1 |\vdots| x_{i-1}| 0 | x_{i+1}|\vdots| x_n }} |SZ=,}} deren {{math|term= i |SZ=-}}ter Eintrag {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum {{mathl|term= \R v |SZ=}} zu einem Vektor {{ Relationskette/display | v || {{op:Spaltenvektor|a_1 |a_2 |\vdots|a_n }} |\neq| 0 || || |SZ= }} kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der {{ Definitionslink |linearen Gleichung| |SZ= }} {{ Relationskette/display | a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n || 0 || || || |SZ= }} bestimmt. Der Orthogonalraum {{ Relationskette/display | U || {{op:Orthogonalraum|(\R v)|}} || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x_1 |\vdots | x_n }} | a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n {{=|}} 0|}} || || |SZ= }} besitzt die Dimension {{math|term= n-1 |SZ=,}} es handelt sich also um eine sogenannte {{ Definitionslink |Hyperebene| |SZ=. }} Man nennt dann {{math|term= v |SZ=}} einen {{Stichwort|Normalenvektor |SZ=}} für die Hyperebene {{math|term= U |SZ=.}} Zu einem Untervektorraum {{ Relationskette |U | \subseteq | \R^n || || || |SZ=, }} der durch eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ mathbed|term= v_i = {{op:Spaltenvektor|a_{i1}|\vdots|a_{in}|}} ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des {{ Definitionslink |linearen Gleichungssystems| |SZ= }} {{ Relationskette/display | A {{op:Spaltenvektor| x_1 |\vdots| x_n }} || 0 || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |A || {{makl| a_{i j } |}} || || || |SZ= }} die aus den {{math|term= v_i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als Zeilen| |ISZ=|ESZ= }} gebildete Matrix ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4dxdvfll1vchznypxl5wax4hylvrk0u 0 52439 1100276 1085409 2026-06-17T07:49:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100276 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R^3|\R |(x,y,z)| 2x+3y-z |SZ=. }} Als Unterraum des {{math|term= \R^3 |SZ=}} trägt {{math|term= V |SZ=}} das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von {{math|term= V |SZ=}} bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren {{ Mathkor/display|term1= v_1= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 2}} |und|term2= v_2 = {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 3}} |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette | {{op:Norm|v_1 |}} || \sqrt{5} || || || |SZ= }} und somit ist {{ Relationskette/display | u_1 || {{op:Bruch|v_1 | {{op:Norm|v_1 |}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} | 0 | {{op:Bruch| 2 | \sqrt{5} }} }} || || |SZ= }} der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=.|ESZ= }} {{ Faktlink |Präwort=|Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren|Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt |Nr= |SZ= }} setzen wir {{ Relationskette/align | w_2 || v_2 - {{op:Skalarprodukt|v_2 |u_1 }} u_1 || {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 3}} - {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 3}} | {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} | 0 | {{op:Bruch| 2 | \sqrt{5} }} |}} }} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} | 0 | {{op:Bruch| 2 | \sqrt{5} }} }} || {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 3}} - {{op:Bruch| 6 | \sqrt{5} }} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} | 0 | {{op:Bruch| 2 | \sqrt{5} }} }} || {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 3}} - {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 6 | 5 }} | 0 | {{op:Bruch| 12| 5 }} }} || {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 6 | 5 }} | 1 | {{op:Bruch| 3 | 5 }} }} |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Norm|w_2 |}} || {{op:Norm| {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 6 | 5 }} | 1 | {{op:Bruch| 3 | 5 }} }} |}} || \sqrt{ {{op:Bruch| 36| 25}} + 1 + {{op:Bruch| 9 | 25}} } || \sqrt{ {{op:Bruch| 70| 25}} } || {{op:Bruch| \sqrt{14}| \sqrt{5} }} || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display |u_2 || {{op:Bruch| \sqrt{5}| \sqrt{14}}} {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 6 | 5}} | 1 | {{op:Bruch| 3 | 5}} }} || {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 6 | \sqrt{70} |}} | {{op:Bruch| \sqrt{5}| \sqrt{14} }} | {{op:Bruch| 3 | \sqrt{70}|}} }} || || |SZ= }} der zweite Vektor der Orthonormalbasis. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 002y8ro9ctra356ts3yihcrcs4alr4u 0 52459 1100396 1085524 2026-06-17T08:08:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100396 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Vektorfeld| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=F |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y^3,xy) |SZ= }} und den Weg {{ Abbildung/display |name=\gamma | [0,1] |\R^2 | t |(t^2,t^3-5t) |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} von {{math|term= \gamma|SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \gamma'(t) || (2t , 3t^2-5) || || || |SZ=. }} Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich {{ Relationskette/align/handlinks | \int_\gamma F || \int_{0}^1 {{op:Skalarprodukt|F(\gamma(t))| \gamma'(t)}} dt || \int_{0}^1 {{makl| \gamma_1(t)^2 - \gamma_2(t)^3|}} \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_1(t) \gamma_2(t) \cdot \gamma_2'(t) dt || \int_{0}^1 {{makl| t^4 - (t^3-5t)^3|}} \cdot 2t + t^2 (t^3-5t) \cdot (3t^2-5) dt || \int_{0}^1 {{makl|t^4-t^9 + 15 t^7 - 75 t^5 + 125 t^3|}} 2t + t^2 {{makl| 3t^5 -5t^3-15t^3+25t|}} dt || \int_{0}^1 2t^5-2t^{10} + 30 t^8 - 150 t^6 + 250 t^4 +3t^7 -20t^5 +25t^3 dt || \int_{0}^1 -2t^{10} + 30 t^8 +3t^7 - 150 t^6 - 18 t^5 + 250 t^4 +25t^3 dt || {{op:Integralstamm| 0 | 1 | {{makl| - {{op:Bruch| 2 | 11}} t^{11} + {{op:Bruch| 10| 3}} t^9 + {{op:Bruch| 3 | 8}} t^8 - {{op:Bruch| 150| 7 |}} t^7 -3 t^6 + 50 t^5 + {{op:Bruch| 25| 4 |}} t^4 |}} }} || 47 + {{op:Bruch| -336 +6160 + 693 - 39600 + 11550 | 1848}} || 47 -{{op:Bruch| 21533 | 1848}} || {{op:Bruch| 65323 | 1848}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s534g44lgzf0ys4zvjdemx0lxmdkjgg 0 52470 1100124 1085229 2026-06-17T07:24:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100124 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer {{Stichwort|orthogonalen Spiegelung|msw=Orthogonale Spiegelung|SZ=}} des {{math|term= \R^n |SZ=}} an einem {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}dimensionalen Untervektorraum {{ Relationskette |U | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} wird dieser Untervektorraum fixiert und jeder Vektor wird senkrecht zu {{math|term= U |SZ=}} auf die andere Seite von {{math|term= U |SZ=}} abgebildet. Wenn {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_{n-1} |SZ=}} eine Basis von {{math|term= U |SZ=}} und {{math|term= v_n |SZ=}} ein zu {{math|term= U |SZ=}} {{ Definitionslink |orthogonaler| |Kontext=| |SZ= }} Vektor ist, so wird die Spiegelung bezüglich dieser Basis durch die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix5| 1 | 1| \ddots| 1 | -1}} |SZ= }} beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kz8mgsg43x1tl09k60g1x0w9uyewbry 0 52512 1100428 1085561 2026-06-17T08:14:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100428 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Zentralfeld| |Kontext=| |SZ= }} zur Funktion {{ Abbildung/display |name=g |\R \times \R \times \R \setminus \{0\} | \R |(t,x,y)|g(t,x,y) {{=|}} {{op:Bruch|t^2x^2| y}} |SZ=, }} also das Vektorfeld {{ Abbildung/display |name=F |\R \times \R \times \R \setminus \{0\}| \R^2 |(t,x,y)| {{op:Bruch|t^2x^2| y}} \cdot {{op:Zeilenvektor| x | y |}} {{=|}} {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|t^2x^3| y}} | t^2x^2 |}} |SZ=, }} und die Anfangsbedingung {{ Relationskette | \varphi(0) || (4,-3) || || || || |SZ=. }} Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | z' || g(t,4z,-3z) \cdot z || {{op:Bruch| t^2 16z^2 | -3z}} \cdot z || -{{op:Bruch| 16| 3}} t^2z^2 || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette |z(0) || 1 || || || |SZ= }} lösen. Dies ist eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung mit getrennten Variablen| |Kontext=| |SZ=, }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist g(t)y^2/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | z(t) || {{op:Bruch| 1 | {{op:Bruch| 16| 9}} t^3 +1 }} || || || |SZ= }} die Lösung mit {{ Relationskette |z(0) || 1 || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | v(t) || {{op:Bruch| 1 | {{op:Bruch| 16| 9}} t^3 +1 }} {{op:Zeilenvektor| 4 | -3}} || || || |SZ= }} die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Zentralfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxmnq8yc58u8wyftctgqk5ene4h8kfc 0 52516 1099773 1084877 2026-06-17T06:28:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099773 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 2 | 5 | -3| 4}} || || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|X-2| -5| 3 |X-4}} |}} || (X-2)(X-4) +15 || X^2 -6X +23 || |SZ=. }} Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung {{ Relationskette/display | (X-3)^2 || -23 +9 || -14 || || |SZ=, }} die über {{math|term= \R|SZ=}} nicht erfüllbar ist, sodass die Matrix über {{math|term= \R|SZ=}} keine {{ Definitionslink |Eigenwerte| |SZ= }} besitzt. Über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} hingegen gibt es die beiden Eigenwerte {{ mathkor|term1= 3+\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |und|term2= 3 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} Für den {{ Definitionslink |Eigenraum| |SZ= }} zu {{mathl|term= 3+\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} muss man {{ Relationskette/align | {{op:Eigenraum| M | 3+\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} || {{op:Kern| {{makl| {{makl| 3+ \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} |}} E_2 - M |}} |}} || {{op:Kern| {{op:Matrix22| 1 + \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} | -5| 3 | -1 + \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |}} || || |SZ= }} bestimmen, ein Basisvektor {{ Zusatz/Klammer |text=also ein Eigenvektor| |ISZ=|ESZ= }} davon ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 5 | 1+ \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |SZ=.}} Analog ist {{ Relationskette/display | {{op:Eigenraum| M | 3 -\sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} || {{op:Kern| {{op:Matrix22| 1 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} | -5| 3 | -1 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |}} || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 5 | 1 - \sqrt{14} {{Imaginäre Einheit|}} }} |}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen (Körper) |Kategorie2=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmt6m800fn5q7c5rllgln6w1qyxxac0 0 52523 1100054 1085157 2026-06-17T07:12:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100054 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term= 2\times 2 |SZ=-}}{{Stichwort|Scherungsmatrizen|msw=Scherungsmatrix|SZ=}} {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 1 | a | 0 | 1}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a | \in | K || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} ||(X-1)(X-1) || || || |SZ=, }} sodass {{math|term= 1 |SZ=}} der einzige {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} ist. Den zugehörigen {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |SZ= }} berechnet man als {{ Relationskette/display | {{op:Eigenraum| M | 1 }} || {{op:Kern| {{op:Matrix22| 0 | -a| 0 | 0}} |}} || || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 0 | -a| 0 | 0}} {{op:Spaltenvektor| r |s}} || {{op:Spaltenvektor| -as| 0}} || || || |SZ= }} folgt, dass {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |SZ= }} ist, und dass bei {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} der Eigenraum eindimensional ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | a || 0 || || || |SZ= }} liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |algebraische Vielfachheit| |Kontext=| |SZ= }} des Eigenwerts {{math|term= 1 |SZ=}} gleich {{math|term= 2 |SZ=,}} die {{ Definitionslink |geometrische Vielfachheit| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vielfachheiten von Eigenwerten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Scherung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxd6bx1pwwox0jpqzq4tg00479ejzwp 0 52547 1099724 1084837 2026-06-17T06:20:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099724 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Kontext=n| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| x | y}}' = {{op:Spaltenvektor|tx-y^2| xy-t^2}} \text{ mit } x(0)=0 \text{ und } y(0)=1 |SZ= }} und machen den Potenzreihenansatz {{ mathkor|term1= x(t) = \sum_{k= 0}^\infty a_k t^k |und|term2= y(t) = \sum_{k=0}^\infty b_k t^k |SZ=. }} Aufgrund der Anfangsbedingung ist {{ Mathkor/display|term1= a_0=0 |und|term2= b_0=1 |SZ=. }} Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k a_k t^{k-1} || t {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} - {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}}^2 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k b_k t^{k-1} || {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}} - t^2 || || |SZ=, }} die wir gradweise auswerten. Für den Grad {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Potenzreihengleichungen| |ISZ=|ESZ= }} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= a_1 =- b_0^2 =-1 |und|term2= b_1 =a_0b_0 = 0 |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 2 a_2 = a_0 - 2b_0b_1 =0 |und|term2= 2 b_2 =a_0b_1+a_1b_0 = -1 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_2=0 |und|term2= b_2 = - {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 2 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 3 a_3 = a_1 - 2b_0b_2-b_1^2 =-1+ 1 = 0 |und|term2= 3 b_3 =a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0 -1 =-1 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_3= 0 |und|term2= b_3 = - {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 4 a_4 = a_2 - 2b_0b_3- 2 b_1b_2 = {{op:Bruch| 2 | 3}} |und|term2= 4 b_4 =a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1 +a_3b_0 = {{op:Bruch| 1| 2}} |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_4= {{op:Bruch| 1 | 6}} |und|term2= b_4 = {{op:Bruch| 1| 8}} |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 4 |SZ=}} ist demnach {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| -t + {{op:Bruch| 1 | 6}} t^4 | 1 - {{op:Bruch| 1 | 2}}t^2 - {{op:Bruch| 1 | 3}}t^3 + {{op:Bruch| 1| 8}} t^4 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hsf6kxf7e0tpzkjm7l4rsz5skvdkdzb 0 52564 1100593 1085671 2026-06-17T10:33:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100593 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung höherer Ordnung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y^{(n)} || g {{makl| t,y ,y' ,y^{\prime \prime} {{kommadots|}} y^{(n-1)} |}} || || || |SZ= }} kann man {{{zusatz1|}}} mit einem {{Stichwort|Potenzreihenansatz|SZ=,}} also mit einem Ansatz der Form {{ Relationskette/display | y (t) || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_kt^k || || || |SZ= }} mit unbestimmten Koeffizienten {{math|term= a_k |SZ=,}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis zu einer gewissen Ordnung| |ISZ=|ESZ= }} lösen. Dazu muss die Funktion {{math|term= g |SZ=}} {{ Definitionslink |polynomial| |Kontext=n| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder durch eine Potenzreihe gegeben| |ISZ=|ESZ= }} sein. Damit die Lösung eindeutig ist, müssen zusätzlich Anfangsbedingungen {{ Math/display|term= y(0)=b_0 , y'(0)= b_1 {{kommadots|}} y^{(n-1)}(0) = b_{n-1} |SZ= }} vorgegeben sein. Die Koeffizienten {{math|term= a_k |SZ=}} werden sukzessive unter Verwendung der Differentialgleichung und der Anfangsbedingungen gelöst. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16e5myiaekz4luc93skc2afqacms4dh 0 52568 1099726 1084838 2026-06-17T06:20:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099726 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachen das {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Math/display|term= y'= y^2t-y+t^3+e^t \text{ mit } y(0) =0 |SZ= }} und wollen es mit einem {{ Definitionslink |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG| |SZ= }} lösen. Es sei also {{ Relationskette/display | y(t) || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k || || || || |SZ=, }} die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty ka_k t^{k-1} || {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^2 t - \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k +t^3 + \sum_{k {{=|}} 0}^\infty {{op:Bruch| 1 |k!}} t^k || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung legt {{ Relationskette |a_0 || 0 || || || |SZ= }} fest. Für den konstanten Term {{ Zusatz/Klammer |text=also zu {{math|term= t^0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich aus der Potenzreihengleichung {{ Relationskette/display | a_1 || -a_0 +1 || 1 || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^1 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 2a_2 || a_0^2 -a_1 +1 || 0 || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^2 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 3a_3 || 2 a_0a_1 - a_2 + {{op:Bruch| 1 | 2}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || |SZ= }} also ist {{ Relationskette | a_3 || {{op:Bruch| 1 | 6}} || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^3 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 4a_4 || 2 a_0a_2+a_1^2 - a_3 +1+ {{op:Bruch| 1 | 6}} || 1- {{op:Bruch| 1 | 6}} +1+ {{op:Bruch| 1 | 6}} || 2 || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette | a_4 || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^4 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 5a_5 || 2 a_0a_3 + 2a_1a_2 - a_4 + {{op:Bruch| 1 | 24}} || - {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 24}} || - {{op:Bruch| 11| 24}} || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette | a_5 || - {{op:Bruch| 11| 120}} || || || |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 5 |SZ=}} ist demnach {{ Math/display|term= t + {{op:Bruch| 1 | 6}}t^3 + {{op:Bruch| 1 | 2}} t^4 - {{op:Bruch| 11| 120}} t^5 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cx76922gzswdtou9p7fme7bj1m5iu79 0 52570 1099731 1084842 2026-06-17T06:21:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099731 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachen das {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Kontext=höhere Ordnung| |SZ= }} {{ Math/display|term= y^{\prime \prime} = y' y + {{op:sin| t |}} \text{ mit } y(0) =0 \text{ und } y'(0)=1 |SZ= }} und wollen es mit einem {{ Definitionslink |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG, höhere Ordnung| |SZ= }} lösen. Es sei also {{ Relationskette/display | y(t) || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k || || || |SZ=, }} die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^{\prime \prime} || \sum_{k {{=|}} 2}^\infty k (k-1) a_k t^{k-2} || {{makl| \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k a_k t^{k-1} |}} \cdot {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} + \sum_{n {{=|}} 0}^\infty (-1)^n {{op:Bruch| 1 |(2n+1) !}} t^{2n+1} || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung legt {{ mathkor|term1= a_0=0 |und|term2= a_1=1 |SZ= }} fest. Für den konstanten Term {{ Zusatz/Klammer |text=also zu {{math|term= t^0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich aus der Potenzreihengleichung {{ Relationskette/display | 2 a_2 || a_1a_0 || 0 || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette |a_2 || 0 || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^1 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 6a_3 || a_1^2+2a_2a_0+1 || 2 || || |SZ= }} also ist {{ Relationskette | a_3 || {{op:Bruch| 1 | 3}} || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^2 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 12 a_4 || a_1a_2+2 a_2 a_1 +3a_3a_0 || 0 || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette |a_4 || 0 || || || |SZ=. }} Für {{math|term= t^3 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 20a_5 || a_1a_3 + 2a_2^2 +3a_3a_1 + 4a_4a_0 - {{op:Bruch| 1 | 6}} || {{op:Bruch| 4 | 3}} - {{op:Bruch| 1 | 6}} || {{op:Bruch| 7 | 6}} || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette |a_5 || {{op:Bruch| 7 | 120}} || || || |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 5 |SZ=}} ist demnach {{ Math/display|term= t + {{op:Bruch| 1 | 3}} t^3 + {{op:Bruch| 7 | 120}} t^5 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xx4etfipvo6bnv8uqblalx967lbqa6 0 52590 1100371 1085500 2026-06-17T08:04:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100371 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | F(t,x,y) || {{op:Zeilenvektor|tx+t^3,y^2 }} || || || |SZ=. }} Dieses System ist {{ Definitionslink |entkoppelt| |Kontext=DG| |SZ= }} und besteht aus den beiden einzelnen Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=in jeweils einer Raumvariablen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= x'=t x+t^3 \text{ und } y'= y^2 |SZ=. }} Eine Lösung der linken Differentialgleichung ist {{ Relationskette | x(t) || -t^2-2 || || || |SZ=, }} eine Lösung der rechten ist {{ Relationskette | y(t) || -t^{-1} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| -t^2-2| -t^{-1}| }} |SZ= }} eine Lösung zu {{math|term= F |SZ=.}} Wir betrachten nun die lineare Transformation {{ Relationskette/display | \varphi || {{op:Matrix22| 4 | 3 | -3| -2}} || || || |SZ= }} mit der inversen Matrix {{ Relationskette/display | \varphi^{-1} || {{op:Matrix22| -2| -3| 3 | 4}} || || || |SZ=. }} Das transformierte Vektorfeld ist {{ Relationskette/align/drucklinks | G(t,u,v) || \varphi (F(t, \varphi^{-1}(u,v))) || \varphi (F(t,-2u-3v,3u+4v )) || \varphi (t(-2u-3v)+t^3, (3u+4v)^2 ) || \varphi (t(-2u-3v)+t^3, 9u^2+24uv+16v^2 ) || ( 4(t(-2u-3v)+t^3)+3 (9u^2+24uv+16v^2) , -3(t(-2u-3v)+t^3)-2 (9u^2+24uv+16v^2) ) || (-8tu-12tv+4t^3+27u^2+72uv+48v^2, 6tu+9tv-3t^3-18u^2-48uv+32v^2) |SZ=. }} Für die zu {{math|term= G |SZ=}} gehörende Differentialgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|u'|v'}} || G(t,u,v) || || || || |SZ= }} ist gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | \varphi ( {{op:Spaltenvektor| -t^2-2| -t^{-1}| }} ) || {{op:Spaltenvektor| -4t^2-8-3t^{-1}| 3t^2+6+2t^{-1}|}} || || || |SZ= }} eine Lösung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8d8pgpc5sx8iuv6xqajtanl98anmjv 0 52611 1100130 1037343 2026-06-17T07:25:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100130 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} |\R^2 \setminus \{(0,0)\}|\R |(x,y)| {{op:Bruch| xy^3| x^2+y^2}} |SZ=. }} Um die {{ Definitionslink |partielle Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} nach {{math|term= x |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in jedem Punkt| |ISZ=|ESZ= }} zu berechnen, betrachtet man {{math|term= y |SZ=}} als eine Konstante, sodass eine nur von {{math|term= x |SZ=}} abhängige Funktion dasteht. Diese wird gemäß den Ableitungsregeln für Funktionen in einer Variablen abgeleitet, sodass sich {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}} | x}} || {{op:Bruch| y^3(x^2+y^2)-xy^3(2x)|(x^2+y^2)^2}} || {{op:Bruch| -x^2 y^3+y^5| x^4+2x^2y^2+ y^4 }} || || |SZ= }} ergibt. Für die partielle Ableitung nach {{math|term= y |SZ=}} betrachtet man {{math|term= x |SZ=}} als eine Konstante und erhält {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}} | y}} || {{op:Bruch| 3xy^2 (x^2+y^2)-xy^3(2y)|(x^2+y^2)^2}} || {{op:Bruch| 3x^3y^2+xy^4| x^4+2x^2y^2+ y^4 }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} no7fxjwnrt81du7u7h7grzqm9xrnmcg 0 52617 1100290 1085420 2026-06-17T07:52:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100290 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)| x^4-x^3y+5xy^2+2y^3 |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} sind {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung| f | x}} (x,y) = 4x^3-3x^2y+5y^2 |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| f | y}} (x,y) = -x^3+10xy+6y^2 |SZ=. }} Diese Funktionen sind selbst wiederum partiell differenzierbar, und wir berechnen {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{makl| {{op:Partielle Ableitung| f | x}} |}} || {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{makl| 4x^3-3x^2y+5y^2 |}} || -3x^2+10y || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{makl| {{op:Partielle Ableitung| f | y}} |}} || {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{makl| -x^3+10xy+6y^2 |}} || -3x^2+10y || || |SZ=. }} Die beiden zweiten partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung|| x}} f |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{op:Partielle Ableitung|| y}} f |SZ= }} stimmen also überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Schwarz (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2azrocgqu5vx8wilq26lapykr2ojo43 0 52635 1099951 1036289 2026-06-17T06:56:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099951 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=R| |SZ= }} zur Funktion {{ Abbildung/display |name=f | \R^2|\R |(x,y)| x^2-xy-y^3 |SZ=, }} in Richtung {{ Relationskette | v || {{op:Zeilenvektor| 4 | -1}} || || || |SZ=. }} Zu einem Punkt {{ Relationskette |P ||(x,y) | \in|\R^2 || || |SZ= }} müssen wir die Funktion {{ Abbildung/display |name=p |\R|\R | t | f(P+tv) |SZ=, }} nach {{math|term= t |SZ=}} im Nullpunkt ableiten. Es ist {{ Relationskette/align/handlinks |p(t) || f(P+tv) || (x+4t)^2 -(x+4t)( y-t)-(y-t)^3 || x^2+ 8xt+16t^2 -xy - 4ty +xt +4t^2-y^3 +3y^2t -3yt^2+t^3 || x^2-xy-y^3 + 9xt - 4ty +3y^2t +20 t^2 -3yt^2+t^3 || |SZ=. }} Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist {{ Relationskette/display | p'(0) || 9x-4y +3y^2 || || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display | g(x,y) | {{defeq}} | (D_vf) (x,y) || 9x-4y +3y^2 || || |SZ=. }} Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung {{ Relationskette |u || {{op:Zeilenvektor| 2 | -3}} || || || |SZ= }} ausrechnen. Es ist {{ Relationskette/align |q (t) | {{defeq|}} | g(P+tu) || 9(x+2t)-4(y-3t) +3(y-3t)^2 || 9x-4y +3y^2 + 18t+12t-18yt +27t^2 || || |SZ=. }} Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist {{ Relationskette/display | q'(0) || 30 -18y || || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display | (D_ug) (x,y) || (D_u (D_vf)) (x,y) || 30 -18y || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kssw6g5eewtkjf5qzuyvb4jue67kuut 0 52637 1100267 1037967 2026-06-17T07:48:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100267 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=R| |SZ= }} zur Funktion {{ Abbildung/display |name=f | \R^2|\R |(x,y)| x^2-xy^2+ {{op:sin| (xy)|}} |SZ=, }} im Punkt {{ Relationskette |P ||(3,4) || || || |SZ= }} in Richtung {{ Relationskette |v || {{op:Zeilenvektor| 2 | -5}} || || || |SZ=. }} Dazu müssen wir die Hilfsfunktion {{ Abbildung/display |name=h |\R|\R | t | h(t) {{=|}} f(P+tv) |SZ=, }} im Nullpunkt ableiten. Es ist {{ Relationskette/align/handlinks |h(t) || f(P+tv) || f( 3+2t,4-5t) || (3+2t)^2-(3+2t)(4-5t)^2+ {{op:sin| ((3+2t)(4-5t))|}} || 9+12t+4t^2 -48+ 88t +5t^2 -50t^3+ {{op:sin(| 12 -7t -10t^2|}} || -39+100t+9t^2 -50t^3+ {{op:sin(| 12 -7t -10t^2|}} || |SZ=. }} Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist {{ Relationskette/display | h'(0) || 100 -7 {{op:cos| 12 |}} || || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display | (D_{(2,-5)} f) (3,4) || 100 -7 {{op:cos| 12 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24zsxj3s0vry6482l2dren0m1r5s9cl 0 52776 1100352 1085484 2026-06-17T08:02:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100352 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} |\R^3|\R^2 | {{op:Zeilenvektor| u | v |w}} | {{op:Zeilenvektor|uv^3w^2|u^2-v^2w}} |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{g|g}}} |\R^2|\R^3 | {{op:Zeilenvektor| x | y}} | {{op:Zeilenvektor| xy-y^2| {{op:cos|(xy)|}} | x-y}} |SZ= }} illustrieren. Diese Abbildungen sind {{ Definitionslink |stetig partiell differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=|daher|Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrizen| |Kontext=R| |SZ= }} zu diesen Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=in einem beliebigen Punkt {{mathlk|term=P=(u,v,w) \in\R^3 |SZ=}} bzw. {{mathlk|term=Q=(x,y) \in \R^2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} sind {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (f)_P || {{op:Matrix23| {{op:Partielle Ableitung|f_1 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | w | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | w | P}} |}} || {{op:Matrix23| v^3w^2| 3uv^2w^2 | 2uv^3w | 2u| -2vw | -v^2}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (g)_Q || {{op:Matrix32| {{op:Partielle Ableitung|g_1 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_1 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | y | Q}} |}} || {{op:Matrix32| y | x-2y | - y {{op:sin|(xy)|}} | - x {{op:sin|(xy)|}} | 1 | -1}} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | g(f(u,v,w)) || {{op:Zeilenvektor|uv^3w^2 {{makl| u^2-v^2w |}}- {{makl| u^2-v^2w |}}^2| {{op:cos| {{makl| uv^3w^2(u^2-v^2w) |}} |}} |uv^3w^3-u^2+v^2w }} || {{op:Zeilenvektor| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w | {{op:cos| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} |uv^3w^3-u^2+v^2w }} || || |SZ=, }} die zugehörige Jacobi-Matrix in {{mathl|term= P=(u,v,w) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (g \circ f)_P || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w| 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | {{makl| 3u^2v^3w^2-v^5w^3 |}} {{op:sin| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} | {{makl| 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3 |}} {{op:sin| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} | {{makl| 2u^3v^3w-3uv^5w^2 |}}{{op:sin| {{makl| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3 |}} }} |v^3w^3-2u| 3uv^2w^3+2vw | 3uv^3w^2+v^2 }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9a029yib2llws23hhb0c3jkvu40jq64 0 52777 1100351 1085483 2026-06-17T08:02:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100351 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} |\R^3|\R^2 | {{op:Zeilenvektor| u | v |w}} | {{op:Zeilenvektor|uv^3w^2|u^2-v^2w}} |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{g|g}}} |\R^2|\R^3 | {{op:Zeilenvektor| x | y}} | {{op:Zeilenvektor| xy-y^2| {{op:cos| x |}} | x-y}} |SZ= }} illustrieren. Diese Abbildungen sind {{ Definitionslink |stetig partiell differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} und daher nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrizen| |Kontext=R| |SZ= }} zu diesen Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=in einem beliebigen Punkt {{ Relationskette/k | P || (u,v,w) | \in | \R^3 || || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/k |Q || (x,y) | \in | \R^2 || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} sind {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (f)_P || {{op:Matrix23| {{op:Partielle Ableitung|f_1 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | w | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | w | P}} |}} || {{op:Matrix23| v^3w^2| 3uv^2w^2 | 2uv^3w | 2u| -2vw | -v^2}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (g)_Q || {{op:Matrix32| {{op:Partielle Ableitung|g_1 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_1 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | y | Q}} |}} || {{op:Matrix32| y | x-2y | - {{op:sin| x |}} | 0 | 1 | -1}} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | g(f(u,v,w)) || {{op:Zeilenvektor| uv^3w^2 {{makl| u^2-v^2w |}}- {{makl| u^2-v^2w |}}^2 | {{op:cos| {{makl| uv^3w^2|}} |}} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || {{op:Zeilenvektor| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w | {{op:cos| {{makl|uv^3w^2 |}} }} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || || |SZ=, }} die zugehörige Jacobi-Matrix in {{ Relationskette |P ||(u,v,w) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display/handlinks | \operatorname {Jac} (g \circ f)_P || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w | 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u| 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte lineare Abbildung ist {{ Relationskette/align/drucklinks | \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ (uv^3w^2,u^2-v^2w)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || {{op:Matrix32|u^2-v^2w |uv^3w^2-2u^2+2v^2w | - {{op:sin(|uv^3w^2|}} | 0 | 1 | -1}} \circ {{op:Matrix23| v^3w^2| 3uv^2w^2 | 2uv^3w | 2u| -2vw | -v^2}} || {{op:Matrix33| {{makl| u^2-v^2w |}}v^3w^2 + {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2u| {{makl| u^2-v^2w |}} 3uv^2w^2 - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2vw | {{makl| u^2-v^2w |}} 2uv^3w - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u| 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-^5w^3-4u^3+4uv^2w| 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u| 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43ig0daon4je7yr7w307oq55xoewzna 0 52791 1100618 1085697 2026-06-17T10:36:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100618 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |euklidische Vektorräume| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette |G | \subseteq | V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=f | G | W || |SZ= }} eine in {{ Relationskette |P | \in | G || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |total differenzierbare Abbildung| |Kontext=R| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} ein Vektor und {{ Abbildung/display |name= \gamma | I | G | t | P+tv |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |affin-lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} durch diesen Punkt {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sei das reelle Intervall {{ Relationskette/k |I || [-a,a] || || || |SZ= }} so gewählt, dass {{ Relationskette/k | \gamma (I) | \subseteq | G || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} liegt. Die zusammengesetzte Abbildung {{ Abbildung/display |name= | I | W | t |f( \gamma (t)) |SZ=, }} wird zur Definition der {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} in Richtung {{math|term= v |SZ=}} verwendet, es ist {{ Relationskette/display | {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}} | P |v}} || {{makl| f \circ \gamma |}}'(0) || || || |SZ=. }} Das zur Kurve {{mathl|term= f \circ \gamma |SZ=}} gehörige totale Differential in {{math|term= 0 |SZ=}} von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= W |SZ=,}} also {{mathl|term= {{op:Totales Differential| (f \circ \gamma)| 0}} |SZ=,}} ist durch {{mathl|term= 1 \mapsto {{makl| f \circ \gamma |}}'(0) |SZ=}} festgelegt. Andererseits ist nach der {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential|(f \circ \gamma)| 0}} || {{op:Totales Differential| f | \gamma(0)}} \circ {{op:Totales Differential| \gamma | 0}} || || || |SZ= }} und somit ist {{ Relationskette/align | {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}} | P |v}} || {{makl| f \circ \gamma |}}'(0) || {{op:Totales Differential|(f \circ \gamma)| 0}} (1) || {{makl| {{op:Totales Differential| f | \gamma(0)}} \circ {{op:Totales Differential| \gamma | 0}} |}} (1) || {{op:Totales Differential| f | \gamma(0)}} ( {{op:Totales Differential| \gamma | 0}} (1) ) || {{op:Totales Differential| f | \gamma(0)}} ( \gamma'(0) ) || {{op:Totales Differential| f | P}} (v ) || |SZ=. }} Dies ergibt einen neuen Beweis für {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1toqm3etrc05e8q6lhylwtrg33onybp 0 52798 1100558 1034838 2026-06-17T10:28:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100558 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} offen und {{ Abbildung |name= {{{f|f}}} | G |\R^m || |SZ= }} eine in {{ Relationskette |P | \in | G || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |total differenzierbare Abbildung| |Kontext=R| |SZ=. }} Dann existieren {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=und nach||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}_j | x_i }} |SZ= }} im Punkt {{math|term= P |SZ=.}} Daher existiert die{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text= {{:Abbildung/Dimension und Index/Jacobi/Benennung/Problematik/Bemerkung}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Jacobimatrix| n | m | {{{f|f}}} | x | P}} |SZ=. }} Diese Matrix beschreibt das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=R| |SZ= }} bezüglich der Standardbasen im {{ mathkor|term1= \R^n |und|term2= \R^m |SZ=. }} Es ist ja nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| f | P |e_i }} || {{op:Richtungsableitung| f | P |e_i |}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f_1 | x_i | P}} | \vdots | {{op:Partielle Ableitung|f_m | x_i | P}} }} || || |SZ= }} und dies ist die {{math|term= i |SZ=-}}te Spalte der Jacobimatrix. Durch diese Eigenschaft ist aber die {{ Definitionslink |beschreibende Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis festgelegt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4tkmzjs9xwnkjei1klloyn6e67f19ph 0 52840 1100077 983669 2026-06-17T07:16:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R^2|\R |(x,y)| x^2+y^2 |SZ=, }} hat in {{ Relationskette |P || (0,0) || || || |SZ= }} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und überall sonst positive Werte, daher liegt in {{math|term= P |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=isoliertes| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |globales Minimum| |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skzn0wfraofafu9522lhat8wg8jxhbe 0 52841 1100285 1038042 2026-06-17T07:51:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100285 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Verhalten der Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R^2|\R |(x,y)| x^2-y^2 |SZ=. }} in {{ Relationskette |P ||(0,0) || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=abb| |SZ= }} dieser Funktion auf die durch {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} gegebene Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=also auf der {{math|term= x |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} ist die Funktion {{mathl|term= x \mapsto x^2 |SZ=,}} die in {{math|term= P |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=isoliertes| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |globales Minimum| |Kontext=| |SZ= }} besitzt. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} gegebene Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=also auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} ist die Funktion {{mathl|term= y \mapsto -y^2 |SZ=,}} die in {{math|term= P |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=isoliertes| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |globales Maximum| |Kontext=| |SZ= }} besitzt. Daher kann {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} kein Extremum besitzen. Auf den durch {{ Relationskette | y || x || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || -x || || || |SZ= }} gegebenen Geraden ist die Funktion die Nullfunktion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fd6a3478hrgo2setasnbjwyhigczvbx 0 52842 1099878 1084974 2026-06-17T06:44:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099878 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \R^2 |SZ=}} die beiden Kreise {{ mathkor|term1= K_1 |und|term2= K_2 |SZ=, }} wobei {{math|term= K_1 |SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} und Radius {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= K_2 |SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2) |SZ=}} und Radius {{math|term= 2 |SZ=}} habe. {{math|term= K_1 |SZ=}} liegt innerhalb von {{math|term= K_2 |SZ=,}} und die beiden Kreise berühren sich in {{ Relationskette |P ||(0,0) || || || |SZ=. }} Durch diese beiden Kreise wird die Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=neben den zwei Kreislinien selbst| |ISZ=|ESZ= }} in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises {{math|term= K_1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = A |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = B |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und das Äußere von {{math|term= K_2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = C |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Der innere Kreis {{math|term= K_1 |SZ=}} wird als Nullstelle der Funktion {{ Relationskette/display | f_1(x,y) || x^2+(y-1)^2 -1 || || || || |SZ= }} beschrieben. Im Innern von {{math|term= K_1 |SZ=}} ist diese Funktion negativ, auf {{math|term= K_1 |SZ=}} hat sie den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für {{math|term= K_2 |SZ=}} und die Funktion {{ Relationskette | f_2(x,y) || x^2+(y-2)^2 -4 || || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette/align | f(x,y) | {{defeq|}} |f_1(x,y) \cdot f_2(x,y) || {{makl| x^2+(y-1)^2 -1 |}} \cdot {{makl| x^2+(y-2)^2 -4 |}} || {{makl| x^2+y^2 -2y |}} \cdot {{makl| x^2+y^2 -4y |}} || x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 |SZ=. }} Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} an, sie ist auf {{math|term= A |SZ=}} positiv, auf {{math|term= B |SZ=}} negativ und auf {{math|term= C |SZ=}} wieder positiv. Die Funktion {{math|term= f |SZ=}} besitzt in {{math|term= P |SZ=}} kein lokales Minimum, da sie dort den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung {{mathl|term= {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} |SZ=}} den Bereich {{math|term= B |SZ=}} trifft, wo {{math|term= f |SZ=}} negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein {{ Definitionslink |lokales Minimum| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei dazu {{math|term= G |SZ=}} eine solche Gerade. Wenn {{math|term= G |SZ=}} die {{math|term= x |SZ=-}}Achse ist, so verläuft diese Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf {{math|term= P |SZ=}} selbst| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= C |SZ=,}} wo {{math|term= f |SZ=}} nur positive Werte annimmt, sodass in {{math|term= P |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=sogar globales| |ISZ=|ESZ= }} Minimum vorliegt. Es sei also {{math|term= G |SZ=}} eine von der {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschiedene Gerade durch {{math|term= P |SZ=.}} Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in {{math|term= C |SZ=,}} wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von {{math|term= P |SZ=,}} zuerst in {{math|term= A |SZ=,}} dann in {{math|term= B |SZ=}} und schließlich wieder in {{math|term= C |SZ=.}} Da die Funktion auf {{math|term= A |SZ=}} positiv ist, kann man ein Teilintervall {{mathl|term= [- \delta, \delta] |SZ=}} der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück {{ Zusatz/Klammer |text=abgesehen von {{math|term= P |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nur in {{ mathkor|term1= A |und|term2= C |SZ= }} verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in {{math|term= P |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende {{math|term= \delta |SZ=}} hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames {{math|term= \delta|SZ=}} für alle Geraden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Quadriken in zwei Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ov62bm8ocw7tj0qubkn9ebr5pov2a2v 1100454 1099878 2026-06-17T08:39:03Z Bocardodarapti 2041 1100454 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |El Ojo island|png|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=El_Ojo_island |Text= |Autor= |Benutzer=Crum375 |Domäne= |Lizenz=CC BY 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten im {{math|term= \R^2 |SZ=}} die beiden Kreise {{ mathkor|term1= K_1 |und|term2= K_2 |SZ=, }} wobei {{math|term= K_1 |SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} und Radius {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= K_2 |SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2) |SZ=}} und Radius {{math|term= 2 |SZ=}} habe. {{math|term= K_1 |SZ=}} liegt innerhalb von {{math|term= K_2 |SZ=,}} und die beiden Kreise berühren sich in {{ Relationskette |P ||(0,0) || || || |SZ=. }} Durch diese beiden Kreise wird die Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=neben den zwei Kreislinien selbst| |ISZ=|ESZ= }} in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises {{math|term= K_1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = A |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = B |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und das Äußere von {{math|term= K_2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = C |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Der innere Kreis {{math|term= K_1 |SZ=}} wird als Nullstelle der Funktion {{ Relationskette/display | f_1(x,y) || x^2+(y-1)^2 -1 || || || || |SZ= }} beschrieben. Im Innern von {{math|term= K_1 |SZ=}} ist diese Funktion negativ, auf {{math|term= K_1 |SZ=}} hat sie den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für {{math|term= K_2 |SZ=}} und die Funktion {{ Relationskette | f_2(x,y) || x^2+(y-2)^2 -4 || || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette/align | f(x,y) | {{defeq|}} |f_1(x,y) \cdot f_2(x,y) || {{makl| x^2+(y-1)^2 -1 |}} \cdot {{makl| x^2+(y-2)^2 -4 |}} || {{makl| x^2+y^2 -2y |}} \cdot {{makl| x^2+y^2 -4y |}} || x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 |SZ=. }} Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} an, sie ist auf {{math|term= A |SZ=}} positiv, auf {{math|term= B |SZ=}} negativ und auf {{math|term= C |SZ=}} wieder positiv. Die Funktion {{math|term= f |SZ=}} besitzt in {{math|term= P |SZ=}} kein lokales Minimum, da sie dort den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung {{mathl|term= {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} |SZ=}} den Bereich {{math|term= B |SZ=}} trifft, wo {{math|term= f |SZ=}} negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein {{ Definitionslink |lokales Minimum| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei dazu {{math|term= G |SZ=}} eine solche Gerade. Wenn {{math|term= G |SZ=}} die {{math|term= x |SZ=-}}Achse ist, so verläuft diese Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf {{math|term= P |SZ=}} selbst| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= C |SZ=,}} wo {{math|term= f |SZ=}} nur positive Werte annimmt, sodass in {{math|term= P |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=sogar globales| |ISZ=|ESZ= }} Minimum vorliegt. Es sei also {{math|term= G |SZ=}} eine von der {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschiedene Gerade durch {{math|term= P |SZ=.}} Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in {{math|term= C |SZ=,}} wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von {{math|term= P |SZ=,}} zuerst in {{math|term= A |SZ=,}} dann in {{math|term= B |SZ=}} und schließlich wieder in {{math|term= C |SZ=.}} Da die Funktion auf {{math|term= A |SZ=}} positiv ist, kann man ein Teilintervall {{mathl|term= [- \delta, \delta] |SZ=}} der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück {{ Zusatz/Klammer |text=abgesehen von {{math|term= P |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nur in {{ mathkor|term1= A |und|term2= C |SZ= }} verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in {{math|term= P |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende {{math|term= \delta |SZ=}} hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames {{math|term= \delta|SZ=}} für alle Geraden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Quadriken in zwei Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fsnuzvbv0mo1513mjw7mrizb6ig4rbt 1100455 1100454 2026-06-17T08:40:14Z Bocardodarapti 2041 1100455 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |El Ojo island|png|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=El_Ojo_island |Text=[[w:El Ojo|El Ojo]] in Argentinien |Autor= |Benutzer=Crum375 |Domäne= |Lizenz=CC BY 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten im {{math|term= \R^2 |SZ=}} die beiden Kreise {{ mathkor|term1= K_1 |und|term2= K_2 |SZ=, }} wobei {{math|term= K_1 |SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} und Radius {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= K_2 |SZ=}} den Mittelpunkt {{mathl|term= (0,2) |SZ=}} und Radius {{math|term= 2 |SZ=}} habe. {{math|term= K_1 |SZ=}} liegt innerhalb von {{math|term= K_2 |SZ=,}} und die beiden Kreise berühren sich in {{ Relationskette |P ||(0,0) || || || |SZ=. }} Durch diese beiden Kreise wird die Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=neben den zwei Kreislinien selbst| |ISZ=|ESZ= }} in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises {{math|term= K_1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = A |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = B |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und das Äußere von {{math|term= K_2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= = C |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Der innere Kreis {{math|term= K_1 |SZ=}} wird als Nullstelle der Funktion {{ Relationskette/display | f_1(x,y) || x^2+(y-1)^2 -1 || || || || |SZ= }} beschrieben. Im Innern von {{math|term= K_1 |SZ=}} ist diese Funktion negativ, auf {{math|term= K_1 |SZ=}} hat sie den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für {{math|term= K_2 |SZ=}} und die Funktion {{ Relationskette | f_2(x,y) || x^2+(y-2)^2 -4 || || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette/align | f(x,y) | {{defeq|}} |f_1(x,y) \cdot f_2(x,y) || {{makl| x^2+(y-1)^2 -1 |}} \cdot {{makl| x^2+(y-2)^2 -4 |}} || {{makl| x^2+y^2 -2y |}} \cdot {{makl| x^2+y^2 -4y |}} || x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 |SZ=. }} Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} an, sie ist auf {{math|term= A |SZ=}} positiv, auf {{math|term= B |SZ=}} negativ und auf {{math|term= C |SZ=}} wieder positiv. Die Funktion {{math|term= f |SZ=}} besitzt in {{math|term= P |SZ=}} kein lokales Minimum, da sie dort den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung {{mathl|term= {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} |SZ=}} den Bereich {{math|term= B |SZ=}} trifft, wo {{math|term= f |SZ=}} negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein {{ Definitionslink |lokales Minimum| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei dazu {{math|term= G |SZ=}} eine solche Gerade. Wenn {{math|term= G |SZ=}} die {{math|term= x |SZ=-}}Achse ist, so verläuft diese Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf {{math|term= P |SZ=}} selbst| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= C |SZ=,}} wo {{math|term= f |SZ=}} nur positive Werte annimmt, sodass in {{math|term= P |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=sogar globales| |ISZ=|ESZ= }} Minimum vorliegt. Es sei also {{math|term= G |SZ=}} eine von der {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschiedene Gerade durch {{math|term= P |SZ=.}} Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in {{math|term= C |SZ=,}} wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von {{math|term= P |SZ=,}} zuerst in {{math|term= A |SZ=,}} dann in {{math|term= B |SZ=}} und schließlich wieder in {{math|term= C |SZ=.}} Da die Funktion auf {{math|term= A |SZ=}} positiv ist, kann man ein Teilintervall {{mathl|term= [- \delta, \delta] |SZ=}} der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück {{ Zusatz/Klammer |text=abgesehen von {{math|term= P |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nur in {{ mathkor|term1= A |und|term2= C |SZ= }} verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in {{math|term= P |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende {{math|term= \delta |SZ=}} hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames {{math|term= \delta|SZ=}} für alle Geraden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Quadriken in zwei Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k68lwkifu7gezp7oulpmcg28vv37un9 0 52866 1100066 1085169 2026-06-17T07:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100066 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ Abbildung/display |name=g |\R|\R | t |g(t) {{=|}} 1-t^3 |SZ=, }} und das {{ Definitionslink |Einheitsintervall| |SZ= }} {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte {{ Relationskette | 0 | < | x | < | y | < | 1 || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |SZ= }} der zugehörigen {{ Zusatz/Klammer |text=dreistufigen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |unteren Treppenfunktion| |SZ= }} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion {{ Relationskette/display | f(x,y) || x {{makl| 1-x^3 |}} + {{makl| y-x |}} {{makl| 1-y^3 |}} || x-x^4+y-y^4-x+xy^3 || -x^4+y-y^4 +xy^3 || |SZ= }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} dieser Funktion sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || -4x^3+y^3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || 1 -4y^3 +3xy^2 || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |SZ=. }} Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette/display | y || \sqrt[3]{4} x || || || |SZ= }} und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung {{ Relationskette/display | 1 -16 x^3 +3 \cdot 4^{2/3}x^3 || 0 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | {{makl| 16 - 3 \cdot 4^{2/3} |}} x^3 || 1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| 1 | \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} }||}} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display | P || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1 | \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} }||}} | {{op:Bruch| \sqrt[3]{4}| \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} }||}} }} | \cong| {{op:Zeilenvektor| 0,4911 | 0,7796}} || || || |SZ= }} der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |SZ= }} in diesem Punkt, sie ist {{ Relationskette/display | {{op:Hesse| f | P}} || {{op:Matrix22| -12x^2| 3y^2| 3y^2| -12y^2+6xy }} || || || |SZ= }} und in {{math|term= P |SZ=}} gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix22 | - 2,8942| 1,8233| 1,8233 | -4,9961 }} |SZ=, }} also {{ Definitionslink |negativ definit| |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Nr= |SZ=. }} Daher liegt in {{math|term= P |SZ=}} ein Maximum {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pnt21ecdhytvd4wx4n4wznoo57yc7yt 0 52869 1100067 1085170 2026-06-17T07:14:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100067 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ Abbildung/display |name=g |\R|\R | t |t |SZ=, }} und das {{ Definitionslink |Einheitsintervall| |SZ= }} {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} bestimmen, für welche {{math|term= n |SZ=}} Unterteilungspunkte {{ Relationskette | 0 | < | x_1 | <| \ldots | <| x_n | < | 1 |SZ= }} das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |SZ= }} der zugehörigen {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=(n+1) |SZ=-}}stufigen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |unteren Treppenfunktion| |SZ= }} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion {{ Relationskette/align/handlinks | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || x_1(x_2-x_1) +x_2(x_3-x_2) {{plusdots|}} x_{n-1} (x_n-x_{n-1}) + x_n(1-x_n) || \sum_{i {{=|}} 1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} +x_n - \sum_{i {{=|}} 1}^n x_i^2 || || |SZ= }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} dieser Funktion sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_1 }} || x_2 -2x_1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_i }} || x_{i-1} +x_{i+1} -2x_i || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i || 2 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_n }} || x_{n-1} + 1 - 2x_n || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |SZ=, }} indem wir die partiellen Ableitungen gleich {{math|term= 0 |SZ=}} setzen. Die ersten {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen {{ Relationskette/display | x_i || i x_1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=.}} Dies zeigt man durch {{ Definitionslink |Induktion| |SZ=, }} der Induktionsanfang {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |i || 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist trivial, {{ Relationskette |i || 2 || || || |SZ= }} folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus {{ Relationskette/display | x_{i+1} || -x_{i-1} +2x_i || -(i-1)x_1 +2ix_1 || (i+1 ) x_1 || |SZ=. }} Aus der letzen Gleichung folgt schließlich {{ Relationskette/display | 0 || x_{n-1} +1 -2x_n || 1 +( n-1 -2n ) x_1 || 1 -(n+1) x_1 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | x_1 || {{op:Bruch| 1 |n+1}} || || || |SZ=. }} Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom Punkt| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix66| -2| 1 | 0 | \ldots| \ldots| 0 | 1 | -2| 1 | 0 | \ldots| 0 | 0| 1 | -2| 1 | \ddots| 0 |\vdots| \ddots| \ddots| \ddots| \ddots|\vdots| 0 | \ldots| 0 | 1 | -2| 1 | 0 | \ldots| \ldots | 0 | 1 | -2|}} |SZ=. }} Diese Matrix ist {{ Definitionslink |negativ definit| |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Nr= |SZ=. }} Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |SZ= }} das Maximum vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8naiawaxzvlv6p4s75o0oqthwb081i 0 52872 1100702 1085809 2026-06-17T10:49:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100702 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=g | [a,b] |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R| |SZ= }} und {{ Relationskette/display |a || x_0 | < | x_1 | < | x_2 | < | \ldots | < | x_n | < | x_{n+1} || b |SZ= }} eine Unterteilung des Intervalls durch {{math|term= n |SZ=}} Zwischenpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=in {{mathlk|term=n+1 |SZ=}} Teilintervalle| |ISZ=|ESZ=. }} Dazu gehört die {{ Definitionslink |Treppenfunktion| |SZ=, }} die auf {{mathl|term= [x_i,x_{i+1}[ |SZ=}} den konstanten Wert {{mathl|term= g(x_i) |SZ=}} annimmt. Wenn {{math|term= g |SZ=}} {{ Definitionslink |monoton wachsend| |SZ= }} ist, so ist dies eine {{ Definitionslink |untere Treppenfunktion| |SZ=, }} und das zugehörige {{ Definitionslink |Treppenintegral| |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |untere Schranke| |SZ= }} für das {{ Definitionslink |bestimmte Integral| |SZ= }} {{mathl|term= \int_a^b g(t)dt |SZ=.}} Das Treppenintegral ist durch {{ Relationskette/display | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || \sum_{i {{=}} 0}^n g(x_i) {{makl| x_{i+1} -x_i |}} || || || |SZ= }} gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit {{math|term= n |SZ=}} Teilpunkten das Treppenintegral {{ Definitionslink |maximal| |SZ= }} oder {{ Definitionslink |minimal| |SZ= }} wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich den variablen Unterteilungspunkten {{mathlk|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} vorausgesetzt, dass {{math|term= g |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=hinreichend oft| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=1 R| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in einer Variablen| |ISZ=|ESZ= }} ist. In diesem Fall sind die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_i }} || g'(x_i) {{makl| x_{i+1}-x_i |}} -g(x_i)+g(x_{i-1}) || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{ Relationskette/k | x_0 || a || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | x_{n+1} || b || || || |SZ= }} zu lesen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Als Definitionsbereich von {{math|term= f |SZ=}} kann man die offene Menge {{ Relationskette/display | {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_n)|a <x_1 <x_2 < \ldots < x_n <b }} | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} oder aber {{mathl|term= [a,b]^n |SZ=}} wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0d7f043nye3sysk6s9a0rg83miuzl25 0 52936 1099685 1084783 2026-06-17T06:14:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099685 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für das {{ Definitionslink |Differentialgleichungssystem| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x'| y'}} || {{op:Spaltenvektor| x^2-ty|txy}} || F(t,x,y) || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x(0)| y(0)}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 1}} || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Polygonzugverfahren/Verfahren |Nr= |SZ= }} einen approximierenden Streckenzug berechnen. Wir wählen die Schrittweite {{ Relationskette |s || {{op:Bruch| 1 | 10}} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display | P_0 || {{op:Spaltenvektor| 1 | 1}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_1 || P_0 + {{op:Bruch| 1 | 10}} F {{makl| 0 , P_0 |}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 1}} + {{op:Bruch| 1 | 10}} {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 }} || {{op:Spaltenvektor| 1,1 | 1 }} |SZ=, }} {{ Relationskette/align | P_2 || P_1 + {{op:Bruch| 1 | 10}} F {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} , P_1 |}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 11| 10}} | 1 }} + {{op:Bruch| 1 | 10}} {{op:Spaltenvektor| {{makl| {{op:Bruch| 11| 10}} |}}^2 - {{op:Bruch| 1 | 10}} \cdot 1 | {{op:Bruch| 1 | 10}} \cdot {{op:Bruch| 11| 10}} \cdot 1 }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 11| 10}} | 1 }} + {{op:Bruch| 1 | 10}} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 111| 100}} | {{op:Bruch| 11| 100}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1211| 1000}} | {{op:Bruch| 1011| 1000}} }} || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | P_3 || P_2 + {{op:Bruch| 1 | 10}} F {{makl| {{op:Bruch| 2 | 10}} , P_2 |}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1211| 1000}} | {{op:Bruch| 1011| 1000}} }} + {{op:Bruch| 1 | 10}} {{op:Spaltenvektor| {{makl| {{op:Bruch| 1211| 1000}} |}} ^2 - {{op:Bruch| 2 | 10}} \cdot {{op:Bruch| 1011| 1000}} | {{op:Bruch| 2 | 10}} \cdot {{op:Bruch| 1211| 1000}} \cdot {{op:Bruch| 1011| 1000}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1211| 1000}} | {{op:Bruch| 1011| 1000}} }} + {{op:Bruch| 1 | 10}} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1264321| 1000000}} | {{op:Bruch| 2448642| 10 000 000|}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 133743210| 100 000 000|}} | {{op:Bruch| 103548642| 100 000 000|}} }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Polygonzugverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2zq7rtf7ivyjj11z3phqweahbcm0q9 0 52958 1100633 1085722 2026-06-17T10:38:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100633 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} {{plusdots|}} a_1y' +a_0 y + f(t) || 0 || || || |SZ= }} eine lineare {{ Definitionslink |gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung| |Kontext=| |SZ= }} mit konstanten Koeffizienten, d.h. die {{math|term= a_i |SZ=}} sind reelle {{ Zusatz/Klammer |text=oder komplexe| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen. Das {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt |Nr= |SZ= }} zugehörige Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|v_0 |v_1 |\vdots|v_{n-2}|v_{n-1} }}' || {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 |\vdots|v_{n-1}| {{{h|h}}}(t, v_0,v_1 {{kommadots|}} v_{n-1}) }} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | v_i | {{defeq|}} | y^{(i)} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display/handlinks | {{{h|h}}} (t, v_0,v_1 {{kommadots|}} v_{n-1}) | {{defeq|}} | -a_{n-1} v_{n-1} {{minusdots|}} a_1y v_1-a_0 v_0 - f(t) || || || |SZ= }} wird in dieser Situation zum {{ Definitionslink |linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Spaltenvektor|v_0 |v_1 |\vdots|v_{n-2}|v_{n-1} }}' || {{begleitmatrix/unten|}} {{op:Spaltenvektor|v_0 |v_1 |\vdots|\vdots|v_{n-2}|v_{n-1}|}} + {{op:Spaltenvektor| 0 | 0|\vdots|\vdots| 0 | -f(t)}} || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Das charakteristische Polynom (Differentialgleichung) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6lgjn24312vz8624kgebpen14njktc 0 52959 1099788 1084891 2026-06-17T06:30:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099788 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer linearen {{ Definitionslink |gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung| |Kontext=| |SZ= }} mit konstanten Koeffizienten {{ Relationskette/display | y^{\prime \prime} +a_1 y^\prime + a_0 y || 0 || || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Differentialgleichung höherer Ordnung/Linear konstant/System/Charakteristisches Polynom/Bemerkung |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= t^2 +a_1t+a_0 |SZ=. }} Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist {{ Relationskette/display | t_{1,2} || - {{op:Bruch|a_1 | 2}} \pm \sqrt{ {{op:Bruch|a_1^2| 4}} -a_0 } || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das charakteristische Polynom (Differentialgleichung) |Kategorie2=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7eky0byvro48ckpi5hfjkrnrogrrg21 0 53043 1099684 1084795 2026-06-17T06:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099684 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)|e^y {{op:sin| x |}} -3xy |SZ=, }} und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung {{math|term= 3 |SZ=}} dazu im Nullpunkt berechnen. Das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=n| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 0 |SZ=}} ist das konstante Nullpolynom, da {{ Relationskette | f(0,0) || 0 || || || |SZ= }} ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung| f | x}} = e^y {{op:cos| x |}} -3y |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| f | y}} = e^y {{op:sin| x |}} -3x |SZ= }} mit den Werten {{ mathbed|term= 1 |und|bedterm1= 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Daher ist {{math|term= x |SZ=}} die lineare Approximation zu {{math|term= f |SZ=,}} also das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=.}} Für das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || - e^y {{op:sin| x |}} || || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || e^y {{op:cos| x |}} -3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || e^y {{op:sin| x |}} || || || |SZ=. }} Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind der Reihe nach {{mathl|term= 0,-2,0 |SZ=,}} sodass das zweite Taylor-Polynom {{ Zusatz/Klammer |text=also die quadratische Approximation| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Math/display|term= x -2 xy |SZ= }} ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung {{math|term= 3 |SZ=}} berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || - e^y {{op:cos| x |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung|| x}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || - e^y {{op:sin| x |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || e^y {{op:cos| x |}} || || || || |SZ=, }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung|| y}} {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || e^y {{op:sin| x |}} || || || |SZ=. }} Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind {{mathl|term= -1,0,1,0 |SZ=,}} sodass {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Relationskette/k | (3,0)! || 6 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | (1,2)! || 2 || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} das dritte Taylor-Polynom gleich {{ Math/display|term= x -2 xy - {{op:Bruch| 1 | 6}} x^3 + {{op:Bruch| 1 | 2}} xy^2 |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6adddhh4i7esiadf67mdadwt4amjddw 0 53126 1100046 1085151 2026-06-17T07:11:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |homogene lineare Differentialgleichungssystem| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x | y}}^\prime || {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 1 |t}} |t-1| 0 | {{op:Bruch| 2t|t^2+1}} }} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |t | > | 0 || || || |SZ=. }} Die zweite Zeile dieses Systems bedeutet {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| 2t|t^2+1}} \cdot y || || || |SZ=, }} das ist eine homogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Ihre Lösungen sind {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | y(t) || c {{makl| t^2+1 |}} || ct^2+c || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette |c | \in |\R || || || |SZ=. }} Die erste Zeile des Systems führt daher auf {{ Relationskette/align | x' || {{op:Bruch| 1 |t}} x + (t-1) y || {{op:Bruch| 1 |t}} x + c(t-1) {{makl| t^2+1 |}} || {{op:Bruch| 1 |t}} x + c {{makl| t^3-t^2+t-1 |}} || |SZ=. }} Dies ist eine {{ Definitionslink |inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen| |SZ=. }} Die zugehörige homogene Gleichung {{ Relationskette | x' || {{op:Bruch| 1 |t}} x || || || |SZ= }} besitzt {{math|term= t |SZ=}} als eine Lösung. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |SZ= }} müssen wir eine Stammfunktion von {{ Relationskette/display | c {{op:Bruch|t^3-t^2+t-1 |t}} || c {{makl| t^2-t+1- {{op:Bruch| 1 |t}} |}} || || || |SZ= }} finden, eine solche ist {{ Math/display|term= c {{makl| {{op:Bruch| 1 | 3}} t^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 +t - {{op:ln| t |}} |}} +d |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display/handlinks | t {{makl| c {{makl| {{op:Bruch| 1 | 3}} t^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 +t - {{op:ln| t |}} }} +d |}} || {{op:Bruch| c | 3}} t^4 - {{op:Bruch| c | 2}} t^3 +ct^2 - ct {{op:ln| t |}} +d t || || || |SZ= }} die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Also ist die allgemeine Lösung des Systems gleich {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| c | 3}} t^4 - {{op:Bruch| c | 2}} t^3 +ct^2 - ct {{op:ln| t |}} +d t |ct^2+c }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mktb92qkvsujkcnkbqwyjxjkwnqy76e 0 53137 1100652 1035639 2026-06-17T10:41:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100652 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein Polynom {{math|term= f |SZ=}} vom Grad {{math|term= d |SZ=}} stimmt mit seinem {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=n| |SZ= }} vom Grad {{ Relationskette |k | \geq |d || || || |SZ= }} im Nullpunkt {{ Relationskette | 0 || (0 {{kommadots|}} 0) || || || |SZ= }} überein. Wegen {{ Faktlink |Präwort=der|Additivität der Richtungsableitungen|Faktseitenname= Richtungsableitung/R/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} muss man dies nur für {{ Relationskette |f || a x_1^{r_1 } \cdots x_n^{r_n } || || || |SZ= }} überprüfen. Es ist aber {{ Relationskette/display | D^r f (0) || D_1^{r_1 } \cdots D_n^{r_n } f (0) || {{makl| r_1! |}} \cdots {{makl| r_n! |}} a || r! a || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | D^s f(0) || 0 || || || |SZ= }} für jedes {{math|term= n |SZ=-}}Tupel {{ Relationskette |s || (s_1 {{kommadots|}} s_n) |\neq| r || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monom/R/Höhere partielle Ableitung/Nullpunkt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wenn man zu einem Polynom {{math|term= f |SZ=}} die Taylor-Polynome in einem Punkt {{ Relationskette/display | P || (a_1 {{kommadots|}} a_n) || || || |SZ= }} berechnen möchte, so kann man {{ Zusatz/Klammer |text=neben der Berechnung der Ableitungen| |ISZ=|ESZ= }} auch folgendermaßen vorgehen: Man schreibt das Polynom {{math|term= f |SZ=}} in den Variablen {{ Relationskette | y_i || x_i-a_i || || || || |SZ=. }} Dazu ersetzt man in {{math|term= f |SZ=}} die Variablen {{math|term= x_i |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | x_i || x_i -a_i +a_i || y_i +a_i || || |SZ= }} und rechnet dies aus, bis ein Polynom in {{math|term= y_i |SZ=}} dasteht. Aus diesem Polynom sind die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt {{math|term= P |SZ=}} direkt ablesbar. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ba8mw2v6tf66mb5jpfykm22d3se7ywr 0 53213 1100394 1085522 2026-06-17T08:08:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100394 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Vektorfeld| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=F |\R^2|\R^2 |(x,y)|(-3x,5y) |SZ=. }} Für einen {{ Definitionslink |stetig differenzierbaren Weg| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\gamma | [a,b] |\R^2 | t | \gamma(t) |SZ=, }} ist das {{ Definitionslink |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |SZ= }} zu diesem Vektorfeld gleich {{ Relationskette/align/handlinks | \int_\gamma F || \int_{a}^b {{op:Skalarprodukt|F(\gamma(t))| \gamma'(t)}} dt || \int_{a}^b -3 \gamma_1(t) \cdot \gamma_1'(t) + 5 \gamma_2(t) \cdot \gamma_2'(t) dt || {{op:Integralstamm|stamm= {{makl| - {{op:Bruch| 3 | 2}} ( \gamma_1(t) )^2 + {{op:Bruch| 5 | 2}} ( \gamma_2(t) )^2 |}} | a |b}} || - {{op:Bruch| 3 | 2}} ( \gamma_1(b) )^2 + {{op:Bruch| 5 | 2}} ( \gamma_2(b) )^2 + {{op:Bruch| 3 | 2}} ( \gamma_1(a) )^2 - {{op:Bruch| 5 | 2}} ( \gamma_2(a) )^2 |SZ=. }} Insbesondere hängt dieser Wert nur von {{ mathkor|term1= \gamma(a) |und|term2= \gamma(b) |SZ= }} ab, also dem Anfangspunkt und dem Endpunkt der Bewegung, nicht aber vom Verlauf des Weges.{{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bd9upgxu4qv6g692ohr4t624fvfwyxm 0 53355 1099817 1035430 2026-06-17T06:34:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099817 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine lineare Abbildung von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} ist die Multiplikation mit einer festen Zahl {{ Relationskette |a | \in |\R || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dem {{Stichwort|Streckungsfaktor|SZ=}} oder {{Stichwort|Proportionalitätsfaktor|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Daher ist jede Zahl {{ Relationskette |v |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= a |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |SZ= }} zu diesem Eigenwert ist ganz {{math|term= \R|SZ=.}} Es gibt neben {{math|term= a |SZ=}} keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu {{ Relationskette | \lambda |\neq|a || || || |SZ= }} sind {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bkaohl0x74i1gusa12xm2noc1aa353r 0 53356 1099818 1084921 2026-06-17T06:34:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099818 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \R^2 |SZ=}} nach {{math|term= \R^2 |SZ=}} ist bezüglich der {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |Prämath=2\times 2 |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} gegeben. Wir betrachten die Eigenwerte zu einigen elementaren Beispielen. Eine {{ Definitionslink |Streckung| |Kontext=| |SZ= }} ist durch {{mathl|term= v \mapsto av|SZ=}} mit einem Streckungsfaktor {{ Relationskette |a | \in | \R || || || |SZ= }} gegeben. Jeder Vektor {{ Relationskette |v |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |Kontext=| |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= a |SZ=}} und der Eigenraum zu diesem Eigenwert ist ganz {{math|term= \R^2 |SZ=.}} Es gibt neben {{math|term= a |SZ=}} keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu {{ Relationskette | \lambda |\neq|a || || || |SZ= }} sind {{math|term= 0 |SZ=.}} Die Identität besitzt den einzigen Eigenwert {{math|term= 1 |SZ=.}} Eine {{ Definitionslink |Achsenspiegelung| |Kontext=| |SZ= }} an der {{math|term= x |SZ=-}}Achse wird durch die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| -1}} |SZ=}} beschrieben. Der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= 1 |SZ=}} ist die {{math|term= x |SZ=-}}Achse, der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= -1 |SZ=}} ist die {{math|term= y |SZ=-}}Achse. Ein Vektor {{mathl|term= (s,t) |SZ=}} mit {{ Relationskette |s,t |\neq| 0 || || || |SZ= }} kann kein Eigenvektor sein, da die Gleichung {{ Relationskette/display | (s,-t) || \lambda (s,t) || || || |SZ= }} dann keine Lösung besitzt. Eine {{ Definitionslink |ebene Drehung| |Kontext=| |SZ= }} wird durch die Drehmatrix {{mathl|term= {{op:Drehmatrix|\alpha}} |SZ=}} zu einem Drehwinkel {{ mathbed|term= \alpha ||bedterm1= 0 \leq \alpha <2 \pi ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben. Bei {{ Relationskette |\alpha || 0 || || || |SZ= }} liegt die Identität vor, bei {{ Relationskette |\alpha || \pi || || || |SZ= }} liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor {{math|term= -1 |SZ=.}} Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, sodass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen {{ Zusatz/Klammer |text=und alle Eigenräume {{math|term= 0 |SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3yng30x3778pw0lxtxc0luqvvu8asul 0 53395 1099772 1084876 2026-06-17T06:27:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099772 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die reelle Matrix {{ Relationskette |M || {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} || {{op:Determinante| {{makl| x E_2 -M |}} |}} || {{op:Determinante| {{makl| x {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| 1}} - {{op:Matrix22| 0 | 5 | 1 | 0}} |}} |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x | -5| -1| x}} |}} || x^2-5 || |SZ=. }} Die Eigenwerte sind also {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{5} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=diese Eigenwerte haben wir auch in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Matrix/Eigenwerte/0510/Q und R/Beispiel |SZ= }} ohne charakteristisches Polynom gefunden| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Das charakteristische Polynom von Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5krkj8lb5tikfhbyjk16zrevxhcrr1y 0 53501 1100245 1085375 2026-06-17T07:44:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100245 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine reelle {{math|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Matrix {{ Relationskette |M || {{op:Matrix22| a | b | c |d}} || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} || {{op:Determinante| {{makl| x E_2 - M |}} |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x-a| -b| -c| x-d}} |}} || (x-a)(x-d)-bc || x^2 -(a+d)x +ad-bc || {{makl| x- {{op:Bruch|a+d| 2}} |}}^2 - {{makl| {{op:Bruch|a+d| 2}} |}}^2 +ad-bc || {{makl| x- {{op:Bruch|a+d| 2}} |}}^2- {{makl| {{op:Bruch|a-d| 2}} |}}^2 -bc |SZ=. }} Dieses Polynom zerfällt in {{ Zusatz/Klammer |text=reelle| |ISZ=|ESZ= }} Linearfaktoren genau dann, wenn {{ Relationskette | {{makl| {{op:Bruch|a-d| 2}} |}}^2 +bc | \geq | 0 || || || |SZ= }} ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix {{ Faktlink |Präwort=nach| |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt |Faktseitenname2= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |trigonalisierbar| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oz7f0uemikj3dkobmxrgvos47v3u8bs 0 53543 1100634 1035424 2026-06-17T10:38:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100634 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{:Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Situation|K=\R |SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name=z |\R| {{CC}}^n | || |SZ= }} eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben {{ Relationskette | z(t) || u(t) + {{imaginäre Einheit|}} v(t) || || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= u,v |SZ=}} differenzierbare Kurven im {{math|term= \R^n |SZ=}} sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei {{ Relationskette/display | \overline{z}(t) || u(t) - {{imaginäre Einheit|}} v(t) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |konjugiert-komplexe| |SZ= }} Funktion zu {{math|term= z |SZ=.}} Dann ist wegen {{ Relationskette/display | M \overline{z(t)} || \overline{M} \overline{z(t)} || \overline{z'(t)} || \overline{z}'(t) || || |SZ= }} auch {{math|term= \overline{z} |SZ=}} eine Lösungsfunktion. Wegen {{ Math/display|term= u(t) = {{op:Bruch|z(t)+ \overline{z} (t)| 2 |}} \text{ und } v(t) = {{op:Bruch|z(t)- \overline{z} (t)| 2 {{imaginäre Einheit|}} |}} |SZ= }} sind auch Real- und Imaginärteil von {{math|term= z |SZ=}} Lösungsfunktionen {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar reellwertige| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0uiducav6is9aerpfqazqqatjk3gb9 0 53853 1100001 1085117 2026-06-17T07:03:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100001 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^3 | \R^3 | (r, \theta,\varphi)| {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:sin|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:cos|\theta|}} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie {{mathlk|term= \R_{\geq 0} \times [0, \pi] \times [0,2 \pi] |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|Kugelkoordinatenauswertung|SZ=.}} Diese Abbildung bildet die {{Stichwort|Kugelkoordinaten|SZ=}} {{mathl|term= (r, \theta,\varphi) |SZ=}} auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} ab. {{ inputbild | 3D Spherical|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Andeggs |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: {{math|term= r |SZ=}} ist der Abstand von {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} zum Nullpunkt. Bei {{ Relationskette |r || 1 || || || |SZ= }} definieren die beiden Winkel {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \theta |SZ= }} einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt {{math|term= \varphi|SZ=}} einen Punkt auf dem Einheitskreis in der {{mathl|term= x-y|SZ=-}}Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Äquator| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= \theta|SZ=}} bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis {{ Zusatz/Klammer |text=der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist| |ISZ=|ESZ=, }} wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |r || 1 || || || |SZ= }} und| |ISZ=|ESZ= }} einen festen Winkel {{math|term= \theta |SZ=}} parametrisiert {{math|term= \varphi |SZ=}} einen {{Stichwort|Breitenkreis|SZ=,}} wobei {{ Relationskette | \theta || {{op:Bruch| \pi| 2}} || || || |SZ= }} den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel {{math|term= \varphi |SZ=}} hingegen parametrisiert {{math|term= \theta |SZ=}} den oben angesprochenen Halbkreis, einen {{Stichwort|Längenkreis|SZ=.}} In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus {{mathl|term= [- {{op:Bruch| \pi| 2}}, {{op:Bruch| \pi| 2}} ] |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ= }} spricht man von nördlicher und südlicher Breite| |ISZ=|ESZ= }} und nimmt {{mathl|term= - {{op:sin|\theta|}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} der Abbildung ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:cos|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:cos|\varphi|}} {{op:cos|\theta|}} | -r {{op:sin|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | {{op:sin|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:sin|\varphi|}} {{op:cos|\theta|}} | r {{op:cos|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | {{op:cos|\theta|}} | -r {{op:sin|\theta|}} | 0}} |SZ= }} und die Determinante davon ist {{ Math/display|term= r^2 {{op:sin|\theta|}} |SZ=. }} D.h. bei {{ Relationskette |r |\neq| 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \theta |\notin|\Z \pi || || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ= }} invertierbar und daher liegt {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |lokaler Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen {{mathl|term= \R_+ \times ]0, \pi[ \times [0, 2 \pi[|SZ=}} und {{mathl|term= \R^3 \setminus {{Mengebed|(0,0,z)| z \in \R}} |SZ=}} vorliegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kugelkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7fqsyd6r4c79xzqycoiwkyrxqkb6mv 0 53856 1099953 1085044 2026-06-17T06:56:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099953 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)| x^2+y^2 |SZ=. }} Da diese nur nichtnegative Werte annimmt, sind die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette |z | \in |\R_- || || || |SZ= }} leer. Die Faser zum Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besteht aus dem einzigen Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=.}} Die Faser zu einem positiven Wert {{ Relationskette |z | \in |\R_+ || || || |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 {{=}} z}} |SZ=, }} das ist der Kreis mit dem Radius {{math|term= \sqrt{z} |SZ=.}} Zu jedem Punkt {{ Relationskette |P ||(x_0,y_0) |\neq| (0,0) || || || |SZ= }} ist die Faser {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Niveaumenge| |ISZ=|ESZ= }} durch diesen Punkt also ein Kreis {{math|term= Z |SZ=.}} Eine hinreichend kleine offene Ballumgebung {{mathl|term= {{op:Offener Ball| P | \delta}} |SZ=}} von {{math|term= P |SZ=}} enthält nur einen Teil des Kreisbogens, der homöomorph zu einem offenen Intervall ist. Die differenzierbare Abbildung {{ Abbildung/display |name= |]a,b[|\R^2 | t | \sqrt{x_0^2+y_0^2} {{op:Zeilenvektor| {{op:cos| t |}} | {{op:sin| t |}} |}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit geeignet gewählten Intervallgrenzen| |ISZ=|ESZ= }} induziert dabei eine Homöomorphie zwischen {{mathl|term= ]a,b[ |SZ=}} und dem Kreisbogenausschnitt {{mathl|term= Z \cap {{op:Offener Ball| P | \delta}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2si987swajtkn9nk5iuzul1pc5e3o64 0 53978 1099914 1085007 2026-06-17T06:49:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099914 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wenden die {{ Definitionslink |Picard-Lindelöf-Iteration| |Kontext=| |SZ= }} auf die Differentialgleichung {{ Relationskette/display | y' || F(t,y) ||ty || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette/display | y(0) || 1 || || || |SZ= }} an {{ Zusatz/Klammer |text=die Lösung ist {{mathlk|term= e^{ {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Daher ist {{ Relationskette | \varphi_0 || 1 || || || |SZ=. }} Die erste Iteration liefert {{ Relationskette/display | \varphi_1 (t) || 1 + \int_0^t s ds || 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 || || |SZ=. }} Die zweite Iteration liefert {{ Relationskette/align | \varphi_2 (t) || 1 + \int_0^t F {{makl| s, \varphi_1(s) |}} ds || 1 + \int_0^t F {{makl| s, 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 |}} ds || 1 + \int_0^t s+ {{op:Bruch| 1 | 2}} s^3 ds || 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 + {{op:Bruch| 1 | 8}} t^4 || |SZ=. }} Die dritte Iteration liefert {{ Relationskette/align | \varphi_3 (t) || 1 + \int_0^t F {{makl| s, \varphi_2(s) |}} ds || 1 + \int_0^t F {{makl| s,1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 + {{op:Bruch| 1 | 8}} s^4 |}} ds || 1 + \int_0^t s+ {{op:Bruch| 1 | 2}} s^3 + {{op:Bruch| 1 | 8}} s^5 ds || 1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 + {{op:Bruch| 1 | 8}} t^4 + {{op:Bruch| 1 | 48}} t^6 || |SZ=. }} Dabei stimmt die {{math|term= i |SZ=-}}te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung {{math|term= 2i|SZ=}} der Lösung überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ebphptyslhdauh1tug5h0bead44kih 0 54019 1099859 1035700 2026-06-17T06:40:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099859 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} der {{ Definitionslink |endliche Körper| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette |q || p^e || || || |SZ= }} Elementen, wobei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= e \geq 1 |SZ=}} ist. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affine Gerade| K |}} | {{op:Affine Ebene| K |}} | t | {{op:Zeilenvektor|t^q-t|t^q-t}} |SZ= }} besitzt den einzigen Bildpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | 0}} |SZ=.}} Der formale Ableitungsvektor dieser Parametrisierung ist aber {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| -1,-1}} |SZ=. }} Eine geometrisch konstante Kurve kann also in positiver Charakteristik eine nicht-verschwindende Ableitung besitzen. Der Nullpunkt ist ein {{ Definitionslink |glatter Punkt| |Kontext=1| |SZ= }} auf sämtlichen Geraden {{ Relationskette |C || V(aX+bY) || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Tangente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Ebene algebraische Kurven/Tangentialabbildung und Tangente in einem glatten Punkt als Kern/Bemerkung |SZ= }} stimmt mit der Geradengleichung überein, diese annulliert aber nur bei {{mathl|term= a=-b|SZ=}} den Vektor {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| -1,-1}} |SZ=.}} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man also nicht auf die Unendlichkeitsvoraussetzung verzichten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhssdzcel0dzjg4ucn6z3uu4cykmof3 0 54048 1099828 1084932 2026-06-17T06:36:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099828 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Einheitskreis/Integral von Wurzel 1-x^2/Beispiel |Nr= |SZ= }} über ein Integral als {{math|term= \pi|SZ=}} bestimmt. Unter der durch die Matrix {{ Relationskette |M || {{op:Matrix22| a | 0 | 0|b}} || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} wird die Einheitskreisscheibe {{mathl|term= {{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 \leq 1}} |SZ=}} auf {{ Relationskette/display/handlinks | {{Mengebed|(ax,by)| x^2+y^2 \leq 1}} || {{Mengebed|(u,v)| \frac{1}{a^2} u^2+ \frac{1}{b^2} v^2 \leq 1}} || {{Mengebed|(u,v)| b^2 u^2+ a^2 v^2 \leq a^2b^2 }} || || |SZ= }} abgebildet. Das Bild ist eine {{ Zusatz/Klammer |text=achsenparallele| |ISZ=|ESZ= }} Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= \pi ab|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskreisscheibe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgg5eg9xwk9pvzqbfu9dsj166yaxnps 0 54057 1099802 1084904 2026-06-17T06:32:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099802 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T |SZ=}} die obere Einheitskreishälfte und {{ Abbildung/display |name=f | T |\R |(x,y)|f(x,y) {{=}} x^2y+xy^3 |SZ=. }} Dann ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align | \int_T f d \lambda^2 || \int_{-1}^1 {{makl| \int_0^{ \sqrt{1-x^2} } x^2y+xy^3 dy |}} dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2y^2 + {{op:Bruch| 1 | 4}}xy^4 |}} {{|}}_0^{ \sqrt{1-x^2} } dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 \sqrt{1-x^2} ^2 + {{op:Bruch| 1 | 4}}x\sqrt{1-x^2}^4 |}} dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 {{makl| 1-x^2 |}} + {{op:Bruch| 1 | 4}} x {{makl| 1-x^2 |}}^2 }} dx || \int_{-1}^1 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} x^2 - {{op:Bruch| 1 | 2}} x^4 + {{op:Bruch| 1 | 4}} x - {{op:Bruch| 1 | 2}} x^3 + {{op:Bruch| 1 | 4}} x^5 }} dx || {{makl| {{op:Bruch| 1 | 8}} x^2 + {{op:Bruch| 1 | 6}} x^3 - {{op:Bruch| 1 | 8}} x^4 - {{op:Bruch| 1 | 10}} x^5 + {{op:Bruch| 1 | 24}} x^6 }}{{|}}_{-1}^1 || {{op:Bruch| 2 | 15}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Doppelintegrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 44z35i0doptgn7cqhq3ezkqvlswwnio 0 54065 1100119 1085224 2026-06-17T07:23:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100119 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen den {{ Definitionslink |Schwerpunkt| |Kontext=| |SZ= }} der oberen Einheitshalbkugel, also von {{ Relationskette/display |T || {{Mengebed|(x,y,z) \in \R^3| x^2+y^2+z^2 \leq 1|z \geq 0}} || || || |SZ=. }} Die {{math|term= x |SZ=-}} und die {{math|term= y |SZ=-}}Koordinate muss aus Symmetriegründen natürlich {{math|term= 0 |SZ=}} sein. Für die {{math|term= z |SZ=-}}Koordinate berechnen wir {{ Relationskette/align/drucklinks | \int_{-1}^1 \int_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2} } zdzdydx || \int_{-1}^1 \int_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| 1-x^2-y^2 |}} dydx || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{-1}^1 {{makl| {{makl| 1-x^2 |}} y - {{op:Bruch| 1 | 3}} y^3 |}} {{|}}_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } dx || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{-1}^1 {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| 1-x^2|}} \sqrt{1-x^2} - {{makl| - {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} + {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} |}} dx || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{-1}^1 {{op:Bruch| 4 | 3}} {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} dx || {{op:Bruch| 2 | 3}} \int_{-1}^1 {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} dx |SZ=. }} Wir führen die {{ Faktlink |Präwort=|Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Nr= |SZ= }} mit {{ Relationskette | x || {{op:sin| u |}} || || || |SZ= }} durch und erhalten {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Vorfaktor| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | \int_{ - {{op:Bruch| \pi| 2}} }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } {{makl| 1- {{op:sin| u |exp=2}} |}} {{op:cos| u |}} \cdot {{op:cos| u |}} du || \int_{ - {{op:Bruch| \pi| 2}} }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } {{makl| 1- {{op:sin| u |exp=2}} |}} {{makl| 1- {{op:sin| u |exp=2}} |}} du || \int_{ - {{op:Bruch| \pi| 2}} }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } 1- 2{{op:sin| u |exp=2}} + {{op:sin| u |exp=4}} du || 2 \int_{ 0 }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } 1- 2{{op:sin| u |exp=2}} + {{op:sin| u |exp=4}} du || |SZ=. }} Unter Verwendung von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist dieses Integral gleich {{ Relationskette/display | 2 {{makl| {{op:Bruch| \pi| 2}} - 2 {{op:Bruch| \pi| 4}} + {{op:Bruch| 3 | 8}} \cdot {{op:Bruch| \pi| 2}} |}} || {{op:Bruch| 3 | 8}} \pi || || || |SZ=. }} Das Volumen der halben Einheitskugel ist {{ Beispiellink |Präwort=nach|| Beispielseitenname= Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip aus Kreisfläche/Beispiel |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} \pi |SZ=.}} Daher ist die {{math|term= z |SZ=-}}Koordinate des Schwerpunkts gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 2 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 3 | 8}} \pi| {{op:Bruch| 2 | 3}} \pi |}} || {{op:Bruch| 3 | 8}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amxcaozzqe9uspmi3emzbvuu9sk8teb 0 54164 1100021 1036769 2026-06-17T07:07:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100021 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |R || [a,b] \times [c,d] || || || |SZ= }} ein Rechteck, {{ Abbildung/display |name=q | [a,b] \times [c,d] | \R_{\geq 0} |(x,y)| q(x,y) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=n| |SZ= }} und {{math|term= T |SZ=}} der {{ Definitionslink |Subgraph| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Funktion, also {{ Relationskette |T || {{Mengebed|(x,y,z)|a \leq x \leq b|c\leq y \leq d| 0 \leq z \leq q(x,y)}} || || || |SZ=. }} Für eine auf {{math|term= T |SZ=}} definierte stetige Funktion {{math|term= f |SZ=}} ist somit {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Körper/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | \int_T f d \lambda^3 || \int_a^b \int_c^d \int_0^{q(x,y)} f(x,y,z) dz dy dx || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dreifachintegrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iy6bliin8ff4gwp276xq88utrf6v7gg 0 54181 1099987 1085095 2026-06-17T07:01:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099987 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das komplexe Quadrieren {{ Abbildung/display |name= | {{CC}} | {{CC}} | z |z^2 |SZ=. }} In reellen Koordinaten ist dies die differenzierbare Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y^2,2xy) |SZ=. }} Diese Abbildung ist wegen {{ Relationskette | \varphi(x,y) || \varphi(-x,-y) || || || |SZ= }} nicht injektiv. Allerdings ist die Einschränkung auf die positive Halbebene {{ Relationskette |G || {{Mengebed|(x,y)| x>0}} || || || |SZ= }} injektiv, und das Bild davon ist {{ Relationskette |H || \R^2 \setminus \R_- || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Ebene ohne die negative reelle Achse| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \varphi |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \operatorname{Jak}( \varphi )_{(x,y)} || {{op:Matrix22| 2x| -2y| 2y| 2x}} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | (J(\varphi))(x,y) || 4x^2+4y^2 || || || |SZ=. }} Wir möchten den Flächeninhalt des Bildes {{ Relationskette | T || \varphi(S) || || || |SZ= }} des Einheitsquadrates {{ Relationskette |S || [0,1] \times [0,1] || || || |SZ= }} unter dieser Abbildung berechnen {{ Zusatz/Klammer |text=die eine Seite des Einheitsquadrates gehört nicht zu {{math|term= G |SZ=,}} dieser Rand ist aber eine {{ Definitionslink |Nullmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/In echtem Unterraum/Null/Fakt |Nr= |SZ= }} und daher für den Flächeninhalt und die Integration unerheblich| |ISZ=|ESZ=. }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dann {{ Relationskette/align | \lambda^2(T) || \int_S 4x^2+4y^2 d \lambda^2 || \int_0^1 \int_0^1 {{makl| 4x^2+4y^2 |}} dx dy || \int_0^1 {{makl| {{op:Bruch| 4 | 3}} x^3 + 4x y^2 |}} {{|}}_0^1 dy || \int_0^1 {{makl| {{op:Bruch| 4 | 3}} + 4 y^2 |}} dy || {{makl| {{op:Bruch| 4 | 3}} y + {{op:Bruch| 4 | 3}} y^3 |}} {{|}}_0^1 || {{op:Bruch| 8 | 3}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 10up1i7bgrmehcr2ssz6paypyte9w36 0 54194 1100684 1035844 2026-06-17T10:46:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100684 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Für ein {{ Definitionslink |stetig differenzierbares| |Kontext=R^n | |SZ= }} {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= F |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|F_2 | x | x,y}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1 | y | x,y}} || 0 || || || |SZ=, }} sodass das Flächenintegral im {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Daher muss das Wegintegral ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=}} sein, was schon in {{ Faktlink |Faktseitenname= Gradientenfeld/Geschlossenes Wegintegral/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigt wurde {{ Zusatz/Klammer |text=und auch in höheren Dimensionen gilt| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2=Der Satz von Schwarz (R) |Kategorie3=Theorie der Gradientenfelder |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m1n26admqczgsepdafu30sciotiqien 0 54266 1099890 1084984 2026-06-17T06:45:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099890 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |h | \in | \R[y] || || || |SZ= }} ein beliebiges Polynom in der einen Variablen {{math|term= y |SZ=.}} Dann ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)| (x+h(y),y) |SZ= }} ein {{ Definitionslink |flächentreuer Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} ist ja {{ Relationskette/display | \operatorname{Jak}( \varphi )_{(x,y)} || {{op:Matrix22| 1 |h'(y)| 0 | 1}} || || || |SZ=, }} sodass die {{ Definitionslink |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |SZ= }} konstant gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Wenn man die Rollen von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} vertauscht und die Hintereinanderschaltung von solchen Abbildungen betrachtet, so erhält man flächentreue Abbildungen, denen man es nicht auf den ersten Blick ansieht. Beispielsweise ist zu {{ Relationskette | \varphi(x,y) || (x+y^2,y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \psi(x,y) || (x,y+x^3) || || || |SZ= }} die Hintereinanderschaltung {{ Relationskette/align/handlinks | (\psi \circ \varphi) (x,y) || \psi( \varphi (x,y) ) || \psi {{op:Zeilenvektor| x+y^2| y |}} || {{op:Zeilenvektor| x+y^2| y+ {{makl| x+y^2 |}}^3 }} || {{op:Zeilenvektor| x+y^2| y+x^3 +3x^2y^2+3xy^4+y^6}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der maßtreuen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Automorphismen des affinen Raumes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} toozhpvm0nj7jsrg2p7zwo19bf69apt 0 54299 1100289 1085419 2026-06-17T07:51:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100289 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^2 |SZ=}} die Teilmenge, die durch die {{math|term= x |SZ=-}}Achse, die Gleichung {{mathl|term= x=1 |SZ=}} und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei {{ Relationskette |F(x,y) ||(e^x,xy) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ=. }} Wir wollen die beiden Integrale {{ Faktlink |Präwort=im|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |SZ= }} unabhängig voneinander berechnen. Den Rand von {{math|term= T |SZ=}} kann man durch drei Wege {{mathl|term= \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 |SZ=}} regulär parametrisieren, wobei {{ Relationskette/display | \gamma_1(t) || (t,0) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \gamma_2(t) || (1,t) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \gamma_3(t) || {{op:Zeilenvektor| 1-t|(1-t)^2|}} || || || |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils mit {{mathlk|term=t \in [0,1] |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das {{ Definitionslink |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |SZ= }} gilt somit {{ Relationskette/align/handlinks | \int_{\partial T} F || \int_{\gamma_1 } F + \int_{\gamma_2 } F + \int_{\gamma_3 } F || \int_0^1 F_1(t,0) dt + \int_0^1 F_2(1,t) dt + \int_0^1 F_1(1-t,1-2t+t^2) (-1) +F_2(1-t,1-2t+t^2)(2t-2) dt || \int_0^1 e^t dt + \int_0^1 t dt + \int_0^1 -e^{1-t} +(1-t) (1-2t+t^2)(2t-2) dt || e-1 + {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{makl| e^{1-t} |}}{{|}}_0^1 -2 \int_0^1 (1-t)^4 dt || {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 2 | 5}} {{makl| (1-t)^5 |}} {{|}}_0^1 || {{op:Bruch| 1 | 2}}- {{op:Bruch| 2 | 5}} || {{op:Bruch| 1 | 10}} |SZ=. }} Zur Berechnung des Doppelintegrals ist {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|F_2 | x}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1 | y}} || y || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | \int_T {{op:Partielle Ableitung|F_2 | x}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1 | y}} d \lambda^2 || \int_T y d \lambda^2 || \int_0^1 \int_0^{x^2} y dydx || \int_0^1 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} y^2 |}} {{|}}_0^{x^2} dx || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_0^1 x^4 dx || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 5}} x^5 |}}{{|}}_0^1 || {{op:Bruch| 1 | 10}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 07883y1alfp4dr0x40ohsqsd0i0a36e 0 54312 1100300 1085428 2026-06-17T07:53:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100300 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= T |SZ=}} der {{ Definitionslink |Subgraph| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Sinusfunktion| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \pi |SZ=. }} Wir wollen den {{ Definitionslink |geometrischen Schwerpunkt| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= T |SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Versionen für Schwerpunkt/Fakt |Nr= |SZ= }} berechnen. Der Flächeninhalt von {{math|term= T |SZ=}} ist bekanntlich {{ Relationskette/display |m || \int_0^\pi {{op:sin| t |}} || - {{op:cos| t |}}{{|}}_0^\pi || 2 || |SZ=. }} Der Rand von {{math|term= T |SZ=}} wird durch die beiden Wege {{ Relationskette | \gamma_1(t) ||(t,0) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \gamma_2(t) ||(\pi- t, {{op:sin(| \pi-t |}} ) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils für {{mathlk|term=t \in [0, \pi] |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} parametrisiert. Daher ist die {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate des Schwerpunkts mit Hilfe des Vektorfeldes {{mathl|term= F(x,y)=(xy,0) |SZ=}} gleich {{ Relationskette/align | x_S || - {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{\partial T} F || -{{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{ \gamma_2 } F || -{{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{0}^\pi (\pi-t) {{op:sin(| \pi-t|}} (-1) dt || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{0}^\pi u {{op:sin| u |}} du || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| - u {{op:cos| u |}} + {{op:sin| u |}} |}} {{|}}_0^\pi || {{op:Bruch| 1 | 2}} \pi |SZ=, }} was auch aus Symmetriegründen klar ist. Die {{math|term= y |SZ=-}}Koordinate des Schwerpunktes berechnet sich mit Hilfe des Vektorfeldes {{mathl|term= G(x,y)= (y^2,0) |SZ=}} zu {{ Relationskette/align | y_S || - {{op:Bruch| 1 | 4}} \int_{\partial T} G || -{{op:Bruch| 1 | 4}} \int_{ \gamma_2 } G || {{op:Bruch| 1 | 4}} \int_{0}^\pi {{op:sin|(\pi-t)|exp=2}} dt || {{op:Bruch| 1 | 4}} \int_{0}^\pi {{op:sin| u |exp=2}} du || {{op:Bruch| 1 | 4}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 2}} \pi || {{op:Bruch| 1 | 8}} \pi |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6budv38sbxg1qfi8r4nbk1rgwhawyl2 0 54331 1100288 1085418 2026-06-17T07:51:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1100288 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Abbildung/display |name=u |\R^2|\R |(x,y)| x^2-y^2 |SZ= }} ist {{ Definitionslink |harmonisch| |Kontext=| |SZ=. }} Daher ist für eine {{ Definitionslink |regulär berandete, ebene Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= T |SZ=}} {{ Relationskette/display | \int_T \triangle u d \lambda^2 || 0 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Satz von Gauss/Ebene/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{ Relationskette/display | \int_{\partial T} {{makl| - {{op:Partielle Ableitung| u | y}} , {{op:Partielle Ableitung| u | x}} |}} || \int_{\partial T} {{makl| 2y , 2x |}} || 0 || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= T= {{op:Abgeschlossener Ball| 0 | 1}} |SZ=}} ist beispielsweise mit der {{ Definitionslink |trigonometrischen Parametrisierung| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \gamma|SZ=}} {{ Relationskette/display | \int_{\gamma} {{makl| 2y , 2x |}} || 0 || || |SZ=. }} Dies ergibt sich auch direkt aus {{ Relationskette/align/handlinks | \int_{\gamma} {{makl| y , x |}} || \int_0^{2 \pi} - {{op:sin| t |}} \cdot {{op:sin| t |}} + {{op:cos| t |}} \cdot {{op:cos| t |}} dt || \int_0^{2 \pi} 1- 2 {{op:sin| t |exp=2}} dt || {{makl| t - t + {{op:sin| t |}} {{op:cos| t |}} |}} {{|}}_0^{2 \pi} || 0 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Satz von Gauss (Ebene) |Kategorie2=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bxfeziwq7bsohmwhgzcqs5ukx1yx4pb 0 54333 1100287 1038048 2026-06-17T07:51:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100287 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Abbildung/display |name=u |\R^2|\R |(x,y)| x^2+y^2 |SZ= }} ist nicht {{ Definitionslink |harmonisch| |Kontext=| |SZ=, }} ihre {{ Definitionslink |Laplace-Ableitung| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \triangle u |SZ=}} ist konstant gleich {{math|term= 4 |SZ=.}} Für die Einheitskreisscheibe {{mathl|term= T= {{op:Abgeschlossener Ball| 0 | 1}} |SZ=}} ist somit {{ Relationskette/display | \int_T \triangle u d \lambda^2 || \int_T 4 d \lambda^2 || 4 \pi || || |SZ=. }} Daher ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Satz von Gauss/Ebene/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{ Relationskette/display | \int_{\partial T} {{makl| - {{op:Partielle Ableitung| u | y}} , {{op:Partielle Ableitung| u | x}} |}} || \int_{\gamma} {{makl| - 2y , 2x |}} || 4 \pi || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \gamma|SZ=}} die {{ Definitionslink |trigonometrische Parametrisierung| |Kontext=| |SZ= }} des Einheitskreises bezeichnet. Dies ergibt sich auch direkt aus {{ Relationskette/align/handlinks | \int_{\gamma} {{makl| -2y , 2x |}} || 2 \int_{\gamma} {{makl| -y , x |}} || 2 \int_0^{2 \pi} {{op:sin| t |}} \cdot {{op:sin| t |}} + {{op:cos| t |}} \cdot {{op:cos| t |}} dt || 2 \int_0^{2 \pi} 1 dt || 4 \pi || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Satz von Gauss (Ebene) |Kategorie2=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rai9s2ddqxhcu16of81b7cxcjipoblv 0 55723 1100414 1085545 2026-06-17T08:11:59Z Arbota 36910 Ersetzung 1100414 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Bildskip|}} {{ inputbild |Spektrum von Z| xcf| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Spektrum_von_Z |Text=So stellt man sich das Spektrum von {{math|term= \Z |SZ=}} vor. Die Verbindungslinien sollen vermitteln, dass es sich um ein eindimensionales Objekt handelt. Das Nullideal malt man fett, um anzudeuten, dass es sich um einen dichten Punkt handelt. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die Primideale in {{math|term= \Z |SZ=}} sind einerseits die maximalen Ideale {{mathl|term= (p) |SZ=,}} wobei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} ist, und andererseits das Nullideal {{math|term= 0 |SZ=.}} Die maximalen Ideale bilden die abgeschlossenen Punkte von {{mathl|term= {{op:Spek|\Z|}} |SZ=.}} Das Nullideal ist darin ein weiterer nicht abgeschlossener Punkt. Die einzige abgeschlossene Menge, in der dieser Punkt enthalten ist, ist die ganze Menge. Die abgeschlossenen Mengen in {{mathl|term= {{op:Spek|\Z|}} |SZ=}} sind neben der Gesamtmenge die endlichen Teilmengen aus maximalen Idealen. Man visualisiert {{mathl|term= {{op:Spek|\Z|}} |SZ=}} als eine {{ Zusatz/Klammer |text=gedachte Gerade| |ISZ=|ESZ=, }} auf der die Primzahlen diskret liegen, während der Nullpunkt ein fetter Punkt ist, der die gesamte Gerade repräsentiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Spektrum von Z |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lh51o0g44tnbvs8bmpm431nc3lsofc2 0 55824 1099967 1036397 2026-06-17T06:58:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099967 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A |SZ=}} eine von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |direkter Summand| |Kontext=Ring| |SZ= }} von {{math|term= A |SZ=.}} Dies beruht darauf, dass man die {{math|term= 1 |SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= A |SZ=}} ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen {{ Definitionslink |erzeugten| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | V | \subset | A || || || |SZ= }} ist dann {{ Relationskette |A | \cong| K \cdot 1 \oplus V || || || |SZ=. }} Im Allgemeinen muss es aber keinen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | A | K || |SZ= }} geben. Bei einer {{ Zusatz/Klammer |text=nichttrivialen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K | \subset | L || || || |SZ= }} gibt es keinen Ringhomomorphismus von {{math|term= L |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 827j9vam3r731xew18zw8bvwzmnt1o7 0 55854 1099824 1084929 2026-06-17T06:35:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1099824 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} der eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \xi|SZ=}} enthalte. Wir betrachten die Untergruppe {{ Relationskette/display |G || {{Mengebed| {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^{-1} }} |\zeta^n{{=}}1|}} | \subseteq | {{op:GLG| 2 |K}} || || || |SZ= }} und die zugehörige Operation auf {{math|term= K^2 |SZ=}} bzw. auf {{mathl|term= K[U,V] |SZ=.}} Es handelt sich um eine {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n |SZ=,}} die von {{ Relationskette/display |g || {{op:Matrix22|\xi| 0 | 0|\xi^{-1} }} || || || |SZ= }} erzeugt wird. Die Operation von {{math|term= g |SZ=}} auf {{mathl|term= K[U,V] |SZ=}} ist durch {{ mathkor|term1= U \mapsto \xi U |und|term2= V \mapsto \xi^{-1} V |SZ= }} gegeben. Offenbar sind {{ Math/display|term= X=U^n,\, Y=V^n,\, Z=UV |SZ= }} {{ Definitionslink |invariante Polynome| |Kontext=| |SZ= }} unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung {{ Relationskette/display | XY || Z^n || || || |SZ= }} stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring {{ Definitionslink |Prämath=\Z \times \Z |graduiert| |Kontext=| |SZ=, }} wobei {{math|term= U |SZ=}} den Grad {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} und {{math|term= V |SZ=}} den Grad {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} besitze. Wir betrachten den {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^2| {{op:Zmod| n |}} {{defeqr|}} D |(a,b)| a-b |SZ=, }} und die zugehörige {{math|term= D |SZ=-}}Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die {{ Definitionslink |Charaktergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ=}} mit der obigen Gruppe {{math|term= G |SZ=,}} indem wir {{ Abbildung/display |name=\chi | D | K^\times || |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Matrix22| \chi(1)| 0 | 0| \chi(-1)|}} |SZ=}} identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{mathl|term= K[U,V] |SZ=}} der natürlichen Operation der Charaktergruppe {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Invariantenring unter der {{math|term= G |SZ=-}}Operation gleich der neutralen Stufe unter der {{ Definitionslink |Prämath=D |Graduie{{drucktrenn}}rung| |Kontext=| |SZ=. }} Der Kern von {{math|term= \delta|SZ=}} wird durch {{mathl|term= (n,0),(0,n),(1,1) |SZ=}} erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also {{mathl|term= K[U^n,V^n,UV] |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} egrnsz559ny2lr9oxwcoejbwcsqfx7b 0 55931 1099723 1084834 2026-06-17T06:20:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099723 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die natürliche Operation der {{ Definitionslink |alternierenden Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | A_3 | \cong | {{op:Zmod| 3 |}} || || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= K^3 |SZ=}} wird durch den Zyklus {{ Math/display|term= e_1\longmapsto e_2,\, e_2\longmapsto e_3,\, e_3\longmapsto e_1 |SZ= }} erzeugt. Besitzt {{math|term= K |SZ=}} dritte {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ=, }} so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Permutationsmatrix/Zyklus/Durchnummeriert/C/Eigentheorie/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} mit den Eigenvektoren {{ Math/display|term= e_1+e_2+e_3,\, e_1+\zeta e_2+\zeta^2e_3,\, e_1+\zeta^2 e_2+\zeta e_3 |SZ=. }} Wir führen die neuen Variablen {{Math/display|term=U=X+Y+Z,\, V=X+\zeta Y+\zeta^2 Z,\, W=X+\zeta^2 Y+\zeta Z |SZ=}} ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch {{ Math/display|term= U\longmapsto U,\, V\longmapsto \zeta V,\, W\longmapsto\zeta^2W |SZ= }} gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich {{ Math/display|term= K[U,V^3,VW,W^3] |SZ=. }} Die einzige Relation ist durch {{ Relationskette | V^3W^3 || (VW)^3 || || || || |SZ= }} gegeben. Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition {{mathl|term= Y \leftrightarrow Z |SZ=}} lässt {{math|term= U |SZ=}} unverändert und vertauscht {{math|term= V |SZ=}} und {{math|term= W |SZ=.}} Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass {{math|term= V^3 |SZ=}} und {{math|term= W^3 |SZ=}} vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher {{ Math/display|term= K[U, VW, V^3+W^3] |SZ=. }} Dabei sind {{ Relationskette/align/handlinks |VW || X^2+Y^2+Z^2+\zeta XY+\zeta^2XY+\zeta XZ+\zeta^2XZ+\zeta YZ+\zeta^2YZ || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/align/drucklinks/teile |V^3 || X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+ 3\xi^2 XY^2+ 3\xi X^2Y + 3\xi XZ^2 | 3teil2= + 3\xi^2 X^2Z + 3\xi^2 YZ^2 + 3\xi Y^2Z || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | W^3 || X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+ 3\xi XY^2+ 3\xi^2 X^2Y + 3\xi^2 XZ^2 | 3teil2= + 3\xi X^2Z + 3\xi YZ^2 + 3\xi^2 Y^2Z || || || |SZ=. }} Für die {{ Definitionslink |Vandermondesche Determinante| |Kontext=| |SZ= }} gilt {{ Relationskette/align | \triangle || (Y-X)(Z-X)(Z-Y) || XY^2 -X^2Y + X^2Z-XZ^2 +YZ^2- Y^2 Z || {{op:Bruch| 1 | 3 {{makl| \xi^2- \xi |}} }} {{makl| V^3-W^3 |}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der alternierenden Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qhdclo8pzw9mczu7b52tn545qeo6518 0 55991 1099720 1084832 2026-06-17T06:19:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099720 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper und {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{drucktrenn}}raum| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | r | \in | \N || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an {{ Relationskette/k | r | \leq | n || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} wir betrachten die Wirkungsweise von {{mathl|term= {{op:GLG| r | K}} |SZ=}} auf dem {{math|term= r |SZ=-}}fachen Produkt von {{math|term= V |SZ=}} mit sich selbst, bei der ein {{math|term= r |SZ=-}}Tupel {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r |SZ=}} von {{math|term= r |SZ=}} Vektoren aus {{math|term= V |SZ=}} auf ein anderes, durch die Matrix {{ Relationskette | g | \in | {{op:GLG| r | K}} || || || |SZ= }} bestimmtes {{math|term= r |SZ=-}}Tupel abgebildet wird. Mit {{ Relationskette | g || {{op:Matrixaij|n=r}} || || || |SZ= }} interessieren wir uns also für die Abbildung {{ Abbildung/display/druckelementzeile |name= | {{op:GLG| r | K}} \times V^r | V^r |( {{op:Matrixaij|n=r}}, v_1,v_2 {{kommadots|}} v_r) | {{op:Zeilenvektor| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i | \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i | \ldots| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i ||}} |SZ=. }} Ein Tupel von {{math|term= r |SZ=}} Vektoren wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen dieser Vektoren abgebildet. Daher ist der von {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r |SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |SZ= }} gleich dem vom Bildtupel {{mathl|term= g(v_1 {{kommadots|}} v_r) |SZ=}} erzeugten Untervektorraum. Wenn die {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r |SZ=}} {{ Definitionslink |linear unabhängig| |SZ= }} sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen {{math|term= r |SZ=-}}dimensionalen Untervektorraum {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} und zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=}} gibt es stets einen {{ Definitionslink |Automorphismus| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=,}} der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von {{mathl|term= {{op:GLG| r | K}} |SZ=}} auf die {{ Zusatz/Klammer |text=offene und dichte| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge {{ Relationskette | {{{T|T}}} | \subseteq | V^r || || || |SZ= }} einschränkt, die aus allen linear unabhängigen {{math|term= r |SZ=-}}Tupeln besteht, so entsprechen die {{ Definitionslink |Bahnen der Operation| |SZ= }} den {{math|term= r |SZ=-}}dimensionalen Untervektorräumen von {{math|term= V |SZ=,}} und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Untervektorraumes. Die Bahnen der Operation auf ganz {{math|term= V^r |SZ=}} sind schwieriger zu charakterisieren. Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum {{ Relationskette | W || V^r || || || |SZ= }} sind die Linearformen {{ Relationskette | f || (f_1 {{kommadots|}} f_r) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f(v_1 {{kommadots|}} v_r) || f_1(v_1) {{plusdots|}} f_r (v_r) || || || |SZ=. }} Dabei sind die {{math|term= f_i |SZ=}} Linearformen auf {{math|term= V |SZ=,}} die wir direkt als Linearformen auf {{math|term= V^r |SZ=}} über die {{math|term= i |SZ=-}}ten Projektionen auffassen. Zu {{ Relationskette | g | \in | {{op:GLG| r | K}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f || {{op:Zeilenvektor|f_1 | \ldots|f_r}} || || || |SZ= }} ist die verknüpfte Abbildung gleich {{ Relationskette/align/handlinks | (f g) {{op:Zeilenvektor|v_1 | \ldots|v_r}} || f {{op:Zeilenvektor| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i | \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i | \ldots| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i ||}} || f_1 {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i |}} + f_2 {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i |}} {{plusdots}} f_r {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i |}} || \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} f_1 {{makl| v_i |}} + \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} f_2 {{makl|v_i |}} {{plusdots}} \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} f_r {{makl| v_i |}} || \sum_{i,j} a_{ji} f_j {{makl| v_i |}} || \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j {{makl| v_1 |}} + \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j {{makl|v_2 |}} {{plusdots}} \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j {{makl| v_r |}} || {{op:Zeilenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j | \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j | \ldots| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j }} {{op:Zeilenvektor|v_1 | \ldots|v_r}} |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/align | fg || {{op:Zeilenvektor|f_1 | \ldots| f_r}} g || {{op:Zeilenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j | \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j | \ldots| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j }} || || || |SZ=. }} Es sei nun {{ Relationskette | V || K^n || || || |SZ=, }} sodass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum {{math|term= V^r |SZ=}} gehört der Polynomring {{ Math/display|term= K[ X_{ij}\, ,1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq r ] |SZ=. }} Dabei repräsentieren die {{ mathbed|term= X_{ij} ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} die Koordinatenfunktionen der {{math|term= j |SZ=-}}ten Kopie des Vektorraums {{math|term= K^n |SZ=.}} Die Variable {{mathl|term= X_{ij} |SZ=}} ist die {{math|term= j |SZ=-}}te Projektion von {{math|term= V^r |SZ=}} auf {{ Relationskette | V || K^n || || |SZ= }} gefolgt von der {{math|term= i |SZ=-}}ten Projektion {{math|term= p_i |SZ=}} von {{math|term= K^n |SZ=}} auf {{math|term= K |SZ=.}} Somit ist {{ Zusatz/Klammer |text=es steht {{math|term= p_i |SZ=}} an der {{math|term= j |SZ=-}}ten Stelle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | X_{ij} g || {{op:Zeilenvektor| 0 | \ldots|p_i | 0 | \ldots| 0 }} g || {{op:Zeilenvektor|a_{j1} p_i | \ldots| a_{jr} p_i }} || \sum_{k {{=}} 1}^r a_{jk} X_{ik} || |SZ=. }} Wenn eine Linearform auf {{mathl|term= V^r |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also eine Linearkombination aller {{math|term= X_{ij} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in Matrixform als {{Math/display|term= {{op:Matrixmn| c |m=n|n=r}} |SZ=}} gegeben ist, wobei die {{mathl|term= c_{ij} |SZ=}} die Koeffizienten zu {{mathl|term= X_{ij} |SZ=}} bezeichnen, so erhält man die durch {{math|term= g |SZ=}} transformierte Linearform, indem man diese Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu {{math|term= g |SZ=}} multipliziert, also {{ Relationskette/display | {{op:Matrixmn|c'|m=n|n=r}} || {{op:Matrixmn| c |m=n|n=r}} \circ {{op:transponiert| {{op:Matrixaij|n=r}} |}} || || || |SZ=. }} Damit liegt eine Operation der {{mathl|term= {{op:GLG| r | K}} |SZ=}} auf dem Polynomring in {{math|term= nr |SZ=}} Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe {{ Relationskette | {{op:SLG| r | K}} | \subseteq | {{op:GLG| r | K}} || || || |SZ= }} ein. Dann sind sämtliche {{ Definitionslink |Prämath=r |Minoren| |SZ= }} der Variablenmatrix {{ Math/display|term= {{op:Matrixmn| X |m=n|n=r}} |SZ= }} invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die {{ Definitionslink |universelle alternierende Abbildung| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Dachprodukt/Definition |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | V^r | \bigwedge^r V | (v_1 {{kommadots|}} v_r) | v_1 {{wedgedots|}} v_r |SZ=. }} Diese Abbildung ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt |Nr= |SZ= }} invariant unter der Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=dafür braucht man, dass die Determinanten von {{math|term= g |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{math|term= r |SZ=-}}Minoren sind Linearformen auf dem {{math|term= r |SZ=-}}ten Dachprodukt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 152e6z4ttn0s56fww2ap89et5s94pvw 0 56097 1100137 1085240 2026-06-17T07:26:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100137 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die symmetrische Gruppe {{math|term= S_n |SZ=}} ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge {{ Relationskette | I || {{Menge1n|}} || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | S_n || {{Mengebed| \sigma:I\rightarrow I| \sigma \text{ Bijektion} }} || || || |SZ= }} mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben, {{ Math/display|term= \begin{pmatrix} 1 & \ldots & n\\ \sigma(1) & \ldots &\sigma(n) \end{pmatrix} |SZ=. }} {{math|term= S_n |SZ=}} ist eine Gruppe mit {{math|term= n!|SZ=}} Elementen. Die Permutationsgruppe {{math|term= S_n |SZ=}} operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf {{math|term= K^n |SZ=}} wie folgt: Der {{math|term= i |SZ=-}}te Basisvektor {{math|term= e_i |SZ=}} wird auf {{mathl|term= e_{\sigma(i)} |SZ=}} geschickt, also {{mathl|term= e_i \mapsto e_{\sigma(i)} |SZ=.}} Dies definiert {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Nr= |SZ= }} einen {{ Definitionslink |linearen Automorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\sigma |K^n | K^n || |SZ=, }} den wir ebenfalls mit {{math|term= \sigma|SZ=}} bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der {{math|term= i |SZ=-}}ten Spalte in der {{mathl|term= \sigma(i) |SZ=-}}ten Zeile eine {{math|term= 1 |SZ=}} steht, und sonst überall {{math|term= 0 |SZ=.}} Eine solche Matrix nennt man eine {{ Definitionslink |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{mathl|term= E_{ij} |SZ=}} diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle {{math|term= ij |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= i |SZ=-}}te Zeile, {{math|term= j |SZ=-}}te Spalte| |ISZ=|ESZ= }} eine {{math|term= 1 |SZ=}} und sonst überall eine {{math|term= 0 |SZ=}} als Eintrag besitzt, so ist die zu {{math|term= \sigma|SZ=}} gehörende Permutationsmatrix gleich {{ Relationskette/display | E_\sigma || \sum^n_{j {{=}} 1}E_{\sigma(j) j} || || || |SZ=. }} Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation. Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der {{ Definitionslink |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG| n | K}} |SZ=,}} und die Zuordnung {{mathl|term= \sigma \mapsto E_\sigma|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} zwischen der Permutationsgruppe {{math|term= S_n |SZ=}} und dieser endlichen Untergruppe. {{ Beispiellink |Präwort=Nach|| Beispielseitenname= Allgemeine lineare Gruppe/Untergruppe/Natürliche Operation/Beispiel |Nr= |SZ= }} operiert die Permutationsgruppe {{math|term= S_n |SZ=}} {{ Definitionslink |linear| |Kontext=Operation| |SZ= }} auf dem {{math|term= K^n |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie3=Theorie der Permutationsmatrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hc4774waf2yc1bs4i9zszl0pqmgg6sd 0 56122 1099763 1084867 2026-06-17T06:26:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099763 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Matrizen {{ Math/display|term= A = {{op:Matrix22| {{imaginäre Einheit}} | 0 | 0| -{{imaginäre Einheit}} }} ,\, B = {{op:Matrix22| 0 | {{imaginäre Einheit}} | {{imaginäre Einheit}} | 0}} \text{ und } C = {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Ordnungen| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist {{ Relationskette/display | A^2 || B^2 || {{op:Matrix22| -1 | 0 | 0| -1}} || || |SZ=, }} also besitzen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} die Ordnung {{math|term= 4 |SZ=.}} Mit {{ Relationskette/display | \zeta || e^{ {{op:Bruch| 2 \pi {{imaginäre Einheit}} | 8}} } || e^{ {{op:Bruch| \pi {{imaginäre Einheit}} | 4}} } || {{op:Bruch| 1+{{imaginäre Einheit}} | \sqrt{2} }} || |SZ= }} ist {{ Relationskette/align |C^3 || {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^6 + \zeta^4|\zeta^6+1|\zeta^4 + \zeta^6| \zeta^4+\zeta^2 }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^3 + \zeta^5 |\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^7 + \zeta^1| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta + \zeta^7| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta^5 + \zeta^3 }} || {{op:Matrix22| -1 | 0 | 0| -1}} |SZ=, }} sodass die Ordnung von {{math|term= C |SZ=}} gleich {{math|term= 6 |SZ=}} ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als {{mathl|term= A^{i}B^{j}C^{k} |SZ=}} schreiben, wobei die Exponenten maximal bis zur Ordnung laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit {{ mathkor|term1= A |oder|term2= B |SZ= }} rechterhand multipliziert. Es ist {{ Relationskette/align |CA || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22| {{imaginäre Einheit}} | 0 | 0| -{{imaginäre Einheit}} }} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^2| 0 | 0| -\zeta^2}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta |\zeta^5|\zeta^7| \zeta^7}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22| 0 | -1| 1 | 0}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22| {{imaginäre Einheit}} | 0 | 0| -{{imaginäre Einheit}} }} {{op:Matrix22| 0 | {{imaginäre Einheit}} | {{imaginäre Einheit}} | 0}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || A B C |SZ=, }} man kann also {{math|term= A |SZ=}} von rechts an {{math|term= C |SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Relationskette/align |CB || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}}{{op:Matrix22| 0 | {{imaginäre Einheit}} | {{imaginäre Einheit}} | 0}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta|\zeta|\zeta^3| \zeta^7}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22| {{imaginäre Einheit}} | 0 | 0| - {{imaginäre Einheit}} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || AC |SZ= }} kann man {{math|term= B |SZ=}} von rechts an {{math|term= C |SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Relationskette/align |BA || {{op:Matrix22| 0 | {{imaginäre Einheit}} | {{imaginäre Einheit}} | 0}} {{op:Matrix22| {{imaginäre Einheit}} | 0 | 0| -{{imaginäre Einheit}} }} || {{op:Matrix22| 0 | 1 | -1| 0}} || {{op:Matrix22| -{{imaginäre Einheit}} | 0 | 0| {{imaginäre Einheit}} }} {{op:Matrix22| 0 | {{imaginäre Einheit}} | {{imaginäre Einheit}} | 0}} || {{op:Matrix22| {{imaginäre Einheit}} | 0 | 0| -{{imaginäre Einheit}}}}^3 {{op:Matrix22| 0 | {{imaginäre Einheit}} | {{imaginäre Einheit}} | 0}} || A^3 B |SZ= }} kann man {{math|term= B |SZ=}} von rechts an {{math|term= A |SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Relationskette/display |C^3 || {{op:Matrix22| -1| 0 | 0| -1}} || A^2 || B^2 || |SZ= }} kann man sogar jedes Gruppenelement als {{ Mathbed/display|term= A^{i}B^{j}C^{k} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2,\, ||bedterm2= |SZ= }} schreiben. Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Es handelt sich also um eine Gruppe mit {{math|term= 24 |SZ=}} Elementen, die die {{Stichwort|binäre Tetraedergruppe|SZ=}} heißt. Die Produkte {{ mathbed|term= A^{i}B^{j} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1, ||bedterm2= |SZ= }} bilden nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |SZ= }} eine {{ Definitionslink |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 8 |SZ=,}} dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 8 |SZ=}} aber auch eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die von {{math|term= C^2 |SZ=}} erzeugte Untergruppe| |ISZ=|ESZ=, }} also muss ihre Ordnung {{math|term= 24 |SZ=}} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m89thrrktq06r528pfew7ptcypvrosa 0 56125 1099760 1084864 2026-06-17T06:25:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099760 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Matrizen {{ Math/display|term= A = A_8= {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^7}} ,\, B = {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} \text{ und } C = {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Ordnungen| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist {{ Relationskette/display | A^4 || {{op:Matrix22| -1 | 0 | 0| -1}} || B^2 || || |SZ=, }} also besitzt {{math|term= A |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 8 |SZ=}} und {{math|term= B |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4 |SZ=.}} Mit {{ Relationskette/display | \zeta || e^{ {{op:Bruch| 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} | 8}} } || e^{ {{op:Bruch| \pi {{Imaginäre Einheit|}} | 4}} } || {{op:Bruch| 1+ {{Imaginäre Einheit|}} | \sqrt{2} }} || |SZ= }} ist {{ Relationskette/align |C^3 || {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^6 + \zeta^4|\zeta^6+1|\zeta^4 + \zeta^6| \zeta^4+\zeta^2 }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^3 + \zeta^5 |\zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^7 + \zeta| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta + \zeta^7| \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta^5 + \zeta^3 }} || {{op:Matrix22| -1 | 0 | 0| -1}} |SZ=, }} sodass die Ordnung von {{math|term= C |SZ=}} gleich {{math|term= 6 |SZ=}} ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als {{mathl|term= A^{i}B^{j}C^{k} |SZ=}} schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit {{ mathkor|term1= A |oder|term2= B |SZ= }} rechterhand multipliziert. Es ist {{ Relationskette/align |C A || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^7}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22| 1 |\zeta^6|\zeta^6| 1}} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{op:Matrix22| \sqrt{2}| -\sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} | -\sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} | \sqrt{2} }} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{op:Matrix22|\zeta +\zeta^7 |\zeta^5 + \zeta^7|\zeta^7 + \zeta^5| \zeta^7 + \zeta}} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^7}} {{op:Matrix22| 1 +\zeta^6 |\zeta^4 + \zeta^6| 1 + \zeta^6| 1 + \zeta^2}} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^7}} {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} {{op:Matrix22|\zeta^6+ \zeta^4 |\zeta^6+1|\zeta^4+ \zeta^6| \zeta^4 + \zeta^2}} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^7}} {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}}^2 || A B C^2 |SZ=, }} man kann also {{math|term= A |SZ=}} von rechts an {{math|term= C |SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Relationskette/align |CB || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta|\zeta|\zeta^3| \zeta^7}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22| {{Imaginäre Einheit|}} | 0 | 0| -{{Imaginäre Einheit|}} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} || A^2 C |SZ= }} kann man {{math|term= B |SZ=}} von rechts an {{math|term= C |SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Relationskette/align |BA || {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0| \zeta^7 }} || {{op:Matrix22| 0 | \zeta|\zeta^3| 0}} || {{op:Matrix22|\zeta^7| 0 | 0| \zeta }} {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} || {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0| \zeta^7 }}^7 {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} || A^7 B |SZ= }} kann man {{math|term= B |SZ=}} von rechts an {{math|term= A |SZ=}} vorbeischieben. Wegen {{ Relationskette/display |C^3 || {{op:Matrix22| -1| 0 | 0| -1}} || A^4 || B^2 || |SZ= }} kann man sogar jedes Gruppenelement als {{ Mathbed/display|term= A^{i}B^{j}C^{k} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2,\, ||bedterm2= |SZ= }} schreiben. Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte {{ mathbed|term= A^{i}B^{j} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1, ||bedterm2= |SZ= }} bilden nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= BD_4 |SZ=}} der Ordnung {{math|term= 16 |SZ=,}} dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 16 |SZ=}} aber auch eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= 3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die von {{math|term= C^2 |SZ=}} erzeugte Untergruppe| |ISZ=|ESZ=, }} also muss ihre Ordnung {{math|term= 48 |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben| |ISZ=|ESZ=. }} Es handelt sich also um eine Gruppe mit {{math|term= 48 |SZ=}} Elementen, die die {{Stichwort|binäre Oktaedergruppe|SZ=}} heißt. Sie wird mit {{math|term= BO|SZ=}} bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung {{ Relationskette/display | Z_8 | \subseteq | BD_4 | \subseteq | BO || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ooun09escv8252cq2jujd23hygrvxd9 0 56127 1099765 1084869 2026-06-17T06:26:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099765 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Math/display|term= A = {{op:Matrix22| \zeta| 0 | 0| \zeta^7}} ,\, B = {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0}} \text{ und } C = {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der {{ Definitionslink |binären Oktaedergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= BO|SZ=.}} Die darin von {{mathl|term= A^2,B,C|SZ=}} erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen {{ mathbed|term= A^{2i}B^{j}C^k |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2 ||bedterm2= |SZ=, }} wie ähnliche Berechnungen wie die aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel |Nr= |SZ= }} zeigen, und besitzt demnach {{math|term= 24 |SZ=}} Elemente. Diese Gruppe nennt man die {{Stichwort|binäre Tetraedergruppe|SZ=,}} sie wird mit {{math|term= BT |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svi4ukmj61w7qkxxd3xdbdceeakz3ra 0 56128 1099757 1084862 2026-06-17T06:25:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099757 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \xi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |primitive| |Kontext=EHW| |SZ= }} {{math|term= 5 |SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen {{ Mathkor/display|term1= E= - {{op:Matrix22| \xi^3| 0 | 0| \xi^2}} |und|term2= F= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} |SZ=. }} Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|binäre Ikosaedergruppe|SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display |E^5 || {{op:Matrix22| -1| 0 | 0| -1}} || || || |SZ= }} und somit besitzt {{math|term= E |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= 10 |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/align |F^2 || {{op:Bruch| 1 | 5}} {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} \cdot {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} || {{op:Bruch| 1 | 5}} {{op:Matrix22|\xi^2 + \xi^3 -2+ \xi^4+\xi -2 | 0| 0 | \xi^4+\xi -2+\xi^2 + \xi^3 -2 }} || {{op:Bruch| 1 | 5}} {{op:Matrix22| -5 | 0| 0 | -5 }} || {{op:Matrix22| -1 | 0| 0 | -1 }} |SZ= }} besitzt {{math|term= F |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4 |SZ=.}} Ferner ist {{ Relationskette/align |EF || - {{op:Matrix22| \xi^3| 0 | 0| \xi^2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} || - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2| 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2| 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} \cdot {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2| 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || {{op:Matrix22| 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2| -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 |\xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 | - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 }} || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Relationskette/k | \xi^2+\xi^3 || - {{op:Bruch| 1 + \sqrt{5}| 2}} || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2| 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }}^3 || {{op:Matrix22| 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2| -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 |\xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 | - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 }} \cdot {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2| 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || {{op:Matrix22| 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi | 0 | 0 | 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi }} || {{op:Matrix22| -5 -10 {{makl| \xi^3+ \xi^2 |}} | 0 | 0 | -5 -10 {{makl| \xi^3+ \xi^2 |}} }} || {{op:Matrix22| 5 \sqrt{5} | 0 | 0 | 5 \sqrt{5} }} || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display |(EF)^3 || {{op:Matrix22| -1 | 0| 0 | -1 }} || || || |SZ= }} und die Ordnung von {{math|term= EF|SZ=}} ist {{math|term= 6 |SZ=.}} Diese Gruppe besitzt {{mathl|term= 120 |SZ=}} Elemente und heißt die {{Stichwort|binäre Ikosaedergruppe|SZ=,}} sie wird mit {{math|term= BI|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9qbt3edlaav752tlhg8tk959eiuf466 0 56129 1100439 1085575 2026-06-17T08:15:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100439 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n |SZ=}} lässt sich einfach als eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}} realisieren. Dazu sei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}te komplexe {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ=, }} beispielsweise {{ Relationskette | \zeta || e^{ {{op:Bruch| 2 \pi {{Imaginäre Einheit}} |n}} } || || || |SZ=. }} Die von {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^{n-1} }} || {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^{-1} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | {{Mengebed| {{op:Matrix22|\zeta^{j}| 0 | 0|\zeta^{-j} }} |j {{=}}0 {{kommadots|}} n-1 }} | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ=, }} ist eine zyklische Gruppe der Ordnung {{math|term= n |SZ=.}} Diese Untergruppe wird mit {{math|term= Z_n |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qkid7hr0woqoxedijyt4qfvgy7537s 0 56130 1099756 1084861 2026-06-17T06:25:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099756 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} und sei {{math|term= \zeta |SZ=}} eine {{math|term= 2n |SZ=-}}te komplexe {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ=, }} beispielsweise {{ Relationskette/display | \zeta || e^{ {{op:Bruch| 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} | 2n}} } || e^{ {{op:Bruch| \pi {{Imaginäre Einheit|}} |n}} } || || |SZ=. }} Die von den Matrizen {{ Mathkor/display|term1= A= A_{2n} = {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^{-1}| }} |und|term2= B= {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0 | }} |SZ= }} {{ Definitionslink |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|binäre Diedergruppe|SZ=.}} Sie wird mit {{math|term= BD_n |SZ=}} bezeichnet. Das Element {{math|term= A |SZ=}} besitzt die Ordnung {{math|term= 2n |SZ=}} und es ist {{ Relationskette/display |A^n || {{op:Matrix22|\zeta^n | 0 | 0|\zeta^{-n}| }} || {{op:Matrix22| -1| 0 | 0| -1| }} || B^2 || |SZ=. }} Insbesondere besitzt {{math|term= B |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | BA || {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0 | }} {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^{-1}| }} || {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} \zeta^{-1}| {{Imaginäre Einheit|}} \zeta| 0 }} || {{op:Matrix22|\zeta^{-1} | 0 | 0|\zeta | }} {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0 | }} || A^{2n-1} B |SZ=. }} Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als {{ Mathbed/display|term= A^{i} B^{j} |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq 2n-1,\, 0 \leq j \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} schreiben. Da {{math|term= B |SZ=}} nicht zu der von {{math|term= A |SZ=}} erzeugten Untergruppe gehört und {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | n | \geq | 2 || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} umgekehrt, ist diese Darstellung bei {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || |SZ= }} eindeutig und {{mathl|term= BD_n |SZ=}} besitzt genau {{math|term= 4n |SZ=}} Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung {{ Relationskette | Z_{2n} | \subseteq | BD_n || || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Index| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=}} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die binäre Diedergruppe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ml4nu1efuqj1sfmkp6s1wa6xwu1q1wq 0 56140 1099755 1084860 2026-06-17T06:25:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099755 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | m | \in | \N_+ || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \neq 2 |SZ=,}} der eine vierte {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} und eine {{math|term= 2m |SZ=-}}te primitive Einheitswurzel {{math|term= \zeta |SZ=}} enthalte. Wir betrachten die von den Matrizen {{ Mathkor/display|term1= A = {{op:Matrix22|\zeta| 0 | 0|\zeta^{-1}| }} |und|term2= B = {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit|}} | {{Imaginäre Einheit|}} | 0 | }} |SZ= }} {{ Definitionslink |erzeugte Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die man auch als {{mathlk|term= BD_{m} |SZ=}} bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 |K}} |SZ=}} mit ihrer natürlichen Operation auf {{ Relationskette | R || K[U,V] || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |H | \subseteq | G || || || |SZ= }} die von {{math|term= A |SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |zyklische Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 2m|SZ=.}} Da {{math|term= G |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4m|SZ=}} besitzt, ist {{math|term= H |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=.}} Daher können wir {{ Faktlink |Präwort=mit Hilfe von||Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr=3 |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |SZ= }} den Invariantenring {{mathl|term= K[U,V]^{G } |SZ=}} ausrechnen. Es ist ja {{ Relationskette/display |S | {{defeq|}} | K[U,V]^{H} || K[U^{2m},V^{2m}, UV] || K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^{2m} |}} |SZ=. }} Die Operation des nichttrivialen Elementes aus {{ Relationskette |G/H | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} || || || |SZ= }} auf diesem Invariantenring wird durch die Operation von {{math|term= B |SZ=}} auf {{mathl|term= K[U,V] |SZ=}} repräsentiert. Sie ist also durch {{ mathkor|term1= U \mapsto {{Imaginäre Einheit|}} V |und|term2= V \mapsto {{Imaginäre Einheit|}} U |SZ= }} gegeben und induziert {{ Math/display|term= X = U^{2m} \longmapsto {{Imaginäre Einheit|}}^{2m} V^{2m} = \rho Y |SZ=, }} {{ Math/display|term= Y = V^{2m} \longmapsto {{Imaginäre Einheit|}}^{2m} U^{2m} = \rho X |SZ=, }} {{ Math/display|term= Z = UV \longmapsto {{Imaginäre Einheit|}}^{2} UV = - Z |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | \rho || \pm 1 || || || |SZ= }} ist, je nachdem, ob {{math|term= m |SZ=}} gerade oder ungerade ist. Durch diese Operation ist {{math|term= S |SZ=}} {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=-}}graduiert. Bei {{math|term= m |SZ=}} gerade sind {{Math/display|term=X+Y, Z^2, Z(X-Y) |SZ=}} invariante Polynome {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= m |SZ=}} ungerade {{mathlk|term=X-Y, Z^2, Z(X+Y) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ mathkor|term1= Z |und|term2= X-Y |SZ= }} sind {{ Definitionslink |semiinvariante Polynome| |Kontext=| |SZ=. }} Mittels {{ mathkor|term1= X = {{op:Bruch| 1 | 2}} (X+Y) + {{op:Bruch| 1 | 2}} (X-Y) |und|term2= Y = {{op:Bruch| 1 | 2}} (X+Y) - {{op:Bruch| 1 | 2}} (X-Y) |SZ= }} lässt sich für jedes Monom {{mathl|term= X^{i}Y^{j}Z^{k} |SZ=}} die homogene Zerlegung bezüglich dieser Graduierung angeben {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{mathlk|term=(X-Y)^2= (X+Y)^2-4Z^{2m} |SZ=}} kann diese Invariante durch die anderen ausgedrückt werden| |ISZ=|ESZ=. }} Deshalb bilden {{mathl|term= L=X+Y,\, M= Z^2,\, N= Z(X-Y) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Algebraerzeugendensystem| |Kontext=| |SZ= }} des Invariantenringes {{ Relationskette/display | R^G ||S^{ {{op:Zmod| 2 |}} } || || || |SZ=. }} Es besteht die Relation {{ Relationskette/align | N^2 || Z^2 (X-Y)^2 || M {{makl| X^2+Y^2-2XY |}} || M {{makl| L^2 - 4XY |}} || M L^2 - 4M M^{m} || ML^2 -4 M^{m+1} |SZ=. }} Da das Polynom {{ Math/display|term= N^2 -ML^2 +4 M^{m+1} |SZ= }} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |SZ= }} ist, und der Invariantenring zweidimensional sein muss, ist {{ Relationskette/display | R^G | \cong| K[L,M,N]/ {{makl| N^2 -ML^2 +4 M^{m+1} |}} || || || |SZ=. }} Unter schwachen Bedingungen an den Körper {{math|term= K |SZ=}} ist dieser Ring isomorph zu {{ Math/display|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+YZ^2 + Y^{m+1} |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die binäre Diedergruppe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nn7skpq7flu88kekan4ux60l819xc78 0 56142 1099764 1084868 2026-06-17T06:26:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099764 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen den {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |binären Tetraedergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Binäre Tetraedergruppe||}} | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} || || || |SZ= }} berechnen, die auf dem Polynomring {{mathl|term= {{CC}}[U,V] |SZ=}} operiert. Wir verwenden den {{ Definitionslink |Normalteiler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Binäre Diedergruppe| 2 |}} | \subseteq | {{op:Binäre Tetraedergruppe||}} || || || |SZ=. }} Der Invariantenring {{mathl|term= {{CC}}[U,V]^{{op:Binäre Diedergruppe| 2 |}} |SZ=}} wird {{ Beispiellink |Präwort=nach|| Beispielseitenname= Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel |Nr= |SZ= }} von {{ Math/display|term= L = U^4+V^4, \, M = U^2V^2 \text{ und } N = UV {{makl| U^4-V^4 |}} |SZ= }} erzeugt mit der Relation {{ Relationskette/display | N^2-ML^2+4M^3 || 0 || || || |SZ=. }} Auf diesem Invariantenring wirkt die Restklassengruppe {{ Relationskette | {{op:Binäre Tetraedergruppe|}} / {{op:Binäre Diedergruppe| 2 |}} | \cong | {{op:Zmod| 3 |}} || || || |SZ=, }} wobei das nichttriviale Element {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5| \zeta}} |SZ= }} repräsentiert wird. Diese Matrix schickt {{math|term= U |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^7 U + \zeta^7 V |}} |SZ=}} und {{math|term= V |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^5 U + \zeta V |}} |SZ=.}} Daher ist {{ Math/display|term= U^4 \longmapsto - {{op:Bruch| 1 | 4 |}} {{makl| U^4+4U^3V+6U^2V^2+4UV^3+V^4 |}} |SZ= }} und {{ Math/display|term= V^4 \longmapsto - {{op:Bruch| 1 | 4 |}} {{makl| -U+V |}}^4 = - {{op:Bruch| 1 | 4 |}} {{makl| U^4-4U^3V+6U^2V^2-4UV^3+V^4 |}} |SZ= }} und damit {{ Math/display|term= L = U^4+V^4 \longmapsto - {{op:Bruch| 1 | 2 |}} {{makl| U^4 + 6 U^2V^2 +V^4 |}} = - {{op:Bruch| 1 | 2 |}} L - 3 M |SZ=. }} Ferner wird {{ Relationskette | M || U^2V^2 || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Bruch| 1 | 4}} {{makl| \zeta^7 U + \zeta^7 V |}}^2 {{makl| \zeta^5 U + \zeta V |}}^2 || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{makl| U + V |}}^2 {{makl| - U + V |}}^2 || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{makl| U^4 -2 U^2V^2+V^4 |}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{makl|L -2M |}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} L - {{op:Bruch| 1 | 2}} M |SZ= }} geschickt. Das Element {{ Relationskette | N || UV {{makl| U^4-V^4 |}} || || || |SZ= }} wird auf {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^7 U + \zeta^7 V |}} {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2}|}} {{makl| \zeta^5 U + \zeta V |}} {{makl| -2 U^3V - 2 UV^3 |}} || (U+V)(-U+V) {{makl| - U^3V - UV^3 |}} || (U+V)(-U+V) (-1) UV {{makl| U^2 + V^2 |}} || UV (U-V) (U+V) (U+iV)(U-iV) || UV {{makl| U^4-V^4 |}} || N |SZ=, }} also auf sich selbst geschickt. Neben {{ Relationskette/display | N || UV(U^4-V^4) || || || |SZ= }} sind, wie man direkt nachrechnet, auch {{ Relationskette/display | P | {{defeq|}} | L^2+12M^2 || U^8+14 U^4V^4 +V^8 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Q | {{defeq|}} | L^3 -36 LM^2 || U^{12} -33U^8V^4-33U^4V^8 +V^{12} || || || |SZ= }} invariant. Wegen {{ Relationskette/display | N^4 || {{makl| ML^2-4M^3 |}}^2 || M^2L^4 -8 M^4 L^2 +16 M^6 || || |SZ= }} einerseits und {{ Relationskette/align/drucklinks | {{makl| L^3 -36 LM^2 |}}^2 - {{makl| L^2+12M^2 |}}^3 || -72 L^4M^2 + 1296 L^2M^4 - 36 L^4M^2 - 432 L^2M^4 - 1728 M^6 || -108 L^4M^2 + 864 L^2M^4 - 1728 M^6 || - 108 {{makl| M^2L^4 -8 M^4 L^2 +16 M^6 |}} || |SZ= }} andererseits haben wir zwischen diesen Invarianten die Relation {{ Relationskette/display | -108 N^4 || {{makl| L^3-36 LM^2 |}}^2 - {{makl| L^2+12M^2 |}}^3 || || || |SZ=. }} Mit {{ mathkor|term1= P=L^2+12M^2 |und|term2= Q= L^3-36 LM^2 |SZ= }} liegt also die Relation {{ Relationskette/display | Q^2-P^3+108 N^4 || 0 || || || |SZ= }} vor. Wir müssen noch zeigen, dass damit alle Invarianten erfasst sind, dass also der Invariantenring von {{mathl|term= N,P,Q|SZ=}} erzeugt wird. Dazu lassen wir uns davon leiten, dass eine Operation der {{mathl|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=}} vorliegt, die von einer {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod| 3 |}} |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} herrühren muss. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Invariantenring gleich dem Ring der neutralen Stufe, der häufig einfacher zu bestimmen ist. Wie oben berechnet, wirkt der Erzeuger der Gruppe durch {{ mathkor|term1= L \mapsto - {{op:Bruch| 1 | 2 |}} L - 3 M |und|term2= M \mapsto {{op:Bruch| 1 | 4 |}} L - {{op:Bruch| 1 | 2 |}} M |SZ=. }} Durch {{ Definitionslink |Diagonalisierung| |Kontext=| |SZ= }} dieser Matrix erhält man, dass {{ Relationskette/display | A || \sqrt{3 } {{Imaginäre Einheit}} L-6M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || \sqrt{3 } {{Imaginäre Einheit}} L + 6M || || || |SZ= }} Eigenvektoren zu den Eigenwerten {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| -1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} | 2}} |bzw.|term2= {{op:Bruch| -1 -\sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} | 2}} |SZ= }} sind, die dritte Einheitswurzeln sind. Wegen {{ Relationskette/display | L || {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} (A+B) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | M || {{op:Bruch| 1 | 12}} ( B-A) || || || |SZ= }} kann man die definierende Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=des Invariantenringes zu {{mathlk|term=BD_2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in den Variablen {{mathl|term= N,A,B|SZ=}} als {{ Relationskette/align/drucklinks | N^2 -ML^2+ 4M^3 || N^2 - {{op:Bruch| 1 | 12}} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} |}}^2 ( B-A) (A+B)^2 + 4 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 12}} |}}^3 ( B-A)^3 || N^2 + {{op:Bruch| 1 | 144}} {{makl| B^3 + B^2A - BA^2 -A^3 |}} + {{op:Bruch| 1 | 432}} {{makl| B^3-3B^2A+3 BA^2-A^3 |}} || N^2 + {{op:Bruch| 1 | 108}} {{makl| B^3 -A^3 |}} || |SZ= }} schreiben. Wir können also davon ausgehen, dass der Ring {{ Math/display|term= K[N,A,B]/ {{makl| N^2 + {{op:Bruch| 1 | 108}} B^3 - {{op:Bruch| 1 | 108}} A^3 |}} |SZ= }} vorliegt, der {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=-}}graduiert ist, wobei {{math|term= N |SZ=}} den Grad {{math|term= 0 |SZ=,}} {{math|term= B |SZ=}} den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= A |SZ=}} den Grad {{math|term= 2 |SZ=}} bekommt. Die definierende Gleichung besitzt den Grad {{math|term= 0 |SZ=.}} Der Ring der nullten Stufe wird offenbar von {{mathl|term= N,A^3,B^3,AB|SZ=}} erzeugt. Für die oben gefundenen invarianten Polynome gilt {{ Relationskette/align | P || L^2+12M^2 || - {{op:Bruch| 1 | 12}} {{makl| A+B |}}^2 + {{op:Bruch| 1 | 12}} (B-A)^2 || - {{op:Bruch| 1 | 3}} AB || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | Q || L^3-36 LM^2 || {{op:Bruch| 1 | 2\sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} (A+B) {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 12}} (A+B)^2 - {{op:Bruch| 1 | 4}} (B-A)^2 |}} || {{op:Bruch| 1 | 6 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} (A+B) {{makl| - A^2 + AB - B^2 |}} || {{op:Bruch| 1 | 6 \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }} {{makl| A^3 + B^3 |}} |SZ=. }} Mit Hilfe der Relation kann man {{math|term= A^3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= B^3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} als Linearkombination von {{mathl|term= N,P,Q|SZ=}} ausdrücken. Daher sind dies Algebraerzeuger des Invariantenrings und dieser ist zu {{ Math/display|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^4 |}} |SZ= }} isomorph. Man spricht von der {{math|term= E_6 |SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw= E6-Singularität|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gqb37rlzk4ioz1ta1x393njq4keiiwg 0 56143 1099761 1084865 2026-06-17T06:26:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Berechnung des {{ Definitionslink |Invariantenringes| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |binären Oktaedergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Binäre Oktaedergruppe}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V] |SZ=}} benutzen wir die Normalteilerbeziehung {{ Relationskette | {{op:Binäre Tetraedergruppe}} | \subseteq | {{op:Binäre Oktaedergruppe}} || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Restklassengruppe {{mathlk|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Das Element {{ Relationskette | {{op:Matrix22|\xi| 0 | 0|\xi^7}} | \in | {{op:Binäre Oktaedergruppe}} \setminus {{op:Binäre Tetraedergruppe}} || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \xi |SZ=}} eine achte {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} ist, wirkt durch {{ mathkor|term1= U \mapsto \xi U |und|term2= V \mapsto \xi^7 V |SZ=. }} Somit wird in der Darstellung {{ Relationskette/display | {{CC}}[U,V]^{{{op:Binäre Tetraedergruppe}} } || {{CC}}[N,P,Q]/ {{makl| Q^2-P^3+108N^4 |}} || || || |SZ= }} das Polynom {{ Relationskette | N || UV {{makl| U^4-V^4 |}} || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette/display | UV{{makl| - U^4 +V^4 |}} || -N || || || |SZ=, }} {{math|term= P |SZ=}} auf {{math|term= P |SZ=}} und {{math|term= Q |SZ=}} auf {{math|term= -Q |SZ=}} geschickt. Auf dem isomorphen Ring {{math/druckdisplay|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^4 |}} |SZ=}} ist dies einfach die Operation, die {{math|term= Y |SZ=}} auf sich und {{math|term= X,Z |SZ=}} auf ihr Negatives abbildet. Wir arbeiten mit der {{math|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=-}}Graduierung, bei der {{math|term= Y |SZ=}} den Grad {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= X,Z|SZ=}} den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} besitzen. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Invariantenring gleich der neutralen Stufe in der Graduierung. Diese Stufe wird neben {{math|term= Y |SZ=}} von {{ mathkor|term1= R=XZ |und|term2= S=Z^2 |SZ= }} erzeugt {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Relationskette/k | X^2 || -Y^3- {{makl| Z^2 |}}^2 || |SZ= }} kann man auf {{math|term= X^2 |SZ=}} verzichten| |ISZ=|ESZ=. }} Zwischen {{mathl|term= Y,R,S |SZ=}} besteht die Relation {{ Relationskette/display | R^2 +Y^3S +S^3 || (XZ)^2 +Y^3 Z^2 +Z^6 || Z^2 {{makl| X^2 +Y^3 +Z^4 |}} || 0 || |SZ=. }} Nach Umbenennung der Variablen ist also der Invariantenring zur binären Oktaedergruppe isomorph zu {{ Math/display|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2 +Y^3 +YZ^3 |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lgb5a8gohn2bd8wtuwgzts85b3kyee 0 56180 1099762 1084866 2026-06-17T06:26:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099762 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |binäre Diedergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= BD_2 |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Kontext=| |SZ= }} in der {{ Definitionslink |binären Tetraedergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= BT|SZ=.}} Die Untergruppenbeziehung kann man direkt aus den expliziten Beschreibungen {{ Relationskette/display | BD_2 || \langle {{op:Matrix22| {{Imaginäre Einheit}} | 0 | 0| - {{Imaginäre Einheit}} | }} , \, {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit}} | {{Imaginäre Einheit}} | 0 | }} \rangle | \subseteq | \langle {{op:Matrix22| {{Imaginäre Einheit}} | 0 | 0| - {{Imaginäre Einheit}} | }} , \, {{op:Matrix22| 0 | {{Imaginäre Einheit}} | {{Imaginäre Einheit}} | 0 | }}, \, {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Matrix22|\zeta^7|\zeta^7|\zeta^5|\zeta}} \rangle || BT || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive achte Einheitswurzel ist| |ISZ=|ESZ= }} ablesen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ecv2e32p7otagxn27e7v6zkzwww6tqv 0 56189 1099758 1084863 2026-06-17T06:25:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099758 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit Hilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Binäre Ikosaedergruppe/Kein Charakter/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man direkt invariante Polynome für die binäre Ikosaedergruppe angeben. Ein Ikosaeder hat {{math|term= 12 |SZ=}} Ecken, {{math|term= 20 |SZ=}} Flächen und {{math|term= 30 |SZ=}} Kanten, wobei die Ecken, die Flächenmittelpunkte und die Kantenmittelpunkte die Halbachsenklassen bilden. Daher gibt es invariante Polynome {{mathl|term= A,B,C |SZ=}} vom Grad {{mathl|term= 12,20 |SZ=}} und {{math|term= 30 |SZ=.}} Diese kann man mit einigem Rechenaufwand explizit ausrechnen, indem man explizit die Halbachsenklassen der reellen Ikosaedergruppe angibt {{ Zusatz/Klammer |text=also beispielsweise alle zwölf Eckpunkte| |ISZ=|ESZ=, }} diese ins Komplexe übersetzt und die zugehörigen Linearformen multipliziert. Unabhängig davon, ob diese Polynome explizit oder nicht vorliegen, kann man zeigen, dass diese den Invarianenring erzeugen, dass also {{ Relationskette | R^G || {{CC}}[A,B,C] || || || |SZ= }} gilt. Es sei dazu {{ Relationskette | {{{P|P}}} | \in | R^G || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |invariant| |Kontext=Polynom| |SZ=, }} das wir als homogen annehmen dürfen. Wir führen Induktion über den Grad, wobei der Grad {{math|term= 0 |SZ=}} der {{ Zusatz/Klammer |text=triviale| |ISZ=|ESZ= }} Induktionsbeginn ist. Es sei {{math|term= {{{P|P}}} |SZ=}} homogen von positivem Grad und es sei {{ Relationskette/display | {{{P|P}}} || \prod_{j {{=}} 1}^s {{makl| d_j U - c_jV |}} || || || |SZ= }} die Faktorzerlegung in Linearfaktoren. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt |Nr=3 |SZ= }} enthält die {{ Zusatz/Klammer |text=nichtleere| |ISZ=|ESZ= }} indizierte Familie eine volle Bahn der Operation der reellen Ikosaedergruppe auf {{math|term= S^2 |SZ=}} bzw. {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} |}} |SZ=.}} Wenn diese Bahn eine Halbachsenklasse ist, so ist {{ Relationskette/display | {{{P|P}}} || HD || || || |SZ= }} mit {{math|term= D=A,B|SZ=}} oder {{math|term= = C |SZ=.}} Wegen der Invarianz von {{ mathkor|term1= {{{P|P}}} |und|term2= D |SZ= }} ist auch {{math|term= H |SZ=}} invariant. Nach Induktionsvoraussetzung ist also {{ Relationskette | H | \in | {{CC}}[A,B,C] || || || |SZ=. }} Wenn dagegen die indizierte Familie keine Halbachsenklasse enthält, so enthält sie eine Bahn mit sechzig Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{ Relationskette/k | \sigma(P) || P || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | \sigma | \in | I || || || |SZ= }} folgt, dass {{math|term= P |SZ=}} ein Halbachsenpunkt ist| |ISZ=|ESZ=. }} Also ist {{ Relationskette/display | {{{P|P}}} || HD || || || |SZ= }} und {{math|term= D |SZ=}} ist invariant vom Grad {{math|term= 60 |SZ=.}} {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Binäre Ikosaedergruppe/Hilbert-Reihe/Grad 60/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Raum der invarianten Polynome vom Grad {{math|term= 60 |SZ=}} zweidimensional. Die Polynome {{math|term= A^5,B^3,C^2 |SZ=}} erzeugen diesen Raum, da sie paarweise linear unabhängig sind, was daraus folgt, dass sie {{ Zusatz/Klammer |text=in {{mathlk|term= {{CC}}[U,V] |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} aus unterschiedlichen Linearfaktoren zusammengesetzt sind. Daher ist {{ Relationskette | D | \in | {{CC}}[A,B,C] || || || |SZ= }} und dies gilt nach Induktionsvoraussetzung auch für {{math|term= H |SZ=.}} Weiterhin folgt aus der Zweidimensionalität der sechzigsten Stufe des Invariantenringes, dass eine Relation der Form {{ Relationskette/display |\alpha A^5 + \beta B^3 + \gamma C^2 || 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \alpha, \beta,\gamma | \neq | 0 || || || || |SZ= }} vorliegen muss, was den Isomorphietyp des Ringes bereits bestimmt. Wir geben noch die invarianten Polynome zu den Halbachsen an, und zwar geben wir homogene invariante Polynome vom Grad {{mathl|term= 12,20,30 |SZ=}} an, wobei wir die Invarianz nur exemplarisch überprüfen. Wir setzen {{ Relationskette/display |\tilde{A} || U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \tilde{B} || U^{20} -228 U^{15}V^5 +494 U^{10} V^{10} + 228 U^{5} V^{15} + V^{20} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \tilde{C} || U^{30} + 522 U^{25}V^5 -10005 U^{20} V^{10} -10005 U^{10} V^{20} - 522 U^{5}V^{25} + V^{30} || || || |SZ=. }} Wenn man nachweist, dass diese Polynome invariant sind, so muss wegen {{ Relationskette | \tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C} | \in | {{CC}}[A,B,C] || || || |SZ= }} und aus Gradgründen {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Skalierung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | \tilde{A} || A || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \tilde{B} || B || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \tilde{C} || C || || || |SZ=, }} gelten. Die erzeugenden Matrizen {{ Mathkor/display|term1= E= - {{op:Matrix22| \xi^3| 0 | 0| \xi^2}} |und|term2= F= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= \xi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |primitive| |Kontext=EHW| |SZ= }} {{math|term= 5 |SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel sei| |ISZ=|ESZ= }} der binären Ikosaedergruppe wirken durch {{ Math/display|term= U \mapsto - \xi^3 U,\, V \mapsto - \xi^2 V |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= U \mapsto {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5 } }} {{makl| ( - \xi + \xi^4 )U +(\xi^2 - \xi^3) V |}}, \, V \mapsto {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5 } }} {{makl| ( \xi^2 - \xi^3 )U +(\xi - \xi^4 )V |}} |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align/handlinks | (\tilde{A}) E || (U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11})E || ( - \xi^{33} )(- \xi^2 ) U^{11} V + 11 ( \xi^{18} \xi^{12} ) U^{6} V^{6} - ( - \xi^{3} )(- \xi^{22} ) UV^{11} || U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} - UV^{11} || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer aufwändigen Rechnung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | (\tilde{A}) F || (U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11})F || U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11} || || |SZ=. }} Zwischen diesen invarianten Polynomen besteht, wie eine aufwändige Rechnung zeigt, die Beziehung {{ Relationskette/align/netzlinks/teile | \tilde{C}^2 - \tilde{B}^3 -1728 \tilde{A}^5 || {{makl|U^{30} + 522 U^{25}V^5 -10005 U^{20} V^{10} -10005 U^{10} V^{20} - 522 U^{5}V^{25} + V^{30} |}}^2 | 3teil2= - {{makl| U^{20} -228 U^{15}V^5 +494 U^{10} V^{10} +228 U^{5} V^{15} + V^{20} |}}^3 -1728 {{makl| U^{11}V + 11 U^{6} V^{6} -UV^{11} |}}^5 || U^{55}V^5 {{makl| 1044 +684 -1728 |}} + \ldots || 0 || |SZ=. }} Dies überprüft man, indem man die Koeffizienten zu den Monomen {{ mathbed|term= U^{5i}V^{5j} ||bedterm1= i+j=12 ||bedterm2= |SZ=, }} berechnet. Da diese Relation irreduzibel ist, liegt die Isomorphie {{ Relationskette/display | {{CC}}[U,V]^{ BI } || {{CC}}[\tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}]/(\tilde{C}^2 - \tilde{B}^3 -1728 \tilde{A}^5) || || || |SZ= }} vor. Nach Umbenennung und Streckung der Variablen ist dieser Ring isomorph zu {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^5 |}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swtofc5u01mp6goqhzeevsjfze9njcb 0 56197 1099803 1084905 2026-06-17T06:32:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099803 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Dreiecke im {{math|term= \R^2 |SZ=.}} Die Ebene {{math|term= \R^2 |SZ=}} sei mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |SZ= }} versehen, sodass wir Längen, Winkel und Flächeninhalte zur Verfügung haben. Eine {{Stichwort|affine Isometrie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Kongruenz|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} der Ebene ist eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^2 | \R^2 || |SZ= }} der Form {{ Math/display|term= P \mapsto AP + v |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |A || {{op:Matrix22| a | b | c |d}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Isometrie| |Kontext=| |SZ= }} ist, also durch eine {{ Definitionslink |orthogonale Matrix| |Kontext=| |SZ= }} beschrieben wird, und wobei {{ Relationskette | v | \in | \R^2 || || || |SZ= }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=Verschiebungs| |ISZ=|ESZ=- }}Vektor ist. In Koordinaten liegt also die Abbildung {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| x | y}} \mapsto {{op:Matrix22| a | b | c |d}} {{op:Spaltenvektor| x | y}} + {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 }} |SZ= }} vor. Orthogonal bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |SZ= }} bilden. Im zweidimensionalen bedeutet dies, dass entweder {{math|term= A |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Drehmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |A || {{op:Drehmatrix|\alpha}} || || || |SZ= }} oder eine {{Stichwort|gespiegelte Drehmatrix|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|uneigentliche Drehmatrix|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |A || {{op:Drehmatrix/uneigentlich|\alpha}} || || || |SZ= }} ist. Zu den ebenen Kongruenzen gehören insbesondere {{Stichwort|Verschiebungen|msw=Verschiebung|SZ=,}} {{Stichwort|Achsenspiegelungen|msw=Achsenspiegelung|SZ=,}} {{Stichwort|Punktspiegelungen|msw=Punktspiegelung|SZ=}} und {{Stichwort|Drehungen|msw=Drehung|SZ=,}} die auch aus der Schule bekannt sind. Diese Abbildungen erhalten allesamt das Skalarprodukt, Längen, Winkel {{ Zusatz/Klammer |text=aber ohne die Orientierung| |ISZ=|ESZ= }} und Flächeninhalte. Unter einem {{Stichwort|Dreieck|SZ=}} in der Ebene verstehen wir einfach ein Tupel aus drei Punkten der Ebene, also ein geordnetes Tripel {{mathl|term= {{op:Dreiertupel|P}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | P_i || {{op:Zeilenvektor| x_i | y_i }} || || || |SZ=. }} Die Dreieckspunkte sind also geordnet und wir erlauben auch {{Stichwort|degenerierte|msw=degeneriert|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|ausgeartete|msw=ausgeartet|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} Dreiecke, beispielsweise können die Punkte {{Stichwort|kolinear|SZ=}} sein oder auch zusammenfallen. Ein Dreieck ist also einfach ein Punkt im {{math|term= \R^6 |SZ=.}} Eine Kongruenz {{math|term= g |SZ=}} überführt ein Dreieck {{math|term= \triangle |SZ=}} in ein neues Dreieck {{math|term= g( \triangle) |SZ=,}} und zwar ist das Bilddreieck durch {{ Relationskette/display | g (\triangle) || g {{op:Dreiertupel|P}} || {{Tupel|g( P_1)|g(P_2)|g(P_3)}} || || |SZ= }} definiert. Zwei Dreiecke {{ mathbed|term= \triangle_1 |und|bedterm1= \triangle_2 ||bedterm2= |SZ= }} heißen {{Stichwort|geordnet kongruent|SZ=,}} wenn es eine Kongruenz gibt, die das eine Dreieck in das andere überführt {{ Zusatz/Klammer |text=bei einer nicht geordneten Kongruenz kann man noch die Nummerierung der Punkte ändern| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Zusatz/Klammer |text=geordnete| |ISZ=|ESZ= }} Kongruenz von Dreiecken ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ=. }} Unter einer Kongruenz bleiben diejenigen Größen eines Dreiecks erhalten, die generell unter einer Kongruenz erhalten bleiben, also der Flächeninhalt, die Länge der Seiten, und daraus abgeleitete Größen wie der Umfang des Dreiecks, die Länge der kleinsten Seite, usw., dagegen werden andere Größen des Dreiecks verändert, seine Lage im Raum, die Koordinaten seiner Punkte. Da ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte vollständig beschrieben wird, müssen alle dem Dreieck zugeordneten Größen als eine Funktion der sechs Koordinaten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | y_1 | x_2 | y_2 | x_3 | y_3 }} |SZ=}} ausdrückbar sein. Eine Größe ist also einfach eine zunächst beliebige Funktion {{ Abbildung/display |name= \mu |\R^6|\R |\triangle| \mu(\triangle) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=man kann auch andere Wertebereiche zulassen| |ISZ=|ESZ=. }} Man sagt, dass eine solche Funktion {{Stichwort|nur von der Kongruenzklasse abhängt|msw=Nur von der Kongruenzklasse abhängig|SZ=}} oder {{Stichwort|invariant|SZ=}} unter der Kongruenz ist, wenn für jedes Dreieck {{ Relationskette | \triangle | \in | \R^6 || || || |SZ= }} und jede Kongruenz {{math|term= g |SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | \mu (\triangle) || \mu (g( \triangle)) || || || |SZ= }} gilt. Eine solche invariante Funktion nennt man auch eine {{Stichwort|innere Größe|SZ=}} des Dreiecks, da sie nicht von der Lage des Dreiecks in der Ebene abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man sowohl die invariante Funktion als auch den Wert einer solchen an einem bestimmten Dreieck als innere Größe bezeichnet| |ISZ=|ESZ=. }} Der Flächeninhalt {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe |Nr= |SZ=; }} man verschiebe den Eckpunkt {{mathlk|term= (x_3,y_3) |SZ=}} des Dreiecks in den Nullpunkt und betrachte dann die daran anliegenden Seiten als Vektoren| |ISZ=|ESZ= }} des Dreiecks wird durch {{ Relationskette/align | \mu (\triangle) || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x_1-x_3 | x_2-x_3 | y_1-y_3 | y_2-y_3 }} |}} ||}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Betrag| {{makl| x_1-x_3 |}} {{makl| y_2-y_3 |}} - {{makl| y_1-y_3 |}} {{makl| x_2-x_3 |}} |}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Betrag| x_1y_2-x_2y_1 - x_1y_3+ x_3y_1 -x_3y_2 +x_2y_3 }} || |SZ= }} gegeben. Aufgrund der inhaltlichen Interpretation als Flächeninhalt eines Dreiecks muss es sich um eine innere Größe handeln. Dies lässt sich aber auch rechnerisch überprüfen. Um den Rechenaufwand zu minimieren, sind folgende einfache Vorüberlegungen sinnvoll: {{ Auflistung2 |Wenn eine Funktion {{math|term= \mu|SZ=}} invariant ist, so ist auch jede Funktion invariant, die nur von dieser Funktion abhängt; wenn also der Ausdruck {{ Relationskette | \nu(\triangle) || x_1y_2-x_2y_1 - x_1y_3+ x_3y_1 -x_3y_2 +x_2y_3 || || || |SZ= }} unter einer bestimmten Kongruenz invariant ist, so ist insbesondere auch der Betrag davon unter dieser Kongruenz invariant. |Da man jede Kongruenz als {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} von besonders einfachen Kongruenzen schreiben kann, nämlich von Verschiebungen, Drehungen und eventuell einer Spiegelung an der {{math|term= x |SZ=-}}Achse, genügt es, die Invarianz unter diesen erzeugenden Kongruenzen zu zeigen. }} Betrachten wir also diese speziellen Kongruenzen. Bei einer Verschiebung {{math|term= g |SZ=}} um den Vektor {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| w |z}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | \nu( g(\triangle)) || \nu {{op:Zeilenvektor| x_1+w| y_1+z| x_2+w| y_2+z| x_3+w| y_3+z}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x_1-w - {{makl| x_3-w |}} | x_2-w- {{makl| x_3-w |}} | y_1-z- {{makl| y_3-z |}} | y_2-z- {{makl| y_3 -z|}} |}} |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x_1-x_3 | x_2-x_3 | y_1-y_3 | y_2-y_3 }} }} || \nu(\triangle) |SZ=. }} Für eine Drehung {{math|term= D |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=um den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} um den Winkel {{math|term= \alpha |SZ=}} und einen Vektor {{ Relationskette | v | \in | V || || |SZ= }} und die zugehörige Verschiebung {{math|term= V_v |SZ=}} gilt {{ Relationskette | V_{-D(v) } \circ D \circ V_v || D || || || |SZ=. }} Da wir die Invarianz unter einer Verschiebung schon bewiesen haben, können wir annehmen, dass der dritte Eckpunkt der Nullpunkt ist, dass also {{ Relationskette | (x_3,y_3) || (0,0) || || || || |SZ= }} ist. Damit ist {{ Faktlink |Präwort=aufgrund des|Determinantenmultiplikationssatzes|Faktseitenname= Determinante/Multiplikationssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align | \nu (D (\triangle)) || {{op:Determinante| {{makl| {{op:Drehmatrix|\alpha|}} {{op:Matrix22| x_1 | x_2 | y_1 | y_2 }} |}} |}} || {{op:Determinante| {{op:Drehmatrix|\alpha|}} |}} {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x_1 | x_2 | y_1 | y_2 }} |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x_1 | x_2 | y_1 | y_2 }} |}} ||\nu (\triangle) |SZ=. }} Für die Spiegelung {{ Zusatz/Klammer |text=Achsenspiegelung um die {{math|term= x |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | S || {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| -1}} || || || |SZ= }} ist schließlich {{ Relationskette/display | \nu (S (\triangle)) || \nu {{makl| {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| -1}} {{op:Matrix22| x_1-x_3 | x_2-x_3 | y_1-y_3 | y_2-y_3 }} |}} || - \nu ( \triangle ) || || || |SZ=. }} Die Funktion {{math|term= \nu|SZ=}} ist also nicht invariant unter der Spiegelung, wohl aber ihr Betrag oder das Quadrat davon {{ Zusatz/Klammer |text=letzteres gilt über jedem Körper| |ISZ=|ESZ=. }} Die Funktion {{math|term= \nu|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{mathlk|term=\nu^2 |SZ=}} oder {{mathlk|term= {{op:Betrag|\nu|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} enthält auch die Information, ob das Dreieck ausgeartet ist oder nicht, nämlich genau dann, wenn {{math|term= \nu|SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} annimmt. Betrachten wir die Seitenlängen. Da wir mit geordneten Dreiecken arbeiten, sind {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Relationskette/k | i |\neq| j || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die Seitenlängen {{ Relationskette/display |L_{ij} || \sqrt{ {{makl| x_i-x_j |}}^2 + {{makl| y_i-y_j |}}^2 } || || || |SZ= }} invariant unter Kongruenzen {{ Zusatz/Klammer |text=sie sind nicht invariant unter Umnummerierungen, da diese ja beispielsweise {{mathlk|term= L_{12} |SZ=}} in {{mathlk|term= L_{13} |SZ=}} überführen| |ISZ=|ESZ=. }} Der Ausdruck {{ Relationskette | U || L_{12} + L_{13} + L_{23} || || || |SZ=, }} also der Umfang, ist invariant unter den Kongruenzen, aber auch unter Umnummerierungen. Die Invarianz der Seitenlängen ist ein Spezialfall der Invarianz der Skalarprodukte. Isometrien erhalten das Skalarprodukt, dies ist ihre definierende Eigenschaft. Zu {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= k |SZ=}} die dritte Zahl aus {{mathlk|term= \{1,2,3\} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} sei {{ Relationskette/align/handlinks |S_{ij} | {{defeq|}} | {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor| x_i-x_k | y_i-y_k }} | {{op:Spaltenvektor| x_j-x_k | y_j-y_k }} |}} || {{makl| x_i-x_k |}} {{makl| x_j-x_k |}} + {{makl| y_i-y_k |}} {{makl| y_j-y_k |}} || x_ix_j-x_ix_k -x_jx_k +x_k^2 + y_iy_j-y_iy_k -y_jy_k +y_k^2 || |SZ=. }} Das ist also das Skalarprodukt der beiden vektoriellen Seiten, die am Eckpunkt {{math|term= P_k |SZ=}} anliegen. Diese Funktionen sind invariant unter geordneten Kongruenzen. Die Invarianz der Winkel {{ Zusatz/Klammer |text=an einer bestimmten Ecke| |ISZ=|ESZ= }} zwischen zwei Dreiecksseiten folgt direkt aus der Invarianz der Skalarprodukte der zwei Seiten. Es gibt eine Reihe von elementargeometrischen Sätzen, die besagen, dass ein Dreieck bis auf Kongruenz durch die Angabe gewisser Größen bestimmt ist, z.B. durch die Angabe der drei Seitenlängen oder die Angabe eines Winkels und der Längen der beiden anliegenden Seiten. Betrachten wir die drei Längen als Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=die wir die {{Stichwort|Längenabbildung|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name=L |\R^6|\R^3 |\triangle| {{op:Zeilenvektor|L_{12}(\triangle)|L_{13}(\triangle)|L_{23}(\triangle)|}} |SZ=. }} Zwei Dreiecke sind gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt |Nr= |SZ= }} genau dann kongruent, wenn ihre Werte unter der Abbildung {{math|term= L |SZ=}} übereinstimmen. Die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} der Abbildung über einem Längentupel {{mathl|term= \ell_1,\ell_2,\ell_3 |SZ=}} besteht aus allen geordneten Dreiecken, deren Seitenlängen gleich {{math|term= \ell_i |SZ=}} sind. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Längentupel eines Dreiecks in {{mathl|term= \R_{\geq 0}^3 |SZ=}} liegt und die Dreiecksungleichung {{ Relationskette | \ell_1 | \leq | \ell_2+ \ell_3 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und Permutationen davon| |ISZ=|ESZ= }} erfüllen muss. Wenn {{ Abbildung |name=\mu |\R^6|\R || |SZ= }} irgendeine invariante Funktion ist, so ist diese auf den Kongruenzklassen, also den Fasern von {{math|term= L |SZ=,}} konstant, und somit gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion {{ Abbildung |name=\tilde{\mu} | \R^3 | \R || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \mu || \tilde{\mu} \circ L || || || |SZ=. }} In einem gewissen Sinn beschreiben die {{mathl|term= L_{ij} |SZ=}} sämtliche invarianten Funktionen. Es ist ein klassisches Resultat von Heron, dass man den Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechnen kann, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dreieck/Flächeninhalt aus Längen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum |Kategorie3=Dreiecksgeometrie |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1iu2khdy7lo9torh2zxs4pdkdt97h0d 0 56231 1099988 1085097 2026-06-17T07:01:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099988 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} der Körper mit zwei Elementen. Wir betrachten die {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} der {{ Definitionslink |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG| 2 |K}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Matq| 2 |K}} |SZ=}} durch {{ Definitionslink |Konjugation| |Kontext=Gruppe| |SZ=. }} Jede invertierbare Matrix hat die Determinante {{math|term= 1 |SZ=}} und für die {{ Definitionslink |Spur| |Kontext=Matrix| |SZ= }} kommen nur die Werte {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= 1 |SZ=}} in Frage. Die Einheitsmatrix {{mathl|term= {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| 1}} |SZ=}} hat die Spur {{math|term= 0 |SZ=,}} ebenso die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22| 0 | 1 | 1| 0}} |SZ=.}} Diese beiden Matrizen liegen also unter der Quotientenabbildung {{math|term= q |SZ=}} in der gleichen Faser. Sie sind aber nicht zueinander konjugiert {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt für jeden Körper der Charakteristik zwei| |ISZ=|ESZ=. }} Da {{mathl|term= {{op:Matq| 2 |K}} |SZ=}} endlich ist, kann man sich sofort eine polynomiale Abbildung {{ Abbildung |name= | {{op:Matq| 2 |K}} | {{op:Affine Gerade| K |}} || |SZ= }} hinschreiben, die auf der Einheitsmatrix den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} und sonst überall den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} hat und daher nicht durch die obige Quotientenabbildung faktorisiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine solche Abbildung ist aber auf {{mathl|term= {{op:Matq| 2 |K}} |SZ=}} nicht invariant ausdehnbar| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nm4j65nhdji1igyqtvuqfikkaduu7wz 0 56244 1100615 950039 2026-06-17T10:35:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100615 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Das {{Stichwort| 14. Hilbertsche Problem|msw=14. Hilbertsches Problem|SZ=}} ist die Frage, ob für jede Gruppenoperation auf einer endlich erzeugten {{math|term= K |SZ=-}}Algebra auch der Invariantenring {{math|term= R^G|SZ=}} endlich erzeugt ist. Es wurde von Hilbert 1900 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris als eines seiner [[w:Hilbertsche Probleme| 23 mathematischen Probleme]] vorgestellt und in den späten Fünfzigern durch ein Gegenbeispiel von [[w:Masayoshi Nagata|Masayoshi Nagata]] negativ beantwortet. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c36sdtle7si12vups85v7avocopr268 0 56257 1100435 1085570 2026-06-17T08:15:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1100435 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |positiven Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | p | > | 0 || || || |SZ=. }} Dann bilden die Matrizen {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{op:Matrix22| 1 | a | 0 | 1}} | a \in {{op:Zmod| p |}} |}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |zyklische| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 |K}} |SZ=}} mit {{math|term= p |SZ=}} Elementen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4fm2dsuelv6bix23ekxovowdyomq1go 0 56304 1100616 1085695 2026-06-17T10:35:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100616 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppenoperation/Integritätsbereich/Fundamentale Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} hängt die Invariantentheorie von Integritätsbereichen eng mit der Galoistheorie des Quotientenkörpers zusammen. In der Situation des Satzes ist bei endlichem {{math|term= G |SZ=}} die Körpererweiterung {{ Relationskette | K^G | \subseteq | K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ=, }} wie aus dem {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Artin|Faktseitenname= Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt. {{math|term= K^G |SZ=}} ist ja gerade der {{ Definitionslink |Fixring| |Kontext=| |SZ= }} unter den Körperautomorphismen zu {{math|term= G |SZ=.}} Die Untergruppen {{ Relationskette | H | \subseteq | G || || || |SZ= }} liefern {{ Definitionslink |Zwischenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K^G | \subseteq | M || K^H | \subseteq | K || |SZ= }} und {{ Relationskette | M \cap R || R^H || || || |SZ= }} ist der zugehörige Zwischenring {{ Zusatz/Klammer |text=man darf aber nicht erwarten, dass es eine bijektive Korrespondenz zwischen Zwischenringen und Untergruppen gibt| |ISZ=|ESZ=. }} Häufig besitzen Aussagen der Invariantentheorie stärkere Analoga in der Galoistheorie. Zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Invariantenring/Untergruppe/Fakt |Nr=3 |SZ= }} vergleiche man etwa die Rückrichtung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt |Nr=1 |SZ=. }} Es gibt aber auch erhebliche Unterschiede zwischen Invariantentheorie und Galoistheorie. Beispielsweise geht man in der klassischen Galoistheorie eher von einem Grundkörper {{math|term= K |SZ=}} aus und untersucht Körpererweiterungen {{ Relationskette | K | \subseteq | L || |SZ= }} zusammen mit der {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismengruppe| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= L |SZ=,}} während man in der klassischen Invariantentheorie eher mit dem Erweiterungsring anfängt und versucht, die Fixringe zu einer gewissen Operation zu bestimmen. Auch in der Invariantentheorie wird häufig ein Grundkörper {{math|term= k |SZ=}} vorausgesetzt, doch tritt dieser kaum als Invariantenring auf, sondern übernimmt die Rolle, dass alle beteiligten Ringe {{math|term= k |SZ=-}}Algebren über diesem Körper und alle Ringhomomorphismen {{math|term= k |SZ=-}}Algebrahomomorphismen sind. Beispielsweise ist die Bestimmung von Invariantenringen zum Polynomring {{mathl|term= k[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} zu {{ Zusatz/Klammer |text=linearen| |ISZ=|ESZ= }} Gruppenoperationen schon ein riesiges Teilgebiet der Invariantentheorie. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovxwwtk38uctyqcyogbkzssj1gqmqaf 0 56324 1100436 1085572 2026-06-17T08:15:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100436 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} der eine {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=-}}te {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} besitzt. Dann ist die Untergruppe {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{op:Matrix22|\zeta^{ {{{i|i}}} }| 0 | 0| \zeta^{-{{{i|i}}} }|}} | {{{i|i}}} {{=}}0,1 {{kommadots|}} {{{r|r}}} -1 }} |SZ=, }} der {{ Definitionslink |speziellen linearen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:SLG| 2 |K}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=.}} Die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| {{{r|r}}} |}} | {{op:SLG| 2 | K |}} | {{{i|i}}} | {{op:Matrix22|\zeta^{ {{{i|i}}} }| 0 | 0| \zeta^{- {{{i|i}}} }|}} |SZ=, }} ist eine zweidimensionale {{ Definitionslink |Darstellung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} einer zyklischen Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9au6clv7e8skt2ikb96pfysey02wffw 0 56325 1100438 1085574 2026-06-17T08:15:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100438 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | \zeta_1 {{kommadots|}} \zeta_n | \in | K || || || |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{op:Diagonalmatrix5|\zeta_1^{ {{{i|i}}} } | \zeta_2^{ {{{i|i}}} } | \ddots|\zeta_{n-1}^{ {{{i|i}}} } | \zeta_n^{ {{{i|i}}} } |}} | {{{i|i}}} {{=}}0,1, \ldots }} |SZ=, }} eine zyklische Untergruppe der {{ Definitionslink |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG| n | K}} |SZ=.}} Ihre Ordnung ist das {{ Definitionslink |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=Z| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir es {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} der Ordnungen der {{math|term= \zeta_j |SZ=.}} Die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| {{{r|r}}} |}} | {{op:GLG| n | K |}} | {{{i|i}}} | {{op:Diagonalmatrix5|\zeta_1^{ {{{i|i}}} } | \zeta_2^{ {{{i|i}}} } | \ddots|\zeta_{n-1}^{ {{{i|i}}} } | \zeta_n^{ {{{i|i}}} } |}} |SZ=, }} ist eine {{math|term= n |SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Darstellung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} einer zyklischen Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f4mhv9664bvfk9mlcmlhueclqnbbryr 0 56428 1100632 1085721 2026-06-17T10:38:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100632 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |K^n | K^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=, }} die durch eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A |SZ=}} gegeben sei. Dann wird der {{ Definitionslink |zugehörige| |Kontext=lineare Operation, Algebrahomomorphismus| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |K[Y_1 {{kommadots|}} Y_m] | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || |SZ= }} durch {{mathl|term= Y_j \mapsto \sum_{k =1 }^n a_{jk} X_k |SZ=}} gegeben. Nach Definition wird {{math|term= Y_j |SZ=}} auf die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= K^n \stackrel{\varphi }{\longrightarrow} K^m \stackrel{p_j }{\longrightarrow} K |SZ= }} abgebildet. Diese schickt den {{math|term= i |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Standardvektor| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= e_i |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | p_j {{makl| \varphi(e_i) |}} || p_j {{makl| \sum_{k {{=}} 1}^m a_{ki} e_k |}} || a_{ji} || || |SZ=. }} Durch diese Bedingungen ist aber gerade {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_{jk} p_k || \sum_{k {{=|}} 1}^n a_{jk} X_k || || || |SZ= }} charakterisiert. Zu einer Linearform {{mathl|term= \sum_{j=1}^m b_j Y_j |SZ=}} berechnet man also das Bild {{mathl|term= \sum_{i=1}^n c_i X_i |SZ=,}} indem man {{ Relationskette | c || {{op:transponiert| A |}} b || || || |SZ= }} ausrechnet {{ Zusatz/Klammer |text=siehe auch {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Für ein beliebiges Polynom {{ Relationskette | F | \in | K[Y_1 {{kommadots|}} Y_m] || || || |SZ= }} ergibt sich das Bild, indem man in {{math|term= F |SZ=}} jedes {{math|term= Y_j |SZ=}} durch den angegebenen Ausdruck ersetzt. Rechnerisch muss man nur die Gleichung {{ Relationskette/display | A {{op:Spaltenvektor| x_1| \vdots| x_n}} || {{op:Spaltenvektor| y_1 | \vdots| y_m}} || || || |SZ= }} konsequent anwenden. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b4lgs34tctt6x8iz82ptxhunfvov07o 0 56433 1099825 1035500 2026-06-17T06:35:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099825 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} der eine {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=-}}te {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} besitzt. Wir betrachten die {{ Beispiellink |Präwort=in|| Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Eindimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel |Nr= |SZ= }} beschriebene Operation von {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| {{{r|r}}} |}} | \cong| {{op:Einheitswurzelgruppe| {{{r|r}}} | K}} || || || |SZ= }} auf {{math|term= K |SZ=}} durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X] |SZ=}} ist dadurch gegeben, dass {{ Relationskette | \zeta^{i} | \in | {{op:Einheitswurzelgruppe| {{{r|r}}} | K}} || || || |SZ= }} durch {{mathl|term= X \mapsto \zeta^{i} X |SZ=}} wirkt. Somit wird eine Potenz {{math|term= X^{j} |SZ=}} auf {{mathl|term= \zeta^{ij} X^j |SZ=}} abgebildet. Insbesondere ist das Polynom {{math|term= X^r |SZ=}} {{ Definitionslink |fix| |Kontext=Operation| |SZ= }} unter dieser Gruppenoperation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie3=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wzz4vrrqn8xg4ci1m9cdsrob25hf60 0 56506 1099879 1084975 2026-06-17T06:44:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099879 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürliche Operation der {{ Definitionslink |symmetrischen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | G || S_2 | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | V || {{makl| {{op:Zmod| p |}} |}}^2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | p | \geq | 2 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten {{ Zusatz/Klammer |text=das entspricht der Matrix {{mathlk|term= {{op:Matrix22| 0 | 1 | 1| 0}} |SZ=}} bzw. {{mathlk|term=X \longleftrightarrow Y |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | f || XY^p -X^pY || X {{makl| Y^p-Y |}} - Y {{makl| X^p-X |}} || || |SZ= }} ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf {{math|term= V |SZ=,}} die Nullfunktion und somit insbesondere {{ Definitionslink |Prämath=G |invariant| |Kontext=| |SZ=. }} Dagegen ist {{math|term= f |SZ=}} kein {{ Definitionslink |symmetrisches Polynom| |Kontext=| |SZ= }} und gehört nicht zu {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}}[X,Y]^G |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oy99ud4p9znsg9v5aufs6fh3w2a0jhu 0 56562 1100440 1085576 2026-06-17T08:16:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100440 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | G || {{op:Zmod| r |}} || || || |SZ=. }} Der Erzeuger {{math|term= 1 |SZ=}} operiert auf {{mathl|term= {{op:Zmod| r |}} |SZ=}} durch Addition mit {{math|term= 1 |SZ=,}} die zugehörige {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{mathlk|term= {{Menge1r|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist also durch {{mathl|term= k \mapsto k+1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{mathlk|term= r \mapsto 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gegeben. Die zugehörige {{ Definitionslink |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{Op:Matrix55| 0 | 0| \ldots | 0 | 1 | 1| 0 | 0| \ldots| 0 | 0 | 1 | 0 | \ldots| 0 |\vdots| \ddots| \ddots| \ddots|\vdots | 0 | \ldots| 0 | 1 | 0 |}} |SZ=. }} Somit ist die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| {{{r|r}}} |}} | {{op:GLG| {{{r|r}}} | K |}} | {{{i|i}}} | {{Op:Matrix55| 0 | 0| \ldots | 0 | 1 | 1| 0 | 0| \ldots| 0 | 0 | 1 | 0 | \ldots| 0 |\vdots| \ddots| \ddots| \ddots|\vdots | 0 | \ldots| 0 | 1 | 0 |}}^{ {{{i|i}}} } |SZ=, }} die {{ Definitionslink |reguläre Darstellung| |Kontext=| |SZ= }} der zyklischen Gruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Der Satz von Cayley |Kategorie3=Theorie der Permutationsmatrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vqeakkgp8es7rw23oavz2p14zs2b82 0 56568 1099868 1084963 2026-06-17T06:42:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099868 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 0 |SZ=}} und {{ Relationskette | A || K[X,Y] || || || |SZ=. }} Auf der {{ Definitionslink |Prämath=A |Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | B || A[S,T]/(XS+YT+1) || K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1) || || |SZ= }} operiert die {{ Definitionslink |additive Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (K,+) |SZ=,}} indem ein {{ Relationskette | \lambda | \in | K || || || |SZ= }} durch {{ Math/display|term= X \mapsto X,\, Y \mapsto Y,\, S \mapsto S+ \lambda Y,\, T \mapsto T- \lambda X |SZ= }} wirkt. Wegen {{ Relationskette/display | X( S+ \lambda Y) + Y(T- \lambda X) || XS+YT || - 1 || || |SZ= }} sind diese zunächst auf {{mathl|term= K[X,Y,S,T] |SZ=}} definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra {{math|term= B |SZ=}} Automorphismen. Der Invariantenring ist {{ Relationskette | A || K[X,Y] || || || |SZ=, }} wobei die Inklusion {{ Relationskette/display | A | \subseteq | B^G || || || |SZ= }} unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die {{ Definitionslink |Nenneraufnahmen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | A | A_X || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= | B | B_X || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display/druckalign | B_X || {{makl| K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1) |}}_X | \cong| {{makl| A_X [S,T] |}}/(XS+YT+1) | \cong| A_X[T] || |SZ=, }} wobei beim letzten Isomorphismus {{math|term= S |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Bruch| -1-YT | X }} |SZ=}} abgebildet wird. Ebenso ist {{ Relationskette | B_Y | \cong | A_Y[S] || || || || |SZ=. }} Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf {{ Relationskette | B_X || A_X[T] || || || |SZ= }} ist {{math|term= A_X |SZ=}} der Invariantenring. Zu einem {{ mathbed|term= \lambda \in K ||bedterm1= \lambda \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} wird ein Polynom {{ Relationskette/display | F || a_0 + a_1 T {{plusdots|}} a_{n-1} T^{n-1} + a_n T^n || || || |SZ= }} auf {{ Math/display|term= a_0 + a_1( T- \lambda X ) {{plusdots|}} a_{n-1}( T- \lambda X )^{n-1} + a_n ( T- \lambda X )^n |SZ= }} abgebildet. Bei {{ Relationskette | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} ist der Koeffizient zu {{mathl|term= T^{n-1} |SZ=}} {{ Math/display|term= a_{n-1} - n \lambda X a_n |SZ= }} und dies ist bei {{ Relationskette | \lambda | \neq | 0 || || || |SZ= }} nicht gleich {{mathl|term= a_{n-1} |SZ=.}} Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für {{ Relationskette | A_Y | \subseteq | A_Y[S] || B_Y || |SZ=. }} Es sei nun {{ Relationskette | F | \in | B || || || |SZ= }} invariant. Dann ist {{math|term= F |SZ=}} auch als Element in {{ mathkor|term1= B_X |bzw. in|term2= B_Y |SZ= }} invariant und daher ist sowohl {{ Relationskette | F | \in | A_Y || || || |SZ= }} als auch {{ Relationskette | F | \in | A_X || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | F || {{op:Bruch| G | X^n}} || {{op:Bruch| H | Y^m}} || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | GY^m || HX^n || || || |SZ= }} und aus der {{ Definitionslink |Faktorialität| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y] |SZ=}} ergibt sich, dass {{math|term= G |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= X^n |SZ=}} sein muss. Somit gehört {{math|term= F |SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=.}} Der Invariantenring ist also {{math|term= A |SZ=.}} Dieser ist aber kein {{ Definitionslink |direkter Summand| |Kontext=Ring| |SZ= }} in {{math|term= B |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | 1 |\notin| (X,Y) || || || |SZ= }} in {{math|term= A |SZ=,}} aber {{ Relationskette | 1 | \in | (X,Y) || || || |SZ= }} in {{math|term= B |SZ=,}} was unmittelbar aus der definierenden Gleichung {{ Relationskette | XS+YT || -1 || || || |SZ= }} folgt. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Direkter Summand/Zyklisch rein/Aufgabe |Nr= |SZ= }} kann daher kein direkter Summand vorliegen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie2=Theorie der direkten Summanden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q03ikpld5ii9vdwdvirjuo31zc6wgjx 0 56668 1099853 1084950 2026-06-17T06:39:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099853 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,1,\cdot) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette/display |H | {{defeq|}} | {{op:Abbildungsmenge| G | K}} || || || |SZ= }} mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von {{math|term= G |SZ=}} sind. Wir definieren auf {{math|term= H |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Hopf-Algebrastruktur| |Kontext=| |SZ= }} unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation {{ Abbildung/display |name=\mu |G \times G| G || |SZ= }} führt zur Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Abbildungsmenge| G | K}} | {{op:Abbildungsmenge| G | K}} {{tensor|}} {{op:Abbildungsmenge| G | K}} \cong {{op:Abbildungsmenge|G \times G|K}} | f | f \circ \mu |SZ=, }} wodurch wir die {{ Definitionslink |Komultiplikation| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\Delta |H | H {{tensor|}}_{ {{{K|K}}} } H || |SZ= }} festlegen. Das Basiselement {{math|term= e_\sigma |SZ=}} zu {{ Relationskette | \sigma | \in | G || || || |SZ= }} wird dabei auf {{ Relationskette/display | \sum_{ \tau \cdot \rho {{=}} \sigma } e_\tau {{tensor|}} e_\rho || \sum_{ \tau } e_\tau {{tensor|}} e_ {\tau^{-1} \cdot \sigma} || || || |SZ= }} abgebildet. Das neutrale Element {{ Relationskette | 1 | \in | G || || || |SZ= }} induziert die Auswertungsabbildung {{ Abbildung/display |name= \epsilon | H {{=|}} {{op:Abbildungsmenge| G | K}} | K | f | f(1) |SZ=, }} und die Inversenbildung {{ Abbildung/display |name= \operatorname{inv} | G | G | \sigma | \sigma^{-1} |SZ=, }} führt zu {{ Abbildung/display |name=S | {{op:Abbildungsmenge| G | K}} | {{op:Abbildungsmenge| G | K}} | f | f \circ \operatorname{inv} |SZ=, }} wobei das Basiselement {{math|term= e_{\sigma} |SZ=}} auf {{mathl|term= e_{\sigma^{-1} } |SZ=}} abgebildet wird. Die Abbildungen {{mathl|term= \Delta,\epsilon, S |SZ=}} sind offenbar {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |SZ=. }} Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge| -|K}} |SZ=}} in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwysjkzt4qeon2rv5irb2y59iefd5iz 0 56675 1099709 1084808 2026-06-17T06:17:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099709 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ=. }} Auf dem {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=1| |SZ= }} {{mathl|term= K[X] |SZ=}} kann man folgendermaßen eine {{ Definitionslink |Hopf-Struktur| |Kontext=| |SZ= }} erklären. Die {{ Definitionslink |Komultiplikation| |Kontext=| |SZ= }} wird durch {{ Abbildung/display |name= \Delta | K[X] | K[X] {{tensor|K}} K[X] \cong K[X,Y] | X | X {{tensor|}}1 + 1 {{tensor|}} X {{=}} X+Y |SZ=, }} erklärt. Die {{ Definitionslink |Koeinheit| |Kontext=| |SZ= }} wird durch {{ Abbildung/display |name= |K[X] | K | X | 0 |SZ=, }} festgelegt und das {{ Definitionslink |Koinverse| |Kontext=| |SZ= }} ist durch {{ Abbildung/display |name= | K[X] | K[X] | X | -X |SZ=, }} definiert. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Hopf-Algebra/Additive Gruppe/Überprüfe/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die {{Stichwort|Hopf-Algebra der additiven Gruppe|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cynm9nh4menk5o76i8ds3vi2cd0jha0 0 56687 1099854 1084951 2026-06-17T06:40:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099854 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,1,\cdot) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Die gemäß {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Beispiel |Nr= |SZ= }} zugehörige {{ Definitionslink |Hopf-Algebra| |Kontext=| |SZ= }} ist einfach {{ Relationskette | H || {{op:Abbildungsmenge| G | K}} || || || |SZ=, }} also das {{mathl|term= {{op:Anzahl| G |}} |SZ=-}}fache {{ Definitionslink |direkte Produkt| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= K |SZ=}} mit sich selbst. Ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra{{drucktrenn}}homomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Abbildungsmenge| G | K}} | K || |SZ= }} muss {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Relationskette/k | e_\sigma \cdot e_\tau || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette/k | \sigma | \neq | \tau || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. {{math|term= \varphi|SZ=}} muss die Auswertung von {{ Relationskette | f | \in | {{op:Abbildungsmenge| G | K}} || || || |SZ= }} an einem Gruppenelement {{ Relationskette | \sigma | \in | G || || || |SZ= }} sein. Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:KSpek| {{op:Abbildungsmenge| G | K}} |}} || G || || || |SZ=. }} Darüber hinaus ist {{ Relationskette/display | {{op:Spek| {{op:Abbildungsmenge| G | K}} |}} || {{op:KSpek| {{op:Abbildungsmenge| G | K}} |}} || || || |SZ=. }} Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge| G | K}} |SZ=}} und ihre zugehörigen {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismen {{ Zusatz/Klammer |text=einen Gruppenelement {{ Relationskette/k | \sigma | \in | G || || || |SZ= }} entspricht die Projektion {{math|term= p_\sigma |SZ=}} auf die {{math|term= \sigma |SZ=-}}Komponente und ihr Kern| |ISZ=|ESZ=. }} Ebenso ist {{ Relationskette/display | G \times G || {{op:KSpek| H |}} \times_K {{op:KSpek| H |}} || {{op:KSpek|H {{tensor|K}} H|}} || || |SZ=. }} Ein Paar {{ Relationskette | {{makl| \sigma, \tau |}} | \in | G \times G || || || |SZ= }} entspricht dabei dem {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | H {{tensor|K}} H | K | f_1 {{tensor|}} f_2 | \sigma(f_1) \cdot \tau (f_2) |SZ=. }} Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation {{math|term= \mu|SZ=}} auf {{math|term= G |SZ=}} von {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ=, }} angewendet auf {{math|term= e_\rho |SZ=,}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | \mu{{makl| \sigma, \tau |}} ( e_\rho ) || {{makl| {{makl| \sigma {{tensor|}} \tau |}} \circ \Delta |}} ( e_\rho) || {{makl| \sigma {{tensor|}} \tau |}} {{makl| \sum_{ \rho_1 \cdot \rho_2 {{=}} \rho} e_{\rho_1 } {{tensor|}} e_{\rho_2 } |}} || \sum_{ \rho_1 \cdot \rho_2 {{=}} \rho} \sigma (e_{\rho_1 }) \cdot \tau(e_{\rho_2 }) || || |SZ=. }} Die Summanden sind nur dann gleich {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=andernfalls sind sie {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{ Relationskette |\rho_1 || \sigma || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |\rho_2 ||\tau || || || |SZ= }} ist. Daher ist die Summe nur im Fall {{ Relationskette/display |\rho || \sigma \tau || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} und sonst gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Dies bedeutet wiederum {{ Relationskette/display | \mu( \sigma ,\tau) || \sigma \tau || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= \sigma \tau |SZ=}} ebenfalls genau an {{mathl|term= e_{\sigma \tau} |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} und sonst überall den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt und die {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismen von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 69e43py6gercn6xba81hsv6tl2cnaxc 0 56863 1099963 1085053 2026-06-17T06:57:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099963 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{mathl|term= D=\chi\leftrightarrow G=G_m=K^x|SZ=}} {{mathl|term= K[X_n,\ldots,X_m] |SZ=}} {{mathl|term= d(X_i=1 |SZ=}} {{math|term= t |SZ=}} operiert durch Skalarmultipliktion {{mathl|term= d(X_i)=d\leftrightarrow \begin{pmatrix} t^{d_1 } & & &\\ & \ddots & & 0\\ 0 & & \ddots &\\ & & & t^{d_n } \end{pmatrix} |SZ=}} {{ inputbild | 8_1 |svg| 400px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild | 8_2 |svg| 400px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild | 8_3 |svg| 400px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{mathl|term= K[X,Y] |SZ=,}} {{mathl|term= d(X)=1,\, d(x)=2 |SZ=}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} b14xrr49qoqpzn16dhco8i01mnfe28m 0 56913 1100086 1085193 2026-06-17T07:18:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100086 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Restklassenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z| {{op:Zmod| \ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} ist der Kern durch {{ Relationskette |\Gamma ||\Z \ell || || || |SZ= }} gegeben. Die zugehörige Operation ist die von {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe| \ell| {{CC}}}} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC}} |SZ=}} durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} bzw. fixpunktfrei auf {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC}} |}} |SZ=.}} Die Quotientenabbildung ist durch das {{math|term= \ell|SZ=-}}te Potenzieren {{ Abbildung/display |name= | {{CC}} | {{CC}} | z |z^\ell |SZ=, }} gegeben. Die {{ Definitionslink |Fundamentalgruppe| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC}} |}} |SZ=}} ist bekanntlich {{math|term= \Z|SZ=.}} Hier kann man {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich {{ Relationskette | {{op:Einheiten| {{CC}} |}} || {{CC}} \setminus \{0\} || || || || |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |einfach zusammenhängend| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4n4piinb16m0eyc2ras00fmr6x8ymjx 0 56915 1100647 1085740 2026-06-17T10:40:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100647 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine {{ Definitionslink |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} des {{ Definitionslink |Polynomringes| |Kontext=n| |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}] |SZ=}} durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiven| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^{{{n|n}}} | {{op:Zmod| \ell}} {{defeq|}} D || |SZ= }} in eine endliche {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass {{mathl|term= \delta(e_j) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Erzeuger| |Kontext=zyklische Gruppe| |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Zmod| \ell|}} |SZ=}} für jeden Standardvektor {{ Relationskette | e_j | \in | \Z^{{{n|n}}} || || || |SZ= }} ist. Dann ist die {{ Definitionslink/- |zugehörige Operation| |Kontext=| |SZ= }} der Charaktergruppe {{ Relationskette |G || {{op:Charakterdual| D | {{CC}}}} || {{op:Einheitswurzelgruppe| \ell| {{CC}}}} || || |SZ= }} auf {{mathl|term= {{CC}}^{{{n|n}}} \setminus \{0\} |SZ=}} {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Zu {{ Relationskette | x |\neq| 0 || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette | x_j |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Für jeden Charakter {{ Relationskette | \chi |\neq| 1 || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | \chi( x ) || ( \ldots, \chi(\delta(e_j) ) x_j , \ldots) |\neq | ( \ldots, x_j , \ldots) || || |SZ=, }} da {{mathl|term= \delta(e_j) |SZ=}} nach Voraussetzung ein Erzeuger von {{math|term= D |SZ=}} ist und somit {{ Relationskette | \chi(\delta(e_j) ) |\neq | 1 || || || |SZ= }} ist. Bei {{ Relationskette | {{{n|n}}} | \geq | 2 || || || |SZ= }} ist in einem solchen Fall die Fundamentalgruppe von {{ Math/display|term= {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^G|}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= P |SZ=}} das Bild des Nullpunktes sei| |ISZ=|ESZ= }} aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| \ell|}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ds40qg7g2kp7p4vo9o8hcbychpn8fa3 0 56917 1100088 1085195 2026-06-17T07:18:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100088 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Abbildung/display |name=\delta |\Z^3| {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 2 |}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \delta(e_1) = (1,0),\, \delta(e_2) = (0,1),\, \delta(e_3) = (1,1) |SZ= }} festgelegte {{ Definitionslink |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V,W] |SZ=.}} Die zugehörige {{ Definitionslink |lineare Operation| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC}}^3 |SZ=}} ist durch die Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix3| 1 | 1| 1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix3| 1 | -1| -1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix3| -1| 1 | -1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix3| -1| -1| 1}} |SZ= }} gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^3 \setminus \{0\} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=, }} dagegen ist die Operation auf {{ Relationskette |X || {{CC}}^3 \setminus Z || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |Z || {{CC}} e_1 \cup {{CC}} e_2 \cup {{CC}} e_3 || || || |SZ= }} die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da {{math|term= Z |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=komplexe| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink/- |Kodimension| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=}} besitzt, ist {{math|term= X |SZ=}} {{ Definitionslink |einfach zusammenhängend| |Kontext=| |SZ=. }} Der Invariantenring ist {{mathl|term= {{CC}}[U^2,V^2,W^2,UVW] |SZ=}} mit der Relation {{ Relationskette | (UVW)^2 || U^2V^2W^2 || || || |SZ=. }} Daher ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} die Fundamentalgruppe von {{mathl|term= {{op:Spek| {{CC}}[U^2,V^2,W^2,UVW] |}}_{{CC}} \setminus q(Z) |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dysyp8zv5cu3whu4x6clbwi7pqlou5t 0 56918 1100087 1085194 2026-06-17T07:18:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100087 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Abbildung/display |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 2 |}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \delta(e_1) = (1,0),\, \delta(e_2) = (0,1) |SZ= }} festgelegte {{ Definitionslink |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V] |SZ=.}} Die zugehörige {{ Definitionslink |lineare Operation| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC}}^2 |SZ=}} ist durch die Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix2| 1 | 1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix2| 1 | -1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix2| -1| 1}} ,\, {{op:Diagonalmatrix2| -1| -1}} |SZ= }} gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^2 \setminus \{0\} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |frei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Die Operation auf {{ Relationskette |X || {{CC}}^2 \setminus Z || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |Z || {{CC}} e_1 \cup {{CC}} e_2 || || || |SZ= }} das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt {{math|term= Z |SZ=}} die {{ Definitionslink/- |Kodimension| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=}} in der Ebene. Der Invariantenring ist {{mathl|term= {{CC}}[U^2,V^2] |SZ=,}} ein Polynomring in zwei Variablen, {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} ist in diesem Fall nicht anwendbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ksdq78jzh8oq87g2khu52h473vem6t4 0 56920 1100443 1085579 2026-06-17T08:16:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1100443 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Abbildung/display |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod| \ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \delta(e_1) = 1 ,\, \delta(e_2) = \ell -1 |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V] |SZ=,}} die der {{ Definitionslink |linearen Operation| |Kontext=| |SZ= }} der Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix2|\zeta^{i}|\zeta^{-i} }} ,\, i = 1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ= }} zu einer {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} entspricht, vergleiche dazu auch {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Einheitswurzel-SL2-Darstellung/Beispiel |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Der Kern ist durch {{ Relationskette/display | \Gamma || \langle \ell e_1, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} und das Monoid durch {{ Relationskette/display | M || \langle \ell e_1, \ell e_2, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} gegeben, der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} ist {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/{{makl| XY-Z^\ell |}} |SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{ Relationskette | 0 | \in | {{CC}}^2 || || || |SZ= }} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^2 \setminus \{0\} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Daher kann man {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ Math/display|term= {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| \ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Abbildung/display |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern| \delta|}} | \Z || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \gamma(\ell e_1) =1,\, \gamma( e_1+e_2) = 0 \text{ und } \gamma(\ell e_2) =-1 |SZ= }} gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach {{math|term= \Z^2 |SZ=}} fortsetzen, allerdings lässt sich das {{math|term= \ell|SZ=-}}fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} | {{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi(X)= T |SZ=,}} {{mathl|term= \varphi(Y)= T^{-1} |SZ=}} und {{mathl|term= \varphi(Z)=1 |SZ=,}} was wiederum der stetigen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| {{CC}} |}} | {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/(XY - Z^\ell)|}}_{{CC}} {{=|}} V {{makl| XY-Z^\ell |}} | t| (t,t^{-1},1) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ= }} entspricht. Somit ist {{ Abbildung/display |name= | [0,2 \pi] | {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} | s | {{op:Zeilenvektor|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s}|e^{- {{Imaginäre Einheit|}} s}| 1}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |SZ= }} dieses Monoidringes. Die Liftung dieses Weges mit dem Startpunkt {{ Relationskette | (1,1) | \in | {{CC|}}^2 || || || |SZ= }} ist {{ Abbildung/display |name= |[0, 2 \pi]| {{CC|}}^2 |s| {{op:Zeilenvektor|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s / \ell }|e^{- {{Imaginäre Einheit|}} s/\ell} }} |SZ=, }} mit dem Endpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|e^{ 2 {{Imaginäre Einheit|}} \pi / \ell }|e^{- 2 {{Imaginäre Einheit|}} \pi/\ell} }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ieijj91jpbiinqdp0wgiffsxvauca1y 0 56922 1100384 1085514 2026-06-17T08:06:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100384 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Abbildung/display |name=\delta |\Z^{{{n|n}}} | {{op:Zmod| \ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \delta(e_j) = 1 \text{ für alle } j |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}] |SZ=,}} die der {{ Definitionslink |linearen Operation| |Kontext=| |SZ= }} der Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix5|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } | \ddots|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } |}} ,\, i =1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ=, }} zu einer {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} entspricht. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Operation der {{math|term= \ell |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Veronese-Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{Math/display|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{ Relationskette | 0 | \in | {{CC}}^{{{n|n}}} || || || |SZ= }} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^{{{n|n}}} \setminus \{0\} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Daher kann man bei {{ Relationskette | {{{n|n}}} | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ Math/display|term= {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| \ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch den Homomorphismus {{ Abbildung/display |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern| \delta|}} | \Z || |SZ= }} gegeben, der die Erzeuger {{math|term= e_j |SZ=}} des umgebenden {{math|term= \Z^{{{n|n}}} |SZ=}} auf {{math|term= {{op:Bruch| 1 | \ell}} |SZ=}} abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf {{math|term= 1 |SZ=}} abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} | {{CC}}[ {{{T|T}}} , {{{T|T}}}^{-1}] || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \varphi {{makl| X^\nu |}} || {{{T|T}}}^{ {{op:Bruch| {{op:Betrag|\nu||}} | \ell }} } || || || |SZ= }} für alle Monome {{math|term= X^\nu |SZ=}} aus dem Veronese-Ring {{ Zusatz/Klammer |text=die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome {{ mathbed|term= X^{\nu} ||bedterm1= {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} \ell ||bedterm2= |SZ=, }} werden einfach auf {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=}} abgebildet| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| {{CC}} |}} | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} | t| (t : \, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell ) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist {{ Abbildung/display |name= | [0,2 \pi] | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} | s | {{makl| e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s } :\, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell |}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |SZ= }} des Veronese-Ringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikwrkklgtc3clg6x25dbxj0kaie33zo 0 57067 1100272 1085404 2026-06-17T07:49:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100272 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name=\varphi | R | S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |kommutativen Ringen| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\varphi^* | {{op:Spek| S |}} | {{op:Spek| R |}} || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Zu einem {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp|}} | \in | {{op:Spek| R |}} || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= \varphi^* |SZ=}} über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Spek| \kappa( {{idealp|}} ) {{tensor|R}} S|}} |SZ=.}} Dies folgt aus {{ Relationskette/display | \kappa( {{idealp|}} ) {{tensor|R}} S || R_{{idealp|}}/ {{idealp|}} R_{{idealp|}} {{tensor|R}} S | \cong| {{makl| S/ {{idealp|}} |}}_{ \varphi(R \setminus {{idealp|}} )} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Tensorprodukt/Moduln/Nenneraufnahme/Ideal/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und der Beschreibung der Faser in {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ts5h5tfqe9xjy1i7zynlwkw4otythkp 0 57101 1100089 1085196 2026-06-17T07:18:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100089 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgefasst als Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung |name= |\Z^4|\Z || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} auf {{mathl|term= K[U_1,U_2,V_1,V_2] |SZ=,}} bei der {{math|term= U_1,U_2 |SZ=}} den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= V_1,V_2 |SZ=}} den Grad {{math|term= -1 |SZ=}} bekommen. Der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |SZ= }} dieser Graduierung ist {{ Relationskette/display |\Z^3 | \cong| \Delta | {{defeq|}} | \langle {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 1 | 0}},\,{{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0| 1}},\, {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 1| 0}} \rangle | \subset |\Z^4 || |SZ=. }} Das Monoid {{ Relationskette/display | M || \Delta \cap \N^4 || || || |SZ= }} wird zusätzlich von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0 | 1}} |SZ=}} erzeugt. Die vier Monoiderzeuger entsprechen den Monomen vom Grad {{mathl|term= U_1V_1,U_1V_2,U_2V_1,U_2V_2 |SZ=,}} die den Monoidring als Algebra erzeugen. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt |Nr= |SZ= }} den Kegel im {{math|term= \R^3 |SZ=}} beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des {{math|term= \R^4 |SZ=}} eingeschränkt auf {{math|term= \R^3 |SZ=}} mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen {{ Math/display|term= \pi_1= (1,1,0),\, \pi_2=(0,0,1),\, \pi_3=(1,0,1),\, \pi_4 =(0,1,0) |SZ=. }} Die Erzeuger dieses Kegels im {{math|term= \R^3 |SZ=}} sind {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0}},\,{{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0}},\, {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 1}},\, {{op:Spaltenvektor| -1| 1 | 1}} |SZ=. }} Sie werden durch {{math|term= \pi|SZ=}} auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pevqkpdbfnmylb0c67sayk2voxlaqem 0 58079 1099971 1085067 2026-06-17T06:59:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099971 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu jeder {{ Definitionslink |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=}} und jedem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} enthält man im {{ Definitionslink |Tensorprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R {{tensor|\Z}} {{{H|H}}} |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=}} {{ Definitionslink |endlich erzeugt| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} und die Zerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche den {{ Faktlink |Präwort=|Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen|Faktseitenname= Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{{H|H}}} | \cong| \Z^r \times {{op:Zmod|n_1 |}} {{timesdots|}} {{op:Zmod|n_s|}} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist der tensorierte Modul die direkte Summe aus {{math|term= R^r |SZ=}} und den {{ Relationskette/display | R {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|n_j |}} | \cong| R/(n_jR) || || || |SZ=, }} wobei deren Gestalt von der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=Ring| |SZ= }} des Ringes abhängt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2=Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nzwcq5ui3xeg7f98lbiidsurscfl4x 0 59541 1099989 1036593 2026-06-17T07:01:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099989 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der {{math|term= 1 |SZ=-}}Sphäre {{math|term= S^1 |SZ=}} lässt sich das Haarsche Maß einfach direkt definieren. Für einen Kreisbogen {{ Relationskette | A | \subseteq | S^1 || || || |SZ= }} zu einem Winkel {{math|term= \alpha |SZ=}} im Bogenmaß muss natürlich {{ Relationskette | \mu(A) || \alpha/2 \pi || || || |SZ= }} sein. Das Haarsche Maß ist also das {{mathl|term= 1/2\pi |SZ=-}}fache des Bogenmaßes. Dieser Ansatz liefert nicht nur ein Maß für zusammenhängende Teilbögen, sondern für jede Borelmenge, indem man von der messbaren Bijektion {{ Abbildung/display |name=\varphi | [0,2 \pi) | S^1 | t | ( {{op:cos| t |}}, {{op:sin| t |}} ) |SZ=, }} ausgeht und für eine Borelmenge {{ Relationskette | B | \subseteq | S^1 || || || |SZ= }} das Haarsche Maß durch {{ Relationskette/display | \mu(B) || {{op:Bruch| \lambda ( \varphi^{-1}(B))| 2 \pi|}} || || || |SZ= }} definiert, wobei {{math|term= \lambda |SZ=}} das eindimensionale {{ Definitionslink |Borel-Lebesgue-Maß| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lie-Gruppen |Kategorie2=Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bha6wnlxxa3bpynizae4c5we0y52c1e 0 62594 1100145 1085250 2026-06-17T07:27:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100145 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir führen die {{ Definitionslink |Polynomdivision| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= P=6 X^3+X+1 \text{ durch } T= 3X^2+2X-4 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Q |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch. Es wird also ein Polynom vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} durch ein Polynom vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest {{ Zusatz/Klammer |text=maximal| |ISZ=|ESZ= }} vom Grad {{math|term= 1 |SZ=}} sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man {{math|term= T |SZ=}} multiplizieren muss, damit das Produkt mit {{math|term= P |SZ=}} im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar {{math|term= 2X |SZ=.}} Das Produkt ist {{ Relationskette/display | 2X {{makl| 3X^2+2X-4 |}} || 6X^3 +4 X^2 -8 X || || || |SZ=. }} Die Differenz von {{math|term= P |SZ=}} zu diesem Produkt ist {{ Relationskette/display/handlinks | 6 X^3+X+1 - {{makl| 6X^3 +4 X^2 -8 X |}} || -4 X^2 +9X +1 || || || |SZ=. }} Mit diesem Polynom, nennen wir es {{math|term= P' |SZ=,}} setzen wir die Division durch {{math|term= T |SZ=}} fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man {{math|term= T |SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Bruch| -4| 3}} |SZ=}} multiplizieren. Dies ergibt {{ Relationskette/display | - {{op:Bruch| 4 | 3}} T || - {{op:Bruch| 4 | 3}} {{makl| 3X^2 +2X-4 |}} || -4X^2 - {{op:Bruch| 8 | 3}} X + {{op:Bruch| 16| 3}} || || |SZ=. }} Die Differenz zu {{math|term= P' |SZ=}} ist somit {{ Relationskette/display/handlinks | -4 X^2 +9X +1 - {{makl| -4X^2 - {{op:Bruch| 8 | 3}} X + {{op:Bruch| 16| 3}} |}} || {{op:Bruch| 35| 3}} X - {{op:Bruch| 13| 3}} || || || |SZ=. }} Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt {{ Relationskette/display/handlinks | 6 X^3 +X + 1 || {{makl| 3X^2 +2 X-4 |}} {{makl| 2X - {{op:Bruch| 4 | 3}} |}} + {{op:Bruch| 35| 3}} X - {{op:Bruch| 13| 3}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o2pixq5ov42cgpabx3wksyl11ztgc2u 0 62633 1100325 1038213 2026-06-17T07:57:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100325 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Abbildung/display |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} | x |c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |SZ=. }} Zu jedem vorgegeben {{math|term= \epsilon|SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta|SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(c,c) || 0 | \leq | \epsilon || |SZ= }} gilt. Die Identität {{ Abbildung/display |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} | x | x |SZ=, }} ist ebenfalls {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} und kann man hier {{ Relationskette | \delta || \epsilon || || || |SZ= }} wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn {{ Relationskette | d(x,x') | \leq | \delta || \epsilon || || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(x,x') | \leq | \epsilon || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} alck7ir6m3lj154v3rv1md0j69pk886 0 64464 1100339 1085468 2026-06-17T08:00:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1100339 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f | {{CC}} | {{CC}} | x | x {{op:sin| x |}} |SZ=, }} das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 4 |SZ=}} im Entwicklungspunkt {{ Relationskette | a || {{op:Bruch| \pi| 4}} || || || |SZ= }} bestimmen. Es ist {{ Relationskette/display | f'(x) || {{op:sin| x |}} +x {{op:cos| x |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | f^{\prime \prime} (x) || {{op:cos| x |}} + {{op:cos| x |}} -x{{op:sin| x |}} || 2 {{op:cos| x |}} -x{{op:sin| x |}} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | f^{\prime \prime \prime}(x) || -2 {{op:sin| x |}} - {{op:sin| x |}} -x {{op:cos| x |}} || -3 {{op:sin| x |}} -x {{op:cos| x |}} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | f^{\prime \prime \prime \prime}(x) || -3 {{op:cos| x |}} - {{op:cos| x |}} +x {{op:sin| x |}} || -4 {{op:cos| x |}} +x {{op:sin| x |}} || || |SZ=. }} Unter Verwendung von {{ Relationskette/display | {{op:sin| {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:cos| {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} || || |SZ= }} ist somit {{ Relationskette/display | f {{makl| {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| \pi| 4}} {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} || {{op:Bruch| \pi| 4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | f' {{makl| {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{makl| 1 + {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| 4+\pi| 4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | f^{\prime \prime} {{makl| {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{makl| 2 - {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| 8 - \pi | 4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | f^{\prime \prime \prime} {{makl| {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{makl| - 3 - {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| -12-\pi| 4 \sqrt{2} }} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | f^{\prime \prime \prime \prime} {{makl| {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{makl| -4 + {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} || {{op:Bruch| -16 + \pi| 4 \sqrt{2} }} || || |SZ=. }} Das Taylor-Polynom vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} ist daher {{ Math/display|term= {{op:Bruch| \pi| 4 \sqrt{2} }} + {{op:Bruch| 4+\pi| 4 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch| \pi| 4}} |}} + {{op:Bruch| 8- \pi | 8 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch| \pi| 4}} |}}^2 + {{op:Bruch| -12-\pi| 24 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch| \pi| 4}} |}}^3 + {{op:Bruch| -16 + \pi| 96 \sqrt{2} }} {{makl| x - {{op:Bruch| \pi| 4}} |}}^4 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qow12b5c8yhaxpcu7dfbd3p7cr95n2l 0 64682 1099729 1084840 2026-06-17T06:20:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099729 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |ortsunabhängige| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Math/display|term= y' = {{op:Bruch| 1 | {{op:cosh| t |}} }} \text{ mit der Anfangsbedingung } y(0)= 5 |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | {{op:cosh| t |}} }} || {{op:Bruch| 2 | e^t +e^{-t} }} || {{op:Bruch| 2 e^t| e^{2t} + 1 }} || || |SZ=, }} sodass eine rationale Funktion in der Exponentialfunktion vorliegt, die wir nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/Fakt |Nr= |SZ= }} über die Substitution {{mathl|term= t= {{op:ln| s |}} |SZ=}} lösen können. Das transformierte Integral ist dabei {{ Math/display|term= \int {{op:Bruch| 2s|s^2 +1}} \cdot {{op:Bruch| 1 |s}} ds |SZ=. }} Eine Stammfunktion dazu ist {{ Math/display|term= 2 {{op:arctan| s |}} |SZ=. }} Somit ist {{ Math/display|term= 2 {{op:arctan| {{makl| e^t |}} |}} |SZ= }} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | {{op:cosh| t |}} }} |SZ=.}} Für das Anfangswertproblem setzen wir {{ Relationskette/display | 2 {{op:arctan| {{makl| e^0 |}} |}} +c || 5 || || || |SZ= }} an. Dies führt auf {{ Relationskette/display |c || 5- 2 {{op:arctan| 1}} || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display | y(t) || 2 {{op:arctan| {{makl| e^t |}} |}} +5 -2 {{op:arctan| 1 |}} || || || |SZ= }} die Lösung des Anfangswertproblems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s38kgbjutvm268cx8t4krtedwwmmxoq 0 64683 1099935 1036139 2026-06-17T06:53:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099935 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Gegenstand der Masse {{math|term= m |SZ=}} wird im Vakuum aus einer Höhe {{math|term= 0 |SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden {{ Zusatz/Klammer |text=freier Fall im Vakuum| |ISZ=|ESZ=. }} Dabei wirkt auf den Körper die Gravitationskraft {{mathl|term= gm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Erdbeschleunigung {{math|term= g |SZ=}} nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an| |ISZ=|ESZ=, }} die ihn nach dem Gesetz {{Anführung|Kraft ist Masse mal Beschleunigung}} beschleunigt. Die Beschleunigung ist also konstant und unabhängig von der Masse. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit {{mathl|term= v(t) |SZ=}} des Körpers die Differentialgleichung {{ Relationskette/display |v'(t) || -g || || || |SZ= }} erfüllt {{ Zusatz/Klammer |text=die Wahl des Vorzeichens bewirkt, dass der Körper ins Negative fällt| |ISZ=|ESZ=. }} Die durch die Anfangsbedingung {{ Zusatz/Klammer |text=der Gegenstand ruhe zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette |v(0) || 0 || || || |SZ= }} festgelegte Lösung für die Geschwindigkeit ist daher {{ Relationskette/display |v(t) || -gt || || || |SZ=. }} Der zurückgelegte Weg {{mathl|term= y(t) |SZ=}} des Körpers ergibt sich wiederum aus der Differentialgleichung {{ Relationskette/display | y'(t) || v(t) || -gt || || |SZ=, }} die besagt, dass die Ableitung des Weges nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit beschreibt. Die Lösung davon ist {{ Relationskette/display | y(t) || - {{op:Bruch| g | 2}} t^2 || || || |SZ=. }} Den Gesamtvorgang kann man durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung {{ Relationskette/display | y^{\prime \prime} || - g || || || |SZ= }} ausdrücken. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2=Gravitationstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eoy82fi8d5z7zw5ubfbiwfvpq5qc151 0 64684 1099915 1036035 2026-06-17T06:50:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099915 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die zeitliche Entwicklung einer Population, die durch folgende Eigenschaften charakterisiert ist. {{ Aufzählung4 |Die Individuen der Population leben ewig. |Alle Individuen beteiligen sich ab ihrer Geburt mit gleichem {{ Zusatz/Klammer |text=durchschnittlichen| |ISZ=|ESZ= }} Engagement und Erfolg an der Fortpflanzung. |Zeugung und Geburt finden gleichzeitig statt. |Der Fortpflanzungserfolg eines Individuums ist unabhängig von der Größe der Gesamtpopulation. }} Unter diesen Bedingungen ist die Vermehrung, also der Zuwachs der Population, allein von der momentanen Populationsgröße abhängig und proportional zu dieser. Wenn man die Populationsentwicklung als {{mathl|term= y(t) |SZ=}} ansetzt, so erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung {{ Relationskette/display | y'(t) || c y(t) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz {{ Relationskette/k | y' || cy || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mit einer Konstanten {{ Relationskette |c | \in |\R_+ || || || |SZ=. }} Die Lösungsfunktionen sind {{ Math/display|term= \lambda e^{ct} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei im Populationsbeispiel {{ Relationskette/k | \lambda | \in | \R_+ || || || |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Man spricht von {{Stichwort|exponentiellem Wachstum|msw=Exponentielles Wachstum|SZ=}} der Population, und zwar unabhängig davon, ob {{math|term= c |SZ=}} groß oder klein ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xvhet1sio39i3g3iwsrrvahh3v1n8d 0 64687 1099918 1036065 2026-06-17T06:50:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099918 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Wüste {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein Kornblumenfeld| |ISZ=|ESZ= }} sei kreisrund und breite sich mit der Zeit kontinuierlich aus, indem die Grenze gleichmäßig nach außen geschoben werde, und zwar pro Zeiteinheit um einen gewissen Vortrieb. Die Fläche der Wüste werde durch die Funktion {{mathl|term= z(t) |SZ=}} beschrieben. Die Grenze der Wüste hat somit die Länge {{mathl|term= 2 \sqrt{\pi} \sqrt{z(t)} |SZ=}} und diese Länge ist proportional zum Wüstenzuwachs zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=.}} Es ergibt sich daher eine Differentialgleichung {{ Relationskette/display |z'(t) || c \sqrt{z(t)} || || || |SZ= }} mit einer Konstanten {{ Relationskette |c | \in | \R_+ || || || |SZ=. }} Die Lösungen haben die Form {{ Relationskette/display |z(t) || {{op:Bruch|c^2| 4}} t^2 || || || |SZ=, }} wie man direkt durch Ableiten bestätigen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pw1dtj9a3k0j04w3xsjd6jk9w6sx0rl 0 64755 1100049 1085153 2026-06-17T07:11:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100049 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Relationskette/display |h(x,y) || x^3-xy^2 || || || |SZ= }} auf dem Einheitskreis {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=}} 1}} || || || |SZ= }} und interessieren uns für die Punkte {{ Relationskette |a | \in | K || || || |SZ=, }} auf denen {{math|term= h |SZ=}} ein lokales Extremum annehmen kann. Das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= h |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 3x^2 -y^2| -2xy|}} |SZ= }} und das totale Differential von {{ Relationskette/display | f(x,y) || x^2+y^2 || || || |SZ= }} ist {{ Math/display|term= (2x,2y) |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Extrema/Nebenbedingung/Hyperfläche/Fakt |Nr= |SZ= }} müssen wir die Punkte {{ Relationskette |a | \in | K || || || |SZ= }} bestimmen, für die die beiden Differentiale linear abhängig sind. Die Determinante ist {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 2x| 2y| 3x^2-y^2| -2xy}} |}} || -4x^2y - 6x^2y + 2y^3 || -10 x^2y + 2y^3 || 2 y {{makl| -5x^2 +y^2 |}} || |SZ=. }} Somit liegt bei {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} und bei {{ Relationskette | y || \pm \sqrt{5} x || || || |SZ= }} lineare Abhängigkeit vor. Die Kreisbedingung führt somit auf die Punkte {{ Math/display|term= a_1 = {{op:Zeilenvektor| 1 | 0}},\, a_2 = {{op:Zeilenvektor| -1| 0}},\, a_3= {{op:Zeilenvektor| \sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} }| \sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} } }},\, a_4= {{op:Zeilenvektor| \sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} }| -\sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} } }}, \,a_5= {{op:Zeilenvektor| -\sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} }| \sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} } }},\, a_6= {{op:Zeilenvektor| -\sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} }| -\sqrt{5} \sqrt{ {{op:Bruch| 1 | 6}} }||}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rn11lb76plrzm9hmz4qd1m4qkq6kfhk 0 64761 1099877 1084973 2026-06-17T06:43:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099877 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Nilpferd hat die ganze Nacht an Land gegrast und befindet sich gerade im Punkt {{ Relationskette |P || (r,s) | \in | \R^2 || || |SZ=. }} Jetzt kommt plötzlich die heiße Sonne hervor und es muss möglichst schnell zurück in seinen Teich. Es sucht also den Punkt {{ Relationskette |a ||(x,y) | \in | M || || |SZ= }} des Teichufers {{math|term= M |SZ=,}} der seiner momentanen Position am nächsten ist, d.h. es soll die Abstandsfunktion {{ Relationskette/display | h(x,y) || d(P,(x,y)) || \sqrt{(x-r)^2 + (y-s)^2} || || |SZ= }} minimiert werden, wobei allerdings nur die Punkte {{ Relationskette |(x,y) | \in | M || || || |SZ= }} relevant sind. Es geht also um ein Minimierungsproblem, wobei die Punkte die {{Stichwort|Nebenbedingung}} erfüllen müssen, zum Teichufer zu gehören. Das Teichufer werde mit Hilfe der Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} als {{ Relationskette/display |M || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|f(x,y){{=}} b}} || || || |SZ= }} zu einem gewissen {{ Relationskette |b | \in |\R || || || |SZ= }} beschrieben, d.h., es liegt als Faser einer Funktion vor. Wenn der Teich beispielsweise eine Ellipse ist, so ist {{ Relationskette |f(x,y) || \alpha x^2 + \beta y^2 || || || |SZ=. }} Wir nehmen weiter an, dass die Funktion {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=n| |SZ= }} ist und jeder Punkt der Faser {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=| |SZ= }} ist. Kann man die Punkte des Teichufers, in denen ein lokales Extremum vorliegt, mit Mitteln der Differentialrechnung charakterisieren? Nach dem {{ Faktlink |Präwort=|Satz über implizite Funktionen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es lokal eine differenzierbare Parametrisierung des Teichufers, d.h. eine Funktion {{ Abbildung/display |name=\gamma | I |\R^2 || |SZ= }} auf einem offenen Intervall {{math|term= I |SZ=,}} deren Bild gerade ein Ausschnitt aus dem Teichufer ist. Insgesamt erhält man die zusammengesetzte Funktion {{ Abbildung/display |name= h \circ \gamma | I |\R || |SZ=, }} und genau dann besitzt {{math|term= h |SZ=}} in {{ Relationskette |a | \in | M || || || |SZ= }} ein lokales Extremum, wenn {{mathl|term= h \circ \gamma|SZ=}} ein lokales Extremum in {{ Relationskette | \gamma^{-1}(a) | \in | I || || || |SZ= }} besitzt. Auf {{mathl|term= h \circ \gamma |SZ=}} kann man die Kriterien für lokale Extrema {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} anwenden, da jetzt der Definitionsbereich {{ Zusatz/Klammer |text=man hat die Nebenbedingung sozusagen eliminiert| |ISZ=|ESZ= }} eine offene Teilmenge von {{math|term= \R|SZ=}} ist. Wenn ein lokales Extremum vorliegt, so ist einerseits {{ Relationskette/display | (h \circ \gamma)'( \gamma^{-1}(a) ) || {{op:Totales Differential| h | a}} ( \gamma'( \gamma^{-1}(a) )) || 0 || || |SZ=. }} Andererseits bestimmt {{mathl|term= \gamma'( \gamma^{-1}(a) ) |SZ=}} den {{ Zusatz/Klammer |text=eindimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |SZ= }} {{mathl|term= T_aM |SZ=,}} und dieser ist wiederum der Kern des totalen Differentials {{mathl|term= {{op:Totales Differential| f | a}} |SZ=.}} Daher müssen {{ mathkor|term1= {{op:Totales Differential| h | a}} |und|term2= {{op:Totales Differential| f | a}} |SZ= }} {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |SZ= }} sein. Das Nilpferd muss also nach Punkten {{ Relationskette |a | \in | M || || || |SZ= }} Ausschau halten, für die es ein {{ Relationskette | \lambda | \in |\R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| h | a}} || \lambda {{op:Totales Differential| f | a}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2znwce0w323siyvtpra50g4fvsfz76g 0 64769 1099876 1084971 2026-06-17T06:43:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099876 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |h(x,y,z) || 3x-2y+5z || || || |SZ= }} auf der Menge {{ Relationskette/display |M || {{Mengebed|(x,y,z) \in \R^3|f(x,y,z) {{=}} x^2+y^2 +z^4 {{=}} 1}} || || || |SZ=. }} Die Lagrange-Bedingung wird zu {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 3 | -2| 5}} || \lambda {{op:Spaltenvektor| 2x| 2y| 4z^3}} || || || |SZ=. }} Dies führt auf {{ Relationskette | x |\neq| 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \lambda || {{op:Bruch| 3 | 2x}} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/display | y || - {{op:Bruch| 1 | \lambda}} || - {{op:Bruch| 2x| 3}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |z || \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 5 | 4 \lambda }} } || \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 5 | 6}} x } || || |SZ=. }} Dies führt insgesamt zur Bedingung {{ Relationskette/display | x^2 + {{op:Bruch| 4 | 9}} x^2 + {{op:Bruch| 5 | 6}} x \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 5 | 6}} x } || 1 || || || |SZ=, }} die nach dem Zwischenwertsatz mindestens zwei Lösungen hat, die allerdings nicht so einfach explizit anzugeben sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1svib0aei7c2dikybyvo9xql1gl5yr 0 64775 1099738 1084846 2026-06-17T06:22:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099738 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display |f(x,y) || {{makl| x^2+y^2-1 |}}^3+27 x^2y^2 || || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde, also {{ Relationskette/display | {{{Z|Z}}} || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|f(x,y) {{=}} 0}} || || || |SZ=. }} Dieses nennt man eine {{Stichwort|Astroide|SZ= {{{zusatz1|}}}.}} Dieses Nullstellengebilde liegt innerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe und ist daher {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=n| |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || 3 {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 \cdot 2x + 54 xy^2 || 6 x {{makl| {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 + 9 y^2 |}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || 3 {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 \cdot 2y + 54 x^2y || 6 y {{makl| {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 + 9 x^2 |}} || || |SZ=. }} Beide partiellen Ableitungen verschwinden genau für die vier Punkte {{ Math/display|term= (0,1),\, (0,-1),\, (1,0),\, (-1,0) |SZ=, }} die alle zu {{math|term= {{{Z|Z}}} |SZ=}} gehören. Die {{math|term= x |SZ=-}}Achse {{mathl|term= \R(1,0) |SZ=}} tritt nicht als Tangente von {{math|term= {{{Z|Z}}} |SZ=}} auf. Die zweite partielle Ableitung verschwindet nämlich nur bei {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | (x,y) || (0, \pm 1) || || || |SZ=, }} in diesen Fällen verschwinden aber bereits beide partielle Ableitungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Astroide |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23dhfom93k2g81woxqktag6fphpt7br 0 64808 1100131 1085236 2026-06-17T07:25:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100131 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Teilmenge {{ Relationskette/display |M | \subseteq | \Z[V] || || || |SZ= }} des Polynomrings in der Variablen {{math|term= V |SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=,}} die aus dem Nullpolynom und allen Polynomen {{mathl|term= P \in \Z[V] |SZ=}} besteht, deren Leitkoeffizient zu {{math|term= \N_+|SZ=}} gehört. Die Menge {{math|term= M |SZ=}} umfasst die natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=als Polynome vom Grad {{math|term= 0 |SZ=}} mit nichtnegativem Leitkoeffizient| |ISZ=|ESZ= }} und sie ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Es gelten die erststufigen {{ Axiomlink |Präwort=|Peano-Axiome|Axiomseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom |Nr= |SZ= }} (1)-(6), wie man direkt sieht. Auch gilt die Vorgängereigenschaft, d.h. jedes von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Element besitzt einen eindeutigen Vorgänger {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist der Grund, warum wir abgesehen für den Leitkoeffizienten auch negative Koeffizienten zulassen| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Vorgängereigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dagegen gilt das erststufige Induktionsschema nicht, und die natürlichen Zahlen lassen sich als Teilmenge von {{math|term= M |SZ=}} erststufig charakterisieren. Zur Vereinfachung der folgenden Formulierung definieren wir die {{math|term= \leq|SZ=-}}Relation durch {{ Math/display|term= x \geq y \text{ genau dann, wenn } \exists z (x=y+z) |SZ= }} und die Eigenschaft, ein größter gemeinsamer Teiler {{math|term= u |SZ=}} von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} zu sein, durch {{Math/display|term= (u {{|}} x) {{logund}} (u {{|}} y) {{logund}} {{makl| (v {{|}} x) {{logund}} (v {{|}} y) \rightarrow v {{|}} u |}} |SZ=.}} Damit setzen wir {{ Relationskette/display/handlinks | {{logprop|}} (x) || \forall y ( (y \leq x) \rightarrow \forall u (u \text{ ist GgT} (x,y) \rightarrow \exists a \exists b \exists c \exists d ( u +ax+ by {{=|}} cx +dy ))) || || || |SZ=. }} Dies ist ein Ausdruck mit der einzigen freien Variablen {{math|term= x |SZ=,}} der inhaltlich besagt, dass für jedes Element {{math|term= y |SZ=}} unterhalb von {{math|term= x |SZ=}} der größte gemeinsame Teiler von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} als Linearkombination aus {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} darstellbar ist. Dieser Ausdruck gilt innerhalb der natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=also für {{mathl|term= x \in \N|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} es handelt sich um {{ Faktlink |Präwort=das|Lemma von Bezout|Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt |Nr= |SZ= {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In {{math|term= \Z|SZ=}} formuliert man die Aussage als {{mathl|term= ax+by= u |SZ=}} mit {{mathl|term= a,b \in \Z|SZ=.}} Da hier nur die natürlichen Zahlen zur Verfügung stehen, müssen wir die negativen Zahlen auf die andere Seite bringen| |ISZ=.|ESZ=. }} }} Dagegen gilt sie in {{math|term= M |SZ=}} nicht, und zwar gilt sie dort nur für die natürlichen Zahlen. Für ein Polynom {{math|term= x |SZ=}} aus {{math|term= M |SZ=}} vom Grad {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} kann man nämlich für {{math|term= y |SZ=}} eine Primzahl {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{math|term= \N|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nehmen, die den Leitkoeffizienten von {{math|term= x |SZ=}} nicht teilt. Wegen {{ Relationskette | x ||(x-y) +y || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | y | \leq | x || || || |SZ=. }} Der größte gemeinsame Teiler von {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} ist dann {{math|term= 1 |SZ=,}} doch die {{math|term= 1 |SZ=}} ist nicht als Linearkombination von {{math|term= y |SZ=}} und dem Polynom {{math|term= x |SZ=}} darstellbar {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man modulo {{math|term= y |SZ=}} geht, so verändert sich der Grad von {{math|term= x |SZ=}} nicht| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten nun die Induktionsversion dieser Aussage, also {{ Math/display|term= {{logprop|}} \frac{0}{x} {{logund}} \forall x {{makl| {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} \frac{x+1}{x} |}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=. }} Der Vordersatz gilt in {{math|term= M |SZ=,}} da die beschriebene Eigenschaft genau für die natürlichen Zahlen und für alle anderen Elemente nicht gilt, und daher genau dann gilt, wenn sie auch für den Nachfolger gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die echten Polynome sind nicht als Nachfolger von natürlichen Zahlen erreichbar| |ISZ=|ESZ=. }} Da der Nachsatz nicht gilt, ergibt sich, dass die Gesamtaussage nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 17v755ht2od35kkhaj9jd5wtxgy75ym 0 64844 1100258 1085386 2026-06-17T07:46:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100258 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Relationskette/display |R | {{defeq|}} | \R^\N || {{Mengebed| {{Folge| x}} |\text{reelle Folge} }} || || |SZ=. }} Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring {{ Zusatz/Klammer |text=mit der konstanten Nullfolge bzw. Einsfolge als {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zu jedem festen {{ Relationskette |k | \in |\N || || || |SZ= }} ist die Menge {{ Relationskette/display |I_k || {{Mengebed| {{Folge| x}} \in R| x_k {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} ein maximales Ideal. Die Idealeigenschaft kann man unmittelbar nachprüfen, die Maximalität ergibt sich daraus, dass ein größeres Ideal {{ Relationskette/display |I_k | \subset | I || || || |SZ= }} ein Element {{ Relationskette | y || {{Folge| y}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | y_k |\neq| 0 || || || |SZ= }} enthält. Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | y_k }} y + {{makl| 1 - {{op:Bruch| 1 | y_k }} y|}} || 1 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | 1 - {{op:Bruch| 1 | y_k }} y | \in | I_k || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette | 1 | \in | I || || || |SZ=. }} Mit dieser Konstruktion bekommt man also direkt maximale Ideale. Die {{ Definitionslink |Restklassenkörper| |Kontext=| |SZ= }} zu diesen maximalen Idealen sind {{ Zusatz/Klammer |text=isomorph zu| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= \R|SZ=,}} der Restklassenhomomorphismus ist einfach die Projektion auf die {{math|term= k |SZ=-}}te Komponente. Wir betrachten nun das Ideal {{ Relationskette/display | I || {{Mengebed| {{Folge| x}} | x_n \neq 0 \text{ für endlich viele } n \in \N }} || || || |SZ=, }} das ist also die Menge aller Folgen, die bis auf endlich viele Glieder mit der Nullfolge übereinstimmen. Es gibt daher nach {{ Zusatz/Klammer |text=einer Variante von| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer_Ring/Maximales_Ideal/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} maximale Ideale {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |I | \subseteq | {{idealm|}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{idealm|}} |\not\subseteq| I_k || || || |SZ=, }} da die Folge, die an der {{math|term= k |SZ=-}}ten Stelle eine {{math|term= 1 |SZ=}} und sonst überall eine {{math|term= 0 |SZ=}} stehen hat, links dazu gehört, aber nicht rechts. Ein solches maximales Ideal kann man nicht explizit beschreiben. Selbst wenn man sich auf Folgen beschränkt, die lediglich die beiden Werte {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} annehmen, so ist kein explizites Verfahren bekannt, zu bestimmen, ob die Folge zu {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gehören soll oder nicht. Für jede Folge mit unendlich vielen Nullen und mit unendlich vielen Einsen gibt es ein solches maximales Ideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=,}} das diese Folge enthält, und auch eines, das sie nicht enthält. Die Restklassenkörper zu einem solchen maximalen Ideal sind nicht isomorph zu {{math|term= \R|SZ=.}} Die dabei auftretenden Körper sind vielmehr der Gegenstand der sogenannten {{Stichwort|Nichtstandardanalysis|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der maximalen Ideale (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Folgenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5vloecgrfiogqbcpd0a28glcafw007s 0 64884 1100252 1085381 2026-06-17T07:45:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Symbolalphabet {{math|term= S |SZ=}} bestehe aus den Zeichen {{mathl|term= 0,1,+,\cdot |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und abzählbar unendlich vielen Variablen| |ISZ=|ESZ=, }} die in den reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge {{ Relationskette/display |\Gamma ||\R^\vDash || || || |SZ= }} ist somit widerspruchsfrei. Wir betrachten für {{ Relationskette |n | \in | \N || || || |SZ= }} den Ausdruck {{ Relationskette/display | {{logprop2|}}_n || x \geq n || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \Gamma' |SZ=}} die Vereinigung von {{math|term= \Gamma|SZ=}} mit {{mathl|term= {{Mengebed| {{logprop2|}}_n |n \in \N}} |SZ=.}} Jede endliche Teilmenge von {{math|term= \Gamma'|SZ=}} ist {{ Definitionslink |erfüllbar| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich in {{math|term= \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} also ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Prädikatenlogik/Endlichkeitssatz für Erfüllbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{math|term= \Gamma'|SZ=}} erfüllbar. Es gibt also eine {{math|term= S |SZ=-}}Struktur {{math|term= M |SZ=,}} in der alle erststufigen Sätze von {{math|term= \R|SZ=}} gelten und auch alle {{ Relationskette | x | \geq |n || || || |SZ= }} bei geeigneter Belegung gelten, d.h. es gibt ein Element {{ Relationskette | m | \in | M || || || |SZ=, }} das jenseits jeder natürlichen Zahl liegt. Insbesondere ist {{math|term= M |SZ=}} ein nicht-archimedisch angeordneter Körper. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Nichtstandardanalysis |Kategorie3=Theorie der nicht archimedisch angeordneten Körper |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 07li3uup02xh1af8n880kisuglceo2w 0 65094 1100193 1085324 2026-06-17T07:35:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100193 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= c,d|SZ=}} Konstanten einer {{ Definitionslink |erststufigen Sprache| |Kontext=| |SZ=, }} {{mathl|term= x,y,z,v|SZ=}} Variablen, {{math|term= p |SZ=}} ein einstelliges und {{mathl|term= f,g,h|SZ=}} zweistellige Funktionssymbole. Wir betrachten den Term {{ Math/display|term= t= f px gcy |SZ= }} und die Substitution {{ Math/display|term= {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx , \, \, \, v| x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} |SZ=. }} Die Substitution wird durchgeführt, indem man die kleinsten Bestandteile des Termes, also {{mathl|term= x,y,c|SZ=,}} ersetzt und ansonsten den funktionalen Aufbau des Termes übernimmt. Für diese gilt {{ Relationskette/display | x {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx, \, \, \, v| x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || d || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | y {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx, \, \, \, v| x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || hvx || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | c {{op:Bruch|d ,\, \, \, hvx , \, \, \, v| x , \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || c || || || |SZ=. }} Also ist {{ Relationskette/display | fpxgcy {{op:Bruch|d, \, \, \, hvx, \, \, \, v| x, \, \, \,\, \, \, y, \, \, \, \,\, \, z}} || fpd g chvx || || || |SZ=. }} Man beachte, dass das letzte {{math|term= x |SZ=}} nicht zu ersetzen ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} br2cc5siv1vhlqwyfq0njfwkbjvehwj 0 65096 1100188 1085316 2026-06-17T07:35:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100188 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= c,d|SZ=}} Konstanten einer {{ Definitionslink |erststufigen Sprache| |Kontext=| |SZ=, }} {{mathl|term= x,y,z,u|SZ=}} Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=so geordnet| |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= f,g|SZ=}} einstellige Funktionssymbole und {{math|term= R |SZ=}} ein zweistelliges Relationssymbol. Wir betrachten den Ausdruck {{ Relationskette/display | {{logprop|}} || \forall x \neg R y fx || || || |SZ= }} und die Substitution {{ Math/display|term= {{op:Bruch|u,\, \, \, \, g c | x, \, \, \,\, \, \, y }} |SZ=. }} Von den zu substituierenden Variablen ist {{math|term= x |SZ=}} gebunden und {{math|term= y |SZ=}} frei. Die Variable {{math|term= x |SZ=}} kommt in den substituierenden Termen nicht vor. Also ist {{ Relationskette/display | {{makl| \forall x \neg R y fx |}} {{op:Bruch|u, \, \, \, \, g c | x, \, \, \,\, \, \, y }} || \forall x {{makl| \neg R y f x {{op:Bruch| g c | y }} |}} || \forall x \neg R gc f x || || |SZ=. }} Bei der Substitution {{ Math/display|term= {{op:Bruch|u, \, \, \, \, g x | x , \, \, \, \, \, \, y }} |SZ= }} kommt jetzt die gebundene Variable {{math|term= x |SZ=}} in dem substituierenden Term {{math|term= gx|SZ=}} vor. Es ist {{ Relationskette |v || z || || || |SZ= }} die nächste Variable in der gegebenen Reihenfolge. Somit ist {{ Relationskette/display | {{makl| \forall x \neg R y fx |}} {{op:Bruch|u, \, \, \, \, g x | x , \, \, \, \, \, \, y }} || \forall z {{makl| \neg R y f x {{op:Bruch| g x, \, \, \, \, z| y,\, \, \, \, \, \, x }} |}} || \forall z \neg R gx f z || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ydjkqrhwofk4v7b0tqfz9x29hxexak 0 65593 1099740 1084848 2026-06-17T06:22:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099740 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Abstammungsbaum|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Funnyflowerpot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir wollen uns anhand eines Stammbaumes klar machen, dass die Zeichenkette {{ Math/display|term= ( (p) {{logund|}} (r) ) \rightarrow ( ( \neg (q) ) {{logoder|}} (r) ) |SZ= }} eine Aussage ist, also gemäß den {{ Definitionslink |Regeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition |SZ= }} korrekt gebildet ist. Der Abstammungsbaum entsteht ausgehend von den Blättern, die die vorkommenden {{ Definitionslink |Aussagenvariablen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit ihrer Häufigkeit| |ISZ=|ESZ= }} repräsentieren, indem man Schritt für Schritt komplexere Teilaussagen zusammensetzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cq4j7u5pbiwg7hobcxf4ia9zd3ov3j8 0 65688 1099716 1084824 2026-06-17T06:19:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099716 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nehmen wir an, wir möchten die Aussage beweisen, dass in einer jeden Gruppe das neutrale Element eindeutig bestimmt ist. Wir formalisieren diese Aussage als {{ Math/display|term= {{logprop2|}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=, }} wobei {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} die Konjunktion der drei {{ Definitionslink |Gruppenaxiome| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | {{logprop|}} ||\forall z (xz {{=|}} z) \rightarrow x {{=|}} e || || || |SZ= }} ist. In {{mathl|term= {{logprop|}} |SZ=}} ist {{math|term= x |SZ=}} nicht gebunden, in {{mathl|term= \forall x {{logprop|}} |SZ=}} schon. In einem mathematischen Beweis wird man sich dann eine {{Anführung|feste, aber beliebige|}} Gruppe {{math|term= G |SZ=}} {{Anführung|denken|SZ=,}} und darin ein {{Anführung|festes, aber beliebiges|}} {{mathl|term= x \in G |SZ=.}} Für dieses {{math|term= x |SZ=}} beweist man dann die Aussage, dass wenn {{ Relationskette | xz || z || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= z \in G |SZ=}} gilt, dass dann {{ Relationskette | x || e || || || |SZ= }} sein muss. Im Beweis selbst wird nicht über {{math|term= x |SZ=}} quantifiziert, dies steckt gewissermaßen in der gewählten Beliebigkeit drin. Man beweist also eher{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Unschärfe in der Begrifflichkeit ist kaum zu vermeiden, da eine formale Interpretation oder Rekonstruktion dessen, was in der mathematischen Praxis passiert, nie ganz eindeutig ist| |ISZ=.|ESZ= }} die Aussage {{ Math/display|term= {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ=, }} und betrachtet dies als einen Beweis für die oben notierte Version. Da {{math|term= x |SZ=}} in {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} gar nicht oder allenfalls gebunden vorkommt, ist die Ableitbarkeit beider Versionen auch prädikatenlogisch gleichwertig. Insofern spiegelt sich in der Alleinführung im Sukzedens eine wichtiger Aspekt der mathematischen Praxis. |Textart=Beispiel |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2=Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1p0aktc5db7qmki3ym0os9hqjtoy0ui 0 65821 1100191 1085319 2026-06-17T07:35:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100191 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wenn man in der {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition |SZ= }} auch Ausdrücke in mehreren freien Variablen zulassen würde, so wären Elemente nur mit sich selbst äquivalent. Betrachten wir dazu den Ausdruck {{ Relationskette | x || y || || || |SZ=, }} den wir {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} nennen, und zwei Elemente {{ Relationskette |m |\neq|n || || || |SZ= }} aus {{math|term= M |SZ=.}} In der Interpretation {{math|term= I |SZ=}} sei {{math|term= y |SZ=}} durch {{math|term= m |SZ=}} belegt. Dann gilt {{mathl|term= I {{op:Bruch| m | x}} \vDash {{logprop|}} |SZ=,}} denn dies bedeutet {{ Relationskette |m || m || || || |SZ=, }} aber {{mathl|term= I {{op:Bruch| n | x}} \not\vDash {{logprop|}} |SZ=,}} denn dies bedeuet {{ Relationskette |n || m || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jz51jxtyu4ny4mewrj4bo7roi6tn4xi 0 65851 1100189 984363 2026-06-17T07:35:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100189 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für das Symbolalphabet {{mathl|term= \{0, ' \} |SZ=}} und die natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} mit der kanonischen Interpretation sind sämtliche Klassen zur {{ Definitionslink |elementaren Äquivalenz| |Kontext=Element| |SZ= }} einelementig und können auch durch Ausdrücke charakterisiert werden, und zwar wird die Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch den Ausdruck {{ Relationskette | x || 0^{\prime \prime \ldots \prime} || || || |SZ= }} mit {{math|term= n |SZ=}} Strichen eindeutig beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4tnl8eccqhjhjs339tviu8bzxtornj 0 65852 1100190 1085318 2026-06-17T07:35:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100190 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes {{ Relationskette |k | \in | \N_+ || || || |SZ= }} ein einstelliges Relationssymbol {{math|term= R_k |SZ=}} enthält, und es sei {{ Relationskette/display | {{logprop|}}_k || R_k x || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Menge {{ Relationskette |M ||\N_+ || || || |SZ=, }} wobei wir das Relationssymbol {{math|term= R_k |SZ=}} durch {{ Math/display|term= R_k^M (n) \text{ genau dann, wenn } n \text{ ein Vielfaches von } k \text{ ist } |SZ= }} interpretieren. Zwei Elemente {{ Relationskette/display |m |\neq|n | \in | \N || || |SZ= }} können dann nicht {{ Definitionslink |elementar äquivalent| |Kontext=Element| |SZ= }} sein, da sie sich nicht gegenseitig teilen können und daher beispielsweise {{mathl|term= R_m^M (m) |SZ=,}} also {{mathl|term= I {{op:Bruch| m | x}} \vDash {{logprop|}}_m |SZ=,}} aber nicht {{mathl|term= R_m^M (n) |SZ=,}} also {{mathl|term= I {{op:Bruch| n | x}} \vDash \neg {{logprop|}}_m |SZ=,}} gilt. Die Äquivalenzklassen sind also einelementig. Es ist aber nicht möglich, diese Klassen durch einen Ausdruck in dieser Sprache zu charakterisieren, da die Gültigkeitsmengen zu jedem Ausdruck entweder leer sind oder unendlich viele Elemente enthalten, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel/Gemeinsames Vielfaches/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdssnp1j1wi98z6rsswth1s0y9ji55n 0 66030 1099722 1034869 2026-06-17T06:20:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099722 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Menge der Wörter über einem Alphabet {{math|term= A |SZ=}} kann man auch folgendermaßen rekursiv definieren. {{ Aufzählung2 | {{math|term= \emptyset|SZ=}} ist ein Wort über {{math|term= A |SZ=.}} |Wenn {{math|term= x |SZ=}} ein Wort ist und {{mathl|term= a \in A |SZ=}} ein Buchstabe, so ist auch {{math|term= xa|SZ=}} ein Wort. }} Hier repräsentiert {{math|term= x |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine Variable| |ISZ=|ESZ= }} ein beliebiges schon konstruiertes Wort. Dabei ist {{math|term= \emptyset a |SZ=}} als {{math|term= a |SZ=}} zu lesen, sodass die beiden erlaubten Konstruktionsschritte {{ Zusatz/Klammer |text=also der Anfangsschritt und der Rekursionsschritt| |ISZ=|ESZ= }} sichern, dass die einzelnen Symbole aus {{math|term= A |SZ=}} Wörter sind. Wenn das Alphabet durch {{ Relationskette |A ||\{a,b,c\} || || || |SZ= }} gegeben ist, so würde der rekursive Nachweis, dass {{mathl|term= abbac|SZ=}} ein Wort ist, folgendermaßen gehen. {{ Aufzählung6 |Wegen der Anfangsbedingung ist {{math|term= \emptyset|SZ=}} ein Wort. |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{ Relationskette | \emptyset a || a || || || |SZ= }} ein Wort. |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{math|term= ab|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Relationskette | x || a || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= b |SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{mathl|term= abb|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Relationskette | x || ab || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= b |SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{mathl|term= abba|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Relationskette | x || abb || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= a |SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} |Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist {{mathl|term= abbac|SZ=}} ein Wort {{ Zusatz/Klammer |text=hier ist also {{ Relationskette | x || abba || || || |SZ= }} das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe {{math|term= c |SZ=}} wird angehängt| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rekursiv definierten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iobgvhj5u0vfjg83yb1um323xysldvn 0 66485 1099937 1085024 2026-06-17T06:53:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099937 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} ist das inverse Element zu einem jeden Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Es sei {{math|term= e |SZ=}} das neutrale Element der Gruppe, sei {{ Relationskette | x | \in | G || || || |SZ= }} vorgegeben und seien {{ Relationskette | y,z | \in | G || || || |SZ= }} inverse Elemente zu {{math|term= x |SZ=,}} d.h. es gelte {{ Relationskette | yx || xy || e || || |SZ= }} und {{ Relationskette |zx || xz || e || || |SZ=. }} Dann ist insgesamt {{ Relationskette/display | y || y e || y (xz) || (yx) z || ez || z |SZ=. }} Die Eindeutigkeit des inversen Elementes kann man mit den Symbolen {{mathl|term= \{e, \mu\} |SZ=,}} wobei {{math|term= e |SZ=}} eine Konstante und {{math|term= \mu|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol ist, als den Ausdruck {{ Relationskette/display | {{logprop|}} | {{defeq}} | \forall x ( \forall y ( \forall z ( \mu yx {{=|}} e {{logund}} \mu xy {{=|}} e {{logund|}} \mu zx {{=|}} e {{logund}} \mu xz {{=|}} e \rightarrow y {{=|}} z ))) || || || |SZ= }} ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} aus den Gruppenaxiomen {{math|term= \Gamma|SZ=}} folgt, also die Folgerungsbeziehung {{ Math/display|term= \Gamma \vDash {{logprop|}} |SZ= }} vorliegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Gruppentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbl1f1tycshtwff47x1j1mou41vzian 0 67069 1099952 1085043 2026-06-17T06:56:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099952 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R^2|\R |(x,y)|f(x,y) {{=}} x+y^2+x^2y |SZ=. }} Der Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} gehört zur {{ Definitionslink |Faser| |SZ= }} über {{math|term= 0 |SZ=,}} was kann man über die Gestalt der Faser durch diesen Punkt sagen? Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |SZ= }} sind {{ Math/display|term= (1+2xy, 2y+x^2) |SZ=. }} Im Nullpunkt ist dies {{mathl|term= (1 ,0) |SZ=,}} der Kern dieser linearen Abbildung ist somit {{mathl|term= \R (0,1) |SZ=.}} Die Gleichung {{ Relationskette/display | x+y^2+x^2y || 0 || || || |SZ= }} lässt sich sowohl nach {{math|term= x |SZ=}} als auch nach {{math|term= y |SZ=}} in gewissen Umgebungen der {{math|term= 0 |SZ=}} auflösen. Für {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} sein. Für {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | x^2 + {{op:Bruch| x | y}} +y || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term= y \leq \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 4}} } |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | x || \pm \sqrt{ {{op:Bruch| 1-4y^3 | 4y^2}} } - {{op:Bruch| 1 | 2y}} || || || |SZ=. }} Dabei konvergiert die Lösung {{ Relationskette/display | x_1(y) || \sqrt{ {{op:Bruch| 1-4y^3 | 4y^2}} } - {{op:Bruch| 1 | 2y}} || {{op:Bruch| \sqrt{ 1-4y^3 } - 1| 2y}} || || |SZ= }} für {{mathl|term= y \rightarrow 0 |SZ=}} gegen {{mathl|term= (0,0) |SZ=,}} die Lösung {{ Relationskette/display | x_1(y) || - \sqrt{ {{op:Bruch| 1-4y^3 | 4y^2}} } - {{op:Bruch| 1 | 2y}} || {{op:Bruch| - \sqrt{ 1-4y^3 } - 1| 2y}} || || |SZ= }} divergiert hingegen für {{mathl|term= y \rightarrow 0 |SZ=}} gegen {{mathl|term= - \infty |SZ=.}} Daher liegt der Nullpunkt auf dem ersten {{Anführung|Lösungsstrang|SZ=,}} und in einer gewissen kleinen Umgebung des Nullpunktes wird die Faser vollständig durch den ersten Strang beschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Relationskette/k | y || \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 4}} } || || || |SZ= }} gehen diese beiden Stränge ineinander über| |ISZ=|ESZ=. }} Die Auflösung nach {{math|term= y |SZ=}} ist durch {{ Relationskette/display | y || \pm \sqrt{ {{op:Bruch| x^4| 4}} - x } - {{op:Bruch| x^2| 2}} || || || |SZ= }} gegeben. Hier treffen sich beide Stränge im Nullpunkt. Die Projektion der Faser auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse ist in keiner noch so kleinen Umgebung der {{math|term= 0 |SZ=}} eine Bijektion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jzzlwvhaattwi6sg1x3qt7mzpg6eoi 0 67625 1099947 1085039 2026-06-17T06:55:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099947 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= {{op:Partielle Ableitung|| X}} |uy= {{op:Partielle Ableitung|| Y}} |uz= {{op:Partielle Ableitung|| Z}} |uxx= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partiellzwei|| X}} |uxy= {{op:partiellzwei|| XY}} |uxz= {{op:partiellzwei|| XZ}} |uyy= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partiellzwei|| Y}} |uyz= {{op:partiellzwei|| YZ}} |uzz= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partiellzwei|| Z}} |uxxx= {{op:Bruch| 1 | 6}} {{op:partielldrei|| XXX}} |uxxy= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partielldrei|| XXY}} |uxxz= {{op:partielldrei|| XXZ}} |uxyy= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partielldrei|| XYY}} |uxzz= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partielldrei|| XZZ}} |uyzz= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partielldrei|| YZZ}} |uxyz= {{op:partielldrei|| XYZ}} |uyyy= {{op:Bruch| 1 | 6}} {{op:partielldrei|| YYY}} |uyyz= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:partielldrei|| YYZ}} |uzzz= {{op:Bruch| 1 | 6}} {{op:partielldrei|| Z}} }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 262slvsae9hyy8h36fe5bexbcaw57n5 0 68351 1099742 1069415 2026-06-17T06:23:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099742 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl {{Anführung|berechnen|SZ=,}} sagen wir von {{math|term= 5 |SZ=.}} Eine solche Zahl {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Relationskette | x^2 || 5 || || || |SZ= }} gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn {{ Relationskette | x | \in | \R || || || |SZ= }} ein solches Element ist, so hat auch {{math|term= -x|SZ=}} diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber {{ Aufgabelink |Präwort=nach|| Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe |Nr= |SZ= }} nicht geben, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen. Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung {{ Relationskette | x^2 || 5 || || || |SZ= }} gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Abweichung| |SZ= }} unter jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig gut anzunähern, ist das {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=,}} das man auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} nennt. Dies ist ein {{Stichwort|iteratives Verfahren|SZ=,}} d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit {{ Relationskette |a | {{defeq|}} | x_0 | {{defeq|}} | 3 || || || |SZ= }} als erster Näherung. Wegen {{ Relationskette | x_0^2 || 3^2 || 9 | > | 5 || |SZ= }} ist {{math|term= x_0 |SZ=}} zu groß, d.h. es ist {{ Relationskette | x_0 | > | \sqrt{5} || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette |a^2 | > | 5 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a |SZ=}} positiv| |SZ= }} folgt zunächst {{ Relationskette | 5/a^2 | < | 1 || || || |SZ= }} und daraus {{ Relationskette | (5/a)^2 | < | 5 || || || || |SZ=, }} d.h. {{ Relationskette | 5/a | < | \sqrt{5} || || || || |SZ=. }} Man hat also die Abschätzungen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 5 |a}} | < | \sqrt{5} | < | a || || |SZ= }} wobei links eine rationale Zahl steht, wenn rechts eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} liegt. Die Differenz {{mathl|term= a - 5/a |SZ=}} ist ein Maß für die Güte der Approximation. Beim Startwert {{math|term= 3 |SZ=}} ergibt sich, dass die Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 5/3 |und|term2= 3 |SZ= }} liegt. Man nimmt nun das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |SZ= }} der beiden Intervallgrenzen, also {{ Relationskette/display | x_1 | {{defeq|}} |\frac{3+ \frac{5}{3} }{2} ||\frac{7}{3} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | {{makl|\frac{7}{3}|}}^2 ||\frac{49}{9} | > | 5 |SZ= }} ist dieser Wert wieder zu groß und daher liegt {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} im Intervall {{mathl|term= [5\cdot\frac{3}{7} , \frac{7}{3}] |SZ=.}} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt {{ Relationskette/display | x_2 | {{defeq|}} | \frac{ \frac{15}{7} + \frac{7}{3} }{2} ||\frac{47}{21} |SZ= }} als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende rationale Approximation von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Abstraktere Version=Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyugix93cdyasgxrqkxu4mpufs8mdwo 0 68727 1100250 1037850 2026-06-17T07:45:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100250 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine reelle Zahl {{math|term= x |SZ=}} aus {{mathl|term= [0,1[|SZ=}} wird im Zehnersystem durch eine unendliche Dezimalbruchentwicklung der Form {{ Relationskette/display | x || 0{,}z_1 z_2 z_3 z_4 \ldots || || || |SZ= }} wiedergegeben. Dabei sind die {{ mathbed|term= z_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} Ziffern aus {{mathl|term= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} |SZ=}} und {{math|term= z_n |SZ=}} bezeichnet die {{math|term= n |SZ=-}}te Nachkommaziffer. Wenn man eine solche unendliche Ziffernentwicklung nur bis zur {{math|term= n |SZ=-}}ten Stelle liest und die weiteren Stellen vernachlässigt, so erhält man die rationalen Zahlen {{ Relationskette/display | x_n || 0{,}z_1 z_2 \ldots z_n || {{op:Bruch| z_1 10^{n-1} + z_2 10^{n-2} {{plusdots}} z_{n-1} 10 + z_n | 10^n }} || || |SZ=, }} die eine zunehmend bessere Approximation von {{math|term= x |SZ=}} darstellen. Der Fehler der {{math|term= n |SZ=-}}ten Approximation {{math|term= x_n |SZ=,}} also der Abstand {{mathl|term= x-x_n |SZ=,}} ist höchstens {{mathl|term= 1/10^n |SZ=.}} Man kann also den Fehler beliebig klein machen, indem man die rationalen Approximationen {{math|term= x_n |SZ=}} für hinreichend große {{math|term= n |SZ=}} betrachtet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4t2hhwf5jw3jh5r60nrbo9xp2hi2wyp 0 68877 1100543 1085614 2026-06-17T10:25:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100543 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn {{ Relationskette | M || [c,d] || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | N || [a,b] || || || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\varphi | M | N || |SZ= }} eine differenzierbare bijektive streng wachsende Funktion ist, so gilt für eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | N |\R || |SZ= }} die {{ Faktlink |Präwort=|Substitutionsregel|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Integral| a | b | f |t}} || {{op:Integral| c | d | Integrand= f( \varphi(s)) \cdot \varphi'(s)|| s }} || || || |SZ=. }} Um eine mit der allgemeinen {{ Faktlink |Präwort=|Transformationsformel|Faktseitenname= Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} vergleichbare Substitutionsformel zu haben, muss man auf {{math|term= M |SZ=}} die Funktion {{ Relationskette | g || f \circ \varphi || || || |SZ= }} mit dem Maß {{math|term= \lambda^1 |SZ=}} und auf {{math|term= N |SZ=}} die Funktion {{ Relationskette | f || (f \circ \varphi) \circ \varphi^{-1} || || || |SZ= }} betrachten. Die Substitutionsregel liefert dann {{ Relationskette/display | \int_c^d f( \varphi(s)) ds || \int_a^b f( \varphi( \varphi^{-1}(t) )) \cdot ( \varphi^{-1}) ' (t) dt || \int_a^b f(t) {{op:Bruch| 1 | \varphi'( \varphi^{-1}(t))}} d t || || |SZ=. }} Links steht das Integral {{mathl|term= \int_M f \circ \varphi d \lambda^1 |SZ=,}} also muss rechts das Integral {{mathl|term= \int_N f d\varphi_* \lambda^1 |SZ=}} stehen. Somit wird das Bildmaß {{mathl|term= \varphi_* \lambda^1 |SZ=}} durch die{{{zusatz1|}}} {{ Definitionslink |Dichte| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | \varphi'( \varphi^{-1}(t))}} |SZ=}} bezüglich {{math|term= \lambda^1 |SZ=}} gegeben. Das Bildmaß ist auch durch {{ Relationskette/align | {{makl| \varphi_* \lambda^1 |}} {{makl| [r,s] |}} || \lambda^1 {{makl| \varphi^{-1}([r,s]) |}} || \lambda^1 {{makl| [ \varphi^{-1}(r), \varphi^{-1}(s) ] |}} || \varphi^{-1}(s) - \varphi^{-1}(r) || \int_r^s {{op:Bruch| 1 | \varphi ' ( \varphi^{-1} (u)) }} du || |SZ= }} bestimmt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2=Integrationstheorie auf dem euklidischen Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eve0kyq09end1l03duq66agq9vg90qc 0 69526 1099932 1085022 2026-06-17T06:52:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099932 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | V | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge, {{ Abbildung/display |name=h | V |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |M | \subset | \R^n \times \R ||\R^{n+1} || || |SZ= }} der zugehörige Graph, den wir als {{math|term= n |SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} auffassen, die zu {{math|term= V |SZ=}} über {{mathl|term= (x_1 {{kommadots}} x_n) \mapsto (x_1 {{kommadots}} x_n, h (x_1 {{kommadots}} x_n) ) |SZ=}} {{ Definitionslink |diffeomorph| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |SZ= }} ist. Diese Mannigfaltigkeit ist zugleich die Faser über {{math|term= 0 |SZ=}} unter der Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^{n+1}|\R |(x_1 {{kommadots}} x_n,y)| h( x_1 {{kommadots}} x_n)-y |SZ=. }} Der Gradient dieser Abbildung ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|\frac{ \partial h } { \partial x_1 } (P)| \ldots|\frac{ \partial h } { \partial x_n } (P)| -1}} |SZ= }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |Nr= |SZ= }} liefert daher die Zuordnung {{ Math/display|term= (v_1 {{kommadots}} v_n) \mapsto {{op:Determinante| {{op:Matrix44| \frac{ \partial h } { \partial x_1 }(P) |v_{11}| \ldots|v_{n1}| \vdots|\vdots| \ddots|\vdots| \frac{ \partial h } { \partial x_n } (P)|v_{1n}| \ldots|v_{nn}| -1|v_{1 n+1}| \ldots|v_{n n+1} }} |}} |SZ= }} eine stetige nullstellenfreie {{math|term= n |SZ=-}}Form {{math|term= \omega|SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=.}} Wenn man diese Form über die oben beschriebene {{ Zusatz/Klammer |text=einzige| |ISZ=|ESZ= }} Karte nach {{math|term= V |SZ=}} zurückzieht, so ist {{ Relationskette | \alpha_*\omega || f dx_1 {{wedgedots}} dx_n || || || |SZ=, }} wobei sich {{mathl|term= f(Q) |SZ=}} als Wert der Form {{math|term= \omega |SZ=}} im Punkt {{ Relationskette | \alpha^{-1}(Q) | \in | M || || || |SZ= }} bezüglich der Vektoren {{mathl|term= T_Q (\alpha^{-1})(e_1) {{kommadots}} T_Q (\alpha^{-1})(e_n) |SZ=}} ergibt. Wegen {{ Relationskette | T_Q (\alpha^{-1})(e_i) || ( e_i , \frac{ \partial h } { \partial x_i } (Q)) || || || |SZ= }} ist dies {{ Relationskette/display | f(Q) || {{op:Determinante| {{Op:Matrix55| \frac{ \partial h } { \partial x_1 }(Q) | 1 | 0 | \ldots| 0 | \frac{ \partial h } { \partial x_2 }(Q) | 0 | 1 | \ldots| 0 | \vdots|\vdots |\vdots| \ddots |\vdots| \frac{ \partial h } { \partial x_n } (Q)| 0 | 0| \ldots| 1 | -1| \frac{ \partial h } { \partial x_1 }(Q) | \frac{ \partial h } { \partial x_2 }(Q)| \ldots| \frac{ \partial h } { \partial x_n }(Q) }} |}} || \pm {{makl| {{makl|\frac{ \partial h } { \partial x_1 } (Q) |}}^2 {{plusdots}} {{makl| \frac{ \partial h } { \partial x_n } (Q) |}}^2 +1 |}} || || |SZ=, }} wobei das Vorzeichen von {{math|term= n |SZ=}} abhängt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Volumenformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dgiib2hvuaj4levbvprujdrih2g86gl 0 69581 1100609 1085845 2026-06-17T10:34:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100609 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed|(u,v, \psi(u,v))|(u,v) \in W }} | \subseteq | W \times \R || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |SZ= }} von {{ Abbildung/display |name= \psi | W |\R || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |W | \subseteq | \R^2 || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge sei. In diesem Fall stehen {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |Nr= |SZ= }} wie folgt miteinander in Beziehung. Die partiellen Ableitungen sind {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | {{op:Bruch| \partial \psi| \partial u}} }} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | {{op:Bruch| \partial \psi| \partial v}} }} |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette | E || 1 + {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial u}} }}^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | F || {{op:Bruch | \partial \psi| \partial u}} {{op:Bruch | \partial \psi| \partial v}} || || || |SZ=, }} und {{ Relationskette | G || 1 + {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial v}} }}^2 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display/handlinks |EG-F^2 || {{makl| 1 + {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial u}} }}^2 |}} {{makl| 1 + {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial v}} }}^2 |}} - {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial u}} |}}^2 {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial v}} |}}^2 || 1 + {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial u}} }}^2 + {{makl| {{op:Bruch | \partial \psi| \partial v}} }}^2 || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03k89ibvnvwk6o37ft49lo83f8ax6o4 0 69669 1100317 1085447 2026-06-17T07:56:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100317 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen eine Stammfunktion zum {{ Definitionslink |Sinus hyperbolicus| |Kontext=| |SZ= }} mit der Methode aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in Hyperbelfunktionen/Fakt |Nr= |SZ=, }} was in diesem Fall nicht der beste Ansatz ist. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:sinh|t}} || {{op:Bruch|e^t - e ^{-t}| 2}} || {{op:Bruch| {{makl| e^t |}}^2- 1 | 2 e^t}} || || |SZ=. }} Mit {{ Relationskette | s || e^t || || || |SZ= }} müssen wir {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| s^2- 1 | 2 s}} \cdot {{op:Bruch| 1 | s }} || {{op:Bruch| s^2- 1 | 2 s^2}} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{makl| 1 - {{op:Bruch| 1 | s^2 }} |}} || || |SZ= }} integrieren. Eine Stammfunktion davon ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{makl| s + {{op:Bruch| 1 | s}} |}} |SZ=. }} Rücksubstitution liefert schließlich die Stammfunktion {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{makl| e^t + {{op:Bruch| 1 | e^t}} |}} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{makl| e^t + e^{-t} }} || {{op:cosh|t}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in der Exponentialfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 93fmoy56ske1du2p96ap2asytrcne3o 0 71509 1100127 1085234 2026-06-17T07:24:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100127 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen die Partialbruchzerlegung von {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 100}} |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | 100 || 4 \cdot 25 || 2^2 \cdot 5^2 || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | 25 -6 \cdot 4 || 1 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 100}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} - 6 {{op:Bruch| 1 | 25}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} - {{op:Bruch| 1 | 5}} - {{op:Bruch| 1 | 25}} || || |SZ=. }} Wenn man nichtnegative Zähler haben möchte, so schreibt man {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 4}} - 6 {{op:Bruch| 1 | 25}} || - 1+ {{op:Bruch| 1 | 4}} +1 - 6 {{op:Bruch| 1 | 25}} || - 1+ {{op:Bruch| 1 | 4}} + {{op:Bruch| 25-6| 25}} || - 1+ {{op:Bruch| 1 | 4}} + {{op:Bruch| 19| 25}} || - 1+ {{op:Bruch| 1 | 4}} + {{op:Bruch| 3 | 5}} + {{op:Bruch| 4 | 25}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Partialbruchzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esmzy7c8tv82757zk0jirrzp6u71hxr 0 71522 1100682 1085774 2026-06-17T10:46:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100682 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen {{ mathbed|term= P/Q ||bedterm1= P,Q \in \R[X] ||bedterm2= Q \neq 0 |SZ=, }} eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von {{mathl|term= P/Q |SZ=}} und muss dann zu dem Polynom {{math|term= H |SZ=}} und den Summanden der Form {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| b |(X-a)^r}} |bzw.|term2= {{op:Bruch|c+dX|Q_i^r}} |SZ= }} mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom {{math|term= Q_i |SZ=}} Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu {{mathl|term= {{op:Bruch| b |(X-a)}} |SZ=}} ist {{mathl|term= b{{op:ln| {{op:Betrag|X-a}} }} |SZ=}} und eine Stammfunktion zu {{ mathbed|term= {{op:Bruch| b |(X-a)^r}} ||bedterm1= r \geq 2 ||bedterm2= |SZ=, }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| b |(1-r)(X-a)^{r-1} }} |SZ=.}} Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 1+x^2}} |SZ=}} ist beispielsweise {{mathl|term= {{op:arctan|X}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der reellen Partialbruchzerlegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6jet8kdg1lgzy5jcnkcqiwgsuv7y27 0 72456 1099819 1084923 2026-06-17T06:34:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099819 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Ring {{mathl|term= {{op:Zmod| 5}} |SZ=.}} Die Elemente {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 4=-1 |SZ= }} sind wie in jedem Ring {{ Definitionslink |Einheiten| |Kontext=| |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | 2 \cdot 3 || 6 || 1 || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} invers zueinander und insbesondere Einheiten. Die Einheitengruppe ist also {{ Relationskette | \{1,2,3,4\} || {{op:Zmod| 5}} \setminus \{0\} || || || |SZ=. }} Bei {{mathl|term= {{op:Zmod| 12}} |SZ=}} sind wieder {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 11=-1 |SZ= }} Einheiten. Ferner sind wegen {{ Relationskette/display | 5 \cdot 5 || 25 || 1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 7 \cdot 7 || 49 || 1 || || |SZ= }} auch {{ mathkor|term1= 5 |und|term2= 7 |SZ= }} Einheiten. Die anderen acht Zahlen sind keine Einheiten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 5 |Objektkategorie2=Der Restklassenring Z mod 12 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbqa4skq7abj5pakjg8f95xprp4m3cr 0 72848 1100397 1038534 2026-06-17T08:09:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100397 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem konstanten {{ Definitionslink |Vektorfeld| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=F | V | V | x |v |SZ=, }} auf einem {{ Definitionslink |euklidischen Vektorraum| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} mit einem Vektor {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} und einem {{ Definitionslink |affin-linearen Weg| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \gamma | [a,b] | V | t | w+ tu |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | \int_\gamma F || \int_a^b {{op:Skalarprodukt| v |u}} dt || (b-a) {{op:Skalarprodukt| v |u}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} klg24w6et8con5kz6d5jfwuodat84jq 0 72948 1099941 1085028 2026-06-17T06:54:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099941 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | d | \in | \N_+ || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Menge {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| d |}} || \{0,1 {{kommadots}} d-1\} || || || |SZ= }} mit der in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Zyklisch/Beispiel |Nr= |SZ= }} beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | \Z | {{op:Zmod| d |}} || |SZ=, }} die eine ganze Zahl {{math|term= n |SZ=}} auf ihren Rest bei Division durch {{math|term= d |SZ=}} abbildet, ist ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Sind nämlich {{ mathkor|term1= m=ad+r |und|term2= n=bd+s |SZ= }} mit {{ Relationskette | 0 | \leq | r,s | < | d || || |SZ= }} gegeben, so ist {{ Relationskette/display | m+n || (a+b)d +r+s || || || |SZ=, }} wobei allerdings {{ Relationskette | r+s | \geq | d || || || |SZ= }} sein kann. In diesem Fall ist {{ Relationskette/display | \varphi(m+n) || r+s-d || || || |SZ= }} und das stimmt mit der Addition von {{ mathkor|term1= r |und|term2= s |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod| d |}} |SZ=}} überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a98yuvmtw9fjw4rgffk5eg51h0co0vr 0 72964 1100412 1038612 2026-06-17T08:11:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100412 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | d | \in | \N || || || |SZ= }} bzw. zur Untergruppe {{ Relationskette | \Z d | \subseteq | \Z || || || |SZ= }} gibt es die {{math|term= d |SZ=}} {{ Definitionslink |Nebenklassen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= \Z d, 1 +\Z d, 2+\Z d {{kommadots}} d-1 + \Z d |SZ=. }} Die Nebenklasse {{mathl|term= i + \Z d |SZ=}} besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch {{math|term= d |SZ=}} den Rest {{math|term= i |SZ=}} ergeben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6v6ybdi318bhz201w7iwiigwybm13l 0 73000 1100041 1085147 2026-06-17T07:10:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten| |SZ= }} {{ Relationskette/display |v' || Mv || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 5 | 9 | -1| -1|}} || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |SZ= }} der Matrix ist {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom|M}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|t-5| -9| 1 |t+1 |}} |}} || (t-5)(t+1)+9 || t^2-4t+4 || (t-2)^2 |SZ=. }} Das bedeutet, dass {{math|term= 2 |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Eigenwert| |SZ= }} der Matrix mit {{ Definitionslink |algebraischer Vielfachheit| |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Der Kern der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| -3| -9| 1 | 3 |}} |SZ= }} ist von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 3 | -1}} |SZ=}} erzeugt, dies ist also ein einfacher {{ Definitionslink |Eigenvektor| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |geometrische Vielfachheit| |SZ= }} des Eigenwertes ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt sich direkt die Lösung {{ Relationskette/display | \varphi(t) || e^{2t} {{op:Spaltenvektor| 3 | -1}} || || || |SZ=. }} Um alle Lösungen zu finden, arbeiten wir mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt |Nr= |SZ= }} und mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wir verwenden die Basis {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 3 | -1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| -5| 2}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der zweite Vektor ist gewählt, um Jordanform zu erreichen, was aber für das Lösungsverfahren nicht wesentlich ist| |ISZ=|ESZ= }} und berechnen mit {{ Relationskette/display | B^{-1} || {{op:Matrix22| 3 | -5| -1| 2}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || {{op:Matrix22| 2 | 5 | 1 | 3}} || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |N || BMB^{-1} || {{op:Matrix22| 2 | 5 | 1 | 3}} {{op:Matrix22| 5 | 9 | -1| -1}} {{op:Matrix22| 3 | -5| -1| 2}} || {{op:Matrix22| 2 | 5 | 1 | 3}} {{op:Matrix22| 6 | -7| -2| 3}} || {{op:Matrix22| 2 | 1 | 0 | 2}} |SZ=. }} Für das transformierte System {{ Relationskette |w' || Nw || || || |SZ= }} ergibt sich direkt die Lösung {{mathl|term= e^{2t} {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} |SZ=.}} Um eine weitere Lösung zu erhalten muss man mit einer nichttrivialen Lösung der zweiten Zeile {{ Relationskette | w_2 ' || 2 w_2 || || || |SZ= }} starten, also mit {{ Relationskette | w_2(t) || e^{2t} || || || || |SZ=. }} Die erste Zeile führt dann auf {{ Relationskette/display | w_1'(t) || 2 w_1(t) + w_2(t) || 2 w_1(t) + e^{2t} || || |SZ=. }} Die zugehörige homogene Gleichung hat die Lösung {{math|term= e^{2t} |SZ=,}} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |SZ= }} brauchen wir eine Stammfunktion von {{ Relationskette/display |e^{-2t} e^{2t} || 1 || || || |SZ=. }} Eine solche ist {{math|term= t |SZ=}} und daher ist {{ Relationskette/display | w_2(t) || te^{2t} || || || |SZ= }} die Lösung in der ersten Komponenten. Eine zweite Lösung ist also {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| te^{2t}| e^{2t} }} |SZ=. }} Um Lösungen für das ursprüngliche System zu erhalten, müssen wir mit {{math|term= B^{-1} |SZ=}} zurücktransformieren. Aus der ersten Lösung erhält man die schon bekannte Lösung zum Eigenvektor und aus der soeben gefundenen Lösung erhält man {{ Relationskette/display | \psi(t) || B^{-1} {{op:Spaltenvektor| te^{2t}| e^{2t} }} || {{op:Matrix22| 3 | -5| -1| 2}} {{op:Spaltenvektor| te^{2t}| e^{2t} }} || {{op:Spaltenvektor| 3 te^{2t} -5 e^{2t}| -te^{2t} +2e^{2t} }} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33knu2galr0t2427u3inkz586xyo3wr 0 73101 1100291 1085421 2026-06-17T07:52:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100291 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)| x^4y^5 |SZ=, }} sind die partiellen Ableitungen gleich {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung| f | x}} =4x^3y^5 |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| f | y}} =5x^4y^4 |SZ=. }} Die zweiten partiellen Ableitungen sind gleich {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | x}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || 12x^2y^5 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | y}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || 20x^3y^4 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | y}} {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || 20 x^4y^3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | x}} {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || 20x^3y^4 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Schwarz (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 587vonz13kq2pb0vzyavhw97ifoa14i 0 73104 1100292 1085422 2026-06-17T07:52:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100292 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)| x^4y^7 |SZ=, }} sind die partiellen Ableitungen gleich {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung| f | x}} =4x^3y^7 |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| f | y}} =7x^4y^6 |SZ=. }} Die zweiten partiellen Ableitungen sind gleich {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | x}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || 12x^2y^7 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | y}} {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || 28 x^3y^6 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | y}} {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || 42 x^4y^5 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | x}} {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || 28x^3y^6 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Schwarz (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1z19t4n8vktty3r2qv35hfr3p3ul4j 0 73264 1100364 1085494 2026-06-17T08:03:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100364 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{Mengebed|(x,y)| x^2 + y^2 < 1}} |\R |(x,y)| 1 - \sqrt{1 - x ^2 - y^2} |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |SZ= }} die untere Hälfte der Kugel mit Radius {{math|term= 1 |SZ=}} und Mittelpunkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 1}} |SZ=}} ist. Wir interessieren uns, ob {{math|term= \varphi |SZ=}} im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} ist. Aus Symmetriegründen kommt als totales Differential nur die Nullabbildung in Frage. Es geht somit darum, ob für {{ Relationskette |v || {{op:Spaltenvektor| x | y}} || || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} der Ausdruck {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \varphi(v) | {{op:Norm| v |}} }} || {{op:Bruch| \varphi(x,y) | {{op:sqrt| x^2+y^2|}} }} || {{op:Bruch| 1 - \sqrt{1 - x^2 - y^2} | {{op:sqrt| x^2+y^2|}} }} || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert. Mit {{ Relationskette/display |r || \sqrt{ x^2+y^2 } || || || |SZ= }} ist dies {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1- \sqrt{1 - r^2}|r}} |SZ=. }} Wir wenden darauf {{ Faktlink |Präwort=die|Regel von l'Hospital|Faktseitenname= Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt |Nr= |SZ= }} an. Der abgeleitete Nenner ist {{math|term= 1 |SZ=}} und der abgeleitete Zähler ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| r| \sqrt{1 - r^2} }} |SZ= }} und konvergiert gegen {{math|term= 0 |SZ=,}} sodass Konvergenz gegen {{math|term= 0 |SZ=}} vorliegt. Die Nullabbildung ist also in der Tat das totale Differential. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvwpu01xmub6w3unndiyy316qu88knp 0 73268 1100365 1085495 2026-06-17T08:03:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100365 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{Mengebed|(x,y)| x^2 + y^2 < 1}} |\R |(x,y)| 1 - \sqrt{1 - x ^2 - y^2} |SZ=, }} aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Untere Halbkugel/Nullpunkt/Total differenzierbar/Beispiel |Nr= |SZ= }} in einem beliebigen Punkt {{ Relationskette | P || (x,y) || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Abbildung als Hintereinanderschaltung von {{ Mathkor/display|term1= (x,y) \longmapsto 1 - x^2 - y^2 |und|term2= u \longmapsto 1 - \sqrt{u} |SZ=. }} Die erste Funktion ist überall {{ Definitionslink |total differenzierbar| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| -2x| -2y}} |SZ= }} und die zweite Funktion ist für {{ Relationskette | u | > | 0 || || || |SZ= }} differenzierbar mit der Ableitung {{mathl|term= {{op:Bruch| -1| 2 \sqrt{u} }} |SZ=.}} Die Gesamtabbildung ist somit {{ Faktlink |Präwort=nach der|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt |Nr= |SZ= }} ebenfalls total differenzierbar mit dem totalen Differential {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Bruch| -1| 2 \sqrt{ 1-x^2-y^2 } }} {{op:Zeilenvektor| -2x| -2y}} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| x | \sqrt{ 1-x^2-y^2 } }} | {{op:Bruch| y | \sqrt{ 1-x^2-y^2 } }} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c3l1zwmqgqejlz4a36t7hhyayw2cwz9 0 73421 1099749 1084856 2026-06-17T06:24:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099749 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p,q ,n|SZ=}} natürliche Zahlen mit {{ Relationskette |p+q | \leq | n || || || |SZ=. }} Wir betrachten auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} die {{ Definitionslink |Bilinearform| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform| -| -}} |SZ=,}} die durch {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor| x_1 |\vdots| x_n }} | {{op:Spaltenvektor| y_1 |\vdots| y_n }} }} | {{defeq|}} | x_1y_1 {{plusdots|}} x_py_p - x_{p+1}y_{p+1} {{minusdots|}} x_{p+q}y_{p+q} || || || |SZ= }} gegeben ist. Sie hat den {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=Bilinearform| |SZ= }} {{mathl|term= (p,q) |SZ=,}} und zwar ist die Einschränkung auf den Unterraum {{mathl|term= \R e_1 {{plusdots|}} \R e_p |SZ=}} {{ Definitionslink |positiv definit| |SZ= }} und die Einschränkung auf den Unterraum {{mathl|term= \R e_{p+1} {{plusdots|}} \R e_{p+q} |SZ=}} {{ Definitionslink |negativ definit| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5jz0oqv5y96cm0zxvwpt53iokyb3fms 0 73621 1100274 1085407 2026-06-17T07:49:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100274 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x+y,xy) |SZ=. }} Diese Abbildung ist nicht injektiv, da {{ mathkor|term1= (x,y) |und|term2= (y,x) |SZ= }} auf das gleiche Tupel abgebildet werden, und auch nicht surjektiv, da beispielsweise {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} nicht im Bild liegt. Trotzdem kann man das Gleichungssystem {{ mathkor|term1= u = x+y |und|term2= v = xy |SZ= }} in gewisser Hinsicht auflösen, also {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} durch {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} ausdrücken. Zunächst ist {{ Relationskette/display | x || u-y || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | v || xy || (u-y) y || uy -y^2 || |SZ= }} oder {{ Relationskette/display | y^2 -uy +v || 0 || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/display | y || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|u^2| 4}} -v } + {{op:Bruch| u | 2}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | x || \mp \sqrt{ {{op:Bruch|u^2| 4}} -v } + {{op:Bruch| u | 2}} || || || |SZ=. }} Bis auf die Wahl der Vorzeichen kann man also die Urbilder zu {{mathl|term= (u,v) |SZ=}} rekonstruieren. Dies zeigt erneut, dass es manchmal mehrere Urbilder und manchmal keine Urbilder gibt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die Wurzel keine reelle Lösung hat| |ISZ=|ESZ=. }} Ein eindeutiges Urbild existiert genau dann, wenn der Radikand gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, also bei {{ Relationskette/display | 0 || {{op:Bruch|u^2| 4}} - v || {{op:Bruch| (x+y)^2| 4}} - xy || {{op:Bruch| x^2 +2xy +y^2 - 4xy | 4}} || {{op:Bruch| x^2 -2xy +y^2 | 4}} || {{op:Bruch| (y-x)^2 | 4}} |SZ=, }} d.h. bei {{ Relationskette | x || y || || || |SZ=. }} In einem Punkt {{mathl|term= (x,x) |SZ=}} verhält sich die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} insofern gut, dass das Bild davon {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term=(2x,x^2) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nur ein Urbild {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{mathlk|term=(x,x) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt. Diese Eigenschaft überträgt sich aber auf keine offene Umgebung des Punktes, da ja {{ mathkor|term1= (x+ h,x-h) |und|term2= (x-h,x+h) |SZ= }} beide auf {{mathl|term= (2x, x^2-h^2) |SZ=}} abgebildet werden. In dieser Hinsicht verhalten sich die anderen Punkte besser. Es sei {{mathl|term= (x_0,y_0) |SZ=}} gegeben mit {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | y_0 | > | x_0 || || || |SZ=. }} Dann besitzt {{ Relationskette/display |(u_0,v_0) ||(x_0+y_0,x_0y_0) || || || |SZ= }} wie oben ausgerechnet zwei Urbildpunkte, und zwar ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Startpunkt legt die Vorzeichen fest| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |(x_0, y_0) || {{op:Zeilenvektor| - \sqrt{ {{op:Bruch|u_0^2| 4}} - v_0 } + {{op:Bruch|u_0 | 2}} | \sqrt{ {{op:Bruch|u_0^2| 4}} - v_0 } + {{op:Bruch|u_0 | 2}} }} || || || |SZ=. }} Diese Formeln kann man unter der Bedingung, dass {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|u^2| 4}} - v | > | 0 || || || |SZ=, }} als {{Anführung|lokale Umkehrabbildung}} interpretieren, und dies ist in einer offenen Umgebung {{math|term= U_2 |SZ=}} von {{mathl|term= (u_0,v_0) |SZ=}} erfüllt. Das Bild von {{math|term= U_2 |SZ=}} unter dieser lokalen Umkehrabbildung ist eine offene Umgebung {{math|term= U_1 |SZ=}} von {{mathl|term= (x_0,y_0) |SZ=,}} und die Einschränkung führt zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi {{|}}_{U_1 } |U_1 | U_2 || |SZ= }} mit der angegebenen Umkehrabbildung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p5som0gdd0dr6rk6f40bkckpqtq8qqu 0 73798 1100715 1069629 2026-06-17T10:52:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100715 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir zeigen direkt, dass man den Winkel {{mathl|term= {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} Grad nicht konstruieren kann {{ Zusatz/Klammer |text=obwohl man {{mathl|term= {{op:Winkelgrad| 60|}} |SZ=}} Grad konstruieren kann| |SZ=. }} Aufgrund der {{Stichwort|Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen|SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | \cos 3 \alpha || 4 \cos^3 \alpha -3 \cos \alpha || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/align/handlinks | (2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} )^3 - 3(2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}}) -1 || 2 {{makl| 4 \cos^3 {{op:Winkelgrad| 20|}} - 3 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} |}} || 2 {{makl| \cos {{op:Winkelgrad| 60|}} - {{op:Bruch| 1 | 2}} |}} || 0 |SZ=. }} Also wird {{mathl|term= 2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} vom Polynom {{mathl|term= X^3-3X-1 |SZ=}} annulliert. Dieses Polynom ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= X^3-3X-1/Irreduzibel über Q/Aufgabe |SZ= }} irreduzibel. Also muss es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt |Nr= |SZ= }} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= 2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} sein. Daher kann {{mathl|term= 2 \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt |SZ= }} nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig {{mathl|term= \cos {{op:Winkelgrad| 20|}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X-1 |Stichwort=Winkeldreiteilung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3y4yoisw50vpu3mw6d0d0zcoyqyzkjr 0 73949 1099791 1084893 2026-06-17T06:30:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099791 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wenden die {{ Definitionslink |Picard-Lindelöf-Iteration| |SZ= }} auf das Anfangswertproblem {{ Relationskette/display |v(0) ||(0,0) || || || |SZ= }} zum Vektorfeld {{ Abbildung/display |name=F |\R \times \R^2| \R^2 |(t,x,y)| (t^2y-xy^2, x^3-y+t) |SZ= }} an. Es ist {{ Relationskette/display |\varphi_0 (t) || (0,0) || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display |\varphi_1(t) || \int_0^t (0,s) ds || {{op:Zeilenvektor| 0| {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2}} || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display |F(s, \varphi_1(s)) || {{op:Zeilenvektor| s^2 {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 | - {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 +s }} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1 | 2}} s^4 | - {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 +s }} || || |SZ= }} und daher {{ Relationskette/display | \varphi_2(t) || \int_0^t {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1 | 2}} s^4 | - {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 +s }} ds || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1 | 10 }} t^5 | - {{op:Bruch| 1 | 6}} t^3 + {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 }} || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/align/handlinks |F(s, \varphi_2 (s)) || {{op:Zeilenvektor| s^2 {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 6}} s^3 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 |}} - {{op:Bruch| 1 | 10 }} s^5 {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 6}} s^3 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 |}}^2 | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10 }} t^5 |}}^3 - {{makl| - {{op:Bruch| 1 | 6}} s^3 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 |}} +s }} || {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 6}} s^5 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^4 - {{op:Bruch| 1 | 10 }} s^5 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 36}} s^6 - {{op:Bruch| 1 | 6}} s^5 + {{op:Bruch| 1 | 4}} s^4 |}} | {{op:Bruch| 1 | 1000 }} s^{15} + {{op:Bruch| 1 | 6}} s^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 + s }} || {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 360 }} s^{11} + {{op:Bruch| 1 | 60}} s^{10} - {{op:Bruch| 1 | 40}} s^{9} - {{op:Bruch| 1 | 6}} s^5 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^4 | {{op:Bruch| 1 | 1000 }} s^{15} + {{op:Bruch| 1 | 6}} s^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 + s }} || |SZ= }} und daher {{ Relationskette/align/handlinks | \varphi_3(t) || \int_0^t {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 360 }} s^{11} + {{op:Bruch| 1 | 60}} s^{10} - {{op:Bruch| 1 | 40}} s^{9} - {{op:Bruch| 1 | 6}} s^5 + {{op:Bruch| 1 | 2}} s^4 | {{op:Bruch| 1 | 1000 }} s^{15} + {{op:Bruch| 1 | 6}} s^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} s^2 + s }} ds || {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 4320 }} t^{12} + {{op:Bruch| 1 | 660}} t^{11} - {{op:Bruch| 1 | 400}} t^{10} - {{op:Bruch| 1 | 36}} t^6 + {{op:Bruch| 1 | 10}} t^5 | {{op:Bruch| 1 | 16000 }} t^{16} + {{op:Bruch| 1 | 24}} t^4 - {{op:Bruch| 1 | 6}} t^3 + {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2=Die Picard-Lindelöf-Iteration |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r4xn9yjsffnd670eq9i0vlmljvn39r2 0 74173 1099796 1084898 2026-06-17T06:31:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099796 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Integral {{ Math/display|term= \int_1^2 t^x dt |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | x | > | -1 || || || |SZ= }} sei. Eine Stammfunktion zu {{mathl|term= t \mapsto t^x |SZ=}} ist durch {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | x+1}} t^{x+1} |SZ=}} gegeben. Daher ist {{ Relationskette/display | \int_1^2 t^x dt || {{makl| {{op:Bruch| 1 | x+1}} t^{x+1} |}} {{|}}_1^2 || {{op:Bruch| 1 | x+1}} {{makl| 2^{x+1} -1 |}} || g(x) || |SZ=. }} Diese Funktion {{mathl|term= g(x) |SZ=}} drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter {{math|term= x |SZ=}} aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass {{math|term= g |SZ=}} stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der {{ Faktlink |Präwort=|Produktregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | g'(x) || {{op:Bruch| -1|(x+1)^2}} {{makl| 2^{x+1} -1 |}} + {{op:Bruch| 1 | x+1}} {{makl| {{makl| {{op:ln| 2 |}} |}} 2^{x+1} |}} || || || |SZ=. }} Andererseits kann man auch die Funktion {{math|term= t^x |SZ=}} nach {{math|term= x |SZ=}} ableiten und erhält {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|| x}} t^x || {{makl| {{op:ln| t |}} |}} t^x || || || |SZ=. }} Eine Stammfunktion nach {{math|term= t |SZ=}} zu dieser Funktion findet man mittels {{ Faktlink |Präwort=|partieller Integration|Faktseitenname= Partielle Integration/Fakt |Nr= |SZ=, }} nämlich {{ Relationskette/display | \int {{makl| {{op:ln| t |}} |}} t^x || {{makl| {{op:ln| t |}} |}} {{op:Bruch| t^{x+1}| x+1}} - \int {{op:Bruch| 1 |t}} \cdot {{op:Bruch|t^{x+1} | x+1}} || || || |SZ=, }} und somit ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| {{op:ln| t |}} | x+1}} \cdot t^{x+1} - {{op:Bruch| 1 |(x+1)^2}} t^{x+1} |SZ= }} eine Stammfunktion. Daher ist {{ Relationskette/align | \int_1^2 {{op:Partielle Ableitung|| x}} t^x dt || {{op:Integralstamm| 1 | 2| {{makl| {{op:Bruch| {{op:ln| t |}} | x+1}} \cdot t^{x+1} - {{op:Bruch| 1 |(x+1)^2}} t^{x+1} |}} |}} || {{op:Bruch| {{op:ln| 2 |}} | x+1}} \cdot 2^{x+1} - {{op:Bruch| 1 |(x+1)^2}} 2^{x+1} + {{op:Bruch| 1 |(x+1)^2}} || |SZ=. }} Dies stimmt mit der Ableitung von {{math|term= g |SZ=}} überein, d.h. es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x \mapsto \int_1^2 t^x dt |}}' || \int_1^2 {{op:Partielle Ableitung|| x}} t^x dt || || || |SZ=. }} Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt |Nr= |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5gy8jdakgexunsi3r7xl1ygxj7cbb35 0 74909 1100539 1085610 2026-06-17T10:25:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100539 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\psi | E | F || |SZ= }} ist genau dann {{ Definitionslink |affin-linear| |Kontext=| |SZ= }} mit linearem Anteil {{math|term= \varphi|SZ=,}} wenn das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| V \times E | E | W \times F | F |abb12= + |abb34= + |abb13= \varphi \times \psi |abb24= \psi}} kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | E | F || |SZ= }} ist der lineare Anteil {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | E |\neq | \emptyset || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise {{ Relationskette/display | \varphi (v) || {{op:Vektor| \psi(P)| \psi (P+v) }} || || || |SZ= }} für einen beliebigen Punkt {{ Relationskette | P | \in | E || || || |SZ=. }} Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit {{math|term= \psi_0 |SZ=.}} Für zwei Punkte {{ Relationskette | P,Q | \in | E || || || |SZ= }} gilt insbesondere {{ Relationskette/display | \psi_0 ( {{op:Vektor| P | Q }} ) || {{op:Vektor| \psi(P)| \psi (Q) }} || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3aehn9drwuqouxe6gx7vi1y12oxx1xl 0 74934 1100012 1085125 2026-06-17T07:05:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100012 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{math|term= K^n |SZ=}} ist von der Form {{ Abbildung/display |name= |K^n | K | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | \sum_{i {{=}}1 }^n a_ix_i |SZ=, }} zu einem Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|a_1 | \ldots|a_n }} |SZ=.}} Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen {{ Abbildung/display |name=p_j |K^n | K | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | x_j |SZ=. }} Die Nullabbildung nach {{math|term= K |SZ=}} ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die {{Stichwort|Nullform|SZ=}} nennt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkwgt7h4rm57iffg3bkpgmwsz8wutmq 0 74953 1100237 1085369 2026-06-17T07:43:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100237 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} \in \R^3| 5x-y+3z {{=|}} 0}} || || || |SZ=. }} Es handelt sich also um diejenige Teilmenge des {{math|term= \R^3 |SZ=,}} die alle Punkte mit den Koordinaten {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} |SZ=}} enthält, die die Bedingung {{ Relationskette/display | 5x-y+3z || 0 || || || |SZ= }} erfüllen. Da diese Bedingung für jeden Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} |SZ=}} eine klare Bedeutung besitzt, also wahr oder falsch sein kann, handelt es sich um eine wohldefinierte Teilmenge. Beispielsweise gehören die Punkte {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 0| 0 | 0 }} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 2| -3| - {{op:Bruch| 13| 3}} }} |SZ= }} dazu, der Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 2 | 4 | 0}} |SZ=}} dagegen nicht. Wenn man für einen Punkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} |SZ=}} testen soll, ob er zu {{math|term= E |SZ=}} gehört, so überprüft man einfach die Bedingung. In dieser Hinsicht ist also die gegebene Beschreibung von {{math|term= E |SZ=}} sehr gut. Wenn man aber beispielsweise eine gute Übersicht über {{math|term= E |SZ=}} als Ganzes bekommen möchte, so ist die Beschreibung direkt nicht sehr aussagekräftig. Wir behaupten, dass {{math|term= E |SZ=}} mit der Menge {{ Relationskette/display |E' || {{Mengebed| r {{op:Spaltenvektor| 3 | 0 | -5}} + s {{op:Spaltenvektor| 0 | 3 | 1}} |r,s \in \R }} || || || |SZ= }} übereinstimmt. In dieser zweiten Beschreibung wird die Menge als die Menge aller Elemente beschrieben, die auf eine gewisse Art gebaut werden können, nämlich als {{Betonung|Linearkombination}} der beiden Punkte {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 3 | 0 | -5}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 0 | 3 | 1}} |SZ= }} mit beliebigen reellen Koeffizienten. Der Vorteil dieser Beschreibung ist, dass man sofort einen Überblick über alle Elemente hat und beispielsweise sieht, dass es unendlich viele Elemente darin gibt. Dagegen ist es bei dieser Beschreibung schwieriger zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt dazu gehört oder nicht. Zum Nachweise, dass die beiden Mengen übereinstimmen, müssen wir {{ mathkor|term1= E \subseteq E' |und|term2= E' \subseteq E |SZ= }} zeigen. Es sei hierzu {{ Relationskette | P || {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} | \in | E || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} || {{op:Bruch| x | 3}} {{op:Spaltenvektor| 3 | 0 | -5}} + {{op:Bruch| y | 3}} {{op:Spaltenvektor| 0 | 3 | 1}} || || || |SZ=, }} wobei die Gleichheit in den ersten beiden Komponenten unmittelbar erfüllt ist und die Gleichheit in der dritten Komponenten eine Umformung der Ausgangsgleichung {{ Relationskette/display | 5x-y+3z || 0 || || || |SZ= }} ist. Mit {{ Relationskette |r || {{op:Bruch| x | 3}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |s || {{op:Bruch| y | 3}} || || || |SZ= }} sieht man, dass {{ Relationskette | P | \in | E' || || || |SZ= }} ist. Es sei umgekehrt {{ Relationskette | P || {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} | \in | E' || || || |SZ=, }} d.h. es gibt eine Darstellung {{ Relationskette/display |P || {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} || r {{op:Spaltenvektor| 3 | 0 | -5}} + s {{op:Spaltenvektor| 0 | 3 | 1}} || {{op:Spaltenvektor| 3r| 3s | -5r +s}} || |SZ= }} mit gewissen reellen Zahlen {{ Relationskette | r,s | \in |\R || || || |SZ=. }} Um zu zeigen, dass dieser Punkt zu {{math|term= E |SZ=}} gehört, müssen wir zeigen, dass er die {{math|term= E |SZ=}} definierende Bedingung erfüllt. Dies ist wegen {{ Relationskette/display | 5 x-y+3z || 5(3r) -3s +3 (-5r+s) || 0 || || |SZ= }} der Fall. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l03y18ok9gx32nnco0uhrhm8dnq4isq 0 74954 1100235 1085367 2026-06-17T07:42:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100235 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Mengen {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} \in {{{K|K}}}^3 | 5x-y+3z {{=|}} 0}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{ Beispiellink{{{optlink1|}}} |Beispielseitenname= Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Mengen/Beispiel |Beispielseitenname2= Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Mengen/2/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display |F || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} \in {{{K|K}}}^3 | 4x +2y-7 z {{=|}} 0}} || || || |SZ= }} und interessieren uns für den Durchschnitt {{ Relationskette/display | G | {{defeq|}} | E \cap F || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} \in {{{K|K}}}^3 | 5x-y+3z {{=|}} 0 \text{ und } 4x +2y-7 z {{=|}} 0}} || || || |SZ=. }} Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=nennen wir sie {{ mathkor/k|term1= I |und|term2= II |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} erfüllt. Gibt es eine {{Anführung|einfachere}} Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl {{ Relationskette | s | \in | {{{K|K}}} || || || |SZ= }} multipliziert. Eine solche {{Betonung|Linearkombination}} der Gleichungen ist beispielsweise {{ Relationskette/display | 4 I -5 II || -14 y + 47 z || 0 || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/align/handlinks |G || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} \in {{{K|K}}}^3 | 5x-y+3z {{=|}} 0 \text{ und } 4x +2y-7 z {{=|}} 0}} || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} \in {{{K|K}}}^3 | 5x-y+3z {{=|}} 0 \text{ und } -14 y + 47 z {{=|}} 0}} || || |SZ=, }} da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable {{math|term= x |SZ=}} in der neuen zweiten Gleichung {{Betonung|eliminiert}} hat. Daher kann man nach {{math|term= y |SZ=}} auflösen und erhält {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch| 47| 14}} z || || || |SZ= }} und für {{math|term= x |SZ=}} muss dann {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| 1 | 5}} y - {{op:Bruch| 3 | 5}} z || {{op:Bruch| 1 | 5}} \cdot {{op:Bruch| 47| 14}} z - {{op:Bruch| 3 | 5}} z || {{op:Bruch| 47| 70}} z - {{op:Bruch| 42| 70}} z || {{op:Bruch| 1 | 14}} z |SZ= }} sein. Auch diese beiden aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | 14}} z | {{op:Bruch| 47| 14}} z|z |}} | z \in {{{K|K}}} }} || || || |SZ=. }} Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge {{math|term= G |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjdw6v3rn5npwxweo7dxnrfb3e2e1ni 0 74957 1100229 1074409 2026-06-17T07:41:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100229 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Proportional variables|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Es sei {{ Relationskette | a | \in | \R || || || |SZ= }} fixiert. Diese reelle Zahl definiert eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x |ax |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |a || 0 || || || |SZ= }} liegt die konstante Nullabbildung vor. Bei {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} liegt eine {{ Definitionslink |bijektive| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung mit der {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | y | {{op:Bruch| 1 |a}} y || |SZ= }} vor. Die Umkehrabbildung hat hier also eine ähnliche Bauart wie die Ausgangsabbildung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ife7smbuirrb2h37zfj4howqbj4f7s2 0 74958 1099681 1084780 2026-06-17T06:13:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099681 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrixmn| a |}} |SZ= }} gegeben, wobei die Einträge {{mathl|term= a_{ij} |SZ=}} reelle Zahlen seien. Eine solche Matrix definiert eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |\R^n |\R^m || |SZ=, }} indem ein {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{ Relationskette | x || {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 |\vdots| x_n }} | \in | \R^n || || |SZ= }} auf das {{math|term= m |SZ=-}}Tupel {{ Relationskette/display/druckalign | \varphi(x) || {{op:Matrixmn| a |}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 |\vdots| x_n }} || {{op:Spaltenvektor| a_{11} x_1 + a_{12} x_2 {{plusdots}} a_{1n} x_n | a_{21} x_1 + a_{22} x_2 {{plusdots}} a_{2n} x_n | \vdots | a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 {{plusdots}} a_{mn} x_n }} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{1j} x_j | \sum_{j {{=}} 1}^n a_{2j} x_j |\vdots| \sum_{j {{=}} 1}^n a_{mj} x_j }} || || |SZ= }} abgebildet wird. Die {{math|term= i |SZ=-}}te Komponente des Bildvektors ergibt sich also als{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das Summenzeichen {{math|term= \sum |SZ=}} ist für gegebene reelle Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} durch {{ Relationskette | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k | {{defeq|}} | a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ= }} definiert| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | y_i || {{op:Zeilenvektor|a_{i1} |a_{i2}| \ldots|a_{in} }} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 |\vdots| x_n }} || \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij} x_j || || |SZ=, }} man muss also die {{math|term= i |SZ=-}}te Zeile der Matrix in der beschriebenen Weise auf den Spaltenvektor {{math|term= x |SZ=}} anwenden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (R) |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdvgaidk7q6chnuj39h79yiz0ykh2xy 0 74997 1100282 1038033 2026-06-17T07:50:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100282 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} im {{math|term= \R^n |SZ=}} besteht die {{ Definitionslink |Dualbasis| |Kontext=| |SZ= }} aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich {{ Relationskette |e_i^* || p_i || || || |SZ= }} mit {{ Abbildung/display |name=p_i |\R^n |\R | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | x_i |SZ=. }} Sie heißt die {{Stichwort|Standarddualbasis|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 14yxngw5s9qw38wtp6qqr21uaaodvlv 0 75009 1099858 1084955 2026-06-17T06:40:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099858 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Permutation {{Wertetabelle5 |text1= {{math|term= x |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |text2= {{math|term= \pi (x) |SZ=}} | 2 | 1 | 5 | 3 | 4 }} Man kann sie als Produkt der beiden {{ Definitionslink |Zyklen| |Kontext=Permutation| |SZ= }} {{mathl|term= \langle 1, 2 \rangle |SZ=}} und {{mathl|term= \langle 3, 5, 4 \rangle |SZ=}} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mfu656j66p0ya54swo7qgpgcg4jqsat 0 75020 1100076 1085179 2026-06-17T07:16:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100076 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Identität {{mathl|term= {{op:Identität| V |}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{mathl|term= X-1 |SZ=.}} Dieses geht ja unter dem Einsetzungshomomorphismus auf {{ Relationskette/display | {{op:Identität| V |}}- {{op:Identität| V |}} || 0 || || || |SZ=. }} Ein konstantes Polynom {{math|term= a_0 |SZ=}} geht auf {{mathl|term= a_0 {{op:Identität||}} |SZ=,}} was, außer bei {{ Relationskette |a_0 || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |V || 0 || || || |SZ=, }} nicht die Nullabbildung ist. Für eine Streckung, also eine Abbildung der Form {{mathl|term= \lambda {{op:Identität| V |}} |SZ=,}} ist das Minimalpolynom, vorausgesetzt {{ Relationskette | \lambda |\neq| 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |V |\neq| 0 || || || |SZ=, }} gleich {{mathl|term= X - \lambda|SZ=.}} Für die Nullabbildung auf {{ Relationskette |V |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= X |SZ=}} das Minimalpolynom, bei {{ Relationskette |V || 0 || || || |SZ= }} ist es das konstante Polynom {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} of1q9m3uhyi0yjnl1hw5d00db4gjiw8 0 75022 1100075 1085178 2026-06-17T07:16:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100075 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Diagonalmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | M || {{op:Diagonalmatrix4dots|d_1 |d_2 | \ddots|d_{{{n|n}}} }} || || || |SZ= }} mit verschiedenen Einträgen {{math|term= d_i |SZ=}} ist das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | P ||(X-d_1)(X-d_2) \cdots (X-d_n) || || || |SZ=. }} Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf {{ Math/display|term= (M-d_1 E_n ) \circ (M-d_2 E_n ) \circ (M-d_n E_n ) |SZ=. }} Wenden wir darauf den Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} an, so wird er von dem Faktor {{mathl|term= (M-d_jE_n ) |SZ=}} auf {{mathl|term= (d_i-d_j )e_i |SZ=}} abgebildet. Der {{math|term= i |SZ=-}}te Faktor sichert also, dass {{math|term= e_i |SZ=}} insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch {{mathl|term= P(M) |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln. Angenommen, {{math|term= P |SZ=}} wäre nicht das Minimalpolynom {{math|term= \mu |SZ=.}} Dann gibt es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Minimalpolynom/Hauptideal/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Polynom {{math|term= Q |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | P || Q \mu || || || |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt |Nr= |SZ= }} muss {{math|term= \mu |SZ=}} ein Teilprodukt der Linearfaktoren von {{math|term= P |SZ=}} sein. Sobald man aber einen Faktor von {{math|term= P |SZ=}} weglässt, sagen wir {{mathl|term= X-d_i |SZ=,}} so wird {{math|term= e_i |SZ=}} durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sfqcyir1hs3f7yffcjnyc72p52spaot 0 75023 1100074 1037085 2026-06-17T07:16:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100074 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 0 | 1 | 0 | 0}} || || || |SZ= }} ist {{math|term= X^2 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=| |SZ=. }} Dieses Polynom wird beim Einsetzen zur Nullabbildung, wegen {{ Relationskette/display |M^2 || {{op:Matrix22| 0 | 0| 0 | 0}} || || || |SZ=. }} Die Teiler von {{math|term= X^2 |SZ=}} von kleinerem Grad sind konstante Polynome {{math|term= \neq 0 |SZ=}} und {{mathl|term= a_1X|SZ=}} mit {{ Relationskette |a_1 |\neq| 0 || || || |SZ=, }} aber diese Polynome annullieren nicht {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mg7jzt90z9kv1majwt812kt33oozn3p 0 75075 1099690 1084786 2026-06-17T06:14:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099690 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen {{ Faktlink |Faktseitenname= Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix33| 0 | 2 | 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0}} || || || |SZ= }} anwenden. Es ist {{ Relationskette/display |M^2 || {{op:Matrix33| 0 | 2 | 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0}} \cdot {{op:Matrix33| 0 | 2 | 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0}} || {{op:Matrix33| 0 | 0| 10| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |M^3 || 0 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Math/display|term= V_1= {{op:Kern| M |}} = {{op:Span|e_1 |}} ,\, V_2 = {{op:Kern|M^2|}} = {{op:Span|e_1, e_2 |}} \text{ und }V_3=K^3 |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display |V_3 || V_2 \oplus {{op:Span|e_3 |}} || || || |SZ=, }} sodass wir {{ Relationskette/display |U_3 || {{op:Span|e_3 |}} || || || |SZ= }} wählen können. Es ist {{ Relationskette/display |Me_3 || {{op:Spaltenvektor| 3 | 5 | 0 |}} | \in | V_2 || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display |V_2 || V_1 \oplus U_2 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |U_2 || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 3 | 5 | 0 |}} |}} || || || |SZ=. }} Schließlich ist {{ Relationskette/display |M^2 e_3 || M {{op:Spaltenvektor| 3 | 5 | 0 |}} || {{op:Matrix33| 0 | 2 | 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0}} {{op:Spaltenvektor| 3 | 5 | 0 |}} || {{op:Spaltenvektor| 10| 0 | 0|}} || |SZ=. }} Daher ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 10| 0 | 0}} ,\, {{op:Spaltenvektor| 3 | 5 | 0 |}} \, , {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 1}} |SZ= }} eine Basis wie gewünscht. Die inverse Matrix zu {{ Relationskette/display |B || {{op:Matrix33| 10| 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0 | 1}} || || || |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 1 | 10}} | - {{op:Bruch| 3 | 50}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 5}} | 0 | 0| 0 | 1}} |SZ= }} und es ist {{ Relationskette/align |B^{-1} MB || {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 1 | 10}} | - {{op:Bruch| 3 | 50}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 5}} | 0 | 0| 0 | 1}} {{op:Matrix33| 0 | 2 | 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0}} {{op:Matrix33| 10| 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0 | 1}} || {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 1 | 10}} | - {{op:Bruch| 3 | 50}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 5}} | 0 | 0| 0 | 1}} {{op:Matrix33| 0 | 10| 3 | 0 | 0| 5 | 0 | 0| 0}} || {{op:Matrix33| 0 | 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0| 0}} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1z3pt6r088t4k2ljus4oeuo82q8p7pa 0 75077 1099689 1084785 2026-06-17T06:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099689 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen {{ Faktlink |Faktseitenname= Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix33| 0 | 0| 3 | 0 | 0| 7 | 0 | 0| 0}} || || || |SZ= }} anwenden. Es ist {{ Relationskette/display |M^2 || 0 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Math/display|term= V_1= {{op:Kern| M |}} = {{op:Span|e_1, e_2 |}} \text{ und }V_2=K^3 |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display |V_2 || V_1 \oplus {{op:Span|e_3 |}} || || || |SZ=, }} sodass wir {{ Relationskette/display |U_2 || {{op:Span|e_3 |}} || || || |SZ= }} wählen können. Es ist {{ Relationskette/display |Me_3 || {{op:Spaltenvektor| 3 | 7 | 0 |}} | \in | V_1 || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display |V_1 || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 3 | 7 | 0 |}} , e_1 | }} || U_1 || || |SZ=. }} Daher ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0}} ,\, {{op:Spaltenvektor| 3 | 7 | 0 |}} \, , {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 1}} |SZ= }} eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0| 0}} |SZ= }} beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9hr169dopksti2tg5avwb7q8x9h788i 0 75078 1099691 1084787 2026-06-17T06:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099691 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen {{ Faktlink |Faktseitenname= Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix33| 0 | 3 | 7 | 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0}} || || || |SZ= }} anwenden. Es ist {{ Relationskette/display |M^2 || 0 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Math/display|term= V_1= {{op:Kern| M |}} = {{op:Span|e_1, 7 e_2-3e_3 |}} \text{ und }V_2=K^3 |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display |V_2 || V_1 \oplus {{op:Span|e_3 |}} || || || |SZ=, }} sodass wir {{ Relationskette/display |U_2 || {{op:Span|e_3 |}} || || || |SZ= }} wählen können. Es ist {{ Relationskette/display |Me_3 || {{op:Spaltenvektor| 7 | 0 | 0|}} | \in | V_1 || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display |V_1 || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 7 | 0 | 0|}} , 7 e_2 - 3e_3 | }} || U_1 || || |SZ=. }} Daher ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 7 | -3}} ,\, {{op:Spaltenvektor| 7 | 0 | 0|}} \, , {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 1}} |SZ= }} eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0| 0}} |SZ= }} beschrieben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8f7ljb8aejivz3wpy1g35jgsane033n 0 75079 1100064 1036985 2026-06-17T07:14:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100064 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Spezialfall zu {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Matrix/Nilpotent/Typische Gestalt/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix66| 0 | 1 | 0 | \cdots| \cdots | 0 | 0| 0 | 1| 0 | \cdots | 0 |\vdots| \ddots| \ddots| \ddots| \ddots|\vdots| 0 | \cdots| 0 | 0| 1 | 0 | 0| \cdots| \cdots| 0 | 0| 1 | 0 | \cdots| \cdots| \cdots| 0 | 0}} |SZ=. }} Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung {{math|term= e_n |SZ=}} auf {{mathl|term= e_{n-1} |SZ=}} abgebildet wird, {{math|term= e_{n-1} |SZ=}} auf {{mathl|term= e_{n-2} |SZ=}} und schließlich {{math|term= e_2 |SZ=}} auf {{math|term= e_1 |SZ=,}} welches auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet wird. Die {{math|term= (n-1) |SZ=-}}te Potenz der Matrix bildet {{math|term= e_n |SZ=}} auf {{math|term= e_1 |SZ=}} ab und ist nicht die Nullmatrix, die {{math|term= n |SZ=-}}te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qsqgko0vk45rte0p6h9leb0pgjporr 0 75080 1099866 1084962 2026-06-17T06:42:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099866 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Zu {{ Relationskette | \lambda | \in | K || || || |SZ= }} besitzt der {{ Definitionslink |Hauptraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |H || {{op:Hauptraum|\varphi| \lambda}} || || || |SZ= }} die Eigenschaft, dass die Einschränkung von {{mathl|term= \varphi- \lambda {{op:Identität| V |}} |SZ=}} auf {{math|term= H |SZ=}} {{ Definitionslink |nilpotent| |Kontext=linear| |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Haupträume |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkl4a6odrlldud8wwr8r2whethvypho 0 75085 1099688 1034554 2026-06-17T06:14:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099688 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Matrix der Form {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 0 | a | 0 | 0}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a |\neq | 0 || || || |SZ= }} hat bezüglich der Basis {{ mathkor|term1= a e_1 |und|term2= e_2 |SZ= }} die Gestalt {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 0 | 1 | 0 | 0}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p62uf1ay6oj0pbh85o2opoawfekti71 0 75106 1100018 1085130 2026-06-17T07:06:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100018 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |U | \subset | K^n || || || |SZ=, }} der durch {{ Relationskette/display | U || {{Mengebed|v \in K^n | \sum_{i {{=}}1 }^n v_i {{=}} 0}} || || || |SZ= }} gegeben ist. Eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=| |SZ= }} ist durch die {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Vektoren {{ Math/display|term= u_1=(1,-1,0 ,0 {{kommadots|}} 0),\, u_2 = (0, 1,-1, 0 {{kommadots|}} 0) {{kommadots|}} u_{n-1} = (0 ,0 {{kommadots|}} 0,1,-1),\, |SZ= }} gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu {{math|term= U |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |lineare Unabhängigkeit| |Kontext=| |SZ= }} kann man in {{math|term= K^n |SZ=}} überprüfen. Aus einer Gleichung {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^{n-1} a_iu_i || 0 || || || |SZ= }} folgt schrittweise {{ Relationskette | a_1 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | a_2 || 0 || || || |SZ=, }} u.s.w. Dass ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=| |SZ= }} vorliegt, ergibt sich aus {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 |v_3 |\vdots|v_{n-1}|v_n }} || v_1 {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0 |\vdots| 0 | 0}} + (v_1+v_2) {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1|\vdots| 0 | 0}} + (v_1+v_2+v_3) {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 1 | -1|\vdots| 0 }} {{plusdots|}} (v_1+v_2+v_3 {{plusdots|}} v_{n-1} ) {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 0 |\vdots| 1 | -1 }} || || || |SZ=, }} wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1 }^n v_i || 0 || || || |SZ= }} beruht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ry9jv1talj9rzkpgl4uvphtr87e7542 0 75108 1100014 1085127 2026-06-17T07:06:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100014 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es stehen {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das {{math|term= i |SZ=-}}te Produkt {{ Zusatz/Klammer |text=pro Einheit| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= a_i |SZ=}} kostet. Ein Einkauf wird durch das {{math|term= n |SZ=-}}Tupel {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ= }} repräsentiert, wobei {{math|term= x_i |SZ=}} die vom {{math|term= i |SZ=-}}ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_ix_i |SZ=}} beschrieben. Die Preisabbildung {{ Abbildung/display |name= |\R^n |\R | {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} | \sum_{i {{=}} 1}^n a_ix_i |SZ=. }} ist {{ Definitionslink |linear| |Kontext=| |SZ=. }} Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ=}} tätigt und eine Woche später den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| y_1 | y_2 | \ldots| y_n }} |SZ=,}} dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1+y_1 | x_2+y_2 | \ldots| x_n+y_n }} |SZ=}} gekauft hätte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2sf2n2gf45ctfwa7cpudodhrj2sdh1 0 75115 1100045 1085150 2026-06-17T07:11:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei ein homogenes {{ Definitionslink |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{Lineares Gleichungssystem| a | x | m | n |}} |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} gegeben, wobei wir die {{math|term= i |SZ=-}}te Gleichung als Kernbedingung für die {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=L_i |K^n | K | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | \sum_{j {{=}} 1}^n a_{ij}x_j |SZ=, }} auffassen. Es sei {{ Relationskette/display |F || {{op:Span|L_1 {{kommadots|}} L_m }} || || || |SZ= }} der von diesen Linearformen im {{ Definitionslink |Dualraum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|K^n |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugte Untervektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{math|term= {{op:Orthogonalraum| F |}} |SZ=}} der Lösungsraum des Gleichungssystems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Dualräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qlxuarxcevl5kh3p3gik7max4un2kfm 0 75127 1100273 1085406 2026-06-17T07:49:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100273 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{math|term= \R^2 |SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term= e_1,e_2 |SZ=,}} seiner Dualbasis {{mathl|term= e_1^*,e_2^*|SZ=}} und die Basis bestehend aus {{ Relationskette | u_1 || {{op:Spaltenvektor| 2 | 1}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | u_2 || {{op:Spaltenvektor| -1| 3}} || || || |SZ=. }} Wir wollen die Dualbasis {{ mathkor|term1= u_1^* |und|term2= u_2^* |SZ= }} als Linearkombinationen der Standarddualbasis ausdrücken, also in {{ Relationskette/display |u_1^* || ae_1^* + be_2^* || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in {{ Relationskette |u_2^* || ce_1^* + de_2^* || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= c |SZ=}} und {{math|term= d |SZ=}} | ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Dabei ist {{ mathkor|term1= a = u_1^*(e_1) |und|term2= b = u_1^*(e_2) |SZ=. }} Um dies berechnen zu können, müssen wir {{ mathkor|term1= e_1 |und|term2= e_2 |SZ= }} als Linearkombination der {{ mathkor|term1= u_1 |und|term2= u_2 |SZ= }} ausdrücken. Dies ist {{ Relationskette/display |e_1 || {{op:Bruch| 3 | 7}} {{op:Spaltenvektor| 2 | 1}} - {{op:Bruch| 1 | 7}} {{op:Spaltenvektor| -1| 3}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |e_2 || {{op:Bruch| 1 | 7}} {{op:Spaltenvektor| 2 | 1}} + {{op:Bruch| 2 | 7}} {{op:Spaltenvektor| -1| 3}} || || || |SZ=. }} Also ist {{ Relationskette/display |a || u_1^*(e_1) || u_1^* {{makl| {{op:Bruch| 3 | 7}} u_1 - {{op:Bruch| 1 | 7}} u_2 }} || {{op:Bruch| 3 | 7}} || |SZ= }} und entsprechend {{ Relationskette/display |b || u_1^*(e_2) || u_1^* {{makl| {{op:Bruch| 1 | 7}} u_1 + {{op:Bruch| 2 | 7}} u_2 }} || {{op:Bruch| 1 | 7}} || || || || |SZ= }} und somit ist {{ Relationskette/display | u_1^* || {{op:Bruch| 3 | 7}} e_1^* + {{op:Bruch| 1 | 7}} e_2^* || || || |SZ=. }} Mit den gleichen Rechnungen ergibt sich {{ Relationskette/display | u_2^* || - {{op:Bruch| 1 | 7}} e_1^* + {{op:Bruch| 2 | 7}} e_2^* || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= u^* |SZ=}} zu {{mathl|term= e^* |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix| u^*|e^* }} || {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 3 | 7}} | - {{op:Bruch| 1 | 7}} | {{op:Bruch| 1 | 7}} | {{op:Bruch| 2 | 7}} | }} || || || |SZ=. }} Die transponierte Matrix davon ist {{ Relationskette/display | {{op:transponiert| {{makl| {{op:Übergangsmatrix| u^*|e^* }} |}} ||}} || {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 3 | 7}} | {{op:Bruch| 1 | 7}} | - {{op:Bruch| 1 | 7}} | {{op:Bruch| 2 | 7}} | }} || {{op:Matrix22| 2| -1| 1 | 3 }}^{-1} || {{makl| {{op:Übergangsmatrix| u |e}} |}}^{-1} || |SZ=. }} Die umgekehrte Aufgabe, die Standarddualbasis durch {{ mathkor|term1= u_1^* |und|term2= u_2^* |SZ= }} auszudrücken, ist einfacher zu lösen, da man dies aus der Darstellung der {{math|term= u_i |SZ=}} bezüglich der Standardbasis direkt ablesen kann. Es ist {{ Relationskette/display | e_1^* || 2u_1^* + u_2^* || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2^* || - u_1^* + 3 u_2^* || || || |SZ=, }} wie man überprüft, wenn man beidseitig an {{mathl|term= u_1,u_2 |SZ=}} auswertet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sobzco2g5cf2eyc4ah00ujtswc4biih 0 75153 1100373 1038444 2026-06-17T08:05:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100373 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} und {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=.}} Zu einer Teilmenge {{ Relationskette | J | \subseteq | I || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette/display | V_J || {{op:Span|v_i |i \in J|}} || || || |SZ= }} der zu {{math|term= J |SZ=}} gehörende {{ Definitionslink |Untervektorraum| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= p_J | V | V | \sum_{i \in I} a_iv_i | \sum_{i \in J} a_iv_i |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Projektion| |Kontext=direkte Summe| |SZ=. }} Das Bild dieser Projektion ist {{math|term= V_J|SZ=}} und man kann die Abbildung auch als {{ Abbildung/display |name=p_J | V | V_J || |SZ= }} auffassen. Auf {{math|term= V_J|SZ=}} liegt die Identität vor. Der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=VR| |SZ= }} der Abbildung ist {{ Relationskette/display | {{op:Kern|p_J|}} || {{op:Span|v_i |i \notin J|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gli6y74iwy2heaqnmk01z7giwdqz5pw 0 75155 1100279 1074413 2026-06-17T07:50:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100279 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Figure 7 cubes CRPE 3e concours 2012 math solution|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Cdang |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Für den {{math|term= \R^3 |SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ=, }} ergeben sich {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Vektorraum/Basis/Teilfamilie/Projektion/Beispiel |Nr= |SZ= }} betrachtet man die zweielementigen Teilmengen {{ Relationskette |J | \subset | \{1,2,3\} || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} drei verschiedene Projektionen{{{zusatz1|}}} auf die Koordinaten{{drucktrenn}}ebenen. Man nennt {{ Abbildung/display |name=p_{\{1,2\} } |\R^3| \R^3 |(a,b,c)| (a,b,0) |SZ=, }} die Projektion auf die Grundebene, {{ Abbildung/display |name=p_{\{1,3\} } |\R^3| \R^3 |(a,b,c)| (a,0,c) |SZ=, }} die Projektion auf die Aufebene, {{ Abbildung/display |name=p_{\{2,3\} } |\R^3| \R^3 |(a,b,c)| (0,b,c) |SZ=, }} die Projektion auf die Kreuzebene {{ Zusatz/Klammer |text=oder Seitenebene| |ISZ=|ESZ=. }} Die Bilder eines Gegenstandes im {{math|term= \R^3 |SZ=}} unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss. Zu den einelementigen Teilmengen {{ Relationskette | \{j\} | \subseteq | \{1,2,3\} || || || |SZ= }} gehören die Projektionen auf die Achsen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ka0ytwaqdhp4arbd2gbevy0vlrhjg80 0 75157 1100278 1085410 2026-06-17T07:50:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100278 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Schrägbild eines Würfels|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=WissensDürster |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} In vielen Situationen soll ein Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein Würfel| |ISZ=|ESZ= }} im Raum {{math|term= \R^3 |SZ=}} in einer Ebene {{math|term= \R^2 |SZ=}} dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer {{Stichwort|Parallelprojektion|SZ=.}} Dabei handelt es sich um eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R^3| \R^2 || |SZ= }} die bezüglich der Standardbasen {{mathl|term= e_1,e_2,e_3 |SZ=}} bzw. {{mathl|term= f_1,f_2 |SZ=}} durch {{ Math/display|term= e_1 \longmapsto f_1, \, e_2 \longmapsto a f_1 + b f_2, \, e_3 \longmapsto f_2 |SZ= }} gegeben ist, wobei die Koeffizienten {{mathl|term= a,b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Tiefenschrägen}} | |ISZ=|ESZ= }} typischerweise im Bereich {{mathl|term= [ {{op:Bruch| 1 | 3}}, {{op:Bruch| 1 | 2}} ] |SZ=}} gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden {{ Zusatz/Klammer |text=oder Punkte werden| |ISZ=|ESZ=. }} Der Punkt {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} wird dabei auf {{mathl|term= (x+ a y,b y+z) |SZ=}} abgebildet. Das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=| |SZ= }} des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein {{Stichwort|Schrägbild|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jegcuy5ofg6vm16n5m9ltwy92zk3ero 0 75484 1100015 1085128 2026-06-17T07:06:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100015 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} ist durch {{ Relationskette/display | {{op:Norm| x |}}_{\rm max} | {{defeq|}} | {{op:max| {{op:Betrag| x_i |}} |i {{=}} 1 {{kommadots|}} n}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |SZ= }} definiert, die die {{Stichwort|Maximumsnorm|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f4so52pz7uwpaoclbxanmrhdf5z3akc 0 75487 1100017 1085129 2026-06-17T07:06:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100017 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} ist durch {{ Relationskette/display | {{op:Summennorm| x |}} | {{defeq|}} | \sum_{i {{=}} 1}^n {{op:Betrag| x_i |}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |SZ= }} definiert, die die {{Stichwort|Summennorm|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5kqp5l0sqhxseh8boz2xulceahdl6dj 0 75606 1100284 1085415 2026-06-17T07:51:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100284 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} sind die {{ Definitionslink |euklidische Norm| |Kontext=| |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Summennorm| |Kontext=| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Maximumsnorm| |Kontext=n| |SZ= }} {{ Definitionslink |äquivalent| |Kontext=Norm| |SZ=. }} Es sei dazu {{ Relationskette | x || {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | \in |\R^n || || |SZ= }} ein Vektor, wobei ohne Einschränkung {{math|term= x_1 |SZ=}} betragsmäßig der größte Eintrag sei. Dann gelten die Abschätzungen {{ Relationskette/display/druckalign | {{op:Norm| x |}}_{\rm max} || {{op:Betrag| x_1 |}} || \sqrt{ x_1^2 } | \leq | \sqrt{ x_1^2+x_2^2 {{plusdots|}} x_n^2 } | \leq | \sqrt{ nx_1^2 } || \sqrt{n} {{op:Betrag| x_1 |}} || \sqrt{n} {{op:Norm| x |}}_{\rm max} |SZ= }} und diese ergeben im Wesentlichen die Äquivalenz von euklidischer Norm und Maximumsnorm. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8610l87evduuumb386uumbrks8dwet 0 75927 1099966 1036393 2026-06-17T06:58:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099966 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | M || {{op:Matrix22| \lambda| 1 | 0 | \lambda||}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \lambda | \in | {{CC}} || || || |SZ=. }} Dann ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Jordan-Block/2/Potenzen/Induktion/Aufgabe |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display |M^n || {{op:Matrix22| \lambda^n |n \lambda^{n-1}| 0 | \lambda^n ||}} || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| \lambda|}} | < | 1 || || || |SZ= }} konvergiert diese Matrixfolge gegen die Nullmatrix, da jeder Eintrag gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert, für {{ Relationskette/display | \lambda || 1 || || || |SZ= }} konvergiert die Folge nicht, da der Eintrag rechts oben nicht konvergiert und noch nicht einmal beschränkt ist. Dies ist generell bei {{ Relationskette | {{op:Betrag| \lambda|}} | \geq | 1 || || || |SZ= }} der Fall. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4r5cnjcj2ekpjj4dyi9hk65esy64j04 0 75954 1100304 1085434 2026-06-17T07:54:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100304 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |spaltenstochastische| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} hat die Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|p_1 |p_2 | 1-p_1 | 1-p_2 }} |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | 0 | \leq |p_1,p_2 | \leq | 1 || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/align/drucklinks |(X-p_1)(X-1+p_2) - (1-p_1)p_2 || X^2 + (p_2-p_1-1)X + p_1(1-p_2) - p_2(1-p_1) || X^2 + (p_2-p_1-1)X + p_1-p_2 ||(X-1)(X+p_2-p_1) || |SZ=. }} Eigenwerte sind also {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p_1-p_2 |SZ=. }} Eine stationäre Verteilung ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Fall {{mathlk|term=p_1=1 |SZ=}} und {{mathlk|term=p_2=0 |SZ=}} ist für die folgende Rechnung auszuschließen| |ISZ=|ESZ= }} durch {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_2 | p_2-p_1+1}} | {{op:Bruch| 1-p_1 | p_2-p_1+1}} }} |SZ=}} gegeben, es ist ja {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Matrix22|p_1 |p_2 | 1-p_1 | 1-p_2 }} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_2 | p_2-p_1+1}} | {{op:Bruch| 1-p_1 | p_2-p_1+1}} }} || {{op:Spaltenvektor| p_1 {{op:Bruch|p_2 | p_2-p_1+1}} + p_2 {{op:Bruch| 1-p_1 | p_2-p_1+1}} | (1- p_1) {{op:Bruch|p_2 | p_2-p_1+1}} +(1-p_2) {{op:Bruch| 1-p_1 | p_2-p_1+1}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_1 p_2 +p_2 ( 1-p_1)|p_2-p_1+1 }} | {{op:Bruch|(1- p_1) p_2 + (1- p_2)(1- p_1) | p_2-p_1+1}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|p_2 | p_2-p_1+1}} | {{op:Bruch| 1-p_1 | p_2-p_1+1}} }} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7pwkebqhfi9gpf3fzigksujpmz1ngfy 0 75959 1100303 1085433 2026-06-17T07:54:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100303 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |spaltenstochastische| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 0 | 1 | 1 | 0}} |SZ= }} führt die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| p | 1-p}} |SZ=}} in die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1-p|p}} |SZ=}} über. Die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| 1 | 2}} }} |SZ=}} wird in sich selbst überführt, ist also eine stationäre Verteilung. Die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} |SZ=}} wird in {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} |SZ=}} überführt und umgekehrt, es handelt sich also um periodische Verteilungen der Periodenlänge {{math|term= 2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qvbc4h3wo72ezbeh5jgo1d2revioe5 0 75960 1100305 1038117 2026-06-17T07:54:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100305 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |spaltenstochastische| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 1 | 1| \cdots | 1 | 0 | 0| \cdots | 0 |\vdots|\vdots| \ddots|\vdots| 0 | 0| \cdots | 0 |}} |SZ= }} führt eine jede Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|v_1 | \vdots |v_n }} |SZ=}} in die Verteilung {{ Relationskette/display | {{op:Matrix44| 1 | 1| \cdots | 1 | 0 | 0| \cdots | 0 |\vdots|\vdots| \ddots|\vdots| 0 | 0| \cdots | 0 |}} {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 | \vdots |v_n }} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{i{{=}} 1}^n v_i | 0 | \vdots| 0}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 |\vdots| 0}} || || || |SZ= }} über. Der erste Standardvektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= 1 |SZ=,}} die weiteren Standardvektoren werden, wie jeder Verteilungsvektor, in den ersten Standardvektor überführt. Der Kern wird von den Vektoren {{ mathbed|term= e_1-e_j ||bedterm1= j \geq 2 ||bedterm2= |SZ=, }} erzeugt und enthält keine Verteilungsvektoren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikana6i8xn7i3j7oe94vv8l4utea5fo 0 76000 1100306 1085435 2026-06-17T07:54:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100306 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für die {{ Definitionslink |spaltenstochastische| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 1 | 0 | {{op:Bruch| 1 | 3}} | 0| 1 | {{op:Bruch| 1 | 3}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 3}} }} |SZ= }} ist der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term= 1 |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Span|e_1 |e_2 }} |SZ=,}} also zweidimensional. Die Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt also nicht, wenn es eine Spalte {{ Zusatz/Klammer |text=aber keine Zeile| |ISZ=|ESZ= }} mit ausschließlich positiven Einträgen gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4unndccdwfm1nve1aq1hgie9qyesyi 0 76543 1100120 1085225 2026-06-17T07:23:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100120 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Fruit_salad_(1)|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Fæ |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils in Milligramm| |ISZ=|ESZ= }} unterschiedliche Früchte {{ Zusatz/Klammer |text=pro 100 Gramm| |ISZ=|ESZ= }} besitzen. {{Tabelle54|Frucht|Vitamin C|Calcium|Magnesium|Apfel| 12| 7 | 6 |Orange| 53| 40| 10|Traube| 4 | 12| 8 |Banane| 9 | 5 | 27}} Dies führt zu einer Abbildung, die einem {{math|term= 4 |SZ=-}}Tupel {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 | x_3 | x_4}} |SZ=,}} das die verarbeiteten {{ Zusatz/Klammer |text=oder verzehrten| |ISZ=|ESZ= }} Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines {{math|term= 3 |SZ=-}}Tupels {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 }} |SZ=}} zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix34| 12| 53| 4 | 9 | 7 | 40| 12| 5 | 6 | 10| 8 | 27|}} |SZ= }} unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 | x_3 | x_4}} {{Latexzieh|}} \longmapsto {{Latexzieh|}} {{op:Matrix34| 12| 53| 4 | 9 | 7 | 40| 12| 5 | 6 | 10| 8 | 27|}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 | x_3 | x_4}}{{Latexzieh|}} = {{Latexzieh|}} {{op:Spaltenvektor| 12x_1 +53x_2 +4x_3+9 x_4| 7x_1 +40x_2 +12x_3+ 5 x_4| 6 x_1 + 10 x_2 + 8x_3+ 27 x_4 }} {{Latexzieh|}} = {{Latexzieh|}} {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 }} |SZ= }} beschrieben werden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} heuaeivt9dvubb2497hcjrseacj2rr3 0 76674 1099748 1035009 2026-06-17T06:24:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099748 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R| \R_+ | x | 10^x |SZ=, }} die Exponentialfunktion zur Basis {{math|term= 10 |SZ=}} und {{math|term= \nu|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |SZ= }} zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß {{math|term= \lambda^1 |SZ=}}{{{zusatz1|.}}} Für ein Intervall {{ Relationskette | [a,b] | \subseteq | \R_+ || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \nu ([a,b]) || \lambda^1( \varphi^{-1} ([a,b])) || \lambda^1 ( [{{opsyn|log| a |tief=10|hoch=}} , {{opsyn|log| b |tief=10|hoch=}}]) || {{opsyn|log| b |tief=10|hoch=}} - {{opsyn|log| a |tief=10|hoch=}} || |SZ=. }} Insbesondere haben die Intervalle {{Math/display|term= \ldots ,[{{op:Bruch| 1 | 100}}, {{op:Bruch| 1 | 10}} ] ,\, [ {{op:Bruch| 1 | 10}}, 1] ,\, [1,10] ,\, [10,100] ,\, [100,1000] , \ldots |SZ=}} unter {{math|term= \nu |SZ=}} alle das Maß {{math|term= 1 |SZ=.}} Das Maß {{math|term= \nu |SZ=}} ist also {{Anführung|unter Berücksichtigung der Größenordnung gleichverteilt|SZ=.}} Wenn man zur Menge aller Städte {{ Zusatz/Klammer |text=auf der Erde oder in Deutschland| |ISZ=|ESZ= }} die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer {{math|term= 1 |SZ=}} deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern {{math|term= 2,3, \ldots|SZ=.}} Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen {{mathl|term= 100 000 |SZ=}} und {{mathl|term= 200 000 |SZ=}} Einwohnern, aber keine mit zwischen {{mathl|term= 800 000 |SZ=}} und {{mathl|term= 900 000 |SZ=}} Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten {{Stichwort|Benfordschen Gesetz|msw=Benfordsches Gesetz|SZ=.}} Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer kleinen Basis| |ISZ=|ESZ=, }} und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist {{ Zusatz/Klammer |text=in einem endlichen Zeitintervall| |ISZ=|ESZ=, }} so kann man die Stadtgründungen durch {{math|term= \lambda^1 |SZ=}} modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß {{math|term= \nu |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist dann beispielsweise {{ Relationskette/display | \nu ( [1,2]) || {{opsyn|log| 2 |tief=10|hoch=}} || 0, 301 \ldots || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \nu ( [8,9]) || {{opsyn|log| 2 |tief=10|hoch=}} || 0, 051 \ldots || || |SZ= }} und entsprechend für die Intervalle {{mathl|term= [10,20] |SZ=,}} {{mathl|term= [100,200] |SZ=,}} etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 82thpchrsn56qh4o3s85btjttjvgx6h 0 76914 1100636 1028192 2026-06-17T10:39:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100636 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Gelegentlich ist ein lineares Gleichungssystem nicht in der Form gegeben, dass die Variablen nur auf einer Seite der Gleichungen auftauchen, wie beispielsweise bei {{ Relationskette/display | 3x-4+5y || 8z+7x || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 2-4x+z || 2y+3x+6 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 4z-3x +2x +3 || 5x-11y+2z-8 || || || |SZ=. }} In diesem Fall muss man das System zuerst durch einfache Additionen und Zusammenfassen der Koeffizienten in jeder einzelnen Gleichung in die Standardgestalt bringen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwwdnvqrds4kuwcx6bafmocmh1kpi5i 0 76925 1100638 1085727 2026-06-17T10:39:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100638 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Unter einem {{Stichwort|linearen Ungleichungssystem|msw=Lineares Ungleichungssystem}} über den rationalen Zahlen oder den reellen Zahlen versteht man ein System der Form {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{skalarproduktzeile12n| {{{1|a}}} | {{{2| x}}} | {{{4|n}}} | 1 }} & \star & {{{5|c}}}_1 \\ {{skalarproduktzeile12n| {{{1|a}}} | {{{2| x}}} | {{{4|n}}} | 2 }} & \star & {{{5|c}}}_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {{skalarproduktzeile12n| {{{1|a}}} | {{{2| x}}} | {{{4|n}}} | {{{m|m}}} }} & \star & {{{5|c}}}_m \, , \end{matrix} |SZ= }} wobei {{mathl|term= \star|SZ=}} gleich {{mathl|term= \leq|SZ=}} oder {{mathl|term= \geq|SZ=}} ist. Die Lösungsmenge ist deutlich schwieriger zu beschreiben als im Gleichungsfall. Eine Eliminierung von Variablen ist im Allgemeinen nicht möglich. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der linearen Ungleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lojzq58a9vuufykhvsv9f0lk8i1yzb3 0 77074 1099745 1084853 2026-06-17T06:23:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099745 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= e_1,e_2,e_3 |SZ=}} des {{math|term= K^3 |SZ=}} und die beiden linear unabhängigen Vektoren {{ mathkor|term1= u_1 = {{op:Spaltenvektor| 3 | 2 | 1}} |und|term2= u_2 = {{op:Spaltenvektor| 5 | 4 | 2}} |SZ=, }} die wir mit Hilfe der Standardbasis gemäß dem im Beweis {{ Faktlink |Präwort=zum|Basisaustauschsatz|Faktseitenname= Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Verfahren zu einer Basis ergänzen wollen. Betrachten wir zunächst {{ Relationskette/display |u_1 || 3 e_1 +2e_2 + e_3 || || || |SZ=. }} Da sämtliche Koeffizienten nicht {{math|term= 0 |SZ=}} sind, kann man {{math|term= u_1 |SZ=}} mit je zwei der Standardvektoren zu einer Basis ergänzen. Wir nehmen die neue Basis {{ Math/display|term= u_1,e_1,e_2 |SZ=. }} Als zweiten Schritt wollen wir {{math|term= u_2 |SZ=}} in die Basis mitaufnehmen. Es ist {{ Relationskette/display |u_2 || {{op:Spaltenvektor| 5 | 4 | 2}} || 2 {{op:Spaltenvektor| 3 | 2 | 1}} -e_1 || 2u_1 -e_1 +0e_2 || |SZ=. }} Nach dem Beweis müssen wir {{math|term= e_1 |SZ=}} rauswerfen, da es mit einem Koeffizienten {{math|term= \neq 0 |SZ=}} in dieser Gleichung vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= e_2 |SZ=}} dürften wir nicht rauswerfen| |ISZ=|ESZ=. }} Die neue Basis ist somit {{ Math/display|term= u_1,u_2,e_2 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lxczo8nfnakcx2oy15gyqhr9joj6pw 0 77628 1099777 1084882 2026-06-17T06:28:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099777 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir lösen das {{ Definitionslink |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 4 | 3 | -1| 5}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 }} || {{op:Spaltenvektor| 2 | 7}} || || || |SZ= }} mit Hilfe der {{ Faktlink |Präwort=|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | x_1 || {{op:Bruch| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 2 | 3 | 7 | 5}} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 4 | 3 | -1| 5}} |}} }} || - {{op:Bruch| 11| 23}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | x_2 || {{op:Bruch| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 4 | 2 | -1| 7}} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 4 | 3 | -1| 5}} |}} }} || {{op:Bruch| 30| 23}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Cramersche Regel (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lirs9o8akke5g50069r8xvq5ngejnxs 0 78100 1100055 983537 2026-06-17T07:12:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100055 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Beispiel|opt=Text}} Bei {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Scherung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0kvddnju0nva1zc4f55v0e3cqov9qlu 0 78327 1100143 1085247 2026-06-17T07:27:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100143 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten den größten gemeinsamen Teiler für die beiden Polynome {{ mathkor|term1= X^3+6X^2-7X+3 |und|term2= X^2-5X+4 |SZ= }} aus {{math|term= \Q[X] |SZ=}} berechnen. Dazu führt man die {{ Definitionslink |Division mit Rest| |Kontext=Polynomring| |SZ= }} durch und erhält {{ Relationskette/display/handlinks | X^3+6X^2-7X+3 || {{makl| X^2-5X+4 |}} {{makl| X+11 |}} + 44X-41 || || || |SZ=. }} Nach {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers/Bemerkung |Nr= |SZ= }} haben die beiden Ausgangspolynome und {{ mathkor|term1= X^2-5X+4 |und|term2= 44X-41 |SZ= }} den gleichen größten gemeinsamen Teiler. Eine weitere Division mit Rest ergibt {{ Relationskette/display/handlinks | X^2-5X+4 || {{makl| 44X-41 |}} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 44}} X - {{op:Bruch| 179| 1936 }} |}} + {{op:Bruch| 405 | 1936}} || || || |SZ=. }} Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swlgditxbfok8ia2d9llpsb8yl25ll7 0 78386 1100056 1085158 2026-06-17T07:13:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100056 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir behaupten, dass die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 3 | 1 | -1| 1}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |trigonalisierbar| |Kontext=| |SZ= }} ist. Die Matrix {{ Relationskette/display | B || {{op:Matrix22| 3 | 2 | 1 | 1}} || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |inversen Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | B^{-1} || {{op:Matrix22| 1 | -2| -1| 3}} || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung zeigt {{ Relationskette/display | BMB^{-1} || {{Latexzieh|}} {{op:Matrix22| 3 | 2 | 1 | 1}} {{op:Matrix22| 3 | 1 | -1| 1}} {{op:Matrix22| 1 | -2| -1| 3}} {{Latexzieh|}} || {{Latexzieh|}} {{op:Matrix22| 3 | 2 | 1 | 1}} {{op:Matrix22| 2 | -3| -2| 5}} {{Latexzieh|}} || {{op:Matrix22| 2 | 1 | 0 | 2}} || |SZ=. }} Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix {{math|term= B |SZ=}} aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynoms| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das charakteristische Polynom ist {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22|X-3| -1| 1 |X-1}} |}} || (X-3)(X-1) +1 || X^2 -4X +4 || (X-2)^2 |SZ=, }} zerfällt also in Linearfaktoren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} luf21n8ujiztibbugjyhuupemgj9ydu 0 78506 1100118 1085223 2026-06-17T07:23:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100118 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix44| 3 | 1 | 0 | 4 | 0 | -1| 2 | 1 | 0 | 0| -1| 0 | 0| 0 | 0| 3}} || || || |SZ= }} und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Hier gibt es zwei Eigenwerte und somit zwei zweidimensionale Haupträume, die getrennt behandelt werden können. Es ist {{ Relationskette/display |M -3 E_4 || {{op:Matrix44| 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | -4| 2 | 1 | 0 | 0| -4| 0 | 0| 0 | 0| 0}} || || || |SZ=, }} somit gehört {{math|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0| 0}} |SZ=}} zum Kern. Die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der Untermatrix rechts oben ist nicht {{math|term= 0 |SZ=,}} daher ist der Rang der Matrix gleich {{math|term= 3 |SZ=}} und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist {{ Relationskette/align | {{op:Matrix44| 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | -4| 2 | 1 | 0 | 0| -4| 0 | 0| 0 | 0| 0}}^2 || {{op:Matrix44| 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | -4| 2 | 1 | 0 | 0| -4| 0 | 0| 0 | 0| 0}} {{op:Matrix44| 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | -4| 2 | 1 | 0 | 0| -4| 0 | 0| 0 | 0| 0}} || {{op:Matrix44| 0 | -4| 2 | 1 | 0 | 16| -16| -4 | 0 | 0| 16| 0 | 0| 0 | 0| 0}} || || |SZ=, }} ein neues Kernelement ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0 | 4}} |SZ=.}} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Hauptraum| M | 3}} || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0| 0}} | {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0 | 4}} |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Matrix44| 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | -4| 2 | 1 | 0 | 0| -4| 0 | 0| 0 | 0| 0}} {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0 | 4}} || {{op:Spaltenvektor| 17| 0 | 0| 0}} || || || |SZ= }} können die Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 17| 0 | 0| 0}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0 | 4}} |SZ= }} zum Aufstellen des ersten Jordanblockes verwendet werden. Es ist {{ Relationskette/display |M +1 E_4 || {{op:Matrix44| 4 | 1 | 0 | 4 | 0 | 0| 2 | 1 | 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 4}} || || || |SZ=, }} somit gehört {{math|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | -4| 0 | 0}} |SZ=}} zum Kern. Der Rang der Matrix ist wieder gleich {{math|term= 3 |SZ=}} und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist {{ Relationskette/align | {{op:Matrix44| 4 | 1 | 0 | 4 | 0 | 0| 2 | 1 | 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 4}}^2 || {{op:Matrix44| 4 | 1 | 0 | 4 | 0 | 0| 2 | 1 | 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 4}} {{op:Matrix44| 4 | 1 | 0 | 4 | 0 | 0| 2 | 1 | 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 4}} || {{op:Matrix44| 16| 4 | 2 | 33| 0 | 0| 0 | 4 | 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 16}} || || |SZ=, }} ein neues Kernelement ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -2| 0 |}} |SZ=.}} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Hauptraum| M | -1 }} || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 1 | -4| 0 | 0}} | {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -2| 0 |}} |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Matrix44| 4 | 1 | 0 | 4 | 0 | 0| 2 | 1 | 0 | 0| 0 | 0| 0 | 0| 0 | 4}} {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -2| 0 |}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | -4| 0 | 0}} || || || |SZ= }} können die Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 1 | -4| 0 | 0}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -2| 0 |}} |SZ= }} zum Aufstellen des zweiten Jordanblockes verwendet werden. Insgesamt besitzt also {{math|term= M |SZ=}} bezüglich der Basis {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 17| 0 | 0| 0}} \, , {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0 | 4}} \, , {{op:Spaltenvektor| 1 | -4| 0 | 0}} \, , {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -2| 0 |}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |jordansche Normalform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 3 | 1 | 0 | 0| 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0| -1| 1 | 0 | 0| 0 | -1}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6bvkjyko0mf1wsg48xga6iwpn3meoa 0 78538 1100338 1085467 2026-06-17T07:59:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100338 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=2|Sphäre| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= S^2 |SZ=}} als {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= 0 |SZ=}} zur {{ Definitionslink |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=R total| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^3|\R |(x,y,z)| x^2+y^2+z^2-1 |SZ=. }} Wir können darauf {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt |SZ= }} anwenden und erhalten durch {{ Abbildung/display |name= |\bigwedge^2 T_P S^2|\R |v_1 \wedge v_2 | {{op:Determinante| ({{op:Gradient|\varphi(P)|}},v_1,v_2) |}} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Tangentenvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} wegen {{ Relationskette | T_PS^2 | \subseteq | T_P\R^3 || \R^3 || || || || |SZ= }} direkt im {{math|term= \R^3 |SZ=}} aufgefasst werden können| |ISZ=.|ESZ=, }} eine stetige nullstellenfreie {{ Definitionslink |Flächenform| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \omega|SZ=.}} Dies führt zu einer {{ Definitionslink |positiven Flächenform| |Kontext=| |SZ= }} und zu einer {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=Mfk| |SZ= }} auf {{math|term= S^2 |SZ=.}} Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} repräsentieren die Orientierung, wenn {{ Relationskette | \omega(v_1,v_2) | > | 0 || || || |SZ= }} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren {{mathl|term= {{op:Gradient|\varphi(P)|}},\, v_1,\, v_2 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Standardorientierung| |Kontext=| |SZ= }} des {{math|term= \R^3 |SZ=}} repräsentieren. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man diese Flächenform auch als das Doppelte von {{ Math/display|term= x dy \wedge dz -y dx \wedge dz + z dx \wedge dy |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Sphären |Kategorie2=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie3=Theorie der Volumenformen |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8nrxztcccbne20pvvft7bd3mke8qrf 0 78736 1099683 1024263 2026-06-17T06:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099683 wikitext text/x-wiki {{Mathematischer Text/BinoidBeispiel |Binoid= {{math|term= M=\mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/(2(x+y)=4(x+y))}} |Boolesch=- |EndlichErzeugt=x |Integer=x |Kürzbar=- |TorsionsFreiBisAufNilpotenz=- |Positiv=x |Dimension=2 {{ Relationskette/display | 0 | \subset | (x) | \subset | (x,y) || || |SZ=. }} |Binoidalgebra= {{math|term= K[M]=K[X,Y]/((XY)^2 -(XY)^4)}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Kommutative Binoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Binoid |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzhn6jxw2iyu4mldhs1pq1xbcicr23n 0 78785 1100044 1085149 2026-06-17T07:11:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100044 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die homogene {{ Definitionslink |lineare Gleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | 7x-3y+4z || 0 || || || |SZ= }} hat den Lösungsraum {{ Relationskette/display |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 3 | 7 | 0}} | {{op:Spaltenvektor| 0 | 4 | 3}} |}} || || || |SZ= }} und die inhomogene lineare Gleichung {{ Relationskette/display | 7x-3y+4z || 2 || || || |SZ= }} hat die Lösungsmenge {{ Relationskette/display |E || {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 2}} }} + U || {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 2}} }} + {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 3 | 7 | 0}} | {{op:Spaltenvektor| 0 | 4 | 3}} |}} || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |affine Addition| |Kontext=| |SZ= }} ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |U \times E|E |(u,P)| (u+P) |SZ=, }} die einem Paar bestehend aus einer Lösung der homogenen Gleichung und einer Lösung der inhomogenen Gleichung ihre Summe zuordnet, die eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Zu zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung ist die Differenz eine Lösung der homogenen Gleichung. Zu {{ Relationskette/display |u || - 2 {{op:Spaltenvektor| 3 | 7 | 0}} + 3{{op:Spaltenvektor| 0 | 4 | 3}} || {{op:Spaltenvektor| -6| - 2| 9}} | \in | U || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 2}} }} + {{op:Spaltenvektor| -6| - 2| 9}} || {{op:Spaltenvektor| -6| 2| {{op:Bruch| 19| 2}} }} || || || |SZ= }} eine weitere Lösung aus {{math|term= E |SZ=.}} Die beiden Lösungen {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 1 | 3 | 1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 2 | 4 | 0}} |SZ= }} aus {{math|term= E |SZ=}} werden durch den Verbindungsvektor {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 2 | 4 | 0 }} - {{op:Spaltenvektor| 1 | 3 | 1 }} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 1 | - 1 }} || || || |SZ= }} ineinander überführt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbna8bbx17iq60y5aajuba8q59mx84q 0 78895 1100293 1038066 2026-06-17T07:52:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100293 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Spezielfall des {{ Faktlink |Präwort=|Satzes von Stokes|Faktseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der sogenannte {{Stichwort|Divergenzsatz|SZ=}} oder {{Stichwort|Satz von Gauß|SZ=.}} Er besagt für eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand {{ Relationskette | M | \subset | U | \subseteq | \R^3 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= U |SZ=}} eine offene Teilmenge |ISZ=|ESZ= }} und eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Differentialform {{math|term= \omega|SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | \int_{\partial M} \omega || \int_M d \omega || || || |SZ=. }} Dieser Satz bezieht sich auf die physikalische Situation einer Strömung. Die Form {{math|term= \omega|SZ=}} beschreibt für einen Punkt {{ Relationskette | P | \in | U || || || |SZ= }} und ein infinitesimales Parallelogramm an diesem Punkt, wie viel Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch dieses Stück durchfließt. Bei der äquivalenten Beschreibung dieser Situation mit einem Vektorfeld beschreibt {{mathl|term= F(P) |SZ=}} die Flussrichtung zusammen mit ihrer Stärke. Die Ableitung {{math|term= d \omega|SZ=}} ist eine Volumenform, die sogenannte {{Stichwort|Divergenz|SZ=.}} Sie beschreibt für einen Punkt den infinitesimalen Zuwachs an Flussmaterial {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|Quelle|SZ=}} oder {{Stichwort|Senke|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} an diesem Punkt. Dabei ist die Bedingung {{ Relationskette |d \omega || 0 || || || |SZ= }} häufig erfüllt und bedeutet, dass es für die Flüssigkeit in {{math|term= U |SZ=}} keinen Materialgewinn gibt. Der Satz von Gauß besagt dann, dass die Gesamtdurchströmung durch den Rand {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Orientierung festlegt, welche Strömung als nach draußen oder als nach innen zu betrachten ist| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Was also irgendwo in {{math|term= M |SZ=}} hineinfließt, fließt irgendwo sonst wieder heraus. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74qz6jd52tnanhuflvo687pgntw8dwj 0 79145 1100637 1035454 2026-06-17T10:39:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100637 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Gelegentlich möchte man ein {{Stichwort|simultanes lineares Gleichungssystem|SZ=}} der Form {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{skalarproduktzeile12n| {{{1|a}}} | {{{2| x}}} | {{{4|n}}} | 1 }} & = & {{{5|c}}}_1 & ( = & d_1, & = & e_1, \ldots ) \\ {{skalarproduktzeile12n| {{{1|a}}} | {{{2| x}}} | {{{4|n}}} | 2 }} & = & {{{5|c}}}_2 & ( = & d_2, & = & e_2, \ldots ) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {{skalarproduktzeile12n| {{{1|a}}} | {{{2| x}}} | {{{4|n}}} | {{{3|m}}} }} & = & {{{5|c}}}_{{{3|m}}} &( = & d_m, & = & e_m, \ldots ) \end{matrix} |SZ= }} lösen. Es sollen also für verschiedene Störvektoren Lösungen des zugehörigen inhomogenen Gleichungssystems berechnet werden. Grundsätzlich könnte man dies als voneinander unabhängige Gleichungssysteme betrachten, es ist aber geschickter, die Umwandlungen, die man auf der linken Seite macht, um Dreiecksgestalt zu erreichen, simultan auf der rechten Seiten mit allen Störvektoren durchzuführen. Ein wichtiger Spezialfall bei {{ Relationskette | n || m || || || |SZ= }} liegt vor, wenn die Störvektoren die Standardvektoren durchlaufen, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |Nr= |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85d80wodgpfxtrnwkh6iam0uajbrqs6 0 79544 1100277 1038015 2026-06-17T07:49:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100277 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Kreuzprodukt| |Kontext=| |SZ= }} der beiden Vektoren {{ Relationskette | {{op:Spaltenvektor| 5 | 8 | -2}}, {{op:Spaltenvektor| 3 | 4 | 1}} | \in | \R^3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 5 | 8 | -2}} \times {{op:Spaltenvektor| 3 | 4 | 1}} || {{op:Spaltenvektor| 8 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) | -5 \cdot 1 - 2 \cdot 3 | 5 \cdot 4 - 8 \cdot 3 }} || {{op:Spaltenvektor| 16| -11| -4}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jxnrbedun0htvxyyvxcygivxovkjjtp 0 79583 1100010 1085124 2026-06-17T07:05:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100010 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |V || K^n || || || |SZ= }} und seien {{ Relationskette |a_{ij} | \in | K || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | 1 | \leq |i,j | \leq |n || || |SZ= }} fixiert. Dann ist die Zuordnung {{ Math/display|term= ( {{op:Spaltenvektor| x_1 |\vdots| x_n }}, {{op:Spaltenvektor| y_1 |\vdots| y_n }} ) \longmapsto \Psi(x_1 {{kommadots|}} x_n,y_1 {{kommadots|}} y_n) = \sum_{ij} a_{ij} x_iy_j |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Bilinearform| |Kontext=| |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display |a_{ij} || 0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i,j|SZ=}} ist dies die Nullform; bei {{ Relationskette/display | a_{ij} || \delta_{ij} || \begin{cases} 1, \text{ falls } i {{=}} j \, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases} || || |SZ= }} liegt das Standardskalarprodukt vor {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette |n || 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \Psi(x_1 {{kommadots|}} x_4 ,y_1 {{kommadots|}} y_4) || x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_4y_4 || || || |SZ= }} spricht man von einer {{Stichwort|Minkowski-Form|SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |\Psi(x_1,x_2,y_1,y_2) || x_1y_2-x_2y_1 || || || |SZ= }} handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79hzyk319zfl1f6rshudq5ywcega6eh 0 79644 1100218 1085349 2026-06-17T07:40:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100218 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das quadratische Polynom {{ Relationskette/display | F || 3X^2 -4XY+5Y^2 +6X+2Y-7 || || || |SZ=. }} Wir müssen zunächst die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22| 3 | -2| -2| 5}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |diagonalisieren| |Kontext=| |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |(X-3)(X-5) -4 || X^2 -8X +11 || (X-4)^2 -5 || || |SZ=. }} Somit sind die Eigenwerte gleich {{ Math/display|term= x_1 = \sqrt{5} +4 \text{ und } x_2 = -\sqrt{5} +4 |SZ=. }} Eigenvektoren sind {{ Mathkor/display|term1= {{op:Spaltenvektor| -2| \sqrt{5} + 1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 2 | \sqrt{5} - 1}} |SZ=. }} Daher bilden {{ Mathkor/display|term1= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ 10 + 2 \sqrt{5 } } }} {{op:Spaltenvektor| -2| \sqrt{5} + 1}} |und|term2= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{5 } } }} {{op:Spaltenvektor| 2 | \sqrt{5} - 1}} |SZ=. }} eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1x5nnsqp2bl7d083ims11oxm4jrpp6d 0 79796 1100379 1085509 2026-06-17T08:06:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1100379 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{mathl|term= \R^2 {{tensor|\R}} \R^2 |SZ=}} gilt {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Spaltenvektor| 5 | -7}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor| -3| 4}} || {{makl| 5 e_1 -7 e_2 |}} {{tensor||}} {{makl| -3e_1 +4e_2 |}} || -15 e_1 {{tensor||}} e_1 +20 e_1 {{tensor||}} e_2 +21 e_2 {{tensor||}} e_1 - 28 e_2 {{tensor||}} e_2 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} surd6b54dylqdi49on2o7te7e8q1ovx 0 79823 1100378 1085508 2026-06-17T08:05:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100378 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{math|term= \R^2 |SZ=}} mit den Basen {{ Relationskette | {{basis|v}} || {{op:Spaltenvektor| 5 | 6}}, {{op:Spaltenvektor| -3| 8}} || || || |SZ= }} und der Standardbasis {{math|term= {{basis|w}} |SZ=}} und {{math|term= {{CC}} |SZ=}} als reellen Vektorraum mit den Basen {{ Relationskette | {{basis| x}} || 3-2 {{Imaginäre Einheit|}} , 4+5{{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{basis| y}} || 1,{{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ=. }} Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Basen/Übergangsmatrix/Fakt |Nr= |SZ= }} auftreten, gleich {{ Relationskette/display | B_1 || {{op:Matrix22| 5| -3| 6 | 8}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B_2 || {{op:Matrix22| 3| 4 | -2| 5}} || || || |SZ=. }} Wir folgen der Anordnung {{mathl|term= (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) |SZ=}} und erhalten die Basiswechselmatrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 15| 20| -9| -12| -10| 25| 6 | -15| 18| 24| 24| 32| -12| 30| -16| 40||}} |SZ=. }} In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man {{mathl|term= v_1 {{tensor|}} x_2 |SZ=}} als Linearkombination der {{mathl|term= w_1 {{tensor|}} y_1 , \, w_1 {{tensor|}} y_2 , \,w_2 {{tensor|}} y_1 , \, w_2 {{tensor|}} y_2 |SZ=}} ausdrückt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmimqu3ljinlfhutufh9xao6fwor491 0 80477 1099702 1034639 2026-06-17T06:16:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099702 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= E |SZ=}} ein reeller {{ Definitionslink |affiner Raum| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |euklidischen Vektorraum| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=,}} {{ Relationskette | P | \in | E || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Relationskette |F | \subseteq | E || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |affiner Unterraum| |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | P | \in | F || || || |SZ= }} ist der Abstand von {{math|term= P |SZ=}} zu {{math|term= F |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Im Allgemeinen schreibt man {{ Relationskette/display | F || Q+U || || || |SZ= }} mit einem Aufpunkt {{ Relationskette | Q | \in | F || || || |SZ= }} und mit einem {{ Definitionslink |Untervektorraum| |SZ= }} {{ Relationskette |U | \subseteq | V || || || |SZ= }} und bestimmt das {{ Definitionslink |orthogonale Komplement| |SZ= }} {{ Relationskette | W || {{op:Orthogonales Komplement| U |}} || || || |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Wenn {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_m |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k |SZ=}} eine Basis von {{math|term= W |SZ=}} ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | {{op:Vektor| P | Q}} || \sum_{i {{=}}1 }^m a_i u_i + \sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j || || || |SZ=. }} Es ist dann {{ Relationskette/display | L || P + \sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j || Q - \sum_{ i {{=}} 1}^m a_iu_i || || |SZ= }} der Lotfußpunkt von {{math|term= P |SZ=}} auf {{math|term= F |SZ=}} und der Abstand von {{math|term= P |SZ=}} zu {{math|term= L |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Abstand| P | F}} || {{op:Abstand| P | L}} || {{op:Norm| \sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j |}} || || |SZ=. }} Wenn die {{math|term= w_j |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=}} bilden, so ist dies gleich {{mathl|term= \sqrt{ \sum_{j=1}^k b_j^2} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pourhtxk8lnaosu5t49yr3x0pvipv61 0 80478 1099869 1035765 2026-06-17T06:42:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099869 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes {{ Relationskette |P || {{op:Spaltenvektor| 4 | 5}} || || || |SZ= }} zu der Geraden {{math|term= G |SZ=,}} die durch {{ Relationskette | 2x-3y || 7 || || || |SZ= }} gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form {{ Relationskette/display |G || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 7 | 2}} | 0 }} + t {{op:Spaltenvektor| 3| 2}} |t \in \R }} || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 2 | -3}} |SZ=}} ist ein zu {{math|term= G |SZ=}} orthogonaler Vektor. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 7 | 2}} | 0 }} - {{op:Spaltenvektor| 4 | 5}} || {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | - 5}} || - {{op:Bruch| 23| 26}} {{op:Spaltenvektor| 3 | 2}} + {{op:Bruch| 14| 13}} {{op:Spaltenvektor| 2 | -3}} || || |SZ=. }} Somit ist der Lotfußpunkt gleich {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 4 | 5}} + {{op:Bruch| 14| 13}} {{op:Spaltenvektor| 2 | -3}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 80| 13}} | {{op:Bruch| 23| 13}} }} || || || |SZ= }} und der Abstand ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 14| 13}} \sqrt{13} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cty1yvai0jh1lich1gobcqt6ph6redu 0 80794 1100400 1085529 2026-06-17T08:09:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100400 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ Relationskette/display |G || P+ \R v || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |H || Q+ \R w || || || |SZ= }} windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei {{ Relationskette/display |P || {{op:Spaltenvektor|a_1 |a_2 |a_3 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |Q || {{op:Spaltenvektor|b_1 |b_2 |b_3 }} || || || |SZ=. }} Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten {{ Relationskette/display |P' || {{op:Spaltenvektor|a_1 |a_2 |a_3 }} + s {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 |v_3 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |Q' || {{op:Spaltenvektor|b_1 |b_2 |b_3 }} + t {{op:Spaltenvektor|w_1 |w_2 |w_3 }} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k |c_i || a_i-b_i || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | d(P',Q')^2 || {{makl| c_1 +sv_1 -tw_1 |}}^2 + {{makl| c_2 +sv_2 -tw_2 |}}^2 + {{makl| c_3 +sv_3 -tw_3 |}}^2 || c_1^2 + s^2v_1^2 + t^2w_1^2 + 2sc_1v_1 -2tc_1w_1 -2stv_1w_1 + c_2^2 + s^2v_2^2 + t^2w_2^2 + 2sa_2v_2 | 5teil2= -2tc_2w_2-2stv_2w_2 + c_3^2 + s^2v_3^2 + t^2w_3^2 + 2sc_3v_3 -2tc_3w_3 -2stv_3w_3 || c_1^2+c_2^2+c_3^2 + 2s {{makl|c_1v_1 + c_2v_2 +c_3v_3 |}} - 2t {{makl|c_1 w_1 + c_2w_2 +c_3w_3 |}} | 7teil2= +s^2 {{makl|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |}} +t^2 {{makl|w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 |}} -2st {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || |SZ=. }} Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck {{mathl|term= f(s,t) |SZ=}} in den beiden reellen Variablen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ= }} vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} sind {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Partielle Ableitung| f |s}} || 2 {{makl|c_1v_1 +c_2v_2 +c_3v_3 |}} + 2s {{makl|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 |}} -2t {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Partielle Ableitung| f |t}} || 2 {{makl|c_1w_1 + c_2w_2 +c_3w_3 |}} + 2t {{makl| w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 |}} -2s {{makl|v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 |}} || || || |SZ=. }} Wenn wir diese gleich {{math|term= 0 |SZ=}} setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen {{ mathkor|term1= s |und|term2= t |SZ=. }} Mit {{ Faktlink |Präwort=der|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display |s || {{op:Bruch| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| - c_1v_1 - c_2v_2 -c_3v_3 | -v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3 | - c_1 w_1 - c_2 w_2 -c_3 w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 | -v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3 | - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |t || {{op:Bruch| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 | - c_1v_1 - c_2v_2 -c_3v_3 | - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 | -c_1w_1 -c_2w_2 -c_3w_3 | }} |}} | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 | -v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3 | - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 | w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 }} |}} }} || || || |SZ=. }} Wenn {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu {{ Relationskette/display |s || {{op:Bruch| - {{op:Skalarprodukt|P-Q|v}} - {{op:Skalarprodukt|P-Q |w}} {{op:Skalarprodukt| v |w}} | 1- {{op:Skalarprodukt| v |w}}^2 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |t || {{op:Bruch| - {{op:Skalarprodukt|P-Q|w}} - {{op:Skalarprodukt|P-Q |v}} {{op:Skalarprodukt| v |w}} | 1- {{op:Skalarprodukt| v |w}}^2 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abstände von Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gzzsunxwpx3csqhc50bzvv9itn95ff 0 80800 1099769 1084873 2026-06-17T06:27:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099769 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{CC}} | {{CC}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=, }} die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl {{ Relationskette/display | {{{w|w}}} || a+b {{Imaginäre Einheit|}} |\neq| 0 || || |SZ= }} gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis {{mathl|term= 1, {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} von {{ Relationskette | {{CC}} ||\R^2 || || || |SZ= }} wird diese Abbildung durch die reelle {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| a | -b| b | a |}} |SZ= }} beschrieben. Diese schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| a | -b| b | a |}} || {{op:Matrix22| \sqrt{a^2+b^2} | 0 | 0| \sqrt{a^2+b^2} |}} {{op:Matrix22| {{op:Bruch| a | \sqrt{a^2+b^2} }} | - {{op:Bruch| b | \sqrt{a^2+b^2} }} | {{op:Bruch| b | \sqrt{a^2+b^2} }} | {{op:Bruch| a | \sqrt{a^2+b^2} }} |}} || || || |SZ=. }} Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie {{ Zusatz/Klammer |text=einer {{ Definitionslink |Drehung| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und einer {{ Definitionslink |Streckung| |Kontext=| |SZ= }} mit dem Streckungsfaktor {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| {{{w|w}}} |}} || \sqrt{a^2+b^2} || || || |SZ= }} und insbesondere eine {{ Definitionslink |winkeltreue Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} vor.{{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der winkeltreuen linearen Abbildungen auf C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1uktxrg683axbntfv8dbmad40xm1z2k 0 81323 1099782 993734 2026-06-17T06:29:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099782 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{KRC|}}^n | {{KRC|}}^n || |SZ= }} besitze eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich des {{ Definitionslink |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} aus {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix1n| \lambda}} |SZ=. }} Dann wird der {{ Definitionslink |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel |Nr= |SZ= }} durch die komplex-konjugierte Matrix {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix1n| {{op:Komplexe Konjugation| \lambda|}} }} |SZ= }} beschrieben. Diese beiden Matrizen sind offenbar {{ Definitionslink |vertauschbar| |Kontext=Matrix| |SZ=, }} d.h. es liegt ein {{ Definitionslink |normaler Endomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gtn2eajwk6zkgndcfnvs1l62t8prmks 0 81324 1099781 1084888 2026-06-17T06:29:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099781 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{KRC|}}^n | {{KRC|}}^n || |SZ= }} besitze eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich des {{ Definitionslink |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} aus {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix1n| \lambda}} |SZ=. }} Dann wird der {{ Definitionslink |adjungierte Endomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} durch die komplex-konjugierte Matrix {{ Relationskette/display | \psi || {{op:Diagonalmatrix1n| {{op:Komplexe Konjugation| \lambda|}} }} || || || |SZ= }} beschrieben. Es ist ja einerseits {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| \varphi( u_i) | u_j }} || {{op:Skalarprodukt| \lambda_i u_i | u_j }} || \lambda_i {{op:Skalarprodukt| u_i | u_j }} || || |SZ= }} und andererseits {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| u_i | \psi (u_j) }} || {{op:Skalarprodukt| u_i | {{op:Komplexe Konjugation| \lambda_j |}} u_j }} || \lambda_j {{op:Skalarprodukt| u_i | u_j }} || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |i |\neq |j || || || |SZ= }} ist dies beides gleich {{math|term= 0 |SZ=}} und bei {{ Relationskette |i || j || || || |SZ= }} steht beidseitig {{math|term= \lambda_i |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sa6qklisl3cgs4fq0ef6l9jgkvx50vk 0 81426 1100217 1085347 2026-06-17T07:39:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100217 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem quadratischen Polynom {{mathl|term= aX^2+bX+c|SZ=}} in einer Variablen {{math|term= X |SZ=}} mit {{ Relationskette | a,b,c | \in | K || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} findet man die Nullstellen durch {{Stichwort|quadratisches Ergänzen|SZ=.}} D.h. man schreibt {{ Zusatz/Klammer |text=die Charakteristik des Körpers sei nicht {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | aX^2+bX+c || a {{makl| X^2 + {{op:Bruch| b |a}} X + {{op:Bruch| c |a}} |}} || a {{makl| {{makl| X + {{op:Bruch| b | 2a}} |}}^2 - {{op:Bruch|b^2| 4a^2}} + {{op:Bruch| c |a}} |}} || || |SZ=. }} Dies ist genau dann gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} wenn {{ Relationskette/display |X || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|b^2| 4a^2}} - {{op:Bruch| c |a}} } - {{op:Bruch| b | 2a}} || || || |SZ= }} und die Wurzel {{ Relationskette/display | \sqrt{ {{op:Bruch|b^2| 4a^2}} - {{op:Bruch| c |a}} } || {{op:Bruch| 1 | 2a}} \sqrt{ b^2-4ac } || || || |SZ= }} in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a1h9nlkmpv3em7ee3yzw6r299qznwpo 0 81480 1100228 1037778 2026-06-17T07:41:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100228 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R|S^1 | t | {{op:Spaltenvektor| {{op:cos| t |}} | {{op:sin| t |}} }} |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ= }} und aufgrund {{ Faktlink |Präwort=der|Periodizität |Faktseitenname= Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} der {{ Definitionslink |trigonometrischen Funktionen| |Kontext=| |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} gleich {{mathl|term= \Z 2 \pi|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Isomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine kanonische Isomorphie {{ Relationskette/display | \R/ \Z 2 \pi | \cong|S^1 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8399yhzytftofur5k5dqempx2lx0vzz 0 81482 1099768 1084872 2026-06-17T06:27:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099768 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |komplexe Exponentialfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |({{CC}},0,+)|( {{op:Einheiten| {{CC}} |}} ,1, \cdot) | z | {{op:exp| z |}} |SZ=, }} ist ein {{ Definitionslink |surjektiver| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} ist {{mathl|term= \Z 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Isomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine kanonische Isomorphie {{ Relationskette/display | {{CC}}/ \Z 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} | \cong| {{op:Einheiten| {{CC}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} img0r38nx3tlw9ke9xo24yz9rhit62t 0 81484 1099719 1084831 2026-06-17T06:19:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099719 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{op:Determinante||}} | {{op:GLG| n | K}} | K^\times | M | {{op:Determinante| M |}} |SZ=, }} ist ein {{ Definitionslink |surjektiver| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} ist nach Definition die {{ Definitionslink |spezielle lineare Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:SLG| n | K}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Isomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine kanonische Isomorphie {{ Relationskette/display | {{op:GLG| n | K}}/ {{op:SLG| n | K}} | \cong| {{op:Einheiten| K |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} exw2g5ti6nddjf2s6fxpwiv0pibxopc 0 81596 1099940 1036184 2026-06-17T06:54:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099940 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= |S_n |\{1,-1\} | \pi| {{op:Signum| \pi}} |SZ=, }} wobei {{math|term= S_n |SZ=}} die {{ Definitionslink |Permutationsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= n |SZ=}} Elementen bezeichnet, ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp2yzsryjbycwm7xt6cgzu4mg52j020 0 81895 1100307 1085436 2026-06-17T07:54:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100307 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |spaltenstochastische| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 1 | 3}} | {{op:Bruch| 1 | 3}} | {{op:Bruch| 1 | 3}} | {{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| 2 | 3}} | 0 | {{op:Bruch| 1 | 6}} | 0 | {{op:Bruch| 2 | 3}} }} |SZ=, }} bei der alle Einträge der ersten Zeile positiv sind. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine eindeutige Eigenverteilung. Um diese zu bestimmen, berechnet man den Kern von {{ Relationskette/display | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0| 0 | 1 |}} - {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 1 | 3}} | {{op:Bruch| 1 | 3}} | {{op:Bruch| 1 | 3}} | {{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| 2 | 3}} | 0 | {{op:Bruch| 1 | 6}} | 0 | {{op:Bruch| 2 | 3}} }} || {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 2 | 3}} | - {{op:Bruch| 1 | 3}} | - {{op:Bruch| 1 | 3}} | -{{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| 1 | 3}} | 0 | - {{op:Bruch| 1 | 6}} | 0 | {{op:Bruch| 1 | 3}} }} || || || |SZ=. }} Dieser wird von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 2 | 3 | 1}} |SZ=}} erzeugt und die stationäre Verteilung ist {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 2 | 6}} | {{op:Bruch| 3 | 6}} | {{op:Bruch| 1 | 6}} }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | 3}} | {{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| 1 | 6}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stochastischen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fixmvsrfz1jc499n7r0hjwpdnh2zu5x 0 82088 1100549 1085620 2026-06-17T10:26:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100549 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu Basen {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} eines {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} mit den Beziehungen {{ Relationskette/display | v_j || \sum_{i {{=}} 1}^m a_{ij} w_i || || || |SZ= }} erhält man zwischen den Basen {{ Mathkor/display|term1= v_{i_1 } {{wedgedots|}} v_{i_n } \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m |und|term2= w_{i_1 } {{wedgedots|}} w_{i_n } \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m |SZ= }} des {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display/handlinks | v_{j_1 } {{wedgedots|}} v_{j_n } || \sum_{ 1 \leq i_1 < \cdots < i_n \leq m} {{makl| \sum_{\pi \in S_n } {{op:Signum| \pi}} \prod_{ s{{=}} 1}^n a_{i_s j_{ \pi (s)} } |}} w_{i_1 } {{wedgedots|}} w_{i_n } || || || |SZ=. }} Dies beruht gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} auf {{ Relationskette/align/handlinks | v_{j_1 } {{wedgedots|}} v_{j_n } || {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^m a_{i j_1 } w_i |}} {{wedgedots|}} {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^m a_{i j_n } w_i |}} || \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_n \leq m } {{makl| \sum_{\pi \in S_n } {{op:Signum| \pi}} \prod_{ s{{=}} 1}^n a_{i_s j_{ \pi (s)} } |}} w_{i_1 } {{wedgedots|}} w_{i_n } || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tb7s6iehhkpzv0121j76pdv4y6dk8vj 0 82176 1100381 1085511 2026-06-17T08:06:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100381 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette |K ||\R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |V_1 ||\R^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |V_2 ||\R^3 || || || |SZ= }} sind die Elemente aus {{math|term= F |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} Linearkombinationen wie {{ Math/display|term= 4 e_{ ({{op:Spaltenvektor| 3 | 2 ||}}, {{op:Spaltenvektor| 6 | -1| 5 ||}} ) }-5e_{ ({{op:Spaltenvektor| 1 | 7 ||}}, {{op:Spaltenvektor| 3 | 3| 4 ||}} ) } + 6 e_{ ({{op:Spaltenvektor| 2 | 4 ||}}, {{op:Spaltenvektor| -4| 7 | 8 ||}} ) } |SZ=. }} Mit den Standardvektoren des {{math|term= \R^2 |SZ=}} bzw. des {{math|term= \R^3 |SZ=}} ist dies {{ Math/display|term= 4 e_{ (3e_1 +2e_2, 6e_1 -e_2+5e_3 ) }-5e_{ e_1 +7e_2, 3e_1+3 e_2+4e_3 } + 6 e_{ ( 2e_1 + 4e_2, -4e_1 +7e_2+8e_3 ) } |SZ=. }} Da die Tupel untereinander verschieden sind, kann man diesen Ausdruck in {{math|term= F |SZ=}} nicht vereinfachen. Das Bild dieses Elementes in {{ Relationskette |F/U || \R^2 {{tensor|\R}} \R^3 || || || |SZ= }} ist {{ Math/display|term= 4 (3e_1 +2e_2) {{tensor}} ( 6e_1 -e_2+5e_3 ) -5 ( e_1 +7e_2) {{tensor}} ( 3e_1+3 e_2+4e_3 ) +6 ( 2e_1 + 4e_2) {{tensor}} ( -4e_1 +7e_2+8e_3 ) |SZ=. }} Diesen Ausdruck kann man wesentlich vereinfachen, und als eine Linearkombination der Familie {{ mathbed|term= e_i {{tensor}} e_j ||bedterm1= i=1,2 ||bedterm2= j=1,2,3 |SZ=, }} darstellen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fll2swao1cyc8kul5i1zkprdkspmzlg 0 82211 1100081 1074389 2026-06-17T07:17:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100081 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Baby Category 2|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Melikamp |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir arbeiten mit den Aussagenvariablen {{mathl|term= p,q,r|SZ=.}} Im Weltpunkt {{math|term= a |SZ=}} gelte {{ Math/display|term= a \vDash p, q , \neg r |SZ= }} und im Weltpunkt {{math|term= b |SZ=}} gelte {{ Math/display|term= b \vDash p, \neg q , r |SZ=. }} Daraus kann man die Gültigkeit von aussagenlogischen Ausdrücken jeweils erschließen, beispielsweise gilt {{ Math/display|term= a \vDash p {{logund}} \neg r |SZ= }} oder {{ Math/display|term= b \vDash \neg q \rightarrow r |SZ=. }} Für modallogische Ausdrücke muss man den gerichteten Graphen berücksichtigen, wobei man induktiv über die Anzahl der Boxen vorgeht. Es geht also zunächst um Ausdrücke der Form {{math|term= \Box \alpha|SZ=,}} wobei {{math|term= \alpha|SZ=}} ein rein aussagenlogischer Ausdruck ist {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne jede Box| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gültigkeit von {{math|term= \Box \alpha|SZ=}} in einem Weltpunkt bedeutet, dass in jedem von diesem Weltpunkt aus erreichbaren Weltpunkt {{math|term= \alpha|SZ=}} gilt. Somit gilt beispielsweise {{ Math/display|term= a \vDash \Box p |SZ= }} und {{ Math/display|term= a \vDash \neg \Box q |SZ= }} und {{ Math/display|term= a \vDash \Box (q {{logoder}} r) |SZ=, }} ferner {{ Math/display|term= b \vDash \Box p |SZ= }} und {{ Math/display|term= b \vDash \Box \neg q |SZ=. }} Damit kann man dann in jedem Punkt aussagenlogisch den Wahrheitswert von jeder modallogischen Aussage bestimmen, in der die Box nur einfach {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne Verschachtelungen| |ISZ=|ESZ= }} auftritt, beispielsweise {{ Math/display|term= a \vDash \Box p {{logund}} \neg r {{logund}} \neg \Box \neg r |SZ=. }} Unter Berücksichtigung des gerichteten Graphen kann man dann auch den Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck mit modallogischer Verschachtelungstiefe {{math|term= \leq 2 |SZ=}} bestimmen, also etwa {{ Math/display|term= a \vDash \Box \Box p |SZ=, }} u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gulxq61943r0f3gkds52ul75gz5z0yy 0 83145 1099708 1084807 2026-06-17T06:17:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099708 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir arbeiten über den natürlichen Zahlen und betrachten die Gleichung {{ Relationskette/display | 3 + x || 8 || || || |SZ= }} mit der Unbestimmten {{math|term= x |SZ=.}} Gesucht ist also nach derjenigen Zahl, die zu {{math|term= 3 |SZ=}} hinzuaddiert die Zahl {{math|term= 8 |SZ=}} ergibt. Diese Gleichung besitzt die einzige Lösung {{ Relationskette/display | x || 5 || || || |SZ=. }} Dies sind zwei Aussagen! Einerseits wird behauptet, dass {{math|term= 5 |SZ=}} eine Lösung ist und andererseits, dass es außer der {{math|term= 5 |SZ=}} keine weitere Lösung gibt. Das Erste kann man einfach durch Einsetzen und Nachrechnen überprüfen, es ist ja in der Tat {{ Relationskette/display | 3+5 || 8 || || || |SZ=. }} Dass es keine weitere Lösung gibt, ergibt sich einfach aus {{ Faktlink |Präwort=der|Abziehregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Hilfseigenschaften/Fakt |Nr=5 |SZ=. }} Wenn {{math|term= y |SZ=}} eine weitere Lösung der Gleichung ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Hier ist {{math|term= y |SZ=}} also ein bestimmtes Element der Grundmenge, das die Gleichung erfüllt, keine neue Variable der Gleichung| |ISZ=.|ESZ=, }} so liegt die Gleichungskette {{ Relationskette/display | 3+5 || 8 || 3+y || || |SZ= }} vor, die Abziehregel sichert dann {{ Relationskette/display | 5 || y || || || |SZ=. }} Dieses Argument kann man auch dann durchführen, wenn man die eine Lösung {{math|term= 5 |SZ=}} noch gar nicht kennt: Aus der Gleichung{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Dies ist keine neue Gleichung mit zwei Variablen, sondern eine Elementgleichung in {{math|term= \N|SZ=}} | |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | 3+x || 8 || 3+y || || |SZ= }} folgt eben {{ Relationskette/display | x || y || || || |SZ=. }} Betrachten wir allgemein eine Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Stichwort|additive Gleichung|SZ=}} oder {{Stichwort|Additionsgleichung|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} der Form {{ Relationskette/display |a+x ||b || || || |SZ= }} mit fixierten natürlichen Zahlen {{ Relationskette | a,b | \in | \N || || || |SZ=. }} Zwar sind hier {{math|term= a,b|SZ=}} ebenso wie {{math|term= x |SZ=}} Buchstaben, die für natürliche Zahlen stehen, doch ist die Funktion jeweils eine andere. Die Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} stellen jeweils fixierte natürliche Zahlen dar, die somit die Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=als Parameter| |ISZ=|ESZ= }} festlegen, für die dann {{math|term= x |SZ=}} die zu bestimmende Unbekannte ist. Wenn also {{ Relationskette |a+x ||b || || || |SZ= }} vorliegt, so denke man {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} an die Menge aller Dreiertupel {{ Relationskette | (a,b,x) | \in | \N^3 || || || |SZ= }} derart, dass die Gleichheit vorliegt {{ Zusatz/Klammer |text=was ebenfalls eine sinnvolle mathematische Aufgabe ist| |ISZ=|ESZ=, }} sondern an eine Gleichung in {{math|term= x |SZ=,}} die durch die Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} als Parameter bestimmt ist. Das Lösungsverhalten über {{math|term= \N|SZ=}} einer Gleichung der Form {{ Relationskette/display |a+x ||b || || || |SZ= }} hängt vom Größenverhältnis zwischen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ab. Bei {{ Relationskette |a | > | b || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung, da wegen {{ Relationskette/display |a+x | \geq | a | > | b || || |SZ= }} die linke Seite stets {{ Zusatz/Klammer |text=für jedes {{ Relationskette/k | x | \in | \N || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} größer als die rechte Seite ist. Bei {{ Relationskette |a | \leq |b || || || |SZ= }} hingegen gibt es wie im zuerst genannten Beispiel genau eine Lösung. Die Voraussetzung {{ Relationskette/display |a | \leq | b || || || |SZ= }} bedeutet ja, dass man von {{math|term= a |SZ=}} aus durch sukzessives Nachfolgerbilden zu {{math|term= b |SZ=}} gelangt. Diese Definition ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt |Nr= |SZ= }} äquivalent dazu, dass es überhaupt ein {{ Relationskette | x | \in | \N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a+x ||b || || || |SZ= }} gibt. Die eindeutige Lösung ist dann gerade diejenige Zahl, die angibt, wie oft man den Nachfolger von {{math|term= a |SZ=}} nehmen muss, um zu {{math|term= b |SZ=}} zu gelangen. Also ist die Differenz{{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Es ist typisch, dass Gleichungen zu neuen Begriffen führen| |ISZ=.|ESZ= }} {{Math/display|term=b-a|SZ=}} die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung {{ Relationskette/display |a+x ||b || || || |SZ= }} bei {{ Relationskette |a | \leq | b || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efb7a8ssvkasv98sothhq1cizs7e6wi 0 83158 1100584 1085667 2026-06-17T10:32:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100584 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wie verhalten sich die ganzen Zahlen bezüglich der Zählvorstellung für die natürlichen Zahlen, die wir in der fünften Vorlesung kennengelernt haben? Die richtige Vorstellung ergibt sich, wenn man die Nachfolgerabbildung auf {{math|term= \Z|SZ=}} fortsetzt, indem man für eine negative Zahl {{ Relationskette | y || -a || || || |SZ= }} den Nachfolger als das Negative des Vorgängers von {{math|term= a |SZ=}} definiert, also {{ Relationskette/display | y^\prime || - (a-1) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |a || 1 || || || |SZ= }} ist dies als {{math|term= 0 |SZ=}} zu lesen| |ISZ=|ESZ=. }} Die natürlichen Zahlen werden somit auf der Zahlengeraden von {{math|term= 0 |SZ=}} aus nach links mit {{math|term= -1,-2, ... |SZ=}} fortgesetzt. Der Nachfolgerschritt ist dann immer noch der eine Schritt nach rechts. Beispielsweise ergeben sich die Reihenfolgen {{ Aufzählung5 | {{ Math/display|term= ... , - {{|}} {{|}} {{|}}, - {{|}} {{|}} , - {{|}} ,0, {{|}} , {{|}} {{|}} ,{{|}} {{|}} {{|}} ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ..., -NNN0, -NN0, -N0, 0,N0,NN0,NNN0, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ... ,\text{minus drei}, \text{minus zwei}, \text{minus eins}, \text{null}, \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ... , -c,-b, -a,0, a,b,c, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ..., -3,-2,-1, 0,1,2,3, ... |SZ=. }} }} Es entsteht hier eine Symmetrie am Nullpunkt, wobei die negative Zahl {{mathl|term= -a|SZ=}} der positiven Zahl {{math|term= a |SZ=}} gegenüber liegt. Diese Symmetrie gilt insbesondere auf der Zahlengeraden. {{ inputbild |Integers-line|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=kismalac |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |SongkhaRekha|png| 500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=TareqMahbub |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wenn man die ganzen Zahlen dynamisch als {{ Zusatz/Klammer |text=gleichlange| |ISZ=|ESZ= }} Schritte nach rechts bzw. nach links {{ Zusatz/Klammer |text=oder nach vorne bzw. nach hinten oder nach oben bzw. nach unten| |ISZ=|ESZ= }} interpretiert, so sehen die negativen Zahl so {{Anführung|natürlich}} wie die positiven Zahlen aus. {{ inputbild |Apples_in_a_bascket|jpg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=Der Apfelkorb G |Autor= |Benutzer=Spirtu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Apples in a basket|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Der Apfelkorb H |Autor= |Benutzer=Oxfordian Kissuth |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Welche Objekte bzw. Strukturen kann man mit den ganzen Zahlen zählen? Es gibt keine Mengen mit negativ vielen Elementen! Dennoch gibt es viele Situationen, wo man mit ganzen Zahlen sinnvoll zählen kann. Sobald es einen Prozess zusammen mit einem zugehörigen gegenläufigen Prozess gibt, wie etwa einen Schritt nach rechts bzw. einen Schritt nach links zu machen, oder wenn man zwei sehr große Haufen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Körbe| |ISZ=|ESZ= }} an Äpfeln hat, und der Prozess ist, einen Apfel von dem einen Haufen zu dem anderen Haufen zu transportieren {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem umgekehrten Transport als dem gegenläufigen Prozess| |ISZ=|ESZ=, }} so kann man die möglichen {{ Zusatz/Klammer |text=hintereinander ausgeführten| |ISZ=|ESZ= }} Prozesse durch die ganzen Zahlen beschreiben: {{math|term= 7 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder deutlicher {{math|term= +7 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bedeutet {{math|term= 7 |SZ=}} Äpfel von Haufen {{math|term= G |SZ=}} nach Haufen {{math|term= H |SZ=,}} {{math|term= -3 |SZ=}} bedeutet drei Äpfel von Haufen {{math|term= H |SZ=}} nach Haufen {{math|term= G |SZ=.}} Hierbei muss man willkürlich festlegen, welche Prozessrichtung man als positiv ansehen möchte. Auch in der Hauswirtschaft werden die Einnahmen positiv und die Ausgaben negativ verbucht. Damit zusammenhängend werden negative Zahlen häufig als Schulden und positive Zahlen als Guthaben interpretiert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c85v25xfuxiyxc1lhi43dbtkeet8pfi 0 83163 1100585 1035038 2026-06-17T10:32:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100585 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wie schon bei den natürlichen Zahlen ist die Vorstellung für die Multiplikation von ganzen Zahlen schwieriger als für die Addition, da bei der Addition beide Summanden die gleiche Rolle spielen {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest in der wichtigsten Interpretationen| |ISZ=|ESZ=, }} während dies bei der Multiplikation nicht der Fall ist. Man kann nicht drei Äpfel mal fünf Äpfel ausrechnen. Wie bei den natürlichen Zahlen beschreibt der eine Faktor die Vielfachheit, mit der ein Prozess durchgeführt, den der andere Faktor quantitativ misst. Man kann also dreimal jeweils fünf Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} transportieren und transportiert dann insgesamt {{math|term= 15 |SZ=}} Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} Das gleiche erreicht man, wenn man fünfmal drei Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} transportiert. Ebenso kann man {{math|term= a |SZ=-}}mal {{math|term= b |SZ=}} Äpfel in die andere Richtung von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=}} transportieren, und transportiert damit insgesamt {{math|term= ab|SZ=}} Äpfel von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=.}} Ganze Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=der Apfeltransport samt Richtung| |ISZ=|ESZ= }} mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren besitzt also eine passende natürliche Interpretation. Schwieriger ist es, wenn beide Zahlen negativ sind. Die Definition sagt, dass dann das Produkt der zugehörigen positiven Zahlen herauskommt. Dies kann man sich so vorstellen: Es sei {{math|term= P |SZ=}} ein reversibler Prozess, der gegenläufige Prozess sei mit {{math|term= -P|SZ=}} bezeichnet. Für {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} ist {{math|term= nP|SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Ausführung von {{math|term= P |SZ=.}} Für negatives {{ Relationskette/display |n || -m || || || |SZ= }} interpretiert man dann {{math|term= nP|SZ=}} als die {{math|term= m |SZ=-}}fache Ausführung des gegenläufigen Prozesses. Insbesondere ist {{ Relationskette/display |(-1)P || -P || || || |SZ=. }} Multiplikation mit {{math|term= -1 |SZ=}} führt also auf den gegenläufigen Prozess, und von daher ist es einleuchtend, auch {{ Relationskette/display |(-1)(-P) || P || || || |SZ= }} zu setzen, da der gegenläufige Prozess zum gegenläufigen Prozess der Prozess selbst ist. Auch von den gewünschten algebraischen Gesetzmäßigkeiten her ist die Festlegung {{mathl|term= \text{Minus mal Minus ist Plus} |SZ=}} sinnvoll. Es soll {{ Relationskette/display | 0x || 0 || || || |SZ= }} gelten und es soll das Distributivgesetz gelten. Dann ist für {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | \Z || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 0 || 0x ||(n+(-n))x || nx + (-n)x || || || |SZ=. }} Bei negativem {{ Relationskette | x || -a || || || |SZ= }} ergibt sich daraus {{ Relationskette/display | n (-a) + (- n) (-a) || 0 || || || |SZ=. }} Das Produkt {{mathl|term= (-n)(-a) |SZ=}} muss also bei Addition mit {{mathl|term= n(-a) |SZ=}} Null ergeben, dies ist aber gerade die charakteristische Eigenschaft von {{math|term= na|SZ=.}} Also ist {{ Relationskette/display |(-n) (-a) || na || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fw9j99cqbnx8l31uctbbwxoeg35kqhl 0 83175 1099779 1084885 2026-06-17T06:29:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099779 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | -7 + {{op:Bruch| 3 | 100}} + {{op:Bruch| 9 | 5}} - {{op:Bruch| 99| 1000}} || {{op:Bruch| -7000| 1000}} + {{op:Bruch| 30| 1000}} + {{op:Bruch| 1800| 1000}} - {{op:Bruch| 99| 1000}} || {{op:Bruch| -5269| 1000}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 27| 100}} \cdot {{op:Bruch| 11| 1000}} || {{op:Bruch| 297| 100000}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnnlrnd0oe4cjsis0nmro7ag7ue7wth 0 83188 1100233 1085365 2026-06-17T07:42:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100233 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die rationalen Zahlen {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 11| 7}} , {{op:Bruch| 3 | 2}} , {{op:Bruch| 8 | 5}} , 2 |SZ= }} miteinander vergleichen. Man kann alle diese Zahlen auf den gemeinsamen Nenner {{math|term= 70 |SZ=}} bringen, wodurch man die Darstellungen {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 110| 70}} , {{op:Bruch| 105| 70}} , {{op:Bruch| 112| 70}} , {{op:Bruch| 140| 70}} |SZ= }} erhält, aus denen man an den Zählern unmittelbar die Größenverhältnisse ablesen kann. Man kann auch die Brüche paarweise gemäß der Definition vergleichen, wegen {{ Relationskette/display | 2 \cdot 11 || 22 | \geq | 21 || 3 \cdot 7 || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 11| 7}} | \geq | {{op:Bruch| 3 | 2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57zwht94u39qausysdlsvu44x5ii2s1 0 83221 1099680 1084779 2026-06-17T06:13:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099680 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wenden {{ Faktlink |Faktseitenname= Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{ Relationskette |q || {{op:Bruch| 3 | 7}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |k || 9 || || || |SZ= }} an. Eine Rechnung des Taschenrechners mit menschlichen Korrekturen liefert {{ Relationskette/display | 0{,}428571428 | < | {{op:Bruch| 3 | 7}} | < | 0{,}428571429 || || |SZ=. }} Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches {{mathl|term= {{op:Bruch| 3 | 7}} |SZ=}} mit einem Fehler, der kleiner als {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 10^9}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jej48y7xpr9nzwb8uk9znc7nbxcid8l 0 83237 1099977 983062 2026-06-17T07:00:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099977 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die einelementige Menge {{ Relationskette |R ||\{0\} || || || |SZ= }} kann man zu einem {{ Definitionslink |kommutativen Halbring| |SZ= }} machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch {{ mathkor|term1= 0+0=0 |und|term2= 0 \cdot 0=0 |SZ=. }} In diesem Fall ist {{ Relationskette | 1 || 0 || || || |SZ=, }} dies ist also ausdrücklich erlaubt. Die Rechengesetze in einem Halbring sind hier trivialerweise erfüllt, da bei jeder zu erfüllenden Gleichung links und rechts sowieso immer {{math|term= 0 |SZ=}} herauskommt. Diesen Halbring nennt man den {{Definitionswort/enp|Nullring|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Nullring |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkg5p4iy4am485gfjon96jzms5v32om 0 83239 1099976 1074986 2026-06-17T06:59:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099976 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen nach einer {{ Definitionslink |Halbringstruktur| |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{0,1\} |SZ=.}} Wenn {{math|term= 0 |SZ=}} das neutrale Element einer Addition und {{math|term= 1 |SZ=}} das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt |Nr= |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | 0 \cdot 0 || 0 || || || |SZ= }} gelten. Ferner legen wir {{ Relationskette/display | 1+1 || 0 || || || |SZ= }} fest. Die Verknüpfungstabellen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Operationstafeln| |ISZ=|ESZ= }} sehen somit wie folgt aus. {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Additionstafel}} und {{:Restklassenringe (Z)/mod 2/Multiplikationstafel}} Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen {{ Definitionslink |kommutativen Halbring| |SZ= }} handelt{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Sogar um einen {{ Definitionslink |Körper| |SZ=, }} ein Begriff, den wir später einführen werden| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 2 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 880qetia590g7zq0c3e63fb256vvml7 0 83358 1099753 1076352 2026-06-17T06:24:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099753 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{math|term= 49 |SZ=-}}elementigen Menge gibt es genau {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 49| 6}} || {{op:Bruch| 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} || 13 983 816 || || |SZ= }} {{math|term= 6 |SZ=-}}elementige Teilmengen. Es gibt also so viele mögliche Zahlenkombinationen beim Lotto {{Anführung|Sechs aus 49 |SZ=.}} Der Kehrwert von dieser Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu haben. Es werden dabei die Teilmengen gezählt, nicht die möglichen Ziehreihenfolgen. Die Anzahl der möglichen Ziehreihenfolgen ist {{ Math/display|term= 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 |SZ=, }} zu jeder sechselementigen Teilmenge gibt es {{mathl|term= 6!|SZ=}} mögliche Ziehreihenfolgen, die auf diese Teilmenge führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} elf9tycfmnhako03n5f4pmbbj5opw6b 0 83387 1100648 1085741 2026-06-17T10:41:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1100648 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Der Nachfolger einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl {{ Relationskette/display |n || a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{\ell} 10^{\ell} || || || |SZ= }} lässt sich einfach bestimmen und im Dezimalsystem ausrechnen. Der Nachfolger ist natürlich {{ Math/display|term= {{makl| a_0+1 |}} +a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{\ell} 10^{\ell} |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette |a_0 | \leq | 8 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/display |a_0+1 | \leq | 9 || || || |SZ= }} und die Dezimalentwicklung des Nachfolgers liegt unmittelbar vor. Wenn hingegen {{ Relationskette |a_0 || 9 || || || |SZ= }} ist, so geht es um die Zahl {{ Relationskette/align |n+1 ||(9+1) + a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{\ell} 10^{\ell} || 10+ a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{\ell} 10^{\ell} || (a_1+1) \cdot 10 +a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{\ell} 10^{\ell} || |SZ=. }} Erneut gilt, dass bei {{ Relationskette |a_1 | \leq | 8 || || || |SZ= }} die Dezimalentwicklung vorliegt, bei {{ Relationskette |a_1 || 9 || || || |SZ= }} muss man wie zuvor weitermachen. Wenn die hintersten {{ Zusatz/Klammer |text=niedrigststelligen| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= s |SZ=}} Ziffern {{math|term= a_0 {{kommadots|}} a_{s-1} |SZ=}} gleich {{math|term= 9 |SZ=}} sind und {{ Relationskette/display |a_s |\neq| 9 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was den Fall einschließt, dass {{math|term= n |SZ=}} genau {{math|term= s |SZ=}} Ziffern hat, in welchem Fall {{math|term= a_s|SZ=}} als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren ist| |ISZ=|ESZ=, }} so erhält man den Nachfolger, indem man diese {{math|term= s |SZ=}} Neunen durch Nullen ersetzt und {{math|term= a_s|SZ=}} um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöht. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvf701d3cz41m7zfgo0agdpmydx72kg 0 83392 1100102 1037229 2026-06-17T07:20:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100102 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die im Dezimalsystem gegebene Zahl {{mathl|term= 187 |SZ=}} im Dreiersystem ausdrücken. Dazu müssen wir {{ Zusatz/Klammer |text=analog zur zweiten Methode aus {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Division mit Rest/Durchführung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die größte Dreierpotenz finden, die unterhalb {{math|term= 187 |SZ=}} liegt. Das ist {{ Relationskette/display | 81 || 3^4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=da {{ Relationskette | 243 || 3^5 || || || |SZ= }} zu groß ist| |ISZ=|ESZ=. }} Für diese Potenz müssen wir schauen, wie oft sie in {{math|term= 187 |SZ=}} hineingeht. Wegen {{ Relationskette/display | 2 \cdot 81 || 162 | < | 187 || || |SZ= }} sind das zweimal. Wir wissen daher, dass die Entwicklung der Zahl im Dreiersystem {{mathl|term= 2 \cdot 3^4 |SZ=}} beinhaltet, die Ziffer {{math|term= 2 |SZ=}} steht somit als Anfangsziffer fest. Die weitere Ziffernentwicklung hängt jetzt nur von der Differenz {{ Relationskette/display | 187 -162 || 25 || || || |SZ= }} ab. Diese Zahl ist kleiner als {{ Relationskette/display | 27 || 3^3 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die dritte Dreierpotenz {{Anführung|gar nicht}} und das heißt hier mit der Ziffer {{math|term= 0 |SZ=}} vorkommt. Wir arbeiten dann mit {{math|term= 25 |SZ=}} und mit der nächstkleineren Dreierpotenz weiter, also mit {{ Relationskette/display | 9 || 3^2 || || || |SZ=. }} Diese hat wieder zweimal Platz in {{math|term= 25 |SZ=,}} die Differenz ist {{ Relationskette/display | 25 -18 || 7 || || || |SZ=. }} Die {{ Relationskette/display | 3 || 3^1 || || || |SZ= }} passt wieder zweimal rein, übrig bleibt {{math|term= 1 |SZ=.}} Im Dreiersystem lautet also die Ziffernentwicklung {{ Math/display|term= 20221 |SZ=. }} Diese Ziffernfolge kann man sukzessive notieren {{ Zusatz/Klammer |text=Nullen nicht vergessen| |ISZ=|ESZ= }} oder aber in der Rechnung stets deutlich machen, auf welche Potenz sich der jeweilige Rechenschritt bezieht und dann zum Schluss daraus die Ziffernfolge ablesen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5r63wq017ezr9phc6fjkw2ke2xozugd 0 83404 1100427 1027129 2026-06-17T08:14:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1100427 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen {{mathl|term= 329+475 |SZ=}} berechnen und schreiben {{ Math/display|term= 329 |SZ= }} {{ Math/display|term= \underline{475} |SZ= }} Nach dem ersten Rechenschritt haben wir {{ Math/display|term= 329 |SZ= }} {{ Math/display|term= 475 |SZ= }} {{ Math/display|term= \underline{\,\,\, 1\,\,\, } |SZ= }} {{ Math/display|term= \,\,\,\,\, \, 4 |SZ=. }} Der Punkt im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist, dass man die hintersten Ziffern der beiden Summanden vergessen kann, die volle Information ist in der Endziffer {{math|term= 4 |SZ=}} und dem Übertrag {{math|term= 1 |SZ=}} bewahrt, was sich dahingehend niederschlägt, dass {{ Math/display|term= 3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1 \cdot 10 + 4 |SZ= }} gleich der Ausgangssumme ist. Diese Eigenschaft weiß man unabhängig davon, dass diese Summe noch gar nicht explizit ausgerechnet wurde. Es spricht also einiges dafür, dass man im Additionsalgorithmus die abgearbeiteten oberen hinteren Ziffern wegstreicht {{ Zusatz/Klammer |text=für das Überprüfen der Rechnung ist das aber keine gute Idee| |ISZ=|ESZ=. }} Im nächsten Rechenschritt rechnet man {{ Relationskette/display | 2+7+1 || 10 || || || |SZ= }} und man gelangt zu {{ Math/display|term= 329 |SZ= }} {{ Math/display|term= 475 |SZ= }} {{ Math/display|term= \underline{1 \,\,\, \,\,\, } |SZ= }} {{ Math/display|term= \,\,\,0 4 |SZ=. }} Die Invarianz zeigt sich in der Summe {{ Math/display|term= 3 \cdot 100 + 4 \cdot 100 + 1 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 4 |SZ=. }} Im dritten Schritt rechnet man {{ Relationskette/display | 3+4+1 || 8 || || || |SZ= }} und man gelangt zu {{ Math/display|term= 329 |SZ= }} {{ Math/display|term= \underline{475} |SZ= }} {{ Math/display|term= 8 0 4 |SZ=. }} Die oberen Summanden kann man jetzt vollständig vergessen, das Endergebnis steht unten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzoc0qqtb6xdoa46toe0enw6ppeaorf 0 83542 1100605 1085680 2026-06-17T10:34:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100605 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | x || c || || || |SZ= }} vorliegt, wobei {{math|term= c |SZ=}} ein Term ist, in dem die Variable {{math|term= x |SZ=}} nicht vorkommt, so sagt man, dass {{math|term= x |SZ=}} in der Gleichung {{Stichwort|isoliert|msw=Isolierte Gleichung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|aufgelöst|msw=Aufgelöste Gleichung|SZ=}} | |ISZ= {{ Zusatz/{{{zusatz1| -}}} |text=Dieser Sprachgebrauch ist nicht unproblematisch, da zur Lösung das Vereinfachen gehört. Allerdings ist dieser Vereinfachungsschritt häufig unproblematisch| |ISZ=.|ESZ= }} | ESZ= }} vorliegt. Hierbei kann {{math|term= c |SZ=}} eventuell ein komplizierter Ausdruck sein, und so besteht die Aufgabe im Allgemeinen darin, den Ausdruck {{math|term= c |SZ=}} zu vereinfachen. Wenn beispielsweise {{ Relationskette/display | x || 23-15+7 \cdot 11 || || || |SZ= }} vorliegt, so führt dies auf die vereinfachte und nicht weiter zu vereinfachende Gleichung {{ Relationskette/display | x || 85 || || || |SZ=, }} die man dann als Lösung betrachtet. Grundsätzlich versteht man unter der Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von die Lösung finden| |ISZ=|ESZ= }} einer Gleichung in einer Variablen die Isolierung der Variablen auf einer Seite und die Vereinfachung der anderen Seite. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lsc6y6c6c63yw5tm36d4qw18lv3cx1s 0 83550 1099925 1026480 2026-06-17T06:51:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099925 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf die Gleichung {{ Relationskette/display | x-3 || 10 || || || |SZ= }} kann man beidseitig die Addition {{math|term= +3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die bijektiv ist| |ISZ=|ESZ= }} loslassen und erhält die umgeformte Gleichung {{ Relationskette/display | x-3+3 || 10+3 || || || |SZ=. }} Vereinfachungen führen auf die Lösung {{ Relationskette/display | x || 13 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ormyvpzoiqakgda44795pfe6ssnubc 0 83552 1100607 1028072 2026-06-17T10:34:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100607 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display |f(x) || g(x) || || || |SZ= }} gegeben. Wir betrachten Gleichungsumformungen, die nicht auf einer injektiven Abbildung beruhen. Als Extremfall betrachten wir die Multiplikation mit {{math|term= 0 |SZ=,}} die ja aufgrund der Annullationsregel alles auf {{math|term= 0 |SZ=}} abbildet und somit hochgradig nicht injektiv ist. Die umgeformte Gleichung ist {{ Relationskette/display | 0 \cdot f(x) || 0 \cdot g(x) || || || |SZ=, }} also einfach {{ Relationskette/display | 0 || 0 || || || |SZ=. }} Diese Gleichung wird natürlich von jedem {{math|term= x |SZ=}} erfüllt, zum Auffinden der Lösungen der Ursprungsgleichung liefert diese Umformung keinen sinnvollen Beitrag. Betrachten wir das Quadrieren, d.h. wir gehen von der gegebenen Gleichung zu {{ Relationskette/display |(f(x))^2 || (g(x))^2 || || || |SZ= }} über. Über den natürlichen Zahlen ist das Quadrieren eine injektive Abbildung, aber nicht auf den ganzen Zahlen. Die Gleichung {{ Relationskette/display | x || 3 || || || |SZ= }} hat offenbar die einzige Lösung {{ Relationskette/display | x || 3 || || || |SZ=, }} dagegen hat die quadrierte Gleichung {{ Relationskette/display | x^2 || 9 || || || |SZ= }} die beiden Lösungen {{ Relationskette/display | x || 3,-3 || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33sti2yt8k0s4fgwualhne4k2ungqqt 0 83578 1100330 984987 2026-06-17T07:58:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100330 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der monatlich zu zahlende Strompreis hängt unmittelbar vom Verbrauch ab. Es gibt einen Grundpreis für die Kilowattstunde, sagen wir {{math|term= 20 |SZ=}} Cent, und dieser Grundpreis wird mit dem Verbrauch {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir im Monat| |ISZ=|ESZ= }} multipliziert und ergibt dann den Gesamtstrompreis. Wenn man {{mathl|term= 1000 |SZ=}} Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man {{ Relationskette/display | 1000 \cdot 20 \, \rm{Cent} || 20 000 \, \rm{Cent} || 200 \, \rm {Euro} || || |SZ= }} zahlen, wenn man nur die Hälfte, also {{mathl|term= 500 |SZ=}} Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man auch nur die Hälfte zahlen, gemäß {{ Relationskette/display | 500 \cdot 20 \, \rm{Cent} || 10 000 \, \rm{Cent} || 100 \, \rm{Euro} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qduhcflzazazn5xrym0x97tvydl2is 0 83581 1099913 1085006 2026-06-17T06:49:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099913 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Fahrradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von {{math|term= 15 |SZ=}} Stundenkilometer durch die Gegend. Nach Definition von Stundenkilometer legt er also in der Stunde {{math|term= 15 |SZ=}} Kilometer zurück. In zwei Stunden legt er somit {{ Relationskette/display | 2 \cdot 15 || 30 || || || |SZ= }} Kilometer zurück, in drei Stunden {{math|term= 45 |SZ=}} Kilometer, in vier Stunden {{math|term= 60 |SZ=}} Kilometer. Man kann natürlich auch überlegen, wie viele Kilometer er in kleineren Zeitabschnitten zurücklegt. Beispielsweise legt er in einer halben Stunde {{mathl|term= 7,5 |SZ=}} Kilometer{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In dieser Darstellung ist das bereits eine rationale Zahl, was wir ja erst einführen wollen. In Metern gerechnet steht hier einfach {{math|term= 7500 |SZ=}} | |ISZ=.|ESZ= }} zurück, in {{math|term= 20 |SZ=}} Minuten {{math|term= 5 |SZ=}} Kilometer und so weiter. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srbuf03ccvw990ot0yvt167gfwj48i8 0 83582 1100187 1037613 2026-06-17T07:34:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100187 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Tag besteht bekanntlich aus {{math|term= 24 |SZ=}} Stunden, eine Stunde aus {{math|term= 60 |SZ=}} Minuten, eine Minute aus {{math|term= 60 |SZ=}} Sekunden. Manchmal möchte man, beispielsweise, um verschiedene Angaben besser miteinander vergleichen zu können, eine Angabe in einer Einheit in eine andere Einheit umrechnen. Für die Umrechnung einer Zeitangabe in Stunden in eine Zeitangabe in Minuten muss man einfach die Stundenanzahl mit {{math|term= 60 |SZ=}} multiplizieren. Es liegt also die Beziehung {{ Relationskette/display | y || 60 x || || || |SZ= }} vor, wobei {{math|term= x |SZ=}} die Zeit in Stunden und {{math|term= y |SZ=}} die gleiche Zeit in Minuten angibt. Diesen Sachverhalt kann man sich auch durch eine Wertetabelle sichtbar machen. {{Wertetabelle5|text1=Stunden|text2=Minuten| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 60| 120| 180| 240| 300}} Die Beziehung zwischen der Zeit in Tagen und in Stunden wird durch die Formel {{ Relationskette/display | y || 24x || || || |SZ= }} ausgedrückt, wobei jetzt {{math|term= x |SZ=}} die Anzahl der Tage und {{math|term= y |SZ=}} die Anzahl der Stunden ist. {{Wertetabelle5|text1=Tage|text2=Stunden| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 24| 48| 72| 96| 120}} Wenn man die beiden Umrechnungen als unabhängig voneinander betrachtet, so ist es unproblematisch, hier wieder mit den Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} zu arbeiten, es handelt sich dann um einen neuen Kontext. Wenn man allerdings gleichzeitig mit Tagen, Stunden und Minuten arbeiten möchte, so ist es sehr gefährlich, mit {{math|term= x |SZ=}} einmal die Stunden und einmal die Tage und mit {{math|term= y |SZ=}} einmal die Minuten und einmal die Stunden zu bezeichnen, und die Stunden einmal mit {{math|term= x |SZ=}} und einmal mit {{math|term= y |SZ=}} zu bezeichnen. Um dies zu vermeiden, schreibt man die zweite Formel mit neuen Variablen beispielsweise als {{ Relationskette/display |v || 24z || || || |SZ=. }} Häufig sind auch suggestive Variablensymbole hilfreich. Wenn man {{math|term= t |SZ=}} für Tage, {{math|term= s |SZ=}} für Stunden und {{math|term= m |SZ=}} für Minuten nimmt, so schreiben sich die Umrechnungsformeln als {{ Relationskette/display | s || 60 m || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | t || 24 s || || || |SZ=. }} Solche Bezeichnungsphilosophien sollte man aber auch nicht überstrapazieren, wenn man noch Sekunden mitberücksichtigen möchte, ist das {{math|term= s |SZ=}} wegen Stunden schon besetzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpedxwnm9iw750rmseqnvj56wtb7ps3 0 83646 1099752 1035029 2026-06-17T06:24:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099752 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der vierelementigen Menge {{mathl|term= \{a,b,c,d\} |SZ=}} gibt es {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 4 | 2}} || {{op:Bruch| 4 \cdot 3| 2 \cdot 1}} || 6 || || |SZ= }} zweielementige Teilmengen. Diese sind {{ Math/display|term= \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\},\{b,c\}, \{b,d\},\{c,d\} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9m26y3rm5tksxltv0ro8ogug5m54i3t 0 83652 1100713 1036193 2026-06-17T10:51:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100713 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Aus dem Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man ablesen, wie man zu einer irgendwie gegebenen natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} die Entwicklung im Zehnersystem erhält. Man dividiert die Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch {{math|term= 10 |SZ=}} und der Rest ergibt die Endziffer. Dann zieht man von {{math|term= n |SZ=}} diesen Rest ab und weiß, dass diese Zahl ein Vielfaches von {{math|term= 10 |SZ=}} ist. Man dividiert sie durch {{math|term= 10 |SZ=}} und bestimmt für das Ergebnis erneut den Rest, der die Zehnerziffer gibt, u.s.w. Bei diesem Verfahren berechnet man also die Ziffern von hinten nach vorne. Ein anderes Verfahren, bei dem man die Ziffern von vorne nach hinten berechnet, geht folgendermaßen: Man bestimmt die maximale Zehnerpotenz {{mathl|term= 10^k |SZ=,}} die in {{math|term= n |SZ=}} hineinpasst, es muss also {{ Relationskette/display | 10^k | \leq |n | < | 10^{k+1} || || |SZ= }} gelten. Dann findet man das maximale Vielfache von {{mathl|term= 10^k |SZ=,}} das in {{math|term= n |SZ=}} hineinpasst, also die Zahl {{math|term= z |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |z \cdot 10^k | \leq |n | < | (z+1) 10^{k} || || |SZ=. }} Diese Zahl muss zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 9 |SZ= }} liegen. Der Wert {{ Relationskette/display |z || 0 || || || |SZ= }} kann nicht sein, da ansonsten {{ Relationskette |n | < | 10^k || || || |SZ= }} im Widerspruch zur Wahl der Zehnerpotenz wäre, ein Wert {{ Relationskette |z | \geq | 10 || || || |SZ= }} kann nicht sein, da ansonsten {{ Relationskette/display |n | \geq | z 10^k | \geq | 10^{k+1} || || |SZ= }} wäre, was wieder der Wahl der Zehnerpotenz widerspricht. Diese Ziffer {{ Relationskette |z || c_k || || || |SZ= }} ist dann die Anfangsziffer der Dezimalentwicklung. Nun rechnet man {{ Math/display|term= n- c_k10^k |SZ= }} und weiß nach der Wahl von {{ mathkor|term1= k |und|term2= c_k |SZ=, }} dass diese neue Zahl {{math|term= \tilde{n} |SZ=}} echt kleiner als {{mathl|term= 10^{k} |SZ=}} ist. Man bestimmt das maximale Vielfache von {{mathl|term= 10^{k-1} |SZ=}} unterhalb von {{math|term= \tilde{n} |SZ=,}} der Vorfaktor {{ Zusatz/Klammer |text=der jetzt auch {{math|term= 0 |SZ=}} sein kann| |ISZ=|ESZ= }} ergibt die Ziffer {{mathl|term= c_{k-1} |SZ=}} und man zieht das Vielfache von {{math|term= \tilde{n} |SZ=}} ab und wiederholt das Verfahren. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l096bx49uz9v2bzyqt1wkptu5a7rvn6 0 83690 1100234 1085366 2026-06-17T07:42:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100234 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der Musik entsprechen die Töne den Schwingungen bzw. Frequenzen. In einer Tonleiter bestehen zwischen den verschiedenen Tönen gewisse erlaubte, wohlklingende Verhältnisse. Die Bezeichnungen dafür orientieren sich an der Reihenfolge in einer Tonleiter. Eine Oktave entspricht dem Frequenzverhältnis {{mathl|term= 2:1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der {{Anführung|gleiche|SZ=,}} aber höhere Ton| |ISZ=|ESZ=, }} eine Quinte entspricht beispielsweise dem Frequenzverhältnis {{mathl|term= 3:2 |SZ=.}} Als Beispiel geben wir die Verhältnisse in {{math|term= C |SZ=-}}Dur, das Verhältnis bezieht sich immer auf den Grundton {{math|term= C |SZ=.}} Die Verhältnisse und die relativen Namen wie Große Sekunde sind in jeder Dur-Tonart gleich, die Buchstabenbezeichnungen und die anzuschlagenden Tasten ändern sich{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Für die gleichstufige Stimmung des Klaviers, bei der irrationale Schwingungsverhältnisse auftreten, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Gleichstufige Stimmung/Zwölfte Wurzel/Beispiel |Nr= |SZ=. }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{Tabelleleitachtxdrei|ls0=|lz1= Verhältnis |lz2= Verhältnisname |lz3= Ton in C-Dur |ls1=|a1,1= {{op:Bruch| 1 | 1}} |a1,2= \text{Prime} |a1,3= C | |ls2=|a2,1= {{op:Bruch| 9 | 8}} |a2,2= \text{Große Sekunde} |a2,3= D | |ls3=|a3,1= {{op:Bruch| 5 | 4}} |a3,2= \text{Große Terz} |a3,3= E | |ls4=|a4,1= {{op:Bruch| 4 | 3}} |a4,2= \text{Quarte}|a4,3= F | |ls5=|a5,1= {{op:Bruch| 3 | 2}} |a5,2= \text{Quinte} |a5,3= G | |ls6=|a6,1= {{op:Bruch| 5 | 3}} |a6,2= \text{Große Sexte} |a6,3= A | |ls7=|a7,1= {{op:Bruch| 15| 8}} |a7,2=\text{Große Septime} |a7,3= H | |ls8=|a8,1= {{op:Bruch| 2 | 1}} |a8,2=\text{Oktave} |a8,3= C | }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qolmntfwnpmqeo7wizahgj9p5t8zse 0 83693 1099969 1074382 2026-06-17T06:58:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099969 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Mustafa Heinz Sandkasten|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Heinz Ngolo und Mustafa Müller im Sandkasten. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die beiden Freunde Mustafa Müller und Heinz Ngolo sitzen im Sandkasten und wollen wissen, wer von ihnen mehr Buddelsachen dabei hat. Sie sind noch klein und können noch nicht zählen. Sie lösen das Problem, indem beide gleichzeitig je eine Sache aus ihrem Besitz aus dem Sandkasten hinauswerfen, und dies so lange wiederholen, bis ein Kind keine Sachen mehr im Sandkasten hat. Wenn das andere Kind noch Sachen übrig hat, so hat dieses insgesamt mehr Buddelsachen, andernfalls haben sie gleichviel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i10mc8f7ex3zu4cnssxvcpenk112reb 0 83807 1100518 1085589 2026-06-17T10:21:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100518 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Verfahren{{{opt|}}} |Text= Beim {{Stichwort|schriftlichen Multiplizieren|msw=Schriftliches Multiplizieren|SZ=}} {{mathl|term= m \cdot n|SZ=}} zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als {{ Mathkor/display|term1= m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |und|term2= n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |SZ= }} gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. {{ Aufzählung3 |Man berechnet für jedes {{ Relationskette |j || 0,1 {{kommadots|}} \ell || || || |SZ= }} einzeln die Dezimalziffern{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Eigentlich müsste man {{mathl|term= c_{ij}|SZ=}} schreiben, da diese Ziffern auch von {{math|term= b_j |SZ=}} abhängen; für einen relativ langen Abschnitt ist aber das {{math|term= j|SZ=}} fest gewählt| |ISZ=.|ESZ= }} {{math|term= c_i |SZ=}} des Teilproduktes {{mathl|term= m \cdot b_j |SZ=}} und die {{Stichwort|Überträge|msw=Übertrag|SZ=}} {{mathl|term= d_{i+1}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Startwert {{ Relationskette/k |d_0 || 0 || || || |SZ= }} |}} sukzessive über die Gleichungen {{ Relationskette/display | a_i b_j + d_i || d_{i+1} \cdot 10 + c_i || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | 0 | \leq | c_i | \leq | 9 || || |SZ=. }} |Die zu den {{math|term= j|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= b_j |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils {{math|term= c_0 |SZ=}} unterhalb von {{math|term= b_j |SZ=}} steht. |Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens. }} Das Ergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=im Dezimalsystem| |ISZ=|ESZ= }} dieser Addition ist die Ausgabe des Multiplikationsalgorithmus. |Textart=Verfahren |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 03nuqav3bnqy46r754uh6k7504pejlk 0 83918 1100665 1028287 2026-06-17T10:43:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100665 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zwischen zwei Größen können unterschiedliche Proportionalitäten bestehen, beispielsweise kostet die Übernachtung {{math|term= 60 |SZ=}} Euro pro Urlaubstag, das Frühstück {{math|term= 8 |SZ=}} Euro pro Urlaubstag und der Strandkorb {{math|term= 5 |SZ=}} Euro pro Tag. In diesem Fall ist es sinnvoll, die einzelnen Proportionalitätskonstanten miteinander zu addieren, um eine Gesamtproportionalität zu erhalten, die die Gesamtkosten pro Tag wiedergibt. Wenn drei Größen {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} gegeben sind und zwischen den beiden ersten eine Proportionalität und zwischen den beiden letzten Größen eine Proportionalität besteht, so besteht auch eine Proportionalität zwischen der ersten und der letzten Größe. Die neue Proportionalitätskonstante ist dabei das Produkt der beiden Proportionalitätskonstanten. Wenn nämlich {{ Relationskette |z || cy || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || dx || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display |z || cy || c (dx) || (cd) x || |SZ=. }} Eine solche Situation liegt zwischen Tagen, Stunden, Minuten vor. Oder wenn man pro Tag {{math|term= 10 |SZ=}} Schokoriegel isst und ein Schokoriegel {{math|term= 60 |SZ=}} Cent kostet, so sind die Schokoriegelkosten pro Tag gleich {{math|term= 6 |SZ=}} Euro. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqh8rgofgg6frnkm17ekq49zkwga8se 0 84413 1100201 1085333 2026-06-17T07:37:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100201 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Ring {{ Relationskette |R ||\Z[\sqrt{-3}] || || || |SZ=, }} der aus allen komplexen Zahlen der Form {{ Math/display|term= a+b \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} \text{ mit } a,b \in \Z |SZ= }} besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen {{mathl|term= \Z[ \frac{1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} }{2} ] |SZ=}} ist. Letzterer Ring ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen und Z(Wurzel -3)/Euklidisch/Fakt |Nr= |SZ= }} euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in {{math|term= R |SZ=}} noch nicht einmal die eindeutige Faktorzerlegung in irreduzible Elemente. Es ist nämlich {{ Relationskette/display | {{makl| 1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} |}} {{makl| 1- \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} |}} || 4 || 2 \cdot 2 || || |SZ= }} und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in {{math|term= R |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und im Eisensteinring| |ISZ=|ESZ= }} keine Elemente mit Betragsquadrat {{math|term= 2 |SZ=}} gibt. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen {{ Relationskette/display | 1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} || {{op:Bruch| 1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} | 2|}} \cdot 2 || || || |SZ= }} die Faktoren zueinander {{ Definitionslink |assoziiert| |Kontext=| |SZ=, }} aber nicht in {{math|term= R |SZ=,}} da es dort die Einheit {{mathl|term= {{op:Bruch| 1+ \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} | 2|}} |SZ=}} nicht gibt. Das Ideal {{ Relationskette/display | (2, 1 + \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} ) ||( 1 - \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}}, 1 + \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ= }} ist in {{math|term= R |SZ=}} kein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie2=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Objektkategorie2=Der Ring Z(sqrt(-3))‎ |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p26gs1x3ctx0vhh1ki99yy7cvoa11r0 0 84451 1100579 1085661 2026-06-17T10:31:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100579 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Aus {{ Faktlink |Präwort=der|Einheitenversion|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Produktdarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} des Chinesischen Restsatzes folgt für die {{ Definitionslink |Eulersche Funktion| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{ Relationskette |n || p_1^{r_1 } \cdot p_2^{r_2 } \cdots p_k^{r_k } || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung ist, die Identität {{ Relationskette/display | \varphi(n) || \varphi (p_1^{r_1 }) \cdot \varphi (p_2^{r_2 }) \cdots \varphi (p_k^{r_k }) || || || |SZ=. }} Man muss also nur noch {{mathl|term= \varphi (p^{r}) |SZ=}} für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} berechnen, wobei natürlich {{ Relationskette | \varphi (p) || p-1 || || || |SZ= }} ist. Für {{math|term= p^{r} |SZ=}} mit {{ Relationskette |r | \geq | 2 || || || |SZ= }} ist eine Zahl {{ Relationskette | 0 | < | a | < | p^{r} || || |SZ= }} genau dann teilerfremd zu {{math|term= p^{r} |SZ=,}} wenn sie teilerfremd zu {{math|term= p |SZ=}} ist, und das ist genau dann der Fall, wenn sie kein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist. Die Vielfachen von {{math|term= p |SZ=}} im beschriebenen Intervall sind genau die Zahlen {{ mathbed|term= bp |mit|bedterm1= 0 \leq b < p^{r-1} ||bedterm2= |SZ=. }} Dies sind {{mathl|term= p^{r-1} |SZ=}} Stück, sodass es also {{ Relationskette | p^{r} - p^{r-1} || p^{r-1}(p-1) || || || |SZ= }} Einheiten gibt. Wir erhalten demnach {{ Relationskette/display | \varphi(p^r) || p^{r-1}(p-1) || || || |SZ= }} und insgesamt {{ Relationskette/display/handlinks | \varphi(n) || p_1^{r_1-1}(p_1-1)\cdot p_2^{r_2-1}(p_2-1) \cdots p_k^{r_k-1}(p_k-1) || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Die Eulersche Funktion (Zahlentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qozxzefkvjno81358o465nx82onpnsr 0 84483 1099697 1084793 2026-06-17T06:15:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099697 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Wertetabelle {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi(n) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| A | A | B | C | C | B | E | D | D | B}} beschreibt, welche Person der Bearbeitungsgruppe {{ Relationskette |G ||\{A,B,C,D,E\} || || || |SZ= }} welche Aufgabe federführend macht und die Wertetabelle {{Wertetabelle5|text1= {{math|term= P |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(P) |SZ=}} | A | B | C | D | E | S | L | M | M | W |}} mit den möglichen Werten {{mathl|term= \{M,S,L,W,U\} |SZ=}} beschreibt, wie viel Lust die Personen in dieser Woche haben {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= M |SZ=:}} hat Megalust, {{math|term= S |SZ=:}} hat Superlust, {{math|term= L |SZ=}} hat Lust, {{math|term= W |SZ=}} hat wenig Lust, {{math|term= U |SZ=}} hat Unlust |ISZ=|ESZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} beschreibt dann, mit wie viel Lust die verschiedenen Aufgaben bearbeitet werden, die zugehörige Wertetabelle ist {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(\varphi(n)) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| S | S | L | M | M | L | W | M | M | L}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbggb7bsk6ivfl5edvvczh550oqr6u1 0 84484 1099747 1035004 2026-06-17T06:23:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099747 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Nummerierung der Schüler durch Heino, {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi(n) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| M | T | A | L | S | B | G | R | H | C}} ist bijektiv und hat daher eine eindeutig bestimmte {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Die Wertetabelle dieser Umkehrabbildung ist {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= P |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi^{-1} (P) |SZ=}} | A | B | C | G | H | L| M | R | S | T | 3 | 6 | 10| 7 | 9 | 4 | 1 | 8 | 5 | 2}} Bei einem natürlichen Zählvorgang kann man sich darüber streiten, ob die Zahlen {{Anführung|eher}} den Personen oder die Personen eher den Zahlen zugeordnet wird. Bei einer bijektiven Abbildung liegt eine Entsprechung vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Umkehrabbildungen |Kategorie2=Theorie der bijektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nf0onoofy8lwusrk89wfdtnnwiiqf24 0 84491 1100411 1085542 2026-06-17T08:11:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1100411 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{mathl|term= {{op:Zmod| 11|}} |SZ=}} sind die Zahlen {{mathl|term= 0,1,4,9,16=5,25=3 |SZ=}} Quadratreste, die Zahlen {{mathl|term= 2,6,7,8,10 |SZ=}} sind nichtquadratische Reste. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 11 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o81lvsusv2wxegi15kob4wtlskoeaw5 0 84504 1100221 1026879 2026-06-17T07:40:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100221 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir die beiden Primzahlen {{ mathkor|term1= 11 |und|term2= 19 |SZ=, }} die beide modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 3 |SZ=}} haben. Es ist {{ Relationskette | 19 || 8 || || || |SZ= }} modulo {{math|term= 11 |SZ=}} und dies ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Z_modulo_11/Quadratreste/Beispiel |Nr= |SZ= }} kein Quadratrest. Gemäß {{ Faktlink |Präwort=dem|Reziprozitätsgesetz|Faktseitenname= Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt |Nr= |SZ= }} muss also {{math|term= 11 |SZ=}} modulo {{math|term= 19 |SZ=}} ein quadratischer Rest sein. In der Tat ist {{ Relationskette/display | 7^2 || 49 || 11 \mod 19 || || |SZ=. }} Betrachtet man hingegen die Primzahlen {{ mathkor|term1= 11 |und|term2= 13 |SZ=, }} so hat {{math|term= 11 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 3 |SZ=}} und {{math|term= 13 |SZ=}} hat modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 1 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | 13 || 2 \mod 11 || || || |SZ= }} ein nichtquadratischer Rest, und daher ist auch {{math|term= 11 |SZ=}} ein nichtquadratischer Rest modulo {{math|term= 13 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 96flnktnxkc13e1elamnwwxgyqi32nt 0 84505 1099908 1085000 2026-06-17T06:48:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099908 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{mathl|term= {{op:Zmod| 11|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette | S_+ || \{1,2,3,4,5 \} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | S_- || \{-1,-2,-3,-4,-5 \} || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette | k || 3 || || || |SZ= }} muss man, um die Gaußschen Vorzeichen zu bestimmen, die ersten fünf Vielfachen berechnen und schauen, ob sie zur negativen oder zur positiven Hälfte gehören. Es ist {{ Math/display|term= 3 \in S_+,\, 6=-5 \in S_-,\, 9 = -2 \in S_-,\, 12 =1 \in S_+,\, 15 =4 \in S_+ |SZ=, }} die Vorzeichen sind also der Reihe nach {{ Math/display|term= 1,-1,-1,1,1 |SZ=. }} Ihr Produkt ist {{math|term= 1 |SZ=,}} und mit {{ Faktlink |Präwort=dem{{{zusatz1|}}} | Gaußschen Vorzeichenlemma|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt, dass {{math|term= 3 |SZ=}} ein Quadratrest modulo {{math|term= 11 |SZ=}} ist. In der Tat ist {{ Relationskette | 3 || 5^2 \mod 11 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 11 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62obau67es0426st7bz3i06x02yrb63 0 84870 1100332 1085460 2026-06-17T07:58:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100332 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen in {{mathl|term= {{op:Zmod| 29|}} |SZ=}} eine Quadratwurzel für {{math|term= -1 |SZ=}} mit Hilfe von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Summe von zwei Quadraten/Daraus Wurzel aus -1/Bemerkung |Nr= |SZ= }} finden. Es ist {{ Relationskette/display | 29 || 5^2 +2^2 || (5+2 {{Imaginäre Einheit}} )(5-2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || |SZ=. }} Im Restklassenkörper {{ Relationskette/display | \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ] /(5+ 2 {{Imaginäre Einheit}} ) | \cong| {{op:Zmod| 29|}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{Imaginäre Einheit}} || -5 \cdot 2^{-1} || - 5 \cdot 15 || -75 || 12 |SZ=. }} In der Tat ist {{ Relationskette/display | 12^2 || 144 || -1 \mod 29 || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der Quadratreste |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 29 |Objektkategorie2=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1ndfx47y879runxalrebgfb6pyxwmz 0 84875 1099909 1085001 2026-06-17T06:49:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099909 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display |N( 17+13 {{Imaginäre Einheit}} ) || 17^2 +13^2 || 289 +169 || 458 || 2 \cdot 229 |SZ=, }} wobei {{math|term= 229 |SZ=}} eine Primzahl ist. Wegen {{ Relationskette/display | 229 || 225+4 || 15^2+2^2 || || |SZ= }} besitzt {{math|term= 229 |SZ=}} in {{math|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ] |SZ=}} die Primfaktorzerlegung {{ Relationskette/display | 229 || (15 +2 {{Imaginäre Einheit}} )(15-2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ= }} und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung {{ Relationskette/display | 17+13 {{Imaginäre Einheit}} || (1+ {{Imaginäre Einheit}} )(15-2 {{Imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlgvrilvss755ptp8t9x6nalr2cxdvl 0 84881 1100333 1038246 2026-06-17T07:59:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100333 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | 1000 || 100 \cdot 2 \cdot 5 || || || |SZ= }} eine Summe von zwei Quadraten und {{ Relationskette/display | 108 || 36 \cdot 3 || || || |SZ= }} keine Summe von zwei Quadraten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6lt3wtjyrni6c9bgi4u4882rpif8s9r 0 85001 1099823 1084927 2026-06-17T06:35:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099823 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wenn man{{{zusatz1|}}} einen rationalen Punkt auf dem Einheitskreis sucht, der möglichst nahe an dem irrationalen Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} }} |SZ=}} liegen soll, so kann man {{ Relationskette/display |t || {{op:Bruch| {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} | 1+ {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} }} || {{op:Bruch| 1 | 1+ \sqrt{2} }} || 0,414213 ... || |SZ= }} berechnen. Die rationale Approximation {{ Relationskette/display | t' || {{op:Bruch| 414213| 1000000}} || || || |SZ= }} führt zum rationalen Punkt {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 828427590631 | 1171572409369 }} | {{op:Bruch| 828426000000 | 1171572409369 }} }} |SZ= }} auf dem Einheitskreis und zum pythagoreischen Tripel {{ Relationskette/align | x || v^2 - u^2 || 1000000^2 - 414213^2 || 1000000000000 - 171572409369 || 828427590631 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | y || 2 \cdot 414213 \cdot 1000000 || 828426000000 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align |z || u^2+v^2 || 414213^2 + 1000000^2 || 1171572409369 || |SZ=. }} In der Tat ist {{ Relationskette/align/drucklinks | 828427590631^2 + 828426000000^2 || 686292272918683718978161 + 686289637476000000000000 || 1372581910394683718978161 || 1171572409369^2 || |SZ=, }} wie man unmittelbar nachrechnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ay3nqoaiwfz76t9mmljm72bshk3ie3u 0 85552 1099826 1084930 2026-06-17T06:36:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099826 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subseteq | \Q[\sqrt{-3}] || || || |SZ=, }} der die Ringe {{ Relationskette/display | \Z[\sqrt{-3}] || A | \subseteq| \Z[ \omega] || B | \subseteq | \Q[\sqrt{-3}] || || |SZ= }} enthält, wobei {{ Relationskette | \omega || -\frac{1}{2} +\frac{ {{imaginäre Einheit|}} }2\sqrt3 || || || |SZ= }} ist, d.h. {{mathl|term= \Z[\omega] |SZ=}} ist der Ring der {{ Definitionslink |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |SZ=. }} Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist {{math|term= \Q[\sqrt{-3}] |SZ=.}} Das Element {{math|term= \omega|SZ=}} erfüllt die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | \omega^2 + \omega +1 || 0 || || || |SZ=, }} und somit ist {{mathl|term= \Z[\omega] |SZ=}} ganz über {{math|term= \Z|SZ=.}} Ferner ist {{math|term= \Z[\omega] |SZ=}} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ=. }} Dies ergibt sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen und Z(Wurzel -3)/Euklidisch/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in {{math|term= \Q[\sqrt{-3}] |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vgczjfyoxwi4gsjmrb9w3zbcog35zr 0 85758 1100212 1085341 2026-06-17T07:39:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100212 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen für die {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} die binäre quadratische Form, die auf {{math|term= R |SZ=}} durch die Norm gegeben ist. Es sei also {{math|term= R |SZ=}} der Ganzheitsring in {{ Relationskette | K || \Q[\sqrt{D}] || || || |SZ= }} zu einer quadratfreien Zahl {{ Relationskette | D | \neq | 0,1 || || || |SZ=. }} Es sei zunächst {{ Relationskette/display |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ=. }} Dann ist der Ganzheitsring {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= \Z[\sqrt{D} ] |SZ=}} und wir arbeiten mit der {{math|term= \Z |SZ=-}}Basis {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=.}} Die Norm eines Elementes {{mathl|term= x + y \sqrt{D} |SZ=}} ist somit {{ Relationskette/display | N( x+y \sqrt{D} ) || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x | Dy| y | x}} |}} || x^2 - Dy^2 || || |SZ= }} und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Z/Binäre quadratische Form/Diskriminante/Definition |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \operatorname{diskr} (N) || 4 D || || || |SZ=, }} was {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{mathl|term= \triangle (R) |SZ=}} des Zahlbereichs übereinstimmt. Es sei nun {{ Relationskette/display | D || 1 \mod 4 || || || |SZ=. }} Dann ist der Ganzheitsring {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= \Z[ \omega ] |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \omega || {{op:Bruch| 1+ \sqrt{D} | 2 }} || || || |SZ= }} und wir arbeiten mit der {{math|term= \Z |SZ=-}}Basis {{mathl|term= 1, \omega |SZ=.}} Die Norm eines Elementes {{mathl|term= x + y \omega |SZ=}} ist wegen {{ Relationskette/display | {{makl| x + y \omega |}} \omega || x \omega +y \omega^2 || x \omega + y {{makl| {{op:Bruch|D-1| 4}} + \omega |}} || y {{op:Bruch|D-1| 4}} + (x+y) \omega || |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | N( x+y \omega) || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| x | {{op:Bruch|D-1| 4}}y| y | x+y}} |}} || x^2 +xy - {{op:Bruch|D-1| 4}} y^2 || x^2 +xy + {{op:Bruch| 1-D| 4}} y^2 || |SZ= }} und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Z/Binäre quadratische Form/Diskriminante/Definition |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \operatorname{diskr} (N) || 1 + ( D-1) || D || || |SZ=, }} was {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \triangle (R) |SZ=}} des Zahlbereichs übereinstimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2nq5g5vreh0nwzvs8ix1qja6jxf2sm 0 85888 1100208 1037694 2026-06-17T07:38:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100208 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zu {{ Relationskette |D || -5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= (2, 1+ \sqrt{-5}) |SZ=, }} wobei die Erzeuger zugleich eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} sind. Die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition |SZ= }} dieses Ideals ist {{math|term= 2 |SZ=}} und die durch die Norm gegebene {{ Definitionslink |quadratische Form| |Kontext=| |SZ= }} hat bezüglich dieser Basis die Gestalt {{ Math/display|term= 4x^2 +4xy +6y^2 |SZ=. }} Durch Vereinfachung im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Vereinfacht/Quadratische Form/Fakt |Nr= |SZ=, }} also Division durch die Norm des Ideals, gelangt man zur quadratischen Form {{ Math/display|term= 2x^2 +2xy +3y^2 |SZ= }} mit der Diskriminante {{ Relationskette/display | 4 -4 \cdot 2 \cdot 3 || -20 || 4 (-5) || || |SZ=. }} Diese Form ist nicht zur Hauptform der Diskriminante {{math|term= -20 |SZ=}} aquivalent, denn diese ist {{mathl|term= x^2+5y^2 |SZ=.}} Letztere stellt beispielsweise den Wert {{math|term= 5 |SZ=}} dar, erstere gemäß {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratische Form/2x^2+2xy+3y^2/5 nicht darstellbar/Aufgabe |Nr= |SZ= }} nicht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} du36qr3pnq7zfuevbo0n1p62xxyqkbp 0 85952 1100662 1028277 2026-06-17T10:43:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100662 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn drei Größen {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} gegeben sind und zwischen den beiden ersten eine Proportionalität und zwischen den beiden letzten Größen eine Proportionalität besteht, so besteht auch eine Proportionalität zwischen der ersten und der letzten Größe. Die neue Proportionalitätskonstante ist dabei das Produkt der beiden Proportionalitätskonstanten. Wenn nämlich {{ Relationskette |z || cy || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || dx || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display |z || cy || c (dx) || (cd) x || |SZ=. }} Eine solche Situation liegt zwischen Tagen, Stunden, Minuten vor. Oder wenn man pro Tag {{math|term= 10 |SZ=}} Schokoriegel isst und ein Schokoriegel {{math|term= 60 |SZ=}} Cent kostet, so sind die Schokoriegelkosten pro Tag gleich {{math|term= 6 |SZ=}} Euro. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0lab6lyua177a3yjiuqg2t9szklzlw 0 85953 1100185 1026833 2026-06-17T07:34:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100185 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Proportionale Zusammenhänge treten häufig bei geometrischen Figuren auf. Beispielsweise besteht zwischen dem Radius eines Kreises und seinem Umfang der proportionale Zusammenhang {{ Relationskette/display |U || 2 \pi r || || || |SZ=, }} zwischen dem Umfang eines Quadrats und seiner Seitenlänge gilt {{ Relationskette/display |U || 4 s || || || |SZ=, }} zwischen der Höhe und der Grundseite in einem gleichseitigen Dreieck besteht die Beziehung {{ Relationskette/display |h || {{op:Bruch| \sqrt{3}| 2}} s || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iw03i29imzhslxya4o439751tr8etgv 0 85957 1100660 982103 2026-06-17T10:43:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100660 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Häufig liegt auch zwischen zwei Größen ein Zusammenhang der Form {{ Relationskette/display | y || cx+d || || || |SZ= }} vor, beispielsweise, wenn eine vom Verbrauch unabhängige Grundgebühr {{math|term= d |SZ=}} zu zahlen ist. Man spricht dann von einer {{Stichwort|affin-linearen|msw=Affin-lineare Abbildung|SZ=}} Abbildung. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cf5qdelu0bq5i62r5j7yesnpt77q3a 0 86025 1100629 1035369 2026-06-17T10:37:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100629 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur {{mathl|term= (K,0,+) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ=. }} Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display |a+x ||b || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a,b | \in | K || || || |SZ= }} eine eindeutige Lösung, nämlich {{ Relationskette/display |b-a ||b+(-a) || || || |SZ=, }} wie sich direkt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper {{math|term= K |SZ=}} die multiplikative Struktur, wenn man die {{math|term= 0 |SZ=}} herausnimmt, also {{mathl|term= (K \setminus \{0\}, \cdot ,1) |SZ=}} eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display |c \cdot x || d || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |c,d |\neq| 0 || || || |SZ= }} eine eindeutige Lösung in {{math|term= K |SZ=}} besitzt, nämlich {{ Relationskette/display | d c^{-1} || {{op:Bruch| d |c}} || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Theorie der Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94w4gzjmk9hy0f2y034xtoiyj6nc3a9 0 86045 1100628 1085717 2026-06-17T10:37:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100628 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} wird für beliebige Elemente {{ mathbed|term= x,y \in K |mit|bedterm1= y \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} die {{Stichwort|Bruchschreibweise|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x | y}} | {{defeq|}} | x \cdot y^{-1} || || || |SZ= }} verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von {{math|term= x |SZ=}} mit dem inversen Element von {{math|term= y |SZ=.}} Die Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| x | y}} |SZ=}} ist das eindeutig bestimmte Element, das mit {{math|term= y |SZ=}} multipliziert das Element {{math|term= x |SZ=}} ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| a |b}} \cdot b || {{op:Bruch| a |b}} \cdot {{op:Bruch| b | 1}} || {{op:Bruch|a b|b}} || a || || |SZ= }} ist. Die Berechnung von {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x | y}} || x:y || || || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Division|SZ=,}} wobei {{math|term= x |SZ=}} der {{Stichwort|Dividend|SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} der {{Stichwort|Divisor|SZ=}} der Division heißt, das Ergebnis heißt {{Stichwort|Quotient|SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9mjv6eypw87z5pxuhzq53qqham8l8j 0 86130 1100679 1073359 2026-06-17T10:46:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100679 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Addition von rationalen Zahlen kann man über die Proportionalitäten begründen. Es sei ein proportionaler Zusammenhang {{math|term= \varphi|SZ=}} durch {{ Relationskette/display |\varphi( {{{r|r}}}) || {{{s|s}}} || || || |SZ= }} und ein weiterer {{ Zusatz/Klammer |text=gleichskaliger| |ISZ=|ESZ= }} proportionaler Zusammenhang durch {{ Relationskette/display | \psi({{{r|r}}}') || {{{s|s}}}' || || || |SZ= }} gegeben. Beispielsweise seien {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Proportionalität/Summe/Interpretation/Bemerkung |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die Übernachtungskosten dadurch beschrieben, dass {{math|term= 7 |SZ=}} Tage {{ Zusatz/Klammer |text=und Nächte| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= 320 |SZ=}} Euro kosten und die Verpflegungskosten dadurch beschrieben, dass {{math|term= 10 |SZ=}} Tage {{math|term= 258 |SZ=}} Euro kosten. Wie kann man die beiden Zusammenhänge sinnvoll addieren, also wie viel kostet Übernachtung und Verpflegung zusammen in einem bestimmten Zeitabschnitt? Die beiden Einzelangaben kann man nur dann sinnvoll miteinander verarbeiten, wenn sie sich auf die gleiche Tagesanzahl beziehen. Dies kann man erreichen, indem man zum Produkt der beiden Tagesanzahlen übergeht. Die Übernachtungskosten sind für {{math|term= 70 |SZ=}} Tage gleich {{ Relationskette | 320 \cdot 10 || 3200 || || || |SZ= }} und die Verpflegungskosten sind für {{math|term= 70 |SZ=}} Tage gleich {{ Relationskette | 258 \cdot 7 || 1806 || || || |SZ=, }} die Gesamtkosten für {{math|term= 70 |SZ=}} Tage sind also {{mathl|term= 5006 |SZ=}} Euro. Für eine entsprechende Interpretation der Multiplikation von rationalen Zahlen muss man die Hintereinanderschaltung von proportionalen Zusammen{{drucktrenn}}hängen wie in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Proportionalität/Produkt/Interpretation/Bemerkung |Nr= |SZ= }} betrachten. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Proportionalität |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mv8e73zf40c188rgyaykjtt9sts5y3j 0 86171 1100186 1074405 2026-06-17T07:34:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100186 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Thales theorem|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Helder, Dake (png version) |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein wichtiger geometrischer Ursprung für konstante Verhältnisse liefern die {{ Definitionslink |Prämath= |Strahlensätze| |Kontext=| |SZ= }} bzw. ähnliche Dreiecke. Man hat zwei durch einen Punkt {{math|term= A |SZ=}} gehende Geraden und zwei parallele Geraden gegeben, die nicht durch den Punkt verlaufen. Dann bestehen zwischen entsprechenden Seitenlängen in den entstehenden Dreiecken konstante Verhältnisse. Im Bild verhält sich beispielsweise die Strecke {{mathl|term= \overline{BC} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{BA} |SZ=}} wie die Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{DA} |SZ=.}} Wenn man als variable Größe {{math|term= x |SZ=}} den Abstand von {{math|term= B |SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=}} und als Größe {{math|term= y |SZ=}} die Streckenlänge der durch {{math|term= B |SZ=}} verlaufenden Dreiecksseite, die zur Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} parallel ist, denkt, so liegt zwischen diesen Größen ein konstantes Verhältnis vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2=Die Strahlensätze |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bvc0vuz4vif40knzbhxl1resobtkw6p 0 86187 1100708 1085824 2026-06-17T10:50:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100708 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |gebrochenen Ideal| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealf|}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} nennt man {{ Relationskette/display | {{idealf|}}^{-1} | {{defeq|}} | {{Mengebed|q \in Q(R)| q \cdot {{idealf}} \subseteq R}} || || || |SZ= }} das zugehörige {{Stichwort|inverse gebrochene Ideal|SZ=.}} Es ist klar, dass dies ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedener {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= Q(R) |SZ=}} ist, die endliche Erzeugtheit ist etwas schwieriger zu zeigen. Zunächst beachte man, dass zu zwei gebrochenen Idealen mit der Beziehung {{ Relationskette | {{idealg|}} || r {{idealf|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |r | \in | Q(R) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | r | \neq | 0 || || || |SZ=, }} für die inversen Ideale die Beziehung {{ Relationskette | {{idealg|}}^{-1} || r^{-1} {{idealf|}}^{-1} || || || |SZ= }} gilt. Wenn nun {{math|term= {{idealf}} |SZ=}} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|a_1 |b_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|a_n |b_n }} |SZ=}} erzeugt wird, so ist {{ Relationskette | {{idealf|}} | \cong | {{op:Bruch| {{idealf|}} | a }} || {{idealg|}} || || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a || a_1 \cdots a_n || || || |SZ= }} und {{math|term= {{idealg}} |SZ=}} besitzt ein Erzeugendensystem der Form {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |c_1 }} {{kommadots}} {{op:Bruch| 1 |c_n }} |SZ=}} mit {{ Relationskette |c_i | \in | R || || || |SZ=. }} Die Bedingung {{ Relationskette/display |q {{op:Bruch| 1 |c_i }} | \in | R || || || |SZ= }} impliziert {{ Relationskette |q | \in | R || || || |SZ=. }} Daher ist das inverse gebrochene Ideal selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Für das {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition |SZ= }} ist offenbar {{ Relationskette/display | {{idealf|}} \cdot {{idealf|}}^{-1} | \subseteq | R || || || |SZ=, }} es ist aber nicht unmittelbar klar, dass hier sogar Gleichheit gilt. Dies folgt daraus, dass man die Gleichheit lokal testen kann, die Produktbildung lokal ist und die Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dedzqoumnzdzdg9ekio59mha8jv8zri 0 86194 1100420 1085552 2026-06-17T08:12:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100420 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Z[\sqrt{-5}] |SZ=}} das Ideal {{ Relationskette/display | {{ideala}} || (2, 1 + \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Aufgrund der Gleichung {{ Relationskette/display | 2 \cdot 3 || (1+\sqrt{-5})(1 -\sqrt{-5}) || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1-\sqrt{-5} | 2}} \cdot {{ideala}} \subseteq R, \, {{op:Bruch| 3 | 1 +\sqrt{-5} }} \cdot {{ideala}} \subseteq R, \, 1 \cdot {{ideala}} \subseteq R |SZ=. }} Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal {{mathl|term= {{ideala|}}^{-1} |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | {{idealf|}} || R {{makl| 1, {{op:Bruch| 1-\sqrt{-5} | 2}} |}} || || || |SZ= }} ist, wobei sich die Inklusion {{ Relationskette | {{idealf|}} | \subseteq | {{ideala|}}^{-1} || || || |SZ= }} aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen {{ Relationskette/display | - 2 \cdot 1 + (1+ \sqrt{-5}) {{op:Bruch| 1- \sqrt{-5} | 2}} || -2 +3 || 1 || || |SZ= }} für das Produkt {{ Relationskette/display | {{ideala}} \cdot {{idealf}} || R || || || |SZ=, }} und dies impliziert nach {{ Aufgabelink{{{optlink1|}}} |Aufgabeseitenname= Zahlbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe |Aufgabeseitenname2= Dedekindbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe |Nr= |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette | {{idealf}} || {{ideala}}^{-1} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bjsk0ly3jux3o73qa73ezm1xkvgilob 0 86249 1100205 1085337 2026-06-17T07:37:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100205 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir behaupten, dass im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |R ||\Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ= }} das Ideal {{ Relationskette/display | {{idealp}} || {{makl| 2, 1 + \sqrt{-5} |}} || || || |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |SZ= }} ist, was in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} gezeigt wurde, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugehörige {{ Definitionslink |Idealklasse| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Element in der Divsorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist {{ Relationskette/display | {{idealp}}^2 || {{makl| 4,2+ 2 \sqrt{-5}, -4+2 \sqrt{-5} |}} || (2) || || |SZ=. }} Dabei ist die Inklusion {{math|term= \subseteq |SZ=}} klar und die umgekehrte Inklusion {{math|term= \supseteq |SZ=}} ergibt sich aus {{ Relationskette/display | -4 + {{makl| 2 +2 \sqrt{-5} |}} - {{makl| -4 +2 \sqrt{-5} |}} || 2 || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun das Ideal {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || {{makl| 7, 3+ \sqrt{-5} |}} || || || |SZ=. }} Der Restklassenring ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 7 |}} [X]/ {{makl| X^2+5, 3+X |}} | \cong| {{op:Zmod| 7 |}} || || || |SZ=, }} sodass ein Primideal mit der Norm {{math|term= 7 |SZ=}} vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es in {{math|term= R |SZ=}} kein Element mit Norm {{math|term= 7 |SZ=}} gibt. Die beiden Ideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}} |und|term2= {{idealq|}} |SZ= }} definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation {{ Abbildung/display |name= |Q(R)| Q(R) | h |h {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2}} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | 2 \cdot {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2}} || 3+ \sqrt{-5} | \in | {{idealq|}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | (1+ \sqrt{-5} ) \cdot {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2}} || {{op:Bruch| -2 +4 \sqrt{-5} | 2}} || -1+2 \sqrt{-5} || -7 +2 {{makl| 3+ \sqrt{-5} |}} | \in | {{idealq|}} || || |SZ= }} induziert dies einen injektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{idealp|}} | {{idealq|}} || |SZ=, }} der wegen {{ Relationskette/display | 7 || - {{makl| -1+2 \sqrt{-5} |}} +2 {{makl| 3+\sqrt{-5} |}} || || || |SZ= }} auch surjektiv ist. Somit ist {{ Relationskette/display | {{idealp|}} \cdot {{makl| {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2 }} |}} || {{idealq|}} || || || |SZ= }} als gebrochene Ideale. In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Beispiel |Nr= |SZ= }} wird darüber hinaus gezeigt, dass die Klassengruppe von {{math|term= R |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rg6zn20mvmoumf5fa4el214079l31j1 0 86601 1100207 1080858 2026-06-17T07:38:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100207 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zu {{ Relationskette | D || -5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp|}} || {{makl| 2, 1+ \sqrt{-5} |}} || || || |SZ=, }} das nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} kein Hauptideal ist. Es sei {{math|term= S |SZ=}} der ganze Abschluss von {{math|term= R |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder von {{math|term= \Z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} im Erweiterungskörper {{ Relationskette | L || \Q[\sqrt{-5}, \sqrt{2}] || || || |SZ= }} vom Grad vier über {{math|term= \Q |SZ=.}} Wir haben also eine Kette {{ Relationskette/display | \Z | \subset | R | \subset | S || || |SZ= }} von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{idealp|}} S || {{makl| 2, 1+ \sqrt{-5} |}} S || || || |SZ= }} ein Hauptideal in {{math|term= S |SZ=}} ist, und zwar behaupten wir, dass {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element {{ Relationskette | z || {{op:Bruch| \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{-5} | 2 }} || {{op:Bruch| 1 + \sqrt{-5} | \sqrt{2} }} | \in | L || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | z^2 || {{makl| {{op:Bruch| \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{-5} | 2 }} |}}^2 || {{op:Bruch| 2 -2 \cdot 5 +4 \sqrt{-5} | 4}} || -2 + \sqrt{-5} | \in | R |SZ= }} erfüllt {{math|term= z |SZ=}} eine Ganzheitsgleichung über {{math|term= R |SZ=}} und gehört somit zu {{math|term= S |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso, wenn im Zähler ein Minuszeichen steht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gleichheit {{ Relationskette/display | {{idealp|}} S || {{makl| \sqrt{2} |}} || || || |SZ= }} folgt einerseits aus {{ Relationskette/display | 2 || \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 1+ \sqrt{-5} || z \cdot \sqrt{2} || || || |SZ= }} und andererseits aus {{ Relationskette/display/druckalign | - \sqrt{2} \cdot 2 + {{op:Bruch| 1-\sqrt{-5}| \sqrt{2} }} {{makl| 1+ \sqrt{-5} |}} || - \sqrt{2} \cdot 2 + {{op:Bruch| 6 | \sqrt{2} }} || - \sqrt{2} \cdot 2 + 3 \cdot \sqrt{2} || \sqrt{2} (-2+3) || \sqrt{2} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Objektkategorie2=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -10 |Objektkategorie3=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ah7yaik2p8cis5v14q7vtqza18im80 0 86684 1099778 1035184 2026-06-17T06:28:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen den Dezimalbruch {{mathl|term= 509{,}273 |SZ=}} {{ Faktlink |Präwort=mit dem|Verfahren|Faktseitenname= Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Verfahren |Nr= |SZ= }} halbieren. Wir fangen hinten an, auch wenn wir an jeder Stelle anfangen könnten, und zwar an der Stelle mit dem Index {{math|term= -4 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehntausendstel-Stelle| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist {{ Zusatz/Klammer |text=das Aufschreiben ist mühseliger als die Durchführung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette |a_{-4} || 0 || || || |SZ=, }} und weil {{ Relationskette |a_{-3} || 3 || || || |SZ= }} ungerade ist, ist {{ Relationskette/display |c_{-4} || 5 || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette |a_{-3} || 3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette |b_{-3} || {{op:Bruch| 3-1| 2}} || 1 || || |SZ= }} und da {{ Relationskette |a_{-2} || 7 || || || |SZ= }} ungerade ist, ist {{ Relationskette/display | c_{-3} || 6 || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette |a_{-2} || 7 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette |b_{-2} || {{op:Bruch| 7-1| 2}} || 3 || || |SZ= }} und da {{ Relationskette |a_{-1} || 2 || || || |SZ= }} gerade ist, ist {{ Relationskette/display | c_{-2} || b_{-2} || 3 || || |SZ=. }} So fährt man fort und erhält schließlich {{ Math/display|term= 254{,}6365 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcihck2r7ja8xsbj4roaahdfdb20jh9 0 86768 1100714 1036198 2026-06-17T10:51:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100714 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei der Multiplikation mit {{ Relationskette |b || 2 || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette |b || 5 || || || |SZ= }} vereinfacht sich das in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren |Nr= |SZ= }} beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl {{ Relationskette/display |m || \sum_{i {{=}} 0}^k a_i \cdot 10^{i} || || || |SZ= }} mit einer einstelligen Zahl {{math|term= b |SZ=.}} Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen {{ Zusatz/Klammer |text=Division mit Rest| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |a_i \cdot b + d_i || d_{i+1} \cdot 10 + c_i || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | 0 | \leq | c_i | \leq | 9 || || |SZ= }} durchzuführen, wobei dadurch die {{math|term= c_i |SZ=}} und die {{math|term= d_i |SZ=}} rekursiv mit dem Startwert {{ Relationskette | d_0 || 0 || || || |SZ= }} festgelegt sind und wobei die {{math|term= c_i |SZ=}} die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur {{ Relationskette/display |a_i \cdot b || d_{i+1} \cdot 10 +r_i || || || |SZ= }} berechnen muss und die Ergebnisziffern {{ Relationskette/display | c_i || d_i +r_i || || || |SZ= }} erhält. Insbesondere hängt {{math|term= c_i |SZ=}} nur von {{ mathkor|term1= a_i |und|term2= a_{i-1} |SZ= }} ab. Kurz gesagt: Die {{math|term= i |SZ=-}}te Ziffer eines Produktes {{mathl|term= a_k \ldots a_i a_{i-1} \ldots a_2a_1a_0 |SZ=}} mit {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder mit {{math|term= 5 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_i a_{i-1} |SZ=}} mit {{math|term= 2 |SZ=}} bzw. mit {{math|term= 5 |SZ=}} multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt. Zunächst sind nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt |Nr= |SZ= }} bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl {{math|term= b |SZ=}} die Überträge echt kleiner als {{math|term= b |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |b || 2 || || || |SZ= }} kommen also nur die Überträge {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von {{ mathkor|term1= a_i \cdot 2 + d_i |bzw.|term2= a_i \cdot 2 |SZ= }} durch {{math|term= 10 |SZ=}} überein {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man zu einer geraden Zahl eine {{math|term= 1 |SZ=}} addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht| |ISZ=|ESZ=, }} Die Beziehung {{ Relationskette |c_i || r_i +d_i || || || |SZ= }} folgt direkt. Bei {{ Relationskette |b || 5 || || || |SZ= }} kommen nur die Überträge {{mathl|term= 0,1,2,3,4 |SZ=}} in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von {{ mathkor|term1= a_i \cdot 5 + d_i |bzw.|term2= a_i \cdot 5 |SZ= }} durch {{math|term= 10 |SZ=}} überein {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man zu einer durch {{math|term= 5 |SZ=}} teilbaren Zahl eine Zahl {{math|term= \leq 4 |SZ=}} addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Beziehung {{ Relationskette |c_i || r_i +d_i || || || |SZ= }} folgt wieder direkt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94q5agc6pg35oja7xaexvcc5qcwuslv 0 86877 1100666 1085761 2026-06-17T10:43:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100666 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn eine Grundmenge gegeben ist und davon Anteile durch Prozente beschrieben werden, und die Anteile disjunkt zueinander sind, so muss man die Prozentangaben addieren, um den Gesamtanteil zu erhalten. Wenn beispielsweise die Inhaltsstoffe eines Getränkes in Prozent angegeben werden, sagen wir {{mathl|term= 80 {{Prozent|}} |SZ=}} Wasser, {{mathl|term= 10 {{Prozent|}} |SZ=}} Orangensaft, {{mathl|term= 5 {{Prozent|}} |SZ=}} Himbersaft und {{mathl|term= 2 {{Prozent|}} |SZ=}} Heidelbeersaft und {{mathl|term= 3 {{Prozent|}} |SZ=}} Cola, so liegt der Fruchtsaftanteil wegen {{ Relationskette/display | 10 +5 +2 || 17 || || || |SZ= }} bei {{math|term= 17 |SZ=}} Prozent. Die Gesamtsumme der Prozentwerte sollte sich auf {{mathl|term= 100 {{Prozent|}} |SZ=}} addieren; da man bei Prozentangaben aber häufig gerundete Werte nimmt, muss das nicht immer stimmen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmvkajxx5s2l91cgsn3v5mf4fi1jyss 0 86880 1100668 982153 2026-06-17T10:44:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100668 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Häufig ändert sich, auch in einem bestimmten Kontext, die Bezugsmenge bei verschiedenen Prozentangaben. Wenn beipielsweise die Lebenshaltungskosten prozentual nach Essen, Wohnung, Körperpflege, Vergnügen aufgelistet wird, so werden die Vergnügungskosten eventuell weiter prozentual unterteilt, nach Kino, Theater, Kneipe, Spielhölle, und diese Angaben beziehen sich dann häufig auf die Gesamtvergnügungskosten. Den prozentualen Anteil an den Gesamtlebenshaltungskosten vom Kino muss man dann ausrechnen, indem man die relativen Prozentangaben als Brüche interpretiert, diese miteinander multipliziert und daraus wieder einen Prozentwert macht. Wenn die Vergnügungskosten {{math|term= 8\,{{Prozent|}} |SZ=}} der Lebenshaltungskosten ausmachen und Kinobesuche {{mathl|term= 30\,{{Prozent|}} |SZ=}} an den Vergnügungskosten, so muss man {{ Relationskette/display | 0{,}08 \cdot 0{,}3 || 0{,}024 || || || |SZ= }} ausrechnen und erhält, dass die Kinobesuche {{math|term= 2{,}4\,{{Prozent|}} |SZ=}} der Lebenshaltungskosten ausmachen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gos1y82slfoop0jn0juojmdtm531730 0 86894 1099874 1084969 2026-06-17T06:43:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099874 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir vergleichen die Werte der Identität und der Quadratfunktion mit der Exponentialfunktion zur Basis {{ Relationskette/display |b || {{op:Bruch| 3 | 2}} || || || |SZ=. }} Es ergibt sich die folgende Wertetabelle. {{Tabelleleitdreixelf| |ls0= {{math|term= n |SZ=}} |lz1= {{math|term= 0 |SZ=}} |lz2= {{math|term= 1 |SZ=}} |lz3= {{math|term= 2 |SZ=}} |lz4= {{math|term= 3 |SZ=}} |lz5= {{math|term= 4 |SZ=}} |lz6= {{math|term= 5 |SZ=}} |lz7= {{math|term= 6 |SZ=}} |lz8= {{math|term= 7 |SZ=}} |lz9= {{math|term= 8 |SZ=}} |lz10= {{math|term= 9 |SZ=}} | lz11= {{math|term= 10 |SZ=}} | |ls1= {{math|term= n^1 |SZ=}} |a1,1=0 |a1,2=1 |a1,3= 2 |a1,4= 3 |a1,5= 4 |a1,6= 5 |a1,7= 6 |a1,8= 7 |a1,9= 8 |a1,10= 9 |a1,11= 10 | |ls2= {{math|term= n^2 |SZ=}} |a2,1=0 |a2,2=1 |a2,3=4 |a2,4=9 |a2,5= 16 |a2,6= 25 |a2,7= 36 |a2,8= 49 |a2,9= 64 |a2,10= 81 |a2,11= 100 | |ls3= {{math|term= {{makl| {{op:Bruch| 3 | 2}} |}}^n |SZ=}} |a3,1= 1 |a3,2= 1,5 |a3,3= 2,25 |a3,4= 3, 37 |a3,5= 5, 06 |a3,6= 7,59 |a3,7= 11,39 |a3,8= 17,08 |a3,9= 25,63 |a3,10= 38,44 || a3,11= 57,66 }} Im Vergleich mit der identischen Funktion ist die Exponentialfunktion schon durchgängig größer {{ Zusatz/Klammer |text=außer bei {{ Relationskette/k |n || 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} im Vergleich mit der Quadratfunktion bleibt die Exponentialfunktion im angegebenen Bereich {{ Zusatz/Klammer |text=außer bei {{ Relationskette/k |n | \geq | 0,1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} zurück. Man sieht aber, dass sie {{Anführung|ziemlich schnell}} aufholt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ilipa7jcdrbwzxyxehlmqwejlibe5e7 0 86898 1100667 1085762 2026-06-17T10:44:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100667 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn man zwei Mengen {{ Zusatz/Klammer |text=Vermögen, Einwohnerzahl, ... | |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} der Größe nach vergleicht, so kann man das durch einen Anteil und als Prozent ausdrücken. Man muss dabei deutlich machen, welche Menge man als Grundmenge betrachten möchte. Wenn man {{math|term= A |SZ=}} als Grundmenge nimmt, so ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| B |}} || {{op:Bruch| {{op:Anzahl| B |}} | {{op:Anzahl| A |}} }} \cdot {{op:Anzahl| A |}} || || || |SZ= }} und {{ mathl|term= {{op:Bruch| {{op:Anzahl| B |}} | {{op:Anzahl| A |}} }} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term= {{op:Bruch| 100 \cdot {{op:Anzahl| B |}} | {{op:Anzahl| A |}} }} \cdot {{Prozent}} |SZ=}} in Prozent| |ISZ=|ESZ= }} beschreibt die Größe von {{math|term= B |SZ=}} in Bezug auf {{math|term= A |SZ=.}} Beispielsweise kann das Vermögen einer Person {{math|term= 30 {{Prozent}} |SZ=}} des Vermögens einer anderen Person betragen. Wenn man die Verhältnisgröße umgekehrt wissen möchte, also die Größe von {{math|term= B |SZ=}} in Bezug auf {{math|term= A |SZ=,}} so muss man den inversen Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch| {{op:Anzahl| A |}} | {{op:Anzahl| B |}} }} |SZ=}} berechnen. Um aus der ersten Prozentangabe die neue Prozentangabe zu erhalten, muss man invertieren und mit 10000 multiplizieren (!), also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 30}} \cdot 10000 || {{op:Bruch| 10000| 30}} || {{op:Bruch| 1000| 3}} || 333,33 || |SZ= }} Prozent. Die zweite Person hat also {{mathl|term= 333,33 |SZ=}} Prozent des Vermögens der ersten Person. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5z5oqk25xj8n6thty7r9utilya9n75h 0 87262 1100576 1024415 2026-06-17T10:30:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100576 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Auf einer endlichen Menge sind eine Wahrscheinlichkeitsdichte und ein Wahrscheinlichkeitsmaß äquivalente mathematische Objekte. Die Dichte definiert für jedes Ereignis {{ Relationskette |E | \subseteq | M || || || |SZ= }} das Maß {{ Relationskette/display | \mu (E) || \sum_{x \in E} f(x) || || || |SZ= }} und umgekehrt ist durch das Maß über {{ Relationskette/display |f(x) || \mu( \{x\} ) || || || |SZ= }} eine Wahrscheinlichkeitsdichte festgelegt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2p1yi5d6dz006nx5qyz79y0ewmkox97 0 87267 1100097 1085201 2026-06-17T07:19:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100097 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Laplace-Raum| |Kontext=| |SZ= }} zum einfachen Münzwurf besteht aus zwei Elementen, Kopf und Zahl, also {{ Relationskette/display |M ||\{K,Z\} || || || |SZ=, }} und die {{ Definitionslink |Laplace-Dichte| |Kontext=| |SZ= }} ist konstant gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=,}} also {{ Relationskette/display |f(K) || f(Z) || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || |SZ=. }} Beide Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=.}} Es gibt nur vier Ereignisse, nämlich {{mathl|term= \emptyset, \, \{K\},\, \{Z\} }} und die Gesamtmenge {{mathl|term= \{K,Z\} |SZ=,}} die leere Menge hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= 0 |SZ=,}} die Gesamtmenge hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgfbfjhtk09cccnh0rb0762w29o7hjl 0 87269 1100404 1085533 2026-06-17T08:10:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100404 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Laplace-Raum| |Kontext=| |SZ= }} zu einem einfachen Würfelwurf mit einem fairen Würfel besteht aus sechs Elementen, die den Seiten des Würfels entsprechen, und werden üblicherweise mit {{mathl|term= 1,2,3,4,5,6 |SZ=}} durchnummeriert, es ist also {{ Relationskette/display |M ||\{1,2,3,4,5,6\} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Laplace-Dichte| |Kontext=| |SZ= }} ist konstant gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 6}} |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | f(i) || {{op:Bruch| 1 | 6}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=.}} Die Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 6}} |SZ=.}} Es gibt {{ Relationskette/display | 2^6 || 64 || || || |SZ=, }} also {{math|term= 64 |SZ=}} Ereignisse. Beispielsweise sind {{ Math/display|term= \emptyset,\, \{2\},\, \{6\},\, \{2,5\},\, \{1,2,3\},\, {{Mengebed| x \in M| x \text{ ist gerade} }} ,\, {{Mengebed| x \in M| x \geq 5 }} |SZ= }} Ereignisse. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind einfach zu berechnen, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | \mu ( \{2,5\}) || {{op:Bruch| {{op:Anzahl| \{2,5\} }} | {{op:Anzahl| \{1,2,3,4,5,6 \} }} | }} || {{op:Bruch| 2 | 6}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fhwerf0j77hzk9mud70fj111f26v69 0 87288 1100099 1037217 2026-06-17T07:20:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100099 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll zehnmal mit einer Münze hintereinander geworfen werden. Mit dem Grundraum {{ Relationskette/display |M || \{ K,Z \} || || || |SZ= }} wird dies dann mit dem Produktraum {{ Relationskette/display |N || M^{10} || || || |SZ= }} beschrieben, die Elemente im Produktraum dokumentieren einen möglichen Ausgang des Gesamtexperimentes, es handelt sich um sämtliche Kombinationen der Länge {{math|term= 10 |SZ=}} aus {{ mathkor|term1= K |oder|term2= Z |SZ=, }} {{Anführung|typische}} Elemente sind {{ Math/display|term= (Z,Z,K,Z,K,K,Z,K,K ,Z),\, (K,K,Z,K,K,K, Z,K,Z,K),\, (Z,Z,Z,Z,Z,Z, Z,Z,Z,Z) |SZ=. }} Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} |}}^{10} || {{op:Bruch| 1 | 2^{10} }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dw70f20fb4um2ad4jliic5dh0wzac2i 0 87311 1099852 1084947 2026-06-17T06:39:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099852 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Von einem Elternpaar ist bekannt, dass sie zwei Kinder haben, und dass eines davon ein Mädchen ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist? Zunächst muss man sich die Bedeutung der Information klar machen, um Missverständnisse zu vermeiden. Man weiß nicht, ob das erste oder das zweite {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Geburtsreihenfolge| |ISZ=|ESZ= }} Kind ein Mädchen ist. Wenn man beispielsweise weiß, dass das erste Kind ein Mädchen ist, so hat dies keine Auswirkungen auf das zweite Kind, und die Wahrscheinlichkeit, für dieses zweite Kind ein Mädchen zu sein, ist einfach {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=.}} Hier weiß man aber nur, dass überhaupt eines der beiden Kinder ein Mädchen ist. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, muss man auf die möglichen gleichberechtigen Konfigurationen bei zwei Kindern zurückgehen und schauen, welche durch die Information ausgeschlossen werden. Die vier gleichwahrscheinlichen Geburtsreihenfolgen sind {{ Math/display|term= (M,M),\, (J,M),\, (M,J) \text{ und } (J,J) |SZ=. }} Durch die angegebene Bedingung ist die letzte Möglichkeit, zwei Jungen, ausgeschlossen, und es verbleiben die drei anderen gleichberechtigten Möglichkeiten. Unter diesen ist nur die erste Möglichkeit für die Frage positiv, die beiden anderen nicht. Die Wahrscheinlichkeit ist also {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 977omjeop8p2d14t5dlvf6hjkp5p2w1 0 87331 1099754 1084859 2026-06-17T06:25:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099754 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Beispiel |Nr= |SZ= }} haben wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, {{math|term= 6 |SZ=}} Kugeln aus {{math|term= 49 |SZ=}} Kugeln zu ziehen, und zwar gibt es {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 49| 6}} || {{op:Bruch| 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} || 13 983 816 || || |SZ= }} Möglichkeiten, da es so viele sechselementige Teilmengen gibt. Diese haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, somit liegt ein {{ Definitionslink |Laplace-Raum| |Kontext=| |SZ= }} vor, wobei die einzelnen Elementarereignisse, also eine bestimmte Ziehung, die Wahrscheinlichkeit {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 13 983 816}} |SZ= }} besitzen. Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass die {{math|term= 11 |SZ=}} gezogen wird, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die {{math|term= 11 |SZ=}} vorkommt. Da die {{math|term= 11 |SZ=}} festgelegt ist, geht es um die Anzahl der fünfelementigen Teilmengen der Menge {{mathl|term= \{1,2 {{kommadots}} 49\} \setminus \{11\} |SZ=,}} diese Anzahl ist durch {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient| 48| 5}} |SZ=}} gegeben. Die Wahrscheinlichkeit ist also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| 48| 5}} | {{op:Binomialkoeffizient| 49| 6}} }} || {{op:Bruch| \,\, {{op:Bruch| 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, | \,\, {{op:Bruch| 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, }} || {{op:Bruch| 6 | 49}} || || |SZ=, }} was man sich auch so klar machen kann: Die Wahrscheinlichkeit, dass die zuerst gezogene Zahl eine {{math|term= 11 |SZ=}} ist, beträgt {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 49}} |SZ=,}} die Wahrscheinlichkeit, dass die als zweite gezogene Zahl eine {{math|term= 11 |SZ=}} ist, beträgt ebenfalls {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 49}} |SZ=,}} u.s.w., und aufsummieren der disjunkten Ereignisse liefert auch {{mathl|term= {{op:Bruch| 6 | 49}} |SZ=.}} Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass sowohl die {{math|term= 11 |SZ=}} als auch die {{math|term= 37 |SZ=}} gezogen werden, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die {{math|term= 11 |SZ=}} und die {{math|term= 37 |SZ=}} vorkommen. Dies ergibt die Wahrscheinlichkeit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| 47| 4}} | {{op:Binomialkoeffizient| 49| 6}} }} || {{op:Bruch| \,\, {{op:Bruch| 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, | \,\, {{op:Bruch| 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1}} \,\, }} || {{op:Bruch| 6 \cdot 5| 49 \cdot 48}} || {{op:Bruch| 5| 49 \cdot 8}} || {{op:Bruch| 5| 392}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7fq0251vi0wl9mt2oxwh6bara3ydqqu 0 87333 1100302 1085432 2026-06-17T07:54:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100302 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Beim Skat wird mit {{math|term= 32 |SZ=}} Karten gespielt, wobei drei Spieler je zehn Karten bekommen und zwei Karten in den {{Anführung|Skat}} gehen. Unter den Karten spielen die vier Buben eine besondere Rolle. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler {{math|term= A |SZ=}} sämtliche Buben bekommt? Die Anzahl der möglichen {{Anführung|Hände|SZ=,}} die Spieler {{math|term= A |SZ=}} bekommen kann, beträgt {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient| 32| 10}} |SZ=.}} Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient| 28| 6}} |SZ=.}} Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| 28| 6}} | {{op:Binomialkoeffizient| 32| 10}} }} || {{op:Bruch|\,\, {{op:Bruch| 28 \cdot 27 \cdots 23| 6 \cdot 5 \cdots 1}} \,\, |\,\, {{op:Bruch| 32 \cdot 31 \cdots 23 | 10 \cdot 9 \cdots 1 }}\,\, }} || {{op:Bruch| 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 | 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 }} || {{op:Bruch| 3 \cdot 7 | 4 \cdot 31 \cdot 29 }} || {{op:Bruch| 21 | 3596 }} |SZ=. }} Das sind ungefähr {{math|term= 0{,}58\,{{Prozent|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6j1y1kvcf2afhpvvun1la2qwcxg3q2y 0 87357 1100226 1037763 2026-06-17T07:41:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100226 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein Quadrat mit Seitenlänge {{math|term= 1 |SZ=.}} Die Diagonale darin kann man als Hypotenuse des in dem Quadrat zweifach liegenden rechtwinkligen Dreiecks auffassen. Nach dem Satz des Pythagoras hat die Länge der Diagonalen die Eigenschaft, dass ihr Quadrat davon gleich {{ Relationskette/display | 1^2 +1^2 || 2 || || || |SZ= }} ist. Inwiefern gibt es eine Zahl {{math|term= x |SZ=}} mit {{ Relationskette | x^2 || 2 || || || |SZ=? }} Dies ist keine einfache Frage. Was man ziemlich schnell begründen kann, ist, dass es innerhalb der rationalen Zahlen eine solche Zahl nicht geben kann! Wenn wir nämlich annehmen, dass die rationale Zahl {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| a |b}} || || || |SZ= }} die Eigenschaft {{ Relationskette/display | x^2 || {{op:Bruch|a^2|b^2}} || 2 || || |SZ= }} besitzt, so kann man zunächst annehmen, dass die Darstellung gekürzt ist, also {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} keinen gemeinsamen Teiler {{math|term= \geq 2 |SZ=}} haben. Durch Multiplikation mit {{math|term= b^2 |SZ=}} erhält man innerhalb der natürlichen Zahlen die Gleichung {{ Relationskette/display |a^2 || 2b^2 || || || |SZ=. }} Nennen wir diese Zahl {{math|term= z |SZ=.}} Aufgrund der rechten Seite sieht man, dass diese Zahl gerade ist. Dann muss auch {{math|term= a |SZ=}} gerade sein, da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist. Wir können also {{ Relationskette/display |a || 2 d || || || |SZ= }} schreiben und aus der Gleichung {{ Relationskette/display |(2d)^2 || 2 b^2 || || || |SZ= }} einmal die {{math|term= 2 |SZ=}} kürzen, was {{ Relationskette/display | 2d^2 ||b^2 || || || |SZ= }} ergibt. Mit dem Argument von eben erhält man, dass auch {{math|term= b |SZ=}} gerade ist, im Widerspruch zur gekürzten Darstellung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hmtbqd6pl5ajbvol60syp1akn6t4zqd 0 87364 1100555 1034803 2026-06-17T10:27:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100555 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt |Nr= |SZ= }} führt jedes Element {{ Relationskette | x | \in | K || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Dezimalbruchfolge| |Kontext=zu| |SZ=, }} für die die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_n | \leq | x | < | x_n + {{op:Bruch| 1 | 10^n}} || || |SZ= }} gilt und die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt |Nr= |SZ= }} gegen {{math|term= x |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=ang| |SZ=. }} Grundsätzlich kann man sich zu einer jeden {{ Definitionslink |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |SZ=, }} also einer Folge aus Dezimalbrüchen {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch|a_n | 10^n}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_n | \in | \Z || || || |SZ= }} und mit der Eigenschaft {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a_n | 10^n}} | \leq | {{op:Bruch|a_{n+1}| 10^{n+1} }} | < | {{op:Bruch|a_n+1| 10^n}} || || |SZ= }} fragen, ob es dazu einen Punkt in dem Körper gibt, gegen den die Folge konvergiert. Dies ist keineswegs immer der Fall, für die rationalen Zahlen gilt es nicht, und zwar werden wir später in {{ Faktlink |Faktseitenname= Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen, dass genau die periodischen Dezimalbruchfolgen gegen eine rationale Zahl konvergieren. Gibt es für die nichtperiodischen Dezimalbruchfolgen eine sinnvolle Interpretation als eine Zahl? Nichtperiodische Dezimalbruchfolgen können durchaus systematisch sein, wie die {{ Zusatz/Klammer |text=in Kommazahlschreibweise gegebenen| |ISZ=|ESZ= }} Dezimalbruchfolgen {{ Math/display|term= 0,101001000100001000001 \ldots |SZ= }} oder {{ Math/display|term= 0,123456789101112131415 \ldots |SZ= }} verdeutlichen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5572jbzhg148mbwdnqll0u1ajwow44 0 87368 1100675 982225 2026-06-17T10:45:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100675 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Quadratwurzel aus {{math|term= 2 |SZ=}} tritt als Länge der Diagonalen in einem Quadrat mit Seitenlänge {{math|term= 1 |SZ=}} auf und ist von daher sicher eine sinnvolle Streckenlänge. Wie sieht es mit den anderen Quadratwurzeln zu natürlichen Zahlen {{math|term= n |SZ=}} aus? Wenn man die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge {{math|term= n |SZ=}} betrachtet, so besitzt die Diagonale die Seitenlänge {{mathl|term= \sqrt{2} n |SZ=.}} Diese Zahl entsteht also durch eine einfache arithmetische Operation aus den bekannten natürlichen Zahlen und der {{math|term= \sqrt{2} |SZ=.}} Wenn man Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen betrachtet, so erhält man als Diagonallängen beispielsweise {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Seitenlängen {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= \sqrt{10} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Seitenlängen {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= 3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} {{math|term= \sqrt{13} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Seitenlängen {{math|term= 2 |SZ=}} und {{math|term= 3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} u.s.w. Man kann aber durch eine einfach geometrische Konstruktion induktiv zeigen, dass jede Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl als Strecke auftritt. Dazu startet man mit der Strecke {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} und macht daraus die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Seitenlänge {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. Die Hypotenuse dieses Dreiecks hat dann die Länge {{ Relationskette/display | \sqrt{ \sqrt{2}^2 + 1^2} || \sqrt{2+1} || \sqrt{3} || || |SZ=. }} So kann man aus jedem {{math|term= \sqrt{n} |SZ=}} auch die Länge {{mathl|term= \sqrt{n+1} |SZ=}} erhalten. Diese Prozedur wird in der {{Stichwort|Spirale von Theodorus|SZ=}} veranschaulicht. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3=Der Satz des Pythagoras |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dcewmjhccpk9c64v4cs42b7qnz9r1k 0 87371 1100225 1085358 2026-06-17T07:41:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100225 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wissen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich {{math|term= 5 |SZ=}} ist. Wir können aber für jede rationale Zahl {{math|term= x |SZ=}} einfach bestimmen, ob ihr Quadrat {{math|term= x^2 |SZ=}} größer oder kleiner als {{math|term= 5 |SZ=}} ist, und das Ergebnis können wir dann so interpretieren, dass {{math|term= x |SZ=}} kleiner oder größer als die nicht vorhandene Zahl {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wir beschränken uns im Moment auf positive rationale Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{ Relationskette | x || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | 2^2 || 4 | < | 5 || || |SZ= }} zu klein und für {{ Relationskette | x || 3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | 3^2 || 9 | > | 5 || || |SZ= }} zu groß. Damit müssen wir uns über die rationalen Zahlen, die kleiner als {{math|term= 2 |SZ=}} oder aber größer als {{math|term= 3 |SZ=}} sind, keine Gedanken mehr machen. Aus {{ Relationskette | y | \geq | x | \geq | 0 || || |SZ= }} folgt aus den Anordungseigenschaften direkt {{ Relationskette | y^2 | \geq | x^2 || || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=8 |SZ=. }} Man muss also nur Rechnungen für rationale Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} durchführen. Nehmen wir beispielsweise {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| 7 | 3}} || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 7 | 3}} |}}^2 || {{op:Bruch| 49| 9}} | > | 5 || || |SZ=. }} Nehmen wir {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| 9 | 4}} || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 9 | 4}} |}}^2 || {{op:Bruch| 81| 16}} | > | 5 || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| 11| 5}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 11| 5}} |}}^2 || {{op:Bruch| 121| 25}} | < | 5 || || |SZ=. }} Wir wissen also, dass alle rationalen Zahlen oberhalb von {{mathl|term= {{op:Bruch| 9 | 4}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Relationskette/k | {{op:Bruch| 7 | 3}} | > | {{op:Bruch| 9 | 4}} || || || |SZ= }} ist dies die bessere Grenze| |ISZ=|ESZ= }} zu groß und alle rationalen Zahlen unterhalb von {{mathl|term= {{op:Bruch| 11| 5}} |SZ=}} zu klein sind, wir müssen also nur noch Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| 11| 5}} = 2,2 |und|term2= {{op:Bruch| 9 | 4}} = 2,25 |SZ= }} überprüfen. Das vermittelt eine gewisse Größenvorstellung für die {{Anführung|gesuchte Zahl}} {{math|term= \sqrt{5} |SZ=,}} es gibt aber unendlich viele Zahlen, die ebenfalls zwischen diesen beiden Zahlen liegen. Wenn wir endlich viele Zahlen dahingehend überprüft haben, ob ihr Quadrat kleiner oder größer als {{math|term= 5 |SZ=}} ist, so sind wir stets in einer vergleichbaren Situation, dass die Zahlen zwar einen {{Anführung|kleinen}} Bereich eingrenzen, es aber darin unendlich viele Zahlen gibt. Ein anderer Ansatz ist es, direkt die Mengen {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed| x \in \Q_{\geq 0} | x^2 < 5}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed| x \in \Q_{\geq 0}| x^2 > 5}} || || || |SZ= }} zu betrachten. Dies ist eine Zerlegung von {{math|term= \Q_{\geq 0} |SZ=}} in zwei disjunkte Teilmengen. Dieses Paar {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. eine Menge davon, da sie ja die andere als ihr Komplement festlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist eine exakte Beschreibung der durch {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} in den rationalen Zahlen bedingten Lücke, der Spur, die {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} auf den rationalen Zahlen hinterlässt. Rechnerisch wurde zwar nichts gewonnen, da man nach wie vor für jedes einzelne {{math|term= x |SZ=}} durch eine Rechnung überprüfen muss, ob {{math|term= x |SZ=}} zu {{math|term= K |SZ=}} oder zu {{math|term= G |SZ=}} gehört. Es ist aber immerhin ein mathematisches Objekt gefunden, das {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} eindeutig beschreibt. Der Preis ist, dass dieses mathematische Objekt in der {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} der rationalen Zahlen angesiedelt und somit sehr abstrakt ist. Es handelt sich um einen sogenannten {{Stichwort|Dedekindschen Schnitt|msw=Dedekindscher Schnitt|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3=Theorie der Dedekindschen Schnitte |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4i4l18sqib6evu0dhc60s7ufnic9xb9 0 87384 1100546 1034733 2026-06-17T10:26:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100546 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Im Cauchy-Folgenring {{math|term= C |SZ=}} ist die durch das Nullfolgenideal gegebene Äquivalenzrelation einfach zu verstehen. Zwei Cauchy-Folgen {{ mathkor|term1= {{Folge| x}} |und|term2= {{Folge| y}} |SZ= }} sind äquivalent, wenn ihre Differenzfolge, also die durch {{ Relationskette/display |z_n | {{defeq}} | x_n -y_n || || || |SZ= }} gegebene Folge, eine Nullfolge ist. Insbesondere sind alle Nullfolgen zur konstanten Nullfolge äquivalent. Wenn man an die Vorstellung denkt, dass eine Cauchy-Folge eine Lücke innerhalb der rationalen Zahlen entdeckt oder lokalisiert, so bedeutet die Äquivalenz von zwei Cauchy-Folgen, dass sie die gleiche Lücke lokalisieren. Man kann also erkennen, ob zwei Cauchy-Folgen die gleiche Lücke adressieren, auch wenn man die Lücke gar nicht kennt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ketsws8uqdnkk318tb5ybul4lk9e6jv 0 87436 1100223 1037754 2026-06-17T07:40:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100223 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir versuchen nun, die Zahl {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} systematisch durch {{ Definitionslink |Dezimalbrüche| |Kontext=| |SZ= }} zu approximieren. Wir wissen bereits {{ Relationskette/display | 2 | < | \sqrt{5} | < | 3 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eine solche Abschätzung ergibt nur Sinn in einem angeordneten Körper, in dem es ein Element {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} gibt, die Grenzen links und rechts gehören aber jedenfalls zu {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Was ist die beste Approximation mit einem Dezimalbruch mit {{math|term= 10 |SZ=}} im Nenner? Durch etwas Probieren erhält man {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 22| 10}} | < | \sqrt{5} | < | {{op:Bruch| 23| 10}} || || |SZ=. }} Entsprechend erhält man für den Nenner {{math|term= 10^2 |SZ=}} die beste Approximation {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 223| 100}} | < | \sqrt{5} | < | {{op:Bruch| 224| 100}} || || |SZ=, }} für den Nenner {{math|term= 10^3 |SZ=}} erhält man {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 2236| 1000}} | < | \sqrt{5} | < | {{op:Bruch| 2237| 1000}} || || |SZ=, }} u.s.w. Wenn man die vorhergehende beste Approximation um eine Zehnerpotenz verbessern möchte, so muss man maximal vier nächste Ziffern durchprobieren, man ergänzt die bisherige untere Ziffernfolge um eine {{math|term= 5 |SZ=}} u.s.w. Die ersten approximierenden Dezimalbrüche von unten sind {{ Math/display|term= 2,\, {{op:Bruch| 22| 10}} ,\, {{op:Bruch| 223| 100}} ,\, {{op:Bruch| 2236| 1000}} ,\, {{op:Bruch| 22360| 10000}} ,\, {{op:Bruch| 223606| 100000}} ,\, {{op:Bruch| 2236067| 1000000}} , \ldots |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5tio7yjf7t2uuwf8awoq55e4rmyzkj 0 87469 1100580 1085662 2026-06-17T10:31:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100580 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine wichtige alternative Möglichkeit, die {{ Definitionslink |eulersche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition |SZ= }} festzulegen, ist {{ Relationskette/display |e | {{defeq|}} | \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch| 1 |k!}} || || || |SZ=, }} d.h. die Zahl {{ Math/display|term= {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| 1+ {{op:Bruch| 1 |n}} |}}^n }} |SZ= }} stimmt mit der Zahl {{ Math/display|term= 1+1+ {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 1 | 6}} + {{op:Bruch| 1 | 24}} + {{op:Bruch| 1 | 120}} + {{op:Bruch| 1 | 720}} + \ldots |SZ= }} überein. Es ist nicht so einfach, die Übereinstimmung dieser beiden Definitionen zu zeigen. Die Konvergenz in der Reihenentwicklung ist deutlich schneller. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der eulerschen Zahl |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Zahl |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92z8ygzvaveb4okom0lwer2yahzsawm 0 87491 1100639 1085728 2026-06-17T10:39:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100639 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Das Prinzip des Rechenschiebers beruht auf den Logarithmen. Man möchte die reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} miteinander multiplizieren. Man berechnet zu einer fixierten Basis {{math|term= b |SZ=}} die zugehörigen Logarithmen, also {{ mathkor|term1= r = {{op:log| x |b}} |und|term2= s = {{op:log| y |b}} |SZ=. }} Dann addiert man {{mathl|term= r+s|SZ=}} und berechnet davon den Wert der Exponentialfunktion zur Basis {{math|term= b |SZ=.}} Dies ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Logarithmus/Umkehrfunktion/Rechenregeln/Fakt |Nr=1 |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | b^{r+s} || b^{ {{op:log| x |b}} + {{op:log| y |b}} } || b^{ {{op:log| xy|b}} } || xy || |SZ=, }} also das gesuchte Produkt. Die Berechnungen des Logarithmus und der Exponentialfunktion können dabei durch hinreichend genaue Wertetabellen oder eben durch eine logarithmische Skala auf dem Rechenschieber ersetzt werden. Die Addition der Logarithmen wird dabei mechanisch durch das Verschieben der beweglichen Skala bewerkstelligt. Auf einer logarithmischen Skala werden die Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 10 |SZ= }} auf einer Strecke so angeordnet, dass die {{ Zusatz/Klammer |text=auf der üblichen Skala| |ISZ=|ESZ= }} Stelle {{mathl|term= {{op:log| y | 10}} |SZ=}} mit {{math|term= y |SZ=}} bezeichnet wird. Die Skala ergibt sich auch, wenn man auf dem Graphen des Logarithmus die Werte an den Stellen zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 10 |SZ= }} markiert und diese Punkte auf die {{math|term= y |SZ=-}}Achse projiziert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Logarithmen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71he9qsvko71q72mn9koabx7jyz4o0b 0 87553 1099905 1035965 2026-06-17T06:48:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099905 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |d | \in |\N || || || |SZ= }} fixiert. Wir bestimmen auf {{math|term= \Z|SZ=}} die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \sim|SZ=,}} bei der zwei Zahlen {{ Relationskette |a,b | \in |\Z || || || |SZ= }} als äquivalent betrachtet werden, wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= d |SZ=}} ist. Zu jeder Zahl {{ Relationskette |a | \in |\Z || || || |SZ= }} kann man einfach die zugehörige Äquivalenzklasse finden, sie besteht aus allen Zahlen der Form {{ Relationskette/display | a + \Z d || {{Mengebed|a+ nd|n \in \Z}} || || || |SZ=. }} In jeder Äquivalenzklasse gibt es ein Element {{ Zusatz/Klammer |text=einen Vertreter, einen Repräsentanten| |ISZ=|ESZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= d-1 |SZ=, }} da ja insbesondere {{math|term= a |SZ=}} zu seinem Rest bei der Division durch {{math|term= d |SZ=}} äquivalent ist. Andererseits sind bei {{ Relationskette/display | 0 | \leq |r | < | s | \leq |d-1 || |SZ= }} die Äquivalenzklassen zu {{math|term= r |SZ=}} und zu {{math|term= s |SZ=}} verschieden. Es ist nämlich {{ Relationskette/display |(r + \Z d ) \cap (s+ \Z d) || \emptyset || || || |SZ=, }} da aus {{ Relationskette/display |r+nd || s+md || || || |SZ= }} sofort {{ Relationskette/display |s-r || (n-m)d || || || |SZ= }} folgt, was wegen {{ Relationskette/display | 0 | < | s-r | < | d || || |SZ= }} nicht sein kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Division mit Rest (Z) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ukpjifhkomobsonz5g6zx9qjvt04en 0 87606 1100224 1085357 2026-06-17T07:41:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100224 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Aufgrund der Berechnungen in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratwurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Beispiel |Nr= |SZ= }} wissen wir, dass in einem angeordneten Körper, der die {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} enthält, diese in den zunehmend kleiner werdenden Intervallen {{ Relationskette/display | [2,3] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 22| 10}} , {{op:Bruch| 23| 10}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 223| 100}} , {{op:Bruch| 224| 100}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 2236| 1000}} , {{op:Bruch| 2237| 1000}} ] | \supseteq| \ldots |SZ= }} liegt. Die Länge der Intervalle ist hier {{math|term= 1, {{op:Bruch| 1 | 10}}, {{op:Bruch| 1 | 100}}, {{op:Bruch| 1 | 1000}}, \ldots |SZ=.}} Diese Intervalle gibt es auch in {{math|term= \Q|SZ=}} und sie helfen bei der Lokalisierung von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=,}} auch wenn diese Zahl gar nicht zu {{math|term= \Q|SZ=}} gehört. Der Vorteil einer solchen Intervallschachtelung gegenüber der Dezimalbruchfolge ist, dass sie den Wert von beiden Seiten her eingrenzt, während die Dezimalbruchfolge direkt nur untere approximierende Werte liefert. Wenn man beliebige {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Folgen| |Kontext=ang| |SZ= }} betrachtet, so weiß man nur, dass grundsätzlich eine Approximation vorliegt, ohne dass man dies quantitativ ausdrücken kann. Bei einer Intervallschachtelung gibt jedes beteiligte Intervall eine direkte Eingrenzung, aus der der maximale Fehler unmittelbar abschätzbar ist. Eine spezielle Methode ist die {{Stichwort|Intervallhalbierung|SZ=.}} Dabei halbiert man das zuvor gefundene Intervall in zwei gleichlange Hälften und schaut, ob das gesuchte Element zur kleineren oder zur größeren Hälfte gehört und nimmt dann das passende Intervall als nächstes Intervall. Bei diesem Verfahren halbiert sich die Intervalllänge mit jedem Schritt. In unserem Beispiel erhält man {{ Relationskette/display | [2,3] | \supseteq| [ 2 , {{op:Bruch| 5 | 2}} ] | \supseteq| [ 2 , {{op:Bruch| 9 | 4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 17| 8}} , {{op:Bruch| 9 | 4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 35| 16}} , {{op:Bruch| 9 | 4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 71| 32}} , {{op:Bruch| 9 | 4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 143| 64}} , {{op:Bruch| 9 | 4}} ] | \supseteq| [ {{op:Bruch| 143| 64}} , {{op:Bruch| 287| 128}} ] | \supseteq| \ldots |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6mioanmuc6o4drdduh2543ocwrjtl2n 0 87611 1099741 1084852 2026-06-17T06:22:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099741 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen eine approximierende Folge zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} wie in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 3/Beispiel |Nr= |SZ=, }} allerdings mit dem Startwert {{math|term= 2 |SZ=.}} Die ersten Folgenglieder sind {{ Math/display|term= 2, {{op:Bruch| 9 | 4}} , {{op:Bruch| 161| 72}} , {{op:Bruch| 51841| 23184}} , \ldots |SZ=. }} Der letzte Wert stimmt schon in acht Nachkommastellen mit dem wahren Wert überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Heron-Verfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1alm8k0wwa5no53ovu2b2uk8fgbdrm7 0 87646 1099732 1034924 2026-06-17T06:21:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099732 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{:Angeordneter Körper/Situation|SZ=.}} Dann ist die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Relationskette/display | x_n ||(-1)^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=ang| |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=ang| |SZ=. }} Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass {{ Relationskette | x | \geq | 0 || || || |SZ= }} der Grenzwert sei. Dann gilt für positives {{ Relationskette | \epsilon | < | 1 || || || || |SZ= }} und jedes ungerade {{math|term= n |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} || 1+x | \geq | 1 | > | \epsilon || |SZ=, }} sodass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} camx3b7u4btj7uxptnadkjrrcio9h2e 0 87648 1099736 1084845 2026-06-17T06:22:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099736 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 7n| 2^n}} || || || |SZ= }} in {{math|term= \Q|SZ=.}} Die Anfangsglieder sind {{ Math/display|term= 0 ,\, {{op:Bruch| 7 | 2}} ,\, {{op:Bruch| 7 | 2}} ,\, {{op:Bruch| 21| 8}} ,\, {{op:Bruch| 7 | 4}} ,\, {{op:Bruch| 35| 32}} ,\, {{op:Bruch| 21| 32}} ,\, {{op:Bruch| 49| 128}} ,\, {{op:Bruch| 7 | 32}} \ldots |SZ=. }} In der Tat ist dies eine {{ Definitionslink |Nullfolge| |Kontext=| |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es nämlich ein {{math|term= m |SZ=}} derart, dass {{ Relationskette/display | 2^n | \geq | n^2 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n | \geq | m || || || |SZ= }} gilt. Für diese {{math|term= n |SZ=}} ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 7n| 2^n}} | \leq | {{op:Bruch| 7n|n^2}} || {{op:Bruch| 7 |n}} || || |SZ=. }} Zu einem vorgegebenen {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} kann man zusätzlich noch {{ Relationskette | n | \geq | {{op:Bruch| 7 | \epsilon}} || || || |SZ= }} erreichen, daher ist dies kleinergleich {{math|term= \epsilon|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ozzpqwsq5152zfcvd9lpizy7l45u6ye 0 87650 1100554 1085627 2026-06-17T10:27:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100554 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} ist eine Folge der Form {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch|a_n | 10^n}} || \sum_{i {{=}} 0}^n z_{-i} 10^{-i} || z_0,z_{-1} z_{-2} z_{-3} \ldots z_{-n} || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_n | \in | \Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. mit Ziffern {{ Relationskette/k | z_{-i} | \in | \{0,1 {{kommadots|}} 9\} || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und mit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a_n | 10^n}} | \leq | {{op:Bruch|a_{n+1}| 10^{n+1} }} | < | {{op:Bruch|a_n+1| 10^n}} || || |SZ=. }} Eine solche Folge, also eine {{Anführung|Kommazahl|SZ=,}} muss im Allgemeinen nicht {{ Definitionslink |konvergieren| |Kontext=ang| |SZ=. }} Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen {{mathl|term= a,b|SZ=}} starten und den {{ Definitionslink |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= a:b|SZ=}} durchführen, um die Ziffern {{mathl|term= z_{-i} |SZ=}} zu erhalten, so konvergiert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt |Nr= |SZ= }} die zugehörige Dezimalbruchfolge {{ Relationskette/display | x_n || \sum_{i {{=}} 0}^n z_{-i} 10^{-i} || || || |SZ= }} gegen die rationale Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mgqoo9b1ksluc9qhoudgq4jpn7iofbw 0 87653 1099735 1084844 2026-06-17T06:21:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099735 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |r | \leq | s || || || |SZ=. }} Bei einer Folge der Form {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch|a_r n^r + a_{r-1} n^{r-1} {{plusdots|}} a_2n^2 + a_1n+a_0 |b_s n^s + b_{s-1} n^{s-1} {{plusdots|}} b_2n^2 + b_1n+b_0 }} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a_i,b_j |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | a_r,b_s |\neq| 0 || || || || |SZ= }} kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit {{math|term= n^{-s} |SZ=}} und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung {{ Relationskette/align | x_n || {{op:Bruch| \,\, \, {{op:Bruch|a_r n^r + a_{r-1} n^{r-1} {{plusdots|}} a_2n^2 + a_1n+a_0 |n^s|}} \,\, \, | \,\, \,{{op:Bruch|b_s n^s + b_{s-1} n^{s-1} {{plusdots|}} b_2n^2 + b_1n+b_0 |n^s}} \,\, \,|}} || {{op:Bruch| \,\, \, {{op:Bruch|a_r n^r|n^s}} + {{op:Bruch|a_{r-1} n^{r-1} |n^s|}} {{plusdots|}}{{op:Bruch| a_2n^2|n^s|}} + {{op:Bruch| a_1n|n^s|}} + {{op:Bruch|a_0 |n^s|}} \,\, \, | \,\, \, {{op:Bruch|b_s n^s|n^s|}} + {{op:Bruch| b_{s-1} n^{s-1} |n^s|}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|b_2n^2|n^s|}} + {{op:Bruch|b_1n|n^s|}} + {{op:Bruch|b_0 |n^s}} \,\, \,|}} || {{op:Bruch| \,\, \, {{op:Bruch| a_r |n^{s-r } }} + {{op:Bruch|a_{r-1} |n^{s-r-1} |}} {{plusdots|}}{{op:Bruch| a_2 |n^{s-2} |}} + {{op:Bruch| a_1 |n^{s-1}|}} + {{op:Bruch|a_0 |n^s|}} \,\, \, | \,\, \, b_s + {{op:Bruch| b_{s-1} | n |}} {{plusdots|}} {{op:Bruch|b_2 |n^{s-2}|}} + {{op:Bruch|b_1 |n^{s-1}|}} + {{op:Bruch|b_0 |n^s}} \,\, \,|}} || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr=1 |SZ= }} konvergiert der Nenner gegen {{math|term= b_s|SZ=.}} da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei {{ Relationskette |s | > | r || || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} und bei {{ Relationskette |s || r || || || |SZ= }} gegen {{math|term= a_r |SZ=.}} Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben {{mathl|term= {{op:Bruch|a_r|b_r}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in archimedisch angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esp1c9zvb7anh44wzwhu2vmr8v94d2q 0 87657 1099926 1085017 2026-06-17T06:51:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099926 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Strecke mit den Endpunkten {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} gegeben. Ein Punkt {{math|term= G |SZ=}} auf der Strecke unterteilt die Strecke in zwei Teilstrecken. Wir suchen einen Punkt {{math|term= G |SZ=,}} der die Eigenschaft besitzt, dass das Verhältnis der großen Teilstrecke zur kleinen Teilstrecke mit dem Verhältnis der Gesamtstrecke zur großen Teilstrecke übereinstimmt. Diese Eigenschaft definiert den sogenannten {{Stichwort|goldenen Schnitt|msw=Goldener Schnitt|SZ=.}} Wenn man mit der Einheitsstrecke von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= 1 |SZ= }} auf der Zahlengeraden arbeitet, so geht es um die Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | x}} || {{op:Bruch| x | 1-x}} || || || |SZ=. }} Diese Bedingung kann man zu {{ Relationskette/display | 1-x || x^2 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | x^2+x-1 || 0 || || || |SZ= }} umwandeln. Eine weitere Umformung führt auf {{ Relationskette/display | {{makl| x+ {{op:Bruch| 1 | 2}} |}}^2 - {{op:Bruch| 1 | 4}} -1 || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x + {{op:Bruch| 1 | 2}} |}}^2 || {{op:Bruch| 5 | 4}} || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| \sqrt{5} -1| 2}} | \sim | 0,6180339 \ldots || || |SZ=. }} Da {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} irrational ist, ist auch die Zahl des Goldenen Schnitts irrational. Der Kehrwert dieser Zahl, also das Verhältnis von großer Strecke zu kleiner Strecke, ist übrigens {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | x}} || {{op:Bruch| \sqrt{5} +1| 2}} | \sim | 1,6180339 \ldots || || || |SZ=. }} Es liegt also die Besonderheit vor, dass die Nachkommaziffern von {{ mathkor|term1= x |und von|term2= 1/x |SZ= }} übereinstimmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 353wprydqk4vi92f1pr0eqvotl09cyt 0 87659 1100676 1035779 2026-06-17T10:45:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100676 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Beobachtung, dass eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | x^2 || c || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c | \in | \Q || || || |SZ= }} innerhalb der rationalen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung besitzt, und dass man daher nach einer Erweiterung der Zahlen suchen sollte, in dem es eine Lösung gibt, sollte man in Analogie zu den Gleichungen sehen, die vorhergehende Zahlenbereichserweiterungen motiviert haben. Die Gleichungen der Form {{ Relationskette/display |a ||b+x || || || |SZ=, }} die innerhalb der natürlichen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von {{math|term= \N|SZ=}} nach {{math|term= \Z|SZ=,}} und die Gleichungen der Form {{ Relationskette/display |a ||bx || || || |SZ=, }} die innerhalb der ganzen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von {{math|term= \Z|SZ=}} nach {{math|term= \Q|SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Motivation für reelle Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sg7i9emecfqebmnnb9nuiyeoydzij11 0 87687 1100450 1085584 2026-06-17T08:17:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1100450 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |n | \in |\N || || || |SZ= }} und {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette |M || K^{n+1} \setminus \{0\} || || || |SZ=. }} Der {{math|term= K^{n+1} }} ist ein Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von {{ Relationskette | \lambda | \in | K || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | K^{n+1} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= \lambda \cdot x}} bezeichnet wird. Es sei weiter {{ Relationskette/display |R || {{Mengebed| (x,y) \in M \times M | \text{ es gibt ein } \lambda \in K \setminus \{0\} \text{ mit } \lambda \cdot x {{=}} y }} || || || |SZ=. }} Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar {{ Relationskette | \lambda |\neq| 0 || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren. Dass wirklich eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus {{ Relationskette | x || 1x || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} Zum Nachweis der Symmetrie sei {{mathl|term= xRy|SZ=,}} d.h. es gibt ein {{ Relationskette | \lambda |\neq| 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \lambda x || y || || || |SZ=. }} Dann gilt aber auch {{ Relationskette | y || \lambda^{-1}x || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= \lambda|SZ=}} ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei {{ mathkor|term1= xRy |und|term2= yRz |SZ= }} angenommen, d.h. es gibt {{ Relationskette | \lambda , \delta |\neq| 0 || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= \lambda x=y |und|term2= \delta y =z |SZ=. }} Dann ist insgesamt {{ Relationskette |z || \delta y ||(\delta \lambda) x |SZ= }} mit {{ Relationskette | \delta \lambda |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=aber ohne den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} heißt {{Stichwort|projektiver Raum}} über {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Dimension {{math|term= n}} | |ISZ=|ESZ= }} und wird mit {{math|term= {{op:Projektiver Raum| n | K}} }} bezeichnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der projektiven Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektiv |Autor=Anakin |Autor2=Bocardodarapti |Bearbeitungsstand= }} 5picd7bvmfwormhy0thevy4cn0krynw 0 87698 1100447 1038760 2026-06-17T08:16:59Z Arbota 36910 Ersetzung 1100447 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Gaußklammer| |Kontext=ang| |SZ= }} auf {{math|term= K |SZ=,}} also die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\lfloor \,\, \rfloor | K |\Z | t | \lfloor t \rfloor |SZ=. }} Eine Zahl {{math|term= t |SZ=}} wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich {{math|term= t |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Vorkommazahl|SZ=,}} falls die Zahl positiv ist{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Mit dieser Formulierung muss man bei negativen Zahlen vorsichtig sein. Die Zahl {{math|term= -0,7=-1+0,3 |SZ=}} besitzt die Gaußklammer {{math|term= -1 |SZ=}} und den Bruchanteil {{math|term= 0,3 |SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} | |SZ=. }} Dabei wird das gesamte ganzzahlige einseitig offene Intervall {{ Relationskette/display | [n,n+1) || {{Mengebed| x \in K| n \leq x < n+1}} || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette |n | \in |\Z || || || |SZ= }} abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen. Statt dem ganzzahligen Anteil kann man auch den {{ Zusatz/Klammer |text=nichtnegativen| |ISZ=|ESZ= }} Bruchanteil {{ Zusatz/Klammer |text=bei positiven Zahlen die {{Anführung|Nachkommazahl}} | |ISZ=|ESZ= }} betrachten. Das ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | [0,1) | t |t-\lfloor t \rfloor |SZ=. }} Unter der durch diese Abbildung definierten Äquivalenzrelation sind zwei Zahlen genau dann gleich, wenn sie den gleichen Bruchanteil besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist. Wenn man {{ Definitionslink |rationale Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} als {{ Definitionslink |gemischte Brüche| |Kontext=| |SZ= }} schreibt, so geht es um die Frage, ob der ganzzahlige Anteil oder ob der Bruchanteil übereinstimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Die Gaußklammer |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7we516g1d56recdjn7s4l1vozm38ynz 0 87704 1100449 1038766 2026-06-17T08:17:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100449 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Wir sagen, dass zwei Zahlen {{ Relationskette | x,y | \in | K || || || |SZ= }} {{Anführung|bis (eventuell) auf das Vorzeichen}} übereinstimmen, wenn {{ Relationskette | x || y || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | x || -y || || || |SZ= }} ist. Dafür schreiben wir kurz {{ Relationskette/display | x || \pm y || || || |SZ=. }} Dies ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ=. }} Dabei ist die Reflexivität unmittelbar klar, die Symmetrie erhält man, indem man die Gleichung {{ Relationskette | x || -y || || || |SZ= }} mit {{math|term= -1 |SZ=}} multipliziert und {{ Relationskette |(-1)(-1) || 1 || || || |SZ= }} ausnutzt. Ähnlich wird auch die Transitivität begründet. Diese Äquivalenzrelation lässt sich auch einfach im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |SZ= }} beschreiben. Es ist nämlich {{ Relationskette | x || \pm y || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette | x^2 || y^2 || || || |SZ= }} gilt. Dabei ist die Hinrichtung klar. Für die Rückrichtung sei also {{ Relationskette | x^2 || y^2 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} und die Aussage gilt, seien also die Zahlen von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden. Durch Division durch {{math|term= y^2 |SZ=}} erhält man {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| x | y}} |}}^2 || 1 || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette |u^2 - 1 ||(u-1) (u+1) || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} sind aber {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} die einzigen Lösungen der Gleichung {{ Relationskette/display |u^2 || 1 || || || |SZ= }} in einem Körper, und somit ist {{ Relationskette | {{op:Bruch| x | y}} || \pm 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x || \pm y || || || |SZ=. }} In einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} gilt darüber hinaus auch {{ Relationskette | x || \pm y || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette | {{op:Betrag| x |}} || {{op:Betrag| y |}} || || || |SZ= }} gilt. Es gibt also im Allgemeinen mehrere Funktionen, mit denen man eine Äquivalenzrelation erfassen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1p9j132ldqrnsduw1ig03rg71stf3bg 0 87713 1100721 1085831 2026-06-17T10:53:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100721 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in einigen Beispielen von {{ Definitionslink |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn die Äquivalenzrelation die Gleichheit ist, so sind alle Äquivalenzklassen einelementig und die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} ist einfach die einelementige Menge {{ Relationskette | [x] || \{x\} || || || |SZ=. }} Im anderen Extremfall, wenn alle Elemente zueinander äquivalent sind, so gibt es nur eine einzige Äquivalenzklasse, nämlich die Gesamtmenge {{math|term= M |SZ=.}} Bei der Äquivalenzrelation auf der Menge der Bruchterme, die durch die Wertegleichheit in {{math|term= \Q |SZ=}} gegeben ist, besteht die Äquivalenzklasse zu {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} aus allen anderen Bruchdarstellungen dieser Zahl, also beispielsweise aus {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}}, {{op:Bruch| 2a| 2b}}, {{op:Bruch| 3a| 3b}}, \ldots|SZ=.}} Ein Repräsentantensystem liegt in der Menge aller gekürzten Brüche vor. Wenn eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M |SZ=}} durch eine Abbildung {{ Abbildung |name=f | M | N || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |SZ= }} festgelegt ist, so sind die Äquivalenzklassen die nichtleeren Fasern der Abbildung. Die Äquivalenzklasse zu {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ= }} besteht aus dem Urbild von {{mathl|term= f(x) |SZ=,}} ist also gleich {{ Relationskette/display | f^{-1} (f(x)) || {{Mengebed| y \in M|f(y) {{=}} f(x) }} || || || |SZ=. }} Um ein Repräsentantensystem zu erhalten, muss man aus jeder Faser ein Element auswählen. Im Allgemeinen gibt es hier kein besonders einfaches Repräsentantensystem. In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Äquivalenzrelation/Abbildung/Gleichwertig/Quadrat und Betrag/Beispiel |Nr= |SZ= }} besteht die Äquivalenzklasse zu {{ Relationskette | x | \in | K || || || |SZ= }} aus {{mathl|term= \{x,-x\} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei diese beiden Zahlen nicht unbedingt, wie etwa bei {{ Relationskette/k | x || 0 || || || |SZ=, }} verschieden sein müssen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn {{math|term= K |SZ=}} angeordnet ist, so kann man die nichtnegativen Elemente {{math|term= K_{\geq 0} |SZ=}} als ein übersichtliches {{ Definitionslink |Repräsentantensystem| |Kontext=Äquivalenzrelation| |SZ= }} heranziehen. In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Äquivalenzrelation durch Abbildung/Archimedisch angeordnet/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Beispiel |Nr= |SZ= }} bei der durch die Gaußklammer gegebenen Äquivalenzrelation besteht die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} aus dem halboffenen Intervall {{ Relationskette/display | [ {{op:Gaußklammer| x |}} , {{op:Gaußklammer| x |}} +1 [ || {{Mengebed| y \in K| y \geq x \text{ und }y <x+1}} || || || |SZ=. }} Ein besonders einfaches Repräsentantensystem ist durch die Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} gegeben. Bei der durch das Betrachten des Bruchanteils {{ Zusatz/Klammer |text=der Nachkommazahl| |ISZ=|ESZ= }} gegebenen Äquivalenzrelation auf {{math|term= K |SZ=}} besteht die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} aus der Menge {{mathl|term= x + \Z|SZ=,}} also aus allen Zahlen, die man von {{math|term= x |SZ=}} aus mit einem ganzzahligen Schritt erreichen kann. Die Menge der Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} einschließlich der {{math|term= 0 |SZ=}} und ausschließlich der {{math|term= 1 |SZ=}}, also der Zahlen aus dem {{ Definitionslink |halboffenen Intervall| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= [0,1[|SZ=,}} ist ein Repräsentantensystem. In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Äquivalenzrelation/Symmetrische Erreichbarkeitsrelation/2/Beispiel |Nr= |SZ=, }} der Erreichbarkeitsrelation auf dem Landweg, besteht die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} aus der Insel bzw. dem Kontinent, auf der bzw. dem der Punkt {{math|term= x |SZ=}} liegt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imw6ec7sjf2qor9odn671qxhiy1py60 0 87719 1100202 1037670 2026-06-17T07:37:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100202 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die quadratische Gleichung {{ Relationskette/display | x^2+4x-3 || 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} sind {{ Relationskette/display | x_1 || {{op:Bruch| \sqrt{ 16+12} -4| 2}} || {{op:Bruch| \sqrt{ 28} -4| 2}} || {{op:Bruch| 2 \sqrt{ 7} -4| 2}} || \sqrt{ 7} -2 |SZ= }} und {{ Relationskette/display | x_2 || {{op:Bruch| -\sqrt{ 16+12} -4| 2}} || {{op:Bruch| -\sqrt{ 28} -4| 2}} || {{op:Bruch| -2 \sqrt{ 7} -4| 2}} || - \sqrt{ 7} -2 |SZ= }} die Lösungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8bdmaj02lbw8p96lx3dxupi86g81rxt 0 87727 1100426 1038681 2026-06-17T08:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100426 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bauer Ernst möchte ein neues quadratisches Beet für Melonen anlegen. Die Anlage des Beetes kostet pro Quadratmeter {{math|term= 20 |SZ=}} Euro. Das Beet muss mit einem Schneckenzaun rundum versehen werden, der pro Meter {{math|term= 8 |SZ=}} Euro koste. Ernst möchte {{mathl|term= 300 |SZ=}} Euro insgesamt investieren. Wie groß wird das Beet? Es sei {{math|term= x |SZ=}} die Seitenlänge des Beetes. Die Kosten sind dann {{mathl|term= 20 x^2 +4\cdot 8 x |SZ=,}} was zur Gleichung {{ Relationskette/display | 20 x^2 +32 x || 300 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | 20 x^2 +32 x -300 || 0 || || || |SZ= }} führt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} führt dies auf {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| \sqrt{1024 + 24 000 } - 32| 40}} || {{op:Bruch| \sqrt{ 25 024 } - 32| 40}} | \sim | {{op:Bruch| 158,19 - 32| 40}} | \sim | 3,155 |SZ=. }} Die Seitenlänge des Beetes ist also ungefähr {{mathl|term= 3,155 |SZ=}} Meter. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Gleichungen |Personenkategorie=Bauer Ernst |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4m9p6voct6nyp6dw3vejwrtrthra1q 0 87729 1100719 1036218 2026-06-17T10:52:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100719 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Faktlink |Präwort=dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} erhält man einen neuen Beweis für die Existenz von beliebigen Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen. Sei {{ Relationskette |c | \in |\R_{\geq 0} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |k | \in | \N_+ || || || |SZ=. }} Man betrachtet die Funktion {{ Relationskette/display |f(x) || x^k -c || || || |SZ=, }} die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomfunktion/R/Stetig/Fakt |Nr= |SZ= }} stetig ist. Es ist {{ Relationskette/display |f(0) || -c | \leq | 0 || || |SZ= }} und für {{math|term= x_0 |SZ=}} hinreichend groß {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise für {{ Relationskette/k | x_0 || \operatorname{max} (c,1) || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display |f(x_0) | \geq | 0 || || || |SZ=. }} Somit gibt es ein {{ Relationskette | x | \in | [0, x_0] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |f(x) || 0 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | x^k || c || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kavouqg3r0hzg0qcsdy7wq286tgp5qz 0 87731 1100434 1085569 2026-06-17T08:15:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100434 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen eine Nullstelle des Polynoms {{ Relationskette/display | f(x) || x^3-4x+2 || || || |SZ= }} mit Hilfe von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |Nr= |SZ= }} approximieren. Es ist {{ Relationskette |f(1) || -1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |f(2) || 2 || || || |SZ=, }} es muss also nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Analysis/Nullstellensatz/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Nullstelle im Intervall {{mathl|term= [1,2] |SZ=}} geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte {{mathl|term= {{op:Bruch| 3 | 2}} |SZ=}} und erhalten {{ Relationskette/display |f {{makl| {{op:Bruch| 3 | 2}} |}} || {{op:Bruch| 27| 8}} - 4 \cdot {{op:Bruch| 3 | 2}} +2 || {{op:Bruch| 27- 48+16 | 8}} || {{op:Bruch| -5| 8}} | < | 0 |SZ=. }} Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall {{mathl|term= [ {{op:Bruch| 3 | 2}} , 2] |SZ=}} weitermachen. Dessen Intervallmitte ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 7 | 4}} |SZ=.}} Der Funktionswert an dieser Stelle ist {{ Relationskette/display |f {{makl| {{op:Bruch| 7 | 4}} |}} || {{makl| {{op:Bruch| 7 | 4}} |}}^3 - 4 \cdot {{op:Bruch| 7 | 4}} +2 || {{op:Bruch| 343 | 64}} -5 || {{op:Bruch| 343 - 320| 64}} || {{op:Bruch| 23 | 64}} | > | 0 |SZ=. }} Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall {{mathl|term= [ {{op:Bruch| 3 | 2}} , {{op:Bruch| 7 | 4}} ] |SZ=}} weitermachen, dessen Mitte ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 13| 8}} |SZ=.}} Der Funktionswert an dieser Stelle ist {{ Relationskette/display |f {{makl| {{op:Bruch| 13| 8}} |}} || {{makl| {{op:Bruch| 13| 8}} |}}^3 - 4 \cdot {{op:Bruch| 13| 8}} +2 || {{op:Bruch| 2197 | 512}} - {{op:Bruch| 13| 2}} +2 || {{op:Bruch| 2197 -3328+1024 | 512}} || {{op:Bruch| -107 | 512}} | < | 0 |SZ=. }} Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| 13| 8}} |und|term2= {{op:Bruch| 7 | 4}} = {{op:Bruch| 14| 8}} |SZ= }} gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cau7dk18lmwflxg6xqrv8u8eizp3pww 0 87732 1100720 1085830 2026-06-17T10:52:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100720 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Unter den reellen Zahlen sind manche von den ganzen oder rationalen Zahlen her besser erfassbar als andere. Die rationalen Zahlen sind als Brüche mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner erfassbar, und man kann sie als Lösungen von Gleichungen der Form {{ Relationskette |bx || a || || || |SZ= }} mit ganzzahligen Koeffizienten auffassen. Die Quadratwurzel {{mathl|term= \sqrt{2} |SZ=}} ist eine irrationale Zahl, die aber die Gleichung {{ Relationskette | x^2 || 2 || || || |SZ= }} erfüllt, welche über den ganzen Zahlen formulierbar ist. Dies gilt für alle Zahlen der Form {{mathl|term= \sqrt[k]{n} |SZ=}} mit {{ Relationskette | k,n | \in | \N_+ || || || |SZ=, }} sie lösen die Gleichung {{ Relationskette | x^k || n || || || |SZ= }} bzw. sie sind eine Nullstelle des ganzzahligen Polynoms {{mathl|term= x^k-n|SZ=.}} Auch Wurzeln aus rationalen Zahlen kann man als eine Nullstelle eines ganzzahligen {{ Zusatz/Klammer |text=wo alle Koeffizienten zu {{math|term= \Z|SZ=}} gehören| |ISZ=|ESZ= }} Polynoms ansehen. Es ist nämlich {{mathl|term= \sqrt[k]{ {{op:Bruch| a |b}} } |SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term= b x^k -a |SZ=.}} Man kann nun die Teilmenge der reellen Zahlen {{ Relationskette/display | {\mathbb A}_\R || {{Mengebed| x \in \R|\text{ Es gibt ein ganzzahliges Polynom } P \text{ mit } P(x) {{=}} 0 }} || || || |SZ= }} betrachten. Dazu gehören alle Wurzeln aus rationalen Zahlen, aber noch viele weitere Zahlen darüber hinaus. Sobald ein ganzzahliges Polynom sowohl negative als auch positive Werte annimmt, gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} auch eine Nullstelle und diese gehört nach Definition zu {{math|term= {\mathbb A}_\R |SZ=.}} Beispielsweise gehört die in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zwischenwertsatz/x^3-4x+2/Halbierungsmethode/Beispiel |Nr= |SZ= }} approximierte Nullstelle {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen {{ mathkor/k|term1= 1 |und|term2= 2 |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{mathl|term= x^3-4x+2 |SZ=}} zu dieser Menge. Da diese Zahlen durch ganzzahlige Polynome erfassbar sind, spricht man von {{Stichwort|reell-algebraischen Zahlen|msw=reell-algebraische Zahl||SZ=.}} Diese Zahlen bilden sogar einen Körper, den Körper der reell-algebraischen Zahlen, was keineswegs selbstverständlich ist. Beispielsweise bilden die Quadratwurzeln keinen Körper, es ist {{mathl|term= \sqrt{2} + \sqrt{3} |SZ=}} keine Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, wohl aber eine reell-algebraische Zahl. Aufgrund von schwierigen Sätzen sind die Eulersche Zahl {{math|term= e |SZ=}} und die Kreiszahl {{math|term= \pi|SZ=}} nicht algebraisch, man spricht von {{Stichwort|transzendenten Zahlen|msw=transzendente Zahl|SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der reell-algebraischen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52unsqtre83i7rhte7400usfj04c4j6 0 87740 1100244 1085374 2026-06-17T07:44:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100244 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir zeigen, dass das Quadrieren {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x | x^2 |SZ=, }} stetig ist. Es sei dazu {{ Relationskette |a | \in |\R || || || |SZ= }} fixiert, wir zeigen die Stetigkeit im Punkt {{math|term= a |SZ=.}} Es sei ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Wir müssen ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} finden {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Existenz eines solchen {{math|term= \delta|SZ=}} nachweisen| |ISZ=|ESZ=, }} das die Eigenschaft besitzt: Wenn {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x-a|}} | \leq | \delta || || || |SZ=, }} dann ist auch {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x^2-a^2||}} | \leq | \epsilon || || || |SZ=, }} also wenn {{ mathkor|term1= x |und|term2= a |SZ= }} {{math|term= \delta|SZ=-}}nahe sind, so sind die beiden Funktionswerte {{math|term= \epsilon|SZ=-}}nahe. Es ist klar, dass die Wahl von {{math|term= \delta|SZ=}} nicht nur von {{math|term= \epsilon|SZ=}} abhängt, sondern auch von {{math|term= a |SZ=.}} Wenn man nämlich zu {{math|term= a |SZ=}} eine Zahl {{math|term= \delta|SZ=}} hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich {{ Relationskette/display |(a+ \delta)^2 || a^2 +2a \delta + \delta^2 || || || |SZ=, }} und die Differenz zu {{math|term= a^2 |SZ=}} ist somit {{mathl|term= 2a \delta + \delta^2 |SZ=.}} Insbesondere muss der Betrag dieser Differenz kleinergleich dem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden {{mathl|term= 2a \delta |SZ=}} und {{mathl|term= \delta^2 |SZ=}} beide kleinergleich {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} sind. Von daher ist bei {{ Relationskette |a | > | 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \epsilon | \leq | 1 || || || |SZ= }} die Wahl {{ Relationskette/display | \delta | {{defeq|}} | {{op:min| {{op:Bruch| \epsilon| 4 a }} | {{op:Bruch| \epsilon| 2}} }} || || || |SZ= }} naheliegend. Um alle Fälle zu erfassen, wählen wir {{ Relationskette/display | \delta | {{defeq|}} | {{op:min| {{op:Bruch| \epsilon| 4 {{op:Betrag| a }} }} | {{op:Bruch| \epsilon| 2}} }} || || || |SZ=, }} wobei der vordere Term bei {{ Relationskette |a || 0 || || || |SZ= }} zu ignorieren ist. Es gelten dann in der Tat für {{ Relationskette/display | {{op:Betrag|a-x|}} | \leq | \delta || || || |SZ= }} die Abschätzungen {{ Relationskette/align | {{op:Betrag| x^2-a^2|}} || {{op:Betrag| x-a|}} \cdot {{op:Betrag| x+a |}} | \leq | \delta {{makl| 2 {{op:Betrag| a |}} + \delta |}} || 2 {{op:Betrag| a |}} \delta + \delta^2 | \leq | {{op:Bruch| \epsilon| 2}} + {{op:Bruch| \epsilon| 2}} || \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pyx8i2ffngqp4pryvcbwhp296nwgyne 0 87746 1100146 1085252 2026-06-17T07:28:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100146 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir führen im endlichen Restklassenkörper {{mathl|term= {{op:Zmod| 7 |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Polynomdivision| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= P= X^2+3X+5 \text{ durch } T= 3X+4 |SZ= }} durch. Es wird also ein quadratisches Polynom durch ein lineares Polynom dividiert, d.h. der Quotient muss vom Grad {{math|term= 1 |SZ=}} und der Rest muss vom Grad {{math|term= 0 |SZ=}} sein. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man {{math|term= T |SZ=}} multiplizieren muss, damit das Produkt mit {{math|term= P |SZ=}} im Leitterm übereinstimmt. Mit was muss man also {{math|term= 3 |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| 7 |}} |SZ=}} multiplizieren, um {{math|term= 1 |SZ=}} zu erhalten? Eine Schreibweise wie {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=}} ist hier wenig hilfreich, es muss ein Element aus {{mathl|term= {{op:Zmod| 7 |}} |SZ=}} sein. Wegen {{ Relationskette | 3 \cdot 5 || 15 || 1 \mod 7 || || |SZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} das inverse Element, man muss also mit {{math|term= 5X|SZ=}} multiplizieren. Das Produkt ist {{ Relationskette/display | 5X {{makl| 3X+4 |}} || X^2 +6 X || || || |SZ=. }} Die Differenz von {{math|term= P |SZ=}} zu diesem Produkt ist {{ Relationskette/display/handlinks | X^2+3X+5 - {{makl| X^2 +6 X |}} || 4 X +5 || || || |SZ=. }} Mit diesem Polynom, nennen wir es {{math|term= P'|SZ=,}} setzen wir die Division durch {{math|term= T |SZ=}} fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man {{math|term= T |SZ=}} mit {{math|term= 6 |SZ=}} multiplizieren, da ja {{ Relationskette | 3 \cdot 6 || 18 || 4 \mod 7 || || |SZ= }} ist. Dies ergibt {{ Math/display|term= 4 X + 3 |SZ=. }} Die Differenz zu {{math|term= P'|SZ=}} ist somit {{ Relationskette/display | 4 X +5 - {{makl| 4X+3 |}} || 2 || || || |SZ=. }} Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt {{ Relationskette/display/handlinks | X^2+3X+5 || {{makl| 5X+6 |}} {{makl| 3X +4 |}} + 2 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 7 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ev4ozq0vffk86miqa6ka0dn24p0cfj 0 87785 1100013 1085126 2026-06-17T07:05:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100013 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es stehen {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das {{math|term= i |SZ=-}}te Produkt {{ Zusatz/Klammer |text=pro Einheit| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= a_i |SZ=}} kostet. Ein Einkauf wird durch das {{math|term= n |SZ=-}}Tupel {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ= }} repräsentiert, wobei {{math|term= x_i |SZ=}} die vom {{math|term= i |SZ=-}}ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_ix_i |SZ=}} beschrieben. Die Preisabbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\Q^n |\Q | {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} | \sum_{i {{=}} 1}^n a_ix_i |SZ=. }} ist {{ Definitionslink |linear| |Kontext=Zahlenraum| |SZ=. }} Dies beruht auf {{ Relationskette/display |\varphi(x+y) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i (x_i +y_i) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i x_i + \sum_{i {{=}} 1}^n a_i y_i ||\varphi(x) + \varphi (y) || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |\varphi(sx) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i sx_i || s \sum_{i {{=}} 1}^n a_i x_i || s \varphi(x) || |SZ=. }} Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ=}} tätigt und eine Woche später den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| y_1 | y_2 | \ldots| y_n }} |SZ=,}} dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1+y_1 | x_2+y_2 | \ldots| x_n+y_n }} |SZ=}} gekauft hätte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e3pcqozxraadqcz6i9dlv51vep3hgbo 0 87795 1099965 1085058 2026-06-17T06:58:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099965 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zur Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22| 5 | 9 | -3| 7}} |SZ=}} gemäß dem in {{ Faktlink |Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} beschriebenen Verfahren die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M^{-1} |SZ=}} bestimmen. {{ma:tabelle24 | {{op:Matrix22| 5 | 9 | -3| 7}} | {{einheitsmatrix2|}} | {{op:Matrix22| 5 | 9 | 0 | {{op:Bruch| 62| 5}} }} | {{op:Matrix22| 1 | 0 | {{op:Bruch| 3 | 5}} | 1}} | {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 9 | 5}} | 0 | 1 }} | {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 1 | 5}} | 0 | {{op:Bruch| 3 | 62}} | {{op:Bruch| 5 | 62}} }} | {{einheitsmatrix2|}} | {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 7 | 62}} | - {{op:Bruch| 9 | 62 }} | {{op:Bruch| 3 | 62}} | {{op:Bruch| 5 | 62}} }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Invertierung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7007583wjdudxrbmexweyju2vaopt4m 0 87796 1100057 1085159 2026-06-17T07:13:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100057 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix32| 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | 7}} |SZ=.}} Durch elementare Zeilenumformungen erhält man daraus {{mathl|term= {{op:Matrix32| 4 | 1 | 0 | {{op:Bruch| 17| 4}} | 0 | {{op:Bruch| 13| 2}} }} |SZ=}} und daraus {{mathl|term= {{op:Matrix32| 4 | 1 | 0 | {{op:Bruch| 17| 4}} | 0 | 0 }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hch9mrhwixjwvsncuo74uw0yg5c30v6 0 87797 1100058 1085160 2026-06-17T07:13:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100058 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix23| 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | 7}} |SZ=.}} Durch elementare Zeilenumformungen erhält man daraus {{mathl|term= {{op:Matrix23| 4 | 1 | 3 | 0 | {{op:Bruch| 3 | 4}} | {{op:Bruch| 13| 4}} }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syaoyyvh45cskyyttp2kpf5folf8pd1 0 87798 1100063 1085166 2026-06-17T07:14:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100063 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22| 0 | 1 | 0 | 0|}} |SZ=}} ist nicht in der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Matrix/Treppengestalt durch elementare Umformungen/Fakt |Nr= |SZ= }} zuletzt beschriebenen Form, und kann auch nicht durch Zeilenumformungen dahin gebracht werden. Durch Spaltenvertauschungen ist das möglich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52gxhjcpqmkmsb91yheyzmpj7u7b63x 0 87806 1100227 1085361 2026-06-17T07:41:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100227 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{math|term= \Q^2 |SZ=}} die drei Vektoren {{ mathlist|term1= {{op:Spaltenvektor| -5| 2}} |,|term2= {{op:Spaltenvektor| 4 | 9}} |und|term3= {{op:Spaltenvektor| 7 | -13}} |SZ=. }} Den Vektor {{math|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} |SZ=}} kann man als {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} || - {{op:Bruch| 9 | 53}} \cdot {{op:Spaltenvektor| -5| 2}} + {{op:Bruch| 2 | 53}} \cdot {{op:Spaltenvektor| 4 | 9}} + 0 \cdot {{op:Spaltenvektor| 7 | -13}} || || || |SZ=, }} aber auch als {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} || 2 \cdot {{op:Spaltenvektor| -5| 2}} + {{op:Spaltenvektor| 4 | 9}} + {{op:Spaltenvektor| 7 | -13}} || || || |SZ= }} schreiben. Besonders deutlich wird das Uneindeutigkeitsphänomen, wenn man den Nullvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 0}} |SZ=}} betrachtet. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 0 | 0}} || 0 \cdot {{op:Spaltenvektor| -5| 2}} + 0 \cdot {{op:Spaltenvektor| 4 | 9}} + 0 \cdot {{op:Spaltenvektor| 7 | -13}} || || || |SZ= }} die sogennante {{Stichwort|triviale Darstellung|SZ=}} des Nullvektors, aber es ist auch {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 0 | 0}} || 115 \cdot {{op:Spaltenvektor| -5| 2}} +51 \cdot {{op:Spaltenvektor| 4 | 9}} + 53 \cdot {{op:Spaltenvektor| 7 | -13}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enoq22lb81mggwfyi7pu89f1zvolnil 0 87813 1100065 1037001 2026-06-17T07:14:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100065 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix23| 2 | -7| 3 | 1 | 0 | -5}} {{op:Matrix34| 1 | 3 | -3| 5 | 0 | 1 | 4 | 0 | 3 | 2 | -6| 0 |}} || {{op:Matrix24| 11| 5 | -52| 10| -14| -7| 27| 5 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matrizenmultiplikation (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6m0y852q6u916qs22c6x3x1mdf15qvs 0 87814 1100123 1085228 2026-06-17T07:24:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100123 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für {{math|term= 10 |SZ=}} Euro Obst kaufen. Dabei kosten {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils pro hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} die Kirschen {{math|term= 0{,}50 |SZ=}} Euro, die Heidelbeeren {{math|term= 1{,}20 |SZ=}} Euro, die Himbeeren {{math|term= 0{,}90 |SZ=}} Euro und die Trauben {{math|term= 0{,}60 |SZ=}} Euro. Ein Einkauf wird durch ein Tupel {{mathl|term= (x,y,z,w) |SZ=}} repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekaufte Menge {{ Zusatz/Klammer |text=in hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} der Obstsorten bezieht. Der Einkaufspreis ist somit {{ Math/display|term= 0{,}5 \cdot x +1{,}2 \cdot y+ 0{,}9 \cdot z+0{,}6 \cdot w |SZ= }} und die Bedingung, genau {{math|term= 10 |SZ=}} Euro auszugeben, führt auf die Gleichung {{ Relationskette/display | 0{,}5 \cdot x +1{,}2 \cdot y+ 0{,}9 \cdot z+0{,}6 \cdot w || 10 || || || |SZ= }} bzw. in Brüchen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot x + {{op:Bruch| 6 | 5}} \cdot y+ {{op:Bruch| 9 | 10}} \cdot z+ {{op:Bruch| 3 | 5}} \cdot w || 10 || || || |SZ=. }} Es gibt hier sehr viele Lösungen. Sie kann beispielsweise nur Kirschen kaufen, dann wären das {{math|term= 20 |SZ=}} Einheiten von den Kirschen und {{math|term= 0 |SZ=}} von den anderen Sorten. Als Tupel geschrieben ist diese Lösung {{mathl|term= (20,0,0,0) |SZ=.}} Oder sie könnte für jede Sorte gleich viel, nämlich {{mathl|term= 2{,}50 |SZ=}} Euro, ausgeben wollen, das würde das Lösungstupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 5 | {{op:Bruch| 25| 12}} | {{op:Bruch| 25| 9}} | {{op:Bruch| 25| 6}} }} |SZ=}} ergeben. Oder sie möchte von jeder Sorte gleich viel kaufen. Dann wäre {{ Relationskette | x || y || z || w || |SZ= }} und es ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 6 | 5}} + {{op:Bruch| 9 | 10}} + {{op:Bruch| 3 | 5}} |}} x || {{op:Bruch| 32| 10}} x || 10 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| 100| 32}} || {{op:Bruch| 25| 8}} || || |SZ= }} und das Lösungstupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 25| 8}} | {{op:Bruch| 25| 8}} | {{op:Bruch| 25| 8}} | {{op:Bruch| 25| 8}} }} |SZ=.}} Die entscheidende Beobachtung an der Situation ist, dass man sich {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest, wenn man auch negative Zahlen zulässt| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} frei vorgeben darf und dass dadurch der Wert {{math|term= w |SZ=}} über {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| 5 | 3}} {{makl| 10 - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot x + {{op:Bruch| 6 | 5}} \cdot y+ {{op:Bruch| 9 | 10}} \cdot z |}} || || || |SZ= }} bestimmt ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdeff1y3c0awkbytygimwx33oz93djt 0 87815 1100122 1085227 2026-06-17T07:24:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100122 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für {{math|term= 10 |SZ=}} Euro Obst kaufen. Gleichzeitig möchte sie, dass das Obst genau {{math|term= 30 |SZ=}} Milligramm Vitamin C enthält. Die Kirschen kosten {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils pro hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= 0{,}50 |SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 3 |SZ=}} Milligramm Vitamin C, die Heidelbeeren kosten {{math|term= 1{,}20 |SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 5 |SZ=}} Milligramm Vitamin C, die Himbeeren kosten {{math|term= 0{,}90 |SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 2 |SZ=}} Milligramm Vitamin C und die Trauben kosten {{math|term= 0{,}60 |SZ=}} Euro und besitzen {{math|term= 4 |SZ=}} Milligramm Vitamin C. Ein Einkauf wird durch ein Tupel {{mathl|term= (x,y,z,w) |SZ=}} repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekauften Mengen {{ Zusatz/Klammer |text=in hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} der Obstsorten beziehen. Die Geldbedingung führt auf die lineare Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot x + {{op:Bruch| 6 | 5}} \cdot y+ {{op:Bruch| 9 | 10}} \cdot z+ {{op:Bruch| 3 | 5}} \cdot w || 10 || || || |SZ= }} und die Vitaminbedingung führt auf die lineare Gleichung {{ Relationskette/display | 3 \cdot x + 5 \cdot y+ 2 \cdot z+ 4 \cdot w || 30 || || || |SZ=. }} Beide Bedingungen sollen simultan erfüllt sein, gesucht sind also die Tupel {{mathl|term= (x,y,z,w) |SZ=,}} die beide linearen Gleichungen erfüllen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skc9g98w5y2oirtixdz14qthey19l3e 0 87825 1100043 1036893 2026-06-17T07:10:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100043 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Produkte/Preis/Beispieleinkäufe/Beispiel |Nr= |SZ= }} an, d.h. wir möchten das lineare Gleichungssystem {{ Relationskette/display | 7 x + 5 y || 46 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 4 x + 6 y || 42 || || || |SZ= }} lösen. Wir wollen geeignete Vielfache der beiden Gleichungen miteinander addieren mit dem Ziel, dass in der Summe eine Variable herausfällt. Man kann beispielsweise das Vierfache der ersten Gleichung mit dem {{math|term= -7 |SZ=-}}fachen der zweiten Gleichung addieren. Diese Vielfachengleichungen sind {{ Relationskette/display | 28x+ 20y || 184 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | -28 x -42 y || - 294 || || || |SZ=. }} Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, so erhält man {{ Relationskette/display | -22 y || -110 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | y || 5 || || || |SZ=. }} Somit kennt man den Preis für einen Aufnäher. Diese Information kann man mit einer der Ausgangsgleichungen weiter verarbeiten. Es ist {{ Relationskette/display | 7x + 5 \cdot 5 || 46 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | 7x || 46-25 || 21 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | x || 3 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f276fp2ijbhxg1wcfre1jmcn34y9eo4 0 87843 1100423 1085558 2026-06-17T08:13:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1100423 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen zu den durch {{ Relationskette/display | 4x-7y || 13 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | 5x-8y || - 9 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das {{mathl|term= {{op:Bruch| 5 | 4}} |SZ=-}}fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man {{ Relationskette/display | {{makl| -8 + {{op:Bruch| 5 | 4}} \cdot 7 |}} y || -9 - {{op:Bruch| 5 | 4}} \cdot 13 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 3 | 4}} y || - {{op:Bruch| 101| 4}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | y || - {{op:Bruch| 101| 3}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | x || - {{op:Bruch| 167| 3}} || || || |SZ=. }} Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 167| 3}} | - {{op:Bruch| 101| 3}} }} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcqujeqxfies6rurbaw7qzrou6eu9sa 0 87871 1099864 1084961 2026-06-17T06:41:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099864 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Rechenregeln/Fakt |Nr= |SZ= }} lässt sich häufig die Wahrscheinlichkeit einfacher berechnen, insbesondere die unscheinbare Komplementregel ist hilfreich. Wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass in einer Lottoziehung die gezogenen Zahlen {{Betonung/Negation|nicht|}} alle in einer Reihe liegen, so könnte man ins Grübeln kommen, wie man diese Ereignismenge geschickt abzählt. Dagegen ist das Komplement einfach zu erfassen, davon gibt es nämlich {{math|term= 44 |SZ=}} Stück und die Wahrscheinlichkeit davon ist somit {{mathl|term= {{op:Bruch| 44| 13 983 816}} |SZ=.}} Die komplementäre Wahrscheinlichkeit ist also {{ Relationskette/display | 1- {{op:Bruch| 44| 13 983 816}} || {{op:Bruch| 13 983 816 - 44| 13 983 816}} || {{op:Bruch| 13 983 772| 13 983 816}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8o5xn2gvk8st5gnmlacls7l023f8bd 0 87898 1100430 1085566 2026-06-17T08:14:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100430 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Münze wird zweimal unabhängig voneinander hintereinander geworfen, und wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, wie oft dabei Zahl fällt. Die Möglichkeiten sind {{mathl|term= 0,1,2 |SZ=.}} Diese sind aber nicht gleichwahrscheinlich, sondern die {{math|term= 1 |SZ=}} ist deutlich wahrscheinlicher als die {{math|term= 0 |SZ=}} und die {{math|term= 2 |SZ=.}} Wenn man das Ereignis mit der möglichen Wertemenge {{mathl|term= \{0,1,2\} |SZ=}} beschreibt, so liegt kein {{ Definitionslink |Laplace-Raum| |Kontext=| |SZ= }} vor. Es ist besser, die Gesamtsituation durch den Produktraum {{mathl|term= \{ K,Z \} \times \{ K,Z \} |SZ=}} zu beschreiben, wobei die Paare daraus die möglichen Ausgänge des Gesamtexperimentes bezeichnen, bei dem das Ergebnis beim ersten Wurf an erster und das Ergebnis beim zweiten Wurf an zweiter Stelle notiert wird. Die möglichen Ergebnisse sind somit {{ Math/display|term= (Z,Z), \, (Z,K), \, (K,Z),\, (K,K) |SZ=. }} Diese Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich, d.h. mit diesem Produktraum wird das Gesamtexperiment durch einen Laplace-Raum beschrieben, bei dem jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 4}} |SZ=}} besitzt. Die ursprüngliche Frage nach der Wahrscheinlichkeit, wie oft insgesamt Zahl geworfen wird, wird mit Hilfe dieses Produktraumes dadurch beantwortet, dass man zählt, wie viele der Elementarereignisse zur Summenanzahl {{mathl|term= 0,1,2 |SZ=}} führen. Somit besitzt keinmal Zahl die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 4}} |SZ=,}} einmal Zahl die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=}} und zweimal Zahl die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 4}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9hh3lmu88tu8q1difuhxin74n1eq003 0 87909 1099804 1084906 2026-06-17T06:32:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099804 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen dreifachen Münzwurf, also den Wahrscheinlichkeitsraum {{mathl|term= \{Z, K\}^3 |SZ=}} mit {{ Relationskette |p || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || |SZ=. }} Das Ereignis, dass bei den ersten beiden Würfen das gleiche Ergebnis herauskommt {{ Zusatz/Klammer |text=also beide Mal Kopf oder beidemal Zahl| |ISZ=|ESZ=, }} sei mit {{math|term= E |SZ=}} bezeichnet, das Ereignis, dass beim ersten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit {{math|term= F |SZ=}} bezeichnet, und das Ereignis, dass beim zweiten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit {{math|term= G |SZ=}} bezeichnet. Wir behaupten, dass diese Ereignisse {{ Definitionslink |paarweise unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |SZ= }} sind, aber nicht {{ Definitionslink |vollständig unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |SZ=. }} Zu {{math|term= E |SZ=}} gehören genau die Elementarereignisse der Form {{mathl|term= (K,K,X) |SZ=}} und {{mathl|term= (Z,Z,X) |SZ=,}} das sind vier Stück. Somit ist die Wahrscheinlichkeit der Einzelereignisse {{math|term= E,F,G|SZ=}} stets {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=.}} Das Ereignis {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} tritt genau dann ein, wenn alle drei Münzwürfe das gleiche Ergebnis haben, also nur bei {{ mathkor|term1= (K,K,K) |oder|term2= (Z,Z,Z) |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit davon ist also {{ Relationskette/display | P (E \cap F) || {{op:Bruch| 2 | 8}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 2}} || P (E) \cdot P (F) |SZ=. }} Entsprechendes gilt für die Paare {{ mathkor|term1= E |und|term2= G |SZ= }} und {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ=. }} Wenn man dagegen alle drei Ereignisse miteinander schneidet, so ist {{ Relationskette/display |E \cap F \cap G || \{ (K,K,K), (Z,Z,Z) \} || E \cap F || E \cap G || F \cap G |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit davon ist nach wie vor {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 4}} |SZ=,}} aber das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} |}}^3 || {{op:Bruch| 1 | 8}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2=Theorie der vollständigen Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8o59ps3ibjautbh5qx9ag26pdmiowyi 0 87914 1100406 1085536 2026-06-17T08:10:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100406 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten einen Würfelwurf mit dem {{ Definitionslink |Laplace-Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= \{1,2,3,4,5,6\} |SZ=}} und dabei die Ereignisse {{ Relationskette/display |G ||\{2,4,6\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |U ||\{1,3,5\} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |E ||\{1,2\} || || || |SZ=. }} Die Ereignisse {{ mathkor|term1= E |und|term2= G |SZ= }} sind {{ Definitionslink |unabhängig| |Kontext=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |SZ=, }} da {{ Relationskette/display |E \cap G || \{2\} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | P (E \cap G) || {{op:Bruch| 1 | 6}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 2}} || P (E) \cdot P (G) || |SZ=. }} Ebenso sind {{ mathkor|term1= E |und|term2= U |SZ= }} unabhängig {{ Zusatz/Klammer |text=dies folgt auch aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen sind {{ mathkor|term1= G |und|term2= U |SZ= }} nicht unabhängig, da {{ Relationskette/display |G \cap U || \emptyset || || || |SZ= }} ist, aber beide Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit haben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2df8slh3utuwyaijmwm31b85cwijjb 0 87938 1099865 1074370 2026-06-17T06:41:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099865 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip|}} {{ inputbild |Ara macao, Ara ararauna and Ara militaris|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Commons Shaped Box |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} In einem Papageienhaus sind die beiden Geschlechter gleichmäßig verteilt und ebenso sind die Farben rot, gelb und grün gleichmäßig und unabhängig vom Geschlecht verteilt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Papagei ein rotes Weibchen ist, gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 3}} || {{op:Bruch| 1 | 6}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79jdmzwp0arns6wqlb1dw2cul137i05 0 87957 1100553 1073369 2026-06-17T10:27:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100553 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es ist nicht trivial, aus den Ziffernentwicklungen von reellen Zahlen die Ziffern{{drucktrenn}}entwicklung ihrer Summe oder ihres Produktes abzulesen. Die Ziffernentwicklung ist eine konvergente Dezimalbruchfolge, und für jede Folge ist die Summe und das Produkt eindeutig definiert. Man weiß, dass das Ergebnis wieder eine konvergente Folge ist, und so ist die Summe und das Produkt von Dezimalbruchfolgen eindeutig definiert. Daraus kann man aber nicht unmittelbar ablesen, wie die (kanonische) Dezimalbruchfolge zur Summe oder zum Produkt aussieht. Insbesondere kann man die ersten {{math|term= n |SZ=}} Nachkommastellen der Summe {{Betonung/Negation|nicht}} aus den ersten {{math|term= n |SZ=}} Nachkommastellen der beteiligten Summanden ablesen. Wenn beispielsweise von den Zahlen {{ Relationskette/display | x || 0,22222 22222 22222 22222 ... || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || 0,77777 77777 77777 77777 ... || || || |SZ= }} die ersten zwanzig Nachkommastellen bekannt sind, so hat man die Abschätzungen {{ Relationskette/display | 0,22222 22222 22222 22222 | \leq | x | \leq | 0,22222 22222 22222 22223 || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | 0,77777 77777 77777 77777 | \leq | y | \leq | 0,77777 77777 77777 77778 || || |SZ= }} und damit hat man auch die Abschätzung {{ Relationskette/display | 0,99999 99999 99999 99999 | \leq | x +y | \leq | 1, 00000 00000 00000 00001 || || |SZ=. }} Man weiß aber nicht, ob die ersten Ziffern Neunen oder Nullen sind, und das weiß man auch dann im Allgemeinen nicht, wenn man noch mehr Ziffern der Zahlen kennt. Bei der Multiplikation ist das Problem noch deutlicher. Selbst wenn ein Faktor {{math|term= z |SZ=}} eine natürliche Zahl ist, so kann man die Ziffernentwicklung eines Produktes {{mathl|term= zw|SZ=}} nicht aus den entsprechenden Ziffern von {{math|term= w |SZ=}} ablesen. Es sei beispielsweise {{ Relationskette |z || 3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w || 0, 33333 33333 33333 33333 ... || || || |SZ=. }} Dann weiß man nur {{ Relationskette/display | 0,99999 99999 99999 99999 | \leq | zw | \leq | 1, 00000 00000 00000 00002 || || || |SZ=, }} man hat aber keine Kenntnis über die ersten Ziffern des Produktes. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4x8phxfv0m49hrz2b148m01ilw9qtnc 0 87965 1100301 1085431 2026-06-17T07:53:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100301 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die drei Freunde Fritz, Fredo und Fitzgeraldo spielen Skat. Spieler Fredo hat von den bereits an ihn verteilten zehn Karten die ersten drei aufgenommen und alles sind Buben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch noch den vierten Buben bekommt? Die einzige Information, die er hat, ist, dass unter den unbekannten {{ Relationskette | 32-3 || 29 || || || |SZ= }} Karten noch ein Bube ist. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch den vierten Buben bekommt, gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 7 | 29}} |SZ=.}} Dies kann man auch als eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Es sei {{math|term= B |SZ=}} das Ereignis, dass die ersten drei aufgedeckten Karten alle Buben sind, und {{math|term= A |SZ=}} das Ereignis, dass Fredo alle Buben bekommt. Die Wahrscheinlichkeit von {{math|term= A |SZ=}} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Skat/Vier Buben/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |SZ= }} gleich{{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| 28| 6}} | {{op:Binomialkoeffizient| 32| 10}} }} || {{op:Bruch| 21 | 3596 }} |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für {{math|term= B |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 4 \cdot 3 \cdot 2 | 32 \cdot 31 \cdot 30|}} || {{op:Bruch| 1| 4 \cdot 31 \cdot 10|}} || {{op:Bruch| 1| 1240|}} || || |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für {{mathl|term= A \cap B |SZ=}} kann man auf unterschiedliche Arten ausrechnen, nämlich als {{ Zusatz/Klammer |text=Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Karten nur Buben sind, mal Wahrscheinlichkeit, dass dann noch der vierte Bube kommt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1| 1240|}} \cdot {{op:Bruch| 7 | 29}} || {{op:Bruch| 7 | 35960}} || || || |SZ= }} oder als {{ Zusatz/Klammer |text=Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Buben bei einem Spieler landen, mal die Wahrscheinlichkeit, dass dabei drei bestimmte Karten Buben sind| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 21| 3596}} \cdot {{op:Bruch| 4 \cdot 3 \cdot 2| 10 \cdot 9 \cdot 8}} || {{op:Bruch| 21| 3596}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 10 \cdot 3 }} || {{op:Bruch| 7 | 35960}} || || |SZ=. }} Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist jedenfalls {{ Relationskette/display | P(A {{|}} B) || {{op:Bruch|P(A \cap B) | P(B)}} || {{op:Bruch| \, \, {{op:Bruch| 7 | 35960}} \, \, | {{op:Bruch| 1 | 1240}} }} || {{op:Bruch| 7 \cdot 124 | 3596 }} || {{op:Bruch| 7 | 29}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49lg6iif2u62v0y2183hvty5vndeq3w 0 87969 1099863 1084960 2026-06-17T06:41:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099863 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Monty open door chances|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Cepheus~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Beim Ziegenproblem geht es um die folgende Anordnung. Bei einer Fernsehshow kann ein Kandidat aus drei Türen wählen, wobei hinter einer Tür ein Auto als Preis wartet und hinter zwei Türen jeweils eine Ziege als Niete. Der Kandidat wählt zunächst eine Tür. Diese wird aber nicht geöffnet, stattdessen öffnet der Moderator, der weiß, wo der Gewinn sich verbirgt, eine der beiden anderen Türen, hinter denen eine Ziege steckt. Wenn der Kandidat auf eine Ziegentür gezeigt hat, so hat der Moderator keine Wahl, wenn der Kandidat auf die Autotür gezeigt hat, so wählt der Moderator zufällig eine der Ziegentüren. Danach darf der Kandidat bei seiner ersten Wahl bleiben oder aber sich auf die verbleibende Tür umentscheiden. Die Frage ist, ob der Kandidat seine Gewinnchancen erhöht, wenn er sich umentscheidet. Die Antwort ist ja! Die Wahrscheinlichkeit, dass er mit seiner ursprünglichen Wahl gewinnt, ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=.}} Die Wahrscheinlichkeit, dass er mit der Umentscheidungsstrategie gewinnt bzw. verliert, berechnet sich folgendermaßen. Man analysiert die Situation entlang der komplementären Ereignisse, dass er bei der ersten Wahl falsch oder richtig liegt. Wenn er richtig liegt, und das hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=,}} so verliert er definitiv mit der Umentscheidung. Wenn er aber falsch liegt, und das hat Wahrscheinlichkeit {{math|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=,}} so gewinnt er definitiv mit der Umentscheidung. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also {{mathl|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oancnlabvkyccl6y2zvd7b5ixd6c5cw 0 88899 1100236 1085368 2026-06-17T07:43:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100236 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} \in \Q^3| 5x-y+3z {{=|}} 0}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlenraum/Ebenengleichung/Basis/Fakt |Nr= |SZ= }} hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed| r {{op:Spaltenvektor| 3 | 0 | -5}} + s {{op:Spaltenvektor| 1 | 5 | 0}} |r,s \in \Q }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78j2mp6owzexg1thnrnzx3t3lcj2avn 0 88928 1100000 1085116 2026-06-17T07:03:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100000 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl {{ Zusatz/Klammer |text=abhängig von den Wünschen der Gäste| |ISZ=|ESZ= }} an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt {{math|term= 500 |SZ=}} Gramm Mehl, {{math|term= 200 |SZ=}} Gramm Zucker, {{math|term= 100 |SZ=}} Gramm Butter, {{math|term= 250 |SZ=}} Gramm Milch und {{mathl|term= 300 |SZ=}} Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt {{math|term= 300 |SZ=}} Gramm Mehl, {{math|term= 230 |SZ=}} Gramm Zucker, {{math|term= 100 |SZ=}} Gramm Butter, {{math|term= 100 |SZ=}} Gramm Milch und {{math|term= 450 |SZ=}} Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt {{math|term= 400 |SZ=}} Gramm Mehl, {{math|term= 250 |SZ=}} Gramm Zucker, {{math|term= 150 |SZ=}} Gramm Butter, {{math|term= 200 |SZ=}} Gramm Milch, {{mathl|term= 500 |SZ=}} Gramm Äpfel und {{math|term= 100 |SZ=}} Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=,}} die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl {{ Zusatz/Klammer |text=in Kilogramm| |ISZ=|ESZ= }} gilt beispielsweise die Formel {{ Math/display|term= 0{,}5 x + 0{,}3y + 0{,}4 z |SZ=. }} Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Matrix| |ISZ=|ESZ= }} beschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Abbildung/display |name= |\Q^3| \Q^8 | {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} | {{op:Matrix83| 0{,}5| 0{,}3| 0{,}4| 0{,}2| 0{,}23| 0{,}25| 0{,}1| 0{,}1| 0{,}15| 0{,}25| 0{,}1| 0{,}2| 0{,}3| 0 | 0| 0 | 0{,}45| 0 | 0| 0 | 0{,}5| 0 | 0| 0{,}1}} {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9cscho32w16gj374613s8p7zwf5qxb 0 88954 1099780 1084887 2026-06-17T06:29:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099780 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Diagonalmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{Op:Diagonalmatrix|d}} |SZ= }} ist genau dann {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ=, }} wenn sämtliche Diagonaleinträge von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden sind. Die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Kontext=| |SZ= }} dazu ist {{ Math/display|term= {{Op:Matrix55| {{op:Bruch| 1 |d_{11} }} | 0 | \cdots| \cdots | 0 | 0| {{op:Bruch| 1 |d_{22} }} | 0 | \cdots | 0 |\vdots| \ddots| \ddots | \ddots|\vdots| 0 | \cdots| 0 | {{op:Bruch| 1 |d_{n-1 n-1} }} | 0 | 0| \cdots| \cdots| 0 | {{op:Bruch| 1 |d_{nn} }} }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mr11zrjemu5s9owbcm2tlohofyjmzcu 0 88955 1100059 1085161 2026-06-17T07:13:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100059 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix32| 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | 7}} |SZ=.}} Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulatonen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die erste Umformung ist, die zweite Zeile durch {{mathl|term= II - {{op:Bruch| 3 | 4}} I |SZ=}} zu ersetzen. Die geschieht durch {{ Relationskette/display | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| - {{op:Bruch| 3 | 4}} | 1 | 0 | 0| 0 | 1 |}} {{op:Matrix32| 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | 7}} || {{op:Matrix32| 4 | 1 | 0 | {{op:Bruch| 17| 4}} | 2 | 7}} || || || |SZ=. }} Die dritte Zeile soll durch {{mathl|term= III-2I|SZ=}} ersetzt werden, dies wird realisiert durch {{ Relationskette/display | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 0 | - {{op:Bruch| 1 | 2}} | 0 | 1 |}} {{op:Matrix32| 4 | 1 | 0 | {{op:Bruch| 17| 4}} | 2 | 7}} || {{op:Matrix32| 4 | 1 | 0 | {{op:Bruch| 17| 4}} | 0 | {{op:Bruch| 13| 2}} }} || || || |SZ=. }} Die neue dritte Zeile kann man zu einer Nullzeile machen, indem man sie durch {{mathl|term= III - {{op:Bruch| 2 | 13}} II|SZ=}} ersetzt. Dies wird realisiert durch {{ Relationskette/display | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0 | - {{op:Bruch| 26| 17}} | 1 |}} {{op:Matrix32| 4 | 1 | 0 | {{op:Bruch| 17| 4}} | 0 | {{op:Bruch| 13| 2}} }} || {{op:Matrix32| 4 | 1 | 0 | {{op:Bruch| 17| 4}} | 0 | 0 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qhgmrc95etqfmx72yqjuhn1w360n81 0 88959 1100060 1085162 2026-06-17T07:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100060 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix23| 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | 7}} |SZ=.}} Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulationen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die einzige Umformung ist, die zweite Zeile durch {{mathl|term= II - {{op:Bruch| 5 | 4}} I |SZ=}} zu ersetzen. Dies wird durch {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 | 0 | - {{op:Bruch| 5 | 4}} | 1 |}} {{op:Matrix23| 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | 7}} || {{op:Matrix23| 4 | 1 | 3 | 0 | {{op:Bruch| 3 | 4}} | {{op:Bruch| 13| 4}} }} || || || |SZ= }} realisiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Elementarmatrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m30tbr27jsckzlkcorbh2lwgqoy07at 0 89040 1100310 1074415 2026-06-17T07:55:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100310 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Fussball1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Fussball2|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Fussball3|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die Gewinnrelation in einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von {{math|term= A |SZ=}} über {{math|term= B |SZ=}} durch einen Pfeil von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und ein Unentschieden durch keine Verbindung| |ISZ=|ESZ= }} ausdrücken kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh8iq9p58nfl9c9upop888y83oaxfoq 0 89336 1099924 1074378 2026-06-17T06:51:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099924 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |C Dur Klaviatur|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} In der gleichstufigen Stimmung eines Klaviers zerlegt man eine Oktave in zwölf gleichgroße Frequenzverhältnisse. Da eine Oktave das Frequenzverhältnis {{mathl|term= 2:1 |SZ=}} bedeutet, ist das Frequenzverhältnis von zwei benachbarten {{ Zusatz/Klammer |text=weißen oder schwarzen| |ISZ=|ESZ= }} Tasten durch {{mathl|term= \sqrt[12]{2} |SZ=}} gegeben. Somit sind die Schwingungsverhältnisse zwischen den Tönen im Allgemeinen irrational. Der Vorteil bei dieser Stimmung ist, dass man jede Tonart auf dem Klavier mit unmerklichen Abweichungen von den harmonischen rationalen Verhältnissen spielen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wurzeln in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f0oxyv27t32p622yrbftky1ror396vx 0 89519 1099734 1084843 2026-06-17T06:21:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099734 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu jedem Element {{ Relationskette | x | \in | K || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |archimedisch angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} gibt es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt |Nr= |SZ= }} eine eindeutig bestimmte {{ Definitionslink |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |SZ=, }} die gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergiert. Zu zwei Elementen {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe {{mathl|term= x+y|SZ=}} nicht die {{ Zusatz/Klammer |text=gliedweise genommene| |ISZ=|ESZ= }} Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl {{math|term= {{op:Bruch| 7 | 9}} |SZ=}} gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 7 | 10}} ,\, {{op:Bruch| 77| 100}} ,\, {{op:Bruch| 777| 1000}} ,\, {{op:Bruch| 7777| 10000}} ,\, {{op:Bruch| 77777| 100000}} ,\, \ldots |SZ= }} und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl {{math|term= {{op:Bruch| 8 | 9}} |SZ=}} gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 8 | 10}} ,\, {{op:Bruch| 88| 100}} ,\, {{op:Bruch| 888| 1000}} ,\, {{op:Bruch| 8888| 10000}} ,\, {{op:Bruch| 88888| 100000}} ,\, \ldots |SZ=. }} Die Summe dieser beiden Folgen ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 15| 10}} ,\, {{op:Bruch| 165| 100}} ,\, {{op:Bruch| 1665| 1000}} ,\, {{op:Bruch| 16665| 10000}} ,\, {{op:Bruch| 166665| 100000}} ,\, \ldots |SZ=. }} Dagegen besitzt {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 7 | 9}} + {{op:Bruch| 8 | 9}} || {{op:Bruch| 15| 9}} || || || |SZ= }} die Dezimalbruchfolge {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 16| 10}} ,\, {{op:Bruch| 166| 100}} ,\, {{op:Bruch| 1666| 1000}} ,\, {{op:Bruch| 16666| 10000}} ,\, {{op:Bruch| 1666666| 100000}} ,\, \ldots |SZ=. }} Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen {{mathl|term= {{op:Bruch| 15| 9}} |SZ=,}} sie ist aber keine Dezimalbruchfolge. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqmzokflvvn7tzhqfsa63agxe0xnuwb 0 89871 1100134 1037355 2026-06-17T07:26:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100134 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen mit Hilfe des Beweises zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt |Nr= |SZ= }} die rationale Zahl, die durch die periodische Zifferententwicklung {{ Math/display|term= 0{,}7 \overline{41} |SZ= }} gegeben ist. Es ist {{ Relationskette/align | 0{,}7 \overline{41} || 0{,}7 + 0{,}0\overline{41} || 0{,}7 + {{op:Bruch| 1 | 10}} \cdot 0{,}\overline{41} || {{op:Bruch| 7 | 10}} + {{op:Bruch| 1 | 10}} \cdot 41 \cdot 0{,}\overline{01} || {{op:Bruch| 7 | 10}} + {{op:Bruch| 1 | 10}} \cdot 41 \cdot {{op:Bruch| 1 | 99}} || {{op:Bruch| 7 | 10}} + {{op:Bruch| 41| 990}} || {{op:Bruch| 693+41| 990}} || {{op:Bruch| 734| 990}} || {{op:Bruch| 367| 495}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56iwh38x0fedteooutkpigd0zwfs4n7 0 90435 1100242 1037826 2026-06-17T07:44:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100242 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x |c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=\R| |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta|SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(c,c) || 0 | \leq | \epsilon || |SZ= }} gilt. Eine {{ Definitionslink |lineare Funktion| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x |cx |SZ=, }} mit einem Proportionalitätsfaktor {{ Relationskette |c |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |c || 0 || || || |SZ= }} ist die Funktion konstant und somit auch stetig| |ISZ=|ESZ= }} ist ebenfalls {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=\R| |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man unabhängig vom Punkt {{math|term= x |SZ=}} hier {{ Relationskette | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || || || |SZ= }} wählen: Wenn nämlich {{ Relationskette/display | d(x,x') | \leq | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || || || |SZ= }} gilt, so ist {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(cx,cx') || {{op:Betrag| c |}} d(x,x') | \leq | {{op:Betrag| c |}} \cdot \delta || {{op:Betrag| c |}} \cdot {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} au0pi0tgnrvyb1d40fmprjlntmibi7x 0 90498 1099862 1084959 2026-06-17T06:41:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099862 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Menge {{ Relationskette |M ||\{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Wahrscheinlichkeitsdichte| |Kontext=endlich| |SZ= }} {{ Math/display|term= f(a) = {{op:Bruch| 1 | 12}} ,\, f(b) = {{op:Bruch| 1 | 6}} = {{op:Bruch| 2 | 12}} ,\, f(c) = {{op:Bruch| 1 | 4}} = {{op:Bruch| 3 | 12}} ,\, f(d) = {{op:Bruch| 1 | 2}} = {{op:Bruch| 6 | 12}} |SZ=. }} Es gibt {{math|term= 16 |SZ=}} Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {{mathl|term= \{b,c\} |SZ=}} ist beispielsweise {{ Relationskette/display | \mu_f (\{b,c\}) || f(b) +f(c) || {{op:Bruch| 2 | 12}} + {{op:Bruch| 3 | 12}} || {{op:Bruch| 5 | 12}} |SZ=, }} die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {{mathl|term= \{a,b,d\} |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \mu_f (\{a,b,d\}) || f(a)+ f(b) + f(d) || {{op:Bruch| 1 | 12}} + {{op:Bruch| 2 | 12}} + {{op:Bruch| 6 | 12}} || {{op:Bruch| 9 | 12}} || {{op:Bruch| 3 | 4}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pfyyldtfg63parvq0ihe84df1wh39vs 0 90697 1100052 1085155 2026-06-17T07:12:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100052 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ziehung der Lottozahlen. Sind die Ereignisse, dass zwei bestimmte Zahlen gezogen werden, unabhängig voneinander? Dazu müssen wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl, sagen wir die {{math|term= 17 |SZ=}} gezogen wird, ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 6 | 49}} |SZ=.}} Dies ergibt sich beispielsweise aus {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| 48| 5}} | {{op:Binomialkoeffizient| 49| 6}} }} || {{op:Bruch| {{op:Bruch| 48 \cdot 47 \cdots 44| 5 \cdot 4 \cdots 1}} | {{op:Bruch| 49 \cdot 48 \cdots 44| 6 \cdot 5 \cdots 1}} }} || {{op:Bruch| 6 | 49}} || || |SZ=. }} Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Zahl gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gezogen werden, sagen wir die {{ mathkor|term1= 17 |und die|term2= 31 |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| 47| 4}} | {{op:Binomialkoeffizient| 49| 6}} }} || {{op:Bruch|\,\, {{op:Bruch| 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44| 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \,\, | {{op:Bruch| 49 \cdot 48 \cdots 44| 6 \cdot 5 \cdots 1}} }} || {{op:Bruch| 6 \cdot 5| 49 \cdot 48}} || {{op:Bruch| 5| 49 \cdot 8}} || {{op:Bruch| 5| 392}} || 0,012755102 |SZ=. }} Die Produktwahrscheinlichkeit der beiden einzelnen Ereignisse ist hingegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 6 | 49}} \cdot {{op:Bruch| 6 | 49}} || {{op:Bruch| 36| 2401}} || 0,014993753... || || |SZ=. }} Die Ereignisse sind also nicht unabhängig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 47rs4buy6wjyxvs32kp8vmz506vftu9 0 90698 1100050 1085154 2026-06-17T07:12:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100050 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto eine bestimmte Zahl, sagen wir die {{math|term= 31 |SZ=,}} unter der Bedingung gezogen wird, dass auch eine bestimmte andere Zahl, sagen wir die {{math|term= 17 |SZ=}} gezogen wird. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|P(17,31) | P(17)}} || {{op:Bruch | {{op:Bruch| 5| 392}} | {{op:Bruch| 6 | 49}} }} || {{op:Bruch| 245 | 2352 }} || {{op:Bruch| 5 | 48 }} || 0,1041666 ... || |SZ=, }} wobei die Wahrscheinlichkeitsberechnungen in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |SZ= }} durchgeführt wurden. Dies ist kleiner als {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 6 | 49}} || 0,12244897 ... || || || |SZ=. }} Wenn man also weiß, dass eine bestimmte Zahl gezogen wird, so reduziert sich die Wahrscheinlichkeit, dass zugleich eine bestimmte andere Zahl gezogen wird. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1uwxxx7gtwav86zrv4bgavum0qtkqpe 0 90951 1100098 1085202 2026-06-17T07:20:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100098 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es wurde zehnmal eine faire Münze geworfen und es sei bekannt, dass mindestens fünfmal dabei Kopf fiel. Wie hoch ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf Kopf war? Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse {{math|term= B |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens fünfmal Kopf| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der erste Wurf ist Kopf| |ISZ=|ESZ= }} berechnen. Unter den {{math|term= 2^{10} |SZ=}} möglichen Wurfkombinationen gibt es {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Binomialkoeffizient| 10| 5}} + {{op:Binomialkoeffizient| 10| 6}} + {{op:Binomialkoeffizient| 10| 7}} + {{op:Binomialkoeffizient| 10| 8}} + {{op:Binomialkoeffizient| 10| 9}} + {{op:Binomialkoeffizient| 10| 10}} || 252 + 210 +120+ 45 + 10+1 || 638 || || |SZ= }} Kombinationen, in denen zumindest fünf Kopfwürfe auftreten. Unter diesen müssen wir die Anzahl der Kombinationen zählen, in denen der erste Wurf Kopf ist. Es geht also um die Anzahl von {{mathl|term= B \cap E |SZ=.}} Diese Menge kann man so charakterisieren, dass der erste Wurf Kopf ist und dass es unter den neun weiteren Würfen zumindest vier Kopfwürfe gibt. Die Anzahl dieser Menge ist somit {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Binomialkoeffizient| 9 | 4}} + {{op:Binomialkoeffizient| 9 | 5}} + {{op:Binomialkoeffizient| 9 | 6}} + {{op:Binomialkoeffizient| 9 | 7}} + {{op:Binomialkoeffizient| 9 | 8}} + {{op:Binomialkoeffizient| 9 | 9}} || 126 + 126 +84 + 36 + 9 +1 || 382 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display | P(E {{|}} B) || {{op:Bruch|P(E \cap B)|P(B)}} || {{op:Bruch| \,\, {{op:Bruch| 382 | 2^{10} }} \, \, | {{op:Bruch| 638 | 2^{10} }} }} || {{op:Bruch| 382 | 638 }} || {{op:Bruch| 191 | 319 }} | 0,598746 ... |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdpmbvggm99guw5059k8br3f2cre5u0 0 90960 1100100 1085203 2026-06-17T07:20:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100100 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es werde eine Münze {{math|term= n |SZ=-}}mal hintereinander geworfen. Wir interessieren uns für die Ereignisse {{math|term= E_i |SZ=,}} dass sich das Ergebnis vom {{math|term= i-1 |SZ=-}}ten zum {{math|term= i |SZ=-}}ten Wurf ändert {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=i=2 {{kommadots}} n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Sind diese Ereignisse vollständig unabhängig? Das ist nicht so unmittelbar klar, da ja {{math|term= E_i |SZ=}} und {{math|term= E_{i+1} |SZ=}} beide auf den {{math|term= i |SZ=-}}ten Wurf Bezug nehmen. Trotzdem sind diese Ereignisse vollständig unabhängig. Es sei dazu {{ Relationskette | 2 | \leq | i_1 | < | i_2 |< \ldots < | i_r | \leq |n |SZ= }} fixiert. Ein Wechsel an der {{math|term= i |SZ=-}}ten Stelle {{ Zusatz/Klammer |text=verglichen zum Vorgängerwurf| |ISZ=|ESZ= }} hat die Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=.}} Wenn {{math|term= E_i |SZ=}} gelten soll, so ist der {{math|term= i |SZ=-}}te Würfelwurf durch das Ergebnis des {{math|term= (i-1) |SZ=-}}ten Würfelwurfs festgelegt. Wenn das Ereignis {{mathl|term= E_{i_1 } \cap E_{i_2 } {{capdots}} E_{i_r} |SZ=}} gelten soll, so gibt es keinerlei Bedingung an den Stellen {{math|term= i |SZ=}} mit {{ Relationskette |i |\neq|i_j || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=,}} während dadurch an den Stellen {{math|term= i_j |SZ=}} alles fixiert ist. Somit gibt es {{mathl|term= 2^{n-r} |SZ=}} günstige Kombinationen für dieses Durchschnittsereignis. Seine Wahrscheinlichkeit ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 2^{n-r}| 2^n}} || {{op:Bruch| 1 | 2^r}} || {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} |}}^r || || |SZ=, }} was mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten übereinstimmt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der vollständigen Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cv2lk8e94md91wq97qq5gq10eo0k3w1 0 90971 1100385 1085515 2026-06-17T08:07:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100385 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu {{math|term= 98 {{Prozent|}} |SZ=.}} Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu {{math|term= 99 {{Prozent|}} |SZ=.}} Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt {{mathl|term= 0,1 {{Prozent}} |SZ=.}} Eine Person geht zum Arzt und lässt sich testen, das Ergebnis des Tests ist positiv, der Virus ist laut Test vorhanden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die getestete Person wirklich den Virus besitzt? Es sei {{math|term= V |SZ=}} das Ereignis, den Virus zu haben, und {{math|term= T |SZ=}} das Ereignis, dass der Test den Virus diagnostiziert. Gefragt ist also nach der bedingten Wahrscheinlichkeit von {{math|term= V |SZ=}} unter der Bedingung {{math|term= T |SZ=,}} also {{mathl|term= P(V{{|}}T) |SZ=,}} wobei die Wahrscheinlichkeiten {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \neg|SZ=}} bedeutet hier die Negation des Ereignisses| |ISZ=|ESZ= }} {{Math/display|term= P(V)=0,001, \, P(T{{|}}V) =0,98 ,\, P(T {{|}} \neg V)=0,01 |SZ=}} bekannt sind. {{ Faktlink |Präwort=Die|Formel von Bayes|Faktseitenname= Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bayessche Formel/Fakt |Nr= |SZ= }} liefert in diesem Fall {{ Relationskette/align | P( V {{|}} T ) || {{op:Bruch|P(V) \cdot P( T {{|}} V ) | P(V) \cdot P(T {{|}} V ) + P( \neg V) \cdot P( T {{|}} \neg V ) }} || {{op:Bruch| 0,001 \cdot 0,98 | 0,001 \cdot 0,98 + 0,999 \cdot 0,01}} || {{op:Bruch| 0,00098 | 0,00098 + 0,00999 }} || {{op:Bruch| 0,00098 | 0,01097 }} || 0,0893345... |SZ=. }} Obwohl sich die Zuverlässigkeit des Tests recht gut anhört, haben doch nur {{math|term= 9 {{Prozent|}} |SZ=}} der positiv getesteten Personen wirklich den Virus. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} al0eucre8ls6cikeie4i0kiyl9novos 0 91593 1100085 1085192 2026-06-17T07:17:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100085 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das durch die (multiplikativ geschriebenen) Gleichungen {{ Math/display|term= Z^2 =XY,\, X^2 =X, \, Y^2=Y |SZ= }} gegebene kommutative Monoid. Es ist nicht kürzbar und auch nicht torsionsfrei, da {{ Relationskette/display |Z^2 || XY ||(XY)^2 || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette/display |Z |\neq|XY || || || |SZ= }} ist. Die kombinatorischen Primideale sind {{ Math/display|term= (\infty), (X,Z), (Y,Z), (X,Y,Z) |SZ=, }} die kombinatorische Dimension ist {{math|term= 2 |SZ=}} und das punktierte Spektrum wird von {{mathl|term= D(X) |SZ=}} und {{mathl|term= D(Y) |SZ=}} überdeckt mit dem Durchschnitt {{ Relationskette/display | D(X) \cap D(Y) || D(XY) || D(Z) || || |SZ=. }} Wir bestimmen den Picard-Cech-Komplex für die Einheiten zu dieser Überdeckung. Es ist {{ Relationskette/display |M_X || \langle Z \rangle / ( Z^4 {{=}} Z^2) || || || |SZ=, }} da zunächst aus {{ Relationskette |X^2 || X || || || |SZ= }} sofort {{ Relationskette |X || 1 || || || |SZ= }} folgt, wenn {{math|term= X |SZ=}} eine Einheit ist. Damit ist {{ Relationskette |Z^2 || Y || || || |SZ= }} und man kann {{math|term= Y |SZ=}} eliminieren und aus {{ Relationskette |Y^2 || Y || || || |SZ= }} ergibt sich die angegebene Gleichung. Entsprechend ist {{ Relationskette/display |M_Y || \langle Z \rangle /(Z^4 {{=}} Z^2) || || || |SZ=. }} Diese Monoide sind positiv, verfügen also außer der {{math|term= 1 |SZ=}} über keine Einheiten {{ Zusatz/Klammer |text=obwohl es Nenneraufnahmen sind| |ISZ=|ESZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/display |M_Z || \langle Z \rangle /(Z^2 {{=}} 1 ) || || || |SZ=. }} Daher ist {{math|term= Z \neq 1 |SZ=}} eine Einheit in {{math|term= M_Z|SZ=}} und der Picard-Cech-Komplex ist {{ Zusatz/Klammer |text=additiv geschrieben| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \oplus 0 \longrightarrow {{op:Zmod| 2}} |SZ=. }} Das bedeutet, dass {{math|term= Z |SZ=}} eine nichttriviale Kohomologieklasse in {{mathl|term= H^1(D(X,Y),{ \mathcal O}^\times) = \operatorname{Pic}^\times M |SZ=}} definiert. Insbesondere gibt es nichttriviale Geradenbündel über dem punktierten kombinatorischen Spektrum. Dagegen ist für einen beliebigen Körper {{math|term= K |SZ=}} die lokale Picardgruppe des Monoidringes {{mathl|term= K[M] |SZ=}} trivial, da diese Ringe nulldimensional sind. Für einen {{math|term= K |SZ=-}}wertigen Punkt besitzt nämlich {{math|term= X |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso {{math|term= Y |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} die möglichen Werte {{math|term= 0,1 |SZ=}} und {{math|term= Z |SZ=}} die möglichen Werte {{mathl|term= -1,0,1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Punkte sind {{mathl|term= (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (1,1,1), (1,1,-1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die endlich erzeugte {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{mathl|term= K[M] |SZ=}} besitzt also nur endlich viele Punkte und ist somit nulldimensional. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ieed8h45ty0zgloa73v6ziddhhx676g 0 91820 1100084 1085191 2026-06-17T07:17:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100084 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem durch {{ Relationskette/display | XY || Z^ 2 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Monoidring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} wird der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= \Omega_{R/K} |SZ=}} durch die Differentiale {{mathl|term= dx,dy,dz|SZ=}} erzeugt mit der einzigen Relation {{ Relationskette/display | xdy +ydx || 2z dz || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/align | \frac{z}{x} dx || \frac{zy}{z^2} dx || \frac{y}{z} dx || \frac{1}{z} {{makl| -xdy +2zdz |}} || - \frac{x}{z} dy + 2 dz || - \frac{xz}{z^2} dy + 2 dz || - \frac{z}{y} dy + 2 dz |SZ= }} kann man die rationale Differentialform {{mathl|term= \frac{z}{x} dx|SZ=}} mit Nenner {{math|term= x |SZ=}} und mit Nenner {{math|term= y |SZ=}} schreiben, es handelt sich also um eine Differentialform, die auf dem punktierten Spektrum {{mathl|term= D(x,y) |SZ=}} definiert ist, also um eine Zariski-Differentialform. Dies ist keine Kähler-Differentialform, wie man auf {{math|term= R_x|SZ=}} sieht. Es ist {{ Relationskette |R_x || K[x,x^ {-1}, z] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | y || \frac{z^2}{x} || || || |SZ= }} und der Modul der Kähler-Differentiale ist {{ Relationskette/display |\Omega_{R_x/K} || R_x dx \oplus R_x dz || || || |SZ=. }} Der globale Modul der Kähler-Differentiale ist darin gleich dem von {{mathl|term= dx,dz|SZ=}} und {{ Relationskette/display |dy || d {{makl| \frac{z^2}{x} |}} || -\frac{z^2}{x^2}dx + 2 \frac{z}{x} dz || || |SZ= }} erzeugten {{math|term= R |SZ=-}}Untermodul, wozu {{mathl|term= \frac{z}{x} dx |SZ=}} nicht gehört. Wenn man mit der gleichen Operation arbeitet, aber {{ Math/display|term= X=V^2-U^2,\, Y=2UV,\, Z= {{imaginäre Einheit|}} {{makl| U^2+V^2 |}} |SZ= }} als erzeugende Invarianten nimmt, so erhält man {{ Zusatz/Klammer |text=indische Formeln| |ISZ=|ESZ= }} die Relation {{ Relationskette/display | X^2 +Y^2+Z^2 || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik Z^2-XY |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2002k5bcszgr39qgzqyjhq9s48rlqp 0 93200 1100627 1085716 2026-06-17T10:37:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100627 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= {{{A|A}}} |SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{{R|R}}} |Algebra| |Kontext=Ring| |SZ=, }} die als {{ Relationskette | {{{A|A}}} || {{{R|R}}} [X_1 {{kommadots|}} X_n]/(F_1 {{kommadots|}} F_k) || || || |SZ= }} gegeben sei. Dann ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} {{ Relationskette/display | d F_j || {{op:Bruch| \partial F_j | \partial X_1 }} dX_1 {{plusdots|}} {{op:Bruch| \partial F_j | \partial X_n }} dX_n || || || |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine {{ Definitionslink |exakte Sequenz| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{{A|A}}} ^k \stackrel{M}{\longrightarrow} {{{A|A}}} ^n \longrightarrow {{op:Kählermodul| {{{A|A}}} | {{{R|R}}} }} \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei {{ Relationskette/display | M || {{Op:Matrix33| {{op:Partielle Ableitung|F_1 | X_1 |}} | \ldots | {{op:Partielle Ableitung|F_{k}|X_1 |}} | \vdots | \ddots | \vdots | {{op:Partielle Ableitung|F_1 | X_n |}} | \ldots | {{op:Partielle Ableitung|F_{k}|X_n |}} |}} || || || |SZ= }} die transponierte {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Auswertung an einem Punkt| |ISZ=|ESZ= }} ist. Die Standardvektoren {{math|term= e_j |SZ=}} werden auf {{mathl|term= dX_j |SZ=}} abgebildet und die Spaltenvektoren {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung| F_j | X_1 |}} | \vdots| {{op:Partielle Ableitung| F_j | X_n |}} |}} |SZ=,}} die die Nullelemente {{mathl|term= dF_j |SZ=}} repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jy1ndkjvf94pvqz2lvk7ucvu2zvfylc 0 94672 1100016 1036745 2026-06-17T07:06:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100016 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} im {{math|term= K^n |SZ=}} besteht die {{ Definitionslink |Dualbasis| |Kontext=| |SZ= }} aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich {{ Relationskette |e_i^* || p_i || || || |SZ= }} mit {{ Abbildung/display |name=p_i | K^n | K | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | x_i |SZ=. }} Sie heißt die {{Stichwort|Standarddualbasis|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ah435zpxko96kq4i3l607q3c9btzaos 0 94673 1100366 1085496 2026-06-17T08:04:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100366 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 8 | 6 | 5}} , {{op:Spaltenvektor| 4 | 7 | -3}} |}} | \subseteq | \R^3 || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Orthogonalraum| |Kontext=Dualraum| |SZ= }} zu {{math|term= U |SZ=}} besteht aus allen {{ Definitionslink |Linearformen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |\R^3| \R || |SZ= }} mit {{ Relationskette |f {{op:Spaltenvektor| 8 | 6 | 5}} || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |f {{op:Spaltenvektor| 4 | 7 | -3}} || 0 || || || |SZ=. }} Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| a | b |c}} |SZ=}} gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems {{ Relationskette/display | 8a +6b+5c || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 4a +7b-3c || 0 || || || |SZ=. }} Der Lösungsraum ist {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonalraum|U}} || {{Mengebed| s {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 17| 4}} | 1 | -8 |}} |s \in K}} || || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0fq9lzan3j3j7wgj0c71clupai3o6z 0 95133 1100298 1085425 2026-06-17T07:53:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100298 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Wir betrachten über {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem punktierten Spektrum davon| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | R || K[X,Y,Z]/(XYZ) || || || |SZ= }} die durch die Erzeuger {{mathl|term= e_1,e_2,f_1,f_2,g_1,g_2 |SZ=}} und die Relationen {{ Relationskette/display | y \cdot e_1 || x \cdot f_1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | y \cdot e_2 || x \cdot f_2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | z \cdot f_1 || y \cdot g_1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | z\cdot f_2 || y \cdot g_2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |z \cdot e_1 || x \cdot g_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |z \cdot e_2 || x \cdot g_1 || || || |SZ= }} gegebene {{math|term= R |SZ=-}}Algebra {{math|term= B |SZ=.}} Man beachte, dass im letzten Gleichungspaar die Indexreihenfolge vorne und hinten vertauscht ist. Es sei {{ Relationskette/display |U || D(x,y,z) | \subseteq | {{op:Spek| R |}} || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass die Einschränkung von {{mathl|term= {{op:Spek| B |}} |SZ=}} ein Vektorbündel vom Rang zwei über {{math|term= U |SZ=}} ist. Auf {{mathl|term= D(x) |SZ=}} kann man mit dem ersten und dem dritten Gleichungspaar nach {{mathl|term= f_1,f_2,g_2,g_1 |SZ=}} auflösen und es verbleiben die Erzeuger {{mathl|term= e_1,e_2 |SZ=.}} Bei diesen Substitutionen wird aus der ersten Gleichung des mittleren Gleichungspaars {{ Relationskette/display |z f_1 || z {{op:Bruch| y e_1 | x}} || y {{op:Bruch|z e_2 | x}} || y g_1 || |SZ=. }} Dabei ist die mittlere Gleichung aber automatisch erfüllt, da ja {{ Relationskette | xyz || 0 || || || |SZ= }} ist. Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung. Somit ist nach der Nenneraufnahme an {{math|term= x |SZ=}} das mittlere Gleichungspaar überflüssig und es ist {{ Relationskette/display |B_x || R_x[e_1,e_2] || || || |SZ=. }} Ebeneso sind {{mathl|term= B_y|SZ=}} und {{math|term= B_z|SZ=}} Polynomalgebren in zwei Variablen über der Basis. Wenn man auf {{math|term= D(x) |SZ=}} als Erzeuger {{mathl|term= {{op:Bruch|e_1 | x}}, {{op:Bruch|e_2 | x}} |SZ=,}} auf {{math|term= D(y) |SZ=}} als Erzeuger {{mathl|term= {{op:Bruch|f_1 | y}}, {{op:Bruch|f_2 | y}} |SZ=}} und auf {{math|term= D(z) |SZ=}} als Erzeuger {{mathl|term= {{op:Bruch|g_1 |z}}, {{op:Bruch|g_2 |z}} |SZ=}} nimmt, so gilt auf den Zweierdurchschnitten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|g_1 |z}} || {{op:Bruch|f_1 | y}} || {{op:Bruch|e_1 | x}} || {{op:Bruch|g_2 |z}} || |SZ=, }} wobei die {{Anführung|paradoxe}} Gleichung {{ Relationskette | {{op:Bruch|g_1 |z}} || {{op:Bruch|g_2 |z}} || || || |SZ= }} nur auf der leeren Menge {{mathl|term= D(xyz) |SZ=}} gilt, also gegenstandslos ist. Die Übergangsmatrizen bezüglich dieser Erzeuger sind zweimal die Einheitsmatrix und einmal die Transpositionsmatrix. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2=Theorie der simplizialen Komplexe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8pznc4uqggz7cuw80tqswv1xmnhhxx8 0 96450 1099694 1084789 2026-06-17T06:15:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099694 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Relationskette |Z^2 || XY || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette/display |R || K[X,Y,Z]/(Z^2-XY) || || || |SZ=. }} Der Ring der Hauptteile ist durch {{ Math/display|term= R {{tensor|K}} R |SZ= }} gegeben. Wenn man die Variablen für die zweite Komponente als {{mathl|term= \tilde{X}, \tilde{Y} , \tilde{Z} |SZ=}} ansetzt, so ist dies {{ Math/display|term= K[ X,Y,Z, \tilde{X}, \tilde{Y} , \tilde{Z}]/(Z^2-XY, \tilde{Z}^2- \tilde{X} \tilde{Y} ) |SZ=. }} Mit den Festlegungen {{ Math/display|term= A= \tilde{X} -X, \, B= \tilde{Y} -Y \text{ und } C= \tilde{Z}-Z |SZ= }} kann man dies als {{ Math/display|term= R[A,B,C] /(C^2+2ZC-AB-AY-BX) |SZ= }} schreiben. Die Ideale, die man rausdividieren muss, sind {{mathl|term= (A,B,C)^{n+1} |SZ=.}} Somit sind die {{ Zusatz/Klammer |text=Vergleichsmonome| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 1,A,B,C,A^2,AB,AC,B^2,BC,C^2, \ldots |SZ= }} Erzeuger über {{math|term= R |SZ=.}} Für die Modulbeschreibung muss man die Ringgleichung mit den Monomen multiplizieren. Es ergibt sich eine Darstellung {{ Math/display|term= \bigoplus_{ {{op:Grad Polynom| \mu|}} \leq n -1 } R A^\mu \stackrel{M} { \longrightarrow }\bigoplus_{ {{op:Grad Polynom| \lambda|}} \leq n } R A^\lambda \longrightarrow P^n_{R {{|}} K} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Für {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix52|| 1| 1 | 0 | A | -Y| B | -X| C | 2Z|}} |SZ=. }} Für {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ Zusatz/Klammer |text=in der {{math|term= \mu|SZ=-}}Spalte steht die Gleichung multipliziert mit {{math|term= A^\mu|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{Op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2| |ux=-Y |uy=-X |uz=2Z |uxy=-1 |uzz=1 |SZ=. }} }} Ein Differentialoperator ist eine Zuordnung {{mathl|term= A^\nu \mapsto a_\nu \in R |SZ=}} mit der Bedingung, dass dieses Tupel ein Element des Kernes von links der Matrix ist. Man sucht also nach {{math|term= \nu|SZ=-}}Tupeln, die eine lineare Abhängigkeit der Zeilen ausdrücken. Damit der Operator unitär ist, muss zumindest ein Koeffizient eine Einheit sein. Dies bedeutet wiederum die Frage, ob man eine Zeile als Linearkombination der anderen schreiben kann. Für die erste Zeile ist das direkt klar, da natürlich durch {{mathl|term= (1,0,0,0 \ldots, 0,0) |SZ=}} eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Nichttriviale Abhängigkeiten sind {{ Math/display|term= (0,1,0,0,4X,0,2Z,0,0,Y) |SZ=, }} und {{ Math/display|term= (0,0,1,0,0,0,0,4Y,2Z,X) |SZ= }} und {{ Math/display|term= (0,0,0,1,0,4Z,2X,0,2Y,2Z) |SZ=. }} Für {{ Relationskette |n || 3 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3|ux=-Y|uy=-X|uz=2Z|uxx=0|uxy=-1|uxz=0|uyy=0|uyz=0|uzz=1}} |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 4/Ergänzung|ux=-Y|uy=-X|uz=2Z|uxx=0|uxy=-1|uxz=0|uyy=0|uyz=0|uzz=1}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8dy6ycgnlxlt03xnripz0o19fsizkz0 0 96472 1099718 1084830 2026-06-17T06:19:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099718 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette/display |F || aX^2+bY^2+cZ^2+dXY+eXZ+fYZ || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 2aX+dY+eZ |uy= 2bY+dX+fZ |uz=2cZ +eX+fY |uxx= a |uxy=d |uxz= e |uyy= b |uyz= f |uzz= c }} }} Eine Berechnung mit einem Computer-Algebra-System (Dank an Jonathan) zeigt, dass {{ Math/display|term= {{op:Matrix11 1| 0 | -4abc-def+cd^2+be^2+af^2| 0 | 0 |(-8abc+4cd^2+4be^2-4def+2af^2)X +(4bcd-df^2)Y+(4bce-ef^2)Z |(-4acd+2aef)X +(-8abc+2be^2-def+2af^2)Y+(-2cde+e^2f)Z |(-4abe+2adf)X+ (-2bde+d^2f)Y +(-8abc+2cd^2-def+2af^2)Z |(8a^2c-2ae^2)X +(4acd-de^2)Y+(4ace-e^3)Z |(2ade-4a^2f)X +(d^2e-2adf)Y+(de^2-2aef)Z |(8a^2b-2ad^2)X +(4abd-d^3)Y+(4abe-d^2e)Z|}} |SZ= }} eine Relation zwischen den Zeilen ist. Entsprechende Relationen gibt es in Bezug auf die dritte und vierte Zeile. Wenn man die quadratische Form mit der Gramschen Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| a |d/2|e/2|d/2| b |f/2|e/2|f/2| c |}} |SZ= }} beschriebt, so ist die erste Zahl in der Relation die Determinante {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Skalierung| |ISZ=|ESZ= }} dieser Matrix. Ihr Verschwinden charakterisiert den Entartungsfall, dass die projektive Lösungsmenge eine Gerade enthält. {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 2aX+dY+eZ |uy= 2bY+dX+fZ |uz=2cZ +eX+fY |uxx= a |uxy=d |uxz= e |uyy= b |uyz= f |uzz= c }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hp24kb6m01u8rw32et14hw7io8jm69n 0 96480 1100138 1085241 2026-06-17T07:26:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100138 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 0 | 0| 1 | 1| 0 | 0| 0 | 1 | 0 |}} |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= K {{op:Spaltenvektor| 1 | 1| 1}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Eigenraum| |Kontext=| |SZ= }} zum Eigenwert {{math|term= 1 |SZ=,}} ferner ist {{ Relationskette/display |U || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0}}, {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1}} |}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |invarianter Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der sich über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Permutationsmatrix/Zyklus/Durchnummeriert/C/Eigentheorie/Fakt |Nr= |SZ= }} in weitere Eigenräume zerlegen lässt| |ISZ=|ESZ=. }} Bezüglich der angegebenen Basis besitzt die Einschränkung der linearen Abbildung auf {{math|term= U |SZ=}} die beschreibende Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 0 | -1| 1 | -1}} |SZ=, }} somit ist das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} davon gleich {{ Relationskette/display |X(X+1)+1 || X^2+X+1 || || || |SZ=. }} Dies ist zugleich das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=Matrix| |SZ= }} der Einschränkung. Das Minimalpolynom zur Permutationsmatrix ist {{mathl|term= X^3-1 |SZ=,}} und in der Tat ist {{ Relationskette/display |X^3-1 || (X-1) (X^2+X+1) || || || |SZ= }} in Übereinstimmung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Teilbarkeit/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3=Theorie der Permutationsmatrizen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 00yxizc69jzgqw9ri4zuel8ljyn7vhd 0 96514 1100556 1085841 2026-06-17T10:27:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100556 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In der Matrix steht an der Stelle {{mathl|term= ( \lambda, \mu) |SZ=}} der Eintrag {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 |( \lambda - \mu)!}} D^{ \lambda - \mu} ( F) |SZ=. }} In der {{math|term= \lambda|SZ=-}}Zeile steht demnach {{ Math/display|term= \sum_{\mu < \lambda} {{op:Bruch| 1 |( \lambda - \mu)!}} D^{ \lambda - \mu} ( F) A^\mu |SZ=. }} Dies sind global beschränkte Ausdrücke, da {{mathl|term= D^{\lambda- \mu}(F) |SZ=}} oberhalb des Grades von {{math|term= F |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Der Ausdruck zu {{ Relationskette | \mu || \lambda || || || |SZ= }} ist {{math|term= 0 |SZ=,}} da man auf die Grundgleichung {{math|term= F |SZ=}} abzieht. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cg8dzgrnzete6x7jgpbf3393fx69nzy 0 96620 1100135 1085239 2026-06-17T07:26:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100135 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 0 | 0| 1 | 1| 0 | 0| 0 | 1 | 0 |}} |SZ= }} über {{math|term= \R |SZ=,}} das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} || X^3-1 || (X-1) {{makl| X^2+X+1 |}} || P\cdot Q || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=Polynom| |SZ= }} sind. Wir überprüfen {{ Faktlink |Faktseitenname= Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} an diesem Beispiel. Es ist {{ Relationskette/display | P(M) || M - E_3 || {{op:Matrix33| -1| 0 | 1 | 1| -1| 0 | 0| 1 | -1|}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Kern|P(M)|}} || {{op:Eigenraum| M | 1}} || \R {{op:Spaltenvektor| 1 | 1| 1}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Q(M) || {{op:Matrix33| 0 | 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 1| 0 | 0|}} + {{op:Matrix33| 0 | 0| 1 | 1| 0 | 0| 0 | 1 | 0 |}} + {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0| 0 | 1 |}} || {{op:Matrix33| 1 | 1| 1 | 1| 1 | 1| 1 | 1| 1 |}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Kern|Q(M)|}} || {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0}}, {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1}} |}} || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | \R^3 || \R {{op:Spaltenvektor| 1 | 1| 1}} \oplus {{op:Span| {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0}}, {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1}} |}} || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/align | P(M) {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0}} || {{op:Matrix33| -1| 0 | 1 | 1| -1| 0 | 0| 1 | -1|}} {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0}} || {{op:Spaltenvektor| -1| 2 | -1}} || - {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0}} + {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1}} || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | P(M) {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1}} || {{op:Matrix33| -1| 0 | 1 | 1| -1| 0 | 0| 1 | -1|}} {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1}} || {{op:Spaltenvektor| -1| -1| 2}} || - {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0}} -2 {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1}} || |SZ=, }} woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von {{math|term= P(M) |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Kern|Q(M)|}} |SZ=}} bijektiv ist. Die Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=}} aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Polynom/Bezout/X^2+X+1 und X-1/Beispiel |Nr= |SZ= }} führt zur Matrixgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Matrix33| 1 | 0 | 0| 0 | 1 | 0 | 0| 0 | 1 |}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:Matrix33| 1 | 1| 1 | 1| 1 | 1| 1 | 1| 1 |}} - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:Matrix33| 2 | 0 | 1 | 1| 2 | 0 | 0| 1 | 2 |}} {{op:Matrix33| -1| 0 | 1 | 1| -1| 0 | 0| 1 | -1|}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8g6jmhx0dzp5dll15ffzqyxh9ob38f3 0 96623 1100142 1085246 2026-06-17T07:27:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100142 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten den {{ Definitionslink |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=Polynom| |SZ= }} für die beiden Polynome {{ mathkor|term1= X^2+X+1 |und|term2= X-1 |SZ= }} aus {{math|term= \Q[X] |SZ=}} berechnen. Dazu führt man die {{ Definitionslink |Division mit Rest| |Kontext=Polynomring| |SZ= }} durch und erhält {{ Relationskette/display | X^2+X+1 || {{makl| X +2 |}} {{makl| X- 1 |}} + 3 || || || |SZ=. }} Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. Eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | 1 || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| X^2+X+1 |}} - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| X +2 |}} {{makl| X- 1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6r3ukpjbtbmr490a5ce3ou8lkntu36n 0 96718 1099885 1035855 2026-06-17T06:45:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099885 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette/display |F || X^2+Y^2+Z^2 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz=2Z |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= 1 }} }} Ein Element des Kernes ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | 1 | 0 | 0| 2X| 2Y| 2Z| -2X| 0 | -2X|}} |SZ=, }} der zugehörige Operator ist {{ Math/display|term= \partial_X + X \partial_X^2 + 2 Y \partial_X \partial_Y+ 2Z \partial_X \partial_Z -X \partial_Y^2 -X \partial_Z^2 |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 2X |uy= 2Y |uz=2Z |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= 1 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fevz3w397x3ymm0liidqoc1ch7fbntb 0 96821 1100678 1085772 2026-06-17T10:45:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100678 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Der affine Graph {{mathl|term= V(YH-G) |SZ=}} einer {{ Definitionslink |rationalen Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G/H|SZ=}} wird durch {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affine Gerade| K |}} \supseteq D(H) | {{op:Affine Ebene| K |}} | x| {{op:Zeilenvektor| x | {{op:Bruch|G(x)|H(x)}} }} {{=|}} {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| xH(x)|H(x)}} | {{op:Bruch|G(x)|H(x)}} }} |SZ=, }} parametrisiert. Wir wenden darauf {{ Faktlink |Faktseitenname= Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt |Nr= |SZ= }} an. Bei {{ Relationskette/display | d || {{op:Grad Polynom| G |}} | > | {{op:Grad Polynom| H |}} || e || || |SZ= }} ist die projektive Parametrisierung gleich {{ Abbildung/display |name= | {{op:Projektive Gerade| K |}} | {{op:Projektive Ebene| K |}} |(x,y)| {{op:Zeilenvektor| {{op:Homogenisierung| H |}}(x,y) x y^{d-e-1} | {{op:Homogenisierung| G |}}(x,y) | {{op:Homogenisierung| H |}}(x,y) y^ {d-e} }} |SZ=, }} bei {{ Relationskette/display | d || {{op:Grad Polynom| G |}} | \leq | {{op:Grad Polynom| H |}} || e || || |SZ= }} ist die projektive Parametrisierung gleich {{ Abbildung/display |name= | {{op:Projektive Gerade| K |}} | {{op:Projektive Ebene| K |}} |(x,y)| {{op:Zeilenvektor| {{op:Homogenisierung| H |}}(x,y) x | {{op:Homogenisierung| G |}}(x,y) y^{e-d+1} | {{op:Homogenisierung| H |}}(x,y) y }} |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtax98dkiwakyn9zrk9fl16txfken2r 0 96831 1100286 1085416 2026-06-17T07:51:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100286 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | F,G | \in | K[X] || || || |SZ= }} verschiedene Polynome vom Grad {{ Relationskette | d | \geq | e | \geq | 1 || || |SZ= }} und seien {{ Relationskette/display | C || V_+ {{makl| YZ^{d-1} - {{op:Homogenisierung| F |}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | D || V_+ {{makl| YZ^{e-1} - {{op:Homogenisierung| G |}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |projektiven Abschlüsse| |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=abb| |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Schnittpunkte von {{ mathkor|term1= C |und|term2= D |SZ= }} in {{ Relationskette/display | {{op:Affine Ebene| K |}} | \cong | D_+(Z) || || || |SZ= }} sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie und ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizitäten| |Kontext=| |SZ= }} gemäß {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Schnittmultiplizität/Graphen/Differenz/Aufgabe |Nr= |SZ= }} bestimmen, indem man die Nullstellen von {{mathl|term= F-G |SZ=}} bestimmt. Dabei gibt es maximal {{math|term= d |SZ=}} Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | d | > | e || || || |SZ= }} ist die Multiplizitätensummen genau gleich {{math|term= d |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Relationskette |e | \geq | 2 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |SZ= }} gehört zu beiden Kurven auf {{mathl|term= V_+(Z) |SZ=}} noch der Punkt {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der der {{math|term= y |SZ=-}}Achse entspricht| |ISZ=|ESZ=, }} dort muss also eine {{Anführung|hohe}} Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |SZ= }} zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in {{ Relationskette/display | D_+(Y) | \cong| {{op:Affine Ebene| K |}} || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= Z^{d-1} - {{op:Homogenisierung| F |}} (X,Z) |bzw.|term2= Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung| G |}} (X,Z) |SZ=. }} Wir müssen die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} des {{ Definitionslink |Restklassenrings| |SZ= }} {{ Math/display|term= K[X,Z]_{(X,Z)}/ {{makl| Z^{d-1} - {{op:Homogenisierung| F |}} (X,Z), Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung| G |}} (X,Z) |}} |SZ= }} berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu {{ Math/display|term= K[X,Z]_{(X,Z)}/ {{makl| {{op:Homogenisierung| F |}} (X,Z) - Z^{d-e} {{op:Homogenisierung| G |}} , Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung| G |}} (X,Z) |}} |SZ=. }} Die linke Gleichung ist homogen vom Grad {{math|term= d |SZ=}} und {{math|term= X^d|SZ=}} kommt darin vor {{ Zusatz/Klammer |text=es sei nun {{ Relationskette/k | d | > | e || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} sodass wir damit {{math|term= X^d |SZ=}} durch eine Linearkombination von Monomen vom Grad {{math|term= d |SZ=}} mit kleinerem Exponenten zu {{math|term= X |SZ=}} ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf {{ Relationskette/display | Z^{e-1} {{makl| 1- \beta_e Z - \beta_{e-1} X |}} || \sum_{i+j {{=}} e,\, i \geq 2} \beta_j X^iZ^j || || || |SZ=. }} Da {{mathl|term= 1- \beta_e Z^e - \beta_{e-1} X |SZ=}} in dem lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit {{math|term= Z^{e-1} |SZ=}} durch eine Linearkombination von Monomen mit kleinerem Exponenten zu {{math|term= Z |SZ=}} ausdrücken. Somit ist {{ Mathbed/display|term= X^iZ^j ||bedterm1= 0 \leq i < d ||bedterm2= 0 \leq j < e-1 |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ= }} des Restklassenrings, bestehend aus {{mathl|term= d (e-1) |SZ=}} Elementen. Die Schnittmultiplizität ist also höchstens {{mathl|term= d (e-1) |SZ=.}} Wir behaupten, dass dieses Erzeugendensystem auch eine Basis ist, und die Schnittmultiplizität in diesem Punkt gleich {{mathl|term= d (e-1) |SZ=}} ist. Das homogene Polynom {{mathl|term= {{op:Homogenisierung| F |}} (X,Z) - Z^{d-e} {{op:Homogenisierung| G |}} |SZ=}} kann man als Produkt von {{math|term= d |SZ=}} Linearformen schreiben. Das zweite Polynom {{mathl|term= Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung| G |}} (X,Z) |SZ=}} besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplizität| |Kontext=Kurve| |SZ= }} {{mathl|term= e-1 |SZ=.}} Daher ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Summenformel für Schnittmultiplizität/Fakt |Nr= |SZ= }} die Schnittmultiplizität zumindest {{mathl|term= d(e-1) |SZ=}} und daher genau {{mathl|term= d(e-1) |SZ=.}} Somit gilt {{ Relationskette | d (e-1) +d || de || || || |SZ=, }} in Übereinstimmung mit {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |SZ=. }} Man kann natürlich auch mit dem Satz von Bezout starten und damit die Schnittmultiplizität in {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} ausrechnen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c7t6i3uttslgxkuvz2q8hukg9u99uua 0 97345 1100408 1085539 2026-06-17T08:10:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100408 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette/display |F || X^2+Y^3+Z^3 || || || |SZ= }} in Charakteristik {{math|term= 2 |SZ=.}} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial X}} |}}^2 (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \partial| \partial y}} (F) || Y^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^2(F) || Y || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 6}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^3(F) || 1 || || || |SZ= }} und ebenso für {{math|term= Z |SZ=}} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z }} }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z |uyyy=1 |uzzz=1 }} |SZ=. }} Unitäre Operatoren sind (Ordnung:Operator:Zeilenelimination) {{ Math/display|term= \text{Ordnung } 0 :\, 1 :\,1 |SZ=, }} {{ Math/display|term= \text{Ordnung } 1 :\, \delta = {{op:Bruch| \partial| \partial X}} :\, A |SZ=, }} {{ Math/display|term= \text{Ordnung } 2 :\, {{op:Bruch| \partial| \partial Y}}- Y^2 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Bruch| \partial| \partial X}} \circ {{op:Bruch| \partial| \partial X}} |}} : B-Y^2A^2 \, , Z^2 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Bruch| \partial| \partial X}} \circ {{op:Bruch| \partial| \partial X}} |}} - {{op:Bruch| \partial| \partial Z}}:\, C-Z^2A^2 |SZ=, }} {{ Math/display|term= \text{Ordnung } 3 :\, {{op:Bruch| \partial| \partial X}} \circ {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} -Y^2 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 6}} {{op:Bruch| \partial| \partial X}} \circ {{op:Bruch| \partial| \partial X}}\circ {{op:Bruch| \partial| \partial X}} |}} :\, AB-Y^2A^3 |SZ=, }} {{ Math/display|term= \text{Ordnung } 3 :\, {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} \circ {{op:Bruch| \partial| \partial Z}} +Z ^2 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Bruch| \partial| \partial X}} \circ {{op:Bruch| \partial| \partial X}}\circ {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}} +Y ^2 {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Bruch| \partial| \partial X}} \circ {{op:Bruch| \partial| \partial X}}\circ {{op:Bruch| \partial| \partial Z}} |}} :\, BC+ Z^2A^2B+Y^2A^2C |SZ=. }} Die unitären Operatoren wachsen also {{mathl|term= 1/1,2/3,4/6,7/10, ...|SZ=.}} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 4/Teilergänzung |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z |uyyy=1 |uzzz=1}} |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 4/Ergänzung |ux= 0 |uy= Y^2 |uz= Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= Y |uyz= 0 |uzz= Z |uyyy=1 |uzzz=1}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9aeh7jpltt1rgpmoxd7xsqaotm0ms81 0 97481 1100410 1038588 2026-06-17T08:11:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100410 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette/display |F || X^p+Y^{p+1}+Z^{p+1} || || || |SZ= }} in Charakteristik {{math|term= p |SZ=.}} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |p!}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial X}} |}}^p (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}} (F) || Y^p || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^2 (F) || \frac{p}{2} Y^{p-1} || 0 || || |SZ=,..., }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |(p-1)!}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^{p-1} (F) || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |p!}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^p (F) || Y || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |(p+1)!}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^{p+1} (F) || 1 || || || |SZ=, }} ( {{mathl|term= p \geq 3 |SZ=}}) {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 0 |uy= Y^p |uz= Z^p |uxx= 0 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 }} }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 0 |uy= Y^p |uz= Z^p |uxx= 0 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 |uyyy=0 |uzzz=0 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5noba3d2ikz9ddr5otd14hze2my79g 0 97482 1100409 1038585 2026-06-17T08:11:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100409 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette/display |F || X^3+Y^4+Z^4 || || || |SZ= }} in Charakteristik {{math|term= 3 |SZ=.}} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 6}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial X}} |}}^3 (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} (F) || Y^3 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 3 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^2(F) || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 6}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^3(F) || Y || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 24}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^4(F) || 1 || || || |SZ=, }} und ebenso für {{math|term= Z |SZ=}} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 0 |uy= Y^3 |uz= Z^3 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 }} }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= 0 |uy= Y^p |uz= Z^p |uxx= 0 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 0 |uyz= 0 |uzz= 0 |uxxx=1 |uyyy=Y |uzzz=Z }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4yhgwe356y61oh39yzd0i1eg1h78rd 0 98492 1100669 1085763 2026-06-17T10:44:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100669 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die sonderbare Bedingung in {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Ausdrücke/Definition |SZ= }} im Quantorenfall mit der {{Anführung|Hilfsvariablen}} {{math|term= v |SZ=}} bedeutet insbesondere: Wenn in {{mathl|term= \forall x {{logprop|}} |SZ=}} keine der Variablen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} frei vorkommt, so ist die Indexmenge {{mathl|term= \{i_1 {{kommadots|}} i_r\} |SZ=}} der {{Anführung|relevanten Variablen}} leer und damit auch die Menge der {{Anführung|relevanten Terme|SZ=.}} In diesem Fall kommt {{math|term= x |SZ=}} auch nicht in dieser Menge vor und somit ist als Hilfsvariable {{ Relationskette |v || x || || || |SZ= }} zu nehmen, und es ist {{ Relationskette/display | {{logSubstitution| (\forall x {{logprop}}) |k}} || \forall x ({{logprop}} {{op:Bruch| x | x}} ) || \forall x {{logprop}} || || |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Prädikatenlogik/Substitution/x durch x/Identität/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bxx699utbwaolukjeaprzd963657di2 0 98644 1099717 1084825 2026-06-17T06:19:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099717 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nehmen wir an, wir möchten die Aussage beweisen, dass in einem jeden {{ Definitionslink |Monoid| |Kontext=| |SZ= }} das neutrale Element eindeutig bestimmt ist. Wir formalisieren diese Aussage als {{ Math/display|term= {{logprop2|}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=, }} wobei {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} die Konjunktion der zwei Monoidaxiome {{ Zusatz/Klammer |text=also Assoziativität und Existenz des neutralen Elementes| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette | {{logprop|}} | {{defeq}} |\forall z (xz {{=|}} z) \rightarrow x {{=|}} e || || || |SZ= }} ist. In {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ist {{math|term= x |SZ=}} nicht gebunden, in {{mathl|term= \forall x {{logprop|}} |SZ=}} schon. In einem mathematischen Beweis wird man sich dann ein {{Anführung|festes, aber beliebiges|}} Monoid {{math|term= M |SZ=}} {{Anführung|denken|SZ=,}} und darin ein {{Anführung|festes, aber beliebiges|}} {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} Für dieses {{math|term= x |SZ=}} beweist man dann die Aussage, dass wenn {{ Relationskette | xz || z || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |z | \in | M || || || |SZ= }} gilt, dass dann {{ Relationskette | x || e || || || |SZ= }} sein muss. Im Beweis selbst wird nicht über {{math|term= x |SZ=}} quantifiziert, dies steckt gewissermaßen in der gewählten Beliebigkeit drin. Man beweist also eher{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Unschärfe in der Begrifflichkeit ist kaum zu vermeiden, da eine formale Interpretation oder Rekonstruktion dessen, was in der mathematischen Praxis passiert, nie ganz eindeutig ist| |ISZ=.|ESZ= }} die Aussage {{ Math/display|term= {{logprop2|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ=, }} und betrachtet dies als einen Beweis für die oben notierte Version. Da {{math|term= x |SZ=}} in {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} gar nicht oder allenfalls gebunden vorkommt, ist die Ableitbarkeit beider Versionen auch prädikatenlogisch gleichwertig. Insofern spiegelt sich in der Alleinführung im Sukzedens eine wichtiger Aspekt der mathematischen Praxis. |Textart=Beispiel |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Monoide |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jk2u2qes2tkf1214xtrpl88kp26ov42 0 98672 1100078 1085180 2026-06-17T07:16:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100078 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einem vierdimensionalen {{ Definitionslink |Standard-Minkowski-Raum| |Kontext=| |SZ= }} soll etwas vom Punkt {{ Relationskette |P || {{op:Spaltenvektor|p_1 |p_2 |p_3 |r}} || || || |SZ= }} zum Punkt {{ Relationskette |Q || {{op:Spaltenvektor|q_1 |q_2 |q_3 |s}} || || || |SZ= }} gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 |t}} | {{defeq|}} | {{op:Spaltenvektor|q_1 |q_2 |q_3 |s}} - {{op:Spaltenvektor|p_1 |p_2 |p_3 |r}} || || || |SZ= }} zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn {{mathl|term= y_1^2+y_2^2+y_3^2- t^2 |SZ=}} negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|z_1 |z_2 |z_3 |u}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ - {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 |t}} | {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 |t}} }} } }} {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 |t}} || || || |SZ= }} umskalieren. Es beschreibt dann {{ Math/display|term= x \longmapsto {{op:Spaltenvektor|p_1 |p_2 |p_3 |r}} + x {{op:Spaltenvektor|z_1 |z_2 |z_3 |u}} |SZ= }} ein Bewegungsvorgang, der für {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} startet und für {{ Relationskette | x || \sqrt{ - {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 |t}} | {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 |t}} }} } || || || |SZ= }} im Punkt {{math|term= Q |SZ=}} endet und der physikalisch durchführbar ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvp1gglqo1rle5lqcunkziq9yyxqoei 0 98881 1100219 1085352 2026-06-17T07:40:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100219 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |quadratische Form| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 3 | 2}} x^2+2y^2+2xy-2yz |SZ=. }} Die zugehörige symmetrische Matrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 3 | 2}} | 1 | 0 | 1 | 2 | -1| 0 | -1| 0 |}} |SZ=. }} Wir möchten eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |SZ= }} des {{math|term= \R^3 |SZ=}} finden, bezüglich der die Form Diagonalgestalt besitzt. Dazu müssen wir die Eigenwerte {{ Zusatz/Klammer |text=Hauptwerte| |ISZ=|ESZ= }} der Matrix bestimmen. Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |SZ= }} der Matrix ist {{ Relationskette/align | {{op:Determinante| {{op:Matrix33|X-{{op:Bruch| 3 | 2}} | -1| 0 | -1|X-2| 1 | 0 | 1 | X |}} |}} || {{makl| X-{{op:Bruch| 3 | 2}} |}} {{makl| X^2-2X-1 |}} -X || X^3 - {{op:Bruch| 7 | 2}} X^2+X+ {{op:Bruch| 3 | 2}} || (X-1) {{makl| X^2 -{{op:Bruch| 5 | 2}}X- {{op:Bruch| 3 | 2}} |}} ||(X-1) (X-3) {{makl| X + {{op:Bruch| 1 | 2}} |}} |SZ=, }} die Eigenwerte sind also {{ Math/display|term= 1,3, - {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=. }} Die zugehörigen Hauptgeraden berechnen sich folgendermaßen. Zu {{ Relationskette | x || 1 || || || |SZ= }} ist der Kern der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | -1| 0 | -1| -1| 1 | 0 | 1 | 1|}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 2 | -1| 1}} |SZ=,}} ein normierter Erzeuger ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 2 | \sqrt{6} }} | -{{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} |}} |SZ=. }} Zu {{ Relationskette | x || 3 || || || |SZ= }} ist der Kern der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 3 | 2}} | -1| 0 | -1| 1 | 1| 0 | 1 | 3 |}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 2 | 3 | -1}} |SZ=,}} ein normierter Erzeuger ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 2 | \sqrt{14} }} | {{op:Bruch| 3 | \sqrt{14} }} | - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{14} }} |}} |SZ=. }} Zu {{ Relationskette | x || - {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || |SZ= }} ist der Kern der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| - 2 | -1| 0 | -1| - {{op:Bruch| 5 | 2}} | 1 | 0 | 1 | - {{op:Bruch| 1 | 2}} |}} |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | 1 | 2}} |SZ=,}} ein normierter Erzeuger ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 4 \sqrt{21} }} | {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{21} }} | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{21} }} |}} |SZ=. }} Wir bezeichnen diese Eigenvektoren mit {{mathl|term= u_1,u_2,u_3 |SZ=,}} sie bilden eine Orthonormalbasis. In den neuen Koordinaten {{mathl|term= y_1,y_2,y_3 |SZ=}} bezüglich der neuen Orthonormalbasis schreibt sich die quadratische Form als {{ Math/display|term= y_1^2 +3 y_2^2 - {{op:Bruch| 1 | 2}} y_3^2 |SZ=. }} Dies weiß man allein aufgrund der Eigenwerte, dazu muss man die Eigenvektoren nicht ausrechnen. Zwischen den beiden Basen besteht die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|u_1 |u_2 |u_3 }} || {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 2 | \sqrt{6} }} | -{{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} | {{op:Bruch| 2 | \sqrt{14} }} | {{op:Bruch| 3 | \sqrt{14} }} | - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{14} }} | - {{op:Bruch| 1 | 4 \sqrt{21} }} | {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{21} }} | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{21} }} |}} {{op:Spaltenvektor|e_1 |e_2 |e_3 }} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt sich für die Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=die Dualbasen| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= x_1,x_2,x_3 |SZ=}} bezüglich der Standardbasis {{ Zusatz/Klammer |text=die eingangs mit {{mathlk|term=x,y,z|SZ=}} bezeichnet worden waren| |ISZ=|ESZ= }} und den Koordinaten {{mathl|term= y_1,y_2,y_3 |SZ=}} bezüglich der neuen Orthogonalbasis der Zusammenhang{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das kann man sich so merken: Das Koordinatentupel {{mathl|term= (1,0,0) |SZ=}} bezüglich der neuen Koordinaten ergibt den ersten Vektor der neuen Basis bezüglich der alten Koordinanten, deshalb muss in der ersten Spalte {{math|term= u_1 |SZ=}} stehen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 | x_3 }} || {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 2 | \sqrt{6} }} | {{op:Bruch| 2 | \sqrt{14} }} | - {{op:Bruch| 1 | 4 \sqrt{21} }} | -{{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} | {{op:Bruch| 3 | \sqrt{14} }} | {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{21} }} | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} | - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{14} }} | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{21} }} |}} {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 }} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 2 | \sqrt{6} }}y_1 + {{op:Bruch| 2 | \sqrt{14} }} y_2 - {{op:Bruch| 1 | 4 \sqrt{21} }} y_3 | -{{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} y_1 + {{op:Bruch| 3 | \sqrt{14} }} y_2 + {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{21} }} y_3 | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{6} }} y_1 - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{14} }} y_2 + {{op:Bruch| 1 | \sqrt{21} }} y_3 }} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nb2s0hbkubogc9wnb7fmcfdxmg3w7u1 0 98916 1100132 1085237 2026-06-17T07:25:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100132 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Teilmenge {{ Relationskette/display |M | \subseteq | \Z[V] || || || |SZ= }} des Polynomrings in der Variablen {{math|term= V |SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=,}} die aus dem Nullpolynom und allen Polynomen {{ Relationskette |P | \in |\Z[V] || || || |SZ= }} besteht, deren Leitkoeffizient zu {{math|term= \N_+|SZ=}} gehört. Die Menge {{math|term= M |SZ=}} umfasst die natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=als Polynome vom Grad {{math|term= 0 |SZ=}} mit nichtnegativem Leitkoeffizient| |ISZ=|ESZ= }} und sie ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Es gelten die erststufigen {{ Axiomlink |Präwort=|Peano-Axiome|Axiomseitenname= Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom |Nr= |SZ= }} (1)-(6), wie man direkt sieht. Auch gilt die Vorgängereigenschaft, d.h. jedes von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Element besitzt einen eindeutigen Vorgänger {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist der Grund, warum wir abgesehen für den Leitkoeffizienten auch negative Koeffizienten zulassen| |ISZ=|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Vorgängereigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dagegen gilt das erststufige Induktionsschema nicht, und die natürlichen Zahlen lassen sich als Teilmenge von {{math|term= M |SZ=}} erststufig charakterisieren. Zur Vereinfachung der folgenden Formulierung definieren wir die {{math|term= \leq|SZ=-}}Relation durch {{ Math/display|term= x \geq y \text{ genau dann, wenn } \exists z (x=y+z) |SZ=, }} dies ist eine totale Ordnung nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Totale Ordnung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Damit setzen wir {{ Relationskette/display/handlinks | {{logprop|}} (x) || \forall m \forall d ( (m \leq x {{logund|}} d \leq x {{logund}} d \geq 1 ) \rightarrow \exists q \exists r (m {{=}} qd+r {{logund}} r < d )) || || || |SZ=. }} Dies ist ein Ausdruck mit der einzigen freien Variablen {{math|term= x |SZ=,}} der inhaltlich besagt, dass die Division mit Rest gilt, wenn die beteiligten Eingangsdaten {{ mathkor|term1= m |und|term2= d |SZ= }} unterhalb von {{math|term= x |SZ=}} liegen. Dieser Ausdruck gilt innerhalb der natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=also für {{ Relationskette/k | x | \in |\N || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen gilt sie in {{math|term= M |SZ=}} nicht, und zwar gilt sie dort nur für die natürlichen Zahlen. Für ein Polynom {{math|term= x |SZ=}} aus {{math|term= M |SZ=}} vom Grad {{math|term= \geq 1 |SZ=}} kann man nämlich {{ Relationskette |m || x || a_sV^s {{plusdots}} a_1V + a_0 || || |SZ= }} und für {{math|term= d |SZ=}} eine Primzahl {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{math|term= \N|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nehmen, die den Leitkoeffizienten {{math|term= a_s|SZ=}} von {{math|term= m |SZ=}} nicht teilt. Die Differenz zwischen {{math|term= x |SZ=}} und einem jeden Vielfachen von {{math|term= d |SZ=}} ist ein nichtkonstantes Polynom, daher gilt die Division mit Rest dafür nicht. Wir betrachten nun die Induktionsversion dieser Aussage, also {{ Math/display|term= {{logprop|}} \frac{0}{x} {{logund}} \forall x {{makl| {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} \frac{x+1}{x} |}} \rightarrow \forall x {{logprop|}} |SZ=. }} Der Vordersatz gilt in {{math|term= M |SZ=,}} da die beschriebene Eigenschaft genau für die natürlichen Zahlen und für alle anderen Elemente nicht gilt, und daher genau dann gilt, wenn sie auch für den Nachfolger gilt {{ Zusatz/Klammer |text=die echten Polynome sind nicht als Nachfolger von natürlichen Zahlen erreichbar| |ISZ=|ESZ=. }} Da der Nachsatz nicht gilt, ergibt sich, dass die Gesamtaussage nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t436dnvkjxg84l1tn78h1uk3sf88g34 0 98986 1100164 1074402 2026-06-17T07:31:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100164 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Chess board blank|svg| 230px {{!}} right {{!}} | | |Zusname=Chess_board_blank |Text= |Autor= |Benutzer=Beao |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein Schachbrett {{ Zusatz/Klammer |text=genauer: die Menge der Felder auf einem Schachbrett, auf denen eine Figur stehen kann| |ISZ=|ESZ= }} ist die Produktmenge {{ Math/display|term= \{a,b,c,d,e,f,g,h\} \times \{1,2,3,4,5,6,7,8\} |SZ=. }} Jedes Feld ist ein Paar, beispielsweise {{mathl|term= (a,1), (d,4), (c,7) |SZ=.}} Da die beteiligten Mengen verschieden sind, kann man statt der Paarschreibweise einfach {{mathl|term= a1,d4,c7 |SZ=}} schreiben. Diese Notation ist der Ausgangspunkt für die Beschreibung von Stellungen und von ganzen Partien. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7eov20hh4svbz2nvt79r5mjvyv7axhp 0 99050 1100106 1074391 2026-06-17T07:21:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100106 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer {{ Zusatz/Klammer |text=additiv geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} wie {{math|term= \Z |SZ=}} oder einem {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= H |SZ=}} bedeutet {{ Relationskette | x | \sim_H| y || || || |SZ=, }} dass {{ Relationskette | y-x | \in | H || || || |SZ= }} ist bzw. dass es ein {{ Relationskette | h | \in | H || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | y || x+h || || || |SZ= }} gibt. Die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} sind von der Form {{ Relationskette | x+H || {{Mengebed| x+h|h \in H}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |H || \Z d | \subseteq |\Z || || |SZ= }} mit einem festen {{math|term= d |SZ=}} besitzen die Äquivalenzklassen die Form {{ Math/display/druckzeiletrenn|term1= H=\Z d, \, 1+H=\{\ldots, 1 -d, 1,1+d,1+2d, \ldots \}, \, |term2= 2+H=\{\ldots, 2-d, 2, 2+d,2+2d, \ldots \}, \ldots |SZ=. }} Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch {{math|term= d |SZ=}} den Rest {{math|term= 0 |SZ=}} oder {{math|term= 1 |SZ=}} oder {{math|term= 2 |SZ=}} u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von {{math|term= \Z|SZ=.}} {{ inputbild |ParalleleGeradenEbene|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Äquivalenzklassen zu einem Untervektorraum. |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wenn {{ Relationskette |H || U | \subseteq | V || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form {{ Relationskette | v+U || {{Mengebed|v+u|u \in U}} || || || |SZ= }} für einen Vektor {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ=. }} Dies ist der {{ Definitionslink |affine Raum| |Kontext=| |SZ= }} mit dem Aufpunkt {{math|term= v |SZ=}} und dem Verschiebungsraum {{math|term= U |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nebenklassen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hio19f5o8v1izu97gug2u6t620c3m7f 0 99121 1099938 1036169 2026-06-17T06:53:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099938 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden surjektiven {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\Z| {{op:Zmod| 4 |}} || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\psi |\Z| {{op:Zmod| 12|}} || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Kern| \psi|}} || \Z \cdot 12 | \subseteq | \Z \cdot 4 || {{op:Kern|\varphi|}} || |SZ=. }} Daher gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Homomorphiesatz|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt |Nr= |SZ= }} einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \tilde{\varphi} | {{op:Zmod| 12|}} | {{op:Zmod| 4 |}} || |SZ=, }} der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch {{math|term= 12 |SZ=}} auf den Rest bei Division durch {{math|term= 4 |SZ=}} ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst. Wenn man hingegen {{ Abbildung/display |name=\varphi |\Z| {{op:Zmod| 5 |}} || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\psi |\Z| {{op:Zmod| 12|}} || |SZ= }} betrachtet, so ist {{ Relationskette/display | {{op:Kern| \psi|}} || \Z \cdot 12 |\not\subseteq| \Z \cdot 5 || {{op:Kern|\varphi|}} || |SZ= }} und es gibt keine natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| 12|}} | {{op:Zmod| 5 |}} || |SZ=. }} Beispielsweise haben {{mathl|term= 1,13,25,37,49 |SZ=,}} die alle modulo {{math|term= 12 |SZ=}} den Rest {{math|term= 1 |SZ=}} haben, modulo {{math|term= 5 |SZ=}} die Reste {{mathl|term= 1,3,0,2,4 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4rhskqb1kuz3a7r7et3yisfzi46915r 0 99224 1100335 1085462 2026-06-17T07:59:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100335 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Einheitskreis {{ Relationskette/display |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2{{=|}}1}} || || || |SZ=. }} Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel {{ Relationskette | \alpha | \in | [0, 2 \pi) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der {{math|term= x |SZ=-}}Achse, gegen den Uhrzeigersinn| |SZ= }} den zugehörigen Punkt {{ Math/display|term= (\cos \alpha, \sin \alpha) |SZ= }} auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls {{mathl|term= [0, 2 \pi] |SZ=}} in {{math|term= n |SZ=}} gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen {{ Math/display|term= 0,\, \frac{2 \pi}{n},\, 2\frac{2 \pi}{n},\, 3 \frac{2 \pi}{n} {{kommadots|}} (n-1) \frac{2 \pi}{n},\, n\frac{2 \pi}{n}=2 \pi |SZ= }} gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten {{ Math/display|term= (1,0),\, {{op:Zeilenvektor| \cos \frac{2 \pi}{n} | \sin \frac{2 \pi}{n}||}} ,\, {{op:Zeilenvektor| \cos 2\frac{2 \pi}{n} | \sin 2\frac{2 \pi}{n} }},\, {{mathbruch|}} {{op:Zeilenvektor| \cos 3 \frac{2 \pi}{n} | \sin 3 \frac{2 \pi}{n} }} {{kommadots|}} {{op:Zeilenvektor| \cos (n-1) \frac{2 \pi}{n} | \sin (n-1) \frac{2 \pi}{n} }} |SZ=. }} Diese Punkte sind die Eckpunkte eines {{Stichwort|regelmäßigen|msw=Regelmäßiges n-Eck||SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}{{Stichwort|Ecks|msw=Regelmäßiges n-Eck|SZ=.}} Das regelmäßige {{Anführung|Zweieck}} besitzt die Ecken {{mathkon|(1,0)|und|(-1,0) |SZ=,}} das regelmäßige {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|gleichseitige|msw=Gleichseitiges Dreieck|SZ=}} | |SZ= }} Dreieck besitzt die Ecken {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 1 | 0}} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| \sqrt{3} | 2}} }} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | - {{op:Bruch| \sqrt{3} | 2}} }} |SZ=, }} das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken {{ Math/display|term= (1,0),\, (0,1),\, (-1,0),\, (0,-1) |SZ=, }} usw. Wir fassen ein solches reguläres {{math|term= n |SZ=-}}Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=Schwerpunkt| |ISZ=|ESZ= }} des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| \sin \frac{2 \pi}{n}| \cos \frac{2 \pi}{n} |}} |SZ=}} auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von {{math|term= (1,0) |SZ=}} abgebildet werden. Bei einer eigentlichen {{ Zusatz/Klammer |text=physikalisch in der Ebene!| |ISZ=|ESZ= }} durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Orientierung}} | |SZ= }} der Ecken erhalten, sodass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären {{math|term= n |SZ=-}}Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von {{math|term= 2 \pi/n |SZ=}} sind. Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei {{math|term= n |SZ=}} gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei {{math|term= n |SZ=}} ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt. Es sei {{math|term= n |SZ=}} fixiert, und setze {{ Relationskette | \alpha || 2 \pi/n || || || |SZ= }} und sei {{math|term= \varphi |SZ=}} die Drehung des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes um {{math|term= \alpha |SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am {{math|term= n |SZ=-}}Eck schreiben als {{math|term= \varphi^k |SZ=}} mit einem eindeutig bestimmten {{math|term= k |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= n-1 |SZ=. }} Dabei ist {{ Relationskette | \varphi^0 || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} die Nulldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=die identische Bewegung| |ISZ=|ESZ=, }} bei der nichts bewegt wird. Wenn man {{math|term= \varphi |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man {{math|term= \varphi |SZ=}} {{math|term= m |SZ=-}}mal ausführt, dass dann das Endergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=also die effektive Bewegung| |SZ= }} nur vom {{Stichwort|Rest|SZ=}} {{math|term= m \mod n |SZ=}} abhängt. Die inverse Bewegung zu {{mathl|term= \varphi^k |SZ=}} ist {{mathl|term= \varphi^{-k} |SZ=,}} also {{math|term= k |SZ=-}}mal wieder zurück, oder gleichbedeutend {{mathl|term= \varphi^{(n-k) } |SZ=.}} Alle Drehungen an einem regelmäßigen {{math|term= n |SZ=-}}Eck bilden eine {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3=Theorie der ebenen Drehungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ss4696v39sszdvwknky53aszejrdflq 0 100780 1099974 1085073 2026-06-17T06:59:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099974 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |rational-polyedrischen |Kontext=| |SZ= }} Kegel, der im {{math|term= \R^3 |SZ=}} durch ein Quadrat in der {{math|term= 1 |SZ=-}}Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte {{ Math/display|term= (0,0,1) ,\, (1,0,1),\, (0,1,1) ,\, (1,1,1) |SZ=. }} Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch {{ Relationskette/display |K[M] | \cong| K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) || || || |SZ= }} gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht {{ Definitionslink |simplizial| |Kontext=Kegel| |SZ=. }} Die definierenden integralen Linearformen sind {{ Relationskette/display | \ell_1 || x || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \ell_2 || y || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \ell_3 || z-x || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \ell_4 || z-y || || || |SZ=. }} Das {{Anführung| {{math|term= F |SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=,}} das durch die Bedingungen {{ mathbed|term= 0 \leq \ell_j \leq 1 ||bedterm1= 1 \leq j \leq 4 ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben ist, ist eine Doppelpyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der {{ Zusatz/Klammer |text=Einzel| |ISZ=|ESZ=- }}Höhe, ihr Volumen {{ Zusatz/Klammer |text=also die kombinatorische {{math|term= F |SZ=-}}Signatur| |ISZ=|ESZ= }} ist daher {{ Relationskette/display | 2 \cdot {{op:Bruch| 1 | 3}} || {{op:Bruch| 2 | 3}} || || || |SZ=. }} Die Summe der vier Linearformen ist {{ Relationskette/display | \ell_1+ \ell_2+\ell_3+\ell_4 || 2z || || || |SZ=. }} Somit wird das {{Anführung| {{math|term= D |SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=}} durch {{ Relationskette/display |z || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || |SZ= }} begrenzt, und sein Volumen ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} |}}^2 \cdot {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 3}} || {{op:Bruch| 1 | 24}} || || || |SZ=. }} Die kombinatorische {{math|term= D |SZ=-}}Signatur ist also {{ Relationskette/display | 3! \cdot {{op:Bruch| 1 | 24}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der dreidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1c43pb5s8sg80ok7umsj4d9bcirt7e9 0 100783 1099972 1085069 2026-06-17T06:59:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099972 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |rational-polyedrischen |Kontext=| |SZ= }} Kegel, der im {{math|term= \R^2 |SZ=}} durch die beiden Kanten {{ mathkor|term1= (1,0) \R_{\geq 0} |und|term2= (k-1,k) \R_{\geq 0} |SZ= }} begrenzt wird. Das zugehörige Monoid {{math|term= M |SZ=}} ist durch die drei Erzeuger {{ Math/display|term= (1,0) ,\, (k-1,k) ,\, (1,1) |SZ= }} gegeben. Dabei ist {{ Relationskette/display | (1,0)+ (k-1,k) || k (1,1) || || || |SZ=. }} Die Summe der beiden ersten Erzeuger stimmt also mit dem {{math|term= k |SZ=-}}fachen des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch {{ Relationskette/display |K[M] | \cong| K[X,Y,Z]/(XY-Z^k) || || || |SZ= }} gegeben. Der Kegel wird wie jeder ebene Kegel durch zwei Kanten begrenzt. Die definierenden integralen Linearformen sind {{ Relationskette/display | \ell_1 || y || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \ell_2 || k x - (k-1)y || || || |SZ=. }} Beide Linearformen nehmen im Punkt {{mathl|term= (1,1) |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} an. Die Bedingung {{ Relationskette | \ell_1 || 1 || || || |SZ= }} bestimmt die zur {{math|term= x |SZ=-}}Achse parallele Gerade der Höhe {{math|term= 1 |SZ=,}} die die zweite Kante im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|k-1|k}} | 1}} |SZ=}} durchstößt. Durch die Bedingung {{ Relationskette | \ell_2 || 1 || || || |SZ= }} wird wiederum eine Gerade festgelegt, die parallel zur einen Kanten verläuft, und die die erste Kante, also die {{math|term= x |SZ=-}}Achse, im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1 |k}} | 0}} |SZ=}} durchstößt. Durch die Bedingung {{ mathbed|term= 0 \leq \ell_1 \leq 1 |und|bedterm1= 0 \leq \ell_2 \leq 1 ||bedterm2= |SZ= }} wird ein Parallelogramm {{ Zusatz/Klammer |text=das {{Anführung| {{math|term= F |SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} definiert, das vom Ursprung ausgehend von den beiden Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|k-1|k}} | 1}} |und|term2= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1 |k}} | 0}} |SZ= }} aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel gleich {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| {{op:Determinante| {{op:Matrix22| {{op:Bruch|k-1|k}} | {{op:Bruch| 1 |k}} | 1 | 0}} |}} |}} || {{op:Bruch| 1 |k}} || || || |SZ=. }} Dies ist die kombinatorische {{math|term= F |SZ=-}}Signatur des Kegels. Die Summe der zwei beschreibenden Linearformen ist {{ Relationskette/display | \ell_1+ \ell_2 || kx- (k-2)y || || || |SZ=. }} Durch die Gleichung {{ Relationskette/display | \ell_1+ \ell_2 || 1 || || || |SZ= }} wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke zerteilt, deren Flächeninhalte {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2k}} |SZ=}} sind. Durch den Fakultätsfaktor {{math|term= 2!|SZ=}} ergibt sich, dass die {{math|term= D |SZ=-}}Signatur ebenfalls gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |k}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ry5bqagwwhyy8858vsqsoct0ecjhfw 0 100789 1100107 1085211 2026-06-17T07:21:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100107 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der Neilschen Parabel, die durch die numerische Halbgruppe {{ Relationskette/display |M || \{0,2,3, \ldots \} | \subset |\N || || |SZ= }} gegeben ist, lassen sich zu jedem Monom {{ mathbed|term= U^n ||bedterm1= n \in M ||bedterm2= |SZ=, }} direkt unitäre Differentialoperatoren rational angeben. Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2!}} \partial^2_U|SZ=.}} Dies schickt {{math|term= U^2 |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=,}} ist aber nur eine rationaler Operator, da {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2!}} \partial^2_U |}} {{makl| U^3 |}} || 3 U |\notin| K[M] || || |SZ=. }} Diesen Umstand kann man aber durch einen Korrekturterm einfach beheben. Wir betrachten {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2!}} \partial^2_U -3 U {{op:Bruch| 1 | 3!}} \partial^3_U |SZ=, }} der Koeffizient rechts ist so gewählt, dass {{math|term= U^3 |SZ=}} insgesamt auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet wird. Der Term {{math|term= U^2 |SZ=}} wird nach wie vor auf {{math|term= 1 |SZ=}} abgebildet. Monome der Form {{ mathbed|term= U^n ||bedterm1= n \geq 4 ||bedterm2= |SZ=, }} werden auf skalare Vielfache von {{mathl|term= U^{n-2} |SZ=}} abgebildet, das Bild gehört also zum Ring. Somit ist der angegebene Operator ein unitärer Operator für {{math|term= U^2 |SZ=}} auf {{mathl|term= K[M] |SZ=.}} In der gleichen Weise ergeben sich unitäre Operatoren für {{ mathbed|term= U^n ||bedterm1= n \geq 3 ||bedterm2= |SZ=, }} man kann stets {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 |n!}} {{makl| \partial_U^n - U \partial_U^{n+1} |}} |SZ= }} nehmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fasit05czusm7xojsmwvsbbxc9sp26i 0 100913 1100621 1035264 2026-06-17T10:36:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100621 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Verschiedene Kegel können zum gleichen Monoid führen, beispielsweise zum regulären Monoid {{math|term= \N^n |SZ=.}} Wenn {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n \in \Z^n |SZ=}} Monoiderzeuger für ein Monoid {{math|term= M |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Determinante(|v_1 {{kommadots|}} v_n |}} || \pm 1 || || || |SZ= }} sind, so ist durch {{mathl|term= e_i \mapsto v_i |SZ=}} ein Isomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi | \Z^n | \Z^n || |SZ= }} gegeben, der {{math|term= \N^n |SZ=}} in {{math|term= M |SZ=}} überführt und auch die Kegel ineinander überführt. Über die duale Abbildung entsprechen sich auch die begrenzenden integralen Linearformen. Da man das Volumen des von {{math|term= n |SZ=}} Vektoren erzeugten Parallelotops nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} ebenfalls mit dem Betrag der Determinante berechnet, ergibt sich für {{math|term= M |SZ=}} ebenfalls die Signatur {{math|term= 1 |SZ=.}} Ein Beispiel ist das von {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 3 | 1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 2 | 1}} |SZ= }} erzeugte Monoid. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cmrbmgdj142rcd2hvun5wksoaqs58m9 0 100915 1100150 1085267 2026-06-17T07:28:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100150 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Den Operator {{ Math/display|term= x_1 \partial_1 {{plusdots|}} x_n \partial_n |SZ= }} nennt man den {{Stichwort|Homogenitätsoperator|SZ=}} oder die {{Stichwort|Euler-Derivation|SZ=.}} Er bildet ein Monom {{math|term= X^\mu |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Betrag| \mu|}} X^\mu|SZ=}} ab. Allgemeiner wird ein homogenes Polynom {{math|term= f |SZ=}} von Grad {{math|term= {{{m|m}}} |SZ=}} durch diesen Operator auf {{math|term= {{{m|m}}} f |SZ=}} abgebildet. Die homogenen Polynome vom Grad {{math|term= {{{m|m}}} |SZ=}} sind also die Eigenvektoren zum Eigenwert {{math|term= {{{m|m}}} |SZ=}} zu diesem Operator. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Derivationen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5laa5n6450n7l03hauocd2gozagy13w 0 100925 1100655 1085849 2026-06-17T10:42:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100655 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die mehrdimensionale Taylor-Formel {{ Zusatz/Klammer |text=bis zur Ordnung {{math|term= k |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} hat die Form {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display/handlinks |f(P+v) | \sim | \sum_{ {{op:Tupelgrad|\alpha|}} \leq k } {{op:Bruch| \partial^\alpha (f) |\alpha !}} \cdot v^\alpha || || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= f |SZ=}} eine hinreichend oft differenzierbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes {{mathl|term= P \in \R^n |SZ=,}} {{math|term= v |SZ=}} repräsentiert einen von {{math|term= P |SZ=}} ausgehenden Vektor und {{math|term= \sim|SZ=}} bedeutet, dass der Fehlerterm in einem gewissen Sinne klein ist. Wenn {{math|term= f |SZ=}} ein Polynom über einem beliebigen Körper ist, so gilt diese Beziehung nach wie vor {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= k |SZ=}} hinreichend groß handelt es sich um eine Gleichung| |ISZ=|ESZ=, }} und zwar im Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n, V_1 {{kommadots|}} V_n ] |SZ=,}} und diese Beziehung lässt sich direkt algebraisch beweisen. Beispielsweise ist für {{ Relationskette |f || X^2+XY+Y^3 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | (X+U)^2 + (X+U)(Y+V) + (Y+V)^3 || X^2+2XU+U^2+XY+XV+UY+UV+Y^3+3YV^2+3Y^2V+V^3 || X^2+XY+Y^3 + {{makl| 2X+Y |}} U + {{makl| X+3Y^2 |}} V +UV +U^2+3YV^2 + V^3 || || |SZ=. }} Die Koeffizientenfunktion vor {{math|term= U^2 |SZ=,}} also die konstante Funktion {{math|term= 1 |SZ=,}} kann man als {{mathl|term= \partial_X(f)/2!|SZ=}} erhalten. Da die Gleichung aber algebraisch ist, gilt sie in jeder Charakteristik. In der Tat kann man den Ausdrücken {{mathl|term= {{op:Bruch| \partial^\alpha |\alpha !}} (f) |SZ=}} auch in positiver Charakteristik einen wohldefinierten Sinn zuordnen, nämlich eben als Koeffizientenfunktion zu {{math|term= V^\alpha|SZ=}} in der Taylor-Entwicklung. Zur Berechnung kann man dabei so vorgehen, dass man {{Anführung|normal}} vollständig ableitet und die vorgezogenen Exponenten erstmal in {{math|term= \Z |SZ=}} belässt, dann mit {{math|term= \alpha! |SZ=}} kürzt {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis bleibt in {{math|term= \Z|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und erst dann diese Zahl in {{math|term= K |SZ=}} interpretiert. Über einem Körper der Charakteristik {{math|term= p |SZ=}} gibt es also auch die Differentialoperatoren {{mathl|term= {{op:Bruch| \partial^\alpha |\alpha !}} |SZ=.}} Insbesondere ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \partial^\alpha |\alpha !}} (X^\alpha) || 1 || || || |SZ=. }} Diese Operatoren sind aber nicht, wie in Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=,}} als eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen realisierbar. Der Ring aller Differentialoperatoren ist in positiver Charakteristik nicht endlich erzeugt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9zheohqmmd6zkksaxu51uews77wenlg 0 100927 1100654 1085749 2026-06-17T10:42:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100654 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Differentialoperatoren {{mathl|term= {{op:Bruch| \partial^\alpha| \alpha!}} |SZ=}} haben die besondere Eigenschaft, dass sie {{math|term= X^\alpha|SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom {{ Relationskette |f |\neq| 0 || || || |SZ= }} einen Operator, der dieses Polynom auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbildet. Wenn {{math|term= f |SZ=}} die Form {{ Relationskette/display |f || \sum_{\beta{{=}} d} c_\beta X^\beta + \sum_{\beta < d} c_\beta X^\beta || || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette |c_\alpha |\neq| 0 || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= d |SZ=}} für ein bestimmtes {{math|term= \alpha|SZ=,}} so ist {{math|term= {{op:Bruch| \partial^\alpha|\alpha!|}} |SZ=}} ein Operator, der {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= c_\alpha|SZ=}} abbildet. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmz7h0qz9e5uoqh30tucgcfx7ewaszo 0 101142 1100147 1085258 2026-06-17T07:28:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100147 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Operationen der Gruppe der {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln auf {{mathl|term= K[Y] |SZ=,}} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} durch {{mathl|term= \varphi_\zeta: Y \mapsto \zeta Y |SZ=}} wirkt. Der invariantenring ist {{ Relationskette |K[Y^n] | \cong|K[X] || || || |SZ=. }} Der Operator {{math|term= \partial_Y|SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |invariant| |Kontext=Differentialoperator| |SZ=, }} da {{ Relationskette/display | ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta)(Y) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y) ( \zeta Y) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } ) ( \zeta) || \zeta || |SZ=, }} da ja die Automorphismen auf {{math|term= K |SZ=}} identisch wirken. Entsprechend ist für {{ Relationskette | \ell | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/align | ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta)(Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y ) ( \zeta^\ell Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } ) (\ell \zeta^\ell Y^{\ell -1}) || \ell \zeta^{-\ell +1} \zeta^\ell Y^{\ell -1} || \ell \zeta Y^{\ell -1} |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette/display | \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta || \zeta \partial_Y || || || |SZ=. }} Der invariant gemachte Operator wirkt {{ Relationskette/display |( \sum_\zeta \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial_Y \circ \varphi_\zeta)(Y^\ell) || \ell {{makl| \sum_\zeta \zeta |}} Y^{\ell-1} || 0 || || |SZ=. }} Der Operator {{math|term= \partial^n_Y|SZ=}} ist dagegen invariant, da für {{ Relationskette | \ell | \geq |n || || || |SZ= }} {{ Relationskette/align | ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial^n_Y \circ \varphi_\zeta)(Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } \circ \partial^n_Y ) ( \zeta^\ell Y^\ell ) || ( \varphi_{\zeta^{-1} } ) (\ell \cdots (\ell-n+1) \zeta^\ell Y^{\ell -n}) || \ell \cdots (\ell-n+1) \zeta^{-\ell +n} \zeta^\ell Y^{\ell -n} || \ell \cdots (\ell-n+1)\zeta^n Y^{\ell-n} || \ell \cdots (\ell-n+1) Y^{\ell-n} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Invariantenringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lui04yp7gqfsaa9rykrxns0ea09gm8j 0 101173 1099898 1084990 2026-06-17T06:47:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099898 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Relationskette/display |K || k(X,Y) | \subseteq |k(X,Y)[T]/(T^3+X^3+Y^3) || L || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term= k |SZ=}} der Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=.}} Im Modul der Kähler-Differentiale {{mathl|term= \Omega_{L {{|}} k} |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display |d (T^3+X^3+Y^3) || 3T^2dT+3X^2dX+3Y^2dY || 0 || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | dT || - {{op:Bruch|X^2|T^2|}} dX-{{op:Bruch|X^2|T^2|}} dY || || || |SZ=, }} was explizit einen {{math|term= L |SZ=-}}Isomorphismus {{ Abbildung/display |name= |\Omega_{L {{|}} k} | L dX \oplus L dY || |SZ= }} ergibt. Für den {{math|term= L |SZ=-}}Modul der {{math|term= k |SZ=-}}Derivationen ergibt sich entsprechend {{ Relationskette/display | {{op:Derivationen| L |k}} | \cong| L \partial_X \oplus L \partial_Y || || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Relationskette/display | \partial_X(T) || - {{op:Bruch|X^2|T^2|}} || || || |SZ=, }} da ja generell {{math|term= \partial_X|SZ=}} ein Element {{mathl|term= f\in L |SZ=}} auf den Koeffizienten zu {{math|term= dx|SZ=}} von {{math|term= df|SZ=}} abbildet. Beispielsweise ist somit {{ Relationskette/display | \partial_X(T^2) || 2 T \partial_X(T) || -2T {{op:Bruch|X^2|T^2|}} || -2 {{op:Bruch|X^2| T |}} || |SZ= }} oder {{ Relationskette/display | \partial_X(T^3) || 3 T^2 \partial_X(T) || -3 T^2 {{op:Bruch|X^2|T^2|}} || -3 X^2 || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |T^3 || - X^3-Y^3 || || || |SZ= }} kann man dies auch schon in {{mathl|term= K(X,Y) |SZ=}} ausrechnen. Entsprechend kann man die Wirkungsweise von Differentialoperatoren höherer Ordnung bestimmen. Diese sind ja die Summe von Hintereinanderschaltungen von Derivationen und Multiplikationen. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Differentialoperatoren|k(X ,Y)| k |n}} || \bigoplus_{\nu\, , {{op:Tupelgrad|\nu|}} \leq n} L \partial^\nu || || || |SZ=. }} Betrachten wir den Differentialoperator {{ Relationskette/display |E || T \partial_X \partial_Y-Y \partial_X^2 || || || |SZ=. }} Es ist beispielsweise {{ Relationskette/align |E {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} || {{makl| T \partial_X \partial_Y-Y \partial_X^2 |}} {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} || T \partial_X \partial_Y {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} -Y \partial_X^2 {{makl| X^2+YT-XT^2 |}} || T \partial_X \partial_Y (YT) - T \partial_X \partial_Y (XT^2) -2Y -Y \partial_X^2 (YT) +Y \partial_X^2 (XT^2) || T \partial_X( Y \partial_Y(T) +T ) -2T \partial_X (XT \partial_Y(T))-2Y - Y^2 \partial_X (\partial_X(T))+ Y \partial_X (2XT \partial_X(T) + T^2 ) || ... |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Funktionenkörpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8fk8r28woc272pv8fz17m2onbdtx1ro 0 101226 1099899 1084991 2026-06-17T06:47:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099899 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Relationskette |K(X) | \subseteq | K(Y) || || || |SZ=, }} die durch {{ Relationskette |Y^n || X || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=n \geq 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gegeben ist. Es ist also {{ Relationskette |K(Y) || K(X)[Y]/(Y^n-X) || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette |nY^ {n-1} dY || dX || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | dY || {{op:Bruch| 1 |nY^ {n-1} }} dX || || || |SZ= }} und die partielle Ableitung {{math|term= \partial_X|SZ=}} setzt sich fort auf {{math|term= K(Y) |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \partial_X(Y) || {{op:Bruch| 1 |nY^{n-1} }} || || || |SZ=. }} Man beachte, dass das Ergebnis nicht im Polynomring {{mathl|term= K[Y] |SZ=}} liegt. Es gibt also keine Fortsetzung der Derivation {{ Abbildung/display |name=\partial_X |K[X] | K[X] || |SZ= }} auf {{mathl|term= K[Y] |SZ=.}} Wenn man die Gleichung {{ Relationskette/display |Y^n || X || || || |SZ= }} als {{ Relationskette/display |Y || \sqrt[n]{X} || X^{{op:Bruch| 1 |n}} || || |SZ= }} interpretiert, so ist die obige berechnung eine algebraische Version der analytischen Ableitungsregel {{ Relationskette/display | \partial_X( \sqrt[n]{X} ) || \partial_X( X^{{op:Bruch| 1 |n}} ) || {{op:Bruch| 1 |n}} X^{ {{op:Bruch| 1 |n}} -1} || {{op:Bruch| 1 |n}} \cdot {{op:Bruch| 1 | X^{ 1-{{op:Bruch| 1 |n}} } }} || {{op:Bruch| 1 |n}} \cdot {{op:Bruch| 1 | X^{ {{op:Bruch|n-1|n}} } }} || {{op:Bruch| 1 |n}} \cdot {{op:Bruch| 1 | {{makl| X^{ {{op:Bruch| 1 |n}} } |}}^{n-1} }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Funktionenkörpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pufi98vc9q2qr5e3d9jx9plospncdrt 0 101549 1100413 1085544 2026-06-17T08:11:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1100413 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ=. }} Die Idealkette {{ Relationskette/display |(p) | \supset |(p^2) | \supset (p^3) | \supset | \ldots || |SZ= }} liefert die Restklassenhomomorphismen {{ Math/display|term= \longrightarrow {{op:Zmod|p^3}} \longrightarrow {{op:Zmod|p^2}} \longrightarrow {{op:Zmod|p}} \longrightarrow 0 |SZ= }} und somit die {{ Definitionslink |Komplettierung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Komplettierung|\Z|(p)}} || {{op:Komplettierung|\Z_{(p)} |}} || || || |SZ=. }} Jede ganze Zahl {{math|term= a |SZ=}} liefert darin eine Folge {{ Math/display|term= ([a]_1, [a]_2, [a]_3, \ldots) |SZ=, }} wobei {{math|term= [a]_n |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod|p^n}} |SZ=}} bezeichnet. Wenn man jeweils mit dem kanonischen Vertreter von {{math|term= [a]_n |SZ=,}} also dem zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= p^n -1 |SZ= }} arbeitet, so sieht die Folge typischerweise so aus {{ Math/display|term= ([a]_1, [a]_2, [a]_3, \ldots, [a]_{n-1}, a,a,a,a,a , \ldots) |SZ=, }} da ja iregendwann {{ Relationskette/display |a | < | p^n || || || |SZ= }} ist und somit {{math|term= a |SZ=}} der kanonische Vertreter selbst ist. Die ganzen Zahlen finden sich also in der Komplettierung in einer ziemlich banalen Weise wieder. Ein wichtiger Punkt ist aber, dass in der Komplettierung zusätzliche Elemente auftreten, die zu diesen banalen Elementen in einer neuen nichttrivialen Beziehung stehen. Es sei beispielsweise {{ Relationskette |p || 7 || || || |SZ=. }} Die Zahl {{math|term= 2 |SZ=}} ist in {{math|term= \Z|SZ=}} keine Einheit. Dagegen ist sie für jeden Exponenten {{math|term= n |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| 7^n |}} |SZ=}} eine Einheit, da ja {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 7^n |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=| |SZ= }} sind. Es sei nun {{math|term= u_n |SZ=}} das {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} inverse Element zur {{math|term= 2 |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| 7^n |}} |SZ=,}} also {{ Relationskette/display |u ||(4, 25, 172, \ldots ) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in diesem Beispiel gibt es eine einfache Formel| |ISZ=|ESZ=. }} Da unter den Projektionen {{ Abbildung |name= | {{op:Zmod| 7^{n+1}|}} | {{op:Zmod| 7^n |}} || |SZ= }} inverse Elemente auf inverse Elemente abgebildet werden, ist diese Folge {{ Definitionslink |kompatibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Potenzfamilie/Kompatibel/Definition |SZ= }} und definiert somit ein Element in der Komplettierung. Dabei ist {{ Relationskette/display | 2 \cdot u || 1 || || || |SZ=, }} da dies unter jeder Projektion gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b37az071o6sgtmj0qp4tlrbsfg0r62s 0 101616 1100295 1038072 2026-06-17T07:52:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100295 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^n | \R^1 || |SZ= }} eine Funktion der Form {{ Relationskette/display |\varphi || \psi \cdot \theta || || || |SZ= }} mit stetig differenzierbaren Funktionen {{ Abbildung/display |name=\psi, \theta |\R^n | \R^1 || |SZ= }} und mit {{ Relationskette/display | \psi (P) || \theta(P) || 0 || || |SZ= }} für einen bestimmten Punkt {{ Relationskette | P | \in | \R^n || || || |SZ=. }} Dann ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Produktregel/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential|\varphi| {{{P|P}}} }} || \psi ({{{P|P}}}) \cdot {{op:Totales Differential|\theta| {{{P|P}}} }} + \theta ({{{P|P}}}) \cdot {{op:Totales Differential| \psi| {{{P|P}}} }} || 0 || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=der|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Nr= |SZ= }} ist im Punkt {{math|term= P |SZ=}} nicht anwendbar. In diesem Beispiel hat das Auftreten der Singularität eine einfache Erklärung. Für die Faser zu {{math|term= \varphi |SZ=}} über dem Nullpunkt gilt die Beziehung {{ Relationskette/display | \varphi^{-1}(0) || \psi^{-1}(0) \cup \theta^{-1}(0) || || || |SZ= }} und das bedeutet, dass {{math|term= P |SZ=}} ein Punkt der Faser ist, in dem sich die beiden {{Anführung|Komponenten}} {{ mathbed|term= \psi^{-1}(0) |und|bedterm1= \theta^{-1}(0) ||bedterm2= |SZ= }} treffen. Diese Situation gilt beispielsweise für {{ Relationskette |\varphi || xy || || || |SZ= }} im Nullpunkt des {{math|term= \R^2 |SZ=.}} Die Faser durch den Nullpunkt ist das Achsenkreuz. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} egtkafil4kqg036pg1gj9z8hv4jxxn3 0 101872 1100082 1085185 2026-06-17T07:17:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100082 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |kürzbare| |Kontext=Monoid| |SZ= }} kommutative Monoid {{ Relationskette/display |N || \langle a,b,f,g \rangle/(na {{=|}} nf, nb {{=|}} ng) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu fixiertem {{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display |N_f | \cong| \Z \times {{op:Zmod| n |}} \times \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng) || || || |SZ= }} und entsprechend für {{math|term= N_g|SZ=.}} Ferner ist {{ Relationskette/display |N_{f+g} | \cong| \Z \times \Z \times {{op:Zmod| n |}} \times {{op:Zmod| n |}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich, dass die Cech-Kohomologie zur Einheitengarbe auf dem punktierten kombinatorischen Spektrum {{ Relationskette/display |U || D(f,g) || || || |SZ= }} trivial ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} keb7dtgk88e1g9pmmy1qmji8m1kh3ll 0 101878 1099973 1036461 2026-06-17T06:59:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099973 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |rational-polyedrischen |Kontext=| |SZ= }} Kegel, der im {{math|term= \R^3 |SZ=}} durch ein Quadrat in der {{math|term= 1 |SZ=-}}Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte {{ Math/display|term= (0,0,1) ,\, (1,0,1),\, (0,1,1) ,\, (1,1,1) |SZ=. }} Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch {{ Relationskette/display |K[M] | \cong| K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) || || || |SZ= }} gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht {{ Definitionslink |simplizial| |Kontext=Kegel| |SZ=. }} Die definierenden integralen Linearformen sind {{ Relationskette/display | \ell_1 || x || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \ell_2 || y || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \ell_3 || z-x || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \ell_4 || z-y || || || |SZ=. }} Die Summe der vier Linearformen ist {{ Relationskette/display | \ell_1+ \ell_2+\ell_3+\ell_4 || 2z || || || |SZ=. }} Somit wird das {{Anführung| {{math|term= D |SZ=-}}Signatur-Polytop|SZ=}} durch {{ Relationskette/display |z || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || |SZ= }} begrenzt, und sein Volumen ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} |}}^2 \cdot {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 3}} || {{op:Bruch| 1 | 24}} || || || |SZ=. }} Die kombinatorische {{math|term= D |SZ=-}}Signatur ist also {{ Relationskette/display | 3! \cdot {{op:Bruch| 1 | 24}} || {{op:Bruch| 1 | 4}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hi73u5onzylwa2t3p6khsv8b8ed76hc 0 101880 1100115 1085219 2026-06-17T07:22:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100115 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |kürzbare| |Kontext=Monoid| |SZ= }} kommutative Monoid {{ Relationskette/display |M || \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu fixiertem {{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Für die Nenneraufnahmen gelten {{ Relationskette/display |M_f || {{makl| \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) |}}_f || {{makl| \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng ) |}} \times \Z || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | h -f ||b || || || |SZ= }} und entsprechend für {{math|term= M_g|SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display |M_{g+f} || \Z \times \Z \times {{op:Zmod| n |}} || || || |SZ=. }} Die Cech-Kohomologie zur Überdeckung {{ Relationskette/display |U || D(f) \cup D(g) || || || |SZ= }} ist daher gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} Die Kohomologieklasse {{ Relationskette/display |c || i (h-f-g) | \in | \Gamma(D(f+g), {\mathcal O}^\times )_{\operatorname {tor} } | \cong| {{op:Zmod| n |}} || || |SZ= }} wird durch das kombinatorische {{math|term= {{op:Affine punktierte Gerade||}} |SZ=-}}Bündel realisiert, das durch die Identifizierung {{ Abbildung/display |name= \varphi_c | M_{f+g} \times \Z | M_{f+g} \times \Z |(m,n)| ( m+nc , n) |SZ= }} gegeben ist. Für ein Geradenbündel muss man die Identifizierung {{ Abbildung/display |name= \varphi_c | M_{f+g} \times \N | M_{f+g} \times \N |(m,n)| ( m+nc , n) |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tw4qyyhfihxsqydmq1rngku4cww50wa 0 101882 1100116 1085220 2026-06-17T07:23:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100116 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |M || \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) || || || |SZ= }} das Monoid aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Über einem Körper, der sämtliche {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ= }} enthält, besteht {{mathl|term= {{op:KSpec| M |}} |SZ=}} aus {{math|term= n |SZ=}} Ebenen, da der Monoidring durch {{ Relationskette/display |R || K[X,Y,Z]/ {{makl| Z^n-X^nY^n |}} || || || |SZ= }} gegeben ist und daher die Faktorisierung {{ Relationskette/display |Z^n -X^nY^n || {{makl| Z-XY |}} (Z- \zeta XY) \cdots (Z- \zeta^{n-1} XY) || || || |SZ= }} vorliegt, wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in {{ Relationskette |Z || XY || 0 || || |SZ=, }} also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist {{ Relationskette/display |\Gamma (D(X) , {\mathcal O}^\times) || K^\times \times \Z || || || |SZ=, }} da {{math|term= D(X) |SZ=}} zusammenhängend ist, und {{ Relationskette/display |\Gamma (D(XY) , {\mathcal O}^\times) || {{makl| K^\times |}}^n \times \Z \times \Z || || || |SZ=. }} Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also {{ Relationskette/display | {{makl| K^\times |}}^n/{\rm Diagonale} | \cong| {{makl| K^\times |}}^{n-1} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} in2be73sj7b38e6ajrgbfhqnhylitww 0 101952 1100114 1026738 2026-06-17T07:22:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100114 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Gleichung {{ Relationskette/display |X^2 || Y^3 || || || |SZ= }} gehört die Gleichung für die Differentiale {{ Relationskette/display | 2XdX || 3Y^2dY || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette |A || 2dX || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |B || 3dY || || || |SZ= }} und erhalten das Gleichungssystem {{ Math/display|term= X^2=Y^3,\, XA-Y^2B |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align | Y^2 (YA-XB) || Y^3 A-XY^2B || X^2A-XY^2B || X(XA-Y^2B) || |SZ= }} und somit ist, wenn {{math|term= Y |SZ=}} ein Nichtnullteiler ist, auch {{ Relationskette |YA || XB || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/align |(YA-XB)^2 || Y^2A^2 +X^2B^2 -2YAXB || Y^2A^2+Y^3B^2- 2Y^3B^2 || Y^2A^2 - Y^3B^2 || Y^2 (A^2-YB^2) |SZ= }} sieht man, dass die Primideale {{mathl|term= (X,Y) |SZ=}} und {{mathl|term= (X^2-Y^3, A^2-YB^2) |SZ=}} die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch {{mathl|term= (X,Y,A) |SZ=}} gegebene Gerade. Die Parametrisierung {{ Relationskette |X || T^3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |Y || T^2 || || || |SZ= }} liefert wegen {{ Relationskette |dX || 3 T^2dT || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |dY || 2 TdT || || || |SZ= }} die (bis auf einen Faktor) Liftung {{ Relationskette |A || T^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |B || T || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a93z4zjbt7w2or28hzdqb8112voqbcs 0 101957 1100079 1085181 2026-06-17T07:16:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100079 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Minoren zu {{ Math/display|term= {{op:Matrix23| X | Y | Z | Y | Z | W}} |SZ=, }} also das Ideal {{ Math/display|term= (Y^2-XZ,YW-Z^2,XW-ZY) |SZ= }} und den Restklassenring {{ Relationskette/display |R || K[X,Y,Z,W]/(Y^2-XZ,YW-Z^2,XW-ZY) || || || |SZ=. }} Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung {{ Relationskette/display |X(YW-Z^2)-Y(XW-ZY) || -XZ^2+ZY^2 || Z(-XZ+Y^2 ) || || |SZ=. }} Die Gleichungen für die Differentiale sind {{ Math/display|term= ( -ZdX+2YdY-XdZ, WdY-2ZdZ+YdW , WdX-ZdY-YdZ+XdW) |SZ=. }} Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten {{math|term= (Z,-X,Y) |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/align | Z( -ZdX+2YdY-XdZ) || -Z^2dX+2YZdY-XZdZ || -YWdX+2YZdY-Y^2dZ || Y( -WdX+2ZdY-YdZ ) || |SZ=. }} Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich {{ Math/display|term= ZdY -2YdZ +XdW |SZ=. }} Es ist im rationalen Sinn {{ Relationskette/display | dZ || - {{op:Bruch| Z | X}} dX + 2 {{op:Bruch| Y | X}} dY || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align |dW || - {{op:Bruch| W | X}} dX + {{op:Bruch| Z | X}} dY + {{op:Bruch| Y | X}} dZ || - {{op:Bruch| W | X}} dX + {{op:Bruch| Z | X}} dY + {{op:Bruch| Y | X}} {{makl| - {{op:Bruch| Z | X}} dX + 2 {{op:Bruch| Y | X}} dY |}} || - {{makl| {{op:Bruch| W | X}} + {{op:Bruch|YZ|X^2}} |}} dX + {{makl| {{op:Bruch| Z | X}} +2 {{op:Bruch|Y^2|X^2}} |}} dY || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display |A_X | \cong|R_X[dX,dY] || || || |SZ=. }} Der Kern der Abbildung {{ Abbildung/display |name= | A | A_X || |SZ= }} besteht aus allen {{ Math/display|term= \alpha dX + \beta dY+ \gamma dZ+ \delta dW |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \alpha - {{op:Bruch| Z | X}} \gamma - {{op:Bruch|WX+YZ|X^2}} \delta || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \beta - 2{{op:Bruch| Y | X}} \gamma + {{op:Bruch| XZ + 2 Y^2|X^2}} \delta || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4u0p5xex5vil13ce2tpetvao5blmq9k 0 102072 1100008 1036705 2026-06-17T07:05:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100008 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3+X^2 || || || |SZ= }} gegebene Kurve. Für die Differentiale gilt die Beziehung {{ Relationskette/display | 2YdY || (3X^2+2X)dX || || || |SZ=. }} Durch Quadrieren ergibt sich {{ Relationskette/display | 4Y^2 (dY)^2 || X^2(3X+2)^2 (dX)^2 || || || |SZ=. }} Wir können {{math|term= Y^2 |SZ=}} ersetzen und, um die horizontale Komponente zu bestimmen, durch {{math|term= X^2 |SZ=}} dividieren, und erhalten {{ Relationskette/display | 4(X+1) (dY)^2 || (3X+2)^2 (dX)^2 || || || |SZ=. }} Die Schnittmenge dieser Komponente mit dem Tangentialraum über der Singularität ist daher das Achsenkreuz {{ Relationskette/display |(dY + dX) (dY - dX) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kaf89odrdwrsxr1quthca87xsy5sjqe 0 102132 1100649 1074805 2026-06-17T10:41:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100649 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Natural numbers|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Das Zählen von natürlichen Zahlen kann man auch auf dem Zahlenstrahl realisieren, indem man ausgehend von einem Startpunkt schrittweise um eine Strecke einer fixierten Länge {{ Zusatz/Klammer |text=Einheitsstrecke| |ISZ=|ESZ= }} nach rechts hüpft{{{zusatz1|.}}} Die Addition {{mathl|term= n+k |SZ=}} bedeutet in diesem Modell, dass man vom Punkt {{math|term= n |SZ=}} ausgehend {{math|term= k |SZ=-}}mal nach rechts hüpft. Das Umlegeprinzip bedeutet in diesem Kontext, dass man von dem einen Punkt aus nach rechts und vom anderen Punkt aus simultan nach links hüpft, bis der letztere Punkt im Nullpunkt landet. Die Addition bedeutet hier einfach, dass man die beiden gegebenen Punkte mit ihren Pfeilen {{ Zusatz/Klammer |text=Vektoren| |ISZ=|ESZ= }} vom Nullpunkt aus identifiziert und dann diese Pfeile hintereinanderlegt. Dieses Modell hat den Vorteil, dass in ihm auch die Addition von rationalen Zahlen oder reellen Zahlen in gleicher Weise beschrieben werden kann. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k939qk940nond8acux1g83oncc9upn5 0 102398 1100677 1085770 2026-06-17T10:45:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100677 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die endlichen Untergruppen von {{mathl|term= {{op:Einheiten|\R|}} |SZ=}} sind lediglich {{ mathkor|term1= \{1\} |und|term2= \{1,-1\} |SZ=. }} Dies gilt für jeden {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ=, }} da etwa aus {{ Relationskette | x | > | 1 || || || |SZ= }} sofort folgt, dass die {{math|term= x^n |SZ=}} eine unendliche Familie bilden. Bei {{ Relationskette |K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind die endlichen Untergruppen von {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC}} |}} |SZ=}} Untergruppen des komplexen Einheitskreises. Es handelt sich um die von einer primitiven komplexen Einheitswurzel erzeugten Gruppen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Einheitengruppen von Körpern |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hb6mged17w6w6zsp12g6inpfuz28ja6 0 102812 1099707 1084806 2026-06-17T06:17:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099707 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Zerfällungskörper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= L |SZ=}} zum Polynom {{mathl|term= X^8-1 |SZ=,}} also den achten Kreisteilungskörper. Er wird von einer primitiven achten Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=}} erzeugt und besitzt nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Achter Kreisteilungskörper/Mehrfache Graduierung/Beispiel |Nr= |SZ= }} die Darstellungen {{ Relationskette/display |L || \Q[ \zeta]/ {{makl| \zeta^4+1 |}} || \Q[\sqrt{2}, {{imaginäre Einheit}}] || || |SZ=. }} Die Nullstellen von {{math|term= X^8-1 |SZ=}} sind die acht verschiedenen Einheitswurzeln, die die Potenzen von {{math|term= \zeta|SZ=}} sind. Die primitiven Einheitswurzeln besitzen allesamt das Minimalpolynom {{mathl|term= X^4+1 |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Automorphismen| |Kontext=Körper| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | L | L || |SZ= }} führen die achten Einheitswurzeln ineinander über, und zwar werden primitive Einheitswurzeln auf primitive Einheitswurzeln angebildet. Die komplexe Konjugation bildet {{math|term= \zeta|SZ=}} auf {{math|term= \zeta^7 |SZ=}} und {{math|term= \zeta^3 |SZ=}} auf {{math|term= \zeta^5 |SZ=}} und {{ Relationskette | \zeta^2 || {{imaginäre Einheit}} || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | \zeta^6 || - {{imaginäre Einheit}} || || || |SZ= }} ab. Der durch {{mathl|term= \sqrt{2} \mapsto - \sqrt{2} |SZ=}} und {{mathl|term= {{Imaginäre Einheit}} \mapsto {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} gegebene Automorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | \zeta || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| \sqrt{2} + \sqrt{2} {{Imaginäre Einheit|}} |}} || || || |SZ= }} bildet {{math|term= \zeta|SZ=}} auf {{math|term= \zeta^5 |SZ=}} und {{mathl|term= \zeta^3 |SZ=}} auf {{math|term= \zeta^7 |SZ=}} ab. In jedem Fall induziert jeder Automorphismus eine Permutation der achten Einheitswurzeln, also der Nullstellen des Polynoms {{math|term= X^8-1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcvvxc3fvlzlyp6s72dyf39yz907q51 0 102828 1099771 1035124 2026-06-17T06:27:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kubische Gleichung {{ Relationskette/display | x^3-3x+1 || 0 || || || |SZ= }} und wenden darauf {{ Faktlink |Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |SZ= }} an. Es ist demnach {{ mathlist|term1= p=-3 ||term2= q=2 |und|term3= D=81 |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | u || \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| - 1 + \sqrt{-3} |}} } || \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| - 1 + \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit |}} }} } || \zeta || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |v || \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| -1 - \sqrt{-3} |}} } || \sqrt[3]{ {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| -1 - \sqrt{3} {{Imaginäre Einheit|}} |}} } || \zeta^8 || |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} hier die primitive komplexe neunte Einheitswurzel bezeichnet, die ja eine dritte Wurzel der dritten Einheitswurzel {{ Relationskette | \eta || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| - 1 + \sqrt{-3} |}} || || || |SZ= }} ist. Dabei gilt {{ Relationskette |uv || 1 || || || |SZ=. }} Somit sind {{ mathlist|term1= u+v = \zeta + \zeta^8 ||term2= \eta u + \eta^2 v = \zeta^4+ \zeta^6 \zeta^8 = \zeta^4+ \zeta^5 |und|term3= \eta^2 u + \eta v = \zeta^7 + \zeta^3 \zeta^8 = \zeta^7+ \zeta^2 |SZ= }} die {{ Zusatz/Klammer |text=allesamt reellen| |ISZ=|ESZ= }} Lösungen der Gleichung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bnn0g0n3op7ryvyghlzv3gk4rtiknnv 0 102849 1099995 1085110 2026-06-17T07:02:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099995 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabenbezug/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |\Q | \subseteq | \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} | {{defeqr}} | L || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= 3 |SZ=}} und dabei sind, wenn man die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} mit {{math|term= \alpha|SZ=}} bezeichnet, neben {{math|term= \alpha|SZ=}} auch {{ Relationskette | \beta || \alpha^2 -2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \gamma || - \alpha^2 - \alpha + 2 || || || |SZ= }} Nullstellen der definierenden Gleichung. Somit besitzen die Elemente {{mathl|term= \alpha, \beta, \gamma|SZ=}} das Minimalpolynom {{mathl|term= X^3-3X+1 |SZ=.}} Durch {{ Abbildung/display |name=\varphi |L {{=|}} \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} | L {{=|}} \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} | X | \beta |SZ=, }} wird ein nichtidentischer {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= L |SZ=}} festgelegt. Dieser sendet {{math|term= \alpha|SZ=}} auf {{math|term= \beta|SZ=,}} {{math|term= \beta|SZ=}} wegen {{ Relationskette/align | \varphi(\beta) || \varphi( \alpha^2-2) || \beta^2 -2 || ( \alpha^2-2)^2 -2 || \alpha^4 -4 \alpha^2 +4-2 || \alpha {{makl| 3 \alpha -1|}} -4 \alpha^2 +2 || - \alpha^2 -\alpha+2 || \gamma |SZ= }} auf {{math|term= \gamma|SZ=}} und {{math|term= \gamma|SZ=}} aufgrund einer ähnlichen Rechnung zurück auf {{math|term= \alpha|SZ=.}} Die einzigen Automorphismen {{mathl|term= {{op:Identität||}}, \varphi, \varphi^2 |SZ=}} entsprechen also den {{ Definitionslink |geraden Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Identität||}}, \alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha , \alpha \mapsto \gamma \mapsto \beta \mapsto \alpha |SZ=}} auf der Nullstellenmenge {{mathl|term= \{ \alpha, \beta, \gamma\} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie3=Galoistheorie |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d57bpd0uepagmw4rp0t105ze6wlv63u 0 102888 1100023 1036781 2026-06-17T07:07:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |\Q | \subseteq | \Q[ \sqrt[3]{7}, \sqrt{-3}] || \Q[ \sqrt[3]{7}, \eta] | {{defeqr}} | L || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette/display | \eta || {{op:Bruch| -1 +\sqrt{3} {{Imaginäre Einheit|}} | 2}} || || || |SZ= }} die dritte {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} ist und wobei wir mit {{mathl|term= \sqrt[3]{7} |SZ=}} die reelle Zahl meinen. Dies ist eine Erweiterung vom Grad {{math|term= 6 |SZ=,}} wie die Kette {{ Relationskette/display | \Q | \subseteq |\Q[ \sqrt[3]{7}] | {{defeqr}} | M | \subseteq | L || || |SZ= }} zeigt. Die Erweiterung {{ Relationskette |\Q | \subseteq | M || || || |SZ= }} ist nicht {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ=, }} da die beiden anderen dritten Wurzeln der {{math|term= 7 |SZ=,}} nämlich {{ mathkor|term1= \sqrt[3]{7} \eta |und|term2= \sqrt[3]{7} \eta^2 |SZ=, }} nicht zu {{math|term= M |SZ=}} gehören, weil sie nicht reell sind. Sie gehören aber zu {{math|term= L |SZ=}} und da mit {{mathl|term= \sqrt{-3} |SZ=}} auch {{mathl|term= -\sqrt{-3} |SZ=}} zu {{math|term= L |SZ=}} gehört ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt |Nr=3 |SZ= }} die Gesamterweiterung {{ Relationskette |\Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} normal. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt |Nr= |SZ= }} muss es {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Automorphismen| |Kontext=Körper| |SZ= }} {{ Abbildung |name=\varphi | L | L || |SZ= }} mit {{ Relationskette |\varphi(M) |\neq|M || || || |SZ= }} geben. In der Tat gibt es einen Automorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} auf {{math|term= L |SZ=,}} der {{math|term= \eta|SZ=}} auf sich selbst und {{math|term= \sqrt[3]{7} |SZ=}} auf {{mathl|term= \sqrt[3]{7} \eta |SZ=}} abbildet. Dabei ist {{ Relationskette/display |M' || \varphi(M) || \Q[ \sqrt[3]{7} \eta ] |\neq| M || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der normalen Körpererweiterungen |Kategorie2=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3cx40v0urdjlnjn0v53pzyiyldnk20 0 102930 1100025 1085134 2026-06-17T07:07:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100025 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |K | \subseteq | L || K[X]/(X^n-a) || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |SZ=, }} die durch die Hinzunahme einer {{math|term= n |SZ=-}}ten Wurzel aus einem Element {{mathl|term= a \in K |SZ=}} entstehe. Es sei {{math|term= x |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X |SZ=.}} Dann wird {{math|term= \mu_x|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= 1,x,x^2 {{kommadots|}} x^{n-1} |SZ=}} von {{math|term= L |SZ=}} durch die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| 0 | 0| \ldots| 0 | a | 1 | 0 | \ldots| 0 | 0| 0 | 1 | \ldots| 0 | 0|\vdots|\vdots| \ddots|\vdots|\vdots| 0 | 0| \ldots| 1 | 0}} |SZ= }} beschrieben. Somit ist die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} von {{math|term= x |SZ=}} gleich {{math|term= \pm a |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Vorzeichen hängt davon ab, ob {{math|term= n |SZ=}} gerade oder ungerade ist| |ISZ=|ESZ= }} und die {{ Definitionslink |Spur| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} ist {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der Radikalerweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxqknz8htbdgxi49zv2e7q6luolkgx2 0 102937 1100203 1085334 2026-06-17T07:37:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100203 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine quadratische Gleichung {{ Relationskette |X^2+pX+q || 0 || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist| |ISZ=|ESZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K | \subseteq | L {{=}} K[X]/ {{makl| X^2+pX+q |}} || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} dieser Erweiterung zur Basis {{mathl|term= 1,x|SZ=.}} Wir müssen also die {{ Definitionslink |Spuren| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} der Elemente {{math|term= 1,x,x^2= -px-q|SZ=}} bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind {{ Mathlist/display|term1= {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| 1}} ||term2= {{op:Matrix22| 0 | -q| 1 | -p}} |und|term3= {{op:Matrix22| -q|pq| -p|p^2-q}} |SZ= }} und ihre Spuren sind {{ mathlist|term1= 2 ||term2= -p |und|term3= p^ 2-2q |SZ=. }} Somit ist die Diskriminante gleich {{ Relationskette/display | \triangle (1 ,x) || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 2 | -p| -p|p^2-2q}} |}} || 2 {{makl| p^2-2q |}} - p^2 || p^2-4q || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7tsnxpuzmlcrisrznc7xmiq5q5s9cux 0 102941 1099998 1085113 2026-06-17T07:03:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099998 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kubische Gleichung {{ Relationskette/display | x^3 +px+q || 0 || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist| |ISZ=|ESZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |kubische Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K | \subseteq | L {{=}} K[X]/ {{makl| X^3+pX+q |}} || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} dieser Erweiterung zur Basis {{mathl|term= 1,x,x^2 |SZ=.}} Die Matrix zu {{math|term= x |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33| 0 | 0| -q| 1 | 0 | -p| 0 | 1 | 0}} |SZ=,}} die Matrix zu {{math|term= x^2 |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33| 0 | -q| 0 | 0| -p| -q| 1 | 0 | -p}} |SZ=,}} die Matrix zu {{ Relationskette | x^3 || -px-q || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33| -q| 0 |pq| -p| -q|p^2| 0 | -p| -q}} |SZ=,}} die Matrix zu {{ Relationskette | x^4 || -px^2-qx || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Matrix33| 0 |pq|q^2| -q|p^2| 2pq| -p| -q|p^2}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} ist daher die Determinante der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 3 | 0 | -2p| 0 | -2p| -3q| -2p| -3q| 2p^2||||}} |SZ=, }} also gleich {{ Relationskette/display | 3 {{makl| -4p^3-9q^2 |}} -2p(-4p^2) || -4p^3 -27q^2 || || || |SZ=. }} Dies ist die Zahl {{math|term= D |SZ=}} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} geo9vzrux9thtbb3vnbndqq5upbqtmc 0 102971 1100026 1085135 2026-06-17T07:08:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100026 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | F || X^n+a_{n-1}X^{n-1} {{plusdots|}} a_2X^2+a_1X+a_0 | \in | K[X] || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |irreduzibles Polynom| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} und {{ Relationskette/display | K | \subseteq | K[X]/ {{makl| X^n+a_{n-1}X^{n-1} {{plusdots|}} a_2X^2+a_1X+a_0 |}} | {{defeqr|}} | L || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} bilden die Potenzen {{ mathbed|term= x^i ||bedterm1= 0 \leq i \leq n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= x |SZ=}} die {{ Definitionslink |Restklasse| |SZ= }} von {{math|term= X |SZ=}} bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= L |SZ=.}} Zu einem {{ Relationskette | g | \in | L || || || |SZ= }} wird die {{ Definitionslink |Multiplikationsabbildung| |Kontext=linear| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \mu_g | L | L | y | gy |SZ=, }} bezüglich der gegebenen Basis durch die {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |SZ= }} beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten {{ mathbed|term= g \cdot x^ {i} ||bedterm1= 0 \leq i \leq n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} bezüglich der Basis besteht. Wegen {{ Relationskette | x^0 || 1 || || || |SZ= }} stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von {{math|term= g |SZ=}} selbst. Zu {{math|term= x |SZ=}} ist diese Matrix gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| 0 | 0| \ldots| 0 | -a_0 | 1 | 0 | \ldots| 0 | -a_1 | 0 | 1 | \ldots| 0 | -a_2 |\vdots|\vdots| \ddots|\vdots|\vdots| 0 | 0| \ldots| 1 | -a_{n-1} }} |SZ= }} beschrieben. Zu einem beliebigen Element {{ Relationskette/display | g || b_0 +b_1x +b_2x^2 {{plusdots}} b_{n-1}x^{n-1} || || || |SZ= }} wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an {{ Math/display|term= {{op:Matrix55|b_0 | -a_0b_{n-1} | \ldots|*|*|b_1 |b_0-a_1b_{n-1}| \ldots|*|*|b_2 |b_1-a_2b_{n-1}| \ldots|*|*|\vdots|\vdots| \ddots|\vdots|\vdots|b_{n-1} |b_{n-2}- a_{n-1} b_{n-1}| \ldots|*|* }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqep9s6rx7uxs68lm68eegocju114bt 0 103073 1100620 1085698 2026-06-17T10:36:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100620 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |R ||\Z || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette | M || {{op:Zmod| n |}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Modul| |Kontext=| |SZ= }} und wird von der {{ Relationskette | 1 | \in | M || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |erzeugt| |Definitionsseitenname=Kommutative Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition |SZ=. }} Allerdings gilt {{ Relationskette | n \cdot 1 || 0 || || || |SZ=, }} die Familie {{math|term= (1) |SZ=}} ist also bei {{ Relationskette | n |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} nicht linear unabhängig und keine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Modul| |SZ=. }} Da auch für jeden anderen Erzeuger {{ Relationskette | \xi | \in | M || || || |SZ= }} gilt, dass {{ Relationskette |n \cdot \xi || 0 || || || |SZ= }} ist, ist {{math|term= M |SZ=}} als {{math|term= \Z|SZ=-}}Modul nicht frei. Wenn man {{math|term= M |SZ=}} als {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} auffasst, so ist {{math|term= M |SZ=}} als Modul über sich selbst frei. Bei {{ Relationskette |n || p || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} liegt ein {{math|term= {{op:Zmod|p}} |SZ=-}} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} vor. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Modultheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9pg5fq566oppjrxjubfkhd3x54vmavh 0 103123 1100694 1035969 2026-06-17T10:48:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100694 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine alternative Möglichkeit, zwei im Dezimalsystem gegebene natürliche Zahlen algorithmisch zu multiplizieren, bietet das {{Stichwort|Jalousie-Verfahren|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Rauteverfahren oder Gitterverfahren| |ISZ=|ESZ=, }} das wir an einem Beispiel erläutern wollen. Es soll die Multiplikation {{mathl|term= 5183 \cdot 475 |SZ=}} durchgeführt werden. Dazu legt man ein {{ Zusatz/Klammer |text=mehr oder weniger| |ISZ=|ESZ= }} rechteckiges Schema der Form {{ Math/display|term= {{Multiplikation/Jalousie-Verfahren/4x3/Unbenannt| 3 | 4 | 8 ||| 7| 1 ||||| 5| 5 |}} |SZ= }} an, sodass für jedes Ziffernpaar eine Raute entsteht, die durch die vertikalen Striche in zwei Hälften unterteilt wird. Die Produkte der einstelligen Ziffern gemäß dem kleinen Einmaleins schreibt man in die zugehörige Raute, und zwar die Endziffer rechts und die Zehnerziffer links. {{ Math/display|term= {{Multiplikation/Jalousie-Verfahren/4x3/Unbenannt| 3 | 4 | 8 | 1 | 2 | 7 | 1 | 3 | 2 | 2| 1 | 5 | 5| 0 | 4 | 5 | 6 | 1 | 5 | 2 | 0 | 0| 7 | 4 | 0 | 3 | 5 | 0 | 5 | 2 | 5 || 1| 2 | 1 ||| | 2 | 4 | 6 | 1 | 9 | 2 | 5}} |SZ= }} Dann addiert man die entstehenden Spalten aus einstelligen Zahlen zusammen, notiert die Endziffer der Summe darunter und verarbeitet den Übertrag eine Stelle weiter links. Das Gesamtergebnis steht unter der punktierten Linie. Für die Korrektheit dieses Algorithmus sei auf {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Jalousie-Verfahren/Korrektheit/Aufgabe |Nr= |SZ= }} verwiesen. Der Vorteil dieses Algorithmus ist, dass man nur das kleine Einmaleins und die Addition braucht, man muss keine Überträge {{Anführung|im Sinn}} haben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iou8lybh9a8m1ox82h0o0b9habc8g2g 0 103189 1100350 1038366 2026-06-17T08:01:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100350 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |total geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (M, \leq) |SZ=}} ist stets ein {{ Definitionslink |Verband| |Kontext=| |SZ=, }} da ja zu zwei Elementen {{ Relationskette | x,y | \in | M || || || |SZ= }} das eine Element das Minimum und das andere das Maximum der beiden ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a2cg665bvew3mz8kudcryrkmplhp9oc 0 103240 1100101 1037225 2026-06-17T07:20:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100101 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \N|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Modell| |Kontext=| |SZ= }} der natürlichen Zahlen, d.h. man hat nur die Nachfolgerabbildung {{ Abbildung |name=N |\N|\N || |SZ= }} mit ihren charakteristischen Eigenschaften zur Verfügung. Damit kann man für jedes feste {{ Relationskette | c | \in | \N || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Nachfolgergleichung|SZ=}} {{ Relationskette/display |Nx || c || || || |SZ= }} formulieren. Dies ist eine Bedingungsgleichung, man sucht nach derjenigen Zahl {{math|term= x |SZ=,}} dessen Nachfolger die Zahl {{math|term= c |SZ=}} ist. Bei {{ Relationskette |c |\neq| 0 || || || |SZ= }} besitzt diese Gleichung eine eindeutige Lösung, nämlich den Vorgänger von {{math|term= c |SZ=,}} der aufgrund der Injektivität der Nachfolgerabbildung und dem Induktionsaxiom eindeutig bestimmt ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Existenz des Vorgängers/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Hingegen besitzt die Gleichung {{ Relationskette/display |Nx || 0 || || || |SZ= }} keine Lösung, da die {{math|term= 0 |SZ=}} kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iikfoz84bftilre8jjxpa0qes08wmiq 0 103296 1100586 1085668 2026-06-17T10:32:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100586 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wie verhalten sich die ganzen Zahlen bezüglich der Zählvorstellung für die natürlichen Zahlen, die wir in der fünften Vorlesung kennengelernt haben? Die richtige Vorstellung ergibt sich, wenn man die Nachfolgerabbildung auf {{math|term= \Z|SZ=}} fortsetzt, indem man für eine negative Zahl {{ Relationskette | y || -a || || || |SZ= }} den Nachfolger als das Negative des Vorgängers von {{math|term= a |SZ=}} definiert, also {{ Relationskette/display | y^\prime || - (a-1) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |a || 1 || || || |SZ= }} ist dies als {{math|term= 0 |SZ=}} zu lesen| |ISZ=|ESZ=. }} Die natürlichen Zahlen werden somit auf der Zahlengeraden von {{math|term= 0 |SZ=}} aus nach links mit {{math|term= -1,-2, ... |SZ=}} fortgesetzt. Der Nachfolgerschritt ist dann immer noch der eine Schritt nach rechts. Beispielsweise ergeben sich die Reihenfolgen {{ Aufzählung5 | {{ Math/display|term= ... , - {{|}} {{|}} {{|}}, - {{|}} {{|}} , - {{|}} ,0, {{|}} , {{|}} {{|}} ,{{|}} {{|}} {{|}} ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ..., -NNN0, -NN0, -N0, 0,N0,NN0,NNN0, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ... ,\text{minus drei}, \text{minus zwei}, \text{minus eins}, \text{null}, \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ... , -c,-b, -a,0, a,b,c, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ..., -3,-2,-1, 0,1,2,3, ... |SZ=. }} }} Es entsteht hier eine Symmetrie am Nullpunkt, wobei die negative Zahl {{mathl|term= -a|SZ=}} der positiven Zahl {{math|term= a |SZ=}} gegenüber liegt. Diese Symmetrie gilt insbesondere auf der Zahlengeraden. {{ inputbild |Integers-line|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=kismalac |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |SongkhaRekha|png| 500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=TareqMahbub |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wenn man die ganzen Zahlen dynamisch als {{ Zusatz/Klammer |text=gleichlange| |ISZ=|ESZ= }} Schritte nach rechts bzw. nach links {{ Zusatz/Klammer |text=oder nach vorne bzw. nach hinten oder nach oben bzw. nach unten| |ISZ=|ESZ= }} interpretiert, so sehen die negativen Zahl so {{Anführung|natürlich}} wie die positiven Zahlen aus. {{ inputbild |Apples_in_a_bascket|jpg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=Der Apfelkorb G |Autor= |Benutzer=Spirtu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Apples in a basket|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Der Apfelkorb H |Autor= |Benutzer=Oxfordian Kissuth |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Welche Objekte bzw. Strukturen kann man mit den ganzen Zahlen zählen? Es gibt keine Mengen mit negativ vielen Elementen! Dennoch gibt es viele Situationen, wo man mit ganzen Zahlen sinnvoll zählen kann. Sobald es einen Prozess zusammen mit einem zugehörigen gegenläufigen Prozess gibt, wie etwa einen Schritt nach rechts bzw. einen Schritt nach links zu machen, oder wenn man zwei sehr große Haufen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Körbe| |ISZ=|ESZ= }} an Äpfeln hat, und der Prozess ist, einen Apfel von dem einen Haufen zu dem anderen Haufen zu transportieren {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem umgekehrten Transport als dem gegenläufigen Prozess| |ISZ=|ESZ=, }} so kann man die möglichen {{ Zusatz/Klammer |text=hintereinander ausgeführten| |ISZ=|ESZ= }} Prozesse durch die ganzen Zahlen beschreiben: {{math|term= 7 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder deutlicher {{math|term= +7 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bedeutet {{math|term= 7 |SZ=}} Äpfel von Haufen {{math|term= G |SZ=}} nach Haufen {{math|term= H |SZ=,}} {{math|term= -3 |SZ=}} bedeutet drei Äpfel von Haufen {{math|term= H |SZ=}} nach Haufen {{math|term= G |SZ=.}} Hierbei muss man willkürlich festlegen, welche Prozessrichtung man als positiv ansehen möchte. Auch in der Hauswirtschaft werden die Einnahmen positiv und die Ausgaben negativ verbucht. Damit zusammenhängend werden negative Zahlen häufig als Schulden und positive Zahlen als Guthaben interpretiert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c85v25xfuxiyxc1lhi43dbtkeet8pfi 0 103322 1100588 1074802 2026-06-17T10:32:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100588 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Apples_in_a_bascket|jpg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=Der Apfelkorb G |Autor= |Benutzer=Spirtu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Apples in a basket|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Der Apfelkorb H |Autor= |Benutzer=Oxfordian Kissuth |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Welche Objekte bzw. Strukturen kann man mit den ganzen Zahlen zählen? Es gibt keine Mengen mit negativ vielen Elementen! Dennoch gibt es viele Situationen, wo man mit ganzen Zahlen sinnvoll zählen kann. Sobald es einen {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|gerichteten|msw=Gerichteter Prozess|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Prozess|SZ=}} zusammen mit einem zugehörigen gegenläufigen Prozess gibt, wie etwa einen Schritt nach rechts bzw. einen Schritt nach links zu machen, oder wenn man zwei sehr große Haufen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Körbe| |ISZ=|ESZ= }} an Äpfeln hat, und der Prozess ist, einen Apfel von dem einen Haufen zu dem anderen Haufen zu transportieren {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem umgekehrten Transport als dem gegenläufigen Prozess| |ISZ=|ESZ=, }} so kann man die möglichen {{ Zusatz/Klammer |text=hintereinander ausgeführten| |ISZ=|ESZ= }} Prozesse durch die ganzen Zahlen beschreiben: {{math|term= 7 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder deutlicher {{math|term= +7 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bedeutet {{math|term= 7 |SZ=}} Äpfel von Haufen {{math|term= G |SZ=}} nach Haufen {{math|term= H |SZ=}} übertragen, {{math|term= -3 |SZ=}} bedeutet drei Äpfel von Haufen {{math|term= H |SZ=}} nach Haufen {{math|term= G |SZ=}} übertragen. Hierbei muss man willkürlich festlegen, welche Prozessrichtung man als positiv ansehen möchte. Auch in der Hauswirtschaft werden die Einnahmen positiv und die Ausgaben negativ verbucht. Damit zusammenhängend werden negative Zahlen häufig als Schulden und positive Zahlen als Guthaben interpretiert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5t160fpffx5a80gclse8vp6pemzv7hv 0 103323 1100583 1085666 2026-06-17T10:31:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100583 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die negativen Zahlen kann man ausgehend von jedem Bezeichnungsystem für die natürlichen Zahlen bilden, die neuen Zahlen ergeben sich ja einfach aus den natürlichen Zahlen, indem man ein Minuszeichen davorsetzt. Beispielsweise sind {{ Aufzählung5 | {{ Math/display|term= ... , - {{|}} {{|}} {{|}}, - {{|}} {{|}} , - {{|}} ,0, {{|}} , {{|}} {{|}} ,{{|}} {{|}} {{|}} ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ..., -NNN0, -NN0, -N0, 0,N0,NN0,NNN0, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ... ,\text{minus drei}, \text{minus zwei}, \text{minus eins}, \text{null}, \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ... , -c,-b, -a,0, a,b,c, ... |SZ=. }} | {{ Math/display|term= ..., -3,-2,-1, 0,1,2,3, ... |SZ= }} }} angedeutete Auflistungen für alle ganzen Zahlen. {{ inputbild |Integers-line|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=kismalac |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |SongkhaRekha|png| 500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=TareqMahbub |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Insbesondere kann man den Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden erweitern und links von der {{math|term= 0 |SZ=}} die negativen Zahlen {{math|term= -1,-2, ... |SZ=}} platzieren. Durch diese Anordnung entsteht eine Symmetrie am Nullpunkt, wobei die negative Zahl {{mathl|term= -a|SZ=}} der positiven Zahl {{math|term= a |SZ=}} gegenüber liegt. Diese Symmetrie gilt insbesondere auf der Zahlengeraden. Wenn man die ganzen Zahlen dynamisch als {{ Zusatz/Klammer |text=gleichlange| |ISZ=|ESZ= }} Schritte nach rechts bzw. nach links {{ Zusatz/Klammer |text=oder nach vorne bzw. nach hinten oder nach oben bzw. nach unten| |ISZ=|ESZ= }} interpretiert, so sehen die negativen Zahl so {{Anführung|natürlich}} wie die positiven Zahlen aus. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jdqydmzco26ktqj74ny4jcz3qp2hsd 0 103411 1099980 1085077 2026-06-17T07:00:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099980 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das Binoid {{ Relationskette |M || \mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/(2(x+y) {{=|}} 4(x+y)) || || || |SZ= }} besitzt das nichttriviale kombinatorische idempotente Element {{ Relationskette |e || 2(x+y) || || || |SZ=. }} Wenn man dieses annulliert, so erhält man das nichtreduzierte Binoid {{ Math/display|term= \mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/ 2(x+y) |SZ=, }} also nach Reduktion ein Achsenkreuz. Wenn man {{math|term= e |SZ=}} gleich der Einheit {{math|term= 0 |SZ=}} setzt, so erhält man das Gruppenbinoid {{ Math/display|term= \mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/ 2(x+y) =0 |SZ=, }} das über die Zuordnung {{ Math/display|term= x \mapsto (1,1),\, y \mapsto (-1,1) |SZ=, }} zur Gruppe {{mathl|term= \Z \times {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=}} gehört. Algebraisch liegt die Gleichung {{ Relationskette/display | (XY)^2-1 || (XY-1)(XY+1) || 0 || || |SZ= }} vor, das reell-geometrische Objekt besteht aus vier reellen Komponenten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kommutativen Binoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jodq1w5qhbh0nakpd1fpelo19vahjue 0 103426 1100574 1085652 2026-06-17T10:30:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100574 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In Charakteristik {{math|term= \neq 2,3 |SZ=}} lässt sich eine elliptische Kurve durch eine Weierstraßgleichung der Form {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+ax+b || || || |SZ= }} in inhomogener bzw. {{ Relationskette/display | y^2z || x^3+axz^2+bz^3 || || || |SZ= }} in homogener Form beschreiben. Dabei ist {{ Relationskette/display | -4a^3-27b^2 |\neq| 0 || || || |SZ= }} die Bedingung für die Glattheit. Bei {{ Relationskette |b |\neq| 0 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} Parameter und {{mathl|term= (y,z) |SZ=}} sind stets Parameter im Kegel, {{mathl|term= (x,z) |SZ=}} dagegen nicht. Das Bündel {{mathl|term= {{op:Syz| x^2,y^2,z^2}}(3) |SZ=}} besitzt durch {{mathl|term= (x,-z,ax+bz) |SZ=}} einen nichttrivalen Schnitt, der allerdings eine Nullstelle im Punkt {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} hat. Wir ersetzen {{math|term= y |SZ=}} durch {{mathl|term= w+cz|SZ=,}} wir arbeiten also mit der neuen Variablen {{math|term= w |SZ=,}} die anderen Variablen bleiben gleich. Dann erhält man die neue Kurvengleichung {{ Relationskette/align | x^3+axz^2+bz^3 -zy^2 || x^3+axz^2+bz^3 -z(w+cz)^2 || x^3+axz^2+bz^3 -zw^2-2cwz^2-c^2z^3 || x^3 -zw^2 +z^2 {{makl| {{makl| b-c^2 |}} z -2cw +ax |}} |SZ=. }} Wir wählen {{math|term= c \neq 0 |SZ=.}} Dann ist jedenfalls das Tupel {{mathl|term= (x,-z, {{makl| b-c^2 |}} z -2cw +ax ) |SZ=}} nullstellenfrei und wir haben einen nullstellenfreien Schnitt von {{mathl|term= {{op:Syz| x^2,w^2,z^2}}(3) |SZ=,}} d.h. dies ist eine Realisierung von {{math|term= F_2 |SZ=}} als Syzygienbündel. Dabei sind {{mathl|term= (z,w) |SZ=}} Parameter und bei {{ Relationskette/display |b-c^2 |\neq| 0 || || || |SZ= }} auch {{mathl|term= (x,w) |SZ=}} Parameter. Letzteres kann man unter der Charakteristikbedingung stets erreichen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4oa9xejmphv1gmxpnw018gt3hbryhns 0 103430 1100564 1085642 2026-06-17T10:28:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100564 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Takahashi, Geometric Properties of Plane Quartics, über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} die Standardform {{ Relationskette/display | x^{3}z+(y^{3}+pyz^{2}+qz^{3})x+ry^{4}+sy^{3}z+ty^{2}z^{2}+uyz^{3}+vz^{4} || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette/display | x^{3}z+(py^{2}+qyz+rz^{2})xz+y^{4}+sy^{2}z^{2}+tyz^{3}+uz^{4} || 0 || || || |SZ=. }} Im ersten Fall sind {{mathl|term= (x,z) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= r \neq 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= v \neq 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} Parameter. Wir schreiben die Gleichung als {{ Math/display|term= x^3 z + y^3 {{makl| x +ry +sz |}} + z^2 {{makl| pxy +qxz+ ty^{2} +uyz+vz^{2} |}} |SZ=. }} Dies liefert den globalen Schnitt {{mathl|term= (z,x +ry +sz, pxy +qxz+ ty^{2} +uyz+vz^{2} ) |SZ=}} {{ Math/display|term= {\mathcal O}_Y \longrightarrow {{op:Syz| x^3,y^3,z^2|}} (4) \subseteq {\mathcal O}_Y(1) \oplus {\mathcal O}_Y(1) \oplus {\mathcal O}_Y(2) |SZ=. }} Die gemeinsame Nullstellenmenge dieses Schnittes auf der Kurve ist durch {{mathl|term= (z, x+ry, pxy +ty^2) |SZ=}} gegeben. Bei {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} sind alle Variablen gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} da gibt es also keine Nullstelle. Bei {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |px+ty || 0 || x+ry || || |SZ= }} und damit ist auch {{ Relationskette/display | t || rp || || || |SZ=. }} Wenn wir dies ausschließen, so liegt ein nullstellenfreier Schnitt vor, das Syzygienbündel ist stark semistabil und alles vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} gehört zum tight closure. Das Element {{math|term= xy^2z|SZ=}} gehört aber nicht zum Ideal, da es in der Kurvengleichung nicht vorkommt. Im Fall {{ Relationskette | t || rp || || || |SZ= }} haben wir im Punkt {{ Relationskette/display |P || (-r,1,0) || || || |SZ= }} eine gemeinsame Nullstelle. Diese ist einfach, da bei {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} die Zerlegung {{ Relationskette | y^3x+ry^4 || y^3 (x+ry) || || || |SZ= }} zeigt, dass {{math|term= x+ry|SZ=}} im Punkt einfach verschwindet. Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {\mathcal O}(P) \longrightarrow {{op:Syz| x^3,y^3,z^2|}} (4) \longrightarrow {\mathcal O}(-P) \longrightarrow 0 |SZ=, }} die zeigt, dass das Syzygienbündel nicht semistabil ist. Wir twisten mit {{math|term= {\mathcal O}(1) |SZ=.}} Dann bekommt das Geradenbündel rechts den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} und somit ist alles vom Grad {{math|term= 5 |SZ=}} im tight closure des Ideals. Das Element {{math|term= x^2y^2z|SZ=}} gehört aber nicht zum Ideal, da im Polynomring {{mathl|term= F \in (x^3,y^3,z^2) |SZ=}} gilt und somit eine Gleichung {{ Relationskette | x^2y^2z || Ax^3 +By^3+Cz^2 || || || |SZ= }} modulo {{math|term= F |SZ=,}} die im Polynomring eine homogene Gleichung {{ Relationskette/display | x^2y^2z || Ax^3 +Bx^3+Cz^2+DF || || || |SZ= }} bedeutet, schon im Polynomring selbst gelten müsste. Im zweiten Fall sind {{mathl|term= (x,z) |SZ=}} Parameter und bei {{ Relationskette |u |\neq| 0 || || || |SZ= }} auch {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} Parameter. Wir multiplizieren die Gleichung mit {{math|term= z |SZ=}} und schreiben das Ergebnis als {{ Math/display|term= x^3 z^2 + z^3 {{makl| uz^2+qxy +sy^2+rxz+tyz |}} +y^2 {{makl| zy^2+pxz^2 |}} |SZ=. }} Dies liefert einen globalen Schnitt {{ Math/display|term= {\mathcal O}_Y \longrightarrow {{op:Syz| x^3,z^3 ,y^2 |}} (5) |SZ=. }} Die gemeinsame Nullstellenmenge ist {{mathl|term= (z, y (qx +sy), 0 ) |SZ=,}} das ist also der Punkt {{math|term= P=(1,0,0) |SZ=.}} Die Kurvengleichung wird bei {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | y^4 || 0 || || || |SZ=. }} Dann haben wir {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {\mathcal O}(4 P) \longrightarrow {{op:Syz| x^3,z^3,z^2|}} (5) \longrightarrow {\mathcal M} \longrightarrow 0 |SZ=, }} und das Syzygienbündel ist stark semistabil. Jedenfalls ist alles vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} im tight closure. Das Element {{mathl|term= x^2yz|SZ=}} gehört nicht zu diesem Ideal. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdl38ov6tu6nip4m9flbi6x2xlpkonu 0 103506 1100563 1085641 2026-06-17T10:28:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100563 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Shioda, , die Standardform {{ Relationskette/display |F || x^{3}z+ x p(y,z)+ q(y,z) || 0 || || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= p |SZ=}} ein homogenes Polynom vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} in den Variablen {{math|term= y,z|SZ=}} und {{math|term= q |SZ=}} ein homogenes Polynom vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} in den Variablen {{math|term= y,z|SZ=.}} Dabei ist {{ Relationskette |q |\neq| 0 || || || |SZ=, }} da sonst die Kurve reduzibel wäre. Daher können wir durch eine Variablentransformation in {{math|term= y,z|SZ=}} annehmen, dass sowohl {{math|term= y^4 |SZ=}} als auch {{math|term= z^4 |SZ=}} in {{math|term= q |SZ=}} und damit in {{math|term= F |SZ=}} nichttrivial vorkommen. Somit sind {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} und {{mathl|term= (x,z) |SZ=}} Parameter. Wir schreiben {{ Relationskette |p || ry^2+sz^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |q || ty^2+uz^3 || || || |SZ=. }} Wir multiplizieren die Gleichung mit {{math|term= z |SZ=}} und erhalten aus {{ Math/display|term= x^3 z^2 +x z p +zq=0 |SZ=, }} dass {{ Math/display|term= ( z^2,sx + uz, rxz + tz ) |SZ= }} ein globaler Schnitt {{ Math/display|term= {\mathcal O}_Y \longrightarrow {{op:Syz| x^3,z^3 ,y^2 |}} (5) |SZ= }} ist. Dieser Schnitt hat eine Nullstelle in einem Punkt {{math|term= P |SZ=}} der Kurve genau dann, wenn die Koordinaten des Punktes {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |sx || 0 || || || |SZ= }} ist. Bei {{ Relationskette/display | x || 0 || || || |SZ= }} wäre auch {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ=, }} das kann nicht sein. Also ist bei {{ Relationskette |s |\neq| 0 || || || |SZ= }} der Schnitt nullstellenfrei. D.h. wir haben in diesem Fall eine kurze exakte Sequenz aus lokal freien Garben {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {\mathcal O}_Y \longrightarrow {{op:Syz| x^3,z^3,y^2|}} (5) \longrightarrow {\mathcal M} \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei {{math|term= \mathcal M |SZ=}} den Grad {{math|term= 8 |SZ=}} besitzt. Wir tensorieren mit {{math|term= {\mathcal O}_Y(-1) |SZ=}} und erhalten {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {\mathcal O}_Y(-1) \longrightarrow {{op:Syz| x^3,z^3,y^2|}} (4) \longrightarrow {\mathcal M}(-1) \cong {\mathcal O}_Y(1) \longrightarrow 0 |SZ=. }} Die Kohomologieklasse {{mathl|term= {{op:Bruch|z^3| xy}} |SZ=}} rechts rührt von einer Klasse im Syzygienbündel her. Kommt nicht von links her. Im Frobeniusabschluss? {{mathl|term= x^2z^2 |SZ=.}} Es sei nun {{ Relationskette |s || 0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Math/display|term= ( z, u, rx + t ) |SZ= }} ein globaler Schnitt {{ Math/display|term= {\mathcal O}_Y \longrightarrow {{op:Syz| x^3,z^3 ,y^2 |}} (4) |SZ=. }} Aus {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | y^3( \alpha x + \beta y) || 0 || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette |u || r ||t || 0 || |SZ=, }} es liegt also eine Nullstelle in {{mathl|term= (1,0,0) |SZ=}} vor. Zur Bestimmung der Vielfachheit arbeiten wir mit affinen Koordinaten, wir betrachten die affine Kurvengleichung {{ Relationskette/display | z+ p(y,z)+ q(y,z) || 0 || || || |SZ=. }} Daraus folgt, dass {{math|term= y |SZ=}} ein lokaler Parameter in {{math|term= P |SZ=}} ist und dass {{math|term= z |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} besitzt. Dann hat {{math|term= u |SZ=}} auch die Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} (?) Wir erhalten eine destabilisierende kurze exakte Sequenz{{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {\mathcal O}( P) \longrightarrow {{op:Syz| x^3,y^3,z^2|}} (4) \longrightarrow {\mathcal O}(- P) \longrightarrow 0 |SZ=. }} Wir tensorieren mit {{math|term= {\mathcal O}_Y( 1) |SZ=,}} dadurch werden beide Seiten positiv und alles vom Grad {{math|term= \geq 5 |SZ=}} liegt im tight closure. Es ist {{ Math/display|term= F= x^{3}z+ r xy^2 + q(y,z) \in (x^3,z^3, y^2) |SZ=. }} Daher ist {{mathl|term= x^2yz^2 \notin (x^3,z^3, y^2) |SZ=}} modulo {{math|term= F |SZ=,}} da dies sonst auch im Polynomring gelten würde. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dq5onqpblnba7vmfuwzkumrfhhwsagm 0 103684 1100656 1085752 2026-06-17T10:42:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100656 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Differentialoperatoren {{mathl|term= {{op:Bruch| \partial^\alpha| \alpha!}} |SZ=}} haben die besondere Eigenschaft, dass sie {{math|term= X^\alpha|SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom {{ Relationskette |f |\neq| 0 || || || |SZ= }} einen Operator, der dieses Polynom auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbildet. Wenn {{math|term= f |SZ=}} die Form {{ Relationskette/display |f || \sum_{\beta{{=}} d} c_\beta X^\beta + \sum_{\beta < d} c_\beta X^\beta || || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette |c_\alpha |\neq| 0 || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= d |SZ=}} für ein bestimmtes {{math|term= \alpha|SZ=,}} so ist {{math|term= {{op:Bruch| \partial^\alpha|\alpha!|}} |SZ=}} ein Operator, der {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= c_\alpha|SZ=}} abbildet. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmz7h0qz9e5uoqh30tucgcfx7ewaszo 0 103880 1099695 1084790 2026-06-17T06:15:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099695 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im Ring {{ Relationskette |R || K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^2 |}} || || || |SZ= }} das Primideal {{ Relationskette | {{idealp|}} || (X,Z) || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{idealp|}}^2 || {{makl| X^2,XZ,Z^2 |}} || {{makl| X^2,XZ,XY|}} || (X) {{makl| X,Z,Y|}} || |SZ=. }} Dagegen gilt wegen {{ Relationskette/display |X || {{op:Bruch| 1 |Y}} \cdot Z^2 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= R_{{idealp}} |SZ=}} die Zugehörigkeit {{mathl|term= X \in {{idealp|}}^{(2)} |SZ=}} und somit {{ Relationskette/display | {{idealp|}}^2 || ( X ) {{makl| X,Y,Z|}} | \subset | (X) || {{idealp|}}^{(2)} || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der symbolischen Potenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhspaef10otrd8u54prothsjt3e7zju 0 103884 1100113 1085217 2026-06-17T07:22:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100113 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |R || K[X,Y]/(X^2-Y^3) || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/align | R {{tensor|K}} R | \cong| R[A,B] / {{makl| 2XA + A^2 -3Y^2B-3YB^2-B^3 |}} | \cong| K[X,Y,A,B] {{makl| X^2-Y^3, 2XA + A^2 -3Y^2B-3YB^2-B^3 |}} || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Zur Bestimmung des singulären Ortes berechnen wir die Jacobi-Matrix dieser Restklassendarstellung. Es ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix24| 2X| -3Y^2| 0 | 0| 2A| -6YB-3B^2| 2X+2A| -3Y^2-6YB -3B^2}} |SZ=. }} Dies ist bei {{ Relationskette/display |X || Y || 0 || || |SZ= }} und bei {{ Relationskette | A || -X || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |B || -Y || || || |SZ= }} singulär. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Hauptteilmoduls |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pn1jlm5fs95yzuc6ximib2st8nri0pm 0 103975 1100153 1085272 2026-06-17T07:29:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100153 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Ideal {{ Relationskette/display | {{ideala|}} || (XY,XZ,YZ) || (X,Y) \cap (X,Z) \cap (Y,Z) || || |SZ= }} im Polynomring {{mathl|term= K[X,Y,Z] |SZ=.}} Daran kann man direkt die minimalen Primoberideale ablesen. Es ist {{ Relationskette/display | {{ideala|}}^{(2)} || (X,Y)^2 \cap (X,Z)^2 \cap (Y,Z)^2 || || || |SZ= }} und da gehört {{math|term= XYZ|SZ=}} dazu. Allerdings gehört {{math|term= XYZ|SZ=}} nicht zu {{mathl|term= {{ideala|}}^2 |SZ=,}} es liegt also eine echte Inklusion {{ Relationskette | {{ideala|}}^2 | \subset | {{ideala|}}^{(2)} || || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der symbolischen Potenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5sv1ynrrj7ael3zi6d3yujys2c8mlc5 0 104357 1100619 1035243 2026-06-17T10:36:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100619 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | \sum_{\sigma \in S_n } sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{i, \sigma (i)} || \sum_{\sigma \in S_n } sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{\sigma (i), i} || || || |SZ=. }} Dies ergibt sich aus {{ Relationskette/align | \sum_{\sigma \in S_n } sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{i, \sigma (i)} || \sum_{\sigma \in S_n } sgn(\sigma^{-1}) \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{\sigma^{-1}(i), i} || \sum_{\sigma \in S_n } sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{\sigma (i), i} || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Kommutative Algebra |Kategorie2=Modultheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mch8ql1qrl174lw0ld6ift1f0zkxome 0 104378 1099884 1084980 2026-06-17T06:45:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099884 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf {{ Relationskette/display |S || K[X,Y,Z]/ {{makl| X^3+Y^3-Z^3 |}} || || || |SZ= }} die Operation von {{mathl|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=,}} wobei ein Erzeuger durch {{ Math/display|term= X \mapsto \zeta X,\, Y \mapsto \zeta Y, \, Z \mapsto \zeta^2 Z |SZ= }} operiere. Aus der Bedingung {{ Relationskette/display |(x,y,z) || (\zeta x, \zeta y, \zeta^2 z) || || || |SZ= }} folgt direkt, dass der Nullpunkt der einzige Fixpunkt der Operation ist. Außerhalb dieses Punktes ist die Operation frei und dort ist der Quotient etale. Es sei {{math|term= R |SZ=}} der Invariantenring. Dieser ist normal Cohen-Macaulay und hat eine rationale Singularität. Invariante Erzeuger sind {{ Math/display|term= X^3,X^2Y, XY^2, Y^3, XZ, YZ |SZ=. }} Die invarianten Differentialoperatoren sind die Differentialoperatoren von {{math|term= R |SZ=.}} Insbesondere gibt es außer der Identität keine unitären Differentialoperatoren. Der Invariantenring wird durch die {{math|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Minoren der Matrix {{ Relationskette/display | {{op:Matrix34| x^3| x^2y| xy^2| xz | x^2y| xy^2| y^3| yz| x^2z^2| xyz^2| y^2z^2| x^3+y^3||||||||||||}} || {{op:Matrix34| A | B | C | E | B | C | D | F | E^2|EF|F^2|A+D||||||||||||}} || || || |SZ= }} beschrieben. Wir behaupten, dass der Quotientenkörper des Invariantenringes der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| X | Y}} |und|term2= {{op:Bruch|Z^2|Y}} |SZ= }} ist. Zunächst gehört {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| Z | Y}} |}}^3 || {{makl| {{op:Bruch| X | Y}} |}}^3 +1 || || || |SZ= }} da dazu. Ferner gehört auch {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| Z | Y^2}} || {{op:Bruch|Z^3|Y^3}} \cdot {{op:Bruch| Y | Z^2}} || || || |SZ= }} dazu. Damit gehört auch {{ Relationskette/display |YZ || {{op:Bruch|Z^2|Y}} \cdot {{op:Bruch|Y^2|Z}} || || || |SZ= }} dazu. Also gehört auch {{ Relationskette/display |Z^3 || YZ \cdot {{op:Bruch|Z^2|Y}} || || || |SZ= }} und damit auch {{ mathkor|term1= Y^3 |und|term2= X^3 |SZ= }} dazu. Wenn man {{ Relationskette/display |U || {{op:Bruch| X | Y}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |V || {{op:Bruch|Z^2|Y}} || || || |SZ= }} setzt, so ist {{ Relationskette/display |X^3 || {{op:Bruch|U^3V^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |X^2Y || {{op:Bruch|U^2V^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |XY^2 || {{op:Bruch|UV^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |Y^3 || {{op:Bruch|V^3| {{makl| U^3+1 |}}^2 }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | YZ || {{op:Bruch|V^2|U^3+1}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |XZ || {{op:Bruch|UV^2|U^3+1}} || || || |SZ=. }} Die Kohomologieklasse {{mathl|term= {{op:Bruch|Z^2|XY}} |SZ=}} wird auf {{mathl|term= {{op:Bruch|\zeta Z^2|XY}} |SZ=}} abgebildet, ist also nicht invariant, die invariante Klasse {{mathl|term= {{op:Bruch|Z^2|XY}} + {{op:Bruch|\zeta Z^2|XY}} + {{op:Bruch|\zeta^2 Z^2|XY}} |SZ=}} ist {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der unitären Differentialoperatoren |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d3jpeweqf5ieyofknrnfuao1o2a28c6 0 104453 1100542 1085613 2026-06-17T10:25:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100542 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K}} |SZ=}} und den projektiven Raum {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| n | K}} |SZ=.}} Die projektiven Koordinaten seien {{mathl|term= y_0,y_1 {{kommadots|}} y_n |SZ=,}} ein affiner Ausschnitt davon ist {{ Relationskette/display |D_+(y_0) || {{op:Spec|K[ {{op:Bruch| y_1 | y_0 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch| y_n | y_0 }} ] |}} || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette/display |u_i || {{op:Bruch| y_i | y_0 }} || || || |SZ=. }} Dann sind die partiellen Ableitungen {{mathl|term= \partial_{u_i } |SZ=}} auf die anderen affinen Stücke ausdehnbar. Mit {{ Relationskette/display |D_+(y_n) || {{op:Spec| K[ {{op:Bruch| y_0 | y_n }} {{kommadots|}} {{op:Bruch| y_{n-1}| y_n }} ] |}} || {{op:Spec| K[ {{op:Bruch|u_j |u_n }} , j \neq 0, n ,\, {{op:Bruch| 1 |u_n }} ] |}} || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Relationskette/display | \partial_{u_j } {{makl| {{op:Bruch|u_r|u_s}} |}} || \begin{cases} 0 \, , \text{ bei } r, s \neq j \, , \\ {{op:Bruch| 1 |u_s}} \, , \text{ bei } r {{=|}} j \, , \\ - {{op:Bruch|u_r|u_s^2}} \, , \text{ bei } s {{=|}} j \, .\end{cases} || || |SZ= }} Somit handelt es sich um eine Derivation auf dem projektiven Raum. {{ Relationskette/display | y_i \partial_{y_j } {{makl| {{op:Bruch| y_r| y_s}} |}} || \begin{cases} 0 \, , \text{ bei } r,s \neq j \, , \\ {{op:Bruch| y_i | y_s}} \, , \text{ bei } r {{=|}} j \, , \\ - {{op:Bruch| y_i y_r| y_s^2}} \, , \text{ bei } s {{=|}} j \, .\end{cases} || || || |SZ= }} Speziell ist für {{mathl|term= y_0 \partial_{y_j } |SZ=}} {{ Relationskette/display | y_0 \partial_{y_j } {{makl| {{op:Bruch| y_r| y_s}} |}} || \begin{cases} 0 \, , \text{ bei } r,s \neq j \, , \\ {{op:Bruch| y_0 | y_s}} {{=|}} {{op:Bruch| 1 |u_s}} \, , \text{ bei } r {{=|}} j \, , \\ - {{op:Bruch| y_0 y_r| y_s^2}} {{=|}} - {{op:Bruch| 1 |u_s}} \cdot {{op:Bruch|u_r|u_s}} \, , \text{ bei } s {{=|}} j \, ,\end{cases} || || || |SZ= }} das stimmt also mit {{mathl|term= \partial_{u_j } |SZ=}} überein. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Funktionenkörpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sokasm4cjt77m9if5p4k69j8t9gwy0r 0 104473 1100653 1085747 2026-06-17T10:41:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100653 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\pi | {{op:Affiner Raum| n | K}} | {{op:Affiner Raum| n | K}} | (y_1 {{kommadots|}} y_n) | (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{=|}} (y_1 , y_1y_2 {{kommadots|}} y_1 y_n) |SZ=, }} beschreibt einen affinen Ausschnitt der Aufblasung des Nulllpunktes des affinen Raumes. Auf den Kähler-Differentialen induziert dies die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \pi^*\Omega_{ {{op:Affiner Raum| n | K}} } | \Omega_{ {{op:Affiner Raum| n | K}} } || |SZ= }} mit {{mathl|term= dx_1 \mapsto dy_1 |SZ=}} und {{mathl|term= dx_i \mapsto d(y_1y_i)= y_1dy_i + y_idy_1 |SZ=.}} Somit ist {{ Relationskette/display |\Omega_{ {{op:Affiner Raum| n | K}} {{|}} {{op:Affiner Raum| n | K}} } || R^{n-1} /( y_1 dy_i,\, i {{=}} 2 {{kommadots|}} n ) | \cong| {{makl| R/(y_1) |}}^{n-1} || || |SZ=. }} Dies ist auch {{mathl|term= i_* \Omega_{E'} |SZ=,}} wobei hier {{math|term= E'|SZ=}} den affinen Ausschnitt des exzeptionelen Divisors bezeichnet. Bei {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} ist das der Restklassenring zum Hauptideal {{mathl|term= (y_1) |SZ=,}} das den exzeptionellen Ort beschreibt. Dort ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \pi^*\Omega_{ {{op:Affiner Raum| 2 |K}} } \cong {{op:Strukturgarbe| \widetilde{ {{op:Affiner Raum| 2 |K}} } }}^2 \longrightarrow \Omega_{ \widetilde{ {{op:Affiner Raum| 2 |K}} } } \longrightarrow i_* {{op:Strukturgarbe|E}}(-2) \longrightarrow 0 |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Aufblasungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dj45lnr7nwvt8o7nz269ztlp1tdkpu1 0 104483 1100321 1038186 2026-06-17T07:57:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100321 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Standardquadrik/4_Variablen/Unterringrealisierung/Beispiel |Nr= |SZ= }} an und betrachten {{ Relationskette/display | K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) | \cong| K[S_1T_1, S_2T_2 , S_1T_2, S_2T_1 ] | \subseteq | K[S_1,S_2,T_1,T_2] || || |SZ=. }} Im Polynomring ist {{mathl|term= \partial_{S_1 } \partial_{T_1 } |SZ=}} ein unitärer Differentialoperator, der {{ Relationskette |X ||S_1T_1 || || || |SZ= }} auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbildet. Die Restklassenbeschreibung dieses Operators auf der Quadrik erhält man, wenn man {{mathl|term= \partial_{S_1 } \partial_{T_1 } |SZ=}} auf allen Monomen in {{mathl|term= X,Y,Z,W|SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq 2 |SZ=}} auswertet und auf den Unterring projiziert. Dies ergibt den Operator {{ Relationskette/display |F || \partial_X + X \partial^2_X + Z \partial_X \partial_Z+ Y \partial_Z \partial_W+ W \partial_X \partial_W || || || |SZ=, }} Es ist in der Tat {{ Relationskette/display |F(XY-ZW) || Y-Y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F(X^2Y-XZW) || 2XY -ZW +2XY+ZW-ZW-ZW || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F(XY^2-YZW) || Y^2 -Y^2 || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F(XYZ-Z^2W) || YZ +YZ -2YZ || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F(XYW-ZW^2) || YW -2YW +YW || 0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3i4fw9nb5muxazhlhbzyzw7b9tmlqpz 0 104484 1100541 1085612 2026-06-17T10:25:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100541 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K}} |SZ=}} und die Aufblasung {{math|term= \tilde{X} |SZ=}} davon im Nullpunkt. Ein affiner Ausschnitt davon ist {{ Math/display|term= {{op:Spec|K[ x_1, {{op:Bruch| x_2 | x_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch| x_n | x_1 }} ] |}} |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen {{mathl|term= \partial_i |SZ=}} sind nicht fortsetzbar auf die Aufblasung, die {{mathl|term= x_i \partial_i |SZ=}} sind fortsetzbar und sind Derivationen vom Grad {{math|term= 0 |SZ=.}} Wenn man von {{ Relationskette/display | \widetilde{ {{op:Affine Ebene| K |}} } || \operatorname{Proj} K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X,Z |SZ=}} vom Grad {{math|term= 0 |SZ=}} und {{mathl|term= Y,W |SZ=}} vom Grad {{math|term= 1 |SZ=}} ausgeht und den unitären Operator aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Standardquadrik/4 Variablen/Monomial/Unitärer Differentialoperator/Beispiel |Nr= |SZ=, }} also {{ Math/display|term= \partial_X + X \partial^2_X + Z \partial_X \partial_Z+ Y \partial_Z \partial_W+ W \partial_X \partial_W |SZ=, }} betrachtet, so besitzt dieser in der gegebenen Graduierung den Grad {{math|term= 0 |SZ=.}} Auf {{mathl|term= K[X, {{op:Bruch| Z | X}} ] |SZ=}} bildet dies {{math|term= X |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Bruch| Z | X}} |SZ=}} auf {{ Relationskette | - {{op:Bruch| Z | X^2}} + 2 {{op:Bruch| Z | X^2}} - {{op:Bruch| Z | X^2}} || 0 || || || |SZ= }} ab. Auf {{mathl|term= K[Z, {{op:Bruch| X | Z}} ] |SZ=}} bildet dies {{math|term= Z |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Bruch| X | Z}} |SZ=}} auf {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1 |Z}} - {{op:Bruch| 1 |Z}} || 0 || || || |SZ= }} ab. Es gibt also auf nichtaffinen, semiaffinen {{ Zusatz/Klammer |text=eigentlich über einem affinen Schema| |ISZ=|ESZ= }} (globale nichtkonstante) unitäre Differentialoperatoren. Die birationale Beschreibung dieses Operators ist einfach {{ Relationskette/display | \partial_X + X \partial^2_X + Z \partial_X \partial_Z || {{makl| 1+ X \partial_X + Z \partial_Z |}} \partial_X || || || |SZ=. }} Es ist ja nur die Wirkungsweise des Operators auf den Monomen {{mathl|term= X^iZ^j |SZ=}} relevant, und diese werden durch die beiden hinteren Summanden des Operators annulliert. Wenn man zusätzlich an einem weiteren Punkt {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} aufbläst, so ist dieser Operator auf der Gesamtaufblasung nicht global definiert. Es ist ja {{ Relationskette/display | F {{makl| {{op:Bruch|X-a|Z-b}} |}} || {{makl| 1+ X \partial_X + Z \partial_Z |}} {{op:Bruch| 1 |Z-b}} || {{op:Bruch| 1 |Z-b}} - Z {{op:Bruch| 1 |(Z-b)^2}} || {{op:Bruch|Z-b -Z|(Z-b)^2}} || {{op:Bruch| -b |(Z-b)^2}} |SZ=, }} was bei {{ Relationskette | b |\neq| 0 || || || |SZ= }} nicht zum Bewertungsring des exzeptionellen Divisors gehört, obwohl {{mathl|term= {{op:Bruch|X-a|Z-b}} |SZ=}} dazugehört. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Funktionenkörpern |Kategorie2=Theorie der Aufblasungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ifylnoc1gf1ryf74w1n80raq1jpbuz 0 104510 1099948 1036277 2026-06-17T06:55:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099948 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch ein Polynom der Form {{ Relationskette/display |F || X^a +Y^b+Z^c || || || |SZ= }} gegebene Hyperfläche im Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k |a,b,c | \geq | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Der Körper sei so, dass die Exponenten in {{math|term= K |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden seien. Das {{ Definitionslink |Jacobiideal| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| aX^{a-1}, bY^{b-1}, cZ^{c-1} }} || {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || || || |SZ=. }} Im Restklassenring {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Global isolierte Singularität/Globale und lokale Milnoralgebra/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | K[X,Y,Z]_{(0,0,0)} / {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || K[X,Y,Z] / {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || || || |SZ= }} bilden die Monome {{ mathbed|term= X^iY^jZ^k |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq a-1,\, 0 \leq j \leq b-1,\, 0 \leq k \leq c-1,\, ||bedterm2= |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} und somit ist die {{ Definitionslink |Milnorzahl| |Kontext=| |SZ= }} dieser Hyperfläche gleich {{mathl|term= (a-1)(b-1)(c-1) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qeb00yzqldqcy4dwjkuu3zskoap1sfj 0 104513 1099950 1085041 2026-06-17T06:55:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099950 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch ein Polynom der Form {{ Relationskette/display |F || X_1 \cdots X_n || || || |SZ= }} gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das {{ Definitionslink |Jacobiideal| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |J_F || {{makl| X_2 \cdots X_n , X_1 X_3 \cdots X_n {{kommadots|}} X_1 \cdots X_{n-1} }} || || || |SZ=. }} Wir betrachten den Restklassenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]_{(0{{kommadots|}} 0)} / J_F |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n | \geq | 3 || || || |SZ= }} hingegen sind die Monome {{ Math/display|term= X_1^n,\, n \in \N |SZ=, }} linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} unendlich. Die {{ Definitionslink |Milnorzahl| |SZ= }} dieser Hyperfläche ist also unendlich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h1hw9cz8vclyc4oqwiskp8pe0zqhmk8 0 104525 1100294 1085423 2026-06-17T07:52:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100294 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= F |\R^3| \R |(x,y,z) | x^2 +y^3+z^5 |SZ= }} und die Faser {{ Relationskette/display |Z || F^{-1} (0) | \subseteq | \R^3 || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 2x| 3y^2| 5z^4}} |SZ= }} mit dem einzigen singulären Punkt {{ Relationskette | (0,0,0) | \in | Z || || || |SZ=. }} Das bedeutet, dass {{mathl|term= Z \setminus \{ (0,0,0) \} |SZ=}} eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit ist. Es ist keineswegs klar, dass ganz {{math|term= Z |SZ=}} keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, nur weil man den Satz über implizite Abbildungen im Nullpunkt nicht anwenden kann. Es handelt sich sogar um eine {{ Definitionslink |topologische Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Fermat-Brieskorn/3 Variablen/Ungerader Exponent/Reelle Realisierung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Das entsprechende Gebilde über den komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist keine topologische Mannigfaltigkeit. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7nenjkp6o6nfjcz10kfxe7mamxdlea9 0 104526 1099693 1034579 2026-06-17T06:15:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099693 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die durch {{mathl|term= Z^2-XY|SZ=}} gegebene Nullstellenmenge hat im Nullpunkt eine Singularität. Wir betrachten auf dem {{math|term= \R^2 |SZ=}} den Automorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=die Punktspiegelung| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= u \mapsto -u, v \mapsto -v|SZ=.}} Jeder Punkt wird also auf den gegenüberliegenden Punkt abgebildet, nur der Nullpunkt wird auf sich selbst abgebildet. Welches geometrische Objekt entsteht, wenn man jeden Punkt mit seinem Gegenüber identifiziert? Ein sinnvoller Ansatz ist hier, nach Funkionen auf dem {{math|term= K^2 |SZ=}} zu suchen, die für je zwei gegenüberliegende Punkte den gleichen Wert haben. Beispiele für solche Funktionen sind {{mathl|term= u^2,v^2,uv|SZ=.}} Alle Polynome in {{mathl|term= u,v|SZ=}} mit dieser Invarianzeigenschaft lassen sich als Polynom in diesen drei Monomen schreiben. Diese drei Monome stehen untereinander in einer Beziehung, es gilt {{ Relationskette/display |(uv)^2 || u^2 v^2 || || || |SZ=. }} Wenn man {{ Relationskette |z || uv || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | x || u^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || v^2 || || || |SZ= }} setzt, so ist dies die Gleichung vom Anfang. Wir haben also ein Beispiel einer Singularität, die sich als Nullstellenmenge eines Polynom und als Quotientenmenge unter einer natürlichen Identifizierung erhalten lässt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kp5yan0nqkrwugqkr8xhbyszb459sdv 0 104671 1100110 1085214 2026-06-17T07:22:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100110 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Funktion {{mathl|term= X^2-Y^3 |SZ=}} bilden {{mathl|term= 1,Y|SZ=}} eine Basis von {{mathl|term= {\mathcal O}/ {{makl| 2X,3Y^2 |}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Standardentfaltung| |SZ= }} ist also {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}}^2 \times {{CC|}}^2 | {{CC|}} |(x,y,v,w)| x^2-y^3 +v+wy |SZ=. }} Zu einem fixierten Parameterpaar {{mathl|term= (v,w) |SZ=}} besitzt die dadurch parametrisierte Funktion {{math|term= f_{v,w} |SZ=}} die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= 2x |und|term2= - 3y^2+w |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |w || 0 || || || |SZ= }} besitzt {{math|term= f_{v,w} |SZ=}} den einzigen singulären Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der aber nur bei {{mathlk|term=v=0 |SZ=}} auf der Faser liegt| |ISZ=|ESZ=, }} der {{ Definitionslink |ausgeartet| |Kontext=Hesse| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Definitionslink |Milnorzahl| |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} bei {{ Relationskette |w |\neq| 0 || || || |SZ= }} besitzt {{math|term= f_{v,w} |SZ=}} die beiden singulären Punkte {{ mathkor|term1= (0, \sqrt{w/3)} |und|term2= (0,- \sqrt{w/3)} |SZ=, }} die beide nicht ausgeartet sind. Die Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte stimmt also mit der Milnorzahl der Ausgangshyperfläche überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3jvvp8wisuk10j96ppza2ce9fqtmz9 0 104716 1099704 1084799 2026-06-17T06:17:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099704 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Not-star-shaped|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Sarang |Domäne=en. Wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | {{CC|}}^2 | {{CC|}} |(x,y)| xy |SZ=, }} die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche {{mathl|term= f^{-1} (0) |SZ=}} ist das komplexe Achsenkreuz. Jede Faser über einem Punkt {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist eine komplexe Hyperbel und biholomorph zu {{ Relationskette/display | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || {{CC|}} \setminus \{0\} || || || |SZ=, }} und zwar über die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |f^{-1}(a) {{=|}} {{Mengebed|(x,y) \in {{CC|}}^2| xy {{=}} a }} | {{CC|}} \setminus \{0\} |(x,y)| x |SZ=, }} mit der Umkehrabbildung {{mathl|term= x \mapsto {{op:Zeilenvektor| x | {{op:Bruch| a | x}} ||}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Milnorfaser| |Kontext=| |SZ=, }} also der Schnitt von {{mathl|term= f^{-1}(a) |SZ=}} mit dem reellen abgeschlossen Ball {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball| 0 | \delta }} |SZ=,}} der ja durch {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x |}}^2 + {{op:Betrag| y |}}^2 | \leq | \delta^2 || || || |SZ= }} gegeben ist, wird unter der biholomorphen Abbildung zu {{ Math/display|term= {{Mengebed| x \in {{CC|}} \setminus \{0\} | {{op:Betrag| x |}}^2 + {{op:Betrag| {{op:Bruch| a | x}} |}}^2 \leq \delta^2 }} |SZ=. }} Diese Bedingung bedeutet für die reelle Zahl {{mathl|term= {{op:Betrag| x |}} |SZ=,}} dass sie zu einem abgeschlossenen Intervall mit positiven Intervallgrenzen gehören muss, und für die komplexe Zahl {{math|term= x |SZ=,}} dass sie zu einem Annulus {{ Zusatz/Klammer |text=Kreisring| |ISZ=|ESZ= }} mit irgendeinem Mittelpunkt und gewissen Radien gehören muss. Ein Kreisring ist homotop zu einem Kreis, man kann ihn ja auf einen der Randkreise kontrahieren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorfaserung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnv7a8vk2pphygb7jowu9zthpkului8 0 104799 1099945 1085036 2026-06-17T06:55:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099945 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine nichtkonstante {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f | U | {{CC|}} || |SZ= }} in einer Variablen {{math|term= y |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette | 0 | \in | U | \subseteq | {{CC|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist im Nullpunkt {{ Definitionslink |rechtsäquivalent| |Kontext=| |SZ= }} zu einer Potenz {{mathl|term= y^k |SZ=.}} Die Potenzreihenentwicklung von {{math|term= f |SZ=}} im Nullpunkt hat die Form {{ Math/display|term= a y^k + g y^k |SZ= }} mit {{ mathbed|term= a \in {{CC|}} ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ Relationskette |g | \in | {{idealm|}} || (y) || || |SZ=. }} Dann ist in einer offenen Umgebung von {{math|term= 0 |SZ=}} die Funktion {{mathl|term= a+g|SZ=}} nullstellenfrei und daher ist auf einer offenen Umgebung der {{math|term= 0 |SZ=}} auch eine Wurzel {{mathl|term= \sqrt[k] {a+g} |SZ=}} wohldefiniert und holomorph. Daher ist dort durch {{mathl|term= y \mapsto y \sqrt[k]{a +h} |SZ=}} eine biholomorphe Abbildung gegeben, die {{math|term= f |SZ=}} und {{math|term= y^k |SZ=}} als rechtsäquivalent erweist. Verschiedene Potenzen sind untereinander nicht rechtsäquivalent nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9peyrthzls6mrikhwukthxuc2ymf5t 0 104829 1100297 1074414 2026-06-17T07:53:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100297 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Complete bipartite graph K2,1|svg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Illes |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Intersecting planes|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Zu einem Graphen {{math|term= \Gamma|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= V |SZ=}} bzw. dem zugehörigen {{ Definitionslink |simplizialen Komplex| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Delta|SZ=}} besteht die zugehörige Achsenraumkonfiguration aus allen Achsen {{mathl|term= K e_v|SZ=}} und genau aus denjenigen Achsenebenen {{mathl|term= K e_v + Ke_w |SZ=,}} für die {{mathl|term= \{v,w\} |SZ=}} eine Kante des Graphen ist. Bei {{ Relationskette |V || \{1,2,3\} || || || |SZ= }} ergibt der leere Graph {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem die Kantenmenge leer ist| |ISZ=|ESZ= }} das Achsenkreuz im Raum, der Graph mit einer Kante ergibt eine Ebene mit einer dazu senkrechten Geraden, der Graph mit zwei Kanten ergibt zwei Ebenen, die sich in einer Geraden senkrecht schneiden, und der Graph mit drei Kanten ergibt die drei Achsenebenen im Raum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g30iccl0oeqj2kkvk8crvsmfa707zg3 0 105021 1100299 1085427 2026-06-17T07:53:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100299 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf einer zweielementigen Menge {{ Relationskette |V || \{e,f\} || || || |SZ= }} ist der einzige nichttriviale {{ Definitionslink |simpliziale Komplex| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | \Delta || \{ \emptyset, \{e\}, \{f\} \} || || || |SZ=. }} Die einzige Nichtseite ist {{mathl|term= \{e,f\} |SZ=}} und daher ist {{ Relationskette/display |R [\Delta] || R[X_e,X_f]/ {{makl| X_eX_f |}} | \cong| R[X,Y] /(XY) || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o071dmpnifquyk6s04odvz3qev0r15l 0 105058 1100151 1085268 2026-06-17T07:28:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100151 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || K[X_1 {{kommadots|}} X_m] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=n| |SZ= }} in {{math|term= m |SZ=}} Variablen über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=.}} Dann gibt es nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Homogene Polynome/n Variablen/Monomanzahl/Aufgabe |Nr= |SZ= }} genau {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} |SZ=}} Monome vom Grad {{math|term= n |SZ=.}} Dies ist somit die {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumdimension| |Kontext=| |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die {{ Definitionslink |Hilbertfunktion| |Kontext=K| |SZ= }} des graduierten {{math|term= R |SZ=-}}Moduls {{math|term= R |SZ=}} ist also {{ Relationskette/align/handlinks |H_R(n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || {{op:Bruch|(n+m-1) \cdots (n+1)|(m-1)!}} || {{op:Bruch| 1 |(m-1)!}} n^{m-1} + {{op:Bruch| m | 2 (m-2)!}} n^{m-2} + \text{ kleinere Terme} || |SZ=. }} Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term= \Q|SZ=,}} das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ne5ufx7n5bojchdmjz1ns3iww2bk84 0 105101 1100367 1085497 2026-06-17T08:04:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100367 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer Variablenpotenz {{ Relationskette |f(x) || x^n || || || |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | {{CC|}} | {{CC|}} | x | x^n |SZ=, }} ist die Ableitung {{ Relationskette |f'(x) || nx^{n-1} || || || |SZ= }} und somit bilden die Funktionen {{mathl|term= 1,x,x^2 {{kommadots|}} x^{n-2} |SZ=}} eine Basis von {{mathl|term= {\mathcal O}/ {{makl| nx^{n-1}|}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Standardentfaltung| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}} \times {{CC|}}^{n-1} | {{CC|}} |(x,a_0,a_1 {{kommadots|}} a_{n-2}) | x^n +a_0+a_1x {{plusdots|}} a_{n-2} x^{n-2} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten |Kategorie3=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 21bbk1dam02139d99e6dmu98abq1vvb 0 105144 1099808 1084914 2026-06-17T06:33:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099808 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Love_Heart_symbol_rings|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Nevit |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachen die monomiale Gleichung {{ Relationskette/display |z^2 || w^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=,}} wo also die beiden Exponenten nicht teilerfremd sind. Diese Kurve kann auch durch die Gleichung {{ Relationskette |zw || 0 || || || |SZ= }} beschrieben werden, es handelt sich also um das komplexe Achsenkreuz {{ Relationskette |V || V(zw) || V(z) \cup V(w) || || |SZ=. }} In diesem Fall besteht der Durchschnitt {{ Relationskette/display |L || V \cap S^3 || || || |SZ= }} aus zwei disjunkten Kreisen. Diese beiden Kreise sind einfach ineinander verschlungen. Man spricht von der {{Stichwort|Hopfverschlingung|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hp8x94b2aqqsk264t6arm6gtrjyb1rx 0 105217 1099793 1084895 2026-06-17T06:30:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099793 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/(F) || || || |SZ= }} und {{math|term= E |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Differentialoperator| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} auf {{math|term= R |SZ=.}} Dieser ist als Operator auf dem Polynomring der Form {{ Math/display|term= \sum_i G_i \partial_i + \sum_{ i \leq j} H_{ij} \partial_i \partial_j |SZ= }} gegeben und insbesondere durch die Werte auf den Variablen und quadratischen Monomen festgelegt. Es müssen {{mathl|term= E(F) |SZ=}} und die {{mathl|term= E(X_iF) |SZ=}} Vielfache von {{math|term= F |SZ=}} sein, sagen wir {{ Relationskette/display |E(F) || AF || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |E(X_iF) || B_iF || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |A,B_i | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ=. }} Wir betrachten {{ Relationskette/display |S || K[X_1 {{kommadots|}} X_n,U ]/(F+ U^2 ) || || || |SZ=. }} Wir definieren {{math|term= \tilde{E} |SZ=}} auf {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n,U ] |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | \tilde{E} (X^\mu) || E(X^\mu) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |\tilde{E} (U) || C || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \tilde{E}(X_i U) || D_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \tilde{E}(U^2) || L || || || |SZ= }} Dies legt einen Differentialoperator auf dem großen Polynomring fest. Dieser Operator is mit partiellen Ableitungen beschrieben gleich {{ Math/display|term= \sum_i G_i \partial_i + \sum_{ i \leq j} H_{ij} \partial_i \partial_j + C \partial_U + \sum_i D_i \partial_i \partial_U + {{op:Bruch| 1 | 2}} L \partial_U \partial_U |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | \tilde { E} (F+U^2) || E(F)+ \tilde{E} (U^2) || AF +2 CU+ L || || |SZ=. }} Das führt zur Bedingung {{ Relationskette/display | 2CU+L || AU^2 || || || |SZ=. }} Ferner kriegen wir nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Bedingungen {{ Relationskette/align | \tilde{E} (X_i (F+U^2)) || \tilde{E} (X_i F) + \tilde{E} (X_iU^2) || E(X_iF) + X_i\tilde{E} (U^2) + 2U \tilde{E}(X_iU)- U^2 \tilde{E}(X_i)- 2X_iU\tilde{E}(U) || B_iF + X_i AU^2 +2UD_i -U^2G_i -2X_iU C || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | \tilde{E} (U (F+U^2)) || \tilde{E} (U F) + \tilde{E} (U^3) || \tilde{E} (U F) + 3 U \tilde{E} (U^2) - 3U^2 \tilde{E}(U ) || \tilde{E} (U F) + 3U^3A -3U^2 C || |SZ=, }} um einen Operator auf {{math|term= S |SZ=}} zu induzieren. Mit dem Ansatz {{ Relationskette |C || \tilde{C} U || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |D_i || \tilde{D}_i U || || || |SZ= }} werden die ersten Bedingungen erfüllt, wenn {{ Relationskette/display |X_iA+ 2 \tilde{D}_i - G_i -2X_i \tilde{C} || B_i || || || |SZ= }} gilt, was man nach {{mathl|term= \tilde{D}_i |SZ=}} auflösen kann. Weiter ist {{ Relationskette/display | \tilde{E} (UF) || U E(F) +CF+ \sum_i D_i \partial_i F || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | \tilde{E} (U (F+U^2)) || \tilde{E} (U F) + 3U^3A -3U^2 C || U E(F) +CF+ \sum_i D_i \partial_i F + 3U^3A -3U^2 C || U {{makl| AF + \tilde{C} F+ \sum_i \tilde{D}_i \partial_i F + 3U^2A -3U^2 \tilde{C} |}} || |SZ=. }} Anderer Ansatz von Jacobi-Taylor-Matrix her. {{ Relationskette/display |D_i || {{op:Bruch| 1 | 2}} U B_i || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |L || - \sum B_i \partial_i F || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 2CU || AU^2 - L || AU^2 + \sum B_i \partial_i F || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njeh2wpzfwg7iu3gkh3khlblzhb45ba 0 105263 1100407 1085537 2026-06-17T08:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100407 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette/display |F || X^2+Y^2+Z^3 || || || |SZ=. }} Die relevanten Taylor-Ableitungen sind {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \partial| \partial X}} (F) || 2X || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} (F) || 2 Y || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \partial| \partial Z}} (F) || 3Z^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial X}} |}}^2 (F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Y}} |}}^2(F) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Bruch| \partial| \partial Z}} |}}^2 (F) || 3 Z || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz= 3Z^2 |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= 3Z }} }} Ein Linkskernelement ist {{ Math/display|term= (0, 0,0,2 ,- 9Z^2,0,6 X, - 9Z^2,6Y,4Z) |SZ=. }} Nur in der letzten Spalte ist die Summe {{math|term= 12 F |SZ=,}} sonst kommt in den Spalten schon im Polynomring {{math|term= 0 |SZ=}} raus. {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 4 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz= 3Z^2 |uw=2W |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= 3Z |uww=1 }} }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48s8ut5w7n6orozybb2hptluufz63bb 0 105369 1100368 1038420 2026-06-17T08:04:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100368 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Abbildung/display |name= |K^3|K |(x,y,z)| xyz |SZ=, }} ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsenebenen, also zweidimensional. Die {{ Definitionslink |Jacobimatrix| |Kontext=formal| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= (yz,xz,xy) |SZ=. }} Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. Aber auch in einem Punkt mit {{ Relationskette | x || y || 0 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom Wert von {{math|term= z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} liegt die Nullmatrix vor und der Punkt ist singulär. Wenn hingegen {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist und die beiden anderen Koordinaten {{mathl|term= y,z|SZ=}} nicht {{math|term= 0 |SZ=}} sind, so ist die Jacobimatrix gleich {{mathl|term= (yz,0,0) |SZ=}} und hat den Rang {{math|term= 1 |SZ=,}} ein solcher Punkt ist also glatt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j1c0gr7b49sb503ex60fz4z2vzz11g4 0 105371 1099703 1084798 2026-06-17T06:16:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099703 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Abbildung/display |name= |K^3|K^3 |(x,y,z)| (yz,xz,xy) |SZ=, }} ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsen, also das eindimensionale Achsenkreuz im Raum. Die {{ Definitionslink |Jacobimatrix| |Kontext=formal| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 0 | z | y | z | 0 | x | y | x | 0 ||}} |SZ=. }} Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. In einem Punkt mit {{ Relationskette | x || y || 0 || || |SZ= }} und {{ Relationskette |z |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist die Matrix gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 0 | z | 0 | z | 0 | 0| 0 | 0| 0 ||}} |SZ= }} und ihr Rang ist {{ Relationskette | 2 || 3-1 || || || |SZ=, }} also liegt ein {{ Definitionslink |glatter Punkt| |Kontext=| |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7i696pn8ydwjn3wma67yrpjsb9lhxg0 0 105424 1100080 1085182 2026-06-17T07:17:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100080 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |K^6| K^3 |(x,y,z,u,v,w)| (xv-yu, yw-zv,xw-zu) |SZ=, }} wobei man die Koeffizientenfunktionen als die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Minoren| |Kontext=| |SZ= }} der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix23| x | y | z | u | v |w}} |SZ= }} interpretieren sollte. Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix36| v | -u| 0 | -y| x | 0 | 0| w | -v| 0 | -z| y | w | 0 | -u| -z| 0 | x |||||}} |SZ=. }} Im Nullpunkt liegt die Nullmatrix vor und somit liegt dort jedenfalls eine Singularität vor. Sei {{ Relationskette |P | \in | K^6 || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Relationskette | x |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann zeigt die Untermatrix aus der ersten und dritten Zeile und der vorletzten und letzten Spalte, dass der Rang zumindest {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Wenn {{math|term= P |SZ=}} nicht zum Nullstellenmenge {{ Relationskette |V || \varphi^{-1}(0) || || || |SZ= }} gehört, so ist beispielsweise {{ Relationskette/display |uv-yu |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Doch dann ist auch die Determinante der Untermatrix bestehend aus der {{mathl|term= 3.,5.|SZ=}} und {{math|term= 6.|SZ=}} Spalte nicht {{math|term= 0 |SZ=}} und es liegt Rang {{math|term= 3 |SZ=}} vor. Dies gilt in allen Punkten außerhalb des Nullstellengebildes, d.h. nach dem Satz über implizite Abbildungen sind die anderen Fasern glatt und haben die Dimension {{math|term= 3 |SZ=.}} In einem Punkt der Nullfaser, der nicht der Nullpunkt ist, ist der Rang der Jacobi-Matrix genau {{math|term= 2 |SZ=.}} Beispielsweise ist die Determinante der eben erwähnten Untermatrix gleich {{mathl|term= x(vx-uy) |SZ=,}} und da steckt eine definierende Gleichung als Faktor drin. Welche Dimension besitzt die Nullfaser, also die Nullstellenmenge {{ Relationskette/display |V || \varphi^{-1} (0) || V(XV-YU, YW - ZW, XW-ZU) || || |SZ=, }} und ist sie außerhalb des Nullpunktes glatt? Diese Nullstellenmenge umfasst unmittelbar die Nullstellenmengen {{ mathkor|term1= V(X,Y,Z) |und|term2= V(U,V,W) |SZ=, }} was beides zwei affine Räume sind. Daher liegt zumindest die Dimension {{math|term= 3 |SZ=}} vor. Da die anderen Fasern dreidimensional sind und da das Nullstellengebilde durch drei Funktionen beschrieben wird, könnte man ebenfalls Dimension {{math|term= 3 |SZ=}} erwarten {{ Zusatz/Klammer |text=drei algebraische Bedingungen für sechs Variablen| |ISZ=|ESZ=. }} Es liegen aber zwischen den drei definierenden Gleichungen die Beziehungen {{ Relationskette/display | Y (XW-ZU) || Z (XV-YU) + X(YW-ZV) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | V (XW-ZU) || W (XV-YU ) + U(YW-ZV) || || || |SZ= }} vor, sie sind also nicht {{Anführung|unabhängig|SZ=.}} Als Zwischenschritt betrachten wir das Nullstellengebilde, das von den ersten beiden Gleichungen definiert wird, also {{ Math/display|term= V(XV-YU, YW-ZV) |SZ=. }} Für einen Punkt {{ Relationskette/display |P | \in | V(XV-YU, YW-ZV) || || || |SZ= }} muss wegen den oben formulierten Beziehungen auch {{ Relationskette/display |P | \in | V( Y (XW-ZU) , V (XW-ZU) ) || || || |SZ= }} gelten. Bei {{ Relationskette |P |\notin| V (XW-ZU) || || || |SZ= }} muss somit {{ Relationskette/display |P | \in | V(Y,V) || || || |SZ= }} gelten. Daher gilt {{ Relationskette/display/handlinks | V(XV-YU, YW-ZV) || V(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) \cap V(Y, V) || || || |SZ=. }} Die Jacobi-Matrix zur Abbildung {{ Abbildung/display |name= |K^6| K^2 |(x,y,z,u,v,w)| (xv-yu, yw-zv) |SZ=, }} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix26| v | -u| 0 | -y| x | 0 | 0| w | -v| 0 | -z| y ||}} |SZ=, }} woran man direkt ablesen kann, dass für Punkte außerhalb von {{mathl|term= V(Y,V) |SZ=}} der Rang gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist und damit wieder nach dem Satz über implizite Abbildungen ein glatter Punkt vorliegt und diese Nullstellenmenge vierdimensional ist. Daraus folgt, dass die ursprüngliche Nullstellenmenge eine offene Teilmenge, nämlich {{ Relationskette/display | D(Y,V) || K^6 \setminus V(Y,V) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eingeschränkt auf diese Menge| |ISZ=|ESZ= }} enthält, auf der die Menge die Dimension {{math|term= 4 |SZ=}} besitzt. Wegen der Symmetrie der Situation liegt dies in jedem Punkt außer eventuell dem Nullpunkt vor {{ Zusatz/Klammer |text=ein Extremfall könnte sein, dass der Nullpunkt ein isolierter Punkt der Nullstellenmenge ist, der mit dieser gar nichts zu tun hat| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann aber zeigen, dass das Ideal {{ Relationskette/display | (XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) | \subseteq | K[X,Y,Z,U,V,W] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Minorenring/3x2/Primideal/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Determinantenringe |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kn22tvvkwh823vm9gpcx21nrclrj022 0 105428 1099751 1084858 2026-06-17T06:24:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099751 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |K^2|K^2 |(x,y)|(x^2-x,xy-y) |SZ=. }} Das Nullstellengebilde besteht aus dem isolierten Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} und der durch {{ Relationskette | x || 1 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden. Dieses Gebilde ist glatt und besitzt eine nulldimensionale und eine eindimensionale Komponente. Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=K| |SZ= }} der Abbildung ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 2x-1| 0 | y | x-1}} |SZ=. }} Im isolierten Nullpunkt besitzt die Matrix den {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=}} und man kann den Satz über die implizite Abbildung bzw. die entsprechende Definition anwenden {{ Zusatz/Klammer |text=und erhält wieder, dass lokal die Faser nulldimensional ist| |ISZ=|ESZ=. }} In einem Punkt der Form {{mathl|term= (1,y) |SZ=}} ist der Rang gleich {{math|term= 1 |SZ=}} und man kann diesen Satz nicht anwenden. Da die direkte Betrachtung gezeigt hat, dass in diesen Punkten lokal die Dimension der Faser gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist, können wir die {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition |SZ= }} anwenden und auf Glattheit schließen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6b9zb67oz6p34e12y7at9xtpgskulyk 0 105445 1100108 1085212 2026-06-17T07:21:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100108 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Relationskette/display |F || Y^2+X^3 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 2 Variablen 2 |ux=3X^2 |uy=2Y |uxx=3X |uxy=0 |uyy=1 |uxxx=1 }} |SZ=. }} Ein Linkskernelement ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | 1 | 0 | -4X| -6 Y| 9X^2|}} |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 2 Variablen 3 |ux=3X^2 |uy=2Y |uxx=3X |uxy=0 |uyy=1 |uxxx=1 }} |SZ=. }} Ein Linkskernelement ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | 0| 3 | 0 | -18X | -54Y| 48Y| -72X^2| -108XY| 162X^3}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqhx3yhvq15eed3l7ftthxe7bjqnvr4 0 105578 1100537 1034638 2026-06-17T10:24:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100537 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn {{ Abbildung |name= \varphi | {{KRC|}}^n | {{KRC|}}^m || |SZ= }} eine differenzierbare Abbildung und {{ Relationskette |P | \in | {{KRC|}}^n | || || || |SZ= }} ein Punkt ist, in dem das totale Differential surjektiv ist {{ Zusatz/Klammer |text=was {{ Relationskette/k |n | \geq | m || || || |SZ= }} voraussetzt| |ISZ=|ESZ=, }} sodass man {{ Faktlink |Präwort=den|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden kann, so sind auch die Voraussetzungen von {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition |SZ= }} erfüllt. Aufgrund der Voraussetzung des Satzes ist ja der Rang des totalen Differentials {{ Zusatz/Klammer |text=also der Rang der Jacobi-Matrix| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= m |SZ=}} und aufgrund des Satzes ist die Dimension der Faser im Punkt {{math|term= P |SZ=}} gleich {{mathl|term= n-m|SZ=.}} Damit ist der Rang gleich {{ Relationskette |m || n -(n-m) || n - \operatorname{dim}_P(Y) || || |SZ=. }} Hierbei wird allerdings verwendet, dass die Mannigfaltigkeitsdimension der lokalen Faser mit der später zu definierenden algebraischen Dimension übereinstimmt. Bei {{ Relationskette |m || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |\varphi |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist die Dimension der Faser {{math|term= \leq n-1 |SZ=}} und ein Punkt der Faser ist genau dann glatt, wenn man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann. {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Achsenkreuz/3/Glattheit/Beispiel |Nr= |SZ= }} gibt ein einfaches Beispiel eines glatten Punktes, in dem der Satz nicht angewendet werden kann. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Der Satz über implizite Abbildungen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} roldlkwynvuxbtk99gdgf10kddztots 0 106120 1100222 1085355 2026-06-17T07:40:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100222 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R^n | \R | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2 |SZ=, }} die durch die Summe der Quadrate gegeben ist, besteht die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} über dem Nullpunkt allein aus dem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | \ldots| 0}} |SZ=.}} Ein einziger Punkt besitzt aber {{ Zusatz/Klammer |text=in jeder sinnvollen Dimensionstheorie| |ISZ=|ESZ= }} die Dimension {{math|term= 0 |SZ=}} und nicht, wie bei komplexen Hyperflächen, die Dimension {{mathl|term= n-1 |SZ=.}} Über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} kann man sich die ersten {{math|term= n-1 |SZ=}} Koordinaten frei vorgeben und hat dann für die letzte Variable {{math|term= x_n |SZ=}} noch zwei {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich eine| |ISZ=|ESZ= }} Wahlmöglichkeiten, da jede komplexe Zahl {{math|term= \neq 0 |SZ=}} zwei Quadratwurzel besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aocylqkh3rvnee8u4bgdu9ihj5nyn0j 0 106475 1099750 1084857 2026-06-17T06:24:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099750 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die binomiale Gleichung {{ Relationskette | X_1 \cdots X_n || 1 || || || |SZ=. }} Die Nullstellenmenge {{ Relationskette | V || V(X_1 \cdots X_n-1) || || || |SZ= }} besteht aus sämtlichen Punkten, deren Produkt der Koordinaten gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Insbesondere darf kein Eintrag gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sein. Die {{ Definitionslink |Jacobimatrix| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|X_2 \cdots X_n | X_1 X_3\cdots X_n | \ldots| X_1 \cdots X_{n-2} X_n | X_1 \cdots X_{n-1}|}} |SZ= }} und diese besitzt in jedem Punkt der Nullstellenmenge den Rang {{math|term= 1 |SZ=,}} es liegt also eine {{ Definitionslink |glatte Varietät| |Kontext=| |SZ= }} vor. Der Satz über implizite Abbildungen liefert lokal die Existenz eines Diffeomorphismus zu {{math|term= K^{n-1} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |K || \R || || || |SZ= }} oder {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} doch gibt es hier unmittelbar die bijektive algebraische {{ Zusatz/Klammer |text=rationale| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{makl| {{op:Einheiten| K |}} |}}^{n-1} | V | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_{n-1} }} | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_{n-1}| {{op:Bruch| 1 | x_1 \cdots x_{n-1} }} }} |SZ=. }} Dies kann man so verstehen, dass {{math|term= V |SZ=}} der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |SZ= }} zur rationalen Funktion auf {{mathl|term= {{makl| {{op:Einheiten| K |}} |}}^{n-1} |SZ=}} ist. Es liegt hier also ein Isomorphismus zwischen der Zariski-offenen Menge {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Einheiten| K |}} |}}^{n-1} || K^{n-1} \setminus V(X_1 \cdots X_{n-1} ) | \subseteq | K^{n-1} || || |SZ= }} und der Zariski-abgeschlossenen Menge {{ Relationskette |V | \subseteq | K^n || || || |SZ= }} vor. Die Menge {{mathl|term= {{makl| {{op:Einheiten| K |}} |}}^{n-1} |SZ=}} nennt man auch den {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}dimensionalen {{Stichwort|Torus|SZ=.}} {{ inputbild |Rectangular hyperbola|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Rectangular_hyperbola |Autor= |Benutzer=Qef |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Bei {{ Relationskette | n || 2 || || || |SZ= }} ist das der Isomorphismus zwischen der punktierten Geraden und der Hyperbel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} celrlbjg3rtgo50de359f3dwwoefh77 0 106476 1100094 1085199 2026-06-17T07:19:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100094 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden {{ Definitionslink |binomialen Gleichungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |XY || Z^3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |X^2Z || Y^3 || || || |SZ= }} in den drei Variablen {{mathl|term= X,Y,Z|SZ=}} und versuchen uns über das zugehörige Nullstellengebilde {{ Relationskette/display |V || V {{makl| XY - Z^3, X^2Z - Y^3 |}} || || || |SZ= }} ein Bild zu machen. Zunächst gehört die Gerade {{ Relationskette/display |V(Y,Z) || {{Mengebed| (x,0,0)| x \in K}} || || || |SZ= }} zu {{math|term= V |SZ=.}} Dies kann aber nicht ganz {{math|term= V |SZ=}} sein, da der Punkt {{mathl|term= (1,1,1) |SZ=}} zu {{math|term= V |SZ=}} gehört. Wenn in einem Punkt {{ Relationskette/display |P || (x,y,z) | \in | V || || |SZ= }} die Koordinate {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist, so sind auch {{ Relationskette | x,z |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dort gilt also {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch|z^3| y}} || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | x^2 || {{op:Bruch|z^6| y^2}} || {{op:Bruch| y^3|z}} || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | z^7 || y^5 || || || |SZ=. }} In der Tat gehört auch das Polynom {{ Relationskette/display |Y^5- Z^7 || Z {{makl| XY+Z^3 |}} {{makl| XY-Z^3 |}} - Y^2 {{makl| X^2Z-Y^3 |}} | \in | {{makl| XY-Z^3, X^2Z-Y^3 |}} || |SZ= }} zu dem von den beiden binomialen Polynomen erzeugten Ideal. Das Nullstellengebilde erfüllt also insbesondere eine binomiale Gleichung, in der nur die beiden Variablen {{ mathkor|term1= Y |und|term2= Z |SZ= }} vorkommen. Es sei nach wie vor {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} ein Punkt von {{math|term= V |SZ=,}} für den sämtliche Komponenten nicht {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Dann gilt aufgrund von ähnlichen Überlegungen {{ Relationskette/display | x^5 || z^8 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | x^7 || y^8 || || || |SZ=. }} Allerdings gehören die Polynome {{ mathkor|term1= X^5-Z^8 |und|term2= X^7-Y^8 |SZ= }} nicht zum Ideal, da sie auf der eingangs erwähnten Geraden nicht verschwinden. Unsere Überlegung hat die Inklusion {{ Relationskette/display/handlinks | V {{makl| XY-Z^3, X^2Z-Y^3 |}} | \subseteq | V(Y,Z) \cup V {{makl| Y^5-Z^7 , X^5-Z^8 , X^7-Y^8 |}} || || || |SZ= }} gezeigt, wir werden gleich begründen, dass hier Gleichheit gilt. Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | K^3 | t | {{op:Zeilenvektor|t^8| t^7| t^5|}} |SZ=. }} Das Bild dieser Abbildung liegt offenbar in der zweiten Teilmenge. Umgekehrt ist jeder Punkt der zweiten Menge von dieser Form zu einem eindeutig bestimmten {{ Relationskette |t | \in | K || || || |SZ=. }} Da die Bildpunkte {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|t^8| t^7| t^5|}} |SZ=}} auch die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, gehört die rechte Teilmenge auch links dazu und oben gilt Gleichheit. Als bijektives Abbild der affinen Geraden ist über einem unendlichen Körper die rechte Teilmenge ebenfalls eine irreduzible Kurve. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der monomialen affinen Raumkurven |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wwkyz1qlb62qod9gfadwo6p3iyr8ny 0 106477 1099692 1084788 2026-06-17T06:15:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099692 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |binomiale Gleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |XY || Z^n || || || |SZ= }} definiert eine algebraische Fläche {{ Relationskette/display |V(XY-Z^n) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} || || || |SZ= }} über jedem Körper {{math|term= K |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| Y | X |nZ^{n-1} }} |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} ist dies überall glatt, bei {{ Relationskette |n | \geq | 2 || || || |SZ= }} liegt im Nullpunkt eine {{ Definitionslink |isolierte Singularität| |Kontext=| |SZ= }} vor. Man spricht von den {{math|term= A_{n-1} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=A-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Indizierung ist so gewählt, dass {{math|term= A_1 |SZ=}} schon eine Singularität ist| |ISZ=|ESZ=. }} Das Polynom {{ Relationskette |Z^n-XY | \in | K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |SZ=, }} für {{math|term= n |SZ=}} prim ergibt sich dies aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Capelli/Irreduzibilitätskriterium/Exponent ist prim/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^n |}} |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |rationale Funktionenkörper| |Kontext=n| |SZ= }} {{mathl|term= K(X,Z) |SZ=,}} da man {{ Relationskette/display |Y || Z^n/X || || || |SZ= }} ausdrücken kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcucwvg5mg9ccp0xn0lz8mz6bh8m82z 0 106478 1100399 1085526 2026-06-17T08:09:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100399 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Whitney unbrella|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname= Whitney unbrella |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung {{ Relationskette/display | X^2 Z || Y^2 || || || |SZ= }} gegeben ist, also {{ Relationskette |V || V {{makl| X^2Z-Y^2 |}} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |affinen Koordinatenring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |R || K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2Z-Y^2 |}} || || || |SZ=. }} Diese Fläche heißt {{Stichwort|Whitney-Regenschirm|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zur Funktion {{mathl|term= X^2Z-Y^2 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 2XZ| 2Y|X^2}} |SZ=. }} Die Gerade {{ Relationskette/display |V(X,Y) || {{Mengebed|(0,0,z)|z \in K }} || || || |SZ= }} liegt auf {{math|term= V |SZ=}} und genau dort ist die Jacobi-Matrix die Nullmatrix. Der singuläre Ort ist also eine eindimensionale Untervarietät. Im {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= Q(R) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Polynom ist irreduzibel| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display |Z || {{makl| {{op:Bruch| Y | X}} |}}^2 || || || |SZ= }} und der Quotientenkörper ist isomorph zum {{ Definitionslink |rationalen Funktionenkörper| |Kontext=n| |SZ= }} {{mathl|term= K(X,Y) |SZ=.}} Das Element {{mathl|term= Y/X |SZ=}} aus dem Quotientenkörper hat also die kuriose Eigenschaft, dass sein Quadrat, nämlich {{math|term= Z |SZ=,}} zu {{math|term= R |SZ=}} gehört, das Element selbst aber nicht. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |K^2| V |(x,u)| {{op:Zeilenvektor| x |ux|u^2}} |SZ=, }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wohldefiniert und bei {{math|term= K |SZ=}} {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} surjektiv, die Punkte {{ mathkor|term1= (0,u) |und|term2= (0,-u) |SZ= }} werden beide auf {{mathl|term= (0,0,u^2) |SZ=}} abgebildet und für {{ Relationskette | x |\neq| 0 || || || |SZ= }} liegt eine Bijektion vor, da sich dann {{math|term= u |SZ=}} aus {{math|term= ux|SZ=}} rekonstruieren lässt. Das bedeutet, dass {{math|term= V |SZ=}} aus der affinen Ebene entsteht, indem man auf einer Geraden durch den Nullpunkt gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert. Das Bild dieser Geraden ist die singuläre Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=im reellen Bild eine Halbgerade| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gesamtabbildung heißt Normalisierung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Whitney-Regenschirm |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5r08vpzygc38rpkgyx039627hfcaggs 0 106570 1099889 1035875 2026-06-17T06:45:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099889 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |f || X^2+Y^2+Z^2-1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |g || XZ-1 || || || |SZ=, }} die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die {{ Definitionslink |Resultante| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Resultante| f |g}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix33| 1 | 0 |X^2+Y^2-1| X | -1| 0 | 0| X | -1}} }} || 1 -X^2(X^2+Y^2-1) || 1-X^4-X^2-X^2Y^2 || |SZ=. }} Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} Flächen {{ Zusatz/Klammer |text=also die Kugel und der Zylinder über einer Hyperbel| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term= V(1-X^4-X^2-X^2Y^2) |SZ=}} liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Resultante |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4ibsc1tmzb523uem2jt90mb7ilanxs 0 106572 1100009 1036713 2026-06-17T07:05:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100009 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |f || X^2+Y^2-1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |g || Y-X^2 || || || |SZ=, }} die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die {{ Definitionslink |Resultante| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= Y |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Resultante| f |g}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix33| 1 | 0 |X^2-1| 1 | -X^2| 0 | 0| 1 | -X^2}} }} || X^4 -(X^2-1) || X^4 - X^2 +1 || |SZ=. }} Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} Kurven {{ Zusatz/Klammer |text=also der Kreis und die Parabel| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term= V( X^4 - X^2 +1) |SZ=}} liegt. Wenn man die Resultante bezüglich {{math|term= X |SZ=}} nimmt, so ergibt sich {{ Relationskette/align | {{op:Resultante| f |g}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix44| 1 | 0 |Y^2-1| 0 | 0| 1 | 0 |Y^2-1| - 1| 0 | Y | 0 | 0| - 1| 0 |Y}} }} || Y^2 + Y(Y^2-1) - ( -(Y^2-1)Y- (Y^2-1)^2) || Y^2 + Y^3-Y + (Y^2-1)Y + (Y^2-1)^2 || Y^4+ 2Y^3 - Y^2 -2Y +1 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Resultante |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3nsrbaahjw3p8yseky7m0la02a43go 0 106611 1100093 1037185 2026-06-17T07:19:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100093 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Nullstellenmenge {{ Relationskette/display |V || V(X-YZ,Y-XZ) | \subseteq | K^3 || || |SZ= }} und bestimmen die {{ Definitionslink |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |SZ= }} davon. Die {{math|term= z |SZ=-}}Achse {{mathl|term= V(X,Y) |SZ=}} ist eine Teilmenge von {{math|term= V |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | Y(X-YZ) -X(Y-XZ) || -(Y^2-X^2) Z || -(Y-X)(Y+X)Z || || |SZ= }} gehört auch das Produkt {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)Z|SZ=}} zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt {{ Relationskette/display |P ||(x,y,z) | \in | V || || || |SZ= }} gilt also {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | x || y || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | x || -y || || || |SZ=. }} Im ersten Fall ist auch {{ Relationskette | x || y || 0 || || |SZ=. }} Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu {{ Relationskette/display |X-XZ || X(1-Z) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | x || 0 || || || |SZ= }} gehört der Punkt zur {{math|term= z |SZ=-}}Achse, anderfalls ist {{ Relationskette/display |P | \in | V(Y-X, Z-1) || || || |SZ=. }} Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit {{ Relationskette/display |P | \in | V(Y+X, Z+1) || || || |SZ= }} hinzu. Somit ist {{ Relationskette/display |V || V(X,Y) \cup V(Y-X, Z-1) \cup V(Y+X, Z+1) || || || |SZ= }} eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} und die erste und die dritte in {{mathl|term= (0,0,-1) |SZ=}} treffen. Insbesondere ist {{math|term= V |SZ=}} eindimensional und zusammenhängend. Wir betrachten nun die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ=, }} diese ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix23| 1 | -Z| -Y| -Z| 1 | -X}} |SZ=. }} Diese hat in einem Punkt {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} genau dann den {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=,}} wenn die zweite Zeile das {{math|term= -z|SZ=-}}fache der ersten Zeile ist. Dann ist {{ Relationskette |z^2 || 1 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette |z || 1 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |z || -1 || || || |SZ=. }} Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix {{ Relationskette | y || (-1) (-y) || -x || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |z || 1 || || || |SZ= }} werden aber beide definierenden Gleichungen zu {{ Relationskette | x || y || || || |SZ=, }} sodass nur im Kreuzungspunkt {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall {{ Relationskette |z || -1 || || || |SZ= }} führt entsprechend zur Singularität {{mathl|term= (0,0,-1) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3eqw4lran78ybqc8rg5wb9es53ov6jy 0 106746 1100070 1074388 2026-06-17T07:15:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100070 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Example of a set|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Example_of_a_set |Text= |Autor= |Benutzer=Stephan Kulla |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} Es sei eine Menge von geometrischen Objekten, beispielsweise eine Menge von {{math|term= n |SZ=-}}Ecken, gegeben, die sortiert werden sollen. Die Sortierung soll vollständig sein und jedem Objekt genau einen Typ zuweisen. Objekte, die den gleichen Typ repräsentieren, heißen äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Sortierung| |ISZ=|ESZ=. }} Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die mehr oder weniger natürlich sind. Eine naheliegende Möglichkeit bei den {{math|term= n |SZ=-}}Ecken ist es, sie nach der Anzahl der Ecken zu sortieren. Zwei Objekte sind genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Anzahl an Ecken besitzen. Man kann sie aber auch nach der Farbe oder gemäß der Person, die die Figur gemalt hat, oder nach dem Flächeninhalt sortieren. {{ inputbild |Six Quadrilaterals|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Six_Quadrilaterals |Text= |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Oder man kann eine Menge von gegebenen Vierecken gemäß gewisser {{ Zusatz/Klammer |text=geometrisch relevanter| |ISZ=|ESZ= }} Eigenschaften sortieren. Wenn man sich nur auf eine Eigenschaft konzentriert, beispielsweise, ob ein Viereck ein Rechteck ist oder nicht, so gibt es nur zwei Typen bzw. Klassen. Man kann natürlich auch eine feinere Einteilung vornehmen. Man beachte dabei allerdings, dass die mathematischen Begriffe inklusiv sind {{ Zusatz/Klammer |text=ein Quadrat ist insbesondere ein Rechteck| |ISZ=|ESZ=, }} eine vollständige Aufteilung ergibt sich also nur dann, wenn man Konzepte wie Quadrat, Rechteck, aber kein Quadrat, Parallelogramm, aber kein Rechteck, etc. verwendet. Es gibt keine natürliche optimale Aufteilung der Menge aller Vierecke. Ein typisches Phänomen bei solchen Klassifikationen ist, dass es einen großen Rest von Objekten gibt, der außerhalb jedes Regularitätskonzeptes liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Theorie der Polygone |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j2n752gw93iel7psdk3z53rhas3z7ek 0 106823 1100442 1085578 2026-06-17T08:16:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100442 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Abbildung/display |name=\delta |\Z^2| {{op:Zmod| \ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \delta(e_1) = 1 ,\, \delta(e_2) = \ell -1 |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[U,V] |SZ=,}} die der {{ Definitionslink |linearen Operation| |Kontext=| |SZ= }} der Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix2|\zeta^{i}|\zeta^{-i} }} ,\, i = 1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ= }} zu einer {{math|term= \ell|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta|SZ=}} entspricht, vergleiche dazu {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Der Kern ist durch {{ Relationskette/display | \Gamma || \langle \ell e_1, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} und das Monoid durch {{ Relationskette/display | M || \langle \ell e_1, \ell e_2, e_1+e_2 \rangle || || || |SZ= }} gegeben, der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} ist {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/{{makl| XY-Z^\ell |}} |SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{ Relationskette | 0 | \in | {{CC}}^2 || || || |SZ= }} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^2 \setminus \{0\} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Daher kann man {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ Math/display|term= {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| \ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Abbildung/display |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern| \delta|}} | \Z || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \gamma(\ell e_1) =1,\, \gamma( e_1+e_2) = 0 \text{ und } \gamma(\ell e_2) =-1 |SZ= }} gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach {{math|term= \Z^2 |SZ=}} fortsetzen, allerdings lässt sich das {{math|term= \ell|SZ=-}}fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} | {{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \varphi(X) || T || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \varphi(Y) || T^{-1} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \varphi(Z) || 1 || || || |SZ=, }} was wiederum der stetigen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| {{CC}} |}} | {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/(XY - Z^\ell)|}}_{{CC}} {{=|}} V {{makl| XY-Z^\ell |}} | t| (t,t^{-1},1) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ= }} entspricht. Somit ist {{ Abbildung/display |name= | [0,2 \pi] | {{op:Spek| {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY - Z^\ell |}} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} | s | {{op:Zeilenvektor|e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s}|e^{- {{Imaginäre Einheit|}} s}| 1}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |SZ= }} dieses Monoidringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19gdp5tuyia4pohwhpu4imsldfcojfr 0 106829 1100383 1085513 2026-06-17T08:06:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100383 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Abbildung/display |name=\delta |\Z^{{{n|n}}} | {{op:Zmod| \ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \delta(e_j) = 1 \text{ für alle } j |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}] |SZ=,}} die der {{ Definitionslink |linearen Operation| |Kontext=| |SZ= }} der Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix5|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } | \ddots|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } |}} ,\, i =1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ=, }} zu einer {{math|term= \ell |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta |SZ=}} entspricht. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Operation der {{math|term= \ell|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Veronese-Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{Math/display|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{ Relationskette | 0 | \in | {{CC}}^{{{n|n}}} || || || |SZ= }} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^{{{n|n}}} \setminus \{0\} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Daher kann man bei {{ Relationskette | {{{n|n}}} | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also {{ Math/display|term= {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| \ell|}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch den Homomorphismus {{ Abbildung/display |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern| \delta|}} | \Z || |SZ= }} gegeben, der die Erzeuger {{math|term= e_j |SZ=}} des umgebenden {{math|term= \Z^{{{n|n}}} |SZ=}} auf {{math|term= {{op:Bruch| 1 | \ell}} |SZ=}} abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf {{math|term= 1 |SZ=}} abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} | {{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \varphi {{makl| X^\nu |}} || T^{ {{op:Bruch| {{op:Betrag|\nu||}} | \ell }} } || || || |SZ= }} für alle Monome {{math|term= X^\nu|SZ=}} aus dem Veronese-Ring {{ Zusatz/Klammer |text=die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome {{ mathbed|term= X^{\nu} ||bedterm1= {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} \ell ||bedterm2= |SZ=, }} werden einfach auf {{math|term= W |SZ=}} abgebildet| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| {{CC}} |}} | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} | t| (t : \, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell ) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist {{ Abbildung/display |name= | [0,2 \pi] | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} | s | {{makl| e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s } :\, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell |}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |SZ= }} des Veronese-Ringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8if3ftkteuyu27xii5zk7spbzh3xc7b 0 106998 1100199 1074407 2026-06-17T07:36:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100199 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |QuadratSpurKreuzung1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |QuadratSpurKreuzung2|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten ein Quadrat mit den Eckpunkten {{mathl|term= (0,0),\, (0,1),\, (1,0),\, (1,1) |SZ=.}} Eine Schnecke kriecht innerhalb des Quadrates von {{ mathkor|term1= (0,0) |nach|term2= (1,1) |SZ= }} und eine zweite Schnecke von {{ mathkor|term1= (1,0) |nach|term2= (0,1) |SZ=. }} Treffen sich die beiden Schleimspuren? Diese Frage ist nicht ohne Bezug auf Zahlenbereiche zu beantworten. Wenn es sich um {{ Zusatz/Klammer |text=stückweise| |ISZ=|ESZ= }} lineare Bewegungen handelt, die beispielsweise über den rationalen Zahlen definiert sind, so gibt es auch einen Schnittpunkt mit rationalen Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittmöglichkeiten/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn sich dagegen die beiden Schnecken längs der Kreise mit Radius {{math|term= 1 |SZ=}} bewegen, so gibt es {{Anführung|optisch}} betrachtet einen Schnittpunkt {{mathl|term= (x,y) |SZ=.}} Da dieser auf den beiden Kreisen liegt, erhalten wir die beiden Bedingungen {{ Relationskette/display | x^2+y^2 || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |(x-1)^2 +y^2 || 1 || || || |SZ=, }} was auf {{ Relationskette/display | 0 || x^2 - (x-1)^2 || 2x-1 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || |SZ= }} führt und auch von der Symmetrie der Situation her klar ist. Dies führt allerdings zu {{ Relationskette/display | y^2 || {{op:Bruch| 3 | 4}} || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch| \sqrt{3} | 2}} || || || |SZ=, }} und dies ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt |Nr= |SZ= }} eine irrationale Zahl. Es gibt also innerhalb der rationalen Zahlen keinen Schnittpunkt. Innerhalb der reellen Zahlen werden wir mit dem Stetigkeitskonzept und {{ Faktlink |Präwort=dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Situation kennenlernen, indem es stets Schnittpunkts gibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} es77fxkp330dm8uu2hlsghavoi4vk86 0 107163 1100112 1085216 2026-06-17T07:22:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100112 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Relationskette |V {{makl| X^2-Y^3 |}} | \subseteq | K^2 || || || |SZ= }} und bestimmen die Durchschnitte mit den Geraden {{mathl|term= G_\alpha|SZ=,}} die durch {{ Relationskette/display | \alpha(t) || {{op:Spaltenvektor|a_1 |a_2 }} t + {{op:Spaltenvektor|b_1 |b_2 }} || {{op:Spaltenvektor|a_1t+b_1 |a_2t+b_2 }} || || |SZ= }} parametrisiert sind. Die Einsetzung ergibt die Bedingung {{ Relationskette/display | -a_2^3 t^3 + {{makl| a_1^2 -3a_2^2b_2 |}} t^2 + {{makl| 2a_1b_1 -3a_2b_2^2 |}} t + b_1^ 2-b_2^3 || 0 || || || |SZ= }} für {{math|term= t |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |a_2 || 0 || || || |SZ= }} hat dies den Grad {{math|term= 2 |SZ=,}} andernfalls den Grad {{math|term= 3 |SZ=.}} Die Nullstellen dieses Polynoms und ihre Vielfachheiten variieren mit den Parametern der Gerade. Die Gerade {{ Relationskette/display | \alpha(t) || {{op:Spaltenvektor| 2 t+ 1| 1t+1}} || || || || |SZ= }} führt beispielsweise zu {{ Relationskette/display | - t^3 + t^2 + t || - t {{makl| t- {{op:Bruch| \sqrt{5} +1 | 2}} |}} {{makl| t- {{op:Bruch| -\sqrt{5} +1 | 2}} |}} || || || |SZ= }} mit drei einfachen Nullstellen, die Gerade {{ Relationskette/display | \beta(t) || {{op:Spaltenvektor| t+ 1|t+1}} || || || || |SZ= }} führt hingegen zu {{ Relationskette/display | - t^3 -2 t^2 - t || - t {{makl| t + 1 |}}^2 || || || |SZ= }} mit der doppelten Nullstelle bei {{ Relationskette |t || -1 || || || |SZ=. }} Eine Gerade durch den Nullpunkt kann man als {{ Relationskette/display | \alpha(t) || {{op:Spaltenvektor|a_1 |a_2 }} t || || || |SZ= }} ansetzen, was zur Bedingung {{ Relationskette/display | -a_2^3t^3 +a_1^2t^2 || 0 || || || |SZ= }} führt. Hierbei ist {{ Relationskette/display |t || 0 || || || |SZ= }} stets eine zumindest doppelte Nullstelle und bei {{ Relationskette |a_1 || 0 || || || |SZ= }} sogar eine dreifache Nullstelle. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gcgmze2390erg8ja15mmnhv97zu2ry 0 107496 1100109 1085213 2026-06-17T07:21:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100109 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu {{ Relationskette |R || K[X,Y]/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ= }} mit dem maximalen Ideal {{ Relationskette | {{idealm|}} || {{makl| X,Y |}} || || || |SZ=, }} kann man den {{ Definitionslink |assoziierten graduierten Ring| |Kontext=| |SZ= }} wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |K[S,T] | {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{idealm|}} | R}} || |SZ=, }} die {{math|term= S |SZ=}} auf die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} und {{math|term= T |SZ=}} auf die Restklasse von {{math|term= Y |SZ=}} in {{mathl|term= {{idealm|}}/ {{idealm|}}^2 |SZ=}} abbildet. Dabei ist {{ Relationskette/display | \varphi {{makl| S^2 |}} || [X]^2 || [X^2] || [Y^3] || 0 |SZ=, }} da ja die dritte Potenz von {{math|term= Y |SZ=}} zu {{mathl|term= {{idealm|}}^3 |SZ=}} gehört. Da die Monome {{mathl|term= X^iY^j |SZ=}} mit {{ Relationskette |i || 0,1 || || || |SZ= }} nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie {{ Relationskette/display |K[S,T]/ {{makl| S^2 |}} | \cong| {{op:Assoziierter graduierter Ring| {{idealm|}} | R}} || || || |SZ=. }} Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orw8x2i667rchaepvs6psg2tkczqpnx 0 107623 1099815 1084920 2026-06-17T06:34:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099815 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung, bei der zwei Punkte der Ebene miteinander identifiziert werden, sei {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{op:Affine Ebene| K |}} | X || |SZ= }} die entsprechende Abbildung, {{ Relationskette/display | \varphi(P_1) || \varphi(P_2) || Q | \in | X || |SZ=. }} Es liegt eine Isomorphismus {{ Relationskette/display | {{op:Affine Ebene| K |}}\setminus \{P_1, P_2\} | \cong| X \setminus \{Q\} || || || |SZ= }} vor. Es sei {{math|term= H |SZ=}} eine Gerade, die durch {{math|term= P_1 |SZ=,}} aber nicht durch {{math|term= P_2 |SZ=}} verläuft, und {{math|term= G |SZ=}} die Bildkurve davon, die durch {{math|term= Q |SZ=}} verläuft. Es sei {{math|term= R |SZ=}} der Koordinantering zu {{math|term= X |SZ=.}} Die relevanten Primideale in {{ mathkor|term1= K[X,Y] |bzw. in|term2= R |SZ= }} seien einerseits {{ Relationskette |P_1 || V( {{idealn|}}_1 ) | \subseteq | V({{idealq}}) || H || |SZ=, }} {{ Relationskette |P_2 || V( {{idealn|}}_2 ) |\not\subseteq| V({{idealq}}) || H || |SZ= }} und andererseits {{ Relationskette/display |Q || V( {{idealm}}) | \subset | G || V( {{idealp}}) || || || |SZ=. }} Unter dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |R | \subseteq | K[X,Y] || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{idealm}} || {{idealn}}_1 \cap R || {{idealn}}_2 \cap R || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{idealp}} || {{idealq}} \cap R || || || |SZ= }} und dies sind jeweils die einzigen Urbilder. Daher lässt sich die Kette {{ Relationskette/display | {{idealp}} | \subset| {{idealm}} || || || |SZ= }} nicht unterhalb von {{math|term= {{idealn}}_2 |SZ=}} liften. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Normalisierung (Integritätsbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvtv0sjiqkfyhq1ti67yx4alm42ao3a 0 107664 1100243 1085373 2026-06-17T07:44:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100243 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir zeigen, dass das Quadrieren {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x | x^2 |SZ=, }} an der Stelle {{math|term= 7 |SZ=}} stetig ist. Es sei ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} vorgegeben, das wir als {{ Relationskette | \epsilon | \leq | 1 || || || |SZ= }} annehmen dürfen. Wir müssen ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} finden, das die Eigenschaft besitzt: Wenn {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x-7|}} | \leq | \delta || || || |SZ=, }} dann ist auch {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x^2-7^2|}} | \leq | \epsilon || || || |SZ=, }} also wenn {{ mathkor|term1= x |und|term2= 7 |SZ= }} {{math|term= \delta|SZ=-}}nahe beieinander sind, so sind die beiden Funktionswerte {{math|term= \epsilon|SZ=-}}nahe beieinander. Wenn man zu {{math|term= 7 |SZ=}} eine Zahl {{math|term= \delta|SZ=}} hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich {{ Relationskette/display |(7+ \delta)^2 || 7^2 +14 \delta + \delta^2 || || || |SZ=, }} und die Differenz zu {{math|term= 7^2 |SZ=}} ist somit {{mathl|term= 14 \delta + \delta^2 |SZ=.}} Insbesondere muss diese Differenz kleinergleich dem vorgegebenen {{math|term= \epsilon|SZ=}} werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden {{mathl|term= 14 \delta |SZ=}} und {{mathl|term= \delta^2 |SZ=}} beide kleinergleich {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} sind. Dies legt die Wahl {{ Relationskette/display | \delta | {{defeq|}} | {{op:Bruch| \epsilon| 28 }} || || || |SZ= }} nahe. Es gelten dann in der Tat für {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x-7|}} | \leq | \delta || || || |SZ= }} die Abschätzungen {{ Relationskette/align | {{op:Betrag| x^2-7^2|}} || {{op:Betrag| x-7|}} \cdot {{op:Betrag| x+7 |}} | \leq | \delta {{makl| 14 + \delta |}} || 14 \delta + \delta^2 | \leq | {{op:Bruch| \epsilon| 2}} + {{op:Bruch| \epsilon| 2}} || \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0azxij6w18yfsve6c3bgrtixal5db16 0 107795 1100111 1085215 2026-06-17T07:22:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100111 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Neilsche Parabel {{ Relationskette |V || V {{makl| X^2-Y^3 |}} | \subseteq | {{op:Affine Ebene| K |}} || || || |SZ=. }} In jedem Punkt {{ Relationskette |P | \in | V || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |Kontext=| |SZ= }} des {{ Definitionslink |lokalen Ringes| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {\mathcal O}_P || K[X,Y]_{ {{idealn}}_P }/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ= }} höchstens {{math|term= 2 |SZ=,}} da dies für {{mathl|term= K[X,Y]_{ {{idealm}}_P } |SZ=}} gilt. Dabei ist {{math|term= {{idealn|}}_P |SZ=}} das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und {{math|term= {{idealm|}}_P |SZ=}} sei das maximale Ideal im lokalen Ring {{math|term= {\mathcal O}_P |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display | {{idealm|}}_P / {{idealm|}}^2_P || {{idealn|}}_P / {{makl| {{idealn|}}^2_P + {{makl| X^2-Y^3 |}} |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |P ||(0,0) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{idealn|}}_P || (X,Y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |X^2-Y^3 | \in | {{idealn|}}^2_P || || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display | {{idealm|}}_P / {{idealm|}}^2_P || {{idealn|}}_P / {{makl| {{idealn|}}^2_P + {{makl| X^2-Y^3 |}} |}} || {{idealn|}}_P / {{idealn|}}^2_P || K^2 || |SZ= }} und die Einbettungsdimension ist {{math|term= 2 |SZ=.}} Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=lokal| |SZ=. }} Im Punkt {{ Relationskette |Q ||(1,1) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{idealn|}}_Q || (X-1,Y-1) || || || |SZ= }} und wir schreiben {{ Relationskette |X^2-Y^3 || (X-1)(X+1) - (Y-1) {{makl| Y^2+Y+1 |}} || || || |SZ=. }} In {{math|term= {\mathcal O}_Q |SZ=}} gilt daher {{ Relationskette/display | X-1 || {{op:Bruch|Y^2+Y+1| X+1|}} (Y-1) || || || |SZ=, }} wobei eben die rationale Funktion zu {{math|term= {\mathcal O}_Q |SZ=}} gehört. Daher ist dort {{ Relationskette/display | {{idealm|}}_Q || {{makl| Y-1 |}} || || || |SZ= }} und die Einbettungsdimension ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Der lokale Ring in {{math|term= (1,1) |SZ=}} ist also regulär. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phrvr2ag4ys8vp0f788b900775i8let 0 107923 1100431 1085567 2026-06-17T08:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100431 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die reelle Sphäre {{ Relationskette/display |S^2 || {{Mengebed|(x,y,z)| x^2+y^2+z^2 {{=}} 1}} | \subseteq | \R^3 || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |affinen Koordinatenring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |R || \R [X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^2+Z^2-1 |}} || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul der Kählerdifferentiale| |Kontext=| |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R |\R}} || R dX \oplus R dY \oplus R dZ /( XdX+YdY +ZdZ) || || || |SZ=. }} Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre {{ Definitionslink |glatt| |Kontext=| |SZ= }} ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt |Nr= |SZ= }} ist somit {{mathl|term= {{op:Kählermodul| R |\R}} |SZ=}} {{ Definitionslink |lokal frei| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=von konstantem Rang {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Zweidimensionale_Sphäre/Kählermodul/Lokal_frei/Explizit/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dagegen ist {{mathl|term= {{op:Kählermodul| R |\R}} |SZ=}} nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal freien Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3=Der Satz vom Igel |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sh3ixpioi2l8vv975b8tyls65m3yu89 0 108019 1100327 1085456 2026-06-17T07:58:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100327 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen| |ISZ=|ESZ=. }} Die Funktion {{ Relationskette/display |f(x) | {{defeq}} | \begin{cases} {{op:Bruch| 1 |e^{1/x} }} \text{ für } x > 0\, , \\0 \text{ sonst} \, ,\end{cases} || || || |SZ= }} ist stetig. Für jedes {{ Relationskette |n | \in |\N_+ || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| f | x^n}} |SZ=}} stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|e^{- 1/x} | x^n}} || e^{-u} u^n || {{op:Bruch|u^n |e^u}} || || |SZ= }} für {{ Relationskette/display |u || {{op:Bruch| 1 | x}} | \rightarrow | \infty || || |SZ= }} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung {{ Relationskette/display |f || x^n \cdot g_n || || || |SZ= }} für beliebiges {{math|term= n |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7z11a07gcqe9zmfkinbqzsl9nhenuzg 0 108046 1100685 1085776 2026-06-17T10:47:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100685 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |lokalen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |regulären Ring| |Kontext=lokal| |SZ= }} gibt es für den {{ Definitionslink |Restklassenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |R/ {{idealm|}} || K || || || |SZ= }} eine explizite endliche Auflösung, die sogenannte {{Stichwort|Koszul-Auflösung|SZ=.}} Für ein {{ Definitionslink |minimales Erzeugendensystem| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{idealm|}} || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} || || || |SZ= }} hat sie die Form {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow R \longrightarrow R^{ {{op:Binomialkoeffizient| n |n-1}} } \longrightarrow \ldots \longrightarrow R^{ {{op:Binomialkoeffizient| n | 3}} } \longrightarrow R^{ {{op:Binomialkoeffizient| n | 2}} } \longrightarrow R^n \stackrel{f_1 {{kommadots}} f_n } {\longrightarrow} R \longrightarrow R/{{idealm}} \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei sich die Abbildungen links durch gewisse alternierende Produkte der Linearform {{ Abbildung |name= |R^n | R || |SZ= }} ergeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der endlichen freien Auflösungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hglvz3pte7w6q5miq4c7u2urfyhlys0 0 108201 1099810 1084916 2026-06-17T06:33:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099810 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{ Relationskette |f || X^3-Y^2 || || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde {{ Relationskette | V(f) | \subseteq | {{op:Affine Ebene| K |}} || || || |SZ=, }} also die zugehörige ebenen monomiale Kurve. Wir betrachten die polynomiale Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Affine Ebene| K |}} | {{op:Affine Ebene| K |}} | (x,z)| (x,xz) {{=|}} (x,y) |SZ=, }} die einen Isomorphismus {{ Abbildung/display |name= |V_1 {{=|}} D(X)| V_2 {{=|}} D(X) || |SZ= }} induziert, die Umkehrabbildung ist durch {{ Relationskette/display |z || {{op:Bruch| y | x}} || || || |SZ= }} gegeben. Dabei ist {{ Relationskette/display | f \circ \varphi || X^3-X^2Z^2 || X^2 {{makl| X-Z^2 |}} || || |SZ=. }} Somit liefert {{math|term= \varphi,|SZ=}} eingeschränkt auf {{math|term= V_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= V_2 |SZ=}} einen Isomorphismus, der die monomialen Kurve ohne die Singularität in die Parabel {{mathl|term= V {{makl| X-Z^2 |}} |SZ=}} ohne den Nullpunkt überführt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3=Theorie der Aufblasungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cerl1gincbeng28ulrl1zf1sgrbt5al 0 108256 1100051 1036929 2026-06-17T07:12:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100051 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ziehung der Lottozahlen. Sind die Ereignisse, dass zwei bestimmte Zahlen gezogen werden, unabhängig voneinander? Dazu müssen wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl, sagen wir die {{math|term= 17 |SZ=}} gezogen wird, ist, wie in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |SZ= }} berechnet, gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 6 | 49}} |SZ=.}} Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Zahl gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gezogen werden, sagen wir die {{ mathkor|term1= 17 |und die|term2= 31 |SZ=, }} ist, ebenfalls wie in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel |Nr= |SZ= }} berechnet, gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 5| 392}} || 0,012755102 ... |SZ=. }} Die Produktwahrscheinlichkeit der beiden einzelnen Ereignisse ist hingegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 6 | 49}} \cdot {{op:Bruch| 6 | 49}} || {{op:Bruch| 36| 2401}} || 0,014993753... || || |SZ=. }} Die Ereignisse sind also nicht unabhängig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nu3l4lo2dsheuvvpv7wvfrxvj55csm7 0 108304 1100092 1085198 2026-06-17T07:19:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100092 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir {{ Relationskette/display |f || x^3+y^4 || || || |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Jacobiideal| |Kontext=| |SZ= }} ist {{mathl|term= {{makl| x^2,y^3 |}} |SZ=,}} das Quadrat davon ist {{mathl|term= {{makl| x^4,x^2y^3,y^6 |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist beispielsweise {{mathl|term= x^3+y^4+5x^4+ x^3y^3+7xy^9 |SZ=}} {{ Definitionslink |rechtsäquivalent| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= f |SZ=.}} In der {{ Definitionslink |Entfaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= x^3+y^4+tx^4 |SZ=}} kommen also nur zu {{math|term= f |SZ=}} rechtsäquivalente Deformationen vor. Wenn man hingegen die Entfaltung {{mathl|term= sx^3+y^4+x^4 |SZ=}} betrachtet, so ist für {{ Relationskette |s |\neq| 0 || || || |SZ= }} die Deformation rechtsäquivalent zu {{math|term= f |SZ=,}} für {{ Relationskette |s || 0 || || || |SZ= }} geht es hingegen um {{mathl|term= y^4+x^4 |SZ=,}} das, weil es reduzibel ist, nicht rechtsäquivalent zu {{math|term= f |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ob7ma0mfuycdai8h9ol9ep7otqgqqd3 0 108311 1100577 1034978 2026-06-17T10:30:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100577 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei einer {{ Definitionslink |Entfaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=E | {{CC|}}^n \times {{CC|}}^m | {{CC|}} || |SZ= }} variieren die kritischen Punkte von {{ Relationskette/display |f_w || E(-,w) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und die singulären Punkte der Hyperflächen {{math|term= V(f_w) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} mit dem Parameter {{ Relationskette |w | \in | {{CC|}}^m || || || |SZ=. }} Eigenschaften der kritischen Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=wie ihre Anzahl, ihre Multiplizität, ihre Milnorzahl| |ISZ=|ESZ= }} definieren Bedingungen an die Parameter. Bei {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} sind die kritischen Punkte einfach die Nullstellen der Ableitung von {{math|term= f_w|SZ=,}} die einfach oder mehrfach sein können. Bei {{ Relationskette/display |E(x,w) || x^3+ wx || || || |SZ= }} liegt zum Parameterwert {{ Relationskette |w || 0 || || || |SZ= }} ein kritischer Punkt im Nullpunkt der Ordnung {{math|term= 3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Milnorzahl {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} vor, bei {{ Relationskette |w |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es zwei kritische Punkte, nämlich bei {{ Relationskette/display | x || \pm \sqrt{w/3} || || || |SZ=, }} die jeweils Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} haben {{ Zusatz/Klammer |text=Milnorzahl {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Reell betrachtet {{ Zusatz/Klammer |text=man skizziere den Gesamtgraphen von {{math|term= E |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} liegt in einem der Punkte ein lokales Minimum, im anderen ein lokales Maximum vor. Wenn sich der Parameter auf {{math|term= 0 |SZ=}} zubewegt, so fallen die beiden singulären Punkte zusammen. Solche Phänome, wie Singularitäten parameterabhängig zusammen- oder auseinanderfallen, werden unter dem Stichwort {{Anführung|Katastrophentheorie}} studiert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e3r8attnm1tb1l5voij2qqlga586km1 0 108512 1100610 1085684 2026-06-17T10:34:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100610 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name=f | U | {{CC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |SZ= }} auf {{ Relationskette |U | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen. Dann besitzt die {{ Definitionslink |Entfaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=E |U \times {{CC|}} | {{CC|}} | (x,t) | f(x) -t |SZ=, }} die Eigenschaft, dass die Nullstellenmenge zu {{ Relationskette |E( f,t) || f_t || || || |SZ= }} bei {{math|term= t |SZ=}} fixiert einfach das Urbild von {{math|term= t |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} ist. Es ist ja unmittelbar {{ Relationskette/display | E(-,t)^{-1} (0) || f_t^{-1} (0) || {{Mengebed| x \in U|f_t(x) {{=|}} 0 }} || {{Mengebed| x \in U|f (x) {{=|}} t }} || f^{-1}(t) |SZ=. }} D.h. in dieser Entfaltung treten die benachbarten Fasern {{mathl|term= f^{-1}(t) |SZ=}} zu {{ Relationskette |t | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} als deformierte Fasern auf. Mit Entfaltungen studiert man also insbesondere auch, wie sich die Nullstellenmenge zu {{math|term= f |SZ=}} bezogen auf die benachbarten Fasern verhält. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ess5v3d7q02dqce00xd64t59l0v0tjz 0 108688 1100346 1038348 2026-06-17T08:01:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100346 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ=. }} Zu jeder offenen Teilmenge {{ Relationskette |U | \subseteq | X || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Garbe| C | U}} || C^0 (U,\R) || {{Mengebed| f:U \rightarrow \R|f \text{ stetig} }} || || || |SZ= }} ein kommutativer Ring und die Zuordnung {{mathl|term= U \mapsto {{op:Garbe| C | U}} |SZ=}} ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine {{ Definitionslink |Garbe| |Kontext=| |SZ=, }} wodurch {{math|term= X |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |beringten Raum| |Kontext=| |SZ= }} wird. Für jeden Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} und eine in einer offenen Umgebung von {{math|term= x |SZ=}} definierte stetige Funktion {{math|term= f |SZ=}} gilt gilt {{ Relationskette |f(x) |\neq| 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der {{math|term= f |SZ=}} invertierbar ist. Daher sind die {{ Definitionslink |Halme| |Kontext=Garbe| |SZ= }} {{mathl|term= {\mathcal O}_x|SZ=}} {{ Definitionslink |lokale Ringe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= X |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |lokal beringter Raum| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} saloufifobhl1s75bbi90mftffoglco 0 108713 1099978 1036489 2026-06-17T07:00:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099978 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |X ||\{P\} || || || |SZ= }} ein einpunktiger {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ=. }} Dieser wird durch die Festlegung {{ Relationskette | {{op:SchnittringX| X |}} | {{defeq|}} | R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:SchnittringX| \emptyset|}} | {{defeq|}} | 0 || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |beringten Raum| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der beringten Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xsfkhd8i0lpqz1zy3pxjlry3cc3py0 0 108800 1099705 1034664 2026-06-17T06:17:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099705 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette |R || K[X,Y]/(XY) || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=.}} Auf der offenen Menge {{ Relationskette/display |U || D(X,Y) || D(X) \cup D(Y) || {{op:Spec| R |}} \setminus \{(X,Y)\} || || |SZ= }} ist diejenige Funktion, die auf der {{ Zusatz/Klammer |text=punktierten| |ISZ=|ESZ= }} Geraden {{ Relationskette | V(X) \cap U || D(Y) || || || |SZ= }} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} und auf der {{ Zusatz/Klammer |text=punktierten| |ISZ=|ESZ= }} Geraden {{mathl|term= V(Y) \cap U |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt, eine algebraische Funktion. Durch diese Festlegung ist für jedes Primideal {{ Relationskette | {{idealp|}} | \in | U || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette |s_{{idealp|}} | \in | R_{{idealp|}} || || || |SZ= }} gegeben. Bei {{ Relationskette/display | {{idealp|}} | \in | V(X) \cap U || D(Y) || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | 0 || {{op:Bruch| 0 |Y}} || || || |SZ= }} eine Beschreibung als Bruch und bei {{ Relationskette/display | {{idealp|}} | \in | V(Y) \cap U || D(X) || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | 1 || {{op:Bruch| X | X}} || || || |SZ= }} eine Beschreibung als Bruch. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} salr3hxkywaglhcm8y8ix66e114zon5 0 108925 1100688 1085851 2026-06-17T10:47:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100688 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |C || V_+(F) | \subset | {{op:Projektive Ebene| K |}} || || |SZ= }} eine ebene {{ Definitionslink |projektive Kurve| |Kontext=Schema| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=ebene projektive Kurve| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | {{op:Garbe| L |}} || {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} || {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e |}} {{|}}_C || || |SZ= }} Wir wollen die Anzahl der globalen Schnitte von {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} |SZ=}} berechnen. Dazu betrachten wir die kurze exakte Sequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e-d}} \stackrel{F}{ \longrightarrow} {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e}} \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} \longrightarrow 0 |SZ= }} auf der projektiven Ebene und den Anfang der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow H^0 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e-d}} |}} \longrightarrow H^0 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e}} |}} \longrightarrow H^0 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} |}} \longrightarrow H^1 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e-d}} |}} {{=|}} 0 |SZ=, }} wobei die Gleichheit rechts auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt |Nr= |SZ= }} beruht. Für {{ Relationskette |e | \geq |d || || || |SZ= }} kann man mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Homogene Polynome/n Variablen/Monomanzahl/Aufgabe |Nr= |SZ= }} die Dimensionen der beteiligten Vektorräume einfach ausrechnen, es ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Vektorraumdimension| H^0 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} |}} |}} || {{op:Vektorraumdimension| H^0 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e}} |}} }} - {{op:Vektorraumdimension| H^0 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |e-d}} |}} }} || {{op:Binomialkoeffizient|e+2| 2}} - {{op:Binomialkoeffizient|e-d+2| 2}} || {{op:Bruch|(e+2)(e+1) - (e+2-d)(e+1-d)| 2}} || {{op:Bruch| 2de + 3 d-d^2| 2}} || de - {{op:Bruch|(d-1)(d-2)| 2}} +1 |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | H^0 {{makl| {{op:Projektive Ebene| K |}}, {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} }} || H^0 {{makl| C , {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Varietät/Quasikohärente Garbe/Vorschub/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist dies die Vektorraumdimension der globalen Schnitte von {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} |SZ=}} über {{math|term= C |SZ=.}} Dabei ist {{math|term= de|SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Glatte projektive ebene Kurve/Getwistete Strukturgarbe/Grad/Fakt |Nr= |SZ= }} der Grad von {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} |SZ=}} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|(d-1)(d-2)| 2}} |SZ=}} das {{ Zusatz/Klammer |text=kohomologische| |ISZ=|ESZ= }} Geschlecht {{math|term= g |SZ=}} der Kurve. Für {{ Relationskette |e | \geq |d || || || |SZ= }} gilt also {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| H^0 {{makl| C , {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} }} }} || {{op:Grad| {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |e}} }} -g+1 || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |e | < | 0 || || || |SZ= }} kann diese Formel nicht richtig sein, da dann die linke Seite {{math|term= 0 |SZ=}} ist und die rechte Seite beliebig negativ wird. Der Satz von Riemann-Roch zeigt, dass für eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe| L |}} |SZ=}} auf einer glatten projektiven Kurve {{math|term= C |SZ=}} eine entsprechende Formel gilt, bei der aber die linke Seite zu {{mathl|term= {{op:Vektorraumdimension| H^0 {{makl| C , {{op:Garbe| L |}} }} }} - {{op:Vektorraumdimension| H^1 {{makl| C , {{op:Garbe| L |}} }} }} |SZ=}} abgewandelt werden muss. Die erste Kohomologie tritt hier also als Korrekturterm auf. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Satz von Riemann-Roch für invertierbare Garben auf Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adevwgpr9fqay4yhgih2fmw04qjwgvb 0 108939 1100157 1085276 2026-06-17T07:29:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100157 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Polynomring {{ mathbed|term= K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_d ] ||bedterm1= d \geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Standardgraduierung ist {{ Relationskette/display | {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum| d | K}} | {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| d | K}} |}} (\ell ) |}} || K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_d ]_\ell || || || |SZ=, }} also die Polynome vom Grad {{math|term= \ell|SZ=}} in {{math|term= d+1 |SZ=}} Variablen. Für negatives {{math|term= \ell |SZ=}} ist dies der Nullraum, für {{ Relationskette | \ell || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Strukturgarbe| |ISZ=|ESZ= }} ist dies gleich {{math|term= K |SZ=,}} für {{ Relationskette | \ell || 1 || || || |SZ= }} besteht es aus allen Linearformen, u.s.w. Für die offenen Mengen {{mathl|term= D_+(X_i) |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Schnitte| D_+(X_i) | {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| d | K}} |}} (\ell ) |}} || {{makl| K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_d ]_{X_i } |}}_\ell || K[ {{op:Bruch|X_0 | X_i }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{i-1} | X_i }} , {{op:Bruch|X_{i+1} | X_i }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{d} | X_i }} ] \cdot X_i^\ell || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6llmumt40fsrqp43i9lag8ushg7e2ia 0 109277 1100038 1085143 2026-06-17T07:10:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100038 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die allgemeine reelle lineare Gleichung {{ Relationskette/display |ru +sv +tw || 0 || || || |SZ= }} in den Variablen {{math|term= u,v,w|SZ=}} und den Parametern {{mathl|term= r, s,t|SZ=,}} die als unbestimmte Koeffizienten der lineare Gleichung dienen. Wir möchten den Lösungsraum {{ Relationskette/display |L_{(r,s,t)} || {{Mengebed|(u,v,w)|ru+sv +tw {{=|}} 0 }} | \subseteq | \R^3 || || |SZ= }} in Abhängigkeit von den Parametern {{mathl|term= (r,s,t) |SZ=}} verstehen. Ein Extremfall liegt bei {{ Relationskette |(r,s,t) ||(0,0,0) || || || |SZ= }} vor, dann ist der Lösungsraum der volle {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |(r,s,t) |\neq|(0,0,0) || || || |SZ= }} ist der Lösungsraum zweidimensional. Wir schließen den Nullpunkt als Parameter aus und betrachten den Gesamtlösungsraum der Gleichung {{ Relationskette/display |L || {{Mengebed|(r,s,t,u,v,w)|ru+sv+tw {{=}} 0|(r,s,t) \neq (0,0,0) }} | \subseteq | \R^3 \setminus \{0,0,0\} \times \R^3 || || |SZ= }} zusammen mit der Projektion {{math|term= p |SZ=}} auf {{mathl|term= \R^3 \setminus \{(0,0,0)\} |SZ=.}} Die Faser unter {{math|term= p |SZ=}} zu einem speziellen Parameterwert {{mathl|term= (r,s,t) |SZ=}} ist der Lösungsraum {{mathl|term= L_{(r,s,t)} |SZ=}} zu der durch dieses Parametertupel definierten Gleichung. Kann man in diesem Beispiel eine Basis für den jeweiligen Lösungsraum angeben, die in einer übersichtlichen, rechnerischen, algebraischen Weise von den Parametern abhängt? Da wir den Nullpunkt rausgeworfen haben, gilt {{ Relationskette/display | \R^3 \setminus \{0,0,0\} || {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} \cup {{Mengebed|(r,s,t)|s \neq 0}} \cup {{Mengebed|(r,s,t)|t \neq 0}} || || || |SZ=, }} man kann also den Basisraum als eine Vereinigung von drei offenen Mengen schreiben. Wenn man das Verhalten über einer solchen offenen Menge betrachtet, sagen wir über die durch {{ Relationskette |r |\neq| 0 || || || |SZ= }} gegebene, so kann man darüber eine Basis angeben, nämlich durch {{ Mathkor/display|term1= {{op:Zeilenvektor| s | -r| 0}} |und|term2= {{op:Zeilenvektor| t | 0 | -r}} |SZ=. }} Dabei sichert {{ Relationskette |r |\neq| 0 || || || |SZ=, }} dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Die beiden Lösungsvektoren sind sogar überall wohldefinierte Lösungen, verlieren aber bei {{ Relationskette |r || 0 || || || |SZ= }} ihre lineare Unabhängikeit und bilden also nicht überall eine Basis. Aber jedenfalls ist {{ Abbildung/display |name= | {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} \times \R^2 | L {{|}}_{ {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} } |(r,s,t;c,d)| c {{op:Zeilenvektor| s | -r| 0}} +d {{op:Zeilenvektor| t | 0 | -r}} |SZ=, }} eine rechnerisch einfache Bijektion zwischen dem Produktraum der Basis und dem {{math|term= \R^2 |SZ=}} einerseits und dem Lösungsraum oberhalb von {{mathl|term= {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} |SZ=.}} Wir fragen uns, ob es möglich ist, global, also auf ganz {{mathl|term= \R^3 \setminus \{ {{op:Zeilenvektor| 0 | 0| 0}} \} |SZ=,}} eine mit dem Basisraum variiende Basis des Lösungsraums anzugeben. Gefragt ist also nach der Existenz von zwei Funktionen {{ mathkor|term1= u(r,s,t) |und|term2= v(r,s,t) |SZ= }} mit Werten im {{math|term= \R^3 |SZ=}} und der Eigenschaft, dass sie stets eine Basis des Lösungsraumes bilden {{ Zusatz/Klammer |text=und insbesondere zum Lösungsraum gehören| |ISZ=|ESZ=. }} Ohne jede weitere Bedingung an {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} ist dies möglich, da man ja durch eine Fallunterscheidung solche Funktionen definieren kann. Aber schon wenn man fordert, dass die beiden Funktionen stetig sein sollen, ist dies nicht mehr möglich. Wegen der Stetigkeit sind die Funktionen {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} bereits auf der offenen Teilmenge {{ Relationskette/display |U || {{Mengebed|(r,s,t)|r \neq 0}} | \subseteq | \R^3 \setminus \{ {{op:Zeilenvektor| 0 | 0| 0}} \} || || || |SZ= }} festgelegt, da man jeden Punkt aus {{math|term= \R^3 |SZ=}} durch eine Folge aus der offenen Menge {{math|term= U |SZ=}} approximieren kann. Mit der oben angegebenen Basis oberhalb dieser Menge kann man jedenfalls {{ Relationskette/display | u || \alpha(r,s,t) {{op:Spaltenvektor| s | -r| 0}} + \beta(r,s,t) {{op:Spaltenvektor| t | 0 | -r}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | v || \gamma(r,s,t) {{op:Spaltenvektor| s | -r| 0}} + \delta(r,s,t) {{op:Spaltenvektor| t | 0 | -r}} || || || |SZ= }} mit stetigen reellwertigen Funktionen {{math|term= \alpha, \beta, \gamma, \delta|SZ=}} auf der offenen Menge {{math|term= U |SZ=}} schreiben. Wir können nicht erwarten, dass diese Funktionen auf dem ganzen {{math|term= \R^3 |SZ=}} definiert sind, weshalb im stetigen Fall die Argumentation komplizierter werden würde. Das Resultat wird sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Sphäre/Satz vom Igel/Fakt |Nr= |SZ= }} ergeben, siehe {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Satz vom Igel/Bemerkung |Nr= |SZ=. }} Daher beschränken wir uns auf den Fall, dass diese Funktionen rationale Funktionen sind, in deren Nenner eine Potenz von {{math|term= r |SZ=}} vorkommen kann {{ Zusatz/Klammer |text=das sind die rationalen Funktionen auf {{math|term= U |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Betrachten wir {{ Relationskette/display |u || \alpha {{op:Spaltenvektor| s | -r| 0}} + \beta {{op:Spaltenvektor| t | 0 | -r}} || {{op:Bruch| P |r^m}} {{op:Spaltenvektor| s | -r| 0}} + {{op:Bruch| Q |r^n}} {{op:Spaltenvektor| t | 0 | -r}} || || |SZ= }} mit Polynomen {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ=, }} wobei der Faktor {{math|term= r |SZ=}} rausgekürzt sei. Da {{math|term= u |SZ=}} insgesamt auf ganz {{math|term= \R^3 |SZ=}} definiert ist, kann {{math|term= m |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso {{math|term= n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} höchstens {{math|term= 1 |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=sonst hätte {{math|term= u |SZ=}} einen Pol| |ISZ=|ESZ=. }} Die erste Zeile führt {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |m || n || 1 || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} auf eine polynomiale Gleichung der Form {{ Relationskette/display | rN+ sP+tQ || 0 || || || |SZ= }} mit Polynomen {{ Relationskette |N,P,Q | \in | \R[r,s,t] || || || |SZ=. }} In diesem Fall ist {{ Zusatz/Klammer |text=Stichwort Koszul-Auflösung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |(N,P,Q) || A (-s,r,0)+ B(t,0,-r) +C(0,t,-s) || || || |SZ= }} mit Polynomen {{ Relationskette |A,B,C | \in | \R[r,s,t] || || || |SZ=. }} Entsprechend ergibt sich für {{math|term= v |SZ=}} eine Darstellung mit {{mathl|term= (N',P',Q') |SZ=}} bzw. {{mathl|term= (A',B',C') |SZ=.}} Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |X \times \R^3| L \subseteq X \times \R^3 |(r,s,t; a,b,c )| (r,s,t; a(-s,r,0)+ b(t,0,-r) + c(0,t,-s) ) |SZ=. }} Unter dieser Abbildung werden die Polynomtupel {{mathl|term= (A,B,C) |SZ=}} bzw. {{mathl|term= (A',B',C') |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die wir als Abbildungen {{ Abbildung |name= | X | X \times \R^3 || |SZ= }} auffassen| |ISZ=|ESZ= }} auf {{ mathkor|term1= u |bzw.|term2= v |SZ= }} abgebildet. Da diese nach Voraussetzung in jedem Punkt eine Basis der zugehörigen Faser von {{math|term= L |SZ=}} bilden, sind {{ mathkor|term1= (A,B,C) |und|term2= (A',B',C') |SZ= }} in jedem Punkt linear unahängig. Das Tupel {{mathl|term= (t,s,-r) |SZ=}} wird unter {{math|term= \varphi|SZ=}} in jedem Punkt auf {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Faser| |ISZ=|ESZ= }} abgebildet. Daher bilden die {{mathl|term= (A,B,C),\, (A',B',C') |SZ=}} und {{mathl|term= (t,s,-r) |SZ=}} in jedem Punkt eine Basis von {{math|term= \R^3 |SZ=,}} da {{mathl|term= (t,s,-r) |SZ=}} in keinem Punkt als Linearkombination von {{ mathkor|term1= (A,B,C) |und|term2= (A',B',C') |SZ= }} geschrieben werden kann. Die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| A | B | C | A'|B'|C'| t | s | -r}} |SZ= }} ist aber eine Linearkombination der Variablen {{mathl|term= r,s,t|SZ=}} im Polynomring. Daher ist dies keine Einheit im Polynomring. Im reellen Fall kann man daraus noch nicht schließen, dass die Determinante eine reelle Nullstelle in {{math|term= X |SZ=}} hat {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die Determinante beispielsweise die Form {{mathl|term= r^2+s^2+t^2 |SZ=}} besitzt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man aber statt mit {{math|term= \R|SZ=}} mit {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} arbeitet, so ändert sich an der algebraischen Argumentation nichts und man kann folgern, dass die Determinante in {{ Relationskette/display | X_{{CC}} || {{CC}}^3 \setminus \{ (0,0,0)\} || || || |SZ= }} Nullstellen besitzt und daher nicht überall eine Basis vorliegen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1pgy99rwzf962ebox0ubk6iiqnrv79w 0 109434 1100658 1085757 2026-06-17T10:42:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100658 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine projektive Varietät {{math|term= X |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} ist nach Definition {{ Zusatz/Klammer |text=realisierbar als| |ISZ=|ESZ= }} eine abgeschlossene Untervarietät {{ Relationskette |X | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| n | K}} || || || |SZ=. }} Hierbei konkurrieren zwei Sichtweisen: Einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=und dies nennt man den {{Stichwort|extrinsischen Standpunkt|msw=Extrinsischer Standpunkt|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} erlaubt die Realisierung von {{math|term= X |SZ=}} als Teilmenge eines projektiven Raumes, Konzepte, Strukturen, Eigenschaften des umgebenden Raumes durch Einschränkung auf {{math|term= X |SZ=}} zu verwenden, man kann das Schnittverhalten von {{math|term= X |SZ=}} mit anderen Untervarietäten {{math|term= Y |SZ=}} untersuchen, man kann nach Beziehungen zum offenen Komplement {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| n | K}} \setminus X |SZ=}} Ausschau halten. Ferner nimmt jede Visualisierung von {{math|term= X |SZ=}} Bezug auf einen umgebenden Raum. Andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=und dies nennt man den {{Stichwort|intrinsischen Standpunkt|msw=Intrinsischer Standpunkt|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} kann man sich fragen, welche Eigenschaften von {{math|term= X |SZ=}} der Varietät selbst inhärent und unabhängig von einer gewissen Realisierung zukommen. Die Varietät {{math|term= X |SZ=}} ist typischerweise {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Schema| |SZ= }} zu einer {{Anführung|anderen}} Varietät {{math|term= X'|SZ=,}} die als eine abgeschlossene Teilmenge {{ Relationskette |X' | \subseteq | {{op:Projektiver Raum|n'|K}} || || || |SZ= }} gegeben ist. Welche Eigenschaften von {{ mathkor|term1= X |bzw.|term2= X' |SZ= }} sind unabhängig von den jeweiligen Einbettungen? Die beiden Standpunkte überschneiden sich, wenn man folgende Fragen betrachtet: Wie viele Einbettungen für ein gegebenes {{math|term= X |SZ=}} gibt es? Kann man sich eine Übersicht über alle möglichen Einbettungen von {{math|term= X |SZ=}} in einen projektiven Raum verschaffen? Gibt es eine beste Einbettung, wo etwa die Dimension des umgebenden Raumes klein ist oder wo die Beziehung zu ihm besonders übersichtlich ist. Gibt es eine besonders natürliche Einbettung, die mit charakteristischen Objekten auf {{math|term= X |SZ=}} zusammenhängt? Betrachten wir beispielsweise die abgeschlossene projektive Kurve {{ Relationskette |C || V {{makl| Y^2-XZ |}} | \subset | {{op:Projektive Ebene| K |}} || || || |SZ=. }} Dies ist eine Kurve vom Grad {{math|term= 2 |SZ=,}} ihr Durchschnitt mit einer jeden Geraden besteht aus zwei Punkten {{ Zusatz/Klammer |text=gezählt mit Vielfachheiten| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Projektive Gerade| K |}} | {{op:Projektive Ebene| K |}} |(s,t)| {{op:Zeilenvektor|s^2|st|t^2|}} |SZ=, }} induziert einen Isomorphismus {{ Abbildung |name= | {{op:Projektive Gerade| K |}} | C \subset {{op:Projektive Ebene| K |}} |SZ=, }} d.h. die Kurve ist isomorph zur projektiven Geraden und somit eine {{Anführung|unnötig gekrümmte}} Version der projektiven Geraden. Allerdings sind Kurven vom Grad zwei {{ Zusatz/Klammer |text=Quadriken, Kegelschnitte| |ISZ=|ESZ= }} natürliche Objekte in der Ebene, und, von der projektiven Geraden aus gesehen, bilden die Elemente {{mathl|term= s^2,st,t^2 |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} der zweiten homogenen Stufe {{mathl|term= K[s,t]_2 |SZ=}} des homogenen Koordinatenringes {{math|term= K[s,t] |SZ=}} der projektiven Geraden. Diese treten wiederum als globale Schnitte der {{ Definitionslink |invertierbaren Garbe| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade| K |}} | 2}} |SZ=}} auf. In der Tat werden wir sehen, dass die verschiedenen Einbettungen von {{math|term= X |SZ=}} in einen projektiven Raum mit globalen Schnitten auf invertierbaren Garben auf {{math|term= X |SZ=}} zusammenhängen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbcgw7hpz8chc26lgkhuyg2zeeaiak6 0 109461 1100184 1085313 2026-06-17T07:34:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100184 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{ Definitionslink |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| n | R}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} sind die {{ Definitionslink |invertierbaren Garben| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | R}} |k}} |SZ=}} für {{ Relationskette |k | \geq | 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |sehr ampel| |Kontext=| |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum| n | R}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | R}} |k}} }} || R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]_k || || || |SZ= }} und wir betrachten das durch sämtliche Monome aus {{mathl|term= R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} vom Grad {{math|term= k |SZ=}} erzeugte lineare System und den zugehörigen {{ Definitionslink |Morphismus| |Kontext=Schema| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{op:Projektiver Raum| n | R}} | {{op:Projektiver Raum| m | R}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= m |SZ=}} die Anzahl dieser Monome weniger {{math|term= 1 |SZ=}} bezeichne. Auf {{ Relationskette | D_+(X_0 ) || {{makl| {{op:Projektiver Raum| n | R}} |}}_{X_0^k} || || || |SZ= }} ist die Abbildung durch {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affiner Raum| n | R}} | D_+(Y_\nu) \subseteq {{op:Projektiver Raum| m | R}} | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|X_1 | X_0 |}} | \ldots | {{op:Bruch|X_n | X_0 |}} |}} | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|X^\mu | X_0^k |}} | \mu \text{ Monom vom Grad } k \text{ in } n+1 \text{ Variablen} |}} |SZ= }} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend auf den anderen {{math|term= D_+ (X_i) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Auf der Ebene der Polynomringe ist dies der {{ Definitionslink |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |R [S_\mu ,\, \mu \in I_k ] | R[T_1 {{kommadots|}} T_n ] |S_\mu| T^\mu |SZ=, }} wobei {{math|term= I_k |SZ=}} die Indexmenge aller Monome in {{math|term= n |SZ=}} Variablen vom Grad {{math|term= \leq k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet. Diese Abbildung ist surjektiv und somit liegt eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Einbettung| |Kontext=Schema| |SZ= }} vor. Bei {{ Relationskette |k | \leq | 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n | \geq | 1 || || || |SZ= }} sind die {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | R}} |k}} |SZ=}} nicht sehr ampel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der sehr amplen invertierbaren Garben |Kategorie2=Theorie der projektiven Räume |Kategorie3=Theorie der Veronese-Unterringe |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ow89ptpjzumji0sb9z1sooy44931052 0 109752 1099911 1036005 2026-06-17T06:49:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099911 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (I, \preccurlyeq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ=. }} Man kann {{math|term= I |SZ=}} als eine {{ Definitionslink |Kategorie| |Kontext=| |SZ= }} auffassen, indem man die Elemente aus {{math|term= I |SZ=}} als Objekte nimmt und für Elemente {{ Relationskette |a,b | \in | I || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Morphismen| a |b}} || \begin{cases} \empty, \text{ wenn } a \not \preccurlyeq b \, , \\ \{(a,b)\}, \text{ wenn } a \preccurlyeq b \, . \end{cases} || || || |SZ= }} festlegt. Im Fall {{ Relationskette |a | \preccurlyeq|b || || || |SZ= }} ist also die Morphismenmenge einelementig, sonst leer. Die Wahl des Paares {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} als Repräsentant einer einelementigen Menge ist zwar natürlich, aber nicht entscheidend für diese Konstruktion. Die kategoriellen Verknüpfungseigenschaften beruhen auf der Reflexivität und der Transitivität einer Ordnungsrelation {{ Zusatz/Klammer |text=die Antisymmetrie ist für diese kategorielle Interpreation nicht wichtig| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Kategorientheorie |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqu18lito5lgxdom7k37iwmbo7gxg7x 0 110108 1100096 1037205 2026-06-17T07:19:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100096 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der eindimensionalen Sphäre {{ Relationskette/display |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=|}} 1}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |offene Überdeckung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |S^1 || U \cup V || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |U ||S^1 \setminus \{(0,1)\} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |V ||S^1 \setminus \{(0,-1)\} || || || |SZ=. }} Darauf beschreiben wir ein {{ Definitionslink |Verklebungdatum| |Kontext=reelles Vektorbündel| |SZ= }} für ein reelles Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1 |SZ=.}} Die beiden offenen Mengen sind {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |SZ= }} zur reellen Geraden. Es ist {{ Relationskette/display |U \cap V || S^1 \setminus \{(0,1), (0,-1) \} || {{Mengebed|(x,y) \in S^1 | x \neq 0}} || || |SZ=, }} und dies ist nicht {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=| |SZ=, }} sondern homöomorph zu zwei disjunkten reellen offenen Halbgeraden {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Geraden| |ISZ=|ESZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette |L || U \times \R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |M || V \times \R || || || |SZ=. }} Wir legen einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=reelles Vektorbündel| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |L {{|}}_{U \cap V} | M{{|}}_{U \cap V} || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | \varphi(x,y,t) | {{defeq|}} | \begin{cases} (x,y,t) \text{ für } x > 0 \, , \\ (x,y,-t) \text{ für } x < 0 \, \end{cases} || || || |SZ= }} fest. Man beachte, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} stetig ist, da die beiden funktionalen Ausdrücke für zueinander disjunkte offene Teilmengen gelten. Auf der einen Hälfte wird identisch abgebildet, auf der anderen Hälfte wird umgeklappt. Im Sinne von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Verklebungsdatum/Vektorbündel/Trivialisierungen/Bemerkung |Nr= |SZ= }} liegt die stetige {{ Zusatz/Klammer |text=konstante| |ISZ=|ESZ= }} Matrixbeschreibung {{ Relationskette/display | \psi (x,y) | {{defeq|}} | \begin{cases} (1) \text{ für } x > 0 \, , \\ (-1) \text{ für } x < 0 \, , \end{cases} || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= U \cap V |SZ=}} vor. Da nur zwei offene Mengen vorliegen, ist die Kozykelbedingung automatisch erfüllt. Dieses Verklebungsdatum definiert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} ein reelles Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1 |SZ=}} auf der Sphäre, das {{Stichwort|Möbiusband|SZ=}} heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für reelle Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5jvedew2s2kbnnrpru2ls4eyhh10s6i 0 110377 1100536 1034628 2026-06-17T10:24:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100536 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Frage, ob eine Abbildung {{Abbildung|name=F| L | M |SZ=}} die Eigenschaften {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ= }} oder {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ= }} besitzt, kann man anhand der Gleichung {{ Relationskette/display |F(x) || y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor/k|term1= x |und|term2= y |SZ= }} | |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} mindestens eine Lösung {{ Relationskette/display | x | \in | L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} maximal eine Lösung {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} genau eine Lösung {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c1uqogh3qwabkgzwjrkwez43eu4t5rk 0 111259 1099812 1084918 2026-06-17T06:33:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099812 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild | 4Geraden6Schnittpunkte|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne=CC-by-sa 4.0 |Lizenz= |Bemerkung= }} Wir betrachten in der Ebene {{math|term= E |SZ=}} eine Konfiguration von {{math|term= n |SZ=}} Geraden und fragen uns, was die maximale Anzahl an Schnittpunkten ist, die eine solche Konfiguration haben kann. Dabei ist es egal, ob wir uns die Ebene als einen {{math|term= \R^2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine kartesische Ebene mit Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} oder einfach elementargeometrisch vorstellen, wichtig ist im Moment allein, dass sich zwei Geraden in genau einem Punkt schneiden können oder aber parallel sein können. Wenn {{math|term= n |SZ=}} klein ist, so findet man relativ schnell die Antwort. {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= S(n) |SZ=}} | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | n | 0 | 0| 1 | 3 | 6 |?|?}} Doch schon bei etwas größerem {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |n || 5,10, \ldots || || || |SZ= }} | |ISZ=?|ESZ= }} kann man ins Grübeln kommen, da man sich die Situation irgendwann nicht mehr präzise vorstellen kann. Aus einer präzisen Vorstellung wird eine Vorstellung von vielen Geraden mit vielen Schnittpunkten, woraus man aber keine exakte Anzahl der Schnittpunkte ablesen kann. Ein sinnvoller Ansatz zum Verständnis des Problems ist es, sich zu fragen, was eigentlich passiert, wenn eine neue Gerade hinzukommt, wenn also aus {{math|term= n |SZ=}} Geraden {{math|term= n+1 |SZ=}} Geraden werden. Angenommen, man weiß aus irgendeinem Grund, was die maximale Anzahl der Schnittpunkte bei {{math|term= n |SZ=}} Geraden ist, im besten Fall hat man dafür eine Formel. Wenn man dann versteht, wie viele neue Schnittpunkte maximal bei der Hinzunahme von einer neuen Geraden hinzukommen, so weiß man, wie die Anzahl der maximalen Schnittpunkte von {{mathl|term= n+1 |SZ=}} Geraden lautet. Dieser Übergang ist in der Tat einfach zu verstehen. Die neue Gerade kann höchstens jede der {{math|term= n |SZ=}} alten Geraden in genau einem Punkt schneiden, deshalb kommen höchstens {{math|term= n |SZ=}} neue Schnittpunkte hinzu. Wenn man die neue Gerade so wählt, dass sie zu keiner der gegebenen Geraden parallel ist {{ Zusatz/Klammer |text=was möglich ist, da es unendlich viele Richtungen gibt| |ISZ=|ESZ= }} und ferner so wählt, dass die neuen Schnittpunkte von den schon gegebenen Schnittpunkten der Konfiguration verschieden sind {{ Zusatz/Klammer |text=was man erreichen kann, indem man die neue Gerade parallel verschiebt, um den alten Schnittpunkten auszuweichen| |ISZ=|ESZ=, }} so erhält man genau {{math|term= n |SZ=}} neue Schnittpunkte. Von daher ergibt sich die {{ Zusatz/Klammer |text=vorläufige| |ISZ=|ESZ= }} Formel {{ Relationskette/display |S(n+1) || 1+2+3 {{plusdots|}} n-2 + n-1 +n || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display |S(n) || 1+2+3 {{plusdots|}} n-3 + n-2 + n-1 || || || |SZ=, }} also einfach die Summe der ersten {{math|term= n-1 |SZ=}} natürlichen Zahlen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie3=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhvif4xdpr2e9hm0ej11i35rg1jr9sx 0 111264 1100103 1026724 2026-06-17T07:20:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100103 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten für die Summe der ersten {{math|term= n |SZ=}} Zahlen, die die maximale Anzahl der Schnittpunkte in einer Konfiguration aus {{math|term= n+1 |SZ=}} Geraden angibt, eine einfachere Formel angeben. Und zwar behaupten wir, dass {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 1}^n k || {{op:Bruch|n(n+1)| 2}} || || || |SZ=. }} Für kleinere Zahlen {{math|term= n |SZ=}} stimmt dies aus dem einfachen Grund, dass links und rechts dasselbe herauskommt. Um die Gleichung allgemein zu beweisen, überlegen wir uns, was links und was rechts passiert, wenn wir das {{math|term= n |SZ=}} um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöhen, so wie wir in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene/Geraden/Schnittpunktanzahl/Beispiel |Nr= |SZ= }} die Geradenkonfiguration um eine zusätzliche Gerade verkompliziert haben. Auf der linken Seite kommt einfach der zusätzliche Summand {{math|term= n+1 |SZ=}} hinzu. Auf der rechten Seite haben wir den Übergang von {{mathl|term= {{op:Bruch|n(n+1)| 2}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Bruch|(n+1)(n+1+1)| 2}} |SZ=.}} Wenn wir zeigen können, dass die Differenz zwischen diesen beiden Brüchen ebenfalls {{mathl|term= n+1 |SZ=}} ist, so verhält sich die rechte Seite genauso wie die linke Seite. Dann kann man so schließen: die Gleichung gilt für die kleinen {{math|term= n |SZ=,}} etwa für {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ=. }} Durch den Differenzenvergleich gilt es auch für das nächste {{math|term= n |SZ=,}} also für {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ=, }} durch den Differenzenvergleich gilt es für das nächste {{math|term= n |SZ=,}} u.s.w. Da dieses Argument immer funktioniert, und da man jede natürliche Zahl irgendwann durch sukzessives Nachfolgernehmen erreicht, gilt die Formel für jede natürliche Zahl. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evonjdflkjw7bfaop5yd0bbpnyu1j4a 0 111405 1100686 1085777 2026-06-17T10:47:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100686 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eng verwandt mit der vollständigen Induktion ist das Prinzip der {{Stichwort|rekursiven Definition|msw=Rekursive Definition|SZ=.}} Bei dieser möchte man für jede natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} einen mathematischen Ausdruck festlegen. Dies macht man, indem man für {{math|term= 0 |SZ=}} einen Ausdruck explizit festlegt und beschreibt, wie der Ausdruck für {{math|term= n+1 |SZ=}} aus dem Ausdruck für {{math|term= n |SZ=}} berechnet werden soll. Letzteres nennt man die Rekursionsvorschrift. Der induktive Aufbau der natürlichen Zahlen stellt dabei sicher, dass durch diese rekursiven Festlegungen für jede natürliche Zahl ein eindeutiger Ausdruck festgelegt wird. Beispielsweise kann man einen Ausdruck {{mathl|term= F(n) |SZ=}} durch den Rukursionsanfang {{ Relationskette/display |F(0) | {{defeq|}} | 7 || || || |SZ= }} und die Rekursionsvorschrift {{ Relationskette/display |F(n+1) | {{defeq|}} | F(n) \cdot n -n^2+3 || || || |SZ= }} festlegen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxw9u0wieffx10q1y7m5fjn1a31734c 0 111617 1100095 1085200 2026-06-17T07:19:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100095 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display |Y | {{defeq|}} | {{Mengebed|(x,y,z,w) \in \R^4| x^2+y^2 {{=|}} 1|(1-y)z {{=|}} xw| xz {{=|}} (1+y)w }} || || || |SZ= }} zusammen mit der natürlichen Projektion auf die eindimensionalen Sphäre {{ Relationskette/display |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=|}} 1}} || U \cup V || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |U ||S^1 \setminus \{(0,1)\} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |V ||S^1 \setminus \{(0,-1)\} || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass {{math|term= Y |SZ=}} ein Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1 |SZ=}} ist, das isomorph zum Möbiusband ist. Auf {{math|term= U |SZ=}} ist {{ Relationskette | y |\neq| 1 || || || |SZ= }} und daher kann man die zweite Gleichung nach {{math|term= z |SZ=}} auflösen, also {{ Relationskette/display |z || {{op:Bruch| x | 1-y}} w || || || |SZ=. }} Damit ist die dritte Gleichung wegen {{ Relationskette/display | xz || {{op:Bruch| x | 1-y}} x w || {{op:Bruch| x^2| 1-y}} w || {{op:Bruch| 1-y^2| 1-y}} w || (1+y) w |SZ= }} automatisch erfüllt. Entsprechend gilt auf {{math|term= V |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x | 1+y}} z || || || |SZ= }} und die andere Gleichung ist automatisch erfüllt. Daher ist {{math|term= Y |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=}} bzw. auf {{math|term= V |SZ=}} ein triviales Vektorbündel vom Rang {{math|term= 1 |SZ=}} mit der Variablen {{ mathkor|term1= w |bzw.|term2= z |SZ=. }} Die Übergangsabbildung auf {{mathl|term= U \cap V |SZ=}} ist durch {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x | 1-y}} || {{op:Bruch| 1+y| x}} || || || |SZ= }} gegeben, eine Matrixbeschreibung dieses Bündels ist also {{mathl|term= {{makl| {{op:Bruch| x | 1-y}} |}} |SZ=.}} Diese Matrix hängt, im Gegensatz zur konstanten Matrix aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Möbiusband/Verklebungsdatum/Beispiel |Nr= |SZ= }} explizit von {{ Relationskette/display | (x,y) | \in | U \cap V || || || |SZ= }} ab. Dennoch sind die beiden Vektorbündel zueinander isomorph. Dazu verwenden wir {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vektorbündel/Matrixbeschreibung/Isomorphie/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und betrachten die beiden stetigen Funktionen {{mathl|term= \sqrt{1-t} |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=}} und {{mathl|term= \sqrt{1+t} |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=,}} die beide nullstellenfrei sind. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+y}||}} \cdot {{op:Bruch| x | 1-y}} \cdot \sqrt{1-y} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{1+y}||}} \cdot {{op:Bruch| x | \sqrt{ 1-y} }} || {{op:Bruch| x | \sqrt{ 1-y^2} }} || {{op:Bruch| x | \sqrt{x^2} }} || {{op:Bruch| x | {{op:Betrag| x |}} }} || \pm 1 || |SZ=, }} abhängig vom Vorzeichen von {{math|term= x |SZ=.}} Daher sind die Bündel isomorph. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für reelle Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen Kernbündel |Kategorie3=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwzmj2cs6wtv45fgphaylqwyq18ur8g 0 112064 1100347 1038351 2026-06-17T08:01:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100347 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} ist mit der Garbe der stetigen Funktionen {{mathl|term= C^0 (-,\R) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokal beringter Raum| |Kontext=| |SZ=: }} Für jeden Punkt {{ Relationskette |P | \in | X || || || |SZ= }} und eine in einer offenen Umgebung von {{math|term= x |SZ=}} definierte stetige Funktion {{math|term= f |SZ=}} gilt {{ Relationskette |f(P) |\neq| 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der {{math|term= f |SZ=}} invertierbar ist. Daher sind die {{ Definitionslink |Halme| |Kontext=Garbe| |SZ= }} {{mathl|term= {\mathcal O}_P |SZ=}} {{ Definitionslink |lokale Ringe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= X |SZ=}} ist lokal beringt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j4szo41lvo7j2t3m51p8ns0bj4bucn1 0 112110 1100255 1037868 2026-06-17T07:46:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100255 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort|alternierende Folge|SZ=}} {{ Relationskette/display | x_n | {{defeq|}} | (-1)^n || || || |SZ= }} ist beschränkt, aber nicht {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=R| |SZ=. }} Die Beschränktheit folgt direkt aus {{ Relationskette | x_n | \in| [-1,1] || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=.}} Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich {{ Relationskette | x | \geq | 0 || || || |SZ= }} der Grenzwert, so gilt für positives {{ Relationskette | \epsilon | < | 1 || || || |SZ= }} und jedes ungerade {{math|term= n |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} || {{op:Betrag| -1-x}} || 1+x | \geq | 1 | > | \epsilon || |SZ=, }} sodass es Folgenwerte außerhalb dieser {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Abstrakterer Variante=Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11q5fcmhokz5cewzfdhqh1al7nj4za6 0 112111 1100251 1085380 2026-06-17T07:45:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100251 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Folge {{ Relationskette/display | x_n || 0, 33 \ldots 33 || || || |SZ= }} mit genau {{math|term= n |SZ=}} Nachkommaziffern und behaupten, dass diese Folge gegen {{math|term= 1/3 |SZ=}} konvergiert. Dazu müssen wir {{mathl|term= {{op:Betrag| 0, 33 \ldots 33 - {{op:Bruch| 1 | 3}} |}} |SZ=}} bestimmen, und dafür müssen wir uns an die Bedeutung von Dezimalbrüchen erinnern. Es ist {{ Relationskette/display | x_n || 0, 33 \ldots 33 || {{op:Bruch| 33 \ldots 33| 10^n }} || {{op:Bruch| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 3 \cdot 10^j | 10^n }} || || |SZ= }} und somit ist {{ Relationskette/align | {{op:Betrag| 0, 33 \ldots 33 - {{op:Bruch| 1 | 3}} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 3 \cdot 10^j | 10^n }} - {{op:Bruch| 1 | 3}} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| 3 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 3 \cdot 10^j |}} - 10^n | 3 \cdot 10^n }} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{n-1} 9 \cdot 10^j |}} - 10^n | 3 \cdot 10^n }} |}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| -1 | 3 \cdot 10^n }} |}} || {{op:Bruch| 1 | 3 \cdot 10^n }} |SZ=. }} Wenn nun ein positives {{math|term= \epsilon |SZ=}} vorgegeben ist, so ist für {{math|term= n |SZ=}} hinreichend groß dieser letzte Term {{math|term= \leq \epsilon |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hqb4cvopmsiyyxlenhnog4hg70680a 0 112233 1100231 1037787 2026-06-17T07:42:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100231 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| -5n^3+6n^2-n+8| 11n^3+7n^2 +3n-1}} || || || |SZ= }} definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| -5n^3+6n^2-n+8| 11n^3+7n^2 +3n-1}} || {{op:Bruch| {{makl| -5n^3+6n^2-n+8 |}} {{op:Bruch| 1 |n^3}} | {{makl| 11n^3+7n^2 +3n-1 |}} {{op:Bruch| 1 |n^3 }} }} || {{op:Bruch| -5 + {{op:Bruch| 6 |n}} -{{op:Bruch| 1 |n^2}} + {{op:Bruch| 8 |n^3}} | 11 + {{op:Bruch| 7 |n}} + {{op:Bruch| 3 |n^2}}-{{op:Bruch| 1 |n^3}} }} || |SZ=. }} In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen {{ mathkor|term1= -5 |bzw.|term2= 11 |SZ=, }} und daher konvergiert die Folge gegen {{mathl|term= - {{op:Bruch| 5 | 11}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jli99y6ewglto1kl0bu7oxpgocth5vi 0 112395 1100718 1036213 2026-06-17T10:52:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100718 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Existenz von beliebigen Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen folgt aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |SZ=, }} da die stetige Funktion {{mathl|term= X^k - c |SZ=}} zu {{ Relationskette |c | \geq | 0 || || || |SZ= }} sowohl negative als auch positive Werte annimmt und daher auch eine Nullstelle haben muss. Der Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} beruht auf dem Verfahren des Zwischenwertsatzes, ohne dass explizit auf die Stetigkeit Bezug genommen wird. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kqwbstbcq9wl6yuvxodi7a5kytpgftc 0 112555 1100152 1085269 2026-06-17T07:29:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100152 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum Polynomring {{mathl|term= K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} in {{math|term= n+1 |SZ=}} Variablen mit der {{ Definitionslink |Standardgraduierung| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Kegelabbildung| |Kontext=Schema| }} gleich {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affiner Raum|n+1|K}} \supset D( X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ) | {{op:Projektiver Raum| n | K}} | {{idealp|}} | {{idealp|}}^h |SZ=. }} Auf den {{math|term= K |SZ=-}}Punkten ist diese Abbildung einfach durch {{ Abbildung/display |name= | K^{n+1} \setminus\{0\} | {{op:Projektiver Raum| n |}}(K) | {{op:Zeilenvektor| x_0 | x_1 | \ldots | x_n }} | {{op:Zeilenvektor| x_0 | x_1 | \ldots | x_n }} |SZ=, }} geben, die einem Punkt {{math|term= \neq 0 |SZ=}} die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nd5jkxfg9qn0tmy16pr0ry7oo3vmif4 0 112641 1100182 1085311 2026-06-17T07:34:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100182 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= {{op:Projektiver Raum| n | K}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |projektive Raum| |Kontext=Schema| |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Strukturgarbe| |Kontext=Schema| |SZ= }} ist für jede offene Teilmenge {{math|term= U |SZ=}} eine Teilmenge des Funktionenkörpers {{ Relationskette/display | {{op:Schnitte| U | {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | K}} |}} }} | \subseteq | K( {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} {{kommadots}} {{op:Bruch|X_n | X_0 }} ) || || || |SZ=. }} Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom {{math|term= f |SZ=}} von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit {{ Relationskette/display |D_+( {{ideala}} ) | \subseteq | D_+(f) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=daei ist hier {{ Relationskette |f || 1 || || || |SZ= }} erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise {{math|term= D_+(f) |SZ=}} nicht verwendet wird. |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Spektrum/Faktorieller Bereich/Prägarbe/Strukturgarbe/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der globale Schnittring gleich {{ Relationskette/display | {{op:Schnitte| U | {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | K}} |}} }} || {{op:Schnitte|D_+(f)| {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | K}} |}} }} || {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_f |}}_0 | \subseteq | K( {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} {{kommadots}} {{op:Bruch|X_n | X_0 }} ) || || || |SZ=. }} Sei {{ Relationskette | \ell | \in |\Z || || || |SZ= }} fixiert. Wir definieren eine Garbe {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | K}} | \ell}} |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | {{op:Schnitte| U| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | K}} | \ell}} |}} || {{op:Schnitte| D_+(f) | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | K}} | \ell}} |}} | {{defeq|}} | {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] _f|}}_\ell || |SZ=. }} Dabei handelt es sich um eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=| |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D_+(X_0) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso auf den {{mathlk|term=D_+(X_i) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist nämlich {{ Abbildung/display |name= | {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_0 } |}}_0 | {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_0 } |}}_\ell | {{op:Bruch| F | G}} | X_0^\ell \cdot {{op:Bruch| F | G}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_0 } |}}_0 |Modulisomorphismus| |Kontext=| |SZ=, }} der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach {{mathl|term= {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] |}}_\ell |SZ=,}} was zeigt, dass {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |n | \geq | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} diese invertierbaren Garben zu {{ Relationskette | \ell | \geq | 0 || || || |SZ= }} nicht zueinander isomorph sind {{ Zusatz/Klammer |text=das stimmt für alle {{math|term= \ell|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vmpydwxdulsrevfxmjfi2irxokdism 0 112760 1100345 1038345 2026-06-17T08:01:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100345 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ=, }} versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen {{mathl|term= C(-,\R) |SZ=}} und {{ Abbildung |name= | L | X || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |reelles Geradenbündel| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} Dann ist die {{ Definitionslink |Garbe der stetigen Schnitte| |Kontext=Bündel| |SZ= }} {{math|term= S |SZ=}} im Sinne von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Stetige Abbildung/Prägarbe der stetigen Schnitte/Beispiel |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |invertierbarer| |Kontext=beringter Raum| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=C(-,\R) |Modul| |Kontext=| |SZ=. }} Zu einer offenen Menge {{ Relationskette |U | \subseteq | X || || || |SZ= }} mit einer Trivialisierung {{ Relationskette |L {{|}}_U | \cong| \R \times U || || || |SZ= }} ist ja {{ Relationskette | S(U,L {{|}}_U ) | \cong| C(U,\R) || || || |SZ=, }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gk9ybwoo2s0g38jlgsya3t4mil4ay3b 0 112826 1099906 1084998 2026-06-17T06:48:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099906 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |R || A_{-5} || \Z[\sqrt{-5}] || \Z[T]/(T^2+5) || || |SZ= }} gilt die Gleichheit {{ Relationskette/display | 2 \cdot 3 || 6 || (1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) (1 -\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) || || || |SZ=. }} Wir betrachten das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | I ||(2,1+\sqrt{-5}) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} ist und kein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörige {{ Definitionslink |Idealgarbe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Modulgarbespektrum| I |}} |SZ=}} auf {{ Relationskette |X || {{op:Spek| R |}} || || || |SZ=. }} Das Spektrum wird durch die beiden offenen Mengen {{ mathkor|term1= D(2) |und|term2= D(3) |SZ= }} überdeckt. Es ist {{ Relationskette | {{op:Modulgarbespektrum| I |}} {{|}}_{D(2)} | \cong| { {{op:Strukturgarbe| X |}} } {{|}} _{D(2)} || || || |SZ=, }} da {{math|term= 2 |SZ=}} zum Ideal gehört und daher das Ideal in der Nenneraufnahme {{mathl|term= R_2 |SZ=}} zum Einheitsideal wird. In der Nenneraufnahme {{math|term= R_3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= also auf {{math|term= D(3) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist hingegen {{ Relationskette/display | 2 || {{op:Bruch| 1 -\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} | 3}} (1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) || || || |SZ= }} und somit ist {{math|term= I_3 |SZ=}} ein Hauptideal mit dem Erzeuger {{math|term= 1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette | {{op:Modulgarbespektrum| I |}} {{|}}_{D(3)} | \cong| { {{op:Strukturgarbe| X |}} } {{|}}_{D(3)} || || || |SZ= }} und {{math|term= {{op:Modulgarbespektrum| I |}} |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf affinen Schemata |Kategorie2=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6djz16zcqwmp1u56ytg0hzjgiutrfg8 0 112980 1100681 1035814 2026-06-17T10:46:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100681 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei einer reellen Exponentialfunktion {{ Relationskette/display | y(x) || a^x || || || |SZ= }} gilt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | y' || {{makl| {{op:ln| a |}} |}} y || || || |SZ=, }} es besteht also ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Funktion {{math|term= y |SZ=}} und ihrer Ableitung {{math|term= y' |SZ=}} mit dem Proportionalitätsfaktor {{math|term= {{op:ln| a |}} |SZ=.}} Dies gilt auch dann, wenn {{math|term= a^x |SZ=}} mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn man unter {{math|term= y |SZ=}} eine von der Zeit {{math|term= x |SZ=}} abhängige Größe versteht, so beschreibt {{mathl|term= y'(x) |SZ=}} das momentane Wachstum zu einem Zeitpunkt. Die Gleichung {{ Relationskette | y' || {{makl| {{op:ln| a |}} |}} y || || || |SZ= }} bedeutet dann, dass das momentane Wachstum in jedem Zeitpunkt proportional zur momentanen Größe ist. Ein solches Wachstum {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Schrumpfung bei {{ Relationskette/k |a | < | 1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/k | {{op:ln| a |}} | < | 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} kommt in der Natur bei einer Population dann vor, wenn es keine nennenswerte Nahrungskonkurrenz und vernachlässigbare Sterberaten gibt {{ Zusatz/Klammer |text=die Anzahl der Mäuse ist dann proportional zur Anzahl der geborenen Mäuse| |ISZ=|ESZ=. }} Eine Bedingung der Form {{ Relationskette/display | y' || b y || || || |SZ= }} ist ein Beispiel für eine {{Stichwort|Differentialgleichung|SZ=.}} Dies ist eine Gleichung für eine Funktion, die Bedingungen an die Ableitung der Funktion ausdrückt. Eine Lösung einer solchen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Funktion, die diese Ableitungsbedingung erfüllt. Die Lösungen der zuletzt formulierten Differentialgleichung sind die Funktionen {{ Relationskette/display | y(x) || ce^{bx} || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dze7eebtm2pi3aakj3sihym4h9rqqor 0 113270 1100308 1085438 2026-06-17T07:55:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100308 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |f | \in | R || || || |SZ= }} ein Element. Dieses definiert über {{ Abbildung/display |name= | {{op:Spek|R[T] |}} {{=|}} {{op:Affine Gerade| R |}} | {{op:Spek|R[T] |}} {{=|}} {{op:Affine Gerade| R |}} | T | fT |SZ=, }} einen {{ Definitionslink |Homomorphismus von Vektorbündeln| |Kontext=Schema| |SZ=. }} Dieser ist in den Fasern über den Punkten {{ Relationskette |P | \in | {{op:Spek| R |}} || || || |SZ=, }} in denen {{math|term= f |SZ=}} eine Einheit ist {{ Zusatz/Klammer |text=also den Punkten aus {{math|term= D(f) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} eine Bijektion und über den anderen Punkten die Nullabbildung. Die Abbildung ist also nur dann injektiv {{ Zusatz/Klammer |text=und zugleich surjektiv und bijektiv| |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{math|term= f |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |SZ= }} ist. Das Element {{math|term= f |SZ=}} definiert aber auch durch Multiplikation einen {{ Definitionslink |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |SZ= }} der Strukturgarbe in sich {{ Abbildung/display |name= | {{op:Strukturgarbe| X |}} | {{op:Strukturgarbe| X |}} | 1 |f |SZ=. }} Auf jeder offenen Teilmenge {{ Relationskette |U | \subseteq | X || {{op:Spek| R |}} || || |SZ= }} liegt also der {{ Definitionslink |Prämath= {{op:SchnittringX| U |}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:SchnittringX| U |}} | {{op:SchnittringX| U |}} | r |rf |SZ=, }} vor. Dabei ist dieser Garbenhomomorphismus genau dann injektiv, wenn {{math|term= f |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=}} ist, und bijektiv genau dann, wenn {{math|term= f |SZ=}} eine Einheit ist. Der Injektivitätsbegriff fällt also für Vektorbündel und lokal freie Garben auseinander. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von Vektorbündeln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j0iz1ih3v09v7sajr617wfjur6dm3gt 0 113277 1099715 1034799 2026-06-17T06:18:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099715 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K[X,Y,Z] | K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) || |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Spek | K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)|}} | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} || |SZ= }} sowie deren Einschränkung {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Spek | K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)|}} \supseteq D(X) \cup D(Y) \cup D(Z) | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} \setminus \{(0,0,0)\} {{=|}} D(X) \cup D(Y) \cup D(Z) || |SZ=. }} Letzteres ist ein {{ Definitionslink |geometrisches Vektorbündel| |Kontext=Schema| |SZ= }} vom Rang {{math|term= 2 |SZ=}} über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den {{mathl|term= D(X) , D(Y) , D(Z) |SZ=}} gegeben, vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Relationskette/display | {{makl| K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) |}}_X | \cong| K[X,Y,Z]_X[V,W] || || || |SZ=, }} da man {{ Relationskette/display |U || - {{op:Bruch|YV+ZW|X}} || || || |SZ= }} ausdrücken kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n1vwnpmzwvc0aymvvpyrqv7vily97bx 0 113396 1099907 1084999 2026-06-17T06:48:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099907 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |R || \Z[\sqrt{-5}] || || |SZ=, }} in dem die Gleichheit {{ Relationskette/display | 2 \cdot 3 || 6 || (1 +\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) (1 -\sqrt{5} {{Imaginäre Einheit||}} ) || || || |SZ= }} gilt und darüber die {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |A || R[X,Y] /(3X- (1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}) Y) || || || |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | {{op:Spek| A |}} | {{op:Spek| R |}} || |SZ=. }} Wir behaupten, dass ein {{ Definitionslink |geometrisches Geradenbündel| |Kontext=Schema| |SZ= }} vorliegt, wofür wir die offene Überdeckung {{ Relationskette | {{op:Spek| R |}} || D(2) \cup D(3) || || || |SZ= }} heranziehen. Es ist {{ Relationskette/display |A_2 || R_2 [ X,Y] /(3X- (1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}) Y) | \cong| R_2[S] || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto 2S|SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto (1+ {{Imaginäre Einheit||}} \sqrt{5})S |SZ=}} wegen {{ Relationskette |S || X/2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |X || 2S || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |Y || {{op:Bruch| 3 | 1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} }} X || {{op:Bruch| 1+ {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} | 2 }} X || {{makl| 1+ {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} |}} S || |SZ= }} ein Isomorphismus. Ebenso ist {{ Relationskette/display |A_3 || R_3 [ X,Y] /(3X- (1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}) Y) | \cong| R_3[T] || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto (1 - {{Imaginäre Einheit||}} \sqrt{5}) T |SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto 3T |SZ=}} wegen {{ Relationskette | T || Y/3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |Y || 3T || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | X || {{op:Bruch| 1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} | 3 }} Y || {{1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5}|}} T || || |SZ= }} ein Isomorphismus. Auf {{ Relationskette |D(6) || D(2) \cap D(3) || || || |SZ= }} ist die Übergangsabbildung durch {{ Relationskette |S || {{op:Bruch| X | 2}} || {{op:Bruch| 1- {{imaginäre Einheit|}} \sqrt{5} | 2}} T || || |SZ= }} gegeben, also linear. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0f4jwokh2olj1w5n36ba2fkuavnj2tn 0 113752 1100659 1085758 2026-06-17T10:42:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100659 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Kanonische Garbe/Fakt |Nr= |SZ= }} erlaubt eine grobe Klassifikation von glatten Hyperflächen {{ Relationskette/display |Y || V_+(F) | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| n | K}} || || |SZ= }} im projektiven Raum, je nachdem, ob in {{ Relationskette | \omega_Y | \cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe| Y |d - n-1|}} || || || |SZ= }} der Twist {{mathl|term= d-n-1 |SZ=}} negativ, gleich {{math|term= 0 |SZ=}} oder positiv ist. Bei {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ=, }} also Kurven in der projektiven Ebene, liegt bei {{ Relationskette |d || 1,2 || || || |SZ= }} eine projektive Gerade vor, bei {{ Relationskette |d || 3 || || || |SZ=, }} wenn die kanonische Garbe trivial ist, eine elliptische Kurve und bei {{ Relationskette |d | \geq | 4 || || || |SZ= }} eine Kurve vom allgemeinen Typ. Bei {{ Relationskette |n || 3 || || || |SZ=, }} also Flächen im projektiven Raum, liegt bei {{ Relationskette |d || 1 || || || |SZ= }} eine projektive Ebene vor, bei {{ Relationskette |d || 2 || || || |SZ= }} eine zu {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| K |}} \times {{op:Projektive Gerade| K |}} |SZ=}} isomorphe Fläche und bei {{ Relationskette |d || 3 || || || |SZ= }} eine Fläche, die isomorph ist zu einer projektiven Ebene, auf der man sechs Punkte aufgeblasen hat. Jedenfalls hat man bei {{ Relationskette |d | \leq | 3 || || || |SZ= }} eine sogenannte rationale Fläche, deren {{ Definitionslink |Funktionenkörper| |Kontext=| |SZ= }} gleich dem {{ Definitionslink |rationalen Funktionenkörper| |Kontext=n| |SZ= }} in zwei Variablen ist. Bei {{ Relationskette |d || 4 || || || |SZ=, }} wenn die kanonische Garbe trivial ist, liegt eine sogenannte {{math|term= K3 |SZ=-}}Fläche vor. Bei {{ Relationskette |d | \geq | 5 || || || |SZ= }} hat man eine Fläche vom allgemeinen Typ. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der projektiven Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der kanonischen Garbe auf einem glatten Schema |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2rnrf90anp6h5dgtoqg6anu376knb4a 0 114548 1100121 1085226 2026-06-17T07:23:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100121 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Fruit_salad_(1)|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Fæ |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils in Milligramm| |ISZ=|ESZ= }} unterschiedliche Früchte {{ Zusatz/Klammer |text=pro 100 Gramm| |ISZ=|ESZ= }} besitzen. {{Tabelleleitdreixvier| |ls0= |lz1= Apfel |lz2= Orange |lz3= Traube |lz4= Banane |lz5= |lz6= |lz7= |lz8= |lz9= |lz10= | |ls1= Vitamin C|a1,1= 12 |a1,2= 53 |a1,3= 4 |a1,4= 9 |a1,5= |a1,6= |a1,7= |a1,8= |a1,9= |a1,10= | |ls2=Calcium |a2,1= 7 |a2,2= 40|a2,3= 12|a2,4= 5 |a2,5= z_2 |a2,6= |a2,7= |a2,8= |a2,9= |a2,10= | |ls3=Magnesium |a3,1= 6 |a3,2= 10 |a3,3= 8 |a3,4= 27 |a3,5= z_3 |a3,6= |a3,7= |a3,8= |a3,9= |a3,10= | |ls4= |a4,1= \, |a4,2= \, |a4,3= |a4,4= |a4,5= |a4,6= |a4,7= |a4,8= |a4,9= |a4,10= | |ls5= |a5,1=\, |a5,2=\, |a5,3=\, |a5,4= |a5,5= |a5,6= |a5,7= |a5,8= |a5,9= |a5,10= | |ls6= |a6,1= |a6,2= |a6,3= |a6,4= |a6,5= |a6,6= |a6,7= |a6,8= |a6,9= |a6,10= | |ls7= |a7,1= |a7,2= |a7,3= |a7,4= |a7,5= |a7,6= |a7,7= |a7,8= |a7,9= |a7,10= | |ls8= |a8,1= |a8,2= |a8,3= |a8,4= |a8,5= |a8,6= |a8,7= |a8,8= |a8,9= |a8,10= | |ls9= |a9,1= |a9,2= |a9,3= |a9,4= |a9,5= |a9,6= |a9,7= |a9,8= |a9,9= |a9,10= | |ls10= |a10,1= |a10,2= |a10,3= |a10,4= |a10,5= |a10,6= |a10,7= |a10,8= |a10,9= |a10,10= | |ls11= |a11,1= |a11,2= |a11,3= |a11,4= |a11,5= |a11,6= |a11,7= |a11,8= |a11,9= |a11,10= | |ls12= |a12,1= |a12,2= |a12,3= |a12,4= |a12,5= |a12,6= |a12,7= |a12,8= |a12,9= |a12,10= | |ls13= |a13,1= |a13,2= |a13,3= |a13,4= |a13,5= |a13,6= |a13,7= |a13,8= |a13,9= |a13,10= | |ls14= |a14,1= |a14,2= |a14,3= |a14,4= |a14,5= |a14,6= |a14,7= |a14,8= |a14,9= |a14,10= | |ls15= |a15,1= |a15,2= |a15,3= |a15,4= |a15,5= |a15,6= |a15,7= |a15,8= |a15,9= |a15,10= | |ls16= |a16,1= |a16,2= |a16,3= |a16,4= |a16,5= |a16,6= |a16,7= |a16,8= |a16,9= |a16,10= | }} Mein Obstsalat heute morgen besteht aus den angegebenen Früchten in den Anteilen {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 3 | 2 | 7 | 6}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= 300 |SZ=}} Gramm Apfel u.s.w.| |ISZ=|ESZ=. }} Daraus kann man den gesamten Vitamin-C-Gehalt, den Calcium-Gehalt und den Magnesium-Gehalt des Obstsalats ausrechnen, indem man einfach für jede Frucht ihre Menge mit dem entsprechenden Gehalt multipliziert und alles aufsummiert. Der Vitamingehalt des gesamten Obstsalats ist also {{ Zusatz/Klammer |text=in Milligramm| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | 12 \cdot 3 + 53 \cdot 2 + 4 \cdot 7 + 9 \cdot 6 || 224 || || || |SZ=. }} Diese Operation ist ein Beispiel für die Wirkungsweise einer Matrix. Die Tabelle führt unmittelbar zu einer {{math|term= 3 \times 4 |SZ=-}}Matrix, nämlich zu {{mathl|term= {{op:Matrix34| 12| 53| 4 | 9 | 7 | 40| 12| 5 | 6 | 10| 8 | 27|}} |SZ=,}} und die obige Rechnung wird durch die Matrixmultiplikation {{ Relationskette/display | {{op:Matrix34| 12| 53| 4 | 9 | 7 | 40| 12| 5 | 6 | 10| 8 | 27|}} {{op:Spaltenvektor| 3 | 2 | 7 | 6}} || {{op:Spaltenvektor| 224| 215| 256}} || || || |SZ= }} realisiert. Man kann auch umgekehrt sich einen Obstsalat wünschen, der eine bestimmte Menge an Vitamin C, Calcium und Magnesium besitzt, sagen wir {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 180| 110| 140}} |SZ=.}} Dies führt zum linearen Gleichungssystem in Matrixform {{ Relationskette/display | {{op:Matrix34| 12| 53| 4 | 9 | 7 | 40| 12| 5 | 6 | 10| 8 | 27|}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 | x_3 | x_4}} || {{op:Spaltenvektor| 180| 110| 140}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6uznhzw8sahq0czdg9dkgbrm3uh32a 0 114565 1100159 1085282 2026-06-17T07:30:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100159 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Polynomring/Syzygiengarbe zu Variablen/Beispiel |Nr= |SZ= }} an, d.h. wir betrachten auf dem Polynomring {{ Relationskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |n | \geq | 2 || || || |SZ= }} und die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} | R^n | {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} |SZ=. }} Die Einschränkung der zugehörigen Garbensequenz auf den punktierten Raum {{ Relationskette |U || {{op:Affiner Raum| n | K}} \setminus \{(0 {{kommadots|}} 0) \} || || || |SZ= }} ist {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Garbe| S |}} {{=|}} {{op:Modulgarbespektrum| {{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} ||}} | {{op:Strukturgarbe| U |}}^n | {{op:Strukturgarbe| U |}} |SZ=.}} Die Auswertung dieser Garbensequenz auf {{math|term= U |SZ=}} ergibt {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Syz| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} \longrightarrow R^n \longrightarrow R \longrightarrow H^1(U , {{op:Garbe| S |}}) \longrightarrow H^1(U, {{op:Strukturgarbe| U |}}^n) \longrightarrow |SZ=. }} Da das Bild der Abbildung {{ Abbildung |name= |R^n | R || |SZ= }} nach wir vor das maximale Ideal, ist diese Abbildung nicht surjektiv und es folgt, dass {{ Relationskette | H^1(U , {{op:Garbe| S |}}) |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Garbenkohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der lokal freien Garben auf quasiaffinen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s10jyqmerifgyxgym8th2ofc91nat2b 0 114781 1099861 1084958 2026-06-17T06:41:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099861 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den topologischen Raum {{ Relationskette |X ||\{a,b,c\} || || || |SZ= }} mit den offenen Mengen {{mathl|term= \emptyset, X, U=\{a,c\}, V=\{b,c\}, U \cap V= \{c\} |SZ=.}} Dieser Raum besitzt die beiden abgeschlossenen Punkte {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=, }} er ist {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Topologie| |SZ= }} und {{math|term= c |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |generische Punkt| |Kontext=| |SZ=. }} Abgesehen von der leeren Menge bilden die offenen Mengen das Inklusionsdiagramm {{Kommutatives Quadrat/lo| X | U | V | U \cap V |SZ=.}} Eine Garbe von kommutativen Gruppen auf {{math|term= X |SZ=}} ist gegeben, wenn man diesen Teilmengen Gruppen und Restriktionshomomorphismen zuweist {{ Zusatz/Klammer |text=und die Verträglichkeitsbedingung überprüft| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Garbe {{math|term= {{op:Garbe| F |}} |SZ=,}} die durch {{Kommutatives Quadrat/ru| 0 | 0| 0 |\Z |SZ=}} gegeben ist. Diese kann man in die konstante Garbe {{math|term= {{op:Garbe| F |}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Identitäten| |ISZ=|ESZ= }} {{Kommutatives Quadrat/ru|\Z|\Z|\Z|\Z |SZ=}} einbetten. Die {{ Definitionslink |Quotientengarbe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe| G |}} / {{op:Garbe| F |}} |SZ=}} ist durch {{Kommutatives Quadrat/ru|\Z \times \Z |\Z|\Z| 0 |abb12=p_2 |abb13=p_1 |SZ=}} gegeben. Die Werte für {{mathl|term= U \cap V,U,V|SZ=}} ergeben sich direkt durch Restklassenbildung, die Vergarbung hat keinen Effekt, und für {{math|term= X |SZ=}} ergibt sich das Produkt {{math|term= \Z \times \Z|SZ=,}} da die Schnitte über {{math|term= U |SZ=}} und {{math|term= V |SZ=}} automatisch verträglich sind. Somit ist die globale Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Schnitte| X | {{op:Garbe| G |}} }} {{=|}} \Z| {{op:Schnitte| X | {{op:Garbe| G |}}/ {{op:Garbe| F |}} }} {{=|}} \Z \times \Z || |SZ= }} nicht surjektiv, die {{ Definitionslink |lange exakte Kohomologiesequenz| |Kontext=| |SZ= }} ist vielmehr {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow 0 \longrightarrow \Z \longrightarrow \Z \times \Z \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^1(X, {{op:Garbe| F |}} ) {{=|}} \Z \longrightarrow 0 |SZ=. }} Hierbei geht vorne {{mathl|term= n \mapsto (n,n) |SZ=}} und hinten {{mathl|term= (r,s) \mapsto (r-s) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das folgt aus der Exaktheit| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quotientengarben |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3=Theorie der endlichen topologischen Räume |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7efz84hnsg9ukoyyxganih63lfxspol 0 115531 1100173 1037565 2026-06-17T07:32:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100173 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der projektiven Geraden {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| R |}} || {{op:Proj|R[X,Y] |}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} und das {{ Zusatz/Klammer |text=volle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |lineare System| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |(X,Y) | \subseteq | {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade| R |}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade| R |}} | 1}} }} || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |zugehörige Morphismus| |Kontext=lineares System| |SZ= }} die Identität. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9b4cejs92ic8bsjby1ofk17v6biabqi 0 115533 1100174 1037568 2026-06-17T07:32:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100174 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der projektiven Geraden {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| R |}} || {{op:Proj|R[X,Y] |}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} und das {{ Zusatz/Klammer |text=volle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |lineare System| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |(X^2,XY,Y^2) | \subseteq | {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade| R |}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade| R |}} | 2}} }} || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |zugehörige Morphismus| |Kontext=lineares System| |SZ= }} ausgeschrieben gleich {{ Abbildung/display |name= | {{op:Projektive Gerade| R |}} | {{op:Projektive Ebene| R |}} | (x,y)| (x^2,xy,y^2) |SZ=. }} Dem Punkt auf der projektiven Geraden mit den homogenen Koordinaten {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} wird also der Punkt in der projektiven Ebene mit den homogenen Koordinaten {{ Relationskette | (x^2,xy,y^2) ||(u,v,w) || || || |SZ= }} zugeordnet. Das Bild erfüllt die Gleichung {{ Relationskette |uw || v^2 || || || |SZ=, }} d.h. das Bild liegt in der ebenen Kurve {{ Relationskette/display |V_+(uw-v^2) | \subseteq | {{op:Projektive Ebene| R |}} || || || |SZ=. }} In der Tat liegt eine Isomorphie {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| R |}} | \cong|V_+(uw-v^2) || || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ix8vbv5zt5kw6cm1lzh0lebejoromop 0 115650 1100183 1085312 2026-06-17T07:34:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100183 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Definitionslink |Weildivisoren| |Kontext=| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Divisorenklassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} des projektiven Raumes {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| d | K}} |SZ=}} über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} verstehen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |d | \geq | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die disjunkte Zerlegung {{ Relationskette/display | {{op:Projektiver Raum| d | K}} || D_+(X_0) \cup V_+(X_0) || {{op:Affiner Raum| d | K}} \cup {{op:Projektiver Raum|d-1|K}} || || |SZ=, }} d.h. wir fixieren die {{ Definitionslink |Hyperebene| |Kontext=projektiv| |SZ= }} {{ Relationskette/display |H || V_+(X_0) | \cong| {{op:Projektiver Raum|d-1|K}} || || |SZ= }} im {{Anführung|Unendlichen|SZ=.}} Ein {{ Definitionslink |Primdivisor| |Kontext=| |SZ= }} des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe {{math|term= 1 |SZ=}} im Polynomring {{mathl|term= K[ {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_0 }} ] |SZ=}} aufgefasst werden. Jede Funktion {{math|term= f |SZ=}} des Funktionenkörpers lässt sich {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Skalierung und kürzen| |ISZ=|ESZ= }} eindeutig als {{ Relationskette |f || {{op:Bruch| P | Q}} || || || |SZ= }} mit Polynomen {{ Relationskette |P,Q | \in | K[ {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_0 }} ] || || || |SZ= }} schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} kann man direkt {{ Relationskette/display |f || \prod_{i {{=}} 1}^n c P_i^{\nu_i } || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer Konstanten {{ Relationskette/k |c |\neq| 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | \nu_i | \in |\Z || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} schreiben und daraus den Hauptdivisor zu {{math|term= f |SZ=}} ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die {{ Zusatz/Klammer |text= {{Anführung|unendlich ferne|}} | |ISZ=|ESZ= }} Ordnung von {{math|term= f |SZ=}} an {{math|term= V_+(X_0) |SZ=}} ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist{{{zusatz1|}}} {{ Relationskette/align/handlinks | K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{((X_0))} || {{makl| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]_{ K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] \setminus (X_0) \cap \text{ homogene Elemente } } |}}_0 || K {{makl| {{op:Bruch|X_2 | X_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_1 }} |}} [ {{op:Bruch|X_0 | X_1 }} ]_{ {{makl| {{op:Bruch|X_0 | X_1 }} |}} } || || |SZ=. }} Man schreibt {{math|term= P |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= Q |SZ=}} oder {{math|term= f |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} indem man überall {{math|term= {{op:Bruch|X_i | X_0 }} |SZ=}} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|X_i | X_1 }} \cdot {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} |SZ=}} ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper {{mathl|term= K {{makl| {{op:Bruch|X_2 | X_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_d|X_1 }} |}} |SZ=}} in der einen Variablen {{math|term= {{op:Bruch|X_0 | X_1 }} |SZ=.}} Der {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise negative| |ISZ=|ESZ= }} Grad bezüglich {{math|term= {{op:Bruch|X_0 | X_1 }} |SZ=}} ist die Ordnung. Beispielsweise ist bei {{ Relationskette/display |P || {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} + {{makl| {{op:Bruch|X_2 | X_0 }} |}}^3 || {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} + {{makl| {{op:Bruch|X_2 | X_1 }} |}}^3 {{makl| {{op:Bruch|X_1 | X_0 }} |}}^3 || {{makl| {{makl| {{op:Bruch|X_0 | X_1 }} |}}^{2} + {{makl| {{op:Bruch|X_2 | X_1 }} |}}^3 |}} {{makl| {{op:Bruch|X_0 | X_1 }} |}}^{-3} || |SZ= }} und die Ordnung ist {{math|term= -3 |SZ=.}} Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor {{ Definitionslink |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |SZ= }} zu einem Divisor der Form {{math|term= n V_+(X_0) |SZ=}} mit {{ Relationskette |n | \in | \Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Klasse zu {{math|term= V_+(X_0) |SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Hyperebenenklasse|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ=. }} Ein solcher Divisor ist aber bei {{ Relationskette |n |\neq| 0 || || || |SZ= }} kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=.}} Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also {{math|term= \Z|SZ=,}} als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m9d0ksh5w1n2ulq0bx9n6cimz9aqw1m 0 115773 1100181 1085309 2026-06-17T07:33:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100181 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{ Definitionslink |projektiven Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| d | K}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} lässt sich eine {{ Definitionslink |getwistete Strukturgarbe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| d | K}} | \ell}} |SZ=}} folgendermaßen in die Funktionenkörpergarbe {{math|term= {{op:Garbe| Q |}} |SZ=}} einbetten. Es sei {{ Relationskette/display |G | \in | K(X_0 {{kommadots|}} X_n)_{- \ell } || || || |SZ= }} ein homogenes Element vom Grad {{math|term= - \ell|SZ=.}} Auf jeder offenen Menge {{ Relationskette |U | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| d | K}} || || || |SZ= }} ist dann die natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Schnitte| U | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| d | K}} | \ell}} }} | Q( {{op:Projektiver Raum| d | K}}) | s |s G |SZ=, }} eine Realisierung als Untermodul. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7mu31s29e9lp1zrukxrr9k68rtoaa4 0 115820 1100600 1085677 2026-06-17T10:33:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100600 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Das kohomologisch definierte {{ Definitionslink |Geschlecht| |Kontext=kohomologisch| |SZ= }} einer glatten projektiven Kurve über {{math|term= K |SZ=}} stimmt mit der Vektorraumdimension der {{ Definitionslink |kanonischen Garbe| |Kontext=| |SZ= }} überein. Die kanonische Garbe ist im eindimensionalen Fall einfach die Garbe der {{ Definitionslink |Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| C | K}} |SZ=,}} also die Kotangentialgarbe, also die {{ Definitionslink |duale Garbe| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Tangentialgarbe| |Kontext=Schema| |SZ=. }} Es gilt also {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension|H^1 {{makl| C, {{op:Strukturgarbe|}}_C |}} |}} || {{op:Vektorraumdimension| {{op:Schnitte| C | \omega_C |}} |}} || || || |SZ=. }} Im ebenen Fall ergibt sich dies direkt: Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt |Nr= |SZ= }} ist das Geschlecht gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|(d-1)(d-2)| 2}} |SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Kanonische Garbe/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette | \omega_C | \cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |d-3|}} || || || |SZ= }} und nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Projektive Ebene/Kurve/Getwistete Strukturgabe zu d-3/Globale Schnitte/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist die Dimension von {{mathl|term= {{op:Schnitte| C | {{op:Getwistete Strukturgarbe| C |d-3}} }} |SZ=}} ebenfalls gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|(d-1)(d-2)| 2}} |SZ=.}} Im allgemeinen Fall gilt die {{Stichwort|Serre-Dualität|SZ=,}} die unter Anderem besagt, dass für eine lokal freie Garbe {{math|term= {{op:Garbe| F |}} |SZ=}} auf einer glatten projektiven Kurve {{math|term= C |SZ=}} die Kohomologiegruppe {{mathl|term= H^1(C, \omega_C) |SZ=}} ein eindimensionaler Vektorraum über {{math|term= K |SZ=}} ist und dass die natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Homomorphismen| {{op:Garbe| F |}} | \omega_C}} \times H^1(C, {{op:Garbe| F |}}) | H^1(C, \omega_C) \cong K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |vollständige Dualität| |Kontext=| |SZ= }} liefert. D.h. die Vektorräume {{ mathkor|term1= {{op:Homomorphismen| {{op:Garbe| F |}} | \omega_C}} |und|term2= H^1(C, {{op:Garbe| F |}}) |SZ= }} sind dual zueinander und haben insbesondere die gleiche Dimension. Für die Strukturgarbe {{ Relationskette | {{op:Garbe| F |}} || {{op:Strukturgarbe| C |}} || || || |SZ= }} ergibt sich wegen {{ Relationskette | {{op:Homomorphismen| {{op:Garbe| {{op:Strukturgarbe| C |}} |}} | \omega_C}} | | {{op:Schnitte| C | \omega_C}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die Dualität zwischen {{ mathkor|term1= H^1(C, {{op:Strukturgarbe| C |}}) |und|term2= {{op:Schnitte| C | \omega_C}} |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6m1nod2hjw1vt4jrgaksgiypm8f0136 0 116246 1100614 1085693 2026-06-17T10:35:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100614 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein invertierbarer Untermodul {{math|term= {{op:Garbe| L |}} |SZ=}} der konstanten Funktionenkörpergarbe ist gegeben durch eine offene Überdeckung {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term= X |SZ=}} zusammen mit von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Elementen {{ Relationskette |q_i | \in | Q || || || |SZ=, }} die die Bedingung {{ Relationskette | {{op:Bruch|q_i |q_j }} | \in | {{makl| {{op:Schnitte|U_i \cap U_j | {{op:Strukturgarbe| X |}} }} |}}^\times || || || |SZ= }} erfüllen. Wenn man eine trivialisierende Überdeckung {{math|term= U_i |SZ=}} heranzieht, so ist {{ Relationskette/display | {{op:Garbe| L |}} {{|}}_{U_i } | \cong| q_i {{op:Strukturgarbe|U_i |}} || || || |SZ=, }} und aus den Übergangsabbildungen auf den Durchschnitten folgt, dass der Quotient {{mathl|term= q_i/q_j |SZ=}} eine Einheit sein muss. Wenn umgekehrt ein solcher Datensatz {{mathl|term= (U_i,q_i) |SZ=}} gegeben ist, so ist {{ Relationskette/display | q_i {{op:Strukturgarbe|U_i |}} | \subseteq | {{op:Garbe| Q |}}_{U_i } || || || |SZ= }} eine triviale Untergarbe, die auf {{math|term= X |SZ=}} eine invertierbare Untergarbe festlegt. Ein weiterer Gesichtspunkt ergibt sich aus der exakten Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Einheitengarbe| X |}} | {{op:Garbe| Q |}}^\times| {{op:Garbe| Q |}}^\times/ {{op:Einheitengarbe| X |}} | SZ=.}} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} sind die beschriebenen Datensätze die globalen Schnitte aus der {{ Definitionslink |Quotientengarbe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Garbe| Q |}}^\times/ {{op:Einheitengarbe| X |}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf integren Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ryq8i8mzr3pincoku8nvfyjn5gu48tg 0 116257 1100175 1085303 2026-06-17T07:32:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100175 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| K |}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} mit der Standardüberdeckung {{ Relationskette/display | {{op:Projektive Gerade| K |}} || D_+(X) \cup D_+(Y) || || || |SZ= }} mit den beiden affinen Geraden {{ Relationskette | D_+(X) || {{op:Spek|K[ {{op:Bruch| Y | X}} ] |}} | \cong| {{op:Affine Gerade| K |}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette | D_+(Y) || {{op:Spek|K[ {{op:Bruch| X | Y}} ] |}} | \cong| {{op:Affine Gerade| K |}} || || |SZ=. }} Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Integres affines Schema/Faktoriell/Picardgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung |Nr= |SZ= }} können wir die {{ Definitionslink |Picardgruppe| |Kontext=| |SZ= }} der projektiven Geraden berechnen, indem wir die Einheiten in {{ Relationskette/display | {{op:Schnitte|D_+(XY)| {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade| K |}} |}} }} || K[ {{op:Bruch| X | Y}}, {{op:Bruch| Y | X}} ] || || || |SZ= }} modulo den Einheiten auf den beiden affinen Stücken betrachten. Dies ergibt die Gruppe {{ mathbed|term= {{makl| {{op:Bruch| X | Y}} |}}^k ||bedterm1= k \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} somit ist die Picardgruppe isomorph zu {{math|term= \Z|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie3=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ebr16lsuv1rvbtqfgl7ohspnrjep5wc 0 116781 1100380 1085510 2026-06-17T08:06:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100380 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Vektoren in {{math|term= V |SZ=}} zu einer endlichen Indexmenge {{math|term= I |SZ=.}} Wir setzen {{ Relationskette/display/handlinks | {{Mengensystem|M}} || {{Mengebed|J \subseteq I|\text{Die Familie } v_j, j \in J, \text{ ist linear unabhängig} }} || || || |SZ= }} und behaupten, dass es sich dabei um ein {{ Definitionslink |Matroid| |Kontext=| |SZ= }} handelt. Die Eigenschaften ergeben sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Linear unabhängig/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=1,2 |SZ= }} und aus folgender Überlegung: Wenn die Teilfamilien {{ mathbed|term= v_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ= }} und {{ mathbed|term= v_\ell ||bedterm1= \ell \in L ||bedterm2= |SZ= }} zu {{ Relationskette |J,L | \subseteq | I || || || |SZ= }} jeweils linear unabhängig sind, und {{math|term= L |SZ=}} ein Element mehr als {{math|term= J |SZ=}} besitzt, so gilt für die {{ Definitionslink |erzeugten Untervektorräume| |Kontext=| |SZ= }} aus Dimensionsgründen {{ Relationskette/display | \langle v_\ell, \ell \in L \rangle |\not \subseteq| \langle v_j, j \in J \rangle || || || |SZ=. }} Daher gibt es auch ein {{ mathbed|term= v_k ||bedterm1= k \in L ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette |v_k |\notin| \langle v_j, j \in J \rangle || || || |SZ=. }} Doch dann ist die erweiterte Familie {{mathl|term= v_j, j \in J, v_k |SZ=}} ebenfalls linear unabhängig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Matroide |Kategorie2=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8byqd8ndkw35f9f2stzqcd3kyq624c0 0 116808 1099813 1074363 2026-06-17T06:34:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099813 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild | 4Geraden6Schnittpunkte|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne=CC-by-sa 4.0 |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild | 7Geraden8Schnittpunkte|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten in der Ebene eine endliche Familie von Geraden, ein solches Gebilde nennen wir eine {{Stichwort|Geradenkonfiguration|SZ=.}} Zwei Geraden schneiden sich entweder in genau einem Punkt oder sie sind parallel zueinander. Einer solchen Geradenkonfiguration ordnen wir in folgender Weise einen {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} zu. Als Knotenmenge nehmen wir die Menge der Geraden der Geradenkonfiguration, und wir verbinden zwei Knoten genau dann, wenn sich die zugrunde liegenden Geraden in der Konfiguration schneiden. Die {{Anführung|generische}} Geradenkonfiguration, bei der sich je zwei Geraden schneiden {{ Zusatz/Klammer |text=also keine Parallelität vorliegt| |ISZ=|ESZ=, }} ergibt den {{ Definitionslink |vollständigen Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} eine Geradenkonfiguration, die aus einer parallelen Geradenschar besteht, ergibt einen {{ Definitionslink |kantenfreien Graphen| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} di2rkomkgzvr1e8xt12htc5go6b05ot 0 116876 1100704 1085810 2026-06-17T10:50:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100704 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Man platziert die {{math|term= n |SZ=}} Punkte {{ mathbed|term= P_i ||bedterm1= i {{=|}} 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} in der Ebene {{ Relationskette/display | \R^2 \times \{ 0 \} | \subseteq | \R^3 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart, dass die {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebungen der Punkte zueinander disjunkt sind. Sei {{ Relationskette |m || {{op:Binomialkoeffizient| n | 2}} || || || |SZ=. }} Man platziert nun in der {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung von einem jeden Punkt {{math|term= P_i |SZ=}} jeweils {{math|term= n |SZ=}} Punkte {{math|term= Q_{ij} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Liftungspunkte| |ISZ=|ESZ= }} und setzt diese in die Ebene {{ Relationskette/display | \R^2 \times \{m\} | \subseteq | \R^3 || || || |SZ=. }} Der Punkt {{math|term= P_i |SZ=}} wird durch gerade {{ Zusatz/Klammer |text=ziemlich vertikale| |ISZ=|ESZ= }} Strecken {{math|term= V_{ij} |SZ=}} mit seinen {{math|term= n |SZ=}} Liftungspunkten verbunden. Diese Verbindungsstrecken liegen allesamt im Schlauch {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P_i | \epsilon}} \times [0,m] |SZ=.}} Zu jedem Punktepaar {{ Relationskette |P_i |\neq|P_j || || || |SZ= }} gehört eine Ebene {{math|term= \R^2 \times {\ell} |SZ=,}} {{ Relationskette | \ell || 1 {{kommadots|}} m || || || |SZ=. }} Die Punkte {{math|term= P_i |SZ=}} und {{math|term= P_j |SZ=}} werden nun dadurch miteinander verbunden, dass man von {{math|term= P_i |SZ=}} aus entlang {{math|term= V_{ij} |SZ=}} und von {{math|term= P_j |SZ=}} aus entlang {{math|term= V_{ji} |SZ=}} jeweils bis zum Durchstoßungspunkt mit der {{math|term= \ell|SZ=-}}Ebene hochgeht. Die beiden Durchstoßungspunkte werden dann horizontal in der {{math|term= \ell|SZ=-}}Ebene durch eine gerade Strecke verbunden. In dieser Konstruktion werden alle Punkte miteinander überschneidungsfrei verbunden, da die Verbindungswege nur in den Schläuchen und in den verschiedenen Ebenen verlaufen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der geometrischen Realisierung von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htw9w7ec9t4igvysb2x8g5883ffkqwo 0 116937 1100388 1038504 2026-06-17T08:07:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100388 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |vollständige Graph| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K_5 |SZ=}} besitzt {{math|term= 5 |SZ=}} Knoten und {{ Relationskette | {{op:Binomialkoeffizient| 5 | 2}} || 10 || || || |SZ= }} Kanten. Nach der Abschätzung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt |Nr=1 |SZ= }} kann er also nicht {{ Definitionslink |planar| |Kontext=Graph| |SZ= }} sein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1r6hq6mrp6sd1jf5657snh0xh57r2yb 0 116941 1100405 1085534 2026-06-17T08:10:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100405 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild | 3-cube column graph|svg| 200px {{!}} left {{!}} | |Zusname=3-cube_column_graph |Text=Der Würfelgraph zu {{ Relationskette |d || 3 || || || |SZ=. }} Es ist klar, woher die Bezeichnung kommt. |Autor= |Benutzer=Geoff Richards |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Een voorbeeld van een graf|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Een_voorbeeld_van_een_graf |Text=Der gleiche Graph, aber ohne Überkreuzungen gezeichnet. |Autor= |Benutzer=Marthe Jans |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Es sei {{ Relationskette |d | \in |\N || || || |SZ=. }} Unter dem {{math|term= d |SZ=-}}dimensionalen {{Stichwort|Würfelgraphen|msw=Würfelgraph|SZ=}} versteht man die Knotenmenge bestehend aus den {{math|term= d |SZ=-}}Tupeln {{ Math/display|term= ( \pm {{kommadots|}} \pm) |SZ=, }} bei der zwei Punkte genau dann durch eine Kante verbunden werden, wenn sie sich in genau einer Komponente unterscheiden. Statt Würfelgraph sagt man auch {{Stichwort|Hyperwürfel|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zavh6idli66w616xvl9utwt4h122sl 0 117037 1100328 1038231 2026-06-17T07:58:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100328 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |M || \{a,b,c\} || || || |SZ= }} eine dreielementige Menge. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Partitionszahl| 3 | 1}} || {{op:Partitionszahl| 3 | 3}} || 1 || || |SZ=. }} Bei einer Partition dieser dreielementigen Menge in {{math|term= 2 |SZ=}} Blöcke besitzt ein Block ein Element und der andere Block dann zwei Elemente. Also ist {{ Relationskette/display | {{op:Partitionszahl| 3 | 2}} || 3 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rw9cncs8ae89cn3h41issr55g43a4b8 0 117039 1100329 1085457 2026-06-17T07:58:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100329 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |M || \{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} eine vierelementige Menge. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Partitionszahl| 4 | 1}} || {{op:Partitionszahl| 4 | 4}} || 1 || || |SZ=. }} Bei einer Partition dieser vierelementigen Menge in {{math|term= 2 |SZ=}} Blöcke gibt es von den Anzahlen her zwei Möglichkeiten: Der eine Block besitzt ein Element und der andere Block drei Elemente oder beide Blöcke besitzen zwei Elemente. Im ersten Fall gibt es {{math|term= 4 |SZ=}} Möglichkeiten, nämlich {{ Math/display|term= \{ \{a\} , \{b,c,d\} \}, \, \{ \{b\} , \{a,c,d\} \} , \, \{ \{c\} , \{a,b,d\} \} , \, \{ \{d\} , \{a,b,c\} \} |SZ=, }} im zweiten Fall gibt es {{math|term= 3 |SZ=}} Möglichkeiten, nämlich {{ Math/display|term= \{\{a,b\},\{c,d\}\},\ \{\{a,c\},\{b,d\}\},\ \{\{a,d\},\{b,c\}\} |SZ=, }} also ist isgesamt {{ Relationskette/display | {{op:Partitionszahl| 4 | 2}} || 7 || || || |SZ=. }} Bei einer Partition dieser vierelementigen Menge in {{math|term= 3 |SZ=}} Blöcke ist ein Block zweielementig und die beiden anderen sind einelementig. Davon gibt es so viele wie zweielementige Teilmengen, also {{ Relationskette/display | {{op:Partitionszahl| 4 | 3}} || 6 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ky738i4ej35b1ulxgrakchljo1cenqq 0 117073 1100389 1038507 2026-06-17T08:07:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100389 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum {{ Definitionslink |vollständigen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K_n |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Adjazenzmatrix| |Kontext=symmetrisch| |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| 0 | 1 | \ldots| 1 | 1| 1 | 0 | 1 | \ldots| 1 |\vdots| \ddots| \ddots| \ddots|\vdots| 1 | \ldots| 1 | 0 | 1 | 1| 1 | \ldots| 1 | 0}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie2=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s20lwj29iui09947ofq2807aqjvet1t 0 117077 1099766 1035094 2026-06-17T06:26:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum {{ Definitionslink |vollständigen bipartiten Graphen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K_{r,s} |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Adjazenzmatrix| |Kontext=symmetrisch| |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Blockmatrix| |Kontext=2| |SZ= }} der Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix66| 0 | \ldots| 0 | 1 | \ldots| 1 |\vdots| \ddots|\vdots|\vdots| \ddots|\vdots| 0 | \ldots| 0 | 1 | \ldots| 1 | 1| \ldots| 1 | 0 | \ldots| 0 |\vdots| \ddots|\vdots|\vdots| \ddots|\vdots| 1 | \ldots| 1 | 0 | \ldots| 0}} |SZ=, }} wobei die Blöcke aber nicht quadratisch sein müssen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kja90ezbekyburbes1dr7zz7z8du5po 0 117079 1100363 1094104 2026-06-17T08:03:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100363 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Graph with all its spanning trees|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Graph_with_all_its_spanning_trees |Text= |Autor= |Benutzer=Andreschulz |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten den {{Stichwort|Diamantgraphen|msw=Diamantgraph|SZ=}} mit den Knoten {{mathl|term= 1, 2, 3, 4 |SZ=,}} bei dem {{mathl|term= \{1,4\} |SZ=}} die einzige Nichtkante ist. Die {{ Definitionslink |Adjazenzmatrix| |Kontext=ungerichtet| |SZ= }} ist {{ Relationskette | A || {{op:Matrix44| 0 | 1 | 1| 0 | 1 | 0 | 1 | 1| 1 | 1| 0 | 1 | 0 | 1 | 1| 0 |}} || || || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Gradmatrix| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette | D || {{op:Matrix44| 2 | 0 | 0| 0 | 0| 3 | 0 | 0| 0 | 0| 3 | 0 | 0| 0 | 0| 2 ||}} || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Laplace-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | L || {{op:Matrix44| 2 | 0 | 0| 0 | 0| 3 | 0 | 0| 0 | 0| 3 | 0 | 0| 0 | 0| 2 ||}} - {{op:Matrix44| 0 | 1 | 1| 0 | 1 | 0 | 1 | 1| 1 | 1| 0 | 1 | 0 | 1 | 1| 0 |}} || {{op:Matrix44| 2 | -1| -1| 0 | -1| 3 | -1| -1| -1| -1| 3 | -1| 0 | -1| -1| 2 |}} || || |SZ=. }} Die Determinante der Streichungsmatrix zur ersten Zeile und ersten Spalte ist {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix33| 3 | -1| -1| -1| 3 | -1| -1| -1| 2 |}} |}} || 8 || || || |SZ=. }} Diese Zahl stimmt mit der Anzahl der Spannbäume des Diamantgraphen, die in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Aufspannender Baum/Rekursionsformel/1/Beispiel |Nr= |SZ= }} berechnet wurde, überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 75hjn2tk15dlqlr7v9b7hd3wm7voky7 0 117093 1099647 1094053 2026-06-16T12:30:28Z Bocardodarapti 2041 1099647 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | e || \{u,v\} || || || |SZ=. }} Ein Spannbaum in {{math|term= G |SZ=}} enthält entweder diese Kante oder nicht. Wir zeigen, dass es im ersten Fall eine Bijektion zu den Spannbäumen der Kontraktion {{mathl|term= G/(e) |SZ=}} und im zweiten Fall eine Bijektion zu den Spannbäumen von {{mathl|term= G \setminus \{e\} |SZ=}} gibt. Dies ist im zweiten Fall unmittelbar klar. Betrachten wir also die Spannbäume in {{math|term= G |SZ=,}} in denen {{math|term= e |SZ=}} vorkommt. Wenn man diese Kante herausnimmt, so erhält man einen Spannbaum von {{mathl|term= G/(e) |SZ=,}} da ja die Endpunkte von {{math|term= e |SZ=}} miteinander identifiziert werden und bei dieser Identifizierung wieder ein Baum entsteht. Es sei umgekehrt ein Spannbaum von {{mathl|term= G/(e) |SZ=}} gegeben. Dieser durchläuft jeden Punkt von {{mathl|term= G/(e) |SZ=,}} also auch den Kontraktionspunkt {{ Relationskette | [u] || [v] || || || |SZ=. }} Indem man die Kante {{math|term= e |SZ=}} an dieser Stelle einbaut, erhält man einen Spannbaum von {{math|term= G |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kezif3pb4i6t3jymlttarvhws3ryzsr 0 117094 1099739 1074352 2026-06-17T06:22:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099739 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Deletion-contraction|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Jumpow |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten den Diamantgraphen und führen die Kontraktionen und Herausnahmen wie im Bild durch. Dieser Algorithmus liefert letztlich {{math|term= 8 |SZ=}} lineare Graphen, die jeweils einen Spannbaum haben {{ Zusatz/Klammer |text=und einen Spannbaum des ursprünglichen Graphen repräsentieren| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es also {{math|term= 8 |SZ=}} Spannbäume. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8j1og17xfmbw8a7h6avhwxwynim31d 0 117207 1100717 1079569 2026-06-17T10:52:21Z Arbota 36910 Ersetzung 1100717 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text={{bildskip|}} {{ inputbild |Butterfly graph|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Butterfly_graph |Text= |Autor= |Benutzer=KoKo90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Das im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebende Verfahren, um, falls die Gradbedingung erfüllt ist, einen geschlossenen eulerschen Kantenzug über die kantendisjunkten Kreise zu finden, ist grundsätzlich konstruktiv. Man nennt das Verfahren den {{Stichwort|Algorithmus von Hierholzer|SZ=.}} Bei einem Knotenpunkt vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} ist der Kantendurchlauf für einen Eulerzug bis auf die Orientierung vorgegeben. Man kann aber im Allgemeinen bei einem Knotenpunkt mit einem Grad {{math|term= >2 |SZ=}} nicht frei vorgeben, in welcher Reihenfolge die in dem Punkt zusammenlaufenden Kanten hintereinander gelegt werden. Im {{Stichwort|Schmetterlingsgraphen|msw=Schmetterlingsgraph|SZ=}} können in einem Eulerzug die beiden rechten Kanten, die am Kreuzungspunkt anliegen, nicht direkt aufeinander folgen, da sonst der rechten Kreis geschlossen wird. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8059eyl89pfv815n03dnxnbjc84htjz 0 117379 1099651 960751 2026-06-16T13:53:50Z Bocardodarapti 2041 1099651 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Felder eines Schachbrettes als Knotenpunktmenge {{math|term= V |SZ=}} und verbinden zwei Felder, wenn sie durch einen direkten Turmzug miteinander verbunden sind. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Graph| |SZ= }} der Punkte, den {{ Definitionslink |Abstand| |Kontext=Graph| |SZ= }} zwischen zwei Punkten und den {{ Definitionslink |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ= }} dieses {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9t8p4yzbvdx75xecik1frfdowki04b 0 117397 1100390 1094101 2026-06-17T08:07:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100390 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |SZ= }} des {{ Definitionslink |voll{{drucktrenn}}ständigen Graphen| |SZ= }} {{math|term= K_n |SZ=}} ist nach Definition die {{ Definitionslink |Determinante| |SZ= }} von {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| x | -1| \ldots| -1| -1| -1| x | -1| \ldots| -1|\vdots| \ddots| \ddots| \ddots|\vdots| -1| \ldots| -1| x | -1| -1| -1| \ldots| -1| x}} |SZ=. }} In diesem Fall ist es einfacher, anstatt das charakteristische Polynom zu berechnen, direkt die {{ Definitionslink |Eigenräume| |SZ= }} zu berechnen. Für {{ Relationskette | x || -1 || || || |SZ= }} steht hier überall {{math|term= -1 |SZ=}} und der Kern besitzt die {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | -1| 0 | \vdots| 0 | 0}} , \, {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | -1| \vdots| 0 | 0}} {{kommadots}} {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 0 | \vdots| 1 | -1}} |SZ=. }} Somit ist {{math|term= -1 |SZ=}} ein Eigenwert mit {{ Definitionslink |geometrischer Vielfachheit| |SZ= }} {{math|term= n-1 |SZ=.}} Für {{ Relationskette | x || n-1 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix55|n-1| -1| \ldots| -1| -1| -1|n-1| -1| \ldots| -1|\vdots| \ddots| \ddots| \ddots|\vdots| -1| \ldots| -1|n-1| -1| -1| -1| \ldots| -1|n-1}} |SZ= }} und der Kern davon ist {{ Math/display|term= \R {{op:Spaltenvektor| 1 | 1| \vdots| 1 | 1}} |SZ=. }} Somit ist {{math|term= n-1 |SZ=}} ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit {{math|term= 1 |SZ=.}} Da die Summe der geometrischen Vielfachheiten bereits die Dimension {{math|term= n |SZ=}} ist, handelt es sich jeweils auch um die {{ Definitionslink |algebraischen Vielfachheiten| |SZ= }} und das charakteristische Polynom ist {{ Math/display|term= (x+1)^{n-1} (x-n+1) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} greylb5mk44vwfk0r7s1lppzg4cfkmr 0 117639 1100170 1085299 2026-06-17T07:32:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100170 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Riemannova koule|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=Leonid 2 |Benutzer= |Domäne=CC-by-sa 3.0 |Lizenz= |Bemerkung= }} Auf der reell zweidimensionalen Sphäre {{ Relationskette |S^2 | \subseteq | \R^3 || || || |SZ= }} erhält man über die {{ Definitionslink |stereographischen Projektionen| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ mathkor|term1= N |und|term2= S |SZ= }} steht für Nordpol und Südpol| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name= \alpha |S^2 \setminus \{N\}| {{CC|}} \cong \R^2 || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= \beta |S^2 \setminus \{S\}| {{CC|}} \cong \R^2 || |SZ= }} die Übergangsabbildung {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}} \setminus \{0\} | {{CC|}} \setminus \{0\} | z |z^{-1} |SZ=, }} die {{ Definitionslink |komplex differenzierbar| |SZ= }} ist und reell durch {{mathl|term= (x,y) \mapsto {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| x | x^2+y^2||}} | {{op:Bruch| -y| x^2+y^2||}} }} |SZ=}} gegeben ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei den in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel |Nr= |SZ= }} beschriebenen Projektionen muss man einmal komplex konjugieren, damit alles passt | |ISZ=|ESZ=. }} Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen {{ Definitionslink |komplexen Mannigfaltigkeit| |SZ= }} gegeben. Diese heißt die {{Stichwort|komplex-projektive Gerade|SZ=}} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} oder auch die {{Stichwort|riemannsche Zahlenkugel|SZ=.}} Die Überdeckung mit den beiden zu {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} biholomorphen offenen Mengen nennt man auch die {{Stichwort|affine Standardüberdeckung|SZ=,}} siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wenn man eine dieser offenen Mengen fixiert hat, so nennt man den einzigen fehlenden Punkt auch den {{Stichwort|unendlich fernen Punkt|msw=Unendlich ferner Punkt|SZ=.}} In der anderen offenen Menge ist dieser der Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dkbvujiqn2gwcz65ro7xbd6rvpm3laa 0 117659 1099829 1084933 2026-06-17T06:36:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099829 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine Ellipse der Form {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| {{op:Bruch(| x |a}}^2 + {{op:Bruch(| y |b}}^2 {{=|}} 1 }} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a,b | > | 0 || || || |SZ=. }} Eine Umstellung liefert {{ Relationskette/display | y^2 || b^2 {{makl| 1- {{op:Bruch(| x |a}}^2 |}} || || || |SZ=. }} Der obere Bogen der Ellipse wird somit als Funktion in {{math|term= x |SZ=}} durch {{ Relationskette/align | y (x) || b \sqrt{ 1- {{op:Bruch(| x |a}}^2 } || b \sqrt{ {{op:Bruch|a^2- x^2|a^2}} } || {{op:Bruch| b |a}} \sqrt{ a^2- x^2 } || |SZ= }} beschrieben. Die Ableitung dieser Funktion ist {{ Relationskette/display | y'(x) || - {{op:Bruch| b |a}} \cdot {{op:Bruch| x | \sqrt{ a^2- x^2 }||}} || || || |SZ=. }} Die Bogenlänge des Graphen von {{math|term= y |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= z |SZ=}} wird gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt |Nr= |SZ= }} als Integral {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zur Funktion {{ Relationskette/align | \sqrt{1 +y'^2} || \sqrt{1+ {{op:Bruch|b^2|a^2}} \cdot {{op:Bruch| x^2| a^2- x^2 ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch|a^2 {{makl| a^2- x^2 |}} + b^2 x^2| a^2 {{makl| a^2- x^2 |}} ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch| a^2- x^2 + {{op:Bruch|b^2|a^2|}} x^2| a^2- x^2 ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch| a^2- x^2 {{makl| 1 - {{op:Bruch|b^2|a^2|}} |}} | a^2- x^2 ||}} } || \sqrt{ {{op:Bruch| a^2- k^2 x^2 | a^2- x^2 ||}} } |SZ= }} mit {{ Relationskette |k^2 || 1 - {{op:Bruch|b^2|a^2|}} || || || |SZ= }} berechnet. Mit der linearen Transformation {{ Relationskette | x || at || || || |SZ= }} kann man diesen Integranden auf die Form {{ Math/display|term= \sqrt{ {{op:Bruch| 1- k^2 t^2 | 1- t^2 ||}} } |SZ= }} bringen {{ Zusatz/Klammer |text=das Integral ist dann mit dem Faktor {{math|term= a |SZ=}} zu multiplizieren| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Quadriken in zwei Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} byup54f9keub9x4byp3rgqvvuafjhnk 0 117666 1099821 1035470 2026-06-17T06:35:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099821 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem Einheitskreis {{ Relationskette/display |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=}} 1}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Differentialform| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \omega || - ydx +xdy || || || |SZ=. }} Unter der Parametrisierung des oberen Kreisbogens durch {{ Relationskette/display | \gamma(x) || (x, \sqrt{ 1- x^2}) || || || |SZ= }} ist die zurückgezogene Differentialform gleich {{ Relationskette/align | \gamma^*\omega || - \sqrt{ 1- x^2} dx + xd \sqrt{ 1- x^2} || - \sqrt{ 1- x^2} dx - x {{op:Bruch| x | \sqrt{ 1- x^2} }} d x || - {{op:Bruch| 1-x^2 + x^2| \sqrt{ 1- x^2} }} d x || - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ 1- x^2} }} d x |SZ=. }} Dies ist bis auf das Vorzeichen der Integrand zur Berechnung der Kurvenlänge des Graphen der Funktion {{mathl|term= \sqrt{1-x^2} |SZ=,}} und dieser Integrand besitzt Arkussinus als Stammfunktion. Zum Kreis gehört seine universelle Überlagerung {{ Abbildung/display |name=p |\R|S^1 | t | {{op:Zeilenvektor| {{op:cos| t |}} | {{op:sin| t |}} }} |SZ=. }} Auch bezüglich dieser Parametrisierung kann man die Differentialform {{math|term= \omega|SZ=}} zurückziehen und erhält {{ Relationskette/align |p^*\omega || - {{op:sin| t |}} d {{op:cos| t |}} + {{op:cos| t |}} d {{op:sin| t |}} || {{makl| {{op:sin| t |exp=2}} + {{op:cos| t |exp=2}} |}} dt || dt || |SZ=, }} also die konstante Differentialform auf {{math|term= \R|SZ=.}} Dies ist nicht überraschend, da ja die trigonometrische Parametrisierung den Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft und somit der zurückgelegte Weg proportional zur verstrichenen Zeit ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixbgo2ufi6ceq2od3taezynu2pzeo1y 0 117671 1100027 1085138 2026-06-17T07:08:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100027 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Lemniskate von Bernoulli, die durch die Gleichung {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| (x^2+y^2)^2 {{=}} x^2-y^2}} |SZ= }} gegeben ist. Wenn man die Punkte in Polarkoordinaten als {{ Relationskette/display |(x,y) || {{op:Zeilenvektor| r {{op:cos| t |}} | r {{op:sin| t |}} }} || || || |SZ= }} ansetzt, so ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette/display | r^4 || r^2 {{makl| {{op:cos| t |exp=2}} - {{op:sin| t |exp=2}} |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display |r^2 || {{op:cos| t |exp=2}} - {{op:sin| t |exp=2}} || {{op:cos| 2 t }} || || |SZ= }} unter Verwendung des {{ Faktlink |Präwort=|Additionstheorems für den Kosinus|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |r^2 -r^4 || (x^2+y^2) - (x^2+y^2)^2 ||(x^2+y^2)- (x^2-y^2) || 2y^2 || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |r^2 +r^4 || (x^2+y^2) + (x^2+y^2)^2 ||(x^2+y^2)+ (x^2-y^2) || 2x^2 || |SZ= }} kann man lokal {{ Zusatz/Klammer |text=auf Stücken, wo man Quadratwurzeln festlegt; der Durchschnitt der Lemniskate mit einem Kreis um den Ursprung mit Radius {{math|term= r |SZ=}} besitzt ja vier Schnittpunkte| |ISZ=|ESZ= }} die Kurve durch {{math|term= r |SZ=}} parametrisieren. Die Bogenlänge der Lemniskate von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= s |SZ= }} in der Parametrisierung {{ Relationskette/display | \gamma (r) || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} {{op:Zeilenvektor| \sqrt{ r^2+ r^4} | \sqrt{r^2-r^4} }} || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align | \int_0^s {{op:Norm| \gamma'(r)||}} dr || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} \int_0^s {{op:Norm| {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|r+2r^3| \sqrt{ r^2+ r^4} }} | {{op:Bruch|r-2r^3| \sqrt{ r^2- r^4} }} }} |}} dr || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} \int_0^s {{op:Norm| {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1+2r^2| \sqrt{ 1+ r^2} }} | {{op:Bruch| 1-2r^2| \sqrt{ 1- r^2} }} }} |}} dr || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} \int_0^s \sqrt{ {{op:Bruch| 1+4r^2+ 4r^4| 1+ r^2 }} + {{op:Bruch| 1-4r^2+ 4r^4| 1- r^2 }} } dr || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} \int_0^s \sqrt{ {{op:Bruch| {{makl| 1+4r^2+ 4r^4 |}} {{makl| 1-r^2 |}} + {{makl| 1-4r^2+ 4r^4 |}} {{makl| 1+r^2 |}} | 1- r^4 }} } dr || \int_0^s {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ 1- r^4} }} dr |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Lemniskaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Lemniskate von Bernoulli |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqnl5awnouyu2789lz45y3h08cexfjm 0 117738 1099849 1035620 2026-06-17T06:39:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099849 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptische Kurve {{math|term= E |SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3+1 || || || |SZ= }} gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind {{ Mathkor/display|term1= 2Y |und|term2= 3X^2 |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |p |\neq| 2,3 || || || |SZ= }} verschwinden die beiden partiellen Ableitungen nur im Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=,}} doch dies ist kein Punkt der Kurve. Für {{ Relationskette |p | \geq | 5 || || || |SZ= }} ist die Kurve {{math|term= E_p|SZ=}} also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei {{ Relationskette |p || 2 || || || |SZ= }} liegt in {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten {{mathl|term= (X,Y-1) |SZ=}} wird das beschreibende Polynom zu {{mathl|term= (Y-1)^2 - X^3 |SZ=.}} Das ist eine Neilsche Parabel und es liegt eine Kuspe, also {{ Definitionslink |additive Reduktion| |Kontext=| |SZ= }} vor. Bei {{ Relationskette |p || 3 || || || |SZ= }} liegt in {{mathl|term= (-1,0) |SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten {{mathl|term= (X+1,Y) |SZ=}} wird das beschreibende Polynom zu {{mathl|term= Y^2 - (X+1)^3 |SZ=.}} Das ist wieder eine Neilsche Parabel und es liegt wieder additive Reduktion vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jva1xy1vor5ri2ipqhie89hdm2vnm1p 0 117740 1099851 1035630 2026-06-17T06:39:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099851 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptische Kurve {{math|term= E |SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3-X || X(X-1)(X+1) || || |SZ= }} gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind {{ Mathkor/display|term1= 2Y |und|term2= 3X^2 -1 |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |p |\neq| 2 || || || |SZ= }} verschwindet die erste partielle Ableitung nur bei {{ Relationskette |Y || 0 || || || |SZ=. }} Wegen der Kurvengleichung ist dann {{ Relationskette |X || 0,1,-1 || || || |SZ= }} doch dann verschwindet die zweite partielle Ableitung nicht. Für {{ Relationskette |p | \geq | 3 || || || |SZ= }} ist die Kurve {{math|term= E_p|SZ=}} also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei {{ Relationskette |p || 2 || || || |SZ= }} liegt in {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten {{mathl|term= (X-1,Y) |SZ=}} wird das beschreibende Polynom zu {{mathl|term= Y^2 + (X+1)^3+(X+1)^2 |SZ=.}} Wir schreiben dies mit {{ Relationskette |W || X+1 || || || |SZ= }} als {{ Relationskette/display | Y^2 + (X+1)^3+(X+1)^2 || Y^2 +W^3+W^2 || (Y+W)^2 +W^3 || || |SZ= }} und somit ist dies eine Neilsche Parabel. Es liegt also {{ Definitionslink |additive Reduktion| |Kontext=| |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7uwb9zzyk5fx75y989rjma6vaqifl3q 0 117741 1099840 1084944 2026-06-17T06:38:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099840 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve {{math|term= E |SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ Relationskette/display |Y^2 || X(X-1)(X-p) || X^3-(p+1)X^2 +pX || |SZ= }} gegeben ist. In Charakteristik {{math|term= p |SZ=}} ist {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3-X^2 || || || |SZ= }} bzw. zu {{ Relationskette/display |X^2+Y^2 -X^3 || 0 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |p | \geq | 3 || || || |SZ= }} gilt für den quadratischen Term {{ Relationskette/display |X^2+Y^2 || {{makl| X+ {{Imaginäre Einheit||}} Y |}} {{makl| X - {{Imaginäre Einheit||}} Y |}} || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | {{Imaginäre Einheit||}} | \in | \overline{ {{op:Zmod| p |}} } || || || |SZ= }} eine Quadratwurzel aus {{math|term= -1 |SZ=}} sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also {{ Definitionslink |multiplikative Reduktion| |Kontext=| |SZ= }} vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die {{math|term= -1 |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar dann in {{math|term= {\mathbb F}_{p^2} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt |Nr= |SZ= }} besitzt {{math|term= -1 |SZ=}} eine Quadratwurzel in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} genau dann, wenn {{ Relationskette |p || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo {{math|term= p |SZ=}} {{ Definitionslink |spaltender multiplikativer Typ| |Kontext=| |SZ= }} vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X(X-1)(X-p) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l285w61w5k7q3wosp2nlle7d76xyumw 0 117742 1099710 980317 2026-06-17T06:18:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099710 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die elliptische Kurve {{math|term= E |SZ=}} zur Fermatkubik {{ Math/display|term= X^3+Y^3+1 |SZ= }} besitzt für alle Primzahlen {{ Relationskette |p |\neq| 3 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Kurve/Fermat-Kurve vom Grad d/Glattheit/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |gute Reduktion| |Kontext=| |SZ= }} und bei {{ Relationskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist wegen {{ Relationskette/display | (X+Y+1)^3 || X^3+Y^3+ 1 || || || |SZ= }} die Kurve {{math|term= E_3 |SZ=}} eine nichtreduzierte Kurve und insbesondere in jedem Punkt singulär. Geometrisch ist es die durch {{ Relationskette | X+Y+1 || 0 || || || |SZ= }} gegebene Gerade, aber mit einer verdickten algebraischen Struktur. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8ep06ahd7db5hxhxak8v2gasqndd5w 0 117834 1100650 1035604 2026-06-17T10:41:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100650 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Wirkungsweise der beiden Matrizen {{ Relationskette | S || {{op:Matrix22| 0 | -1| 1 | 0 |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T || {{op:Matrix22| 1 | 1| 0 | 1 |}} || || || |SZ=, }} die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Fakt |Nr= |SZ= }} die Gruppe der speziellen ganzzahligen Matrizen erzeugen, bei der {{ Definitionslink |Modulsubstitution| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 0 | -1| 1 | 0 |}} \tau || - \tau^{-1} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 | 1| 0 | 1 |}} \tau || \tau +1 || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Modulsubstitution |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h9kmwioop6adcn2s7yc9z7b592p1hte 0 117901 1100596 1085673 2026-06-17T10:33:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100596 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Addition on cubic (clean version)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Beao |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Idee zu dieser Addition ist recht einfach und zeigt, warum hier der Kurvengrad {{math|term= 3 |SZ=}} entscheidend ist. Zwei verschiedene Punkte {{ Relationskette |P,Q | \in | E | \subseteq | {{op:Projektive Ebene||}} || || |SZ= }} legen eine projektive Gerade {{math|term= G |SZ=}} in der projektiven Ebene fest. Der Durchschnitt {{mathl|term= E \cap G |SZ=}} besteht aus drei Punkten, gezählt mit Multiplizitäten, wobei natürlich {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} zum Durchschnitt gehören. Wenn die Gerade {{math|term= G |SZ=}} weder zu {{math|term= P |SZ=}} noch zu {{math|term= Q |SZ=}} tangential ist, so gibt es noch einen weiteren Schnittpunkt {{math|term= R |SZ=.}} Dieser Punkt ist nun {{Betonung/Negation|nicht}} die Summe von {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ=. }} Dies kann nicht sein, da ja die drei Punkte des Schnittes gleichberechtigt sind {{ Zusatz/Klammer |text=dann würde beispielsweise {{ Relationskette | P+ Q +Q || R+Q || P || || |SZ=, }} also {{ Relationskette |Q+Q || {{elliptischo|}} || || || |SZ= }} mit dem Nullpunkt {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} für alle Punkte gelten| |ISZ=|ESZ=. }} Stattdessen soll für ein solches kolineares Punktetripel {{ Relationskette/display |P+Q+R || {{elliptischo|}} || || || |SZ= }} gelten, also {{ Relationskette |P+Q || -R || || || |SZ=. }} Wo liegt {{math|term= -R|SZ=?}} Nach dem gleichen Prinzip gilt {{ Relationskette/display | -R +R + {{elliptischo|}} || {{elliptischo|}} || || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= -R|SZ=}} ist der dritte Schnittpunkt der Kurve mit der durch {{ mathkor|term1= {{elliptischo|}} |und|term2= R |SZ= }} festgelegten Geraden. Wenn die Gerade {{math|term= G |SZ=}} tangential zu {{math|term= P |SZ=}} und wenn {{math|term= R |SZ=}} der dritte Schnittpunkt ist, so ist die obige Gleichung als {{ Relationskette/display | 2P+R || {{elliptischo|}} || || || |SZ= }} zu interpretieren und {{ Relationskette/display | P+R || -P || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | 2P || -R || || || |SZ=. }} Für den Nullpunkt ergibt sich aus {{ Relationskette | 2 {{elliptischo|}} || -R || {{elliptischo|}} || || |SZ=, }} dass {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} eine Wendepunkt sein muss. Von dieser Idee her kann man sich gut vorstellen, dass es eine wohldefinierte Verknüpfung auf einer elliptischen Kurve gibt. Es ist aber keineswegs klar, dass diese durch polynomiale Ausdrücke gegeben ist, dass sie assoziativ ist und dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 55wuqxi044wr1vrixo6vn4pluxltdcj 0 117905 1100568 1085843 2026-06-17T10:29:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100568 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine {{ Definitionslink |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ=, }} die in der Form {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+ax+b || || || |SZ= }} vorliegt. Es sei {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Idee/Bemerkung |Nr= |SZ= }} beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} als neutrales Element fest. Somit ist {{ Relationskette | -{{elliptischo|}} || {{elliptischo|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{elliptischo|}}+P || P || || || |SZ= }} für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt {{ Relationskette/display |P ||(x,y) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | -P ||(x,-y) || || || |SZ=. }} Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort {{math|term= y |SZ=}} allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte {{mathl|term= P,-P|SZ=}} und {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} auf der durch {{ Relationskette/display | X-x || 0 || || |SZ= }} gegebenen Geraden. Wenn hierbei {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/display | -P || P || || || |SZ= }} und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt. Zur Berechnung der Addition seien die beiden {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedenen| |ISZ=|ESZ= }} Punkte durch {{ Relationskette/display |P ||(x_1,y_1) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |Q ||(x_2,y_2) || || || |SZ= }} gegeben. Die verbindende Gerade ist dann {{ Relationskette/display | (y_2-y_1) X- (x_2-x_1)Y -x_1y_2+x_2y_1 || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einfach die beiden Punkte einsetzen| |ISZ=|ESZ=. }} Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn {{ Relationskette | x_1 || x_2 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/display | y_1 || -y_2 || || || |SZ=, }} und die verbindende Gerade wird wie oben zu {{ Relationskette/display |X-x_1 || 0 || || || |SZ= }} mit {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist {{ Relationskette/display |P + Q+ {{elliptischo|}} || {{elliptischo|}} || || || |SZ=. }} Es sei nun {{ Relationskette | x_1 |\neq| x_2 || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Geradengleichung als {{ Relationskette/display |Y || \alpha X + \beta || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \alpha || {{op:Bruch| y_2-y_1 | x_2-x_1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | \beta || y_1 - \alpha x_1 || y_1 - {{op:Bruch| y_2-y_1 | x_2-x_1 }} x_1 || {{op:Bruch| (x_2-x_1) y_1 - x_1 (y_2-y_1)| x_2-x_1 }} || {{op:Bruch| x_2 y_1 -x_1y_2 | x_2-x_1 }} |SZ=. }} Ein Punkt auf der Geraden hat die Form {{mathl|term= (x, \alpha x + \beta) |SZ=.}} Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu {{ Relationskette/display | {{makl| \alpha x + \beta |}}^2 || \alpha^2 x +2 \alpha \beta x + \beta^2 || x^3+ax+b || || |SZ= }} bzw. zu {{ Relationskette/display | x^3 - (\alpha x+ \beta)^2 -ax-b || 0 || || || |SZ=. }} Von dieser Gleichung in der einen Variablen {{math|term= x |SZ=}} kennen wir aber schon die Lösungen {{ mathkor|term1= x_1 |und|term2= x_2 |SZ=. }} Deshalb gilt {{ Relationskette/display | x^3 - (\alpha x+ \beta)^2 -ax-b || (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) || || || |SZ= }} mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung {{math|term= x_3 |SZ=.}} Der Koeffizient zu {{math|term= x^2 |SZ=}} führt auf {{ Relationskette/display | \alpha^2 || x_1+x_2+x_3 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/align | x_3 || \alpha^2 -x_1-x_2 || {{op:Bruch(| y_2-y_1 | x_2-x_1 }}^2 -x_1-x_2 || {{op:Bruch| y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} - {{op:Bruch| {{makl| x_1+x_2 |}} {{makl| x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 |}} | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} || {{op:Bruch| y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 - x_1^3 + x_1^2x_2+ x_1x_2^2 -x_2^3 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} || {{op:Bruch|ax_1 +ax_2 +2b -2y_1y_2 + x_1^2x_2+ x_1x_2^2 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | y_3 || - \alpha x_3- \beta || - {{op:Bruch| y_2-y_1 | x_2-x_1 }} {{makl| {{op:Bruch(| y_2-y_1 | x_2-x_1 }}^2 - x_1-x_2 |}} -y_1 + \alpha x_1 || || |SZ= }} Aus Beweis: Die Rechnungen weiter oben führen auf {{ Relationskette/display | \alpha^2 || 2x_1+x_3 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/align | x_3 || \alpha^2 -2x_1 || {{op:Bruch(| 3x_1^2 +a | 2y_1 }}^2 -2x_1 || {{op:Bruch| 9x_1^4+6ax_1^2 +a^2| 4y_1^2}} -2x_1 || {{op:Bruch| 9x_1^4+6ax_1^2 +a^2 -8x_1y_1^2 | 4y_1^2}} |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y_3 || \alpha x_3 + \beta || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | y_1 || 0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= x_1 |SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term= x^3+ax+b|SZ=}} und die Tangente ist durch {{ Relationskette | x || x_1 || || || |SZ= }} gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=.}} Mit dieser Steigung {{math|term= \alpha|SZ=}} ist stets {{ Relationskette/display | x_3 || \alpha^2-x_1-x_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y_3 || - \alpha x_3 - \beta || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \beta || y_1- \alpha x_1 || || || |SZ=. }} {{ Relationskette/align | x_3 || \alpha^2 -x_1-x_2 || {{op:Bruch(| y_2-y_1 | x_2-x_1 }}^2 -x_1-x_2 || {{op:Bruch| y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} - {{op:Bruch| {{makl| x_1+x_2 |}} {{makl| x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 |}} | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} || {{op:Bruch| y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 - x_1^3 + x_1^2x_2+ x_1x_2^2 -x_2^3 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} || {{op:Bruch|ax_1 +ax_2 +2b -2y_1y_2 + x_1^2x_2+ x_1x_2^2 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rlxuvuklzvdbzgwi72r7xvoo5ewsvx6 0 117906 1099881 1084977 2026-06-17T06:44:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099881 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten die Fermat-Kubik {{ Relationskette/display |X^3+Y^3+Z^3 || 0 || || || |SZ= }} in {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \neq 2,3 |SZ=}} auf die {{ Definitionslink |kurze Weierstraßform| |Kontext=| |SZ= }} transformieren. Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=formal| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 6X| 0 | 0| 0 | 6Y| 0 | 0| 0 | 6Z|}} |SZ=. }} Daher ist {{mathl|term= (0,1,-1) |SZ=}} ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen {{math|term= X=X,Y= Y ,W = Y+Z |SZ=.}} Die Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | X^3+Y^3 +(W-Y)^3 || X^3 +W^3 -3W^2Y+3WY^2 || 0 || || |SZ=. }} Die {{ Zusatz/Klammer |text=projektive| |ISZ=|ESZ= }} Tangente in {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} wird durch {{ Relationskette | W || 0 || || || |SZ= }} beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich {{math|term= W |SZ=}} führt auf die affine Gleichung {{ Relationskette/display | x^3 || 1 -3y+3y^2 || || || |SZ=, }} durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | \tilde{y}^2 || x^3 +b || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |b |\neq| 0 || || || |SZ=, }} was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu {{math|term= 1 |SZ=}} normieren kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gczy4gvwnu04qs810z4mefgx5k8kie7 0 117941 1100178 1026825 2026-06-17T07:33:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100178 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer Gleichung der Form {{ Relationskette/display | y^2 || f(x) || g(x)^2 || || |SZ= }} über einem endlichen Körper {{math|term= K |SZ=}} mit {{math|term= q |SZ=}} Elementen, wo also {{math|term= f |SZ=}} ein Quadrat in {{math|term= K[x] |SZ=}} ist, kann man die Umformung {{ Relationskette/display |(y-g(x))(y+g(x)) || 0 || || || |SZ= }} durchführen. Für {{math|term= x |SZ=}} mit {{ Relationskette |g(x) |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es dann zwei Lösungen für {{math|term= y |SZ=,}} nämlich {{ Relationskette | y || \pm g(x) || || || |SZ=. }} Somit ist, wenn {{math|term= g |SZ=}} nicht das Nullpolynom ist, die Anzahl der Lösungen der Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=wegen Nullstellen von {{math|term= g |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ungefähr gleich {{math|term= 2q|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mx1u6foyvp2t8771rjcfjpi55v47eb2 0 117994 1099846 1035610 2026-06-17T06:38:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099846 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptische Kurve, die durch {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+1 || || || |SZ= }} gegeben ist, für verschiedene endliche Körper der Charakteristik {{ Relationskette |p | \geq | 5 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |K || {{op:Zmod| 5 |}} || || || |SZ=. }} Die rechte Seite der Gleichung ist durch {{Wertetabelle5|text1= {{math|term= x |SZ=}} | text2= {{math|term= x^3+1 |SZ=}} | 0| 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 4 | 3 | 0}} gegeben. Im Körper mit {{math|term= 5 |SZ=}} Elementen besitzen {{math|term= 0,1,4 |SZ=}} Quadratwurzeln und daher sind die Lösungen der Gleichung gleich {{ Math/display|term= (0,1),\, (0,-1),\, (2,2), \, (2, -2),\, (4, 0), \, {{elliptischo|}} |SZ=, }} also {{math|term= 6 |SZ=}} Stück, was genau mit {{mathl|term= p+1 |SZ=}} übereinstimmt. Es sei {{ Relationskette |K || {{op:Zmod| 7 |}} || || || |SZ=. }} Die rechte Seite der Gleichung ist durch {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x |SZ=}} | text2= {{math|term= x^3+1 |SZ=}} | 0| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 2| 0 | 2 | 0| 0}} gegeben. Im Körper mit {{math|term= 7 |SZ=}} Elementen besitzen {{math|term= 0,1,2,4 |SZ=}} Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich {{ Math/display|term= (0,1),\, (0,-1),\, (1,3), \, (1, -3),\, (2, 3), \, (2,-3 ),\, (3,0),\, (4,3), \, (4, -3),\, (5, 0) ,\, (6, 0), \, {{elliptischo|}} |SZ=, }} also {{math|term= 12 |SZ=}} Stück. Es ist {{ Relationskette/display | 12-8 || 4 | \leq | 2 \sqrt{7} | \sim | 5,29 || |SZ=, }} von der Hasse-Schranke her könnte es noch einen Punkt mehr geben, wir sind aber schon relativ nah an der oberen Schranke. Es sei {{ Relationskette | K || {{op:Zmod| 11|}} || || || |SZ=. }} Die rechte Seite der Gleichung ist durch {{Wertetabelle11|text1= {{math|term= x |SZ=}} | text2= {{math|term= x^3+1 |SZ=}} | 0| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | -5| -4| -3| -2| -1| 1 | 2 | -2| -5| -1| 5 | -3| 3| -4 | 4 | 0 |}} gegeben. Im Körper mit {{math|term= 11 |SZ=}} Elementen besitzen {{math|term= 0,1,3,4,5,-2 |SZ=}} Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich {{ Math/display|term= (0,1),\, (0,-1),\, (2,3), \, (2, -3) ,\, (5,4), \, (5, -4) ,\, (-4,5),\, (-4, -5), \, (-2, 2),\, (-2, -2) ,\, (-1, 0), \, {{elliptischo|}} |SZ=, }} also {{math|term= 12 |SZ=}} Stück, was genau mit {{mathl|term= p+1 |SZ=}} übereinstimmt. Von der Hasse-Schranke her, die bei kleinen Primzahlen ziemlich grob ist, wäre eine Lösungsanzahl zwischen {{ mathkor|term1= 6 |und|term2= 18 |SZ= }} denkbar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2hngmqe319f6gtnz5seltfkhgq2tabe 0 118163 1100571 1034923 2026-06-17T10:29:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100571 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+ax+b || || || |SZ= }} vorliegt. Die Tangente in einem Punkt {{mathl|term= (x_1,y_1) |SZ=}} ist durch die lineare Gleichung {{ Relationskette/display | (3x_1^2+a) (x-x_1) - 2y_1 (y-y_1) || 0 || || || |SZ= }} gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in {{mathl|term= (x_1,x_2) |SZ=}} einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach {{math|term= y |SZ=}} auflöst, so erhält man {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | y_1 |\neq| 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | y || {{op:Bruch| {{makl| 3x_1^2 +a |}} x -3x_1^3 -ax_1+2y_1^2 | 2y_1 }} || {{op:Bruch| 3x_1^2 +a | 2y_1 }} x + {{op:Bruch| -3x_1^3 -ax_1+2y_1^2 | 2y_1 }} || \alpha x + \beta || |SZ=. }} Die Rechnungen aus {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung |Nr= |SZ= }} führen auf {{ Relationskette/display | \alpha^2 || 2x_1+x_3 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/align | x_3 || \alpha^2 -2x_1 || {{op:Bruch(| 3x_1^2 +a | 2y_1 }}^2 -2x_1 || {{op:Bruch| 9x_1^4+6ax_1^2 +a^2| 4y_1^2}} -2x_1 || {{op:Bruch| 9x_1^4+6ax_1^2 +a^2 -8x_1y_1^2 | 4y_1^2}} |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y_3 || \alpha x_3 + \beta || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | y_1 || 0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= x_1 |SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term= x^3+ax+b|SZ=}} und die Tangente ist durch {{ Relationskette | x || x_1 || || || |SZ= }} gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ffz2a5c5xv6xm77ci0dyl6aagbu8t0 0 118165 1100567 1085842 2026-06-17T10:29:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100567 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+rx^2+sx+t || || || |SZ= }} vorliegt. Es sei {{math|term= O |SZ=}} der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Idee/Bemerkung |Nr= |SZ= }} beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir {{math|term= O |SZ=}} als neutrales Element fest. Somit ist {{ Relationskette | -O || O || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |O+P || P || || || |SZ= }} für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt {{math|term= O |SZ=}} wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt {{ Relationskette/display |P ||(x,y) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | -P ||(x,-y) || || || |SZ=. }} Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort {{math|term= y |SZ=}} allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte {{mathl|term= P,-P|SZ=}} und {{math|term= O |SZ=}} auf der durch {{ Relationskette/display | X-x || 0 || || |SZ= }} gegebenen Geraden. Wenn hierbei {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/display | -P || P || || || |SZ= }} und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt. Zur Berechnung der Addition seien die beiden {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedenen| |ISZ=|ESZ= }} Punkte durch {{ Relationskette/display |P ||(x_1,y_1) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |P ||(x_2,y_2) || || || |SZ= }} gegeben. Die verbindende Gerade ist dann {{ Relationskette/display | (y_2-y_1) X- (x_2-x_1)Y -x_1y_2+x_2y_1 || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einfach die beiden Punkte einsetzen| |ISZ=|ESZ=. }} Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn {{ Relationskette | x_1 || x_2 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/display | y_1 || -y_2 || || || |SZ=, }} und die verbindende Gerade wird wie oben zu {{ Relationskette/display |X-x_1 || 0 || || || |SZ= }} mit {{math|term= O |SZ=}} als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist {{ Relationskette/display |P + Q+ O || O || || || |SZ=. }} Es sei nun {{ Relationskette | x_1 |\neq| x_2 || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Geradengleichung als {{ Relationskette/display |Y || \alpha X + \beta || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \alpha || {{op:Bruch| y_2-y_1 | x_2-x_1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | \beta || y_1 - \alpha x_1 || y_1 - {{op:Bruch| y_2-y_1 | x_2-x_1 }} x_1 || {{op:Bruch| (x_2-x_1) y_1 - x_1 (y_2-y_1)| x_2-x_1 }} || {{op:Bruch| x_2 y_1 -x_1y_2 | x_2-x_1 }} |SZ=. }} Ein Punkt auf der Geraden hat die Form {{mathl|term= (x, \alpha x + \beta) |SZ=.}} Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu {{ Relationskette/display | {{makl| \alpha x + \beta |}}^2 || \alpha^2 x +2 \alpha \beta x + \beta^2 || x^3+rx^2+sx+t || || |SZ= }} bzw. zu {{ Relationskette/display | x^3 - (\alpha x+ \beta)^2 -rx^2-sx-t || 0 || || || |SZ=. }} Von dieser Gleichung in der einen Variablen {{math|term= x |SZ=}} kennen wir aber schon die Lösungen {{ mathkor|term1= x_1 |und|term2= x_2 |SZ=. }} Deshalb gilt {{ Relationskette/display | x^3 - (\alpha x+ \beta)^2 -rx^2-sx-t || (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) || || || |SZ= }} mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung {{math|term= x_3 |SZ=.}} Der Koeffizient zu {{math|term= x^2 |SZ=}} führt auf {{ Relationskette/display | \alpha^2 -r || x_1+x_2+x_3 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/align | x_3 || \alpha^2-r -x_1-x_2 || {{op:Bruch(| y_2-y_1 | x_2-x_1 }}^2 -r -x_1-x_2 || {{op:Bruch| y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} - {{op:Bruch| {{makl| x_1+x_2 |}} {{makl| x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 |}} | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} -r || {{op:Bruch| y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 - x_1^3 + x_1^2x_2+ x_1x_2^2 -x_2^3 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} -r |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qrp7tww34hrm0qh65m48dhdeghrl4uc 0 118212 1099867 1035745 2026-06-17T06:42:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099867 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Wasserspedition {{Anführung|Alles im Eimer}} verfügt über einen {{math|term= 7 |SZ=-}} und einen {{math|term= 10 |SZ=-}}Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen? Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term= 7 |SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term= 10 |SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display | 3 \cdot 7 -2 \cdot 10 || 1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette/k | 5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 || 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3615tc9vlefufvt7ec5lwzde460emlc 0 118231 1100575 1074797 2026-06-17T10:30:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100575 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |Totale orde|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Totale_orde |Text=Eine totale Ordnung auf einer endlichen Menge ist durch ein Angangselement {{ Zusatz/Klammer |text=kleinstes Element| |ISZ=|ESZ= }} und dadurch gegeben, dass jedem Element {{ Zusatz/Klammer |text=außer dem größten Element| |ISZ=|ESZ= }} das nächstkleinste Element zugeordnet wird. In der Skizze wird nur diese Zuordnung dargestellt, die gesamte Ordnung ergibt sich, wenn man sich Selbstpfeile und transitive Pfeile dazudenkt. |Autor= |Benutzer=Rinke 80 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Auf einer endlichen Menge {{math|term= M |SZ=}} mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen sind die {{ Definitionslink |totalen Ordnungen| |Kontext=| |SZ= }} einfach zu überschauen. Eine totale Ordnung auf {{math|term= M |SZ=}} ist das gleiche wie eine {{ Definitionslink |bijektive Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=\varphi | {{Menge1n|}} | M || |SZ=, }} also eine Nummerierung von {{math|term= M |SZ=.}} Eine solche Nummerierung legt über {{ Relationskette | \varphi(i) | \geq | \varphi(j) || || || |SZ=, }} falls {{ Relationskette |i | \geq | j || || || |SZ=, }} eine totale Ordnung fest, und eine totale Ordnung legt eine Nummerierung fest, indem {{math|term= 1 |SZ=}} auf das kleinste Element von {{math|term= M |SZ=}} abgebildet wird, {{math|term= 2 |SZ=}} auf das zweitkleinste Element u.s.w. Insbesondere gibt es wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= n!|SZ=}} totale Ordnungen auf {{math|term= M |SZ=.}} Es ist ziemlich schwierig, sich eine systematische Übersicht über alle {{ Zusatz/Klammer |text=auch die nicht totalen| |ISZ=|ESZ= }} Ordnungen in einer endlichen Menge zu verschaffen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4beoz20wd8tfmi4cg8m1lh6q0d029p6 0 118274 1100403 1038561 2026-06-17T08:10:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100403 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A |SZ=}} ein Alphabet und {{math|term= W |SZ=}} die Menge der Wörter über diesem Alphabet, also die Menge alle endlichen Ketten über {{math|term= A |SZ=}} oder eine Teilmenge davon, etwa die Menge der real existierenden Wörter. Auf {{math|term= A |SZ=}} sei eine {{ Definitionslink |totale Ordnung| |Kontext=| |SZ= }} gegeben. Dann definiert man auf {{math|term= W |SZ=}} die sogenannte {{Stichwort|lexikographische Ordnung|SZ=,}} indem für Wörter {{math|term= w,z|SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display |w | \preccurlyeq_{\text{lex} } |z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= w |SZ=}} kommt im Lexikon vor {{math|term= z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} genau dann gilt, wenn sie gleich sind oder wenn an der ersten Stelle von vorne gelesen, wo sich {{ mathkor|term1= w |und|term2= z |SZ= }} unterscheiden, der Buchstabe von {{math|term= w |SZ=}} an dieser Stelle im Alphabet vor dem Buchstaben von {{math|term= z |SZ=}} an dieser Stelle kommt, was den Fall einschließen mag, dass an dieser Stelle {{math|term= w |SZ=}} keinen Buchstaben mehr hat {{ Zusatz/Klammer |text= {{Anführung|Vers}} kommt vor {{Anführung|Verstand}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die lexikographische Ordnung ist eine totale Ordnung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wörter über einem Alphabet |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jmllci1y2i58sd0ts0haibznsspgxgf 0 118342 1100194 1085325 2026-06-17T07:36:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100194 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Chess|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die möglichen Springerzüge. Die mit einem Punkt markierten Felder sind diejenigen Felder, die der Springer {{ Zusatz/Klammer |text=das Pferdchen| |ISZ=|ESZ= }} von seiner markierten Position aus mit einem Zug erreichen kann. Im zugehörigen Erreichbarkeitsgraphen muss also dieses Feld mit den acht angekreuzten Feldern durch eine Kante verbunden werden. Dies muss man für alle {{math|term= 64 |SZ=}} Felder machen. |Autor= |Benutzer=Arnaud333 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten eine Ansammlung von mehr oder weniger geometrisch gegebenen Punkten, wo zugleich eine gewisse Bewegungsvorschrift oder Sprungvorschrift oder Zugvorschrift festgelegt ist, mit der man von einem Punkt aus zu gewissen anderen Punkten gelangen kann, indem man diese Bewegungsvorschrift ausführt. Die Bewegungsvorschrift soll symmetrisch sein, also umkehrbar, man kann die Bewegung rückgängig machen. Grundsätzlich kann die Bewegungsvorschrift willkürlich für jeden einzelnen Punkt festgelegt werden, interessantere Strukturen ergeben sich aber, wenn die Bewegungsvorschrift homogen unter Berücksichtigung der geometrischen Konfiguration festgelegt ist. Eine solche Situation wird durch einen {{Stichwort|Erreichbarkeitsgraphen|msw=Erreichbarkeitsgraph|SZ=}} beschrieben. Die Knotenpunkte sind die geometrischen Punkte und zwei Punkte sind miteinander durch eine Kante zu verbinden, wenn man durch einen einzigen direkten Sprung von dem einen Punkt zu dem anderen gelangen kann. Im Unterschied zu {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Äquivalenzrelation/Symmetrische Erreichbarkeitsrelation/2/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist hier die Erreichbarkeit nicht transitiv, der Graph drückt die direkte Erreichbarkeit aus. Die dadurch festgelegte indirekte Erreichbarkeit, die durch eine Hintereinanderausführung von direkten Erreichbarkeiten gegeben ist, führt aber auch zu interessanten Fragestellungen, beispielsweise zur Frage, mit wie vielen Sprüngen man minimal von einem Punkt zu einem anderen Punkt kommen kann. Bei einem Brettspiel hängen beispielsweise die erlaubten Züge von den Figuren ab. Die Felder des Brettspiels sind die Knotenmenge und jede Figur legt einen Erreichbarkeitsgraphen fest, den wir {{Stichwort|Spielzuggraph|SZ=}} nennen. Eine Schachfigur {{ Zusatz/Klammer |text=nicht der Bauer, dessen Bewegungsvorschrift ist nicht symmetrisch, da er nicht zurückziehen darf| |ISZ=|ESZ= }} ist durch ihre Zugmöglichkeiten festgelegt. Der Läufer kann diagonal beliebig weit ziehen, der Turm horizontal und vertikal beliebig weit, der König immer nur um eine Position, die Einschränkungen durch die Gesamtstellung spielen hier keine Rolle. Eine solche Interpretation spiegelt natürlich nur einen einzelnen Aspekt des Spiels wider. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a1jypzrf11bc65h20a99b770s60js9s 0 118362 1100382 1093567 2026-06-17T08:06:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100382 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |U-Bahn Berlin - Netzplan|png| 300px {{!}} right {{!}} | |Zusname=U-Bahn_Berlin_-_Netzplan |Text= |Autor= |Benutzer=Arbalete |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Ein Verkehrsnetz, beispielsweise ein {{math|term= U |SZ=-}}Bahnnetz, kann man in verschiedener Weise als einen Graphen interpretieren. Die Knotenmenge ist die Menge der Haltestellen. Man kann nun zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie direkt durch eine Linie unmittelbar benachbart sind {{ Zusatz/Klammer |text=wenn es eine direkte Tunnelverbindung ohne Zwischenstation gibt| |ISZ=|ESZ=. }} Dies ist der Graph {{ Zusatz/Klammer |text=Netzgraph| |ISZ=|ESZ=, }} der üblicherweise als Netzplan aushängt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn verschiedene Linien eine Strecke lang parallel fahren, ist dies für den Graphen unerheblich, ist aber im Netzplan sichtbar| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann aber auch zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie an einer gemeinsamen Linie liegen, also ohne Umsteigen erreichbar sind. Im eben erwähnten Netzplan ist dies durch die verschiedenen Farben der Linien einfach erkennbar. Würde man aber all diese Kanten hinmalen, ergäbe sich schnell eine unübersichtliche Darstellung der Netzsituation. Die volle Erreichbarkeit {{ Zusatz/Klammer |text=also mit Umsteigen| |ISZ=|ESZ= }} wird typischerweise durch den {{ Definitionslink |vollständigen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} der Haltestellen dargestellt, es sei denn, das Liniennetz zerfällt in zueinander disjunkte Teilnetze. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxvqskhgt0s3m2te5lbm2h02fny43ah 0 118413 1099934 1094076 2026-06-17T06:53:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099934 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Metro Lisboa Route Map (only with routes in operation)|png| 400px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Metro_Lisboa_Route_Map_(only_with_routes_in_operation) |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Wir betrachten das Metronetz von Lissabon. Es handelt sich um einen {{ Definitionslink |zusammenhängenden Graphen| |Kontext=| |SZ=. }} Der durch die gelbe Linie beschriebene {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} hat die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= 12 |SZ=.}} Der {{ Definitionslink |Abstand| |Kontext=Graph| |SZ= }} von São Sebastião zu Alameda ist {{math|term= 2 |SZ=,}} der kürzeste Weg ist über Sadanha {{ Zusatz/Klammer |text=mit der roten Linie| |ISZ=|ESZ= }} gegeben. Es gibt natürlich auch deutlich längere Wege zwischen diesen beiden Stationen, beispielsweise über Marquês de Pompal mit der blauen Linie, dann nach Campo Grande mit der gelben Linie und dann mit der grünen Linie nach Alameda, der die Länge {{math|term= 12 |SZ=}} besitzt. Der {{ Definitionslink |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ= }} des Netzgraphen ist {{math|term= 21 |SZ=,}} dieser wird im Abstand von Reboleira zu Aeroporto angenommen. Der {{ Definitionslink |Radius| |Kontext=Graph| |SZ= }} des Graphen ist {{math|term= 11 |SZ=,}} und zwar haben sowohl Saldana als auch São Sebastião diese {{ Definitionslink |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |SZ=. }} Die Exzentrizität von Cidada Universitária beträgt {{math|term= 14 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sj4w0m19l2g44gjypxrobb2escyg5d8 0 118425 1099672 838048 2026-06-16T17:33:20Z Bocardodarapti 2041 1099672 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für einen {{ Definitionslink |linearen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten den {{ Definitionslink |Radius| |Kontext=Graph| |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f2tkmhxquzzconj3425v7h12hzrb8r6 0 118437 1099767 1084871 2026-06-17T06:27:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099767 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Butan Lewis|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Butan Lewis |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Wir wollen die {{ Definitionslink |Automorphismengruppe| |Kontext=| |SZ= }} des chemischen Elementes Butan {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der zugehörigen Darstellung als Graph {{math|term= G |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass die Benennung von einigen Knotenpunkten mit {{math|term= C |SZ=}} und mit {{math|term= H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=was natürlich eine chemische Bedeutung hat| |ISZ=|ESZ= }} keine eigenständige graphentheoretische Information dartellt, da sie ja aus dem Graphen direkt rekonstruierbar ist: Die Punkte mit dem {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= 4 |SZ=}} werden mit {{math|term= C |SZ=}} und die Punkte mit dem Grad {{math|term= 1 |SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Blätter| |Kontext=Graph| |SZ=, }} werden mit {{math|term= H |SZ=}} bezeichnet. In den folgenden Überlegungen werden wir zwecks Vereinfachung die chemischen Benennungen verwenden. Ein Automorphismus des Graphen führt {{math|term= H |SZ=-}}Atome in {{math|term= H |SZ=-}}Atome und {{math|term= C |SZ=-}}Atome in {{math|term= C |SZ=-}}Atome über, da der Grad bei einem Isomorphismus erhalten bleibt. Dies führt insbesondere zu einem {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Aut| G |}} | S_4 || |SZ=, }} wobei {{math|term= S_4 |SZ=}} die Gruppe der Permutationen auf den vier {{math|term= C |SZ=-}}Atomen und {{math|term= \Psi |SZ=}} die Einschränkung eines Automorphismus bezeichnet. Bei einem Automorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} des Moleküls wird also geschaut, was dieser mit den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen macht. Diese Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Die vier {{math|term= C |SZ=-}}Atome haben zwar alle den Grad {{math|term= 4 |SZ=,}} sie sind aber nicht gleichberechtigt, die beiden äußeren sind mit drei Blättern und die beiden inneren sind mit zwei Blättern verbunden. Wenn man die beiden inneren vertauscht, so muss man auch die beiden äußeren vertauschen, da ja bei einem Automorphismus Kanten erhalten bleiben. Deshalb ist das Bild von {{math|term= \Psi |SZ=}} die zyklische Gruppe {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 2 |}} || S_2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Tat ist die Spiegelung an der vertikalen Achse ein Automorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} Wir haben also einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Aut| G |}} | S_2 || |SZ=. }} Dies erleichtert die Bestimmung der Automorphismengruppe, da man diese aufspalten kann nach solchen Automorphismen, die auf den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen identisch wirken, und solchen, die die {{math|term= C |SZ=-}}Atome spiegeln. Aufgrund von gruppentheoretischen Gesetzmäßigkeiten gibt es von beiden Sorten gleich viele. Deshalb betrachten wir nur noch den {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} von {{math|term= \Psi|SZ=.}} Es sei also {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Automorphismus, der auf den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen identisch wirkt. Dann wird jedes {{math|term= H |SZ=-}}Atom unter {{math|term= \varphi|SZ=}} auf ein {{math|term= H |SZ=-}}Atom abgebildet, das mit dem selben {{math|term= C |SZ=-}}Atom verbunden ist. Was unter {{math|term= \varphi|SZ=}} mit den an einem {{math|term= C |SZ=-}}Atom hängenden {{math|term= H |SZ=-}}Atomen passiert, ist unabhängig voneinander. Der Kern ist deshalb gleich {{ Math/display|term= S_3 \times S_2 \times S_2 \times S_3 |SZ= }} und besitzt {{math|term= 144 |SZ=}} Elemente, die gesamte Automorphismengruppe besitzt {{math|term= 288 |SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sbd135mcr3n9oeegs4thyhdi8etk7rs 0 118441 1099933 1074379 2026-06-17T06:53:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099933 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Identity graph5|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Identity_graph5 |Text= |Autor= |Benutzer=Hikin1987 |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Der abgebildete Graph {{math|term= G |SZ=}} ist {{ Definitionslink |starr| |Kontext=Graph| |SZ=. }} Bei einem solchen Nachweis geht man am besten sukzessive vor, man zeigt für einen Automorphismus unter Bezug auf graphentheoretische Eigenschaften, dass er alle Knoten auf sich selbst abbildet, wobei man mit besonders einfachen Knotenpunkten anfängt und dann weitere Knotenpunkte betrachtet und dabei verwendet, dass andere Knotenpunkte auf sich selbst abgebildet werden. Es sei also {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Automorphismus von {{math|term= G |SZ=.}} Der Graph verfügt nur über ein einziges Blatt {{math|term= b |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=links oben| |ISZ=|ESZ=, }} diese muss auf sich selbst abgebildet werden. Damit muss auch der an das Blatt anliegende Knotenpunkt {{math|term= u |SZ=}} auf sich selbst abgebildet werden. Die an {{math|term= u |SZ=}} anliegenden Knotenpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=außer {{math|term= b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} haben die Grade {{mathl|term= 2,3,4 |SZ=,}} sie müssen also jeweils auf sich selbst abgebildet werden. Dann muss auch der verbleibende Punkt auf sich selbst abgebildet werden. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3daj5qn5mk3jafa6aic2viamx80wjdl 0 118452 1100323 1093511 2026-06-17T07:57:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100323 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Automorphismengruppe| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Sterngraphen| |Kontext=| |SZ= }} mit einem Zentrum und {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Blättern| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also insgesamt {{mathlk|term= n+1 |SZ=}} Knoten| |ISZ=|ESZ= }} ist die volle {{ Definitionslink |Permutationsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= S_n |SZ=,}} da man die Blätter beliebig ineinander überführen kann und das Zentrum auf sich selbst abgebildet werden muss. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4g3wrhin2i1435uxp7iavdqbd47mml1 0 118515 1099641 1099630 2026-06-16T12:11:59Z Bocardodarapti 2041 1099641 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen, dass wir den Wald unter der vorgegebenen Bedingung um eine Kante {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell unter Hinzunahme von weiteren Knotenpunkten| |ISZ=|ESZ= }} zu einem größeren Wald ergänzen können. Jede Zusammenhangskomponente des Waldes {{mathl|term= (W,F) |SZ=}} liegt ganz in einer Zusammenhangskomponente von {{math|term= G |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt die Voraussetzung entsprechend in mindestens einer Zusammenhangskomponente von {{math|term= G |SZ=,}} d.h. wir können annehmen, dass {{math|term= G |SZ=}} zusammenhängend ist. Es sei {{ Relationskette/display | (B,H) | \subseteq | (W,F) || || || |SZ= }} ein Baum von {{math|term= W |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term= W |SZ=}} leer ist, so können wir direkt zu einem einpunktigen Baum übergehen| |ISZ=|ESZ=. }} Dieser besitzt so wie {{math|term= W |SZ=}} weniger als {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Kanten. Es sei {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} ein Punkt, der nicht in {{math|term= B |SZ=}} vorkommt. Es gibt einen Weg {{mathl|term= u = u_1 {{kommadots|}} u_n = v |SZ=}} in {{math|term= G |SZ=}} mit {{ Relationskette | u | \in | B || || || |SZ=. }} Dabei findet irgendwo längs des Weges der Übergang von {{math|term= B |SZ=}} zu nicht {{math|term= B |SZ=}} statt, d.h. man kann davon ausgehen, dass {{ Relationskette | u_2 || v | \notin | B || || || |SZ= }} ist. Wir nehmen die Kante {{mathl|term= \{u ,v \} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und eventuell den Punkt {{math|term= v |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} zu {{math|term= W |SZ=}} hinzu und müssen begründen, dass dies nach wie vor ein Wald ist. Bei {{ Relationskette | v | \notin | W || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | (B',H') || (B \cup \{ v \}, H \cup \{u ,v\}) || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Baum/Blatt/Hinwegnahme/Fakt |Nr= |SZ= }} ein größerer Baum, da ja {{math|term= v |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Blatt| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= B' |SZ=}} ist. Bei {{ Relationskette | v | \in | W || || || |SZ= }} wird {{math|term= B |SZ=}} mit einem anderen Baum aus {{math|term= W |SZ=}} vereinigt, was wieder einen größeren Baum ergibt. Auch wenn {{math|term= W |SZ=}} in diesem einzelnen Erweiterungsschritt nicht wachsen muss, so wächst doch ein Unterbaum davon und deshalb muss letztlich auch {{math|term= W |SZ=}} wachsen, bis {{math|term= W |SZ=}} schließlich {{math|term= n |SZ=}} Kanten enthält. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 08irzbzm0f069knhzhlh9d91lgv0mq4 0 118614 1100040 1085146 2026-06-17T07:10:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100040 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |linearer Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit {{math|term= n |SZ=}} Knotenpunkten. Dann muss in einer {{ Definitionslink |Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ= }} zumindest jeder zweite Knoten {{ Zusatz/Klammer |text=in der natürlichen Reihenfolge auf einem linearen Graphen| |ISZ=|ESZ= }} vorkommen. {{ Definitionslink |Minimale Knotenüberdeckungen| |Kontext=| |SZ= }} sind beispielsweise durch die Knotenfolgen {{mathl|term= \{1,3,5, \ldots \} |SZ=}} und {{mathl|term= \{2,4 ,6 , \ldots \} |SZ=}} gegeben, wobei der letzte Knoten, {{ mathkor|term1= n-1 |oder|term2= n |SZ=, }} davon abhängt, ob {{math|term= n |SZ=}} gerade oder ungerade ist. Bei {{math|term= n |SZ=}} gerade sind beide {{ Definitionslink |optimal| |Kontext=Knotenüberdeckung| |SZ=, }} bei {{math|term= n |SZ=}} ungerade ist nur die zweite Knotenüberdeckung optimal. Die {{ Definitionslink |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |SZ= }} beträgt in beiden Fällen {{mathl|term= {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch| n | 2}} |}} |SZ=}} Knoten. Es gibt aber auch noch ganz andere minimale Knotenüberdeckungen, beispielsweise {{mathl|term= \{1,3,4,6,7, 9,10\} |SZ=}} bei {{ Relationskette |n || 11 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ayk0cs0ljqzkc15t6a590shy51k913 0 118952 1099857 1093377 2026-06-17T06:40:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099857 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen die Anzahl der {{ Definitionslink |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} der fünfelementigen Menge {{mathl|term= \{a,b,c,d,e\} |SZ=}} in die dreielementige Menge {{mathl|term= \{1,2,3\} |SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt |Nr= |SZ=. }} Zur Bestimmung der Summe aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt |Nr= |SZ= }} betrachten wir zuerst die Indexmenge. Die möglichen Indextupel sind {{ mathkor|term1= (1,1,3) |und|term2= (1,2,2) |SZ=, }} jeweils mit drei Permutationen. Deshalb ist die Summe gleich {{ Relationskette/align/handlinks | \sum_{(r_1 ,r_2, r_3):\, r_1+r_2 + r_3 {{=|}} n,\, r_j \geq 1} {{op:Binomialkoeffizient| 5 |r_1 , r_2 , r_3 }} || 3\cdot {{op:Binomialkoeffizient| 5 | 3 , 1 , 1}} + 3 \cdot {{op:Binomialkoeffizient| 5 | 1 ,2 , 2}} || 3 \cdot 20 + 3 \cdot 30 || 150 || |SZ=. }} Zur Bestimmung der Summe in {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} betrachten wir wieder die Indextupel, wobei ähnlich wie soeben bis auf Permutationen die Summen {{ Relationskette | 5 || 1+1+3 || 1+2+2 || || |SZ= }} möglich sind. Die zugehörigen Summanden hängen aber von den Permutationen ab. Es ist {{ Relationskette/align/drucklinks | \sum_{(a_1 ,a_2, a_3):\, a_1+ a_2 + a_3 {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 } 2^{a_2 } 3^{a_3 } || 1^1 \cdot 2^1 \cdot 3^3 + 1^1 \cdot 2^3 \cdot 3^1 +1^3 \cdot 2^1 \cdot 3^1 + 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 + 1^2 \cdot 2^1 \cdot 3^2 + 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^1 || 54 + 24 +6+36+ 18+12 || 150 || |SZ=. }} Die Summe aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \sum_{j {{=|}} 0}^3 (-1)^{3-j} {{op:Binomialkoeffizient| 3 |j}} j^5 || - 1 \cdot 0^5 + 3 \cdot 1^5 - 3 \cdot 2^5 + 3^5 || 3-96+243 || 150 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtmxdjwoi9pxppdkqd12f0r21kgj0du 0 119168 1099730 1084841 2026-06-17T06:21:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099730 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |ortsunabhängige| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Math/display|term= y' = 2 t^2-t+4 \text{ mit der Anfangsbedingung } y(2)= 7 |SZ=. }} Die Funktion {{mathl|term= 2 t^2-t+4 |SZ=}} besitzt die {{ Definitionslink |Stammfunktionen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} t^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 +4 t +c|SZ=}} mit einer beliebigen Konstanten {{ Relationskette |c | \in | \R || || || |SZ=. }} Die Anfangsbedingung {{ Relationskette | y(2) || 7 || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 2 | 3}} \cdot 2^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot 2^2 +4 \cdot 2 +c || {{op:Bruch| 16| 3}} - 2+ 8 +c || 7 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette |c || - {{op:Bruch| 13| 3}} || || || |SZ=. }} Somit ist die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems gleich {{ Relationskette/display | y(t) || {{op:Bruch| 2 | 3}} t^3 - {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2 +4 t - {{op:Bruch| 13| 3}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ortsunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7y3vjx1a2x40wfmrpoic03g6l7cgsng 0 119172 1100386 1085516 2026-06-17T08:07:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100386 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |COVID-19-Germany|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Hbf878 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |COVID-19-Sweden|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Hbf878 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir versuchen, die Ausbreitung einer Virusinfektion wie bei den Wellen der Corona-Pandemie seit 2020 zu modellieren. Die Ausbreitung wird durch eine Funktion {{ Abbildung/display |name=y |\R|\R | t | y(t) |SZ=, }} beschrieben, wobei {{ Relationskette |t | \in |\R || || || |SZ= }} für die Zeit und {{mathl|term= y(t) |SZ=}} für die Gesamtanzahl der bis zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} Infizierten {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Genesenen| |ISZ=|ESZ= }} angibt. Dies ist zunächst eine empirische Funktion, die man aus verschiedenen Gründen auch gar nicht genau kennt, insbesondere, da nicht jeder getestet wird. Man kann stattdessen auch die Entwicklung der bestätigt Infizierten betrachten. Diese empirische Funktion wird durch die Daten, die jeden Tag das Robert-Koch-Institut übermittelt, beschrieben, und ist so gesehen zunächst eine Abbildung von einer Anfangsmenge der natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=die ersten {{math|term= 100 |SZ=}} Tage seit Ausbruch| |ISZ=|ESZ= }} in die natürlichen Zahlen, wobei jedem Tag die Anzahl der bis dahin Infizierten zugeordnet wird. Wenn man zu den Daten aus verschiedenen Ländern {{ Zusatz/Klammer |text=oder verschiedenen Wellen| |ISZ=|ESZ= }} den Verlauf skizziert, ergibt sich jeweils ein ähnliches Bild. Die Ausbreitung scheint einer Gesetzmäßigkeit zu folgen, die man in der {{Stichwort|mathematischen Modellierung|msw=Mathematische Modellierung|SZ=}} verstehen möchte. Das bedeutet {{ Zusatz/Klammer |text=in einem ersten Schritt| |ISZ=|ESZ=, }} dass man die empirische Funktion, also das vorliegende Datenmaterial, durch eine mathematische Funktion, also einen funktionalen Ausdruck, annähern möchte, um so den qualitativen und den quantitativen Verlauf der Ausbreitung zu verstehen und auch Extrapolationen {{ Zusatz/Klammer |text=Prognosen| |ISZ=|ESZ= }} formulieren zu können. Hierbei wird man den Definitionsbereich und den Wertebereich als die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Intervalle davon| |ISZ=|ESZ= }} und die Funktion als stetig oder differenzierbar ansetzen. Man kann mit verschiedenen Zeiteinheiten arbeiten und auch die Gesamtzahl absolut oder aber prozentual {{ Zusatz/Klammer |text=bezogen auf die Erdbevölkerung, ein Land, ... | |ISZ=|ESZ= }} angeben. So oder so ergibt sich, dass der Verlauf gut durch eine {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis| |SZ= }} beschrieben werden kann, also von der Bauart {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | t |b^t |SZ=, }} mit einer Basis {{ Relationskette |b | > | 1 || || || |SZ= }} ist. Welche Basis {{math|term= b |SZ=}} zu nehmen ist, hängt von der Skalierung und auch von länderspezifischen Gegebenheiten ab. Diese Basis ist äquivalent zum Verdoppelungszeitraum der Ausbreitung, man kann das eine aus dem andern berechnen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Diese Modellierung ist bisher aber nur die Beobachtung einer Übereinstimmung einer mathematischen Funktionsklasse mit empirischen Funktionen. In einem zweiten Schritt kann man sich fragen, ob es {{Anführung|in der Natur der Sache liegt|SZ=,}} dass die Ausbreitung eines Virus exponentiell verläuft. Gibt es einen mathematischen Grund dafür, eine innere Dynamik, eine zu jedem Zeitpunkt gültige Gesetzmäßigkeit, die den Verlauf erklären kann? Die Antwort zu dieser Frage erfolgt im Rahmen der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, und beruht auf einer einfachen Beobachtung. Wir nehmen die Funktion {{math|term= y(t) |SZ=}} als differenzierbar an. Die Ableitung {{math|term= y'(t) |SZ=}} beschreibt dann den momentanen Zuwachs zu jedem Zeitpunkt, ist also ein Maß für die Neuansteckungen. Der naheliegende Ansatz ist nun zu sagen, dass zu jedem Zeitpunkt die Anzahl der Infizierten, also {{math|term= y(t) |SZ=,}} proportional zur Anzahl der Begegnungen zwischen Infizierten und Nichtinfizierten ist und damit proportional zur Anzahl der Neuinfektionen, also zu {{math|term= y'(t) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für Einschränkungen zu dieser Überlegung siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt zur Beziehung {{ Relationskette/display | y'(t) || c y(t) || || || |SZ= }} mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor {{math|term= c |SZ=,}} der ein Maß für die Ansteckungswahrscheinlichkeit ist und vom Virus, der Saison, vom Abstandsverhalten der Bevölkerung u. Ä. abhängt. Wir haben also eine Beziehung zwischen der gesuchten Funktion und ihrer Ableitung, die in jedem Moment gilt und für die Ausbreitung eines Virus charakteristisch sein sollte. Ein solcher Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung heißt eine {{Stichwort|gewöhnliche Differentialgleichung|SZ=.}} Wenn eine solche Differentialgleichung vorliegt, fragt man sich, welche Funktionen {{math|term= y(t) |SZ=}} diese Gleichung erfüllen. Dies ist im Allgemeinen schwierig. Im vorliegenden Fall lässt sich direkt durch Ableiten bestätigen, dass die Funktionen {{ Relationskette/display | y(t) || a e^{ct} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a | \in |\R || || || |SZ= }} Lösungen sind. Der Vorfaktor {{math|term= a |SZ=}} ist dabei durch {{ Relationskette/display | y(0) || a || || || |SZ= }} festgelegt, also durch den Wert der Funktion zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=,}} und das {{math|term= c |SZ=}} im Exponenten ist direkt der Proportionalitätsfaktor aus der Differentialgleichung. Wegen {{ Relationskette/display | a e^{ct} || e^{ {{op:ln| a |}} } e^{ct} || e^{ {{op:ln| a |}} + ct} || || |SZ= }} ist der Vorfaktor {{math|term= a |SZ=}} im Wesentlichen eine Verschiebung im Zeitargument, und {{math|term= c |SZ=}} kann man durch eine Umskalierung der Zeit zu {{math|term= 1 |SZ=}} normieren. Man kann nun sogar zeigen, dass die Exponentialfunktionen die einzigen Funktionen sind, die diese Differentialgleichung erfüllen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Charakterisierung durch Ableitung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Differentialgleichung/y' ist cy/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies bedeutet, dass eine Virusausbreitung durch den Faktor {{math|term= c |SZ=}} und dem Wert an einem einzigen Zeitpunkt eindeutig bestimmt ist. Dies ist ein Spezialfall des Satzes, dass ein Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung besitzt, von dem wir verschiedene Varianten kennenlernen werden. Kommen wir nun zu einigen Einschränkungen der oben formulierten Modellierung. Zunächst ist klar, dass die Exponentialfunktion zu jeder Basis {{ Relationskette |b | > | 1 || || || |SZ= }} gegen unendlich geht, es aber nur endlich viele Menschen gibt. Also kann irgendwas nicht stimmen. Der Punkt ist, dass in unserer Modellierung die Anzahl der Infizierten zur Anzahl der Begegnungen von Infizierten mit der Gesamtbevölkerung proportional ist, aber nicht mit der Anzahl der Begegnungen mit den Nichtinfizierten. Dieser Unterschied ist zu Beginn der Ausbreitung unerheblich, da zu Beginn die Gesamtbevölkerung nahezu vollständig nicht infiziert ist. Im Verlauf der Epidemie, wenn sich der Durchseuchungsgrad erhöht, wird es zunehmend wahrscheinlicher, dass sich Infizierte und Infizierte begegnen, was zu keiner Neuansteckung führt. Ferner haben wir ignoriert, dass die Genesenen nicht mehr andere Leute anstecken können. Hier muss man den Unterschied zwischen infiziert und akut infiziert berücksichtigen. Dieser Unterschied ist für den Anfangsverlauf der Ausbreitung ebenfalls unerheblich, spielt aber im späteren Verlauf eine wichtige Rolle. Die Neuansteckung ist also proportional zur Anzahl der akut Infizierten, dies ist die Differenz zwischen der Gesamtinfiziertenzahl und der Gesamtinfiziertenzahl vor einem gewissen Genesungszeitraum {{math|term= d |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei Corona ca. {{math|term= 2-3 |SZ=}} Wochen| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt auf die Bedingung {{ Relationskette/display | y'(t) || c (y(t) - y(t-d)) || || || |SZ=, }} man spricht von einer {{Stichwort|Differentialgleichung mit Verzögerung|SZ=,}} was wir nicht behandeln werden. Für den ersten Zeitraum der Länge {{math|term= d |SZ=}} nach Ausbruch spielt der Korrekturterm aber keine Rolle. Schließlich ist der Faktor {{math|term= c |SZ=}} keine Konstante, sondern wird durch politische Maßnahmen und Verhaltensregeln beeinflusst. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=ay |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0737lj8hxfuusrntglyyx45hfbywt5 0 119350 1100695 1085794 2026-06-17T10:48:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100695 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Laboratory sieves BMK|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | | |Zusname=Laboratory_sieves_BMK |Text= |Autor= |Benutzer= User:BMK |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Bezeichnung {{Anführung|Siebformel}} kann man sich folgendermaßen erklären: Es sei eine Menge von Sandkörnern, Kristallen oder Diamanten gegeben, die unterschiedliche Größen und Formen besitzen. Es sei eine Menge von Sieben {{mathl|term= S_1 {{kommadots|}} S_n |SZ=}} gegeben, mit denen man den Sand sieben möchte. Dann ist {{math|term= A_i |SZ=}} die Menge der Sandkörner, die durch das Sieb {{math|term= S_i |SZ=}} durchfallen, und zu einer Teilmenge {{ Relationskette |J | \subseteq | {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} ist dann {{math|term= A_J|SZ=}} die Menge der Sandkörner, die durch die Siebe {{ mathbed|term= S_i ||bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man sie übereinander hält| |ISZ=|ESZ= }} durchfallen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Die Siebformel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0bqauyomqvm0hecflw0s040khxs8nqa 0 119375 1100521 1034538 2026-06-17T10:22:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100521 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Dies schließt direkt an die vorstehende Aufgabe an. Wenn man ein Anfangswertproblem hat, muss man eigentlich immer zuerst die Differentialgleichung allgemein lösen und dann in einem zweiten Schritt mit der Anfangsbedingung noch einen freien Parameter festlegen. Es kann aber auch mal sein, dass es für das Anfangsproblem eine besonders einfache Lösung, typischerweise eine konstante Lösung, gibt, obwohl es schwierig ist, die Differentialgleichung allgemein zu lösen. Hier jedenfalls kenn wir die allgemeine Lösung {{ Math/display|term= c {{op:exp(| {{op:Bruch| 1 | 3}} t^3 - 2t^2+5t|}} |SZ=. }} Die zusätzliche Bedingung ist einfach, dass diese Funktion an der Stelle {{math|term= 6|SZ=}} noch den Wert {{math|term=-3|SZ=}} haben soll. Dabei ist die {{math|term= 6|SZ=}} für {{math|term= t|SZ=}} einzusetzen, und das legt dann {{math|term= c|SZ=}} fest. {{ Relationskette/display | c {{op:exp(| {{op:Bruch| 1 | 3}} 6^3 - 2 \cdot 6^2+5 \cdot 6|}} || -3 || || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display |c || - {{op:Bruch| 3 | {{op:exp| 30|}} }} || || || |SZ=. }} Die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist also {{ Relationskette/display | y(t) || - {{op:Bruch| 3 | {{op:exp| 30|}} }} \cdot {{op:exp(| {{op:Bruch| 1 | 3}} t^3 - 2 t^2+5 t|}} || || || |SZ=. }} Hier unbedingt das wieder mit {{math|term= t|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und nicht mit eingesetztem {{math|term= 6|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} schreiben, das Ergebnis muss eine Funktion sein! |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24nkjnaoe2o9zbhsdzeyxjax0t16zl1 0 119387 1100522 1085591 2026-06-17T10:22:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100522 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Hier muss man zuerst wieder den Typ erkennen, es ist eine {{ Zusatz/Klammer |text=gewöhnliche eindimensionale| |ISZ=|ESZ= }} lineare inhomogene Differentialgleichung. Im Normalfall muss man da zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung anschauen und lösen, das ist hier besonders einfach, das ist {{ Relationskette/display | y' || y || || || |SZ= }} mit der Lösung {{ Relationskette/display |a(t) || e^t || || || |SZ=. }} Konstanten muss man an dieser Stelle noch nicht berücksichtigen, da dies bei der {{Anführung|Variation der Konstanten|SZ=,}} dem Lösungsverfahren auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |SZ= }} mitberücksichtigt wird. Gemäß dieses Satzes müssen wir die Störfunktion {{ Relationskette/display |h(t) || e^{3t} || || || |SZ= }} jetzt mitberücksichtigen. Wir müssen eine Stammfunktion von {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|h(t)|a(t)}} || e^{3t } e^{-t} || e^{2t} || || |SZ= }} bestimmen, das ist {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} e^{2t}|SZ=.}} Eine Lösung ist daher {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} e^{2t} \cdot e^{t} || {{op:Bruch| 1 | 2}} e^{3t} || || || |SZ=. }} Dies sollte man durch Ableiten bestätigen. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krpdv7zda2idcq75mqhs7xbh37tcgvf 0 119552 1100523 1085840 2026-06-17T10:22:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100523 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Hier haben wir es mit einer scheinbar komplizierten Differentialgleichung zu tun, aber davon lassen wir uns nicht abschrecken, denn die Aufgabe verlangt nur nach den konstanten Lösungen. Konstant bedeutet hier, dass die Lösung nicht von {{math|t}} abhängt, sodass die Lösung von der Form {{math| y(t) {{=}} c}} für gewisse Konstanten {{math|c \in \mathbb{R} }} ist. Dementsprechend ist die Ableitung {{math| y'{{=}}0}} und es folgt, dass {{ Relationskette/display | 0 || {{op:Bruch| {{op:sin(| {{op:cos| t |}} |}} - e^{ t^5 }| ( t^{14} +8) e^{-t^2} + \sqrt{t^2+ \pi} |}} {{makl| c^2+3c-5 |}} || || || |SZ= }} für alle {{math|t}} in einem geeigneten Definitionsgebiet gelten muss. Die rechte Seite der Gleichung besteht aus zwei Faktoren, von denen einer nur von {{math|t}} und der andere nur von {{math| y}} abhängt (die Differentialgleichung besitzt also getrennte Variablen). Der von {{math|t}} abhängige Faktor ist dabei auf keinem Intervall konstant Null, sodass folgt, dass der zweite Faktor konstant Null sein muss. Durch Lösen der quadratischen Gleichung : <math>0 = c^2 + 3c - 5</math> erhalten wir schließlich genau zwei Lösungen, welche konstante Lösungen der Differentialgleichung sind. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rwxnbzq9m7h25qaa2drdykn43p8psk7 0 119717 1100524 1085595 2026-06-17T10:22:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100524 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Wie in der Vorlesung erwähnt, ist dies am leichtesten, in dem man die Stetigkeit mit Hilfe offener Mengen zeigt. Es geht auch mit dem {{math|term=\epsilon|SZ=}}-{{math|term= \delta |SZ=}}-Kriterien. Da wir mehrere stetige Funktionen haben, geben wir den {{math|term=\epsilon|SZ=}} und {{math|term=\delta|SZ=}} Indizes, damit wir diese nicht verwechseln. Die Stetigkeit von {{math|term= g|SZ=}} in {{math|term= f(x)|SZ=}} liefert, dass für alle {{math|term=\epsilon_1>0|SZ=}} ein {{math|term=\delta_1>0|SZ=}} existiert, sodass {{ Relationskette/display | g {{makl| {{op:Abgeschlossener Ball|f(x)| \delta_1 }} |}} | \subseteq | {{op:Abgeschlossener Ball|g(f(x))| \epsilon_1 }} || || || |SZ=. }} Die Stetigkeit von {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= x|SZ=}} liefert, dass für alle {{math|term=\epsilon_2>0|SZ=}} ein {{math|term=\delta_2>0|SZ=}} existiert, sodass {{ Relationskette/display | f {{makl| {{op:Abgeschlossener Ball| x | \delta_2 }} |}} | \subseteq | {{op:Abgeschlossener Ball|f(x)| \epsilon_2 }} || || || |SZ=. }} Um die Stetigkeit von {{math|term= g\circ f|SZ=}} in {{math|term= x|SZ=}} zu zeigen, sei nun {{math|term=\epsilon>0|SZ=}} und wir müssen zeigen, dass am Ende ein {{math|term=\delta>0|SZ=}} existiert, sodass {{ Relationskette/display | g(f {{makl| {{op:Abgeschlossener Ball| x | \delta}} |}}) | \subseteq | {{op:Abgeschlossener Ball|g(f(x))| \epsilon}} || || || |SZ= }} ist. Als erstes nutzt man nun die Steteigkeit von {{math|term= g|SZ=}}, wobei dort jetzt {{math|term=\epsilon|SZ=}} die Rolle von {{math|term=\epsilon_1 |SZ=}} übernimmt. Damit folgt, dass {{ Relationskette/display | g {{makl| {{op:Abgeschlossener Ball|f(x)| \delta_1 }} |}} | \subseteq | {{op:Abgeschlossener Ball|g(f(x))| \epsilon}} || || || |SZ= }} ist, für ein passendes {{math|term=\delta_1 |SZ=.}} Als nächstes kann man die Stetigkeit von {{math|term= f|SZ=}} nutzen. Hierbei nimmt aber das eben erhaltene {{math|term=\delta_1 |SZ=}} die Rolle von {{math|term=\epsilon_2 |SZ=}} ein. Wir erhalten {{ Relationskette/display | f {{makl| {{op:Abgeschlossener Ball| x | \delta_2 }} |}} | \subseteq | {{op:Abgeschlossener Ball|f(x)| \delta_1 }} || || || |SZ= }} für ein gewisses {{math|term=\delta_2 |SZ=}}. Wendet man hierauf die Funktion {{math|term= g|SZ=}} an, bleibt die Teilmengenbeziehung erhalten und mit dem Vorherigen kombiniert, erhalten wir insgesamt {{ Relationskette/display | g(f {{makl| {{op:Abgeschlossener Ball| x | \delta_2 }} |}}) | \subseteq | g{{makl| {{op:Abgeschlossener Ball|f(x)| \delta_1 }} |}} | \subseteq | {{op:Abgeschlossener Ball|g(f(x))| \epsilon}} || || || |SZ=. }} Das heißt, mit {{math|term=\delta_2 |SZ=}} haben wir die Existenz eines geeigneten {{math|term=\delta|SZ=}} für die Stetigkeit von {{math|term= g\circ f|SZ=}} gezeigt. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0ovrhs9l3zpelw2y55rlz5b18ij1xu 0 119827 1100626 1085714 2026-06-17T10:37:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100626 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Machen wir uns die Wirkungsweise eines Polynoms {{math|term= f |SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} als Funktion {{ Abbildung/display |name= | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} || |SZ= }} klar. An einer Stelle {{ Relationskette |b || {{op:Zeilentupel|b_1 | \ldots|b_n }} | \in | {{KRC|}}^n || || || |SZ= }} ergibt sich {{mathl|term= f(b) |SZ=}} einfach dadurch, dass man für die Variable {{math|term= x_i |SZ=}} überall die Zahl {{math|term= b_i |SZ=}} einsetzt und alles in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} ausrechnet. Die Variable {{math|term= x_i |SZ=}} ist somit einfach die {{math|term= i |SZ=-}}te Projektion {{ Abbildung/display |name= | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} | {{op:Zeilentupel|b_1 | \ldots|b_n }} | b_i |SZ=. }} Zumeist benennt man die Koordinaten einfach wieder mit {{math|term= x_i |SZ=.}} Die Summe und die Produkte von polynomialen Funktionen sind wieder polynomial, und zwar ergibt sich die Summe einfach dadurch, dass man monomweise addiert, und das Produkt dadurch, dass man distributiv ausmultipliziert. Auch wenn man Polynome in andere Polynome einsetzt, ergibt sich wieder ein Polynom. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5trsaq0sb9cf6wimkhom5s21x4n71b 0 119838 1100525 1077406 2026-06-17T10:23:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100525 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Eine Warnung vorneweg: es sind nicht die allerwichtigsten Eigenschaften einer Abbildung, die durch die wichtigsten Relationseigenschaften beschrieben werden. Dies liegt darin begründet, dass bei einer Abbildung jedes {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ= }} nur mit genau einem Element {{math|term= y |SZ=}} rechts in Relation steht, nämlich eben mit {{ Relationskette | y || f(x) || || || |SZ=. }} Von daher handelt es sich um eine {{Anführung|dünn besetzte|}} Relation. Die Relationseigenschaften haben aber häufig {{ Zusatz/Klammer |text=symmetrisch, transitiv| |ISZ=|ESZ= }} die Form, dass wenn etwas in Relation steht, dass dann auch etwas anderes in Relation steht, was typischerweise bedeutet, dass viele Paare zur Relation gehören. Machen wir uns die in Frage stehende Relation noch mal kurz klar. {{mathl|term= xRy|SZ=}} bedeutet hier einfach {{ Relationskette |f(x) || y || || || |SZ=, }} also dass {{math|term= x |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} abgebildet wird. Die Reflexivität bedeutet {{mathl|term= xRx |SZ=,}} also hier {{ Relationskette | f(x) || x || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} D.h. die einzige Abbildung mit einem reflexiven Graphen ist die Identität. Die Transitivität bedeutet, dass wenn {{math|term= x |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= z |SZ=}} abgebildet wird, dass dann {{math|term= x |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= z |SZ=}} abgebildet wird. Das hört sich erst mal komisch an, grad wurde ja {{math|term= x |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} abgebildet und jetzt soll es auf {{math|term= z |SZ=}} abgebildet werden. Die einzige verbleibende Möglichkeit ist {{ Relationskette | y || z || || || |SZ=. }} D.h. die Transitivität des Graphen bedeutet, dass Elemente, die zum Bild der Abbildung gehören, auf sich selbst abgebildet werden, also {{ Relationskette | f(f(x)) || f(x) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | \R || || || |SZ=. }} Hier gibt es aus der linearen Algebra wichtige Beispiele, die sogenannten Projektionen im Sinne von {{ Definitionslink |Definition| |Definitionsseitenname= Projektion/Idempotent/Definition |SZ=. }} Beispielsweise ist die lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^2 | \R^2 | (x,y) | (x,0) |SZ=, }} eine solche Projektion, nämlich die Projektion auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse, aufgefasst im {{math|term= \R^2 |SZ=.}} Symmetrie und Antisymmetrie haben mit Fixpunkteigenschaften zu tun. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbghzhi9b6cryath3n3lt89kormibof 0 120031 1099662 1066232 2026-06-16T15:31:55Z Lp0 on fire 41153 Änderung [[Special:Diff/998432|998432]] von [[Special:Contributions/92.218.133.126|92.218.133.126]] ([[User talk:92.218.133.126|Diskussion]]) rückgängig gemacht. spam 1099662 wikitext text/x-wiki [[File:Sustainable Development Goal 3.png|thumb|[[v:edn:SDG3|SDG3]]: Good Health and Well-being - Lernmodul, das ein [[v:en:SDG-Tagging|SDG-Tagging]] - <ref>UN-Guidelines for Use of SDG logo and the 17 SDG icons (2016/10) - http://www.un.org/sustainabledevelopment/wp-content/uploads/2016/10/UN-Guidelines-for-Use-of-SDG-logo-and-17-icons.October-2016.pdf</ref> verwendet]] [[File:Sustainable Development Goal 11.png|thumb|[[v:edn:SDG11|SDG11]]: Sustainable Cities and Communities - Lernmodul mit Bezug den Nachhaltigkeitszielen - [http://www.un.org/sustainabledevelopment/wp-content/uploads/2016/10/UN-Guidelines-for-Use-of-SDG-logo-and-17-icons.October-2016.pdf UN-Guidelines]<ref>UN-Guidelines for Use of SDG logo and the 17 SDG icons (2016/10) - http://www.un.org/sustainabledevelopment/wp-content/uploads/2016/10/UN-Guidelines-for-Use-of-SDG-logo-and-17-icons.October-2016.pdf</ref>]] Die '''Telemedizin''' ist ein Teilbereich der [[w:de:Telematik|Telematik]] im [[w:de:Gesundheitswesen|Gesundheitswesen]] und bezeichnet [[w:de:Diagnostik|Diagnostik]] und [[w:de:Therapie|Therapie]] unter Überbrückung einer räumlichen oder auch zeitlichen („asynchron“) Distanz zwischen [[w:de:Arzt|Arzt]] ([[w:de:Telearzt|Telearzt]]), [[w:de:Therapeut|Therapeut]] (Teletherapeut), [[w:de:Apotheker|Apotheker]] und [[w:de:Patient|Patient]]en oder zwischen zwei sich konsultierenden Ärzten mittels [[w:de:Telekommunikation|Telekommunikation]]. [[w:de:Zahnarzt|Zahnärzte]] und [[w:de:Tierarzt|Tierärzte]] gelten hier (vorerst) nicht als Ärzte. == Aufgaben für Lernende == * Untersuchen Sie die Bedeutung der Telemedizin unter den [[COVID-19]]-Einschränkungen. Welche Aspekte können durch die Telemedizin abgedeckt werden und in welchen Bereichen müssen andere Alternativen verwendet werden. == Geschichte == Als erster Anwendungsfall der Telemedizin gilt ein banaler Vorgang des 10. März 1876. Der britische Erfinder [[w:de:Alexander Graham Bell|Alexander Graham Bell]] hatte sich bei der Beschäftigung mit seinem Patentobjekt „Telefonapparatur“ versehentlich Säure über den Anzug geschüttet und das Gerät dazu genutzt, seinen – im Nebenzimmer anwesenden – Kollegen [[w:de:Thomas A. Watson|Thomas A. Watson]] zur Hilfe zu rufen. Betrug die Entfernung bei diesem ersten medizinischen Not- bzw. Fernruf vor nur 130 Jahren nur wenige Meter, so hat sich die Telemedizin bis heute zu einem Instrument weiterentwickelt, das dem Bodenpersonal der amerikanischen Raumfahrtbehörde „[[w:de:NASA|NASA]]“ die medizinische Überwachung bzw. Betreuung der in der [[w:de:Thermosphäre|Thermosphäre]] befindlichen Astronauten ermöglichte – in Echtzeit!<ref>[[w:de:Deutscher Bundestag|Deutscher Bundestag]] vom 11. Mai 2011: [https://www.bundestag.de/blob/191840/f03a819a557bc16821678aa947afe076/telemedizin-data.pdf Aktueller Begriff Telemedizin – Begriffsbestimmung und Ziel der Telemedizin] (PDF)</ref> == Ziele == Ziele der Telemedizin sind * die Verbesserung der Gesundheit der Bürger durch Bereitstellung lebenswichtiger Informationen – gegebenenfalls auch zwischen den Ländern – unter Einsatz elektronischer Gesundheitsdienste, * die Verbesserung von Qualität und Zugänglichkeit der medizinischen Versorgung durch Einbeziehung elektronischer Gesundheitsdienste in die Gesundheitspolitik und durch Koordinierung der politischen, finanziellen und technischen Strategien der EU-Länder, * die Schaffung effizienter, benutzerfreundlicher und umfassend akzeptierter elektronischer Gesundheitsdienste durch die Einbeziehung von Fachleuten und Patienten in Strategie, Gestaltung und Umsetzung.<ref>[[w:de:Europäische Kommission|Europäische Kommission]] Abgerufen am 27. Oktober 2015: {{Toter Link|url=http://ec.europa.eu/health/ehealth/policy/index_de.htm|text=Strategie – Elektronische Gesundheitsdienste (eHealth) – Ziele der EU:}}</ref> == Allgemeines == [[Datei:Telemedizin.ogv|mini|Telemedizin (Erklärvideo)]] Telemedizinische Verfahren werden in größerem Umfang seit den 1980er Jahren erprobt. Triebkraft zur Telemedizin ist eine räumliche Trennung von Arzt und Patient oder Arzt und Facharzt, wie in der [[w:de:Raumfahrt|Raumfahrt]] (hier auch Telemetrie), bei Expeditionen ([[w:de:Arktis|Arktis]], [[w:de:Antarktis|Antarktis]]) oder in militärischen Einsätzen. Auch großflächige Länder mit einer geringen Einwohnerzahl in entlegenen Gebieten haben früh einen Bedarf an telemedizinischen Anwendungen gesehen. Aus diesem Grund sind viele Forschungen in [[w:de:Norwegen|Norwegen]] erfolgt.<ref>T. J. Eide & I. Nordrum. 1994. ''Current status of telepathology.'' APMIS 102(12), S. 881–890.</ref> Neben der Telemedizin existieren auch andere Formen der Versorgung, wie die [[w:de:Royal Flying Doctor Service of Australia|Flying Doctors aus Australien]]. Gerade was die Versorgungsqualität angeht, bietet die telemedizinische [[w:de:Rehabilitation|Rehabilitation]] enorme Vorteile. Der Patient übt zu Hause unter Überwachung durch Therapeuten, die er bereits von seinem Aufenthalt in der [[w:de:Fachklinik|Fachklinik]] kennt. Mit der [[w:de:Telerehabilitation|Telerehabilitation]] ist auch außerhalb von Ballungsgebieten eine flächendeckende Reha-Nachsorge möglich. Fahrten zur Therapieeinrichtung entfallen. Patienten, die nach ihrer stationären Rehabilitationsmaßnahme bereits wieder berufstätig sind, können ihre Übungen bei freier Zeiteinteilung berufsbegleitend absolvieren.<ref>''Mit Telemedizin fit für die Zukunft.'' In: ''Kurzeitung'' vom August 2015, S. 36 ([https://docplayer.org/84999336-Mit-telemedizin-fit-fuer-die-zukunft.html docplayer.org]).</ref> In medizinisch gut versorgten Gebieten wird die Telemedizin mit dem Ziel der Qualitätsverbesserung zum Beispiel durch Einholung einer Zweitmeinung verwendet, außerdem zur Verbesserung der Lebensqualität der Patienten durch eingesparte Wege zum Arzt oder zur Vorbeugung von Notfällen durch apparative Beobachtung. Die Telemedizin kann damit eine Antwort auf die medizinischen Herausforderungen unserer Zeit geben, die durch Alterung der Gesellschaft und chronische Krankheiten geprägt ist. Der Einsatz von [[w:de:IKT|IKT]] im medizinischen Bereich wird bereits in einzelnen Projekten verwirklicht, findet allerdings nur in geringem Ausmaß den Weg in die Regelversorgung. Um den aktuellen medizinischen Herausforderungen gerecht zu werden, ist allerdings eine flächendeckende telemedizinische Versorgung der gesamten Bevölkerung notwendig.<ref>[[w:de:Bundesministerium des Innern|Bundesministerium des Innern]] vom Oktober 2013: {{Toter Link|url=http://www.bmi.bund.de/SharedDocs/Downloads/DE/Broschueren/2013/Studie%20Digitales%20Deutschland.pdf?__blob=publicationFile|text=IT-Planungsrat: Zukunftspfade Digitales Deutschland 2020}}</ref> Doch in die Regelversorgung übernommen worden seien bislang nur wenige Projekte. Telemedizin kann auch einen Beitrag zur Verbesserung der Aus-, Fort- und [[w:de:Weiterbildung|Weiterbildung]] leisten. Dass der Behandlungserfolg eben nicht nur auf verbesserten technischen Bedingungen beruht, wies unter anderem eine dreigeteilte randomisierte Studie des Group Health Center for Health Studies in [[w:de:Seattle|Seattle]] nach. Laut der Veröffentlichung im US-amerikanischen Ärztefachblatt [[w:de:Journal of the American Medical Association|JAMA]] vom Juni 2008 erfuhren nur die Patienten mit einer direkten persönlichen Internet-Beratung eine statistisch signifikante Steigerung des Therapieerfolgs (adjustiertes relatives Risiko auf eine verbesserte Blutdruckkontrolle: 3,32; 95-Prozent-Konfidenzintervall 1,86-5,94).<ref>[[w:de:Deutsches Ärzteblatt|Deutsches Ärzteblatt]] vom 25. Juni 2008: {{Webarchiv |url=https://www.aerzteblatt.de/nachrichten/32830 |text=Hypertonie: Auch im Internet entscheidet der persönliche Kontakt über den Therapieerfolg |wayback=20180729200537 |archiv-bot=2019-03-09 00:47:44 InternetArchiveBot}}</ref> In Anbetracht dieser und ähnlicher Forschungsbefunde ist eine „Substitution des für Heilungsverläufe sehr wichtigen persönlichen Arzt-Patient-Austausches durch die Telemedizin (…) weder sinnvoll geschweige denn ernsthaft gewollt.“<ref>Siehe Thomas Wink: ''Telemedizin – Entwicklungen, Anwendungsmöglichkeiten und wirtschaftliche Potenziale im gesundheitspolitischen Spannungsfeld von staatlicher Regulierung und Vermarktungsfähigkeit'', in: Philipp Plugmann (Hrsg.): ''Zukunftstrends und Marktpotenziale der Medizintechnik'', Berlin 2011, ISBN 978-3-89574-778-6, S. 90</ref> Telemedizin wird oft falsch verstanden, sie ist nicht der Einsatz von elektronischen Geräten und Software, sondern eine neue Behandlungsform, unter Einsatz eines neuen Mediums. Derartige Behandlungsverfahren müssen präzise definierten Regeln gehorchen und ihre Wirksamkeit muss nachgewiesen sein – nicht einfach nur technisch funktionieren. Neben den medizinischen und behandlungsrechtlichen Notwendigkeiten benötigen sie ein betriebswirtschaftliches Konzept für Leistungserbringer und Leistungsträger, das transparent, valide und nachvollziehbar gestaltet ist.<ref>DeviceMed vom 12. Januar 2015: [https://www.devicemed.de/beteiligung-an-deutschlands-erstem-erstattungsfaehigem-telemedizinanbieter-a-471608/ Beteiligung an Deutschlands erstem erstattungsfähigem Telemedizinanbieter]</ref> Es gibt neue Ansätze, bei denen das Kernelement eine persönliche und vertrauliche Interaktion zwischen Arzt/Therapeut und Patient ist, also bei der die Telemedizin unterstützt und hilft, die Behandlunginteraktion zwischen Behandler und Patient zu erweitern. Wie in jeder [[w:de:Arzt-Patient-Beziehung|Arzt-Patient-Beziehung]] ist das „Kümmern“ hierbei ein wichtiger Teil. Der 113. [[w:de:Deutscher Ärztetag|Deutsche Ärztetag]] erklärte: „Telemedizin unterstützt ärztliches Handeln – ersetzt es aber nicht!“ und stellte fest, „dass Telemedizin kein Instrument ist, ärztliche Kompetenz zu ersetzen“.<ref name="Bundesärztekammer">{{Internetquelle |url=https://www.bundesaerztekammer.de/aerztetag/beschlussprotokolle-ab-1996/113-daet-2010/top-v/telemedizin/1-voraussetzungen/ |titel=Zu Punkt V der Tagesordnung: Tätigkeitsbericht der Bundesärztekammer: 1. Voraussetzungen für gute Telemedizin |hrsg=Bundesärztekammer |abruf=2017-05-28}}</ref> Telemedizin ist kein Instrument, um Qualitätsstandards konventioneller medizinischer Behandlung zu unterlaufen. Telemedizinische Verfahren sollen nur dann zur Anwendung kommen, wenn konventionelle Methoden unter Berücksichtigung der spezifischen Anforderung des Verfahrens, des Orts und der Zeit der Inanspruchnahme nicht verfügbar sind oder nur mit einem unverhältnismäßig hohen Aufwand verfügbar gemacht werden können. Telemedizin und konventionelle Medizin bedürfen der [[w:de:Akzeptanz|Akzeptanz]] der beteiligten Ärzte und dürfen nicht als Gegensätze angesehen werden. Telemedizinische Anwendungen unterstützen ärztliches Handeln und sollten als ergänzende Bestandteile konventioneller Versorgungsszenarien angesehen werden, die wesentlich zur Steigerung der [[w:de:Versorgungsqualität|Versorgungsqualität]] beitragen können.<ref name="Bundesärztekammer" /> Zum 1. April 2017 wurde der [[w:de:Einheitlicher Bewertungsmaßstab|EBM]] um die Gebührenordnungspositionen (GOP) 01439 und 01450 bezüglich der Betreuung eines Patienten im Rahmen einer [[w:de:Videosprechstunde|Videosprechstunde]] erweitert. Zugleich wurde festgelegt, bei welchen Krankheitsbildern eine Videosprechstunde zur Verlaufskontrolle infrage kommt.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.iww.de/aaa/kassenabrechnung/ebm-2017-videosprechstunde-neue-ebm-nrn-ab-01042017-f102329 |titel=Videosprechstunde – Neue EBM-Nrn. ab 01.04.2017 |hrsg=Institut für Wissen in der Wirtschaft (IWW) |datum=2017-03-01 |abruf=2017-05-28}}</ref> Im Mai 2018 beschloss der Deutsche Ärztetag eine Änderung der Musterberufsordnung für Ärzte, die eine ausschließliche Fernbehandlung durch in Deutschland ansässige Mediziner über digitale Medien ermöglicht. Die ärztliche Sorgfalt bei Diagnostik, Beratung, Therapie und Dokumentation muss dabei gewährleistet sein, und Patienten müssen über die Online-Behandlung aufgeklärt werden.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.zeit.de/news/2018-05/10/aerztetag-lockert-regelung-fuer-online-behandlungen-180510-99-253792 |titel=Ärztetag lockert Regelung für Online-Behandlungen |werk=Zeit online |datum=2018-05-10 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20180511081712/https://www.zeit.de/news/2018-05/10/aerztetag-lockert-regelung-fuer-online-behandlungen-180510-99-253792 |archiv-datum=2018-05-11 |archiv-bot=2019-05-17 15:45:37 InternetArchiveBot |offline=1 |abruf=2018-05-10}}</ref> Im März 2020 wurde beschlossen, dass Ärzte ohne Mengenlimitierung auch telemedizinische Leistungen abrechnen können. Bis dahin durften Mediziner nur 20 Prozent ihrer Patienten per Video behandeln bis sich der Spitzenverband der gesetzlichen Krankenversicherung und die KBV darauf einigten, diese Obergrenze aufzuheben.<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Martin U. Müller|Martin U. Müller]], Hilmar Schmundt, Cornelia Schmergal, [[w:de:Marcel Rosenbach|Marcel Rosenbach]] DER SPIEGEL |url=https://www.spiegel.de/wissenschaft/medizin/das-coronavirus-modernisiert-das-gesundheitswesen-doktor-auf-distanz-a-00000000-0002-0001-0000-000170323275 |titel=Klick den Doc - DER SPIEGEL - Wissenschaft |werk=[[w:de:Der Spiegel|Der Spiegel]] |hrsg= |datum= |abruf=2020-04-10 |sprache=de}}</ref> == Anwendungsgebiete == * [[w:de:Telechirurgie|Telechirurgie]] * [[w:de:Teledermatologie|Teledermatologie]] * [[w:de:Telediagnostik|Telediagnostik]] * [[w:de:Telekardiologie|Telekardiologie]] * [[w:de:Telekonsultation|Telekonsultation]] * [[w:de:Telemetrie|Telemetrie]] * [[w:de:Telemonitoring|Telemonitoring]] * [[w:de:Teleneurologie|Teleneurologie]] * [[w:de:Teleoperation|Teleoperation]] * [[w:de:Telepathologie|Telepathologie]] * [[w:de:Telepsychiatrie|Telepsychiatrie]] * [[w:de:Teleradiologie|Teleradiologie]] * [[w:de:Telerehabilitation|Telerehabilitation]] * [[w:de:Teletherapie|Teletherapie]] == Herausforderungen == Die Telemedizin hat medizinische, technische, organisatorische, wirtschaftliche und rechtliche Herausforderungen sowie subjektive Bedenken zu bewältigen: === Medizinische Herausforderungen === Telemedizin ist nicht zwingend mit Telematik, aber immer mit Medizin in Verbindung zu bringen und hat deren Grundanforderungen zu erfüllen. Dazu gehört das Bestreben der verschiedenen Gesundheitsdiensteanbieter [wie z.&nbsp;B. Ärzte, mobile Pflegekräfte, Physiotherapeuten und die Vielzahl anderer Heilberufe], Gesundheit, also (laut [[w:de:Weltgesundheitsorganisation|Weltgesundheitsorganisation]]) einen "Zustand vollkommenen körperlichen, geistigen und sozialen Wohlbefindens und nicht die bloße Abwesenheit von Krankheit oder Gebrechen", für die zu betreuenden Patienten zu erhalten oder wiederherzustellen. Dabei kann es aus medizinischer Sicht zu einer örtlichen Arbeitsteilung kommen, wo z.&nbsp;B. Patient, untersuchende medizinische Fachkraft (wie z.&nbsp;B. ein [[w:de:Radiologie-Technologe|Radiologie-Technologe]]) und Facharzt nicht am gleichen Ort, wohl aber durch einen gemeinsamen medizinischen Behandlungsauftrag miteinander verbunden sind. Medizinisch ist hier wesentlich, dass die konkreten Aufgaben, Pflichten und Rechte für die verschiedenen beteiligten Berufsgruppen für den Patienten transparent definiert und qualitätsgesichert durchgeführt werden. Alle nachfolgend angeführten Teilaspekte sollen dazu beitragen, die medizinischen Kernprozesse dabei bestmöglich zu unterstützen. Durch den Einsatz von modernen Informations- und Kommunikationstechnologien sind zahlreiche neue Chancen, aber auch Risiken für diese Form der Medizin entstanden. Internet- und telemedizinisch-basierte Nachsorge: Untersuchung der Wirksamkeit der Nachsorgekonzepte IRENA und EvoCare-Teletherapie bei Patienten mit Erkrankungen des Bewegungsapparates in Bezug auf körperliche Parameter.<ref>Deutsche Rentenversicherung, Wissenschaftliche Veröffentlichung vom 11. März 2014, DRV-Schriften, Band 103, 23. Rehabilitationswissenschaftliches Kolloquium in Karlsruhe, Seite 268: [http://forschung.deutsche-rentenversicherung.de/ForschPortalWeb/ressource?key=tagungsband_23_reha_kolloqu.pdf Untersuchung der Wirksamkeit der Nachsorgekonzepte IRENA und EvoCare-Teletherapie bei Patienten mit Erkrankungen des Bewegungsapparates in Bezug auf körperliche Parameter] (PDF)</ref> Reha-Nachsorge für Zuhause: Studie belegt Wirksamkeit der [[w:de:Telerehabilitation|Tele-Reha-Nachsorge]] ist jetzt fakultativer Bestandteil der Versorgung von Orthopädie-Patienten der DRV Bayern Süd.<ref>zukunft jetzt - Das Magazin der Deutschen Rentenversicherung, Bayern Süd, Ausgabe 4/2014, Seite 23: {{Internetquelle |url=https://telemedizin.de/wp-content/uploads/2019/10/141201_drv_bayern_sued_zukunft_jetzt-1.pdf?s=B95B216069D6B0951313017A2D2263A39AC0D599 |titel=Reha-Nachsorge für Zuhause. Studie belegt Wirksamkeit der Tele-Reha |format=PDF |abruf=2019-10-31}}</ref> Der Medizinjournalist [[w:de:Martin U. Müller|Martin U. Müller]] sprach sich im April 2020 dafür aus, eine Art Zusatzbezeichnung für Ärzte einzuführen, die telemedizinisch Patienten behandeln. Es erfordere besondere Fertigkeiten, aus der Ferne etwa bestimmte Erkrankungen zu diagnostizieren.<ref>{{Internetquelle |autor=Christina Pohl, Olaf Heuser, DER SPIEGEL |url=https://www.spiegel.de/gesundheit/corona-was-digitale-arztbesuche-bringen-a-d0cd319e-e480-49dc-b5bd-c4a9913279b3 |titel=Podcast: Arztbesuche ohne Ansteckungsgefahr - DER SPIEGEL - Gesundheit |abruf=2020-04-10 |sprache=de}}</ref> === Technische Herausforderungen === Telemedizin bedeutet die Anwendung von Kommunikationsmitteln und beinhaltet damit die Anforderung von Interoperabilität zwischen den Kommunikationspartnern.<ref>[https://www.cinc.org/archives/2008/pdf/0257.pdf cinc.org] (PDF) M. Struck, S. Pramatarov, C. Weigand (2008): Method and System for Standardized and Platform Independent Medical Data Information Persistence in Telemedicine. IEEE Computers in Cardiology Proceedings. 35:257−260.</ref> Hier haben sich in den letzten Jahren z.&nbsp;B. [[w:de:Videokonferenz|Videokonferenz]]standards etabliert. Der technische Aufwand ist jedoch zum Teil groß, insbesondere, wenn radiologische Modalitäten (NMR) an weit entfernte Workstations und Archive mittels des [[w:de:DICOM|DICOM]] Standards angebunden werden müssen. Ein weiteres Problem ist die Datenqualität, die durch die Gewinnung der Daten, ihre Weiterleitung oder die Kompression von Daten verändert sein kann. Telemedizinische Verfahren sollten daher klinisch validiert sein. Aufgrund der äußerst einschränkenden Regelungen für die Vermittlung von [[w:de:Patientendaten|Patientendaten]] ist die Gewährleistung von [[w:de:Datenschutz|Datenschutz]] eine Herausforderung für die Telemedizin. Personenbezogene Daten dürfen in der Regel nur [[w:de:Anonymisierung|anonymisiert]] oder [[w:de:Pseudonymisierung|pseudonymisiert]] ausgetauscht werden. Technische Lösungen hierzu sind auch Verschlüsselungen des Datenstroms, die aber eine entsprechende Ausstattung bei Sender und Empfänger voraussetzen. Leichte Bedienbarkeit der Geräte wichtig: Eine weitere Hürde für Telemedizin stellt die Bedienbarkeit der dafür benötigten Technologien dar – insbesondere für ältere Menschen. Diese Gruppe hatte bisher nur relativ wenige Berührungspunkte mit solchen Geräten. Gerade bei chronisch Kranken ist dies von erheblicher Bedeutung, da die Patienten die entsprechenden Geräte selbstständig, meist in häuslicher Umgebung nutzen müssen. Vor allem ältere Menschen haben häufig Schwierigkeiten beim Sehen, Hören oder bei der Fingerfertigkeit. Dies muss bei der Gestaltung der Anzeigen und Bedienungselemente berücksichtigt werden. Zudem sind zusätzliche Kontrollen wichtig, um fehlerhafte Anwendungen zu vermeiden.<ref>[[w:de:Deutsche Bank|Deutsche Bank]] vom 27. Januar 2010: [http://www.dbresearch.de/MAIL/DBR_INTERNET_DE-PROD/PROD0000000000253251.pdf Telemedizin verbessert Patientenversorgung] (PDF)</ref> === Organisatorische Herausforderungen === Die Kommunikationspartner müssen Absprachen treffen, wie der [[w:de:Datenaustausch|Datenaustausch]] erfolgen soll. Bei synchroner Übertragung sind feste Zeiten zu vereinbaren. Dies ist im Klinikalltag nicht immer zu gewährleisten. Ebenso verlangt auch die Telekonsultation die [[w:de:Dokumentation|Dokumentation]], was u.&nbsp;U. zu Mehraufwand führt. Schlecht funktionierende Abläufe sind ein Hauptgrund für [[w:de:Behandlungsfehler|Behandlungsfehler]]. Seit langem ist bekannt, dass in der Medizin als "Handlungswissenschaft" die [[w:de:Prozessqualität|Prozessqualität]] (die Qualität der Behandlungsabläufe) wesentlich bedeutsamer für das Therapieergebnis ist als die [[w:de:Strukturqualität|Strukturqualität]] (beispielsweise die apparative Ausstattung einer Einrichtung). Dies bestätigen beispielsweise Analysen fehlerhafter Behandlungen, die sich in schätzungsweise 70 Prozent der Fälle auf eine ungenügende Prozessqualität zurückführen lassen. Insbesondere können Koordinationsprobleme zwischen den Beteiligten, Dokumentationsmängel, Überleitungsprobleme oder fehlende Therapieleitlinien zu Behandlungsfehlern führen. In den letzten Jahren haben strukturierte Vorgehenshilfen wie [[w:de:Medizinische Leitlinie|Leitlinien]] und sogenannte [[w:de:Behandlungspfad|Behandlungspfad]]e an Bedeutung gewonnen. Man verspricht sich von ihnen, dass sie die Qualität der Behandlungsabläufe erhöhen.<ref>[[w:de:Informationssystem der Gesundheitsberichterstattung des Bundes|Informationssystem der Gesundheitsberichterstattung des Bundes]] Gesundheit in Deutschland aus 2006 [http://www.gbe-bund.de/pdf/Kap4.3.4_Zertifizierung.pdf Qualitätsmanagement im Gesundheitswesen, 4.3.4 Zertifizierungen und Leitlinien] (PDF)</ref> Besonders wichtig ist es für die [[w:de:Leistungsträger (Sozialrecht)|Leistungsträger]] und [[w:de:Leistungserbringer|Leistungserbringer]], dass die Behandlung den gültigen [[w:de:Richtlinie|Richtlinie]]n, qualitätsgesicherten Prozessen und [[w:de:Zertifizierung|Zertifizierung]]en unterliegt.<ref>Kurzeitung vom August 2015, Seite 37–38: [https://docplayer.org/84999346-Dr-ing-achim-hein-wir-bringen-gesundheit-nach-hause.html Wir bringen Gesundheit nach Hause]</ref> === Wirtschaftliche Herausforderungen === Die Telemedizin verursacht Fixkosten (Kosten der Hard- und der Software) und Betriebskosten (Verbindungskosten, Personalkosten). Hier stellt sich die Frage, wer diese Kosten übernimmt. So stellen die Vergütung und die Abrechnung vielerorts noch ein Hemmnis für die Einführung von Telemedizin dar. Viele geförderte Projekte werden daher nach dem Förderungszeitraum nicht mehr betrieben. Für die Etablierung der Telemedizin ist, neben der Wirksamkeit, auch eine [[w:de:Wirtschaftlichkeit|Wirtschaftlichkeit]] zu belegen. Die EvoCare-Methode wurde von Kostenträgern – nach erfolgtem Wirksamkeits- und Wirtschaftlichkeitsbeleg – anerkannt und ist als Regelversorgung abrechnungsfähig. Sie ist die erste erstattungsfähige digitalisierte Gesundheitsleistung.<ref>PTA-News: GUB Investment Trust GmbH & Co. KGaA: GUB beteiligt sich an telemedizinischem Dienstleister und Softwareentwickler EvoCare, abgerufen am 21. September 2018([https://www.finanznachrichten.de/nachrichten-2018-09/44784892-pta-news-gub-investment-trust-gmbh-co-kgaa-gub-beteiligt-sich-an-telemedizinischem-dienstleister-und-softwareentwickler-evocare-015.htm finanznachrichten.de])/</ref> === Juristische Herausforderungen === Im Allgemeinen unterscheidet man eine „erste Meinung“ von einer ergänzenden Zweitmeinung. Während die Zweitmeinung rechtlich weniger Bedenken verursacht, kann eine rein auf Telemedizin abstützende Erstmeinung rechtlich problematisch sein. Eine solche Situation kann z.&nbsp;B. vorliegen, wenn kein Facharzt vor Ort ist und die Diagnose allein durch eine telemedizinische Konsultation von einem entfernten Facharzt durchgeführt wird. Die Datenqualität ist ebenfalls für die rechtliche Bewertung entscheidend. Daher sollte eine Validierung des Verfahrens durchgeführt werden.<ref>[https://www.faz.net/aktuell/gesellschaft/gesundheit/telemedizin-wird-in-deutschland-zum-alltag-12990869.html ''Zum Arzt, ohne zum Arzt zu gehen''.] ''Reine Ferndiagnosen sind verboten – wie lange noch?'' In: ''[[w:de:Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung|Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung]]'', 15. Juni 2014, S. 7</ref> Es ist umstritten, ob es ein [[w:de:Fernbehandlungsverbot|Fernbehandlungsverbot]] gibt. Das „Verbot der ausschließlichen [[w:de:Fernbehandlung|Fernbehandlung]]“ ist kein Gesetz, sondern Inhalt der Berufsordnung. Die Ursprünge liegen wohl in einem Reichsgesetz zur Bekämpfung von Geschlechtskrankheiten von 1927; es ging darum zu regeln, dass Ärzte Syphilis oder Tripper nicht aus der Ferne therapieren dürfen.<ref>{{Der Spiegel |ID=145529211 |Autor=[[w:de:Martin U. Müller|Martin U. Müller]] |Titel=Kontaktverbot im Web |Jahr=2016 |Nr=26 |Seiten=}}</ref> Heutzutage spielt vor allem der [[w:de:Datenschutz|Datenschutz]] eine große Rolle. == Deutschland == In [[w:de:Baden-Württemberg|Baden-Württemberg]] wurde, basierend auf einer Ausnahmeregelung der Ärztekammer Baden-Württemberg, das ''Labor für Telemedizin'' als Modellprojekt betrieben.<ref>[http://www.faz.net/aktuell/politik/telemedizin-in-deutschland-15508882.html ''In unmittelbarer Ferne''.] FAZ.net, 26. März 2018</ref> Inzwischen wurde das Verbot der Fernbehandlung bundesweit durch die Ärztekammer aufgehoben, sodass es keiner Ausnahmeregelung mehr bedarf. Nur entsprechende [[w:de:Psychotherapie|psychotherapeutische]] Leistungen können nicht über die gesetzlichen Krankenkassen abgerechnet werden. Auch diese Einschränkung wurde aufgrund der [[w:de:COVID-19-Pandemie|COVID-19-Pandemie]] im Jahr 2020 aufgehoben. Insbesondere im Bereich der Teledermatologie entstanden in den letzten Jahren in Deutschland einige Unternehmen, die teilweise in Zeiten der Covid-19-Pandemie kostenlos angeboten werden<ref>[https://www.nrz.de/staedte/duesseldorf/duesseldorfer-start-up-bietet-hautarzt-diagnose-per-app-id228972243.html ''Düsseldorfer Start-up bietet Hautarzt-Diagnose per App''.] nrz.de, 23. April 2020</ref>. == Schweiz == Vom 9. August 1999 bis zum 7. Juni 2018 bot das ''[[w:de:Universitätsspital Zürich|Universitätsspital Zürich]]'' (USZ) klinische Telemedizin und medizinische Onlineberatung im Internet an. Ein Ärzteteam beantwortete jährlich rund 2500 anonyme Fragen, in der Regel innerhalb von 24 bis 48 Stunden. Das Team bestand aus bis zu sechs Ärzten, die im USZ Fachärzte für klinische Telemedizin sind und über langjährige Erfahrung vor allem in der Inneren und Allgemeinmedizin verfügen. Im gesamten Zeitraum wurden 59360 Anfragen versendet und beantwortet.<ref>{{Literatur |Autor=Sabrina Heike Kessler, Sabine Schmidt-Weitmann |Titel=Diseases and Emotions: An Automated Content Analysis of Health Narratives in Inquiries to an Online Health Consultation Service |Sammelwerk=Health Communication |Datum=2019-10-04 |ISSN=1041-0236 |Seiten=1–10 |DOI=10.1080/10410236.2019.1673950}}</ref> Die Mehrheit der Nutzenden war weiblich und im Schnitt 38 Jahre alt. Im Laufe der Zeit begannen jedoch deutlich mehr Männer und ältere Menschen Anfragen zu stellen. Die Vielfalt der medizinischen Anfragen erstreckte sich über alle Kategorien der ''[[w:de:Internationale statistische Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme|internationalen statistischen Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme]]'' (ICD) und korrelierte mit der statistischen Häufigkeit von Krankheiten in den Krankenhäusern der Schweiz. Die meisten Anfragen betrafen nicht klassifizierte Symptome und Anzeichen, Dienstleistungen im Zusammenhang mit Fortpflanzung, Atemwegserkrankungen, Hautkrankheiten, Gesundheitsdienste, Erkrankungen des Augen- und Nervensystems, Verletzungen und Störungen des weiblichen Genitaltrakts. Wie beim schwedischen medizinischen Online-Beratungsdienst<ref>{{Literatur |Autor=G Umefjord, H Sandstrom, H Malker, G Petersson |Titel=Medical text-based consultations on the Internet: A 4-year study |Sammelwerk=International Journal of Medical Informatics |Band=77 |Nummer=2 |Datum=2008-02 |Seiten=114–121 |DOI=10.1016/j.ijmedinf.2007.01.009}}</ref> bezog sich ein Sechstel der Anfragen auf oftmals schambeladene und ''[[w:de:Stigmatisierung|stigmatisierte]]'' Erkrankungen der Genitalien, des Magen-Darm-Traktes, sexuell übertragbare Krankheiten, Fettleibigkeit und psychische Störungen. Durch die Bereitstellung eines anonymen Raumes, in dem die Nutzenden über (schambeladene) Krankheiten sprechen können, stärken medizinische Online-Beratungsdienste die Patienten und deren ''[[w:de:Gesundheitskompetenz|Gesundheitskompetenz]]'' wird durch die Bereitstellung von individuellen Gesundheitsinformationen gefördert. Der Service der Klinischen Telemedizin und Onlineberatung des Universitätsspitals Zürich wird aktuell überarbeitet und in Zukunft in einer neuen Form angeboten.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.usz.ch:80/Seiten/Telemedizin.aspx |titel=Willkommen am UniversitätsSpital Zürich |sprache=de-CH |abruf=2020-01-22}}</ref> == Siehe auch == * [[w:de:Verschwiegenheitspflicht|Verschwiegenheitspflicht]] * [[w:de:Elektronische Patientenkarte|Elektronische Patientenkarte]] * [[w:de:E-Health|E-Health]] * [[w:de:International Healthcare Modelling Standards Development Organisation|International Healthcare Modelling Standards Development Organisation]] == Literatur == * Erik Hahn: ''Telemedizin und Fernbehandlungsverbot – Eine Bestandsaufnahme zur aktuellen Entwicklung.'' In: ''Medizinrecht (MedR)'' 36, 2018, [[doi:10.1007/s00350-018-4932-x]], S. 384–391 ([http://link-springer-com-443.webvpn.jxutcm.edu.cn/content/pdf/10.1007%2Fs00350-018-4932-x.pdf link-springer-com-443.webvpn.jxutcm.edu.cn] PDF). * A. Gärtner: [http://www.baaske-medical.de/media/content/Teleneurology.pdf ''Teleneurologie und Anforderungen des Medizinproduktegesetzes (MPG)''.] (PDF; 757&nbsp;kB) Darstellung der Sicherheitsstandards gemäß dem Medizinproduktegesetz und der einschlägigen Normen unter Berücksichtigung der 3. Edition der IEC 601-1 für die Teleneurologie aus technischer Sicht. * Peter Haas: ''Gesundheitstelematik: Grundlagen, Anwendungen, Potenziale.'' Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-20740-6. * Erik Hahn, Marcel Reuter: ''„Virtual doctor“ – Ärztliche Beratung und Aufklärung via E-Mail.'' KU Gesundheitsmanagement 2011, Sonderheft IT im Krankenhaus, S. 26–29. * Achim Jäckel (Hrsg.): ''Telemedizinführer Deutschland.'' In: ''Jahrbuch der Telemedizin 2008.'' 9. Ausgabe, Bad Nauheim 2007, ISBN 978-3-937948-06-5. * {{Literatur |Autor=Sabrina Heike Kessler, Sabine Schmidt-Weitmann |Titel=Diseases and Emotions: An Automated Content Analysis of Health Narratives in Inquiries to an Online Health Consultation Service |Sammelwerk=Health Communication |Datum=2019 |ISSN=1041-0236 |Seiten=1–10 |DOI=10.1080/10410236.2019.1673950}} * Christian Link: ''Telemedizinische Anwendungen in Deutschland und in Frankreich – Eine rechtsvergleichende Untersuchung der Grundlagen und des Haftungsgefüges sowie des Internationalen Privatrechts'' – mit Zusammenfassung in französischer Sprache. Herbert Utz Verlag, München 2007, ISBN 978-3-8316-0731-0. * Andreas Menn: ''Wie Handys zu virtuellen Krankenpflegern werden.'' In: ''WirtschaftsWoche.'' 17/2011, S. 64–68 ([http://www.wiwo.de/technologie/gesundheit-wie-handys-zu-virtuellen-krankenpflegern-werden/5262268.html wiwo.de]). * Stephan Metzger: ''Rechtliche Aspekte und Perspektiven der Telemedizin – Unter besonderer Betrachtung des Vertragsrechts.'' Helbing&Lichtenhahn, Basel 2009, ISBN 978-3-7190-2880-0. * Reinhard Oeser: ''Projektmanagement aus Auftraggebersicht zur Umsetzung telemedizinischer Konzepte.'' Diplomarbeit TU-Wien (1999) [https://www.telemedizin.at/medizin/ Download] * Reinhard Oeser: ''Technologienabhängige Systembetrachtungsmethode zur Umsetzung telemedizinischer Konzepte.'' Dissertation TU-Wien (2001) [https://www.telemedizin.at/medizin/ Download] * Richard Wootton, Nivritti G. Patil, Richard E. Scott, Kendall Ho.: ''Telehealth in the Developing World.'' Royal Society of Medicine Press / IDRC, 2009, ISBN 978-1-85315-784-4 e-ISBN 978-1-55250-396-6 ([http://www.idrc.ca/en/ev-136734-201-1-DO_TOPIC.html idrc.ca]). * Christoph Wendelstein: ''Kollisionsrechtliche Probleme der Telemedizin – Zugleich ein Beitrag zur Koordination von Vertrag und Delikt auf der Ebene des europäischen Kollisionsrechts.'' Mohr Siebeck, Tübingen 2012, Dissertation Universität Passau, ISBN 978-3-16-152011-2. * Thomas Wink: ''Telemedizin – Entwicklungen, Anwendungsmöglichkeiten und wirtschaftliche Potenziale im gesundheitspolitischen Spannungsfeld von staatlicher Regulierung und Vermarktungsfähigkeit.'' In: Philipp Plugmann (Hrsg.): ''Zukunftstrends und Marktpotenziale der Medizintechnik.'' Berlin 2011, ISBN 978-3-89574-778-6, S. 73–96. == Weblinks == {{Wiktionary}} * [https://www.dgtelemed.de/ Website der Deutschen Gesellschaft für Telemedizin] * {{Toter Link|url=http://www.sgtm.ch/|text=Website der Schweizerischen Gesellschaft für Telemedizim und eHealth}} * [https://www.dtz-ev.de/ Website des Deutschen Telemedizin Zentrum e.&nbsp;V.] * [https://www.bundestag.de/blob/191840/f03a819a557bc16821678aa947afe076/telemedizin-data.pdf Telemedizin] (PDF; 61&nbsp;kB) in der Reihe ''Aktueller Begriff'' der Wissenschaftlichen Dienste vom 11. Mai 2011, Herausgeber: Deutscher Bundestag, Verfasser/in: Gerhard Deter, Goce Markovski * [http://www.telemedizinfuehrer.de/ Telemedizinführer Deutschland] * Telemedizin, Teleradiologie, Telekonsultation: Chancen und Risiken von IT in der Medizin, aus medizin&technik, Ausgabe 1/2014 {{Toter Link|url=http://www.medizin-und-technik.de/home/-/article/33568401/39036901?returnToFullPageURL=back|text=medizin-und-technik.de}} == Einzelnachweise == <references responsive /> {{Normdaten|TYP=s|GND=4491714-4|LCCN=sh/93/009003}} [[Kategorie:Gesundheitswesen]] [[Kategorie:Medizininformatik]] [[Kategorie:Telematik]] [[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]] [[nl:Telegeneeskunde]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Telemedizin Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Telemedizin Telemedizin] https://de.wikipedia.org/wiki/Telemedizin * Datum: 9.5.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Telemedizin Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Telemedizin Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Telemedicine]]</noinclude> 59b0euqp8v1xz1bp9eps9lg2qcbx76b 0 120124 1100398 1085525 2026-06-17T08:09:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100398 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem konstanten {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=F |\R^n | \R^n | x |v |SZ=, }} mit einem Vektor {{ Relationskette |v | \in | \R^n || || || |SZ= }} und einem {{ Definitionslink |affin-linearen Weg| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \gamma | [a,b] | \R^n | t | w+ tu |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | \int_\gamma F || \int_a^b {{op:Skalarprodukt| v |u}} dt || (b-a) {{op:Skalarprodukt| v |u}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jas11b0c22slz1zwi4u1o1lr3tg77n9 0 120247 1099923 1085016 2026-06-17T06:51:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099923 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Anfangswertproblem {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x | y}} ' || g(t,x,y) {{op:Spaltenvektor| 3 | 1}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |g(t,x,y) || t(x+y) || || || |SZ= }} und dem Anfangsvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 2 | 5}} |SZ=}} zum Zeitpunkt {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/R^n/Lösungsverfahren/Fakt |Nr= |SZ= }} müssen wir nach einer Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems {{ Relationskette/display | z' || h(t,z) | {{defeq|}} | t( 2+ 3z + 5 + z ) || t(4z+7) || 4tz + 7t |SZ= }} mit {{ Relationskette |z(0) || 0 || || || |SZ= }} suchen. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist {{mathl|term= e^{2t^2} |SZ=}} und die Lösungen sind {{ Math/display|term= - {{op:Bruch| 7 | 4}} +c e^{2t^2} |SZ=. }} Um das Anfangswertproblem zu lösen muss man {{ Relationskette |c || {{op:Bruch| 7 | 4}} || || || |SZ= }} nehmen. Deshalb ist {{ Relationskette/display | \gamma(t) || {{op:Spaltenvektor| 2 | 5}} + {{makl| - {{op:Bruch| 7 | 4}} + {{op:Bruch| 7 | 4}} e^{2t^2} |}} {{op:Spaltenvektor| 3 | 1}} || || || |SZ= }} die Lösung des Anfangwertproblems. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanter Richtung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jctpouzdcq8v5hacrloydoprz9dzqq 0 120251 1100035 1085141 2026-06-17T07:09:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100035 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' ||ty+1 || || || |SZ=. }} Die zugehörige homogene Differentialgleichung {{ Relationskette | y' ||ty || || || |SZ= }} hat die Lösung {{ Math/display|term= e^{ {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2} |SZ=, }} somit sind nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |SZ= }} die Lösungen der inhomogenen Gleichung gleich {{mathl|term= c(t) e^{ {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2} |SZ=,}} wobei {{math|term= c(t) |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= e^{ - {{op:Bruch| 1 | 2}} t^2} |SZ=}} ist. Diese Funktion ist aber nicht elementar integrierbar {{ Zusatz/Klammer |text=diese Funktion kommt auch beim sogenannten {{ Definitionslink |Fehlerintegral| |Kontext=| |SZ= }} vor| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0gpdh5djby03d2uz99ivm0d8goj3s8 0 120374 1099894 1084988 2026-06-17T06:46:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099894 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Rownia|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=4C |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=| |SZ=, }} wir stellen uns ihren Graphen als Profil vor, auf der sich ein Massekörper unter der konstanten Schwerkraft {{math|term= g |SZ=}} bewegt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Reibungsverlust| |ISZ=|ESZ=, }} man spricht von einer {{Stichwort|geführten Bewegung|msw=Geführte Bewegung|SZ=.}} Die Schwerkraft wirkt nach unten, für die Beschleunigung in Richtung der {{math|term= x |SZ=-}}Achse ist aber nur die tangentiale Komponente des Kraftvektors verantwortlich. Der Kraftvektor ist also für jeden Punkt {{mathl|term= (x,f(x)) |SZ=}} zu zerlegen in einen zur Tangente parallelen Anteil und einen dazu senkrechten Anteil {{ Zusatz/Klammer |text=letztere beschreibt die Kraft, die entgegengesetzt aufgewendet werden muss, dass die Bewegung in der vorgegebenen Bahn bleibt, sie ist für das Folgende unerheblich| |ISZ=|ESZ=. }} Dieses Kräftedreieck ist ähnlich zum Steigungsdreieck der Funktion in {{mathl|term= (x,f(x)) |SZ=.}} Im Steigungsdreieck ist die Länge der horizontalen Komponente gleich {{math|term= 1 |SZ=,}} die Länge der vertikalen Komponente gleich {{math|term= f'(x) |SZ=}} und die Hypotenuse hat die Länge {{mathl|term= \sqrt{1+f'(x)^2} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Steigungswinkel {{math|term= \alpha|SZ=}} ist {{ Relationskette/k |f'(x) || {{op:tan|\alpha|}} || || || |SZ=. }} | |ISZ=|ESZ= }} Im Kräftedreieck ist die Länge der Hypotenuse gleich {{math|term= g |SZ=,}} und wegen der Ähnlichkeit ergibt sich für die Stärke der tangentialen Kraft die Beziehung {{ Relationskette/display | F_{\operatorname{tang} } (x) || g {{op:Bruch|f'(x)| \sqrt{1+ f'(x)^2} }} || || || |SZ=. }} Vektoriell handel es sich um die Kraft {{ Math/display|term= -g {{op:Bruch|f'(x)| 1+ f'(x)^2 }} {{op:Spaltenvektor| 1 | - f'(x)}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=berechne dessen Norm| |ISZ=|ESZ=. }} Wir setzen die durch die Kraft bewirkte Bewegung {{ Zusatz/Klammer |text=eines Teilchens| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Graphen als {{ Relationskette/display |h(t) || {{op:Spaltenvektor| x(t)|f(x(t))}} || || || |SZ= }} an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen höherer Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7mmfkqe2my2xztn7omzn95ruhxe2co 0 120381 1100526 1085597 2026-06-17T10:23:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100526 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Wie im Kommentar zu {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Verbände/Produkt/Aufgabe |Nr= |SZ= }} erwähnt, fragt man sich bei jedem Konzept, wie sich das bei Produktmengen verhält. Bei der Äquivalenzrelation hat man dieselbe Frage. Es sei also {{math|term= (M_i, \sim_i),\ i\in I |SZ=,}} eine Familie der Mengen, wobei {{math|term= \sim_i |SZ=}} eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M_i |SZ=}} ist. Man betrachtet die Relation {{math|term=\sim|SZ=}}, die auf dem Produktmenge {{math|term=\prod_{i\in I} M_i |SZ=}} durch {{ Math/display|term= (x_i)_{i\in I}\sim (y_i)_{i\in I} \text{ genau dann, wenn } x_i \sim_i y_i \text{ für alle } i\in I |SZ= }} definiert wird. Natürlich fragt man sich, ob {{math|term=\sim|SZ=}} eine Äquivalenzrelation ist, und wenn ja, was dann die Äquivalenzklassen {{math|term=[(x_i)_{i\in I}] |SZ=}} sind und wie die Quotientenmenge {{math|term= \prod_{i\in I} M_i/\sim |SZ=}} aussieht. Dies sind keine schwierigen Fragen. Per Definition sieht man leicht, dass {{math|term=\sim|SZ=}} tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist und es gilt {{ Math/display|term= [(x_i)_{i\in I}]=\prod_{i\in I}[x_i] |SZ=. }} Für die letzte Frage betrachtet man die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | \prod_{i\in I} M_i | \prod_{i\in I} (M_i/\sim_i) |(x_i)_{i\in I}| ([x_i])_{i\in I} |SZ=, }} die offensichtlich surjektiv ist. Es ist klar, dass {{math|term=\sim|SZ=}} genau die durch {{math|term= f |SZ=}} definierte Äquivalenzrelation im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |SZ= }} ist. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildung/Äquivalenzrelation/Quotientenabbildung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\psi | \prod_{i\in I} M_i/\sim| \prod_{i\in I} (M_i/\sim_i) |SZ= }} bijektiv. Daher kann man die Quotientenmenge {{math|term= \prod_{i\in I} M_i/\sim |SZ=}} mit der Produktmenge {{math|term= \prod_{i\in I} (M_i/\sim_i) |SZ=}} identifizieren. Diese Aufgabe ist ein Spezialfall der obigen Beobachtung, wobei {{math|term=\sim_1 |SZ=}} die Gleichheit auf {{math|term= M |SZ=}} und {{math|term=\sim_2 |SZ=}} die Allrelation auf {{math|term= N |SZ=}} (siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Äquivalenzrelation/Klumpen/Beispiel |Nr= |SZ= }}) ist. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqwmx1b1qsogli2tjuzg3uvf5rdch4l 0 120401 1100133 1085238 2026-06-17T07:25:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100133 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Kraefte am Fadenpendel groß|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= Stündle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten ein Pendel. Das Pendel habe die Länge {{math|term= r |SZ=}} und sei im Punkt {{mathl|term= (0,r) |SZ=}} fest aufgehängt. Die Bahn des Pendels, also der Ort, wo der Endpunkt des Pendels schwingt, ist der Kreis mit diesem Mittelpunkt und dem Radius {{math|term= r |SZ=.}} Diese Bahn ist der Graph der Funktion {{ Relationskette/display | f(x) || r - \sqrt{r^2-x^2 } || || || |SZ=, }} und es handelt sich um eine geführte Bewegung im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt |Nr= |SZ=. }} Hier ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht als {{math|term= x(t) |SZ=}} anzusetzen, sondern als eine Bedingung für den {{ Zusatz/Klammer |text=Ausschlags-| |ISZ=|ESZ= }} Winkel der Bewegung, also als {{math|term= \alpha(t) |SZ=,}} wobei der Winkel zwischen dem vertikalen Lot und dem Auslenkungsfaden gemessen wird. Es besteht der Zusammenhang {{ Relationskette/display | x(t) || r {{op:sin|\alpha(t)||}} || || || |SZ=. }} Der Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} ist auch die Länge des Bogens, vom Tiefpunkt aus gemessen. Mit der Gravitationskraft {{math|term= g |SZ=}} ergibt sich die Differentialgleichung {{ Relationskette/display | \alpha^{\prime \prime} || - {{op:Bruch| g |r}} {{op:sin|\alpha|}} || || || |SZ=. }} Dies erhält man auch aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | f'(x) || {{op:Bruch| x | \sqrt{r^2-x^2}|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |f^{\prime \prime} (x) || {{op:Bruch|r^2| \sqrt{r^2-x^2}^3||}} || || || |SZ=. }} Die allgemeine Bewegungsgleichung {{ Relationskette/display | x^{\prime \prime} (t) || {{op:Bruch| -g f'(x(t)) - f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) (x'(t))^2 | 1+f'(x(t))^2}} || || || |SZ= }} wird in diesem Fall zu {{ Relationskette/align | x^{\prime \prime} || {{op:Bruch| -g {{op:Bruch| x | \sqrt{r^2-x^2}||}} - {{op:Bruch| x | \sqrt{r^2-x^2} }} \cdot {{op:Bruch|r^2| \sqrt{r^2-x^2}^3||}} x'^2 | 1+ {{op:Bruch| x^2| r^2-x^2 }} }} || {{op:Bruch| -g x \sqrt{r^2-x^2} - x \cdot {{op:Bruch|r^2| r^2-x^2||}} x'^2 | r^2 }} || - {{op:Bruch|g x \sqrt{r^2-x^2} | r^2 }} - \cdot {{op:Bruch| x x'^2 | r^2-x^2||}} || |SZ=. }} Mit {{ Relationskette/display | x(t) || r {{op:sin|\alpha(t)|}} || || || |SZ= }} ist die linke Seite gleich {{ Relationskette/display | x^{\prime \prime }(t) || {{makl| r {{op:sin|\alpha(t)|}} |}}^{\prime \prime } || r {{makl| {{op:cos|\alpha(t)|}} \cdot \alpha'(t) |}}^{\prime } || r {{makl| {{op:cos|\alpha(t)|}} \cdot \alpha^{\prime \prime} (t) - {{op:sin|\alpha(t)|}} \cdot \alpha'(t)^2 |}} || |SZ= }} und unter Verwendung von {{ Relationskette/display | f'(x(t)) || {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|}} | {{op:cos|\alpha(t)|}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f^{\prime \prime} (x(t)) || {{op:Bruch|r^2| \sqrt{r^2 - r^2 {{op:sin|\alpha(t) |exp=2}} }^3}} || {{op:Bruch| 1 | r {{op:cos|\alpha(t)|exp=3}} }} || || || |SZ= }} ist die rechte Seite gleich {{ Relationskette/align | {{op:Bruch| -g f'(x(t)) - f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) (x'(t))^2 | 1+f'(x(t))^2}} || {{op:Bruch| -g {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|}} | {{op:cos|\alpha(t)|}} }} - {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|}} | {{op:cos|\alpha(t)|}} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | r {{op:cos|\alpha(t)|exp=3}} }} r^2 {{makl| {{op:cos|\alpha(t)|exp=2}} |}} \alpha'(t)^2 | 1+ {{op:Bruch| {{op:sin|\alpha(t)|exp=2}} | {{op:cos|\alpha(t)|exp=2}} }} }} || -g {{op:sin|\alpha(t)|}} {{op:cos|\alpha(t)|}} - r {{op:sin|\alpha(t)|}} \alpha'(t)^2 || || |SZ=. }} Der Term {{mathl|term= - r {{op:sin|\alpha(t)|}} \alpha'(t)^2 |SZ=}} kommt beidseitig vor, also ist {{ Relationskette/display | r {{op:cos|\alpha(t)|}} \cdot \alpha^{\prime \prime} (t) || -g {{op:sin|\alpha(t)|}} {{op:cos|\alpha(t)|}} || || || |SZ= }} und Division durch {{math|term= r {{op:cos|\alpha(t)|}} |SZ=}} ergibt {{ Relationskette/display | \alpha^{\prime \prime} (t) || - {{op:Bruch| g | r |}} {{op:sin|\alpha(t)|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der geführten Bewegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fguwbsgsj5opunem6007v4rywvbdar 0 120408 1100591 1085670 2026-06-17T10:32:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100591 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Formel aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt |Nr= |SZ=, }} die die geführte Bewegung auf einem Funktionsgraphen im Gravitationsfeld beschreibt, kann man auch aus dem Energieerhaltungssatz ableiten. Die Energie des bewegten Teilchens setzt sich aus der Lageenergie und der Bewegungsenergie zusammen. Die Lageenergie ist dabei gleich {{math|term= m g f(x(t)) |SZ=,}} wobei {{math|term= m |SZ=}} die Masse des Teilchens ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Lageenergie wird also gleich {{math|term= 0 |SZ=}} bei der Höhe {{math|term= 0 |SZ=}} gesetzt| |ISZ=|ESZ= }} und die Bewegungsenergie ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} m {{op:Norm|h(t)|}}^2 |SZ=,}} wobei {{math|term= h(t) |SZ=}} die Gesamtbewegung auf dem Graphen beschreibt. Somit ist die Gesamtenergie gleich das {{math|term= m |SZ=-}}fache von {{ Relationskette/align | g f(x(t)) + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Norm|h(t)|}}^2 || g f(x(t)) + {{op:Bruch| 1 | 2}} \sqrt{ x'(t)^2 + f'(x(t))^2 x'(t)^2 }^2 || g f(x(t)) + {{op:Bruch| 1 | 2}} x'(t)^2 (1+ f'(x(t))^2) || || |SZ=. }} Da diese Energie unabhängig von {{math|term= t |SZ=}} ist, muss die Ableitung davon gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sein, also {{ Relationskette/align | 0 || g f'(x(t) ) x'(t) + x'(t) x^{\prime \prime} (t) + x'(t) x^{\prime \prime} (t) f'(x(t))^2 + f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) ( x'(t))^3 || x'(t) {{makl| g f'(x(t) ) + x^{\prime \prime} (t) + x^{\prime \prime} (t) f'(x(t))^2 + f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) ( x'(t))^2 |}} || || |SZ=. }} Wir ignorieren die konstanten Lösungen und erhalten {{ Relationskette/display | g f'(x(t) ) + x^{\prime \prime} (t) + x^{\prime \prime} (t) f'(x(t))^2 + f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) ( x'(t))^2 || 0 || || || |SZ=. }} was auf {{ Relationskette/display | x^{\prime \prime} (t) {{makl| 1+ f'(x(t))^2 |}} || - g f'(x(t) ) - f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) ( x'(t))^2 || || || |SZ= }} führt, also {{ Relationskette/display | x^{\prime \prime} (t) || {{op:Bruch| - g f'(x(t) ) - f'(x(t)) f^{\prime \prime} (x(t)) ( x'(t))^2 | 1+ f'(x(t))^2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der geführten Bewegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l69rge60qpcls80ux4h8udqx4tjtcvv 0 120427 1099912 1085003 2026-06-17T06:49:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099912 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |f(x) || ax || || || |SZ=. }} Dann wird die geführte Bewegung auf dem geraden Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=die schiefe Ebene, die eigentlich eine schiefe Gerade ist| |ISZ=|ESZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt |Nr= |SZ= }} durch die Differentialgleichung {{ Relationskette/display | x^{\prime \prime} (t) || {{op:Bruch| -ga | 1+a^2}} || || || |SZ= }} beschrieben, die Lösungen haben also die Form {{ Relationskette/display | x(t) || - {{op:Bruch| g | 2}} \cdot {{op:Bruch|a | 1+a^2}} t^2 +ct+d || || || |SZ= }} mit beliebigen {{ Relationskette |c,d | \in | \R || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der geführten Bewegung |Kategorie2=Theorie der reellen linearen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mutgigyamk6b3lsnu5note2lhoacg4x 0 120455 1100401 1038552 2026-06-17T08:09:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100401 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen wissen, wie viele Wörter {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von Buchstabenketten| |ISZ=|ESZ= }} man aus dem Wort {{Anführung|Homomorphismus}} bilden kann, derart, dass genau die vorgegebenen Buchstaben verwendet werden. Das Wort hat insgesamt {{math|term= 14 |SZ=}} Buchstaben, dabei kommen {{math|term= m |SZ=}} und {{math|term= o |SZ=}} dreimal, {{ mathkor|term1= h |und|term2= s |SZ= }} zweimal und {{mathl|term= r,p,i,u|SZ=}} einmal vor. Somit gibt es {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 14!| 3! 3! 2! 2!}} || {{op:Bruch| 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4| 6 \cdot 2 \cdot 2}} || 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 || || |SZ= }} Möglichkeiten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fydn0emjv6lcjritdzv6e1ke3gbe77q 0 120546 1100139 1085242 2026-06-17T07:26:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100139 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Person {{math|term= A |SZ=}} will von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| -1| 0}} |SZ=}} und Person {{math|term= B |SZ=}} will von {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | -1}} |SZ=.}} Dabei ist die Abstandsbedingung von {{math|term= 1 |SZ=}} einzuhalten, d.h. zu jedem Zeitpunkt muss der Abstand zwischen den beiden Personen zumindest {{math|term= 1 |SZ=}} betragen. Die Bewegungen sollen gleichzeitig stattfinden und die Bewegung von {{math|term= B |SZ=}} soll die um {{math|term= 90 |SZ=}} Grad gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Bewegung von {{math|term= A |SZ=}} sein. Beide Personen sind also gleichberechtigt. Wir interessieren uns für die Länge des Weges, die die beiden Personen zusammen zurücklegen. {{ inputbild |Curveswithdistance1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Bewegung von {{math|term= A |SZ=}} ist rot, die von {{math|term= B |SZ=}} ist blau, wo sich die Bewegungen zeitversetzt überschneiden, ist die Bewegung violett eingezeichnet. |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die runde Verbindung. Wenn sie sich beide auf dem Kreis mit Radius {{math|term= 1 |SZ=}} und dem Ursprung als Mittelpunkt bewegen, so halten sie konstant den Abstand {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} ein. Die Gesamtlänge des Weges beider Personen zusammen ist {{math|term= 2 \pi|SZ=.}} {{ inputbild |Curveswithdistance4|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die eckige Verbindung. {{math|term= A |SZ=}} geht linear nach {{math|term= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} |SZ=}} und von dort zum Ziel, {{math|term= B |SZ=}} läuft über {{math|term= {{op:Spaltenvektor| -1| 0}} |SZ=.}} Die Halbbewegung von {{math|term= A |SZ=}} wird somit durch {{ Relationskette/display | \gamma(t) || {{op:Spaltenvektor| 1 | 0}} + t {{op:Spaltenvektor| -1| 1}} || {{op:Spaltenvektor| 1-t|t}} || || |SZ= }} beschrieben, die von {{math|term= B |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | \varphi(t) || {{op:Spaltenvektor| 0 | 1}} + t {{op:Spaltenvektor| -1| -1}} || {{op:Spaltenvektor| -t| 1-t}} || || |SZ=. }} Der Abstandsvektor der beiden Punkte zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 1-t|t}} - {{op:Spaltenvektor| -t| 1-t}} || {{op:Spaltenvektor| 1 | 2t-1 }} || || || |SZ= }} mit dem Abstand {{math|term= \sqrt{2 -4t + 4t^2} |SZ=.}} Dieser ist stets {{math|term= \geq 1 |SZ=}} und bei {{ Relationskette |t || {{op:Bruch| 1 | 2}} || || || |SZ= }} genau gleich {{math|term= 1 |SZ=.}} Die insgesamt zurückgelegte Strecke ist {{ Relationskette/display | 4 \sqrt{2} | \sim | 5,657 || || || |SZ=, }} was kleiner als {{math|term= 2 \pi|SZ=}} ist. Die gierige Strategie {{ inputbild |Curveswithdistance2|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Beide Personen laufen direkt auf ihr jeweiliges Ziel zu, bis sie zueinander den Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} haben, und gehen dann in eine Kreisbewegung über, bis sie diese auf ihrer Achse wieder verlassen. Der innere Kreis ist dabei durch die Radiusbedingung {{ Relationskette/display | 2s^2 || 1 || || || |SZ= }} festgelegt, da ja die beiden um {{math|term= {{op:Bruch| \pi| 2}} |SZ=}} gedrehten Punkte den Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} haben müssen. Also ist {{ Relationskette/display |s || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} || || || |SZ=. }} Der Weg von {{math|term= A |SZ=}} besitzt somit die Länge {{ Relationskette/display | 2( 1 - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} ) + {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} \pi || 2 + {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2} }} ( \pi -2) | \sim | 2,801 || || |SZ=, }} der Weg der beiden Personen ist somit ungefähr {{mathl|term= 5,602 |SZ=.}} Optimale Strategie {{ inputbild |Curveswithdistance3|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Der innere Kreis von eben wird beibehalten, man nähert sich ihm aber tangential an. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ey074f3k79g3laqkcka06y5pwicvva6 0 120698 1100527 1034573 2026-06-17T10:23:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100527 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Insgesamt gibt es {{math|term= 16|SZ=}} Sachen zum Fressen. Eine Fressreihenfolge dieser Sachen kann man auffassen als eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\{ 1,2 {{kommadots|}} 16 \} | \{W,K,T,S\} || |SZ=, }} wobei die Fresssachen so oft getroffen werden, wie sie da sind. Somit gibt es {{ Relationskette/display | {{op:Multinomialkoeffizient/4| 16| 3 | 4 | 7 | 2 |}} || {{op:Bruch| 16 \cdot 15 \cdots 8| 3! 4! 2!}} || 15 \cdots 10 \cdot 4 || || |SZ=. }} |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hh358gwgfhyhbev8a7pt5su18fdnkdc 0 120733 1100528 1085598 2026-06-17T10:23:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100528 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Für die Stirling-Zahlen zweiter Art {{mathl|term= {{op:Partitionszahl| n |k}} |SZ=}} gilt generell, wenn {{math|term= k|SZ=}} nahe bei {{math|term= n|SZ=}} ist, wenn es also sehr viele Blöcke gibt, dass dann viele Blöcke einelementig sein müssen. Für diese gibt es dann keine Auswahl mehr. Man kann also diese Zahlen dadurch berechnen, dass man sich überlegt, welche Blockgrößen es überhaupt geben kann und wie viele Partitionen zu diesem Blocktyp gehören. Bei {{ Relationskette/display |k || n-2 || || || |SZ= }} gibt es anzahlmäßig zwei Möglichkeiten: Es gibt einen Block mit drei Elementen, alle weiteren Blöcke sind einelementig, oder es gibt zwei Blöcke mit jeweils zwei Elementen, und wieder sind alle weiteren Blöcke einelementig. Für den ersten Fall gibt es {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| n | 3}} || {{op:Bruch|n(n-1)(n-2)| 6}} || || || |SZ= }} Möglichkeiten. Dies ist ein Polynom vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Für den zweiten Fall muss man eine zweielementige Teilmenge aussuchen und dann aus den verbleibenden {{math|term= n-2|SZ=}} Elementen eine weitere zweielementige Teilmenge aussuchen, aber zusätzlich berücksichtigen, dass es auf die Reihenfolge der beiden zweielementigen Teilmengen nicht ankommt. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34r9wxn9erbbfdtiykz2n42kc6gs828 0 120765 1100529 1085599 2026-06-17T10:23:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100529 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Das Hauptproblem ist hierbei, sich die Situation klar zu machen, dass die Partitionen, die ja selbst Teilmengen der Potenzmenge sind, hier als Elemente einer neuen Menge betrachten werden. Das Bildchen zu {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Stirling-Zahl/2. Art/Partition/n ist 4/Beispiel |Nr= |SZ= }} gibt darüber einen guten Eindruck. Wenn man sich eine Partition als eine Aufteilung einer Personenmenge in Teams vorstellt, so liegt eine Verfeinerung genau dann vor, wenn die Teams der ersten Partition eventuell weiter aufgeteilt werden, ohne dass was zusammengeführt wird {{ Zusatz/Klammer |text=umgekehrt liegt eine Vergröberung der Partition vor, wenn Teams zusammengeschmissen werden| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist klar, dass eine Ordnung vorliegt. Zum Nachweis, dass ein Verband vorliegt, müssen wir die Rolle des Infimums verstehen. Es seien also zwei Partitionen gegeben, und wir suchen die {{Anführung|feinste gemeinsame Vergröberung|SZ=.}} Wir haben also zwei Teamaufteilung, die nichts miteinander zu tun haben, und diese Teams müssen jeweils als Ganzes in ein gemeinsames Team überführt werden. Wenn eine Teilmenge bei beiden Partitionen ein Team ist, kann man dieses Team direkt übernehmen. Wenn sich ein Team der ersten Aufteilung aus Teams der zweiten Aufteilung zusammensetzt, so müssen wir dieses Team übernehmen. Im Allgemeinen ist die neue Teambildung aber schwieriger. Wenn ein Team aus der ersten Aufteilung und ein Team aus der zweiten Aufteilung sich überschneiden, also ein gemeinsames Element haben, so müssen diese beide Teams als Ganzes zu einem neuen Team gehören. Diese Vereinigung kann auch um ein paar Ecken passieren. Deshalb ist der neue Block, der ein Element {{math|term= x|SZ=}} enthält, gleich {{ Relationskette/display | [x] || {{Mengebed| y \in M| \text{ es gibt Blöcke } A_1 {{kommadots|}} A_s \text{ von } P_1 \text{ und Blöcke } B_1 {{kommadots|}} B_{s-1} \text{ von } P_2 \text{ mit } x \in A_1 \text{ und } y \in A_s \text{ und } A_i \cap B_i \neq \emptyset }} || || || |SZ=. }} |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pait5r0v0p515i3wg5zrncnryrkhlq9 0 120951 1100707 1085819 2026-06-17T10:50:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100707 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ist z. B. {{math|term= R |SZ=}} durch ein in {{mathl|term= \Z[X] |SZ=}} irreduzibles Polynom {{math|term= F |SZ=}} gegeben, also {{ Relationskette |R || \Z[X]/(F) || || || |SZ=, }} so wird die {{Anführung|term=Faser|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=diese Terminologie lässt sich genauer begründen| |ISZ=|ESZ= }} über {{math|term= p |SZ=}} durch den Restklassenring{{mathl|term= ({{op:Zmod| p |}})[X]/(\overline{F}) |SZ=}} beschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=den wir auch den {{Stichwort|Faserring|SZ=}} über {{math|term= p |SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ=, }} wobei {{math|term= \overline{F} |SZ=}} bedeutet, dass man jeden Koeffizient von {{math|term= F |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der ja eine ganze Zahl ist| |ISZ=|ESZ= }} durch seine Restklasse in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} ersetzt. Dabei kann natürlich die Irreduzibilität des Polynoms verloren gehen, und dies beschreibt wichtige Eigenschaften von {{math|term= p |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=.}} Man beachte hierbei die Isomorphie {{ Relationskette/display | R/ pR | \cong| ({{op:Zmod| p |}})[X]/(\overline{F}) || || || |SZ=, }} die auf allgemeinen Gesetzen für Ideale beruht. Sie besagt insbesondere, dass {{math|term= p |SZ=}} ein Primelement in {{math|term= R |SZ=}} genau dann ist, wenn {{math|term= \overline{F} |SZ=}} irreduzibel in {{mathl|term= ({{op:Zmod| p |}})[X] |SZ=}} ist. Insgesamt liegt eine endliche Erweiterung {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| p |}} | \subseteq | ({{op:Zmod| p |}} )[X]/(\overline{F}) || || || |SZ= }} vor. Dabei sind beide Ringe endlich {{ Zusatz/Klammer |text=besitzen also nur endlich viele Elemente| |ISZ=|ESZ=, }} und links steht ein endlicher Körper, sodass die Erweiterung also sofort ein Vektorraum ist {{ Zusatz/Klammer |text=der selbst ein Körper sein kann, aber nicht muss| |ISZ=|ESZ= }} und eine gewisse Dimension besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich den Grad von {{math|term= \overline{F} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eugwc07d24euawf8p0laawpuqpfxqqo 0 120958 1099902 1094017 2026-06-17T06:47:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099902 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || \Z[x] || || |SZ= }} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | (X-1) {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=,}} der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{math|term= 1 |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 4 |SZ=.}} Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen {{ Relationskette | p | \neq | 5 || || || |SZ= }} versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei {{ Relationskette/display | v || x-x^2-x^3+x^4 || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zeigt {{ Relationskette | v^2 || 5 || || || |SZ=, }} d.h. es liegt ein Zwischenring {{ Relationskette/display | \Z | \subset | \Z[ \sqrt{5} ] | \subset | \Z[ {{op:Bruch| 1+ \sqrt{5}| 2}} ] || \Z[ x^3+x^2 ] ||S | \subset | \Z[x] || || |SZ= }} vor, wobei der Ganzheitsring zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} bestimmt wurde. {{parskip|}} Für {{ Relationskette/display | p || 1,4 \mod 5 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= p |SZ=.}} Über diesen Primzahlen liegen in {{math|term= S |SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} und dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von {{math|term= p |SZ=}} ab. {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 11 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= 1,3,4,5,9 |SZ=}} fünfte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod| 11|}} |SZ=}} und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Über {{math|term= (11) |SZ=}} liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} mit {{ Relationskette | p || 1 \mod 5 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 4 \mod 5 || || || |SZ= }} gibt es nur die {{math|term= 1 |SZ=}} als fünfte Einheitswurzel und es gilt {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 + {{op:Bruch| \sqrt{5} + 1| 2}} X+1 |}} {{makl| X^2 - {{op:Bruch| \sqrt{5} -1| 2}} X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei für {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} eine Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} einzusetzen ist. Bei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette | 9^2 || 5 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 2,3 \mod 5 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aber {{ Relationskette/k | p | \neq | 2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} kein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und somit ist {{ Relationskette/display | S/pS | \cong | {{op:Endlicher Körper| p^2|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} liegen über diesen Primidealen im Kreisteilungskörper jeweils nur ein Primideal mit dem Restekörper {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| p^4|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0uwtz94uu3keb6eigjrlnpoe5kswspr 0 120988 1100646 1085737 2026-06-17T10:40:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100646 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Relativity of Simultaneity|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Zwei Ereignisse {{math|term= A |SZ=}} und {{math|term= B |SZ=}} in einem zweidimensionalen Minkowskiraum, die für den Beobachter, dessen Raumachse mit {{math|term= x |SZ=}} und dessen Zeitachse mit {{math|term= ct |SZ=}} bezeichnet ist, gleichzeitig sind, aber nicht für den zweiten Beobachter mit den Achsen {{math|term= x' |SZ=}} und {{math|term= ct' |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Acdx |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Zu einer Vierergeschwindigkeit {{math|term= v |SZ=}} eines Beobachters {{math|term= B |SZ=}} mit der Zerlegung {{ Relationskette/display | V || V_v \oplus \R v || || || |SZ= }} nennt man die Punkte der Form {{mathl|term= sv + V_v|SZ=}} mit einem fixierten {{ Relationskette |s | \in |\R || || || |SZ= }} den Raum zum Zeitpunkt {{math|term= s |SZ=.}} Die Punkte daraus heißen gleichzeitig für den Beobachter {{math|term= B |SZ=.}} Für einen anderen Beobachter {{math|term= C |SZ=}} mit der Vierergeschwindigkeit {{math|term= w |SZ=}} sind diese Punkte nicht gleichzeitig. Sein Gleichzeitigkeitskonzept beruht auf seine, von {{math|term= w |SZ=}} abhängige Zerlegung der Welt {{math|term= V |SZ=}} in seine Raum- und Zeitkomponente. Wenn beispielsweise die zweite Vierergeschwindigkeit bezüglich einer Minkowski-Basis des ersten Beobachters durch {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 3 | 4}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 5 | 4}} }} |SZ=}} gegeben ist, so ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 15| 4}} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | 3}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 5}} }} , {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 0 | 0}} , {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 1 | 0}} |SZ= }} eine Orthonormalbasis der Raumkomponente des zweiten Beobachters. Die für den ersten Beobachter gleichzeitigen Ereignisse {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 0 | 0| 0 | 0}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0| 0}} |SZ= }} sind für den zweiten Beobachter nicht gleichzeitig, da der erste Vektor die gleiche Beschreibung besitzt und der zweite Vektor gleich {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0| 0}} || {{op:Bruch| 75| 16}} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 1 | 3}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 1 | 5}} }} - {{op:Bruch| 3 | 4}} {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| 3 | 4}} | 0 | 0| {{op:Bruch| 5 | 4}} }} || || || |SZ= }} ist. Seine Zeitkomponente bezüglich des zweiten Beobachtervektors ist also {{math|term= - {{op:Bruch| 3 | 4}} |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtiqziy0s6xn9ucxurja9g040wnwwf3 0 121047 1100551 1085623 2026-06-17T10:26:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100551 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Man kann den {{ Definitionslink |Divisor zu einem Ideal| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} auch durch {{ Relationskette/display | {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} || \operatorname{min} {{Mengebed| {{op:Hauptdivisor| f |}} |f \in {{ideala|}} | f \neq 0 }} || || || |SZ= }} definieren, wobei das Minimum über Divisoren komponentenweise erklärt ist. Es gibt im Allgemeinen kein Element, das an allen Primstellen simultan das Minimum annimmt. Da zu einem einzelnen Element {{ Relationskette | 0 |\neq|f | \in | {{ideala|}} || || |SZ= }} der zugehörige Hauptdivisor nur an endlich vielen Stellen von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist, gilt das erst recht für den Divisor zu einem Ideal. Die Ordnung {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung| {{ideala|}} | {{idealp}} }} |SZ=}} kann man auch als Ordnung des Ideals {{mathl|term= \operatorname{ord}( {{ideala|}} R_ {{idealp|}}) |SZ=}} im diskreten Bewertungsring {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} ansehen. Dabei ist {{mathl|term= {{ideala|}} R_ {{idealp|}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} in {{mathl|term= R_{{idealp}} |SZ=.}} Dieses Ideal hat einen Erzeuger {{math|term= p^k |SZ=,}} wobei {{math|term= p |SZ=}} ein Primelement im diskreten Bewertungsring ist; die Ordnung ist dann {{math|term= k |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p60xy86xun8l623ufqjllo9xwnczn84 0 121080 1100550 1085622 2026-06-17T10:26:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100550 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |gebrochenen Ideal| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealf|}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} nennt man {{ Relationskette/display | {{idealf|}}^{-1} | {{defeq|}} | {{Mengebed|q \in Q(R)| q \cdot {{idealf}} \subseteq R}} || || || |SZ= }} das zugehörige {{Stichwort|inverse gebrochene Ideal|SZ=.}} Es ist klar, dass dies ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedener {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= Q(R) |SZ=}} ist, die endliche Erzeugtheit ist etwas schwieriger zu zeigen. Zunächst beachte man, dass zu zwei gebrochenen Idealen mit der Beziehung {{ Relationskette | {{idealg|}} || r {{idealf|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |r | \in | Q(R) || || || |SZ= }} für die inversen Ideale die Beziehung {{ Relationskette | {{idealg|}}^{-1} || r^{-1} {{idealf|}}^{-1} || || || |SZ= }} gilt. Wenn nun {{math|term= {{idealf}} |SZ=}} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|a_1 |b_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|a_n |b_n }} |SZ=}} erzeugt wird, so ist {{ Relationskette | {{idealf|}} | \cong | {{op:Bruch| {{idealf|}} | a }} || {{idealg|}} || || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a || a_1 \cdots a_n || || || |SZ= }} und {{math|term= {{idealg}} |SZ=}} besitzt ein Erzeugendensystem der Form {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |c_1 }} {{kommadots}} {{op:Bruch| 1 |c_n }} |SZ=}} mit {{ Relationskette |c_i | \in | R || || || |SZ=. }} Die Bedingung {{ Relationskette/display |q {{op:Bruch| 1 |c_i }} | \in | R || || || |SZ= }} impliziert {{ Relationskette |q | \in | R || || || |SZ=. }} Daher ist das inverse gebrochene Ideal selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Für das {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Dedekindbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition |SZ= }} ist offenbar {{ Relationskette/display | {{idealf|}} \cdot {{idealf|}}^{-1} | \subseteq | R || || || |SZ=, }} es ist aber nicht unmittelbar klar, dass hier sogar Gleichheit gilt. Dies folgt daraus, dass man die Gleichheit lokal testen kann, die Produktbildung lokal ist und die Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mxirtgkdxk2s3o4fnjy1r1fc4ejv4np 0 121133 1100416 1085549 2026-06-17T08:12:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100416 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Relationskette/display | \Q | \subseteq | \Q[ \sqrt[3]{2}] || K | \subset | \R || || |SZ=. }} Der Ganzheitsring ist {{ Relationskette/display | \Z[ \sqrt[3]{2}] | \cong| \Z[X]/ {{makl| X^3-2 |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom {{mathl|term= X^3-2 |SZ=}} über {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und reell| |ISZ=|ESZ= }} nicht zerfällt. Oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} liegt das einzige Primideal {{mathl|term= (X) |SZ=.}} Für eine ungerade Primzahl {{math|term= p |SZ=}} mit {{ Relationskette | p || 2 \mod 3 || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= p-1 |und|term2= 3 |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=Z| |SZ= }} und daher ist die dritte Potenz {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| p |}} | {{op:Zmod| p |}} | z |z^3 |SZ=, }} eine Bijektion. Insbesondere besitzt die {{math|term= 2 |SZ=}} eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel {{math|term= a |SZ=}} und es gibt eine Faktorzerlegung {{ Relationskette/display | X^3-2 || {{makl| X-a |}} {{makl| X^2+bX+c |}} || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X] |SZ=,}} wobei der hintere Faktor {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} ist. Deshalb liegen über {{math|term= (p) |SZ=}} in der Erweiterung {{ Relationskette | \Z | \subseteq | \Z[ \sqrt[3]{2}] || || || |SZ= }} zwei Primideale. Deren Restekörper sind einerseits {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} und andererseits {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^2|}} |SZ=.}} Insbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette/display | 3^3 || 2 \mod 5 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |X^3-2 || X^3+3 || {{makl| X+2 |}} {{makl| X^2 + 3X + 4 |}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align/handlinks | \Z[ \sqrt[3]{2}] {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| 5 |}} || \Z[X]/ {{makl| X^3-2 |}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| 5 |}} || {{op:Zmod| 5 |}} [X]/ {{makl| X^3-2 |}} || {{op:Zmod| 5 |}} [X] /(X+2) \times {{op:Zmod| 5 |}} [X]/ {{makl| X^2 + 3X + 4 |}} | \cong| {{op:Zmod| 5 |}} \times {{op:Endlicher Körper| 25|}} |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | p || 1 \mod 3 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 3 |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= p-1 |SZ=}} und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=.}} Wenn die {{math|term= 2 |SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind. Wenn die {{math|term= 2 |SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit {{math|term= p^3 |SZ=}} Elementen ist. Es sei {{ Relationskette | p || 7 || || || |SZ=. }} Dritte Einheitswurzeln sind {{math|term= 1,2,4 |SZ=.}} Die andere dritte Potenz ist {{ Relationskette/display | 6 || 3^3 || 5^3 || 6^3 || |SZ=. }} D.h. {{math|term= 2 |SZ=}} ist keine dritte Potenz und {{mathl|term= {{op:Zmod| 7 |}}[X]/ {{makl| X^3-2 |}} |SZ=}} ist ein Körper mit {{math|term= 343 |SZ=}} Elementen. Es sei {{ Relationskette | p || 13 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 3, 9 |SZ=.}} Die weiteren dritten Potenzen sind {{mathl|term= -1=12, 8=2^3, 5=11^3 |SZ=,}} die {{math|term= 2 |SZ=}} ist also wieder keine dritte Potenz. Es sei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 7, 11 |SZ=.}} Die weiteren dritten Potenzen sind {{mathl|term= -1=18, 8=2^3, 7=4^3, 11= 5^3, 12= 10^3 |SZ=,}} die {{math|term= 2 |SZ=}} ist also wieder keine dritte Potenz. Es sei {{ Relationskette | p || 31 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 5, 25 |SZ=.}} Hier ist {{ Relationskette/display | 2 || 4^3 || 20^3 || 7^3 || |SZ=. }} D.h. es ist {{ Relationskette/align | \Z[ \sqrt[3]{2}] {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| 31|}} || \Z[ X]/ {{makl| X^3-2 |}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| 31|}} || {{op:Zmod| 31|}} [ X ]/ {{makl| X^3-2 |}} || {{op:Zmod| 31|}} [ X ]/(X-4) (X-7) (X-20) | \cong| {{op:Zmod| 31|}} \times {{op:Zmod| 31|}} \times {{op:Zmod| 31|}} |SZ=, }} die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| 31|}} |SZ=}} besitzen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49si9wt0jlazznc1887692ri6fwi48t 0 121176 1100530 1085600 2026-06-17T10:23:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100530 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Da wir es hier mit einer polynomialen Funktion zu tun haben, hat {{math|term= f|SZ=}} die Form {{ Relationskette/display | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || \sum_{\nu \in \N^n} a_\nu x^{\nu} || \sum_{\nu \in \N^n} a_\nu x_1^{\nu_1 } x_2^{\nu_2 } \cdots x_n^{\nu_n } || || |SZ=, }} wobei nur endlich viele der {{math|term=\nu|SZ=}} ungleich Null sind. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomfunktionen/R/Total differenzierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} sind diese total differenzierbar und nach {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert partielle Differenzierbarkeit/Jacobi-Matrix/Bemerkung |Nr= |SZ= }} stimmt das totale Differential mit der Jacobi-Matrix überein. Wir betrachten ein einfaches Beispiel in zwei Variablen. Sei {{math|term= f(x,y)=xy+x+y+1 |SZ=.}} Die Jacobi-Matrix ist dann durch {{math|term= (y+1, x+1) |SZ=}} gegeben und ist insbesondere im Punkt {{math|term= (0,0)|SZ=}} gleich {{math|term= (1,1)|SZ=}}. Wegen der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition der Differenzierbarkeit| |Definitionsseitenname= Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition |SZ= }} lässt sich {{math|term= f(v)|SZ=}}, mit {{math|term= v=(v_1,v_2)|SZ=}} aus einer Umgebung von {{math|term= (0,0)|SZ=}}, schreiben als {{ Math/display|term= f(v_1,v_2) = f(0,0) + (1,1)\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} + \lVert v \rVert r(v) |SZ=. }} Nach einsetzen aller bekannten Größen, erhalten wir {{ Math/display|term= v_1v_2+v_1+v_2+1 = 1 + v_1+v_2 + \lVert v \rVert r(v) |SZ=. }} Falls {{math|term= v\neq 0|SZ=}} ist liefert Auflösen nach {{math|term= r|SZ=}} {{ Math/display|term= r(v) = \frac{v_1v_2 }{\lVert v \rVert} |SZ=. }} Dass diese Funktion in {{math|term= 0|SZ=}} stetig fortgesetzt werden kann und dort auch gleich Null ist, folgt direkt aus der obigen Gleichung, da {{math|term= f|SZ=}} total differenzierbar und in Null stetig ist. Wir sehen also, dass die Funktion {{math|term= r|SZ=}} die Terme des Polynoms mit Grad größer als {{math|term= 1|SZ=}} beinhaltet und zusätzlich durch {{math|term=\lVert v\rVert|SZ=}} dividiert wird. Der affin lineare Teil des Polynoms {{ Zusatz/Klammer |text=Terme vom Grad kleiner oder gleich {{math|term= 1|SZ=}} |ISZ=|ESZ= }} werden durch die ersten beiden Summanden der linearen Approximation abgedeckt. Für ein allgemeines Polynom folgt das Ganze auf gleicher Art und Weise. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjxwohngw412bu00zryrwsy5hutoeaf 0 121220 1099674 838384 2026-06-16T17:36:46Z Bocardodarapti 2041 1099674 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Baum| |Kontext=Graph| |SZ= }} mit zumindest zwei Knotenpunkten. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Blatt| |Kontext=Graph| |SZ= }} des Graphen angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tg0yokpen1scbnbh2qypxu6eec23iha 0 121336 1100311 838189 2026-06-17T07:55:29Z Bocardodarapti 2041 1100311 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Spielzuggraphen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=}} zum Turm auf einem {{math|term= 3 \times 3 |SZ=-}}Schachbrett. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |linearen| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ Definitionslink |Spannbäume| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Spannbäume von {{math|term= G |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1mgpt4q93de332y40azzcbuhtlfdz1s 0 121356 1099787 960738 2026-06-17T06:30:13Z Bocardodarapti 2041 1099787 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |zusammenhängender| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= G |SZ=}} einen Unterbaum gibt, dessen Durchmesser ebenfalls {{math|term= d |SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= G |SZ=}} jeder {{ Definitionslink |aufspannende Baum| |Kontext=| |SZ= }} einen Durchmesser {{math|term= \geq d |SZ=}} besitzt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen zusammenhängenden Graphen {{math|term= G |SZ=}} derart, dass jeder {{ Definitionslink |aufspannende Baum| |Kontext=| |SZ= }} einen Durchmesser {{math|term= > d |SZ=}} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtwmxy0gimh8rfiffce7mrpb07dy2mn 0 121455 1100126 1085232 2026-06-17T07:24:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100126 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Simple paraboloid|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Babak. K. Shandiz |Domäne= |Lizenz=CC-by sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir zeigen direkt, dass die Funktion {{ Relationskette/display |f(x,y) || x^2+y^2 || || || |SZ= }} im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} ist, und zwar mit der Nullabbildung als totales Differential. Dazu muss man nur zeigen, dass in der Gleichung {{ Relationskette/display |f( (0,0) + (x,y)) || f(x,y) || x^2+y^2 || f(0,0) + 0 \cdot (x,y) + {{op:Norm|(x,y)|}} r(x,y) || {{op:Norm|(x,y)|}} r(x,y) || |SZ= }} die Funktion {{mathl|term= r(x,y) |SZ=}} die verlangten Eigenschaften besitzt. Wegen {{ Relationskette | {{op:Norm|(x,y)|}} || \sqrt{x^2+y^2} || || || |SZ= }} ist aber {{ Relationskette |r(x,y) || {{op:Bruch| x^2+y^2| \sqrt{x^2+y^2}}} || \sqrt{x^2+y^2} || || || |SZ= }} und diese Funktion ist stetig im Nullpunkt mit dem Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} av81nwlrhja4ewj26vqpb1a8jatfjju 0 121587 1100532 1085601 2026-06-17T10:24:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100532 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu {{math|f}} und {{math|g}} zu arbeiten. Die Jacobi-Matrix zu {{math|f}} ist gegeben durch {{ Relationskette/display/handlinks | \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || \left(\frac{\partial f_j }{\partial x_i }(P)\right)_{1\leq j\leq m,\atop 1\leq i\leq n} || {{op:Jacobimatrix| n | m | {{{f|f}}} | x | P}} || || || |SZ=. }} Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten {{math| x_1,\dots,x_n }} indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom {{math|n}}-dimensionalen in den {{math|m}}-dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor {{math|(x_1,\dots,x_n)}} von ''rechts'' an die Matrix dranmultiplizieren können. Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun {{ Relationskette/display | \operatorname{Jak}({{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Totale_Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Standardbasen_und_Jacobimatrix/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die zu zeigende Aussage lässt sich daraus direkt ableiten, denn {{math|\frac{\partial (g\circ f)_j }{\partial x_i }(P)}} ist ein Eintrag der Matrix {{math| \operatorname{Jak}({{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} )_P }}. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtyt8u526pushzsla5egbc012aywvbo 106 121869 1099652 1093529 2026-06-16T13:54:40Z Bocardodarapti 2041 1099652 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe|p||| |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe|p||| |N^2-1/Wann prim/Aufgabe|p||| |Ganze Zahl/Teilbarkeitsbedingungen/Bestimme/1/Aufgabe|p||| |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Zusammenhang zu Ringhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Endliche kommutative Ringe/4 Elemente/Multiplikation/Faseranzahltupel/Aufgabe|p||| |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|p||| |Vollständiger Graph/4 Knoten/Überschneidungsfrei/Aufgabe|p||| |Graph/Schach/Turm/Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Endliche Ringe/Nullteilergraph/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} h6es8wrytjn0rs0asruorw1ihilodia 106 121871 1099805 1093840 2026-06-17T06:32:49Z Bocardodarapti 2041 1099805 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe|p||| |Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe|p||| |Eissorten/Auswahl/Lucy/Aufgabe|p||| |Körper/Potenzen/Multiplikationen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Vier Geraden/Zwei Schnittpunkte/Raum und Ebene/Aufgabe|p||| |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/15 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/Teilerfremd/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelationen/Isomorph/Einzeln ordnungstreu/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Linearer Graph/7/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|p||| |Graph/Durchmesser/Aufspannender Baum/Aufgabe|p||| |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ksuslkxra3vrsl0vo6kndozhzrj1rup 106 121948 1099673 1093522 2026-06-16T17:35:09Z Bocardodarapti 2041 1099673 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Grad/Doppelt/Aufgabe|p||| |Pfadgraph/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|p||| |Baum/Blatt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} r1sxfg7rv5tii709hz4w3etdviqi6mv 106 121956 1099670 1093515 2026-06-16T17:31:05Z Bocardodarapti 2041 1099670 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p||| |Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|p||| |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Konjugierte Matrix/Überführung/Aufgabe|p||| |Nullteilergraph/Z_mod_10/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Baum/Numerische Formel/Kein Baum/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} lkvmhaez32c38jfgxajo3gs8pzlmnp6 1099671 1099670 2026-06-16T17:31:26Z Bocardodarapti 2041 1099671 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p||| |Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|p||| |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Konjugierte Matrix/Überführung/Aufgabe|p||| |Nullteilergraph/Z_mod_10/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Baum/Numerische Formel/Kein Baum/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pwcw4wkgqv6en3tfgtafowrg8g5j58d 106 122138 1099664 889593 2026-06-16T15:48:34Z Bocardodarapti 2041 1099664 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Lemma von Gauß (Z)/Eisenstein-Kriterium/Einführung/Textabschnitt|Eisenstein-Kriterium]] *[[Zahlentheorie/Euklidischer Bereich/Einführung/Textabschnitt|Euklidische Bereiche]] *[[Zahlentheorie/Gaußsche Zahlen/Bild/Primfaktorlinks|Primfaktorzerlegung in {{math|term=\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}}]] *[[Modultheorie (kommutative Algebra)/Einführung/Textabschnitt|Moduln]] *[[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt|Spektrumsabbildung bei Ganzheit]] *[[Spur/Kommutativer Ring/Matrix/Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|Spur]] *[[Ganzzahlige Matrix/Determinante/Restklassengruppe/Textabschnitt|Ganzzahlige Matrizen]] *[[Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt|Separabilität]] *[[Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt|Differentiale]] *[[Restklassenring/Z/Quadratische Reste/Ergänzungssätze/Einführung/Textabschnitt|Quadratreste]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/1/Klausur|Klausur]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/b/Klausur|Nachklausur]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Hilfsstruktur]]</noinclude> sapuq8keuwjg1o11lcq5unujsc17y33 0 122500 1099961 1097137 2026-06-17T06:57:44Z Bocardodarapti 2041 1099961 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Bull graph.circo|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Bull_graph.circo |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |SZ= }} des abgebildeten Stiergraphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yqky7kexy6nj4c5begstr1qscrafs4 0 122569 1100533 1085602 2026-06-17T10:24:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100533 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Definitionslink |Prämath= |Definition des Tangentialraums| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} ist er in einem Punkt {{math|term= P|SZ=}} definiert, in dem das totale Differential der {{math|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=}} surjektiv ist und gehört zu der Faser {{math|term= Y|SZ=}} durch {{math|term= P|SZ=}}. Insbesondere ist wegen der Surjektivität {{math|term= P|SZ=}} dann ein regulärer Punkt und es muss {{math|term= m\le n|SZ=}} sein. Der Tangentialraum an {{math|term= Y|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} ist gegeben durch (in der affinen Darstellung wie in der Vorlesung 54 nach {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} besprochen) {{ Relationskette/display | P+ {{op:Kern| {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} || {{Mengebed|P+v| {{op:Totales Differential|\varphi| P |v}} {{=|}} 0 }} || || || |SZ=. }} Jetzt ist ein Diffeomorphismus {{math|term= U\subseteq \R^{n-m}, \psi\colon U\to \R^n |SZ=}} gegeben, dessen Bild die Faser {{math|term= Y|SZ=}} in einer Umgebung um {{math|term= P|SZ=}} ist. Der Punkt, der von ihr auf {{math|term= P|SZ=}} abgebildet wird, wird {{math|term= Q|SZ=}} genannt, d.h. {{math|term=\psi(Q)=P|SZ=.}} Wir sollen nun zeigen, dass der obige Tangentialraum mit Hilfe des Differentials von {{math|term=\psi|SZ=}} im Punkt {{math|term= Q|SZ=}} beschrieben werden kann. Intuitiv kann es schnell eingesehen werden, da bereits in der Vorlesung der Tangentialraum einer Faser im entsprechenden Punkt als die lineare Approximation dieser Faser nahe des Punktes verstanden werden kann. Jetzt beschreibt {{math|term=\psi|SZ=}} gerade die Faser nahe {{math|term= P|SZ=}} und das totale Differential einer Funktion haben wir als lineare Approximation dieser Funktion nahe des Punktes kennengelernt. Von daher macht es Sinn, dass der Tangentialraum und das totalen Differntial von {{math|term=\psi|SZ=}} eng zusammen hängen. Wir machen das jetzt aber etwas exakter. Wir wollen zeigen, dass der obige Tangentialraum auch durch {{ Math/display|term= {{Mengebed|P+ {{op:Totales Differential| \psi| Q |u}} | u \in \R^{n-m} }} |SZ= }} gegeben ist. Das heißt, die Vektoren aus dem Kern von {{math|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=}} werden durch Vektoren aus dem Bild von {{math|term= {{op:Totales Differential| \psi|Q}} |SZ=}} ersetzt. Zwei Fragen stellen sich nun. Sind Bildvektoren von {{math|term= {{op:Totales Differential| \psi|Q}} |SZ=}} immer Kernvektoren von {{math|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=?}} Und wenn ja, sind dadurch alle Kernvektoren beschrieben, oder gibt es welche die nicht durch Abbilden mit {{math|term= {{op:Totales Differential| \psi|Q}} |SZ=}} getroffen werden? Zur ersten Frage nutzen wir, dass {{math|term=\psi|SZ=}} in die Faser {{math|term= Y|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=}} abbildet. Da {{math|term=\varphi|SZ=}} ausgewertet an einem beliebigen Punkt {{math|term= x \in Y|SZ=}} immer den selben Wert ergibt, sagen wir {{math|term= a|SZ=,}} haben wir {{ Math/display|term= \varphi(\psi(v)) = a |SZ= }} für alle {{math|term= v \in U|SZ=}} und deshalb wegen der Kettenregel insbesondere {{ Math/display|term= {{op:Totales Differential|\varphi| \psi(Q)}} \circ {{op:Totales Differential| \psi|Q}} = 0 |SZ=, }} also die Nullabbildung. Jeder Bildvektor von {{math|term= {{op:Totales Differential| \psi|Q}} |SZ=}} wird von {{math|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=}} auf Null geschickt und ist deshalb im Kern von {{math|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=.}} Dass das nun auch alle Vektoren im Kern abdeckt folgt daraus, dass {{math|term=\psi|SZ=}} ein Diffeomorphismus ist. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass {{math|term= {{op:Totales Differential| \psi|Q}} |SZ=}} regulär und als Abbildung von {{math|term=\R^{n-m}\to \R^{n}|SZ=}} injektiv sein muss {{ Zusatz/Klammer |text=wir haben {{math|term= n-m\le n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Das Bild von {{math|term=\psi|SZ=}} hat demnach Dimension {{math|term= n-m|SZ=.}} Welche Dimension hat der Kern von {{math|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=?}} Sind wir dann fertig? |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ck98tv7n3n6vqvh5s1035ao3nut1xx 0 122663 1100703 1074809 2026-06-17T10:50:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100703 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild | 3page K5|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=3page_K5 |Text= |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Man platziert die Punkte auf einer Geraden und betrachtet im Raum hinreichend viele Halbebenen {{ Zusatz/Klammer |text=Seiten eines Buches| |ISZ=|ESZ=, }} die an dieser Geraden anliegen. Jetzt kann für jedes Punktepaar, das man verbinden möchte, einen Verbindungsbogen in einer dafür gewählten Halbebene zeichnen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der geometrischen Realisierung von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2zc8hgd6eqn8uf9irqxcu09fsks0kt 0 123076 1100270 1085402 2026-06-17T07:48:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100270 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und die offene Kreisscheibe {{mathl|term= {{op:Offener Ball| 0 | 1}} |SZ=}} sind nicht {{ Definitionslink |biholomorph| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ=, }} da jede {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | {{CC|}} | {{op:Offener Ball| 0 | 1}} || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Liouville/Fakt |Nr= |SZ= }} konstant ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bim9frf2pxzl7lnlecm192howbn13v7 0 123109 1100172 1085301 2026-06-17T07:32:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100172 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display | {{CC|}} | \subseteq | {{CC|}} \cup \{\infty\} || {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || || |SZ=. }} Jedes nichtkonstante Polynom {{math|term= p |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgefasst als holomorphe Funktion auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt die Eigenschaft, dass der Limes {{mathl|term= {{op:Funktionslimes| {{op:Betrag| z ||}} | \infty | {{op:Betrag|p(z)|}} ||}} |SZ=}} bestimmt gegen unendlich divergiert {{ Zusatz/Klammer |text=siehe den Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist jedes Polynom eine {{ Definitionslink |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} auf der projektiven Geraden. Es folgt, dass überhaupt jede {{ Definitionslink |rationale Funktion| |SZ= }} {{math|term= P/Q |SZ=}} eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden definiert. D.h. der Körper der rationalen Funktionen {{math|term= {{CC|}} (T) |SZ=}} ist im Körper der meromorphen Funktionen auf der projektiven Geraden enthalten. In {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Gerade/C/Meromorphe Funktion/Rational/Fakt |Nr= |SZ= }} werden wir sehen, dass hier sogar Gleichheit gilt. Es ist andererseits einfach, meromorphe und auch holomorphe Funktionen auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} anzugeben, die auf der projektiven Geraden nicht meromorph sind. Beispielsweise definieren die komplexe Exponentialfunktion oder die komplexe Sinusfunktion keine meromorphe Funktion auf {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=,}} da diese Funktionen für {{mathl|term= {{op:Betrag| z |}} \rightarrow \infty |SZ=}} kein einheitliches Limesverhalten haben {{ Zusatz/Klammer |text=also weder gegen eine feste Zahl noch gegen unendlich gehen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojpc1eyby0cs4jdjdlqmv7qynlb8zii 0 123173 1100200 1037664 2026-06-17T07:37:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100200 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R|\R_{\geq 0} | x | x^2 |SZ=, }} ist eigentlich und hat nur endliche Fasern, ist also {{ Definitionslink |endlich| |Kontext=stetige Abbildung| |SZ=. }} Die Eigentlichkeit beruht hier darauf, dass kompakte Mengen in {{math|term= \R|SZ=}} oder in {{math|term= \R_{\geq 0} |SZ=}} beschränkt und abgeschlossen sind und dass Urbilder beschränkter Mengen unter der Quadrierungsabbildung wieder beschränkt sind. Wenn man beispielsweise die {{math|term= -1 |SZ=}} aus dem Definitionsbereich herausnimmt, so geht die Eigentlichkeit verloren. Beispielsweise ist das Urbild der kompakten Teilmenge {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} die Menge {{mathl|term= ]-1,1] |SZ=,}} die wegen der fehlenden Grenze links nicht mehr kompakt ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Quadratabbildung |Kategorie2=Theorie der endlichen stetigen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o9ar92r209mifrd912x7jbazv7kzts7 0 123232 1099985 1085088 2026-06-17T07:01:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099985 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die holomorphe Funktion {{ Relationskette |a_0(z) || z || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und dazu das Polynom {{mathl|term= t^n-z|SZ=.}} Das Nullstellengebilde {{ Relationskette/display |V || V(t^n-z) | \subseteq | {{CC|}} \times {{CC}} || || || |SZ= }} ist überall glatt und steht direkt in einer Bijektion {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}} | V | t | (t^n,t) |SZ=, }} die biholomorph wird, wenn {{math|term= V |SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Holomorphe zweite Projektion/Fakt |Nr= |SZ= }} als eine riemannsche Fläche aufgefasst wird. Die Umkehrabbildung ist die zweite Projektion auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Das {{ Definitionslink |unverzweigte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{CC}} \setminus \{0\} | \cong| V \setminus \{0,0\} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0s5errlpb1cf25ja0okd4dntc1la5x 0 123240 1099984 1085086 2026-06-17T07:01:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099984 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Cusp|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette |a_0(z) || z^3 || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und dazu das Polynom {{ Relationskette/display |t^2- a_0(z) || t^2-z^3 || || || |SZ=. }} Das Nullstellengebilde {{ Relationskette/display |V || V(t^2-z^3) | \subset | {{CC|}} \times {{CC}} || || || |SZ= }} nennt man die {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} Die partiellen Ableitungen sind {{ mathkor|term1= 2t |bzw.|term2= 3z^2 |SZ=, }} somit ist {{math|term= (0,0) |SZ=}} der einzige singuläre Punkt und das {{ Definitionslink |glatte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} ist {{ Relationskette |W || V \setminus \{ (0,0) \} || || || |SZ=. }} Zu {{ Relationskette |z |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es oberhalb von {{math|term= z |SZ=}} die beiden Punkte {{mathl|term= \pm \sqrt{z^3} |SZ=}} und daher stimmt das glatte Nullstellengebilde mit dem {{ Definitionslink |unverzweigten Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ropa07dtockse87s4l0zyzd8blin5n2 0 123317 1100622 1035304 2026-06-17T10:36:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100622 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Reell-lineare Abbildung von {{ Relationskette | {{CC|}} || \R^2 || || || |SZ= }} auf sich selbst werden bezüglich der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ= }} durch eine {{math|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22| r | s | t |u}} |SZ=}} beschrieben. Die Zerlegung im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| r | s | t |u}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Matrix22|r+u| -t+s|t-s|r+u}} + {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Matrix22|r-u|t+s|t+s| -r+u}} || || || |SZ=. }} Die Matrix ist genau dann komplex-linear, wenn sie die Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| a | -b| b |a}} |SZ= }} besitzt, wenn also eine Multiplikation mit der komplexen Zahl {{mathl|term= a+b {{imaginäre Einheit|}} |SZ=}} vorliegt, und komplex-antilinear genau dann, wenn sie die Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| a | b |b| -a}} |SZ= }} besitzt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der antilinearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36kll399a25laq5825o4py4adiw264m 0 123715 1099910 1085002 2026-06-17T06:49:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099910 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur konstanten Folge {{ Relationskette |a_n || 1 || || || |SZ= }} gehört als {{ Definitionslink |erzeugende Funktion| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionslink |geometrische Reihe| |Kontext=C| |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{n =0}^\infty z^n |SZ=.}} Diese stellt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} auf der offenen Einheitskreisscheibe die {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 1-z}} |SZ=}} dar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die geometrische Reihe |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hr8nvt0ewgvtq20p5y613h0tvxibs43 0 123718 1100104 1085204 2026-06-17T07:21:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100104 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Folge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette |a_n || n || || || |SZ= }} gehört als {{ Definitionslink |erzeugende Funktion| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{n = 0}^\infty n z^n |SZ=.}} Diese Reihe ist gleich {{math|term= z |SZ=}} mal der Ableitung der geometrischen Reihe, also gleich {{ Relationskette/display | z \cdot {{makl| \sum_{n {{=|}} 0}^\infty z^n |}}' || z \cdot {{makl| {{op:Bruch| 1 | 1-z}} |}}' || || || |SZ=. }} Es ist ja {{ Relationskette | {{makl| \sum_{n {{=|}} 0}^\infty z^n |}}' || \sum_{n {{=|}} 1}^\infty n z^{n-1} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 1-z}} |}}' || {{op:Bruch| 1 |(1-z)^2}} || || || |SZ= }} stellt die erzeugende Funktion zu den natürlichen Zahlen die rationale Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch| z |(1-z)^2}} |SZ=}} dar. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 39utifrfpkwwr9q5hmxt3r6qvdyl1cn 0 123740 1100162 1085290 2026-06-17T07:30:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100162 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir werten {{ Faktlink |Faktseitenname= Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Fakt |Nr= |SZ= }} für kleine Exponenten {{math|term= d |SZ=}} unter Verwendung der Bernoulli-Zahlen aus. Für {{ Relationskette |d || 1 || || || |SZ= }} liefert die Formel {{ Relationskette/align | \sum_{k {{=|}} 0}^{N-1} k || 0+1+2 {{plusdots}} (N-1) || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| {{op:Binomialkoeffizient| 2 | 1}} B_{1} N^{1 } + B_0 N^2 |}} || - {{op:Bruch| 1 | 2}} N + {{op:Bruch| 1 | 2}} N^2 || {{op:Bruch| 1 | 2}} N(N-1) || |SZ=, }} was die Formel von Gauß für die Summe der ersten Zahlen ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Für {{ Relationskette |d || 2 || || || |SZ= }} liefert die Formel {{ Relationskette/align | \sum_{k {{=|}} 0}^{N-1} k^2 || {{op:Bruch| 1 | 3}} \sum_{j {{=|}} 1}^{ 3} {{op:Binomialkoeffizient| 3 |j}} B_{3-j} N^{j } || B_2 N + B_1 N^2 + {{op:Bruch| 1 | 3}} B_0 N^3 || {{op:Bruch| 1 | 6}} N - {{op:Bruch| 1 | 2}} N^2 + {{op:Bruch| 1 | 3}} N^3 || {{op:Bruch|N (1-3N+2N^2 )| 6}} || {{op:Bruch|N (N-1)( 2N-1) )| 6}} |SZ=, }} vergleiche auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Zweite Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Für {{ Relationskette |d || 3 || || || |SZ= }} liefert die Formel {{ Relationskette/align | \sum_{k {{=|}} 0}^{N-1} k^3 || {{op:Bruch| 1 | 4}} \sum_{j {{=|}} 1}^{ 4} {{op:Binomialkoeffizient| 4 |j}} B_{4-j} N^{j } || B_3 N + {{op:Bruch| 3 | 2}} B_2 N^2 + B_1 N^3 + {{op:Bruch| 1 | 4}} B_0 N^4 || {{op:Bruch| 3 | 2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 6}} N^2 - {{op:Bruch| 1 | 2}} N^3 + {{op:Bruch| 1 | 4}} N^4 || {{op:Bruch| 1 | 4}} N^2 {{makl| 1 -2N +N^2 |}} || {{op:Bruch(|N(N-1)| 2}}^2 |SZ=, }} vergleiche auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dritte Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdqfz2gbfn878a8w8vfsup9517sy47o 0 123850 1099900 1035935 2026-06-17T06:47:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099900 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der fünfte Kreisteilungskörper {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die Gestalt {{ Relationskette/display | K_5 | \cong| \Q[X]/{{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und die komplexen Einbettungen sind durch {{mathl|term= X \mapsto e^{j 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} /5} |SZ=}} mit {{ Relationskette |j || 1,2,3,4 || || || |SZ= }} gegeben, wobei die Einbettungen zu {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 4 |SZ= }} und zu {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} zueinander komplex-konjugiert sind. Es gibt keine reelle Einbettung und es ist {{ Relationskette |r || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |s || 2 || || || |SZ=. }} Der Rang der Einheitengruppe ist also {{math|term= 1 |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | \Q | \subset |\Q[\sqrt{5}] | \subset | K_5 || || |SZ= }} gibt es einen reellen Zwischenkörper und dieser enthält auch schon eine Einheitengruppe vom Rang {{math|term= 1 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1+ \sqrt{5}| 2}} || x^4+x+1 || - x^2-x^3 || || |SZ= }} und wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1+ \sqrt{5}| 2}} \cdot {{op:Bruch| 1- \sqrt{5}| 2}} || -1 || || || |SZ= }} ist dies eine Einheit im quadratischen Zahlbereich zu {{math|term= 5 |SZ=,}} und zwar nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= >1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ie30eydelbsiozh42q3hwoyqtidnamh 0 123974 1100590 1085669 2026-06-17T10:32:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100590 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt |Nr= |SZ= }} besagt insbesondere, dass es Systeme von Fundamentaleinheiten gibt, und dass stets {{ Relationskette/display |m || r+s-1 || || || |SZ= }} ist, wenn wieder {{math|term= r |SZ=}} die Anzahl der reellen und {{math|term= s |SZ=}} die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Bei einer Zerlegung {{ Relationskette/display | {{op:Einheiten| R |}} || {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} \times \Z^m || || || |SZ= }} kann man eine Basis von {{math|term= \Z^m |SZ=}} und insbesondere die Standardbasis als System von Fundamentaleinheiten nehmen. Man beachte, dass weder die Zerlegung noch die dazu äquivalente Auswahl von Fundamentaleinheiten in irgendeiner Form kanonisch ist. Es liegt eine natürliche Untergruppenbeziehung {{ Relationskette/display | {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} | \subseteq | {{op:Einheiten| R |}} || || || |SZ= }} vor und damit gibt es auch einen natürlichen Restklassenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| R |}} | {{op:Einheiten| R |}} /{{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} || |SZ=, }} und der Satz besagt eben, dass diese {{ Definitionslink |Restklassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} eine {{ Definitionslink |freie| |Kontext= kommutative Gruppe| |SZ= }} kommutative Gruppe vom Rang {{mathl|term= r+s-1 |SZ=}} ist, also isomorph zu {{math|term= \Z^{r+s-1} |SZ=,}} es gibt aber keine natürliche Identifizierung dieser Restklassengruppe mit {{math|term= \Z^{r+s-1} |SZ=.}} Aus einer surjektiven Gesamtabbildung {{ Math/display|term= {{op:Einheiten| R |}} \longrightarrow {{op:Einheiten| R |}} / {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \Z^{r+s-1} |SZ= }} erhält man eine freie Untergruppe von {{math|term= {{op:Einheiten| R |}} |SZ=,}} indem man jedem Element der Standardbasis rechts ein Urbild aus {{math|term= {{op:Einheiten| R |}} |SZ=}} zuordnet und von dieser Abbildung das Bild nimmt. Dies führt dann zu einer Zerlegung {{ Relationskette/display | {{op:Einheiten| R |}} | \cong| {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} \times \Z^m || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6sq50zjx0hnx4kuc1zcjf18b0m4ayn 0 123980 1100211 1085339 2026-06-17T07:38:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100211 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | < | 0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |imaginär-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Dann liefert eine fixierte Einbettung {{ Relationskette | A_D | \subseteq | \Q[ \sqrt{D} ] | \subseteq | {{CC|}} | \cong| \R^2 || || |SZ= }} direkt eine Realisierung als Gitter im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dem Element {{ Relationskette | q_1 + q_2 \sqrt{D} || q_1 + q_2 \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} entspricht in der reellen Ebene das Element {{ Relationskette | {{op:Spaltenvektor|q_1 |q_2 \sqrt{-D}) }} || {{op:Spaltenvektor|q_1 | q_2 \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }) }} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch| 1+ \sqrt{D}| 2}} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die {{ Definitionslink |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 1 | 2}} | 0 | {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }| 2}} }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qdrb8ncqx1jij8gyex73ne4p0sz4k9 0 123983 1100213 1085342 2026-06-17T07:39:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100213 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |A_D | \subseteq | \Q[ \sqrt{D} ] || K || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |reell-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{math|term= \sqrt{D} |SZ=}} einerseits ein fixierte Quadratwurzel aus {{math|term= D |SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=}} und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | \R^2 | (q_1+q_2 \sqrt{D}) | {{op:Spaltenvektor| q_1+q_2 \sqrt{D}| q_1-q_2 \sqrt{D} |}} |SZ=, }} ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von {{math|term= A_D|SZ=}} als Gitter im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für {{math|term= A_D|SZ=}} vom Rest von {{math|term= D |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} ab, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch| 1+ \sqrt{D}| 2}} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die {{ Definitionslink |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | \sqrt{ D }| 1 | - \sqrt{ D } }} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 1 + \sqrt{ D }| 2}} | 1 | {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }| 2}} }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igyx9tv5n8aimdn7tgqqzclz5u4imyx 0 123984 1100421 1080901 2026-06-17T08:13:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1100421 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subset |\Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || K || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | \alpha | \in |\R || || || |SZ= }} eine Nullstelle von {{mathl|term= X^3-3X+1 |SZ=,}} so sind auch {{ mathkor|term1= \beta= \alpha^2 -2 |und|term2= \gamma= - \alpha^2 - \alpha + 2 |SZ= }} Nullstellen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der {{math|term= \alpha |SZ=}} auf {{math|term= \alpha^2-2 |SZ=}} abbildet, schickt {{math|term= \alpha^2 |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | {{makl| \alpha^2-2 |}}^2 || \alpha^4-4\alpha^2+4 || 3 \alpha^2- \alpha -4\alpha^2+4 || - \alpha^2- \alpha+4 || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | R || \Z + \Z \alpha + \Z \alpha^2 || || || |SZ= }} wird die gesamte Gitterabbildung durch {{ Abbildung/display |name= | R \cong \Z^3 | \R^3 | a+b \alpha+c \alpha^2 | {{op:Spaltenvektor| a+b \alpha+c \alpha^2 | a+b (\alpha^2-2)+c(- \alpha^2- \alpha+4) | a+b(- \alpha^2-\alpha+2) + c( \alpha+2) |}} |SZ=, }} gegeben. Die Basis {{math|term= 1, \alpha, \alpha^2 |SZ=}} wird auf die Gitterbasis {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 1| 1}} , {{op:Spaltenvektor| \alpha | \alpha^2-2 | - \alpha^2- \alpha+4}} , {{op:Spaltenvektor| \alpha^2 | - \alpha^2- \alpha + 4 |\alpha+2 |}} |SZ= }} abgebildet. Wenn man {{math|term= 1, \alpha, \beta |SZ=}} als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch {{ Abbildung/display |name= |R \cong \Z^3 | \R^3 | a+b \alpha +d \beta | {{op:Spaltenvektor|a+b \alpha+d \beta | a+b \beta + d {{makl| - \alpha- \beta |}} | a+b {{makl| -\alpha - \beta |}} + d \alpha|}} |SZ=, }} beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 1 | 1 }} , {{op:Spaltenvektor| \alpha | \beta | - \alpha- \beta }} , {{op:Spaltenvektor| \beta | - \alpha - \beta | \alpha | }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ryt1dv5q480ex04a1ltwq202yyrz8b3 0 123988 1100422 1085557 2026-06-17T08:13:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100422 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel |Nr= |SZ= }} an, also {{ Relationskette/druckdisplay | R || \Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ=. }} Unter der {{ Definitionslink |logarithmischen Gesamtabbildung| |Kontext=| |SZ= }} wird das Ringelement {{mathl|term= a + b\alpha +c \alpha^2 |SZ=}} auf {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| a+b \alpha+c \alpha^2 |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b {{makl| \alpha^2-2 |}} +c {{makl| - \alpha^2- \alpha+4 |}} |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b {{makl| - \alpha^2-\alpha+2 |}} + c {{makl| \alpha+2 |}} |}} |}} |}} |SZ= }} bzw. {{mathl|term= a + b\alpha + d \beta|SZ=}} auf {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| a+b \alpha+d \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b \beta +d {{makl| - \alpha- \beta |}} |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b {{makl| -\alpha - \beta |}} + d \alpha|}} |}} |}} |SZ= }} abgebildet. Die Einheiten {{math|term= \alpha |SZ=}} bzw. {{math|term= \beta |SZ=}} werden auf {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| \alpha |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| -\alpha - \beta }} |}} |}} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| - \alpha- \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| \alpha|}} |}} |}} |SZ= }} und diese Vektoren liegen auf der durch {{ Relationskette | x+y+z || 0 || || || |SZ= }} definierten Ebene. Die lineare Unabhängigkeit dieser beiden Vektoren kann man über die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} zeigen. Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr {{ Math/display|term= \alpha \sim 1,532, \,\, \beta \sim 0,347,\,\, \gamma \sim -1,879 |SZ=. }} Die Determinante der oberen {{math|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Untermatrix ist ungefähr {{ Relationskette/align | {{op:ln| {{op:Betrag|\alpha |}} |}} {{op:ln| {{op:Betrag|\alpha + \beta |}} |}} - {{op:ln(| {{op:Betrag| \beta |}} |}}^2 | \sim | 0,426 \cdot 0, 631 - (-1.058)^2 | \sim | 0,89 |\neq| 0 || |SZ=. }} Die Bilder der beiden Einheiten {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \beta |SZ= }} sind also linear unabhängig und daher besteht zwischen den Einheiten selbst in {{math|term= R |SZ=}} keine Beziehung der Form {{ Relationskette/display | \alpha^m || \beta^n || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | (m,n) | \neq | (0,0) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m49lqwlsbvpywi8i5bgq6gqqsdx0xfx 0 123996 1100214 1085343 2026-06-17T07:39:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100214 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Definitionslink |quadratfreiem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | D | \geq | 2 || || || |SZ= }} und zugehörigem {{ Definitionslink |reell-quadrati{{drucktrenn}}schen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A_D |SZ=}} mit der Gitterrealisierung {{ Abbildung/display |name= |A_D| \R^2 | (a+b \sqrt{D})| {{op:Spaltenvektor|a+b \sqrt{D}|a - b \sqrt{D} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist die {{ Definitionslink |logarithmische Gesamtabbildung| |Kontext=| |SZ= }} durch {{ Abbildung/display |name= | A_D \setminus \{0\} | \R \times \R | {{makl| a+b \sqrt{ D } |}} | {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| a +b \sqrt{ D } ||}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a -b \sqrt{ D } }} |}} }} |SZ=, }} gegeben. Diese induziert für die Einheiten den Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| A_D }} | \R \times \R | {{makl| a+b \sqrt{ D } |}} | {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag|a +b \sqrt{ D }||}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a -b \sqrt{ D } }} |}} }} |SZ=, }} wobei das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ= }} oder direkt| |ISZ=|ESZ= }} auf der Gegendiagonalen landet. Somit liegt ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung |name= | {{makl| {{op:Einheiten| A_D }}, \cdot, 1 |}} | {{makl| \R,+,0 |}} || |SZ= }} vor. Der Kern besteht aus {{mathl|term= \{1,-1\} |SZ=}} und das Bild ist eine diskrete Untergruppe von {{math|term= \R |SZ=.}} {{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie3=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqxbrw11rs5hpapnk07swsjh4rwz3lj 0 124016 1100216 1080907 2026-06-17T07:39:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100216 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen in {{math|term= \Z[\sqrt{3}] |SZ=}} gemäß {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Auffinden/Bemerkung |Nr= |SZ= }} nach der Fundamentaleinheit, nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} müssen wir nur {{mathl|term= a+b \sqrt{3} |SZ=}} mit ganzzahligen {{ Relationskette | a,b | \geq | 1 || || || |SZ= }} überprüfen, ob {{ Relationskette/display | N {{makl| a+b \sqrt{3} |}} || a^2-3b^2 || \pm 1 || || || |SZ= }} gilt. Für {{ Relationskette | a || 1 || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung, und bei {{ Relationskette | a || 2 || || || |SZ= }} ist mit {{ Relationskette | b || 1 || || || |SZ= }} eine Lösung gefunden. Somit ist {{math|term= 2 + \sqrt{3} |SZ=}} die Fundamentaleinheit. Die anderen Einheiten oberhalb von {{math|term= 1 |SZ=}} sind {{ Relationskette | {{makl| 2 + \sqrt{3} |}}^2 || 7+ 4 \sqrt{3} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | {{makl| 2 + \sqrt{3} |}}^3 || 26+ 15 \sqrt{3} || || || |SZ=, }} u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(3)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sd10y81mh3gd1bnmw0ywkul5n7dwm86 0 124018 1100672 1085767 2026-06-17T10:44:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100672 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man prinzipiell konstruktiv eine Fundamentaleinheit bestimmen, indem man zu aufsteigendem {{ Relationskette |a | > | 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ganzzahlig oder ein ganzzahliges Vielfaches von {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} untersucht, ob die Gleichung {{ Relationskette/display |a^2- b^2D || \pm 1 || || || |SZ= }} eine Lösung in {{math|term= b |SZ=}} besitzt, wofür nur endlich viele Kandidaten zu überprüfen sind. Man hat aber von vornherein keine Schranke für {{math|term= a |SZ=,}} daher weiß man nicht, wie schnell diese Methode zum Erfolg führt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jmkyb3hbqum9o5j7d8dhonjymdbrnr 0 124032 1100673 1035764 2026-06-17T10:45:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100673 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |reell-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |A_D | \subseteq |\R || || || |SZ= }} eine reelle Einbettung und sei {{math|term= u |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Dann ist der {{ Definitionslink |Regulator| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= A_D|SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Regulator|A_D|}} || {{op:Betrag| {{op:ln| {{op:Betrag| u |}} |}} ||}} || || || |SZ=. }} An dieser Definition sieht man direkt, dass wenn man {{math|term= u |SZ=}} durch eine der anderen Fundamentaleinheiten {{mathl|term= -u,u^{-1}, -u^{-1} |SZ=}} ersetzt, dies zum gleichen Ergebnis führt: Das Vorzeichen wird durch den inneren Betrag und die Inversenbildung durch den äußeren Betrag aufgefangen. Auch von der gewählten Einbettung hängt es nicht ab, da ja die andere Einbettung aus der gegebenen Einbettung durch einen Automorphismus hervorgeht und dabei {{math|term= u |SZ=}} auf eines der drei Elemente abgebildet wird. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie des Regulators eines Zahlbereiches |Kategorie2=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2s8g5rxl8db0cfb86ath3oao4mu5prh 0 124135 1100418 1085550 2026-06-17T08:12:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1100418 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | < | 0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |imaginär-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Es gibt also {{ Relationskette |s || 1 || || || |SZ= }} Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch| 1+ \sqrt{D}| 2}} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} gehört wie in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |SZ= }} berechnet die {{ Definitionslink |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 1 | 2}} | 0 | {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }| 2}} }} |SZ=. }} Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der {{ Definitionslink |Grundmasche| |Kontext=| |SZ= }} des Gitters, ist {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 1 | 0 | 0| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } }} |}} || \sqrt{ {{op:Betrag|D}} } || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 1 | 2}} | 0 | {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }| 2}} }} |}} || {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:Betrag|D}} }| 2}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= 4D|SZ=}} bzw. {{math|term= D |SZ=.}} In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ern1z6j6m2q6ch8ktshng7i2juyfyw 0 124244 1100156 1085275 2026-06-17T07:29:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100156 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |f | \in | K[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |normiertes Polynom| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Polynom| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung {{ Relationskette/display |K[Y] | \subseteq | K[Y][X]/(f(X)-Y) | \cong|K[X] || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath=K[Y] |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{math|term= 1,X {{kommadots|}} X^{n-1} |SZ=.}} Wir sind damit in der Situation von {{ Faktlink |Faktseitenname= Monogene Algebra/Dualmodul/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} mit {{ Relationskette |R || K[Y] || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |F(X) || f(X)-Y || || || |SZ=. }} Für die Ableitung nach {{math|term= X |SZ=}} gilt {{ Relationskette |F'(X) || f'(X) || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über dem {{math|term= K |SZ=-}}Punkt {{ Relationskette |b | \in | K || || || |SZ= }} wird durch {{mathl|term= K[X]/(f(X) -b) |SZ=}} beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu {{math|term= f |SZ=}} auf die {{math|term= y |SZ=-}}Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über Hauptidealbereichen |Kategorie2=Theorie der Faserringe |Kategorie3=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Kategorie4=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0ts13vs3i7knen7e5c5ss7dvslb8gr 0 124247 1100155 1074399 2026-06-17T07:29:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100155 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |f | \in | K[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |normiertes Polynom| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Polynom| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung {{ Relationskette/display |K[Y] | \subseteq | K[Y][X]/(f(X)-Y) | \cong|K[X] || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath=K[Y] |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{math|term= 1,X {{kommadots|}} X^{n-1} |SZ=.}} Für die Ableitung nach {{math|term= X |SZ=}} gilt {{ Relationskette |F'(X) || f'(X) || || || |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über dem {{math|term= K |SZ=-}}Punkt {{ Relationskette |a | \in | K || || || |SZ= }} wird durch {{mathl|term= K[X]/(f(X) -a) |SZ=}} beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu {{math|term= f |SZ=}} auf die {{math|term= y |SZ=-}}Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über Hauptidealbereichen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3=Theorie der polynomialen Abbildungen zwischen affinen Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b53rs6zkp48k5k63wsrtx9wkc1q0azc 0 124249 1100210 1026861 2026-06-17T07:38:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100210 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D |SZ=}} eine {{ Definitionslink |quadratfreie| |Kontext=| |SZ= }} Zahl {{math|term= \neq 0,1 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=, }} der nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Restklassenbeschreibung {{ Relationskette |A_D || \Z[X]/(X^2-D) || || || |SZ= }} besitzt. Der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} ist daher nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_D|\Z}} || A_D/(2x) dx || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Annullator| |Kontext=Modul| |SZ= }} ist also {{math|term= 2x|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= 2x|SZ=}} ist gleich {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| 2x \cdot -2x}} || {{op:Betrag| 4x^2}} || {{op:Betrag| 4D||}} || || |SZ=, }} was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} der Betrag der {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} von {{math|term= A_D|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fme3tqixhbxor3thdq8c6j84t8c96lj 0 124250 1100209 1037700 2026-06-17T07:38:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100209 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D |SZ=}} eine {{ Definitionslink |quadratfreie| |Kontext=| |SZ= }} Zahl {{math|term= \neq 0,1 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=, }} der nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Restklassenbeschreibung {{ Relationskette |A_D || \Z[Y]/(Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1| 4}} ) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | y || {{op:Bruch| 1+ \sqrt{D}| 2}} || || || |SZ= }} besitzt. Der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} ist daher nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_D|\Z}} || A_D/(2y-1) dy || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Annullator| |Kontext=Modul| |SZ= }} ist also {{math|term= 2y-1 |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= 2y-1 |SZ=}} ist gleich {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| (2y-1) \cdot (2\overline{y}-1) }} || {{op:Betrag| \sqrt{D} (- \sqrt{D} )}} || {{op:Betrag| D }} || || || |SZ=, }} was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} der Betrag der {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} von {{math|term= A_D|SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ctbowihlomdjddxk2kxt3go4tllp4w 0 124279 1099996 1085111 2026-06-17T07:03:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099996 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |R || \Z_{(2)}[X]/(X^3+5X+2) || || || |SZ=, }} in {{math|term= R |SZ=}} liegt die Faktorzerlegung {{ Relationskette | 2 || -x(x^2+5) || || || |SZ= }} vor. Modulo {{math|term= (2) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | x^3+x || x(x^2+1) || x(x+1)^2 || || |SZ=. }} Da der zweite Faktor doppelt vorkommt, kann man {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht anwenden, und es wird sich auch gleich ergeben, dass {{math|term= R |SZ=}} in der Tat nicht normal ist. Das Element {{math|term= x |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Primelement| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=,}} da der {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |SZ= }} modulo {{math|term= x |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | \Z_{(2)}[X]/(X^3+5X-2, X) || \Z_{(2)}[X]/(2, X) || \Z_{(2)}/(2) || {{op:Zmod| 2 |}} || |SZ= }} ist. Dagegen ist {{mathl|term= x^2+5 |SZ=}} kein Primelement, da {{ Relationskette/display | \Z_{(2)}[X]/(X^3+5X+2, X^2+5) ||\Z_{(2)}[X]/(2, X^2+5) || {{op:Zmod| 2 |}} [X] / (X^2+1) || |SZ= }} nicht reduziert ist. In {{math|term= R |SZ=}} wird das durch die Eigenschaft {{ Relationskette/align | (x+1)(x+1) || (x^2+5)+ 2(x-2) || (x^2+5) -( x^3+5x) ( x -2 ) || (x^2+5) ( 1-x(x-2) ) || (x^2+5) ( - x^2 +2x+1) |SZ=. }} widergespiegelt. Das Element {{math|term= x+1 |SZ=}} ist kein Primelement in {{math|term= R |SZ=,}} sein Restklassenring ist {{math|term= {{op:Zmod| 4 |}} |SZ=.}} Jedenfalls haben wir in {{math|term= R |SZ=}} die beiden Primideale {{ Relationskette | {{idealp|}} || (x) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealq|}} || (2, x+1) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} normal ist und {{math|term= R_{{idealq}} |SZ=}} nicht. was darauf beruht, dass weder {{math|term= 2 |SZ=}} noch {{math|term= x+1 |SZ=}} ein Erzeuger ist. Wir wollen die Normalisierung bestimmen. Die definierende Gleichung kann man auch als {{ Relationskette/display |(x+1)^3-3(x+1)^2+8(x+1)-4 || 0 || || || |SZ= }} schreiben. Somit ist {{ Relationskette/align | {{op:Bruch(| 2 | x+1}}^2 || {{op:Bruch| 4 |(x+1)^2}} || {{op:Bruch|(x+1)^3-3(x+1)^2+8(x+1)|(x+1)^2}} || (x+1)-3+ {{op:Bruch| 8 |(x+1)}} || (x+1)-3+ 4 {{op:Bruch| 2 |(x+1)}} |SZ=, }} d.h. {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch| 2 | x+1}} || || || |SZ= }} erfüllt die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | y^2 -4y + x-2 || 0 || || || |SZ=. }} Nach Hinzunahme von diesem ganzen Element wird {{mathl|term= (2,x+1) |SZ=}} zu einem Hauptideal, erzeugt von {{math|term= x+1 |SZ=.}} Da einerseits {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| 2 | y}} -1 || || || |SZ= }} und andererseits {{ Relationskette/display | x || -y^2+4y +2 || || || |SZ= }} gilt, erfüllt {{math|term= y |SZ=}} die Gleichung {{ Relationskette/display | y^3-4y^2-3y+2 || 0 || || || |SZ=. }} Somit gilt {{ Relationskette/display |R | \subseteq | \Z_{(2)}[Y]/(Y^3-4Y^2 -3Y+2) ||S || || |SZ=. }} Dabei gilt die Faktorzerlegung {{ Relationskette/display | -2 || y (y^2 -4y -3) || || || |SZ=, }} vor, der Restklassenring {{math|term= S/(2) |SZ=}} hat wieder die Darstellung {{math|term= {{op:Zmod| 2 |}}[Y]/(Y(Y-1)^2 ) |SZ=.}} Das zum zweiten Primfaktor zugehörige Ideal {{math|term= (2,y-1) |SZ=}} wird wieder nicht von einem Element erzeugt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1b8mxrlasp2udptyo9gfxdmplwgoo6x 0 124292 1100417 1080868 2026-06-17T08:12:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100417 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \Q | \subseteq | \Q[X]/ {{makl| X^3-17 |}} || || || |SZ=, }} dieser besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Beschreibung {{ Relationskette/display |R || \Z[x,z] | \subseteq | \Q[X] {{makl| X^3-17 |}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | z || {{op:Bruch| 1 +17 x+x^2| 3}} || || || |SZ= }} und wobei {{math|term= z |SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | T^3-T^2 -96T -3072 || 0 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 17 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnj52erwbroq44b3kaiavm6wdm6x8j1 0 124294 1100710 1036158 2026-06-17T10:51:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100710 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In der Situation von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} mit {{ Relationskette |q || \pm 1 \mod 9 || || || |SZ= }} ist der Ring {{ Relationskette/display |A || \Z[Y]/ {{makl| Y^3 -Y^2 + {{op:Bruch| 1-q^2 | 3 }}Y - {{op:Bruch| (q^2-1)^2 | 27}} |}} || || || |SZ= }} nicht normal. Im Beweis wird nur gezeigt, dass die Lokalisierung an {{math|term= (3) |SZ=}} normal ist. Wenn {{math|term= p |SZ=}} ein Primteiler {{math|term= \neq 3 |SZ=}} von {{mathl|term= q^2-1 |SZ=}} ist, so wird darüber das Polynom zu {{mathl|term= Y^3-Y^2 |SZ=}} und besitzt dort eine nichtreduzierte Faser. ist {{ Relationskette/align | y^2 || {{op:Bruch| x^4+q^2x^2+1 +2qx^3 +2qx+2x^2 | 9}} || {{op:Bruch|qx+q^2x^2+1 +2q^2 +2qx+2x^2 | 9}} || {{op:Bruch|(q^2+2)x^2 + 3qx+2q^2 +1 | 9}} || |SZ=. }} Daraus kann man {{ Relationskette/display | x || y^2 - {{op:Bruch|(q^2+2)| 3 |}} y || || || |SZ= }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ei0kqjkrn3aal6n81545ybyci09ojjl 0 124327 1100215 1085344 2026-06-17T07:39:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100215 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D |SZ=}} eine {{ Definitionslink |quadratfreie| |Kontext=| |SZ= }} Zahl {{math|term= \neq 0,1 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=, }} der nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Restklassenbeschreibung {{ Relationskette |A_D || \Z[X]/ {{makl| X^2-D |}} || || || |SZ= }} besitzt. Die Ableitung von {{ Relationskette/display | F || X^2-D || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= 2X |SZ=}} und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} das Ideal {{mathl|term= {{makl| 2X,X^2-D |}} |SZ=}} zu betrachten. Wenn {{ Relationskette | p | \neq | 2 || || || |SZ= }} und kein Teiler von {{math|term= D |SZ=}} ist, so ist dies über {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn {{math|term= p |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= D |SZ=}} oder {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung {{math|term= 2 |SZ=}} vor. Bei {{ Relationskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette | A_D || \Z[Y]/ {{makl| Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1| 4}} |}} || || || |SZ=. }} Die Ableitung ist {{mathl|term= 2Y-1 |SZ=.}} Oberhalb von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} findet keine Verzweigung statt. Es sei also {{ Relationskette | p | \neq | 2 || || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= p |SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1| 4}}, 2Y-1 |}} || {{makl| 4Y^2 -4 Y - D+1, 2Y-1 |}} || 1-2 -D +1 || D || |SZ=. }} Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von {{math|term= D |SZ=}} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62az1e6x4xejqy794lvy0pv968x50en 0 124347 1100154 1089346 2026-06-17T07:29:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100154 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | p | > | 0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Ringerweiterung {{ Relationskette/display |K(t)[Y] | \subseteq | K(t) [Y] [X]/ {{makl| X^p-t |}} || K(t) [X]/ {{makl| X^p-t |}} [Y] | \cong| K(x) [Y] || || |SZ=, }} die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| X^p-t |}}' || pX^{p-1} || 0 || || |SZ=, }} deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist {{ Abbildung/display |name= | K(t)[Y]_{(Y)} | K(x) [Y]_{(Y)} || |SZ= }} {{ Definitionslink |unverzweigt| |Kontext=Ordnung| |SZ=, }} da {{math|term= Y |SZ=}} in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt. Der Faserring über {{math|term= (Y) |SZ=}} ist der Körper {{mathl|term= K(x) |SZ=}} und insbesondere reduziert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in positiver Charakteristik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 558h1zp3va3e75j6uhdiapilgtmh1ri 0 125830 1099873 1084968 2026-06-17T06:43:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099873 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Als Kuriosität erwähnen wir, dass die von Euler vermutete teilweise Verallgemeinerung des Fermatschen Problems, dass die Gleichungen {{ Relationskette/display | x^4+y^4+z^4 || u^4 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | x^5+y^5+z^5 +u^5 || v^5 || || || |SZ=, }} usw. keine ganzzahlige Lösung besitzen, also dass zwischen {{math|term= n |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}ten Potenzen keine additive Beziehung bestehen kann, nicht gilt. Die einfachsten Gegenbeispiele sind {{ Relationskette/display | 95 800^4 + 217 519^4 + 414 560^4 || 422 481^4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 || 144^5 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Summen von Potenzen von natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pt3mev7llas8iyh90jg2r0xut2es481 0 125959 1100149 1085266 2026-06-17T07:28:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100149 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Bildskip|}} {{ inputbild |SpektrumQuadratabbildung| xcf| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Sieht aus wie die Wurzel, soll aber die Quadrierung sein. Die Quadratabbildung sieht man, wenn man ausgehend von der hier vertikalen x-Achse horizontal auf den Graphen geht und dann nach unten projiziert. Diese Sichtweise betont, wie die Fasern zu variierendem {{math|term= b |SZ=}} aussieht. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-sa-by 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |P | \in | K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom in einer Variablen. Wir betrachten den zugehörigen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K[Y] | K[X] | Y | P |SZ=. }} Das Urbild zu einem linearen Primideal {{ Relationskette | (X-a) | \in | K[X] || || || |SZ= }} ist das Primideal {{ Relationskette |(Y-P(a)) | \in | K[Y] || || || |SZ=. }} Dies sieht man am einfachsten, wenn man die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= K[Y] \longrightarrow K[X] \stackrel{ \text{Ev}_a}{ \longrightarrow } K |SZ= }} betrachtet, die die Evaluation an {{math|term= P(a) |SZ=}} ist, und die Kerne beachtet. Deshalb liegt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| K | {{op:Spek|K[X] |}} | K | {{op:Spek|K[Y] |}} |abb13= P |abb24= }} vor, wobei in den Horizontalen die Zuordnungen {{ mathkor|term1= a \mapsto (X-a) |bzw.|term2= b \mapsto (Y-b) |SZ= }} stehen und rechts die Spektrumsabbildung steht. Die Spektrumsabbildung ist also eine natürliche Erweiterung der durch das Polynom {{math|term= P |SZ=}} direkt definierten Abbildung von {{math|term= K |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=,}} die zusätzlich noch alle Primideale berücksichtigt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der affinen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7yy5n4zdvkkjqy98adv152vyxphr057 0 125961 1099903 1084994 2026-06-17T06:48:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099903 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{Bildskip|}} {{ inputbild |SpekZi ueber SpekZ| xcf| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=SpekZi_ueber_SpekZ |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Zur Erweiterung {{ Relationskette | \Z | \subseteq | \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ= }} stellt man sich die Spektrumsabbildung {{ Abbildung/druckdisplay |name= | {{op:Spek|\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] ||}} | {{op:Spek| \Z|}} || |SZ= }} so vor, dass man zu einer Primzahl {{ Relationskette | p | \in | \Z || || || |SZ= }} versucht zu verstehen, welche Primideale in {{math|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} die Zahl {{math|term= p |SZ=}} enthalten. Dabei entsteht das Bild rechts. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ztnyoozfehgqtdfwp1rl0cj3bp2jkf 0 126730 1100206 1085338 2026-06-17T07:38:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100206 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zu {{ Relationskette | D || -5 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | R || A_{-5} || \Z[ \sqrt{-5}] || \Z[X]/(X^2+5) || |SZ=, }} das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist dies kein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |SZ=. }} Wir wollen die Hauptdivisoren zu den beiden Idealerzeugern {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 1 + \sqrt{-5} |SZ= }} berechnen. Der erste Schritt ist dabei, die Primideale oberhalb dieser Elemente zu bestimmen, was am einfachsten durch eine Restklassenbetrachtung geschieht. Der Restklassenring modulo {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display/druckalign | R/(2) || \Z[X]/ {{makl| X^2+5,2 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+5 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+1 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/(X+1)^2 |SZ=. }} Dies ist ein {{ Definitionslink |nichtreduzierter Ring| |Kontext=| |SZ= }} mit nur einem maximalen Ideal. In der Lokalisierung {{math|term= R_{(2,1+\sqrt{-5} ) } |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | 2 || {{op:Bruch| 1 | {{makl| -2 + \sqrt{5} |}} }} {{makl| 1+\sqrt{-5} |}}^2 || || || |SZ=, }} was zeigt, dass {{math|term= 1+\sqrt{-5} |SZ=}} dort ein Erzeuger des maximalen Ideals ist und dass die Ordnung von {{math|term= 2 |SZ=}} dort gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Deshalb gilt {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| 2 |}} || 2 {{idealp|}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |R/(1+ \sqrt{-5}) || \Z [X]/(X^2+5, 1+X) || {{op:Zmod| 6 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} || |SZ= }} ist {{mathl|term= 1+ \sqrt{-5} |SZ=}} auch noch im Primideal {{ Relationskette | {{idealq|}} || (3,1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ= }} enthalten und besitzt dort ebenfalls die Ordnung {{math|term= 1 |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| 1+ \sqrt{-5}|}} || {{idealp|}} + {{idealq|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pwgqkoepa2x09pp996urh8uu4tb4h3 0 126750 1099822 1084926 2026-06-17T06:35:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099822 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | R || \R[X,Y]/ {{makl| X^2+Y^2-1 |}} || || || |SZ=, }} der dem Einheitskreis in dem Sinne entspricht, dass die {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ= }} der Form {{mathl|term= (X-a,Y-b) |SZ=}} darin den reellen Punkten des Kreis entsprechen. Dies ist ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ=, }} wobei die {{ Definitionslink |Normalität| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ= }} aus der Glattheit des Kreises folgt. {{ inputbild |Möbius strip|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Moebius_strip |Text=Das {{Stichwort|Möbiusband|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Dbenbenn |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Das Ideal {{ Relationskette | {{idealp|}} || (X, Y-1) || || || |SZ= }} ist ein Primideal darin, das kein Hauptideal ist. Für das Produkt dieses Ideals mit sich selbst haben wir {{ Relationskette/display | (X,Y-1)^2 || {{makl| X^2 , XY-X, (Y-1)^2 |}} || (Y-1) || || |SZ=, }} wobei die Inklusion {{math|term= \subseteq|SZ=}} klar ist und sich die andere Inklusion aus {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| -X^2 - (Y-1)^2 |}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| -1+ Y^2 - (Y-1)^2 |}} || Y-1 || |SZ= }} ergibt. Da {{math|term= Y-1 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} keine Quadratwurzel {{ Zusatz/Klammer |text=und auch nicht multipliziert mit einer Einheit| |ISZ=|ESZ= }} besitzt, ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} kein Hauptideal. Dieses Ideal ist eine algebraische Realisierung des Möbiusbandes {{ Zusatz/Klammer |text=ein Ideal definiert eine invertierbare Garbe und ein Geradenbündel; das Möbiusband ist das nichttriviale Geradenbündel auf dem Einheitskreis| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display/druckelementzeile |name= | R {{=|}} \R[X,Y]/ {{makl| X^2+Y^2-1 |}} | S {{=|}} \R[U,V]/ {{makl| U^2+V^2-1 |}} | (X,Y ) | {{makl| U^2-V^2,2UV |}} |SZ=, }} des Ringes in sich {{ Zusatz/Klammer |text=wir schreiben rechts {{math|term= S |SZ=,}} um die unterschiedlichen Rollen zu betonen| |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display/druckalign | X^2+Y^2 || {{makl| U^2-V^2 |}}^2 + {{makl| 2UV |}}^2 || U^4 -2U^2 V^2 +V^4 +4U^2V^2 || U^4 +2U^2V^2+V^4 || {{makl| U^2+V^2 |}}^2 || 1 |SZ= }} ist dies wohldefiniert {{ Zusatz/Klammer |text=es handelt sich um die komplexe Quadrierung eingeschränkt auf den Einheitskreis| |ISZ=|ESZ=. }} Es handelt sich um eine {{ Definitionslink |ganze Ringerweiterung| |Kontext=| |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} zu {{mathl|term= (X,Y-1) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{makl| U^2-V^2,2UV-1 |}} || {{makl| 1-2 V^2, 2UV-1 |}} || (U-V) || || |SZ=, }} also ein Hauptideal. Dies beruht auf {{ Relationskette/display | U^2-V^2 || (U+V) (U-V) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 2UV -1 || 2UV - U^2-V^2 || (V-U) (U-V) || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | U-V || V {{makl| U^2-V^2 |}} - U {{makl| 2UV -1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie in Dedekindbereichen |Kategorie2=Theorie der komplexen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Objektkategorie=Das Möbiusband |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gttuhaw8rzjbwtbj5xbjnwdmq1zthe8 0 127173 1099901 1085385 2026-06-17T06:47:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099901 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Bildskip|}} {{ inputbild |Kreisteilungskoerper5zerlegung|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring umd im quadratischen Zahlbereich zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || \Z[x] || || |SZ= }} der fünfte {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Wir verwenden den Zwischenring {{ Zusatz/Klammer |text= vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | \Z | \subseteq | \Z[ \sqrt{5} ] | \subseteq | \Z[W]/ {{makl| W^2-W-1 |}} || S | \subseteq | \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || S [X]/ {{makl| X^2+XW+1 |}} || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch|v+1| 2}} || x^3+x^2+1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v^2 || 5 || || || |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl {{math|term= p |SZ=}} kommen als Restekörper der Primideale in {{math|term= R |SZ=}} oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} nur die Körper {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}}, {{op:Endlicher Körper|p^2|}}, {{op:Endlicher Körper|p^3|}} , {{op:Endlicher Körper|p^4|}} |SZ=}} in Frage {{ Zusatz/Klammer |text=die Möglichkeit {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^3|}} |SZ=}} werden wir gleich ausschließen| |ISZ=|ESZ=, }} und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= (5) |SZ=}} fallen die zusammen| |ISZ=|ESZ= }} geben. Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dies für {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^e|}} |SZ=}} genau dann der Fall, wenn {{math|term= p^e-1 |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 5 |SZ=}} ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten {{ Relationskette | e || 1,2,4 || || || |SZ=. }} Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten. Es sei {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= S/2S |SZ=}} ein Körper mit vier Elementen und es ist {{math|term= R/2R |SZ=}} ein Körper mit {{math|term= 16 |SZ=}} Elementen. Es sei {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | (X-1) {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=,}} was auch von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} her klar ist. Bei {{ Relationskette | p || 11 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= 1,3,4,5,9 |SZ=}} fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Oberhalb von {{math|term= (11) |SZ=}} liegen in {{math|term= {{op:Spek| R |}} |SZ=}} vier Primideale, alle mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| 11|}} |SZ=.}} Dabei liegen {{ mathkor|term1= (X-3) |und|term2= (X-4) |SZ= }} über {{mathl|term= (W-4) |SZ=}} und {{ mathkor|term1= (X+2) |und|term2= (X-5) |SZ= }} über {{mathl|term= (W-8) |SZ=}} in {{math|term= S |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | 9^2 || 5 || 10^2 || || |SZ=, }} in {{math|term= S |SZ=}} gibt es somit zwei Primideale oberhalb von {{math|term= (19) |SZ=,}} beide mit dem Restekörper {{mathl|term= {{op:Zmod| 19|}} |SZ=.}} In {{mathl|term= {{op:Zmod| 19|}} |SZ= }} gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb von {{math|term= (19) |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| 361|}} |SZ=.}} Über {{math|term= (19) |SZ=}} liegt die Faktorzerlegung {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rcx1nfta5oy3zqbuf42txqoam2wfs0v 0 127911 1099994 1093554 2026-06-17T07:02:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099994 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= R |SZ=}} der {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | R || \Z[X]/ {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Kählermodul| R | \Z }} | \cong| R/ {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-2} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} | \cong|\Z[X]/ \left( X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1, | 5teil2= (p-1) X^{p-2} +(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 \right) || || |SZ=. }} Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da {{mathl|term= X^p-1 |SZ=}} zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja {{ Relationskette/display | X^p-1 || (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | pX^{p-1} dX || d {{makl| X^p-1 |}} || d {{makl| (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} |}} || {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} dX | 7teil2= + (X-1) {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} dX || || |SZ=. }} Damit ist insbesondere {{ Relationskette/display | pdX || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Kählermodul| R| \Z }} |SZ=,}} da ja {{math|term= X |SZ=}} eine Einheit ist. Somit ist {{ Zusatz/Klammer |text=hier bezeichnet {{math|term= R_p |SZ=}} die Nenneraufnahme an {{math|term= p |SZ=,}} nicht den {{math|term= p |SZ=-}}ten Kreisteilungsring| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R_p | \Z_p }} || 0 || || || |SZ=, }} d.h. der Kählermodul ist eingeschränkt auf die offene Menge {{mathl|term= D(p) |SZ=}} der Nullmodul. Ferner ist der Kählermodul ein {{mathl|term= R/pR |SZ=-}}Modul und insbesondere ein {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul. Daher und wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z}} || {{op:Kählermodul| R | \Z}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Kählermodul| R/pR | {{op:Zmod| p |}} }} || || |SZ=. }} Da der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= p |SZ=}} die Form {{ Relationskette/display | R/ pR || {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| (X-1)^{p-1} |}} || {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} || || || |SZ= }} besitzt, ist wegen {{ Relationskette | {{makl| Y^{p-1} |}}' || -Y^{p-2} || || || |SZ= }} insgesamt {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z}} || {{op:Kählermodul| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} | {{op:Zmod| p |}} }} | \cong| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-2} |}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein freier {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul mit der {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= X |SZ=}} geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{math/druckdisplay|term= dX, XdX {{kommadots|}} X^{p-3} dX |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also vom {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=freier Modul| |SZ= }} {{math|term= p-2 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9mz9b51sfgz3xk0u8sja1qmmhns8wah 0 128180 1099993 1085108 2026-06-17T07:02:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099993 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zeigen, dass der fünfte {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |R_5 || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |SZ= }} ist. Es gibt vier komplexe Einbettungen und die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= \pm 125 |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^2 \sqrt{125} | < | 5 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} nur zu überprüfen, ob die Primzahlen {{ Relationskette |p || 2,3 || || || |SZ= }} in {{math|term= R_5 |SZ=}} eine Primfaktorzerlegung besitzen. Da {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Zmod| 3 |}} [X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} sind {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} sogar Primelemente in {{math|term= R_5 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sn6fvjbpl2cjfyo4y2h01tgt39uigll 0 128201 1100625 1096433 2026-06-17T10:37:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100625 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} operiert die {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Galoisgruppe| K_n | \Q }} | \cong| {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} || || |SZ= }} auf dem {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | a | \in | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} || || || |SZ= }} durch die Substitution {{mathl|term= X \mapsto X^a |SZ=}} wirkt. Es sei {{math|term= q |SZ=}} eine Primzahl, die kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei, und es sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} oberhalb von {{mathl|term= (q) |SZ=.}} Das Element {{math|term= q |SZ=}} gehört zur Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} |SZ=,}} seine Ordnung sei {{math|term= f |SZ=,}} vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ=. }} Zu {{math|term= q |SZ=}} gehört der Automorphismus {{math|term= \psi |SZ=}} von {{math|term= R_n |SZ=,}} der {{math|term= X |SZ=}} auf die {{math|term= q |SZ=-}}te Potenz von {{math|term= X |SZ=}} abbildet, wobei dies nur von der Restklasse von {{math|term= q |SZ=}} modulo {{math|term= n |SZ=}} abhängt. Dieser stimmt auf dem {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R_n/ (q) R_n |SZ=}} der Charakteristik {{math|term= q |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt und da der Frobenius auf {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} die Identität ist. Daher gilt {{ Relationskette | \psi ( {{idealq}} ) || {{idealq|}} || || || |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{math|term= \psi |SZ=}} gehört zur {{ Definitionslink |Zerlegungsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq}} }} |SZ=.}} Da {{math|term= q |SZ=}} die Ordnung {{math|term= f |SZ=}} besitzt, und die Zerlegungsgruppe nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} {{math|term= f |SZ=}} Elemente besitzt, wird die Zerlegungsgruppe von diesem Element erzeugt. Da {{math|term= \psi |SZ=}} auf dem Faserring den Frobenius induziert, gilt dies auch auf dessen Restekörpern. Somit wird unter der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} beschriebenen natürlichen Korrespondenz zwischen der Zerlegungsgruppe und der Galoisgruppe der Restekörpererweiterungen die Substitution {{mathl|term= X \mapsto X^q |SZ=}} auf den Frobenius abgebildet. Damit ist insbesondere zu jeder Primzahl {{math|term= q |SZ=}} das Frobenius-Element {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Artinsymbol/Bemerkung |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} im Fall von Kreisteilungsringen explizit gegeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qs7x276ss8es57nukh6tdwoy55105tq 0 128251 1100320 1038183 2026-06-17T07:56:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100320 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Standardgitter| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Gamma|SZ=}} im {{math|term= \R^2 |SZ=}} wird durch die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= e_1,e_2 |SZ=}} erzeugt, aber auch durch die beiden Vektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 3 | 1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 2 | 1}} |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Basis/Übergang/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gitter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zdd5a8vh7r07c7kesf9vwqkpg2kj2e 0 128365 1100419 1085551 2026-06-17T08:12:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1100419 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | > | 2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |reell-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Es gibt also zwei reelle Einbettungen und somit ist {{ Relationskette |s || 0 || || || |SZ=. }} Zur {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch| 1+ \sqrt{D}| 2}} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} gehört wie in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |SZ= }} berechnet die {{ Definitionslink |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | \sqrt{ D }| 1 | - \sqrt{ D } }} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 1 + \sqrt{ D }| 2}} | 1 | {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }| 2}} }} |SZ= }} Deren Determinante ist {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 1 | \sqrt{ D }| 1 | - \sqrt{ D } }} |}} || - 2 \sqrt{ D } || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 1 + \sqrt{ D }| 2}} | 1 | {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }| 2}} }} |}} || {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }| 2}} - {{op:Bruch| 1 + \sqrt{ D }| 2}} || - \sqrt{ D } || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= 4D|SZ=}} bzw. {{math|term= D |SZ=.}} In beiden Fällen erhält man also {{{zusatz1|}}} eine direkte Bestätigung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hv77p7zq4dtz4znm5lktddpna4vlk4f 0 128492 1100712 1036183 2026-06-17T10:51:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100712 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Körperautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \varphi|SZ=}} der Ordnung {{ Relationskette |k |\neq | 1,2 || || || |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |endlichen Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |\Q | \subseteq | K || || || |SZ= }} mit einer reellen Einbettung {{ Relationskette |K | \subseteq |\R || || || |SZ= }} und einem Element {{ Relationskette |\alpha | \in | K || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |\varphi(\alpha) |\neq| \pm \alpha || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \varphi(\alpha) |SZ= }} exponentiell unabhängig, d.h. es besteht keine Relation der Form {{ Relationskette/display | \alpha^m || \varphi(\alpha)^n || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |(m,n) |\neq| (0,0) || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | \varphi(\alpha) || \alpha^q || || || |SZ= }} mit einem positiven rationalen Exponenten {{ Relationskette |q || {{op:Bruch| m |n}} || || || |SZ= }} folgt ja {{ Relationskette/display |\alpha || \varphi^k (\alpha) || \alpha^{q^k} || || || |SZ=, }} woraus sich wegen der reellen Einbettung {{ Relationskette |q^k || 1 || || || |SZ= }} ergibt, was ausgeschlossen ist. Daher sind auch die Logarithmen der Beträge von {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \varphi(\alpha) |SZ= }} linear unabhängig über {{math|term= \Q|SZ=.}} Wenn die Einheitengruppe den Rang {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt, so muss bei rein reellen Erweiterungen zwischen den Einheiten {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \varphi(\alpha) |SZ= }} bis auf das Vorzeichen eine exponentielle Relation bestehen. Im reell-quadratischen Fall sind in der Tat für eine Einheit {{mathl|term= a+b \sqrt{D} |SZ=}} wegen {{ Relationskette/display |(a+b \sqrt{D})(a-b \sqrt{D}) || a^2 -b^2D || \pm 1 || || |SZ= }} die beiden zueinander konjugierten Elemente auch bis eventuell auf das Vorzeichen zueinander invers. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efvqxmq56fuxv0fp0ouob4xrnylvahm 0 128759 1099659 998191 2026-06-16T14:33:23Z ~2026-35307-36 41654 1099659 wikitext text/x-wiki Das Schwabenland zählt zu den Gebieten der Erde, die besonders stark von der globalen Erwärmung betroffen sind. Über Jahrhunderte hinweg war das Schwabenland von einem Klima mit schneereichen Wintern, wechselhaften und kühlen Frühlingen, mäßig warmen Sommern und kühlen, eher nassen Herbsten geprägt. Das Schwabenland besteht aus Baden-Württemberg und einem kleineren Teil des angrenzenden Bayerns. Mit dem Aufkommen von Automobilen der damaligen Daimler-Benz-AG stiegen die Temperaturen rasch an. Insbesondere in den letzten 10 Jahren gab es ungewöhnlich viele Mildwinter. Außerdem entwickelten sich "Supersommer" mit über Wochen hinweg mediterranen Temperaturverhältnissen und Temperaturen über 35 °C in weiten Teilen des Landes. Die Gründe sind insbesondere die Automobilindustrie, so wurde die Industrie im Schwabenland vom Daimler-Konzern geprägt, der zahlreiche Fabriken im Schwabenland ansiedelte. Der Klimawandel setzte im Schwabenland allmählich ab 1910 ein. Schon im Verlauf der 1. Hälfte des 20. Jahrhunderts konnte eine Erwärmung um etwa 0,5 °C beobachtet werden, in den 1960er-Jahren fiel das Temperaturniveau aber fast wieder auf das Niveau des 19. Jahrhunderts. Danach setzte aber bald der Klimawandel mit Macht ein, und die Jahre zwischen 2011 und 2020 waren das wärmste Jahrzehnt seit Beginn der Klimaaufzeichnungen. Zwischen 2007 und 2020 wurde eine Häufung extrem warmer, sonniger und trockener Aprilmonate beobachtet. Die Maie waren insbesondere in den Nullerjahren sehr warm, während die Zehnerjahre trotz des Rekords von 2018 mehrere kühle Maie bereithielten. Während es in den 1990er Jahren neben sehr heißen Sommern auch kühle und verregnete Sommer gab, überwogen nach 2000 überdurchschnittlich warme, häufig auch zu trockene Sommer. Die Sommer 2003, 2006, 2015 sowie mit Abstrichen auch 2018 und 2022 traten als "Supersommer" mit wochenlang anhaltender Hitze und Dürre hervor. Im Jahr 2018 waren zusätzlich die Monate April und September ungewöhnlich warm, sodass das gesamte Sommerhalbjahr noch wärmer ausfiel als 2003. Der Februar galt lange als der Monat, der im Schwabenland am wenigsten vom Klimawandel betroffen war, weil es auch in neuerer Zeit sehr kalte Vertreter gab und der Februar auch im vorindustriellen Zeitalter nicht selten Frühlingswetter hervorgebracht hatte. In den letzten Jahren ab 2019 häuften sich allerdings ungewöhnlich warme Februarmonate, stattdessen traten andere Monate hervor, die überraschend zu kalt ausfielen. Der März 2013 war ein klimatologischer Ausreißer, weil er ungewöhnliche Kälte brachte. Das Jahr 2021 fiel durch die ungewöhnlich kalten Monate April und Mai auf, auch der August 2021 war zu kalt. Der April 2022 fiel durch einen ungewöhnlichen Kälteeinbruch in der ersten Monatsdekade auf, an vielen Orten im Schwabenland wurde am 2. April der erste April-Eistag seit dem April 1986 gemessen, obwohl sich das Klima zwischen 1986 und 2022 deutlich erwärmt hat. Die zweite und die dritte Aprildekade präsentierten sich dagegen freundlich und überdurchschnittlich warm, sodass der Kälteeinbruch am Anfang des Monats kompensiert wurde und der April 2022 am Ende geringfügig wärmer ausfiel als ein durchschnittlicher April im Zeitraum von 1950 bis 1999. Nach drei eher kühlen Maien in Folge fiel der Mai 2022 wieder sehr warm aus und brachte die erste Hitzewelle des Jahres 2022. == Berechnung des schwäbischen Klimamittels == Für ein Gebietsmittel für das Schwabenland wird ein Mittelwert aus allen Werten der jeweiligen Wetterstationen gebildet. Dafür werden häufig auch die "Mannheimer Stunden" verwendet. Es lässt sich ein seit Jahrzehnten andauernder Trend der Erwärmung feststellen, die allerdings in den Frühlingsmonaten schwächer ausgeprägt ist als in den anderen Jahreszeiten. == Schneedecke im Schwabenland == Im Zeitraum von 1950 bis 1999 konnte in tiefer gelegenen Städten in den Wintermonaten mit durchschnittlich 20 bis 21 Schneedeckentagen gerechnet werden. Diese Zahl hat sich mittlerweile auf 5 bis 6 Tage reduziert. Im Bergland konnte in den letzten Jahren häufig in den "klassischen Wintermonaten" Dezember bis Februar nur noch mit einem halben Monat unter einer Schneedecke gerechnet werden, statt wie früher mit 30-31 Tagen. == Typische Klimawandeljahre im Schwabenland == Typische Klimawandeljahre waren die Jahre 2018, 2020 und 2022. Sie kennzeichnen sich durch Dürremonate, viele milde Phasen im Winter und in den anderen Jahreszeiten. Auch das Jahr 2023 kann im Schwabenland als typisches Klimawandeljahr angesehen werden. == Gründe für die ungewöhnlich starke Erwärmung im Schwabenland == Die Ursache, warum das Schwabenland stärker vom Klimawandel betroffen ist, als vergleichbar große andere Regionen, liegt auf der Hand: In Stuttgart befindet sich der Sitz der Daimler-AG und in der näheren Umgebung von Stuttgart gibt es zahlreiche Fabriken, die von der Daimler-AG oder seinen Zulieferer-Unternehmen betrieben werden. So werden regelmäßig Chemikalien in die Abwässer des Neckars zwischen Plochingen und Ludwigsburg geleitet. Weitere Gründe sind die topographischen Eigenschaften, wie das Wechselspiel von Bergen und Kesseln, die die starke Erwärmung begünstigen. == Mögliche Gegenmaßnahmen == Zum einen müsste, um den Klimawandel zu begrenzen, so schnell wie möglich auf Fahrzeuge mit fossilem Antrieb weitestgehend verzichtet werden. Bisher lässt sich noch keine ausreichende Bereitschaft in der Region erkennen, diesen Schritt zu gehen. So sind Fahrzeuge mit Verbrennungsmotor im Schwabenland immer noch die mit Abstand beliebtesten Fortbewegungsmittel. Zum anderen wäre ein Abriss des Stuttgarter Flughafens ein zielführendes Mittel, um die Klimaerwärmung im Schwabenland zu reduzieren. Auch hierfür fehlt es an Bereitschaft in der Bevölkerung im Großraum Stuttgart. So gibt es in der Region nicht wenige Klimaskeptiker, die den menschlichen Einfluss aus dem Klimawandel leugnen oder mit vermeintlichen Erinnerungen etwa an warmes Wetter im März vor über 50 Jahren kleinreden. Die bisherigen Klimaschutzmaßnahmen der Landesregierung Baden-Württemberg reicht nach Ansicht vieler renommierter Klimaforscher nicht aus, um die Erwärmung im Schwabenland auf ein verträgliches Maß zu begrenzen. == Annomalitäten == === 2023 === Der September und Oktober waren im Schwabenland außergewöhnlich warm, nachdem schon der Sommer heiß gewesen ist. === 2022 === Der Oktober war extrem warm, insbesondere in der zweiten Monatshälfte. == Fazit == Das Schwabenland erwärmt sich schneller als andere, vergleichbar große Regionen, weswegen eine schnelle Reduktion von Abgasemissionen erforderlich ist. Andernfalls wäre mit einer Erwärmung von drei bis sechs Grad bis zum Beginn des nächsten Jahrhunderts zu rechnen. Dies kann dazu führen, dass die im Schwabenland heimischen Tierarten dem Selektionsdruck nicht gewachsen sind und es zum Massensterben zahlreicher Tierarten kommt. Ob die Ansiedelung anderer Tierarten aus wärmeren Gefilden die Folgen für das Ökosystem aufwiegen kann, ist ungewiss bzw. eher unwahrscheinlich. Bislang ist allerdings die Bereitschaft im Schwabenland, auf fossile Brennstoffe zu verzichten, eher gering. glr3pf8461vu2ykb3tgibjjza0wcb3k 1099660 1099659 2026-06-16T14:36:27Z ~2026-35307-36 41654 1099660 wikitext text/x-wiki Das Schwabenland zählt zu den Gebieten der Erde, die besonders stark von der globalen Erwärmung betroffen sind. Über Jahrhunderte hinweg war das Schwabenland von einem Klima mit schneereichen Wintern, wechselhaften und kühlen Frühlingen, mäßig warmen Sommern und kühlen, eher nassen Herbsten geprägt. Das Schwabenland besteht aus Baden-Württemberg und einem kleineren Teil des angrenzenden Bayerns. Mit dem Aufkommen von Automobilen der damaligen Daimler-Benz-AG stiegen die Temperaturen rasch an. Insbesondere in den letzten 10 Jahren gab es ungewöhnlich viele Mildwinter. Außerdem entwickelten sich "Supersommer" mit über Wochen hinweg mediterranen Temperaturverhältnissen und Temperaturen über 35 °C in weiten Teilen des Landes. Die Gründe sind insbesondere die Automobilindustrie, so wurde die Industrie im Schwabenland vom Daimler-Konzern geprägt, der zahlreiche Fabriken im Schwabenland ansiedelte. Der Klimawandel setzte im Schwabenland allmählich ab 1910 ein. Schon im Verlauf der 1. Hälfte des 20. Jahrhunderts konnte eine Erwärmung um etwa 0,5 °C beobachtet werden, in den 1960er-Jahren fiel das Temperaturniveau aber fast wieder auf das Niveau des 19. Jahrhunderts. Danach setzte aber bald der Klimawandel mit Macht ein, und die Jahre zwischen 2011 und 2020 waren das wärmste Jahrzehnt seit Beginn der Klimaaufzeichnungen. Zwischen 2007 und 2020 wurde eine Häufung extrem warmer, sonniger und trockener Aprilmonate beobachtet. Die Maie waren insbesondere in den Nullerjahren sehr warm, während die Zehnerjahre trotz des Rekords von 2018 mehrere kühle Maie bereithielten. Während es in den 1990er Jahren neben sehr heißen Sommern auch kühle und verregnete Sommer gab, überwogen nach 2000 überdurchschnittlich warme, häufig auch zu trockene Sommer. Die Sommer 2003, 2006, 2015 sowie mit Abstrichen auch 2018 und 2022 traten als "Supersommer" mit wochenlang anhaltender Hitze und Dürre hervor. Im Jahr 2018 waren zusätzlich die Monate April und September ungewöhnlich warm, sodass das gesamte Sommerhalbjahr noch wärmer ausfiel als 2003. Der Februar galt lange als der Monat, der im Schwabenland am wenigsten vom Klimawandel betroffen war, weil es auch in neuerer Zeit sehr kalte Vertreter gab und der Februar auch im vorindustriellen Zeitalter nicht selten Frühlingswetter hervorgebracht hatte. In den letzten Jahren ab 2019 häuften sich allerdings ungewöhnlich warme Februarmonate, stattdessen traten andere Monate hervor, die überraschend zu kalt ausfielen. Der März 2013 war ein klimatologischer Ausreißer, weil er ungewöhnliche Kälte brachte. Das Jahr 2021 fiel durch die ungewöhnlich kalten Monate April und Mai auf, auch der August 2021 war zu kalt. Der April 2022 fiel durch einen ungewöhnlichen Kälteeinbruch in der ersten Monatsdekade auf, an vielen Orten im Schwabenland wurde am 2. April der erste April-Eistag seit dem April 1986 gemessen, obwohl sich das Klima zwischen 1986 und 2022 deutlich erwärmt hat. Die zweite und die dritte Aprildekade präsentierten sich dagegen freundlich und überdurchschnittlich warm, sodass der Kälteeinbruch am Anfang des Monats kompensiert wurde und der April 2022 am Ende geringfügig wärmer ausfiel als ein durchschnittlicher April im Zeitraum von 1950 bis 1999. Nach drei eher kühlen Maien in Folge fiel der Mai 2022 wieder sehr warm aus und brachte die erste Hitzewelle des Jahres 2022. == Berechnung des schwäbischen Klimamittels == Für ein Gebietsmittel für das Schwabenland wird ein Mittelwert aus allen Werten der jeweiligen Wetterstationen gebildet. Dafür werden häufig auch die "Mannheimer Stunden" verwendet. Es lässt sich ein seit Jahrzehnten andauernder Trend der Erwärmung feststellen, die allerdings in den Frühlingsmonaten schwächer ausgeprägt ist als in den anderen Jahreszeiten. == Schneedecke im Schwabenland == Im Zeitraum von 1950 bis 1999 konnte in tiefer gelegenen Städten in den Wintermonaten mit durchschnittlich 20 bis 21 Schneedeckentagen gerechnet werden. Diese Zahl hat sich mittlerweile auf 5 bis 6 Tage reduziert. Im Bergland konnte in den letzten Jahren häufig in den "klassischen Wintermonaten" Dezember bis Februar nur noch mit einem halben Monat unter einer Schneedecke gerechnet werden, statt wie früher mit 30-31 Tagen. == Typische Klimawandeljahre im Schwabenland == Typische Klimawandeljahre waren die Jahre 2018, 2020 und 2022. Sie kennzeichnen sich durch Dürremonate, viele milde Phasen im Winter und in den anderen Jahreszeiten. Auch das Jahr 2023 kann im Schwabenland als typisches Klimawandeljahr angesehen werden. == Gründe für die ungewöhnlich starke Erwärmung im Schwabenland == Die Ursache, warum das Schwabenland stärker vom Klimawandel betroffen ist, als vergleichbar große andere Regionen, liegt auf der Hand: In Stuttgart befindet sich der Sitz der Daimler-AG und in der näheren Umgebung von Stuttgart gibt es zahlreiche Fabriken, die von der Daimler-AG oder seinen Zulieferer-Unternehmen betrieben werden. So werden regelmäßig Chemikalien in die Abwässer des Neckars zwischen Plochingen und Ludwigsburg geleitet. Weitere Gründe sind die topographischen Eigenschaften, wie das Wechselspiel von Bergen und Kesseln, die die starke Erwärmung begünstigen. == Mögliche Gegenmaßnahmen == Zum einen müsste, um den Klimawandel zu begrenzen, so schnell wie möglich auf Fahrzeuge mit fossilem Antrieb weitestgehend verzichtet werden. Bisher lässt sich noch keine ausreichende Bereitschaft in der Region erkennen, diesen Schritt zu gehen. So sind Fahrzeuge mit Verbrennungsmotor im Schwabenland immer noch die mit Abstand beliebtesten Fortbewegungsmittel. Zum anderen wäre ein Abriss des Stuttgarter Flughafens ein zielführendes Mittel, um die Klimaerwärmung im Schwabenland zu reduzieren. Auch hierfür fehlt es an Bereitschaft in der Bevölkerung im Großraum Stuttgart. So gibt es in der Region nicht wenige Klimaskeptiker, die den menschlichen Einfluss aus dem Klimawandel leugnen oder mit vermeintlichen Erinnerungen etwa an warmes Wetter im März vor über 50 Jahren kleinreden. Die bisherigen Klimaschutzmaßnahmen der Landesregierung Baden-Württemberg reicht nach Ansicht vieler renommierter Klimaforscher nicht aus, um die Erwärmung im Schwabenland auf ein verträgliches Maß zu begrenzen. == Annomalitäten == === 2023 === Der September und Oktober waren im Schwabenland außergewöhnlich warm, nachdem schon der Sommer heiß gewesen ist. === 2022 === Der Oktober war extrem warm, insbesondere in der zweiten Monatshälfte. === 2020 === Der Februar war rekordverdächtig warm und teilweise stürmisch. === 2018 === Die Monate Januar, April und Mai waren historisch warm, auch der Zeitraum Juni-August war deutlich heißer als gewöhnlich. === 2015 === Die Monate November und Dezember waren ungewöhnlich warm, der Dezember sogar extrem. === 2014 === Die Monate Januar, Februar, März, April und Oktober fielen deutlich wärmer aus, als erwartet wurde. == Fazit == Das Schwabenland erwärmt sich schneller als andere, vergleichbar große Regionen, weswegen eine schnelle Reduktion von Abgasemissionen erforderlich ist. 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Das Schwabenland besteht aus Baden-Württemberg und einem kleineren Teil des angrenzenden Bayerns. Mit dem Aufkommen von Automobilen der damaligen Daimler-Benz-AG stiegen die Temperaturen rasch an. Insbesondere in den letzten 10 Jahren gab es ungewöhnlich viele Mildwinter. Außerdem entwickelten sich "Supersommer" mit über Wochen hinweg mediterranen Temperaturverhältnissen und Temperaturen über 35 °C in weiten Teilen des Landes. Die Gründe sind insbesondere die Automobilindustrie, so wurde die Industrie im Schwabenland vom Daimler-Konzern geprägt, der zahlreiche Fabriken im Schwabenland ansiedelte. Der Klimawandel setzte im Schwabenland allmählich ab 1910 ein. Schon im Verlauf der 1. Hälfte des 20. Jahrhunderts konnte eine Erwärmung um etwa 0,5 °C beobachtet werden, in den 1960er-Jahren fiel das Temperaturniveau aber fast wieder auf das Niveau des 19. Jahrhunderts. Danach setzte aber bald der Klimawandel mit Macht ein, und die Jahre zwischen 2011 und 2020 waren das wärmste Jahrzehnt seit Beginn der Klimaaufzeichnungen. Zwischen 2007 und 2020 wurde eine Häufung extrem warmer, sonniger und trockener Aprilmonate beobachtet. Die Maie waren insbesondere in den Nullerjahren sehr warm, während die Zehnerjahre trotz des Rekords von 2018 mehrere kühle Maie bereithielten. Während es in den 1990er Jahren neben sehr heißen Sommern auch kühle und verregnete Sommer gab, überwogen nach 2000 überdurchschnittlich warme, häufig auch zu trockene Sommer. Die Sommer 2003, 2006, 2015 sowie mit Abstrichen auch 2018 und 2022 traten als "Supersommer" mit wochenlang anhaltender Hitze und Dürre hervor. Im Jahr 2018 waren zusätzlich die Monate April und September ungewöhnlich warm, sodass das gesamte Sommerhalbjahr noch wärmer ausfiel als 2003. Der Februar galt lange als der Monat, der im Schwabenland am wenigsten vom Klimawandel betroffen war, weil es auch in neuerer Zeit sehr kalte Vertreter gab und der Februar auch im vorindustriellen Zeitalter nicht selten Frühlingswetter hervorgebracht hatte. In den letzten Jahren ab 2019 häuften sich allerdings ungewöhnlich warme Februarmonate, stattdessen traten andere Monate hervor, die überraschend zu kalt ausfielen. Der März 2013 war ein klimatologischer Ausreißer, weil er ungewöhnliche Kälte brachte. Das Jahr 2021 fiel durch die ungewöhnlich kalten Monate April und Mai auf, auch der August 2021 war zu kalt. Der April 2022 fiel durch einen ungewöhnlichen Kälteeinbruch in der ersten Monatsdekade auf, an vielen Orten im Schwabenland wurde am 2. April der erste April-Eistag seit dem April 1986 gemessen, obwohl sich das Klima zwischen 1986 und 2022 deutlich erwärmt hat. Die zweite und die dritte Aprildekade präsentierten sich dagegen freundlich und überdurchschnittlich warm, sodass der Kälteeinbruch am Anfang des Monats kompensiert wurde und der April 2022 am Ende geringfügig wärmer ausfiel als ein durchschnittlicher April im Zeitraum von 1950 bis 1999. Nach drei eher kühlen Maien in Folge fiel der Mai 2022 wieder sehr warm aus und brachte die erste Hitzewelle des Jahres 2022. == Berechnung des schwäbischen Klimamittels == Für ein Gebietsmittel für das Schwabenland wird ein Mittelwert aus allen Werten der jeweiligen Wetterstationen gebildet. Dafür werden häufig auch die "Mannheimer Stunden" verwendet. 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Auch das Jahr 2023 kann im Schwabenland als typisches Klimawandeljahr angesehen werden. == Gründe für die ungewöhnlich starke Erwärmung im Schwabenland == Die Ursache, warum das Schwabenland stärker vom Klimawandel betroffen ist, als vergleichbar große andere Regionen, liegt auf der Hand: In Stuttgart befindet sich der Sitz der Daimler-AG und in der näheren Umgebung von Stuttgart gibt es zahlreiche Fabriken, die von der Daimler-AG oder seinen Zulieferer-Unternehmen betrieben werden. So werden regelmäßig Chemikalien in die Abwässer des Neckars zwischen Plochingen und Ludwigsburg geleitet. Weitere Gründe sind die topographischen Eigenschaften, wie das Wechselspiel von Bergen und Kesseln, die die starke Erwärmung begünstigen. == Mögliche Gegenmaßnahmen == Zum einen müsste, um den Klimawandel zu begrenzen, so schnell wie möglich auf Fahrzeuge mit fossilem Antrieb weitestgehend verzichtet werden. Bisher lässt sich noch keine ausreichende Bereitschaft in der Region erkennen, diesen Schritt zu gehen. So sind Fahrzeuge mit Verbrennungsmotor im Schwabenland immer noch die mit Abstand beliebtesten Fortbewegungsmittel. Zum anderen wäre ein Abriss des Stuttgarter Flughafens ein zielführendes Mittel, um die Klimaerwärmung im Schwabenland zu reduzieren. Auch hierfür fehlt es an Bereitschaft in der Bevölkerung im Großraum Stuttgart. So gibt es in der Region nicht wenige Klimaskeptiker, die den menschlichen Einfluss aus dem Klimawandel leugnen oder mit vermeintlichen Erinnerungen etwa an warmes Wetter im März vor über 50 Jahren kleinreden. Die bisherigen Klimaschutzmaßnahmen der Landesregierung Baden-Württemberg reicht nach Ansicht vieler renommierter Klimaforscher nicht aus, um die Erwärmung im Schwabenland auf ein verträgliches Maß zu begrenzen. == Annomalitäten == === 2024 === Der Februar 2024 ist im Schwabenland außerordentlich warm ausgefallen und es gab kaum Frost. 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Dies kann dazu führen, dass die im Schwabenland heimischen Tierarten dem Selektionsdruck nicht gewachsen sind und es zum Massensterben zahlreicher Tierarten kommt. Ob die Ansiedelung anderer Tierarten aus wärmeren Gefilden die Folgen für das Ökosystem aufwiegen kann, ist ungewiss bzw. eher unwahrscheinlich. 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Wir können also verschiedene Vielfache von {{math|term= dz |SZ=}} als Vielfache von {{math|term= dx |SZ=}} ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren zu {{math|term= dz |SZ=}} erzeugte Ideal in {{math|term= R |SZ=,}} also {{Math/display|term= {{makl| 3, x-q ,2z - {{op:Bruch|q^2+2| 3}} |}} |SZ=.}} Dieses Ideal enthält {{math|term= q^3-q |SZ=}} als Vielfaches von {{mathl|term= x-q |SZ=.}} Im Restklassenring wird also {{math|term= x |SZ=}} zu {{math|term= q |SZ=}} und {{math|term= z |SZ=}} wird zu {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1+qx+x^2| 3}} || {{op:Bruch| 1+2q^2 | 3}} || || |SZ=. }} Somit enthält das Ideal die Zahlen {{math|term= 3, q^3-q |SZ=}} und {{ Relationskette/display | 2 {{op:Bruch| 1+2q^2 | 3}} - {{op:Bruch|q^2+2| 3}} || q^2 || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= 3 |und|term2= q |SZ= }} teilerfremd sind, enthält es auch die {{math|term= 1 |SZ=}} und somit gibt es auch eine Darstellung von {{math|term= dz |SZ=}} als ein Vielfaches von {{math|term= dx |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 916q5j6rp9gafobvnsgh51l94r6oawg 106 129194 1099663 889592 2026-06-16T15:48:10Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/1/Klausur]] nach [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/1/Klausur]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 688990 wikitext text/x-wiki {{ Klausur12 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe|p||| |Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Lieblingsbeispiel/Aufgabe|p||| |Quadratwurzel aus 3/Nicht in Q sqrt(2)/Aufgabe|p||| |Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe|p||| |Determinante/6 10 15/Ergänzung/Finde/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Zwei reine Gleichungen/Norm/Aufgabe|p||| |Reeller Einheitskreis/Punktideal/Gleiche Klasse/Aufgabe|p||| |Polynom/X^3+X+1/Verschiedene Primzahlen/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Turm/Zerlegungsgruppe auf Zerlegungsgruppe/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rhf1d5rwo7w14kpnovoamjrmsx0itnx 0 129515 1099886 1084982 2026-06-17T06:45:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099886 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik 2/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette |X | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} || || || |SZ= }} direkt eingebettet und ebenso ist die Kohomologieklasse {{ Relationskette |c || {{op:Bruch|W^2|XYZ}} || || || |SZ= }} schon in der richtigen Form gegeben. Der Grad ist {{math|term= 3 |SZ=,}} das ist der Schnitt mit einer Geraden {{mathl|term= =H^2 |SZ=.}} Es ist aber {{ Relationskette/display |Wc || 0 || || || |SZ=. }} Wenn man hingegen in Charakteristik {{math|term= p |SZ=}} zu {{ Relationskette/display | c^p || {{op:Bruch|W^{2p}|X^pY^pZ^p}} || || || |SZ= }} übergeht, so ist dies bei {{ Relationskette |p || 2 || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |p || 3 s+1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | 2p || 6s +2 || || || |SZ= }} und somit ist dies {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|W^{2p}|X^pY^pZ^p}} || {{op:Bruch| W^2 (W^3)^{2s}|X^pY^pZ^p}} || {{op:Bruch| W^2 (X^3+Y^3+Z^3)^{2s}|X^pY^pZ^p}} || || |SZ= }} und dies ist multipliziert mit {{math|term= W |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|(X^3+Y^3+Z^3)^{2s+1}|X^pY^pZ^p}} || {{op:Bruch|(X^3+Y^3+Z^3)^{2s+1}|X^{3s+1}Y^{3s+1} Z^{3s+1} }} || || || |SZ=. }} Dies enthält beispielsweise den Summanden {{mathl|term= {{op:Bruch| X^{3s} Y^{3s} Z^3|X^{3s+1}Y^{3s+1} Z^{3s+1} }} |SZ=}} mit dem Vorfaktor {{math|term= {{op:Bruch|(2s+1)!|s! s!}} |SZ=,}} der modulo {{math|term= p |SZ=}} eine Einheit ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3uql4mz3do8dobbqyby9qmy9ku9yyzv 0 129522 1100166 1085294 2026-06-17T07:31:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100166 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper von positiver Charakteristik, {{ Relationskette |R || K[X,Y,Z] || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |I || {{makl| X^4,Y^4,Z^4 |}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette |X^3Y^3Z^3 |\notin| I || || || |SZ=. }} Wir betrachten die graduierte Auflösung des Ideals auf der projektiven Ebene, also {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} | -12}} \longrightarrow \bigoplus_3 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} | -8}} \longrightarrow \bigoplus_3 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} | -4}} \longrightarrow {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} |}} \longrightarrow 0 |SZ= }} mit dem mittleren Kern {{mathl|term= {{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} |SZ=.}} Der neunte Twist ergibt hinten die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} | -3}} | \bigoplus_3 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} | 1}} | {{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) | SZ=,}} die zeigt, dass {{mathl|term= {{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) |SZ=}} ein geräumiges Bündel ist. Wir betrachten die zu {{math|term= X^3Y^3Z^3 |SZ=}} gehörige erste Kohomologieklasse {{ Relationskette/display |c | \in | H^1( {{op:Projektive Ebene|K }} ,{{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) ) || || || |SZ= }} und den zugehörigen Torsor {{ Abbildung/display |name= | T | {{op:Projektive Ebene|K }} || |SZ=. }} Dieser enthält keine projektive Fläche, seine kohomologische Dimension ist {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=er annulliert mit {{math|term= c |SZ=}} auch die zweite Kohomologieklasse {{ Relationskette/k | {{op:Bruch| 1 |XYZ}} | \in | H^2 ( {{op:Projektive Ebene| K |}} ,{{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene| K |}} | -3}}) || || || |SZ=, }} er ist aber auch nicht affin| |ISZ=|ESZ=. }} Die Einschränkung von {{mathl|term= {{op:Syz|X^4,Y^4,Z^4}} (9) |SZ=}} auf jede Kurve {{ Relationskette |C | \subseteq | {{op:Projektive Ebene| K |}} || || || |SZ= }} ist wieder ampel und deshalb wird die eingeschränkte Kohomologieklasse sogar vom Frobenius annulliert. Insbesondere gibt es über jeder Kurve {{math|term= C |SZ=}} eine projektive Kurve {{math|term= C'|SZ=}} in {{math|term= T |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie3=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5l5wroqvwh6y6xvcw58xrn9tiwdkjvx 0 129529 1099949 1085040 2026-06-17T06:55:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099949 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem projektiven Raum {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} |SZ=}} eine Koszul-Auflösung der Form {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} | -4a}} \longrightarrow \bigoplus_4 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} | -3a}} \longrightarrow \bigoplus_6 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} | -2a}} \longrightarrow \bigoplus_4 {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} | -a}} \stackrel{X^a,Y^a,Z^a,W^a}{ \longrightarrow } {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} |}} \longrightarrow 0 |SZ= }} und die eingeschränkte Auflösung {{ Zusatz/Klammer |text=die nicht minimal ist| |ISZ=|ESZ= }} auf eine Hyperfläche {{ Relationskette |V_+(F) | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| 3 |K}} || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= \delta|SZ=.}} Es ist {{mathl|term= {{op:Syz|X^a,Y^a,Z^a,W^a|}} (m) |SZ=}} ampel und {{math|term= p |SZ=-}}ampel für {{ Relationskette/display |m | \geq | 2a+1 || || || |SZ=. }} Es sind {{math|term= {{op:Syz| I |}}_1 |SZ=}} und {{math|term= {{op:Syz| I |}}_2 |SZ=}} bis auf einen Twist dual zueinander. Der Grad von {{math|term= {{op:Syz| I |}}_1 (m) |SZ=}} ist {{mathl|term= (3m-4a) \delta |SZ=,}} der Grad von {{math|term= {{op:Syz| I |}}_2 (m) |SZ=}} ist {{mathl|term= (3m-8a) \delta |SZ=.}} Das wird effektiv bei {{ Relationskette/display |m | \geq | {{op:Bruch| 8 | 3}} a || || || |SZ=. }} Die Einschränkung des ersten Syzygienbündels auf eine projektive Gerade der Form {{math|term= V_+(X-Y,Z-W) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Syz|X^a,X^a,Z^a,Z^a|}} | \cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade| K |}} | -a}} \oplus {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade| K |}} | -a}} \oplus {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade| K |}} | -2a}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf projektiven Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h4qfz4m9bs0xo80y13cad80mj9awxz4 0 129556 1099801 1084903 2026-06-17T06:32:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099801 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ= }} mit Ortsuniformisierender {{math|term= t |SZ=.}} Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | V^n | V || |SZ= }} mit {{mathl|term= e_i \mapsto u_i t^{a_i } |SZ=}} mit Einheiten {{math|term= u_i |SZ=}} und Exponenten {{ Relationskette | 0 | \leq | a_1 | \leq | \ldots | \leq | a_n || |SZ=. }} Das Bild ist das Ideal {{mathl|term= (t^{a_1 }) |SZ=.}} Der Kern wird erzeugt durch die Tupel {{ Math/display|term= {{op:Zeilentupel| u_2t^{a_2-a_1 } | -u_1 | 0 | \ldots| 0 |}} , {{op:Zeilentupel| u_3t^{a_3-a_1 } | 0 | -u_1 | 0 | \ldots| 0 |}}, \ldots |SZ=. }} Die Tupel {{ Math/display|term= {{op:Zeilentupel| u_2t^{a_2 } | -u_1t^{a_1 } | 0 | \ldots | 0 |}} , {{op:Zeilentupel| u_3t^{a_3 } | 0 | -u_1 t^{a_1 } | 0 | \ldots | 0 |}}, \ldots |SZ= }} sind etwas natürlicher, aber nur außerhalb des Nullpunktes eine Basis. Wenn die Situation von einer höherdimensionalen Situation herrührt, so ergibt der Isomorphismus mit der Strukturgarbe gerade keinen Isomorphismus (der Rückzug des Syzygienmoduls ist nicht der Syzygienmodul). Es sei {{math|term= {{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n |}} |SZ=}} das Syzygienbündel auf {{math|term= R |SZ=}} zu einem {{math|term= {{idealm|}} |SZ=-}}primären Ideal {{math|term= I |SZ=}} und sei {{ Abbildung/display |name= \theta | R | V || |SZ= }} ein Ringhomomorphismus. Es liegt also eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n |}} | R^n | I |}} vor. Durch Rückzug erhält man die exakte Sequenz {{ Math/display|term= \theta^*( {{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n |}} ) \longrightarrow V^n \longrightarrow \theta^*I \longrightarrow 0 |SZ=. }} Einerseits hat man hier nur eine Surjektion {{ Abbildung |name= | \theta^*I | IV || |SZ=. }} Dann ist {{ Abbildung/display |name= | \theta^*( {{op:Syz|f_1 {{kommadots}} f_n |}} ) | {{op:Syz| \theta^*(f_1) {{kommadots}} \theta^*(f_n)|}} || |SZ= }} weder surjektiv noch injektiv. Wenn eine Situation wie eingangs beschrieben entsteht, so sind beide Moduln frei. Entscheidend für Fortsetzungseigenschaften ist der linke. Bei {{math|term= {{op:Syz|X^a,Y^b}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |a | \leq | b || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} auf {{ Relationskette |R || K[X,Y] || || || |SZ= }} liegt ein Isomorphismus {{ Abbildung/display |name= | R | {{op:Syz|X^a,Y^b}} | 1 | (Y^b,-Y^a) |SZ=, }} vor. Unter {{math|term= X,Y \mapsto t |SZ=}} wird der Isomorphismus zu {{ Relationskette/display |V | \cong| \theta^* {{op:Syz|X^a,Y^b}} || || || |SZ= }} und mit dem Isomorphismus {{ Abbildung/display |name= | V | {{op:Syz|t^a,t^b}} | 1 | (t^{b-a},-1) |SZ=, }} ist die obige Abbildung gleich {{ Abbildung/display |name= | V | V | 1 |t^a |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2cefjcpqw3cwbaedgkqd0zwpvduooj 0 129559 1100697 1085796 2026-06-17T10:49:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100697 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Isolierte Singularität, Singularitätenauflösung {{math|term= \tilde{X} |SZ=.}} {{math|term= M |SZ=}} Modul mit Rückzug nach {{math|term= \tilde{X} |SZ=.}} Kohomologieklasse {{math|term= c |SZ=}} aus {{mathl|term= H^d(U, \tilde{M}) |SZ=.}} Äquivalent (?). fortsetzbar nach {{mathl|term= H^d(\tilde{X} , \tilde{M}) |SZ=.}} Für jeden Bewertungsring {{math|term= \theta: R \rightarrow V |SZ=}} (lokal) ist der zurückgezogene Vertreter (es gibt einen) in {{math|term= \theta^*M|SZ=}} polfrei. Grundkörper {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Es gibt einen Vertreter der Klasse, der für gegen den Nullpunkt konvergiert. Polynomring, Strukturgarbe (eventuell Tiefenbedingung), Klasse nicht {{math|term= 0 |SZ=.}} {{math|term= {{op:Bruch| 1 |X_1^{\alpha_1 } \cdots X_n^{\alpha_n } }} |SZ=}} mit {{ Relationskette |\alpha_j | > | 0 || || || |SZ=. }} Nicht auf Auflösung fortsetzbar, nicht polfrei, nicht konvergent. Wenn {{math|term= R |SZ=}} positiv graduiert ist, so geht es um die Kohomologieklassen {{mathl|term= {{op:Bruch| z | x_1^{\alpha_1 } \cdots x_d^{\alpha_d} }} |SZ=}} Wenn der Grad der Klasse {{math|term= \geq 0 |SZ=}} ist, so sind alle drei Bedingungen erfüllt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyruo4z47zlxy8i1kae0r0cxqzthl6b 0 129561 1099882 1084978 2026-06-17T06:44:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099882 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Syz|X^2,Y^2,Z^2|}} |SZ=}} und {{math|term= XYZ|SZ=}} auf {{mathl|term= V_+(F) |SZ=.}} Die zugehörige Kohomologieklasse ist {{ Relationskette/display | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|YZ|X}} | - {{op:Bruch|XZ|Y}} | 0}} || {{op:Bruch| 1 |XY}} {{op:Zeilenvektor|Y^2 Z | - X^2Z | 0}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vlyzl3eotcq4s2snnlhkus4lqvxeoi 0 129565 1100611 1085689 2026-06-17T10:34:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100611 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/(F) || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_{n-1} |SZ=}} Parameter in {{math|term= R |SZ=}} seien, und {{ Relationskette |I || {{makl| X_1^{a_1 } {{kommadots|}} X_n^{a_n } |}} || || || |SZ=. }} Ein Monom {{mathl|term= X^{b_1 } \cdots X^{b_n } |SZ=}} wird auf {{math|term= D(X_i) |SZ=}} repräsentiert durch {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | \ldots| 0 | X_1^{b_1 } \cdots X_{i-1}^{b_{i-1} } X_i^{b_i-a_i } X_{i+1}^{b_{i+} } \cdots X_n^{b_n } | 0 | \ldots| 0}} |SZ= }} und die erste Kohomologieklasse besteht aus den Differenzen auf {{mathl|term= D(X_iX_j) |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n || 3 || || || |SZ= }} wird die erste Kohomologieklasse repräsentiert durch {{ Relationskette/align | {{op:Zeilenvektor| X^{b_1-a_1 } Y^{b_2 } Z^{b_3 } | 0 | 0}} - {{op:Zeilenvektor| 0 | X^{b_1 } Y^{b_2-a_2 } Z^{b_3 } | 0}} || {{op:Zeilenvektor| X^{b_1-a_1 } Y^{b_2 } Z^{b_3 } | - X^{b_1 } Y^{b_2-a_2 } Z^{b_3 } | 0}} || {{op:Bruch| 1 |X^{a_1 }Y^{a_2 } }} {{op:Zeilenvektor| X^{b_1 } Y^{a_2+b_2 } Z^{b_3 } | - X^{a_1+b_1 } Y^{b_2 } Z^{b_3 } | 0}} || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} brlinq4g3iiai3hcyvq6m4twgg504k2 0 129572 1100148 1085259 2026-06-17T07:28:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100148 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K[X,Y] |SZ=}} und {{ Relationskette |I || {{makl| X^a,Y^a |}} || || || |SZ= }} und {{math|term= X^{a-1}Y^{a-1} |SZ=.}} Unter dem Modulisomorphismus {{ Relationskette/display |R | \cong| {{op:Syz|X^a,Y^a|}} || || || |SZ= }} ist die zugehörige Kohomologieklasse gleich {{math|term= {{op:Bruch| 1 |XY}} |SZ=.}} In Syzygienschreibweise ist dies gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |XY}} {{op:Zeilenvektor|Y^a| -X^a}} |SZ=.}} In der Realisierung als Gruppenschema {{ Zusatz/Klammer |text=als Untergruppe| |ISZ=|ESZ= }} ist dies {{mathl|term= K[X,Y][S,T]/ {{makl| X^aS+Y^aT |}} |SZ=,}} die Schnitte sind die Syzygien. Der auf {{math|term= D(XY) |SZ=}} definierte Schnitt {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |XY}} {{op:Zeilenvektor|Y^a| -X^a}} |SZ=}} besitzt eingeschränkt auf die Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=nicht die Achsen| |ISZ=|ESZ= }} bei {{ Relationskette |a | \geq | 2 || || || |SZ= }} eine Fortsetzung in den Nullpunkt hinein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9sxofur4ngygrhb3l04qtt3pz8l7uhx 0 129733 1099883 1084979 2026-06-17T06:44:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099883 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Syzygienmodul {{mathl|term= {{op:Syz| x^2,y^2,z^2|}} |SZ=}} auf {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^3+Y^3+Z^3 |}} |SZ=.}} Es gibt die Auflösung {{ Math/display|term= R \oplus R(-1)^{\oplus 3} \longrightarrow {{op:Syz| x^2,y^2,z^2|}} (3) \longrightarrow 0 |SZ=, }} die durch die Koszulsyzygien und die Gleichung gegeben ist. Die Auflösung geht weiter mit {{mathl|term= R(-2)^3 |SZ=}} für die Relationen zwischen den Koszulsyzygien und weiteren. Die Syzygie {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} aus der Gleichung definiert direkt die Abbildung {{ Abbildung |name= | R | {{op:Syz| x^2,y^2,z^2|}} (3) || |SZ=, }} der Quotient ist dabei das maximale Ideal, die Koszulsyzygie {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| y^2| -x^2| 0}} |SZ=}} wird nach {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Primäre Syzygie/3 Erzeuger/Quotientenabbildung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} auf {{ Relationskette | {{op:Bruch| x^2z| x^2}} || z || || || |SZ= }} abgebildet. Es liegt also die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| R | {{op:Syz| x^2,y^2,z^2}} | {{idealm|}} }} vor. Ferner ist {{Kurze exakte Sequenz/display| {{idealm|}} | R | R/{{idealm}} |SZ=,}} für die Kohomologiegruppen gilt dabei {{ Relationskette |H^1 (U, {{idealm|}} ) | \cong|H^1 (U, {{op:Strukturgarbe| X |}} ) || || || |SZ=. }} Unklar, wie das auf der Aufblasung aussieht. Für Abbildungen von Kurven nach {{math|term= X |SZ=}} macht der Rückzug von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} und Strukturgarbe auch einen Unterschied. Schon {{mathl|term= {{op:Bruch|z^2| xy}} |SZ=}} wird als Element des maximalen Ideals auf eine Gerade anders eingeschränkt. Der nichtexakte Komplex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow R \longrightarrow {{op:Syz| x^2,y^2,z^2}} \longrightarrow R \longrightarrow 0 |SZ= }} führt in der Aufblasung jedenfalls zu einen Komplex von kohärenten Moduln {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} \longrightarrow \pi^* {{op:Syz| x^2,y^2,z^2}} \longrightarrow {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} \longrightarrow 0 |SZ=, }} dessen Einschränkung auf {{math|term= U |SZ=}} exakt ist. Die Kohomologieklasse in der Mitte geht auf die Klasse in {{mathl|term= H^1(U,{{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}}) |SZ=,}} die als solche in der lokalen Kohomologie auf {{math|term= 0 |SZ=}} geht {{ Zusatz/Klammer |text=das gilt nicht für {{math|term= \pi^*{{idealm}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Frage ist dann, ob {{ Math/display|term=0 \longrightarrow H^2_E( {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} ) \longrightarrow H^2_E( \pi^* {{op:Syz| x^2,y^2,z^2}} ) \longrightarrow H^2_E( {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} ) \longrightarrow 0 |SZ= }} exakt ist. Die Faktorisierung {{ Math/display|term= H^2_E( \pi^* {{op:Syz| x^2,y^2,z^2}} ) \longrightarrow H^2_E( \pi^*{{idealm}} ) \longrightarrow H^2_E( {{op:Strukturgarbe|\tilde{X} |}} ) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2v4pr4fgaax1c31rdhv9cajtffegwvw 0 129795 1100657 1085756 2026-06-17T10:42:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100657 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu Elementen {{ Relationskette | f_1,f_2,f_3 | \in | R || || || |SZ= }} in einem lokalen zweidimensionalen Ring und einer primären Syzygie {{mathl|term= (g_1,g_2,g_3) |SZ=}} gehört die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | R | {{op:Syz|f_1,f_2,f_3 |}} || |SZ= }} und die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Syz|f_1,f_2,f_3 |}} | R |(h_1,h_2,h_3)| {{op:Bruch| -h_2g_3+h_3g_2 |f_1 }} |SZ=. }} Wenn {{math|term= f_1,f_2 |SZ=}} Parameter sind und {{ Relationskette |f | \in | R || || || |SZ= }} mit der zugehörigen Kohomologieklasse {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| f |f_1 }} | -{{op:Bruch| f |f_2 }} | 0}} |SZ=,}} so wird dies auf {{mathl|term= {{op:Bruch| -fg_3 |f_1f_2 }} |SZ=}} abgebildet. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der endlich erzeugten Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1ib1ya33inic40qtpgdde362vj73fc 0 129907 1100158 1085279 2026-06-17T07:30:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1100158 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Beginn der Koszul-Auflösung {{ Math/display|term= R^{ {{op:Binomialkoeffizient| n | 2}} }\longrightarrow R^n \longrightarrow {{idealm}} \longrightarrow 0 |SZ= }} und den Ringwechsel {{ Abbildung/display |name= |R{{=}} K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] | T {{=}} K[X_1,S_2 {{kommadots|}} S_n ] |X_j | X_1S_j |SZ=, }} mit {{mathl|term= X_1 \mapsto X_1 |SZ=.}} In der Tensorierung der Sequenz gilt mit den Erzeugern {{math|term= f_j |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | X_1 f_j || X_j f_1 || X_1S_jf_1 || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display |X_1 {{makl| f_j-S_jf_1 |}} || 0 || || || |SZ=. }} Wenn man modulo der Torsion geht, so ist {{ Relationskette/display | f_j-S_jf_1 || 0 || || || |SZ= }} und man braucht nur den Erzeuger {{math|term= f_1 |SZ=.}} Modulo Torsion ist die Abbildung nach {{math|term= S |SZ=}} surjektiv. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2=Theorie der Aufblasungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} la5o5cbqjcu8crth9f3ajh28my4kyer 106 130405 1099667 689548 2026-06-16T17:22:40Z Bocardodarapti 2041 1099667 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe|p||| |Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Zahlen und Funktionen/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Spektrum/Offene_Menge/Aufgabe|p||| |Achter Kreisteilungsring/Hauptideal/X^2+1/Norm/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Isomorph/Aufgabe|p||| |Reeller Einheitskreis/Punktideal/Gleiche Klasse/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe|p||| |Polynom/X^3+X+1/Verschiedene Primzahlen/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Turm/Zerlegungsgruppe auf Zerlegungsgruppe/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8f0dp0k6ngb1ofb4xrmjw01e9u1q82z 0 130622 1100651 1085744 2026-06-17T10:41:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100651 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Animasjon lysrefleksjon|gif| 230px {{!}} right {{!}} | | |Text= |Autor= |Benutzer=Ingvald Straume |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |orthogonalem Komplement| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement| U |}} |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | E || P+U || || || |SZ= }} ein affiner Unterraum und {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | v |\neq| 0 || || || |SZ=, }} ein Vektor und {{ Relationskette | G || Q + \R v || || || |SZ= }} die Gerade durch einen Punkt {{math|term= Q |SZ=}} mit dem Richtungsvektor {{math|term= v |SZ=.}} Man denke bei {{math|term= E |SZ=}} an eine fixierte Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=eine Bande| |ISZ=|ESZ= }} in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei {{math|term= v |SZ=}} an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung {{ Abbildung |name= |\R|V | t | Q+tv |SZ=, }} gegeben. {{ inputbild |Light matter reflection|svg| 230px {{!}} right {{!}} | | |Text= |Autor= |Benutzer=Kdkeller |Domäne= |Lizenz=CC BY 3.0 |Bemerkung= }} Wenn die Bewegung auf {{math|term= E |SZ=}} trifft, so wird die Bewegung nach dem {{Stichwort|Reflexionsgesetz|SZ=}} reflektiert, dabei gilt die Beziehung {{Stichwort|Einfallswinkel |SZ=}} ist gleich {{Stichwort|Ausfallswinkel|SZ=.}} Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können {{ Relationskette | P || Q || || || |SZ= }} annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor {{math|term= v |SZ=}} besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/R/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} eine eindeutige Zerlegung {{ Relationskette/display | v || u+w || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | u | \in | U || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | w | \in | {{op:Orthogonales Komplement| U |}} || || || |SZ=. }} Der Vektor {{math|term= w |SZ=}} wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente {{math|term= u |SZ=}} und in die Lotkomponente {{math|term= w |SZ=.}} Der Ausfallsvektor {{math|term= v^* |SZ=}} ist dann gleich {{mathl|term= u-w |SZ=,}} es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| v |u}} || {{op:Skalarprodukt|u+w|u}} || {{op:Skalarprodukt| u |u}} || {{op:Skalarprodukt|u-w|u}} || {{op:Skalarprodukt|{v^*}|u}} || |SZ=. }} Ein Vektor, der zu {{math|term= U |SZ=}} gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf {{math|term= U |SZ=}} steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte {{ Zusatz/Klammer |text=ungebremste| |ISZ=|ESZ= }} Bewegung ist durch {{ Relationskette/display | \gamma(t) || \begin{cases} P+t(u+w) \text{ für } t \leq 0 \, , \\ P+t(u-w) \text{ für } t \geq 0 \, , \end{cases} || || || |SZ= }} gegeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Reflexionstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skqwgdfk5pl7sz67262sh9qo4ho8jvn 0 130796 1100701 1085808 2026-06-17T10:49:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100701 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei {{ Relationskette |G | \subseteq |\R^n || || || |SZ= }} offen und einer {{ Definitionslink |total differenzierbaren| |Kontext=R| |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | G | \R^m || |SZ= }} wird die affin-lineare Approximation in einem Punkt {{ Relationskette |P || (a_1 {{kommadots|}} a_n) | \in | G || || |SZ= }} in Koordinaten folgendermaßen geschrieben. Es sei {{math|term= L |SZ=}} das totale Differential, sodass die lineare Approximation für {{mathl|term= \varphi(P+v) |SZ=}} die Gestalt {{ Math/display|term= \varphi(P) + L(v) |SZ= }} besitzt. Wenn man dies in den Koordinaten {{math|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} schreiben möchte, so ist {{ Relationskette |v_i || x_i-a_i || || || |SZ= }} und daher ist die lineare Approximation für {{mathl|term= \varphi(x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | \varphi(a_1 {{kommadots|}} a_n) + L {{op:Spaltenvektor| x_1-a_1 | \vdots| x_n-a_n }} || L {{op:Spaltenvektor| x_1 | \vdots| x_n }} + \varphi(a_1 {{kommadots|}} a_n) - L {{op:Spaltenvektor|a_1 | \vdots|a_n }} || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p948j8s78nm8xy70s3pa87okgo108mh 0 131567 1100640 788128 2026-06-17T10:39:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100640 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein häufiges Missverständnis über die Mathematik ist, dass sie {{Anführung|formal}} sei bzw. dass eine Hauptschwierigkeiten darin liege, ihren Formalismus zu verstehen. Die Mathematik ist präzise, begriffsorientiert, logisch, abstrakt, aber nicht formal. Im Rahmen der Prädikatenlogik lässt sie sich auch formalisieren, das entspricht aber nicht der eigentlichen mathematischen Arbeitsweise. Logische Symbole wie {{math|term= \Rightarrow, \Leftrightarrow, \forall, \exists |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=logische Implikation, logische Äquivalenz, Allquantor, Existenzquantor| |ISZ=|ESZ= }} sollten daher {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere von Studienanfängern| |ISZ=|ESZ= }} besser vermieden werden, da sie nicht {{Anführung|wissenschaftlicher}} sind als die direkten Wörter, eine Professionalität vortäuschen und eine unnötige Fehlerquelle darstellen. Allerdings sieht man in mathematischen Texten neben Zahlen und Variablen eine Reihe von Symbolen wie {{math|term= \sum, \prod, \int, {{op:Folgenlimes| x}}, \infty |SZ=,}} die Abkürzungen für mathematische Terme und Sachverhalte darstellen und deren Bedeutung man kennen muss. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84lvxlvwm1l0ig8jkqk8ptg91c0kabj 0 131586 1100642 1035524 2026-06-17T10:40:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100642 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mit der Formulierung {{Anführung|ohne Einschränkung|}} oder {{Anführung|ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit|}} {{ Zusatz/Klammer |text=o.B.d.A.| |ISZ=|ESZ= }} oder {{Anführung|wir dürfen annehmen|}} meint man, dass man in einem gegebenen Beweiskontext eine zusätzliche Annahme machen darf, die die folgende Argumentation abkürzt. Dabei darf keine substantiell neue Voraussetzung hinzugenommen werden, da die Voraussetzungen ja in der zu beweisenden Aussagen fixiert sind. Typische Situationen liegen vor, wenn die Anordnung symmetrisch ist, also beispielsweise eine Aussage über zwei Zahlen, {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=, }} gemacht wird, und die Zahlen in der Aussage gleichberechtigt vorkommen. Dann kann man direkt sagen, dass {{ Relationskette |a | \geq |b || || || |SZ= }} ist, da man dies ja durch eine Umbenennung erreichen könnte. Manchmal kann man {{math|term= a |SZ=}} durch {{math|term= -a|SZ=}} ersetzen, dann kann man annehmen, dass {{ Relationskette |a | \geq | 0 || || || |SZ= }} ist. Oder bei einer geometrischen Anordnung, wo sowohl die Voraussetzungen als auch die Folgerung unter einer Verschiebung beibehalten wird, kann man einen Punkt in den Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} verschieben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mocz9tvkml2a695ie5ufrou4678tb89 0 131629 1100641 1035509 2026-06-17T10:39:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100641 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Gleichungen treten in der Mathematik mit recht verschiedenen Funktionen auf. Eine wichtige Funktion ist, dass man mit Gleichungen bzw. der Lösbarkeit von Gleichungen Sachverhalte kompakt ausdrücken kann. So kann man {{ Relationskette | x | > | y || || || |SZ= }} dadurch ausdrücken, dass es eine positive Zahl {{math|term= z |SZ=}} derart gibt, dass {{ Relationskette | x || y+z || || || |SZ= }} gilt, oder die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl {{math|term= b |SZ=}} durch eine natürliche Zahl {{math|term= a |SZ=}} bedeutet die Existenz einer weiteren Zahl {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette |b || ac || || || |SZ=, }} eine Zahl {{math|term= m |SZ=}} ist gerade, wenn sie die Form {{ Relationskette |m || 2k || || || |SZ= }} besitzt, und ungerade, wenn sie die Form {{ Relationskette |m || 2k+1 || || || |SZ= }} besitzt, die Division mit Rest bedeutet, dass man {{ Relationskette |n || qd+r || || || |SZ= }} schreiben kann {{ Zusatz/Klammer |text=statt etwas zu sagen wie {{math|term= n:d|SZ=}} ist {{math|term= q |SZ=}} Rest {{math|term= r |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die drei wesentlichen Vorteile dieser Vorgehensweise sind: {{ Aufzählung3 |Man kann die Eigenschaften im gleichen Zahlenbereich formulieren {{ Zusatz/Klammer |text=statt beispielsweise zu sagen, dass bei der in {{math|term= \Q|SZ=}} durchgeführten Division {{mathl|term= n/2 |SZ=}} eine ganze Zahl rauskommt oder nicht| |ISZ=|ESZ=. }} |Man kann Gleichungen gut weiterverarbeiten, in andere Zusammenhänge einsetzen. |Mit Gleichungen kann man Gesetzmäßigkeiten beweisen. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsinmqk3g2de5tdxhx0v0yo3ftrw7f9 0 131706 1100683 1085775 2026-06-17T10:46:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100683 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Das Rekursionsschema aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt |Nr= |SZ= }} zur Berechnung der Ziffernentwicklung ist eine Verallgemeinerung des {{ Definitionslink |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |SZ= }} für {{mathl|term= a:b|SZ=,}} mit dem man die Ziffernentwicklung einer rationalen Zahl bestimmt. Wir beschränken uns auf {{ Relationskette |a | < | b || || || |SZ=, }} die Ziffernentwicklung beginnt also mit {{math|term= 0, |SZ=.}} Zur Bestimmung der ersten Nachkommaziffer schaut man, wie oft {{math|term= b |SZ=}} in {{math|term= 10 a |SZ=}} hineingeht, also welches ganzzahlige Vielfache von {{math|term= b |SZ=}} noch unterhalb von {{math|term= 10 a |SZ=}} liegt. Der zugehörige Faktor {{ Zusatz/Klammer |text=und dieser ist {{mathl|term= {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch| 10a|b}} ||}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} und ergibt die erste Nachkommaziffer von {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=.}} Dann subtrahiert man von {{math|term= 10 a |SZ=}} das soeben bestimmte maximal ganzzahlige Vielfache und erhält als Differenz eine ganze Zahl zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= b-1 |SZ=. }} Diese multipliziert man wieder mit {{math|term= 10 |SZ=}} und führt die gleiche Überlegung durch{{{zusatz1|.}}} Für eine rationale Zahl {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| a |b}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | 0 | \leq |a | < | b || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt das Schema aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Eigenschaft, dass {{ Relationskette | s_i || {{op:Bruch|r_i |b}} || || || |SZ= }} selbst ein Bruch mit {{math|term= b |SZ=}} als Nenner ist und wobei {{math|term= r_i |SZ=}} der Rest bei Division von {{mathl|term= a 10^i |SZ=}} durch b ist. Durch Induktion nach {{math|term= i |SZ=}} zeigt man nämlich die Beziehung {{ Relationskette/display | a 10^i || b q_i +r_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | q_i || \sum_{j {{=}} 1}^{i} z_j 10^{i-j} || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dezimalentwicklung/Rationale Zahl/Restdarstellung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8t15o9i4uvquwn6forym1i3j4apujh 0 132191 1099843 1035605 2026-06-17T06:38:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099843 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |n | \in |\N_+ || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Gleichung {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3-n^2X || X(X-n)(X+n) || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |endlichen Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} mit {{ Relationskette |q || p^e || || || |SZ= }} Elementen, wobei die {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= 2n|SZ=}} sei. Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Elliptische_Kurve/Y^2_ist_X(X-n)(X+n)/Charakteristik/Glatt/Beispiel |Nr= |SZ= }} definiert dies eine {{ Definitionslink |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | q || 3 \mod 4 || || || |SZ=. }} Dann ist die Anzahl der {{math|term= K |SZ=-}}Punkte der Kurve gleich {{mathl|term= q+1 |SZ=.}} Hier ist also der Ausdruck, für den es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Schranke gibt, sogar gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Neben den vier Punkten der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} betrachten wir die Elemente {{ Relationskette | x | \in | K \setminus \{0,n,-n\} || || || |SZ=. }} Aufgrund der Bedingung an die Charakteristik sind die herausgenommenen Punkte verschieden und ferner ist {{ Relationskette | -x |\neq| x || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette | (-x)^3-n^2(-x) || - (x^3-n^2x) |\neq | x^3-n^2x || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= -1 |SZ=}} kein Quadrat in {{math|term= K |SZ=.}} Daher ist für jedes Paar {{math|term= x,-x |SZ=}} genau eines der beiden Elemente {{ mathkor|term1= x^3-n^2x |oder|term2= (-x)^3-n^2(-x) |SZ= }} ein Quadrat in {{math|term= K |SZ=,}} was dann zu zwei Punkten auf der elliptischen Kurve führt. Dies ergibt {{mathl|term= q-3 |SZ=}} Punkte und somit gibt es insgesamt {{math|term= q+1 |SZ=}} Punkte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptischen Kurven Y^2 ist X^3-n^2X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpxmwa9gwi5rj5q2ly38g9uqdx8tull 0 132193 1099842 1035600 2026-06-17T06:38:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099842 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |n | \in |\N_+ || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Gleichung {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3-n^2X || X(X-n)(X+n) || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=,}} wobei die {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= 2n|SZ=}} sei. Dann liegt eine glatte kubische Kurve vor. Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=formal| |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= 3X^2-n^2 |und|term2= 2Y |SZ=. }} Ein singulärer Punkt könnte allenfalls in {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} und somit bei {{ Relationskette | x || 0,n,-n || || || |SZ= }} vorliegen, doch ist da {{ Relationskette | 3x^2-n^2 |\neq| 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptischen Kurven Y^2 ist X^3-n^2X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2ubcb13f337z3vyjwiqfjnn2jw8cwb 0 132288 1099839 1035575 2026-06-17T06:37:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099839 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die homogene Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=kurze Weierstaßform| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | Y^2Z || X^3 + aXZ^2 +bZ^3 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | Y^2Z - X^3 - aXZ^2 - bZ^3 || 0 || || || |SZ= }} über einem Körper der Charakteristik {{math|term= \neq 2,3 |SZ=.}} Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Beispiel |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive ebene Kurve/Glatt/Homogen/Differentialformen explizit/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | \omega || {{op:Bruch|Y^2|Y^2-aXZ-3bZ^2 }} d {{op:Bruch| X | Y}} || -{{op:Bruch|X^2|Y^2-aXZ-3bZ^2 }} d {{op:Bruch| Y | X}} || -{{op:Bruch| Z | 2Y}} d {{op:Bruch| X | Z}} || {{op:Bruch|X^2| 2YZ}} d {{op:Bruch| Z | X}} || {{op:Bruch|Z^2| 3X^2+aZ^2}} d {{op:Bruch| Y | Z}} || -{{op:Bruch|Y^2| 3X^2+aZ^2}} d {{op:Bruch| Z | Y}} |SZ= }} eine globale Differentialform ohne Nullstelle. Auf {{mathl|term= D_+(Z) |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || X/Z || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || Y/Z || || || |SZ= }} ist die Form gleich {{ Relationskette/display | - {{op:Bruch| 1 | 2y}} d x || {{op:Bruch|Z^2| 3X^2+aZ^2}} d y || {{op:Bruch(| 3X^2+aZ^2|Z^2}}^{-1} d y || {{makl| 3x^2+a |}}^{-1} d y || {{op:Bruch| 1 | 3x^2+a}} dy |SZ=, }} was man auch direkt aus der affinen Gleichung {{ Relationskette | y^2 || x^3 + ax +b || || || |SZ= }} ableiten kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h3mpt7qta63ben1cqtqtx0u0e8xgx8u 0 132309 1099832 1084936 2026-06-17T06:37:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099832 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Differentialform {{ Relationskette/display | \omega || dx/y || || || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Beispiel |Nr= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf den Faktor {{math|term= -1/2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} für {{ Relationskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} auf der algebraischen Realisierung einer elliptischen Kurve {{ Relationskette/display | {{CC|}}/\Gamma | \cong| V_+(F) || || || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt |Nr= |SZ=. }} Unter der holomorphen Abbildung {{ Abbildung/display |name=\pi | {{CC|}} \setminus \Gamma | V_+(F) \cap D_+(Z) | z | ( \wp(z), \wp'(z)) {{=|}} (x,y) |SZ=, }} gilt {{ Relationskette/display | \pi^* \omega || dz || || || |SZ=, }} da ja {{ Relationskette | \pi^* dx || \wp'(z)dz || || || |SZ= }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/In Koordinaten/Fakt |Nr= |SZ= }} für das Zurückziehen von Differentialformen im reellen Fall| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c0x0hvt3lo46i6bcysudros20306okb 0 132373 1100179 1085307 2026-06-17T07:33:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100179 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt nicht, wenn {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |eindimensionaler| |Kontext=Ring| |SZ= }} {{ Definitionslink |noetherscher| |Kontext=Ring| |SZ= }} {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} ist. Wenn {{ Abbildung |name= | R | S || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Normalisierung| |Kontext=| |SZ= }} ist und über dem {{ Definitionslink |maximalen Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealm|}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} zwei maximale Ideale {{ Relationskette | {{idealp|}} , {{idealq|}} | \subseteq | S || || || |SZ= }} liegen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene algebraische Kurve/Tschirnhausen-Kubik/Singulärer Ort/Beispiel |Nr= |SZ= }} für ein konkretes Beispiel | |ISZ=|ESZ=, }} mit {{ Relationskette |f | \in | {{idealp|}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |f |\notin| {{idealq|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f || a/b | \in | S || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a,b | \in | R || || || |SZ=, }} so kann man den rationalen Punkt {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektor| a |b}} | \in | {{op:Projektive Gerade|Q(R)|}} || || || |SZ= }} betrachten. Aufgefasst in {{math|term= {{op:Projektive Gerade|Q(S)|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektor| a |b}} || {{op:Zeilenvektor| f | 1}} || || || |SZ=, }} mit dieser Darstellung kann man direkt die Fortsetzungen in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|S/{{idealp}} |}} |SZ=}} und in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|S/{{idealq}} |}} |SZ=.}} Im ersten Fall ist der Wert der Reduktion von {{math|term= f |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} im zweiten Fall {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} und so kann es keine wohlbestimmte Fortsetzung nach {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|R/{{idealm}} |}} |SZ=}} geben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der projektiven Varietäten über Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tof6pnt44rz9ii0gw81vvlwqnp5m4ak 0 132382 1099841 1035595 2026-06-17T06:38:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099841 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gleichung {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3-25X || X(X-5)(X+5) || || |SZ= }} über {{math|term= \Q|SZ=,}} vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Charakteristik/Glatt/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Es gibt unmittelbar die drei rationalen Punkte {{mathl|term= (0,0),\, (5,0),\, (-5,0) |SZ=.}} Wir behaupten, dass auch der rationale Punkt {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 1681| 144}} | {{op:Bruch| 62279| 1728}} |}} |SZ= }} auf der Kurve liegt. Dies beruht auf {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1681| 144}} || {{op:Bruch| 41^2| 12^2}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1681| 144}} -5 || {{op:Bruch| 1681| 144}} - {{op:Bruch| 720| 144}} || {{op:Bruch| 961| 144}} || {{op:Bruch| 31^2| 12^2}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1681| 144}} +5 || {{op:Bruch| 1681| 144}} + {{op:Bruch| 720| 144}} || {{op:Bruch| 2401| 144}} || {{op:Bruch| 49^2| 12^2}} || || |SZ= }} und auf {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 62279| 1728}} || {{op:Bruch| 31 \cdot 41 \cdot 49| 12^3}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-25X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qs3bqteri80ax0i80i5iy2ryz506ry7 0 132447 1100573 1085651 2026-06-17T10:30:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100573 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Nach einem Satz von Barry Mazur sind die möglichen {{ Definitionslink |Torsionsuntergruppen| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Definitionslink |elliptischen Kurven| |Kontext=kubisch| |SZ=, }} die über {{math|term= \Q|SZ=}} definiert sind, bekannt. Es handelt sich um die {{ Definitionslink |zyklischen Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=}} mit {{ Relationskette |n || 1,2 {{kommadots}} 10 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |n || 12 || || || |SZ= }} und die Produktgruppen {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 2k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette |k || 1,2,3,4 || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} obsdks04wh7gd77r27vhxjuunfbhrbz 0 132465 1100180 1085308 2026-06-17T07:33:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100180 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= n |SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |projektive Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| n | {{op:Endlicher Körper| q |}} }} |SZ=}} über dem {{ Definitionslink |endlichen Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q |}} |SZ=}} besitzt {{mathl|term= 1+q+q^2 {{plusdots}} q^n |SZ=}} Elemente, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Projektiver Raum/Endlicher Körper/Anzahl der Elemente/Zweifache Berechnung/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} somit ist {{ Relationskette/display | N_r || 1+q^r+q^{2r} {{plusdots}} q^{rn} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | Z(t) || {{op:Bruch| 1 |(1-t)(1-qt)(1-q^2t) \cdots (1-q^nt) }} || || || |SZ=. }} Dies bestätigt man, indem man beidseitig den {{ Definitionslink |Logarithmus| |Kontext=natürlich| |SZ= }} anwendet. Es ist also {{ Relationskette/display | \sum_{ r {{=}} 1}^\infty N_r {{op:Bruch|t^r|r}} || \sum_{ r {{=}} 1}^\infty ( 1+q^r+q^{2r} {{plusdots}} q^{rn} ) {{op:Bruch|t^r|r}} || \sum_{i {{=}} 0}^n {{op:ln| {{op:Bruch| 1 | 1-q^it}} |}} || || |SZ= }} zu zeigen. Mit der {{ Definitionslink |Logarithmusreihe| |Kontext=| |SZ= }} ist aber für jedes {{math|term= i |SZ=}} {{ Relationskette/display | {{op:ln| {{op:Bruch| 1 | 1 -q^i t}} |}} || - {{op:ln(| 1 -q^i t |}} || - \sum_{r {{=}} 1}^\infty (-1)^{r+1} {{op:Bruch|(-q^i t)^r|r}} || \sum_{r {{=}} 1}^\infty q^{ir} {{op:Bruch|t^r|r}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der glatten projektiven Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jh9drtwgfo1aazj7zy5umeg8wpy6eu 0 132509 1099837 1074367 2026-06-17T06:37:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099837 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Elliptic_curve_y^2_%3D_x^3_-_x|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Das reelle Bild der Kurve {{ Relationskette | y^2 || x^3 - x || || || |SZ=. }} |Autor= |Benutzer=YassineMrabet |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Auf der durch {{ Relationskette | y^2 || x^3-x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q |SZ=}} nur die vier Punkte {{mathl|term= (0,0),\, (1,0), \, (-1,0),\, {{elliptischo|}} |SZ=,}} die {{ Definitionslink |Torsionspunkte| |Kontext=| |SZ= }} sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper {{math|term= \Q[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist {{mathl|term= ({{imaginäre Einheit|}} , -1 + {{imaginäre Einheit|}} ) |SZ=}} ein weiterer Punkt, es ist ja {{ Relationskette/display | {{makl| -1 + {{imaginäre Einheit|}} |}}^2 || -2 {{imaginäre Einheit|}} || {{imaginäre Einheit|}}^3 - {{imaginäre Einheit|}} || || |SZ=. }} Ferner ergibt sich der Punkt {{mathl|term= ( - {{imaginäre Einheit|}} , 1+ {{imaginäre Einheit|}} ) |SZ=, }} und zwei weitere Punkte, da man {{math|term= y |SZ=}} durch {{math|term= -y |SZ=}} ersetzen kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 90yzchjx9o87ocemdxsus4mr73fslgc 0 132656 1100165 1085293 2026-06-17T07:31:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1100165 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Betrachten wir den rationalen Punkt {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektor| 8 | {{op:Bruch| 7 | 26}} | {{op:Bruch| 4 | 45}} }} | \in | {{op:Projektive Ebene|\Q|}} || || || |SZ=. }} Wir müssen für die verschiedenen Beträge das Maximum bestimmen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren. Für den archimedischen Betrag {{math|term= {{op:Betrag| -|}}_\R |SZ=}} hat man direkt {{math|term= 8 |SZ=,}} gehen wir also die Primzahlen durch. Dabei wird das Maximum des Betrages im Minimum der zugehörigen Bewertungsordnung angenommen. Die {{math|term= 2 |SZ=}} kommt in der mittleren Koordinate mit Ordnung {{math|term= -1 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 2 |SZ=-}}Betrag {{ Relationskette | 2^1 || 2 || || || |SZ= }} führt. Die {{math|term= 3 |SZ=}} kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung {{math|term= -2 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 3 |SZ=-}}Betrag {{ Relationskette | 3^2 || 9 || || || |SZ= }} führt. Die {{math|term= 5 |SZ=}} kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung {{math|term= -1 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 5 |SZ=-}}Betrag {{ Relationskette | 5^1 || 5 || || || |SZ= }} führt. Die {{math|term= 7 |SZ=}} kommt in der zweiten Koordinate mit Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} vor, was für diese Komponente zum {{math|term= 7 |SZ=-}}Betrag {{math|term= 7^{-1} |SZ=}} führt, der aber irrelevant ist, da ja das Maximum mit {{math|term= 1 |SZ=}} genommen wird. Schließlich kommt die {{math|term= 13 |SZ=}} in der zweiten Koordinate mit Ordnung {{math|term= -1 |SZ=}} vor, was zum maximalen {{math|term= 13 |SZ=-}}Betrag {{math|term= 13 |SZ=}} führt, die anderen Beträge haben den Wert {{math|term= 1 |SZ=.}} Die Höhe des Punktes ist somit {{ Math/display|term= 8 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 13 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kg6g9a1la2oxpuywqbk5xolbr3hbaav 0 132670 1100176 1085304 2026-06-17T07:33:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100176 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{math|term= {{op:Projektive Gerade||}}(\Q) |SZ=}} besitzen die Punkte {{mathl|term= (1,0), (0,1), (1,1),(1,-1) |SZ=}} die {{ Definitionslink |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=.}} Wir beschränken uns nun auf Punkte der Form {{mathl|term= (x,1) |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | x || \pm p_1^{\alpha_1 } \cdots p_n^{\alpha_n } || \pm {{op:Bruch| p_1^{\alpha_1 } \cdots p_k^{\alpha_k } | p_{k+1}^{- \alpha_{k+1} } \cdots p_n^{- \alpha_n } }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \alpha_i | \in | \Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |n | \geq | 1 || || || |SZ=, }} die Exponenten seien bis zum {{math|term= k |SZ=-}}ten Term positiv, danach negativ| |ISZ=|ESZ=. }} Ein solcher Punkt hat die Höhe {{ Relationskette/align/handlinks | H_\Q (P) || \max \{ {{op:Betrag| x |}} ,\, 1 \} \cdot \max \{ p_1^{-\alpha_1 } ,\, 1 \} \cdots \max \{ p_n^{-\alpha_n } ,\, 1 \} || \max \{ {{op:Betrag| x |}} ,\, 1 \} \cdot p_{k+1}^{-\alpha_{k+1} } \cdots p_{n}^{-\alpha_{n} } || || || |SZ=, }} wobei alle Faktoren {{math|term= \geq 1 |SZ=}} sind. Das hintere Produkt ist einfach der Nenner der rationalen Zahl {{math|term= x |SZ=,}} die Höhe ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Projektive Gerade/Q/Punkt/Höhe/Natürlich/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine natürliche Zahl. Bestimmen wir die Punkte {{math|term= (x,1) |SZ=,}} deren Höhe gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Ihre {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate ist {{math|term= \pm 2 |SZ=}} oder {{math|term= \pm {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=.}} Die Punkte der Höhe {{math|term= 3 |SZ=}} haben die {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate {{math|term= \pm 3, \pm {{op:Bruch| 1 | 3}}, \pm {{op:Bruch| 2 | 3}}, \pm{{op:Bruch| 3 | 2}} |SZ=.}} Die Punkte der Höhe {{math|term= 4 |SZ=}} haben die {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate {{math|term= \pm 4, \pm {{op:Bruch| 1 | 4}}, \pm {{op:Bruch| 3 | 4}}, \pm {{op:Bruch| 4 | 3}} |SZ=.}} Die Punkte der Höhe {{math|term= 5 |SZ=}} haben die {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate {{math|term= \pm 5, \pm {{op:Bruch| 1 | 5}}, \pm {{op:Bruch| 2 | 5}}, \pm {{op:Bruch| 3 | 5}} , \pm {{op:Bruch| 4 | 5}}, \pm {{op:Bruch| 5 | 2}}, \pm {{op:Bruch| 5 | 3}}, \pm {{op:Bruch| 5 | 4}} |SZ=,}} etc. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imraipxg21naq9xm9nqprzjixvf108e 0 132673 1100167 1085295 2026-06-17T07:31:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100167 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in {{math|term= {{op:Projektive Gerade||}}(\Q[ \sqrt[d]{2}]) |SZ=}} den Punkt {{math|term= ( \sqrt[d]{2} ,1) |SZ=.}} Der Grad der Körpererweiterung {{ Relationskette |\Q | \subseteq | \Q[ \sqrt[d]{2}]) || || || |SZ= }} ist {{math|term= d |SZ=.}} Für einen Betrag {{math|term= {{op:Betrag| -|}}_v |SZ=}} auf {{math|term= \Q[ \sqrt[d]{2}] |SZ=}} oberhalb des archimedischen Absolutbetrages ist {{ Relationskette | {{op:Betrag| 2 |}}_v || 2 || || || |SZ= }} und das ist auch die {{ Definitionslink |absolute Höhe| |Kontext=projektiver Raum| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die man ja in diesem Fall direkt über {{math|term= \Q|SZ=}} ausrechnen kann| |ISZ=|ESZ=. }} Die absolute Höhe von {{mathl|term= ( \sqrt[d]{2} ,1) |SZ=}} ist {{mathl|term= \sqrt[d]{2} |SZ=}} wegen der Potenzierungseigenschaft, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |SZ=. }} Ohne Gradbeschränkung gibt es also unendlich viele Punkte in {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{op:Algebraischer Abschluss|\Q|}} |}} |SZ=}} mit einer absoluten Höhe {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pps9iggcvv2s3xnusjovapqc8ee90w3 0 132681 1100569 1085844 2026-06-17T10:29:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100569 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei gegeben {{math|term= x_1,x_2 |SZ=}} ist {{math|term= x_3 |SZ=}} nicht bestimmt, da es von {{math|term= y_1,y_2 |SZ=}} abhängt. Allerdings gibt es für {{math|term= y_1,y_2 |SZ=}} jeweils nur zwei Möglichkeiten, die jeweils negativ zueinander sind. Aus der Bedingung {{ Relationskette/display | x_3 || {{op:Bruch|ax_1 +ax_2 +2b -2y_1y_2 + x_1^2x_2+ x_1x_2^2 | x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}} |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display | x_3 (x_1-x_2)^2 -a (x_1+x_2) -2b -x_1^2x_2-x_1x_2^2 || -2 y_1y_2 || || || |SZ= }} und daraus {{ Relationskette/align/netzlinks | x_3^2 (x_1-x_2)^4 - 2 (x_1-x_2)^2 {{makl| a (x_1+x_2) +2b +x_1^2x_2-x_1x_2^2 |}} x_3 + a^2 (x_1+x_2) +4b^2 +x_1^4x_2^2 + x_1^2x_2^4 || 4 y_1^2y_2^2 || 4 (x_1^3+ax_1+b)(x_2^3+ax_2+b) || || |SZ=, }} d.h. {{math|term= x_3 |SZ=}} erfüllt eine explizite quadratische Gleichung über einem von rational von {{math|term= x_1,x_2 |SZ=}} abhängigen Ausdruck. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oj0pj3pjyrhbdxha1xnqsnazaabln9w 0 132806 1099836 1084940 2026-06-17T06:37:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099836 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Relationskette | y^2 || x^3-2x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die beiden {{ Definitionslink |Torsionspunkte| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (0,0) ,\, {{elliptischo|}} |SZ=.}} Daneben gibt es noch den Punkt {{mathl|term= (-1,1) |SZ=,}} der den torsionsfreien Teil erzeugt. Die Gruppenstruktur ist {{ Relationskette/display | E(\Q) | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} \times \Z || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| -1| 1}} |SZ=}} ist ein Erzeuger der torsionsfreien Komponente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-2X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0leuakv2p7sn95ffqgqxdg6itj7fyv3 0 132808 1099834 981906 2026-06-17T06:37:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099834 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Relationskette | y^2 || x^3+17 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die beiden unabhängigen Punkte {{ mathkor|term1= (-2,3) |und|term2= (2,5) |SZ=. }} Hier ist {{ Relationskette/display |E(\Q) | \cong| \Z \times \Z || || || |SZ= }} und die angegebenen Punkte sind Erzeuger, der {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=elliptische Kurve| |SZ= }} ist also {{math|term= 2 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+17 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8grftvbobnt0krlto0k7aw4gcitgshr 0 132844 1099833 1084937 2026-06-17T06:37:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099833 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der durch {{ Relationskette | y^2 || x^3-(2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19)^2x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} neben den {{math|term= 2 |SZ=-}}Torsionspunkten, die den Nullstellen des kubischen Polynoms in {{math|term= x |SZ=}} entsprechen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Torsion/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} die drei unabhängigen Punkte {{ mathkor|term1= (-98,12376),\, (1650, 43560) |und|term2= (109554,36258840) |SZ=. }} Hier ist {{ Relationskette/display |E(\Q) | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 2 |}} \times \Z^3 || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=elliptische Kurve| |SZ= }} ist also {{math|term= 3 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86wcsx0rvnck2xfdb5egmb8id5t2i0y 0 132857 1100570 1085648 2026-06-17T10:29:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100570 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine {{ Definitionslink |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ=, }} die in der Form {{ Relationskette/display |Y^2Z || X^3+aXZ^2+bZ^3 || || || |SZ= }} vorliegt. Zur Berechnung der Addition seien die beiden {{ Zusatz/Klammer |text=verschiedenen| |ISZ=|ESZ= }} Punkte durch {{ Relationskette/display |P ||(X_1,Y_1,Z_1) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |Q ||(X_2,Y_2,Z_2) || || || |SZ= }} gegeben. Die verbindende Gerade ist dann {{ Relationskette/display | (Y_1Z_2-Y_2Z_1)X + (-X_1Z_2+X_2Z_1)Y + (X_1Y_2-X_2Y_1)Z || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einfach die beiden Punkte einsetzen| |ISZ=|ESZ=. }} Sei {{ Relationskette/display | -X_1Z_2+X_2Z_1 |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann können wir nach {{math|term= Y |SZ=}} bzw. {{math|term= Y_3 |SZ=}} auflösen und erhalten mit {{ Relationskette/display |Y || rX+sZ || || || |SZ= }} die kubische Bedingung in zwei Variablen {{ Relationskette/display |X^3+aXZ^2+Z^3 - (rX+sZ)^2Z || 0 || || || |SZ=. }} Davon sind {{ mathkor|term1= (Z_1X-X_1Z) |und|term2= (Z_2X-X_2Z) |SZ= }} lineare Faktoren. Die Bedingung {{ Relationskette/display | X^3+aXZ^2+Z^3 - (rX+sZ)^2Z || (Z_1X-X_1Z) (Z_2X-X_2Z)(Z_3X-X_3Z) || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette |Z_1Z_2Z_3 || 1 || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=Koeffizient von {{mathl|term= X^2Z|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | r^2 || X_1 Z_2Z_3 + X_2Z_1Z_3 + X_3 Z_1Z_2 || || || |SZ=. }} Mit {{ Relationskette/display |r || {{op:Bruch|Y_1Z_2-Y_2Z_1 | X_1Z_2-X_2Z_1 }} || || || |SZ= }} folgt bei Multiplikation mit {{math|term= Z_1Z_2 |SZ=}} {{ Relationskette/display | {{makl| Y_1Z_2-Y_2Z_1 |}}^2 Z_1Z_2 || {{makl| X_1Z_2-X_2Z_1 |}}^2 {{makl| X_1 Z_2 + X_2Z_1 + X_3 Z_1^2Z_2^2 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} klch2ohych8tonsb83tho2g4u2ncxhb 0 132923 1099847 1084945 2026-06-17T06:39:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099847 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten über dem endlichen Körper {{math|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} {{math|term= E |SZ=,}} die durch {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+1 || || || |SZ= }} gegeben ist. Sie besitzt nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Endlicher Körper/Punkteanzahl/Beispiel |Nr= |SZ= }} sechs Elemente, also {{ Relationskette |N_1 || 6 || || || |SZ=. }} Das charakteristische Polynom der Darstellung des Frobenius auf dem {{ Definitionslink |Tate-Modul| |Kontext=elliptisch| |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display |T^2 + 5 || (T- \sqrt{5} {{imaginäre Einheit|}} ) (T+ \sqrt{5} {{imaginäre Einheit|}} ) || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | \alpha,\beta || \pm \sqrt{5} {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} in der Notation von {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Anzahl der Punkte von {{math|term= E |SZ=}} über {{math|term= {{op:Endlicher Körper| 5^n |}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|E( {{op:Endlicher Körper|q^n |}} )|}} || 5^n+1 - (- \sqrt{5})^n {{imaginäre Einheit|}}^n - \sqrt{5}^n {{imaginäre Einheit|}}^n || 5^n+1 - ( (-1)^n+1 ) \sqrt{5}^n {{imaginäre Einheit|}}^n || || |SZ=. }} Für {{math|term= n |SZ=}} ungerade ist also die Anzahl gleich {{mathl|term= 5^n+1 |SZ=.}} Für {{ Relationskette |n || 2 \mod 4 || || || |SZ= }} ist die Anzahl gleich {{mathl|term= 5^n+1 + 2 \cdot 5^{n/2} |SZ=}} und für {{ Relationskette |n || 0 \mod 4 || || || |SZ= }} ist die Anzahl gleich {{mathl|term= 5^n+1 - 2 \cdot 5^{n/2} |SZ=.}} Für gerades {{math|term= n |SZ=}} wird also die {{ Faktlink |Präwort=|Hasse-Schranke|Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt |Nr= |SZ= }} ausgeschöpft. Die {{ Definitionslink |Zeta-Funktion| |Kontext=Weil| |SZ= }} von {{math|term= E |SZ=}} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | Z(E;t) || {{op:Bruch| 1+ 5 t^2|(1-t)(1-5t)}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ke7ea7pc69pz02ozipklny8jmvla52f 0 132973 1100598 1085675 2026-06-17T10:33:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100598 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |ebene| |Kontext=Kurve| |SZ= }} {{ Definitionslink |glatte| |Kontext=Kurve| |SZ= }} {{ Definitionslink |projektive Kurve| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |C || V_+(F) | \subseteq | {{op:Projektive Ebene| {{op:Zmod| p |}} |}} || || |SZ= }} durch eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | X^d || P(Y,Z) || || || |SZ= }} gegeben, wobei {{mathl|term= P(Y,Z) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |homogenes Polynom| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Polynom| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=}} sei. Es sei {{ Relationskette | q || p^n || || || |SZ= }} eine Potenz der Charakteristik {{math|term= p |SZ=.}} Wenn der Grad {{math|term= d |SZ=}} teilerfremd zu {{math|term= q-1 |SZ=}} ist, so lässt sich die Anzahl {{mathl|term= {{op:Anzahl| C( {{op:Endlicher Körper| q |}} )||}} |SZ=}} der Punkte der Kurve, die über {{math|term= {{op:Endlicher Körper| q |}} |SZ=}} definiert sind, einfach bestimmen. Sei {{ Relationskette | (x,y,z) | \in | C || || || |SZ= }} ein solcher Punkt. Bei {{ Relationskette |z |\neq| 0 || || || |SZ= }} können wir {{math|term= z |SZ=}} zu {{math|term= 1 |SZ=}} normieren. Für {{math|term= y |SZ=}} können wir jedes Element aus {{math|term= {{op:Endlicher Körper| q |}} |SZ=}} einsetzen. Aufgrund der vorausgesetzten Teilerfremdheit ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Endlicher Körper| q |}} | {{op:Endlicher Körper| q |}} | x | x^d |SZ=, }} bijektiv, da diese Abbildung auf {{mathl|term= {{op:Einheiten| {{op:Endlicher Körper| q |}} |}} |SZ=}} der additiven Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod|q-1|}} | {{op:Zmod|q-1|}} | v | dv |SZ=, }} entspricht {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Somit gehört zu {{math|term= y |SZ=}} genau ein Punkt der Kurve. Bei {{ Relationskette | z || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} und man kann {{math|term= y |SZ=}} zu {{math|term= 1 |SZ=}} normieren und erhält einen weiteren Punkt der Kurve. Unter dieser Bedingung ist also {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| C({{op:Endlicher Körper| q |}} ) |}} || q+1 || || || |SZ=. }} Wenn aber {{math|term= q-1 |SZ=}} nicht teilerfremd zu {{math|term= d |SZ=}} ist, wird die Bestimmung ungleich schwieriger, da man dann im Detail untersuchen muss, welche Zahlen {{mathl|term= P(y,1) |SZ=}} wie viele {{math|term= d |SZ=-}}te Wurzeln in {{math|term= {{op:Endlicher Körper| q |}} |SZ=}} besitzen. Da im glatten Fall {{ mathkor|term1= p |und|term2= d |SZ= }} teilerfremd sind, ist {{math|term= p |SZ=}} eine Einheit modulo {{math|term= d |SZ=}} und somit gibt es Exponenten {{math|term= e |SZ=}} mit {{ Relationskette | p^e || 1 \mod d || || || |SZ=. }} Das heißt, dass {{math|term= p^e-1 |SZ=}} und {{math|term= d |SZ=}} für gewisse Exponenten nicht teilerfremd sind, und daher {{ Zusatz/Klammer |text=außer bei {{ Relationskette/k |d || 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} der schwierige Fall definitiv eintritt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ru9h7nyldtqrmuh5j03x1nj3qr7hqn 0 133539 1099774 1084878 2026-06-17T06:28:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099774 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gleichung {{ Relationskette/display |X^2+Y^2+Z^2 || 0 || || || |SZ= }} über den endlichen Körpern {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=,}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Chevalley-Warning/3 Variablen/Quadratische Form/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es nichttriviale Lösungen. Bei {{ Relationskette |p || 2 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) |SZ=}} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod| 2 |}} |}}^3 |SZ=}} vier Lösungen| |ISZ=|ESZ= }} Bei {{ Relationskette |p || 3 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= (\pm 1,\pm 1, \pm 1) }} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod| 3 |}} |}}^3 |SZ=}} neun Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette |p || 5 || || || |SZ= }} sind die Permutationen von {{mathl|term= (0,\pm 1,\pm 2) }} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod| 5 |}} |}}^3 |SZ=}} genau {{math|term= 25 |SZ=}} Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette |p || 7 || || || |SZ= }} sind die Permutationen von {{mathl|term= (\pm 1,\pm 2, \pm 3) }} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod| 7 |}} |}}^3 |SZ=}} genau {{math|term= 49 |SZ=}} Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette |p || 11 || || || |SZ= }} sind {{math|term= 0,1,3,4,5,9 |SZ=}} die Quadrate. Die Summe von zwei Quadraten ergibt nie {{math|term= 0 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | 1+1+9 || 11 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 1+5+5 || 11 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 3+3+5 || 11 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 3+4+4 || 11 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 4+9+9 || 22 || || || |SZ= }} Somit sind die Permutationen von {{mathl|term= (\pm 1,\pm 1, \pm 3) |SZ=,}} von {{mathl|term= (\pm 1,\pm 4, \pm 4) |SZ=,}} von {{mathl|term= (\pm 5,\pm 5, \pm 3) |SZ=}} von {{mathl|term= (\pm 5,\pm 2, \pm 2) |SZ=}} und von {{mathl|term= (\pm 2,\pm 3, \pm 3) |SZ=}} die nichttrivialen Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=insgesamt gibt es also in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod| 11|}} |}}^3 |SZ=}} genau {{ Relationskette/k | 5 \cdot 3 \cdot 8+1 || 121 || || || |SZ= }} Lösungen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16q5lc17r2g04d0b0evtvooapqzj89t 0 133549 1100547 1085618 2026-06-17T10:26:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100547 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In der homogenen Situation von {{ Faktlink |Faktseitenname= Chevalley-Warning/Homogener Fall/Fakt |Nr= |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} erfüllt die Anzahl {{ Relationskette |N || {{op:Anzahl| V |}} || || || |SZ= }} des Nullstellengebildes nicht nur die Bedingung, dass {{math|term= N |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} sein muss, sondern wegen der homogenen Struktur auch die Bedingung, dass {{math|term= N-1 |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p-1 |SZ=}} sein muss. Dies beruht einfach darauf, dass zu jedem {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | \in | K^n \setminus \{ {{op:Zeilenvektor| 0 | \ldots| 0}} \} || || || |SZ= }} auch jedes skalare Vielfache {{mathl|term= s {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} |SZ=}} mit {{ Relationskette |s |\neq| 0 || || || |SZ= }} zu {{math|term= V |SZ=}} gehört, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Der projektive Raum/Homogenes Polynom/Nullsein ist wohldefiniert/Fakt |Nr= |SZ=. }} Somit gilt die Bedingung, dass es {{ Relationskette |a,b | \in | \N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |N || ap ||b(p-1)+1 || || |SZ= }} gibt. Eine typische Möglichkeit ist {{ Relationskette | p^2 || (p+1)(p-1)+1 || || || |SZ=, }} es gibt aber auch viele andere Möglichkeiten, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Chevalley-Warning/Fermatquadrik/Beispiel |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Chevalley-Warning/X^2+Y^2/3 Variablen/Beispiel |Nr= |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2=Theorie der homogenen Ideale im Polynomring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gksqsrunl2ahgdtkg9tx70xi4asohp5 0 133558 1099776 1084880 2026-06-17T06:28:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099776 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das homogene Polynom {{ Math/display|term= X^3+Y^3+Z^3+XY^2+YZ^2+ZX^2+XYZ |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} in drei Variablen über dem Körper {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=,}} hier ist also {{ Faktlink |Faktseitenname= Chevalley-Warning/Homogene Hyperfläche/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht anwendbar. In der Tat besitzt dieses Polynom außer in {{mathl|term= (0,0,0) |SZ=}} keine Nullstelle. Das Polynom ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei {{ Relationskette |(x,y,z) | \in | {{makl| {{op:Zmod| 2 |}} |}}^3 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || y || 0 || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |z^3 || 0 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ=, }} das ist der Ursprungspunkt. Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || z || 1 || || |SZ= }} verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | x || y || z || || |SZ= }} gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2=Theorie der kubischen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8uvrnfe8jd1swi9ifk5xuznqbibtbto 0 133573 1099775 1084879 2026-06-17T06:28:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099775 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |homogene| |Kontext=Polynom| |SZ= }} Gleichung {{ Relationskette/display |X^2+Y^2+Z^2 || 0 || || || |SZ= }} über dem endlichen Ring {{mathl|term= {{op:Zmod| 4}} |SZ=.}} Die Quadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod| 4}} |SZ=}} sind {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= 1 |SZ=,}} deshalb gibt es keine nichttriviale Lösung für diese Gleichung in {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod| 4 |}} |}}^3 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qv2vwggaaa8n5ihh97hk6q5blkc0t0a 0 133668 1099986 1085091 2026-06-17T07:01:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099986 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zum {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette | \Gamma ||\Z + \Z {{op:Bruch| - 1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit}} | 2}} || || || |SZ= }} gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit {{math|term= {{op:Bruch| -1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} |SZ=,}} die das Gitter in sich selbst überführt. Der {{ Definitionslink |Endomorphismenring| |Kontext=komplexer eindimensionaler Torus| |SZ= }} des {{ Definitionslink |komplexen Torus| |Kontext=1| |SZ= }} {{mathl|term= {{CC}}/ \Gamma |SZ=}} ist {{math|term= \Z[ {{op:Bruch| -1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} | 2}} ] |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Endomorphismenringes eines eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1p1wpo605y8aqhgs7o6jtoxhi2htt8 0 133737 1100560 1085640 2026-06-17T10:28:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100560 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein reelles Polynom {{ Relationskette |F | \in | \R[X,Y] || || || |SZ= }} in zwei Variablen kann man als eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |SZ= }} {{ Abbildung |name=F |\R^2| \R || |SZ=, }} die algebraische Kurve {{ Relationskette |v || V(F) | \subseteq | \R^2 || || || |SZ= }} ist die Faser von {{math|term= F |SZ=}} über dem Nullpunkt {{ Relationskette | 0 | \in | \R || || || |SZ=. }} In dieser Situation ist {{ Faktlink |Präwort=der|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Nr= |SZ= }} anwendbar. Er besagt für einen Punkt {{ Relationskette |P ||(a,b) | \in | V ||\R^2 || || |SZ=, }} dass unter der Voraussetzung, dass zumindest eine {{ Definitionslink |partielle Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung| F | x}} |oder|term2= {{op:Partielle Ableitung| F | y}} |SZ= }} in {{math|term= P |SZ=}} nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist, es eine offene Ballumgebung {{ Relationskette |P | \in | {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} || || || |SZ=, }} ein reelles Intervall {{mathl|term= ]- \delta, \delta[ |SZ=}} und eine stetig differenzierbare Abbildung {{ Abbildung/display |name= |]- \delta, \delta[ | {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} || |SZ= }} derart gibt, dass eine Bijektion des Intervalls mit dem Faserausschnitt {{mathl|term= V \cap {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} |SZ=}} vorliegt. Das bedeutet, dass die Faser {{math|term= V |SZ=}} lokal in einem solchen Punkt wie ein differenzierbar gekrümmtes Intervall aussieht, also eine eindimensionale reelle Mannigfaltigkeit in diesen Punktes ist. Wenn beide partiellen Ableitungen in {{math|term= P |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind, so kann man diesen Satz nicht anwenden. Für das Studium der algebraischen Kurven ist es wichtig, dass man die Voraussetzung des Satzes, dass zumindest eine partielle Ableitung nicht verschwindet, über einem beliebigen Körper formulieren kann, obwohl es für die Schlussfolgerung des Satzes keine unmittelbare Entsprechung gibt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9sqjvgezjcylpjd57a2ktqldvzv47u 0 133940 1100559 1034853 2026-06-17T10:28:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100559 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Für einen {{ Definitionslink |glatten Punkt| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Relationskette |P ||(a,b) | \in | C || V(F) || || |SZ= }} einer ebenen algebraischen Kurve nennt man die durch die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| F | X}} (P) (X-a) + {{op:Partielle Ableitung| F | Y}} (P) (Y-b) || 0 || || || |SZ= }} gegebene Gerade die {{Stichwort|Tangente|SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} an die Kurve. Bei {{ Relationskette |P || (0,0) | \in | C || || |SZ= }} kann man die Glattheit und die Tangente einfach ablesen. Man zerlegt {{math|term= F |SZ=}} in die {{ Definitionslink |homogenen Komponenten| |Kontext=Polynom| |SZ= }} {{ Relationskette/display |F || F_0 +F_1+F_2 {{plusdots}} F_d || || || |SZ=. }} Dabei ist der konstante Term {{ Relationskette |F_0 || 0 || || || |SZ=, }} da der Nullpunkt ein Punkt der Kurve ist, und der lineare Term ist {{ Relationskette |F_1 || uX+vY || || || |SZ=. }} Hierbei ist {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung| F | X}} (P)=u |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| F | Y}} (P)=v |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=da die höheren homogenen Komponenten von {{math|term= F}} keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten| |ISZ=|ESZ=, }} es liegt genau dann ein glatter Punkt vor, wenn {{ Relationskette |F_1 |\neq| 0 || || || |SZ= }} und die Bedingung {{ Relationskette |uX+vY || 0 || || || |SZ= }} beschreibt die Tangente. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lry31oewp7zd2qset80ew1n8mg8yxia 0 133999 1100544 1034688 2026-06-17T10:25:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100544 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des {{ Definitionslink |angeordneten Körpers| |Kontext=| |SZ= }} funktioniert so: Man hat einen Körper {{math|term= K |SZ=,}} bei dem eine Teilmenge {{ Relationskette |P | \subseteq | K || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|positive Hälfte}} | |SZ= }} ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften {{ Aufzählung3 |Entweder {{ Relationskette | x | \in | P || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | -x | \in | P || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ=. }} |Aus {{ Relationskette | x,y | \in | P || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | x+y | \in | P || || || |SZ=. }} |Aus {{ Relationskette | x,y | \in | P || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | x \cdot y | \in | P || || || |SZ=. }} }} In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man {{ Math/display|term= x \geq y \text{ durch } x=y \text{ oder } x-y \in P |SZ= }} definiert, siehe {{ Aufgabelink || Aufgabeseitenname= Körper mit positiver Hälfte/Ist angeordnet/Aufgabe |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85z4f25db250s1mx4ckbnn6ggp8zpxo 0 134122 1099997 1085112 2026-06-17T07:03:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099997 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die elliptischen Kurven der Form {{ Relationskette | y^2 || x^3-n^2x || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | y^2 || x^3-m^2x || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |n,m | \in | \N_+ || || || |SZ=, }} die in Zusammenhang mit den {{ Definitionslink |kongruenten Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} auftreten. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/Fakt |Nr= |SZ= }} sind die beiden genau dann durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar, wenn der Quotient {{mathl|term= {{op:Bruch|m^2|n^2}} |SZ=}} eine vierte Potenz in {{math|term= \Q|SZ=}} ist, wenn also {{math|term= {{op:Bruch| m |n}} |SZ=}} ein Quadrat {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q|SZ=}} und dann bereits| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= \Z|SZ=}} ist. Bei elliptischen Kurven dieser Bauart kann man sich also auf {{ Definitionslink |quadratfreie| |Kontext=| |SZ= }} natürliche Zahlen {{math|term= n |SZ=}} beschränken. Wenn man diese Kurven als elliptische Kurven über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} betrachtet, so sind sie alle gleich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2tlke5kk7gzlayw0lcu0bor8jum4dqh 0 134267 1100230 1037784 2026-06-17T07:42:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100230 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| -5n^3+6n^2-n+8| 11n^3+7n^2 +3n-1}} || || || |SZ= }} definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| -5n^3+6n^2-n+8| 11n^3+7n^2 +3n-1}} || {{op:Bruch| {{makl| -5n^3+6n^2-n+8 |}} {{op:Bruch| 1 |n^3}} | {{makl| 11n^3+7n^2 +3n-1 |}} {{op:Bruch| 1 |n^3 }} }} || {{op:Bruch| -5 + {{op:Bruch| 6 |n}} -{{op:Bruch| 1 |n^2}} + {{op:Bruch| 8 |n^3}} | 11 + {{op:Bruch| 7 |n}} + {{op:Bruch| 3 |n^2}}-{{op:Bruch| 1 |n^3}} }} || |SZ=. }} In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen {{ mathkor|term1= -5 |bzw.|term2= 11 |SZ=, }} und daher konvergiert die Folge gegen {{mathl|term= - {{op:Bruch| 5 | 11}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ncnvdjxle86wa22jk6w41tj0xvzu4bt 0 134297 1099845 1026388 2026-06-17T06:38:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099845 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir möchten auf der durch {{ Relationskette/display | y^2 || x^3 +1 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (0,1) |und|term2= (2,3) |SZ= }} addieren. Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette | \alpha || {{op:Bruch| 3-1| 2-0}} || 1 || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | (0,1) +(2,3) || (1-0-2, -1 +2 -1 ) || (-1, 0) || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9y5ejguenoiftz07zd3hupqgr2biyx 0 134858 1100594 1015951 2026-06-17T10:33:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100594 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Differentialgleichung {{ Relationskette/display | (\wp')^2 || 4 \wp^3 -g_2\wp-g_3 || || || |SZ= }} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion {{math|term= \wp|SZ=.}} Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus. Wir betrachten die Faktorisierung {{ Relationskette/display | (\wp')^2 || 4 \wp^3 -g_2 \wp -g_3 || 4( \wp- e_1) (\wp-e_2)( \wp- e_3) || || |SZ= }} mit komplexen Zahlen {{mathl|term= e_1,e_2,e_3 |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | \Gamma || \langle v_1,v_2 \rangle || || || |SZ= }} das Gitter ist, so sind nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Gittersumme (z-v) hoch -3/Nullstellen/Halbierungspunkte/Aufgabe |Nr= |SZ= }} die Halbierungspunkte {{mathl|term= {{op:Bruch|v_1 | 2}}, {{op:Bruch|v_2 | 2}}, {{op:Bruch|v_1+v_2 | 2}} |SZ=}} die Nullstellen von {{math|term= \wp' |SZ=}} und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also {{ Relationskette | e_i || \wp {{makl| {{op:Bruch|v_i | 2}} |}} || || || |SZ=, }} wenn man {{ Relationskette | v_3 || v_1+v_2 || || || |SZ= }} setzt, und die {{math|term= e_i |SZ=}} werden unter {{math|term= \wp |SZ=}} nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Werte/Fakt |Nr= |SZ= }} wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert {{math|term= w |SZ=}} von {{math|term= \wp |SZ=}} zweifach {{ Zusatz/Klammer |text=mit Vielfachheiten gezählt| |ISZ=|ESZ= }} angenommen. Wenn {{ Relationskette | \wp(z) || w || || || |SZ= }} ist, so auch {{ Relationskette | \wp(-z) || w || || || |SZ=. }} Dies wenden wir auf {{ Relationskette | w || e_i || || || |SZ= }} an, wo wir ein Urbild, nämlich {{math|term= {{op:Bruch|v_i | 2}} |SZ=}} schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit {{math|term= {{op:Bruch|v_i | 2}} |SZ=}} überein. Daher sind die {{math|term= e_i |SZ=}} verschieden, was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt |Nr= |SZ= }} die Glattheit der Kurve bedeutet. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itpolvz8dw6osh7gedllj3fzip7226l 0 134918 1100324 1038210 2026-06-17T07:57:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100324 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine konstante Funktion {{ Abbildung/display |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} | x |c |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |SZ=. }} Zu jedem vorgegeben {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man hier ein beliebiges {{math|term= \delta |SZ=}} wählen, da ja ohnehin {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(c,c) || 0 | \leq | \epsilon || |SZ= }} gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gogmnrfo0432w46iljb4iloalcyv1un 0 134919 1100326 1038216 2026-06-17T07:57:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100326 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Funktion| |Kontext=K| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} | x |cx |SZ=, }} mit einem Proportionalitätsfaktor {{ Relationskette |c |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |c || 0 || || || |SZ= }} ist die Funktion konstant und somit auch stetig| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man unabhängig vom Punkt {{math|term= x |SZ=}} hier {{ Relationskette | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || || || |SZ= }} wählen: Wenn nämlich {{ Relationskette/display | d(x,x') | \leq | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || || || |SZ= }} gilt, so ist {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(cx,cx') || {{op:Betrag| c |}} \cdot d(x,x') | \leq | {{op:Betrag| c |}} \cdot \delta || {{op:Betrag| c |}} \cdot {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || \epsilon |SZ=. }} Insbesondere ist die Identität {{ Abbildung/display |name= | {{KRC|}} | {{KRC|}} | x | x |SZ=, }} stetig. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cltlmu9qnvdf7vuh6i50qgsokuv6kmb 0 134926 1099831 1084935 2026-06-17T06:36:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1099831 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} in affiner kurzer Weierstraßform {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+ax+b || (x- \lambda_1) (x- \lambda_2)(x- \lambda_3) || || |SZ= }} besitzen die {{ Definitionslink |regulären Funktionen| |Kontext=Varietät| |SZ= }} auf einer offenen Menge im Allgemeinen keine eindeutige Darstellung als Bruch. Die Kurvengleichung kann man beispielsweise direkt als {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| y | x- \lambda_1 }} || {{op:Bruch|(x- \lambda_2)(x- \lambda_3)| y}} || || || |SZ= }} interpretieren, und dies ergibt eine reguläre Funktion auf {{mathl|term= D(x- \lambda_1, y) |SZ=.}} Diese Funktion ist allein im Punkt {{mathl|term= ( \lambda_1,0) |SZ=}} nicht definiert. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qoxp4qe6rlkqb40bdjjr0ru9bv1puem 0 134958 1100603 1085679 2026-06-17T10:34:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100603 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine glatte Varietät {{math|term= X |SZ=}} über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} kann man als eine {{ Definitionslink |komplexe Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X^h|SZ=}} auffassen, wobei sich die komplexe {{ Zusatz/Klammer |text=feine| |ISZ=|ESZ= }} Topologie und die holomorphe Struktur lokal aus der Situation {{ Relationskette/display | V( {{ideala|}} ) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | {{CC|}} }} || {{CC|}}^n || || |SZ= }} ergibt. Zu einem {{ Definitionslink |Morphismus| |Kontext=Varietät| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{morpsi|}} | Y | X || |SZ= }} zwischen glatten Varietäten über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} gehört auch eine {{ Definitionslink |holomorphe Abbildung| |Kontext=Mfkt| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{morpsi|}}^h |Y^h|X^h || |SZ=. }} Dies beruht darauf, dass rationale Funktionen, also Quotienten aus Polynomen in mehreren Variablen, holomorph sind. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wqaokbl9c0jmghm836q2j8jyjoltzy 0 135456 1100446 1038757 2026-06-17T08:16:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1100446 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term= \Z^n |SZ=}} induzierte jede {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=vr| |SZ= }} auf {{math|term= \R^n |SZ=}} über {{ Relationskette | h(P) || {{op:Norm| P |}}^2 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |schwache Höhenfunktion| |SZ=. }} Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar {{ Zusatz/Klammer |text=man denke etwa an die {{ Definitionslink |Maximumsnorm| |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Die Dreiecksabschätzung ergibt {{ Relationskette/align | h(P+Q) || {{op:Norm|P+Q|}}^2 | \leq | {{makl| {{op:Norm| P |}} + {{op:Norm| Q |}} |}}^2 || {{op:Norm| P |}}^2 + {{op:Norm| Q |}}^2 + 2 {{op:Norm| P |}} \cdot {{op:Norm| Q |}} || h(Q) + {{op:Norm| P |}}^2 + 2 {{op:Norm| P |}} \cdot {{op:Norm| Q |}} | \leq | 2 h(Q) + S_1 |SZ=, }} wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem {{math|term= P |SZ=}} bis auf endlich viele Ausnahmen {{ Relationskette | {{op:Norm| P |}} | \leq | {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:Norm| Q |}} || || || |SZ= }} gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit {{ Relationskette | S_2 || 0 || || || |SZ=, }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wwf6qi5oej8xrgixa8uumnsqgrpnbk 0 136223 1099850 1084946 2026-06-17T06:39:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1099850 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= WIr betrachten die durch die Gleichung {{ Relationskette/display |Y^2 || X^3+X || || || |SZ= }} über dem Körper {{math|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} gegebene {{ Definitionslink |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} {{math|term= E |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display |h(X) || X^3+X || X(X+2)(X+3) || || || |SZ= }} liegt in der Tat Glattheit vor. Die über {{math|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} definierten Punkte sind {{ Math/display|term= {{elliptischo|}} , (0,0), (3,0), (2,0) |SZ=, }} was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt |Nr= |SZ= }} genau die vier Torsionspunkte zur Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} sind. Der Frobenius ist durch {{mathl|term= X \mapsto X^5,\, Y \mapsto Y^5 |SZ=}} gegeben und besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Kurve/Endlicher Körper/Frobenius/Grad/Fakt |Nr= |SZ= }} den Grad {{math|term= 5 |SZ=,}} auf der Punktebene ist es die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \Phi |E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod| 5 |}} |}} | E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod| 5 |}} |}} |(x,y)| (x^5,y^5) |SZ=. }} Entsprechend wird die Abbildung {{mathl|term= {{op:Identität| E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod| 5 |}} |}} |}} - \Phi |SZ=}} durch {{ Abbildung/display |name= \Phi |E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod| 5 |}} |}} | E_{{op:Algebraischer Abschluss| {{op:Zmod| 5 |}} |}} |(x,y)| (x,y) - (x^5,y^5) |SZ=, }} gegeben. Unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | (x,y) - (x^5,y^5) || (x,y) + (x^5,- y^5) || {{op:Zeilenvektor| \alpha^2- x-x^5 | - \alpha^3 +\alpha(x+x^5) - y+ \alpha x}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \alpha || {{op:Bruch| -y^5-y| x^5-x}} || {{op:Bruch| x^2+x^6 +x^{10} +1 | -y^5+y |}} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Anzahl/Identität-Frobeniuspotenz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Grad dieser Abbildung gleich {{math|term= 4 |SZ=.}} Diese Abbildung stimmt mit der Verdoppelungsabbildung überein, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Anzahl und Grad/Beispiel/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+X |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5nt65w1x8oztbl7d278ewoi3xbrrqk 0 136245 1100602 1085678 2026-06-17T10:33:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100602 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine glatte projektive Varietät über einem endlichen Körper {{ Relationskette |K || {{op:Endlicher Körper| q |}} || || || |SZ=, }} es sei {{math|term= N_r|SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |rationalen Punkte| |Kontext=Varietät| |SZ= }} Punkte von {{math|term= X |SZ=}} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Zeta-Funktion| |Kontext=Weil| |SZ= }} {{ Relationskette/display | Z(t) || {{op:exp(| \sum_{ r {{=}} 1}^\infty N_r {{op:Bruch|t^r|r}} |}} || || |SZ=. }} André Weil formulierte 1949 eine Reihe von Vermutungen über das Verhalten dieser Funktion und damit der Anzahlen {{math|term= N_r|SZ=,}} die er selbst für Kurven bewies. Diese Vermutungen motivierten Alexander Grothendieck zur Einführung der étalen bzw. der {{math|term= \ell|SZ=-}}adischen Kohomologie {{ Zusatz/Klammer |text=die Tate-Moduln kann man als {{math|term= \ell|SZ=-}}adische Homologiegruppen ansehen| |ISZ=|ESZ=, }} mit deren Hilfe 1973 Pierre Deligne letztlich die Vermutungen bestätigte. Die wichtigsten allgemeinen Resultate, die wir im elliptischen Fall gezeigt haben, sind die folgenden. {{ Aufzählung4 |Es gibt ganzzahlige Polynome {{math|term= P_i(t) |SZ=}} für {{ Relationskette | 0 | \leq | i | \leq | 2n || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | Z(t) || {{op:Bruch|P_1(t) \cdot P_3(t)\cdot P_5(t) \cdots P_{2n-1} (t) | P_0(t) \cdot P_2(t)\cdot P_4(t) \cdots P_{2n} (t) }} || || || |SZ=. }} Insbesondere ist die Zeta-Funktion eine rationale Funktion. Dies bedeutet, dass endlich viele der Werte {{math|term= N_r|SZ=}} schon alle Werte festlegen {{ Zusatz/Klammer |text=Dwork, Grothendieck| |ISZ=|ESZ=. }} Es gilt {{ Relationskette |P_0(t) || 1-t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |P_{2n}(t) || 1-q^n t || || || |SZ=. }} Für den elliptischen Fall siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Die Grade der Polynome {{math|term= P_i |SZ=}} aus Teil (1) haben eine geometrische Bedeutung. Ihr Grad ist die Vektorraumdimension der {{math|term= i |SZ=-}}ten {{math|term= \ell|SZ=-}}adischen Kohomologie {{math|term= H^i(X, \Q_\ell) |SZ=.}} Man spricht von den {{math|term= \ell|SZ=-}}adischen Betti-Zah{{drucktrenn}}len. Wenn {{math|term= X |SZ=}} durch Reduktion modulo {{math|term= p |SZ=}} von einer Varietät {{ Zusatz/Klammer |text=Schema| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= \mathcal X |SZ=}} über {{math|term= \Z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einem Zahlbereich| |ISZ=|ESZ= }} herrührt, so kann man auch die zugehörige Varietät über {{math|term= \Q |SZ=}} und über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} betrachten. Diese Varietät hat {{ Zusatz/Klammer |text=als komplexe Mannigfaltigkeit| |ISZ=|ESZ= }} topologische Betti-Zahlen, die man beispielsweise mit der singulären Kohomologie ausrechnen kann. Diese Betti-Zahlen stimmen mit den {{math|term= \ell|SZ=-}}adischen Betti-Zahlen der Reduktion überein. Im Fall einer elliptischen Kurve sind die Betti-Zahlen gleich {{math|term= 1,2,1 |SZ=.}} |Die Polynome {{math|term= P_i |SZ=}} aus Teil (1) besitzen über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. über einer geeigneten algebraischen Erweiterung von {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine Zerlegung in lineare Faktoren {{ Relationskette/display | P_i || \prod_j (1 - \alpha_{ij} t) || || || |SZ=. }} Dabei gilt {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| \alpha_{ij} |}} || q^{i/2} || || || |SZ=. }} Diese Eigenschaft ist analog zur Riemannschen Hypothese. Für den elliptischen Fall siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt |Nr=3 |SZ= }} |Es gilt eine Funktionalgleichung für die Zeta-Funktion, die {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Funktionalgleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} verallgemeinert. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j14qyr8tq9q9xlcm9mz6jp0nmruc2ew 0 136350 1100572 1034933 2026-06-17T10:30:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100572 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine heuristische Überlegung, die zumindest einen Zusammenhang zwischen einem positiven gruppentheoretischen Rang und einem positiven analytischen Rang vorstellbar macht, geht folgendermaßen. Die durch ganzzahlige Koeffizienten gegebene elliptische Kurve {{math|term= E |SZ=}} besitze einen positiven Gruppenrang, also neben der Torsion eine {{math|term= \Z|SZ=-}}Komponente. Unter der Reduktionsabbildung, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Gruppenhomomorphismus/Fakt |Nr= |SZ=, }} wird {{ Relationskette | E(\Q) | \cong| \Z^r \times T || || || |SZ= }} auf die endliche Gruppe {{math|term= E( {{op:Zmod| p |}} ) |SZ=}} abgebildet. Die Anzahl von {{math|term= E( {{op:Zmod| p |}} ) |SZ=}} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt |Nr= |SZ= }} in der Größenordnung von {{math|term= p+1 |SZ=}} mit einer Abweichung von maximal {{math|term= 2 \sqrt{p} |SZ=.}} Grundsätzlich gibt es keine Tendenz, ob die Anzahl sich eher oberhalb von {{math|term= p+1 |SZ=}} oder eher unterhalb davon befindet. Bei {{ Relationskette |r | \geq | 1 || || || |SZ= }} kann man sich aber vorstellen, dass das Bild von {{math|term= \Z^r |SZ=}} tendenziell dazu führt, dass die Anzahlen sich eher oberhalb von {{math|term= p+1 |SZ=}} bewegen. Wenn wir die Produktdarstellung für {{ Relationskette |s || 1 || || || |SZ= }} anschauen, so sind die Faktoren {{ Zusatz/Klammer |text=es kommt nicht auf die endlich vielen Faktoren zu den Primzahlen mit schlechter Reduktion an| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 1-a_p p^{-1} + p^{-1} }} || {{op:Bruch| p | p-a_p + 1 }} || {{op:Bruch| p | {{op:Anzahl| E_p ( {{op:Zmod| p |}} )|}} }} || || |SZ=. }} Wenn hier die Nenner tendenziell größer als {{math|term= p+1 |SZ=}} sind, so sind die Faktoren tendenziell {{Anführung|deutlich}} kleiner als {{math|term= 1 |SZ=,}} was im unendlichen Produkt zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=höheren| |ISZ=|ESZ= }} Nullstelle führen könnte. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der L-Reihen zu elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4zq1hohaqi4yx79285se8kto800e98 0 136440 1100566 1034883 2026-06-17T10:29:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100566 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Relationskette |F | \in | K[X,Y] || || || |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Polynom. Es sei {{ Relationskette |P || (x,y) | \in | C || V(F) | \subset | {{op:Affine Ebene| K |}} || |SZ= }} ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Indem man {{math|term= F |SZ=}} in den verschobenen Variablen {{mathl|term= U=X-x,\, V=Y-y |SZ=}} schreibt, so erhält man ein neues Polynom {{math|term= H |SZ=}} mit {{ Relationskette | H(0,0) || 0 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette/display | H || H_m+ H_{m+1} {{plusdots}} H_d || || || |SZ= }} die homogene Zerlegung von {{math|term= H}} mit {{mathkon|H_m \neq 0|und|H_d \neq 0 |SZ=,}} {{ Relationskette |d | \geq | m || || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= d |SZ=}} der Grad der Kurve und {{math|term= m}} heißt die {{Definitionswort|Multiplizität}} der Kurve im Punkt {{math|term= P |SZ=.}} Die Kurve besitzt genau dann eine Singularität in {{math|term= P |SZ=,}} wenn {{ Relationskette |m | \geq | 2 || || || |SZ= }} ist. Bei einer Faktorzerlegung {{ Relationskette | H_m || G_1 \cdots G_m || || || |SZ= }} in lineare Faktoren, die eventuell erst nach einer endlichen Körpererweiterung vorliegt, nennt man die Geraden {{mathind|V(G_i)|i{{=}}1 {{kommadots|}} m |SZ=,}} die {{Definitionswort|Tangenten|msw=Tangente}} an {{math|term= C }} im Punkt {{math|term= P |SZ=.}} Im kubischen Fall ist in einem singulären Punkt {{ Relationskette | 2 | \leq | m | \leq | 3 || || |SZ=, }} wobei bei {{ Relationskette |m || 3 || || || |SZ= }} keine irreduzible Kurve vorliegt. Im irreduziblen Fall ist {{ Relationskette | 2 || m || || || |SZ= }} und dort gibt es eine Faktorzerlegung {{ Relationskette | H_2 || G_1G_2 || || || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren gleich oder verschieden sein können. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqpeqcz2gas0skbad5lkuiin0eas6nv 0 136500 1100645 1035554 2026-06-17T10:40:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100645 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte {{Anführung|näher|}} zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | L | M || |SZ= }} zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum {{math|term= M |SZ=}} durch den Abstand im Definitionsraum {{math|term= L |SZ=}} kontrollierbar ist. Sei {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || f(x) || || || |SZ= }} der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte {{math|term= x' |SZ=,}} die {{Anführung|nahe}} an {{math|term= x |SZ=}} sind, auch die Bildpunkte {{mathl|term= f(x') |SZ=}} {{Anführung|nahe}} an {{math|term= f(x) |SZ=}} sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Dieses {{math|term= \epsilon |SZ=}} repräsentiert eine {{Anführung|gewünschte Zielgenauigkeit|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|Zieltoleranz|}} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Frage ist dann, ob man ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} finden kann {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Startgenauigkeit}} oder {{Anführung|Starttoleranz}} |ISZ=|ESZ= }} mit der Eigenschaft, dass für alle {{math|term= x' |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Abstand| x | x'}} | \leq | \delta || || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} | \leq| \epsilon || || || |SZ= }} gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aer442bz25jpty166426eeim2u0xhaf 0 136688 1100624 1085710 2026-06-17T10:37:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100624 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | \Gamma | \subseteq | {{op:SLG| 2 |\Z}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Kongruenzuntergruppe| |Kontext=| |SZ=, }} die auf der {{ Definitionslink |oberen Halbebene| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{Obere Halbebene|}} |SZ=}} durch {{ Definitionslink |Modulsubstitution| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |operiert| |Kontext=Gruppe| |SZ=. }} Dazu gehört die Quotientenabbildung {{ Abbildung/display |name= \pi_\Gamma | {{Obere Halbebene|}} | {{Obere Halbebene|}} / \Gamma {{defeqr}} Y_\Gamma || |SZ=, }} bei der durch {{math|term= \Gamma|SZ=}} ineinander überführbare Punkte miteinander identifiziert werden. Bei {{ Relationskette | \Gamma || \Gamma(N) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \Gamma || \Gamma_0(N) || || || |SZ= }} finden sich Schreibweisen wie {{math|term= Y(N ) |SZ=}} und {{math|term= Y_{0} (N) |SZ=.}} Jede {{ Definitionslink |Prämath=\Gamma |Modulform| |Kontext=Kongruenzuntergruppe| |SZ= }} vom Gewicht {{math|term= 0 |SZ=}} faktorisiert durch {{math|term= Y_\Gamma |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |\Gamma || \Gamma(1) || {{op:SLG| 2 |\Z}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{Obere Halbebene|}} / {{op:SLG| 2 |\Z}} | \cong| {{CC|}} || || || |SZ= }} und die Projektion stimmt mit der absoluten {{ Definitionslink |Invarianten| |Kontext=j C| |SZ= }} {{math|term= j |SZ=}} überein. Bei einer Untergruppenbeziehung {{ Relationskette | \Gamma | \subseteq | \Gamma' || || || |SZ= }} liegt eine nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Untergruppe/Quotienten/Aufgabe |Nr= |SZ= }} surjektive kanonische Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{Obere Halbebene|}} / \Gamma | {{Obere Halbebene|}} / \Gamma' || |SZ= }} vor. Wenn {{math|term= \Gamma |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Normalteiler| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= \Gamma'|SZ=}} ist, so operiert nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Normalteiler und Bahnenraum/Aufgabe |Nr= |SZ= }} die endliche Restklassengruppe {{math|term= \Gamma'/\Gamma|SZ=}} auf {{math|term= {{Obere Halbebene|}} / \Gamma |SZ=}} mit dem Quotienten {{mathl|term= {{Obere Halbebene|}} / \Gamma' |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |\Gamma || \Gamma(N) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \Gamma' || {{op:SLG| 2 |\Z}} || || || |SZ= }} erhält man speziell, dass {{ Relationskette/display | {{op:SLG| 2 |\Z}} /\Gamma (N) | \cong| {{op:SLG| 2 | {{op:Zmod| N |}} }} | || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= {{Obere Halbebene|}} / \Gamma |SZ=}} operiert mit dem Quotienten {{ Relationskette/display | {{Obere Halbebene|}} / {{op:SLG| 2 |\Z}} | \cong| {{CC|}} || || || |SZ=. }} Die {{math|term= Y_\Gamma |SZ=}} sind {{ Definitionslink |riemannsche Flächen| |Kontext=| |SZ= }} und die Quotientenabbildungen sind holomorph. Man kann sie durch die Hinzunahme von endlich vielen Punkten kompaktifizieren und erhält dadurch kompakte Riemannsche Flächen {{math|term= X_\Gamma |SZ=,}} die Modulflächen heißen. Da kompakte Riemannschen Flächen den glatten projektiven Kurven über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} entsprechen, spricht man auch von Modulkurven. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cv22w4yha5nl7z1cindlm643n6w8l49 0 137690 1100169 1085297 2026-06-17T07:31:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100169 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei der affinen Standardüberdeckung {{ Relationskette/display | {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || U \cup V || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | U | \cong| {{CC|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |V | \cong| {{CC|}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | U \cap V | \cong| {{CC|}} \setminus \{ 0 \} || || || |SZ=. }} Eine erste Kohomologieklasse der Garbe der holomorphen Differentialformen wird durch {{ Math/display|term= z^{-1} dz |SZ= }} repräsentiert. Diese Form kann man auch als {{mathl|term= -zd z^{-1} |SZ=}} schreiben. Man kann sie nicht als eine Differenz {{mathl|term= hdz-gdz^{-1} |SZ=}} schreiben, wobei {{math|term= h |SZ=}} eine holomorphe Funktion auf {{math|term= U |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= g |SZ=}} eine holomorphe Funktion auf {{math|term= V |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= z^{-1} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist. Für eine solche Form gilt {{ Relationskette/display |h(z) dz - g(z^{-1}) dz^{-1} || h(z)dz + {{op:Bruch| g(z^{-1})|z^2}} dz || || || |SZ=. }} Wenn man die Koeffizienten in den Potenzreihen anschaut, so sieht man, dass der Summand {{math|term= z^{-1} |SZ=}} nicht vorkommt. Zugleich sieht man, dass skalare Vielfache der Form {{mathl|term= z^{-1}dz|SZ=}} die einzigen holomorphen Formen sind, die man nicht als Differenz schreiben kann. Es ist also {{ Relationskette/display |H^1( {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}}, \Omega ) | \cong| {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der 1-Formen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swujcrlsql12x2y7y6hobz644bki6sj 0 137814 1100271 1085403 2026-06-17T07:48:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100271 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Operation der {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=}} auf der Sphäre {{ Relationskette |S^2 | \cong| {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || || || |SZ=, }} bei der das nichttriviale Element antipodale Punkte ineinander überführt werden, ist {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Daher liegt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Gruppe/Fixpunktfreie Operation/Hausdorffraum und einfach zusammenhängend/Überlagerung und Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Überlagerung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |S^2| S^2/ \sim || |SZ= }} vor. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Unverzweigte Überlagerung/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Fakt |Nr= |SZ= }} kann diese Operation {{ Zusatz/Klammer |text=also die {{ Definitionslink |Prämath= |Antipodenabbildung| |Kontext=| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} nicht {{ Definitionslink |holomorph| |Kontext=Abbildung riemannsche Fläche| |SZ= }} sein. In der Tat ist der Quotient {{math|term= S^2/ \sim |SZ=}} keine {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |Kontext=| |SZ=, }} sondern die nicht orientierbare reell-projektive Ebene {{math|term= {{op:Projektive Ebene|\R|}} |SZ=,}} vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reell-projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9q6xcgeic3q050gctyr7ldt6rgfzwul 0 137998 1100171 1085300 2026-06-17T07:32:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100171 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf der {{ Definitionslink |projektiven Geraden| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} ist {{mathl|term= z^{-1} dz|SZ=}} eine globale {{ Definitionslink |meromorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || U \cup V || || || |SZ= }} die Standardüberdeckung. Auf {{math|term= U \setminus \{0\} |SZ=}} ist die Form holomorph, im Nullpunkt hat sie einen Pol der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=.}} Auf {{math|term= V |SZ=}} mit dem lokalen Parameter {{ Relationskette |w || z^{-1} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | z^{-1} dz || wdw^{-1} || w {{makl| - {{op:Bruch| 1 |w^2}} |}} dw || - w^{-1} dw || |SZ=, }} im unendlich fernen Punkt liegt also auch ein Pol der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} vor. Diese Form definiert im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Meromorphe Differentialform/Exakt/Fakt |Nr= |SZ= }} die Differentialform-Hauptteilverteilung mit dem Träger {{math|term= \{ 0, \infty \} |SZ=}} und den Werten {{mathl|term= z^{-1} dz |SZ=}} in {{math|term= 0 |SZ=}} und {{mathl|term= -w^{-1} dw |SZ=}} in {{math|term= \infty |SZ=.}} Diese Verteilung rührt wie gezeigt von einer globalen meromorphen Form her. Dagegen rührt die Verteilung, die allein im Punkt {{math|term= 0 |SZ=}} den Wert {{mathl|term= z^{-1} dz |SZ=}} besitzt, nicht von einer globalen meromorphen Form her {{ Zusatz/Klammer |text=dies folgt auch sofort aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Eine solche müsste nämlich auf {{math|term= V |SZ=}} eine holomorphe Differentialform sein, also von der Form {{math|term= hdw |SZ=}} mit einer holomorphen ganzen Funktion auf {{ Relationskette |V | \cong| {{CC|}} || || || |SZ=, }} sagen wir {{ Relationskette/display | hdw || \sum_{ n {{=}} 0}^\infty c_n w^n dw || || || |SZ= }} Doch eine solche Form hat, wie die Transformation mit {{ Relationskette |w || z^{-1} || || || |SZ= }} zeigt, in {{ Relationskette | 0 | \in | U || || || |SZ= }} einen Pol der Ordnung {{math|term= \geq 2 |SZ=.}} Die Verteilung wiederum, die allein im Punkt {{math|term= 0 |SZ=}} den Wert {{mathl|term= z^{-2} dz |SZ=}} besitzt, rührt von ebendieser meromorphen Form her, da {{ Relationskette/display | z^{-2} dz || w^2dw^{-1} || - dw || || |SZ= }} eine holomorph Differentialform ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flkmi8o46ollr486jhwiagaium2fz54 0 138276 1100348 1085480 2026-06-17T08:01:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100348 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten ein {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette | \Gamma || \langle v_1,v_2 \rangle | \subseteq | {{CC|}} || || |SZ= }} und die Restklassengruppe {{ Relationskette/display | T || {{CC|}} /\Gamma | \cong| S^1 \times S^1 || || |SZ=. }} Wir arbeiten mit der offenen Überdeckung zu den offenen Mengen {{ Relationskette | U_1,U_2,U_3,U_4 | \subseteq | T || || || |SZ=, }} die aus den homöomorphen Bildern von {{ Relationskette/display | \tilde{U}_1 || {{Mengebed|rv_1+sv_2 | - {{op:Bruch| 1 | 8}} < r < {{op:Bruch| 5 | 8}} | - {{op:Bruch| 1 | 8}} < s < {{op:Bruch| 5 | 8}} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \tilde{U}_2 || {{Mengebed|rv_1+sv_2 | - {{op:Bruch| 1 | 8}} < r < {{op:Bruch| 5 | 8}} | {{op:Bruch| 3 | 8}} < s < {{op:Bruch| 9 | 8}} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \tilde{U}_3 || {{Mengebed|rv_1+sv_2 | {{op:Bruch| 3 | 8}} < r < {{op:Bruch| 9 | 8}} | - {{op:Bruch| 1 | 8}} < s < {{op:Bruch| 5 | 8}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \tilde{U}_4 || {{Mengebed|rv_1+sv_2 | {{op:Bruch| 3 | 8}} < r < {{op:Bruch| 9 | 8}} | {{op:Bruch| 3 | 8}} < s < {{op:Bruch| 9 | 8}} }} || || || |SZ= }} besteht. Wenn man diese Mengen in das Fundamentalparallelogramm malt, bestehen sie jeweils aus vier Teilen. Die Durchschnitte {{math|term= U_i \cap U_j |SZ=}} bestehen aus zwei oder aus vier disjunkten Rechtecken, es liegt eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Fakt |Nr= |SZ= }} für die Garbe der lokal konstanten Funktionen vor. Wenn man einen Kreis durch zwei offene Kreissegmente {{math|term= C_1 |SZ=}} und {{math|term= C_2 |SZ=}} überdeckt, deren Durchschnitt aus zwei Intervallen besteht, und für einen weiteren Kreis die Segmente {{math|term= D_1 |SZ=}} und {{math|term= D_2 |SZ=}} nennt, so geht es einfach um die Produktmengen {{mathl|term= C_i \times D_j |SZ=}} auf dem Torus. Es sei {{ Relationskette/display | C_1 \cap C_2 || F_1 \uplus F_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | D_1 \cap D_2 || G_1 \uplus G_2 || || || |SZ=. }} Dann ist beispielsweise {{ Relationskette/align | C_1 \times D_1 \cap C_1 \times D_2 || C_1 \times {{makl| D_1 \cap D_2 |}} || C_1 \times {{makl| G_1 \uplus G_2 |}} || C_1 \times G_1 \uplus C_1 \times G_2 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | C_1 \times D_1 \cap C_2 \times D_2 || {{makl| C_1 \cap C_2 |}} \times {{makl| D_1 \cap D_2 |}} || {{makl| F_1 \uplus F_2 |}} \times {{makl| G_1 \uplus G_2 |}} || F_1 \times G_1 \uplus F_1 \times G_2 \uplus F_2 \times G_1 \uplus F_2 \times G_2 || || |SZ=. }} Jede Kohomologieklasse für der Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} wird repräsentiert als eine Summe von zwei Kohomologieklassen, die sich jeweils im Wesentlichen von einem Kreis herrührt: Auf der Überdeckung {{math|term= C_1 \times S^1, C_2 \times S^1 |SZ=}} mit dem Wert {{ Relationskette | a | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} auf {{math|term= F_1 \times S^1 |SZ=}} und dem Wert {{math|term= 0 |SZ=}} auf {{math|term= F_2 \times S^1 |SZ=}} und auf der Überdeckung {{math|term= S^1 \times D_1, S^1 \times D_2 |SZ=}} mit dem Wert {{ Relationskette | b | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} auf {{math|term= S^1 \times G_1 |SZ=}} und dem Wert {{math|term= 0 |SZ=}} auf {{math|term= S^1 \times G_2 |SZ=.}} Die Kohomologie rührt also von den Projektionen her. Es ist also {{ Relationskette/display | H^1(T, {{CC}}) | \cong| {{CC|}}^2 || || || |SZ=. }} Wie kann man darin das Bild von {{math|term= H^0 (T, \Omega_T) |SZ=}} charakterisieren? Auf der oben angebenen offenen Überdeckung erhält man überall {{math|term= dz |SZ=.}} Die holomorphe Funktion {{math|term= z |SZ=}} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} liefert für jedes {{math|term= U_i |SZ=}} eine holomorphe Funktion {{math|term= z_i |SZ=,}} die allerdings nicht zu einer globalen holomorphen Funktion zusammenkleben. Dies sieht man, wenn man das Fundamentalparallelogramm betrachtet. Wir bestimmen also {{math|term= z_i |SZ=}} auf dem Fundamentalparallelogramm, wobei wir mit {{math|term= z |SZ=}} darauf vergleichen. Die Funktion {{math|term= z_1 |SZ=}} auf {{math|term= U_1 |SZ=}} liefert links unten in der Tat {{math|term= z |SZ=,}} aber auf den Umklappungen links oben die Funktion {{math|term= z-v_2 |SZ=,}} rechts unten {{math|term= z-v_1 |SZ=}} und rechts oben {{math|term= z-v_1-v_2 |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= z_2 |SZ=}} ist links unten {{math|term= z+v_2 |SZ=,}} links oben {{math|term= z |SZ=,}} rechts oben {{math|term= z-v_2 |SZ=}} und rechts unten {{math|term= z-v_1+v_2 |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= z_3 |SZ=}} ist links unten {{math|term= z-v_1 |SZ=,}} links oben {{math|term= z-v_1+v_2 |SZ=,}} rechts oben {{math|term= z+v_2 |SZ=}} und rechts unten {{math|term= z |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= z_4 |SZ=}} ist links unten {{math|term= z+v_1 +v_2 |SZ=,}} links oben {{math|term= z+v_1 |SZ=,}} rechts oben {{math|term= z |SZ=}} und rechts unten {{math|term= z +v_2 |SZ=.}} Die Differenzen sind. Auf {{mathl|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} die Werte {{ mathkor|term1= 0 |bzw.|term2= -v_2 |SZ=, }} auf {{mathl|term= U_1 \cap U_3 |SZ=}} die Werte {{ mathkor|term1= 0 |bzw.|term2= v_1 |SZ=. }} Der Durchschnitt {{mathl|term= U_1 \cap U_4 |SZ=}} besteht aus vier Teilen, die im Parallelogramm neun Teile zerfallen. Die vier Eckteile gehören zusammen, die beiden mittleren Randteile links und rechts, die beiden mittleren Randteile oben und unten und der mittlere Teil. Die Werte von {{mathl|term= z_1-z_4 |SZ=}} darauf sind in dieser Reihenfolge gleich {{mathl|term= -v_1-v_2, -v_2,-v_1 ,0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ehr6fykjqd0aaa2nbaso51nypnj2vsd 0 138306 1100623 1085708 2026-06-17T10:36:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100623 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Auf einem {{ Definitionslink |Torus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | X || S^1 \times S^1 || || || |SZ= }} ist unabhängig von einer holomorphen Struktur {{ Relationskette/display | \pi_1(X) || \Z \times \Z || || || |SZ= }} mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen {{ mathkor|term1= \gamma_1 |und|term2= \gamma_2 |SZ= }} als Basiswege {{ Zusatz/Klammer |text=die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette | H^1(X, {{CC|}}) | \cong| {{CC|}}^2 || || || |SZ=, }} siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Torus/Lokale Konstante Funktionen/Erste Kohomologie/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Nach Dualraum der ersten Homologie/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt ein natürlicher {{ Definitionslink |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | H^1(X, {{CC|}} ) | {{op:Homomorphismen| \pi_1(X)| {{CC|}} }} | c | {{makl| \gamma \mapsto \int_\gamma c |}} |SZ=, }} vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahl zugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf {{mathl|term= H^1(X, {{CC|}} ) |SZ=}} in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen {{ mathkor|term1= e_{\gamma_1 } |und|term2= e_{\gamma_1 } |SZ= }} entsprechen. Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer {{ Definitionslink |riemannschen Fläche| |Kontext=| |SZ= }} besitzt, so erhält man mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Konstante Funktionen/Holomorphe Funktionen/Holomorphe Differentialform/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |exakte Garbensequenz| |Kontext=| |SZ= }} {{kurze exakte Sequenz/display| {{CC|}} | {{op:Strukturgarbe| X |}} | \Omega_X|abbmr=d}} und dazu {{ Zusatz/Klammer |text=die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink |lange Kohomologiesequenz| |Kontext=Garbe| |SZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow H^0(X, \Omega_X ) \stackrel{\delta}{ \longrightarrow} H^1(X, {{CC|}} ) \longrightarrow H^1(X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) \longrightarrow H^1(X, \Omega_X ) \longrightarrow \ldots |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Kompakt/Konstante Funktionen/Auflösung/Kohomologie/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Der Raum {{mathl|term= H^0(X, \Omega_X ) |SZ=}} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexer Torus/1/Holomorphe Differentialformen/Bestimmung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |eindimensional| |Kontext=vr| |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette | X || {{CC|}} /\Gamma || || || |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette | \Gamma || \langle v_1,v_2 \rangle || || || |SZ= }} realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege {{ mathkor|term1= t \mapsto tv_1 |bzw.|term2= t \mapsto tv_2 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | t | \in | [0,1] || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexer Torus/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form {{math|term= \gamma_1 \mapsto s v_1, \gamma_2 \mapsto sv_2 |SZ=}} mit einem festen {{ Relationskette | s | \in | {{CC|}} || || || |SZ=, }} also ein Vielfaches von {{mathl|term= v_1 e_{\gamma_1 } +v_2 e_{\gamma_1 } |SZ=.}} Das Gitter spiegelt sich also darin wider, wie der eindimensionale Raum {{mathl|term= H^0(X, \Omega_X ) |SZ=}} im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum {{ Relationskette | H^1(X, {{CC|}} ) | \cong| {{CC|}}^2 || || || |SZ= }} liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von {{mathl|term= H^1(X, {{CC|}} ) |SZ=}} kann genau dann als {{mathl|term= H^0(X, \Omega_X ) |SZ=}} eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} sind. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer kompakten riemannschen Fläche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bzche0cjdaytktx65toyqwejqs2l075 0 138504 1100197 1037655 2026-06-17T07:36:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100197 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur {{ Definitionslink |Überlagerung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | w |w^n |SZ=, }} ist die {{ Definitionslink |Decktransformationsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} gleich der Gruppe der {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |komplexen Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | E_n || {{Mengebed|\zeta \in {{CC}} | \zeta^n {{=}} 1 }} || \{ e^{ {{op:Bruch| 2 \pi k {{imaginäre Einheit}} | n |}} }{{|}}\, k{{=}} 0 {{kommadots}} n-1 \} || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dabei wirkt eine Einheitswurzel {{math|term= \zeta |SZ=}} durch die Multiplikation {{ Abbildung/display |name= \mu_\zeta | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | z | \zeta z |SZ=, }} als Decktransformation. Die Gesamtzuordnung {{ Abbildung/display |name= | E_n | {{op:Decktransformationsgruppe| {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | \varphi}} || |SZ= }} ist offenbar {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ= }} und ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Bei einer beliebigen Decktransformation {{ Abbildung/display |name= \theta | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || |SZ= }} ist {{ Relationskette | \zeta | {{defeq|}} | \theta(1) || || || |SZ= }} eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel. Daraus folgt {{ Relationskette | \theta || \mu_\zeta || || || |SZ= }} mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Überlagerung/Decktransformation/Bestimmtheit/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Decktransformationsgruppe einer Überlagerung |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3=Theorie der endlichen Überlagerungen von riemannschen Flächen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ks6hxy9tkayeev1hm31aryeelpab0y 0 138520 1100196 1085330 2026-06-17T07:36:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100196 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} ist {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | w |w^n |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Überlagerung| |Kontext=| |SZ=. }} Sei {{ Relationskette | z | \in | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | w | \in | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Relationskette | w^n || z || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | w | \in | V | \subseteq | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || |SZ= }} eine offene Umgebung, die {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |SZ= }} auf {{ Relationskette | U | {{defeq|}} | \varphi(V) || || || |SZ= }} abbildet. Eine solche Menge gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt |Nr= |SZ= }} und wegen {{ Relationskette | \varphi'(w) || nw^{n-1} |\neq| 0 || || |SZ=. }} Die Menge der {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |komplexen Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | E_n || {{Mengebed|\zeta \in {{CC}} | \zeta^n {{=}} 1 }} || \{ e^{ {{op:Bruch| 2 \pi k {{imaginäre Einheit}} | n |}} }{{|}}\, k{{=}} 0 {{kommadots}} n-1 \} || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wir können {{math|term= V |SZ=}} verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln {{ Relationskette | \zeta |\neq| 1 || || || |SZ= }} die offenen Mengen {{ mathkor|term1= V |und|term2= \mu_\zeta(V) |SZ= }} {{ Definitionslink |disjunkt| |Kontext=| |SZ= }} sind. Dann ist {{ Relationskette/display | \varphi^{-1} {{makl| U |}} | \cong| \biguplus_{\zeta \in E_n } \mu_{\zeta} (V) | \cong| U \times E_n || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Überlagerungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bxdzmjl2kxhe7d0z6lc7xxwvqkqbrfu 0 138522 1099982 1093889 2026-06-17T07:00:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1099982 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:exp||}} | {{CC|}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | w | {{op:exp| w |}} |SZ=, }} ist eine {{ Definitionslink |Überlagerung| |Kontext=| |SZ=. }} Zu einem Punkt {{ Relationskette | z | \in | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} und einem Punkt {{ Relationskette | w | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:exp| w |}} || z || || || |SZ= }} gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt |Nr= |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Relationskette | w | \in | V | \subseteq | {{CC|}} || || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |SZ= }} auf {{ Relationskette | U | {{defeq|}} | {{op:exp(| V |}} || || || |SZ= }} abbildet. Durch Verkleinern von {{math|term= V |SZ=}} können wir annehmen, dass die offenen Mengen {{ mathkor|term1= V |und|term2= V+ 2 \pi k {{imaginäre Einheit}} |SZ= }} für {{ Relationskette | k |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |disjunkt| |Kontext=| |SZ= }} sind. Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:exp||}}^{-1}(U) | \cong| \biguplus_{k \in \Z} {{makl| V + 2 k \pi {{imaginäre Einheit}} |}} | \cong| U \times \Z || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qb5ljv8fu5tvwwmgenogy3zeeu4zda1 0 138582 1099999 1085115 2026-06-17T07:03:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099999 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | {{CC|}} \setminus \{-1,1\} | {{CC|}} | z | {{op:Bruch| 1 | 3}} z^3-z |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | f'(z) || z^2-1 || (z-1)(z+1) || || |SZ= }} ist die Abbildung überall {{ Definitionslink |unverzweigt| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Unverzweigt und lokaler Homöomorphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |lokaler Homöomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Die entsprechende polynomiale Abbildung {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist surjektiv, sie hat an der Stelle {{math|term= 1 |SZ=}} den Wert {{math|term= - {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=}} und an der Stelle {{math|term= -1 |SZ=}} den Wert {{math|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 3}} z^3-z + {{op:Bruch| 2 | 3}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| z^3-3z + 2 |}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| z-1 |}}^2 {{makl| z+2 |}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 3}} z^3-z - {{op:Bruch| 2 | 3}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| z^3-3z - 2 |}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| z+1 |}}^2 {{makl| z-2 |}} || || |SZ=, }} daher ist auch {{math|term= f |SZ=}} selbst surjektiv. Es liegt keine {{ Definitionslink |Überlagerung| |Kontext=| |SZ= }} vor, da über {{math|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=}} und über {{math|term= - {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=}} je ein Punkt und sonst stets drei Punkte liegen. Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Faseranzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt, dass {{math|term= f |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |endlich| |Kontext=eigentlich| |SZ= }} ist. Dies kann man auch direkt und explizit sehen. Die Folge {{math|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} + {{op:Bruch| 1 |n}} |SZ=}} konvergiert gegen {{math|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=}} und die Teilmenge {{ Relationskette | T || {{Mengebed| {{op:Bruch| 2 | 3}} + {{op:Bruch| 1 |n}} |n \in \N_+}} \cup \{ {{op:Bruch| 2 | 3}} \} | \subseteq | {{CC|}} || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=| |SZ=. }} Die Urbildmenge von {{math|term= T |SZ=}} unter der polynomialen Abbildung {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} ist kompakt, durch die Herausnahme der beiden Punkte geht die Kompaktheit verloren. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1tasazfszljcsaf7muef2nlrcuozdp2 0 138661 1100613 1085691 2026-06-17T10:35:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100613 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |rationale Funktion| |SZ= }} in {{ mathkor|term1= x |und in|term2= \sqrt{ax^2+bx+c} |SZ= }} lässt sich unter Verwendung von gewissen Standardsubstitutionen elementar integrieren, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Nr= |SZ=. }} Beispielsweise ist mit {{ Relationskette | x || {{op:sin| s |}} || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | \int {{op:Bruch| x | \sqrt{ 1-x^2} }} dx || \int {{op:Bruch| {{op:sin| s |}} | \sqrt{ 1- {{op:sin| s |exp=2}} } }} d {{op:sin| s |}} || \int {{op:Bruch| {{op:sin| s |}} {{op:cos| s |}} | \sqrt{ {{op:cos| s |exp=2}} } }} d s || \int {{op:sin| s |}} d s || |SZ=. }} Eine solche Situation kann man auffassen als eine rationale Funktion {{math|term= R(x,y) |SZ=}} in zwei Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ=, }} wobei zusätzlich zwischen den Variablen die algebraische Beziehung {{ Relationskette | y^2 || ax^2+bx+c || || || |SZ= }} besteht. Es gibt eine Reihe von geometrisch relevanten Problemen, die auf ähnliche Integrale führen, wobei allerdings keine algebraische Beziehung zwischen den Variablen vom Grad {{math|term= 2 |SZ=,}} sondern von höherem Grad vorliegt. Die Berechnung der Länge einer Ellipse oder einer sogenannten Lemniskate {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Lemniskate/Kurvenlänge/Integral/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} führt zu Integralen der Form {{mathl|term= \int {{op:Bruch| \sqrt{g(x)}| 1-x^2}} |SZ=}} mit einem Polynom {{math|term= g(x) |SZ=}} vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} bzw. {{math|term= \int {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ 1-x^4} }} |SZ=.}} Diese Integrale sind nicht elementar integrierbar, ihre Behandlung erfordert neuartige Ansätze, die sich in der Theorie von Wegintegralen auf riemannschen Flächen niederschlagen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4kggv4uwfpeuseog4fv8uupg53apbi 0 138748 1100344 1085477 2026-06-17T08:00:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1100344 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Relationskette | X || U_1 \cup U_2 \cup U_3 || || || |SZ=. }} {{math|term= c |SZ=}} sei durch {{mathl|term= s_{12} |SZ=}} auf {{math|term= U_{12} |SZ=}} etc. gegeben, entsprechend {{math|term= d |SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | (c \wedge d)_{1 2 3} || s_{12}t_{13} -s_{13}t_{12} || || || |SZ=. }} Bei vertauschten Rollen gilt {{ Relationskette/align | s_{21} t_{23} -s_{23}t_{21} || s_{21} {{makl| t_{13} -t_{12} |}} - {{makl| s_{13} -s_{12} |}} t_{21} || - s_{12} t_{13} +s_{13} t_{12} || || |SZ=, }} bis auf das Vorzeichen. Für einen Korand zu {{math|term= a_1,a_2,a_3 |SZ=}} für {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Relationskette | s_{12} || a_1-a_2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | s_{13} || a_1-a_3 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | s_{23} || a_2-a_3 || || || |SZ=, }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=was von einem Zweierschnitt herkommt, ist gleich {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | s_{12}t_{13} -s_{13}t_{12} || (a_1-a_2) t_{13} - (a_1-a_3) t_{12} || -a_2t_{13}+a_3t_{12} || -a_2 {{makl| \pm t_{12} \pm t_{23} |}} +a_3 {{makl| \pm t_{23} \pm t_{13} |}} || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 849p3k7uugy2it7u7xq77n8dpf7pf6e 0 139476 1100239 1085371 2026-06-17T07:43:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100239 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Ein Punkt {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektor| x | y}} | \in | \R^2 || || || |SZ= }} legt das Rechteck mit den Eckpunkten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | 0}} ,\, {{op:Zeilenvektor| x | 0}} , \,{{op:Zeilenvektor| 0 | y}} , \, {{op:Zeilenvektor| x | y}} |SZ=}} fest. Wenn der Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y}} |SZ=}} bewegt wird, bewegt sich das zugehörige Rechteck mit. In welche Richtung muss der Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y}} |SZ=}} bewegt werden, damit der Umfang des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Umfang des Rechteckes ist durch {{ Relationskette/display | U(x,y) || 2x+2y || || || |SZ= }} gegeben, nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt |Nr= |SZ= }} wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 2 | 2}} |SZ=,}} was insbesondere unabhängig vom gegebenen Eckpunkt ist. {{ inputbild |RechteckGradient|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} In welche Richtung muss der Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y}} |SZ=}} bewegt werden, damit der Flächeninhalt des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Flächeninhalt des Rechteckes ist durch {{ Relationskette/display | F(x,y) || x y || || || |SZ= }} gegeben, nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt |Nr= |SZ= }} wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| y | x}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwpgehpjfj037mfkt6s2j9vayx1915x 0 139666 1100269 1037991 2026-06-17T07:48:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1100269 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |holomorphen| |Kontext=riemannsche Fläche Abbildung| |SZ= }} {{ Definitionslink |Überlagerung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=p | Y | X || |SZ= }} von {{ Definitionslink |riemannschen Flächen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= Y |und|term2= X |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | U | \subseteq | X || || || |SZ=, }} über der die Überlagerung trivialisiert mit {{ Relationskette | p^{-1} (U) | \cong | U \times F || || || |SZ= }} und einem {{ Definitionslink |diskreten Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= F |SZ=,}} ist ein {{ Definitionslink |stetiger Schnitt| |Kontext=| |SZ= }} einfach gegeben durch die Wahl eines Elementes {{ Relationskette | w | \in | F || || || |SZ=, }} da unter diesen Bedingungen der Schnitt ganz in einer Kopie von {{math|term= U |SZ=}} in {{math|term= Y |SZ=}} landet und daher die Umkehrabbildung zur durch {{math|term= p |SZ=}} induzierten Homöomorphie ist. Insbesondere stimmt die Prägarbe der stetigen Schnitte mit der Prägarbe der holomorphen Schnitte überein. Bei einer nichtidentischen Überlagerung von zusammenhängenden Flächen gibt es keinen globalen Schnitt. Bei einer {{ Definitionslink |endlichen| |Kontext=eigentlich| |SZ= }} holomorphen Abbildung {{ Abbildung |name=p | Y | X || |SZ= }} und einer offenen Umgebung eines Punktes {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} des {{ Definitionslink |Verzweigungsbildes| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} und einer hinreichend kleinen offenen Umgebung gibt es Schnitte in diejenigen Scheibenumgebungen der Urbilder, auf denen keine Verzweigung stattfindet, aber nicht in die anderen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen von riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der Prägarben |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3opsu80pxl9fhkrhbkd3l34lx4kt1m 0 139807 1100198 1085331 2026-06-17T07:36:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100198 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} fixiert, wir betrachten die {{ Definitionslink |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz1/disp| E_n | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |abbmr=z^n |SZ=,}} wobei rechts die {{math|term= n |SZ=-}}te komplexe Potenzierung steht und {{math|term= E_n |SZ=}} die Gruppe der {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet, die zur {{ Definitionslink |zyklischen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} ist. Es liegt die Situation aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt |Nr= |SZ= }} vor, d.h. auf jedem {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} erhält man eine {{ Definitionslink |kurze exakte Garbensequenz| |Kontext=| |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz1/disp|C^0(-,E_n)|C^0(-, {{op:Einheiten| {{CC|}} |}}) | C^0(-,{{op:Einheiten| {{CC|}} |}} ) |abbmr=z^n |SZ=.}} Da ferner das Potenzieren holomorph ist, erhält man auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz1/disp|C^0(-,E_n)| {{op:Einheitengarbe| X |}} | {{op:Einheitengarbe| X |}} |abbmr=z^n |SZ=,}} wobei vorne die lokal konstanten stetigen oder holomorphen Funktionen mit Werten in {{ Relationskette | E_n | \cong| {{op:Zmod| n |}} || || || |SZ= }} steht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplexen Einheitswurzeln |Kategorie2=Theorie der Quotientengarben |Kategorie3=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jk0l3iv40e3434bqrhpm9nk86l25aup 0 139973 1100582 1085665 2026-06-17T10:31:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100582 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Kurvenschar parabel|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=StefanPohl |Domäne= |Lizenz=CC0-1.0 |Bemerkung= }} Gelegentlich betrachtet man funktionale Ausdrücke für Funktionen in einer Variablen {{math|term= x |SZ=,}} in denen noch weitere unbestimmte Parameter vorkommen, von denen letztlich die zu untersuchende Funktion abhängt. Typische Beispiele ist die Menge aller linearen Funktionen {{mathl|term= ax+b |SZ=,}} wo {{math|term= x |SZ=}} die eigentliche Funktionsvariable der linearen Funktion bezeichnet und {{math|term= a,b |SZ=}} Parameter sind, die die Steigung bzw. den Wert der linearen Funktion an der Stelle {{math|term= 0 |SZ=}} repräsentieren, oder die Menge der Parabeln {{math|term= ax^2 |SZ=,}} wo {{math|term= x |SZ=}} die Funktionsvariable bezeichnet und {{math|term= a |SZ=}} ein Parameter ist, der die Enge oder die Weite der Parabel bestimmt, oder die Menge der Parabeln {{mathl|term= x^2+px+q |SZ=,}} wo der Parameter {{math|term= p |SZ=}} den linearen Term und der Parameter {{math|term= q |SZ=}} den konstanten Term bezeichnet. Man spricht in solchen Situationen von einer {{Stichwort|Funktionenschar|SZ=}} oder von einer {{Stichwort|Kurvenschar|SZ=.}} Mit diesem Konzept kann man ähnlich gebaute Funktionen simultan studieren. Man interessiert sich für die Bedeutung der Parameter, wie sich diese auf den Funktionsverlauf auswirken, wie man beispielsweise aus den Parametern {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} die Nullstellen bestimmen kann, etc. In einer solchen Situation kann man einen Schritt weiter gehen und die Parameter als zusätzliche prinzipiell gleichberechtigte Variablen neben {{math|term= x |SZ=}} ansehen. In dieser Weise entstehen {{ Zusatz/Klammer |text=zumeist polynomiale| |ISZ=|ESZ= }} Funktionen in zwei oder in drei Variablen, die man mit Methoden der höherdimensionalen Analysis studieren kann. Beispielsweise kann man so Aussagen wie, dass eine kleine Änderung der Parameter den Funktionsverlauf nicht wesentlich ändert, präzisieren und überprüfen. Wenn man den Graphen der Gesamtfunktion in zwei Variablen skizziert {{ Zusatz/Klammer |text=also eine {{Anführung|Gebirgsfläche}} im {{math|term= \R^3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} so erhält man die Graphen der Funktionen in der Schar zurück, indem man mit den Ebenen schneidet, die durch die Festlegung des Parameters gegeben sind. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der polynomialen Funktionsscharen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c9u34azz2b8sbd4w61pltc8j0apj6xn 0 140146 1100177 1085305 2026-06-17T07:33:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1100177 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | f(z) || {{op:Bruch|z^2|(z+1) (z-1)^2}} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |projektiven Geraden| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} und wollen ihre {{ Definitionslink |Hauptteilverteilung| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} bestimmen. Außer in den Punkten {{math|term= -1,1, \infty |SZ=}} hat die Hauptteilverteilung den Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} Sei {{ Relationskette | z || -1 || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter {{ Relationskette | u || z+1 || || || |SZ= }} als {{ Relationskette/display | f(u) || {{op:Bruch| (u-1)^2| u ( u-2 )^2}} || {{op:Bruch| 1 |u}} \cdot {{op:Bruch| u^2-2u+1 | ( u-2 )^2}} || || |SZ=, }} wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich {{math|term= 1 |SZ=}} und es kommt nur noch auf den skalaren Faktor an, der sich durch Einsetzen {{ Relationskette | u || 0 || || || |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 4}} |SZ=}} berechnet. Der Hauptteil in diesem Punkt ist also {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 4}} u^{-1} |SZ=.}} Sei {{ Relationskette | z || 1 || || || |SZ=. }} Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter {{ Relationskette | v || z-1 || || || |SZ= }} als {{ Relationskette/display | f(v) || {{op:Bruch| 1 |v^2}} \cdot {{op:Bruch| (v+1)^2| v+2 }} || {{op:Bruch| 1 |v^2}} \cdot {{op:Bruch| v^2+2v+1 | v+2}} || {{op:Bruch| 1 |v^2}} \cdot {{makl| v+ {{op:Bruch| 1 | v+2}} |}} || |SZ=, }} wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich {{math|term= 2 |SZ=}} und wir müssen den rechten Faktor als Potenzreihe bis zur Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} entwickeln. Dabei ergibt sich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | v+2}} || {{op:Bruch| 1 | 2}} - {{op:Bruch| 1 | 4}} v + \ldots || || || |SZ= }} und somit ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} v^{-2} - {{op:Bruch| 1 | 4}} v^{-1} |SZ=.}} Im unendlich fernen Punkt muss man mit {{ Relationskette | w || z^{-1} || || || |SZ= }} arbeiten, die Funktion besitzt dort die Beschreibung {{ Relationskette/display | f(w) || {{op:Bruch|w^{-2}| (w^{-1} +1)( w^{-1} -1)^2 }} || {{op:Bruch| w | (1 +w)( 1-w)^2 }} || || |SZ=. }} Dies ist holomorph für {{ Relationskette | w || 0 || || || |SZ= }} und daher ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 39mjw1w65qjhbwhkq0rhgmqqlcirz50 0 140147 1100690 1085785 2026-06-17T10:47:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1100690 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | {{op:Strukturgarbe| X |}} (U) | \Omega_X(U) | f |df |SZ= }} lässt sich fortsetzen zur Ableitung {{ Abbildung/display |name=d | {{op:Garbe| M | U}} | {{op:Garbe| M^{(1)}|U}} | f | df |SZ=. }} Hierbei wird lokal der meromorphen Funktion {{math|term= f |SZ=}} die meromorphe Differentialform {{math|term= f'dz |SZ=}} zugeordnet. Diese Ableitung ist wieder {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}linear und ein Garbenhomomorphismus, aber kein Modulhomomorphismus. Zu einer globalen meromorphen Differentialform {{math|term= \omega|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für die Existenz vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakte riemannsche Fläche/Punkt/Meromorphe Funktion/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} erhält man einen Garbenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Garbe| M | U}} | {{op:Garbe|M^{(1)}|U}} | f | f \omega |SZ=. }} Da lokal ein Isomorphismus vorliegt, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es liegt also eine nichtkanonische Isomorphie vor. Insbesondere kann man bei einer gegebenen meromorphen Form {{ Relationskette | \omega |\neq| 0 || || || |SZ= }} jede weitere meromorphe Form {{math|term= \omega' |SZ=}} als {{ Relationskette/display | \omega' || f \omega || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten meromorphen Funktion {{math|term= f |SZ=}} schreiben. Für nichtkonstante meromorphe Funktionen {{math|term= g,h |SZ=}} gibt es insbesondere eine Beziehung {{ Relationskette/display | dg || f dh || || || |SZ= }} mit einer meromorphen Funktion {{math|term= f |SZ=.}} Nicht jede meromorphe Differentialform kann man als {{math|term= df |SZ=}} mit einer meromorphen Funktion schreiben, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Projektive Gerade/C/Meromorphe Differentialform/z hoch -1 dz/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} biwbnya620bh5qhxhliisesffthc00m 0 140243 1099958 1085046 2026-06-17T06:57:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099958 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Im Beispiel aus {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Integrale/Wegintegrale/Riemannsche Fläche/Bemerkung |Nr= |SZ= }} sind die Bezeichnungen aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Flächen/Integral/Rationale Funktion/Polynomiale Bedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} als {{ Relationskette/display | P || x^2+y^2-1 || || || |SZ=, }} das Nullstellengebilde ist also reell ein Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=komplex eine Quadrik| |ISZ=|ESZ= }} und die {{ Definitionslink |holomorphe Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} darauf ist {{mathl|term= {{op:Bruch| x | y}} dx |SZ=.}} Eine elementare Integration ist möglich, da der Kreis ein einfach zu parametrisierendes Gebilde ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer holomorphen Differentialform auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kqjy0r1p2m2jhxwec5o5ybk52uxyjat 0 140353 1099990 1085100 2026-06-17T07:02:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099990 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf dem Kreis {{math|term= S^1 |SZ=}} die Überdeckung mit zwei offenen {{ Zusatz/Klammer |text=zu reellen Intervallen {{ Definitionslink |homöomorphen| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} Kreissegmenten {{ Relationskette |S^1 || U_1 \cup U_2 || || || |SZ=, }} deren Durchschnitt {{ Relationskette | U_1 \cap U_2 || S \cup T || || || |SZ= }} die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |diskrete| |Kontext=Topologie| |SZ= }} {{ Definitionslink |topologische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|G}} |SZ=}} die Garbe der stetigen also lokal konstanten {{math|term= G |SZ=-}}wertigen Funktionen auf dem Kreis. Auf {{ mathkor|term1= U_1 |bzw.|term2= U_2 |SZ= }} und ebenso auf {{math|term= S^1 |SZ=}} sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Auf {{math|term= S \cup T |SZ=}} hingegen ist eine lokal konstante Funktion dadurch gegeben, dass auf {{math|term= S |SZ=}} und davon unabhängig auf {{math|term= T |SZ=}} ein konstanter Wert vorgegeben ist. Der relevante {{ Definitionslink |Čech-Komplex| |Kontext=| |SZ= }} ist daher {{ Math/display|term= {{op:Schnitte| U_1 | {{op:Garbe|G}} }} \times {{op:Schnitte| U_2 | {{op:Garbe|G}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte| U_1 \cap U_2 | {{op:Garbe|G}} }} \cong G \times G \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei {{math|term= (f,g) |SZ=}} auf {{math|term= g-f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf beiden Zusammenhangskomponenten| |ISZ=|ESZ= }} abgebildet wird. Dabei werden genau die lokal konstanten Funktionen auf {{math|term= S \cup T |SZ=}} erreicht, die konstant sind. Die erste {{ Definitionslink |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |SZ= }} ist daher {{ Relationskette | {{op:Cech-Kohomologie| 1 | U_1 , U_2 | {{op:Garbe|G}} }} | \cong| G || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnmth8j5h4dj36yk7uazlw9rpybt7e0 0 140354 1100432 1085568 2026-06-17T08:14:59Z Arbota 36910 Ersetzung 1100432 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre {{math|term= S^2 |SZ=}} die Überdeckung mit zwei offenen {{ Zusatz/Klammer |text=zu offenen Kreisscheiben {{ Definitionslink |homöomorphen| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} überlappenden Schalen {{ Relationskette |S^2 || U_1 \cup U_2 || || || |SZ=, }} deren Durchschnitt {{math|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} homöomorph zum Produkt {{math|term= S^1 \times I |SZ=}} mit einem offenen Intervall {{math|term= I |SZ=}} ist. Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |diskrete| |Kontext=Topologie| |SZ= }} {{ Definitionslink |topologische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|G}} |SZ=}} die Garbe der stetigen also lokal konstanten {{math|term= G |SZ=-}}wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf {{ mathkor|term1= U_1 |bzw.|term2= U_2 |SZ= }} und ebenso auf {{math|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante {{ Definitionslink |Čech-Komplex| |Kontext=| |SZ= }} ist daher {{ Math/display|term= {{op:Schnitte|U_1 | {{op:Garbe|G}} }} \times {{op:Schnitte|U_2 | {{op:Garbe|G}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|U_1 \cap U_2 | {{op:Garbe|G}} }} \cong G \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei {{math|term= (f,g) |SZ=}} auf {{math|term= g-f |SZ=}} abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste {{ Definitionslink |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |SZ= }} ist daher {{ Relationskette | {{op:Cech-Kohomologie| 1 | U_1 , U_2 | {{op:Garbe|G}} }} | \cong| 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7k0b163ffa8vx1t9pmuowbwgtbinu0j 0 140421 1100689 1085784 2026-06-17T10:47:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1100689 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Entsprechend zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakte riemannsche Fläche/Erste Kohomologie/Endlich/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt, dass für eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe| L |}} |SZ=}} auf einer {{ Definitionslink |zusammenhängenden| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |kompakten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannschen Fläche| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} die Kohomologiegruppen {{mathl|term= H^1(X, {{op:Garbe| L |}} ) |SZ=}} {{ Definitionslink |endlichdimensional| |Kontext=vr| |SZ= }} sind. Entsprechend zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakte riemannsche Fläche/Punkt/Meromorphe Funktion/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt, dass die invertierbare Garbe einen meromorphen Schnitt besitzt, der abgesehen von einem Punkt holomorph ist. Dies erlaubt es, eine invertierbare Garbe als eine Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen zu realisieren. Dies bedeutet wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Zuordnungseigenschaften/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass jede invertierbare Garbe die {{ Definitionslink |zugehörige invertierbare Garbe| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe| L |}}_D |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Divisor| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= D |SZ=}} ist. Man kann also Konzepte wie den Grad eines Divisors auf jede invertierbare Garbe übertragen. Mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Lineare Äquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | {{op:Divisorenklassengruppe| X |}} | \cong| {{op:Picardgruppe| X |}} | \cong| H^1(X, {{op:Einheiten| {{op:Strukturgarbe| X |}} |}} ) || || |SZ=. }} Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Divisoren/Kohomologie/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt dann wiederum im kompakten Fall, dass {{mathl|term= H^1(X, {{op:Einheiten| {{op:Garbe| M |}}_X |}} ) |SZ=}} trivial ist. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o19aedixyb0mn5tjwzunbiv2kxt4p8d 0 140619 1100168 1085296 2026-06-17T07:31:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1100168 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf der {{ Definitionslink |projektiven Geraden| |Kontext=C| |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} |}} |SZ=}} die Flächenform {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag| z |}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |bzw.|term2= {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} dz^{-1} \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z^{-1} |}} |SZ= }} auf der affinen Standardüberdeckung {{math|term= U |SZ=}} bzw. auf {{math|term= V |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/align | {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} dz^{-1} \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z^{-1} |}} || {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch| -1|z^2}} dz \wedge {{op:Komplexe Konjugation| d z^{-1} |}} || {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch| -1|z^2}} dz \wedge {{op:Bruch| -1| {{op:Komplexe Konjugation| z |}}^2 }} d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch| -1|z^2}} \cdot {{op:Bruch| -1| {{op:Komplexe Konjugation| z |}}^2 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4}} \cdot {{op:Bruch| 1 |z^2 {{op:Komplexe Konjugation| z |}}^2 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z^{-1} |}}^4 }} \cdot {{op:Bruch| 1 | {{op:Betrag| z |}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag|z |}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |SZ= }} stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform {{math|term= \sigma |SZ=}} auf der projektiven Geraden. Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/display|\Omega_{ {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} } | {{op:Garbe| E |}}^{(1,0)} | {{op:Garbe| E |}}^{(2)}|abbmr=d |SZ=}} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt |Nr= |SZ=. }} Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform {{math|term= \sigma |SZ=}} die äußere Ableitung einer {{math|term= 1 |SZ=-}}Form. Auf {{math|term= U |SZ=}} ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Arkustangens/z z konjugiert/Antiholomorphe Ableitung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} {{ Math/display|term= - {{op:Bruch| 1 |z}} {{op:arctan(| z {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |}} dz |SZ= }} ein Urbild und auf {{math|term= V |SZ=}} entsprechend {{ Relationskette/align | - {{op:Bruch| 1 |w}} {{op:arctan(| w {{op:Komplexe Konjugation| w |}} |}} dw || - z {{op:arctan(| {{makl| z {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |}}^{-1} |}} d z^{-1} || {{op:Bruch| 1 |z}} {{op:arctan(| {{makl| z {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |}}^{-1} |}} d z || || |SZ=. }} Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen jeweils auf {{math|term= U |SZ=}} bzw. auf {{math|term= V |SZ=}} definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Inverse trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Inverses Argument/Konstant/Aufgabe |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |z}} {{makl| {{op:arctan(| z {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |}} + {{op:arctan(| {{makl| z {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |}} ^{-1} |}} |}} dz || {{op:Bruch| \pi| 2}} \cdot {{op:Bruch| dz |z}} || || || |SZ=. }} In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf {{math|term= U \cap V |SZ=}} eine nichttriviale Kohomologieklasse in {{math|term= H^1( {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} , \Omega_{ {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} } ) |SZ=.}} Unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Integral/Polarkoordinaten/1 durch 1 +(x^2+y^2)^2/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | \int_{ {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} } \sigma || \int_U {{op:Bruch| 1 | 1+ {{op:Betrag| z |}}^4 }} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation| z |}} || -2 {{imaginäre Einheit}} \int_{\R^2} {{op:Bruch| 1 | 1+ {{makl| x^2+y^2 |}}^2 }} dx \wedge d y || - {{imaginäre Einheit}} \pi^2 || |SZ=. }} Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2 \pi {{imaginäre Einheit}} }} {{makl| - {{imaginäre Einheit}} \pi^2 |}} || - {{op:Bruch| \pi| 2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie des Residuums auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36hgpslfbfg74yt1p75rm3rri7ob6g4 0 141000 1100691 1085786 2026-06-17T10:48:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100691 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mit Partitionen der Eins kann man auch zeigen, dass für die Garben der {{math|term= C^\infty |SZ=-}}Funktionen und der {{math|term= C^\infty |SZ=-}}Differentialformen vom Grad {{math|term= d |SZ=}} auf einer reellen {{math|term= C^\infty |SZ=-}}Mannigfaltigkeit {{math|term= M |SZ=}} alle höheren Kohomologien gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Für eine riemannsche Fläche folgt daher aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Exakt/Fakt |Nr= |SZ= }} mit den Ausschnitten {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Relationskette | i | \geq | 2 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= H^{i-1} (X, {{op:Garbe| E |}} ) = 0 \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^{i} (X, {{op:Strukturgarbe| X |}} ) \longrightarrow H^{i+1} (X, {{op:Garbe| E |}}^{(0,1)} ) =0 |SZ= }} aus der langen Kohomologiesequenz sofort {{ Relationskette/display | H^{i} (X, {{op:Strukturgarbe| X |}} ) || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i | \geq | 2 || || || |SZ=. }} Für höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten sind auch höhere Kohomologien der Strukturgarbe wichtig. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gbrqngiobbnd22u05fid76huz73zcpk 0 141221 1099856 1084953 2026-06-17T06:40:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099856 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |MDKQ anim ohne Ausreiser1|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=JoKalliauer |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= E |SZ=}} eine endliche Menge und {{ Relationskette/display | V || {{KRC|}}^E | \cong| {{KRC|}}^{ {{op:Anzahl| E |}} } || || |SZ= }} die Menge der {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertigen Funktionen auf {{math|term= E |SZ=,}} versehen mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |SZ=. }} Eine Funktion {{ Relationskette | f | \in | V || || || |SZ= }} kann einfach durch eine vollständige Wertetabelle beschrieben werden. Es kann aber auch sinnvoll sein, die Funktion {{math|term= f |SZ=}} durch eine Funktion {{math|term= g |SZ=}} aus einem vorgegebenen Untervektorraum {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} zu approximieren. Dabei liefert das Skalarprodukt und die zugehörige {{ Definitionslink |orthogonale Projektion| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= U |SZ=}} ein naheliegendes Hilfsmittel, um eine optimale Approximation zu finden. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= p_U(f) |SZ=}} diejenige Funktion, die unter allen Funktionen aus {{math|term= U |SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=}} den minimalen Abstand besitzt, wobei der Abstand zu {{math|term= f |SZ=}} über das Skalarprodukt gegeben ist, also durch {{ Relationskette/display | {{op:Norm|g-f|}}^2 || \sum_{ i \in E} {{op:Betrag| g_i -f_i |}}^2 || || || |SZ=. }} Wenn {{ mathbed|term= g_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=}} ist, so ist {{ Relationskette/display | g || p_U(f) || \sum_{j \in J} {{op:Skalarprodukt| f |g_j }} g_j || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt |Nr= |SZ= }} die beste Approximation. Das so bestimmte {{math|term= g |SZ=}} minimiert also die Summe der einzelnen Differenzquadrate, man spricht von der {{Stichwort|Methode der kleinsten Fehlerquadrate|SZ=.}} Eine typische Anwendung ist, wenn {{math|term= E |SZ=}} Messtellen repräsentiert, etwa {{ Relationskette | E | \subseteq | \R^d || || || |SZ=, }} und {{math|term= f_e |SZ=}} Messergebnisse, die eventuell fehlerhaft sein können. Man weiß aus physikalischen Gründen, dass die Abhängigkeit einer gewissen Gesetzmäßigkeit gehorchen muss, beispielsweise ein linearer Zusammenhang sein muss oder als Flugbahn eines Planeten eine Ellipse sein muss oder ähnliches. Diese Gesetzmäßigkeit legt den {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise niedrigdimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} Untervektorraum {{math|term= U |SZ=}} fest, in dem nach einer optimalen Approximation gesucht wird, das den Messergebnissen möglichst nahe kommt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Regression |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5g3ojc8otl19v2lgzf6mymqff2bd1je 0 141254 1100391 1038516 2026-06-17T08:08:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1100391 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine Integralgleichung der Form {{ Relationskette/display | x(s) || \int_a^s K(s) x(t) dt || K(s) \int_a^s x(t) dt || || |SZ=, }} wo also der Integralkern nur von der Variablen {{math|term= s |SZ=}} abhängt, nach der nicht integriert wird, kann man wie folgt vorgehen. Alle Daten seien differenzierbar und gesucht sei nach differenzierbaren Funktionen. Es sei ferner {{math|term= K(s) |SZ=}} nullstellenfrei. Dann kann man die Gleichung auch als {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x(s)|K(s)}} || \int_a^s x(t) dt || || || |SZ= }} schreiben und beidseitig ableiten. So erhält man die Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x'(s) K(s) - x(s)K'(s)| K(s)^2}} || x(s) || || || |SZ= }} bzw. durch Umstellung {{ Relationskette/display | x'(s) || {{makl| K(s) + {{op:Bruch| K'(s)|K(s) }} |}} x(s) || || || |SZ=, }} also eine homogene lineare Differentialgleichung, die mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |Nr= |SZ= }} gelöst werden kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Integralgleichungen |Kategorie2=Theorie der homogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} puuiykdqo5m9ij8uq2x7kriv39xtpo2 0 141998 1099893 1084987 2026-06-17T06:46:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1099893 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | a | > | 0 || || || |SZ= }} fixiert. Wir betrachten die Funktion {{ Relationskette/display | f( {{startvektor|}} ) || \begin{cases} e^{-a {{startvektor}} } \text{ für } {{startvektor}} \geq 0 \\ 0 \text{ sonst} \, . \ \end{cases} || || || |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/align | \hat{f}( {{zielvektor|}} ) || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \int_\R e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } f( {{startvektor|}}) d {{startvektor|}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \int_0^\infty e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } e^{-a {{startvektor}} } d {{startvektor|}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \int_0^\infty e^{ - {{makl| a+ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} {{startvektor|}} } d {{startvektor|}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Integralstamm(| 0 | \infty| {{op:Bruch| -1| a+ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} e^{ - {{makl| a+ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} }} {{startvektor|}} } }} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | a+ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fourier-Transformation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coy4aheokck9enc8y64gws47zj1v1al 0 142002 1099891 1084985 2026-06-17T06:46:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1099891 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | a | > | 0 || || || |SZ= }} fixiert. Wir betrachten die Funktion {{ Relationskette/display | f( {{startvektor|}} ) || e^{-a {{op:Betrag| {{startvektor}} ||}} } || || || |SZ=. }} Es ist unter Verwendung von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Fourier-Transformation/Rechtsseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align | \hat{f}( {{zielvektor|}} ) || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \int_\R e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } e^{-a {{op:Betrag| {{startvektor}} ||}} } d {{startvektor|}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \int_0^\infty e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } e^{-a {{startvektor}} } d {{startvektor|}} + {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \int_0^{-\infty} e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } e^{a {{startvektor}} } d {{startvektor|}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | a + {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \int_0^{\infty} e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}}s } e^{-a s } d s || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | a+ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} + {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | a- {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch| 2a| a^2+ {{zielvektor|}}^2 |}} || {{op:Bruch| \sqrt{2} | \sqrt{\pi} }} \cdot {{op:Bruch| a | a^2+ {{zielvektor|}}^2 |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fourier-Transformation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bmd238atlio3s2f8y8aqazfi0qnszmm 0 142005 1099892 1084986 2026-06-17T06:46:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1099892 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Relationskette | a | > | 0 || || || |SZ= }} fixiert und sei {{math|term= f |SZ=}} die {{ Definitionslink |Indikatorfunktion| |Kontext=| |SZ= }} zum Intervall {{mathl|term= [-a,a] |SZ=.}} Dann ist für {{ Relationskette | {{zielvektor|}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/align | \hat{f}( {{zielvektor|}} ) || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} \int_{-a}^a e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} {{startvektor}} } d {{startvektor}} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} \cdot {{op:Integralstamm(| -a| a | {{op:Bruch| -1| {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} }} e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} {{startvektor}} } }} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} }} \cdot {{makl| - e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} a } + e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor}} a } }} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} \cdot {{op:Bruch| 2 {{op:sin(| a {{zielvektor}} }} | {{zielvektor}} }} || {{op:Bruch| \sqrt{2} | \sqrt{\pi} }} \cdot {{op:Bruch| {{op:sin(| a {{zielvektor}} }} | {{zielvektor}} }} |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | {{zielvektor|}} || 0 || || || |SZ= }} ist direkt {{ Relationskette | \hat{f}( 0 ) || {{op:Bruch| \sqrt{2} a| \sqrt{ \pi} }} || || || |SZ=, }} was sich auch bei stetiger Fortsetzung des allgemeinen Ausdrucks ergibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fourier-Transformation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nn2240yv6medvz4hyn57klel4gl3opo 0 142086 1100664 1085760 2026-06-17T10:43:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100664 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | b || a z || || || |SZ= }} mit fixierten ganzen Zahlen {{ Relationskette | a,b | \in | \Z || || || |SZ= }} und der unbekannten Zahl {{math|term= z |SZ=.}} Diese Gleichung besitzt innerhalb der ganzen Zahlen genau dann eine Lösung, wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist. Dies ist eine unmittelbare Umformulierung der Teilerbeziehung. Wenn dies der Fall ist, und {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist, so ist die eindeutig bestimmte Lösung {{math|term= z |SZ=}} gleich dem ganzzahligen Quotienten {{mathl|term= b/a |SZ=.}} Eine solche Gleichung ist aber, wie die obigen Beispiele zeigen, auch sinnvoll, wenn {{math|term= a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist. Beispielsweise kann man Äpfel verkaufen und dabei drei Äpfel zum Preis von zwei Euro anbieten. Dann ist klar, dass sechs Äpfel vier Euro kosten u.s.w. Es liegt auch hier eine Proportionalität vor, es lässt sich aber kein Proportionalitätsfakor innerhalb der natürlichen Zahlen angeben. Der Preis für einen Apfel ist keine natürliche Zahl, aber das {{Stichwort|Verhältnis|SZ=}} zwischen Preis zu Apfelanzahl ist konstant. So wie die Lösbarkeit der allgemeinen Differenzgleichung {{ Relationskette/display | b || a+z || || || |SZ= }} Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der ganzen Zahlen war, ist die Lösbarkeit der allgemeinen Proportionalitätsgleichung {{ Relationskette/display | b || a z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a |\neq| 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen. Wir möchten also sinnvolle Zahlen {{mathl|term= b/a |SZ=}} mit der charakteristischen Eigenschaft haben, dass sie mit {{math|term= a |SZ=}} multipliziert die Zahl {{math|term= b |SZ=}} ergeben. Da {{math|term= a |SZ=}} ganzzahlig ist, sagen wir aus {{math|term= \N_+ |SZ=,}} kann man diese Multiplikation auf die {{math|term= a |SZ=-}}fache Addition von {{mathl|term= b/a |SZ=}} mit sich selbst zurückführen. Wir suchen also eine Strecke, die, wenn man sie {{math|term= a |SZ=-}}mal hintereinander hinlegt, die Strecke {{math|term= b |SZ=}} ergibt. en |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4jq2menjee0jjnbxak8kthycbyyb7h 0 142090 1100663 1085759 2026-06-17T10:43:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100663 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display |b x || a || || || |SZ= }} mit fixierten ganzen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} besitzt innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung für {{math|term= x |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es auch keine Lösung innerhalb einer sinnvollen Zahlenbereichserweiterung. Bei {{ Relationskette |b |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es hingegen innerhalb der rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung, nämlich {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| a |b}} || || || |SZ=. }} Wir führen nun die rationalen Zahlen, ausgehend von {{math|term= \Z |SZ=,}} ein und zwar zunächst als Menge von Brüchen mit einer bestimmten Identifikation. Anschließend definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge und weisen, ebenfalls unter Bezug auf die ganzen Zahlen, die Gültigkeit der wichtigsten Rechengesetze nach. Als eine Motivation für die folgende Gleichsetzung von unterschiedlichen Brüchen betrachten wir nochmal die Proportionalität. Zwei ganze Zahlen {{ mathkor|term1= {{{r|r}}} \neq 0 |und|term2= {{{s|s}}} |SZ= }} definieren einen proportionalen Zusammenhang {{math|term= \varphi |SZ=,}} der an der Stelle {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= {{{s|s}}} |SZ=}} besitzt. Er besitzt dann an der Stelle {{math|term= n {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= n {{{s|s}}} |SZ=.}} Dieser Zusammenhang besteht unabhängig davon, ob er durch eine ganzzahlige Konstante {{math|term= c |SZ=}} in der Form {{ Relationskette |\varphi (x) || cx || || || |SZ= }} beschrieben werden kann. Ein proportionaler Zusammenhang ist durch ein einziges von {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} verschiedenes Zahlenpaar eindeutig festgelegt, er kann durch die Gerade, die durch {{ mathkor|term1= (0,0) |und|term2= ({{{r|r}}},{{{s|s}}}) |SZ= }} verläuft, graphisch dargestellt werden, unabhängig davon, ob der proportionale Zusammenhang auf ganz {{math|term= \Z |SZ=}} definiert ist oder nicht. Dabei bestimmen zwei ganzzahlige Paare {{ mathkor|term1= ({{{r|r}}},{{{s|s}}}) |und|term2= ({{{r|r}}}',{{{s|s}}}') |SZ= }} genau dann den gleichen Zusammenhang {{ Zusatz/Klammer |text=die Steigungen der zugehörigen linearen Graphen stimmen überein| |ISZ=|ESZ=, }} wenn sie an der Stelle {{mathl|term= {{{r|r}}} {{{r|r}}}' |SZ=,}} wo man die Werte unmittelbar vergleichen kann, den gleichen Wert besitzen. Die Werte sind an dieser Stelle {{ mathkor|term1= {{{s|s}}} {{{r|r}}}' |bzw.|term2= {{{s|s}}}'{{{r|r}}} |SZ=, }} sodass genau im Fall {{ Relationskette/display | {{{r|r}}}' {{{s|s}}} || {{{r|r}}} {{{s|s}}}' || || || |SZ= }} die beiden proportionalen Zusammenhänge als gleich zu betrachten sind. Dies ist eine Grundlage für die in der folgenden Definition auftretenden {{Stichwort|Überkreuzregel|SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Proportionalität |Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kld6avd3s6ury6suxlhp2zoa2fawxkn 0 148452 1100232 1085364 2026-06-17T07:42:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1100232 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wenden {{ Faktlink |Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Rationale Zahlen/Approximation durch Dezimalbrüche/Division mit Rest/Bemerkung |Nr= |SZ= }} auf {{ Relationskette |q || {{op:Bruch| 3 | 7}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |k || 9 || || || |SZ= }} an. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 3 | 7}} \cdot 10^9 || {{op:Bruch| 3 \cdot 10^9| 7}} || || || |SZ=, }} es ist also in {{math|term= \Z |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Division mit Rest| |Kontext=N| |SZ= }} von {{math|term= 3 \cdot 10^9 |SZ=}} durch {{math|term= 7 |SZ=}} durchzuführen. Es ist {{ Relationskette/display | 3 \cdot 10^9 || 428571428 \cdot 7 + 4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Rest im jetzigen Kontext nicht weiter verarbeitet wird| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist also {{ Relationskette/display | 428571428 | \leq | {{op:Bruch| 3 \cdot 10^9 | 7}} | < | 428571429 || || |SZ= }} und mit Division durch {{math|term= 10^9 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | 0{,}428571428 | < | {{op:Bruch| 3 | 7}} | < | 0{,}428571429 || || |SZ=. }} Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches {{mathl|term= {{op:Bruch| 3 | 7}} |SZ=}} mit einem Fehler, der kleiner als {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 10^9}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hoe94la8win5szgyodxmsjvr8ce4me0 0 150955 1100519 1034530 2026-06-17T10:22:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1100519 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die {{Anführung|Mutter aller linearen Gleichungssysteme}} ist eine einzige lineare Gleichung in einer Variablen der Form {{ Relationskette/display |ax ||b || || || |SZ= }} mit gegebenen Elementen {{mathl|term= a,b |SZ=}} aus einem Körper {{math|term= K |SZ=}} und gesuchtem {{math|term= x |SZ=.}} Schon hier zeigen sich drei Möglichkeiten, wie die Lösung aussehen kann. Bei {{ Relationskette |a |\neq| 0 || || || |SZ= }} kann man die Gleichung mit dem Inversen von {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= K |SZ=,}} also mit {{math|term= a^{-1} |SZ=,}} multiplizieren und erhält als eindeutige Lösung {{ Relationskette/display | x || ba^{-1} || {{op:Bruch| b |a}} || || |SZ=. }} Rechnerisch kann man also die Lösung erhalten, wenn man inverse Elemente bestimmen und mit ihnen multiplizieren kann. Bei {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} hängt das Lösungsverhalten von {{math|term= b |SZ=}} ab. Bei {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} ist jedes {{ Relationskette | x | \in | K || || || |SZ= }} eine Lösung, bei {{ Relationskette |b |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} edy5xx57tmkmf81196swkjsnc68sdpo 0 151012 1100520 1085590 2026-06-17T10:22:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1100520 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{:Differenzierbare Hyperfläche/Offene Menge/Regulär/Situation |SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= \gamma | I | \R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |SZ=, }} die ganz in {{math|term= Y |SZ=}} verläuft, wobei {{math|term= I |SZ=}} ein offenes Intervall ist. Dann gehört zu jedem Zeitpunkt {{ Relationskette | t | \in | I || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} {{math|term= \gamma'(t) |SZ=}} zum Tangentialraum an {{math|term= Y |SZ=}} im Punkt {{math|term= \gamma(t) |SZ=.}} Dies beruht auf der Konstanz {{ Relationskette | h \circ \gamma || c || || || |SZ=, }} woraus mit der Kettenregel {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential|h \circ \gamma|t}} || {{op:Totales Differential|h | \gamma(t) }} \circ {{op:Totales Differential| \gamma | t }} || {{op:Totales Differential|h | \gamma(t) }} ( \gamma'( t) ) || 0 || |SZ=, }} also {{ Relationskette | \gamma'( t) | \in | {{op:Kern| {{op:Totales Differential|h | \gamma(t) }} |}} || T_{\gamma(t) }Y || || |SZ= }} folgt. Mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Tangentialraum/R/Faser/Kurvenrealisierung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt sich ferner, dass jeder Tangentialvektor in {{math|term= P |SZ=}} an {{math|term= Y |SZ=}} sich durch eine differenzierbare Kurve auf {{math|term= Y |SZ=}} realisieren lässt. Der Tangentialraum lässt sich also durch differenzierbare Kurven allein auf {{math|term= Y |SZ=}} sinnvoll beschreiben, wobei die Differenzierbarkeit der Kurven den umgebenden Raum voraussetzt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie3=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} by55q9xya04vyalq0px7fldlmzowvss 0 151759 1099682 1034526 2026-06-17T06:13:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1099682 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Funktion| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x |cx |SZ=, }} mit einem Proportionalitätsfaktor {{ Relationskette |c |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |c || 0 || || || |SZ= }} ist die Funktion konstant und somit auch stetig| |ISZ=|ESZ= }} ist ebenfalls {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=\R| |SZ=. }} Zu jedem vorgegebenen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man unabhängig vom Punkt {{math|term= x|SZ=}} hier {{ Relationskette | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || || || |SZ= }} wählen: Wenn nämlich {{ Relationskette/display | d(x,x') | \leq | \delta || {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || || || |SZ= }} gilt, so ist {{ Relationskette/display | d(f(x),f(x')) || d(cx,cx') || {{op:Betrag| c |}} d(x,x') | \leq | {{op:Betrag| c |}} \cdot \delta || {{op:Betrag| c |}} \cdot {{op:Bruch| \epsilon| {{op:Betrag| c |}} }} || \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Objektkategorie2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tq8rajj6rskikd59utsfvz4tn2sbagx 0 155890 1099658 1096741 2026-06-16T14:31:32Z ~2026-35307-36 41654 1099658 wikitext text/x-wiki In diesem Verzeichnis sind unabhängige Staaten und abhängige Territorien mit großer Autonomie aufgelistet. == A == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abchasien Abchasien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Adscharien Adscharien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Afghanistan Afghanistan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gypten Ägypten] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Alaska Alaska] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Albanien Albanien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Algerien Algerien] * [[Amerika]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Amerikanische_Jungferninseln Amerikanische Jungferninseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Amerikanisch-Samoa Amerikanisch-Samoa] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Andorra Andorra] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Angola Angola] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Anguilla Anguilla] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Antarktika Antarktika] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Antigua_und_Barbuda Antigua und Barbuda] * [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quatorialguinea Äquatorialguinea] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Argentinien Argentinien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Armenien Armenien] * [https://www.wikidata.org/wiki/Q21104 Ærø Municipality] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Aruba Aruba] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aserbaidschan Aserbaidschan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84thiopien Äthiopien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Australien Australien] == B == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bahamas Bahamas] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bahrain Bahrain] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bakerinsel Bakerinsel] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bangladesch Bangladesch] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Barbados Barbados] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Belarus Belarus] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Belgien Belgien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Belize Belize] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Benin Benin] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bermuda Bermuda] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bhutan Bhutan] * Birma (anderer Name für Myanmar) * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bolivien Bolivien] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Bonaire Bonaire] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bosnien_und_Herzegowina Bosnien und Herzegowina] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Botsuana Botsuana] * Botswana (anderer Name für Botsuana) * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bouvetinsel Bouvetinsel] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Brasilien Brasilien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Britische_Jungferninseln Britische Jungferninseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Brunei Brunei] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bulgarien Bulgarien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Burkina_Faso Burkina Faso] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Burundi Burundi] == C == * [[Ceuta, Melilla und die Plazas de soberanía]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Chagos-Archipel Chagos-Archipel] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Chile Chile] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/China China] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Clipperton-Insel Clipperton-Insel] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cookinseln Cookinseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Costa_Rica Costa Rica] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cura%C3%A7ao Curaçao] == D == * [https://de.wikivoyage.org/wiki/D%C3%A4nemark Dänemark] (mehrere Länder mit Autonomie) * [https://de.wikipedia.org/wiki/Deutschland Deutschland] (mehrere Länder mit eigenen Parlamenten) * [https://de.wikipedia.org/wiki/Dominica Dominica] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Dominikanische_Republik Dominikanische Republik] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Dschibuti Dschibuti] == E == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecuador Ecuador] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Elfenbeink%C3%BCste Elfenbeinküste] * [https://de.wikipedia.org/wiki/El_Salvador El Salvador] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Eritrea Eritrea] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Estland Estland] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Eswatini Eswatini] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Europ%C3%A4ische_Union Europäische Union] (Verbund aus mehreren Ländern) == F == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Falklandinseln Falklandinseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/F%C3%A4r%C3%B6er Färöer] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fidschi Fidschi] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Finnland Finnland] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Frankreich Frankreich] * [[Französische Süd- und Subantarktisinseln]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Franz%C3%B6sisch-Guayana Französisch-Guayana] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Franz%C3%B6sisch-Polynesien Französisch-Polynesien] * [https://de.wikibooks.org/wiki/Fynen Fynen] == G == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gabun Gabun] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gambia Gambia] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gazastreifen Gazastreifen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Georgien Georgien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ghana Ghana] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gibraltar Gibraltar] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Grenada Grenada] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Griechenland Griechenland] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nland Grönland] * [[Großbritannien]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Guadeloupe Guadeloupe] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Guam Guam] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Guatemala Guatemala] * [[Guernsey]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Guinea Guinea] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Guinea-Bissau Guinea-Bissau] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Guyana Guyana] == H == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Haiti Haiti] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Hawaii Hawaii] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Honduras Honduras] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Howlandinsel Howlandinsel] == I == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Indien Indien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Indonesien Indonesien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Irak Irak] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Iran Iran] * [[Irland]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Island Island] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Isle_of_Man Isle of Man] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Israel Israel] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Italien Italien] == J == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Jamaika Jamaika] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Jan_Mayen Jan Mayen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Japan Japan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Jarvisinsel Jarvisinsel] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Jemen Jemen] * [[Jersey]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Johnston-Atoll Johnston-Atoll] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Jordanien Jordanien] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/J%C3%BCtland Jütland] == K == * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Kaimaninseln Kaimaninseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kambodscha Kambodscha] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kamerun Kamerun] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kanada Kanada] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kap_Verde Kap Verde] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kasachstan Kasachstan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Katar Katar] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kenia Kenia] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kingmanriff Kingmanriff] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kirgisistan Kirgisistan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kiribati Kiribati] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kolumbien Kolumbien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komoren Komoren] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Republik_Kongo Kongo-Brazzaville] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Demokratische_Republik_Kongo Kongo-Kinshasa] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Korsika Korsika] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kosovo Kosovo] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kroatien Kroatien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kuba Kuba] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kuwait Kuwait] == L == * [https://www.wikidata.org/wiki/Q506647 Langeland Municipality] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Laos Laos] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Lesotho Lesotho] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Lettland Lettland] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Libanon Libanon] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Liberia Liberia] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Libyen Libyen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Liechtenstein Liechtenstein] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Litauen Litauen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Luxemburg Luxemburg] == M == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Madagaskar Madagaskar] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Malawi Malawi] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Malaysia Malaysia] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Malediven Malediven] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mali Mali] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Malta Malta] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Marokko Marokko] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Marshallinseln Marshallinseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Martinique Martinique] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mauretanien Mauretanien] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Mauritius Mauritius] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mayotte Mayotte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mexiko Mexiko] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Midwayinseln Midwayinseln] * [[Mikronesien]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Republik_Moldau Moldau] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Monaco Monaco] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mongolei Mongolei] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Montenegro Montenegro] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Montserrat Montserrat] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mosambik Mosambik] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Myanmar Myanmar] == N == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Namibia Namibia] * [https://de.wikipedia.org/wiki/NATO NATO] (Verbund aus mehreren Ländern) * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nauru Nauru] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Navassa Navassa] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nepal Nepal] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Neukaledonien Neukaledonien] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Neuseeland Neuseeland] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nicaragua Nicaragua] * [[Niederdeutschland]] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Niederlande Niederlande] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Niger Niger] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nigeria Nigeria] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Niue Niue] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nordkorea Nordkorea] * [https://de.wikipedia.org/wiki/N%C3%B6rdliche_Marianen Nördliche Marianen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nordmazedonien Nordmazedonien] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Norwegen Norwegen] == O == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Oman Oman] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_f%C3%BCr_wirtschaftliche_Zusammenarbeit_und_Entwicklung Organisation für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung] (Verbund aus mehreren Ländern) * [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96sterreich Österreich] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Osttimor Osttimor] == P == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Pakistan Pakistan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Palau Palau] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Palmyra_(Atoll) Palmyra] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Panama Panama] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Papua-Neuguinea Papua-Neuguinea] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Paraguay Paraguay] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Peru Peru] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Philippinen Philippinen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Pitcairninseln Pitcairninseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Polen Polen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Portugal Portugal] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Puerto_Rico Puerto Rico] == R == * [https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9union Réunion] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ruanda Ruanda] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Rum%C3%A4nien Rumänien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Russland Russland] == S == * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Saba Saba] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Saint-Barth%C3%A9lemy Saint-Barthélemy] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Saint-Martin_(Gebietsk%C3%B6rperschaft) Saint-Martin] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Saint-Pierre_und_Miquelon Saint-Pierre und Miquelon] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Salomonen Salomonen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sambia Sambia] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Samoa Samoa] * [https://de.wikipedia.org/wiki/San_Marino San Marino] * [https://de.wikipedia.org/wiki/S%C3%A3o_Tom%C3%A9_und_Pr%C3%ADncipe São Tomé und Príncipe] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Saudi-Arabien Saudi-Arabien] * [[Schwaben-Land]] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Schweden Schweden] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Schweiz Schweiz] * [[Seeland]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Senegal Senegal] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Serbien Serbien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Seychellen Seychellen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sierra_Leone Sierra Leone] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Simbabwe Simbabwe] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Singapur Singapur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sint_Eustatius Sint Eustatius] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sint_Maarten Sint Maarten] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Slowakei Slowakei] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Slowenien Slowenien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Somalia Somalia] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Somaliland Somaliland] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Spanien Spanien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sri_Lanka Sri Lanka] * [https://de.wikipedia.org/wiki/St._Helena,_Ascension_und_Tristan_da_Cunha St. Helena, Ascension und Tristan da Cunha] * [https://de.wikipedia.org/wiki/St._Kitts_und_Nevis St. Kitts und Nevis] * [https://de.wikipedia.org/wiki/St._Lucia St. Lucia] * [https://de.wikipedia.org/wiki/St._Vincent_und_die_Grenadinen St. Vincent und die Grenadinen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/S%C3%BCdafrika Südafrika] * [[Sudan]] * [https://de.wikipedia.org/wiki/S%C3%BCdgeorgien_und_die_S%C3%BCdlichen_Sandwichinseln Südgeorgien und die Südlichen Sandwichinseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/S%C3%BCdkorea Südkorea] * [https://de.wikipedia.org/wiki/S%C3%BCdsudan Südsudan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Suriname Suriname] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Svalbard Svalbard] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Syrien Syrien] == T == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tadschikistan Tadschikistan] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Taiwan Taiwan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tansania Tansania] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Thailand Thailand] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Togo Togo] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tokelau Tokelau] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tonga Tonga] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Trinidad_und_Tobago Trinidad und Tobago] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tschad Tschad] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tschechien Tschechien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tunesien Tunesien] * [https://de.wikipedia.org/wiki/T%C3%BCrkei Türkei] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Turkmenistan Turkmenistan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Turks-_und_Caicosinseln Turks- und Caicosinseln] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tuvalu Tuvalu] == U == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Uganda Uganda] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ukraine Ukraine] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ungarn Ungarn] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Uruguay Uruguay] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Usbekistan Usbekistan] == V == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Vanuatu Vanuatu] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Vatikanstadt Vatikanstadt] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Venezuela Venezuela] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Vereinigte_Arabische_Emirate Vereinigte Arabische Emirate] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Vietnam Vietnam] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Vojvodina Vojvodina] == W == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wake Wake] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wallis_und_Futuna Wallis und Futuna] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Westjordanland Westjordanland] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Westsahara Westsahara] == Z == * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zentralafrikanische_Republik Zentralafrikanische Republik] * [https://de.wikivoyage.org/wiki/Zypern Zypern] nhwjnw9vh1oiu1jbts3r0h72hbsayy4 0 159530 1100534 1085607 2026-06-17T10:24:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1100534 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die erste Eigenschaft nennt man dabei die {{Stichwort|Additivität|SZ=}} und die zweite Eigenschaft die {{Stichwort|Verträglichkeit mit Skalierung|SZ=.}} Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von {{Stichwort|Prämath=K|Linearität|SZ=.}} Die Identität {{ Abbildung |name= {{Op:Identität|V}} | V | V || |SZ=, }} die Nullabbildung {{ Abbildung |name= | V | 0 || |SZ= }} und die Inklusionen {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung {{ Relationskette/display | \varphi {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n s_iv_i |}} || \sum_{i {{=}} 1}^n s_i \varphi(v_i) || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=|| Aufgabeseitenname= Lineare Abbildung/Beliebige Linearkombinationen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }}{{{zusatz1|}}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gow0eonjg528hz00cnjhb200d1sfedj 0 159545 1100535 1085608 2026-06-17T10:24:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1100535 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Nr= |SZ= }} ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform {{math|term= v_i^*|SZ=}} ordnet einem beliebigen Vektor {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} die {{math|term= i|SZ=-}}te Koordinate von {{math|term= v|SZ=}} bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu {{ Relationskette |v || \sum_{j {{=}} 1}^n s_jv_j || || || |SZ= }} ist ja {{ Relationskette/display | v_i^*(v) || v_i^* {{makl| \sum_{j {{=}} 1}^n s_jv_j |}} || \sum_{j {{=}} 1}^n s_j v_i^*(v_j) || s_i || |SZ=. }} Es ist wichtig zu betonen, dass {{math|term= v_i^* |SZ=}} nicht nur von dem Vektor {{math|term= v_i |SZ=,}} sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen {{Anführung|dualen Vektor}} zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf {{math|term= V|SZ=}} ein Skalarprodukt gegeben ist.{{{zusatz2|}}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pb3k46xcy2g2cgkem5y1tn5jklytci2 108 166923 1099643 1075755 2026-06-16T12:22:09Z Mfchris84 21828 1099643 wikitext text/x-wiki '''InnerJam''', offenes Treffen des Projektteams ''[[Projekt:Sächsische Innerschweiz digital|Sächsische Innerschweiz]]'' dienstags 2025, meist ab 9:05, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 18. März == Architekt "A. Trucco, Luzern". Unbekannt in Schweizer Katalog? Dafür in der Stadtbibliothek zu Chemnitz? In ZentralGut Trucco vielfältig zu finden, mit Abstandssuche "Trucco Architekt"~3 lässt sich wohl noch zielgerichter suchen: * Notiz zu Umbau einer Tramhaltestelle: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1951/1204/LOG_0125/#xywh=331,72,589,749 LU Tagblatt, 04.08.1951] * Traueranzeige: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1960/3031/LOG_0257/#xywh=1635,48,935,1094 LU Tagblatt, 04.08.1960] '''Online''' [https://n2t.net/ark:/63274/zhb1d68fh In ZentralGut.ch] ; Ostern Wanted. == 13. März == * Jens: ''Wie viel Innerschweiz steckt in sachsen.digital? Und wie viel Saxonica in ZentralGut?'', https://zentralgut.ch/blog/saechsische_innerschweiz/ LIBREAS: Idee, Motivation, Methoden, Themen, Fundstellen, Queries, Wirkungen, Ausblick (S, LUC, <DACH>), Werkzeuge: WD, WS, Commons,..., Echos, Refs: [[DieDatenlaube/LIBREAS Grassroots Open Access|LIBREAS Grassroots Open Access]], GesprocheneWS auch? SVG? : Fallbeispiele? ;QLever-Abfrage - Biographische Wanderung Sachsen <-> Zentralschweiz: Die im Prinzip einfache Abfrage nach "geboren in Sachsen*" und "gestorben in der Zentralschweiz" vice versa ist durch die geographische transversale Abfrage des Graphen im Wikidata-Blazegraph-Endpoint nicht performant. Glücklich gibt es qlever, das so eine SPARQL-Abfrage leicht durchzuführen weiss: [https://qlever.dev/wikidata/UsoXoZ?exec=true qlever.dev/wikidata/UsoXoZ] Daraus lässt sich in ZentralGut studieren: * trauert Luzern um Weisker [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1961/2290/LOG_0183/#xywh=156,983,931,918 LU Tagblatt, 08.06.1961] * erinnert man sich an Weisker [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1977/3370/LOG_0103/#xywh=818,1827,488,590 LU Tagblatt, 30.04.1977, S. 10] * Dresdner Stuntman Froeboss, der in Baar lebt, gross porträtiert: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1980/5027/ LU Tagblatt, 18.06.1980, S. 23] == 22. Hornung == ; Tanzkarten in Luzerner Zeitungen usw. * ''Würtemberg (...) sondern sie gehen frischweg auf die Dame ihrer Wahl zu und streichen auf deren Tanzkarte einfach den Namen es vorher eingezeichneten Tänzers durch, ...'' Luzerner Zeitung, 10 Hornung 1860, https://zentralgut.ch/fullscreen/991171206125305501_1866/151/ * ''(...) Die Rückseite der #Tanzkarte enthält nachstehende Worte: "Bezüglich der Tanzordnung siehe peinliche Halsgerichtsordnung Caroli V. Artikel 177 und 178."'' Luzerner Tagblatt, 24. Februar 1873, S. 2, https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1873/217/LOG_0066/ * vgl. https://osl.hypotheses.org/21052 und https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Kriminalität? : Beschaffungskriminalität (Tanzkarten ...?) == 10. Januar == [[Datei:Meyers Universum Band 20 38.jpg|mini|Sarnen in der Schweiz]] [[s:Sarnen in der Schweiz]] 1859 == 31. Dezember == 13x Herkunftsort: Luzern in: https://carla.hmt-leipzig.de/ : Ottilie Großbach, https://carla.hmt-leipzig.de/person/21371 : Nanette Müller, https://carla.hmt-leipzig.de/person/19733 : Therese Marie Haefliger, https://carla.hmt-leipzig.de/person/19955 : Franz Pfyffer, https://carla.hmt-leipzig.de/person/21667 :: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1880/1402/LOG_0284/ Nachruf im LU Tagblatt, 18.11.1880, S. 1] : Julie Kopp, https://carla.hmt-leipzig.de/person/23109 : Louise Stutz, https://carla.hmt-leipzig.de/person/24336 : Emeline Willimann, https://carla.hmt-leipzig.de/person/24348 : Julie Wanner, https://carla.hmt-leipzig.de/person/24875 : Mathilde Dreifuss, https://carla.hmt-leipzig.de/person/25273 : Lina Russi, https://carla.hmt-leipzig.de/person/25307 : Blanca Steiger, https://carla.hmt-leipzig.de/person/30128 : Berta Hirsbrunner, https://carla.hmt-leipzig.de/person/30338 : Else Lehmann, https://carla.hmt-leipzig.de/person/30976 : Beckenried: Alois Eusebius Kaeslin, https://carla.hmt-leipzig.de/person/21391 : Gersau: Joseph Camenzind, https://carla.hmt-leipzig.de/person/20685 == 23. Dezember == '''Deutschland.''' Der bekannte Nationalökonom Professor [[w:Lujo Brentano|Bretano]] weist in Schmollers „[[s:Jahrbuch für Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen Reich|Jahrbuch für Gesetzgebung]]“ etc. auf die betrübende Ausnützung der Kinderarbeit in der sächsischen Web_industrie hin und bemerkt wörtlich: „In Sachsen fand ich Kinder, Frauen und alte Männer, die in ihrer Wohnung spulten; die letztern für einen Pfenning die Stunde! Ich sah schulpflichtige Kinder aus der Schule kommen, um sofort die Haspel zu drehen, bis sie wieder zur Schule eilen mußten. Ich fand alte Frauen und Männer, die vom frühen Morgen bis tief in die Nacht spulten, um dafür eine Mark die Woche zu erhalten; eine weitere Mark erhielten sie aus der Armenkasse als Zuschuss.“ : Luzerner Tagblatt: https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1894/616/LOG_0161/#xywh=774,167,604,415 Luzern, Donnerstag, 29. März, 1894, No. 73. : Vgl. Rodulf Martin: ''Der wirtschaftliche Aufschwung der Baumwollspinnerei im Königreich Sachsen'', https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1631716301, BSB München: Jahrbuch für Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen Reich. 17. 1893, b, https://digitale-sammlungen.de/view/bsb11635647?page=10%2C11, Bretanos Zitat, S. 687, https://digitale-sammlungen.de/view/bsb11635647?page=58%2C59 == 25. November == ; vBIB25 3. Dezember, 14:20, https://www.vbib.net/vbib25-programm/programmdetail/vbib25-corner-6-1 * Idee, befreundete Landeskundeportale * Methoden & Methodentransfer * Schnittmengen i.w.S. und i.e.S. * Wirkungen * Ausblick bis März * Literatur == 28. Oktober == * [[s:Luzern. (St. Galler Volksblatt 1871/48)]] * [[s:Luzern (Meyer’s Universum)]], 1847 ; Geschichtevereine * ZentralGut, 23 Ergebnisse für "Geschichtsverein" & 1326 Treffer in 1243 Dokumenten in Sachsen.digital == 21. Oktober == [[Datei:WIKIMEDIA 15ANS SWITZ FONDUE-01.svg|mini|Wikimedia 15 ans switz foundue]] * Kuhglocken, Auftrieb ... ? * CH in [[s:Fahrrad#Bundeszeitungen_des_SRB|Bundeszeitungen des SRB]]? ; 198+ Ergebnisse für "Fondue" * z.B. ''Die Käse fondue'', http://digital.slub-dresden.de/id1840937203-19310404/9, Pulsnitzer Tageblatt : 04.04.1931 und ein paar andere Fundstellen * Kontrast: https://zentralgut.ch/ (198) ; Katalog der Bibliothek, 1879, Chemnitz ''Luzern. [https://www.hvz.ch/ Historischer Verein der Fünf-Orte Luzern, Uri, Schwyz, Unterwalden und Zug]. – [https://www.e-periodica.ch/digbib/volumes?UID=gfr-001 Der Geschichtsfreund. Bd. 21–23]. Einsiedeln 1876–78''. Mittheilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte. 2. Band, [[s:Seite:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Erster Band.pdf/316|S. 62]] == 14. Oktober == [[Datei:Die Alpen in Natur- und Lebensbildern 1861.jpg|mini|[http://digital.slub-dresden.de/id494097299/7 ''Die Alpen in Natur- und Lebensbildern''], Leipzig, 1861]] [[s:Hermann Alexander von Berlepsch]] & [[s:en:Author:Hermann Alexander von Berlepsch]], German writer and revolutionary (1814-1883), [[d:Q19210948]], [[Commons:Category:Hermann Alexander von Berlepsch]] :: Siehe [[s:Hermann Alexander von Berlepsch#Artikel in: Die Gartenlaube]]. Volltextsuche ''Christmarkt'' ergibt 5748 Treffer in 4789 Dokumenten, meldet sachsen.digital; digital.slub-dresden.de zeigt 6245 Treffer in 5089 Dokumenten. Zentralgut.ch bietet zwei Treffer: im Obwaldner Volksfreund am 10. Dezember 1938 über eine Schilderung des Leipziger Christmarktes sowie im Luzerner Tagblatt für die Kantone Uri, Schwyz, Nid- und Obwalden und Zug am 30. Dezember 1852 mit einer Anekdote aus Preußen. Siehe ''Kalendergenerator: Advent 2025'', https://osl.hypotheses.org/18581. Checken gegen http://sachsen.digital: [[w:Liste von Söhnen und Töchtern der Stadt Luzern]] etc. & ''umgekehrt'' ;) ''Luzern'' in [https://www.saxorum.de/personen/personensuche/ergebnisse?tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40extension%5D=Find&tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40controller%5D=Search&tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40action%5D=index&tx_find_find%5B__referrer%5D%5Barguments%5D=YTowOnt9742b8b9e2050c19abfa556da2acf50a9d407f3f1&tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40request%5D=%7B%22%40extension%22%3A%22Find%22%2C%22%40controller%22%3A%22Search%22%2C%22%40action%22%3A%22index%22%7Da3f8143c5292b5822cb98ccdbbf175d3f62cac57&tx_find_find%5B__trustedProperties%5D=%7B%22q%22%3A%7B%22default%5Dc45969-field-default%22%3A1%7D%2C%22extended%22%3A1%2C%22send%22%3A1%7Ddaa762321088c4677111d75fff253610605a1356&tx_find_find%5Bq%5D%5Bdefault%5Dc45969-field-default=Luzern&tx_find_find%5Bextended%5D=1&tx_find_find%5Bsend%5D=#personen SXRM-Personensuche] == 7. Oktober == [[Datei:Teilhabergesuch Zentralschweiz Börsenblatt 1929.jpg|mini|Teilhabergesuche. 1929]] '''''Zentralschweiz.''' Gesucht zuverlässiger, jüngerer katholischer '''Gehilfe''' mit guten Kenntnissen, spez. der kathol. Literatur. Ausführliche Angebote — vorl. ohne Bild — mit frühestem Eintrittsdatum unter Z # 1094 d. d. Geschäftsstelle des Börsenvereins.'' In: Börsenblatt für den deutschen Buchhandel : 12.04.1928, http://digital.slub-dresden.de/id39946221X-19280412/40 :: Volltextsuche: 105 Treffer ''Zentralschweiz'' in https://sachsen.digital/sammlungen/historische-zeitungen und 11 Treffer für ''Innerschweiz'' ::: ''Schweizerdeutsch'': 112 Treffer in 108 Dokumenten ::: ? ''Seilbahn Schweiz'' bzw. ''Zahnradbahn Schweiz'' '''''Teilhabergesuche.''' Mittlere Buchhandlung in der '''Zentralschweiz''' sucht aktiven oder passiven Teilhaber. Angebote unter A 1641 durch die Geschäftsstelle des Börsenvereins.'' In: Börsenblatt für den deutschen Buchhandel : 13.07.1929, http://digital.slub-dresden.de/id39946221X-19290713/13 '''''Buch- und Kunsthandlung''' (Schreibwarenabteilung) in der Zentralschweiz an gangbarster Lage größerer Stadt ist sofort verkäuflich. Nur Vollbuchhändler werden berücksichtigt. Kein großes Kapital nötig. Für Einreise und Aufenthaltsbewilligung wird gesorgt. Mitteilungen unter Nr. 1327 d. d. Geschäftsstelle des B.-V.'' In: Börsenblatt für den deutschen Buchhandel : 07.09.1934, http://digital.slub-dresden.de/id39946221X-19340907/18 ; [[w:Bergsturz von Goldau]], [[d:Q820308]] * ''Naturbilder aus dem Schweizerlande'', Leipzig, 1856, S. 91, http://digital.slub-dresden.de/id494097787/109 * ''Die Alpen in Natur- und Lebensbildern'', Leipzig St. Gallen Zürich, 1861, http://digital.slub-dresden.de/id494097299 == 30. September == [[Datei:Die Gartenlaube (1895) b 509 1.jpg|mini|Die Gartenlaube, 1895, S. 509]] ; Sonnenaufgang auf dem „Esel“ * [[s:Auf dem Pilatus]], Die Gartenlaube, 1895, Heft 30, S. 504–510 * https://zentralgut.ch prüfen: 5 Ergebnisse für "semperoper" & 52 Ergebnisse für "Gewandhaus Leipzig" ... * ''Nach einem handschriftlichen Rezeptbüchlein der Kantonsbibliothek Luzern muss der "Masigel", unterwelchem Namen nach dem eben Gesagten vielleicht unsere Flechte zu verstehen ist, unter folgender Beschwörung gebrochen werden: ...'' Kräutersegen (III A 2) Nachlass Adolf Spamer des Instituts für Sächsische Geschichte und Volkskunde, [http://digital.slub-dresden.de/idDE-611-BF-68610/36 page 36] Existiert das Rezeptbüchlein noch in Luzern, digitalisiert? * ''II. Vierwaldstätter See und Umgebungen. St. Gotthard'', in: ''Baedecker: Die Schweiz nebst den angrenzenden Teilen von Oberitalien, Savoyen und Tirol'', 1899, S. 81 ff., http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:15-0011-126131 (UB Leipzig) via sachsen.digital 7mi8djoigg4qcnq878cl9m65b3907cm 1099648 1099643 2026-06-16T12:36:18Z Jeb 26942 16. Juni 1099648 wikitext text/x-wiki '''InnerJam''', offenes Treffen des Projektteams ''[[Projekt:Sächsische Innerschweiz digital|Sächsische Innerschweiz]]'' dienstags 2025, meist ab 9:05, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 16. Juni == "A. Trucco, Luzern" nun via ZentralGut: https://n2t.net/ark:/63274/zhb1d68fh == 18. März == Architekt "A. Trucco, Luzern". Unbekannt in Schweizer Katalog? Dafür in der Stadtbibliothek zu Chemnitz? In ZentralGut Trucco vielfältig zu finden, mit Abstandssuche "Trucco Architekt"~3 lässt sich wohl noch zielgerichter suchen: * Notiz zu Umbau einer Tramhaltestelle: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1951/1204/LOG_0125/#xywh=331,72,589,749 LU Tagblatt, 04.08.1951] * Traueranzeige: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1960/3031/LOG_0257/#xywh=1635,48,935,1094 LU Tagblatt, 04.08.1960] '''Online''' [https://n2t.net/ark:/63274/zhb1d68fh In ZentralGut.ch] ; Ostern Wanted. == 13. März == * Jens: ''Wie viel Innerschweiz steckt in sachsen.digital? Und wie viel Saxonica in ZentralGut?'', https://zentralgut.ch/blog/saechsische_innerschweiz/ LIBREAS: Idee, Motivation, Methoden, Themen, Fundstellen, Queries, Wirkungen, Ausblick (S, LUC, <DACH>), Werkzeuge: WD, WS, Commons,..., Echos, Refs: [[DieDatenlaube/LIBREAS Grassroots Open Access|LIBREAS Grassroots Open Access]], GesprocheneWS auch? SVG? : Fallbeispiele? ;QLever-Abfrage - Biographische Wanderung Sachsen <-> Zentralschweiz: Die im Prinzip einfache Abfrage nach "geboren in Sachsen*" und "gestorben in der Zentralschweiz" vice versa ist durch die geographische transversale Abfrage des Graphen im Wikidata-Blazegraph-Endpoint nicht performant. Glücklich gibt es qlever, das so eine SPARQL-Abfrage leicht durchzuführen weiss: [https://qlever.dev/wikidata/UsoXoZ?exec=true qlever.dev/wikidata/UsoXoZ] Daraus lässt sich in ZentralGut studieren: * trauert Luzern um Weisker [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1961/2290/LOG_0183/#xywh=156,983,931,918 LU Tagblatt, 08.06.1961] * erinnert man sich an Weisker [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1977/3370/LOG_0103/#xywh=818,1827,488,590 LU Tagblatt, 30.04.1977, S. 10] * Dresdner Stuntman Froeboss, der in Baar lebt, gross porträtiert: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1980/5027/ LU Tagblatt, 18.06.1980, S. 23] == 22. Hornung == ; Tanzkarten in Luzerner Zeitungen usw. * ''Würtemberg (...) sondern sie gehen frischweg auf die Dame ihrer Wahl zu und streichen auf deren Tanzkarte einfach den Namen es vorher eingezeichneten Tänzers durch, ...'' Luzerner Zeitung, 10 Hornung 1860, https://zentralgut.ch/fullscreen/991171206125305501_1866/151/ * ''(...) Die Rückseite der #Tanzkarte enthält nachstehende Worte: "Bezüglich der Tanzordnung siehe peinliche Halsgerichtsordnung Caroli V. Artikel 177 und 178."'' Luzerner Tagblatt, 24. Februar 1873, S. 2, https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1873/217/LOG_0066/ * vgl. https://osl.hypotheses.org/21052 und https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Kriminalität? : Beschaffungskriminalität (Tanzkarten ...?) == 10. Januar == [[Datei:Meyers Universum Band 20 38.jpg|mini|Sarnen in der Schweiz]] [[s:Sarnen in der Schweiz]] 1859 == 31. Dezember == 13x Herkunftsort: Luzern in: https://carla.hmt-leipzig.de/ : Ottilie Großbach, https://carla.hmt-leipzig.de/person/21371 : Nanette Müller, https://carla.hmt-leipzig.de/person/19733 : Therese Marie Haefliger, https://carla.hmt-leipzig.de/person/19955 : Franz Pfyffer, https://carla.hmt-leipzig.de/person/21667 :: [https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1880/1402/LOG_0284/ Nachruf im LU Tagblatt, 18.11.1880, S. 1] : Julie Kopp, https://carla.hmt-leipzig.de/person/23109 : Louise Stutz, https://carla.hmt-leipzig.de/person/24336 : Emeline Willimann, https://carla.hmt-leipzig.de/person/24348 : Julie Wanner, https://carla.hmt-leipzig.de/person/24875 : Mathilde Dreifuss, https://carla.hmt-leipzig.de/person/25273 : Lina Russi, https://carla.hmt-leipzig.de/person/25307 : Blanca Steiger, https://carla.hmt-leipzig.de/person/30128 : Berta Hirsbrunner, https://carla.hmt-leipzig.de/person/30338 : Else Lehmann, https://carla.hmt-leipzig.de/person/30976 : Beckenried: Alois Eusebius Kaeslin, https://carla.hmt-leipzig.de/person/21391 : Gersau: Joseph Camenzind, https://carla.hmt-leipzig.de/person/20685 == 23. Dezember == '''Deutschland.''' Der bekannte Nationalökonom Professor [[w:Lujo Brentano|Bretano]] weist in Schmollers „[[s:Jahrbuch für Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen Reich|Jahrbuch für Gesetzgebung]]“ etc. auf die betrübende Ausnützung der Kinderarbeit in der sächsischen Web_industrie hin und bemerkt wörtlich: „In Sachsen fand ich Kinder, Frauen und alte Männer, die in ihrer Wohnung spulten; die letztern für einen Pfenning die Stunde! Ich sah schulpflichtige Kinder aus der Schule kommen, um sofort die Haspel zu drehen, bis sie wieder zur Schule eilen mußten. Ich fand alte Frauen und Männer, die vom frühen Morgen bis tief in die Nacht spulten, um dafür eine Mark die Woche zu erhalten; eine weitere Mark erhielten sie aus der Armenkasse als Zuschuss.“ : Luzerner Tagblatt: https://zentralgut.ch/fullscreen/991297440105505_1894/616/LOG_0161/#xywh=774,167,604,415 Luzern, Donnerstag, 29. März, 1894, No. 73. : Vgl. Rodulf Martin: ''Der wirtschaftliche Aufschwung der Baumwollspinnerei im Königreich Sachsen'', https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1631716301, BSB München: Jahrbuch für Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen Reich. 17. 1893, b, https://digitale-sammlungen.de/view/bsb11635647?page=10%2C11, Bretanos Zitat, S. 687, https://digitale-sammlungen.de/view/bsb11635647?page=58%2C59 == 25. November == ; vBIB25 3. Dezember, 14:20, https://www.vbib.net/vbib25-programm/programmdetail/vbib25-corner-6-1 * Idee, befreundete Landeskundeportale * Methoden & Methodentransfer * Schnittmengen i.w.S. und i.e.S. * Wirkungen * Ausblick bis März * Literatur == 28. Oktober == * [[s:Luzern. (St. Galler Volksblatt 1871/48)]] * [[s:Luzern (Meyer’s Universum)]], 1847 ; Geschichtevereine * ZentralGut, 23 Ergebnisse für "Geschichtsverein" & 1326 Treffer in 1243 Dokumenten in Sachsen.digital == 21. Oktober == [[Datei:WIKIMEDIA 15ANS SWITZ FONDUE-01.svg|mini|Wikimedia 15 ans switz foundue]] * Kuhglocken, Auftrieb ... ? * CH in [[s:Fahrrad#Bundeszeitungen_des_SRB|Bundeszeitungen des SRB]]? ; 198+ Ergebnisse für "Fondue" * z.B. ''Die Käse fondue'', http://digital.slub-dresden.de/id1840937203-19310404/9, Pulsnitzer Tageblatt : 04.04.1931 und ein paar andere Fundstellen * Kontrast: https://zentralgut.ch/ (198) ; Katalog der Bibliothek, 1879, Chemnitz ''Luzern. [https://www.hvz.ch/ Historischer Verein der Fünf-Orte Luzern, Uri, Schwyz, Unterwalden und Zug]. – [https://www.e-periodica.ch/digbib/volumes?UID=gfr-001 Der Geschichtsfreund. Bd. 21–23]. Einsiedeln 1876–78''. Mittheilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte. 2. Band, [[s:Seite:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Erster Band.pdf/316|S. 62]] == 14. Oktober == [[Datei:Die Alpen in Natur- und Lebensbildern 1861.jpg|mini|[http://digital.slub-dresden.de/id494097299/7 ''Die Alpen in Natur- und Lebensbildern''], Leipzig, 1861]] [[s:Hermann Alexander von Berlepsch]] & [[s:en:Author:Hermann Alexander von Berlepsch]], German writer and revolutionary (1814-1883), [[d:Q19210948]], [[Commons:Category:Hermann Alexander von Berlepsch]] :: Siehe [[s:Hermann Alexander von Berlepsch#Artikel in: Die Gartenlaube]]. Volltextsuche ''Christmarkt'' ergibt 5748 Treffer in 4789 Dokumenten, meldet sachsen.digital; digital.slub-dresden.de zeigt 6245 Treffer in 5089 Dokumenten. Zentralgut.ch bietet zwei Treffer: im Obwaldner Volksfreund am 10. Dezember 1938 über eine Schilderung des Leipziger Christmarktes sowie im Luzerner Tagblatt für die Kantone Uri, Schwyz, Nid- und Obwalden und Zug am 30. Dezember 1852 mit einer Anekdote aus Preußen. Siehe ''Kalendergenerator: Advent 2025'', https://osl.hypotheses.org/18581. Checken gegen http://sachsen.digital: [[w:Liste von Söhnen und Töchtern der Stadt Luzern]] etc. & ''umgekehrt'' ;) ''Luzern'' in [https://www.saxorum.de/personen/personensuche/ergebnisse?tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40extension%5D=Find&tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40controller%5D=Search&tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40action%5D=index&tx_find_find%5B__referrer%5D%5Barguments%5D=YTowOnt9742b8b9e2050c19abfa556da2acf50a9d407f3f1&tx_find_find%5B__referrer%5D%5B%40request%5D=%7B%22%40extension%22%3A%22Find%22%2C%22%40controller%22%3A%22Search%22%2C%22%40action%22%3A%22index%22%7Da3f8143c5292b5822cb98ccdbbf175d3f62cac57&tx_find_find%5B__trustedProperties%5D=%7B%22q%22%3A%7B%22default%5Dc45969-field-default%22%3A1%7D%2C%22extended%22%3A1%2C%22send%22%3A1%7Ddaa762321088c4677111d75fff253610605a1356&tx_find_find%5Bq%5D%5Bdefault%5Dc45969-field-default=Luzern&tx_find_find%5Bextended%5D=1&tx_find_find%5Bsend%5D=#personen SXRM-Personensuche] == 7. Oktober == [[Datei:Teilhabergesuch Zentralschweiz Börsenblatt 1929.jpg|mini|Teilhabergesuche. 1929]] '''''Zentralschweiz.''' Gesucht zuverlässiger, jüngerer katholischer '''Gehilfe''' mit guten Kenntnissen, spez. der kathol. Literatur. Ausführliche Angebote — vorl. ohne Bild — mit frühestem Eintrittsdatum unter Z # 1094 d. d. Geschäftsstelle des Börsenvereins.'' In: Börsenblatt für den deutschen Buchhandel : 12.04.1928, http://digital.slub-dresden.de/id39946221X-19280412/40 :: Volltextsuche: 105 Treffer ''Zentralschweiz'' in https://sachsen.digital/sammlungen/historische-zeitungen und 11 Treffer für ''Innerschweiz'' ::: ''Schweizerdeutsch'': 112 Treffer in 108 Dokumenten ::: ? ''Seilbahn Schweiz'' bzw. ''Zahnradbahn Schweiz'' '''''Teilhabergesuche.''' Mittlere Buchhandlung in der '''Zentralschweiz''' sucht aktiven oder passiven Teilhaber. Angebote unter A 1641 durch die Geschäftsstelle des Börsenvereins.'' In: Börsenblatt für den deutschen Buchhandel : 13.07.1929, http://digital.slub-dresden.de/id39946221X-19290713/13 '''''Buch- und Kunsthandlung''' (Schreibwarenabteilung) in der Zentralschweiz an gangbarster Lage größerer Stadt ist sofort verkäuflich. Nur Vollbuchhändler werden berücksichtigt. Kein großes Kapital nötig. Für Einreise und Aufenthaltsbewilligung wird gesorgt. Mitteilungen unter Nr. 1327 d. d. Geschäftsstelle des B.-V.'' In: Börsenblatt für den deutschen Buchhandel : 07.09.1934, http://digital.slub-dresden.de/id39946221X-19340907/18 ; [[w:Bergsturz von Goldau]], [[d:Q820308]] * ''Naturbilder aus dem Schweizerlande'', Leipzig, 1856, S. 91, http://digital.slub-dresden.de/id494097787/109 * ''Die Alpen in Natur- und Lebensbildern'', Leipzig St. Gallen Zürich, 1861, http://digital.slub-dresden.de/id494097299 == 30. September == [[Datei:Die Gartenlaube (1895) b 509 1.jpg|mini|Die Gartenlaube, 1895, S. 509]] ; Sonnenaufgang auf dem „Esel“ * [[s:Auf dem Pilatus]], Die Gartenlaube, 1895, Heft 30, S. 504–510 * https://zentralgut.ch prüfen: 5 Ergebnisse für "semperoper" & 52 Ergebnisse für "Gewandhaus Leipzig" ... * ''Nach einem handschriftlichen Rezeptbüchlein der Kantonsbibliothek Luzern muss der "Masigel", unterwelchem Namen nach dem eben Gesagten vielleicht unsere Flechte zu verstehen ist, unter folgender Beschwörung gebrochen werden: ...'' Kräutersegen (III A 2) Nachlass Adolf Spamer des Instituts für Sächsische Geschichte und Volkskunde, [http://digital.slub-dresden.de/idDE-611-BF-68610/36 page 36] Existiert das Rezeptbüchlein noch in Luzern, digitalisiert? * ''II. Vierwaldstätter See und Umgebungen. St. Gotthard'', in: ''Baedecker: Die Schweiz nebst den angrenzenden Teilen von Oberitalien, Savoyen und Tirol'', 1899, S. 81 ff., http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:15-0011-126131 (UB Leipzig) via sachsen.digital dwpwe7h8meatppfr7wu1ovtylvzjvl8 106 168022 1100548 1079364 2026-06-17T10:26:23Z Paul Sutermeister 37610 anderer Beispielsatz zu Beginn. :SCLO/ Vorlage:Klappbox gelöscht 1100548 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { '''Was kommt im folgenden Satz vor? «Wenn er läutet, sag ihm, ich sei nicht da.»''' } + Indikativ - Konjunktiv + Imperativ </quiz> {| class="wikitable" ! Modus ! Funktion ! Beispiel |- | '''Indikativ''' | Wirklichkeit | ''Ich '''gehe''' in die Ferien.'' |- | '''Konjunktiv I''' | indirekte Rede | ''Er sagt, er '''gehe''' in die Ferien.'' |- | '''Konjunktiv II''' | Irreales, Wünsche, Höflichkeit | ''Ich '''ginge''' gern in die Ferien.'' |- | '''Imperativ''' | Aufforderung | '''''Geh''' in die Ferien!'' |} = Indikativ (Wirklichkeitsform) = ; Funktion : Drückt reale, tatsächliche Sachverhalte aus (Gegenwart, Vergangenheit, Zukunft). ; Beispiele * ''Ich gehe nach Hause.'' * ''Wir arbeiten morgen weiter.'' * ''Er hat das Angebot geschickt.'' ; Verwendung * Fakten * Berichte * Erzählungen * Alltagssprache = Konjunktiv (Möglichkeitsform) = Der '''Konjunktiv I''' wird mit dem Präsens-Stamm und der Konjunktiv-Endung gebildet.</br> Der '''Konjunktiv II''' wird mit dem Präteritum-Stamm (und oftmals Umlaut ä, ö, ü) und der Konjunktiv-Endung gebildet.</br> Klingt der Konjunktiv II seltsam, darf man ihn mit „würden“ und Infinitiv bilden. {| class="wikitable" ! colspan="2" style="text-align:center;" | '''Konjunktiv–Endungen''' |- | ich || '''-e''' |- | du || '''-est''' |- | er/sie/es || '''-e''' |- | wir || '''-en''' |- | ihr || '''-et''' |- | sie/Sie || '''-en''' |} Das einzige unregelmässige Verb ist ''sein'': ''ich sei'', ''du seist'', ''sie/er sei'', ''wir seien'', ''ihr seiet'', ''sie seien''. === Konjunktiv I – indirekte Rede === ; Funktion : Wiedergabe der direkten Rede auf distanzierte, neutrale Weise. ; Beispiele * Direkte Rede: ''Er sagt: „Ich komme morgen.“'' * Indirekte Rede: ''Er sagt, er '''komme''' morgen.'' ; Typische Verwendung * Zeitungsstil * Berichte * formelle Texte * Prüfungen === Konjunktiv II – Irrealität, Wünsche, Höflichkeit === ; Funktionen * Wunsch * irreale, nicht reale Situationen * höfliche Formulierungen ; Beispiele * ''Ich wünschte, es '''wäre''' wärmer.'' * ''Wenn ich Zeit '''hätte''', käme ich mit.'' * '''''Könnten''' Sie mir bitte helfen?'' ; Merksatz : Wenn der Konjunktiv I gleich aussieht wie der Indikativ, weicht man auf den Konjunktiv II aus. : Beispiel: ''sie kommen'' → ''sie kämen'' = Imperativ (Befehlsform) = ; Funktion : Aufforderungen, Befehle, Instruktionen. ; Beispiele * ''Komm her!'' * ''Wartet bitte!'' * ''Lesen Sie den Text!'' ; Verwendung * Rezepte * Arbeitsanweisungen * Befehle * Unterrichtssprache = Übungen = <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Indikativ | Konjunktiv | Imperativ +-- Ich gehe. +-- Ich ging. -+- Ich ginge. --+ Geh. +-- Wir gehen. +-- Wir gingen. --+ Geht. +-- Du gehst. -+- Du gehest. -+- Du gingest. --+ Geh bitte. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Imperativ | Konjunktiv | Indikativ --+ Ich mache das. --+ Ich machte das. +-- Mach das. --+ Wir machen weiter. --+ Wir machten weiter. +-- Macht weiter! +-- Macht weiter. --+ Er macht weiter! --+ Macht er weiter? --+ Wissen ist Macht. --+ Du machst das gut. +-- Mach es gut. --+ Du machtest das gut. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Konjunktiv | Indikativ | Imperativ -+- Ich habe Zeit. +-- Ich hätte Zeit. --+ Hab Geduld. -+- Wir haben Glück. +-- Wir hätten Glück. --+ Habt Geduld. -+- Ihr habt Geduld. -+- Habt ihr Geduld? -+- Du hast recht. +-- Du hättest recht. --+ Hab Mut. --+ Bitte haben Sie Geduld. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Konjunktiv | Imperativ | Indikativ --+ Ich bin müde. +-- Ich wäre müde. -+- Sei ruhig! -+- Sei ruhig. +-- Er sei ruhig. +-- Er '''sei''' ruhig, meinen sie. --+ Wir sind bereit. +-- Wir wären bereit. -+- Seid ruhig. --+ Seid ihr ruhig? --+ Du bist freundlich. +-- Du wärst freundlich. -+- Sei freundlich. -+- Bitte sei freundlich. +-- Sie seien freundlich. -+- Seien Sie freundlich. --+ Sie sind freundlich. --+ Sind Sie freundlich? --+ Sind sie freundlich? </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Indikativ | Konjunktiv | Imperativ +-- Ich komme später. -+- Ich käme später. --+ Komm später. --+ Kommt später. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Indikativ | Imperativ | Konjunktiv +-- Ich esse jetzt. --+ Ich ässe jetzt. -+- Iss jetzt. +-- Wir essen draussen. --+ Wir ässen draussen. +-- Essen wir draussen? +-- Esst ihr draussen? -+- Esst draussen. +-- Du isst schnell. --+ Du ässest schnell. -+- Iss schneller. +-- Er spielt das Ass aus. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Imperativ | Indikativ | Konjunktiv -+- Ich trinke Wasser. --+ Ich tränke Wasser. +-- Trink Wasser. -+- Wir trinken Kaffee. --+ Wir '''tränken''' Kaffee, meinen sie. --+ Wir tränken Kaffee. +-- Trinkt Kaffee. -+- Du trinkst zu wenig! --+ Du tränkest zu wenig. +-- Bitte trink mehr. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Indikativ | Konjunktiv | Imperativ +-- Ich schreibe eine Nachricht. -+- Ich schriebe eine Nachricht. --+ Schreib eine Nachricht. +-- Wir schreiben den Text. +-- Wir schrieben den Text. +-- Wir schrieben den Text! -+- Wir '''schrieben''' den Text, meint er. +-- Aber wir haben den Text nicht geschrieben. --+ Schreibt den Text. +-- Du schreibst gut. -+- Du schreibest gut. -+- Du schriebest gut. +-- Du schriebst gut. --+ Schreib gut. --+ Schreibt gut. +-- Ihr schreibt gut. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Imperativ | Konjunktiv | Indikativ --+ Ich lese ein Buch. --+ Ich lese ein Buch! --+ Lese ich ein Buch? -+- Ich läse ein Buch. -+- Ich läse ein Buch! -+- Sie meint, ich '''läse''' ein Buch. -+- Sie meint, ich '''läse''' ein Buch! +-- Lies ein Buch. +-- Lies ein Buch! --+ Wir lesen heute. --+ Wir lesen heute! -+- Wir läsen heute. -+- Wir läsen heute. +-- Lest heute. +-- Lest heute! --+ Du liest laut. -+- Du läsest laut. +-- Lies laut. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Konjunktiv | Imperativ | Indikativ --+ Ich arbeite heute! --+ Ich arbeitete gestern! -+- Arbeite heute! --+ Wir arbeiten länger! --+ Wir arbeiteten länger! +-- Wir '''arbeiteten''' länger, behauptete er! -+- Arbeitet länger! --+ Du arbeitest gut! --+ Du arbeitetest gut! --+ Du '''arbeitetest''' gut, meinte sie! -+- Arbeite gut! </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Konjunktiv | Indikativ | Imperativ -+- Ich schlafe sofort. +-- Ich schliefe sofort. --+ Schlaf sofort! -+- Wir schlafen tief. -+- Wir schliefen tief. +-- Wir '''schliefen''' tief, meint sie. --+ Schlaft tief. -+- Ihr schlaft tief. -+- Du schläfst lange. +-- Du schliefest lange. -+- Du schliefst lange. --+ Schlaf länger! -+- Sie '''befahl''', länger zu schlafen. +-- Wir '''schliefen''', behauptet er. -+- Wir schlafen, er ist wach. -+- Ich '''schlief''', sie war wach. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Indikativ | Konjunktiv | Imperativ +-- Ich kaufe das. -+- Ich '''kaufte''' das, sagt er. +-- Ich kaufte das. +-- Ich '''kaufte''' das und er sagt etwas. --+ Kauf das! +-- Wir kaufen ein. +-- Wir kauften ein -+- Wir '''kauften''' ein, meint er. Dabei kaufen wir gar nicht ein. +-- Kauft ein. +-- Du kaufst viel. +-- Du kauftest viel. --+ Kauf weniger. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Indikativ | Imperativ | Konjunktiv --+ Ich '''helfe''' dir, behauptet sie. Dabei helfe ich dir gar nicht. --+ Ich hälfe dir. -+- Hilf mir. +-- Wir helfen gerne. --+ Wir hälfen gerne. -+- Helft bitte. +-- Du hilfst oft. --+ Du hälfest oft. -+- Hilf öfter. +-- Helfen sie? -+- Helfen Sie! -+- Helfen Sie. +-- Gerne helfen sie. +-- Sie helfen gerne. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Imperativ | Indikativ | Konjunktiv -+- Ich spreche ruhig. --+ Ich spräche ruhig. +-- Sprich ruhig. -+- Wir sprechen später. --+ Wir sprächen später. +-- Sprecht später. -+- Du sprichst klar. --+ Du sprächest klar. +-- Sprich klar. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Indikativ | Konjunktiv | Imperativ +-- Ich laufe schnell. -+- Ich liefe schnell. --+ Lauf schneller. +-- Wir laufen jetzt. +-- Wir liefen jetzt. -+- Wir '''liefen''', behauptet sie. Dabei laufen wir nicht. --+ Lauft jetzt. +-- Du läufst gut. -+- Du liefest gut. --+ Lauf gut. +-- Es lief gut. -+- Es liefe gut. </quiz> <!--== Weitere Übungen == {| class="wikitable" ! Imperativ !! Indikativ !! Konjunktiv !! Satz |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich gehe nach Hause. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich ginge nach Hause. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Geh nach Hause. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir gehen morgen. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir gingen früher. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Geht schneller. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du gehst allein. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du gingest allein. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Geh vorsichtig. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich würde die Aufgabe machen. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich machte die Aufgabe. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Mach die Aufgabe. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir möchten eine Pause. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir machten eine Pause. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Macht die Tür zu. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du machst das gut. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du möchtest das gut. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Mach langsam. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich bin müde. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich wäre müde. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Sei ruhig. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir sind bereit. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir wären bereit. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Seid vorsichtig. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du bist hier. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du wärest hier. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Sei ehrlich. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich helfe dir morgen. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Hilf mir bitte. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Ich hülfe dir sofort. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir lernen für die Prüfung. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Lernt fleissig. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Wir lernten gestern. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du erklärst das gut. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Erkläre das nochmals. |- | ⬜ || ⬜ || ⬜ || Du erklärtest das gut. |} [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 9s286lf3o93wu9cxohfmowaeeupkkup 106 168631 1099646 1098728 2026-06-16T12:26:26Z Bocardodarapti 2041 1099646 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Bäume}} {{ inputbild |4x4 grid spanning tree|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=4x4_grid_spanning_tree |Text= |Autor=David Eppstein |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Die U-Bahn Osnabrück soll renoviert werden, deshalb müssen einzelne Stre{{drucktrenn}}ckenabschnitte geschlossen werden. Einerseits möchte man möglichst viele Streckenabschnitte gleichzeitig renovieren, andererseits möchte man sicherstellen, dass noch jede Station angefahren wird und dass das Netz zusammenhängend bleibt. In einem engmaschigen Netz wie der Osnabrücker U-Bahn gibt es viele Möglichkeiten, das Netz in der beschriebenen Weise aufzubrechen. Ein solches verbleibendes Restnetz nennt man einen Spannbaum oder aufspannenden Baum. {{:Graph/Aufspannender Baum/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Matroide}} Wir wollen die Gesamtheit aller Wälder und insbesondere aller Bäume in einem Graphen verstehen. Dazu ist ein kombinatorisches Konzept hilfreich, das auch in anderen Kontexten auftritt und eine abstakte Theorie von Unabhängigkeit beschreibt. {{:Matroide/Einführung/Textabschnitt|}} Wir werden im Folgenden zeigen, dass auch die Wälder in einem Graphen ein Matroid bilden. {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Wälder}} {{:Graph/Aufspannender Baum/Matroid/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Multigraphen}} Wir beschreiben eine rekursive Möglichkeit, um die Anzahl der aufspannenden Bäume in einem Graphen zu bestimmen. Dazu ist es für den induktiven Aufbau der Argumentation sinnvoll, mit Multigraphen zu arbeiten. {{:Ungerichteter Multigraph/Schleifenfrei/Einführung/Textabschnitt|}} Die Definition eines Spannbaumes ändert sich für einen Multigraphen nicht, es ist ein {{ Zusatz/Klammer |text=einfacher| |ISZ=|ESZ= }} Baum, der jeden Knotenpunkt trifft. Unter der Kontraktion entlang einer Kante {{math|term= e |SZ=}} verstehen wir im Kontext von Multigraphen denjenigen Graphen, der entsteht, wenn die beiden Endpunkte von {{math|term= e |SZ=}} miteinander identifiziert werden und jede Kante des Ausgangsgraphen im Kontraktionsgraphen übernommen wird, entstehende Schleifen aber weggelassen werden. Insbesondere werden sämtliche Kanten, die mit {{math|term= e |SZ=}} Anfangs- und Endpunkt teilen, ebenfalls kontrahiert. Dabei kann aus einem einfachen Graphen ein Multigraph entstehen. Diese Kontraktion wird wieder mit {{mathl|term= G/e |SZ=}} bezeichnet. {{Zwischenüberschrift|Zur Anzahl von aufspannenden Bäumen}} {{ inputbild |Spanning Trees qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Spanning_Trees_qtl1 |Text=Die Spannbäume des vollständigen Graphen {{math|term= K_4 |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} Im vorstehenden Lemma ist es durchaus erlaubt, dass der Graph nicht zusammenhängend ist {{ Zusatz/Klammer |text=dann gibt es keine aufspannenden Bäume| |ISZ=|ESZ=, }} oder dass durch die Herausnahme einer Kante der Zusammenhang verloren geht. Das Konzept Multigraph ist für die vorstehende Argumentation unverzichtbar, man denke etwa an einen Rundgang mit drei Knotenpunkten. Dieser hat offenbar drei Spannbäume. Wenn man eine Kante herausnimmt, so erhält man einerseits einen dreipunktigen Pfad und andererseits bei der Kontraktion einen zweipunktigen Graphen, wo aber zwei verbindende Kanten geerbt werden. {{ inputbeispiel |Aufspannender Baum/Rekursionsformel/1/Beispiel|| }} }} e7e100g5551wf1hk9uzilymc13muiru 106 168661 1099649 1099363 2026-06-16T12:36:55Z Bocardodarapti 2041 1099649 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Schach/Turm/3x3/Spielzuggraph/Aufspannender Baum/Linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Läufer/4x4/Spielzuggraph/Aufspannender Baum/Linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Doppelkreis/Aufspannende Bäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Durchmesser/Aufspannender Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Vollständiger Graph/Linearer aufspannender Baum/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Matroid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Bis r/Matroid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matroid/Basis/Gleiche Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^2/Vektorenfamilie/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Grad/Spannbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Minimal zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Blätter/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Spannbäume/Rekursiv/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgraph/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |U-Bahn/Mailand/Spannbaum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pfad/Multigraph/Aufspannende Bäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/5/Spannbäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Spannbäume/Rekursiv/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graphen/Ein-Punkt-Vereinigung/Aufspannende Bäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} jixux1raohojxvw1zth2etxqnrrpzsl 1100452 1099649 2026-06-17T08:22:23Z Bocardodarapti 2041 1100452 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph/Doppelkreis/Aufspannende Bäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Durchmesser/Aufspannender Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Vollständiger Graph/Linearer aufspannender Baum/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gitter/3x3/Linearer Spannbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aufgabe schreibe man ein Programm, das die Anzahlen berechnet. {{ inputaufgabe |Schach/Turm/3x3/Spielzuggraph/Aufspannender Baum/Linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Matroid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Bis r/Matroid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matroid/Basis/Gleiche Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^2/Vektorenfamilie/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Grad/Spannbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Minimal zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Blätter/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Spannbäume/Rekursiv/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgraph/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |U-Bahn/Mailand/Spannbaum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pfad/Multigraph/Aufspannende Bäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/5/Spannbäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Spannbäume/Rekursiv/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graphen/Ein-Punkt-Vereinigung/Aufspannende Bäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} gqbaza3wmjk17q5y9gerx9jo87ylya0 106 168671 1100458 1093641 2026-06-17T09:25:53Z Bocardodarapti 2041 1100458 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Permutation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Inverses Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfungen/Monoid/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ring/Über Halbring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linkseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linksvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtsvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Reflexiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Transitiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Symmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Antisymmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Beschränkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Komplementär/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Distributiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Boolesch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Äquivalenzrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multinomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Permutation/Stirling-Zahl/1. 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|Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Erweiterung/Divisorenklassengruppe/Rückzug/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe 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1099657 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|23|8|Kurs=|}} oocb0x0vv9wospcbdhw745ily9bqij8 106 169342 1099655 1072201 2026-06-16T13:57:36Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1099655 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|23|9|Kurs=|}} kdzb316c6fgxc47x925f043ufqbo29b 106 169472 1099666 1099629 2026-06-16T15:51:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1099666 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|20|Kurs=|}} p7b60yo9b2h5dkf6hwnamag4zclnc2x 0 170237 1099676 1094099 2026-06-16T18:58:00Z C.Koltzenburg 13981 1099676 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. Unabhängig vom Ort Ihrer FSP finden Sie ganz unten weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables") und ich wünsche Ihnen viel Spaß dabei :) '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (in der FSP 20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (in der FSP 20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] * [[Patientenvorstellungen/ Beispielformulierungen|in Patient*innenvorstellungen aus Stichworten Sätze machen: Allergien/ Unverträglichkeiten, Noxen, Sozialanamnese, Familienanamnese)]] * [[Patientenvorstellungen/ Redemittel|Redemittel: wie reagieren, wenn man eine OA-Frage nicht beantworten kann?]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt '''Weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables"/ Spiele)''' * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2135919/c1-med/fachbegriffe je 9 Fachbegriffe, in 3 Formaten] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2002334/c1-med/med-gr-wortst%C3%A4mme griechische Wortstämme in Fachbegriffen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1930130/c1-med/med-adj Adjektive Fachsprache <--> Deutsch] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1408413/c1-med/med-diverse Fachbegriffe/ Endungen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4454149/c1-med/med-vor-und-nachsilben Fachbegriffe: Vor- und Nachsilben] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1513300/c1-med/med-artikel-k%C3%B6rper richtiger Artikel: Anatomie, Nomen im Klinikalltag] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4417174/c1-med/med-adjektive-in-s%C3%A4tzen Adjektiv-Deklination im 1. Satz des Anamneseberichts] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1339694/c1-med/med-synonyme Synonyme trainieren (schwierig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1474102/c1-med/med-ins "schon", "noch", "erst" & Co., in 2 Formaten: 1. den richtigen Partikel einfügen, 2. "unjumble": Wörter in Anamnesefragen in die richtige Reihenfolge bringen (wichtig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2045350/c1-med/med-mit-oder-bei "mit" oder "bei"? (Denken Deutsch von Englisch herkommend? Dann sind dies die richtigen Spiele für Sie!)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4609954/c1-med/vor-co "vorher" =/= "früher" & Co.] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2857226/c1-med/ TOC zu den 11 Paketen] 19cpt3s6t1xu9stw79gn5k7jjrheday 106 171334 1099675 1094275 2026-06-16T17:37:33Z Bocardodarapti 2041 1099675 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 2pir1qxypn4dq6hyuftycjd8sbjxp9q 106 171336 1099642 1099298 2026-06-16T12:18:26Z Bocardodarapti 2041 1099642 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe|p||| |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Endlicher Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kladogramm/Afrotheria/Binärer Baum/Aufgabe|p||| |Diamantgraph/Spannbaum/Isomorphietyp/Aufgabe|p||| |Graph/3/Linear/Eigenwerte/Aufgabe|p||| |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} h43w3y5uefg11xz7ajz485uyz33r0zb 106 171338 1099979 1098655 2026-06-17T07:00:27Z Bocardodarapti 2041 1099979 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Spannbaum/Isomorphietyp/Aufgabe|p||| |Kreis/5/Adjazenzmatrix/Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8t60ip52jtpzzc0q5thd3nk6bv21jlm 0 171622 1099644 2026-06-16T12:22:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1099644 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Diamond graph|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die Isomorphietypen der {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbäume| |Kontext=| |SZ= }} des abgebildeten Diamantgraphen {{math|term= G |SZ=}} und wie viele Spannbäume pro Typ vorkommen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} i3fazrlew2xcdzesyadj67v3nqf4va9 1099645 1099644 2026-06-16T12:22:53Z Bocardodarapti 2041 1099645 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip|}} {{ inputbild |Diamond graph|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die Isomorphietypen der {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbäume| |Kontext=| |SZ= }} des abgebildeten Diamantgraphen {{math|term= G |SZ=}} und wie viele Spannbäume pro Typ vorkommen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1tsji85vzbvyp3rtidg1qftr86sczmp 0 171623 1099650 2026-06-16T12:39:12Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1099650 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= m |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es auch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbaum| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=}} mit dem gleichen Maximalgrad gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9agcbp8tu4ll9egx25w0j3wejceqlwh 106 171624 1099653 2026-06-16T13:57:06Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1099653 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|15|11|Kurs=|}} jvibezqdn2frzworuuf6ljjlbtfxm2m 106 171625 1099654 2026-06-16T13:57:16Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1099654 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|20|Kurs=|}} 6vboseylakv59iq5jcxsk0rna9pnnnz 106 171626 1099668 2026-06-16T17:25:17Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1099668 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Zahlen und Funktionen/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Spektrum/Offene_Menge/Aufgabe|p||| |Achter Kreisteilungsring/Hauptideal/X^2+1/Norm/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Isomorph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ax7capjudhaa8ugclxiy2qmjxmf342g 1100492 1099668 2026-06-17T09:44:31Z Bocardodarapti 2041 1100492 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Zahlen und Funktionen/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Spektrum/Offene_Menge/Aufgabe|p||| |Achter Kreisteilungsring/Hauptideal/X^2+1/Norm/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Isomorph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} g1hn0f6u277hmttnyryec0tlpw2i1ta 1100531 1100492 2026-06-17T10:23:58Z Bocardodarapti 2041 1100531 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Zahlen und Funktionen/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Spektrum/Offene_Menge/Aufgabe|p||| |Achter Kreisteilungsring/Hauptideal/X^2+1/Norm/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Isomorph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist -13/Klassengruppe/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} aupyna850kzkm4y4qxexr5w4we91qox 106 171627 1099669 2026-06-16T17:28:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1099669 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 7do71932cz5rxxrjt02nbc5l9vssgvq 0 171628 1099677 2026-06-17T06:10:01Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1099677 wikitext text/x-wiki == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] os8kvzttca8xkb9zqt7zkouho3najfs 1099678 1099677 2026-06-17T06:10:45Z Bert Niehaus 20843 1099678 wikitext text/x-wiki == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * 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[[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. === Beispiele === Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfeck]]e: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfstern]]e gilt: * Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. :''Geometrischer Beweis'' :Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> :''Algebraischer Beweis'' :Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) :Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) :Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) :<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: ::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) :Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 5diqdpz4p0s3jo52ft6jiobsxwj6afd 1099696 1099679 2026-06-17T06:15:58Z Bert Niehaus 20843 1099696 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|mini|Beispiele und deren Winkelsummen]] Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. === Beispiele === Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfeck]]e: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfstern]]e gilt: * Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. :''Geometrischer Beweis'' :Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> :''Algebraischer Beweis'' :Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) :Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) :Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) :<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: ::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) :Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 1xxfvoi4imei6krskmhxde9sjw2sz6h 1099725 1099696 2026-06-17T06:20:29Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1099725 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (Vielecke) in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken zurückführen. === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|300px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. === Beispiele === Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfeck]]e: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfstern]]e gilt: * Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. :''Geometrischer Beweis'' :Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> :''Algebraischer Beweis'' :Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) :Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) :Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) :<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: ::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) :Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 4tcmhsfj1gv2px065jnb7bhovtp1e6v 1099727 1099725 2026-06-17T06:20:46Z Bert Niehaus 20843 /* Vom Dreieck zum Polygon */ 1099727 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (Vielecke) in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken zurückführen. === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. === Beispiele === Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfeck]]e: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfstern]]e gilt: * Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. :''Geometrischer Beweis'' :Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> :''Algebraischer Beweis'' :Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) :Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: ::<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) :Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) :<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: ::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) :Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] k23ypcwe7nmp8edcs76eeca0cuxb15b 1099759 1099727 2026-06-17T06:25:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele */ 1099759 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (Vielecke) in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken zurückführen. === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. === Beispiele === Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfeck]]e: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> ==== Beispiel - Fünfstern ==== [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. ==== Geometrischer Beweis - Fünfstern ==== :Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> ==== Algebraischer Beweis - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) D<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: ::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) :Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] cz5t0m0hr4aynasdt3we8fjwodrdyig 1099790 1099759 2026-06-17T06:30:38Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele */ 1099790 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (Vielecke) in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken zurückführen. === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) D<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: ::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) :Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] r2j0wc1075dj0s86tn3k22j20sj0d7m 1099835 1099790 2026-06-17T06:37:38Z Bert Niehaus 20843 /* Vom Dreieck zum Polygon */ 1099835 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) D<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: ::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) :Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: ::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 17eogocakoxt19s0e2j9w1qyogjpq22 1099844 1099835 2026-06-17T06:38:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Fünfstern */ 1099844 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 2 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) ==== Beweisschritt 3 - Fünfstern ==== <math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: :<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) ==== Beweisschritt 4 - Fünfstern ==== Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> === Herleitung der Formel === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 3p9am3ujxijmzx5wbprmlyk6u5w2mku 1099848 1099844 2026-06-17T06:39:17Z Bert Niehaus 20843 /* Herleitung der Formel */ 1099848 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 2 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) ==== Beweisschritt 3 - Fünfstern ==== <math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: :<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) ==== Beweisschritt 4 - Fünfstern ==== Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> == Herleitung der Formel == ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 6ej5zoi5f5g3lol2fcf2pbrm1ulh9m2 1099888 1099848 2026-06-17T06:45:38Z Bert Niehaus 20843 /* Herleitung der Formel */ 1099888 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 2 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) ==== Beweisschritt 3 - Fünfstern ==== <math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: :<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) ==== Beweisschritt 4 - Fünfstern ==== Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> == Herleitung der Formel == Die Herleitung der Formel erfolgt in der Geometrie unter der Annahme von Axiomen der der euklidischen Geometrie. Dies kann auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen mit Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> (d.h. Prähilberträume) verallgemeinert werden. === Geometrie der Ebene === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiomen]] der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 09ifkil0x210z6z7mrailas03ek6xah 1100354 1099888 2026-06-17T08:02:32Z Bert Niehaus 20843 /* Herleitung der Formel */ 1100354 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 2 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) ==== Beweisschritt 3 - Fünfstern ==== <math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: :<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) ==== Beweisschritt 4 - Fünfstern ==== Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> == Herleitung der Formel == Die Herleitung der Formel erfolgt in der Geometrie unter der Annahme von Axiomen der der euklidischen Geometrie. Dies kann auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen mit Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> (d.h. Prähilberträume) verallgemeinert werden, sodass man z.B. auch Winkelsummen in komplexwertigen Funktionenräumen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachten kann, bei dem das Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\gamma</math> durch ein [[Wegintegral]] <math>\gamma</math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> definiert ist. === Geometrie der Ebene === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiomen]] der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] ocuot0z6d41sjtg4u4fpqr98j6osq08 1100358 1100354 2026-06-17T08:03:01Z Bert Niehaus 20843 /* Seiten-Information */ 1100358 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 2 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) ==== Beweisschritt 3 - Fünfstern ==== <math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: :<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) ==== Beweisschritt 4 - Fünfstern ==== Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> == Herleitung der Formel == Die Herleitung der Formel erfolgt in der Geometrie unter der Annahme von Axiomen der der euklidischen Geometrie. Dies kann auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen mit Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> (d.h. Prähilberträume) verallgemeinert werden, sodass man z.B. auch Winkelsummen in komplexwertigen Funktionenräumen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachten kann, bei dem das Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\gamma</math> durch ein [[Wegintegral]] <math>\gamma</math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> definiert ist. === Geometrie der Ebene === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiomen]] der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] gcjlb66byt5cex99zhe37sose8n4ypz 1100361 1100358 2026-06-17T08:03:20Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1100361 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 2 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) ==== Beweisschritt 3 - Fünfstern ==== <math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: :<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) ==== Beweisschritt 4 - Fünfstern ==== Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> == Herleitung der Formel == Die Herleitung der Formel erfolgt in der Geometrie unter der Annahme von Axiomen der der euklidischen Geometrie. Dies kann auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen mit Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> (d.h. Prähilberträume) verallgemeinert werden, sodass man z.B. auch Winkelsummen in komplexwertigen Funktionenräumen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachten kann, bei dem das Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\gamma</math> durch ein [[Wegintegral]] <math>\gamma</math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> definiert ist. === Geometrie der Ebene === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiomen]] der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] 3gimlokwj33vvn9dapvcgscivj767x3 1100369 1100361 2026-06-17T08:04:36Z Bert Niehaus 20843 /* Allgemein */ 1100369 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[w:de:Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist in dieser Lerneinheit die Summe aller [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]] der Figur gemeint. Der Winkelsummensatz wird zunächst in ebenen Geometrie (Sekundarstufe I) behandelt und danach auf [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Prähilbertraum|Prähilberträume]] ([[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilberträume]]) erweitert. === Vom Dreieck zum Polygon === Betrachet man die Winkelsumme zunächst in einem Dreieck, so kann man beliebige Polygone (<math>n</math>-Ecke) <math>\langle P_1,\ldots , P_n\rangle </math> in der Ebene durch Zerlegung in Teildreiecke auf die Winkelsumme in Dreiecken <math>\langle P_{k,1},P_{k,2} , P_{k,3}\rangle </math> mit <math>k\in \{1,\ldots (n-2)\}</math> zurückführen. Dabei werden die Punkte <math>P_1,\ldots , P_n</math> des <math>n</math>-Ecks in einer positiven Orientierung (gegen den Uhrzeigensinn) um den Schwerpunkt <math>S</math> des Eckpunkte abgetragen. :<math> S:= \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n P_k </math> === Vom Dreieck zum Polygon === Die folgenden Abbildung zeigt die Zerlegung eines <math>n</math>-Ecks in <math>n-2</math> Teildreiecke. [[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|250px|center|Beispiele und deren Winkelsummen]] == Winkelsumme in der euklidischen Geometrie == Für ein nicht-überschlagendes [[w:de:Polygon|Polygon]] in der [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel :<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math> gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht. == Beispiele - Winkelsummen == Aus der obigen Formel für <math>n</math>-Ecke ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[w:de:Dreieck|Drei-]], [[w:de:Viereck|Vier-]] und [[w:de:Fünfeck|Fünfecke]]: * für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math> * für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math> * für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math> === Beispiel - Fünfstern === [[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]] Für nicht notwendig regelmäßige [[w:de:Fünfstern|Fünfsterne]] gilt: : Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°. === Geometrischer Beweis - Fünfstern === Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[w:de:Winkel an parallelen Geraden|Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[w:de:Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[w:de:Springer Spektrum|Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[w:de:Berlin|Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref> === Algebraischer Beweis - Fünfstern === In dem algebraischen Beweis nutzen die ==== Beweisschritt 1 - Fünfstern ==== Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1) Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme: :<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2) ==== Beweisschritt 2 - Fünfstern ==== Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3) ==== Beweisschritt 3 - Fünfstern ==== <math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit: :<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4) ==== Beweisschritt 4 - Fünfstern ==== Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung: :<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math> == Herleitung der Formel == Die Herleitung der Formel erfolgt in der Geometrie unter der Annahme von Axiomen der der euklidischen Geometrie. Dies kann auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen mit Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> (d.h. Prähilberträume) verallgemeinert werden, sodass man z.B. auch Winkelsummen in komplexwertigen Funktionenräumen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachten kann, bei dem das Skalarprodukt <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\gamma</math> durch ein [[Wegintegral]] <math>\gamma</math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> definiert ist. === Geometrie der Ebene === ==== Dreiecke ==== [[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[w:de:Stufenwinkel|Stufenwinkel]] an [[w:de:Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] handelt, die beiden roten, weil sie [[w:de:Wechselwinkel|Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]] Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[w:de:Axiom|Axiomen]] der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[w:de:Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[w:de:Euklid|Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[w:de:Thomas Heath|Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[w:de:Thales|Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[w:de:Moritz Cantor|Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref> ==== Allgemein ==== Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n-2</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[w:de:Vollwinkel|Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also :<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math> Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref> Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht. Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[w:de:einfaches Polygon|einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Hrsg.: Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel. == Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie == In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[w:de:Krümmung|Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[w:de:Kugel|Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[w:de:Äquator|Äquator]], vom [[w:de:Nullmeridian|Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[w:de:Krümmung|Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[w:de:Sattelfläche|Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen. == Literatur == * Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR]) == Weblinks == * [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.) * [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008 * {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[w:de:GeoGebra|GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}} == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsummensatz https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Winkelsummensatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Winkelsummensatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Winkelsummensatz&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme Winkelsumme] https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelsumme * Datum: 17.6.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Winkel]] [[Kategorie:Synthetische Geometrie]] dzctna7p69jyoq4co2vjl8guoy2bt6a 0 171629 1099785 2026-06-17T06:30:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1099785 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Es sei {{ Math/display|term= u=v_0, v_1, v_2 {{kommadots}} v_d=v |SZ= }} ein verbindender Weg zwischen {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} ohne {{ Zusatz/Klammer |text=Knoten| |ISZ=|ESZ=- }}Wiederholung, der den Durchmesser von {{math|term= G |SZ=}} realisiert. 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