Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.7 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 10658 1104849 1091662 2026-06-18T12:36:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104849 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} mit einem ausgezeichneten Element {{ Relationskette | 0 | \in | N || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Null|SZ=}} | |SZ= }} und einer {{ Zusatz/Klammer |text=Nachfolger| |ISZ=|ESZ=- }}Abbildung {{ Abbildung/display |name=' | N|N | n |n' |SZ=, }} heißt {{Definitionswort|natürliche Zahlen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Dedekind-Peano-Modell|SZ=}} für die natürlichen Zahlen| |ESZ=, }} wenn die folgenden {{Definitionswort/enp|Dedekind-Peano-Axiome|SZ=}} erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Das Element {{math|term= 0 |SZ=}} ist kein Nachfolger {{ Zusatz/Klammer |text=die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung| |SZ=. }} |Jedes {{ Relationskette |n | \in | N || || || |SZ= }} ist Nachfolger höchstens eines Elementes {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv| |SZ=. }} |Für jede Teilmenge {{ Relationskette |T | \subseteq | N || || || |SZ= }} gilt: Wenn die beiden Eigenschaften {{ Auflistung2 | {{ Relationskette | 0 | \in | T || || || |SZ=, }} |mit jedem Element {{ Relationskette |n | \in | T || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette |n' | \in | T || || || |SZ=, }} }} gelten, so ist {{ Relationskette |T || N || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Dedekind-Peano-Axiome |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jscvss55n0o240iac7n7kq408tnsf28 0 10850 1104850 1040294 2026-06-18T12:36:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104850 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |natürliche Zahl| |SZ= }} {{ Relationskette |n | \geq | 2 || || || |SZ= }} heißt eine {{Definitionswort|Primzahl|SZ=,}} wenn die einzigen natürlichen {{ Definitionslink |Teiler| |Kontext=N| |SZ= }} von ihr {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Primzahl |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o44jb8s512jgd0p925ar4oa8tfuufs9 0 11132 1104638 1038608 2026-06-18T12:02:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104638 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{Definitionswort|Äquivalenzrelation|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Relation| |SZ= }} {{ Relationskette | R | \subseteq | M \times M || || || |SZ=, }} die die folgenden drei Eigenschaften besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=für beliebige {{ Relationskette/k | x,y,z | \in | M || || || |SZ= }} | |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette | x | \sim | x || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{Definitionswort|reflexiv|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Aus {{ Relationskette | x | \sim | y || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | y | \sim | x || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{Definitionswort|symmetrisch|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Aus {{ Relationskette | x | \sim | y || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y | \sim |z || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | x | \sim |z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{Definitionswort|transitiv|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} }} Dabei bedeutet {{ Relationskette | x | \sim | y || || || |SZ=, }} dass das Paar {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} zu {{math|term= R |SZ=}} gehört. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Äquivalenzrelation |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iu01p6g2qft0wflhoul0vrkpo20y10f 0 11390 1104846 1040264 2026-06-18T12:36:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104846 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ=, }} {{ Relationskette | {{idealp}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=}} und {{ Relationskette |f | \in | R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |f |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann heißt die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Bewertungsring| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung|f }} |SZ=}} im {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsring| |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} die {{Definitionswort|Ordnung|msw=Ordnung (Bewertung)}} von {{math|term= f |SZ=}} am Primideal {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder an der Primstelle {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} oder in {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe (Zahlentheorie) |Kategorie2=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ordnung an Primstelle |Definitionswort2= |Stichwort=Ordnung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cz72l1inap7kad7um5ec3xh1e1ztoyf 0 11400 1104847 1040266 2026-06-18T12:36:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104847 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ= }} und {{ mathbed|term= q \in Q(R) ||bedterm1= q \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Dann heißt die Abbildung, die jedem {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Zahlbereich Primideal| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung| q | {{idealp|}} }} |SZ=}} zuordnet, der durch {{math|term= q |SZ=}} definierte {{Definitionswort|Hauptdivisor|SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor| q |}} |SZ=}} bezeichnet und als formale Summe {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| q |}} || \sum_{{idealp}} {{op:Bewertungsordnung| q | {{idealp|}} }} \cdot {{idealp}} || || || |SZ= }} geschrieben. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hauptdivisor |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0hc4vj5v0st5om4k3vd8tw8tcbggsjd 0 11408 1104844 1040250 2026-06-18T12:35:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104844 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ= }} und {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Dann heißt die Abbildung, die jedem {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp}} |\neq | 0 || || || || |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Zahlbereich Primideal| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} |SZ=}} zuordnet, der durch {{math|term= f |SZ=}} definierte {{Definitionswort|Hauptdivisor|SZ=.}} Er wird mit {{math|term= {{op:Hauptdivisor| f |}} |SZ=}} bezeichnet und als formale Summe {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| f |}} || \sum_{{idealp}} {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} \cdot {{idealp}} || || || |SZ= }} geschrieben. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hauptdivisor zu Ringelement |Definitionswort2= |Stichwort=Hauptdivisor |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggfl7rdb04xyr511g314r1xtzp04gm1 0 11424 1104843 1091651 2026-06-18T12:35:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104843 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ= }} und {{ Relationskette | {{ideala}} |\neq| 0 || || || || |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Ideal| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Dann nennt man den {{ Definitionslink |Divisor| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \operatorname{div}({{ideala}}) || \sum_{{idealp}} m_{{idealp}} \cdot {{idealp}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | m_{{idealp}} || {{op:Bewertungsordnung| {{ideala|}} | {{idealp}} }} | {{defeq|}} | {{op:Minimum| {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} | f \in {{ideala}} | f \neq 0 }} || || |SZ= }} den {{Definitionswort|Divisor zum Ideal}} {{math|term= {{ideala}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Divisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Effektiver Divisor zu einem Ideal |Definitionswort2= |Stichwort=Ideal, Divisor |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t184igzygouafrzep1bxdaqz4wakk2t 0 11448 1104845 1091655 2026-06-18T12:35:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104845 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ= }} und {{ Relationskette/display |D || \sum_{{idealp}} n_{{idealp}} \cdot {{idealp}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |effektiver Divisor| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} durch die Menge der Primideale {{math|term= \neq 0 |SZ=}} läuft| |ISZ=|ESZ=. }} Dann nennt man {{ Math/display|term= {{Mengebed|f \in R | {{op:Hauptdivisor| f |}} \geq D}} |SZ= }} das {{Definitionswort|Ideal zum Divisor}} {{math|term= D |SZ=.}} Es wird mit {{mathl|term= \operatorname{Id} (D) |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Divisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ideal zu einem effektiven Divisor |Definitionswort2= |Stichwort=Ideal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6795ilre5evb3e2q9yo7xyc3bzax43l 0 11472 1104851 1040302 2026-06-18T12:36:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104851 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratfreie| |SZ= }} Zahl und sei {{mathl|term= \Q[\sqrt{D}] |SZ=}} die zugehörige quadratische {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |SZ=. }} Dann wird der Automorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{mathl|term= \Q[\sqrt{D}] |SZ=,}} auf {{mathl|term= \Z[\sqrt{D}] |SZ=}} und auf {{math|term= A_D |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D} |SZ= }} als {{Definitionswort|Konjugation|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konjugation |Definitionswort2= |Stichwort=Konjugation |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8qcc6jaqeaiud5gqmbip91tm65jqaec 0 11474 1104719 1017840 2026-06-18T12:15:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104719 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |SZ= }} und sei {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |SZ=. }} Dann heißt {{math|term= A_D|SZ=}} {{Definitionswort|reell-quadratisch|SZ=,}} wenn {{math|term= D |SZ=}} positiv ist, und {{Definitionswort|imaginär-quadratisch|SZ=,}} wenn {{math|term= D |SZ=}} negativ ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3o47qynl8mw9oqz0zz7pxuq7u6z3qqp 0 11481 1104852 1040304 2026-06-18T12:37:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104852 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |SZ=. }} Es bezeichne {{math|term=\overline{z} |SZ=}} die Konjugation von {{ Relationskette | z | \in | A_D || || || |SZ=. }} Dann nennt man {{ Relationskette | N(z) || z \overline{z} || || || |SZ= }} die {{ Definitionswort |Norm| |msw= |SZ= }} von {{math|term= z |SZ=}} und {{ Relationskette | S(z) || z + \overline{z} || || || |SZ= }} die {{ Definitionswort |Spur| |msw= |SZ= }} von {{math|term= z |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eshq4khutgerl3fhtign3egh4tfpuqe 0 11663 1104842 1091650 2026-06-18T12:35:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104842 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealf}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |gebrochenes Ideal| |Kontext=Zahlbereich| |SZ=. }} Dann nennt man den {{ Definitionslink |Divisor| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \operatorname{div}({{idealf}}) || \sum_{{idealp}} m_{{idealp}} \cdot {{idealp}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | m_ {{idealp}} || {{op:Minimum| {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp|}} }} | f \in {{idealf}} | f \neq 0 }} || || || |SZ= }} den {{Definitionswort|Divisor zum gebrochenen Ideal}} {{math|term= {{idealf}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Divisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Theorie der gebrochenen Ideale (Zahlbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Divisor zum gebrochenen Ideal |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mm68zezpfq9lamf3j71c4ulnn45z358 0 12753 1104765 978812 2026-06-18T12:22:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104765 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine ganze Zahl {{math|term= k |SZ=}} heißt {{Definitionswort|quadratischer Rest}} modulo {{math|term= n |SZ=,}} wenn es eine Zahl {{math|term= x |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | x^2 || k \mod n || || || |SZ= }} gibt. Im anderen Fall heißt {{math|term= k |SZ=}} ein {{Definitionswort|nichtquadratischer Rest}} modulo {{math|term= n |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Quadratischer Rest |Definitionswort2=Nichtquadratischer Rest |Stichwort=Quadratrest |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plr18i6jpkw87dotddshvukc8si4obn 106 12769 1104986 1099622 2026-06-19T11:38:50Z Bert Niehaus 20843 /* Holormorphe Funktionen als Hilbertraum */ 1104986 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> d0w1wmvtt1gnro9v3r5z0c592i29oxk 1104987 1104986 2026-06-19T11:39:17Z Bert Niehaus 20843 /* Holormorphe Funktionen als Hilbertraum */ 1104987 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> hemm279impv0ammy34crekb2fgcgd1l 0 13034 1104837 1040210 2026-06-18T12:34:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104837 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{Definitionswort|Monoid}} ist eine Menge {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \circ |M \times M | M || |SZ= }} und einem ausgezeichneten Element {{ Relationskette |e | \in | M || || || |SZ= }} derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung2 |Die Verknüpfung ist {{Stichwort|assoziativ|SZ=,}} d.h. es gilt {{ Relationskette/display | (x \circ y) \circ z || x \circ (y \circ z) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x,y,z | \in | M || || || |SZ=. }} | {{math|term= e |SZ=}} ist {{Stichwort|neutrales Element|SZ=}} der Verknüpfung, d.h. es gilt {{ Relationskette/display | x \circ e || x || e \circ x || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Monoid |Definitionswort2=assoziativ |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixv5exkenkmw9ddjjhvgm5fc9g5amml 0 14295 1104818 1091613 2026-06-18T12:31:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104818 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term= {{GarbeS|}} |SZ=}} be a vector bundle on a smooth projective curve {{math|term= C |SZ=.}} It is called {{Definitionswort/-|semistable|SZ=,}} if {{ Relationskette | \mu( {{GarbeT|}} ) || \frac{\deg( {{GarbeT|}} )}{ \operatorname{rk}( {{GarbeT|}} )} | \leq | \frac{\deg( {{GarbeS|}} )}{ \operatorname{rk}({{GarbeS|}} )} || \mu({{GarbeS|}} ) || |SZ= }} for all subbundles {{math|term= {{GarbeT|}} |SZ=.}} Suppose that the base field has positive characteristic {{ Relationskette | p | > | 0 || || || |SZ=. }} Then {{math|term= {{GarbeS|}} |SZ=}} is called {{Definitionswort/-|strongly semistable|SZ=,}} if all {{ Zusatz/Klammer |text=absolute| |ISZ=|ESZ= }} Frobenius pull-backs {{mathl|term= F^{e*}( {{GarbeS|}} ) |SZ=}} are semistable. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sq90qnimh1ud4h3troec2zfduohtcie 0 18225 1104700 1039043 2026-06-18T12:12:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104700 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein Körper und {{ Relationskette | {{ideala}} | \subseteq | K[X_1 {{kommadots}} X_n] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ=. }} Das Ideal heißt {{Definitionswort|homogen|msw=Homogenes Ideal|SZ=,}} wenn für jedes {{ Relationskette |H | \in | {{ideala}} || || || |SZ= }} mit der homogener Zerlegung {{ Relationskette |H || \sum_{i } H_i || || || |SZ= }} auch {{ Relationskette |H_i | \in | {{ideala}} || || || |SZ= }} für alle homogenen Bestandteile {{math|term= H_i |SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der homogenen Ideale im Polynomring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Homogenes Ideal |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hsz9afg1xlmry0lsavrv5asno3s3s9 0 18927 1104805 1091577 2026-06-18T12:29:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1104805 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Das {{Definitionswort|Standard|msw=Standardsimplex}}-{{math|term= n| -}}{{Definitionswort|Simplex|msw=Standardsimplex}} ist gegeben als {{ Relationskette/display | \Delta^n | {{defeq|}} | {{Mengebed| x {{=|}} (x_0,...,x_n)\in \R^{n+1} | x_0+x_1 {{plusdots|}} x_n {{=|}} 1 \text{ und } x_i\geq 0 \, \text { für alle } \, 0\leq i\leq n }} | \subseteq | \R^{n+1} || || |SZ=. }} Es sei allgemeiner {{math|term= V = \lbrace v_0,...,v_n\rbrace}} eine {{ Definitionslink |linear unabhängige| |Kontext=| |SZ= }} Teilmenge des {{math|term= \R^N|SZ=.}} Die konvexe Hülle von {{math|term= V}} ist ein {{math|term= n |SZ=-}}Simplex. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der geometrischen Figuren im euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Standardsimplex |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eb0z8cxh81qct863yzdsaz92tq2rqq3 0 19177 1104649 1038677 2026-06-18T12:04:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104649 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{M|M}}} }} eine Menge. Eine Abbildung {{ Abbildung |name=d | {{{M|M}}} \times {{{M|M}}} | \R || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Metrik}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Definitionswort|Distanzfunktion}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn für alle {{ Relationskette | x,y,z | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} die folgenden Bedingungen erfüllt sind: {{ Aufzählung3 | {{ Relationskette | d {{makl| x,y |}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette | x || y || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=Definitheit| |ISZ=|ESZ=, }} | {{ Relationskette | d {{makl| x,y |}} || d {{makl| y,x |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Symmetrie| |ISZ=|ESZ=, }} und | {{ Relationskette | d {{makl| x,y |}} | \leq | d {{makl| x,z |}} + d {{makl| z,y |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Dreiecksungleichung| |ISZ=|ESZ=. }} }} Ein {{Definitionswort|metrischer Raum}} ist ein Paar {{mathl|term= ({{{M|M}}},d) |SZ=,}} wobei {{math|term= {{{M|M}}} }} eine Menge und {{ Abbildung |name=d | {{{M|M}}} \times {{{M|M}}} |\R || |SZ= }} eine Metrik ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Definitionswort=Metrischer Raum |Definitionswort2=Metrik |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqu16keb2jazktech4jn8gp8zkry5cc 0 19316 1104652 1038689 2026-06-18T12:05:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104652 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= ( {{{L|L}}},d_1) |und|term2= ( {{{M|M}}},d_2) |SZ= }} {{ Definitionslink |metrische Räume| |SZ=, }} {{ Abbildung/display |name=f | {{{L|L}}} | {{{M|M}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | {{{L|L}}} || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{math|term= f}} heißt {{Definitionswort|stetig in|msw=Stetig in einem Punkt}} {{math|term= x |SZ=,}} wenn für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} derart existiert, dass {{ Relationskette/display | f {{makl| {{op:Abgeschlossener Ball| x | \delta}} |}} | \subseteq | {{op:Abgeschlossener Ball|f(x)| \epsilon}} || || || |SZ= }} gilt. Die Abbildung {{math|term= f }} heißt {{Definitionswort|stetig|SZ=,}} wenn sie stetig in {{math|term= x}} für jedes {{ Relationskette | x | \in | {{{L|L}}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 50swm2bznfih6jgny1mjz970dp8uoet 0 19330 1104702 1091389 2026-06-18T12:12:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104702 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] ||bedterm1= F \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ein Polynom in {{math|term= n |SZ= }} Variablen mit der {{ Definitionslink |homogenen Zerlegung| |Definitionsseitenname= Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Definition }} {{ Relationskette/display | F || \sum_{i {{=|}} 0}^d F_i || || || |SZ= }} und sei {{math|term= Z |SZ=}} eine weitere Variable. Dann nennt man das {{ Definitionslink |homogene Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Homogenisierung| F |}} || \sum_{i {{=}} 0}^d F_i Z^{d-i} | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n,Z] || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= d |SZ=}} die {{Definitionswort|Homogenisierung}} von {{math|term= F |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Homogenisierung eines Polynoms |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jq6mppxouesd1mi9ggkfbhofp8vgfly 0 20084 1104692 1038985 2026-06-18T12:11:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104692 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Relation| |SZ= }} {{math|term= \preccurlyeq |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= I |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Ordnungsrelation}} oder {{Definitionswort|Ordnung|SZ=,}} wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |i | \in | I || || || |SZ=. }} |Aus {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |j || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |j | \preccurlyeq |k || || || |SZ= }} folgt stets {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |k || || || |SZ=. }} |Aus {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |j || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |j | \preccurlyeq |i || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette |i || j || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ordnungsrelation |Definitionswort2=Ordnung |Definitionswort/englisch=Order relation |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b13djywkwjecf6tlwk4ai09vgc8k8r4 0 20396 1104645 1038644 2026-06-18T12:04:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104645 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |R | \subseteq | {{{M|M}}} \times {{{M|M}}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | [x] | {{defeq|}} | {{Mengebed| y \in {{{M|M}}} | (x,y) \in R}} || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Äquivalenzklasse}} von {{math|term= x }} bezüglich {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Äquivalenzklasse |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nky8ohqkhv3xk1dn1c1fvan5yijymub 0 20617 1104709 1039111 2026-06-18T12:14:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104709 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |d | \geq | 1 || || || |SZ=. }} Dann heißt die {{ Definitionslink |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | V(X^d+Y^d+Z^d) | \subseteq | {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Fermat-Kurve}} vom Grad {{math|term= d |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der projektiven Fermat-Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Fermat-Kurven |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b5ew5dutduhyvrdjdtpz0ks3pe8rvir 0 20715 1104711 1066004 2026-06-18T12:14:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104711 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Refname= |SZ=, }} {{ Relationskette |Y | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| n | K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |projektive Varietät| |SZ=, }} {{ Relationskette |U | \subseteq | Y || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge und {{ Relationskette |P | \in | U || || || |SZ= }} ein Punkt. Dann heißt eine Funktion {{ Abbildung/display |name=f | U | {{op:Affine Gerade| K |}} {{=}} K || |SZ= }} {{Definitionswort|algebraisch|msw=algebraische Funktion}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Definitionswort|regulär|msw=reguläre Funktion}} oder {{Definitionswort|polynomial|msw=polynomiale Funktion}} | |ISZ=|ESZ= }} im Punkt {{math|term= P |SZ=,}} wenn es eine offene affine Umgebung {{ Relationskette/display |P | \in | V | \subseteq | U || || |SZ= }} derart gibt, dass die auf {{math|term= V |SZ=}} eingeschränkte Funktion {{mathl|term= f{{|}}_V |SZ=}} {{ Definitionslink |algebraisch| |Kontext=Funktion affin| |SZ= }} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} ist. {{math|term= f |SZ=}} heißt {{Definitionswort|algebraisch|msw=algebraische Funktion}} auf {{math|term= U |SZ=,}} wenn {{math|term= f |SZ=}} in jedem Punkt aus {{math|term= U |SZ=}} algebraisch ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Algebraische Funktion |Definitionswort2=Polynomiale Funktion |Stichwort=Funktion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jmmj0ej4usu29pido4liap2a2iq8deo 0 21036 1104803 944111 2026-06-18T12:28:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104803 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= J}} eine Menge und für jedes {{math|term= j\in J}} eine stetige Abbildung {{math|term= f_j\colon \partial D^n \rightarrow X}} gegeben. In anderen Worten, man hat eine stetige Abbildung {{ Abbildung/display |name= f | \coprod_{j\in J} \partial D^n | X || |SZ=. }} Der Raum {{Math/display|term= X\cup_{\coprod_{j\in J} \partial D^n } \coprod_{j\in J} D^n}} entsteht durch {{Definitionswort|Ankleben von}} {{math|term= n}}-Zellen an {{math|term= X}}. Die Abbildung {{math|term= f}} ist die {{Definitionswort|Anklebe-Abbildung|SZ=.}} Allgemeiner sagt man, eine Abbildung {{math|term= g\colon X\rightarrow Y}} entsteht durch Ankleben von {{math|term= n}}-Zellen, wenn es eine stetige Abbildung {{ Abbildung/display |name= f | \coprod_{j\in J} \partial D^n | X || |SZ= }} und eine topologische Äquivalenz {{math|term= h\colon Y \xrightarrow{\cong} X \cup_{f} \coprod_{j\in J} D^n}} derart gibt, dass {{math|term= h\circ g}} die kanonische Abbildung {{math|term= X \hookrightarrow X \cup_{f} \coprod_{j\in J} D^n}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ankleben von {{math|term= n}}-Zellen |Definitionswort2= Anklebe-Abbildung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r3mh3swfdy7o5k3jykh0zm159ig2mhc 0 21342 1104713 1039132 2026-06-18T12:14:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104713 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display | {{op:Projektiver Raum| n | K}} \setminus \{ (1,0 {{kommadots|}} 0) \} | {{op:Projektiver Raum|n-1|K}} | {{tupel01n| x}} | (x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=, }} heißt {{Definitionswort|die Projektion weg vom Punkt|msw=Projektion weg vom Punkt|SZ=}} {{mathl|term= (1,0 {{kommadots|}} 0) |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Projektion weg von Punkt |Definitionswort2= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efl06ffyt47k1s66g7u22o3leekwru3 0 22035 1104754 1039396 2026-06-18T12:21:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104754 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ=. }} Ein {{Definitionswort|Skalarprodukt|SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} ist eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= |V \times V | \R | (v,w)| {{op:Skalarprodukt| v |w}} |SZ=, }} mit folgenden Eigenschaften: {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| \lambda_1x_1+\lambda_2x_2 | y}} || \lambda_1 {{op:Skalarprodukt| x_1 | y}} + \lambda_2 {{op:Skalarprodukt| x_2 | y}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | \lambda_1,\lambda_2 | \in | \R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | x_1,x_2 | \in | V || || || |SZ= }} und ebenso in der zweiten Komponente. |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| v |w}} || {{op:Skalarprodukt| w |v}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |v,w | \in | V || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{op:Skalarprodukt| v |v}} | \geq | 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Skalarprodukt| v |v}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette |v || 0 || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Skalarprodukt |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bw2k9yvbecofv8ebammb32ejw7hr7yi 0 22133 1104695 1079406 2026-06-18T12:11:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104695 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche Menge und {{math|term=\sigma|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Es seien {{mathl|term= Z_1 {{kommadots|}} Z_k |SZ=}} die Wirkungsbereiche der {{ Definitionslink |Zyklen| |Kontext=Permutation |SZ= }} von {{math|term= \sigma |SZ=}} mit {{ Relationskette | n_i || {{op:Anzahl|Z_i }} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | x_i | \in | Z_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | Z_i || \{ x_i, \sigma(x_i) {{kommadots|}} \sigma^{n_i-1}(x_i)\} || || || |SZ=. }} Dann nennt man {{ Math/display|term= \langle x_1, \sigma(x_1) {{kommadots|}} \sigma^{n_1-1}(x_1) \rangle \langle x_2, \sigma(x_2) {{kommadots|}} \sigma^{n_2-1}(x_2) \rangle \cdots \langle x_k, \sigma(x_k) {{kommadots|}} \sigma^{n_k-1}(x_k) \rangle |SZ= }} die {{Definitionswort|Zyklendarstellung|SZ=}} von {{math|term= \sigma |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zyklendarstellung |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zes5okccfoan9f1pznazbazebatsip 0 22224 1104637 1038605 2026-06-18T12:02:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104637 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{ Relationskette |R | \subseteq | M \times M || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Relation| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Man nennt {{math|term= R |SZ=}} {{ Auflistung4 | {{Definitionswort|reflexiv|SZ=,}} wenn {{ Relationskette |(x,x) | \in | R || || || |SZ= }} gilt für alle {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} | {{Definitionswort|transitiv|SZ=,}} wenn für beliebige {{ Relationskette | x,y,z | \in | M || || || |SZ= }} aus {{ mathkor|term1= (x,y) \in R |und aus|term2= (y,z) \in R |SZ= }} stets {{ Relationskette |(x,z) | \in | R || || || |SZ= }} folgt. | {{Definitionswort|symmetrisch|SZ=,}} wenn für beliebige {{ Relationskette | x,y | \in | M || || || |SZ= }} aus {{ Relationskette |(x,y) | \in | R || || || |SZ= }} auch {{ Relationskette |(y,x) | \in | R || || || |SZ= }} folgt. | {{Definitionswort|antisymmetrisch|SZ=,}} wenn für beliebige {{ Relationskette | x,y | \in | M || || || |SZ= }} aus {{ mathkor|term1= (x,y) \in R |und|term2= (y,x) \in R |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette | x || y || || || |SZ= }} folgt. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Relationseigenschaften |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwsgzw41zj7e9nlrlhov8jcxcuqqyqs 0 22363 1104801 1039782 2026-06-18T12:28:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104801 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} Mengen. Eine {{Definitionswort|Abbildung|SZ=}} {{math|term= F |SZ=}} von {{math|term= L |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=}} ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge {{math|term= L |SZ=}} genau ein Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} zugeordnet wird. Das zu {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} eindeutig bestimmte Element wird mit {{mathl|term= F(x) |SZ=}} bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch {{ Abbildung/display |name=F | L | M | x | F(x) |SZ=, }} aus. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Abbildung |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Mapping |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rs3i8e9wyca51c5ljbkml5nhsyionmm 0 22364 1104802 1039784 2026-06-18T12:28:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104802 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Abbildung/Situation|SZ=.}} Dann heißt {{math|term= F |SZ=}} {{ Auflistung3 | {{Definitionswort|injektiv|SZ=,}} wenn für je zwei verschiedene{{{zusatz1|}}} Elemente {{ Relationskette | x,x' | \in | L || || || |SZ= }} auch {{ mathkor|term1= F(x) |und|term2= F(x') |SZ= }} verschieden sind. | {{Definitionswort|surjektiv|SZ=,}} wenn es für jedes {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} mindestens ein Element {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |F(x) || y || || || |SZ= }} gibt. | {{Definitionswort|bijektiv|SZ=,}} wenn {{math|term= F |SZ=}} sowohl injektiv als auch surjektiv ist. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Injektiv Surjektiv Bijektiv |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Injektive surjektive bijektive |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qkby6hh78u9dyx4rkq8mnjc6jnxcd3b 0 22457 1104708 978272 2026-06-18T12:13:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104708 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien zwei Mengen {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} gegeben. Dann nennt man die Menge {{ Relationskette/display | L \times M || {{Mengebed|(x,y)| x \in L| y \in M}} || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Produktmenge|SZ=}}{{{zusatz1|}}} der beiden Mengen. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Produktmenge |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Cartesian product |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h7h6u7o17zpb8y08ey9gamzvsx1f1bc 0 23158 1104693 1038997 2026-06-18T12:11:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104693 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Permutation1n/Situation|SZ=.}} Dann heißt die Zahl {{ Relationskette/display | {{op:Signum| \pi}} || {{signumalsprodukt| i | j | \pi}} || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|Signum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder das {{Definitionswort|Vorzeichen|SZ=}} | |SZ= }} der Permutation {{math|term=\pi|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Signum |Definitionswort2=Vorzeichen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajwl9emnht9j7omigu6p7es6u5tdefr 0 23387 1104694 1038999 2026-06-18T12:11:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104694 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Der {{Definitionswort|Wirkungsbereich|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Permutation| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\sigma | M | M || |SZ= }} ist die Menge {{ Math/display|term= {{Mengebed| x \in M| \sigma(x) \neq x}} |SZ=. }} Er besteht also aus allen Punkten, die von {{math|term=\sigma|SZ=}} nicht fest gelasssen werden. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Wirkungsbereich |Definitionswort2= |Stichwort=Wirkungsbereich |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzafbgx7fy5laj7qb3i1kl11o6zw9ra 0 23832 1104612 1038272 2026-06-18T11:59:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104612 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} und {{ Abbildung/display |name=f | V | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Fahne| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Fahne/Definition |SZ= }} {{ Relationskette/display | 0 || V_0 | \subset | V_1 | {{subsetdots|}} | V_{n-1} | \subset | V_n |V |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath=f |invariant| |msw=Invariante Fahne |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | f(V_i) | \subseteq | V_i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 0,1 {{kommadots|}} n-1,n || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3=Theorie der Fahnen von Untervektorräumen |Objektkategorie= |Definitionswort=Invariante Fahne |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8igzjb9cw4zegsm4cylcoh3lqxuaqfl 0 24795 1104853 1040324 2026-06-18T12:37:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104853 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Zahl {{ Relationskette |z | \in | {{CC}} | \cong|E || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|konstruierbar|SZ=|msw=konstruierbare Zahl}} oder {{Definitionswort|konstruierbare Zahl|SZ=,}} wenn sie aus der Startmenge {{ Relationskette | \{0 , 1 \} | \subset | \R | \subset| {{CC}} || || |SZ= }} {{ Definitionslink |mit Zirkel und Lineal konstruierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zirkel und Lineal/Konstruierbar aus Startmenge/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konstruierbare Zahl |Definitionswort2= |Stichwort=Konstruierbar |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4nt7ist8ibjub8mtykdh8qk9x3lncy 0 25372 1104826 1040134 2026-06-18T12:32:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104826 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Körper Vektorraum/Situation|SZ=.}} Dann heißt eine Familie {{ mathbed|term= v_i \in V ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{Definitionswort|Erzeugendensystem|SZ=}} von {{math|term= V |SZ=,}} wenn man jeden Vektor {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} als{{{zusatz1|}}} {{ Relationskette/display |v || \sum_{j \in J} {{skalar|}}_j v_j || || || |SZ= }} mit einer endlichen Teilfamilie {{ Relationskette |J | \subseteq | I || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | {{skalar|}}_j | \in | K || || || || |SZ= }} darstellen kann. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Erzeugendensystem |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Spanning system |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rya821k264fdtz7gc7i6txuhak121l 0 27082 1104632 1038572 2026-06-18T12:02:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104632 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= I |SZ=}} und {{math|term= M |SZ=}} Mengen. Dann nennt man eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=x | I | M | i | x_i |SZ=, }} auch ein {{math|term= I |SZ=-}}{{Definitionswort|Tupel|SZ=}} in {{math|term= M |SZ=.}} Bei {{mathl|term= I=\{1{{kommadots|}}n\} |SZ=}} spricht man von einem {{math|term= n |SZ=-}}{{Definitionswort|Tupel|SZ=}} in {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Tupel |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ifjjy87tg2ej1nwv9df377ijqnnwgjm 0 27099 1104835 1040206 2026-06-18T12:34:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104835 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\circ |M \times M|M |(x,y)| x \circ y |SZ=, }} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} heißt {{Definitionswort|kommutativ|SZ=,}} wenn für alle {{ Relationskette | x,y | \in | M || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | x \circ y || y \circ x || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kommutative Verknüpfung |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Commutative operation |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfdd5q9xtdz3k7bau8vlgkv3k7nxf1y 0 27100 1104833 1040202 2026-06-18T12:33:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104833 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\circ |M \times M|M |(x,y)| x \circ y |SZ=, }} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} heißt {{Definitionswort|assoziativ|SZ=,}} wenn für alle {{ Relationskette | x,y,z | \in | M || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | (x \circ y ) \circ z || x \circ (y \circ z) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Assoziative Verknüpfung |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Associative operation |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d0woq489rnwxbjovem5ng4o0yarabjk 0 27101 1104836 1040208 2026-06-18T12:34:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104836 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Menge {{math|term= M |SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\circ |M \times M|M |(x,y)| x \circ y |SZ=, }} gegeben. Dann heißt ein Element {{ Relationskette |e | \in | M || || || |SZ= }} {{Definitionswort|neutrales Element|SZ=}} der Verknüpfung, wenn für alle {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette | x \circ e || x || e \circ x || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Neutrales Element| |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Neutral element |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} je19yz9qdetxsr61yeudjb0thh7ugnq 0 27123 1104641 1091310 2026-06-18T12:03:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104641 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= M_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Familie von Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition |SZ= }} einer Grundmenge {{math|term= G |SZ=.}} Dann heißt {{ Relationskette/display | \bigcap_{i \in I} M_i || {{Mengebed| x \in G| x \in M_i \text{ für alle } i \in I }} || || || |SZ= }} der {{Definitionswort|Durchschnitt der Mengen|SZ=}} und {{ Relationskette/display | \bigcup_{i \in I} M_i || {{Mengebed| x \in G|\text{es gibt ein } i \in I \text{ mit } x \in M_i }} || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Vereinigung der Mengen|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Durchschnitt und Vereinigung von Mengenfamilien |Definitionswort2=Vereinigung der Mengen| |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xr4cir4sll8xo8cai1kw36x5i4x2x8 0 27374 1104834 1076970 2026-06-18T12:34:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104834 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Menge {{math|term= M |SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\circ |M \times M|M |(x,y)| x \circ y |SZ=, }} und einem {{ Definitionslink |neutralen Element| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |e | \in | M || || || |SZ= }} gegeben. Dann heißt zu einem Element {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ= }} ein Element {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} {{Definitionswort|inverses Element|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{math|term= x |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn die Gleichheit {{ Relationskette/display | x \circ y || e || y \circ x || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Inverses Element |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkfo2dpkn4v6vg2b01trecs9tv0va76 0 27408 1104689 1038977 2026-06-18T12:10:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104689 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (I,\preccurlyeq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette | x | \in | I || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|maximal|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= I |SZ=}} | |SZ= }} oder ein {{Definitionswort|maximales Element|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= I |SZ=}} | |SZ=, }} wenn es kein Element {{ mathbed|term= y \in I ||bedterm1= y \neq x ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette | x | \preccurlyeq | y || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Maximales Element |Definitionswort2=Maximal |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lbj01f84b0m0f35nk28rnq8fbqyh25k 0 27409 1104690 1038979 2026-06-18T12:10:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104690 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (I,\preccurlyeq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette | x | \in | I || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|minimal|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= I |SZ=}} | |SZ= }} oder ein {{Definitionswort|minimales Element|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= I |SZ=}} | |SZ=, }} wenn es kein Element {{ mathbed|term= y \in I ||bedterm1= y \neq x ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette | y | \preccurlyeq| x || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Minimum |Definitionswort2=Minimales Element |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9s8evo6778qand1bbuq0cfpet6f4zq 0 27479 1104691 1038983 2026-06-18T12:11:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104691 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Ordnungsrelation| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=\preccurlyeq|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= I |SZ=}} heißt {{Definitionswort|lineare Ordnung}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Definitionswort|totale Ordnung}} | |SZ=, }} wenn zu je zwei Elementen {{ Relationskette | x,y | \in | I || || || |SZ= }} die Beziehung {{ mathkor|term1= x \preccurlyeq y|oder|term2= y \preccurlyeq x |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lineare Ordnung |Definitionswort2=Totale Ordnung |Definitionswort/englisch=Linear order |Stichwort=Linear |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnm99lv65w6iehpud6j63i5lb23gv6x 0 28462 1104643 977607 2026-06-18T12:03:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104643 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zwei Mengen {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} heißen {{Definitionswort|disjunkt|SZ=,}} wenn ihr {{ Definitionslink |Durchschnitt| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |L \cap M || \emptyset || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Disjunkte Mengen |Definitionswort2= |Stichwort=Disjunkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lcib5ba12degmaqcw7t9wp2nl4d6jq7 0 28463 1104647 1038656 2026-06-18T12:04:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104647 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu Mengen {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} heißt {{ Relationskette/display | L \cap M || {{Mengebed| x | x \in L \text{ und } x \in M}} | || || || |SZ= }} der {{Definitionswort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Definitionswort|Schnittmenge|SZ=}} | |ESZ= }} der beiden Mengen. |Textart=Definition |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Durchschnitt |Definitionswort2=Schnittmenge |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oj2hafliiqgz1b5o086hldqjafp4h02 0 28464 1104648 1038659 2026-06-18T12:04:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104648 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu zwei Mengen {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} heißt {{ Relationskette/display | L \cup M || {{Mengebed| x | x \in L \text{ oder } x \in M}} || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Vereinigung|SZ=}} der beiden Mengen. |Textart=Definition |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Vereinigung |Definitionswort2= |Stichwort=Vereinigung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eq2ru3aicj5uyx55tfmb5ap4thlpvzw 0 28931 1104614 1091264 2026-06-18T11:59:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104614 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{ Relationskette | a_1 {{kommadots}} a_n | \in| K || || || || |SZ=. }} Dann nennt man {{ Relationskette/display | a_1x_1 +a_2x_2 {{plusdots|}} a_nx_n || 0 || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=homogene| |ISZ=|ESZ= }} {{Definitionswort|lineare Gleichung|SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= x_1 {{kommadots}} x_n |SZ=}} zu den Koeffizienten {{ mathbed|term= a_j ||bedterm1= j=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=. }} Ein Tupel{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Der {{math|term= K^n |SZ=}} ist der {{math|term= n |SZ=-}}fache Produktraum von {{math|term= K |SZ=}} mit sich selbst. Lösungstupel werden wir häufig einfach auch mit {{mathl|term= {{op:Zeilentupel| x_1 | \ldots| x_n }} |SZ=}} bezeichnen| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= ( \xi_1 {{kommadots}} \xi_n) \in K^n |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Lösung der linearen Gleichung|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | \sum_{j {{=|}} 1}^n a_j\xi_j || 0 || || || |SZ= }} ist. Wenn {{ Relationskette |c | \in | K || || || |SZ= }} ein weiteres Element ist, so heißt {{ Relationskette/display | a_1x_1 +a_2x_2 {{plusdots|}} a_nx_n || c || || || |SZ= }} eine {{Definitionswort|inhomogene lineare Gleichung|SZ=}} und ein Tupel {{mathl|term= ( \zeta_1 {{kommadots}} \zeta_n) \in K^n |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Lösung der inhomogenen linearen Gleichung|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | \sum_{j {{=|}} 1}^n a_j \zeta_j || c || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=(In)homogene lineare Gleichung |Definitionswort2=Lösung einer (in)homogenen linearen Gleichung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qoguau1n363txqliteaqlrlqokglfv5 0 28933 1104615 1038359 2026-06-18T11:59:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104615 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{ Relationskette | a_{ij} | \in | K || || || |SZ= }} für {{ mathkor|term1= 1 \leq i \leq m |und|term2= 1 \leq j \leq n |SZ=. }} Dann nennt man {{ Math/display|term= {{Lineares Gleichungssystem| a | x | m | n |}} |SZ= }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=homogenes| |ISZ=|ESZ= }} {{Definitionswort|lineares Gleichungssystem|SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= x_1 {{kommadots}} x_n |SZ=.}} Ein Tupel {{ Relationskette | ( \xi_1 {{kommadots}} \xi_n) | \in | K^n || || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Lösung des linearen Gleichungssystems|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | \sum_{j {{=|}} 1}^n a_{ij } \xi_j || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |i || 1 {{kommadots|}} m || || || |SZ= }} ist. Wenn {{ Relationskette | (c_1 {{kommadots}} c_m) | \in | K^m || || || |SZ= }} beliebig{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Ein solcher Vektor heißt manchmal ein {{Stichwort|Störvektor|SZ=}} des Systems| |ISZ=.|ESZ= }} ist, so heißt {{ Math/display|term= {{Lineares Gleichungssystem inhomogen| a | x | m | n |c}} |SZ=}} ein {{Definitionswort|inhomogenes lineares Gleichungssystem|SZ=}} und ein Tupel {{ Relationskette | ( \zeta_1 {{kommadots}} \zeta_n) | \in | K^n || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | \sum_{j {{=|}} 1}^n a_{ij} \zeta_j || c_i || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lineares Gleichungssystem |Definitionswort2=Inhomogenes lineares Gleichungssystem |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6cb4aev514uwm1ah3qv6hzgsa6wrcv 0 31189 1104662 1038744 2026-06-18T12:06:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104662 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum/Situation|SZ=.}} Eine Teilmenge {{ Relationskette |U | \subseteq | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|offen|msw=Offene Menge}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{mathlk|term=({{{M|M}}},d) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn für jedes {{ Relationskette | x | \in | U || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Offener Ball| x | \epsilon}} | \subseteq | U || || || |SZ= }} existiert. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Offene Menge in einem metrischen Raum |Definitionswort2=Offen |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bypjiwx1j29jwg8f07wli12qlanqmtx 0 31205 1104660 1038735 2026-06-18T12:06:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104660 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=mr| |SZ= }} in {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=.}} Man sagt, dass die Folge gegen {{ Relationskette | x | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} {{Definitionswort|konvergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in \R ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es ein {{ Relationskette |n_0 | \in |\N || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Relationskette |n | \geq |n_0 || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Abstand| x_n | x}} | \leq | \epsilon || || || || |SZ= }} gilt. In diesem Fall heißt {{math|term= x |SZ=}} der {{Definitionswort|Grenzwert|SZ=}} oder der {{Definitionswort|Limes|SZ=}} der Folge. Dafür schreibt man auch {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|}} || x || || || |SZ=. }} Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie {{Definitionswort|konvergiert|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug auf einen Grenzwert| |ISZ=|ESZ=, }} andernfalls, dass sie {{Definitionswort|divergiert|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konvergente Folge (metrischer Raum) |Definitionswort2=Limes |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdvv1flizjnn03omtlyi2wuhl6z62ad 0 31208 1104664 1038756 2026-06-18T12:07:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104664 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Teilmenge| |SZ= }} {{ Relationskette |T | \subseteq | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} eines {{ Definitionslink |metrischen Raumes| |SZ= }} {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}} heißt {{Definitionswort|beschränkt|SZ=,}} wenn es eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |SZ= }} {{math|term= b |SZ=}} mit {{ Math/display|term= {{op:Abstand| x | y}} \leq b \text { für alle } x,y \in T |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Beschränkte Teilmenge |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbo0gdz4lv7qv9zdcqs53ag4p1e35m8 0 31386 1104755 1039400 2026-06-18T12:21:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104755 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{ Abbildung/display |name=f | M |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=|msw=Abbildung| |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} in einem Punkt {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|Maximum|msw=Maximum (Funktion) |SZ=}} annimmt, wenn {{ Math/display|term= f(x) \geq f(x') \text { für alle } x' \in M \text{ gilt} |SZ=, }} und dass {{math|term= f |SZ=}} das {{Definitionswort|Minimum|msw=Minimum (Funktion) |SZ=}} annimmt, wenn {{ Math/display|term= f(x) \leq f(x') \text { für alle } x' \in M \text{ gilt} |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Maximum und Minimum |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Maximum |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22ocqcvx9su1wc8hef1fn61bchouw49 0 31493 1104659 1038732 2026-06-18T12:06:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104659 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum/Folge/Situation|SZ=.}} Ein Punkt {{ Relationskette | x | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Häufungspunkt|SZ=}} der Folge, wenn es für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} unendlich viele Folgenglieder {{math|term= x_n |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Abstand| x_n | x}} | \leq | \epsilon || || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Häufungspunkt |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwkdoc9u5c563tbnp4cknq1slsqjzom 0 31515 1104665 1091329 2026-06-18T12:07:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104665 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Ein Punkt {{ Relationskette | x | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Randpunkt|SZ=}} von {{math|term= T |SZ=,}} wenn für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} der offene Ball {{ Math/display|term= {{op:Offener Ball| x | \epsilon}} |SZ= }} sowohl Punkte aus {{math|term= T |SZ=}} als auch Punkte aus {{mathl|term= {{{M|M}}} \setminus T |SZ=}} enthält. Die Menge aller Randpunkte von {{math|term= T |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Rand|SZ=}} von {{math|term= T |SZ=,}} geschrieben {{math|term= {{op:Rand| T |}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rand| |Definitionswort2= |Stichwort=Rand| |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aswiz40bwje3vle1dbqfyafrt2fe90p 0 31673 1104642 1091311 2026-06-18T12:03:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104642 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |T | \subseteq | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} in einer Menge {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}} heißt {{ Relationskette/display | {{{M|M}}} \setminus T || {{Mengebed| x \in {{{M|M}}} | x \not\in T}} || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|Komplement|SZ=}} von {{math|term= T |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Komplement |Definitionswort2= |Stichwort=Komplement |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lmkvgfd3u840oborilnv5dbbcnbgy38 0 31675 1104630 1038566 2026-06-18T12:01:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104630 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge. Eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\N|M | n | x_n |SZ=, }} nennt man auch eine {{Definitionswort|Folge|SZ=}} in {{math|term= M |SZ=.}} |Notationszusatz{{{zusatz1|}}}=Eine Folge wird häufig in der Form {{ Math/display|term= {{Folge| x}} |SZ= }} geschrieben. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Folge |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Sequence |Stichwort=Folge |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpi4mglyz7vvpkndf6xycodb75sap6i 0 31744 1104663 1091328 2026-06-18T12:06:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104663 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Ein Punkt {{ Relationskette | {{{a|a}}} | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Berührpunkt|SZ=}} von {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=,}} wenn zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} der Durchschnitt {{ Relationskette/display | {{{T|T}}} \cap {{op:Offener Ball| {{{a|a}}} | \epsilon}} | \neq| \emptyset || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Berührpunkt |Definitionswort2= |Stichwort=Berührpunkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9l88i3p5o3k341vajx0an43r2yfub0d 0 31748 1104650 1091318 2026-06-18T12:04:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104650 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum Teilmenge Berührpunkt/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | T | {{{L|L}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} in einen weiteren metrischen Raum {{math|term= {{{L|L}}} |SZ=.}} Dann heißt {{ Relationskette | {{{b|b}}} | \in | {{{L|L}}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionswort |Grenzwert| |msw=Grenzwert (Abbildung) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionswort |Limes| |msw=Limes (Abbildung) |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= {{{f|f}}} |SZ=}} in {{math|term= a |SZ=,}} wenn es für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes {{ Relationskette | x | \in | {{op:Abgeschlossener Ball| a | \delta}} \cap T || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{{f|f}}} (x) | \in | {{op:Abgeschlossener Ball| {{{b|b}}} | \epsilon}} || || || |SZ=. }} In diesem Fall schreibt man {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| x | a | {{{f|f}}}(x)|}} ||b || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Grenzwert einer Abbildung |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o5x71nraz3jqjsond69720ljew0v2yf 0 31766 1104655 1091324 2026-06-18T12:05:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104655 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrische Räume Abbildung/Situation|SZ=.}} Dann heißt {{math|term= f |SZ=}} {{Definitionswort|gleichmäßig stetig|SZ=,}} wenn es zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle {{ Relationskette | x,x' | \in | L || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Abstand| x | x'}} | \leq | \delta || || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} | \leq | \epsilon || || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Gleichmäßig stetig |Definitionswort2= |Stichwort=Gleichmäßig |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqjuwv9gum4argw9ska3ki4xja96wzp 0 31836 1104653 1038695 2026-06-18T12:05:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104653 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrische Räume Abbildung/Situation|SZ=.}} Die Abbildung heißt {{Definitionswort|Lipschitz-stetig|SZ=,}} wenn es eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |SZ= }} {{ Relationskette | c | \geq | 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Abstand|f(x)|f(y)}} | \leq | c \cdot {{op:Abstand| x | y}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x,y | \in | L || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lipschitz-stetig |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4ou539hwuvl4130gg2wiio0hed1ufv 0 31842 1104651 1091320 2026-06-18T12:05:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104651 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrische Räume Abbildung/Situation|SZ=.}} Dann heißt {{math|term= f |SZ=}} {{Definitionswort|stark kontrahierend|SZ=,}} wenn es eine nichtnegative {{ Definitionslink |reelle Zahl| |SZ= }} {{ Relationskette | c | < | 1 || || || |SZ= }} gibt mit {{ Relationskette/display | {{op:Abstand|f(x)|f(y)}} | \leq | c \cdot {{op:Abstand| x | y}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x,y | \in | L || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Definitionswort=Stark kontrahierend |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqlqfwxiktbmq4f2xj1hqq795q2vnss 0 33898 1104616 1038371 2026-06-18T11:59:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104616 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |SZ= }} der Form {{ Relationskette/display | y' || g(t)y || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= I |SZ=}} reelles Intervall| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name=g | I |\R | t |g(t) |SZ=, }} heißt {{Definitionswort|gewöhnliche homogene lineare eindimensionale 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heißt {{Definitionswort|inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Inhomogeneous linear ordinary differential equation |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2thvs08ldnyshph2lfbzwfsocdvy41 0 34192 1104749 1039368 2026-06-18T12:20:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104749 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu reellen Zahlen {{ Relationskette | a,b | \in |\R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a | \leq | b || || || |SZ= }} heißt {{ Relationskette/display | [a,b] || {{Mengebed| x \in \R| x \geq a \text{ und } x \leq b}} || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|kompakte Intervall|msw=Kompaktes Intervall|SZ=}} mit den Grenzen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kompaktes Intervalle |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p91e54n7lzkez4t5zdxom98569oc419 0 34223 1104766 1039442 2026-06-18T12:22:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale normierte Vektorräume, {{ Relationskette |G | \subseteq | V || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge, und {{ Abbildung |name= {{{f|f}}} | G | W || |SZ= }} eine Abbildung. Weiter sei {{ Relationskette |P | \in | G || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Dann heißt {{math|term= {{{f|f}}} |SZ=}} {{Definitionswort|differenzierbar in {{math|term= P |SZ=}} in Richtung|msw=differenzierbar in eine Richtung|SZ=}} {{math|term= v |SZ=,}} falls der {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb mr| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes| s | 0, s \neq 0}} \frac{ {{{f|f}}}(P + sv) - {{{f|f}}}(P) } {s} |SZ= }} existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert {{Definitionswort|die Ableitung von {{math|term= {{{f|f}}} |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} in Richtung {{math|term= v |SZ=}} |msw=Richtungsableitung|SZ=.}} Er wird mit {{Math/display|term= {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}} | P |v}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Richtungsableitung in einem Punkt |Definitionswort2=Differenzierbar in eine Richtung |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} dx35x7qxcwbv2i5ezv4922ymqa69r95 0 35639 1104828 1091628 2026-06-18T12:33:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104828 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{op:Norm| -|}} | V |\R | v | {{op:Norm| v |}} |SZ=, }} heißt {{ Definitionswort |Norm| |msw= |SZ=, }} wenn die folgenden Eigenschaften gelten. {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Relationskette | {{op:Norm| v |}} | \geq | 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{op:Norm| v |}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette |v || 0 || || || |SZ= }} ist. |Für {{ Relationskette | \lambda | \in | {{KRC|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm| \lambda v|}} || {{op:Betrag| \lambda|}} \cdot {{op:Norm| v |}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette | v,w | \in | V || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm|v+w|}} | \leq | {{op:Norm| v |}} + {{op:Norm| w |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Norm |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ockde7np4t3pflxby34lps1fz9g8z0j 0 36039 1104675 1038915 2026-06-18T12:08:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104675 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Funktion| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | G | {{KRC|}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |SZ= }} sei, nennt man zu {{ Relationskette | c | \in | {{KRC|}} || || || |SZ= }} die Menge {{ Relationskette/display | N_c || {{Mengebed| x \in G| f(x) {{=|}} c}} || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Niveaumenge|SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=}} zum Wert {{math|term= c |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Niveaumenge |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sjd1sjjh9ow7goa8noshsovrr8ouhbz 0 36230 1104657 1038729 2026-06-18T12:06:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104657 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=mr| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Cauchy-Folge|msw=Cauchy-Folge (Metrischer Raum) |SZ=,}} wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in \R ||bedterm1= \epsilon >0 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es ein {{ Relationskette | n_0 | \in | \N || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Relationskette | n,m | \geq | n_0 || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Abstand| x_n | x_m }} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Cauchy-Folge (metrischer Raum) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} snhgb7dp6cevx335h0d2wq75nddzdhh 0 36487 1104822 1040094 2026-06-18T12:32:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104822 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Situation|SZ=.}} Man sagt, dass das Vektorfeld {{math|term= f |SZ=}} einer {{Definitionswort|Lipschitz-Bedingung|SZ=}} genügt, wenn es eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |L | \geq | 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Norm|f(t,u)-f(t,v)}} | \leq | L \cdot {{op:Norm|u-v}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |t | \in | I || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | u ,v | \in | U || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder |Definitionswort2= |Stichwort=Lipschitz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtdx0hbsuaios4hy9rf0f268fyj8w9e 0 37024 1104717 1091425 2026-06-18T12:15:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104717 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Mengen-Präring| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Dann heißt eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\mu | {{Mengensystem|P}} | {{maßR|}} | T | \mu(T) |SZ=, }} ein {{Definitionswort|Prämaß|SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=,}} wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Für jede {{ Definitionslink |abzählbare Familie| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Definitionslink |paarweise disjunkten| |Kontext=| |SZ= }} Teilmengen {{ mathbed|term= T_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} aus {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=,}} für die {{mathl|term=\bigcup_{i \in I} T_i |SZ=}} ebenfalls zu {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} gehört, gilt {{ Relationskette/display | \mu {{makl| \bigcup_{i \in I} T_i |}} || \sum_{i \in I} \mu(T_i) || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Prämaß |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9vwz8da86qvgidfvgtooa125oxnf4tw 0 37028 1104628 1038533 2026-06-18T12:01:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104628 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Menge {{math|term= M |SZ=,}} auf der eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |Algebra| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} und ein {{ Definitionslink |Maß| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\mu | {{Mengensystem|A}} | {{maßR|}} | T | \mu(T) |SZ=, }} erklärt ist, heißt ein {{Definitionswort|Maßraum|SZ=.}} |Notationszusatz=Man schreibt dafür kurz {{mathl|term= (M, {{Mengensystem|A}},\mu) |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Maßraum |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sb8tog5ck1zhsagqvtanru579tpgtd9 0 37029 1104629 1038557 2026-06-18T12:01:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104629 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und sei {{ mathbed|term= T_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine Folge von Teilmengen in {{math|term= M |SZ=}} mit {{ Relationskette | T_n | \subseteq | T_{n+1} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | T || \bigcup_{n \in \N} T_n || || || |SZ=. }} Dann sagt man, dass diese Folge eine {{Definitionswort|Ausschöpfung|SZ=}} von {{math|term= T |SZ=}} bildet {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= T |SZ=}} ausschöpft| |ISZ=|ESZ=, }} und schreibt dafür {{mathl|term= T_n \uparrow T |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ausschöpfung |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k79slhdq8evty415xd5xng72vev3vo4 0 37041 1104718 1091427 2026-06-18T12:15:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104718 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Dann heißt eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\mu | {{Mengensystem|P}} | {{maßR|}} | T | \mu(T) |SZ=, }} ein {{Definitionswort|äußeres Maß|SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=,}} wenn folgende Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung2 |Für je zwei Mengen {{ mathbed|term= S,T \in {{Mengensystem|P}} |mit|bedterm1= S \subseteq T ||bedterm2= |SZ= }} gilt {{ Relationskette | \mu(S) | \leq | \mu(T) || || || |SZ=. }} |Für jede {{ Definitionslink |abzählbare Familie| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Definitionslink |paarweise disjunkten| |Kontext=| |SZ= }} Teilmengen {{ mathbed|term= T_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} aus {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=,}} für die {{mathl|term=\bigcup_{i \in I} T_i |SZ=}} ebenfalls zu {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} gehört, gilt {{ Relationskette/display | \mu {{makl| \bigcup_{i \in I} T_i |}} | \leq | \sum_{i \in I} \mu {{makl| T_i |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Äußeres Maß |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odlymqn8k25o0p3faxsw0nr8e6xlgeo 0 37237 1104777 1091500 2026-06-18T12:24:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104777 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= (\R^n, {{Borelalgebra|dim=n}} ) |SZ=}} heißt {{Definitionswort|translationsinvariant|SZ=,}} wenn für alle {{ Definitionslink |messbaren Teilmengen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq \R^n |SZ=}} und alle Vektoren {{mathl|term= v \in \R^n |SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | \mu(T) || \mu(T+v) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Translationsinvariantes Maß |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2j61eicmn8f4ci4vc0h7hlg6b3lqx2 0 37280 1104673 1091356 2026-06-18T12:08:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104673 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{ Abbildung/display |name=f | M | {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |nichtnegative Funktion| |SZ=. }} Dann nennt man die Menge {{ Relationskette/display | S(f) || {{Mengebed|(x,y) \in M \times {{op:abschlussnum|\R|}} | 0 \leq y \leq f(x)}} || || || |SZ= }} den {{Definitionswort|Subgraphen|msw=Subgraph|SZ=}} der Funktion. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Subgraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4kfihke8eoq8vmp2dkjppgbivl9e8y 0 37286 1104784 1091529 2026-06-18T12:25:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104784 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Sigmaendlicher Maßraum/Messbare numerische nichtnegative Funktion/Situation|SZ=.}} Dann heißt {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß| f | M | \mu}} | {{defeq}} | {{makl| \mu \otimes \lambda^1 |}} (S(f)) || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|Integral|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} über {{math|term= M |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Maß {{math|term=\mu|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lebesgue-Integral |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qdu1vfvkuu7bbdkxkyte83b67fst56 0 37569 1104704 1039093 2026-06-18T12:13:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104704 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Präwort/klammer=C^k |differenzierbare Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Atlanten| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= (U_i,U_i',\alpha_i, i \in I) |und|term2= (V_j,V_j',\beta_j, j \in J) |SZ=. }} Dann nennt man den {{ Definitionslink |Produktraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \times N |SZ=}} mit den {{ Definitionslink |Karten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\alpha_i \times \beta_j |U_i \times V_j | U_i' \times V_j' || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | (i,j) | \in | I \times J || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | U_i' \times V_j' | \subseteq | \R^m \times \R^n || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} das {{Definitionswort|Produkt der Mannigfaltigkeiten|SZ=}} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Produkt von Mannigfaltigkeiten |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1xmol7497dq9z0yy1wd55ruio929j0 0 37591 1104623 1038467 2026-06-18T12:00:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104623 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |SZ=. }} Eine {{ Definitionswort |Prämath=k |Differentialform| |msw= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= k |SZ=-}}{{Definitionswort|Form|SZ=}} oder {{Definitionswort|Form vom Grad|SZ=}} {{math|term= k |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Schnitt| |Kontext=Vektorbündel| |SZ= }} im {{math|term= k |SZ=-}}fachen {{ Definitionslink |Dachprodukt| |SZ= }} des {{ Definitionslink |Kotangentialbündels| |SZ=, }} also eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\omega | M | \bigwedge^k T^*M | P | \omega(P) |SZ=, }} mit {{ Relationskette | \omega(P) | \in | \bigwedge^k T_P^*M || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Differentialformen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Differentialform vom Grad {{math|term= k |SZ=}} |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mt1sm9p4niam3tcj555w7fgrlioit5 0 37604 1104622 1038464 2026-06-18T12:00:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104622 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n|dimensionale| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |abzählbaren Basis der Topologie| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term=\omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive Volumenform| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Dann heißt die für jede {{ Definitionslink |Borelmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |abzählbare| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Zerlegung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | T || \biguplus_{i \in I} T_i || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{ Relationskette/k | T_i | \subseteq | U_i || || || |SZ= }} ein offenes Kartengebiet und {{ Relationskette/k | \alpha_{i*} \omega || f_i dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ= }} definierte Zahl {{ Relationskette/display | {{op:Integralform| \omega|T}} || \sum_{i \in I} {{op:Integralmaß|f_i |\alpha_i(T_i)| \lambda^n }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aus {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} das {{Definitionswort|Maß|msw=Volumenmaß|SZ=}} von {{math|term= T |SZ=}} zu {{math|term=\omega |SZ=}} oder das {{Definitionswort|Integral|SZ=}} von {{math|term=\omega|SZ=}} über {{math|term= T |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Integration von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Volumenmaß zu positiver Form |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kaf1sokiavxldhsknzsnm63mdg01x0l 0 37876 1104621 1038461 2026-06-18T12:00:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104621 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | k | \in | {{op:abschlussnum|\N|}}_+ || || || |SZ=. }} Ein {{ Definitionslink |topologischer| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Hausdorff-Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer {{ Definitionslink |offenen Überdeckung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | M || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |Karten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\alpha_i |U_i | V_i || |SZ=, }} wobei die {{ Relationskette | V_i | \subseteq | H | \subset | \R^n || || || |SZ= }} offene Mengen im {{ Definitionslink |euklidischen Halbraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= H |SZ=}} der Dimension {{math|term= n |SZ=}} sind, und mit der Eigenschaft, dass die {{ Definitionslink |Übergangsabbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \alpha_j \circ \alpha_i^{-1} |V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U_j) | V_j \cap \alpha_j(U_i \cap U_j) || |SZ= }} {{math|term= C^k |SZ=-}}{{ Definitionslink |Diffeomorphismen| |Kontext=Rand| |SZ= }} sind, heißt {{math|term= C^k |SZ=-}}{{Definitionswort|Mannigfaltigkeit mit Rand|SZ=}} oder {{Definitionswort|differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vom Grad {{math|term= k |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} oder {{Definitionswort|berandete Mannigfaltigkeit|SZ=.}} |Zusatz=Die Menge der Karten {{ mathbed|term= (U_i,\alpha_i) ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man auch den {{math|term= C^k |SZ=-}}{{Definitionswort|Atlas|SZ=}} der berandeten Mannigfaltigkeit. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand |Definitionswort2=Atlas |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qe7pempe9t2to8tp6nrk1vt3v7dwgc3 0 37877 1104620 1091283 2026-06-18T12:00:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104620 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist der {{Definitionswort|Rand|msw=Rand (Mannigfaltigkeit) |SZ=}} von {{math|term= M |SZ=,}} geschrieben {{mathl|term=\partial M |SZ=,}} durch {{ Relationskette/display | \partial M || {{Mengebed| x \in M| \alpha_i(x) \in \partial H \cap V_i \text{ für } \text{ein } i \in I }} || || || |SZ= }} definiert, wobei {{math|term= \alpha_i |SZ=}} Karten sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vannbza3w7236pjmw13no7akkfifli 0 37993 1104627 1091300 2026-06-18T12:01:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104627 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Maßraum/Situation|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name=g | M | {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} || |SZ= }} eine nichtnegative {{ Definitionslink |messbare Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Dann nennt man das für jede {{ Definitionslink |messbare Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | \nu(T) | {{defeq}} | {{op:Integralmaß| g | T | \mu}} || || || |SZ= }} definierte Maß auf {{math|term= M |SZ=}} das {{Definitionswort|Maß zur Dichte|SZ=}} {{math|term= g |SZ=.}} Es wird mit {{mathl|term= g \mu|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Dichten (Maßtheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Maß zu einer Dichte |Definitionswort2= |Stichwort=Dichte |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cpus2jcb59dwfziee92rjur0ognp86e 0 38020 1104633 1038575 2026-06-18T12:02:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104633 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= T \subseteq M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Teilmenge| |Kontext=| |SZ=. }} Dann nennt man die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{op:Indikatorfunktion| T |}} | M |\{0,1\} || |SZ=, }} die durch {{ Math/display|term= {{op:Indikatorfunktion| T | 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|| || |SZ= }} für {{ Relationskette | T | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} definierte Maß heißt das {{Definitionswort|Gittermaß|SZ=}} zum Gitterabstand {{math|term=\epsilon|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Gitter |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Gittermaß |Definitionswort2=Gitter |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eevsde1brw4m8v8o1a3mbrg1njwtct7 0 38126 1104839 1091646 2026-06-18T12:34:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104839 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{Mengensystem|E}}, \mu) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Maßtheorie/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition |SZ=. }} Man nennt zwei {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebren| |Kontext=Sigmaalgebra| |SZ= }} {{ Relationskette | {{Mengensystem| A |}}, {{Mengensystem| B |}} | \subseteq | {{Mengensystem| E |}} || || || || |SZ= }} {{Definitionswort|unabhängig|msw=Unabhängige Sigmaalgebren|SZ=,}} wenn für jedes {{ mathkor|term1= A \in {{Mengensystem| A |}} |und jedes|term2= B \in {{Mengensystem| B |}} |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | \mu(A \cap B) || \mu(A) \cdot \mu(B) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Unabhängigkeit (Wahrscheinlichkeitstheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Unabhängige Sigmaalgebren |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oge7efzvqixrvinfusx3ixabzs9er98 0 38151 1104626 1038527 2026-06-18T12:01:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104626 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |Algebra| |Kontext=Sigmaalgebra| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Dann heißt eine {{ Definitionslink |Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\mu | {{Mengensystem|A}} | {{maßR|}} | T | \mu(T) |SZ=, }} ein {{Definitionswort|Maß|SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=,}} wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Für jede {{ Definitionslink |abzählbare Familie| |SZ= }} von {{ Definitionslink |paarweise disjunkten| |SZ= }} Teilmengen {{ mathbed|term= T_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} aus {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | \mu {{makl| \bigcup_{i \in I} T_i |}} || \sum_{i \in I} \mu(T_i) || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Maß |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} liasisfzo5o9igtpcjw42ao29zykmju 0 39136 1104684 1038955 2026-06-18T12:10:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104684 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | M | {{op:abschlussnum|\R}} || |SZ= }} nennt man {{ Relationskette |f_+ || {{op:sup| f | 0}} || || || |SZ= }} den {{Definitionswort|positiven Teil|msw=Positiver Teil|SZ=}} und {{ Relationskette |f_- || - {{op:inf| f | 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{{math|term= j |SZ=-}}te {{Definitionswort|Projektion|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Projektion (Produktmenge) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nmluj7y0ruce3ucbmipji7geyw259s 0 40480 1104735 1091449 2026-06-18T12:18:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104735 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{ mathbed|term= c\in \R ||bedterm1= c \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Die Menge der Punkte {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| xy {{=|}} c}} |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Hyperbel|SZ=.}} Bei {{mathl|term= c=1 |SZ=}} spricht man von der {{Definitionswort|Einheitshyperbel|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der Antiproportionalität |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Definitionswort=Hyperbel |Definitionswort2=Eineitshyperbel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2vea2g46e7xvgcjdvzkvcg6uhjlj83e 0 41253 1104706 1091396 2026-06-18T12:13:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104706 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} heißt die {{ Definitionslink |Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,x)| x \in M}} \subseteq M \times M |SZ= }} der {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=| |SZ= }} die {{Definitionswort|Diagonale|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Diagonale |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhtupv1fhkeb5gd6z5ea04rwp8px8tc 0 41549 1104723 1039232 2026-06-18T12:16:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104723 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|periodisch|msw=Periodische 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|Objektkategorie=Die Standardparabel |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hyfnwunkgcxuxfl0ajmt8hl3idli83d 0 42257 1104841 1091647 2026-06-18T12:35:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104841 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |SZ= }} und {{ Relationskette | \omega | \in | {{symbol:Differentialformen| M | 1}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=1|Differentialform| |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name=\gamma | [a,b] | M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Kurve| |SZ=. }} Dann heißt {{ Relationskette/display | \int_\gamma \omega | {{defeq|}} | {{op:Integralform| \gamma^* \omega| [a,b]}} || {{op:Integral| a | b | Integrand= \omega ( \gamma(t); \gamma'(t))|| t}} || || |SZ= }} das {{Definitionswort|Wegintegral|SZ=}} von {{math|term=\omega|SZ=}} längs {{math|term=\gamma|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Wegintegral |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lks6i1rykwrvp3zljbllcx9eok9kxqj 0 42419 1104796 1091559 2026-06-18T12:27:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104796 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= The {{Definitionswort/-|symmetric Hilbert-Kunz multiplicity|SZ=}} is defined by {{ Relationskette/display | e_{HK}^S (I) || {{lim| q | \infty}} {{op:Bruch| \sum_{m {{=|}} 0}^\infty \operatorname{dim}_K \,(\operatorname{coker} \, \psi_{q,m} ) | \binom{q+n-1}{n} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpdhl91pjcl1dinf4igm3h5goka203l 0 42868 1104812 1039892 2026-06-18T12:30:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104812 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=f | X |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |SZ=. }} Dann heißt der {{ Definitionslink |topologische Abschluss| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Topologischer Abschluss| {{Mengebed| x \in X|f(x) \neq 0}} |}} |SZ= }} der {{Definitionswort|Träger|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der topologischen Räume |Kategorie2=Theorie der reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Träger einer Funktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0k1p8ela2jttu1d3nspxoy6x7v27un6 0 42937 1104809 1039872 2026-06-18T12:29:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104809 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |SZ= }} und {{math|term= V |SZ=}} 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Definitionslink |Permutationsgruppe| |Kontext=| |SZ=. }} Eine Untergruppe {{ Relationskette |H | \subseteq | G || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|transitiv|msw=Transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe|SZ=,}} wenn es zu je zwei Elementen {{ Relationskette | x, y | \in | M |SZ= }} ein {{ Relationskette | \sigma | \in | H || || || |SZ= }} gibt mit {{ Relationskette | \sigma (x) || y || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der transitiven Untergruppen von Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0g20hjiurxnscikzsl4intxrz9khboi 0 45325 1104722 1039230 2026-06-18T12:16:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104722 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|gerade|msw=Gerade Funktion|SZ=,}} wenn für alle {{ Relationskette | x | \in |\R || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | f(x) || f(-x) || || || |SZ= }} gilt. Eine Funktion {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|ungerade|msw=Ungerade Funktion|SZ=,}} wenn für alle {{ Relationskette | x | \in | \R || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | f(x) || -f(-x) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Gerade Funktion |Definitionswort2=Ungerade Funktion |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndnxf2bkxbajcsqgf9de0n3n9kofe33 0 45633 1104720 1091433 2026-06-18T12:15:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104720 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | x |f(x) |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |SZ= }} und {{mathl|term= x\in \R|SZ=.}} Die Funktion {{math|term= f}} heißt {{Definitionswort|stetig in|msw=Stetig in einem Punkt}} {{math|term= x |SZ=,}} wenn für jedes {{mathl|term= \epsilon >0}} ein {{mathl|term= \delta > 0}} derart existiert, dass {{ Relationskette/display | f {{makl| \bigl]x-\delta,x+\delta\bigr[ |}} | \subseteq | \bigl]f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon\bigr[ || || || |SZ= }} gilt. Die Abbildung {{math|term= f}} heißt {{Definitionswort|stetig|SZ=,}} wenn sie stetig in {{math|term= x}} für jedes {{mathl|term= x\in \R|SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stetigkeit für reelle Funktionen |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6upfmh5dynp9kxe54flrziwjidpm0am 0 46643 1104644 1038626 2026-06-18T12:03:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104644 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M |SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= T \in M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} davon. Die {{ Definitionswort |natürliche Einbettung| |msw=Einbettung |SZ= }} oder {{ Definitionswort |kanonische Inklusionsabbildung| |msw=Inklusionsabbildung |SZ= }} bildet jedes Element in {{mathl|term= T |SZ=}} auf sich selbst in {{mathl|term= M |SZ=}} ab: {{ Abbildung/display |name=i | T | M | x | x |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Einbettung |Definitionswort2=Inklusionsabbildung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2j3fxpsc3qa84srs6eir4iqkik3ekm 0 46849 1104782 1091514 2026-06-18T12:25:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104782 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= A coherent {{math|term= {{op:Strukturgarbe}}_X |SZ=-}}module {{math|term= {{op:Garbe| F |}} |SZ=}} on a scheme {{math|term= X |SZ=}} is called {{ Definitionswort/- |locally free| |msw= |SZ= }} of rank {{math|term= r |SZ=,}} if there exists an open covering {{ Relationskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} and {{math|term= {{op:Strukturgarbe|}}_{U_i } |SZ=-}}module-isomorphisms {{ Relationskette | {{op:Garbe| F |}} {{|}}_{U_i } | \cong| {{makl| {{op:Strukturgarbe}}_{U_i } |}}^r || || || |SZ= }} for every {{ Relationskette |i | \in | I || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Locally free sheaf |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gfazyw8ul858mumgzelckhxe3pv0bhq 0 47364 1104739 1091463 2026-06-18T12:18:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104739 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Für eine reelle Zahl {{ Relationskette | x | \in | \R || || || |SZ= }} ist der {{Definitionswort|Betrag|SZ=}} folgendermaßen definiert. {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x |}} ||\begin{cases} x \, ,\text{ falls } x \geq 0 \, , \\ -x,\, \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases} || || || |SZ= }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Betrags für die reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Betrag einer reellen Zahl |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Absolute value |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l5g2sryel8w3ahxt01j93ev9h4bwdqk 0 47365 1104752 1039386 2026-06-18T12:20:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104752 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Für reelle Zahlen {{ mathbed|term= a,b ||bedterm1= a \leq b ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man {{ Auflistung4 | {{ Relationskette | [a,b] || {{Mengebed| x \in \R| x \geq a \text{ und } x \leq b}} || || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|abgeschlossene Intervall|msw=Abgeschlossenes Intervall|SZ=.}} | {{ Relationskette | ]a,b[ || {{Mengebed| x \in \R| x >a \text{ und } x < b}} || || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|offene Intervall|msw=Offenes Intervall|SZ=.}} | {{ Relationskette | ]a,b] || {{Mengebed| x \in \R| x > a \text{ und } x \leq b}} || || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|linksseitig offene Intervall|msw=Linksseitig offenes Intervall|SZ=.}} | {{ Relationskette | [a,b[ || {{Mengebed| x \in \R| x \geq a \text{ und } x < b}} || || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|rechtsseitig offene Intervall|msw=Rechtsseitig offenes Intervall|SZ=.}} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Intervalle |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Intervals |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1whrfgg1i6py0z4w63n5jlz12svbpxz 0 47374 1104742 1039340 2026-06-18T12:19:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104742 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{Definitionswort|reelle Folge|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\N|\R | n | x_n |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Reelle Folge |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Real sequence |Stichwort= |Abstraktere Version=Angeordneter Körper/Reelle Zahlen/Folge/Definition |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0053gkmu1veq91rss98k4usm21ajwu 0 47375 1104744 1039344 2026-06-18T12:19:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104744 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |reelle Folge| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{ Relationskette | x | \in |\R || || || |SZ=. }} Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionswort|konvergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist{{{zusatz1|.}}} Zu jedem positiven {{ mathbed|term= \epsilon > 0 ||bedterm1= \epsilon \in \R ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es ein {{ Relationskette |n_0 | \in | \N || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Relationskette |n | \geq | n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. In diesem Fall heißt {{math|term= x |SZ=}} der {{Definitionswort|Grenzwert|SZ=}} oder der {{Definitionswort|Limes|SZ=}} der Folge. Dafür schreibt man auch {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|}} | {{defeq|}} | x || || || |SZ=. }} Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie {{Definitionswort|konvergiert|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug auf einen Grenzwert| |ISZ=.|ESZ=, }} andernfalls, dass sie {{Definitionswort|divergiert|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konvergenz einer reellen Folge |Definitionswort2=Grenzwert |Definitionswort/englisch=Convergent sequence |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxvrh51hblmzhgi1ir56obg6vjkxyqy 0 47389 1104745 1039346 2026-06-18T12:19:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104745 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |reelle Folge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge| x}} |SZ=}} heißt {{Definitionswort|wachsend|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | x_{n+1} | \geq | x_n || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n | \in | \N || || || |SZ= }} ist, und {{Definitionswort|streng wachsend|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | x_{n+1} |> | x_n || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n | \in | \N || || || |SZ= }} ist. Die Folge {{mathl|term= {{Folge| x}} |SZ=}} heißt {{Definitionswort|fallend|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | x_{n+1} | \leq | x_n || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n | \in | \N || || || |SZ= }} ist, und {{Definitionswort|streng fallend|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | x_{n+1} |< | x_n || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n | \in | \N || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Wachsende Folge |Definitionswort2=Fallende Folge |Definitionswort/englisch=Increasing sequence |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8yvbbd1t71jq43ukhd22uzfel045mkq 0 47390 1104741 1039338 2026-06-18T12:19:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104741 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |reelle Folge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Cauchy-Folge|SZ=,}} wenn folgende Bedingung erfüllt ist{{{zusatz1|.}}} Zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette |n_0 | \in |\N || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Relationskette |n,m | \geq | n_0 || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x_m }} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Cauchy-Folge |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Cauchy sequence |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srezzguyrw1l9ndz8nk94javl1ulc6o 0 47427 1104734 1091446 2026-06-18T12:18:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104734 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Reelle Funktion/Punkt/Situation|SZ=.}} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionswort |stetig| |msw=Stetige Funktion |SZ= }} im Punkt {{math|term= x |SZ=}} ist, wenn es zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette | x' | \in | D || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x-x'|}} | \leq| \delta || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette | {{op:Betrag|f(x)- f(x')|}} | \leq| \epsilon || || || |SZ= }} gilt. Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionswort |stetig| |msw=Stetige Funktion |SZ= }} ist, wenn sie in jedem Punkt {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} stetig ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stetige Funktion |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Continuous function |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4s6glan6cgf3fp219jvj5d30ndbpqz9 0 47457 1104731 1039287 2026-06-18T12:17:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104731 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | \subseteq |\R || || || |SZ= }} eine Teilmenge und sei {{ Abbildung/display |name=f | D |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} in einem Punkt {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} ein {{Definitionswort|lokales Maximum|SZ=}} besitzt, wenn es ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette | x' | \in | D || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x-x'}} | \leq| \epsilon || || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | f(x) | \geq | f(x') || || || |SZ= }} gilt. Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} in {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} ein {{Definitionswort|lokales Minimum|SZ=}} besitzt, wenn es ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette | x' | \in | D || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x-x'}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | f(x) | \leq | f(x') || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokales Maximum und Minimum |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Local maximum |Stichwort=Lokal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4d34x6onjp1yxcmzemv1a4xj43zvf6f 0 47482 1104618 1038395 2026-06-18T12:00:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104618 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer positiven reellen Zahl {{ mathbed|term= b>0 ||bedterm1= b \neq 1||bedterm2= |SZ=, }} wird der {{ Definitionswort |Logarithmus zur Basis| |msw= |SZ= }} {{math|term= b |SZ=}} von {{ Relationskette | x | \in | \R_+ || || || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | {{op:log| x |b}} | {{defeq}} | {{op:Bruch| {{op:ln| x |}} | {{op:ln| b |}} }} || || || |SZ= }} definiert. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Logarithmen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Logarithmus zu einer Basis |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Logarithm to base |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eraci0djiu9n565gk0tyk7cjcokhwz6 0 47576 1104825 1040128 2026-06-18T12:32:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104825 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} und {{math|term= V |SZ=}} eine Menge mit einem ausgezeichneten Element {{ Relationskette | 0 | \in | V || || || |SZ= }} und mit zwei Abbildungen {{ Abbildung/display |name=+ |V \times V|V |(u,v)|u+v |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name=\cdot |K \times V | V |({{skalar}},v) | {{skalar}} v {{=}} {{skalar}} \cdot v |SZ=. }} Dann nennt man {{math|term= V |SZ=}} einen {{ Definitionswort |Prämath=K |Vektorraum| |msw= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einen Vektorraum über {{math|term= K |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn die folgenden Axiome erfüllt sind{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die ersten vier Axiome, die unabhängig von {{math|term= K |SZ=}} sind, bedeuten, dass {{math|term= (V,0,+) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} ist| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{ mathkor|term1= r,s \in K |und|term2= u,v,w \in V |SZ= }} beliebig| |ISZ=|ESZ= }} {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Auch für Vektorräume gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Aufzählung8 | {{ Relationskette | u+v || v+u || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette |(u+v)+w || u +(v+w) || || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | v+0 || v || || || |SZ=, }} |Zu jedem {{math|term= v |SZ=}} gibt es ein {{math|term= z |SZ=}} mit {{ Relationskette |v+z || 0 || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | 1 \cdot u || u || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | r(su) || (rs) u || || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | r(u+v) || ru + rv || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette | (r+s) u || ru + su || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Vektorraum |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Vector space |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmtiixybvaw9dcj7n0ytxa5wxf4n9nr 0 47673 1104798 1091562 2026-06-18T12:28:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104798 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R \setminus {{makl| {{op:Bruch| \pi| 2}} + \Z \pi|}} |\R | x | {{op:tan| x |}} {{=|}} \frac{ {{op:sin| x |}} }{ {{op:cos| x |}} } |SZ=, }} heißt {{ Definitionswort |Tangens| |msw= |SZ= }} und die Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R \setminus \Z \pi|\R | x | {{op:cot| x |}} {{=|}} \frac{ {{op:cos| x |}} }{ {{op:sin| x |}} } |SZ=, }} heißt {{ Definitionswort |Kotangens| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Tangens |Definitionswort2=Kotangens |Definitionswort/englisch=Tangent |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cuoaxs4hcn67gq4chsaisv1hu9obbxd 0 47699 1104685 1091366 2026-06-18T12:10:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104685 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine quadratische Matrix der Form {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix5|J_1 | J_2 | \ddots|J_{k-1}|J_k }} |SZ=, }} wobei die {{math|term= J_i |SZ=}} {{ Definitionslink |Jordanmatrizen| |Kontext=| |SZ= }} sind, heißt Matrix in {{ Definitionswort |jordanscher Normalform| |msw=Jordansche Normalform |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Jordansche Normalform |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fuxvei0tqqwjev8oppfnoxbhaptxqm3 0 48131 1104748 1091468 2026-06-18T12:20:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104748 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |SZ=. }} Eine reelle Zahl {{math|term= x \in \R|SZ=}} heißt {{Definitionswort|Randpunkt|SZ=}} von {{math|term= I |SZ=,}} wenn es für jedes {{math|term=\epsilon >0 |SZ=}} eine Zahl {{math|term= x_1 \in I |SZ=}} und eine Zahl {{math|term= x_2 \not\in I |SZ=}} gibt mit {{math|term= {{op:Betrag| x-x_1 }} < \epsilon|SZ=}} und {{math|term= {{op:Betrag| x-x_2 }} < \epsilon|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Randpunkt| |Definitionswort2= |Stichwort=Randpunkt| |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q79158tftxtze0t4t1ial84amr6rotb 0 49173 1104736 836914 2026-06-18T12:18:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104736 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu zwei {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} heißt {{ Math/display|term= {{op:Bruch| x+y| 2}} |SZ= }} das {{Definitionswort|arithmetische Mittel|msw=arithmetisches Mittel|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Arithmetisches Mittel |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4mqxq785o3bq1tkw2205uj7wrugtos 0 49267 1104716 1091415 2026-06-18T12:15:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104716 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=}} einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_k |SZ=}} paarweise verschiedene Variablen und {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_k |SZ=}} fixierte {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet}} | Terme| |Kontext=Prädikatenlogik| |SZ=. }} Dann definiert man rekursiv über den Aufbau der {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet}} | Ausdrücke| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionswort |Substitution| |msw=Substitution (Ausdruck) |SZ= }} {{mathl|term= {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} |SZ=}} für jeden {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=-}}Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Für Terme {{mathl|term= s_1,s_2 |SZ=}} setzt man{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die Klammern unterstreichen hier lediglich den Gesamtausdruck, für den die Substitution durchgeführt wird| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{logSubstitution|(s_1 {{=}} s_2)|k}} | {{defeq}} | {{logSubstitution|s_1 |k}} {{=|}} {{logSubstitution|s_2 |k}} || || || || |SZ=. }} |Für ein {{math|term= n |SZ=-}}stelliges Relationssymbol {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} Terme {{mathl|term= s_1 {{kommadots}} s_n |SZ=}} setzt man {{ Relationskette/display | {{logSubstitution|(R s_1 \ldots s_n)|k}} | {{defeq}} | R {{logSubstitution|s_1 |k}} \ldots {{logSubstitution|s_n |k}} || || || || |SZ=. }} |Für einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} setzt man {{ Relationskette/display | {{logSubstitution|(\neg {{logprop|}})|k}} | {{defeq}} | \neg {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} || || || || |SZ=. }} |Für Ausdrücke {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} und {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} setzt man {{ Relationskette/display | {{logSubstitution|({{logprop|}} {{logund}} {{logprop2|}})|k}} | {{defeq}} | {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} {{logund}} {{logSubstitution| {{logprop2|}} |k}} || || || || |SZ= }} und ebenso für die anderen zweistelligen Junktoren. |Für einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} seien {{mathl|term= x_{i_1 } {{kommadots}} x_{i_r} |SZ=}} diejenigen Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=unter den {{mathlk|term=x_1 {{kommadots}} x_k |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} die in {{mathl|term=\forall x {{logprop|}} |SZ=}} frei vorkommen. Es sei {{ Relationskette |v || x || || || |SZ=, }} falls {{math|term= x |SZ=}} nicht in {{mathl|term= t_{i_1 } {{kommadots}} t_{i_r} |SZ=}} vorkommt. Andernfalls sei {{math|term= v |SZ=}} die erste Variable {{ Zusatz/Klammer |text=in einer fixierten Variablenaufzählung, falls es abzählbar viele Variablen gibt, bzw. in einer fixierten Wohlordnung der Variablenmenge| |ISZ=|ESZ=, }} die weder in {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} noch in {{mathl|term= t_{i_1 } {{kommadots}} t_{i_r} |SZ=}} vorkommt. Dann setzt man {{ Relationskette/display | {{logSubstitution|(\forall x {{logprop|}} )|k}} | {{defeq}} | \forall v {{logprop|}} {{op:Bruch|t_{i_1 } {{kommadots}} t_{i_r}, v| x_{i_1 } {{kommadots}} x_{i_r}, x }} || || || || |SZ= }} und ebenso für den Existenzquantor. }} |Textart=Definition |Kategorie=Substitutionstheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Variablensubstitution für Ausdrücke |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 93puttku80t45dgmdsu7isyip0artjf 0 50621 1104747 1091466 2026-06-18T12:20:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104747 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | T || [a, \infty] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Relationskette/k | T || [- \infty, a] || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ein rechtsseitig {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. linksseitig| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |unbeschränktes Intervall| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | T |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |SZ=. }} Dann heißt {{ Relationskette | {{{b|b}}} | \in | \R || || || |SZ= }} {{Definitionswort|Grenzwert|msw=Grenzwert gegen unendlich|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionswort |Limes| |msw=Limes gegen unendlich |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= {{{f|f}}} |SZ=}} für {{mathl|term= x \rightarrow +\infty |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=x \rightarrow -\infty|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn es für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | x_0 | \geq |a || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{ Relationskette/k | x_0 | \leq |a || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} gibt mit {{ Relationskette | {{op:Betrag|f(x) -b|}} | \leq| \epsilon || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \geq | x_0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{ Relationskette/k | x | \leq | x_0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Notationszusatz=In diesem Fall schreibt man {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| x |+ \infty | {{{f|f}}}(x)|}} || b || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{ Relationskette/k | {{op:Funktionslimes| x | - \infty | {{{f|f}}}(x)|}} || b || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen gegen unendlich |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Grenzwert einer Funktion gegen unendlich |Definitionswort2=Limes einer Funktion gegen unendlich |Definitionswort/englisch=Limit of a function ({{math|term=\infty|SZ=}}) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} da96xm4h5w1omasuhtd5ztgxlvfgzm8 0 51005 1104751 1091472 2026-06-18T12:20:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104751 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Für reelle Zahlen {{math|term= a\in\R|SZ=}} nennt man {{ Auflistung5 | {{math|term=]{-\infty},a] = {{Mengebed| x \in \R| x \leq a}} |SZ=}} das {{Definitionswort|rechtsseitig abgeschlossene linksseitig unbeschränkte Intervall|msw=Rechtsseitig abgeschlossenes linksseitig unbeschränktes Intervall|SZ=.}} | {{math|term={]{-\infty},a[} = {{Mengebed| x \in \R| x < a}} |SZ=}} das {{Definitionswort|rechtsseitig offene linksseitig unbeschränkte Intervall|msw=Rechtsseitig offenes linksseitig unbeschränktes Intervall|SZ=.}} | {{math|term={]a,\infty[} = {{Mengebed| x \in \R| x > a}} |SZ=}} das {{Definitionswort|linksseitig offene rechtsseitig unbeschränkte Intervall|msw=Linksseitig offenes rechtsseitig unbeschränktes Intervall|SZ=.}} | {{math|term={[a,\infty[} = {{Mengebed| x \in \R| x \geq a}} |SZ=}} das {{Definitionswort|linksseitig abgeschlossene rechtsseitig unbeschränkte Intervall|msw=Linksseitig abgeschlossenes rechtsseitig unbeschränktes Intervall|SZ=.}} | {{math|term={]{-\infty},\infty[} = {{Menge| x \in \R}} = \R|SZ=}} das {{Definitionswort|beidseitig unbeschränkte Intervall|msw=Beidseitig unbeschränktes Intervall|SZ=.}} }} Alle diese heißen {{ Definitionswort |unbeschränkte Intervalle| |msw=Unbeschränktes Intervall |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Unbeschränktes Intervall |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=unbounded Intervals |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o2k43f5wvn4n62c4bmp0i1pyxjg462o 0 51056 1104676 1091358 2026-06-18T12:09:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104676 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f | G | \R || |SZ=, }} wobei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} sei, nennt man zu {{mathl|term= c \in \R |SZ=}} die Menge {{ Math/display|term= N_c = {{Mengebed| x \in G| f(x) {{=|}} c}} |SZ= }} die {{Definitionswort|Niveaumenge|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} zum Wert {{math|term= c |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Niveaumenge |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3yvvbvsxkzmfxm9z2t6yan30u74fu30 0 51162 1104707 1091400 2026-06-18T12:13:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104707 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge. Dann nennt man die Menge {{ Relationskette/display | M^n || {{Mengebed|(x_1,\ldots,x_n)| x_i \in M, i\in\{1,\ldots,n\} }} || || || |SZ= }} die {{math|term= n |SZ=-}}fache {{Definitionswort|Produktmenge|SZ=}}{{{zusatz1|}}} von {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Produktmenge |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Cartesian product |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxckcsi9x2stdm9vzysmnuv4q7wfnfq 0 51254 1104821 1040086 2026-06-18T12:31:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104821 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |U | \subseteq |\R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=G | U |\R^n || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |differenzierbares| |Kontext=partiell| |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorfeld| |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= G |SZ=}} die {{ Definitionswort |Integrabilitätsbedingung| |msw= |SZ= }} erfüllt {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionswort |lokal integrabel| |msw= |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|G_i | x_j }}(P) || {{op:Partielle Ableitung|G_j | x_i }}(P) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |P | \in | U || || || |SZ= }} und alle {{math|term= i, j |SZ=}} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Integrabilitätsbedingung |Definitionswort2=Lokal integrabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n1o5h6hmu2hy4bci03qr8gucrbdtfd2 0 52109 1104674 1091357 2026-06-18T12:08:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104674 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}} eine Menge und {{ Abbildung/display |name=f | {{{M|M}}} | \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |nichtnegative Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Dann nennt man die Menge {{ Relationskette/display | S(f) || {{Mengebed|(x,y) \in {{{M|M}}} \times \R| 0 \leq y \leq f(x)}} || || || |SZ= }} den {{Definitionswort|Subgraphen|msw=Subgraph|SZ=}} der Funktion. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Subgraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akbb4pafsjr7mpz7dxafl7t7ho6vy4c 0 53899 1104820 1040084 2026-06-18T12:31:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104820 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |partiell differenzierbaren| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{{G|G}}} | U |\R^3 || |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |offenen Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq \R^3 |SZ=}} nennt man {{ Relationskette/display | {{opsyn|rot| {{{G|G}}} |tief=|hoch=}}(P) | {{defeq}} | {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung| {{{G|G}}}_3 | x_2 }}(P)- {{op:Partielle Ableitung| {{{G|G}}}_2 | x_3 }}(P) | {{op:Partielle Ableitung| {{{G|G}}}_1 | x_3 }}(P)-{{op:Partielle Ableitung| {{{G|G}}}_3 | x_1 }}(P) | {{op:Partielle Ableitung| {{{G|G}}}_2 | x_1 }}(P)-{{op:Partielle Ableitung| {{{G|G}}}_1 | x_2 }}(P) |}} || || || || |SZ= }} die {{ Definitionswort |Rotation| |msw= |SZ= }} von {{math|term= {{{G|G}}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rotation eines Vektorfelds |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oydm12xv534y5mdct0muhwigfof6vgg 0 53934 1104654 1091321 2026-06-18T12:05:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104654 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Metrische Räume Abbildung/Situation|SZ=.}} Eine reelle Zahl {{math|term= c |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Lipschitz-Konstante|SZ=}} für {{math|term= f |SZ=,}} wenn die Abschätzung {{ Math/display|term= {{op:Abstand|f(x)|f(y)}} \leq c \cdot {{op:Abstand| x | y}} |SZ= }} für alle {{mathl|term= x,y \in L |SZ=}} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lipschitz-Konstante|Definitionswort2= |Stichwort=Lipschitz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8ibx4qod60zncdf9thfqqce5oq6lul 0 55374 1104712 1039128 2026-06-18T12:14:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104712 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affiner Raum|n+1|K}} \setminus\{0\} | {{op:Projektiver Raum| n | K}} | {{op:Zeilenvektor| x_0 | x_1 | \ldots | x_n }} | {{op:Zeilenvektor| x_0 | x_1 | \ldots | x_n }} |SZ=, }} die einem Punkt {{math|term=\neq 0 |SZ=}} die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt {{Definitionswort|Kegelabbildung|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kegelabbildung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tthc50gulybp18l3jgj9nf7cwtcc9zr 0 55918 1104797 1091561 2026-06-18T12:28:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104797 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | I_m || {{op:Matrix22| 0 | -E_m | E_m | 0}} | \in | {{op:GLG| 2m|K}} || || |SZ=, }} wobei {{math|term= E_m |SZ=}} die {{ Definitionslink |Einheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} der Länge {{math|term= m |SZ=}} ist. Eine Matrix {{ Relationskette | S | \in | {{op:GLG| 2m|K}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:transponiert| S ||}} I_m S || I_m || || || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |symplektische Matrix| |msw= |SZ=. }} Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt {{ Definitionswort |symplektische Gruppe| |msw= |SZ=, }} sie wird mit {{ Relationskette/display | {{op:Sp| 2m|K}} || {{Mengebed|S \in {{op:GLG| 2m|K}} | {{op:transponiert| S ||}} I_m S {{=}} I_m }} || || || |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der linearen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Symplektische Gruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6a1ur68uvcg4j609bp4vzo3h01lgwrj 0 58498 1104701 1091382 2026-06-18T12:12:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104701 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=.}} Zu einem Polynom {{ Relationskette/display |F || \sum_{\nu } a_\nu X^\nu | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || |SZ= }} und {{ mathbed|term= i ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} heißt das Polynom {{ Relationskette/display | \partial_i F | {{defeq|}} | {{op:Partielle Ableitung| F | X_i }} | {{defeq|}} | \sum_\nu \nu_i a_\nu X_1^{\nu_1 } \cdots X_{i-1}^{\nu_{i-1} } X_i^{\nu_i -1} X_{i+1}^{\nu_{i+1} } \cdots X_n^{\nu_n } || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|formale partielle Ableitung|SZ=}} von {{math|term= F |SZ=}} nach {{math|term= X_i |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Formale partielle Ableitung |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5rvfz9nccx3m3kuvylwrlok0e22bc45 0 61195 1104727 1091437 2026-06-18T12:16:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104727 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Unter einer {{ Definitionswort |rationalen Zahl| |msw=Rationale Zahlen |SZ= }} versteht man einen Ausdruck der Form {{ Math/display|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |a,b | \in | \Z || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |b |\neq| 0 || || || |SZ= }} sind, und wobei zwei Ausdrücke {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| a |b}} |und|term2= {{op:Bruch| c |d}} |SZ= }} genau dann als gleich betrachtet werden, wenn {{ Relationskette | ad || bc || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term=\Z|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit {{math|term=\Q|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rationale Zahl |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Rational number |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} puviay63hig19rufo5g857w6rvdgrzx 0 62091 1104669 1038863 2026-06-18T12:07:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104669 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein Element {{ Relationskette | x | \in | M |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Monoid| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= (M,e,\circ) |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |invertierbar| |msw=Invertierbar (Monoid) |SZ=, }} wenn es ein {{mathl|term= y \in M |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | x \circ y || y \circ x || e_M || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Invertierbar |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rful3u2po5e4y6rvcs7otr05k53e7yl 0 62628 1104795 1091550 2026-06-18T12:27:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104795 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Funktion/K/Punkt/Situation|SZ=.}} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionswort |stetig| |msw=Stetige Funktion |SZ= }} im Punkt {{math|term= x |SZ=}} ist, wenn es zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{math|term= x'|SZ=}} mit {{ Relationskette | d(x,x') | \leq | \delta || || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette | d(f(x),f(x')) | \leq | \epsilon || || || || |SZ= }} gilt. Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionswort |stetig| |msw=Stetige Funktion |SZ= }} ist, wenn sie in jedem Punkt {{ Relationskette | x | \in | {{{T|T}}} || || || |SZ= }} stetig ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stetige Funktion |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Continuous function |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pshicq3hmz7jof2qvqc18cweuwkwqc8 0 62673 1104794 1039711 2026-06-18T12:27:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104794 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | {{{T|T}}} | \subseteq | {{KRC|}} || || || || |SZ= }} eine Teilmenge, {{ Abbildung/display |name=f | {{{T|T}}} | {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=K| |SZ= }} und es sei {{ Relationskette | {{{T|T}}} | \subseteq |\tilde{ {{{T|T}}} } | \subseteq | {{KRC|}} || || || || |SZ=. }} Dann heißt eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \tilde{f} | \tilde{ {{{T|T}}} } | {{KRC}} || |SZ= }} eine {{Definitionswort|stetige Fortsetzung|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=,}} wenn {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} stetig ist und {{ Relationskette | \tilde{f}(x) || f(x) || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | {{{T|T}}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stetige Fortsetzung |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Continuous extension |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jw5bs6w9x30vi3mejdvxkp6c1oiy5s9 0 63660 1104730 1039285 2026-06-18T12:17:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104730 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | T | \subseteq | \R || || || |SZ= }} eine Teilmenge, {{ Abbildung/display |name=f | T |\R || |SZ= }} eine Funktion und {{ Relationskette | a | \in | \R || || || |SZ= }} ein Punkt, für den es mindestens eine Folge {{mathl|term= {{Folge}} }} mit {{mathl|term= x_n \in T,\, x_n <a|SZ=,}} gibt, die gegen {{mathl|term= a }} konvergiert. Dann nennt man (im Falle der Existenz) {{ Relationskette/display | \lim_{x\nearrow a} f(x) || \operatorname{lim}_{ x \in T ,\, x < a} {f(x)} || || || |SZ= }} den {{Definitionswort|linksseitigen Grenzwert|msw=Linksseitiger Grenzwert|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= a |SZ=.}} Wenn es mindestens eine Folge {{mathl|term= {{Folge| y}} }} mit {{mathl|term= y_n \in T,\, y_n >a|SZ=,}} gibt, die gegen {{mathl|term= a }} konvergiert, so nennt man (im Falle der Existenz) {{ Relationskette/display | \lim_{x\searrow a}f(x) || \operatorname{lim}_{ x \in T ,\, x > a} {f(x)} || || || |SZ= }} den {{Definitionswort|rechtsseitigen Grenzwert|msw=Rechtsseitiger Grenzwert|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= a |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Linksseitiger und rechtsseitiger Limes |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hf7vkjvu0toj16xtsmgsxg1zlx4ykqa 0 63863 1104858 1021578 2026-06-18T12:41:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104858 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Eine {{Stichwort/Abfrage|Cauchy-Folge|SZ=}} {{math|term= {{Folge| x}} }} in einem angeordneten Körper {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ax4vfks40y8bc2h0ihhh8rk451z5k5c 0 65600 1104715 1091414 2026-06-18T12:14:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104715 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Alphabet einer Sprache erster Stufe| |Kontext=| |SZ= }} gegeben. Dann definiert man für Ausdrücke {{ Relationskette | {{logprop|}} | \in | L^S || || || |SZ= }} den {{ Definitionswort |Rang| |msw=Rang (Ausdruck) |SZ= }} {{math|term=\rho|SZ=}} von {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} durch {{ Aufzählung4 | {{ Relationskette | \rho( {{logprop|}} ) || 0 || || || |SZ=, }} falls {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} atomar ist. | {{ Relationskette | \rho( {{logprop|}} ) || \rho( {{logprop2|}} )+1 || || || |SZ=, }} falls {{ Relationskette | {{logprop|}} || \neg ( {{logprop2|}} ) || || || |SZ= }} ist. | {{ Relationskette |\rho( {{logprop|}} ) || \rho( {{logprop2|}} ) + \rho( {{logprop3|}} ) + 1 || || || |SZ=, }} falls {{ Relationskette | {{logprop|}} || ( {{logprop2|}} ) \circ ( {{logprop3|}} ) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \circ || {{logund|}},\, {{logoder|}}, \, \rightarrow, \leftrightarrow || || || |SZ= }} ist. | {{ Relationskette |\rho( {{logprop|}} ) || \rho( {{logprop2|}} ) +1 || || || |SZ=, }} falls {{ Relationskette | {{logprop|}} || \exists x {{logprop2|}} || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | {{logprop|}} || \forall x {{logprop2|}} || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Definition |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rang (Ausdruck) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6s31tkr1ufaca43himep0mc4bt9rvmp 0 66259 1104686 1038973 2026-06-18T12:10:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104686 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (I,\preccurlyeq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette | x | \in | I || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|größtes Element|SZ=}} von {{math|term= I |SZ=,}} wenn {{ Relationskette | y | \preccurlyeq | x || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette | y | \in | I || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Größtes Element |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6icxaf7wxm2bcmcyhkmvg8rk6deowk4 0 66274 1104687 1038975 2026-06-18T12:10:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104687 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (I,\preccurlyeq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette | x | \in | I || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|kleinstes Element|SZ=}} von {{math|term= I |SZ=,}} wenn {{ Relationskette | x | \preccurlyeq| y || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette | y | \in | I || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kleinstes Element |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6qlhmxx8y8y3msz5komq200x998uc2 0 66904 1104872 963813 2026-06-18T12:44:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1104872 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Norm| |msw= |SZ= }} zu einem Skalarprodukt {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt| -| -}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zu98opz341ng56cdkfr49igsh88uvo 0 66927 1104859 1092661 2026-06-18T12:41:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104859 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Gramsche Matrix| |msw= |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Bilinearform| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform| -| -}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} bezüglich einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= 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text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |Cauchy-Folge| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge| x}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oswisa6ggxc81sl5b1wmzqbfiig5uhy 0 70394 1104880 1025202 2026-06-18T12:45:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1104880 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{Stichwort/Abfrage|Wegintegral|SZ=}} zu einer {{math|term=1 |SZ=-}}Differentialform {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen| M | 1}} |SZ=}} auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit {{math|term= M |SZ=}} bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve {{ Abbildung |name= \gamma |[a,b]|M || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nowloqvbk2gplesl23cj106vc3u8n4g 0 70413 1104866 1026367 2026-06-18T12:43:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104866 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine in {{ Relationskette | P | \in | U || || || |SZ= }} {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |differenzierbare| |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | U | \R^m || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | U | \subseteq| H || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |euklidischen Halbraum| |SZ= }} {{ Relationskette | H | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9hckxatyhj7hp9nyli98nuo3u2nzmt2 0 72938 1104873 963814 2026-06-18T12:44:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1104873 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Abstandsfunktion| |msw= |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt| -| -}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7j2a6gsufn9gic5tp3uvuhbzqfb46ub 0 74349 1104830 1091635 2026-06-18T12:33:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104830 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=\varphi|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \lambda | \in | K || || || |SZ= }} nennt man {{ Relationskette/display | {{op:Hauptraum|\varphi| \lambda}} || \bigcup_{n \in \N} {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}}^n |}} || || || |SZ= }} den {{ Definitionswort |Hauptraum| |msw=Hauptraum |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} zu diesem Eigenwert. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Haupträume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hauptraum |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gsnaxe4pjcuy61a2duiyg880q6hvf0u 0 74963 1104775 1091494 2026-06-18T12:24:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104775 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Menge {{math|term= R |SZ=}} heißt ein {{Definitionswort|Ring|SZ=,}} wenn es zwei {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Addition|SZ=}} und {{Stichwort|Multiplikation|SZ=}} | |SZ= }} {{ Math/display|term= +: R \times R \longrightarrow R \text{ und } \cdot: R \times R \longrightarrow R |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise verschiedene| |ISZ=|ESZ= }} Elemente {{ Relationskette | 0,1 | \in | R || || || |SZ= }} gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen. {{ Aufzählung3 |Axiome der Addition {{ Unteraufzählung4 |Assoziativgesetz: Für alle {{ Relationskette |a,b,c | \in | R || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette | (a + b) + c || a + (b + c) || || || |SZ=. }} |Kommutativgesetz: Für alle {{ Relationskette |a,b | \in | R || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette |a+b ||b+a || || || |SZ=. }} |{{math|term= 0 |SZ=}} ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle {{ Relationskette |a | \in | R || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |a+0 || a || || || |SZ=. }} |Existenz des Negativen: Zu jedem {{ Relationskette |a | \in | R || || || |SZ= }} gibt es ein Element {{ Relationskette |b | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a+b || 0 || || || |SZ=. }} }} |Axiome der Multiplikation {{ Unteraufzählung2 |Assoziativgesetz: Für alle {{ Relationskette |a,b,c | \in | R || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette | (a \cdot b) \cdot c || a \cdot (b \cdot c) || || || |SZ=. }} |{{math|term= 1 |SZ=}} ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle {{ Relationskette |a | \in | R || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | a \cdot 1 || 1 \cdot a || a || || |SZ=. }} }} |Distributivgesetz: Für alle {{ Relationskette |a,b,c | \in | R || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette | a \cdot (b+c) ||(a \cdot b) + (a \cdot c) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | (b+c) \cdot a || (b \cdot a) + (c \cdot a) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ring |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8phayb8eft7mgywuh17goppbh22r069 0 75273 1104824 1091623 2026-06-18T12:32:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104824 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über den {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |antilinear| |msw=Antilineare Abbildung |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionswort |semilinear| |msw=Semilineare Abbildung |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{ Relationskette/display | \varphi(u+v) || \varphi(u) + \varphi (v) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | u,v | \in | V || || || |SZ= }} und wenn {{ Relationskette/display | \varphi ( \lambda v ) || {{op:Komplexe Konjugation| \lambda|}} \varphi (v) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \lambda | \in | \Complex || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der antilinearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Antilineare Abbildung |Definitionswort2=Semilineare Abbildung |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6h4qxkyzdst87ypuyoafnbcgvp5w5uy 0 75285 1104788 1091537 2026-06-18T12:26:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104788 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt| -| -}} |SZ=}} und {{ Abbildung/display |name=\varphi | V | V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Endomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Man nennt einen Endomorphismus {{ Abbildung/display |name=\psi |V | V || |SZ= }} {{ Definitionswort |adjungiert| |msw=Adjungierter Endomorphismus |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=,}} wenn {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|w}} || {{op:Skalarprodukt| v | \psi(w)}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | v,w | \in | V || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Adjungierter Endomorphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i5phv7nnnfvkni893qk981xor3efgvf 0 75472 1104829 1091630 2026-06-18T12:33:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104829 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Ein {{Definitionswort|Skalarprodukt|SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} ist eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | V \times V | {{KRC|}} | (v,w)| {{op:Skalarprodukt| v |w}} |SZ=, }} mit folgenden Eigenschaften: {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| \lambda_1x_1+\lambda_2x_2 | y}} || \lambda_1 {{op:Skalarprodukt| x_1 | y}} + \lambda_2{{op:Skalarprodukt| x_2 | y}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | \lambda_1,\lambda_2 | \in | {{KRC|}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | x_1,x_2,y | \in | V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| x | \lambda_1 y_1 + \lambda_2y _2 }} || {{op:Komplexe Konjugation| \lambda_1 }} {{op:Skalarprodukt| x | y_1 }} + {{op:Komplexe Konjugation| \lambda_2 ||}} {{op:Skalarprodukt| x | y_2 }} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | \lambda_1,\lambda_2 | \in | {{KRC|}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | x,y_1,y_2 | \in | V || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| v |w}} || {{op:Komplexe Konjugation| {{op:Skalarprodukt| w |v}} ||}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | v,w | \in | V || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{op:Skalarprodukt| v |v}} | \geq | 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Skalarprodukt| v |v}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette |v || 0 || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Skalarprodukt |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8659fuu4hhu1hzsyiu8w5xhfmb8rfq 0 75495 1104823 1040100 2026-06-18T12:32:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104823 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |U | \subseteq | V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |SZ=. }} Dann heißt {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonales Komplement|U}} || {{Mengebed|v \in V| {{op:Skalarprodukt| v | u }}{{=}} 0 \text{ für alle } u \in U}} || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|orthogonale Komplement|msw=Orthogonales Komplement|SZ=}} von {{math|term= U |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orthogonales Komplement |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 346z8af2m87uyq5gtyl8opm3spvt07t 0 77080 1104753 1039392 2026-06-18T12:21:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104753 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |SZ= }} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum {{mathl|term= (V, {{Borelalgebra|dim=}}(V) ) |SZ=}} heißt {{Definitionswort|translationsinvariant|SZ=,}} wenn für alle {{ Definitionslink |messbaren Teilmengen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | T | \subseteq | V || || || |SZ= }} und alle Vektoren {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | \mu(T) || \mu(T+v) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Translationsinvariantes Maß |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kebfk915ntj41yrs943mzom3hsjr6xv 0 77755 1104877 1025190 2026-06-18T12:45:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1104877 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort/Abfrage|Assoziativität|SZ=}} einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \circ |M \times M|M |(x,y)| x \circ y |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmca5uyerqg5gkis7ngchkja20vvqsw 0 77757 1104879 1025198 2026-06-18T12:45:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1104879 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort/Abfrage|neutrales Element|SZ=}} {{mathl|term= e \in M |SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display 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2026-06-18T12:21:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104759 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |SZ= }} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |euklidisch| |msw=Euklidische Relation |SZ=, }} wenn zu {{ Relationskette | x,y,z | \in | M || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= xRy|SZ=}} und {{mathl|term= xRz|SZ=}} stets {{mathl|term= yRz|SZ=}} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Euklidische Relation |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phq3cb0qy74niz6ymefk2vqk98qtyfp 0 79451 1104875 1092766 2026-06-18T12:44:59Z Arbota 36910 Ersetzung 1104875 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |normaler| |msw= |SZ= }} Endomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} auf einem {{ 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|Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{op:Norm| -|}} | V |\R | v | {{op:Norm| v |}} |SZ=, }} heißt {{ Definitionswort |Norm| |msw= |SZ=, }} wenn die folgenden Eigenschaften für alle {{mathl|term= v,w \in V |SZ=}} gelten. {{ Aufzählung4 | {{mathl|term= {{op:Norm| v |}} \geq 0 |SZ=,}} | {{mathl|term= {{op:Norm| v |}} = 0 |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= v=0 |SZ=}} ist. |Für {{mathl|term=\lambda \in \R |SZ=}} und {{ Relationskette | v | \in | V |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm| \lambda v|}} || {{op:Betrag| \lambda|}} \cdot {{op:Norm| v |}} || || || |SZ=. }} |Für {{mathl|term= v,w \in V |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm|v+w|}} | \leq | {{op:Norm| v |}} + {{op:Norm| w |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Norm |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4azufgzekospz6ylyvyo0l0s8ndv2je 0 97425 1104698 1091376 2026-06-18T12:12:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104698 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_m \in K[X_1 {{kommadots|}} X_k] |SZ=}} Polynome. Zu {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} sei {{ Relationskette |I || {{Mengebed|(\mu,i) | \mu \in \N^k \text{ mit } {{op:Grad Polynom| \mu|}} \leq n-1 | 1 \leq i \leq m }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |J || {{Mengebed|\nu | \nu \in \N^ k \text{ mit } {{op:Grad Polynom|\nu|}} \leq n }} || || || |SZ=. }} Dann nennt man die {{ Definitionslink |Prämath=I \times J |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} mit Einträgen {{ Relationskette/display | a_{( \mu,i ; \nu)} || {{op:Bruch| \partial^{\nu - \mu} | (\nu - \mu )! }} {{makl| F_i |}} || || || |SZ= }} die {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionswort |Jacobi-Taylor-Matrix| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Jacobi-Taylor-Matrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ho2fbo1hkooxghr3khiaulcwgffq25q 0 97520 1104667 977807 2026-06-18T12:07:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104667 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Modul| |Kontext=| |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} Dann heißt der maximale Rang eines freien Moduls {{math|term= F |SZ=}} derart, dass es eine {{ Definitionslink |direkte Summenzerlegung| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Relationskette |M | \cong|F \oplus N || || || |SZ= }} mit einem weiteren {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= N |SZ=}} gibt, der {{ Definitionswort |freie Rang| |msw=Freier Rang |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des freien Ranges von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Freier Rang |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4o8vqpp41um0kbqfuduloipetuxllx8 0 98376 1104811 1091586 2026-06-18T12:30:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104811 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= {{Folge| x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= X |SZ=.}} Dann nennt man {{ Relationskette/display |U {{makl| {{Folge| x}} |}} || {{Mengebed|U \subseteq X \text{ offen}| x_n \in U \text{ für fast alle } n \in \N}} || || || |SZ= }} den zur {{ Definitionswort |Folge gehörenden Filter| |msw=Filter zu Folge |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2=Theorie der Folgen in topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Filter zu Folge |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hmtu7hkvqbf7cyr1n9t19ajdm1e7qzp 0 100720 1104681 1091360 2026-06-18T12:09:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104681 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |normaler| |Kontext=Bereich| |SZ= }} {{ Definitionslink |noetherscher| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{mathl|term=\operatorname{Div} (R) |SZ=}} die Gruppe der {{ Definitionslink |Divisoren| |Kontext=normaler Bereich| |SZ= }} und {{ Relationskette |H | \subseteq | \operatorname{Div} (R) || || || |SZ= }} sei die Untergruppe der {{ Definitionslink |Hauptdivisoren| |Kontext=normaler Bereich| |SZ=. }} Dann nennt man die {{ Definitionslink |Restklassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} || \operatorname{Div} (R)/H || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Divisorenklassengruppe}} von {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normaler Bereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Divisorenklassengruppe |Definitionswort2= |Stichwort=Klassengruppe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ncn0s5srfrzidcqb9fvcufaul4bkc97 0 100723 1104682 1038937 2026-06-18T12:09:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104682 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |normaler| |Kontext=Bereich| |SZ= }} {{ Definitionslink |noetherscher| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit Quotientenkörper {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ=. }} Es sei {{ mathbed|term= f \in K ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Dann heißt die Abbildung, die jedem {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} {{mathl|term= {{idealp}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Höhe| |Kontext=Primideal| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Bewertungsring| |SZ= }} {{mathl|term=\operatorname{ord}_{{idealp}} (f) |SZ=}} zuordnet, der durch {{math|term= f |SZ=}} definierte {{Definitionswort|Hauptdivisor|SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term=\operatorname{div} (f) |SZ=}} bezeichnet und als formale Summe {{ Relationskette/display | \operatorname{div} (f) || \sum_{{idealp}} \operatorname{ord}_{{idealp}} (f) \cdot {{idealp}} || || || |SZ= }} geschrieben. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normaler Bereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hauptdivisor |Definitionswort2= |Stichwort=Divisor |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jaclyldts9bud3be29hfoebun033ap 0 101618 1104954 1093233 2026-06-19T06:21:44Z Bocardodarapti 2041 1104954 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} sei {{mathl|term= f(n) |SZ=}} der minimale Eurobetrag, für den man mindestens {{math|term= n |SZ=}} Euromünzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen. {{ Aufzählung2 |Erstelle{{n Sie}} {{{zusatz1|}}} eine Tabelle, aus der die Werte für {{math|term= f(n)|SZ=}} ablesbar sind! |Was ist {{mathl|term= f(1000000) |SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rihnb3e3lpgxl2avg78ragdffr2t6w7 0 103683 1104699 1091379 2026-06-18T12:12:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104699 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper. Unter einem {{ Zusatz/Klammer |text=formalen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionswort |Differentialoperator| |msw= |SZ= }} auf {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} versteht man eine endliche Summe {{ Math/display|term= \sum_\alpha g_\alpha {{op:Bruch| \partial^\alpha|\alpha!|}} |SZ= }} mit polynomialen Koeffizientenfunktionen {{mathl|term= g_\alpha \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=,}} wobei die Indizes Tupel aus {{math|term= \N^n |SZ=}} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8di09gnt50fgrkd33gwngcwhlb5fm4u 0 104352 1104668 977839 2026-06-18T12:07:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104668 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Unter dem Antisymmetrisierungsoperator versteht man die Abbildung {{ Math/display|term= \mathcal{A} \colon Mult_R(I,M,N) \to Alt_R(I,M,N) |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \mathcal{A} ( \Psi ) || \sum_{\sigma \in Aut(I)} sgn(\sigma) ( \Psi \circ \sigma ) || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3n7guy7e50ey6q5j6yy3b2iz9e6c6y4 0 104814 1104785 1091532 2026-06-18T12:26:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104785 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |simplizialen Komplex| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Delta|SZ=}} auf der Menge {{math|term= V |SZ=}} und einem Körper {{math|term= K |SZ=}} nennt man {{ Relationskette/display | \Delta (K) || {{Mengebed|(x_v) \in K^V| {{op:Support| x_v|}} \in \Delta }} || || || |SZ= }} die zu {{math|term=\Delta|SZ=}} gehörende {{ Definitionswort |Achsenraumkonfiguration| |msw=Achsenraumkonfiguration |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der simplizialen Komplexe 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|Definitionswort=Geometrische Realisierung eines simplizialen Komplexes |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fzmy65gl1jdgvegl1oxx441ueunnpqo 0 105039 1104697 1091374 2026-06-18T12:12:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104697 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einem Polynom {{ Relationskette | f | \in | R[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= über einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Definitionslink |homogener Zerlegung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |f || \sum_d f_d || || || |SZ= }} nennt man den minimalen Grad {{math|term= d |SZ=}} mit {{ Relationskette |f_d |\neq| 0 || || || |SZ= }} der {{ Definitionswort |Untergrad| |msw=Untergrad |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Untergrad |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmxaxxxyt0bdgrsx6ws2fp7sf6wv8rw 0 105055 1104677 1038921 2026-06-18T12:09:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104677 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |standard-graduierter Ring| |Kontext=| |SZ= }} über einem lokalen {{ Definitionslink |artinschen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R_0 |SZ=}} und sei {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Definitionslink |graduierter| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ=. }} Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom {{ Relationskette/display |P_M | \in | \Q[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |H_M(n) || P_M(n) || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |n | \gg| 0 || || || |SZ= }} das {{ Definitionswort |Hilbertpolynom| |msw=Hilbertpolynom |SZ= }} zu {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hilbertpolynom |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p9e6lxbdq4zygkwo4z1asbsk41zl6e5 0 105285 1104790 1039685 2026-06-18T12:26:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104790 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |standard-graduierter Ring| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |R_0 || K || || || |SZ= }} und sei {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlicher erzeugter| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Modul| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= R |SZ=.}} Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom {{ Relationskette/display |P_M | \in | \Q[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |H_M(n) || P_M(n) || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |n | \gg| 0 || || || |SZ= 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wenn es ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für jedes {{ Relationskette |z | \in | {{op:Offener Ball| 0 | \epsilon}} || || || |SZ= }} die Familie {{ mathbed|term= c_\nu z_1^{\nu_1 } \cdots z_n^{\nu_n } ||bedterm1= \nu \in \N^n ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=| |SZ= }} ist, also die Summe {{mathl|term= \sum_\nu c_\nu z_1^{\nu_1 } \cdots z_n^{\nu_n } |SZ=}} existiert. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen in mehreren Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konvergente Potenzreihe |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m0nx4fhzmq2rw5qzlwoj9mul69w9btr 0 108634 1104683 1038939 2026-06-18T12:09:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104683 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Schema| |Kontext=| |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |normal| |msw=Normales Schema |SZ=, }} wenn jeder {{ Definitionslink 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die formale Summe {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Hauptdivisor| f |}} || \sum_{ Y \text{ Primdivisor } } {{op:Bewertungsordnung| f | Y}} \cdot Y || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{op:Bewertungsordnung| f | Y}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=diskreter Bewertungsring| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} im lokalen Ring zu {{math|term= Y |SZ=}} bezeichnet, der durch {{math|term= f |SZ=}} definierte {{Definitionswort|Hauptdivisor|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Weildivisoren (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hauptdivisor |Definitionswort2= |Stichwort=Divisor |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7p0wxzd7z2947awstb9daiw0dcnu13f 0 108687 1104619 1091269 2026-06-18T12:00:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104619 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |lokal beringten Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=,}} einem Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} und einer globalen Funktion {{ Relationskette |f | \in | {{op:Schnittring| X |}} || || || |SZ= }} nennt man den Wert von {{math|term= f |SZ=}} im {{ Definitionslink |Restekörper| |Kontext=lokal beringt| |SZ= }} {{math|term= {{op:Restekörper| x |}} |SZ=}} von {{math|term= x |SZ=}} die {{ Definitionswort |Auswertung| |msw= |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= x |SZ=.}} Sie wird mit {{mathl|term= f(x) |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Auswertung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhy6sd0756bynq2sumsvff1pv6nkbxy 0 108983 1104781 1091513 2026-06-18T12:25:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104781 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X}} |Modul| |Kontext=Garbe| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe| F |}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Schema| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |lokal frei| |msw=Lokal freie Garbe |SZ= }} vom {{ Definitionswort |Rang| |msw= |SZ= }} {{math|term= r |SZ=,}} wenn es eine offene Überdeckung {{ Relationskette |X ||\bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|U_i }} |Modulisomorphismen| |Kontext=Garbe| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Garbe| F |}} {{|}}_{U_i } | \cong| {{makl| {{op:Strukturgarbe}}_{U_i } |}}^r || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette |i | \in | I || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokal freie Garbe |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9qqrn40rmpj4gyl1ce10odu0y1645g 0 109412 1104780 1091512 2026-06-18T12:25:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104780 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Schema| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |lokal faktoriell| |msw=Lokal faktorielles Schema |SZ=, }} wenn für jeden Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |lokale Ring| |Kontext=Schema| |SZ= }} {{math|term= {{op:Strukturgarbe|}}_{X,x} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |faktorieller Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokal faktoriellen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokal faktorielles Schema |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rwkz650fgk95hk3bvbjckprbhzagieh 0 109440 1104778 1091501 2026-06-18T12:24:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Schema| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=,}} es sei {{math|term= {{op:Garbe| L |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=}} und es seien {{ Relationskette |s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n | \in | {{op:Schnitte| X | {{op:Garbe| L |}} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |globale Schnitte| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} Dann nennt man den nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{ Relationskette |U || \bigcup_{i {{=}} 0}^n X_{s_i } || || || |SZ= }} definierten {{ Definitionslink |Morphismus| |Kontext=Schema| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | U | {{op:Projektiver Raum| n | R}} | x | {{op:Zeilenvektor|s_0(x)|s_1(x)| \ldots|s_n(x) }} |SZ=, }} den durch die {{ Definitionswort |Schnitte {{mathl|term= s_0 {{kommadots|}} s_n |SZ=}} gegebenen| |msw=Durch lineares System gegebenen Morphismus |SZ= }} oder den durch das {{ Definitionswort |lineare System {{mathl|term= s_0 {{kommadots|}} s_n |SZ=}} gegebenen Morphismus| |msw=Durch lineares System gegebenen Morphismus |SZ=. }} Er wird mit {{math|term=\varphi_{s_0 {{kommadots|}} s_n } |SZ=}} oder mit {{math|term=\varphi_{ {{op:Garbe| L |}}; s_0 {{kommadots|}} s_n } |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Morphismus zu linearem System |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnt2uqq03hfxnzceocolraoaqryx8r5 0 109445 1104783 1091517 2026-06-18T12:25:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Schema| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} und sei {{math|term= {{op:Garbe| L |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} Man nennt {{math|term= {{op:Garbe| L |}} |SZ=}} {{ Definitionswort |sehr ampel| |msw=Sehr ample Garbe |SZ=, }} wenn es eine {{ Definitionslink |Einbettung| |Kontext=Schema| |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi | X | {{op:Projektiver Raum| n | R}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für ein gewisses {{math|term= n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette/display |\varphi^*( {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum| n | R}} | 1}} ) | \cong| {{op:Garbe| L |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der sehr amplen invertierbaren Garben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Sehr ample Garbe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f7cm2tz554coi4970dpkbbu9q7ujniu 0 109473 1104779 1091509 2026-06-18T12:25:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104779 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Schema| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} und es sei {{math|term= {{op:Garbe| L |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} Ein {{ Definitionslink |lineares System| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | T | \subseteq | {{op:Schnitte| X | {{op:Garbe| L |}} }} || || || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |basispunktfrei| |msw=Basispunktfreies lineares System |SZ=, }} wenn es zu jedem Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette |s | \in | T || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | x | \in | X_s || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Basispunktfreies lineares System |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dp4imbraftrlm6d3fp1es4pwu010si9 0 110003 1104814 1039928 2026-06-18T12:30:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104814 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= E |und|term2= F |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorbündel| |Kontext=| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=.}} Ein {{ Definitionswort |Homomorphismus von Vektorbündeln| |msw=Homomorphismus von reellen Vektorbündeln |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi | E | F || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= X |SZ=}} derart, dass für jeden Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} die induzierte Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi_x | E_x|F_x || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |linear| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Homomorphismen zwischen reellen Vektorbündeln auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Homomorphismus von reellen Vektorbündeln |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rv1xgzh335xxigaw5kdz04jhpy2iv2r 0 112327 1104806 1091582 2026-06-18T12:29:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104806 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Man sagt, dass ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionswort |Trennungseigenschaft {{math|term= T_0 |SZ=}} | |msw=Trennungseigenschaft T0 |SZ= }} erfüllt, wenn es zu je zwei Punkten {{ Relationskette | x |\neq| y || || || |SZ= }} eine offene Menge {{math|term= U |SZ=}} mit {{ Relationskette | x | \in | U || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y |\notin|U || || || |SZ= }} oder eine offene Menge {{math|term= V |SZ=}} mit {{ Relationskette | x |\notin|V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y | \in | V || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie_der_Trennungseigenschaften_(Topologie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Die Trennungseigenschaft {{math|term= T0 |SZ=}} |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4o0t9rhtprsl2j130hac4h97pz3e0y 0 112330 1104807 1091583 2026-06-18T12:29:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104807 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Man sagt, dass ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} die {{ Definitionswort |Trennungseigenschaft {{math|term= T_1 |SZ=}} | |msw=Trennungseigenschaft T1 |SZ= }} erfüllt, wenn jeder Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie_der_Trennungseigenschaften_(Topologie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Die Trennungseigenschaft {{math|term= T1 |SZ=}} |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 87kj42tue0dl3pqpqp940akk0jpdvdw 0 112576 1104799 1091563 2026-06-18T12:28:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104799 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{ Abbildung/display |name= |\R \setminus {{makl| {{op:Bruch| \pi| 2}} + \Z \pi|}} |\R | x | {{op:tan| x |}} {{=|}} \frac{ {{op:sin| x |}} }{ {{op:cos| x |}} } |SZ=, }} heißt {{ Definitionswort |Tangens| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Tangens |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Tangent |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ae9flnlrg1mnywxenumu0psokqubrwq 0 112778 1104721 1039228 2026-06-18T12:15:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104721 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|gerade|msw=Gerade Funktion|SZ=,}} wenn für alle {{ Relationskette | x | \in |\R || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | f(x) || 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text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |SZ= }} der reellen {{ Definitionslink |Tangensfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} ist {{ Abbildung/display |name= |\R|] - {{op:Bruch| \pi| 2}} , {{op:Bruch| \pi| 2}} [ | x | {{op:arctan| x |}} |SZ=, }} und heißt {{Definitionswort|Arkustangens|msw=Arkustangens|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Arkustangens| |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Arctan |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} blr1c7o4nzl7bjyhnxxnuhy3uy0om9g 0 116083 1104746 1039348 2026-06-18T12:19:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104746 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |reelle Folge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge| x}} |SZ=}} heißt {{Definitionswort|wachsend|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | x_{n+1} | \geq | x_n || || || || |SZ= }} für 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se2ijoyy6mcm2d915jph3x5zsd6o54c 0 116107 1104728 1039281 2026-06-18T12:17:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104728 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | \subseteq | \R || || || |SZ= }} eine Teilmenge und sei {{ Abbildung/display |name=f | D |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} in einem Punkt {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} ein {{Definitionswort|isoliertes lokales Maximum|SZ=}} besitzt, wenn es ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette | x' | \in | D || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x-x'}} | \leq | \epsilon || || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x' |\neq| x || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | f(x) | > | f(x') || || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Isoliertes lokales Maximum |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Isolated local maximum |Stichwort=Lokal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rhxx53t5ku4s34g1jg9ggrjb5wt474t 0 116108 1104729 1039283 2026-06-18T12:17:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104729 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | \subseteq | \R || || || |SZ= }} eine Teilmenge und sei {{ Abbildung/display |name=f | D |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} in einem Punkt {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} ein {{Definitionswort|isoliertes lokales Minimum|SZ=}} besitzt, wenn es ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette | x' | \in | D || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x-x'}} | \leq | \epsilon || || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x' |\neq| x || || || |SZ= }} die 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|Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vfp2rj3n31del301w47dncs8uonbzh 0 116114 1104732 1039289 2026-06-18T12:17:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104732 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | \subseteq |\R || || || |SZ= }} eine Teilmenge und sei {{ Abbildung/display |name=f | D |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} in einem Punkt {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} ein {{Definitionswort|lokales Maximum|SZ=}} besitzt, wenn es ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette | x' | \in | D || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x-x'}} | \leq| \epsilon || || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | f(x) | \geq | f(x') || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokales Maximum |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Local maximum |Stichwort=Lokal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9x7us3ljzvqsioht5sa7dga4l7dxf9u 0 116115 1104733 1039291 2026-06-18T12:17:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104733 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Relationskette |D | \subseteq |\R || || || |SZ= }} eine Teilmenge und sei {{ Abbildung/display |name=f | D |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= f |SZ=}} in {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} ein {{Definitionswort|lokales Minimum|SZ=}} besitzt, wenn es ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette | x' | \in | D || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x-x'}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | f(x) | \leq | f(x') || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokales Minimum |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Local minimum |Stichwort=Lokal |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6darrci0w7sg4hvlj48r73da03c79sj 0 116137 1104737 1017878 2026-06-18T12:18:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104737 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Für reelle Zahlen {{ mathbed|term= a,b ||bedterm1= a \leq b ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man {{ Relationskette | [a,b] || {{Mengebed| x \in \R| x \geq a \text{ und } x \leq b}} || || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|abgeschlossene Intervall|msw=Abgeschlossenes Intervall|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Abgeschlossenes Intervall |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Closed interval |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lt6bc0sjkdjywfmno3022qd2und2afr 0 116138 1104738 1017880 2026-06-18T12:18:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104738 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Für reelle Zahlen {{ mathbed|term= a,b ||bedterm1= a \leq b ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man {{ Relationskette | ]a,b[ || {{Mengebed| x \in \R| x > a \text{ und } x < b}} || || || || |SZ= }} das {{Definitionswort|offene Intervall|msw=Offenes Intervall|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Offenes Intervall |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Open interval |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s7b4wi9ygs3a1w54ozpoiav0kdsm01n 0 116633 1104934 1101809 2026-06-18T14:53:47Z Bocardodarapti 2041 1104934 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | V || A \uplus B || || || |SZ= }} eine bipartite Zerlegung eines bipartiten Graphen. In jedem {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} in einem bipartiten Graphen gehören die Knoten abwechselnd zu {{math|term= A |SZ=}} oder zu {{math|term= B |SZ=.}} Die Existenz eines Kreises mit ungerader Anzahl führt daher direkt zu einem Widerspruch. {{parskip|}} Es sei nun umgekehrt die Kreisbedingung erfüllt. Wir können annehmen, dass {{math|term= G |SZ=}} {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=Graph| |SZ= }} ist. Es sei {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} ein fixierter Punkt. Wir definieren {{ Relationskette/display | A || {{Mengebed| x \in V| \text{ es gibt einen geradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || {{Mengebed| x \in V| \text{ es gibt einen ungeradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ=. }} Wegen der Zusammenhangseigenschaft ist {{ Relationskette/display | V || A \cup B || || || |SZ=. }} Nehmen wir an, dass {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nicht disjunkt sind, sagen wir {{ Relationskette | y | \in | A \cap B || || || |SZ=. }} Es gibt dann Wege {{ Relationskette/display | v || v_0 | \sim | v_1 | {{simdots|}} | v_r || y || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | v || v_0 | \sim |u_1 | {{simdots|}} | u_s || y || |SZ= }} mit {{math|term= r |SZ=}} gerade und mit {{math|term= s |SZ=}} ungerade. Indem man die beiden Wege zusammensetzt, erhält man einen Zyklus mit ungerade vielen Knoten. Wenn es in ihm eine Knotenwiederholung gibt, so kann man daraus zwei kleinere Zyklen herausarbeiten, von denen einer ebenfalls eine ungerade Anzahl besitzt. Somit erhält man auch einen ungeraden Kreis im Widerspruch zur Voraussetzung. Die beiden Mengen sind also disjunkt. Wenn es eine Kante innerhalb von {{math|term= A |SZ=}} geben würde, so würden die daran beteiligten Punkte sofort auch zu {{math|term= B |SZ=}} gehören im Widerspruch zur gezeigten Disjunktheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ef4gxu0hhlsq359vvb0kv5ymxj7twyg 0 116635 1104932 1018122 2026-06-18T14:48:33Z Bocardodarapti 2041 1104932 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionswort |vollständige bipartite Graph| |msw=Vollständiger bipartiter Graph |SZ= }} {{mathl|term= K_{m,n} |SZ=}} ist derjenige {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ=, }} dessen Knotenmenge aus der disjunkten Vereinigung einer {{math|term= m |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= A |SZ=}} und einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= B |SZ=}} besteht und dessen Kantenmenge durch {{ Relationskette/display | E || {{Mengebed| \{a,b\} | a \in A | b \in B }} || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Vollständiger bipartiter Graph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0zlfyxx4vm63o60geop303118ov8c58 0 117052 1104635 1038578 2026-06-18T12:02:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104635 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge. Eine Teilmenge {{ Relationskette | P | \subseteq | {{op:Potenzmenge| M |}} || || || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Partition| |msw= |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=,}} falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Für alle {{ Relationskette |A | \in | P || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette |A |\neq| \emptyset || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette |A,B | \in | P || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |A |\neq|B || || || |SZ=, }} gilt {{ Relationskette | A \cap B || \emptyset || || || |SZ=. }} |Die Elemente von {{math|term= P |SZ=}} bilden eine Überdeckung von {{math|term= M |SZ=,}} d.h. jedes Element von {{math|term= M |SZ=}} liegt in mindestens einem Element von {{math|term= P |SZ=.}} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Partition |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfiayirkjmll49j735a7erxemadwxk1 0 117191 1104832 1040196 2026-06-18T12:33:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104832 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |algebraischen Verband| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (M, \sqcap,\sqcup) |SZ=}} nennt man die durch {{ Relationskette/display | y | \geq | x || || || |SZ=, }} falls {{ Relationskette/display | x \sqcap y || x || || || |SZ=, }} definierte {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=| |SZ=, }} die {{ Definitionswort |zugehörige Ordnung| |msw=Zugehörige Ordnung (Verband) |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zugehörige Ordnung (Verband) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqm5dga9c1i4mkc86fgf941eiguuyjw 0 118387 1104636 1077823 2026-06-18T12:02:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104636 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (M,R) |und|term2= (N,S) |SZ= }} Mengen mit darauf erklärten {{ Definitionslink |Relationen| |Kontext=Menge| |SZ= }} {{ mathkor|term1= R |bzw.|term2= S |SZ=. }} Man nennt eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | M|N || |SZ= }} {{ Definitionswort |relationstreu| |msw=Relationstreue Abbildung |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionswort |relationserhaltend| |msw=Relationserhaltende Abbildung |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn für alle {{ Relationskette | x,y | \in | M || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= xRy|SZ=}} auch {{mathl|term= \varphi(x) S \varphi(y) |SZ=}} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der relationserhaltenden Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Relationstreue Abbildung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtfmlibrlcp28h2n38ozwhqaej7iikr 0 118502 1104624 1040016 2026-06-18T12:01:03Z Bocardodarapti 2041 1104624 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu zwei {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} nennt man den Graphen mit Knotenmenge {{mathl|term= V \times W |SZ=,}} wobei zwischen zwei Knoten {{ mathkor|term1= (v_1,w_1) |und|term2= (v_2,w_2) |SZ= }} genau dann eine Kante besteht, wenn entweder {{ Relationskette |v_1 || v_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \{w_1 , w_2\} | \in | F || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |w_1 || w_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \{v_1 , v_2\} | \in | E || || || |SZ= }} gilt, das {{ Definitionswort |kartesische Produkt| |msw=Kartesisches Produkt (Graphen) |SZ= }} der Graphen. Es wird mit {{mathl|term= G \square H |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kartesisches Produkt (Graph) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mj09ue43f88581097dmvcvx3w6u5fva 0 118567 1104955 1086020 2026-06-19T06:34:49Z Bocardodarapti 2041 1104955 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2). Da es eine Paarung für {{math|term= A |SZ=}} gibt, ist die Paarungszahl zumindest {{math|term= {{op:Anzahl| A |}} |SZ=.}} Größer kann die Paarungszahl aber auch nicht sein, da ja jede Paarung Bezug auf die beiden Teile {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nimmt. Von (2) nach (1) ist klar. {{parskip|}} Da man aus einer Paarung für {{math|term= A |SZ=}} eine injektive Abbildung von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} mit der beschriebenen Kantenbedingung und aus einer solchen Abbildung umgekehrt direkt eine Paarung machen kann, sind (1) und (4) äquivalent. Von (3) nach (4) folgt direkt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt |Nr= |SZ=, }} wenn man {{ Relationskette |N(S) || \bigcup_{s \in S} N(s) || || || |SZ= }} berücksichtigt. Von (4) nach (3) ist trivial. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rxtkzrlslxyoe07secbacowjvxx18l 0 119096 1104931 1037949 2026-06-18T14:47:25Z Bocardodarapti 2041 1104931 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} disjunkte Mengen und sei {{math|term= R |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Dann erhält man auf {{ Relationskette/display |V | {{defeq|}} | A \uplus B || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |bipartiten Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} indem man {{mathl|term= \{a,b\} |SZ=}} als Kante erklärt, falls {{ Relationskette | (a,b) | \in | R || || || |SZ= }} gilt. Dadurch entsteht auf {{math|term= V |SZ=}} eine symmetrische Relation allein dadurch, dass {{math|term= A |SZ=}} und {{math|term= B |SZ=}} feste Rollen in der Relation {{math|term= R |SZ=}} haben. Dies muss man sich klar machen, um vor Missverständnissen geschützt zu sein. Wenn beispielsweise {{math|term= A |SZ=}} eine Menge von Männern und {{math|term= B |SZ=}} eine Menge von Frauen ist und {{ Relationskette | (a,b) | \in | R || || || |SZ= }} bedeutet, dass {{math|term= a |SZ=}} Person {{math|term= b |SZ=}} nett findet, so bedeutet die Kante {{mathl|term= \{a,b\} |SZ=}} genau dies, dass {{math|term= a |SZ=}} die Person {{math|term= b |SZ=}} nett findet, nicht, dass sie sich gegenseitig nett finden. Dies gilt auch, wenn man die Kante als {{mathl|term= \{b,a\} |SZ=}} schreibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3y6pd0v2dldliz2h1n3zkg72rhwevuo 106 121871 1104977 1099805 2026-06-19T09:15:02Z Bocardodarapti 2041 1104977 wikitext text/x-wiki {{ Klausur14 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe|p||| |Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe|p||| |Eissorten/Auswahl/Lucy/Aufgabe|p||| |Vier Geraden/Zwei Schnittpunkte/Raum und Ebene/Aufgabe|p||| |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/15 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/Teilerfremd/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelationen/Isomorph/Einzeln ordnungstreu/Aufgabe|p||| |Linearer Graph/7/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|p||| |Graph/Durchmesser/Aufspannender Baum/Aufgabe|p||| |Graph/Charakteristisches Polynom/Spur/Eigenwerte/Aufgabe|p||| |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ph7n1fm55kc9e0un09rev3vi7tc5xup 106 121952 1104921 1093639 2026-06-18T14:13:12Z Bocardodarapti 2041 1104921 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe|p||| |Mörder/Aussagenlogik/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p||| |Schokolade/Heidi Gonzales/Aufteilung/Karate/Aufgabe|p||| |Fußball/8 zu 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5v9ilfzj3kaus00tns7w6c57rqfnn3n 106 121960 1104949 1097372 2026-06-19T06:16:19Z Bocardodarapti 2041 1104949 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Voller Zyklus/Anzahl/Aufgabe|p||| |Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p||| |2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe|p||| |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |Graphentheoretische Konzepte/Osnabrücker 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von Berge|Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt |Nr= |SZ= }} postulierten alternierenden Weg und die dazugehörige optimale Paarung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kggtbjhwpvkuwz0li9nlygpbsvodlzq 0 123084 1104772 1091485 2026-06-18T12:23:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104772 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |SZ=. }} Eine {{ Definitionswort |meromorphe Funktion| |msw=Meromorphe Funktion |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=}} ist gegeben durch eine {{ Definitionslink |diskrete Menge| |SZ= }} {{ Relationskette |D | \subseteq | X || || || |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |X \setminus D| {{CC|}} || |SZ= }} derart, dass für jedes {{ Relationskette | x | \in | D || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Funktionslimes| y | x |f(y)}} |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} existiert oder gleich {{math|term=\infty|SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Meromorphe Funktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qvl30wrix98a0honl7dsz7e50dvw43 0 123126 1104773 1039497 2026-06-18T12:24:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104773 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=Topologie| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |SZ= }} und {{ Relationskette |f |\neq| 0 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} Dann nennt man die formale Summe {{ Math/display|term= \sum_{x \in X} \operatorname{ord}_x(f) \cdot x |SZ= }} den {{ Definitionswort |Hauptdivisor| |msw=Hauptdivisor |SZ= }} zu {{math|term= f |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor| f |}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hauptdivisor |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t20uu72mlcgc1yfudsj4cp96skylrgx 0 123184 1104767 1039463 2026-06-18T12:23:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104767 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name=\varphi | X | Y || |SZ= }} eine nichtkonstante {{ Definitionslink |holomorphe Abbildung| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |zusammenhängenden| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannschen Flächen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Relationskette | y || \varphi(x) || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= z |SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokaler Parameter| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} um {{math|term= y |SZ=.}} Dann nennt man die {{ Definitionslink |Nullstellenordnung| |Kontext=holomorphe Funktion| |SZ= }} der {{ Zusatz/Klammer |text=in einer offenen Umgebung von {{math|term= x |SZ=}} definierten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |holomorphen Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= z \circ \varphi |SZ=}} im Punkt {{math|term= x |SZ=}} den {{ Definitionswort |Verzweigungsindex| |msw=Verzweigungsindex |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} in {{math|term= x |SZ=.}} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Verzweigungsordnung| x |\varphi(x)}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Verzweigungsindex |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kinedbfcw9jxkouz4d0v8mx654yxtsd 0 123261 1104813 1091591 2026-06-18T12:30:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104813 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Garbe| G |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prägarbe| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |topologischen Raum| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=.}} Unter dem {{ Definitionswort |Ausbreitungsraum| |msw=Ausbreitungsraum |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Garbe| G |}} |SZ=}} versteht man die Menge {{ Relationskette/display | {{op:Garbe| G |}}^{\operatorname{et} } | {{defeq|}} | \biguplus_{x \in X} {{op:Garbe| G |}}_x || || || |SZ= }} zusammen mit der Projektion {{ Abbildung/display |name=p | {{op:Garbe| G |}}^{\operatorname{et} } | X || |SZ=, }} die einem jeden {{ Definitionslink |Keim| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (x,t) |SZ=}} seinen Basispunkt {{math|term= x |SZ=}} zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch die {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Topologie| |SZ= }} {{ Relationskette/display | (U,s) || {{Mengebed|(x,s_x) | x \in U}} || || || |SZ= }} zu offenen Mengen {{ Relationskette |U | \subseteq | X || || || |SZ= }} und Schnitten {{ Relationskette |s | \in | {{op:Schnitte| U | {{op:Garbe|G}} }} || || || |SZ= }} definiert wird. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Ausbreitungsraumes zu einer Garbe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ausbreitungsraum |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56zc3b9r0ih2w469l83pxb9ftxj0u8d 0 123263 1104793 1039703 2026-06-18T12:27:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104793 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | X | Y || |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |topologischen Räumen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X}} und {{math|term= Y}} heißt {{Definitionswort|lokaler Homöomorphismus|msw=Lokaler Homöomorphismus|SZ=,}} wenn es zu jedem Punkt {{ Relationskette | x | \in | X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Umgebung| |SZ= }} {{ Relationskette | x | \in | U || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term= \varphi(U) |SZ=}} offen in {{math|term= Y |SZ=}} ist und dass die Einschränkung {{ Abbildung/display |name= | U |\varphi(U) || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Homöomorphismus| |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokalen Homöomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokaler Homöomorphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8s6amd5gmqwt5e0a309a2sqns4p35dg 0 123284 1104768 1039471 2026-06-18T12:23:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104768 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |SZ= }} und sei {{ Abbildung |name=\gamma | [0,1] | X || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |stetiger Weg| |SZ= }} mit {{ Relationskette | \gamma(0) || x || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \gamma(1) || y || || || |SZ=. }} Man sagt, dass ein {{ Definitionslink |holomorpher Funktionskeim| |SZ= }} {{ Relationskette |g | \in | {{op:Strukturgarbe||}}_{X,y} || || || |SZ= }} aus einem holomorphen Funktionskeim {{ Relationskette |f | \in | {{op:Strukturgarbe||}}_{X,x} || || || |SZ= }} durch {{ Definitionswort |analytische Fortsetzung| |msw=Analytische Fortsetzung |SZ= }} längs {{math|term=\gamma|SZ=}} hervorgeht, wenn es Punkte {{ Relationskette | 0 ||t_0 | < | t_1 | < | \ldots | < | t_{n-1} | < | t_n || 1 |SZ=, }} zusammenhängende offene Mengen {{ Relationskette |U_i | \subseteq | X || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \gamma( [t_{i-1}, t_{i} ] | \subseteq | U_i || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |holomorphe Funktionen| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{ Relationskette |f_i | \in | {{op:SchnittringX|U_i |}} || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette |f_1 || f || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |f_n || g || || || |SZ= }} und {{ mathkor|term1= f_i |und|term2= f_{i+1} |SZ= }} in einer offenen Umgebung von {{mathl|term= \gamma(t_i) |SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der analytischen Fortsetzung von holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Analytische Fortsetzung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pc1p6gp0r5dotx39lx2elhm57zmz5ml 0 124027 1104848 1091657 2026-06-18T12:36:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104848 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{math|term= r |SZ=}} reellen Einbettungen und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen und es sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots}} u_{r+s-1} |SZ=}} ein System von {{ Definitionslink |Fundamentaleinheiten| |Kontext=| |SZ=. }} Dann nennt man den {{ Definitionslink |Betrag| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der reellen {{ Definitionslink |Prämath=(r+s-1) \times (r+s-1) |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| L_1(u_1)| \ldots|L_1(u_{r+s-1})|\vdots| \ddots|\vdots| L_{r+s-1}(u_1)| \ldots | L_{r+s-1} (u_{r+s-1}) |}} |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |L ||(L_1 {{kommadots|}} L_{r+s}) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |logarithmische Gesamtabbildung| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet, den {{ Definitionswort |Regulator| |msw= |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= {{op:Regulator| R |}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Regulators eines Zahlbereiches |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Regulator |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} egtxg3qwxpdz3ebj0kt11l3wqnl4qo8 0 124171 1104817 1091611 2026-06-18T12:31:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104817 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=Ring| |SZ= }} der Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| 1 | b_1 | b_1^2| \ldots| b_1^{n-1}| 1 | b_2 |b_2^2| \ldots| b_2^{n-1}|\vdots|\vdots| \ddots|\vdots|\vdots| 1 | b_{n-1} | b_{n-1}^2| \ldots| b_{n-1}^{n-1}| 1 | b_n |b_n^2| \ldots| b_n^{n-1}||}} |SZ= }} zu Elementen {{ Relationskette |b_1 {{kommadots|}} b_n | \in | R || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Vandermonde-Matrix| |msw=Vandermonde-Matrix |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Matrizen (kommutativer Ring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Vandermonde-Matrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nr1vmty6zzwuut3278yhlk6ixqxg43h 106 128528 1104740 933976 2026-06-18T12:19:00Z Bert Niehaus 20843 /* Verallgemeinerung */ 1104740 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>p_\alpha(v) = \|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]]. ==== Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten ==== Mit dieser Halbnorm ist dann <math>(V, p)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]], der aber im Allgemeinen kein metrischer Raum ist. Durch [[w:de:Restklasse|Restklasse]]nbildung lässt sich aus einer Halbnorm aber eine zugehörige Norm ableiten und so erhält man wieder einen normierten Raum und damit auch einen metrischen und einen topologischen Raum. ==== Beispiel - Kovarianz ==== Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] fdztxgrfral98tyi8ru07g0ca8yfwsm 1104881 1104740 2026-06-18T13:23:59Z Bert Niehaus 20843 /* Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten */ 1104881 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>p_\alpha(v) = \|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]]. ==== Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten ==== Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: Durch [[w:de:Restklasse|Restklasse]]nbildung lässt sich aus einer Halbnorm aber eine zugehörige Norm ableiten und so erhält man wieder einen normierten Raum und damit auch einen metrischen und einen topologischen Raum. ==== Beispiel - Kovarianz ==== Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] p2r4k6gum4tmkqurdypmwlrxdnprfpx 1104883 1104881 2026-06-18T13:27:41Z Bert Niehaus 20843 /* Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt */ 1104883 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math>\|v\|_\alpha = 0}</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ==== Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten ==== Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: Durch [[w:de:Restklasse|Restklasse]]nbildung lässt sich aus einer Halbnorm aber eine zugehörige Norm ableiten und so erhält man wieder einen normierten Raum und damit auch einen metrischen und einen topologischen Raum. ==== Beispiel - Kovarianz ==== Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] i8qchap4lo7h57dhdwpitxndaka8acj 1104884 1104883 2026-06-18T13:28:06Z Bert Niehaus 20843 /* Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt */ 1104884 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ==== Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten ==== Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: Durch [[w:de:Restklasse|Restklasse]]nbildung lässt sich aus einer Halbnorm aber eine zugehörige Norm ableiten und so erhält man wieder einen normierten Raum und damit auch einen metrischen und einen topologischen Raum. ==== Beispiel - Kovarianz ==== Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 67hc4ej1o4l87wdt31pmt4az47s9p3q 1104891 1104884 2026-06-18T13:39:01Z Bert Niehaus 20843 /* Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten */ 1104891 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ==== Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten ==== Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. ==== Beispiel - Kovarianz ==== Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] jj0nd4a3syrybg9vexwdxhyzdf0kxs4 1104892 1104891 2026-06-18T13:39:37Z Bert Niehaus 20843 /* Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten */ 1104892 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. ==== Beispiel - Kovarianz ==== Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 159m85sxe2bwipto4l9qhsik35k8xa8 1104893 1104892 2026-06-18T13:40:22Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Kovarianz */ 1104893 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 4sscbm79fgggojlxayyuo6ibyxydlsx 1104894 1104893 2026-06-18T13:40:54Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1104894 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 7bdg7ruq383doftpmcmrj0sud3xyqpq 1104896 1104894 2026-06-18T13:41:40Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt */ 1104896 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[w:de:Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] b9fxq1dj6sevu2vla2ozbrzbgjcv93u 1104898 1104896 2026-06-18T13:42:26Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt */ 1104898 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] qn60xy8oisjt652prz1rgudf7lm6n9q 1104900 1104898 2026-06-18T13:47:30Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben - Orthogonalprojektion */ 1104900 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 6yug5tiz7d6tp66cjvt4dwds8f5f9as 1104902 1104900 2026-06-18T13:50:37Z Bert Niehaus 20843 /* Satz des Pythagoras */ 1104902 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] m1zpt2m8wi0jiktnitrd1jav9nsi0qs 1104903 1104902 2026-06-18T13:51:11Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1104903 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> '''(Orthogonale Funkltion)''' Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] jmonna0rjvvvxptdz0982x9l032b2oa 1104906 1104903 2026-06-18T13:58:26Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion */ 1104906 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> ==== Skalarprodukt ==== Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \langle f, g \rangle = \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = </math> ==== Orthogonale Funktion==== Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> '''(Normalisierung)''' Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] fqkngdeknx01nzy2pm89qecjf2pbov1 1104907 1104906 2026-06-18T13:58:54Z Bert Niehaus 20843 /* Orthogonale Funktion */ 1104907 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> ==== Skalarprodukt ==== Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \langle f, g \rangle = \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = </math> ==== Orthogonale Funktion==== Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> ==== Normalisierung ==== Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] lkjwdfc1affj6blce20cicptclod048 1104908 1104907 2026-06-18T14:00:44Z Bert Niehaus 20843 /* Skalarprodukt */ 1104908 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. === Cauchy-Schwarz-Ungleichung === Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. ==== Reeler Fall ==== Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, ==== Winkel zwischen Vektoren ==== Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> ==== Orthogonalprojektion von Vektoren ==== Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> ==== Aufgabe - Strahlensatz ==== Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> ==== Skalarprodukt ==== Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \langle f, g \rangle = \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt </math> ==== Orthogonale Funktion==== Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> ==== Normalisierung ==== Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] mo4zt9vwwchby1ukvdlj7bgsy44qdhg 1104910 1104908 2026-06-18T14:02:00Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Schwarz-Ungleichung */ 1104910 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. == Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, === Winkel zwischen Vektoren === Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> === Orthogonalprojektion von Vektoren === Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> === Aufgabe - Strahlensatz === Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> ==== Skalarprodukt ==== Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \langle f, g \rangle = \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt </math> ==== Orthogonale Funktion==== Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> ==== Normalisierung ==== Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 71xrjhv53f4uci7s5dggraf8xgm0dxo 1104912 1104910 2026-06-18T14:03:16Z Bert Niehaus 20843 /* Winkel zwischen Vektoren */ 1104912 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. == Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> === Orthogonalprojektion von Vektoren === Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> === Aufgabe - Strahlensatz === Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> ==== Skalarprodukt ==== Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \langle f, g \rangle = \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt </math> ==== Orthogonale Funktion==== Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> ==== Normalisierung ==== Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 82e5jygvrmoguyhbj09v3sejbgxklk7 1104913 1104912 2026-06-18T14:03:31Z Bert Niehaus 20843 /* Orthogonalprojektion von Vektoren */ 1104913 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. == Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> == Orthogonalprojektion von Vektoren == Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> === Aufgabe - Strahlensatz === Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> ==== Skalarprodukt ==== Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \langle f, g \rangle = \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt </math> ==== Orthogonale Funktion==== Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> ==== Normalisierung ==== Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] kgwjdya9xda4pytokkmc8jktbw8lg9j 1104914 1104913 2026-06-18T14:04:53Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1104914 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Skalarproduktnorm''', '''Innenproduktnorm''' oder '''Hilbertnorm''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine von einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''induzierte''' (abgeleitete) [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. In einem endlichdimensionalen [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] entspricht die Skalarproduktnorm gerade der [[w:de:Euklidische Norm|euklidischen Norm]]. === Prähilbertraum und Norm === Allgemein besitzt jeder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]]. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] erfüllt. === Cauchy-Schwarzsche Ungleichung === Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] und ist [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. == Klassifikation topologischer Räume == [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik]] == Definition: Prähilbertraum == Ist <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über den [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>{\mathbb K}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] auf <math>V \times V</math>, dann ist <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein [[w:de:Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] oder [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. Die von diesem Skalarprodukt induzierte [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] ist für einen Vektor <math>v \in V</math> dann definiert als :<math>\| v \| := \sqrt{\langle v, v\rangle}</math>, also die [[w:de:Quadratwurzel|Wurzel]] aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. === Bemerkung: Wohldefiniertheit === Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. === Zusammenhang - Topologische Räume === Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|Seiten=100}}</ref> Innenproduktnorm<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Jahr=2006|Seiten=148}}</ref> oder Hilbertnorm<ref>{{Literatur|Autor=Amann, Escher|Titel=Analysis I|Jahr=2006|Seiten=168}}</ref> und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Jahr=2008|Seiten=368}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Beutelspacher|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2003|Seiten=259}}</ref> Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:normierter Raum|normierter Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math>. Weiterhin ist <math>V</math> mit der von der Norm induzierten Metrik <math>d</math> ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(V, d)</math> und mit der [[w:de:Normtopologie|Normtopologie]] <math>\mathcal T</math> ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(V, {\mathcal T})</math>. == Beispiele == Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem <math>\mathbb{R}^n</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math> definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt. === Euklidische Norm === Die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] auf dem [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] der endlichdimensionalen Vektoren, === Skalarproduktnorm auf Folgenräumen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ²''-Norm]] auf dem [[w:de:Folgenraum|Raum ''ℓ²'']] der quadratisch summierbaren Folgen, === ''L²''-Norm auf Vektorräume von Funktionen === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L²''-Norm]] auf dem [[w:de:Lp-Raum|Raum ''L²'']] der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen, === Sobolev-Norm === Die [[w:de:Norm (Mathematik)#Sobolev-Normen|Sobolev-Norm]] auf dem [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum ''H^s'']] der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>s</math> quadratisch Lebesgue-integrierbar sind, === Frobenius-Norm === Die [[w:de:Frobeniusnorm|Frobenius-Norm]] auf dem [[w:de:Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Raum der Matrizen]], === Hilbert-Schmidt-Norm === Die [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator#Motivation und Definition|Hilbert-Schmidt-Norm]] auf dem Raum der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operator]]en. == Eigenschaften == * Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung <math>\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }</math> ist eine Norm. * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung * In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] == Normeigenschaften == [[Datei:Vector triangle inequality vw.PNG|mini|Vektoren in der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]]] Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei [[w:de:Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] * (N1) [[w:de:Definitheit|Definitheit]], * (N2) [[w:de:Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und * (N3) [[w:de:Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] bzw. Dreiecksungleichung. === Beweis N1 - Definitheit === Die Definitheit folgt für <math>v \in V</math> aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über :<math>\| v \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{ \langle v, v \rangle } = 0 \; \Rightarrow \; \langle v, v \rangle = 0 \; \Leftrightarrow \; v = 0</math>, === Beweis N2 - Absolute Homogenität === Die absolute Homogenität folgt für <math>v \in V</math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper <math>\mathbb{R}</math> bzw. Sesquilinearität über <math>\mathbb{C}</math> mit :<math>\| \lambda v \|^2 = \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \lambda \langle v, v \rangle = | \lambda |^2 \| v \|^2</math> === Beweis: N3 - Dreiecksungleichung === Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] (oder [[w:de:Dreiecksungleichung|Subadditivität]]) folgt für <math>v, w \in V</math> über die [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] (siehe den folgenden Abschnitt) aus ==== Abschätzung der Norm ==== :<math>\begin{align} \| v + w \|^2 & = \langle v + w, v + w \rangle = \langle v, v \rangle + \langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ & = \| v \|^2 + \langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle} + \| w \|^2 \\ & = \| v \|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle v, w \rangle + \| w \|^2 \leq \| v \|^2 + 2 \, \| v \| \, \| w \| + \| w \|^2 \\ & = \left( \| v \| + \| w \| \right)^2 \, ,\end{align}</math> ==== Bemerkung zur Abschätzung ==== Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil <math>Re(z) = z_1</math> einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann. :<math>\operatorname{Re} \langle v, w \rangle \leq |\langle v, w \rangle| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math> wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und <math>|z|</math> der Länge der Hypothenuse. ==== Bemerkung Dreiecksungleichung ==== Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm. == Aufgabe für Lernende == [[Datei:01 Satz des Thales.gif|mini|Satz des Thales]] * Formulieren Sie den [[w:de:Satz_des_Thales|Satz des Thales]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. * Formulieren Sie den [[w:de:Höhensatz|Höhensatz]] in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten <math>x,y \in V\setminus \{0_V\}</math> mit <math>\langle x,y \rangle = 0</math> und der Hypotenuse <math>x+y \in V\setminus \{0_V\}</math>. ** Tragen Sie die Höhe <math>h</math> und die Hypothenusenabschnitte <math>p,q</math> ein. ** Stellen Sie <math>x,y</math> durch die Vektor <math>h,p,q</math>. ** Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze. * Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden? == Parallelogrammgleichung == [[Datei:Parallelogram equality.svg|mini|Vektoren in der [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] ]] Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung :<math>\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 ( \| v \|^2 + \| w \|^2 )</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math>. === Satz von Jordan - von Neumann === Umgekehrt gilt nach dem [[w:de:Satz von Jordan-von Neumann|Satz von Jordan-von Neumann]]: erfüllt eine Norm <math>\| \cdot \|</math> die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]], bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch :<math>\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} (\| v + w \|^2 - \| v - w \|^2 )</math>. === Unitäre Invarianz === Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin [[w:de:Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[w:de:Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]]. Ist <math>U\colon V \rightarrow W</math> ein [[w:de:unitärer Operator|unitärer Operator]] (im endlichdimensionalen Fall eine [[w:de:Unitäre Matrix|unitäre]] bzw. [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]]) von <math>V</math> in einen weiteren Skalarproduktraum <math>W</math> mit zugehöriger Norm, dann gilt :<math>\| U v \| = \| v \|</math>, ==== Beweis für die Norminvaranz ==== Die Gleichung <math>\| U v \| = \| v \|</math> folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette: :<math>\| U v \|^2 = \langle U v, U v \rangle = \langle U^{\ast} U v, v \rangle = \langle v, v \rangle = \| v \|^2</math> Dabei ist <math>U^{\ast}</math> der zu <math>U</math> [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die [[w:de:Adjungierte Matrix|adjungierte]] bzw. [[w:de:transponierte Matrix|transponierte Matrix]]). ==== Geometrischer Bezug ==== Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise [[w:de:Drehmatrix|Drehungen]] des Vektors um den [[w:de:Nullpunkt|Nullpunkt]]. == Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \, \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}\leq 1</math>, == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei reellen Vektoren über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> definieren. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> == Orthogonalprojektion von Vektoren == Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren <math>v,w\in V</math>, dann kann man die Orthogonalprojektion <math>P_w: V \to V</math> von <math>v</math> auf <math>w</math> durch das Skalarprodukt ausdrücken: :<math>P_w(v) = \underbrace{\frac{\langle v, w \rangle}{\| w \|^2}}_{=:\lambda} \cdot w</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_w(v)</math> in dem von <math>w</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V</math> === Aufgabe - Strahlensatz === Betrachten Sie die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \, \| w \|}</math> <span id="Orthogonalprojektion"></span> === Aufgaben - Orthogonalprojektion === Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im <math>\mathbb{R}^1</math>. [[Datei:Dot-product-2.svg|200px|center|Orthogonalprojektion]] ==== Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion ==== Berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>\vec{b}_{\vec{a}}\in V\setminus \{0_V\}</math> eines Vektors <math>\vec{b}\in V\setminus \{0_V\}</math> auf einen Vektors <math>\vec{a}\in V\setminus \{0_V\}</math> mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im <math>\mathbb{R}^2</math> und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}=(1,3)\in \mathbb{R}^2</math>. Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt <math>\vec{b}_{\vec{a}}</math>. Zeigen Sie, dass <math>\vec{a}=(5,1)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>\vec{b}-\vec{b}_{\vec{a}}\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht zueinander stehen. ==== Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion ==== Übertragen Sie das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger <math>[0,2\pi]</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnen Sie die Orthogonalprojektion <math>g_f</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in V := \mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{C})</math> mit: * <math>f(t):= 2\cdot t + (i+1) \cdot t^3</math> * <math>g(t):= t^2 + i t</math> ==== Skalarprodukt ==== Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \langle f, g \rangle = \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt </math> ==== Orthogonale Funktion==== Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> und zeigen Sie, dass <math>f_0:=f-P_g(f)</math> orthogonal orthogonal zu <math>g</math>! Berechnen Sie das Skalarprodukt <math>\langle g,f_o\rangle</math> mit: :<math>P_g(f) = \underbrace{\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2}}_{=:\lambda} \cdot g</math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>V.</math> ==== Normalisierung ==== Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f</math> zu <math>f_o</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) und mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt ==== Vorbemerkung zu Aufgabe 3 ==== Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede [[w:de:Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[w:de:Definitheit|positiv definite]] [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = x^T M y = \langle x, My \rangle</math> erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite [[w:de:hermitesche Matrix|hermitesche Matrix]] <math>M</math> über :<math> \langle x, y\rangle_{{}_M} = \overline{x}^T M y = \langle x, My \rangle</math> möglich. ==== Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften ==== Geben Sie ein Skalarprodukt <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{_M}</math> auf dem <math>\mathbb{R}^2</math> an, bei dem die Vektoren <math>v:=(1,0)\in \mathbb{R}^2</math> und <math>w:=(1,1)\in \mathbb{R}^2</math> senkrecht aufeinander stehen - also <math>\langle v,w\rangle_{_M} = 0</math> gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_{_M} </math>: :<math> M = \left( \begin{array}{cc} m_{1} & m_{2} \\ m_{2} & m_{3}\\ \end{array} \right) </math> === Satz des Pythagoras === Allgemein werden zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]] genannt, wenn ihr Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] für Skalarprodukträume :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. ==== Erweiterung von Pythagoras ==== Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] (siehe auch [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]). == Verallgemeinerung - Semiskalarprodukt == Verzichtet man auf die [[w:de:Definitheit|positive Definitheit]] des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jedes '''Semiskalarprodukt''' (d.h. jede positiv semidefinite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] über <math>\mathbb{C}</math> bzw. jede [[w:de:symmetrische Bilinearform|symmetrische Bilinearform]] über <math>\mathbb{R}</math> ) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \rightarrow {\mathbb K}</math> induziert für <math>v \in V</math> durch :<math>\|v\|_\alpha = \sqrt{\langle v, v \rangle_\alpha}</math> eine [[w:de:Halbnorm|Halbnorm]], wobei aus <math> \|v\|_\alpha = 0</math> nicht notwendig <math> v = 0_{_V}</math> folgt. ===Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten === Mit einem System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semiskalarprodukten entsteht ein System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math>. Während mit eine Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> dann <math>(V, \|\cdot \|_\alpha)</math> ein [[w:de:halbnormierter Raum|halbnormierter Raum]] ist, kann durch eine System von Halbnormen <math>\|\cdot \|_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> dennoch eine Trennungseigenschaft erzielt werden. Dies wird durch die folgende Eigenschaft beschrieben: === Äquivalenzklassenbildung === Durch [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassenbildung]] kann man aus der lokalkonvexen Raum mit der Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> einen normierten Raum <math>V_\alpha := V/N_\alpha</math> machen, wobei <math>N_\alpha := \overline{\{v\in V \colon \|v\|_\alpha = 0 \}}</math> der Untervektorraum von <math>V</math> ist, bzgl. dem der [[w:de:Quotientenraum|Quotientenraum]] gebildet wird. Die Norm von <math>v_\alpha := v + N_\alpha </math> wird durch die Halbnorm eines Repräsentanten festgelelgt <math> \|v_\alpha\| := \|v\|_\alpha</math>. Mit <math>(V_\alpha,\|\cdot )</math>, lässt sich aus einer Halbnorm <math>\|\cdot \|_\alpha</math> also eine zugehörige Norm <math>\|\cdot \|</math> auf <math>V_\alpha</math> ableiten und so erhält man wieder einen [[Normen, Metriken, Topologie#Norm|normierten Raum]] und auch einen [[Normen, Metriken, Topologie#Metrik|metrischen]] bzw. allgemeiner einen [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|topologischen Raum]]. <span id="Kovarianz"></span> === Beispiel - Kovarianz als Semiskalarprodukt === Die [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] ist eine Bilinearform auf dem Raum der [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]]n mit endlichen [[w:de:Moment (Stochastik)|zweiten Momenten]], und wird zu einem Skalarprodukt auf dem [[w:de:Faktorraum|Quotientenraum]] der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die [[w:de:Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] einer Zufallsvariablen. == Literatur == * {{Literatur|Autor=Herbert Amann, [[w:de:Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]|Titel=Analysis I|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel|Jahr=2006|ISBN=3-7643-7755-0}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Vieweg|Auflage=6.|Jahr=2003|ISBN=3-528-56508-X}} * {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]|Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung|Verlag=Vieweg|Jahr=2006|ISBN=978-3-8351-0026-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Lineare Algebra]] [[Kategorie:Norm (Mathematik)]] == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Semiskalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz_des_Thales|Satz des Thales]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiten-Information == '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm Skalarproduktnorm] https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm * Datum: 28.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Skalarproduktnorm Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Skalarproduktnorm Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] jjq1903r3bfmdslc69zipfmp21x1e3u 106 128529 1104904 1099633 2026-06-18T13:52:35Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1104904 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. über <math>\mathbb{R}</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math>. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] frm22p2d9zph77v42lcwlk0g9qa9usw 0 129202 1104861 1024617 2026-06-18T12:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104861 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Abfrage|Hauptdivisor|SZ=}} zu einem Element {{ Relationskette | q |\neq| 0 || || || |SZ= }} des Quotientenkörpers eines Dedekindbereiches. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k81l5dxwblpw4kek7qycuvjsndii29d 0 129523 1104819 1091614 2026-06-18T12:31:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1104819 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |projektive Varietät| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=Körper| |SZ= }} {{ Relationskette |p | > | 0 || || || |SZ= }} und sei {{math|term= {{op:Garbe| F |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |lokal freie Garbe| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} Man nennt {{math|term= {{op:Garbe| F |}} |SZ=}} {{ Definitionswort |kohomologisch| |msw=Kohomologisch p-ampel |SZ= }} {{ Definitionswort |Prämath=p |ampel| |msw=Kohomologisch p-ampel |SZ=, }} wenn es für jede {{ Definitionslink |kohärente Garbe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe| H |}} |SZ=}} und jedes {{ Relationskette |i | \geq | 1 || || || |SZ= }} ein {{math|term= m |SZ=}} derart gibt, dass für alle {{ Relationskette |e | \geq |m || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |H^i(X, F^{e *} {{op:Garbe| F |}} {{tensor|}} {{op:Garbe|H}} ) || 0 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf projektiven Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kohomologisch p-ample |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3f1olgvhtyoq32ojjhd3q5qleyb41h 0 130570 1104862 1024648 2026-06-18T12:42:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104862 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |partielle Differenzierbarkeit| |msw= |SZ= }} einer Funktion {{ Abbildung |name= f |\R^n | \R || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | P || {{Op:Zeilenvektor|a_1 | \ldots|a_n}} | \in | \R^n || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1gnuc3fzzz2u77480fj5ynyx3728tzr 0 132618 1104714 1091409 2026-06-18T12:14:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104714 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlkörper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Relationskette |P | \in | {{op:Projektiver Raum| m | K}} || || || |SZ= }} ein {{math|term= K |SZ=-}}Punkt mit den {{ Definitionslink |homogenen Koordinaten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |P || {{op:Zeilenvektor| x_0 | x_1 | \ldots| x_m }} || || || |SZ=. }} Dann versteht man unter der {{ Definitionswort |Höhe| |msw=Höhe (rationaler Punkt) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= K |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= P |SZ=}} die reelle Zahl {{ Relationskette/display/druckalign |H_K(P) | {{defeq|}} | \prod_{ v \in M_K} \max \{ {{op:Betrag| x_0 |}}_v^{n_v}, {{op:Betrag| x_1 |}}_v^{n_v} {{kommadots}} {{op:Betrag| x_m |}}_v^{n_v} \} || \prod_{ v \in M_K} \max \{ {{op:Norm| x_0 |}}_v, {{op:Norm| x_1 |}}_v {{kommadots}} {{op:Norm| x_m |}}_v \} || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Höhe (rationaler Punkt) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5b2qwh94n1jks028hqoex0w1n9xrtgo 106 136717 1104930 933950 2026-06-18T14:40:07Z Bert Niehaus 20843 /* Orthonormalisierungsatz nach Gram-Schmidt */ 1104930 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Orthogonal - Orthonormal == Das '''Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren''' ist ein Spezialfall des '''Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren''', bei dem aus einem gegebenen System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren (z.B. einer [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]) ein System von orthogonal zueinander stehenden Vektoren der Länge 1 ersteht. ist ein [[w:de:Algorithmus|Algorithmus]] aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]]. === Orthogonalsystem === Das Verfahren erzeugt zu jedem System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren aus einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] (einem [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]) ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]], das denselben [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] [[w:de:Erzeugendensystem|erzeugt]]. === Orthonormalsystem === Aus dem Orthogonalsystem erhält man durch Normalisierung <math>v_k:= \frac{w_k}{\|w_k\|}</math> ein Orthonormalsystem. Die Normalisierung ist möglich, da linear unabhängige Vektoren sich vom Nullvektor unterscheiden und damit eine positive Länge haben <math>\|w_k\| > 0 </math>. === Basis/Hamelbasis === Verwendet man ein System von [[w:de:Basisvektor|Basisvektor]]en als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]]. === Numerische Berechnung von Orthonormalsystem === Für die [[w:de:Numerik|numerische Berechnung]] durch einen Computer mit [[w:de:Gleitpunktarithmetik|Gleitpunktarithmetik]] sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte [[w:de:Rundungsfehler|Rundungsfehler]] weisen die berechneten Vektoren z.T. deutliche Abweichung von orthogonalen Vektor auf. Es existieren aber [[w:de:Arnoldi-Verfahren|Modifikationen des Verfahrens]], die diesen Nachteil nicht haben. Andere [[w:de:Orthogonalisierungsverfahren|Orthogonalisierungsverfahren]] basieren auf [[w:de:Householdertransformation|Householdertransformation]]en oder [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotationen]]. == Geschichte == Die beiden Verfahren sind nach [[w:de:Jørgen Pedersen Gram|Jørgen Pedersen Gram]] und [[w:de:Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon Laplace]] und [[w:de:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] verwendet. <span id="Aussage"></span> == Orthonormalisierungsatz nach Gram-Schmidt == Im Folgenden betrachteten man ein [[w:de:Separabler_Raum|separablen]] Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )</math> mit einer abzählbaren Basis <math>B= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{b_n\} \subset V</math>. Dann gibt es ein Orthonormalsystem <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} \subset V</math> mit der Eigenschaft: * (ON1) <math>Span(B)= Span(B_0)</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_n\rangle = 0 </math> für alle <math>n,k \in \mathbb{N}</math> und <math>n\not= k</math> * (ON3) <math>\|v_n\| = 1 </math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> === Bemerkung - Orthogonalprojektion === Für zwei beliebige vom Nullvektor <math>0_V</math> verschiedene Vektoren <math>v,w \in V</math> ist die Orthogonalprojektion von <math>w</math> auf <math>v\not= 0_V</math> über das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>P_v(w) := \frac{\langle v, w \rangle}{\langle v,v \rangle} \cdot v = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \|^2 } \cdot v</math> === Bemerkung - seminlinear komplexer Fall=== Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt :<math>\langle \lambda v, w \rangle = \overline \lambda \langle v, w \rangle,\quad \langle v, \lambda w \rangle = \lambda \langle v, w \rangle</math> für alle Vektoren <math>v</math>, <math>w </math> und alle <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>. Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht. === Bemerkung - Skalarproduktinduzierte Norm === Zudem bezeichnet <math>\|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}</math> die [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] des Vektors <math>v</math>. Dabei liegt der von <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} </math> aufgespannte Untervektorraum dicht in <math>V</math> bzgl. dieser Norm. === Animation - Orthonormalisierung === [[File:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|350px|Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren]] Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren. === Bemerkung - Orthogonalisierung === Für die Orthogonalisierung des 3. Vektors <math>v_3</math> subtrahiert die Orthogonalprojektionen von <math>v_3</math> auf die bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1</math> und <math>u_2</math> und erhält dann <math>u_3</math>. :<math>u_{3} := v_{3} - \sum_{k=1}^{2} \frac{\langle u_k, v_{3}\rangle}{\langle u_k, u_k\rangle} \, u_k</math> Dieses Vorgehen entspricht dem induktiv im konstruktiven Beweis des Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, bei dem <math>u_{n+1}</math> über die Subtraktion der Orthogonalprojektion von <math>v_{n+1}</math> auf die <math>n</math> vorher bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1, ..., u_n</math> berechnet wird. == Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens == Die Kontruktion und der Beweis für abzählbar viele Basisvektoren erfolgt über vollständige Induktion. === Induktionsanfang === Zunächt einmal wird als Induktionsanfang der erste Vektor gewählt <math>v_1:=w_1</math> gewählt. Im Gegensatz zur Orthonormalisierung muss hier <math>v_1</math> nicht normiert werden. * Definiere <math>V_1 := Span(\{v_1\}) = Span(\{w_1\})</math> * Für die Orthogonalität ist nichts zu überprüfen, da es in dem System <math>B_1</math> keine zwei paarweise verschiedene Vektoren gibt. === Induktionsvoraussetzung === Seien nun <math>n</math> linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> in ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]] von <math>n</math> paarweise orthogonalen Vektoren überführt worden, mit <math>B_n:=\{v_1,\ldots , v_{n}\}</math>: * (ON1) <math>V_n:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionsbehauptung === Man kann einen weiteren Vektor <math>v_{n+1} \in V</math> so wählen, dass mit <math>B_{n+1}:=\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}</math>: * (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n,n+1\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionschritt === Der Vektor <math>v_{n+1}\in V</math> wird über <math>b_{n+1}\in B</math> und die Projektion von <math>b_{n+1}\in B</math> auf Vektoren aus dem Orthogonalsystem aus <math>v_1, \ldots , v_n</math> definiert. :<math>v_{n+1} := b_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{\langle v_k, b_{n+1}\rangle}{\langle v_k, v_k\rangle} \, v_k</math> === Span === Die Bedingung (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> gilt über den Nachweis von zwei Mengeninklusionen. * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \subseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \supseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> === Span - Mengeninklusion 1 === Aus <math>w \in V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot v_{n+1} \in Span(\{v_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot v_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1}_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} \bigg)}_{\in Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\})} \\ & \in & Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Span - Mengeninklusion 2 === Aus <math>w \in Span(\{b_1,\ldots , b_{n}, b_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n= Span(\{b_1,\ldots , b_{n}\})</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot b_{n+1} \in Span(\{b_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot b_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1+\lambda \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i}_{\in V_n = Span(\{v_1,...,v_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} \bigg)}_{= v_{n+1} } \\ & \in & Span(\{v_1,...,v_n,v_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Nachweis der Orthogonalität === Sei nun <math>m\in \{1,...,n\}</math> beliebig gewählt und man zeigt nun das <math>\langle v_m, v_{n+1} \rangle = 0 </math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_m, v_{n+1} \rangle & = & \left\langle v_m , b_{n+1} - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left\langle v_m ,\frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \underbrace{ \frac{\langle v_m, b_{n+1} \rangle}{\langle v_m, v_m\rangle} \cdot \left\langle v_m , v_m\right\rangle }_{ \langle v_m , b_{n+1} \rangle } = 0\\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichung fallen durch die Orthogonalität von <math>\langle v_m , v_{i} \rangle = 0 </math> für <math>i \not= m</math> genau <math>n-1</math> weg. === Normalisierung der Vektoren === Wenn die Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> durch normalisierte Vektoren der Länge 1 ersetzt, spannen die normalisierten Vektoren genau den Gleichen Untervektorraum auf und die Skalarprodukte bleiben 0 durch die Semilinearität in der ersten und die Linearität in der zweiten Komponente. :<math>\langle \lambda_k \cdot v_k, \lambda_m \cdot v_m\rangle = \overline{\lambda_k} \cdot \lambda_m \cdot \underbrace{ \langle v_k, v_m\rangle}_{=0} = 0</math> === Zusammenfassung 1 === Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt: :<math>v_1 = b_1\,</math> :<math>v_2 = b_2 - \frac{\langle v_1, b_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1</math> :<math>v_3 = b_3 - \frac{\langle v_1, b_3\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_3\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2</math> ::<math>\vdots</math> :<math>v_n = b_n - \frac{\langle v_1, b_n\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_n\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2 - \dotsb - \frac{\langle v_{n-1}, b_n\rangle}{\langle v_{n-1}, v_{n-1}\rangle} \, v_{n-1} = b_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle v_i, b_n\rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> === Zusammenfassung 2 === Die Vektoren wurden induktiv definiert für <math>v_{n+1}</math> über die bereits definierten Vektoren <math>v_i</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math>. :<math>v_{n+1} = b_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> In dem neu definierten System sind paarweise verschiedene Vektoren zueinander orthogonal und für ein festes <math>n</math> spannt das erzeugte Orthogonalsystem den gleichen Untervektoraum auf. Über die vollständige Induktion wird die Behauptung auf das abzählbare System von linear unabhängigen Vektoren übertragen. == Beispiel - Orthogonalisierung == Im <math>\mathbb{R}^3</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei orthogonale Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen: :<math>v_1 = w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}</math> == Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens == Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]] von <math>n</math> normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt. Er ist identisch mit einer Normierung der orthogonalen Vektoren, welche durch den obigen Algorithmus bestimmt wurden. Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird: :<math>v_1 = \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|}</math> (Normalisieren des ersten Vektors <math>w_1</math>) :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1</math> (Orthogonalisieren des zweiten Vektors <math>w_2</math>) :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_2^\prime</math>) :<math>v_3^\prime = w_3 - \langle v_1, w_3 \rangle \cdot v_1 - \langle v_2, w_3 \rangle \cdot v_2</math> (Orthogonalisieren des dritten Vektors <math>w_3</math>) :<math>v_3 = \frac{v_3^\prime}{\left\|v_3^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_3^\prime</math>) ::<math>\vdots</math> :<math>v_n^\prime = w_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle v_i, w_n \rangle \cdot v_i</math> (Orthogonalisieren des <math>n</math>-ten Vektors <math>w_n</math>) :<math>v_n = \frac{v_n^\prime}{\left\|v_n^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_n^\prime</math>) Anders gesagt werden die <math>v_j</math> und <math>v_j^\prime</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math> also rekursiv durch :<math>v_j^\prime = w_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_i, w_j \rangle \cdot v_i</math> und <math>v_j = \frac{v_j^\prime}{\left\|v_j^\prime\right\|}</math> definiert. Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im <math>\R^3</math> muss z. B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten. == Beispiel - Orthonormalisierung == Im <math>\mathbb{R}^2</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei Basisvektoren gegeben: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die eine Orthonormalbasis des <math>\mathbb{R}^2</math> bilden. :<math>v_1 = \frac {w_1} {\left\|w_1\right\|} = \frac {1} {\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \sqrt{\frac{25}{40}} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> == Anmerkungen == Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren <math>w_1, \dots, w_i</math>. Die Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Diese hat außerdem eine positive Determinante, daher hat die resultierende Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis die gleiche Orientierung wie die Ausgangsbasis. Fasst man die orthonormalen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> als Spalten einer Matrix ''Q'' zusammen, ebenso die Vektoren des Ausgangssystems <math>w_1, \dots, w_n</math> zu einer Matrix ''A'', so gibt es eine Dreiecksmatrix ''R'' mit ''A=QR'', es wird also eine [[w:de:QR-Zerlegung|QR-Zerlegung]] bestimmt. Dementsprechend kann das Ergebnis der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auch mit anderen Methoden zur QR-Zerlegung bestimmt werden, die mit [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotation]]en oder [[w:de:Householdertransformation|Householder-Spiegelungen]] arbeiten. Berechnet man ein Orthonormalsystem von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein Orthogonalsystem auszurechnen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Dadurch erspart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des Orthogonalsystems/Orthonormalsystems das [[w:de:Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußsche Eliminationsverfahren]] durchzuführen. == Prinzip des Verfahrens == Sind die orthogonalen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> bereits bestimmt, versuchen wir, von <math>b_k</math> eine passende [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] der Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> abzuziehen, sodass der Differenzvektor :<math>v_k = b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i</math> zu allen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> orthogonal wird. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> für alle <math>j=1,\ldots,k-1</math> den Wert 0 ergibt. Eine solche Linearkombination ergibt sich, wenn für jedes <math>i</math> der Ausdruck :<math>\lambda_i = \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle}</math> gewählt wird. Eine Kontrollrechnung zeigt, dass dadurch alle Skalarprodukte <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> mit <math>j \neq k</math> den Wert 0 annehmen: :<math>\begin{align}\langle v_j,v_k \rangle &= \left\langle v_j,b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i \right\rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \sum_{i=1}^{k-1} \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle} \langle v_j,v_i \rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \langle v_j,b_k \rangle\\ &= 0\end{align}</math> == Orthonormalisierung unendlicher Systeme von Vektoren == In einem beliebigen [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>H</math> lässt sich das Verfahren auch auf unendliche Systeme unabhängiger Vektoren anwenden, wobei die Unabhängigkeit in dem Sinne zu verstehen ist, dass kein Element im [[w:de:Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] der [[w:de:lineare Hülle|linearen Hülle]] der übrigen Vektoren liegt. Den Fall eines [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbaren]] Systems (d.&nbsp;h. <math>H</math> ist ein [[w:de:separabler Hilbertraum|separabler Hilbertraum]]) kann direkt auf den oben dargestellten endlichen Fall zurückgeführt werden: Gegeben sei eine unabhängige Folge <math>\left(w_n\right)_{n\in \N}</math>, so erhält man eine entsprechende orthonormale Folge <math>\left(v_n\right)_{n\in \N}</math>, indem man für jedes <math>n\in \N</math> das obige Verfahren anwendet und <math>v_n</math> erhält. Allgemeiner kann jedes unabhängige System nach dem Wohlordnungssatz als Folge <math>\left(w_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> für eine [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>d</math> und [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en <math>\alpha</math> angesehen werden (im Falle einer [[w:de:Dichte Teilmenge|dichten]] linearen Hülle des unabhängigen Systems ist <math>d</math> gerade die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] von <math>H</math>). Bezeichne nun <math>\pi_A\colon H \to A</math> die [[w:de:Orthogonalprojektion|orthogonale Projektion]] auf einen abgeschlossenen Teilraum <math>A</math>, die aufgrund der Vollständigkeit des Raumes stets existiert, <math>\hat{x}</math> bezeichne die Normierung <math>\textstyle \frac{x}{\left\|x\right\|}</math>. So ergibt sich ein Orthonormalsystem <math>\left(v_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> durch :<math>A_\alpha := \overline{\operatorname{span}\left(\left\{w_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math> :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \pi_{A_\alpha}\left(w_\alpha\right)\right)}</math>. Per [[w:de:transfinite Induktion|transfiniter Induktion]] lässt sich dann zeigen, dass <math>A_\alpha = \overline{\operatorname{span}\left(\left\{v_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math>, sogar für <math>\alpha=d</math>. Expliziter lässt sich das Verfahren per [[w:de:transfinite Rekursion|transfiniter Rekursion]] wie folgt schreiben: :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \sum_{\beta < \alpha}\langle v_\beta, w_\alpha\rangle \cdot v_\beta\right)}</math> Hierbei ist die Summe aufgrund der [[w:de:besselsche Ungleichung|besselschen Ungleichung]] wohldefiniert (insbesondere sind stets nur abzählbar viele Summanden ungleich Null). == Literatur == * K. Kirchgessner, M. Schreck: ''Vektoranalysis für Dummies. Das Pocketbuch Paperback ''. Wiley-VCH, 2012. ISBN 978-3-527-70742-3 [[Kategorie:Lineare Algebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren] https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren * Datum: 3.2.2022 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] eurkz98ga2gbfmi6rq8pa5vw74odseb 1104988 1104930 2026-06-19T11:45:57Z Bert Niehaus 20843 /* Span - Mengeninklusion 2 */ 1104988 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Orthogonal - Orthonormal == Das '''Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren''' ist ein Spezialfall des '''Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren''', bei dem aus einem gegebenen System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren (z.B. einer [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]) ein System von orthogonal zueinander stehenden Vektoren der Länge 1 ersteht. ist ein [[w:de:Algorithmus|Algorithmus]] aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]]. === Orthogonalsystem === Das Verfahren erzeugt zu jedem System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren aus einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] (einem [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]) ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]], das denselben [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] [[w:de:Erzeugendensystem|erzeugt]]. === Orthonormalsystem === Aus dem Orthogonalsystem erhält man durch Normalisierung <math>v_k:= \frac{w_k}{\|w_k\|}</math> ein Orthonormalsystem. Die Normalisierung ist möglich, da linear unabhängige Vektoren sich vom Nullvektor unterscheiden und damit eine positive Länge haben <math>\|w_k\| > 0 </math>. === Basis/Hamelbasis === Verwendet man ein System von [[w:de:Basisvektor|Basisvektor]]en als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]]. === Numerische Berechnung von Orthonormalsystem === Für die [[w:de:Numerik|numerische Berechnung]] durch einen Computer mit [[w:de:Gleitpunktarithmetik|Gleitpunktarithmetik]] sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte [[w:de:Rundungsfehler|Rundungsfehler]] weisen die berechneten Vektoren z.T. deutliche Abweichung von orthogonalen Vektor auf. Es existieren aber [[w:de:Arnoldi-Verfahren|Modifikationen des Verfahrens]], die diesen Nachteil nicht haben. Andere [[w:de:Orthogonalisierungsverfahren|Orthogonalisierungsverfahren]] basieren auf [[w:de:Householdertransformation|Householdertransformation]]en oder [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotationen]]. == Geschichte == Die beiden Verfahren sind nach [[w:de:Jørgen Pedersen Gram|Jørgen Pedersen Gram]] und [[w:de:Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon Laplace]] und [[w:de:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] verwendet. <span id="Aussage"></span> == Orthonormalisierungsatz nach Gram-Schmidt == Im Folgenden betrachteten man ein [[w:de:Separabler_Raum|separablen]] Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )</math> mit einer abzählbaren Basis <math>B= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{b_n\} \subset V</math>. Dann gibt es ein Orthonormalsystem <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} \subset V</math> mit der Eigenschaft: * (ON1) <math>Span(B)= Span(B_0)</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_n\rangle = 0 </math> für alle <math>n,k \in \mathbb{N}</math> und <math>n\not= k</math> * (ON3) <math>\|v_n\| = 1 </math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> === Bemerkung - Orthogonalprojektion === Für zwei beliebige vom Nullvektor <math>0_V</math> verschiedene Vektoren <math>v,w \in V</math> ist die Orthogonalprojektion von <math>w</math> auf <math>v\not= 0_V</math> über das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>P_v(w) := \frac{\langle v, w \rangle}{\langle v,v \rangle} \cdot v = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \|^2 } \cdot v</math> === Bemerkung - seminlinear komplexer Fall=== Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt :<math>\langle \lambda v, w \rangle = \overline \lambda \langle v, w \rangle,\quad \langle v, \lambda w \rangle = \lambda \langle v, w \rangle</math> für alle Vektoren <math>v</math>, <math>w </math> und alle <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>. Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht. === Bemerkung - Skalarproduktinduzierte Norm === Zudem bezeichnet <math>\|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}</math> die [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] des Vektors <math>v</math>. Dabei liegt der von <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} </math> aufgespannte Untervektorraum dicht in <math>V</math> bzgl. dieser Norm. === Animation - Orthonormalisierung === [[File:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|350px|Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren]] Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren. === Bemerkung - Orthogonalisierung === Für die Orthogonalisierung des 3. Vektors <math>v_3</math> subtrahiert die Orthogonalprojektionen von <math>v_3</math> auf die bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1</math> und <math>u_2</math> und erhält dann <math>u_3</math>. :<math>u_{3} := v_{3} - \sum_{k=1}^{2} \frac{\langle u_k, v_{3}\rangle}{\langle u_k, u_k\rangle} \, u_k</math> Dieses Vorgehen entspricht dem induktiv im konstruktiven Beweis des Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, bei dem <math>u_{n+1}</math> über die Subtraktion der Orthogonalprojektion von <math>v_{n+1}</math> auf die <math>n</math> vorher bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1, ..., u_n</math> berechnet wird. == Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens == Die Kontruktion und der Beweis für abzählbar viele Basisvektoren erfolgt über vollständige Induktion. === Induktionsanfang === Zunächt einmal wird als Induktionsanfang der erste Vektor gewählt <math>v_1:=w_1</math> gewählt. Im Gegensatz zur Orthonormalisierung muss hier <math>v_1</math> nicht normiert werden. * Definiere <math>V_1 := Span(\{v_1\}) = Span(\{w_1\})</math> * Für die Orthogonalität ist nichts zu überprüfen, da es in dem System <math>B_1</math> keine zwei paarweise verschiedene Vektoren gibt. === Induktionsvoraussetzung === Seien nun <math>n</math> linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> in ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]] von <math>n</math> paarweise orthogonalen Vektoren überführt worden, mit <math>B_n:=\{v_1,\ldots , v_{n}\}</math>: * (ON1) <math>V_n:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionsbehauptung === Man kann einen weiteren Vektor <math>v_{n+1} \in V</math> so wählen, dass mit <math>B_{n+1}:=\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}</math>: * (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n,n+1\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionschritt === Der Vektor <math>v_{n+1}\in V</math> wird über <math>b_{n+1}\in B</math> und die Projektion von <math>b_{n+1}\in B</math> auf Vektoren aus dem Orthogonalsystem aus <math>v_1, \ldots , v_n</math> definiert. :<math>v_{n+1} := b_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{\langle v_k, b_{n+1}\rangle}{\langle v_k, v_k\rangle} \, v_k</math> === Span === Die Bedingung (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> gilt über den Nachweis von zwei Mengeninklusionen. * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \subseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \supseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> === Span - Mengeninklusion 1 === Aus <math>w \in V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot v_{n+1} \in Span(\{v_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot v_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1}_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} \bigg)}_{\in Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\})} \\ & \in & Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Span - Mengeninklusion 2 === Aus <math>w \in Span(\{b_1,\ldots , b_{n}, b_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n= Span(\{b_1,\ldots , b_{n}\})</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot b_{n+1} \in Span(\{b_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot b_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1+\lambda \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i}_{\in V_n = Span(\{v_1,...,v_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{v_1,...,v_n\})} \bigg)}_{= v_{n+1} } \\ & \in & Span(\{v_1,...,v_n,v_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Nachweis der Orthogonalität === Sei nun <math>m\in \{1,...,n\}</math> beliebig gewählt und man zeigt nun das <math>\langle v_m, v_{n+1} \rangle = 0 </math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_m, v_{n+1} \rangle & = & \left\langle v_m , b_{n+1} - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left\langle v_m ,\frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \underbrace{ \frac{\langle v_m, b_{n+1} \rangle}{\langle v_m, v_m\rangle} \cdot \left\langle v_m , v_m\right\rangle }_{ \langle v_m , b_{n+1} \rangle } = 0\\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichung fallen durch die Orthogonalität von <math>\langle v_m , v_{i} \rangle = 0 </math> für <math>i \not= m</math> genau <math>n-1</math> weg. === Normalisierung der Vektoren === Wenn die Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> durch normalisierte Vektoren der Länge 1 ersetzt, spannen die normalisierten Vektoren genau den Gleichen Untervektorraum auf und die Skalarprodukte bleiben 0 durch die Semilinearität in der ersten und die Linearität in der zweiten Komponente. :<math>\langle \lambda_k \cdot v_k, \lambda_m \cdot v_m\rangle = \overline{\lambda_k} \cdot \lambda_m \cdot \underbrace{ \langle v_k, v_m\rangle}_{=0} = 0</math> === Zusammenfassung 1 === Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt: :<math>v_1 = b_1\,</math> :<math>v_2 = b_2 - \frac{\langle v_1, b_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1</math> :<math>v_3 = b_3 - \frac{\langle v_1, b_3\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_3\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2</math> ::<math>\vdots</math> :<math>v_n = b_n - \frac{\langle v_1, b_n\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_n\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2 - \dotsb - \frac{\langle v_{n-1}, b_n\rangle}{\langle v_{n-1}, v_{n-1}\rangle} \, v_{n-1} = b_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle v_i, b_n\rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> === Zusammenfassung 2 === Die Vektoren wurden induktiv definiert für <math>v_{n+1}</math> über die bereits definierten Vektoren <math>v_i</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math>. :<math>v_{n+1} = b_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> In dem neu definierten System sind paarweise verschiedene Vektoren zueinander orthogonal und für ein festes <math>n</math> spannt das erzeugte Orthogonalsystem den gleichen Untervektoraum auf. Über die vollständige Induktion wird die Behauptung auf das abzählbare System von linear unabhängigen Vektoren übertragen. == Beispiel - Orthogonalisierung == Im <math>\mathbb{R}^3</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei orthogonale Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen: :<math>v_1 = w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}</math> == Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens == Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]] von <math>n</math> normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt. Er ist identisch mit einer Normierung der orthogonalen Vektoren, welche durch den obigen Algorithmus bestimmt wurden. Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird: :<math>v_1 = \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|}</math> (Normalisieren des ersten Vektors <math>w_1</math>) :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1</math> (Orthogonalisieren des zweiten Vektors <math>w_2</math>) :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_2^\prime</math>) :<math>v_3^\prime = w_3 - \langle v_1, w_3 \rangle \cdot v_1 - \langle v_2, w_3 \rangle \cdot v_2</math> (Orthogonalisieren des dritten Vektors <math>w_3</math>) :<math>v_3 = \frac{v_3^\prime}{\left\|v_3^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_3^\prime</math>) ::<math>\vdots</math> :<math>v_n^\prime = w_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle v_i, w_n \rangle \cdot v_i</math> (Orthogonalisieren des <math>n</math>-ten Vektors <math>w_n</math>) :<math>v_n = \frac{v_n^\prime}{\left\|v_n^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_n^\prime</math>) Anders gesagt werden die <math>v_j</math> und <math>v_j^\prime</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math> also rekursiv durch :<math>v_j^\prime = w_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_i, w_j \rangle \cdot v_i</math> und <math>v_j = \frac{v_j^\prime}{\left\|v_j^\prime\right\|}</math> definiert. Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im <math>\R^3</math> muss z. B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten. == Beispiel - Orthonormalisierung == Im <math>\mathbb{R}^2</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei Basisvektoren gegeben: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die eine Orthonormalbasis des <math>\mathbb{R}^2</math> bilden. :<math>v_1 = \frac {w_1} {\left\|w_1\right\|} = \frac {1} {\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \sqrt{\frac{25}{40}} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> == Anmerkungen == Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren <math>w_1, \dots, w_i</math>. Die Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Diese hat außerdem eine positive Determinante, daher hat die resultierende Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis die gleiche Orientierung wie die Ausgangsbasis. Fasst man die orthonormalen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> als Spalten einer Matrix ''Q'' zusammen, ebenso die Vektoren des Ausgangssystems <math>w_1, \dots, w_n</math> zu einer Matrix ''A'', so gibt es eine Dreiecksmatrix ''R'' mit ''A=QR'', es wird also eine [[w:de:QR-Zerlegung|QR-Zerlegung]] bestimmt. Dementsprechend kann das Ergebnis der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auch mit anderen Methoden zur QR-Zerlegung bestimmt werden, die mit [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotation]]en oder [[w:de:Householdertransformation|Householder-Spiegelungen]] arbeiten. Berechnet man ein Orthonormalsystem von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein Orthogonalsystem auszurechnen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Dadurch erspart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des Orthogonalsystems/Orthonormalsystems das [[w:de:Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußsche Eliminationsverfahren]] durchzuführen. == Prinzip des Verfahrens == Sind die orthogonalen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> bereits bestimmt, versuchen wir, von <math>b_k</math> eine passende [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] der Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> abzuziehen, sodass der Differenzvektor :<math>v_k = b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i</math> zu allen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> orthogonal wird. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> für alle <math>j=1,\ldots,k-1</math> den Wert 0 ergibt. Eine solche Linearkombination ergibt sich, wenn für jedes <math>i</math> der Ausdruck :<math>\lambda_i = \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle}</math> gewählt wird. Eine Kontrollrechnung zeigt, dass dadurch alle Skalarprodukte <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> mit <math>j \neq k</math> den Wert 0 annehmen: :<math>\begin{align}\langle v_j,v_k \rangle &= \left\langle v_j,b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i \right\rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \sum_{i=1}^{k-1} \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle} \langle v_j,v_i \rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \langle v_j,b_k \rangle\\ &= 0\end{align}</math> == Orthonormalisierung unendlicher Systeme von Vektoren == In einem beliebigen [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>H</math> lässt sich das Verfahren auch auf unendliche Systeme unabhängiger Vektoren anwenden, wobei die Unabhängigkeit in dem Sinne zu verstehen ist, dass kein Element im [[w:de:Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] der [[w:de:lineare Hülle|linearen Hülle]] der übrigen Vektoren liegt. Den Fall eines [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbaren]] Systems (d.&nbsp;h. <math>H</math> ist ein [[w:de:separabler Hilbertraum|separabler Hilbertraum]]) kann direkt auf den oben dargestellten endlichen Fall zurückgeführt werden: Gegeben sei eine unabhängige Folge <math>\left(w_n\right)_{n\in \N}</math>, so erhält man eine entsprechende orthonormale Folge <math>\left(v_n\right)_{n\in \N}</math>, indem man für jedes <math>n\in \N</math> das obige Verfahren anwendet und <math>v_n</math> erhält. Allgemeiner kann jedes unabhängige System nach dem Wohlordnungssatz als Folge <math>\left(w_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> für eine [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>d</math> und [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en <math>\alpha</math> angesehen werden (im Falle einer [[w:de:Dichte Teilmenge|dichten]] linearen Hülle des unabhängigen Systems ist <math>d</math> gerade die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] von <math>H</math>). Bezeichne nun <math>\pi_A\colon H \to A</math> die [[w:de:Orthogonalprojektion|orthogonale Projektion]] auf einen abgeschlossenen Teilraum <math>A</math>, die aufgrund der Vollständigkeit des Raumes stets existiert, <math>\hat{x}</math> bezeichne die Normierung <math>\textstyle \frac{x}{\left\|x\right\|}</math>. So ergibt sich ein Orthonormalsystem <math>\left(v_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> durch :<math>A_\alpha := \overline{\operatorname{span}\left(\left\{w_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math> :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \pi_{A_\alpha}\left(w_\alpha\right)\right)}</math>. Per [[w:de:transfinite Induktion|transfiniter Induktion]] lässt sich dann zeigen, dass <math>A_\alpha = \overline{\operatorname{span}\left(\left\{v_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math>, sogar für <math>\alpha=d</math>. Expliziter lässt sich das Verfahren per [[w:de:transfinite Rekursion|transfiniter Rekursion]] wie folgt schreiben: :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \sum_{\beta < \alpha}\langle v_\beta, w_\alpha\rangle \cdot v_\beta\right)}</math> Hierbei ist die Summe aufgrund der [[w:de:besselsche Ungleichung|besselschen Ungleichung]] wohldefiniert (insbesondere sind stets nur abzählbar viele Summanden ungleich Null). == Literatur == * K. Kirchgessner, M. Schreck: ''Vektoranalysis für Dummies. Das Pocketbuch Paperback ''. Wiley-VCH, 2012. ISBN 978-3-527-70742-3 [[Kategorie:Lineare Algebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren] https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren * Datum: 3.2.2022 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] ta8hvgngpql3v7aeciijh00uqgg94me 0 137213 1104750 1039372 2026-06-18T12:20:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104750 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{ Relationskette |D | \subseteq | \R || || || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |offen| |msw=Offene Teilmenge (R) |SZ=, }} wenn es zu jedem {{ Relationskette |a | \in | D || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathbed|term= ] a-r,a+r[ ||bedterm1= r > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette | ] a-r,a+r[ | \subseteq | D || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Offene Teilmenge ({{math|term= \R |SZ=}}) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} suyedawwi2i3233osghxfincwcw0rzr 0 138083 1104769 1091484 2026-06-18T12:23:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104769 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |meromorphen Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{ Relationskette | \omega |\neq| 0 || || || |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |zusammenhängenden| |Kontext=Topologie| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannschen Fläche| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} definiert man den {{ Definitionswort |zugehörigen Divisor| |msw=Divisor zu einer meromorphen Differentialform |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| \omega|}} || \sum_{P \in X} n_P P || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | n_P || {{op:Bewertungsordnung| f | P}} || || || |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | \omega || fdz || || || |SZ= }} eine lokale Beschreibung der Form mit einer {{ Definitionslink |meromorphen Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= f |SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Divisor zu einer meromorphen Differentialform |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5y05i7vwwfgquppin5cjuzeunkgewk 0 138198 1104808 1039862 2026-06-18T12:29:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104808 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |topologische Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Relationskette | z | \in | {{op:Cech-Kozykel| 1 |X | {{KRC|}} }} || || || |SZ= }} ein erster {{ Definitionslink |Čech-Kozykel| |Kontext=| |SZ= }} in der {{ Definitionslink |Garbe der lokal konstanten Funktionen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=}} mit Werten in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=,}} der durch {{math|term= f_{ij} |SZ=}} zur Überdeckung {{ Relationskette | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} mit {{math|term= U_i |SZ=}} {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=| |SZ= }} repräsentiert sei. Zu einem {{ Definitionslink |stetigen Weg| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \gamma | [0,1] | X || |SZ= }} definiert man die {{ Definitionswort |Auswertung| |msw=Auswertung eines Kozykels längs eines Weges |SZ= }} des Kozykels längs des Weges in folgender Weise. Man wählt eine {{ Definitionslink |topologische Kette| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} aus der Überdeckung mit {{ Relationskette | \gamma(0) | \in | V_1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \gamma(1) | \in | V_n || || || |SZ= }} und Punkte {{ Relationskette | P_k | \in | V_k \cap V_{k+1} \cap \gamma([0,1]) || || || |SZ= }} und setzt {{ Relationskette/display | \int_\gamma z | {{defeq}} | \sum_{k {{=}} 1}^{n-1} f_{\alpha(k+1 ), \alpha(k)} (P_k) || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Auswertung eines Kozykels längs eines Weges |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkak3ekwml5q58debt5c4srnorq9thv 0 138341 1104774 1091489 2026-06-18T12:24:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1104774 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name=p | Y | X || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=eigentlich| |SZ= }} {{ Definitionslink |holomorphe Abbildung| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Blätterzahl| |Kontext=holomorphe Abbildung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} zwischen den {{ Definitionslink |zusammenhängenden| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannschen Flächen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= Y |und|term2= X |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |endlichen Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Garbe| M | X}} | \subseteq | {{op:Garbe| M | Y}} || || || |SZ=. }} Zu einer {{ Definitionslink |holomorphen Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= \omega |SZ=}} auf {{math|term= Y |SZ=}} nennt man die lokal durch {{ Relationskette/display | {{op:Spur| \omega|}} || {{op:Spur| dg |}} | {{defeq|}} | d {{op:Spur| g |}} || || |SZ= }} definierte holomorphe Differentialform auf {{math|term= X |SZ=}} die {{ Definitionswort |Spur| |msw=Spur (Differentialform) |SZ= }} von {{math|term= \omega |SZ=}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Spur einer holomorphen Differentialform |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tihj7c7bj091x1rgii7f2kene3khupf 0 138368 1104771 1039493 2026-06-18T12:23:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1104771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |meromorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= \omega |SZ=}} auf einer {{ Definitionslink |riemannschen Fläche| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Differentialform zweiter Gattung| |msw= |SZ=, }} wenn alle ihre {{ Definitionslink |Residuen| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Residuum| \omega|P}} |SZ=}} für {{ Relationskette | P | \in | X || || || |SZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Differentialform zweiter Gattung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s5eb0a7yiybcgx28a67akj8rgyv00y0 0 138373 1104770 1039491 2026-06-18T12:23:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |meromorphen Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= \omega |SZ=}} auf einer {{ Definitionslink |riemannschen Fläche| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} und einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | X || || || |SZ= }} mit einer lokalen Beschreibung {{ Relationskette | \omega || fdz || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= z |SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokaler Parameter| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} und {{math|term= f |SZ=}} eine {{ Definitionslink |meromorphe Funktion| |Kontext=| |SZ= }} ist | |ISZ=|ESZ= }} nennt man das {{ Definitionslink |Residuum| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} das {{ Definitionswort |Residuum| |msw= |SZ= }} der Differentialform in {{math|term= P |SZ=.}} Es wird mit {{mathl|term= {{op:Residuum| \omega|P}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Residuum einer Differentialform |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a939nuczmhfigvkkcj4nm1rwwtfepz8 0 139309 1104661 1038741 2026-06-18T12:06:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1104661 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= ({{{M|M}}},d)}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |SZ=, }} {{ Relationskette | x | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} eine positive reelle Zahl. Man nennt {{ Relationskette/display | {{op:Offener Ball| x | \epsilon}} || {{Mengebed| y \in {{{M|M}}} |d(x,y) < \epsilon }} || || || |SZ= }} die {{ Definitionswort |offene Kugel| |msw=Offene Kugel |SZ= }} um {{math|term= x |SZ=}} mit Radius {{math|term= \epsilon |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Offene Kugel |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6y5imypje7u388jlrzj3p6y7ndde4mm 0 139310 1104656 1038719 2026-06-18T12:05:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104656 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= ({{{M|M}}},d)}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |SZ=, }} {{ Relationskette | x | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \epsilon | \geq | 0 || || || |SZ= }} eine nichtnegative reelle Zahl. Man nennt {{ Relationskette/display | {{op:Abgeschlossener Ball| x | \epsilon}} || {{Mengebed| y \in {{{M|M}}} |d(x,y) \leq \epsilon }} || || || |SZ= }} die {{ Definitionswort |abgeschlossene Kugel| |msw=Abgeschlossene Kugel |SZ= }} um {{math|term= x |SZ=}} mit Radius {{math|term= \epsilon |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Abgeschlossene Kugel |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kts0a2310ouvz0xrx9zkz15kjnz975m 0 140208 1104840 1040218 2026-06-18T12:35:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104840 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |SZ= }} und {{ Relationskette | \omega | \in | {{op:Garbe|E^{(1)}|M}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=1 |Differentialform| |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name=\gamma | [a,b] | M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Kurve| |SZ=. }} Dann heißt {{ Relationskette/display | \int_\gamma \omega | {{defeq|}} | {{op:Integralform| \gamma^* \omega| [a,b]}} || {{op:Integral| a | b | Integrand= \omega ( \gamma(t); \gamma'(t))|| t}} || || |SZ= }} das {{Definitionswort|Wegintegral|SZ=}} von {{math|term=\omega|SZ=}} längs {{math|term=\gamma|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Wegintegral |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 701jmh3z8g14er5doo4p8mawdcgit16 0 141013 1104810 1091585 2026-06-18T12:30:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104810 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Garbe von kommutativen Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe| G |}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |diskret| |msw=Diskrete Garbe |SZ=, }} wenn für jeden Schnitt {{ Relationskette | s | \in | {{op:Schnitte| U | {{op:Garbe| G |}} }} || || || |SZ= }} die Menge {{mathl|term= {{Mengebed| x \in X|s_x \neq 0 }} |SZ=}} {{ Definitionslink |diskret| |Kontext=Topologie| |SZ= }} und {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=Topologie| |SZ= }} in {{math|term= U |SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Diskrete Garbe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ik1ifzwi1pqadj0u6owh9nlvh5spzvj 0 141082 1104827 1040143 2026-06-18T12:32:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1104827 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{op:Norm| -|}} | V |\R | v | {{op:Norm| v |}} |SZ=, }} heißt {{ Definitionswort |Halbnorm| |msw=Halbnorm |SZ=, }} wenn die folgenden Eigenschaften für alle {{ Relationskette | v,w | \in | V || || || |SZ= }} gelten. {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Relationskette | {{op:Norm| v |}} | \geq | 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{op:Norm| 0 |}} || 0 || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette | \lambda | \in | {{KRC|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm| \lambda v|}} || {{op:Betrag| \lambda|}} \cdot {{op:Norm| v |}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette | v,w | \in | V || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm|v+w|}} | \leq | {{op:Norm| v |}} + {{op:Norm| w |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Halbnorm |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6zuvnmvcqd26i2kwj7oxk87ngfvh9l 0 141347 1104666 1091330 2026-06-18T12:07:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1104666 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |total beschränkt| |msw=Total beschränkt| |SZ=, }} wenn es zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} endlich viele Punkte {{ Relationskette | x_1 {{kommadots|}} x_n | \in | M || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette/display | M || \bigcup_{i {{=}} 1}^n {{op:Offener Ball| x_i | \epsilon}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der total beschränkten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Total beschränkt |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wotujlm3chfqjgxeoddu93h9p5lj4l 0 141382 1104816 1039968 2026-06-18T12:31:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1104816 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Unter dem {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionswort |Tschebyschow-Polynom| |msw= |SZ= }} versteht man das Polynom {{ Relationskette/display | T_n(t) || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer|n/2|}} } {{op:Binomialkoeffizient| n | 2k}} t^{n-2k} (t^2-1)^k || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Tschebyschow-Polynom |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgs0hqlzr6ujwwu9ir4lgwafegkqapd 106 148963 1104917 938218 2026-06-18T14:11:13Z Bert Niehaus 20843 /* Satz des Thales */ 1104917 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\langle A,B,C \rangle</math>, an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 21zzfzz0ombphnptjf0u300vakveny1 1104918 1104917 2026-06-18T14:12:29Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1104918 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\langle A,B,C \rangle</math>, an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k0dlp5gec4b4rnuxrnsclvgwh6ds2ko 1104919 1104918 2026-06-18T14:12:51Z Bert Niehaus 20843 /* Satz des Thales 1 - rechter Winkel */ 1104919 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\langle A,B,C \rangle</math>, an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 96c4krqpiwiekxb4vpvtbw04pvopx61 1104920 1104919 2026-06-18T14:13:07Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1104920 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ci9z2bn70boallrjnch6qice9570yri 1104923 1104920 2026-06-18T14:16:41Z Bert Niehaus 20843 /* Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis */ 1104923 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> . * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math> \| w \| = \| r \| </math> (d.h. der Punkt <math>C</math> liegt auf dem Kreis um <math>M</math>). === Beweis - Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis === == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c5kv5cc9rz6gelhbxaxlp5g1grf0thu 1104924 1104923 2026-06-18T14:17:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1104924 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis - Satz des Thales 1 == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> . * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math> \| w \| = \| r \| </math> (d.h. der Punkt <math>C</math> liegt auf dem Kreis um <math>M</math>). === Beweis - Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis === == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] auvslkc0w9reozck1e56rrf4lg5i3ec 1104925 1104924 2026-06-18T14:17:25Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis */ 1104925 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis - Satz des Thales 1 == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> . * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math> \| w \| = \| r \| </math> (d.h. der Punkt <math>C</math> liegt auf dem Kreis um <math>M</math>). == Beweis - Satz des Thales 2 == == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kp96le7pv2r1yug63yiyhe9yj3sn6jc 1104926 1104925 2026-06-18T14:30:45Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Satz des Thales 2 */ 1104926 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck rechtwinklig). == Beweis - Satz des Thales 1 == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> . * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math> \| w \| = \| r \| </math> (d.h. der Punkt <math>C</math> liegt auf dem Kreis um <math>M</math>). == Beweis - Satz des Thales 2 == Nach Voraussetzung stehen <math>v_1</math> und <math>v_2</math> orthogonal zueinander, wegen <math>\langle v_1, v_2 \rangle = 0</math>. Diese Eigenschaft wird nun ausgenutzt, um zu zeigen, dass <math>\|w\| = \|r\|</math> gilt und damit der Punkt <math>C</math> auf einem Kreis um <math>M</math> liegt. === Beweisschritt 1 - Verwendung der Orthogonalität === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \langle v_1,v_2 \rangle = \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - reellwertiges Skalarprodukt === Da das Skalarprodukt <math> \langle r ,w \rangle\in \mathbb{R}</math> reellwertig ist, gilt <math> \langle r ,w \rangle = \overline{\langle r ,w \rangle}</math> und damit gilt auch: :<math> \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} = \langle r ,w \rangle - \langle r ,w \rangle = 0 </math> Dieses Resultat wendet man nun in Beweisschritt 1 an. === Beweisschritt 3 - Algebraische Umformung === Man erhält durch Einsetzen in Gleichung 1 die folgende Äquivalenz: :<math> 0 = -\|w\|^2 + \|r\|^2 \ \Longleftrightarrow \|w\| = \|r\| </math> Damit liegt <math>C</math> auf dem Kreis mit Radius <math>\|r\| = \|w\|</math> um den Punkt <math>M</math>. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ln4pixzoey90wo3yon5fj6bx6ja7e4a 106 152475 1104915 939088 2026-06-18T14:05:09Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1104915 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2</math> von <math>f_2</math> an. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! '''Hinweis:''' Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>n\in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_n := \sqrt{\langle f , f \rangle_n } = \sqrt{\int_{-n}^{+n} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sxh7g893nz544wxopt06cjfofd8kerx 106 156233 1104899 1061088 2026-06-18T13:44:32Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1104899 wikitext text/x-wiki == Einführung == Betrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math>. Die Kovarianz ist eine [[Skalarprodukt#Kovarianz|positiv semidefiniter Bilinearform]] == Definition - Kovarianz == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert :<math> Cov (X,Y) = E\big( (X-E(X)) \cdot (Y-E(Y)) \big) </math> die Kovarianz von <math> X </math> und <math> Y </math> == Definition - Korrelationskoeffizienten == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert : <math> \rho (X,Y) = \frac {Cov(X,Y)} {\sigma (X) \cdot \sigma (Y)} \quad \text{mit } \rho(X,Y) \in [-1,1]</math> (sofern <math> \sigma (X) \cdot \sigma (Y) > 0</math>) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von <math> X </math> und <math> Y </math>, welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert. <br> == Definition - unkorrelliert == Zwei Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> heißen unkorreliert, falls <math> Cov(X,Y) = 0</math>. === Bemerkung - Kovarianz und Korrelationskoeffizient === Zum Studium der Größen <math> Cov </math> und <math> \rho </math> benötien wir den folgenden Satz. == Satz - Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Für die Zufallsvariablen <math> X,Y </math> mit <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> gilt: <br> * '''(CS1)''' <math> E|X \cdot Y| <\infty </math> <br> * '''(CS2)''' Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung: ::<math> (E(X \cdot Y))^2 \le E(X^2) \cdot E(Y^2) </math> <br> * '''(CS3)''' Das Gleichheitszeichen in (CS2) gilt genau dann, wenn es Zahlen <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gibt mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> und ::<math> a \cdot X(w) + b \cdot Y(w) = 0 </math> . === Bemerkung zu CS3 === Die Bedingung (CS3) bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> den Nullvektor <math>0_\Omega</math> als Zufallsgröße <math>0_\Omega : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast überall|fast überall]] mit Koeffizienten <math>a\not=0</math> oder <math>b\not=0</math> nicht-trivial darstellen kann. Dies bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast überall|fast überall]] linear abhängig sind. == Beweis - Cauchy-Scharzsche Ungleichung == Für den Beweisschritt (CS1) und (CS2) wird die Ungleichung :<math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> verwendet. Dazu wird im Beweis die folgende Vorüberlegung erläutert. === Vorüberlegung CS1 und CS2 === Zunächst einmal gilt für alle <math>x,y \in \mathbb{R}</math>: :<math> 0\leq (x-y)^2 \quad \wedge \quad 0\leq (x+y)^2 </math> Mit der Anwendung der [[w:de:binomische Formeln|binomischen Formeln]] erhält man: :<math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> und damit <math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> für alle <math>x,y\in \mathbb{R}</math>. === Beweis (CS1) === Durch Einsetzen der Ungleichung <math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> in die Definition des [[Erwartungswert|Erwartungswertes]] und der Verwendung der [[Kurs:Stochastik/Linearität des Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] erhält man: :<math>2\cdot E(|X\cdot Y|) \leq \underbrace{E(X^2)}_{< \infty} + \underbrace{E(Y^2)}_{< \infty} < \infty </math> === Beweis (CS2) === 2. Sei <math> E(X^2) =0</math>. Dann ist nach 2.2 i) <math> X(w) = 0</math> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math> und es gilt <math> E(X \cdot Y ) =0 </math> und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit <math> a = 1, b=0</math>). ==== Beweis (3) - Schritt 1 ==== Sei <math> E(X^2) > 0 </math>. Zunächst gilt für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> unter Anwendung der Linearität vom Erwartungswert: :<math> 0 \le E\big( (cX -Y)^2 \big) = c^2 E(X^2) - 2cE(X \cdot Y) + E(Y^2) \quad (\ast) </math> ==== Beweis (3) - Schritt 2 ==== Da die obige Ungleichung <math>(\ast)</math> für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> erfüllt ist, gilt diese insbesondere für ein speziell gewähltes <math> \textstyle c := \frac {E(X \cdot Y) }{E(X^2)}</math>. Durch Einsetzen in die Ungleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rclc} 0 & \leq & \frac { (E(X \cdot Y))^2}{E(X^2)} - 2 \cdot \frac {(E(X \cdot Y))^2} {E(X^2)} + E(Y^2) & \\ & = & E(Y^2) - \frac {(E(X \cdot Y))^2} { E(X^2)} & \Longrightarrow \\ (E(X \cdot Y))^2 & \leq & E(Y^2) \cdot E(X^2) \end{array} </math> d.h. die [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]]. ==== Beweis (4) ==== Hier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt: <br> (**) <math> E(cX -Y)^2 = 0 </math> <br> Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit <math> a=c, b= -1</math>. Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**). <br> ==== Folgerungen (1)==== 1. Aus <br> (+) <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> <br> folgt also die Existenz des Erwartungswertes von <math> X \cdot Y </math>: <math>E(X \cdot Y) < \infty</math>. <br> Im Fall der Unabhängigkeit der <math> X,Y</math> benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur <math>E|X| < \infty, E|Y| < \infty</math>. <br> Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz (<math> Cov(X,Y) </math>). In der Tat, in der Formel <br> (++) <math> Cov(X,Y) = E[ X \cdot Y - Y \cdot E(X) - X(E(Y) + E(X) \cdot E(Y)]</math> <br> existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte. <br> ==== Folgerungen (2 - 3) ==== 2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel": <br> :<math> Cov(X,Y) = E(X \cdot Y) - E(X) \cdot E(Y)</math> <br> 3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung <math> X - E(X), Y-E(Y) </math> ein (anstatt <math> X,Y</math>), so erhält man <br> :<math> (Cov( X,Y))^2 \le \sigma^2(X) \cdot \sigma^2(Y) </math> <br> d.h. es gilt <math> -1 \le \rho(X,Y) \le 1 </math>. <br> ==== Folgerungen (4) ==== 4. <math>|\rho(X,Y)| = 1</math> genau dann, wenn <br> :<math> Y(w) - E(Y) = c(X(w) - E(X)) </math> <br> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math>. <br> Interpretation: <math> \rho (X,Y) </math> ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von <math> X </math> und <math> Y </math>. === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (1)=== Sei <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty</math> vorausgesetzt. <br> a) <math> Cov (aX + b, a'Y+b') = a \cdot a' Cov ( X,Y)</math> <br> Insbesondere: <br> :<math> Cov(X^*, Y^*) = \rho (X^*, Y^*) = \rho (X,Y)</math> für <math> X^* = (X -E(X))/\sigma (X)</math>, <math> Y^* = (Y - E(Y))/\sigma (Y).</math> <br> b) <math> Cov (X,Y) = Cov (Y,X), Cov (X,X) = Var (X)</math> <br> === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (2) === c) <math> Var (X_1 + ... + X_n) = \sum_{i = 1} ^n Var (X_i )+ \sum_{i \neq j} Cov (X_i, X_j)</math> <br> Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h. <math> Cov(X_i, X_j) = 0</math>, für <math>i \neq j</math>) <math>X_1, ..., X_n</math> die "Formel von Bienaymé": :<math> Var(X_1 + ... + X_n) = \sum _{i = 1} ^n Var (X_i) </math> d) <math>X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow X,Y </math> unkorreliert. ==== Beweis ==== Zu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass <math> E(X_i) = 0</math>. Dann gilt: :<math> Var(X_1 + ... X_n) = E(X_1 + ... + X_n)^2 = E(\sum_{i = 1} ^n X_i^2 + \sum_{i \neq j} X_i \cdot X_j)</math> :<math> = \sum_{i=1} ^n E(X_i^2) + \sum_{ i \neq j} E(X_i \cdot X_j)</math> Zu d): <math> X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \Rightarrow Cov(X,Y) =0 </math> (Verschiebungsformel). == Aufgaben für Studierende == === Teil 1: Kovarianz ungleich null === Gegeben sind zwei Zufallsgrößen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>, die gemeinsam verteilt sind. Die '''gemeinsame''' Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch die folgende Tabelle gegeben: <div class="center"> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| <math display="inline">X \backslash Y</math> ! style="text-align: center;"| 0 ! style="text-align: center;"| 1 ! style="text-align: center;"| 2 |- | style="text-align: center;"| 0 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.2 | style="text-align: center;"| 0.1 |- | style="text-align: center;"| 1 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.3 | style="text-align: center;"| 0.2 |} </div> Die Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> erhält man durch Summieren der einzelnen Spalten oder Zeilen.Dies wird auch als Randverteilung einer gemeinsamen Verteilung bezeichnet. Also beispielsweise: <math display="block">P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=0.1+0.2+0.1=0.4</math> # Bestimme die Randverteilungen von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>. # Berechne die Erwartungswerte <math display="inline">E[X]</math> und <math display="inline">E[Y]</math>. # Berechne die Kovarianz <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]</math>. # Interpretiere das Ergebnis: Ist <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) \ne 0</math>? Was bedeutet das für die Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>? <span id="teil-2-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcovx-y-0"></span> === Teil 2: Unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = 0</math> === Betrachte nun zwei neue Zufallsgrößen <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math>, die unabhängig sind. Ihre gemeinsame Verteilung sei gegeben durch: * <math display="inline">U</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">V</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math> sind unabhängig. # Erstelle eine Tabelle der gemeinsamen Verteilung <math display="inline">P(X=x,Y=y)</math>. # Zeige, dass <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. # Beweise, dass bei Unabhängigkeit von X,Y folgende Beziehung gilt: <math display="inline">E(X\cdot Y))=E(X)\cdot E(Y)</math>. Folgere daraus <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. <span id="teil-3-nicht-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcova-b-0"></span> === Teil 3: Nicht unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(A, B) = 0</math> === Gegeben sei eine Zufallsgröße <math display="inline">X</math>, die gleichverteilt auf den Werten <math display="inline">-1</math>, <math display="inline">0</math> und <math display="inline">1</math> ist: <math display="inline">\mathbb{P}(X = -1) = \mathbb{P}(X = 0) = \mathbb{P}(X = 1) = \frac{1}{3}.</math> Definiere eine neue Zufallsgröße <math display="inline">Y = X^2</math>. # Bestimme die gemeinsame Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> in Form einer Tabelle. Gib auch die Randverteilung von <math display="inline">Y</math> an. # Berechne die Erwartungswerte: <math display="inline">E[X], \quad E[Y], \quad E[XY].</math> # Berechne die Kovarianz: <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y].</math> Was kannst du über die lineare Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> sagen? # Prüfe, ob <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> unabhängig sind. Vergleiche dazu: <math display="inline">\mathbb{P}(X = 1, Y = 1) \quad \text{und} \quad \mathbb{P}(X = 1) \cdot \mathbb{P}(Y = 1).</math> Begründe, warum die Unabhängigkeit nicht vorliegt. # Erkläre, warum die Kovarianz null ist, obwohl eine klare Abhängigkeit zwischen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> besteht. Welche Art von Abhängigkeit wird von der Kovarianz nicht erfasst? == Siehe auch == * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6t4683vn95mue4wfaraqz43w989n2s1 106 157136 1104981 1079145 2026-06-19T10:10:19Z Elena Geiger 41664 1104981 wikitext text/x-wiki ==Beiträge zum Projekt WikiClimatechange von anderen Nutzer*innen== Bereits auf Wikiversity veröffentlichte Beiträge zu unserem Projekt finden sich aktuell unter folgenden Rubriken: {{Kasten|Text= {{Navigation Kursmodule|Fiktionale Texte}} # Gedicht: "Freiburg, unsere Fahrradstadt" # Kurzgeschichte: "Die Reise des Plastikmülls" # Kurzgeschichte: "Wer hat Angst vorm Klimawandel?" {{Navigation Kursmodule|Persönliche Texte}} # Klimaplan - "Persönliche Erfahrungen 1" # Klimaplan - "Persönliche Erfahrungen 2" # Klimaplan - "Persönliche Erfahrungen 3" {{Navigation Kursmodule|Sachtexte}} # "Fleisch, das Klima und Wir" # "Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla: Eine Umweltreportage aus México" # "Reportage zur Bell Repos Nachhaltigkeitsinitiative an der Costa Brava" {{Navigation Kursmodule|Visuelle Darstellungen}} # "Ein Klimaplan für Freiburg" # "https://historiasdecarrerasraramuri.my.canva.site/startseite" {{Navigation Kursmodule|Video- und Audio-Beiträge}} }} {{Navigation Kursmodule|Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium}} # Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität # Schreibarrangement: "Deutsch, Nachhaltigkeit, Comic" # Schreibarrangement: "Sport, Nachhaltigkeit, Comic" # Schreibarrangement: "Lebensmittelverschwendung" # Schreibarrangement: "Unterrichtsidee zum Biomüll" # Schreibwerkstatt der Generationen: "Visionen für eine zukunftsfähige Welt" '''Anleitung für neue Beiträge:''' == Teilnehmen — Wie geht das? == # Lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton (u.a.) beschreiben # Die Ursachen dieser lokalen Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) # Wege im lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen der Klimaveränderung entwerfen und ggf. bereits vorhandene Aktionen zeigen (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) ''Um einen Beitrag ohne viel Aufwand beizusteuern, kannst du ihn einfach an folgende Mail schicken: infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de. Das Team kümmert sich dann um die Einbettung auf der Website. Möchtest du selbstständig einen Beitrag auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen, hilft dir hoffentlich folgende Anleitung * Einen Wiki-Account anlegen: https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Hauptseite * Den eigenen Beitrag in WikiCLIMATEchange einfügen: # Eine Rubrik für den eigenen Beitrag wählen (https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:WikiCLIMATEchange/Beitr%C3%A4ge) # um in den Bearbeitungsmodus der Seite zu kommen: auf "Bearbeiten" klicken (auf der Seite rechts oben)/optional über Tastenkombination "alt"+"shift"+"e" # eigenen Beitrag benennen im Stil "==" (um eine Überschrift zu generieren) + "Name in Anführungszeichen" # anschließend darunter eigene Datei hinzufügen über: Menüband oben -> Bilder und Medien (Grafik eines schwarzen Rechtecks mit zwei hellen Dreiecken) -> entsprechende Datei hochladen (bestätigen, dass es sich um eigenes Werk handelt sowie Namen und Beschreibung hinzufügen) -> Ausrichtung: links; Format: gerahmt -> "Einfügen" und ganz hinten einen Punkt setzen(".", sonst wird folgende Überschrift nicht richtig angezeigt) '' # auf der Beiträge-Übersichtsseite eigenen Beitrag entsprechend ergänzend: wieder über "Bearbeiten"; unter gewählter Rubrik eine "#" + (Raute markiert Nummerierung; bestenfalls Reihenfolge in Rubrik beibehalten zur Orientierung!) + den selbst gewählten Titel des Beitrags '' Vielen Dank für euer Engagement und viel Spaß beim Ausprobieren'' nlg3h4x84xx6wi5k9kgebpehn034ukm 106 158100 1104980 940731 2026-06-19T10:07:31Z Elena Geiger 41664 1104980 wikitext text/x-wiki ''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Fiktionale Texte'' == Gedicht: "Freiburg, unsere Fahrradstadt" == [[Datei:Gedicht- Freiburg, unsere Fahrradstadt.pdf|gerahmt|links]]. == Kurzgeschichte: "Die Reise des Plastikmülls" == [[Datei:Kurzgeschichte- Die Reise des Plastikmülls.pdf|gerahmt|links]]. == Kurzgeschichte: "Wer hat Angst vorm Klimawandel?" == [[Datei:Wer hat Angst vorm Klimawandel?|gerahmt|links]]. 8rvazkcsdm43y8kgbo8zpv4myqu2rfh 0 162012 1104966 1078841 2026-06-19T08:40:45Z C.Koltzenburg 13981 /* S */ 1104966 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. 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Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) allergische Rhinokonjunktivitis, e -- Heuschnupfen, r '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e –– Harnausscheidung '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial''' (Adj./Adv.) –– auf den Radius bezogen radialis (Adj./ Adv.) –– zur Speiche gehörend '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeifen, s (=/= Stridor, r –– Giemen, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– Giemen, s, zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = Xerodermie, e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e zerebral (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend Zervikalgie, e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e Zoster, r –– Gürtelrose, e Zoster oticus, r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) zyanotisch (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e Zyklothymie, e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] Zyste, e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r Zystitis, e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung Zystostatika, e –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung 99wbo88kq9n6en5gsjm7pfdwv606u0f 1104967 1104966 2026-06-19T08:43:07Z C.Koltzenburg 13981 /* S */ 1104967 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. 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Januar 2025)#W|W]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#X|X]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#Y|Y]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#Z|Z]] Artikelmarker: <br /> , e = die <br /> , r = der <br /> , s = das <br /> Nomen, die auf "-ung" enden, sind immer "die" (danke, Deutsch ;-) -- wegen des häufigen Vorkommens wird in dieser Liste der Artikel bei diesen Nomen nicht extra vermerkt ;-) <br /> '''Fett markiert''' sind die Begriffe aus der Liste der App ANKI, für Baden-Württemberg 21 Seiten pdf (Stand 2025). Ergänzt am 14.12.2025, bis '''Faszie''' erledigt = A = Abdomen, s –– Bauch, r Abdomensonographie, e –– Ultraschalluntersuchung des Bauches '''abdominal''' (Adj./Adv.) –– zum Bauch gehörend / den Bauch betreffend '''Abducens nerve''' –– VI. Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) allergische Rhinokonjunktivitis, e -- Heuschnupfen, r '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e –– Harnausscheidung '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial''' (Adj./Adv.) –– auf den Radius bezogen radialis (Adj./ Adv.) –– zur Speiche gehörend '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeifen, s (=/= Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = Xerodermie, e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e zerebral (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend Zervikalgie, e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e Zoster, r –– Gürtelrose, e Zoster oticus, r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) zyanotisch (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e Zyklothymie, e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] Zyste, e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r Zystitis, e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung Zystostatika, e –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung m3ek6ece4wdyxdm16cnu46oyd34hjgs 1104968 1104967 2026-06-19T08:44:13Z C.Koltzenburg 13981 /* X */ 1104968 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. 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Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) allergische Rhinokonjunktivitis, e -- Heuschnupfen, r '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e –– Harnausscheidung '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial''' (Adj./Adv.) –– auf den Radius bezogen radialis (Adj./ Adv.) –– zur Speiche gehörend '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeifen, s (=/= Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = W = Wheezing (Engl.) -- Giemen, s, = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, 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Satz einer Patientenvorstellung]] = Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen = Siehe auch: [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] == nur Stichworte (Blatt 1) == [VN NN] <br /> Sina Gowitz <br /> [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 <br /> [Gewicht] <br /> 80 kg <br /> [Größe] <br /> 184 cm <br /> [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] <br /> Nikotin: <br /> Nichtraucherin C2: <br /> | trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> [+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I] Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert <br /> [+ Verb im Konjunktiv I] [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> [FA] <br /> Mutter: Herzinsuffizienz <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) <br /> <-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil <br /> ab hier --> == Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) == === Reihenfolge der Symptome im 1. Satz === - mit dem schlimmsten Symptom starten bzw. mit dem Symptom starten, weswegen jemand kommt (das zur Vorstellung geführt hat), <br /> - falls uneindeutig / viele Symptome / alle ähnlich "schlimm": dann mit dem starten, was die Patientin zuerst nannte, <br /> - die Leitsymptome sollten zur Diagnose passen <br /> - bei Polytrauma: lebensbedrohliche Symptome/Verletzungen zuerst. <br /> '''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).''''' === 1. Satz (oder 1-3 Sätze) === ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. === darauffolgende Abschnitte === [BS] <br /> | Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] <br /> | Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] <br /> | Begleitend besteht: [+ Nominativ] <br /> | Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. <br /> | Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] <br /> [VA] <br /> | Vegetativ bestehen ... <br /> | Die vegetative Anamnese ergab ... <br /> | In der VA bestehen ... <br /> | In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... <br /> | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. <br /> | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. <br /> [VE/VO] <br /> | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: <br /> | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: <br /> (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) <br /> | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: <br /> Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. <br /> | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren. <br /> | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... <br /> | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. <br /> | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). <br /> [Med] <br /> | Die Anamnese der Medikation ergab: <br /> | Die Medikation ergab: <br /> | Die Medikation besteht aus <br /> Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen. [RA] <br /> | Eine Reise nach Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | In der Reiseanamnese ist ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche bekannt. <br /> | Ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | Er sei vor einer Woche aus Südafrika zurückgekommen. <br /> [VD] <br /> | Meine VD lautet: akute Appendizitis. <br /> | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. <br /> | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. <br /> [DD] <br /> | An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Als Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: <br /> Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] <br /> | Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: <br /> | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: <br /> körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] <br /> | Therapeutisch empfehle ich: <br /> | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: <br /> | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: <br /> | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: <br /> laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. c3k8lt36x5lpmlspz2dyvaco1d0z1qg 1104960 1104959 2026-06-19T07:28:55Z C.Koltzenburg 13981 /* darauffolgende Abschnitte */ 1104960 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] = Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen = Siehe auch: [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] == nur Stichworte (Blatt 1) == [VN NN] <br /> Sina Gowitz <br /> [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 <br /> [Gewicht] <br /> 80 kg <br /> [Größe] <br /> 184 cm <br /> [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] <br /> Nikotin: <br /> Nichtraucherin C2: <br /> | trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> [+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I] Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert <br /> [+ Verb im Konjunktiv I] [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> [FA] <br /> Mutter: Herzinsuffizienz <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) <br /> <-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil <br /> ab hier --> == Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) == === Reihenfolge der Symptome im 1. Satz === - mit dem schlimmsten Symptom starten bzw. mit dem Symptom starten, weswegen jemand kommt (das zur Vorstellung geführt hat), <br /> - falls uneindeutig / viele Symptome / alle ähnlich "schlimm": dann mit dem starten, was die Patientin zuerst nannte, <br /> - die Leitsymptome sollten zur Diagnose passen <br /> - bei Polytrauma: lebensbedrohliche Symptome/Verletzungen zuerst. <br /> '''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).''''' === 1. Satz (oder 1-3 Sätze) === ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. === darauffolgende Abschnitte === [BS] <br /> | Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] <br /> | Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] <br /> | Begleitend besteht: [+ Nominativ] <br /> | Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. <br /> | Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] <br /> [VA] <br /> | Vegetativ bestehen ... <br /> | Die vegetative Anamnese ergab ... <br /> | In der VA bestehen ... <br /> | In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... <br /> | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. <br /> | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. <br /> [VE/VO] <br /> | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: <br /> | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: <br /> (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) <br /> | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: <br /> Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. <br /> | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren. <br /> | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... <br /> | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. <br /> | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). <br /> [Med] <br /> | Die Anamnese der Medikation ergab: <br /> | Die Medikation ergab: <br /> | Die Medikation besteht aus <br /> Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen. [RA] <br /> | Eine Reise nach Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | In der Reiseanamnese ist ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche bekannt. <br /> | Ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | Er sei vor einer Woche aus Südafrika zurückgekommen. <br /> [VD] <br /> | Meine VD lautet: akute Appendizitis. <br /> | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. <br /> | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. <br /> [DD] <br /> | An Differenzialdiagnosen kommt Folgendes in Betracht: [Sing. + Pl.] <br /> | Als Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Differenzialdiagnostisch kommt Folgendes in Betracht: [Sing. + Pl.] <br /> | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: <br /> Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] <br /> | Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: <br /> | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: <br /> körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] <br /> | Therapeutisch empfehle ich: <br /> | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: <br /> | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: <br /> | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: <br /> laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. r4gbpapeb3lw9zmhmne5qfqg70rpxtd 106 170344 1104935 1104336 2026-06-18T16:34:37Z Patrick Rutz 41567 /* Datenerhebung */ 1104935 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen, wie gut dieses Modell die gemessenen Daten beschreibt. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. dlzolaj7du371fd4d951o1dyfk64y6o 1104936 1104935 2026-06-18T16:35:06Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1104936 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen, wie gut dieses Modell die gemessenen Daten beschreibt. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> c7yrzkykq1pjj8711540tm3kkkhj5gc 1104937 1104936 2026-06-18T16:38:59Z Patrick Rutz 41567 /* Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung */ 1104937 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! 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PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> ik79a556o788mexfwf3zv029a8r4jbb 106 171334 1104882 1099675 2026-06-18T13:27:39Z Bocardodarapti 2041 1104882 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Graph/Tensorprodukt/Adjazenzmatrix/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 6nxt6iu855unqlrhzukphdjnekzuy29 1104897 1104882 2026-06-18T13:42:23Z Bocardodarapti 2041 1104897 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann 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|Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Graph/Tensorprodukt/Adjazenzmatrix/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} qu5owlgr2sbt7t9swrwq047x8yydpuq 106 171335 1104911 1097503 2026-06-18T14:02:03Z Bocardodarapti 2041 1104911 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/5 und 8/1/Aufgabe|p||| |Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe|p||| |KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe|p||| |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|p||| |Potenzmenge/Bis r/Matroid/Aufgabe|p||| 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Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Tensorprodukt/Projektionen/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Spannbaum/Isomorphietyp/Aufgabe|p||| |Kreis/5/Adjazenzmatrix/Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} c1aoks7ktc8p50asuc9nu09qzy12w1u 106 171533 1104938 1103411 2026-06-18T17:13:58Z Jonas Dächert 41519 /* Werte */ 1104938 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (x): "Standorte in Deutschland" Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (y) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer geraden Linie liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache gerade Linie den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten nachzeichnet. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächstens Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in m/s) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in km), wobei die Werte von -15 bis 15 Deutschland von der Küste bis zu den Alpen zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: - <math>a = -0.0039</math> - <math>b = 0.031</math> - <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math> <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man f(x=-15)=11,76 in unsere Leistungsfunktion als Varaible v einsetzt: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> erhält man <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. 9o3bo349c7o8txabg2rqop6ab8vonpp 1104939 1104938 2026-06-18T17:16:44Z Jonas Dächert 41519 /* Werte */ 1104939 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (x) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (y) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! 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Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: - <math>a = -0.0039</math> - <math>b = 0.031</math> - <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math> <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man f(x=-15)=11,76 in unsere Leistungsfunktion als Varaible v einsetzt: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> erhält man <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. s0g3vs58llpa387d7fgrotqs4eid539 1104940 1104939 2026-06-18T17:18:25Z Jonas Dächert 41519 /* Werte */ 1104940 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächstens Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in m/s) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in km), wobei die Werte von -15 bis 15 Deutschland von der Küste bis zu den Alpen zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: - <math>a = -0.0039</math> - <math>b = 0.031</math> - <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math> <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man f(x=-15)=11,76 in unsere Leistungsfunktion als Varaible v einsetzt: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> erhält man <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. pei7vv3l7fg326fttmq3pnytfy1htwh 1104941 1104940 2026-06-18T17:18:53Z Jonas Dächert 41519 /* Werte */ 1104941 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in m/s) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in km), wobei die Werte von -15 bis 15 Deutschland von der Küste bis zu den Alpen zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: - <math>a = -0.0039</math> - <math>b = 0.031</math> - <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math> <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man f(x=-15)=11,76 in unsere Leistungsfunktion als Varaible v einsetzt: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> erhält man <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. ahqsesyaou99yguia3yei59ihol2pwc 1104942 1104941 2026-06-18T17:28:41Z Jonas Dächert 41519 /* Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen */ 1104942 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: - <math>a = -0.0039</math> - <math>b = 0.031</math> - <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math> <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(x=-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. jonpvaylgatzg5jbdvnvo38ye9h1cwm 1104943 1104942 2026-06-18T17:40:49Z Jonas Dächert 41519 /* ABC-Formel anwenden */ 1104943 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math> <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(x=-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. qikr745cl1erwxhme7gxi5vjut0rgvh 1104944 1104943 2026-06-18T17:41:41Z Jonas Dächert 41519 /* ABC-Formel anwenden */ 1104944 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(x=-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. kuou6osqq1oaa2a795grs4rpfao1ye8 1104945 1104944 2026-06-18T17:42:18Z Jonas Dächert 41519 /* Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen */ 1104945 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt (Minimum)** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(x = 11{,}22) = 7{,}76</math> in unsere Leistungsfunktion als Variable v : <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ein, so erhalten wir <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 7{,}76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage innerhalb von Deutschland. Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(x=-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. qn8pdxu8np93mgby42q35bprpys0a6b 1104946 1104945 2026-06-18T18:07:54Z Jonas Dächert 41519 /* 4.Berechnung der maximalen Leistung */ 1104946 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt (Minimum)** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4410 \ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(x=-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot 11.76^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}</math>als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. siaicdccurte7l7znpp29xoq1bsyoip 1104947 1104946 2026-06-18T18:17:59Z Jonas Dächert 41519 /* 6.Berechnung der maximalen Leistung */ 1104947 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt (Minimum)** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4410 \ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. 9si6ngzauuvm8y75jhrqekhrwjuo5gq 1104948 1104947 2026-06-18T18:18:52Z Jonas Dächert 41519 /* 4.Berechnung der maximalen Leistung */ 1104948 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt (Minimum)** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. h7yxlo3o5lurxzu99zw59cqg26h4hlw 1104963 1104948 2026-06-19T08:13:23Z ~2026-29316-36 41570 1104963 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt (Minimum)** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. s2vsfszn1y9z9ahd2devhj3p8pghgu1 1104964 1104963 2026-06-19T08:25:32Z Nils Huck 41520 1104964 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: - Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> → **Positiv** → Der Graph ist **nach oben gekrümmt** → **Tiefpunkt (Minimum)** - Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> → **Negativ** → Der Graph ist **nach unten gekrümmt** → **Hochpunkt (Maximum)** === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. l6w554qy1uv0yk00d6bsziysytixf0q 1104965 1104964 2026-06-19T08:34:50Z Nils Huck 41520 1104965 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. 0egknzpbuq72b66l1mr51klg9tgle05 1104969 1104965 2026-06-19T08:44:19Z ~2026-29316-36 41570 1104969 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == qj4edgvszez5z83nvxhuuk3t8efn2ey 1104971 1104969 2026-06-19T08:49:53Z Nils Huck 41520 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104971 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|Regressionskurve 9.]] kyxfrf73frr8qv69om4ukpz3a2sxn9t 1104972 1104971 2026-06-19T08:51:03Z Nils Huck 41520 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104972 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] goo7m3hifc6rye4jsgndwjpvrfwazhs 1104974 1104972 2026-06-19T08:57:04Z Nils Huck 41520 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104974 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 np8ksdniysaq7i6y62dhzx2lawh23eq 1104975 1104974 2026-06-19T09:02:40Z Nils Huck 41520 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104975 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] hezkibsgy4iw6anwt4jufmhtqef582b 106 171612 1104688 1104569 2026-06-18T12:10:37Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Norm einer Funktion */ 1104688 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dz \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. == Siehe auch == * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5sms5wdcy2edlb4hkpn9kjhai5blbxb 1104710 1104688 2026-06-18T12:14:17Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen */ 1104710 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dz \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> == Siehe auch == * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fiyletz64si1ttsvmm48q1tgfvfk7wz 1104927 1104710 2026-06-18T14:37:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 */ 1104927 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dz \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== == Siehe auch == * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5vum74yioxx6y5330zl0lgf33q6a59l 1104928 1104927 2026-06-18T14:38:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1104928 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dz \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g8awel5ojadw5hfnego35qx0b4vlxa0 1104933 1104928 2026-06-18T14:52:37Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 */ 1104933 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dz \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die Orthogonalprojektion auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bb0vlw7ndkj6ml51tcbmuzdblaiesj7 1104982 1104933 2026-06-19T10:24:03Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften */ 1104982 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dz \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die Orthogonalprojektion auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] orxd9flo6zqnemepb5njjx0fz28uwfp 1104983 1104982 2026-06-19T10:31:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2.2 - Norm für n=1 */ 1104983 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dz \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die Orthogonalprojektion auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4kl6653tsbharbcq8jo6oplsoe410xw 1104984 1104983 2026-06-19T10:32:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2.2 - Norm für n=1 */ 1104984 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dt \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die Orthogonalprojektion auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gyp96y3nz78kpp8dt1mip69ye7sk4j9 1104985 1104984 2026-06-19T10:45:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1104985 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann man als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(5+i)}^{=z_2} + t\cdot \overbrace{(1 + i)}^{=z_1} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=4} \, dt \end{array} </math> ==== Beispiel 2.2 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.3 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = |z^4| = |z|^4 </math> Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen weiter. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die Orthogonalprojektion auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mai59kl1av3wyed8nt75qqzcbw0fq5c 0 171739 1104631 2026-06-18T12:02:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104631 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=kartesischen Produkt (Graph)|Anf=Ka| |Siehe=kartesisches Produkt (Graph) |Ziel=/Definition }} qogodwynqaw2ugk3s9konul5lr22rys 0 171740 1104634 2026-06-18T12:02:17Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104634 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=kartesisches Produkt (Graph)|Anf=Ka| |Siehe= |Ziel=Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition }} 09c862apbk7eu117ij6f1gnic8aadrp 0 171741 1104678 2026-06-18T12:09:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104678 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu zwei {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} nennt man den Graphen mit der Knotenmenge {{mathl|term= V \times W |SZ=,}} wobei zwischen zwei Knoten {{ mathkor|term1= (v_1,w_1) |und|term2= (v_2,w_2) |SZ= }} genau dann eine Kante besteht, wenn sowohl zwischen {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} also auch zwischen {{ mathkor|term1= w_1 |und|term2= w_2 |SZ= }} eine Kante besteht, das {{ Definitionswort |Tensorprodukt| |msw=Tensorprodukt (Graphen) |SZ= }} der Graphen. Es wird mit {{mathl|term= G \otimes H |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Tensorprodukt (Graph) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7oxp1pyrkeoyjgyz1wyczjotubm9hzy 14 171742 1104680 2026-06-18T12:09:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104680 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=T|Anf2=e|Anf3=n|Tensorprodukt (Graphen) (MSW)}} elt3n7ojxoftm7ts3dgh5yor982wx66 0 171743 1104757 2026-06-18T12:21:40Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104757 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G \otimes H |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Projektionen {{ Abbildung/display |name=p_G | G \otimes H | G | (v,w) | v |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name=p_H | G \otimes H | H | (v,w) | w |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass Knotenpunkte {{math|term= y,z |SZ=}} aus {{math|term= G \otimes H |SZ=}} genau dann miteinander durch eine Kante verbunden sind, wenn die beiden Projektionen jeweils durch eine Kante verbunden sind. |Es sei {{ Relationskette | M || (P,K) || || || |SZ= }} ein weiterer Graph und seien Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi | P | V || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi | P | W || |SZ= }} gegeben mit der Produktabbildung {{ Abbildung |name= \varphi \times \psi | P | V \times W |p| ( \varphi(p), \psi(p)) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi \times \psi |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} Graphhomomorphismen sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9vdri2ae2o67gvaxp5qdepdadle8o6e 1104800 1104757 2026-06-18T12:28:35Z Bocardodarapti 2041 1104800 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G \otimes H |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Projektionen {{ Abbildung/display |name=p_G | G \otimes H | G | (v,w) | v |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name=p_H | G \otimes H | H | (v,w) | w |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass Knotenpunkte {{math|term= z_1,z_2 |SZ=}} aus {{math|term= G \otimes H |SZ=}} genau dann miteinander durch eine Kante verbunden sind, wenn die beiden Projektionen jeweils durch eine Kante verbunden sind. |Es sei {{ Relationskette | M || (P,K) || || || |SZ= }} ein weiterer Graph und seien Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi | P | V || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi | P | W || |SZ= }} gegeben mit der Produktabbildung {{ Abbildung |name= \varphi \times \psi | P | V \times W |p| ( \varphi(p), \psi(p)) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi \times \psi |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} Graphhomomorphismen sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} big9hcscrtfd3pn8zm4m8hflmqjqmmr 1104856 1104800 2026-06-18T12:40:56Z Bocardodarapti 2041 1104856 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G \otimes H |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Projektionen {{ Abbildung/display |name=p_G | G \otimes H | G | (v,w) | v |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name=p_H | G \otimes H | H | (v,w) | w |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass Knotenpunkte {{math|term= z_1,z_2 |SZ=}} aus {{math|term= G \otimes H |SZ=}} genau dann miteinander durch eine Kante verbunden sind, wenn die beiden Projektionen jeweils durch eine Kante verbunden sind. |Es sei {{ Relationskette | M || (P,K) || || || |SZ= }} ein weiterer Graph und seien Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi | P | V || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi | P | W || |SZ= }} gegeben mit der Produktabbildung {{ Abbildung |name= \varphi \times \psi | P | V \times W |p| ( \varphi(p), \psi(p)) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi \times \psi |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} Graphhomomorphismen sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dj0h9tsd2hzdhadudh3uigg54eygwrx 1104888 1104856 2026-06-18T13:31:33Z Bocardodarapti 2041 1104888 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{mathl|term= G \otimes H |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Projektionen {{ Abbildung/display |name=p_G | G \otimes H | G | (v,w) | v |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name=p_H | G \otimes H | H | (v,w) | w |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Zeige{{n Sie}}, dass Knotenpunkte {{math|term= z_1,z_2 |SZ=}} aus {{math|term= G \otimes H |SZ=}} genau dann miteinander durch eine Kante verbunden sind, wenn die beiden Projektionen jeweils durch eine Kante verbunden sind. |Es sei {{ Relationskette | M || (P,K) || || || |SZ= }} ein weiterer Graph und seien Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi | P | V || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi | P | W || |SZ= }} gegeben mit der Produktabbildung {{ Abbildung |name= \varphi \times \psi | P | V \times W |p| ( \varphi(p), \psi(p)) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \varphi \times \psi |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} Graphhomomorphismen sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7g7142jr2rpcj5o3z9vh5tr3nm00xg2 0 171744 1104854 2026-06-18T12:40:27Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104854 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Es seien {{ mathkor|term1= {{makl| v_1,w_1 |}} |und|term2= {{makl| v_2,w_2 |}} |SZ= }} im Tensorprodukt durch eine Kante verbunden. Dies bedeutet, dass {{mathl|term= v_1,v_2 |SZ=}} eine Kante in {{math|term= E |SZ=}} und {{mathl|term= w_1,w_2 |SZ=}} eine Kante in {{math|term= F |SZ=}} ist. Unter der ersten Projektion werden die beiden Punkte auf {{ mathkor|term1= v_1 |bzw.|term2= v_2 |SZ= }} abgebildet und daher bleibt die Kante bestehen. Entsprechend für die zweite Projektion. |Mit {{ Relationskette | z_1 || {{makl| v_1, w_1 |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | z_2 || {{makl| v_2, w_2 |}} || || || |SZ= }} gilt nach Definition, dass {{ mathkor|term1= z_1 |und|term2= z_2 |SZ= }} genau dann miteinander durch eine Kante verbunden sind, wenn {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} und {{ mathkor|term1= w_1 |und|term2= w_2 |SZ= }} durch eine Kante verbunden sind. Diese Punktepaare sind aber das Ergebnis der Projektionen. |Wenn {{ Abbildung/display |name= \varphi \times \psi | P | V \times W || |SZ= }} ein Graphhomomorphismus ist, so gilt das nach (1) wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} auch für die Hintereinanderschaltungen mit den beiden Projektionen, die ja {{math|term= \varphi |SZ=}} bzw. {{math|term= \psi |SZ=}} ergeben. Wenn diese beiden Abbildungen Graphhomomorphismen sind, so betrachten wir eine Kante in {{math|term= P |SZ=}} zwischen den beiden Punkten {{ mathkor|term1= p_1 |und|term2= p_2 |SZ=. }} Dann liegt nach Voraussetzung in {{math|term= G |SZ=}} eine Kante zwischen {{ mathkor|term1= \varphi {{makl| p_1 |}} |und|term2= \varphi {{makl| p_2 |}} |SZ= }} und in {{math|term= H |SZ=}} eine Kante zwischen {{ mathkor|term1= \psi {{makl| p_1 |}} |und|term2= \psi {{makl| p_2 |}} |SZ= }} vor. Dies bedeutet, dass {{ mathkor|term1= {{makl| \varphi {{makl| p_1 |}} , \psi {{makl| p_1 |}} |}} |und|term2= {{makl| \varphi {{makl| p_1 |}} , \psi {{makl| p_1 |}} |}} |SZ= }} in {{mathl|term= G \otimes H |SZ=}} durch eine Kante verbunden sind. Deshalb ist {{mathl|term= \varphi \times \psi |SZ=}} ein Graphhomomorphismus. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cj4fnp3e1m7w50entutrzn20bbhy83e 14 171745 1104855 2026-06-18T12:40:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104855 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a 0 171746 1104885 2026-06-18T13:30:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104885 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrizen| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Adjazenzmatrix des {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorproduktes| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{mathl|term= G \otimes H |SZ=}} gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Kroneckerprodukt| |Kontext=| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} tiigkjfvtp4e2oynq9vqtk482w0foo8 0 171747 1104886 2026-06-18T13:30:52Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104886 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Adjazenzmatrizen (Graph)|Anf=Ad| |Siehe=Adjazenzmatrix (Graph) |Ziel=/Definition }} 95a1nypxwjidcupnmqf3v2zoi2dxv4t 0 171748 1104887 2026-06-18T13:31:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104887 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Tensorproduktes (Graph)|Anf=Te| |Siehe=Tensorprodukt (Graph) |Ziel=/Definition }} ht5iw3qbdqwmmspuf533zta5n9s4zks 0 171749 1104889 2026-06-18T13:32:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104889 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Tensorprodukt (Graph)|Anf=Te| |Siehe= |Ziel=Graph/Tensorprodukt/Definition }} ax9nlsssj37vspmc61nzjbwhp4wrx17 0 171750 1104895 2026-06-18T13:41:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104895 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= In {{ Relationskette | A || {{makl| a_{uv} |}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | a_{uv} || 1 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante von {{math|term= G |SZ=}} ist, und in In {{ Relationskette | B || {{makl| b_{wz} |}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | b_{wz} || 1 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= \{w,z\} |SZ=}} eine Kante von {{math|term= H |SZ=}} ist. Es sei {{math|term= C |SZ=}} die Adjazenzmatrix von {{mathl|term= G \otimes H |SZ=.}} Nach Definition ist {{ Relationskette/display | C_{ (u,w) , (v,z) } || 1 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ mathkor|term1= (u,w) |und|term2= (v,z) |SZ= }} durch eine Kante verbunden sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante in {{math|term= G |SZ=}} und {{mathl|term= \{ w,z\} |SZ=}} eine Kante in {{math|term= H |SZ=}} ist. Deshalb ist {{ Relationskette/display | C_{ (u,w) , (v,z) } || a_{uv} b_{wz} || || || |SZ=, }} was dem Kroneckerprodukt entspricht. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dowr3epjwwa5g75kk4bkv5ecbdzaffw 0 171751 1104901 2026-06-18T13:48:53Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] erstellt 1104901 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] 1w6cguv3juwi3xue9e0u098bo9lah2l 0 171752 1104916 2026-06-18T14:07:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104916 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir benennen die Felder mit {{mathl|term= (i,j) |SZ=}} mit {{ Relationskette | i,j | \in | \{1 {{kommadots}} 8\} || || || |SZ= }} und betrachten die Zerlegung {{mathl|term= A \uplus B |SZ=,}} wobei {{ Relationskette/display | A || {{Mengebed| (i,j)| i+j \text{ ist gerade} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || {{Mengebed| (i,j)| i+j \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ= }} ist. Ein Springerzug besitzt die Form {{mathl|term= ( \pm 1, \pm 2) |SZ=}} oder {{mathl|term= ( \pm 2, \pm 1) |SZ=.}} In jedem Fall wird aus einer geraden Summe eine ungerade Summe und umgekehrt, d.h. es gibt nur Sprünge zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nrtcz6dh2n4kjdwzw37tg8hm5x5z76i 0 171753 1104922 2026-06-18T14:15:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104922 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiter Graph| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{math|term= e |SZ=}} eine Kante. {{ Aufzählung2 |Ist {{mathl|term= G \setminus e |SZ=}} wieder bipartit? |Ist {{mathl|term= G / e |SZ=}} wieder bipartit? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3c9l6dqlf2o5lj3qegbmhu6ol2ix660 0 171754 1104929 2026-06-18T14:39:39Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage]] erstellt 1104929 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage]] hagiwubfrbbvc1x1tsdrjphm1oiuci8 0 171755 1104950 2026-06-19T06:18:04Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104950 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Paarung| |Kontext=| |SZ= }} in einem Graphen {{math|term= G |SZ=,}} die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Paarung| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 86pka5kb9g2i8a6glrtfe89u1trig3j 1104953 1104950 2026-06-19T06:20:30Z Bocardodarapti 2041 1104953 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Paarung| |Kontext=| |SZ= }} in einem Graphen {{math|term= G |SZ=,}} die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Paarung| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 99rmnianxgy80f2p4gzhpex1tpgwaww 0 171756 1104952 2026-06-19T06:20:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104952 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |Blossom Counter|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Blossom_Counter |Text= |Autor= |Benutzer=0g1o2i3k4e5n6 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} snsmoc0pugejpdeq2uacmbrxsb1ctwg 0 171757 1104957 2026-06-19T07:12:25Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104957 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= k |SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=}} und Knotenanzahl {{math|term= n |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | n | \leq | kd^k || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass es einen Graphen mit {{ Relationskette/display | n | \geq | (d-1)^k || || || |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie= |Kategorie2=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie3=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jc9uuhya6b1rte7pfmq5cqr5dcdd2o3 1104958 1104957 2026-06-19T07:14:04Z Bocardodarapti 2041 1104958 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= k |SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=}} und Knotenanzahl {{math|term= n |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | n | \leq | kd^k || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass es einen Graphen mit {{ Relationskette/display | n | \geq | (d-1)^k || || || |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dfa3h83j3hpu1toss122szqiwz0y2ft 1104961 1104958 2026-06-19T07:48:16Z Bocardodarapti 2041 1104961 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= k |SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=}} und Knotenanzahl {{math|term= n |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | k | \geq | 2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | n | \leq | kd^k || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass es einen Graphen mit {{ Relationskette/display | n | \geq | (d-1)^k || || || |SZ= }} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dkt94fm8tchrh6325bhdz6m5v41m0p1 0 171758 1104962 2026-06-19T07:52:16Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104962 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Es sei {{math|term= z |SZ=}} ein Punkt, dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |SZ= }} gleich dem Radius {{math|term= k |SZ=}} ist, d.h., jeder Punkt hat zu {{math|term= z |SZ=}} höchstens den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= k |SZ=.}} Wir behaupten, dass die Anzahl der Punkte, die von {{math|term= u |SZ=}} einen Abstand {{math|term= i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette | 1 | \leq | i | \leq | k || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} haben, durch {{ Math/display|term= d (d-1)^{i-1} |SZ= }} beschränkt ist. Dies beweisen wir durch Induktion über {{math|term= i |SZ=.}} Für {{ Relationskette | i || 1 || || || |SZ= }} ist das richtig, da ja mit {{math|term= z |SZ=}} höchstens {{math|term= d |SZ=}} Punkte verbunden sind. Induktionsschluss: Ein Punkt mit dem Abstand {{math|term= i+1 |SZ=}} von {{math|term= z |SZ=}} muss mit einem Punkt mit Abstand {{math|term= i |SZ=}} von {{math|term= z |SZ=}} durch eine Kante verbunden sein. Von diesen Punkten gibt es nach Induktionsvoraussetzung höchstens {{mathl|term= d (d-1)^{i-1} |SZ=}} Stück. Von diesen Punkten gehen jeweils höchstens {{math|term= d-1 |SZ=}} neue Kanten aus, dies ergibt den zusätzlichen Faktor {{mathl|term= (d-1) |SZ=.}} Die Anzahl der Punkte ist daher durch {{ Math/display|term= 1+ d {{makl| 1 + (d-1)+ (d-1)^2 {{plusdots}} (d-1)^{k-1} |}} |SZ= }} nach oben beschränkt. Dies kann man bei {{ Relationskette | k | \geq | 2 || || || |SZ= }} nach oben durch {{ Relationskette/display | d {{makl| k (d-1)^{k-1} |}} | \leq | kd^k || || || |SZ= }} abschätzen. |Wir betrachten den Baum mit Wurzel {{math|term= z |SZ=,}} bei dem der Grad an jedem Punkt {{ Zusatz/Klammer |text=außer den Blättern| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= d |SZ=}} ist. Die Punkteanzahl ist dann {{ Math/display|term= 1+d {{makl| 1 + (d-1)+ (d-1)^2 {{plusdots}} (d-1)^{k-1} |}} |SZ=. }} Diese Zahl ist zumindest {{mathl|term= (d-1)^k |SZ=.}} | }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 684umt9gev97y58d7t2ue7ukchfe6y5 0 171759 1104970 2026-06-19T08:46:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104970 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit {{math|term= n |SZ=}} Knotenpunkten. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |SZ= }} die Form {{ Math/display|term= x^n+ a_{n-2}x^{n-2} \ldots |SZ= }} besitzt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Summe der {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= mit ihren algebraischen Vielfachheiten gezählt| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9xljdoq5n571suhtr5j4ng6aq5d9td 1104973 1104970 2026-06-19T08:55:26Z Bocardodarapti 2041 1104973 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit {{math|term= n |SZ=}} Knotenpunkten. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |SZ= }} die Form {{ Math/display|term= x^n+ c_{n-2}x^{n-2} \ldots |SZ= }} besitzt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Summe der {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= mit ihren algebraischen Vielfachheiten gezählt| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 70qy864zgdit9g19lmi4zo4m3rjt4p9 0 171760 1104976 2026-06-19T09:11:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1104976 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Da die Adjazenzmatrix in der Hauptdiagonalen nur Nullen hat, ist das charakteristische Polynom gleich der Determinante der {{math|term= n \times n |SZ=-}}Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| x | -a_{12} | \ldots | -a_{1n} | -a_{12} | x | \ddots | -a_{2 n} | \vdots | \ddots | \ddots | \vdots | -a_{1 n} | \ldots | -a_{n-1 n} | x |}} |SZ=, }} wobei die {{mathl|term= a_{ij} |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} oder gleich {{math|term= 1 |SZ=}} sind. Nach dem Entwicklungssatz kommt der Faktor {{math|term= x^n |SZ=}} vor. Die anderen Summanden ergeben sich durck Multipikation von {{mathl|term= \pm a_{1i} |SZ=}} mit der Streichungsmatrix. In deren Determinante kommt höchstens die {{math|term= n-2 |SZ=-}}te Potenz von {{math|term= x |SZ=}} vor. Deshalb ist der Koeffizient vor {{math|term= x^{n-1} |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |Es sei {{ Relationskette/display | P || {{makl| x- \lambda_1 |}} \cdots {{makl| x- \lambda_n |}} || || || |SZ= }} die Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms, wobei die {{math|term= \lambda_i |SZ=}} die Eigenwerte {{ Zusatz/Klammer |text=mit Wiederholungen| |ISZ=|ESZ= }} sind. Wenn man dies ausmultipliziert, so ergibt sich {{ Relationskette/display | P || x^n + {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n \lambda_i |}} x^{n-1} + \ldots || || || |SZ=. }} Nach Teil (1) muss also die Summe der Eigenwerte gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sein. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} kccz6gy2dcjy3yjrbzpunfno2z7o1ly 3 171761 1104979 2026-06-19T09:42:23Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1104979 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Elena Geiger}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:42, 19. Jun. 2026 (CEST) gs9cbmmag7eezdm5b6mbw9k7oib4vpu