Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.7 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 2 36268 1105044 1073084 2026-06-20T07:19:35Z Falko Wilms 8588 1105044 wikitext text/x-wiki [[File:FWilms.png|thumb|130px|left|Mein rechtes Auge]] [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb|240px|right|<center>[http://www.fhv.at <small>URL</small>] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg <small>youtube</small>] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg <small>facebook</small>] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg <small>twitter</small>]</center>]] {{Babel|de|en-3|fr-2|public scientist}} </div> Mein Name ist [http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms Falko Wilms]. Ich bin Hochschullehrer auf dem quer zu den traditionellen Fachdisziplinen liegendem Fachgebiet ''Organizational Behaviour'' und lehre interdisziplinäre Themen mit sozial-ökonomischen Mischcharakter wie Systemdenken, systemorientierte Organisationslehre, virtuelle Teamarbeit, oder partizipative Entscheidungsfindung. <br><br> Meine Erfahrungen in der Gestaltung von Lehr-/Lern-Arrangements mit Wikiversity als ein öffentlicher Wissenschaftler sind durchweg positiv. Öffentliche Wissenschaft bedeutet für mich, dass Lehren + Lernen zusammen gehört und durch dabei ein gemeinsamer Prozess der wissenschaftlichen Wissensproduktion durchgeführt wird, bei dem Konzepte, Ideen, brainstormingartige Stichpunkte usw. online stellt und diskutiert werden. <br><br> Öffentliche Wissenschaft bedeutet für mich auch, bereits im Prozess der wissenschaftlichen Wissensproduktion erste Konzepte, Ideen, brainstormingartige Stichpunkte usw. online zu stellen und mit anderen zu diskutieren, um einen "emerging progress" zu ermöglichen. Sie sind herzlich eingeladen, eigene Ideen und Kommentare auf der Diskussionsseite zu hinterlassen. <br><br> Diese und alle damit zusammenhängende Seite von mir sind im Fluss und werde es auch bleiben, denn: [[w:Panta rhei|Panta rhei]]. {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | '''Kurs im Wintersemester''' * [[Kurs:Systemorientierte Organisationslehre|Systemorientierte Organisationslehre]] - - - - '''Kurse im Sommersemester''' *[[Kurs:Angewandte_Entscheidungstheorie|Angewandte Entscheidungstheorie]] *[[Kurs:Prozessmanagement|Geschäftsprozessmanagement]] *[[Kurs: Interdisziplinäre Integration 2: Modul Umgangsformen|Interdisziplinäre Integration 2: Modul Umgangsformen]] *[[Kurs:Systems_Engineering|Systems Engineering1]] *[[Kurs: Umgangsformen|Umgangsformen für Techniker]] '''abgelaufene Kurse''' <div style="float:center; margin-left:1.0em; margin-bottom:0.4em; border:solid 1px #99B3FF; background-color:3f3ff; overflow:auto; width:360px; height:120px"> *[[Kurs:BWL-Grundlagen für die Pflege|BWL-Grundlagen für die Pflege]] *[[Kurs:Bachelor-Startworkshop|BWL-Bachelor-Startworkshop]] *[[Kurs:Integration-BWL|Bachelor - Integration Seminar]] *[[Kurs:Finanzen & Prozessmanagement|Finanzen & '''Prozessmanagement''']] *[[Kurs:Führungsinstrumente|Führungsinstrumente]] *[[Kurs:Führung und Unternehmen: Team|Führung und Unternehmen: Team]] *[[Kurs:Personale und Interpersonale Kompetenzen|Personale und Interpersonale Kompetenzen]] *[[Kurs:Prozessmanagement|Prozessmanagement]] *[[Kurs:Grundlagen der F%C3%BChrung|Grundlagen der Führung]] *[[Kurs:Human_Ressource_Management|Human Ressource Management]] *[[Kurs:Management von Organisationen|Management von Organisationen]] *[[Kurs:Grundlagen der Organisation|Grundlagen der Organisation]] *[[Kurs:Integration-BWL|Bachelor - Integration Seminar]] * [[Kurs:Komplexe Systeme|Komplexe Systeme]] *[[Kurs:MASTER-Startworkshop|BWL-MASTER-Startworkshop]] *[[Kurs:Problemlösungstechniken|Problemlösungstechniken]] *[[Kurs:Das_Mitarbeitergespräch_als_Führungsinstrument|Mitarbeitergespräch als Führungsinstrument]] *[[Kurs:Organisationslehre|Organisationslehre]] *[[Kurs:Organisationsentwicklung|Organisationsentwicklung]] *[[Kurs:Problemlösung und Entscheidungsfindung|Problemlösung & Entscheidungsfindung]] *[[Kurs:Profit- und Nonprofit-Organisationen|Profit- und Nonprofit-Organisationen]] *[[Kurs:Systems_Engineering I|Systems Engineering I]] *[[Kurs:Systems_Engineering II|Systems Engineering II]] *[[Kurs:Systems_Engineering III|Systems Engineering III]] *[[Kurs:Systems_Engineering III(alt)|Systems Engineering III (alt)]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_2|Team und Kommunikation 2]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_3 NB|Team und Kommunikation 3 (Teilzeit)]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_3 VZ|Team und Kommunikation 3 (Vollzeit)]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_1(T)|Team und Kommunikation 1 (Techniker)]] *[[Kurs:Virtual_Teamwork|Virtuelle Teamarbeit (dt.)]] *[[:en:Virtual_Teamwork|Virtual Teamwork (engl.)]] *[[Kurs:Startworkshop Elektrotechnik Dual|Startworkshop Elektrotechnik Dual]] * [[Kurs:Wirtschaftsethik|Wirtschaftsethik]]<br> </div> <br> '''geplante Kursangebote''' *[[:en:Introduction_to_Probem_Solving|Introduction to Probem Solving (engl.)]] *[[Kurs:Verhandlung|Verhandlung]] | '''Hilfreiche Hinweise''' <div style="float:center; margin-left:1.0em; margin-bottom:0.4em; border:solid 1px #99B3FF; background-color:3f3ff; overflow:auto; width:360px; height:120px"> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|'''Anwesenheitspflicht''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Asynchrone Lehre|'''Asynchrone Lehre''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Chatbot als Tutor|'''Chatbot als persönlicher Tutor''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Erwartungsklärung|'''Erwartungsklärung''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Dialog mit einem Chatbot|'''Dialog mit einem Chatbot''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Distance Learning|'''Distance Learning''']] *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''fake news erkennen]]''' *[[Benutzer:Falko Wilms/Lernen|'''Gedanken zum akademischen Lernen''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Lernen & KI|'''Gedanken aufbau von Expertise''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Bildung|'''Gedanken zur Bildung''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Selbststudium|'''Gedanken zum Selbststudium''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|'''Guidelines for Gadgets''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/teachingphilosophy|'''Philosophy of Teaching''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/ICM|Grundidee des '''inverted classroom''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Lern-Links|'''Links zu Lernen und Kompetenzen''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Idee der Wikiversity-Kurse|Idee der Wikiversity-Kurse]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Kurslogbuch|'''Kurslogbuch''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Texterstellung im Wiki|Texterstellung im Wiki]] *[[Benutzer:Falko Wilms/wissenschaftliches Arbeiten|wissenschaftliches Arbeiten]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Abstract|Grundlegendes zum Schreiben eines '''Abstract'''s]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheit|'''Anwesenheit''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung des Wertschöpfungs-Charts|Benotung des Wertschöpfungs-Charts]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung der Seminararbeit|Benotung der Seminararbeit]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung der SE3-Seminararbeit|Benotung der SE3-Seminararbeit]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|besser beschriften]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Texten|bessere Texte schreiben]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Chart|Das '''Chart''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Chart+Text|'''Chart und Text''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Exzerpt|Das '''Exzerpt''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Grundlegendes zur '''Gruppenarbeit''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Vorgehen|Grundsätzliches '''Vorgehen''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Nugget-Chart|'''Nugget-Chart''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Strukturiertes_Nugget-Chart|'''Nugget-Chart (strukturiert)''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/wiss.Poster|'''Poster''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Präsentation|'''Präsentation''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Lösungspräsentation|'''Präsentation einer Lösung''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Referenzmodell|'''Referenzmodell''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Rezension|'''Rezension''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Tagesprotokoll|'''Tagesprotokoll''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Thesenpapier|'''Thesenpapier''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/erweitertes Thesenpapier|'''Erweitertes Thesenpapier''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für Studierende''']] *[[Benutzer:Falko_Wilms/Unterlagen|'''Unterlagen]]''' *[[Benutzer:Falko_Wilms/Verständlichkeit|'''Verständlichkeit]]''' *[[Benutzer:Falko_Wilms/wiss. 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[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] 80kzirjvslofdkkas3806h370m90b4t 0 61327 1105062 1103737 2026-06-20T09:49:24Z Bocardodarapti 2041 1105062 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}} {{ inputbild |FIFA World Cup Trophy at National Football Museum, Manchester 02|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel|| }} {{ inputbild |Femalesoccerun02|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Bolzplatz |Autor= |Benutzer=Julián Ortega |Domäne= |Lizenz=CC-by sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bolzplatz/Zweikampfketten/Team/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pokal/Wildberg/Bayern München/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballmanschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Der Ball}} {{ inputbild |Football_theorem_qtl1|svg| 230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Skriptformat=png |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Das Tor}} {{ inputbild |Götze kicks the match winning goal|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Borussia Dortmund/5 zu 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gehört eher zur Analysis II. {{ inputaufgabe |Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}} Ein Turnier führt sowohl zu einem ungerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Spielrelation| |ISZ=|ESZ= }} als auch zu einem gerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Gewinnrelation| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Spielgruppen (Fußball)/4/Darstellungsmöglichkeiten/Beispiel|| }} {{ inputaufgabe |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Relation/Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Stochastische Matrix/Eigenverteilung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/3-1-Regel/Tabelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Das KO-System}} {{ inputaufgabe |KO-System/Summenformel/Fußballspiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/8/Höhenskizze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/8/Freier Graph/Spielgraph/Quotientengraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/Gewinnrelation/Konjugiert-isomorph/Eindeutig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die beiden folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf Konzepte der Prädikatenlogik. {{ inputaufgabe |KO-System/Elementare Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballweltmeisterschaft/KO-Runde/Elementare Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Das Turnier}} {{ inputaufgabe |WM 26/Gesamtspielgraph/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Turnierplanung}} {{ inputaufgabe |EM 2016/Fußballgruppen/Drittplatzierte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Heimvorteil}} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Ohne 1998/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Informationsverarbeitung}} {{ inputaufgabe |Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Liga}} {{ inputaufgabe |Rekordrekordmeister/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 8wh5vsjgriqaftuwj9kgegp2cmyiiup 0 76703 1104995 1083531 2026-06-19T15:06:15Z Bocardodarapti 2041 1104995 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= T_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Mengen. Wir setzen {{ Relationskette/display | S_n || T_n \setminus {{makl| \bigcup_{i {{=}} 1}^{n-1} T_i |}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2/a |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} T_i || \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} S_i || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass die Vereinigung {{mathl|term= \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} S_i |SZ=}} disjunkt ist, dass also {{ Relationskette/display | S_n \cap S_k || \emptyset || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |n |\neq|k || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0m9d5npn6l10s85v711y7rfvnb1s15 0 76704 1104999 1023617 2026-06-19T15:11:52Z Bocardodarapti 2041 1104999 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2/a |Wegen {{ Relationskette | S_n |\subseteq | T_n || || || |SZ= }} gilt {{mathl|term= \supseteq|SZ=.}} Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei {{ Relationskette | x | \in | \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} T_i || || || |SZ=. }} Dann gibt es ein {{math|term= i |SZ=}} zwischen {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} mit {{ Relationskette | x | \in | T_i || || || |SZ= }} und damit auch ein minimales {{math|term= k |SZ=}} mit dieser Eigenschaft. Es ist also {{ Relationskette | x | \in | T_k || || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette | x | \notin | T_i || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i | < | k || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette | x | \in | T_k \setminus \bigcup_{i {{=}} 1}^{k-1}T_i || S_k || || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette | x | \in | \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} S_i || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Relationskette | k | \neq | n || || || |SZ= }} und sagen wir {{ Relationskette | k | < | n || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | x | \in | S_n || T_n \setminus \bigcup_{i {{=}} 1}^{n-1} T_i || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette | x | \in | T_n || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \notin | T_i || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i | < | n || || || |SZ=. }} Also ist insbesondere {{ Relationskette | x | \notin | T_k || || || |SZ= }} und damit auch {{ Relationskette | x | \notin | S_k || || || |SZ=. }} Also sind {{math|term= S_n |SZ=}} und {{math|term= S_k |SZ=}} disjunkt. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4aez1k7m8ls7m8ewj5w2loybyr2d1dh 0 76984 1105028 1083535 2026-06-19T15:32:14Z Bocardodarapti 2041 1105028 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und seien {{ Math/display|term= T_1, T_2 {{kommadots|}} T_n \subseteq M |SZ= }} Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= n \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Menge {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=,}} die aus allen Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} besteht, die man als Durchschnitte der Form {{ Math/display|term= S_1 {{capdots}} S_k |SZ= }} erhalten kann, wobei die Menge {{math|term= S_i |SZ=}} jeweils ein {{math|term= T_j |SZ=}} oder ein {{mathl|term= M \setminus T_j |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} erhalten kann. |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | M || \biguplus_{\ell {{=}} 1}^m A_\ell || || || |SZ= }} und mit der Eigenschaft, dass jedes {{ mathbed|term= A \in {{Mengensystem|A}} ||bedterm1= A\neq \emptyset ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term= A_\ell|SZ=}} umfasst gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass man jede Menge {{math|term= T_j |SZ=}} als {{ Relationskette/display |T_j || \biguplus_{\ell \in L_j }^m A_\ell || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge {{mathl|term= L_j \subseteq \{1 {{kommadots|}} m \} |SZ=}} darstellen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iyau0p63uan52dw8f92mio960si2oxr 1105030 1105028 2026-06-19T15:36:35Z Bocardodarapti 2041 1105030 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es 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mathbed|term= A \in {{Mengensystem|A}} ||bedterm1= A\neq \emptyset ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term= A_\ell|SZ=}} umfasst gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass man jede Menge {{math|term= T_j |SZ=}} als {{ Relationskette/display |T_j || \biguplus_{\ell \in L_j }^m A_\ell || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge {{mathl|term= L_j \subseteq \{1 {{kommadots|}} m \} |SZ=}} darstellen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oa6ib5ss276kq91zuocv9vuriolbn91 1105031 1105030 2026-06-19T15:37:17Z Bocardodarapti 2041 1105031 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und es seien {{ Relationskette/display | T_1, T_2 {{kommadots|}} T_n | \subseteq | M || || || || |SZ= }} Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Menge {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=,}} die aus allen Teilmengen von {{math|term= M |SZ=}} besteht, die man als Durchschnitte der Form {{ Math/display|term= S_1 {{capdots}} S_k |SZ= }} erhalten kann, wobei die Menge {{math|term= S_i |SZ=}} jeweils ein {{math|term= T_j |SZ=}} oder ein {{mathl|term= M \setminus T_j |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} erhalten kann. |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | M || \biguplus_{\ell {{=}} 1}^m A_\ell || || || |SZ= }} und mit der Eigenschaft gibt, dass jedes {{ mathbed|term= A \in {{Mengensystem|A}} ||bedterm1= A\neq \emptyset ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term= A_\ell|SZ=}} umfasst. |Zeige{{n Sie}}, dass man jede Menge {{math|term= T_j |SZ=}} als {{ Relationskette/display | T_j || \biguplus_{\ell \in L_j }^m A_\ell || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge {{mathl|term= L_j \subseteq \{1 {{kommadots|}} m \} |SZ=}} darstellen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} so55klw2zwfpc8r71dcx0r5amv0bsd3 1105032 1105031 2026-06-19T15:37:46Z Bocardodarapti 2041 1105032 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und es seien {{ Relationskette/display | T_1, T_2 {{kommadots|}} T_n | \subseteq | M || || || || |SZ= }} Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Menge {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=,}} die aus allen Teilmengen von {{math|term= M |SZ=}} besteht, die man als Durchschnitte der Form {{ Math/display|term= S_1 {{capdots}} S_k |SZ= }} erhalten kann, wobei die Menge {{math|term= S_i |SZ=}} jeweils ein {{math|term= T_j |SZ=}} oder ein {{mathl|term= M \setminus T_j |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} erhalten kann. |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | M || \biguplus_{\ell {{=}} 1}^m A_\ell || || || |SZ= }} und mit der Eigenschaft gibt, dass jedes {{ mathbed|term= A \in {{Mengensystem|A}} ||bedterm1= A\neq \emptyset ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term= A_\ell|SZ=}} umfasst. |Zeige{{n Sie}}, dass man jede Menge {{math|term= T_j |SZ=}} als {{ Relationskette/display | T_j || \biguplus_{\ell \in L_j }^m A_\ell || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge {{ Relationskette | L_j | \subseteq | \{1 {{kommadots|}} m \} || || || || |SZ= }} darstellen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d2hdkdmlq0y81zftx1xbayer9j1i0py 1105033 1105032 2026-06-19T15:39:02Z Bocardodarapti 2041 1105033 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und es seien {{ Relationskette/display | T_1, T_2 {{kommadots|}} T_n | \subseteq | M || || || || |SZ= }} Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Menge {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=,}} die aus allen Teilmengen von {{math|term= M |SZ=}} besteht, die man als Durchschnitte der Form {{ Math/display|term= S_1 {{capdots}} S_k |SZ= }} erhalten kann, wobei die Menge {{math|term= S_i |SZ=}} jeweils ein {{math|term= T_j |SZ=}} oder ein {{mathl|term= M \setminus T_j |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} erhalten kann. |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | M || \biguplus_{\ell {{=}} 1}^m A_\ell || || || |SZ= }} und mit der Eigenschaft gibt, dass jedes {{ mathbed|term= A \in {{Mengensystem|A}} ||bedterm1= A\neq \emptyset ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term= A_\ell|SZ=}} umfasst. |Zeige{{n Sie}}, dass man jede Menge {{math|term= T_j |SZ=}} als {{ Relationskette/display | T_j || \biguplus_{\ell \in L_j }^m A_\ell || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge {{ Relationskette | L_j | \subseteq | \{1 {{kommadots|}} m \} || || || || |SZ= }} darstellen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=4 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwoehwwmie13x4xn75jouw6fwq8e3n1 0 76985 1105029 1090034 2026-06-19T15:35:27Z Bocardodarapti 2041 1105029 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a |Da die Wiederholung einer Menge in einem Durchschnitt den Durchschnitt nicht ändert, und da {{ Relationskette | T_j \cap {{makl| M \setminus T_j |}} || \emptyset || || || |SZ= }} ist, muss man nur Durchschnitte betrachten, wo jede Menge maximal einmal vorkommt, und zwar entweder selbst oder ihr Komplement. Da nur endlich viele Mengen zur Verfügung stehen, gibt es nur endlich viele Durchschnitte. |Es seien {{math|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} die nichtleeren Mengen aus {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} derart, dass es zwischen {{ mathkor|term1= \emptyset |und|term2= A_\ell |SZ= }} keine weiteren Mengen aus {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} gibt. Diese Mengen sind zueinander disjunkt, da ein Durchschnitt {{mathl|term= A_\ell \cap A_{\ell'} |SZ=}} nach Konstruktion zu {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} gehört und bei {{mathl|term= \ell \neq \ell'|SZ=}} echt in {{math|term= A_\ell|SZ=}} enthalten sein muss, also leer sein muss. Jedes Element {{ Relationskette | x | \in | M |SZ= }} liegt entweder in {{math|term= T_j |SZ=}} oder in {{math|term= M \setminus T_j |SZ=}} und somit in einer Schnittmenge der Form {{Math/display|term= \bigcap_{j \in J} T_{j} \cap \bigcap_{j \in \{1 {{kommadots|}} n\} \setminus J} M \setminus T_j |SZ=}} für eine gewisse Teilmenge {{ Relationskette | J | \subseteq | \{1 {{kommadots|}} n\} || || || || |SZ=. }} Solche Mengen sind minimal in {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=,}} da jede Menge {{math|term= T_j |SZ=}} verarbeitet ist. Zu {{ Relationskette | A | \neq | \emptyset || || || |SZ= }} gibt es daher auch ein {{math|term= A_\ell |SZ=}} mit {{ Relationskette | A \cap A_\ell | \neq | \emptyset || || || || |SZ=. }} Wegen der Wahl der {{math|term= A_\ell |SZ=}} ist dann aber direkt {{ Relationskette/display | A_\ell | \subseteq | A || || || |SZ=. }} Wenn {{mathl|term= B_1 {{kommadots|}} B_{m'} |SZ=}} eine weitere Familie mit den angegebenen Eigenschaften wäre, so gäbe es für jedes {{math|term= B_{\ell'} |SZ=}} ein {{math|term= A_\ell |SZ=}} mit nichtleerem Durchschnitt. Dann ist direkt {{mathl|term= A_\ell \subseteq B_{\ell'} |SZ=}} und somit gilt Gleichheit. |Es sei {{math|term= T_j |SZ=}} gegeben. Bei {{ Relationskette | T_j || \emptyset || || || |SZ= }} nimmt man die leere Vereinigung. Es sei also {{ Relationskette | T_j |\neq| \emptyset || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | T_j \cap A_\ell | \neq | \emptyset || || || |SZ= }} ist sogar {{ Relationskette | T_j | \supseteq | A_\ell || || || |SZ=, }} und {{math|term= T_j |SZ=}} ist die Vereinigung dieser {{math|term= A_\ell |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eblhkfuxdsfkkhkrxh9kg5p8yjrl21p 106 114996 1105036 1076545 2026-06-19T15:46:00Z Bocardodarapti 2041 1105036 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe|p||| |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Relation/Teilmengenbeziehung/2 Elemente/Aufgabe|p||| |Schnick Schnack Schnuck/Gerichteter Graph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Funktionen/R nach R/Infimum und Supremum/Aufgabe|p||| |Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/3/Aufgabe|p||| |Diamantgraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/4/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Strahlgraph/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 3tz4qqdcirf5nsn8lygtfbbjnmxldje 0 116984 1105065 1103014 2026-06-20T10:53:13Z Bocardodarapti 2041 1105065 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Couverture de sommets|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Couverture_de_sommets |Text= |Autor= |Benutzer=Fschwarzentruber |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckung/Definition|| }} Es muss also jede Kante aus {{math|term= G |SZ=}} durch die Knoten aus {{math|term= W |SZ=}} abgedeckt sein. Es geht also um die Überdeckung von Kanten durch Knoten. Ein einzelner Knoten deckt genau die an ihm anliegenden Kanten ab. Wenn man die an einen Knoten {{math|term= v |SZ=}} anliegenden Kanten mit {{math|term= E(v) |SZ=}} bezeichnet, so lautet die Bedingung, dass {{math|term= W |SZ=}} eine Knotenüberdeckung ist, einfach {{ Relationskette/display | E || \bigcup_{v \in W} E(v) || || || |SZ=. }} In einem kantenleeren Graphen ist die leere Menge eine Knotenüberdeckung. {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition|| }} {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition|| }} {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Linearer Graph/Knotenüberdeckungszahl/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Sterngraph/Knotenüberdeckungszahl/Beispiel|| }} {{{zusatz|}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3duoanwgs6hnmi6gf16rjqarwnp7yhx 1105067 1105065 2026-06-20T10:54:20Z Bocardodarapti 2041 1105067 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Couverture de sommets|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Couverture_de_sommets |Text= |Autor= |Benutzer=Fschwarzentruber |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckung/Definition|| }} Es muss also jede Kante aus {{math|term= G |SZ=}} durch die Knoten aus {{math|term= W |SZ=}} abgedeckt sein. Es geht also um die Überdeckung von Kanten durch Knoten. Ein einzelner Knoten deckt genau die an ihm anliegenden Kanten ab. Wenn man die an einen Knoten {{math|term= v |SZ=}} anliegenden Kanten mit {{math|term= E(v) |SZ=}} bezeichnet, so lautet die Bedingung, dass {{math|term= W |SZ=}} eine Knotenüberdeckung ist, einfach {{ Relationskette/display | E || \bigcup_{v \in W} E(v) || || || |SZ=. }} In einem kantenleeren Graphen ist die leere Menge eine Knotenüberdeckung. {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition|| }} {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition|| }} {{ inputdefinition |Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Linearer Graph/Knotenüberdeckungszahl/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Sterngraph/Knotenüberdeckungszahl/Beispiel|| }} {{{zusatz1|}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7ayuyuygoclg35tsg01hi3ywvxp4y3r 0 116997 1105074 838157 2026-06-20T11:37:43Z Bocardodarapti 2041 1105074 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= In einem {{ Definitionslink |bipartiten Graphen| |Kontext=| |SZ= }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= stimmt die {{ Definitionslink |Paarungszahl| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |SZ= }} überein. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2=Theorie der Paarungen in bipartiten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz von König |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wq2ocxell0lh3wefyozxtjpllt0mjr 0 118561 1105071 1087694 2026-06-20T11:36:28Z Bocardodarapti 2041 1105071 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |bipartiter Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit einer bipartiten Zerlegung {{ Relationskette |V || A \uplus B || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung4 | {{math|term= G |SZ=}} enthält eine {{ Definitionslink |Paarung| |Kontext=Teilmenge Graph| |SZ= }} für {{math|term= A |SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Paarungszahl| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} ist gleich {{mathl|term= {{op:Anzahl| A |}} |SZ=.}} |Es gilt die {{ Definitionslink |Paarungsbedingung| |Kontext=| |SZ= }} für {{math|term= A |SZ=,}} d.h. zu jeder Teilmenge {{ Relationskette |S | \subseteq | A || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Anzahl| S |}} | \leq | {{op:Anzahl|N(S)|}} || || || |SZ=. }} |Es gibt eine injektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | A | B || |SZ= }} mit {{ Relationskette |(a, \varphi(a)) | \in | E || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |a | \in | A || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Paarungen in bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der injektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über Paarungen in bipartiten Graphen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} deatli4fuhuutamzxhh9qj4l32divj8 0 118562 1105076 626449 2026-06-20T11:39:46Z Bocardodarapti 2041 1105076 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einem Fußballspiel auf dem Bolzplatz hat Mannschaft {{mathl|term=\{A,B,C,D,E\}|SZ=}} gegen die Mannschaft {{mathl|term=\{R,S,T,U,V\}|SZ=}} gespielt. Beim anschließenden Grillen überlegen sich die Spieler der ersten Mannschaft, mit welchen Spielern sie während des Spiels aneinander geraten sind, und kommen zu folgendem Ergebnis. {{Wertetabelle5|A|B|C|D|E|R,T|S,U|V|V,S|U,T}} Kann es sein, dass es im Spiel eine Situation gab, in der gleichzeitig jeder Spieler mit einem gegnerischen Spieler aneinander geriet? Falls ja, wer geriet mit wem aneinander? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qmg7nz5a3y8f5nhstl66l6krs7al7ky 0 118564 1105075 626450 2026-06-20T11:39:19Z Bocardodarapti 2041 1105075 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einem Fußballspiel auf dem Bolzplatz hat Mannschaft {{mathl|term=\{A,B,C,D,E\}|SZ=}} gegen die Mannschaft {{mathl|term=\{R,S,T,U,V\}|SZ=}} gespielt. Beim anschließenden Grillen überlegen sich die Spieler der ersten Mannschaft, mit welchen Spielern sie während des Spiels aneinander geraten sind, und kommen zu folgendem Ergebnis. {{Wertetabelle5|A|B|C|D|E|R,S,T,U,V|S,U|S,V|S,V|S,V,U}} Kann es sein, dass es im Spiel eine Situation gab, in der gleichzeitig jeder Spieler mit einem gegnerischen Spieler aneinander geriet? Falls ja, wer geriet mit wem aneinander? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} auquq8tz18cot6mj3d47ehna2e8yly4 0 118653 1105047 1045432 2026-06-20T08:10:41Z Bocardodarapti 2041 1105047 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein jeder Knotenpunkt {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} liegt höchstens an einer Kante aus {{mathl|term= P \setminus Q |SZ=}} an, da ja sonst {{ Relationskette | \{v,u \} , \{v,w \} | \in | P || || || |SZ= }} wäre, was der Paarungseigenschaft widerspricht. Gleiches gilt für {{mathl|term= Q \setminus P |SZ=.}} Da die Kanten in {{math|term= H |SZ=}} durch {{mathl|term= (P \setminus Q ) \cup ( Q \setminus P) |SZ=}} gegeben sind, besitzt jeder Knotenpunkt in {{math|term= H |SZ=}} höchstens zwei anliegende Kanten, wobei bei zwei Kanten die eine aus {{math|term= P |SZ=}} und die andere aus {{math|term= Q |SZ=}} sein muss. 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2026-06-19T15:44:40Z Bocardodarapti 2041 1105035 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/1/Aufgabe|p||| |Weihnachtsbaum/10 Kerzen/Anzündmöglichkeiten/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|p||| |Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe|p||| |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/3/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |Graph/Jeder Grad einmal/Bis 8/Skizze/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Schachfiguren/Planarer Graph/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ozl4zkmo31p8och4m42vjxfyt9281m3 106 121953 1105060 1094155 2026-06-20T09:44:58Z Bocardodarapti 2041 1105060 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe|p||| |U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe|p||| |Gabi Hochster/Vokalaustausch/Anzahl/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe|p||| |Brettspiel/Gewinnstellung/Rekursive Definition/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Alternierende geometrische Reihe/C/Betrag z kleiner 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|p||| |R^2/Vektorenfamilie/Linear unabhängig/2/Aufgabe|p||| |Graph/3/Voll/Eigenwerte/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5nnzilzqj4r2qw00pkapym3215up1na 106 121957 1105056 1093832 2026-06-20T09:21:05Z Bocardodarapti 2041 1105056 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe|p||| |Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe|p||| |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/1,2,viele/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|p||| |Flöhe/Sprungmöglichkeiten/Treffen/1/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe|p||| |Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Körper/Induktion/Aufgabe|p||| |3-elementige Menge/Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Aufgabe|p||| |Baum/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|p||| |Satz von König/Krone/Erläuterung/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} nhxm5gxblh80vw9z888vuclet201rhg 1105070 1105056 2026-06-20T11:34:32Z Bocardodarapti 2041 1105070 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe|p||| |Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe|p||| |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/1,2,viele/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|p||| |Flöhe/Sprungmöglichkeiten/Treffen/1/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe|p||| |Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe|p||| |Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Körper/Induktion/Aufgabe|p||| |3-elementige Menge/Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Aufgabe|p||| |Baum/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|p||| |Beete/Setzlinge/Paarung/Aufgabe|p||| |Satz von König/Krone/Erläuterung/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 41d3mbdm79gsurubhvgjccv946ahvir 106 121959 1105040 1093757 2026-06-19T15:53:31Z Bocardodarapti 2041 1105040 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p||| |Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlicher kommutativer Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Homomorphismus/Komplementärgraph/Aufgabe|p||| |KO-System/8/Freier Graph/Spielgraph/Quotientengraph/Aufgabe|p||| |Länderkarte/Geraden als Grenzen/Zwei Farben/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} l9jb96eul7z5wwc73zb131f0x6zgs30 106 121960 1105063 1104949 2026-06-20T09:51:16Z Bocardodarapti 2041 1105063 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |Fußballmanschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Voller Zyklus/Anzahl/Aufgabe|p||| |Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p||| |2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe|p||| |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |Graphentheoretische Konzepte/Osnabrücker U-Bahn/Aufgabe|p||| |Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|p||| |Paarung/Maximal/Nicht optimal/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} tpgt9hcjqyqz53vh4iwc6m0oqmfefs5 0 126068 1105039 1038280 2026-06-19T15:51:41Z Bocardodarapti 2041 1105039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= A,B,C |SZ=}} Mengen. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette |A | \subseteq | B \cup C || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | A \setminus B | \subseteq | C || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | A \setminus C | \subseteq | B || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3suftcbtc20wo9x3hcfo4r59ukzd39f 0 128013 1105046 1095890 2026-06-20T08:09:53Z Bocardodarapti 2041 1105046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Es sei {{ Relationskette | \sigma | \in | {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq|}} |}} || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | \sigma^{-1}( {{idealq|}} ) || {{idealq|}} || || || |SZ=. }} Dies induziert einen Ringautomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=der {{math|term= R |SZ=}} fest lässt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name= \sigma | S_{{idealq|}} | S_{{idealq|}} || |SZ= }} und einen Körperautomorphismus {{ Abbildung/display |name= \sigma | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} || |SZ=, }} der {{math|term= {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |SZ=}} fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung {{ Relationskette | {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} | \subseteq | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} || || || |SZ=. }} Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms {{Kommutatives Rechteck/23/ru| S_{{idealq}} | S_{{idealq}} | S_{{idealq}} | {{op:Restekörper| {{idealq}} |}} | {{op:Restekörper| {{idealq}} |}} | {{op:Restekörper| {{idealq}} |}} |abb12= \sigma |abb23= \tau |abb45= \sigma |abb56= \tau |SZ=.}} |Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoistheorie/Zerlegungskörper/Restekörper/Aufgabe |Nr= |SZ= }} können wir davon ausgehen, indem wir {{math|term= K |SZ=}} durch den {{ Definitionslink |Zerlegungskörper| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} durch den Schnitt von {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wir {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Satz vom primitiven Element|Faktseitenname= Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} | \subseteq | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} || {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} [z] || || |SZ= }} ansetzen, wobei wir unmittelbar {{ Relationskette | z | \in | S || || || |SZ= }} annehmen können. Es sei {{ Relationskette | P | \in | R[X] || || || |SZ= }} das Minimalpolynom von {{math|term= z |SZ=}} über {{math|term= R |SZ=.}} Es ist also {{ Relationskette | P(z) || 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= S |SZ=}} und damit insbesondere {{ Relationskette | P(z) || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Restekörper| {{idealq|}} }} |SZ=.}} Da {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= P |SZ=}} in {{mathl|term= L[X] |SZ=}} und damit wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} auch in {{mathl|term= S[X] |SZ=}} in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in {{mathl|term= {{op:Restekörper| {{idealq|}} }}[X] |SZ=}} und überträgt sich auf das Minimalpolynom von {{math|term= z |SZ=}} über {{mathl|term= {{op:Restekörper| {{idealp|}} }} |SZ=,}} was wiederum nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist. {{parskip|}} Es sei nun {{ Abbildung/display |name= \tau | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} [z] | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} [z] || |SZ= }} ein {{math|term= {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |SZ=-}}Körperautomorphismus, der den Erzeuger {{math|term= z |SZ=}} auf ein Element {{ Relationskette | w | \in | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} || || || |SZ= }} schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle {{math|term= w |SZ=}} von {{math|term= P |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} annehmen dürfen. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} gehört dazu ein {{math|term= K |SZ=-}}Automor{{drucktrenn}}phismus von {{math|term= L |SZ=,}} der {{math|term= z |SZ=}} in {{math|term= w |SZ=}} überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit {{math|term= \tau |SZ=}} überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt. |Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} ist im unverzweigten Fall {{ Relationskette | {{op:Anzahl| {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq|}} }} |}} || f || || || |SZ= }} und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung {{ Relationskette/display | {{op:Restekörper| {{idealp}} |}} | \subseteq | {{op:Restekörper| {{idealq}} |}} || || || |SZ=. }} Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls {{math|term= f |SZ=}} Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kevh02gt8r3335dpcxkoizlll0lju5o 0 128021 1105045 1103628 2026-06-20T08:07:42Z Bocardodarapti 2041 1105045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |SZ= }} {{ Relationskette | K || Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} und sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} von {{math|term= S |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{idealp|}} || {{idealq|}} \cap R || || || |SZ=. }} Es sei {{ mathbed|term= Z_{{idealq}} ||bedterm1= K \subseteq Z_{{idealq}} \subseteq L ||bedterm2= |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Zerlegungskörper| |SZ= }} zu {{mathl|term= {{idealq|}} |SZ=}} und sei {{ mathbed|term= T ||bedterm1= R \subseteq T \subseteq S ||bedterm2= |SZ=, }} der zugehörige Ganzheitsring. Zeige{{n Sie}}, dass die Faser über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= {{op:Spek| R |}} |SZ=}} in Bijektion mit der Faser über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= {{op:Spek| T |}} |SZ=}} steht, und dass {{ mathkor|term1= {{op:Restekörper| {{idealq}} \cap T |}} |und|term2= {{op:Restekörper| {{idealp}} |}} |SZ= }} isomorph sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2zw2fv1g8la9kjoe6iufq4nvptsid9 106 160377 1105061 1098668 2026-06-20T09:47:12Z Bocardodarapti 2041 1105061 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p||| |10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Zahlenlotto/Nur erste Hälfte/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe|p||| |Billard/Periodische Verläufe/Skizze/Aufgabe|p||| |Billard/Periodische Verläufe/Skizze/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ecz0lzxadbkogjtd4xwonetpajmd4go 106 168634 1105066 1079584 2026-06-20T10:53:59Z Bocardodarapti 2041 1105066 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Vergleich von Paarungen}} Wir erinnern kurz an die symmetrische Differenz von Mengen, die beispielsweise schon in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe |Nr= |SZ= }} auftrat. {{:Mengenlehre/Symmetrische Differenz/Definition}} Diese Konstruktion wird im Folgenden auf Paarungen angewendet. {{ inputfaktbeweis |Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition|| }} Häufig werden alternierende Wege in Zusammenhang mit zusätzlichen Eigenschaften verwendet, wie beispielsweise, dass sie mit einer Nichtpaarungskante oder in einem nicht abgedeckten Punkt beginnen oder enden. Solche Bedingungen werden wir aber stets explizit machen. Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Berge|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Knotenüberdeckungen}} {{ inputbeispiel |Straßen/Städte/Knotenüberdeckung/Beispiel|| }} {{:Graph/Knotenüberdeckung/Einführung/Textabschnitt|zusatz1= {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Bipartiter Graph/Knotenüberdeckung/Beispiel |Nr= |SZ= }} }} {{Zwischenüberschrift|Knotenüberdeckungszahl und Paarungszahl}} {{ inputfaktbeweis |Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Vergleich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Koenigs-theorem-graph|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das Auswahlprinzip im Beweis des Satzes von König. Der einzige durch die Paarung {{ Zusatz/Klammer |text=blau| |ISZ=|ESZ= }} unabgedeckte Punkt von {{math|term=A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=obere Reihe| |ISZ=|ESZ= }} ist der Punkt rechts oben. Er ist mit dem zweiten Punkt von rechts unten durch eine Kante, die nicht zur Paarung gehört, verbunden. Damit gehört schon mal aufgrund dieses einkantigen alternierenden Weges dieser Punkt zur Knotenüberdeckung und wird rot markiert. Diesen alternierenden Weg kann man fortsetzen, indem man längs der Paarungskante nach oben und dann wieder längs einer {{ Zusatz/Klammer |text=der beiden| |ISZ=|ESZ= }} Nichtpaarungskanten nach unten wandert. Dies ergibt die beiden anderen unten rot markierten Punkte. Eine weitere alternierende Fortsetzung ergibt keine neuen Verbindungen. Aus den verbleibenden Paarungskanten sind die oberen Punkte rot zu markieren. |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von König|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz|| }} }} e7izgpxvntz6vbx6834dtbbt3dxgrir 1105068 1105066 2026-06-20T10:54:55Z Bocardodarapti 2041 1105068 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Vergleich von Paarungen}} Wir erinnern kurz an die symmetrische Differenz von Mengen, die beispielsweise schon in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe |Nr= |SZ= }} auftrat. {{:Mengenlehre/Symmetrische Differenz/Definition}} Diese Konstruktion wird im Folgenden auf Paarungen angewendet. {{ inputfaktbeweis |Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition|| }} Häufig werden alternierende Wege in Zusammenhang mit zusätzlichen Eigenschaften verwendet, wie beispielsweise, dass sie mit einer Nichtpaarungskante oder in einem nicht abgedeckten Punkt beginnen oder enden. Solche Bedingungen werden wir aber stets explizit machen. Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Berge|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Knotenüberdeckungen}} {{ inputbeispiel |Straßen/Städte/Knotenüberdeckung/Beispiel|| }} {{:Graph/Knotenüberdeckung/Einführung/Textabschnitt|zusatz1= {{ inputbeispiel |Bipartiter Graph/Knotenüberdeckung/Beispiel|| }} }} {{Zwischenüberschrift|Knotenüberdeckungszahl und Paarungszahl}} {{ inputfaktbeweis |Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Vergleich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Koenigs-theorem-graph|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das Auswahlprinzip im Beweis des Satzes von König. Der einzige durch die Paarung {{ Zusatz/Klammer |text=blau| |ISZ=|ESZ= }} unabgedeckte Punkt von {{math|term=A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=obere Reihe| |ISZ=|ESZ= }} ist der Punkt rechts oben. Er ist mit dem zweiten Punkt von rechts unten durch eine Kante, die nicht zur Paarung gehört, verbunden. Damit gehört schon mal aufgrund dieses einkantigen alternierenden Weges dieser Punkt zur Knotenüberdeckung und wird rot markiert. Diesen alternierenden Weg kann man fortsetzen, indem man längs der Paarungskante nach oben und dann wieder längs einer {{ Zusatz/Klammer |text=der beiden| |ISZ=|ESZ= }} Nichtpaarungskanten nach unten wandert. Dies ergibt die beiden anderen unten rot markierten Punkte. Eine weitere alternierende Fortsetzung ergibt keine neuen Verbindungen. Aus den verbleibenden Paarungskanten sind die oberen Punkte rot zu markieren. |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von König|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz|| }} }} r4p36v2lm2e4l50mq396gkshcd7olch 106 168645 1105048 1094084 2026-06-20T08:23:51Z Bocardodarapti 2041 1105048 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die beiden folgenden Aufgaben verallgemeinern {{ Faktlink |Präwort=die|Potenzgesetze|Faktseitenname= Monoid/Potenzgesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall einer Gruppe auf ganzzahlige Exponenten. {{ inputaufgabe |Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernsystem/Ohne Übertrag/Gesetze/Gabi/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untergruppenkriterium/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Dritte binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Mengenlehre/Symmetrische Differenz/Definition}} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Multiplikation mit -1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring/Z/Positiv und negativ/Absolut und relativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Halbring bekannt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Bezug zu Halbring/Kanonische Abbildung/Vielfache/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Einen kommutativen Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der die Nichtnullteilereigenschaft aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage. {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} m1f8ij608dicjshislri329ajourhwc 106 168660 1105049 1094065 2026-06-20T08:37:15Z Bocardodarapti 2041 1105049 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Weg/Kantenzug/Problematik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weg/Blatt/Mitte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Berliner U-Bahn/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Läufer/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Zusammenhangskomponenten/Disjunkte Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Wörter/Silbengleichheit/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Abstand/Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe schließt an {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe |Nr= |SZ= }} an. {{ inputaufgabe |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pfadgraph/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Turm/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Schach/Läufer/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Pferd/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Durchmesser/Nicht in Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Läufer/Umfang/4x4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Prag/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Weg/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Gradzahl/Blätteranzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Numerische Formel/Kein Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Graph/7/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Inhaltsverzeichnis/Wurzelbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Wurzel/Nicht minimale Exzentrizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Afrotheria/Binärer Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Radius/Durchmesser/Abschätzung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Wege/Numerische Invarianten/U-Bahn München/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfiguren/Taille/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Springer/Umfang/4x4/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Kontraktion/Baum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} a9m81wd99la9cz568gpy1uc0zczahyj 1105051 1105049 2026-06-20T08:41:01Z Bocardodarapti 2041 1105051 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Weg/Kantenzug/Problematik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weg/Blatt/Mitte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Berliner U-Bahn/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Läufer/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Zusammenhangskomponenten/Disjunkte Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Wörter/Silbengleichheit/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Abstand/Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe schließt an {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe |Nr= |SZ= }} an. {{ inputaufgabe |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pfadgraph/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Gradbedingung/Rundgang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Turm/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Schach/Läufer/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Pferd/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Durchmesser/Nicht in Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Läufer/Umfang/4x4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Prag/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Weg/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Gradzahl/Blätteranzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Numerische Formel/Kein Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Graph/7/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Inhaltsverzeichnis/Wurzelbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Wurzel/Nicht minimale Exzentrizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Afrotheria/Binärer Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Radius/Durchmesser/Abschätzung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Wege/Numerische Invarianten/U-Bahn München/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfiguren/Taille/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Springer/Umfang/4x4/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Kontraktion/Baum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} t68cvsqwk3va2t1zh5oysy2giuvv34g 106 168663 1105054 1104909 2026-06-20T08:56:52Z Bocardodarapti 2041 1105054 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Bolzplatz/Zweikampfketten/Team/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bipartiter Graph/Zusammenhängend/Unterteilung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bipartiter Graph/Untergraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bipartiter Graph/Zusammenhangskomponenten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kein Dreierkreis/Nicht bipartit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wald/Bipartit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Turm/Bipartit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Springer/Bipartit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Bipartit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Paarung/Maximalgrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Einzelne Kanten/Bipartite Strukturen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Paarung/Perfekt etc./Zusammenhangskomponente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Vollständiger Graph/Paarung/Maximal und optimal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graphhomomorphismus/In_bipartiten_Graphen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Vollständiger bipartiter Graph/Paarungssanzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgraph/Perfekte Paarung/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Paarungszahl/Schranke für maximale Paarung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Paarung/Größte/Charakterisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Paarungssatz/Numerische 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Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphentheoretische Konzepte/Osnabrücker U-Bahn/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Diamantgraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |WM 26/Gesamtspielgraph/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ekalkbnyco09hitpg7c5h8cxyhmsmya 106 171335 1105034 1104911 2026-06-19T15:40:47Z Bocardodarapti 2041 1105034 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Endlich viele Mengen/Mögliche Durchschnitte/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/5 und 8/1/Aufgabe|p||| |Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe|p||| |KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe|p||| |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 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Mathematik/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe|p||| |Mengenfolge/Disjunkte Version/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Tensorprodukt/Projektionen/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Spannbaum/Isomorphietyp/Aufgabe|p||| |Kreis/5/Adjazenzmatrix/Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8t6gowxorx4bkqumbj007k53uma62z7 1105059 1104996 2026-06-20T09:38:33Z Bocardodarapti 2041 1105059 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe|p||| |Bobbycarbahn/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Mengenfolge/Disjunkte Version/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Tensorprodukt/Projektionen/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Spannbaum/Isomorphietyp/Aufgabe|p||| |Kreis/5/Adjazenzmatrix/Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0xagh3va1it035u4p3y89zxvb67m44k 0 171413 1105038 1093341 2026-06-19T15:50:42Z Bocardodarapti 2041 1105038 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Faktorisierungssatz für einen Graphhomomorphismus. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3tjz7brifad44h5v85wdrwboefwhnm 106 171533 1104989 1104975 2026-06-19T13:33:11Z ~2026-35780-12 41666 1104989 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] 77xll29dtswwl1r4pz6yy6iozjkrk5w 1104990 1104989 2026-06-19T13:58:11Z Björn Henrich 41518 1104990 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen. Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] jbcxbfmp4gxc9qd48a0nqn94cv10k2u 1104991 1104990 2026-06-19T14:03:18Z Björn Henrich 41518 1104991 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] 357hwfks0oyfd7hu0rq8edbnx5mhw4l 1104992 1104991 2026-06-19T14:03:45Z Björn Henrich 41518 1104992 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] d0w52crqw357vu865ad5tpgdbkn0lzr 1104993 1104992 2026-06-19T14:29:42Z Jonas Dächert 41519 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104993 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte hierbei die Frage aufkommen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Betrachtet man die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung des Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen deutlicher ausgeprägt. [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 2.]] [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve 9.]] bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] 70ey0f9q51x0lhhuqo6uqsuv4dbgunb 1104994 1104993 2026-06-19T15:00:29Z Jonas Dächert 41519 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104994 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 (noch machen) (Abbildung fehlt noch) ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] bdlpy4bhvdbhcgc70cwbilvtjbht7zk 1104997 1104994 2026-06-19T15:06:59Z Jonas Dächert 41519 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104997 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei x=..., aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 (noch machen) (Abbildung fehlt noch) ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] caplaks9q8c2jrp2aq3gdvrssbzuncu 1104998 1104997 2026-06-19T15:10:38Z Jonas Dächert 41519 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1104998 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei x=11,22, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei x=10 zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. bei linearer Interpolation mehr Rechenaufwand in sek1 (noch machen) (Abbildung fehlt noch) ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] 7g28c24462sgv1laxmnvg3833wngohn 106 171762 1105000 2026-06-19T15:12:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105000 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs}} |}} 4eaibg37kqbfh0dsulqvqvgnxv1nclz 106 171763 1105001 2026-06-19T15:13:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105001 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs}}|}} ku7zhh7d3b8khrp2z3pekbrrjr1vybv 106 171764 1105002 2026-06-19T15:13:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: 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1105018 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs}}|}} ku7zhh7d3b8khrp2z3pekbrrjr1vybv 106 171780 1105019 2026-06-19T15:22:51Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105019 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs}} |}} 4eaibg37kqbfh0dsulqvqvgnxv1nclz 1105020 1105019 2026-06-19T15:24:01Z Bocardodarapti 2041 1105020 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Grundkurs Mathematik/Standardkurs}} |}} 5ninq9tqottmi2557v1biuar3pczhxv 106 171781 1105021 2026-06-19T15:24:25Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105021 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe| ||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs}} |}} 2tgtucn1f92bhoqubkbgevs1oz8ozxp 106 171782 1105022 2026-06-19T15:24:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105022 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe| ||Kurs=|}} o314rsolfsk05ed4dfmklqlb2h5advz 1105023 1105022 2026-06-19T15:25:31Z Bocardodarapti 2041 1105023 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15||Kurs=|}} 6lux3vq7g7uhzqcrbpaqyk7i7il43kx 106 171783 1105024 2026-06-19T15:27:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105024 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Analysis/Standardkurs}} |}} pqvwxsdq3xv59941mwimzyz01visl7d 106 171784 1105025 2026-06-19T15:28:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105025 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs}} |}} 4eaibg37kqbfh0dsulqvqvgnxv1nclz 106 171785 1105026 2026-06-19T15:28:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105026 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs=|}} d7uxf8a6y4elsf6oheh8kmtzkio3sgu 1105027 1105026 2026-06-19T15:28:54Z Bocardodarapti 2041 1105027 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|8|13|Kurs=|}} tazoyui7zblhp0dfiy1pqkn4j9pa19p 0 171786 1105053 2026-06-20T08:50:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105053 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} den kleinsten {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G |SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Paarungen| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} derart, dass in der {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Differenz| |Kontext=| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} alle drei Möglichkeiten aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt |Nr= |SZ= }} auftreten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} gyd72qxn2nqy8shey6xttpcl94co8pf 0 171787 1105055 2026-06-20T09:01:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105055 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Paarung| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= P |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} das gleiche ist wie ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untergraph| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} zur vollen Knotenmenge {{math|term= V |SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cztu7orn3pcox6tx4ftyb1hvah2og7k 0 171788 1105057 2026-06-20T09:25:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105057 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Crown icon|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Crown_icon |Text= |Autor= |Benutzer=Rehua |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} anhand einer Krone des {{ Faktlink |Präwort=|Satz von König|Faktseitenname= Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt |Nr= |SZ=! }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0dj1iwi8csgzl3g6gf35wpu9d2x7b5g 1105077 1105057 2026-06-20T11:40:04Z Bocardodarapti 2041 1105077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Crown icon|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Crown_icon |Text= |Autor= |Benutzer=Rehua |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} anhand einer Krone des {{ Faktlink |Präwort=|Satz von König|Faktseitenname= Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt |Nr= |SZ=! }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2=Theorie der Paarungen in bipartiten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} px1z15dadflph5g4ozgxckvo6z9icnq 0 171789 1105069 2026-06-20T10:59:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105069 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiter Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit iner bipartiten Zerlegung {{ Relationskette | V || A \uplus B || || || |SZ=. }} Dann liefert {{math|term= A |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso {{math|term= B |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{math|term= A |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierten Punkte| |Kontext=Graph| |SZ= }} enthält, so ist {{math|term= A |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ=, }} die im Allgemeinen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Knotenüberdeckung| |SZ= }} sein muss. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} h9gt9qm2w2fsfbbhd3az990nrbc3zy0 14 171790 1105072 2026-06-20T11:36:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105072 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 14 171791 1105073 2026-06-20T11:36:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 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