Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.15 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 2 19388 1111763 1108521 2026-08-15T15:07:46Z Bocardodarapti 2041 1111763 wikitext text/x-wiki [[Benutzer:Bocardodarapti/Rockettutor/Bemerkung]] [[/Jupyter/Github/Binder/Test]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Deckblatt|Deckblatt]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil II]] [[/Differentialgeometrie]] [[/Monomiale Syzygien/Beispiel]] [[/Simpliziale Komplexe]] [[/Analysis III]] [[/Algebraische Zahlentheorie]] [[/Algebraische Topologie]] [[/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[/Elliptisches]] [[/Riemannsche Flächen]] [[/Funktionentheorie]] [[/Diskrete Mathematik]] [[/Kommutative Algebra]] [[/Invariantentheorie]] [[/Differentialoperatoren]] [[/Trigonometrische Summen]] [[Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt]] [[/Cogni/Papers]] [[/Sonderaufgaben]] [[/Z/Modulschema]] [[/Positive Charakteristik]] [[Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel]] [[Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln]] [[Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt]] [[Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt]] [[/Lineare Algebra]] [[/BEU]] [[/Lineare Algebra]] [[/Homologische Algebra]] [[/Modallogik]] [[/Affine Situation/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]] == == [[/Parameter/Tabellen]] [[/Sonstiges]] [[Hilfsparameter/Durchnummeriert/400]] https://www.geogebra.org/m/vWMCKYbV https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-simplification-calculator http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf == [[Projekt:Semantische Vorlagen]] == {{:Benutzer:Bocardodarapti/Vorlagendiagramm|Vorlagendiagramm}} [[:Kategorie:Mathematische Diagrammvorlagen]] === [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js]] === === [[:Kategorie:Latex-Vorspann|Latex-Vorspänne]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Grundvorspann in Latex|Grund]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Vortragshandvorspann in Latex|Hand]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Skriptvorspann in Latex|Skript]] === [[Projekt:Semantische Vorlagen/Tabellen mit benannten Parametern/Latex|Tabellen mit benannten Parametern]] [[Projekt:Semantische_Vorlagen/Aufgabenblatt/Stauchung/Latex]] === [[:Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]] === ==== [[/Kursaufbau/Reihenfolge]] ==== === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Verlinkungshilfe/Standardkurse]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Bereits kategorisiert]] === == Admin == [[Spezial:Spezialseiten]] == Sonstiges == [https://github.com/JonathanSteinbuch/sheafstability] [[/Sonstiges]] [[/Vom Fliegen]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)]] [[/Wiki-Seminar/Konzeption]] [[Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie]] [[Benutzer:Mgausmann]] == [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie]] == [[/Hilfstabellen]] [[/Hilfstabelle/1/20]] [[/Hilfstabelle/1/30]] [[/Hilfstabelle/2/20]] [[/Hilfstabelle/6/20]] [[/Hilfstabelle/7/20]] [[/Hilfstabelle/9/2]] == [[w:Wikipedia:Hilfe]] == === [[w:Hilfe:Vorlagenprogrammierung]] === [[commons:Category:Mathematics|Commons]] [[commons:Category:MediaWiki_edit_toolbar|Buttons]] == [[Benutzer:Bocardodarapti/Sonstiges|Sonstiges]] == == Check == [[:Kategorie:Mathematischer Text/check]] sa9hut369dn7y9ol052zhmo0a6hn5b3 0 33083 1111761 1050593 2026-08-15T15:05:57Z Bocardodarapti 2041 1111761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathkor|term1= P= {{op:Zeilenvektor| \frac{3}{4}| -1 }} |und|term2= Q= {{op:Zeilenvektor| 2 |\frac{1}{5}|}} |SZ= }} zwei Punkte im {{math|term= \R^2 |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in {{ Aufzählung4/a |der euklidischen Metrik, |der Summenmetrik, |der Maximumsmetrik. |Vergleiche{{n Sie}} diese verschiedenen Abstände der Größe nach. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wk209kgdd4pm26ypm0d36xl2ymov96 0 33084 1111760 1096761 2026-08-15T15:05:37Z Bocardodarapti 2041 1111760 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind {{ Relationskette/display | 2- \frac{3}{4} || \frac{8-3}{4} || \frac{5}{4} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \frac{1}{5} - (-1) || \frac{1+5}{5} || \frac{6}{5} || || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4/a |Der euklidische Abstand ist somit {{ Relationskette/display | \sqrt{ {{makl| \frac{5}{4} |}}^2 + {{makl| \frac{6}{5} |}}^2 } || \sqrt{\frac{25}{16} + \frac{36}{25} } || \sqrt{ \frac{625 + 576 }{400} } || \sqrt{ \frac{1201 }{400} } || \frac{\sqrt{1201} }{20} |SZ=. }} |In der Summenmetrik ist der Abstand {{ Relationskette/display | \frac{5}{4} +\frac{6}{5} || \frac{25+24}{20} || \frac{49}{20} || || |SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette/display | \frac{5}{4} ||\frac{25}{20} | > | \frac{24}{20} || \frac{6}{5} || |SZ=, }} daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich {{math|term= \frac{5}{4} |SZ=.}} |Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner dem euklidischen Abstand und dass dieser kleiner dem Summenabstand ist. Um dies zu sehen bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner {{math|term= 20 |SZ=}} und muss dann für die Zähler {{ Relationskette/display | 25 | < | \sqrt{1201} | < | 49 || || |SZ= }} zeigen. Wegen {{ Relationskette | 25^2 || 625 | < | 1201 || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 49^2 | > | 40^2 || 1600 | > |1201 || || |SZ= }} ist das klar. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f026ollqid0u4um1uea6314erqni6cl 1111762 1111760 2026-08-15T15:07:07Z Bocardodarapti 2041 1111762 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind {{ Relationskette/display | 2- \frac{3}{4} || \frac{8-3}{4} || \frac{5}{4} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \frac{1}{5} - (-1) || \frac{1+5}{5} || \frac{6}{5} || || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4/a |Der euklidische Abstand ist somit {{ Relationskette/display | \sqrt{ {{makl| \frac{5}{4} |}}^2 + {{makl| \frac{6}{5} |}}^2 } || \sqrt{\frac{25}{16} + \frac{36}{25} } || \sqrt{ \frac{625 + 576 }{400} } || \sqrt{ \frac{1201 }{400} } || \frac{\sqrt{1201} }{20} |SZ=. }} |In der Summenmetrik ist der Abstand {{ Relationskette/display | \frac{5}{4} +\frac{6}{5} || \frac{25+24}{20} || \frac{49}{20} || || |SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette/display | \frac{5}{4} ||\frac{25}{20} | > | \frac{24}{20} || \frac{6}{5} || |SZ=, }} daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich {{math|term= \frac{5}{4} |SZ=.}} |Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner als der euklidische Abstand und dass dieser kleiner als der Summenabstand ist. Um dies zu sehen, bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner {{math|term= 20 |SZ=}} und muss dann für die Zähler {{ Relationskette/display | 25 | < | \sqrt{1201} | < | 49 || || |SZ= }} zeigen. Wegen {{ Relationskette | 25^2 || 625 | < | 1201 || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 49^2 | > | 40^2 || 1600 | > |1201 || || |SZ= }} ist das klar. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcx107kgy4opqnfn6x1077vx6rlcsgn 0 36485 1111778 1111495 2026-08-15T15:54:02Z Bocardodarapti 2041 1111778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Abbildung/display |name= f_n | T | E || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |SZ= }} von {{ Definitionslink |stetigen Abbildungen| |Kontext=mr| |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine {{ Definitionslink |Grenzabbildung| |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |SZ=, }} die ebenfalls stetig ist. Zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette | n_0 | \in | \N || || || |SZ= }} derart, dass für {{ Relationskette | n,m | \geq | n_0 || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Norm| f_n(x) -f_m(x) |}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | T || || || |SZ= }} gilt. Daher ist für jedes {{ Relationskette | x | \in | T || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Folge| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge|Glied=f_n(x)|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |SZ= }} in {{math|term= E |SZ=}} und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in {{math|term= E |SZ=.}} Wir nennen den Grenzwert dieser Folge {{math|term= f(x) |SZ=,}} sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung {{ Abbildung/display |name=f | T | E | x | f(x) {{=|}} {{op:Folgenlimes|Glied=f_n(x)|}} |SZ=, }} ergibt, gegen die die Funktionenfolge {{ Definitionslink |punktweise konvergiert| |SZ=. }} Da {{mathl|term= {{Folge|f}} |SZ=}} eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} stets ein {{math|term= n_0 |SZ=}} derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle {{ Relationskette | x | \in | T || || || |SZ= }} gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar {{ Definitionslink |gleichmäßig| |SZ= }} gegen {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm| |ISZ=|ESZ=. }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |SZ= }} ist daher {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette | f | \in | C || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 689dsummc50pk3pexdler1hw89hmvkr 0 40187 1111782 1098003 2026-08-15T15:59:05Z Bocardodarapti 2041 1111782 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |\R \times \R_+ \times \R | \R | (x,y,z) | {{op:Bruch| xz | x^2+y^2}} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es ist also {{ Relationskette | y | > | 0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung2/a |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} und stelle{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Gradienten| |Kontext=Funktion| |SZ= }} zu {{math|term= f |SZ=}} auf. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |isolierten| |Kontext=Extremum| |SZ= }} {{ Definitionslink |lokalen Extrema| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3j1vq8djkkwupe7nv70wr9vr5u8vsr2 0 40188 1111780 1096146 2026-08-15T15:58:07Z Bocardodarapti 2041 1111780 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2/a |Es handelt sich um eine rationale Funktion in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von {{math|term= f |SZ=}} ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | x }} {{makl| {{op:Bruch| xz | x^2+y^2 }} |}} || {{op:Bruch| z {{makl| x^2+y^2 |}} -2x^2z | {{makl| x^2+y^2 |}}^2 }} || {{op:Bruch| z {{makl| -x^2+y^2 |}} | {{makl| x^2+y^2 |}}^2 }} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| | y}} {{makl| {{op:Bruch| xz| x^2+y^2}} |}} || {{op:Bruch| -2xyz | ( x^2+y^2)^2 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| |z}} {{makl| {{op:Bruch| xz| x^2+y^2}} |}} || {{op:Bruch| x | x^2+y^2 }} || || || |SZ=. }} Der Gradient zu {{math|term= f |SZ=}} in einem Punkt {{ Relationskette | P || (x,y,z) || || || |SZ= }} ist demnach der Vektor {{ Relationskette/display | {{op:Gradient| f | P }} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| z(-x^2+y^2) | ( x^2+y^2)^2 }} | {{op:Bruch| -2xyz | ( x^2+y^2)^2 }} | {{op:Bruch| x | x^2+y^2 }} }} || || || |SZ=. }} |Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei {{mathl|term= x=0 |SZ=}} der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=}} und wegen {{ Relationskette/display | y | > | 0 || || || |SZ= }} folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass {{ Relationskette | z || 0 || || || |SZ= }} sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form {{mathl|term= (0,y,0) |SZ=}} geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert {{math|term= 0 |SZ=,}} sodass es kein isoliertes Extremum gibt. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gtcyqfget2pmjoc3avgq5rmvh7uha3p 0 56203 1111764 1097874 2026-08-15T15:09:32Z Bocardodarapti 2041 1111764 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/druckelementdoppelzeile/display |name= |\R^6|\R^3 | {{op:Zeilenvektor| x_1 | y_1 | x_2 | y_2 | x_3 | y_3 |}} | {{op:Zeilenvektor| {{makl| x_1-x_2 |}}^2 + {{makl| y_1- y_2 |}}^2 | {{makl| x_1-x_3 |}}^2 + {{makl| y_1- y_3 |}}^2 | {{makl| x_2-x_3 |}}^2 + {{makl| y_2- y_3 |}}^2 |}} |SZ=, }} die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |regulären Punkte| |Kontext=| |SZ= }} der Abbildung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rk3n4ru4e3re08ylqpzkl6zfvlg4aa4 0 66560 1111775 735756 2026-08-15T15:48:18Z Bocardodarapti 2041 1111775 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt| |Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt| |Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mehrdimensionale Analysis |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1eup2irl4k4ew2fihbp93315pujo0bv 0 66707 1111798 1096500 2026-08-15T16:36:23Z Bocardodarapti 2041 1111798 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome {{ Relationskette/display | f || x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n} || || || |SZ= }} zu zeigen. Bei {{ Relationskette | i || j || || || |SZ= }} ist die Aussage richtig, sodass wir {{ Relationskette | j | > | i || || || |SZ= }} annehmen. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}| x_i}} || k_i x_1^{k_1} \cdots x_{i-1}^{k_{i-1} } x_i^{k_i-1} x_{i+1}^{k_{i+1} } \cdots x_n^{k_n} || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette | k_i || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist dies {{math|term= 0 |SZ=,}} und in diesem Fall sind auch {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung| | x_j }} {{op:Partielle Ableitung| f | x_i}} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| | x_i }} {{op:Partielle Ableitung| f | x_j}} |SZ= }} die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei {{ Relationskette | k_j || 0 || || || |SZ= }} der Fall. Es seien also {{ Relationskette | k_i,k_j | \neq | 0 || || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/align | {{op:Partielle Ableitung|| x_j}} {{makl| {{op:Partielle Ableitung| x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}| x_i}} |}} || {{op:Partielle Ableitung| {{makl| k_i x_1^{k_1} \cdots x_{i-1}^{k_{i-1} } x_i^{k_i-1} x_{i+1}^{k_{i+1} } \cdots x_n^{k_n} |}} | x_j}} || k_ik_j x_1^{k_1} \cdots x_{i-1}^{k_{i-1} } x_i^{k_i-1} x_{i+1}^{k_{i+1} } \cdots x_{j-1}^{k_{j-1} } x_j^{k_j-1} x_{j+1}^{k_{j+1} } \cdots x_n^{k_n} || || |SZ=. }} Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qbspquoyeb1hay7jr67ht4q6ltyugng 0 67459 1111816 1019424 2026-08-15T17:20:23Z Bocardodarapti 2041 1111816 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{ Relationskette/display | T | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} heißt kompakt, wenn sie {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5clvhwc1rj7f0dyi6rcls12abd5vfye 1111817 1111816 2026-08-15T17:20:39Z Bocardodarapti 2041 1111817 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{ Relationskette/display | T | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} heißt {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |kompakt| |SZ=, }} wenn sie {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e5khep2uhs4aqk2g5kuntzcto5if1cz 1111818 1111817 2026-08-15T17:20:50Z Bocardodarapti 2041 1111818 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} heißt {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |kompakt| |SZ=, }} wenn sie {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5b7erixtosauun14ehf13hcrq7nwn1x 0 72748 1111759 1111715 2026-08-15T14:58:42Z Bocardodarapti 2041 1111759 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | \varphi(t) || \begin{cases} t, \text{ falls } t \neq {{op:Bruch| 1| 3}}, {{op:Bruch| 2| 3}}\, , \\ {{op:Bruch| 2| 3}} , \text{ falls } t {{=|}} {{op:Bruch| 1| 3}} \, , \\ {{op:Bruch| 1 | 3}} , \text{ falls } t {{=|}} {{op:Bruch| 2| 3}} \, , \end{cases} || || || |SZ= }} es wird also {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 3 }} |SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} |SZ=}} vertauscht und ansonsten liegt die Identität vor. Da die Länge eines Streckenzugs allenfalls größer wird, wenn man zu einer Verfeinerung des Intervalls übergeht, können wir von vornherein nur Intervallunterteilungen betrachten, bei denen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| 1| 3}} |und|term2= {{op:Bruch| 2| 3}} |SZ= }} vorkommen. Sei {{ Math/display|term= t_0=0 < t_1 {{lechtdots}} t_{k-1} < t_k= {{op:Bruch| 1| 3}} < t_{k+1} {{lechtdots|}} t_{n-1} < t_n = {{op:Bruch| 2| 3}} < t_{n+1} {{lechtdots}} t_m=1 |SZ= }} eine Unterteilung des Intervalls. Dann ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs gleich {{ Relationskette/align/netzlinks | \sum_{i {{=}} 1}^m {{op:Betrag| \varphi(t_i) - \varphi(t_{i-1})|}} || \sum_{i {{=}} 1}^{k-1} {{op:Betrag| \varphi(t_i) - \varphi(t_{i-1})|}} + {{op:Betrag|\varphi(t_k) - \varphi(t_{k-1})|}} + {{op:Betrag|\varphi(t_{k+1}) - \varphi(t_{k})|}} + \sum_{i {{=}} k+2}^{n-1} {{op:Betrag|\varphi(t_i) - \varphi(t_{i-1})|}} + {{op:Betrag|\varphi(t_n) - \varphi(t_{n-1})|}} + {{op:Betrag| \varphi(t_{n+1}) - \varphi(t_{n})|}} + \sum_{i {{=}} n+2}^{m} {{op:Betrag|\varphi(t_i) - \varphi(t_{i-1})|}} || \sum_{i {{=}} 1}^{k-1} {{makl|t_i - t_{i-1} |}} + {{op:Betrag| {{op:Bruch| 2| 3}} - t_{k-1}|}} + {{op:Betrag|t_{k+1} - {{op:Bruch| 2| 3}} |}} + \sum_{i {{=}} k+2}^{n-1} {{makl|t_i - t_{i-1} |}} + {{op:Betrag| {{op:Bruch| 1| 3}} - t_{n-1}|}} + {{op:Betrag|t_{n+1} - {{op:Bruch| 1| 3}} |}} + \sum_{i {{=}} n+2}^{m} {{makl|t_i - t_{i-1} |}} || t_{k-1} + {{op:Betrag| {{op:Bruch| 2 | 3}} - t_{k-1}|}} + {{op:Betrag| t_{k+1} - {{op:Bruch| 2| 3}} |}} + t_{n-1} - t_{k+1} + {{op:Betrag|{{op:Bruch| 1| 3}} - t_{n-1}|}} + {{op:Betrag| t_{n+1} - {{op:Bruch| 1 | 3}} |}} + 1 - t_{n+1} || t_{k-1} + {{op:Bruch| 2| 3}} - t_{k-1} -t_{k+1} + {{op:Bruch| 2| 3}} + t_{n-1} - t_{k+1} - {{op:Bruch| 1 | 3}} + t_{n-1} + t_{n+1} - {{op:Bruch| 1| 3}} + 1 - t_{n+1} || {{op:Bruch| 5| 3}} -2 t_{k+1} +2 t_{n-1} | \leq | |SZ= }} Wegen {{ Relationskette/display |t_{n-1} | < | {{op:Bruch| 2| 3}} || || || |SZ= }} ist dies durch {{ Relationskette | {{op:Bruch| 9| 3}} || 3 || || || |SZ= }} nach oben beschränkt und damit ist die Kurve rektifizierbar. Wegen {{ Relationskette/display | t_{n-1} | > | t_{k+1} || || || |SZ= }} ist es auch {{mathl|term= \geq {{op:Bruch| 5| 3}} >1 |SZ=,}} also besitzt die Kurve eine Länge, die größer als {{math|term= 1 |SZ=}} ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4kwv4gktwchkqcwlloi3kjbxuiior2m 0 73622 1111809 1110124 2026-08-15T16:58:03Z Bocardodarapti 2041 1111809 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x >y > 0}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | \R^3 | (x,y) | (x+y,xy,x^y) {{=}} (u,v,w) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung {{math|term= \varphi |SZ=}} die Bedingung {{ Relationskette/display | w^2 2^u {{makl| u + \sqrt{u^2-4v} |}}^{ \sqrt{u^2- 4v} } || {{makl| u + \sqrt{ u^2 -4 v } |}}^u 2^{ \sqrt{u^2 -4v} } || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9l5hd3p0np5dzchomv5s5m9s2q844us 0 73623 1111810 1095950 2026-08-15T16:58:36Z Bocardodarapti 2041 1111810 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | u^2 -4v ||(x+y)^2- 4xy || x^2 -2xy +y^2 || (x-y)^2 || |SZ=, }} daher ist {{ Relationskette/display | \sqrt{ u^2-4v } || x-y || || || |SZ=, }} da ja {{ Relationskette | x | > | y || || || |SZ= }} nach Voraussetzung ist. Die linke Seite der zu überprüfenden Gleichung ist {{ Relationskette/align | w^2 2^u {{makl| u + \sqrt{u^2-4v} |}}^{ \sqrt{u^2- 4v} } || (x^y)^2 2^{x+y} {{makl| x+y + x-y |}}^{x-y} || x^{2y} 2^{x+y} (2x)^{x-y} || x^{y+y} 2^x 2^y (2x)^x (2x)^{-y} || x^{y} x^y 2^x 2^y 2^x x^x 2^{-y} x^{-y} || 2^{2x} x^x x^y |SZ=. }} Die rechte Seite ist ebenfalls {{ Relationskette/align | {{makl| u + \sqrt{ u^2 -4 v } |}}^u 2^{ \sqrt{u^2 -4v} } || {{makl| x+y +x-y |}}^{x+y} 2^{x-y} || {{makl| 2 x |}}^{x+y} 2^{x-y} || 2^x 2^y x^x x^y 2^x 2^{-y} || 2^{2x} x^x x^y |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ij0i0s7l25ujhc7llsn7wglh3nhivez 0 73702 1111797 1019475 2026-08-15T16:34:24Z Bocardodarapti 2041 1111797 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^n |SZ=}} eine Teilmenge. Dann ist {{math|term= T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=Rn| |SZ=, }} wenn jede Folge in {{math|term= T|SZ=}} eine in {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=mr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=mr| |SZ= }} besitzt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bl3gbn46803pusffu7ho05cy9ju39ar 0 73747 1111805 1022051 2026-08-15T16:49:21Z Bocardodarapti 2041 1111805 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ= }} ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge {{math|term= {{Folge|x}} |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=,}} die in {{math|term= M |SZ=}} konvergiert, bereits in {{math|term= T |SZ=}} konvergiert. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lewxo643m8qmf74tu95wxe43kpyarb9 0 73919 1111771 1024743 2026-08-15T15:21:57Z Bocardodarapti 2041 1111771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Jacobi-Matrix| |msw= |SZ= }} zu einer partiell differenzierbaren Abbildung {{ Abbildung/display |name= f | \R^n | \R^m || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | \R^n || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n49gdtykopwwua5i3hgfjair5xdxy3x 0 73952 1111765 1099532 2026-08-15T15:11:23Z Bocardodarapti 2041 1111765 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |b | \geq | 1 | \geq |a | > | 0 || || |SZ= }} fixiert und sei {{ Relationskette/display |M || {{Mengebed|f: [a,b] \rightarrow [a,b] |f \text{ stetig} }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4/a |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name=H | M | M | f | H(f) {{=}} \sqrt{f} |SZ=, }} wohldefiniert ist. |Es sei nun zusätzlich {{ Relationskette | a | > | {{op:Bruch| 1 | 4}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{math|term= H|SZ=}} aus a) eine {{ Definitionslink |starke Kontraktion| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= M |SZ=}} mit der Maximumsnorm versehen sei| |ISZ=|ESZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= M |SZ=}} durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird. |Bestimme{{n Sie}} den Fixpunkt von {{math|term= H |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Banachsche Fixpunktsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=2 |p2=3 |p3=3 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3zwee6cgnht1bbh14jgrzpjwpjnf82 0 73953 1111766 1096782 2026-08-15T15:14:16Z Bocardodarapti 2041 1111766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4/a |Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist auch {{mathl|term= \sqrt{f} |SZ=}} als Hintereinanderschaltung von {{math|term= f |SZ=}} und {{math|term= \sqrt{\, } |SZ=}} wieder stetig. Wegen {{ Relationskette/display | \sqrt{t} | \geq | t || || || |SZ= }} für {{ Relationskette/display | 0 | \leq | t | \leq | 1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \sqrt{t} | \leq | t || || || |SZ= }} für {{ Relationskette/display |t | \geq | 1 | | || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | a | \leq | \sqrt{a} | \leq | \sqrt{b} | \leq | b || |SZ= }} und somit liegt das Bild von {{mathl|term= \sqrt{f} |SZ=}} wieder in {{mathl|term= [a,b] |SZ=.}} |Für {{ Relationskette | f,g | \in | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | t | \in | [a,b] || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| \sqrt{f(t) } - \sqrt{g(t) }||}} || {{op:Betrag| {{op:Bruch| f(t) - g(t) | \sqrt{f(t) } + \sqrt{g(t) } }} }} | \leq | {{op:Betrag| f(t) - g(t) }} {{op:Bruch| 1 | 2 \sqrt{a } }} || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette |a | > | {{op:Bruch| 1| 4}} || || || |SZ= }} ist der Faktor rechts kleiner als {{math|term= 1 |SZ=.}} Wenn man das Supremum über alle {{mathl|term= t \in [a,b] |SZ=}} nimmt, so ergibt sich die entsprechende Abschätzung für die Maximumsnorm. |Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Raum {{math|term= C |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} ein vollständiger metrischer Raum. Die Bedingung, dass das Bild von {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} wieder in {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} liegt, kann man so formulieren, dass der Abstand {{ Zusatz/Klammer |text=zur Maximumsnorm| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} zur konstanten Funktion {{math|term= g |SZ=}} mit dem Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|a+b| 2}} |SZ=}} maximal gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|a+b| 2}} |SZ=}} ist. Es ist also {{ Relationskette/display | M || {{op:Abgeschlossener Ball| g | {{op:Bruch|a+b| 2}} }} | \subseteq | C || || |SZ= }} ein abgeschlossener Ball in {{math|term= C |SZ=.}} Daher ist {{math|term= M |SZ=}} selbst nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vollständiger metrischer Raum/Teilmenge abgeschlossen gdw vollständig/Aufgabe |Nr= |SZ= }} vollständig. |Wegen {{ Relationskette/display | \sqrt {1} || 1 || || || |SZ= }} ist die konstante Funktion {{ Relationskette/display |f || 1 || || || |SZ= }} der Fixpunkt von {{math|term= H |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 50y88n7p2xyyraz5kzpngug14xlis7q 0 74175 1111814 1108117 2026-08-15T17:11:51Z Bocardodarapti 2041 1111814 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name= f | M | M || |SZ= }} eine Abbildung. Mit {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} bezeichnen wir die {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= f |SZ=}} mit sich selbst. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass, wenn {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=| |SZ= }} ist, dann auch {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} Lipschitz-stetig ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung {{math|term= f |SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |starke Kontraktion| |Kontext=| |SZ=, }} wo aber jedes {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ= }} eine starke Kontraktion ist. |Es sei {{math|term= f|SZ=}} Lipschitz-stetig und es sei {{mathl|term= f^{\circ k}|SZ=}} eine starke Kontraktion für ein gewisses {{math|term= k |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} für jedes {{ Relationskette/display | n | \geq | n_0 || || || |SZ= }} eine starke Kontraktion ist. |Textart=Aufgabe }} |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8souyar8vzwhixr44wlf5r93gasim5o 1111815 1111814 2026-08-15T17:12:02Z Bocardodarapti 2041 1111815 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name= f | M | M || |SZ= }} eine Abbildung. Mit {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} bezeichnen wir die {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= f |SZ=}} mit sich selbst. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass, wenn {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=| |SZ= }} ist, dann auch {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} Lipschitz-stetig ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung {{math|term= f |SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |starke Kontraktion| |Kontext=| |SZ=, }} wo aber jedes {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ= }} eine starke Kontraktion ist. |Es sei {{math|term= f|SZ=}} Lipschitz-stetig und es sei {{mathl|term= f^{\circ k}|SZ=}} eine starke Kontraktion für ein gewisses {{math|term= k |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} für jedes {{ Relationskette | n | \geq | n_0 || || || |SZ= }} eine starke Kontraktion ist. |Textart=Aufgabe }} |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pmhsjkf1w6g1wmx9j08txyuhscso47 0 74176 1111812 1089949 2026-08-15T17:02:26Z Bocardodarapti 2041 1111812 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= a) Es sei {{math|term= f |SZ=}} Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante {{math|term= L |SZ=.}} Es ist also {{ Relationskette/display | d(f(x),f(y)) | \leq | L d(x,y) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x,y \in M |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/display | d( f^{\circ n}(x) , f^{\circ n}(y) ) | \leq | L d ( f^{\circ n-1}(x) , f^{\circ n-1}(y) ) | \leq | \ldots | \leq | L^n d(x,y) || |SZ= }} und daher ist {{math|term= f^{\circ n} |SZ=}} Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante {{math|term= L^n |SZ=.}} b) Wir betrachten {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= f(x) = \begin{cases} 0\, , \text{ für } x \leq 0\, , \\ -2x\, , \text{ für } x > 0 \, .\end{cases} |SZ= }} Diese Funktion ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante {{math|term= 2 |SZ=,}} die sich nicht verbessern lässt. Es liegt also keine starke Kontraktion vor. Da positive Zahlen auf negative Zahlen abgebildet werden und diese auf {{math|term= 0 |SZ=,}} ist {{mathl|term= f^{\circ 2} |SZ=}} die Nullabbildung. Die höheren Hintereinanderschaltungen sind erst recht die Nullabbildung und dies ist eine starke Kontraktion. c) Es sei {{math|term= L |SZ=}} eine Lipschitz-Konstante für {{math|term= f |SZ=}} und {{mathl|term= c<1 |SZ=}} ein Kontraktionsfaktor für {{mathl|term= f^{ \circ k} |SZ=.}} Es sei {{math|term= m |SZ=}} so gewählt, dass {{ Relationskette/display |L^k c^{m} | < | 1 || || || |SZ= }} ist. Sei {{ Relationskette/display |n_0 || mk || || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} schreiben wir {{mathl|term= n = ak +r |SZ=}} mit {{mathl|term= r < k |SZ=}} und {{ Relationskette/display |f^{\circ n} || f^{\circ ak} \circ f^{\circ r} || {{makl| f^{\circ k} |}}^a \circ f^{\circ r} || || |SZ=. }} Da Lipschitz-Konstanten multiplikativ sind, gilt für diese Hintereinanderschaltung die Lipschitz-Konstante {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= L |SZ=}} sei {{math|term= \geq 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |c^a L^r | \leq| c^a L^k | \leq | c^m L^k | < | 1 || |SZ=. }} Es handelt sich also um starke Kontraktionen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 89vx9okcherv6kp1jqne9bza3gz3bg9 1111813 1111812 2026-08-15T17:10:27Z Bocardodarapti 2041 1111813 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a |Es sei {{math|term= f |SZ=}} Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante {{math|term= L |SZ=.}} Es ist also {{ Relationskette/display | d(f(x),f(y)) | \leq | L d(x,y) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= x,y \in M |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/display | d {{makl| f^{\circ n}(x) , f^{\circ n}(y) |}} | \leq | L d {{makl| f^{\circ n-1}(x) , f^{\circ n-1}(y) |}} | \leq | \ldots | \leq | L^n d(x,y) || |SZ= }} und daher ist {{math|term= f^{\circ n} |SZ=}} Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante {{math|term= L^n |SZ=.}} |Wir betrachten {{ Abbildung/display |name= f | \R | \R || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f(x) || \begin{cases} 0\, , \text{ für } x \leq 0\, , \\ -2x\, , \text{ für } x > 0 \, .\end{cases} || || || |SZ= }} Diese Funktion ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante {{math|term= 2 |SZ=,}} die sich nicht verbessern lässt. Es liegt also keine starke Kontraktion vor. Da positive Zahlen auf negative Zahlen abgebildet werden und diese auf {{math|term= 0 |SZ=,}} ist {{mathl|term= f^{\circ 2} |SZ=}} die Nullabbildung. Die höheren Hintereinanderschaltungen sind erst recht die Nullabbildung und dies ist eine starke Kontraktion. |Es sei {{math|term= L |SZ=}} eine Lipschitz-Konstante für {{math|term= f |SZ=}} und {{ Relationskette | c | < | 1 || || || |SZ= }} ein Kontraktionsfaktor für {{mathl|term= f^{ \circ k} |SZ=.}} Es sei {{math|term= m |SZ=}} so gewählt, dass {{ Relationskette/display | L^k c^{m} | < | 1 || || || |SZ= }} ist. Es sei {{ Relationskette/display | n_0 || mk || || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} schreiben wir {{mathl|term= n = ak +r |SZ=}} mit {{mathl|term= r < k |SZ=}} und {{ Relationskette/display | f^{\circ n} || f^{\circ ak} \circ f^{\circ r} || {{makl| f^{\circ k} |}}^a \circ f^{\circ r} || || |SZ=. }} Da Lipschitz-Konstanten multiplikativ sind, gilt für diese Hintereinanderschaltung die Lipschitz-Konstante {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= L |SZ=}} sei {{math|term= \geq 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | c^a L^r | \leq| c^a L^k | \leq | c^m L^k | < | 1 || |SZ=. }} Es handelt sich also um starke Kontraktionen. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74sl8fz8hag2kelh0drw9qez3g61a0c 0 74276 1111770 1107521 2026-08-15T15:20:39Z Bocardodarapti 2041 1111770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2/a |Es seien {{mathl|term= L_1,L_2 < 1 |SZ=}} die Kontraktionsfaktoren zu {{ mathkor|term1= f |bzw.|term2= g |SZ=. }} Dann ist für beliebige Punkte {{mathl|term= x,y\in M |SZ=}} {{ Relationskette/display |d(g(f(x)), g(f(y))) | \leq| L_2 d (f(x),f(y)) | \leq| L_2L_1 d(x,y) || || |SZ= }} und somit kann man {{mathl|term= L_1L_2 < 1 |SZ=}} als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen. |Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | \R | \R | x | {{op:Bruch| 1| 2}}x |SZ=, }} die stark kontrahierend ist und den Fixpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt, und die Abbildung {{ Abbildung/display |name=g | \R | \R | y | {{op:Bruch| 1| 2}} y +1 |SZ=, }} die ebenfalls stark kontrahierend ist und {{math|term= 2 |SZ=}} als Fixpunkt besitzt. Die Verknüpfung {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | (g \circ f)(x) || g(f(x)) || g {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2 }} x |}} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2 }} x |}} +1 || {{op:Bruch| 1 | 4 }} x +1 |SZ=. }} Hierbei ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 4 | 3}} |SZ=}} der Fixpunkt. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5opbwi9d1m9hk9rg0izc85cgjfcnojy 0 74932 1111768 1013740 2026-08-15T15:18:47Z Bocardodarapti 2041 1111768 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{math|term= \R^n |SZ=}} sei mit der euklidischen Metrik versehen. {{ Aufzählung2/a |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum {{ Zusatz/Klammer |text=mit der induzierten Metrik| |ISZ=|ESZ= }} des {{math|term= \R^2 |SZ=,}} aber nicht als Teilraum von {{math|term= \R |SZ=}} realisieren kann. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des {{math|term= \R^2 |SZ=}}realisieren kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74dy43pne7agyskgsdzo4khs9at2lti 0 74933 1111767 1096128 2026-08-15T15:18:04Z Bocardodarapti 2041 1111767 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2/a |Wir betrachten den Teilraum {{ Relationskette | M || \{0, (1,0),(0,1)\} | \subset | \R^2 || || || |SZ= }} mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum {{math|term= M |SZ=}} ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand {{math|term= 1 |SZ=,}} und diese haben zueinander den Abstand {{math|term= \sqrt{2} |SZ=.}} In {{math|term= \R |SZ=}} gibt es zu jedem Punkt {{math|term= P |SZ=}} genau zwei Punkte mit dem Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} nämlich {{mathl|term= P-1 |SZ=}} bzw {{mathl|term= P+1 |SZ=,}} und diese haben aber zueinander den Abstand {{math|term= 2 |SZ=.}} |Wir betrachten im {{math|term= \R^3 |SZ=}} die folgende endliche Teilmenge: Es seien {{math|term= P,Q |SZ=}} zwei Punkte im {{math|term= \R^3 |SZ=,}} die zueinander den Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius {{mathl|term= {{op:Bruch| 2| 3}} |SZ=,}} also {{ mathkor|term1= S_1 = {{Mengebed| x \in \R^3|d(x,P ) {{=}} {{op:Bruch| 2| 3}} }} |und|term2= S_2 = {{Mengebed| x \in \R^3|d(x,Q ) {{=}} {{op:Bruch| 2| 3}} }} |SZ=. }} Der Durchschnitt {{mathl|term= S_1 \cap S_2 |SZ=}} ist eine Kreislinie {{math|term= K |SZ=.}} Es seien {{mathl|term= R_1,R_2,R_3 |SZ=}} drei Punkte auf {{math|term= K |SZ=}} und wir betrachten die Teilmenge {{ Relationskette/display |N || \{P,Q,R_1,R_2,R_3 \} || || || |SZ= }} mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im {{math|term= \R^2 |SZ=}} realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand {{math|term= {{op:Bruch| 2| 3}} |SZ=}} haben. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aunf1ai3gum1fums6ngkedtay3m3lu3 1111769 1111767 2026-08-15T15:19:26Z Bocardodarapti 2041 1111769 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2/a |Wir betrachten den Teilraum {{ Relationskette | M || \{0, (1,0),(0,1)\} | \subset | \R^2 || || || |SZ= }} mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum {{math|term= M |SZ=}} ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand {{math|term= 1 |SZ=,}} und diese haben zueinander den Abstand {{math|term= \sqrt{2} |SZ=.}} In {{math|term= \R |SZ=}} gibt es zu jedem Punkt {{math|term= P |SZ=}} genau zwei Punkte mit dem Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} nämlich {{mathl|term= P-1 |SZ=}} bzw. {{mathl|term= P+1 |SZ=,}} und diese haben aber zueinander den Abstand {{math|term= 2 |SZ=.}} |Wir betrachten im {{math|term= \R^3 |SZ=}} die folgende endliche Teilmenge: Es seien {{math|term= P,Q |SZ=}} zwei Punkte im {{math|term= \R^3 |SZ=,}} die zueinander den Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius {{mathl|term= {{op:Bruch| 2| 3}} |SZ=,}} also {{ mathkor|term1= S_1 = {{Mengebed| x \in \R^3|d(x,P ) {{=}} {{op:Bruch| 2| 3}} }} |und|term2= S_2 = {{Mengebed| x \in \R^3|d(x,Q ) {{=}} {{op:Bruch| 2| 3}} }} |SZ=. }} Der Durchschnitt {{mathl|term= S_1 \cap S_2 |SZ=}} ist eine Kreislinie {{math|term= K |SZ=.}} Es seien {{mathl|term= R_1,R_2,R_3 |SZ=}} drei Punkte auf {{math|term= K |SZ=}} und wir betrachten die Teilmenge {{ Relationskette/display |N || \{P,Q,R_1,R_2,R_3 \} || || || |SZ= }} mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im {{math|term= \R^2 |SZ=}} realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand {{math|term= 1 |SZ=}} nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand {{math|term= {{op:Bruch| 2| 3}} |SZ=}} haben. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0487c2qvm1bx8yas0cclta7p9zuqzf 0 120312 1111837 1095965 2026-08-15T17:54:20Z Bocardodarapti 2041 1111837 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Der Potenzreihenansatz {{ Relationskette/display | y(t) || a_0 +a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4 + a_5t^5 + \ldots || || || |SZ= }} führt eingesetzt in die Differentialgleichung auf {{ Relationskette/display | a_1 +2a_2t+3a_3t^2+4a_4t^3+5a_5t^4 + 6a_6 t^5+ \ldots || 1+ a_0t +a_1t^2+a_2t^3+a_3t^4+ a_4 t^5 + a_5t^6 +\ldots || || || |SZ=. }} Aufgrund der Anfangsbedingung ist {{ Relationskette/display | a_0 || 0 || || || |SZ=. }} Der Vergleich des konstanten Termes führt auf {{ Relationskette/display | a_1 || 1 || || || |SZ=. }} Der Vergleich des linearen Termes führt auf {{ Relationskette/display | 2a_2 || a_0 || 0 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | a_2 || 0 || || || |SZ=. }} Der Vergleich des quadratischen Termes führt auf {{ Relationskette/display | 3a_3 || a_1 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | a_3 || {{op:Bruch| 1 | 3 }} || || || |SZ=. }} Der Vergleich des Termes zu {{math|term= t^3 |SZ=}} führt auf {{ Relationskette/display | 4a_4 || a_2 || 0 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | a_4 || 0 || || || |SZ=. }} Der Vergleich des Termes zu {{math|term= t^4 |SZ=}} führt auf {{ Relationskette/display | 5a_5 || a_3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | a_5 || {{op:Bruch| 1 | 15 }} || || || |SZ=. }} Somit ist die polynomiale Approximation bis zur Ordnung {{math|term= 5 |SZ=}} der Lösung gleich {{ Math/display|term= t + {{op:Bruch| 1 | 3 }} t^3 + {{op:Bruch| 1 | 15 }} t^5 |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2g3gzp4wr1xi4qmgcmop7o98z5jwlau 0 121728 1111807 1096145 2026-08-15T16:51:04Z Bocardodarapti 2041 1111807 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=R| |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:sin| y |}} | x {{op:cos| y |}} }} |SZ=. }} Für einen kritischen Punkt müssen beide Komponenten {{math|term= 0 |SZ=}} sein. Aus der ersten Komponente folgt {{ Relationskette | y | \in | \Z \pi || || || |SZ= }} und daraus aus der zweiten Komponente {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ=, }} da der Kosinus an den Nullstellen des Sinus keine Nullstelle besitzt. Die kritischen Punkte haben also die Gestalt {{ Math/display|term= (0, n \pi) |SZ= }} mit {{ Relationskette |n | \in | \Z || || || |SZ=. }} |Zur Bestimmung der lokalen Extrema betrachten wir die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |SZ=, }} diese ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 0| {{op:cos| y |}} | {{op:cos| y |}} | -x {{op:sin| y |}} }} |SZ=. }} In einem kritischen Punkt {{mathl|term= (0, n \pi) |SZ=}} ist diese {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 0| \pm 1 | \pm 1 | 0 }} |SZ=, }} und zwar hängt das Vorzeichen davon ab, ob {{math|term= n |SZ=}} gerade oder ungerade ist. Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom|| \lambda |}} || {{op:Determinante| {{op:Matrix22| \lambda | \mp 1 | \mp 1 | \lambda }} |}} || \lambda^2-1 || (\lambda-1)(\lambda +1) || |SZ=. }} Die Hesse-Matrix besitzt somit einen positiven und einen negativen Eigenwert und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt |Nr= |SZ= }} ist ihr {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=Bilinearform| |SZ= }} {{math|term= (1,1) |SZ=.}} Daher ist sie indefinit und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es keine lokalen Extrema. |Auf der Diagonalen wird die Funktion zu {{ Relationskette | g(x) || x {{op:sin| x |}} || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette | x | \in | \Z \pi || || || |SZ= }} hat {{math|term= g |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} Deshalb muss zwischen zwei solchen benachbarten Nullstellen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt |Nr= |SZ= }} jeweils ein Maximum oder ein Minimum angenommen werden. |Die Funktion {{math|term= x {{op:sin| x |}} |SZ=}} hat im Nullpunkt den Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} Für {{math|term= x |SZ=}} echt zwischen {{math|term= - {{op:Bruch| \pi | 2 }} |SZ=}} und {{math|term= {{op:Bruch| \pi | 2 }} |SZ=}} sind im positiven Bereich beide Faktoren positiv und im negativen Bereich beide Faktoren negativ. Damit ist {{math|term= x {{op:sin| x |}} |SZ=}} auf diesem Intervall außerhalb des Nullpunktes positiv und somit liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pfmz6phr4nsrex0begt3fadujjnwrir 0 121748 1111783 1096033 2026-08-15T16:00:22Z Bocardodarapti 2041 1111783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir arbeiten mit der Variablenreihenfolge {{mathl|term= x,y,z,w|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Die Jacobi-Matrix ist {{ Math/display|term= ( w,-z,-y,x) |SZ=. }} Der einzige kritische Punkt ist der Nullpunkt. |Die Hesse-Matrix ist {{ Zusatz/Klammer |text=in jedem Punkt| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 0| 0| 0| 1| 0| 0| -1| 0| 0| -1| 0| 0| 1| 0| 0| 0||}} |SZ= }} Diese hat die linear unabhängigen {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 1| 0| 0| 1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 0| 1| -1| 0}} |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Eigenwert| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=}} und die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | 0 | -1 }} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 0 | 1 | 1 | 0 }} |SZ= }} zum Eigenwert {{mathl|term= -1 |SZ=.}} Deshalb hat die Hesse-Matrix den Typ {{mathl|term= (2,-2) |SZ=.}} Insbesondere besitzt die Determinante kein lokales Extremum. |Wir betrachten den Untervektorraum der Matrizen, der durch die beiden Bedingungen {{ Relationskette | w || x || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | z || -y || || || |SZ= }} gegeben ist, also den zweidimensionalen Untervektorraum der Matrizen der Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| x | y | -y | x}} |SZ=. }} Auf diesem Untervektorraum ist die Determinante durch {{mathl|term= x^2+y^2 |SZ=}} gegeben und hat im Nullpunkt ein isoliertes globales Minimum. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nwehlgvq4zcy8b5tnve8k1llznn61dw 0 122243 1111811 849753 2026-08-15T17:00:50Z Bocardodarapti 2041 1111811 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |charakteristische Polynom| |msw= |SZ= }} zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jq3a5u6m82t7sq259f3bqjrt5b0nrjo 0 130793 1111831 1094446 2026-08-15T17:48:53Z Bocardodarapti 2041 1111831 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |{{ inputbild |Billardkugelbewegung1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Billardkugelbewegung2|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Billardkugelbewegung3|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |Offenbar können nicht die drei Punkte auf einer Seite sein. Wenn zwei Punkte auf einer Seite und ein dritter auf einer weiteren Seite wäre, so müssten bei der Bewegung die beiden gleichseitigen Punkte verbunden sein, was nicht sein kann. Es ist also noch die Möglichkeit auszuschließen, dass drei Seiten einen Punkt enthalten und die vierte nicht. Ohne Einschränkung sei auf der rechten Seite kein Punkt und die Bewegung beginnt im Punkt auf der linken Seite und läuft direkt zum Punkt auf der oberen Seite. Von diesem Punkt muss die Bewegung dann zum dritten Punkt auf der unteren Seite weitergehen. Doch dann ändert sich bei dieser Bewegung die Geschwindigkeit in Richtung der {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate nicht und die Bewegung trifft doch die rechte Seite. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cmtssdpe1iwt0389cnpidafu90rdkw3 1111835 1111831 2026-08-15T17:52:00Z Bocardodarapti 2041 1111835 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |{{ inputbild |Billardkugelbewegung1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Billardkugelbewegung2|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |{{ inputbild |Billardkugelbewegung3|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |Offenbar können nicht die drei Punkte auf einer Seite sein. Wenn zwei Punkte auf einer Seite und ein dritter auf einer weiteren Seite wären, so müssten bei der Bewegung die beiden gleichseitigen Punkte verbunden sein, was nicht sein kann. Es ist also noch die Möglichkeit auszuschließen, dass drei Seiten einen Punkt enthalten und die vierte nicht. Ohne Einschränkung sei auf der rechten Seite kein Punkt und die Bewegung beginnt im Punkt auf der linken Seite und läuft direkt zum Punkt auf der oberen Seite. Von diesem Punkt muss die Bewegung dann zum dritten Punkt auf der unteren Seite weitergehen. Doch dann ändert sich bei dieser Bewegung die Geschwindigkeit in Richtung der {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate nicht und die Bewegung trifft doch die rechte Seite. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ii05afi7u25fuv5qgifhnbo0rfysy57 0 131350 1111803 1037087 2026-08-15T16:42:59Z Bocardodarapti 2041 1111803 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | \R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Kontext=R| |SZ=, }} die im Punkt {{ Relationskette | P | \in | G || || || |SZ= }} ein surjektives {{ Definitionslink |totales Differential| |SZ= }} besitze. Es sei {{ Relationskette | v | \in | T_PZ || || || |SZ= }} ein Vektor des {{ Definitionslink |Tangentialraumes an die Faser| |SZ= }} {{math|term= Z |SZ=}} zu {{math|term= \varphi |SZ=}} durch {{math|term= P |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Kurve| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \gamma | ]- \epsilon, \epsilon[ | Z || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für ein geeignetes {{ Relationskette/k | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Relationskette | \gamma(0) || P || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette/display | \gamma'(0) || v || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qp8wjwfojnazuoj15b2ix0n07b570vm 0 131353 1111802 1096717 2026-08-15T16:41:12Z Bocardodarapti 2041 1111802 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette |v | \in | T_PZ || {{op:Kern| {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine offene Menge {{ mathbed|term= P \in W ||bedterm1= W \subseteq G ||bedterm2= |SZ=, }} eine offene Menge {{ Relationskette | V | \subseteq | \R^{n-m} || || || || |SZ= }} und eine stetig differenzierbare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | V | W || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | \psi(V) | \subseteq | Z \cap W || || || || |SZ= }} ist und {{math|term= \psi |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \psi | V | Z \cap W || |SZ= }} induziert. Es sei {{ Relationskette | Q | \in | V || || || |SZ= }} der Punkt mit {{ Relationskette | \psi(Q) || P || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{math|term= \psi |SZ=}} ist in jedem Punkt {{ Relationskette | Q | \in | V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |SZ= }} und für das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \psi |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| \varphi | P }} \circ {{op:Totales Differential| \psi | Q }} || 0 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | {{op:Bild| {{op:Totales Differential| \psi| Q }} |}} || {{op:Kern| {{op:Totales Differential|\varphi | P }} |}} || T_P Z || || |SZ=. }} Wegen der Regularität von {{math|term= \psi |SZ=}} in {{math|term= Q |SZ=}} ist {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential| \psi | Q }} | \R^{n-m} | \R^n || |SZ= }} injektiv und {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential| \psi | Q }} | \R^{n-m} | T_PZ || |SZ= }} bijektiv. Es sei {{ Relationskette | u | \in | \R^{n-m} || || || |SZ= }} das Urbild von {{math|term= v |SZ=}} und sei {{ Abbildung/display |name= \theta | ]- \epsilon, \epsilon[ | \R^{n-m} | t | Q+tu |SZ=, }} wobei {{math|term= \epsilon|SZ=}} hinreichend klein gewählt sei, dass das Bild ganz in {{math|term= V |SZ=}} liegt. Dann besitzt {{ Abbildung/display |name= \gamma {{=}} \psi \circ \theta | ]- \epsilon, \epsilon[ | \R^n || |SZ= }} die Eigenschaft {{ Relationskette/display | \gamma(0) || \psi( \theta (0)) || \psi(Q) || P || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \gamma' (0) || {{op:Totales Differential| \psi|Q}} ( \theta' (0)) || {{op:Totales Differential| \psi|Q}} ( u) || v || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15tkdcuxrhu1cw0ylh8zmgulp55rnij 0 131359 1111788 1097104 2026-08-15T16:05:26Z Bocardodarapti 2041 1111788 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | \R^4|\R^2 | {{op:Zeilenvektor| x | y | z |w}} | {{op:Zeilenvektor|e^{xy}-xw^2| {{op:sin| y |}} -z {{op:cos| w |}}+yz^2w^3 }} |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} in jedem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y | z | w}} |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Relationskette/display | P || {{op:Zeilenvektor| 0 | {{op:Bruch| \pi | 2}} | 1 | 0}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |regulärer Punkt| |Kontext=Rang| |SZ= }} für {{math|term= \varphi |SZ=}} ist und bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} für den {{ Definitionslink |Tangentialraum an die Faser| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \varphi |SZ=}} im Punkt {{mathl|term= P |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8m6kx22vqsearx7jrlc92rv2tyo8voe 0 131370 1111796 1095575 2026-08-15T16:29:54Z Bocardodarapti 2041 1111796 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es geht um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion {{ Abbildung/display |name= f \circ \gamma |\R|\R || |SZ= }} mit dem linearen Weg {{ Relationskette/display | \gamma (t) || {{op:Spaltenvektor| 4| -1}} +t {{op:Spaltenvektor| -3| 2}} || {{op:Spaltenvektor| 4-3t| -1+2t}} || || |SZ= }} im Nullpunkt. Es ist {{ Relationskette/align | {{makl| f \circ \gamma |}} (t) || f {{makl| {{op:Spaltenvektor| 4-3t| -1+2t}} |}} || {{makl| 4-3t |}}^3 + {{makl| 4-3t |}}^2 {{makl| -1+2t |}} - {{makl| -1+2t |}}^5 || 64 - 144 t -16 + ( 32 +24 )t +1 -10t +t^2 Q || 49 -98 t +t^2 Q |SZ= }} mit einem Polynom {{math|term= Q |SZ=,}} das aber für die Ableitung an {{math|term= 0 |SZ=}} irrelevant ist. Die Richtungsableitung ist {{ Relationskette/display | {{makl| f \circ \gamma |}}' (0) || -98 || || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xe5rzk8fncx441i3x08o33tgf082pd 0 131397 1111800 1096272 2026-08-15T16:39:03Z Bocardodarapti 2041 1111800 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |\R^3| \R^3 | {{op:Zeilenvektor| x | y |z}} | {{op:Zeilenvektor| x^2-y^3| xz+ {{op:sin| y |}} | yz^2}} |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y |z}} |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 2x| -3y^2| 0| z | {{op:cos| y |}} | x | 0| z^2 | 2yz |}} |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y | z }} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Determinante| {{op:Matrix33| 2x | -3y^2 | 0| z | {{op:cos| y |}} | x | 0| z^2 | 2yz|}} |}} || 2x {{makl| 2yz {{op:cos| y |}} -xz^2 |}} -z {{makl| -6y^3 z |}} || 4xyz {{op:cos| y |}} -2x^2z^2 +6y^3 z^2 || z {{makl| 4xy {{op:cos| y |}} - 2x^2z +6y^3 z |}} || || |SZ=. }} |Die Jacobi-Determinante von {{math|term= \varphi |SZ=}} in {{ Relationskette |P || {{op:Zeilenvektor| 1| 0| 1}} || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= -2 |SZ=.}} Daher ist das totale Differential in diesem Punkt {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz über die Umkehrabbildung|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine offene Umgebung von {{math|term= P |SZ=,}} auf der ein Diffeomorphismus vorliegt. |Die Jacobi-Matrix von {{math|term= \varphi |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0|}} |SZ=. }} Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung {{math|term= \varphi^{-1} |SZ=}} in {{mathl|term= \varphi(P) |SZ=}} ist die inverse Matrix dazu. Das Invertierungsverfahren ergibt {{:Inverse Matrix/2 0 0 1 1 1 0 1 0/Aufgabe/Lösung|opt=Text}} Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ist somit {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 1 | 2 }} | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | - {{op:Bruch| 1 | 2 }} | 1 | -1 }} |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gm52tlw33nx5fk0poemgq258yr4tmba 0 139227 1111842 850098 2026-08-15T17:59:44Z Bocardodarapti 2041 1111842 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Skalarprodukt| |msw= |SZ= }} auf einem komplexen Vektorraum {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3qxcwr7vd9e0vqx58l7pj7p2dkqmwq4 0 139229 1111776 736258 2026-08-15T15:48:31Z Bocardodarapti 2041 1111776 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Banachscher Fixpunktsatz/Fakt| |Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt| |Satz über die injektive Abbildung/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mehrdimensionale Analysis |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4tlpypfsc3vuh8qiu5iq9ln25n1rpy 0 139230 1111777 736164 2026-08-15T15:48:54Z Bocardodarapti 2041 1111777 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt| |Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt| |Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mehrdimensionale Analysis |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85ge8vmm82kt2xnteuyw5ex2nmhr4xs 0 139317 1111804 1092723 2026-08-15T16:47:27Z Bocardodarapti 2041 1111804 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Häufungspunkt| |msw= |SZ= }} einer Folge {{math|term= {{Folge| x |}} |SZ=}} in einem metrischen Raum {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 298odh3vcj4cuua7w6vbam9juni0aw9 0 139410 1111830 1096419 2026-08-15T17:47:44Z Bocardodarapti 2041 1111830 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei zunächst {{math|term= Z |SZ=}} offen in {{math|term= T |SZ=.}} Dann gibt es zu jedem Punkt {{ Relationskette | P | \in | Z || || || |SZ= }} eine offene Ballumgebung mit {{ Relationskette/display | P | \in | {{op:Offener Ball| P | \epsilon_P}} \cap T | \subseteq | Z || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der Radius hängt von {{math|term= P |SZ=}} ab| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | U | {{defeq|}} | \bigcup_{P \in Z} {{op:Offener Ball| P | \epsilon_P}} || || || |SZ= }} als Vereinigung offener Mengen offen in {{math|term= M |SZ=}} und {{ Relationskette | Z || U \cap T || || || |SZ=. }} Wenn es umgekehrt eine offene Menge {{ Relationskette | U | \subseteq | M || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | Z || U \cap T || || || |SZ= }} gibt, so sei {{ Relationskette | P | \in | Z || || || |SZ= }} ein Punkt. Es gibt in {{math|term= M |SZ=}} eine offene Ballumgebung mit {{ Relationskette/display | P | \in | {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} | \subseteq | U || || |SZ=. }} Dann ist auch {{ Relationskette/display | P | \in | {{op:Offener Ball| P | \epsilon}} \cap T | \subseteq | U \cap T || Z || |SZ= }} und es ist eine offene Ballumgebung in {{math|term= T |SZ=}} gefunden. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mvknjxpg4pay02yb3khxkzggbgr570 0 139467 1111819 1096150 2026-08-15T17:23:34Z Bocardodarapti 2041 1111819 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Relationskette/display | f(0) || e^0-1 || 1-1 || 0 || |SZ=, }} daher ist {{math|term= 0 |SZ=}} ein Fixpunkt. Die Ableitung von {{mathl|term= f(x) -x |SZ=}} ist {{ Relationskette | {{makl| f(x)-x |}}' || e^x-1 | < | 0 || || || |SZ= }} auf {{math|term= \R_- |SZ=,}} daher ist {{math|term= f(x)-x |SZ=}} im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort {{mathl|term= f(x)-x |SZ=}} keine weitere Nullstelle, also ist dort {{ Relationskette/display | f(x) |\neq| x || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/display | f'(x) || e^x | \leq | 1 || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | \R_{\leq 0} || || || |SZ=. }} Daher ist nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Mittelwertsatz|Faktseitenname= Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| f(y) -f(x) | y-x }} | \leq | 1 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x,y | \in | \R_{\leq 0} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| f(y)-f(x) |}} | \leq | {{op:Betrag| y-x |}} || || || |SZ=, }} was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor {{math|term= 1 |SZ=}} bedeutet. |Wir betrachten den Differenzenquotienten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| f(y) -f(0) | y-0}} || {{op:Bruch| f(y)| y}} || {{op:Bruch| e^y -1| y}} || || |SZ=. }} Für {{math|term= y \rightarrow 0 |SZ=}} konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle {{math|term= 0 |SZ=}} von {{math|term= f |SZ=,}} also gegen {{math|term= 1 |SZ=.}} Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein {{ Relationskette | c | < | 1 || || || |SZ= }} geben, wofür insbesondere {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| f(y) |}} | \leq | c {{op:Betrag| y |}} || || || |SZ= }} gelten würde. Dann wäre {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| {{op:Bruch| f(y) | y |}} |}} | \leq | c || || || |SZ= }} im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft. |Nach Teil (1) ist {{mathl|term= f(x) -x |SZ=}} auf {{math|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} streng fallend und daher ist {{ Relationskette | f(x)-x | \geq | 0 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | f(x) | \geq | x || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass eine durch {{math|term= f |SZ=}} gegebene rekursive Folge wachsend ist. Da ferner {{ Relationskette | f(x) | \leq | 0 || || || |SZ= }} gilt, liegt eine wachsende, nach oben beschränkte Folge vor, die in {{math|term= \R |SZ=}} konvergieren muss. Es sei {{math|term= a |SZ=}} der Grenzwert, der zu {{math|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} gehört. Aufgrund der Stetigkeit ist {{ Relationskette | f(a) || a || || || |SZ=, }} also muss nach Teil (1) {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} sein. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gj0do8eigmya423aggfxabno5fncwul 0 141831 1111786 1094906 2026-08-15T16:01:43Z Bocardodarapti 2041 1111786 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Man kann die zugehörige zeitunabhängige Differentialgleichung {{ Relationskette/display | v'(t) || v(t)^2 || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette | v(1) || -1 || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist g(t)y^2/Fakt |Nr= |SZ= }} lösen, dies führt auf {{ Relationskette | v(t) || - {{op:Bruch| 1|t}} || || || |SZ=. }} Man kann dies aber auch erraten und direkt überprüfen durch {{ Relationskette/align | -1+ \int_1^t {{op:Bruch(| -1 | s }}^2 ds || -1+ \int_1^t s^{-2} ds || -1+ {{op:Integralstamm(| 1 | t | - s^{-1} }} || -1 - {{op:Bruch| 1 | t }} +1 || - {{op:Bruch| 1 | t }} |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7tscxtrdgjucduk0x09hduy5wf86vw 106 169644 1111749 1111743 2026-08-15T12:34:53Z Paul Sutermeister 37610 /* Übungen */ 1111749 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> = B - Text eingeben = == Eingabe == * Die Ansicht wechseln * Text in ein Dokument eingeben * Sonderzeichen und Symbole einfügen (z. B. ©, ®, ™) == Auswählen und Bearbeiten == * Nicht druckbare Zeichen ein- und ausblenden, z. B.: Leerzeichen, Absatzmarken, Zeilenendezeichen / manueller Zeilenumbruch, Tabulatorzeichen * Zeichen, Wörter, Zeilen, Sätze, Absätze sowie den gesamten Text auswählen (markieren) * Text bearbeiten: einfügen, löschen, überschreiben * Den einfachen '''Suchen-Befehl''' verwenden, um ein Wort oder einen Ausdruck zu finden * Den einfachen '''Ersetzen-Befehl''' verwenden, um ein Wort oder einen Ausdruck zu ersetzen * Text ** innerhalb eines Dokuments oder ** zwischen verschiedenen Dokumenten kopieren oder verschieben * Text gezielt löschen * Die Befehle '''Rückgängig''' und '''Wiederherstellen''' anwenden </div> == Übungen == # Fügen Sie folgenden grauen Text in ein leeres Word-Dokument ein (Einfügeoption: "Nur den Text übernehmen"): <span style="color:gray;"><span style="font-size:85%;">ETHIK DER KÜNSTLICHEN INTELLIGENZ Künstliche Intelligenz wirft eine Reihe dringender ethischer Fragen auf. 1 URHEBERRECHT UND GEISTIGES EIGENTUM Ein zentrales Problem betrifft das Urheberrecht und das geistige Eigentum. KI-Systeme greifen auf große Mengen von Inhalten zurück, die ursprünglich von Menschen geschaffen wurden. Dadurch stellt sich die Frage, ob das geistige Eigentum der Urheber ohne Zustimmung oder ohne angemessene Vergütung genutzt wird. Viele Künstler, Fotografen und Autoren stellen fest, dass KI-generierte Inhalte auf ihren Werken basieren, ohne dass sie dafür Anerkennung oder Entlohnung erhalten. Bildgeneratoren wie DALL-E oder Stable Diffusion wurden mit riesigen Datensätzen trainiert, die Bilder aus dem Internet enthalten, häufig ohne ausdrückliche Genehmigung der Urheber. Im Jahr 2023 reichten mehrere Künstler, darunter Karla Ortiz und der Künstlerverband „Concept Art Association“, Klagen gegen Unternehmen wie Stability AI, Midjourney und DeviantArt ein. Sie argumentieren, dass ihre Werke ohne Lizenz für das Training von KI-Modellen verwendet wurden. Auch Getty Images verklagte im Januar 2023 Stability AI, weil Millionen von Bildern aus der Getty-Datenbank ohne Genehmigung genutzt worden sein sollen. Teilweise erschienen sogar Wasserzeichen von Getty in KI-generierten Bildern, was das Problem des unautorisierten Kopierens besonders deutlich machte. Ähnliche Fragen entstehen bei KI-Chatbots, die Texte generieren, denn diese Systeme wurden mit großen Mengen an Internettexten trainiert. Autoren, Journalisten und Wissenschaftler haben meist keine Kontrolle darüber, ob ihre Inhalte für solche Trainingszwecke verwendet werden. 2 UMWELTBELASTUNG UND ENERGIEVERBRAUCH Ein weiteres ethisches Problem betrifft die Umweltbelastung und den Energieverbrauch von KI. Große KI-Modelle benötigen enorme Rechenleistung und werden in riesigen Rechenzentren betrieben, etwa von Unternehmen wie OpenAI, Google oder Microsoft. Diese Anlagen verbrauchen große Mengen Strom und verursachen erhebliche CO₂-Emissionen. Studien zeigen, dass das Training eines großen Sprachmodells mehrere Tonnen CO₂ verursachen kann. Das Training von GPT-3 verbrauchte beispielsweise schätzungsweise etwa 1.287 Megawattstunden Strom und verursachte über 550 Tonnen CO₂. Das entspricht ungefähr den jährlichen Emissionen von rund 60 durchschnittlichen US-Amerikanern. Auch das Training von Googles Sprachmodell BERT benötigte rund 1.500 Megawattstunden Strom. Neben dem Energieverbrauch entsteht zusätzlich ein hoher Wasserbedarf für die Kühlung der Rechenzentren. Große Anlagen, etwa in den USA, benötigen enorme Mengen Wasser, was insbesondere in Regionen mit Wasserknappheit zunehmend kritisch diskutiert wird. Angesichts der Klimakrise wird deshalb immer häufiger gefordert, KI-Systeme energieeffizienter zu entwickeln. Das hilft schlussendlich uns allen. 3 UNSICHTBARE MENSCHLICHE ARBEIT Ein drittes Problem ist die unsichtbare menschliche Arbeit, die hinter vielen KI-Systemen steckt. Obwohl KI häufig als vollständig automatisiert dargestellt wird, sind viele Menschen an der Verwandlung und dem Betrieb dieser Systeme beteiligt. Unternehmen nutzen Plattformen wie Amazon Mechanical Turk, auf denen sogenannte Clickworker Daten kennzeichnen, Inhalte bewerten oder Bilder beschriften. Diese Arbeit wird häufig schlecht bezahlt und unter schwierigen Bedingungen ausgeführt. Viele Clickworker verdienen weniger als zwei US-Dollar pro Stunde. Ein großer Teil dieser Arbeit wird in Ländern wie Indien oder den Philippinen erledigt. Eine Studie der Universität Oxford aus dem Jahr 2021 zeigte, dass etwa 94 % der Clickworker außerhalb der USA arbeiten und häufig keinen ausreichenden arbeitsrechtlichen Schutz haben. Auch Content-Moderatoren sind ein wichtiger, aber oft unsichtbarer Teil der digitalen Infrastruktur. In Ländern wie Kenia oder den Philippinen überprüfen Moderatoren täglich große Mengen gewalttätiger oder verstörender Inhalte, damit Plattformen und KI-Systeme solche Inhalte erkennen und filtern können. Berichte zeigen, dass viele dieser Beschäftigten unter starken psychischen Belastungen leiden und nur begrenzte Unterstützung erhalten. 4 DIGITALE KLUFT UND GLOBALE UNGLEICHHEIT Auch die digitale Kluft und globale Ungleichheit spielen eine wichtige Rolle. Die Verwandlung moderner KI-Technologien konzentriert sich stark auf wenige Regionen der Welt, insbesondere Nordamerika, Europa und China. Viele Länder des globalen Südens verfügen nicht über die notwendige Infrastruktur, die Rechenleistung oder die finanziellen Mittel, um vergleichbare Technologien zu entwickeln. Während im Silicon Valley bereits mehr als 50 Milliarden US-Dollar in KI-Technologien investiert wurden, liegen die jährlichen Investitionen in die KI-Infrastruktur auf dem gesamten afrikanischen Kontinent bei weniger als 100 Millionen Dollar. Dadurch entsteht ein technologisches Ungleichgewicht. Ein Forschungsprojekt der Harvard Kennedy School zeigte 2022, dass KI-gestützte Landwirtschaft in den USA und China Erträge um bis zu 30 Prozent steigern kann. In vielen afrikanischen Ländern fehlen jedoch sowohl die notwendigen Daten als auch eine stabile Internetverbindung und ausreichende Rechenleistung, um solche Technologien einzusetzen. 5 DISKRIMINIERUNG UND ALGORITHMISCHE VERZERRUNGEN Ein weiteres ethisches Problem betrifft Diskriminierung und algorithmische Verzerrungen (Bias). KI-Systeme lernen aus vorhandenen Daten. Wenn diese Daten gesellschaftliche Vorurteile enthalten, können die Systeme diese Vorurteile übernehmen und verstärken. Ein bekanntes Beispiel ist ein automatisches Bewerbungssystem von Amazon, das zwischen 2014 und 2017 getestet wurde. Das System bevorzugte männliche Bewerber, weil die Trainingsdaten überwiegend aus früheren Bewerbungen von Männern bestanden. Dadurch wurden Frauen systematisch benachteiligt. Auch bei Gesichtserkennungssystemen wurden Probleme festgestellt. Studien des MIT Media Lab aus dem Jahr 2018 zeigten deutlich höhere Fehlerquoten bei Menschen mit dunkler Hautfarbe. Während die Fehlerquote bei Männern mit heller Haut unter einem Prozent lag, erreichte sie bei Frauen mit dunkler Haut über 35 %. Solche Fehler können schwerwiegende Folgen haben, etwa wenn Gesichtserkennung in polizeilichen Anwendungen eingesetzt wird. 6 AUTONOME WAFFENSYSTEME Besonders umstritten ist schließlich der Einsatz von KI in autonomen Waffensystemen. Moderne Drohnen können mithilfe von KI Ziele erkennen und verfolgen. Kritiker warnen davor, dass solche Systeme eigenständig Entscheidungen über Leben und Tod treffen könnten. Ein häufig diskutiertes Beispiel ist die türkische Kampfdrohne KARGU-2, die laut einem UN-Bericht 2021 im Bürgerkrieg in Libyen eingesetzt wurde. Der Bericht deutet darauf hin, dass diese Drohne möglicherweise autonom Ziele angegriffen hat, also ohne direkte menschliche Steuerung. Auch militärische Programme wie das Project Maven des US-Verteidigungsministeriums nutzen KI zur Analyse von Drohnenbildern und zur Zielerkennung. Experten warnen, dass autonome Waffensysteme Fehlentscheidungen treffen oder von Unbefugten gehackt werden könnten. Deshalb fordern viele Wissenschaftler und internationale Organisationen klare Regeln und internationale Abkommen, um den Einsatz solcher Technologien zu kontrollieren. FAZIT Diese Beispiele zeigen, dass künstliche Intelligenz nicht nur technische, sondern auch tiefgreifende ethische, soziale und politische Fragen aufwirft. Die Verwandlung und Nutzung von KI erfordert daher einen klaren ethischen und rechtlichen Rahmen, der Menschenrechte, soziale Gerechtigkeit und Umweltschutz in den Mittelpunkt stellt. Die Verwandlung und Nutzung von KI erfordert daher einen klaren ethischen und rechtlichen Rahmen, der Menschenrechte, soziale Gerechtigkeit und Umweltschutz in den Mittelpunkt stellt.</span></span> # Gliedern Sie den Text, indem Sie an fünfzehn sinnvollen Stellen die Enter-Taste drücken. # Ersetzen Sie ''30 Prozent'' durch ''30%''.<!--Bei Zahlen in Ziffern (wo sinnvoll, also zum Beispiel nicht bei Jahreszahlen!) muss % stehen (zum Beispiel 10 %), bei Zahlen in Worten muss ''Prozent'' (zum Beispiel zehn Prozent) stehen. '''Ersetzen''' Sie nach Zahlen in Ziffern das Wort ''Prozent'' durch das Prozentzeichen.--> # '''Verlinken''' Sie das Wort ''Getty'' im Abschnitt ''URHEBERRECHT UND GEISTIGES EIGENTUM'' mit der Website der https://www.gettyimages.com . Die Webadresse soll nicht sichtbar sein. # '''Suchen''' Sie das Wort ''schlussendlich''. Löschen Sie den Satz, der das Wort ''schlussendlich'' enthält. # Gehen Sie mit Hilfe eines Befehls zur Seite 2 und '''löschen''' Sie den letzten Satz, der sich wiederholt. # Ersetzen Sie im gesamten Dokument das Wort ''Verwandlung'' durch ''Entwicklung''. <!--# Ersetzen Sie den Satz vor dem Absatz ''URHEBERRECHT UND GEISTIGES EIGENTUM'' durch die Aufzählung, die Sie [[Kurs:K%C3%BCnstliche_Intelligenz_(Handelsdiplom)/Ethik#Ethik|hier finden (draufklicken)]].--> # Fügen Sie in der Fusszeile den Text ''Copyright: P. Sutermeister, Lizenz: CC BY-SA 4.0'' ein. # Entfernen Sie in der Fusszeile den Text ''Copyright:'' und geben Sie stattdessen das ©-Zeichen ein. [[Kategorie:Kurs:Textverarbeitung]] 4u14snchn7ui4o5r20xtvagjus2ymb5 1111756 1111749 2026-08-15T13:56:14Z Paul Sutermeister 37610 /* Übungen */ 1111756 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> = B - Text eingeben = == Eingabe == * Die Ansicht wechseln * Text in ein Dokument eingeben * Sonderzeichen und Symbole einfügen (z. B. ©, ®, ™) == Auswählen und Bearbeiten == * Nicht druckbare Zeichen ein- und ausblenden, z. B.: Leerzeichen, Absatzmarken, Zeilenendezeichen / manueller Zeilenumbruch, Tabulatorzeichen * Zeichen, Wörter, Zeilen, Sätze, Absätze sowie den gesamten Text auswählen (markieren) * Text bearbeiten: einfügen, löschen, überschreiben * Den einfachen '''Suchen-Befehl''' verwenden, um ein Wort oder einen Ausdruck zu finden * Den einfachen '''Ersetzen-Befehl''' verwenden, um ein Wort oder einen Ausdruck zu ersetzen * Text ** innerhalb eines Dokuments oder ** zwischen verschiedenen Dokumenten kopieren oder verschieben * Text gezielt löschen * Die Befehle '''Rückgängig''' und '''Wiederherstellen''' anwenden </div> == Übungen == # Fügen Sie folgenden grauen Text in ein leeres Word-Dokument ein (Einfügeoption: "Nur den Text übernehmen"): <span style="color:gray;"><span style="font-size:85%;">ETHIK DER KÜNSTLICHEN INTELLIGENZ Künstliche Intelligenz wirft eine Reihe dringender ethischer Fragen auf. 1 URHEBERRECHT UND GEISTIGES EIGENTUM Ein zentrales Problem betrifft das Urheberrecht und das geistige Eigentum. KI-Systeme greifen auf große Mengen von Inhalten zurück, die ursprünglich von Menschen geschaffen wurden. Dadurch stellt sich die Frage, ob das geistige Eigentum der Urheber ohne Zustimmung oder ohne angemessene Vergütung genutzt wird. Viele Künstler, Fotografen und Autoren stellen fest, dass KI-generierte Inhalte auf ihren Werken basieren, ohne dass sie dafür Anerkennung oder Entlohnung erhalten. Bildgeneratoren wie DALL-E oder Stable Diffusion wurden mit riesigen Datensätzen trainiert, die Bilder aus dem Internet enthalten, häufig ohne ausdrückliche Genehmigung der Urheber. Im Jahr 2023 reichten mehrere Künstler, darunter Karla Ortiz und der Künstlerverband „Concept Art Association“, Klagen gegen Unternehmen wie Stability AI, Midjourney und DeviantArt ein. Sie argumentieren, dass ihre Werke ohne Lizenz für das Training von KI-Modellen verwendet wurden. Auch Getty Images verklagte im Januar 2023 Stability AI, weil Millionen von Bildern aus der Getty-Datenbank ohne Genehmigung genutzt worden sein sollen. Teilweise erschienen sogar Wasserzeichen von Getty in KI-generierten Bildern, was das Problem des unautorisierten Kopierens besonders deutlich machte. Ähnliche Fragen entstehen bei KI-Chatbots, die Texte generieren, denn diese Systeme wurden mit großen Mengen an Internettexten trainiert. Autoren, Journalisten und Wissenschaftler haben meist keine Kontrolle darüber, ob ihre Inhalte für solche Trainingszwecke verwendet werden. 2 UMWELTBELASTUNG UND ENERGIEVERBRAUCH Ein weiteres ethisches Problem betrifft die Umweltbelastung und den Energieverbrauch von KI. Große KI-Modelle benötigen enorme Rechenleistung und werden in riesigen Rechenzentren betrieben, etwa von Unternehmen wie OpenAI, Google oder Microsoft. Diese Anlagen verbrauchen große Mengen Strom und verursachen erhebliche CO₂-Emissionen. Studien zeigen, dass das Training eines großen Sprachmodells mehrere Tonnen CO₂ verursachen kann. Das Training von GPT-3 verbrauchte beispielsweise schätzungsweise etwa 1.287 Megawattstunden Strom und verursachte über 550 Tonnen CO₂. Das entspricht ungefähr den jährlichen Emissionen von rund 60 durchschnittlichen US-Amerikanern. Auch das Training von Googles Sprachmodell BERT benötigte rund 1.500 Megawattstunden Strom. Neben dem Energieverbrauch entsteht zusätzlich ein hoher Wasserbedarf für die Kühlung der Rechenzentren. Große Anlagen, etwa in den USA, benötigen enorme Mengen Wasser, was insbesondere in Regionen mit Wasserknappheit zunehmend kritisch diskutiert wird. Angesichts der Klimakrise wird deshalb immer häufiger gefordert, KI-Systeme energieeffizienter zu entwickeln. Das hilft schlussendlich uns allen. 3 UNSICHTBARE MENSCHLICHE ARBEIT Ein drittes Problem ist die unsichtbare menschliche Arbeit, die hinter vielen KI-Systemen steckt. Obwohl KI häufig als vollständig automatisiert dargestellt wird, sind viele Menschen an der Verwandlung und dem Betrieb dieser Systeme beteiligt. Unternehmen nutzen Plattformen wie Amazon Mechanical Turk, auf denen sogenannte Clickworker Daten kennzeichnen, Inhalte bewerten oder Bilder beschriften. Diese Arbeit wird häufig schlecht bezahlt und unter schwierigen Bedingungen ausgeführt. Viele Clickworker verdienen weniger als zwei US-Dollar pro Stunde. Ein großer Teil dieser Arbeit wird in Ländern wie Indien oder den Philippinen erledigt. Eine Studie der Universität Oxford aus dem Jahr 2021 zeigte, dass etwa 94 % der Clickworker außerhalb der USA arbeiten und häufig keinen ausreichenden arbeitsrechtlichen Schutz haben. Auch Content-Moderatoren sind ein wichtiger, aber oft unsichtbarer Teil der digitalen Infrastruktur. In Ländern wie Kenia oder den Philippinen überprüfen Moderatoren täglich große Mengen gewalttätiger oder verstörender Inhalte, damit Plattformen und KI-Systeme solche Inhalte erkennen und filtern können. Berichte zeigen, dass viele dieser Beschäftigten unter starken psychischen Belastungen leiden und nur begrenzte Unterstützung erhalten. 4 DIGITALE KLUFT UND GLOBALE UNGLEICHHEIT Auch die digitale Kluft und globale Ungleichheit spielen eine wichtige Rolle. Die Verwandlung moderner KI-Technologien konzentriert sich stark auf wenige Regionen der Welt, insbesondere Nordamerika, Europa und China. Viele Länder des globalen Südens verfügen nicht über die notwendige Infrastruktur, die Rechenleistung oder die finanziellen Mittel, um vergleichbare Technologien zu entwickeln. Während im Silicon Valley bereits mehr als 50 Milliarden US-Dollar in KI-Technologien investiert wurden, liegen die jährlichen Investitionen in die KI-Infrastruktur auf dem gesamten afrikanischen Kontinent bei weniger als 100 Millionen Dollar. Dadurch entsteht ein technologisches Ungleichgewicht. Ein Forschungsprojekt der Harvard Kennedy School zeigte 2022, dass KI-gestützte Landwirtschaft in den USA und China Erträge um bis zu 30 Prozent steigern kann. In vielen afrikanischen Ländern fehlen jedoch sowohl die notwendigen Daten als auch eine stabile Internetverbindung und ausreichende Rechenleistung, um solche Technologien einzusetzen. 5 DISKRIMINIERUNG UND ALGORITHMISCHE VERZERRUNGEN Ein weiteres ethisches Problem betrifft Diskriminierung und algorithmische Verzerrungen (Bias). KI-Systeme lernen aus vorhandenen Daten. Wenn diese Daten gesellschaftliche Vorurteile enthalten, können die Systeme diese Vorurteile übernehmen und verstärken. Ein bekanntes Beispiel ist ein automatisches Bewerbungssystem von Amazon, das zwischen 2014 und 2017 getestet wurde. Das System bevorzugte männliche Bewerber, weil die Trainingsdaten überwiegend aus früheren Bewerbungen von Männern bestanden. Dadurch wurden Frauen systematisch benachteiligt. Auch bei Gesichtserkennungssystemen wurden Probleme festgestellt. Studien des MIT Media Lab aus dem Jahr 2018 zeigten deutlich höhere Fehlerquoten bei Menschen mit dunkler Hautfarbe. Während die Fehlerquote bei Männern mit heller Haut unter einem Prozent lag, erreichte sie bei Frauen mit dunkler Haut über 35 %. Solche Fehler können schwerwiegende Folgen haben, etwa wenn Gesichtserkennung in polizeilichen Anwendungen eingesetzt wird. 6 AUTONOME WAFFENSYSTEME Besonders umstritten ist schließlich der Einsatz von KI in autonomen Waffensystemen. Moderne Drohnen können mithilfe von KI Ziele erkennen und verfolgen. Kritiker warnen davor, dass solche Systeme eigenständig Entscheidungen über Leben und Tod treffen könnten. Ein häufig diskutiertes Beispiel ist die türkische Kampfdrohne KARGU-2, die laut einem UN-Bericht 2021 im Bürgerkrieg in Libyen eingesetzt wurde. Der Bericht deutet darauf hin, dass diese Drohne möglicherweise autonom Ziele angegriffen hat, also ohne direkte menschliche Steuerung. Auch militärische Programme wie das Project Maven des US-Verteidigungsministeriums nutzen KI zur Analyse von Drohnenbildern und zur Zielerkennung. Experten warnen, dass autonome Waffensysteme Fehlentscheidungen treffen oder von Unbefugten gehackt werden könnten. Deshalb fordern viele Wissenschaftler und internationale Organisationen klare Regeln und internationale Abkommen, um den Einsatz solcher Technologien zu kontrollieren. FAZIT Diese Beispiele zeigen, dass künstliche Intelligenz nicht nur technische, sondern auch tiefgreifende ethische, soziale und politische Fragen aufwirft. Die Verwandlung und Nutzung von KI erfordert daher einen klaren ethischen und rechtlichen Rahmen, der Menschenrechte, soziale Gerechtigkeit und Umweltschutz in den Mittelpunkt stellt. Die Verwandlung und Nutzung von KI erfordert daher einen klaren ethischen und rechtlichen Rahmen, der Menschenrechte, soziale Gerechtigkeit und Umweltschutz in den Mittelpunkt stellt.</span></span> # Gliedern Sie den Text, indem Sie an fünfzehn sinnvollen Stellen die Enter-Taste drücken. # Ersetzen Sie ''30 Prozent'' durch ''30%''.<!--Bei Zahlen in Ziffern (wo sinnvoll, also zum Beispiel nicht bei Jahreszahlen!) muss % stehen (zum Beispiel 10 %), bei Zahlen in Worten muss ''Prozent'' (zum Beispiel zehn Prozent) stehen. '''Ersetzen''' Sie nach Zahlen in Ziffern das Wort ''Prozent'' durch das Prozentzeichen.--> # '''Verlinken''' Sie das Wort ''Getty'' im Abschnitt ''URHEBERRECHT UND GEISTIGES EIGENTUM'' mit der Website der https://www.gettyimages.com . Die Webadresse soll nicht sichtbar sein. # '''Suchen''' Sie das Wort ''schlussendlich''. Löschen Sie den Satz, der das Wort ''schlussendlich'' enthält. # Gehen Sie mit Hilfe eines Befehls zur Seite 2 und '''löschen''' Sie den letzten Satz, der sich wiederholt. (Start>Bearbeiten>Suchen>Gehe zu) # Ersetzen Sie im gesamten Dokument das Wort ''Verwandlung'' durch ''Entwicklung''. <!--# Ersetzen Sie den Satz vor dem Absatz ''URHEBERRECHT UND GEISTIGES EIGENTUM'' durch die Aufzählung, die Sie [[Kurs:K%C3%BCnstliche_Intelligenz_(Handelsdiplom)/Ethik#Ethik|hier finden (draufklicken)]].--> # Fügen Sie in der Fusszeile den Text ''Copyright: P. Sutermeister, Lizenz: CC BY-SA 4.0'' ein. # Entfernen Sie in der Fusszeile den Text ''Copyright:'' und geben Sie stattdessen das ©-Zeichen ein. [[Kategorie:Kurs:Textverarbeitung]] hvvrvhlhy4r3s21ksazzjt8slchx8pw 106 171930 1111747 1111745 2026-08-15T12:05:07Z ~2026-38385-59 41700 /* Auswertung des Volumenstroms */ 1111747 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet. Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt mathematisch negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom al positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ==== Noch zum Einarbeiten ==== <gallery> File:Druckentwicklung mit Fenster.gif|thumb|Animation Druckentwicklung </gallery> ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == * In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). r82u6k8h13ggetjuk3wc6vs0a3fm054 1111748 1111747 2026-08-15T12:05:32Z ~2026-38385-59 41700 /* Auswertung des Volumenstroms */ 1111748 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet. Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt mathematisch negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ==== Noch zum Einarbeiten ==== <gallery> File:Druckentwicklung mit Fenster.gif|thumb|Animation Druckentwicklung </gallery> ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == * In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 6sexepznkhks437ztitioe19x8yjepl 1111750 1111748 2026-08-15T12:51:09Z ~2026-38385-59 41700 /* Auswertung des Volumenstroms */ 1111750 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet. Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ==== Noch zum Einarbeiten ==== <gallery> File:Druckentwicklung mit Fenster.gif|thumb|Animation Druckentwicklung </gallery> ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == * In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 6xl231s3qhwsvzk2ds2oeg4j99wvrd8 1111751 1111750 2026-08-15T13:14:15Z Clara Schug 41691 /* Auswertung des Volumenstroms */ 1111751 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ==== Noch zum Einarbeiten ==== <gallery> File:Druckentwicklung mit Fenster.gif|thumb|Animation Druckentwicklung </gallery> ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == * In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 8hoewb3yrlkx91uepi50k8l64iny3c3 1111752 1111751 2026-08-15T13:29:25Z Clara Schug 41691 1111752 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ==== Noch zum Einarbeiten ==== <gallery> File:Druckentwicklung mit Fenster.gif|thumb|Animation Druckentwicklung </gallery> ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Beantwortung der Fragestellung == == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == * In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). t5p3o4b44ovfuct0exsiel88hkf8pxa 1111753 1111752 2026-08-15T13:31:06Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111753 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ==== Noch zum Einarbeiten ==== <gallery> File:Druckentwicklung mit Fenster.gif|thumb|Animation Druckentwicklung </gallery> ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Beantwortung der Fragestellung == == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). mk2i7aztqy0u19rpqy3lggm3l0wcbe1 1111754 1111753 2026-08-15T13:41:20Z Clara Schug 41691 /* Beantwortung der Fragestellung */ 1111754 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ==== Noch zum Einarbeiten ==== <gallery> File:Druckentwicklung mit Fenster.gif|thumb|Animation Druckentwicklung </gallery> ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch strömungsgebundenen Transport (Konvektion) und einen konzentrationsausgleichenden Prozess (Diffusion) aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: * In beiden Fällen ist die Aussetzung der passivrauchenden Person in diesem kurzen Zeitfenster sehr gering, da der Rauch die andere Person innerhalb von 5 Sekunden noch nicht erreicht. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Differenz ist jedoch sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 43bwp9xldknt6vbsh3ceb8bd8sg25s7 1111755 1111754 2026-08-15T13:42:25Z Clara Schug 41691 /* Noch zum Einarbeiten */ 1111755 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch strömungsgebundenen Transport (Konvektion) und einen konzentrationsausgleichenden Prozess (Diffusion) aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: * In beiden Fällen ist die Aussetzung der passivrauchenden Person in diesem kurzen Zeitfenster sehr gering, da der Rauch die andere Person innerhalb von 5 Sekunden noch nicht erreicht. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Differenz ist jedoch sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). msl60vas5hqb7vfjk681vc9q2sssgtd 1111772 1111755 2026-08-15T15:24:36Z ~2026-38385-59 41700 /* Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? */ 1111772 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: * In beiden Fällen ist die Aussetzung der passivrauchenden Person in diesem kurzen Zeitfenster sehr gering, da der Rauch die andere Person innerhalb von 5 Sekunden noch nicht erreicht. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Differenz ist jedoch sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3bs7511jhpgha5q4wk21avznh7w1bqb 1111773 1111772 2026-08-15T15:41:53Z Clara Schug 41691 /* Beantwortung der Fragestellung */ 1111773 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 1i84tv5q1m2u0ck43emxtz2ntcw9or7 1111774 1111773 2026-08-15T15:44:23Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111774 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Realistischere Personengeometrie und ggf. unterschiedliche Positionen von Personen * Hinzufügen von Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite * Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen == Fazit == ===Beantwortung der Fragestellung === ====Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?==== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ====Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?==== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 2ra5ua9s00djccfo85tycb1cwymf9kj 1111779 1111774 2026-08-15T15:57:25Z Clara Schug 41691 /* Diskussion */ 1111779 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Außerdem scheint es sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == ===Beantwortung der Fragestellung === ====Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?==== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ====Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?==== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). m083ek441a4dnckbv4gtbc90nvvkfze 1111781 1111779 2026-08-15T15:59:01Z Clara Schug 41691 /* Diskussion */ 1111781 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Außerdem scheint es sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == ===Beantwortung der Fragestellung === ====Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?==== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ====Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?==== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 8akoxj3h0j7e1qx1oxcdn80nnmqil35 1111784 1111781 2026-08-15T16:00:29Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111784 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Außerdem scheint es sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 030ntctdwc2rm1zse7vozzhgbi2o4nt 1111785 1111784 2026-08-15T16:01:13Z Clara Schug 41691 /* Diskussion */ 1111785 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Außerdem scheint es sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). iwybxr4mr1qkakho4k8lwkc62uh978h 1111787 1111785 2026-08-15T16:04:16Z Clara Schug 41691 /* Diskussion */ 1111787 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 2bkv3nr20esztockirkyzahjfi314hp 1111789 1111787 2026-08-15T16:11:26Z Clara Schug 41691 /* Literaturverzeichnis */ 1111789 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). gthlnns651tslua8c9dbz0ivwd497hi 1111790 1111789 2026-08-15T16:12:51Z Clara Schug 41691 /* Beantwortung der Fragestellung */ 1111790 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ncufoaopxnd0ngfho4fpxzhij396cg2 1111791 1111790 2026-08-15T16:15:32Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111791 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). go4n7mehiai68mz89wnr0letcnldnj8 1111792 1111791 2026-08-15T16:16:40Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111792 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 8ifacglb304i4jjg9rp0tz2ebrhjk1y 1111793 1111792 2026-08-15T16:18:05Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111793 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). a3up70ni03m9kpz54m44h4og5vaijf0 1111794 1111793 2026-08-15T16:20:59Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111794 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 8ptin1f93ci3z34lj8oyeilt5xaupt4 1111795 1111794 2026-08-15T16:25:41Z Clara Schug 41691 /* Fazit */ 1111795 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). nqymcygxnc6tc61fckiwqomsy6kqqd3 1111799 1111795 2026-08-15T16:38:07Z Clara Schug 41691 /* Vergleich der Modellierung 1 und 2 */ 1111799 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien ohne Fenster.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). pmfk8e8vw8e6u32afv0s17otg35kl9d 1111801 1111799 2026-08-15T16:40:04Z Clara Schug 41691 /* Vergleich der Modellierung 1 und 2 */ 1111801 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 29p40whmuumqtqi8oszaowi092wlx03 1111806 1111801 2026-08-15T16:50:41Z ~2026-38385-59 41700 /* Fazit */ 1111806 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. Volumenstrom auch bei kompressiblem Fluid sinnvoll? === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ps9eexvegyc7wpglsp6my0fakpc6bit 1111808 1111806 2026-08-15T16:52:16Z ~2026-38385-59 41700 /* Auswertung des Volumenstroms */ 1111808 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ni9up6a21uww6tsosz9p4wb5klw0b97 1111820 1111808 2026-08-15T17:27:18Z Clara Schug 41691 /* Diskussion */ 1111820 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). bitd0yon67s9dek83utkffh6o3i9h01 1111821 1111820 2026-08-15T17:30:19Z Clara Schug 41691 1111821 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). rzcujev425d2wny7d797ox3zpeqlmif 1111822 1111821 2026-08-15T17:31:43Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1111822 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von 0,0355m, also 3,55 cm. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). jhjpl7wion04iesfnnsxz8jg0cno8a9 1111823 1111822 2026-08-15T17:32:39Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1111823 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von 0,0355m, also 3,55 cm. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 8g33o6qh3qnx0r14i9f6f55r2exrt03 1111824 1111823 2026-08-15T17:32:58Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1111824 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 71g0ohn5jxj5es60jh0pl2h70wsjk5x 1111825 1111824 2026-08-15T17:33:40Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1111825 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3xj8cbdicna94zig7mbbpdfd8y8jvvj 1111826 1111825 2026-08-15T17:37:38Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1111826 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 627llcfnduvqz671c2mdbtm2565tpoi 1111827 1111826 2026-08-15T17:38:23Z Clara Schug 41691 Änderung [[Special:Diff/1111826|1111826]] von [[Special:Contributions/Clara Schug|Clara Schug]] ([[User talk:Clara Schug|Diskussion]]) rückgängig gemacht. 1111827 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3xj8cbdicna94zig7mbbpdfd8y8jvvj 1111828 1111827 2026-08-15T17:41:57Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1111828 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. Für unsere Modellierung wird die Reynolds-Zahl nun bestimmt: Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\mu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\mu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). q49lf2g18v8zzlilhuyfvm5en2tk7go 1111829 1111828 2026-08-15T17:42:23Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1111829 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. Für unsere Modellierung wird die Reynolds-Zahl nun bestimmt: Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ac8bhq7ex77ua3ndqo06927nf8qr1on 1111832 1111829 2026-08-15T17:49:10Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1111832 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. Für unsere Modellierung wird die Reynolds-Zahl nun bestimmt: Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Hierbei wurde für die Geschwindigkeit der Höchstwert eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mir einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 5mbpj8lmign2bzp364cg56v7u0f1tia 1111833 1111832 2026-08-15T17:49:42Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1111833 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. Für unsere Modellierung wird die Reynolds-Zahl nun bestimmt: Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Hierbei wurde für die Geschwindigkeit der Höchstwert eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mir einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{v}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 0ayzz16gb9s9jeobmwkh6j6tcq0iz2p 1111834 1111833 2026-08-15T17:50:34Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1111834 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>.Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3xj8cbdicna94zig7mbbpdfd8y8jvvj 1111836 1111834 2026-08-15T17:52:51Z Clara Schug 41691 /* Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum */ 1111836 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 2vgv91vhr3vy4mzr9c7ao7n7jc5c6gt 1111838 1111836 2026-08-15T17:57:24Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1111838 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Nach der Reynolds-Zahl wäre die turbulente Strömung allerdings passender. Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). rlggdx5ybyfsqafdputiftxnqm3t5oa 1111839 1111838 2026-08-15T17:58:02Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1111839 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Nach der Reynolds-Zahl wäre die turbulente Strömung allerdings passender. Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Nach der Reynolds-Zahl wäre die turbulente Strömung allerdings passender. Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). eoeflqpcsaqkxwb373kgajvqvuerjwt 1111840 1111839 2026-08-15T17:58:57Z Clara Schug 41691 /* Konvektions-Diffusions-Gleichung */ 1111840 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Nach der Reynolds-Zahl wäre die turbulente Strömung allerdings passender. Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Nach der Reynolds-Zahl wäre die turbulente Strömung allerdings passender. Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). dy0iwv4vituzrg7ithj8m7qd4pixr3w 1111841 1111840 2026-08-15T17:59:39Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1111841 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Nach der Reynolds-Zahl wäre die turbulente Strömung allerdings passender. Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). pn0cimdqfsbikz9zum2qg4vumgf27yn 1111843 1111841 2026-08-15T17:59:54Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1111843 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 55476e7leslsbju0goj8s8rpftsbyp4 1111844 1111843 2026-08-15T18:15:51Z ~2026-44663-93 41823 /* Laminare Strömung */ 1111844 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). eegkaa42e4htp33k2wzv4m1ql90waz3 1111845 1111844 2026-08-15T18:16:26Z ~2026-44663-93 41823 /* Laminare Strömung */ 1111845 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die mittlere Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 1pk3iuomdpufkjmezzwla3kmm0oxel7 1111846 1111845 2026-08-15T18:17:10Z ~2026-44663-93 41823 /* Konzentration des Rauches bei Passivraucher */ 1111846 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 7b3xracp4rd1gz2w0daurln2cyeu32f 1111847 1111846 2026-08-15T18:19:15Z ~2026-44663-93 41823 /* Konzentration des Rauches bei Passivraucher */ 1111847 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passivrauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). pxrda1b7mjs6byrwxuycng3sdorsba3 1111848 1111847 2026-08-15T18:20:02Z ~2026-44663-93 41823 /* Auswertung des Volumenstroms */ 1111848 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passivrauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom den Passivraucher allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3y98ma1shxjv70usufzy272l8mb8q3w 1111849 1111848 2026-08-15T18:21:20Z ~2026-44663-93 41823 /* Konzentration des Rauches bei Passivraucher */ 1111849 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passivrauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). q96yiyboo2sb187lk330je1wq5cemh4 1111850 1111849 2026-08-15T18:21:54Z ~2026-44663-93 41823 /* Konzentration des Rauches bei Passivraucher */ 1111850 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine noch keine nennenswerte Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 5iajpy5z3gpsspfwmpmeugxem4pai0i 1111851 1111850 2026-08-15T18:22:40Z ~2026-44663-93 41823 /* Auswertung des Volumenstroms */ 1111851 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passiv rauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass Konzentration nimmt entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe des Rauchers, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). pmx9mmva0lcucttkvk0j7abdrn83ony 1111852 1111851 2026-08-15T18:24:26Z ~2026-44663-93 41823 /* Vergleich der Modellierung 1 und 2 */ 1111852 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passiv rauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass die Konzentration entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe der rauchenden Person, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen beim Passivraucher messen. * Die mittlere Rauchkonzentration beim Passivraucher ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung des Passivrauchers innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). fg97ts09y8ohkyc9xizr7s6qp5rp9rt 1111853 1111852 2026-08-15T18:26:00Z ~2026-44663-93 41823 /* Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? */ 1111853 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passiv rauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass die Konzentration entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe der rauchenden Person, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen bei der passiv rauchenden Person messen. * Die mittlere Rauchkonzentration bei der passiv rauchenden Person ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung der passiv rauchenden Person innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung des Passivrauchers erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Die gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. In der Folge umfasst die Simulation eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). afh9jt4y3i0vi03m9slkfpys6j6qy5p 1111854 1111853 2026-08-15T18:28:14Z ~2026-44663-93 41823 /* Fazit */ 1111854 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passiv rauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass die Konzentration entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe der rauchenden Person, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen bei der passiv rauchenden Person messen. * Die mittlere Rauchkonzentration bei der passiv rauchenden Person ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung der passiv rauchenden Person innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren allerdings so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung der passiv rauchenden Person mit Zigarettenrauch erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Eine gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. Diese Simulation umfasst eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 4mdc4hrgky0d2zz625e51kaccnuoks4 1111855 1111854 2026-08-15T18:29:07Z ~2026-44663-93 41823 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1111855 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden. In Anlehnung an das Buch Physik Formelsammlung von Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 174) lautet die Formel für den konvektiven Stofftransport (Konvektions-Diffusions-Gleichung mit chemischer Reaktion): <math> \mathit \frac{\partial c}{\partial t} = \underbrace{D \frac{\partial^2 c}{\partial s^2}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{u \frac{\partial c}{\partial s}}_{\text{Konvektion}} + \underbrace{r}_{\text{chemische Reaktion}}</math> Diffusion bedeutet dabei der selbstständige Ausgleich von Konzentrationsunterschieden im Fluid. Das bedeutet, dass sich Teilchen von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration bewegen. Konvektion ist der strömungsgebundene Transport von Stoffen, Wärme oder anderer physikalischer Größen in Fluiden. Konvektion als "(Wärmeströmung) ist gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport durch eine freie oder erzwungene Strömung 'von heiß nach kalt'" (Kurzweil, Frenzel & Gebhard 2024: 162). Beide Prozesse laufen bei der Modellierung der Ausbreitung von Zigarettenrauch in der Luft zeitgleich ab. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passiv rauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass die Konzentration entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe der rauchenden Person, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen bei der passiv rauchenden Person messen. * Die mittlere Rauchkonzentration bei der passiv rauchenden Person ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung der passiv rauchenden Person innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Hierzu lässt sich festhalten, dass sich der Rauch durch Konvektion und Diffusion ausbreitet und gezeigt werden konnte, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren allerdings so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung der passiv rauchenden Person mit Zigarettenrauch erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Eine gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. Diese Simulation umfasst eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 43errus262qrkwr780x73htsmolemua 2 172575 1111757 1111746 2026-08-15T14:29:58Z Bocardodarapti 2041 1111757 wikitext text/x-wiki Bemerkungen zu Test von Rockettutor am 15.8.26. Vorbemerkung: dies ist keine Gesamtbewertung des Konzeptes. Mir fällt aber schon im Detail eine Vielzahl von mathematischen Fehlern, Schwächen, Fragwürdigkeiten auf. Symmetrie von Potenzfunktionen: im Lernvideo wird bei Punktspiegelung gesagt: Drehung um Grad (also ohne 180) Testen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt. Beispiel, ob (4,1231) auf (1-x)^6 liegt, wird meine Lösung {{ Relationskette/display | (-3)^6 || (-27) \cdot (-27) |< | 1000 |<| 1231 || |SZ=, }} also nicht, angemahnt, dass es besser wäre, {{math|term= 27 \cdot 27 = 729 |SZ=}} auszurechnen. Das wäre bei knappen Ergebnissen sinnvoll, aber nicht wie im Beispiel, wo man mit einer groben Abschätzung direkt zum Ziel kommt. Hinführung zur Ableitung: Video 1 (Mittlere Änderungsrate) Video: es wird gesagt, eine Sekante sei eine Gerade, die einen Graphen zweimal trifft. Das ist so falsch, eine Sekante kann einen Graphen mehrfach treffen. Das hat die KI-Sophia auch bestätigt und als falsch eingeräumt. Was auch nicht klar gemacht wird, dass man mit zwei Punkten auf dem Graphen startet und es hierzu eine Sekante gibt. Mittlere Änderungsrate, zweites Beispiel (Video, ca 7:10): völlig falsch, der Graph hat bei -2 den Wert 1 und bei 0 den Wert 3. In der Lösung wird sowohl gesagt als auch eingezeichnet, dass an -2 der Wert 4 und an 0 der Wert 2 vorliegt. Sophia hat das falsche Ergebnis verteidigt (vielleicht kennt sie die Funktionsvorschrift, aber nicht den Graphen). Beispiel 2 in den Folien passt zu den Ergebnissen, da kam wohl der Fehler im Video her. Übergang zum rechnerischen bestimmen 7:57 der Satz bricht spontan ab. Es springt zu einem Beispiel. Zielmlich unsystematisch, ob der Funktionswert in einer einzigen Gleichungskette {{math|term= f(x) =....=y |SZ=}} oder ob öfters neu {{math|term= f(x)= , ... , f(x)= |SZ=}} angesetzt wird (z:B. 9:44). Aufgabentyp 4: Problematische Formulierung, dass die Formel {{ Math/display|term= m = {{op:Bruch| f (x_2) -f(x_1) |x_2-x_1}} |SZ= }} nach jeder Variablen umgestellt werden kann. Bei gegebenem {{math|term= f, m,x_1 |SZ=}} kann man das im Normalfall aber nicht nach {{math|term= x_2 |SZ=}} umstellen; und {{mathl|term= f(x_2) |SZ=}} ist keine Variable. Gemeint ist, und so wird auch weiterargumentiert, dass wenn im Zähler {{mathl|term= y_2-y_1 |SZ=}} steht, man dann auflösen kann. Zusammenfassung (12:57) ''Grafisch ist das die Steigung der Sekante durch die beiden Intervallpunkte'' aüßerst fragwürdig, durch die Punkte des Graphen zu den beiden Intervallpunkten (eher Grenzen). Video 2 (Potenzregel der Ableitungsfunktion) das nächste Video im Bereich geht dann direkt zur Ableitungsregel für Potenzfunktionen. Auf die Frage {{Anführung|wo wird die Ableitung konzeptionell erklärt ?|}} antwortet Sophia mit {{Anführung|Konzeptionell wird die Ableitung vor allem hier erklärt: Schritt 0: Motivation – „Ableitungen mit der Potenzregel berechnen“ Dort steht die Grundidee: Die Ableitung ist wie ein genauer Tacho für Veränderung. Schritt 2: Erklärung – „Aufgabentyp 1: Ableiten mit der Potenzregel“ Dort wird dann erklärt, was eine Ableitung ist und wie die Potenzregel dazu passt. Wenn du willst, kann ich dir genau diesen Konzept-Teil in ganz einfachen Worten zusammenfassen.}} Es scheint also keinen Abschnitt zu geben, wo der Übergang von der mittleren Änderungsrate zur Ableitung durchgeführt wird (siehe aber unten). 2:12 Aussprache: eins(!) Fünftel für {{math|term= {{op:Bruch|1|5}} |SZ=}} 3:44 (ebenso 4:15, und öfters, auch im Vollbild, auch total verdeckte Zeile (in Folien da)). Die letzte Gleichung ist nur halb zu sehen (wird vom Zeitbalken überdeckt). Es fehlt die Erwähnung der Spezialfälle lineare Funktion {{math|term= x^1 |SZ=}} und {{math|term= x^0 |SZ=.}} Video 3 (Ableitung von Sinus und Kosinus) im Vorwissen wird auf (konstanter) Faktorregel und Ableitung linearer Funktionen. In dieser Videoserie nicht vorhanden. Sonst wo? AUf meine Frage, {{Anführung|ob es dazu ein eigenes Video gibt?}}, antwortet Sophia: {{Anführung|In dem Ausschnitt hier sehe ich kein eigenes Video zur Faktorregel. Sie wird nur im Abschnitt „Vorwissen“ kurz im Text erklärt und später in den Beispielen benutzt. Wenn es in deiner Oberfläche noch ein extra Video gibt, ist das hier jedenfalls nicht mit enthalten.}} Für eine KI typisch hat sie also kein Wissen über den Gesamtinhalt von Rockettutor! Was für eine Lernplattform bedauerlich ist. Die im Vorwissen erwähnte Summenregel kommt nicht vor (im Text wohl ja, sagt Sophia, gesteht die Lücke ein (kennt aber nicht wirklich das Video!)). Hohe Ableitungen (Division durch 4 mit Rest) zu stark betont. Über die Suchfunktion: Abschnitt Momentane Änderungsrate gefunden. Dort steht auch Video abspielen, es gibt aber kein Video, nur Folien dazu. Dort wird erklärt, wie aus der mittleren Änderungsrate zu zunehmend kleineren Intervallen die momentane Änderung wird - für Schule akzeptabel. Video: Berechnen von Vektoren. Es werden wieder Abschnitte überdeckt. Parallelgramm: die Rollen der Punkte A,B,C,D sind willkürlich (wohl gegen der Uhrzeigersinn zu verstehen, kein Problembewußtsein für die Notation). Video: Vektorrechenregeln. Im Video keine Raumdarstellung, Tiefe fehlt! Wechsel zwischen Zeilenvektor und Spaltenvektor, verschiedene Trennzeichen im Zeilenvektor, Punkt mit Koordinaten und Gleich-Schreibweise. (5:32 und öfters) Nebenrechnung zwischen Vektorgleichung reingequetscht. (7:26) Überlagernde Platzaufteilung. (7:32) Falsche Umrahmung. Video:Lage von Geraden im Koordinatensystem (1:23) falsche Umrahmung. (2:06) falsch: {{math|term= x_1,x_2 |SZ=}} als Boden passt nicht zur Skizze. Keine dreidimensionale Realisierung! Wäre wichtiger als die Interpretation der Nullen (was hübsch ist, aber ja ehere eine Ausnahmesituation). Richtungsvektor als Kompass ist dreidimensional nicht wirklich passend. Generell: Motivation mit Google und Computerspiele wird überstrapaziert, zumal darauf nie zurückgekommen wird. Pseudoanwendung. Navigation m.E. nicht sehr intuitiv, das kann aber an mir liegen und mit etwas Arbeit am System anders aussehen. 2uuc7anr8hgidni53bawykh1lerpo7a 1111758 1111757 2026-08-15T14:55:59Z Bocardodarapti 2041 1111758 wikitext text/x-wiki Bemerkungen zu Test von Rockettutor am 15.8.26. Vorbemerkung: dies ist keine Gesamtbewertung des Konzeptes. Mir fällt aber schon im Detail eine Vielzahl von mathematischen Fehlern, Schwächen, Fragwürdigkeiten auf. Symmetrie von Potenzfunktionen: im Lernvideo wird bei Punktspiegelung gesagt: Drehung um Grad (also ohne 180) Testen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt. Beispiel, ob (4,1231) auf (1-x)^6 liegt, wird meine Lösung {{ Relationskette/display | (-3)^6 || (-27) \cdot (-27) |< | 1000 |<| 1231 || |SZ=, }} also nicht, angemahnt, dass es besser wäre, {{math|term= 27 \cdot 27 = 729 |SZ=}} auszurechnen. Das wäre bei knappen Ergebnissen sinnvoll, aber nicht wie im Beispiel, wo man mit einer groben Abschätzung direkt zum Ziel kommt. Hinführung zur Ableitung: Video 1 (Mittlere Änderungsrate) Video: es wird gesagt, eine Sekante sei eine Gerade, die einen Graphen zweimal trifft. Das ist so falsch, eine Sekante kann einen Graphen mehrfach treffen. Das hat die KI-Sophia auch bestätigt und als falsch eingeräumt. Was auch nicht klar gemacht wird, dass man mit zwei Punkten auf dem Graphen startet und es hierzu eine Sekante gibt. Mittlere Änderungsrate, zweites Beispiel (Video, ca 7:10): völlig falsch, der Graph hat bei -2 den Wert 1 und bei 0 den Wert 3. In der Lösung wird sowohl gesagt als auch eingezeichnet, dass an -2 der Wert 4 und an 0 der Wert 2 vorliegt. Sophia hat das falsche Ergebnis verteidigt (vielleicht kennt sie die Funktionsvorschrift, aber nicht den Graphen). Beispiel 2 in den Folien passt zu den Ergebnissen, da kam wohl der Fehler im Video her. Übergang zum rechnerischen bestimmen 7:57 der Satz bricht spontan ab. Es springt zu einem Beispiel. Zielmlich unsystematisch, ob der Funktionswert in einer einzigen Gleichungskette {{math|term= f(x) =....=y |SZ=}} oder ob öfters neu {{math|term= f(x)= , ... , f(x)= |SZ=}} angesetzt wird (z:B. 9:44). Aufgabentyp 4: Problematische Formulierung, dass die Formel {{ Math/display|term= m = {{op:Bruch| f (x_2) -f(x_1) |x_2-x_1}} |SZ= }} nach jeder Variablen umgestellt werden kann. Bei gegebenem {{math|term= f, m,x_1 |SZ=}} kann man das im Normalfall aber nicht nach {{math|term= x_2 |SZ=}} umstellen; und {{mathl|term= f(x_2) |SZ=}} ist keine Variable. Gemeint ist, und so wird auch weiterargumentiert, dass wenn im Zähler {{mathl|term= y_2-y_1 |SZ=}} steht, man dann auflösen kann. Zusammenfassung (12:57) ''Grafisch ist das die Steigung der Sekante durch die beiden Intervallpunkte'' aüßerst fragwürdig, durch die Punkte des Graphen zu den beiden Intervallpunkten (eher Grenzen). Video 2 (Potenzregel der Ableitungsfunktion) das nächste Video im Bereich geht dann direkt zur Ableitungsregel für Potenzfunktionen. Auf die Frage {{Anführung|wo wird die Ableitung konzeptionell erklärt ?|}} antwortet Sophia mit {{Anführung|Konzeptionell wird die Ableitung vor allem hier erklärt: Schritt 0: Motivation – „Ableitungen mit der Potenzregel berechnen“ Dort steht die Grundidee: Die Ableitung ist wie ein genauer Tacho für Veränderung. Schritt 2: Erklärung – „Aufgabentyp 1: Ableiten mit der Potenzregel“ Dort wird dann erklärt, was eine Ableitung ist und wie die Potenzregel dazu passt. Wenn du willst, kann ich dir genau diesen Konzept-Teil in ganz einfachen Worten zusammenfassen.}} Es scheint also keinen Abschnitt zu geben, wo der Übergang von der mittleren Änderungsrate zur Ableitung durchgeführt wird (siehe aber unten). 2:12 Aussprache: eins(!) Fünftel für {{math|term= {{op:Bruch|1|5}} |SZ=}} 3:44 (ebenso 4:15, und öfters, auch im Vollbild, auch total verdeckte Zeile (in Folien da)). Die letzte Gleichung ist nur halb zu sehen (wird vom Zeitbalken überdeckt). Es fehlt die Erwähnung der Spezialfälle lineare Funktion {{math|term= x^1 |SZ=}} und {{math|term= x^0 |SZ=.}} Video 3 (Ableitung von Sinus und Kosinus) im Vorwissen wird auf (konstanter) Faktorregel und Ableitung linearer Funktionen. In dieser Videoserie nicht vorhanden. Sonst wo? AUf meine Frage, {{Anführung|ob es dazu ein eigenes Video gibt?}}, antwortet Sophia: {{Anführung|In dem Ausschnitt hier sehe ich kein eigenes Video zur Faktorregel. Sie wird nur im Abschnitt „Vorwissen“ kurz im Text erklärt und später in den Beispielen benutzt. Wenn es in deiner Oberfläche noch ein extra Video gibt, ist das hier jedenfalls nicht mit enthalten.}} Für eine KI typisch hat sie also kein Wissen über den Gesamtinhalt von Rockettutor! Was für eine Lernplattform bedauerlich ist. Die im Vorwissen erwähnte Summenregel kommt nicht vor (im Text wohl ja, sagt Sophia, gesteht die Lücke ein (kennt aber nicht wirklich das Video!)). Hohe Ableitungen (Division durch 4 mit Rest) zu stark betont. Über die Suchfunktion: Abschnitt Momentane Änderungsrate gefunden. Dort steht auch Video abspielen, es gibt aber kein Video, nur Folien dazu. Dort wird erklärt, wie aus der mittleren Änderungsrate zu zunehmend kleineren Intervallen die momentane Änderung wird - für Schule akzeptabel. Video: Berechnen von Vektoren. Es werden wieder Abschnitte überdeckt. Parallelgramm: die Rollen der Punkte A,B,C,D sind willkürlich (wohl gegen der Uhrzeigersinn zu verstehen, kein Problembewußtsein für die Notation). Video: Vektorrechenregeln. Im Video keine Raumdarstellung, Tiefe fehlt! Wechsel zwischen Zeilenvektor und Spaltenvektor, verschiedene Trennzeichen im Zeilenvektor, Punkt mit Koordinaten und Gleich-Schreibweise. (5:32 und öfters) Nebenrechnung zwischen Vektorgleichung reingequetscht. (7:26) Überlagernde Platzaufteilung. (7:32) Falsche Umrahmung. Video:Lage von Geraden im Koordinatensystem (1:23) falsche Umrahmung. (2:06) falsch: {{math|term= x_1,x_2 |SZ=}} als Boden passt nicht zur Skizze. Keine dreidimensionale Realisierung! Wäre wichtiger als die Interpretation der Nullen (was hübsch ist, aber ja ehere eine Ausnahmesituation). Richtungsvektor als Kompass ist dreidimensional nicht wirklich passend. Generell: Motivation mit Google und Computerspiele wird überstrapaziert, zumal darauf nie zurückgekommen wird. Pseudoanwendung. Navigation m.E. nicht sehr intuitiv, das kann aber an mir liegen und mit etwas Arbeit am System anders aussehen. Mit Hauptseite, Meine Themen, dann Alle Themen geht es. 3lwj6dzmm60u34ozaboz8ikw7tn5957 106 172576 1111856 2026-08-16T07:28:27Z Methodios 23484 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111856 wikitext text/x-wiki ===Ereignisse=== * [[Wikipedia:de:Vratislav I.|Vratislav I.]] stirbt. Die böhmische Stammesversammlung, darunter wahrscheinlich auch die Vertreter Nisans, erhebt [[Wikipedia:de:Wenzel von Böhmen|Wenzel]] zum Fürsten und dessen Mutter [[Wikipedia:de:Drahomíra|Drahomíra]] zur Regentin. Dieselbe Versammlung überträgt zum Ausgleich die Erziehung Wenzels und seines Bruders Boleslav auf [[Ludmilla von Böhmen]]. Daraufhin läßt Drahomíra Ludmilla von ihren Gefolgsleuten ermorden. * Als sich der Bayernherzog [[Wikipedia:de:Arnulf I. (Bayern)|Arnulf der Böse]] mit dem deutschen [[König Heinrich I.]] verständigt, läßt Drahomíra alle bayrischen Priester und Missionare aus Böhmen und damit wahrscheinlich auch aus Nisan ausweisen. Der Tributvertrag mit Bayern wird beendet. ===Geboren=== * ... ===Gestorben=== * [[15. September]]: [[Ludmilla von Böhmen]] * [[Wikipedia:de:Vratislav I.|Vratislav I.]], Herzog von Böhmen tiiv2edecs79jlbr1v1u990eghngx3k 106 172577 1111857 2026-08-16T07:30:26Z Methodios 23484 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111857 wikitext text/x-wiki ===Ereignisse=== * [[Wikipedia:de:Arnulf I. (Bayern)|Arnulf der Böse]] überfällt wegen des ausbleibenden Tributes (und der Ausweisung der bayerischen Geistlichen) Böhmen. Zu seiner Abwehr muß sich wahrscheinlich auch Nisan wieder am böhmischen Heerbann beteiligen. ===Geboren=== * ... ===Gestorben=== * ... 5o1ynjlgo26z5ukfz2ul2vgrmw8op3l 106 172578 1111858 2026-08-16T07:54:58Z Methodios 23484 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111858 wikitext text/x-wiki Heinrich I. - RI II,1 n. 10a 923 ..., trans Rhenum Zug nach Lothringen. K. Robert fällt am 15. iuni bei Soissons in siegreichem kampf gegen Karl, welcher ihn mit lothringischen truppen (die bundesgenossenschaft Heinrichs erst in späteren französischen quellen, verzeichnet bei Waitz Heinrich I. 3 70.229, dazu auch Rodulfi Glabri Hist. I, 2. M. G. SS. 7,53) überfallen hatte, die Lothringer verlassen Karl, herzog Rudolf von Burgund wird zum nachfolger Roberts gewählt (iuli 13), Karl bald darauf von graf Heribert gefangen genommen (Flucht Ludwigs, des sohnes Karls, nach Deutschland meldet fälschlich Rodulfus Glaber Hist. I, 1). Rudolf kommt nach besuch Burgunds, und der Normandie auch nach Lothringen, wird dort von der grosszahl (a plurimis) als könig anerkannt, namentlich auch von b. Witgar von Metz, auf dessen bitten er den ganzen herbst Zabern im Elsass belagert und die feste, da die deutsche besatzung vergeblich von Heinrich hilfe erwartet, einnimmt. Während Rudolf wieder gegen die Normannen reitet, unternimmt Heinrich (der dem falle k. Karls nur ein platonisches bedauern entgegen gebracht hatte, Wid. I.30) auf aufforderung herzog Giselberts und des erzbischofs Rotgar von Trier (so auch Cont. Reginonis 923) einen zug nach Lothringen, verwüstet das gebiet zwischen Rhein und Mosel. Flodoardi Ann. 923. Der zug ist bei Flodoard, auf dessen reihenfolge hier schon meistens verlass ist, in pragmatischem zusammenhang zu ende des iahres erzählt. Widukind berichtet I,33 nach dem Ungarneinfall von 924, aber in einem einschiebsel (Köpke Otton.Stud. 1,21), dass k. Karl Heinrichs hilfe durch reliquien des h. Desiderius zu erlangen suchte, gibt aber das resultat dieser bitte nicht an; nach c. 30 hat H. keineswegs diesen zug um Karls willen unternommen, W. spricht aber auch c. 33 nur von einem solchen zug über den Rhein, der recht wol iener von 925 sein könnte, wo gerade der graf Heribert die versöhnung Giselberts mit k. Rudolf herbeigeführt hatte (vgl. no 12a). Dass Karl für seine befreiung Lothringen anbot und Heinrich ihn wirklich befreite, wissen erst quellen des XI. iahrh. Thietmar I,23 (13) sonst im anschlusse an Widukind, Dudonis Hist. M. G. SS. 4,99, vgl.Waitz Heinrich I. 3 70. RI II,1 n. 10a, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_1_0_2_1_1_36_10a (Abgerufen am 16.08.2026). iql1990ocikris1lj3obmpt8a3k2vyb 1111859 1111858 2026-08-16T08:01:18Z Methodios 23484 1111859 wikitext text/x-wiki Heinrich I. - RI II,1 n. 10a 923 ..., trans Rhenum Zug nach Lothringen. K. Robert fällt am 15. iuni bei Soissons in siegreichem kampf gegen Karl, welcher ihn mit lothringischen truppen (die bundesgenossenschaft Heinrichs erst in späteren französischen quellen, verzeichnet bei Waitz Heinrich I. 3 70.229, dazu auch Rodulfi Glabri Hist. I, 2. M. G. SS. 7,53) überfallen hatte, die Lothringer verlassen Karl, herzog Rudolf von Burgund wird zum nachfolger Roberts gewählt (iuli 13), Karl bald darauf von graf Heribert gefangen genommen (Flucht Ludwigs, des sohnes Karls, nach Deutschland meldet fälschlich Rodulfus Glaber Hist. I, 1). Rudolf kommt nach besuch Burgunds, und der Normandie auch nach Lothringen, wird dort von der grosszahl (a plurimis) als könig anerkannt, namentlich auch von b. Witgar von Metz, auf dessen bitten er den ganzen herbst Zabern im Elsass belagert und die feste, da die deutsche besatzung vergeblich von Heinrich hilfe erwartet, einnimmt. Während Rudolf wieder gegen die Normannen reitet, unternimmt Heinrich (der dem falle k. Karls nur ein platonisches bedauern entgegen gebracht hatte, Wid. I.30) auf aufforderung herzog Giselberts und des erzbischofs Rotgar von Trier (so auch Cont. Reginonis 923) einen zug nach Lothringen, verwüstet das gebiet zwischen Rhein und Mosel. Flodoardi Ann. 923. Der zug ist bei Flodoard, auf dessen reihenfolge hier schon meistens verlass ist, in pragmatischem zusammenhang zu ende des iahres erzählt. Widukind berichtet I,33 nach dem Ungarneinfall von 924, aber in einem einschiebsel (Köpke Otton.Stud. 1,21), dass k. Karl Heinrichs hilfe durch reliquien des h. Desiderius zu erlangen suchte, gibt aber das resultat dieser bitte nicht an; nach c. 30 hat H. keineswegs diesen zug um Karls willen unternommen, W. spricht aber auch c. 33 nur von einem solchen zug über den Rhein, der recht wol iener von 925 sein könnte, wo gerade der graf Heribert die versöhnung Giselberts mit k. Rudolf herbeigeführt hatte (vgl. no 12a). Dass Karl für seine befreiung Lothringen anbot und Heinrich ihn wirklich befreite, wissen erst quellen des XI. iahrh. Thietmar I,23 (13) sonst im anschlusse an Widukind, Dudonis Hist. M. G. SS. 4,99, vgl.Waitz Heinrich I. 3 70. RI II,1 n. 10a, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_1_0_2_1_1_36_10a (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 10b 923 ..., Mittensem urbem Belagerung der stadt Metz; in seiner begleitung sind herzog Giselbert und erzbischof Ruotger von Trier; bischof Wigricus muss sich nach langem widerstand ergeben (s.no 10a). Cont. Reginonis 923; auch Zabern kam wieder in die hände der Deutschen. Flodoardi Ann.; Heinricus ..., quosdam optimates de regno Lotharii sibi infideles spontaneos recepit, Ann. Prum. 923 M. G. SS. 15,1292. RI II,1 n. 10b, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_2_0_2_1_1_37_10b (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 10c 923 ..., .... Rückzug mit reicher beute vor dem in Francien und Burgund aufgebotenen heere Rudolfs, nachdem er den Lothringern waffenstillstand bis zum 1. okt. 924 gewährt hatte. Flodoardi Ann. 923. Das ergebniss des zuges war die vereinigung des östlichen Lothringens mit Deutschland. Die trierer urkunden und herzog Giselbert zählen von da an nach den regierungsiahren Heinrichs (Beyer Mittelrhein. UB. 1, 228‒235), die Ann. Colon. breves und Aqu. M. G. SS. 16,730; 24,36 setzen Heinrichs tronbesteigung in dieses iahr. Der erzbischof von Trier wird nun in den urkunden Heinrichs als erzkanzler genannt (zuerst no 20), die bedeutung des herzogs Giselbert zeigt die sagenhafte erzählung Widukinds I,30: per (Isilberhtum) solum totum Lotharii regnum se habiturum arbitratus est. Einen vollen erfolg verhinderte die militärische kraft k. Rudolfs, vgl. auch Widukind I,30: Iudicavitque (Heinricus) abstinere quidem ab armis, verum potius arte superaturos speravit Lotharios und dazu Simson in N. A. 15,574; später knüpfte man im westen den verlust Lothringens an den wechsel der dynastie in Frankreich, vgl. Iocundi transl. s. Servatii c. 24 M. G. SS. 12, 99. RI II,1 n. 10c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_1_1_38_10c (Abgerufen am 16.08.2026). 8h84t6jppxhcr7pedkkf8ms7j38ui0j 1111860 1111859 2026-08-16T08:08:17Z Methodios 23484 1111860 wikitext text/x-wiki ==Heinrich I. in Lothringen == Heinrich I. - RI II,1 n. 10a 923 ..., trans Rhenum Zug nach Lothringen. K. Robert fällt am 15. iuni bei Soissons in siegreichem kampf gegen Karl, welcher ihn mit lothringischen truppen (die bundesgenossenschaft Heinrichs erst in späteren französischen quellen, verzeichnet bei Waitz Heinrich I. 3 70.229, dazu auch Rodulfi Glabri Hist. I, 2. M. G. SS. 7,53) überfallen hatte, die Lothringer verlassen Karl, herzog Rudolf von Burgund wird zum nachfolger Roberts gewählt (iuli 13), Karl bald darauf von graf Heribert gefangen genommen (Flucht Ludwigs, des sohnes Karls, nach Deutschland meldet fälschlich Rodulfus Glaber Hist. I, 1). Rudolf kommt nach besuch Burgunds, und der Normandie auch nach Lothringen, wird dort von der grosszahl (a plurimis) als könig anerkannt, namentlich auch von b. Witgar von Metz, auf dessen bitten er den ganzen herbst Zabern im Elsass belagert und die feste, da die deutsche besatzung vergeblich von Heinrich hilfe erwartet, einnimmt. Während Rudolf wieder gegen die Normannen reitet, unternimmt Heinrich (der dem falle k. Karls nur ein platonisches bedauern entgegen gebracht hatte, Wid. I.30) auf aufforderung herzog Giselberts und des erzbischofs Rotgar von Trier (so auch Cont. Reginonis 923) einen zug nach Lothringen, verwüstet das gebiet zwischen Rhein und Mosel. Flodoardi Ann. 923. Der zug ist bei Flodoard, auf dessen reihenfolge hier schon meistens verlass ist, in pragmatischem zusammenhang zu ende des iahres erzählt. Widukind berichtet I,33 nach dem Ungarneinfall von 924, aber in einem einschiebsel (Köpke Otton.Stud. 1,21), dass k. Karl Heinrichs hilfe durch reliquien des h. Desiderius zu erlangen suchte, gibt aber das resultat dieser bitte nicht an; nach c. 30 hat H. keineswegs diesen zug um Karls willen unternommen, W. spricht aber auch c. 33 nur von einem solchen zug über den Rhein, der recht wol iener von 925 sein könnte, wo gerade der graf Heribert die versöhnung Giselberts mit k. Rudolf herbeigeführt hatte (vgl. no 12a). Dass Karl für seine befreiung Lothringen anbot und Heinrich ihn wirklich befreite, wissen erst quellen des XI. iahrh. Thietmar I,23 (13) sonst im anschlusse an Widukind, Dudonis Hist. M. G. SS. 4,99, vgl.Waitz Heinrich I. 3 70. RI II,1 n. 10a, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_1_0_2_1_1_36_10a (Abgerufen am 16.08.2026). ===Belagerung von Metz=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10b 923 ..., Mittensem urbem Belagerung der stadt Metz; in seiner begleitung sind herzog Giselbert und erzbischof Ruotger von Trier; bischof Wigricus muss sich nach langem widerstand ergeben (s.no 10a). Cont. Reginonis 923; auch Zabern kam wieder in die hände der Deutschen. Flodoardi Ann.; Heinricus ..., quosdam optimates de regno Lotharii sibi infideles spontaneos recepit, Ann. Prum. 923 M. G. SS. 15,1292. RI II,1 n. 10b, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_2_0_2_1_1_37_10b (Abgerufen am 16.08.2026). ===Rückzug=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10c 923 ..., .... Rückzug mit reicher beute vor dem in Francien und Burgund aufgebotenen heere Rudolfs, nachdem er den Lothringern waffenstillstand bis zum 1. okt. 924 gewährt hatte. Flodoardi Ann. 923. Das ergebniss des zuges war die vereinigung des östlichen Lothringens mit Deutschland. Die trierer urkunden und herzog Giselbert zählen von da an nach den regierungsiahren Heinrichs (Beyer Mittelrhein. UB. 1, 228‒235), die Ann. Colon. breves und Aqu. M. G. SS. 16,730; 24,36 setzen Heinrichs tronbesteigung in dieses iahr. Der erzbischof von Trier wird nun in den urkunden Heinrichs als erzkanzler genannt (zuerst no 20), die bedeutung des herzogs Giselbert zeigt die sagenhafte erzählung Widukinds I,30: per (Isilberhtum) solum totum Lotharii regnum se habiturum arbitratus est. Einen vollen erfolg verhinderte die militärische kraft k. Rudolfs, vgl. auch Widukind I,30: Iudicavitque (Heinricus) abstinere quidem ab armis, verum potius arte superaturos speravit Lotharios und dazu Simson in N. A. 15,574; später knüpfte man im westen den verlust Lothringens an den wechsel der dynastie in Frankreich, vgl. Iocundi transl. s. Servatii c. 24 M. G. SS. 12, 99. RI II,1 n. 10c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_1_1_38_10c (Abgerufen am 16.08.2026). == Papst Johannes X. sendet Legaten nach Byzanz - Streit um Bulgarien == Johannes X. - RI II,5 n. 66 (923 Anfang) Nach Bekanntwerden der Verwüstung des oströmischen Reiches durch die Bulgaren sendet der Papst (Johannes X.) die Bischöfe Theophylakt und Carus als Legaten nach Byzanz. Diese stellen durch förmliche Verdammung der Tetragamie die Einheit zwischen der römischen und der byzantinischen Kirche wieder her und überbringen ein Papstschreiben an den Patriarchen Nikolaos, worin dieser aufgefordert wird, nochmals dem Bulgarenherrscher Simeon zu schreiben und die Legaten zu diesem weiterzuleiten. An Simeon richtet sich ein anderes Papstschreiben, worin dieser zum Frieden gemahnt wird. Die Legaten haben den Auftrag, ihn zu exkommunizieren, falls er sich allen Mahnungen verschließe. Patriarch Nikolaos schickt zwar den Papstbrief samt einem Begleitschreiben an Simeon, hält aber die päpstlichen Legaten angeblich aus Furcht, es könne ihnen von den Bulgaren etwas angetan werden, in Konstantinopel zurück. Überlieferung Erw.: Brief Nikolaos' an Simeon (Jenkins-Westerink, Nicholas Letters 192 ff., vgl. auch 539 n. 28; Grumel-Darrouzès, Reg. II 269 n. 756). Reg.: ‒ Lit.: Hergenröther, Photius III 690 ff.; V. N. Zlatarski, Pismata na carigradskija patriarch Nikolaja Mistika do bălgarskija car' Simeona (Sbornik za narodni umotvorenija, nauka i knižnina 10/1894, 390 f. u. 12/1895, 183 f.); Srebrnić in Dissertationes 141 f. u. 149 f.; Runciman, Bulgarian Empire 168; Venni, Giovanni 98 ff.; Jugie, Le schisme byz. 163 ff.; Every, Byz. Patriarchate 141; Boojama, Eastern Schism 131; Zimmermann, Dunkle Jh. 58 f.; Beck, Gesch. d. orth. Kirche 123; Zimmermann, Spliter Konzilien 10 ff. Kommentar Daß der Papst bei dieser Gelegenheit auch die alten Ansprüche Roms auf Bulgarien geltend machen wollte und deswegen die Legaten an der Weiterreise durch Nikolaos gehindert wurden, vermutete bereits Hergenröther III 690, während Zlatarski in Sbornik 12/1895, 184 eher daran denkt, Nikolaos habe befürchtet, Simeon könne die Annäherung Roms an Byzanz hintertreiben. Ob Johannes X. tatsächlich durch die Gesandtschaft die Tetragamie verdammen ließ, wie Nikolaos berichtet, ist fraglich; vgl. Hergenröther III 693 f. Die Datierung der Legation ergibt sich aus einer Notiz der Vita Euthymii (Karlin-Hayter 140), wonach der Tetragamiestreit im 10. Jahr des Kaisers Konstantin VII. Porphyrogennetos (Juni 922‒Juni 923) beendet wurde; vgl. Grumel. Die beiden Papstbriefe sind verloren und nur aus der Erwähnung im Schreiben des Patriarchen bekannt. Vgl. über die päpstlichen Maßnahmen auch Karlin-Hayter in Jb. österr. Byz. 19/1970, 100. RI II,5 n. 66, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_5_0_70_66 (Abgerufen am 16.08.2026). s25y55hlgas7lk8n21iqn8bcn6795sv 1111861 1111860 2026-08-16T08:10:46Z Methodios 23484 1111861 wikitext text/x-wiki == Ostern: Heinrich I. in Quedlinburg== Heinrich I. - RI II,1 n. 7c 923 apr. 6, Quitilingaburg Ostern nach den folgenden urkunden. RI II,1 n. 7c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-06_1_0_2_1_1_32_7c (Abgerufen am 16.08.2026). ==Heinrich I. in Lothringen == Heinrich I. - RI II,1 n. 10a 923 ..., trans Rhenum Zug nach Lothringen. K. Robert fällt am 15. iuni bei Soissons in siegreichem kampf gegen Karl, welcher ihn mit lothringischen truppen (die bundesgenossenschaft Heinrichs erst in späteren französischen quellen, verzeichnet bei Waitz Heinrich I. 3 70.229, dazu auch Rodulfi Glabri Hist. I, 2. M. G. SS. 7,53) überfallen hatte, die Lothringer verlassen Karl, herzog Rudolf von Burgund wird zum nachfolger Roberts gewählt (iuli 13), Karl bald darauf von graf Heribert gefangen genommen (Flucht Ludwigs, des sohnes Karls, nach Deutschland meldet fälschlich Rodulfus Glaber Hist. I, 1). Rudolf kommt nach besuch Burgunds, und der Normandie auch nach Lothringen, wird dort von der grosszahl (a plurimis) als könig anerkannt, namentlich auch von b. Witgar von Metz, auf dessen bitten er den ganzen herbst Zabern im Elsass belagert und die feste, da die deutsche besatzung vergeblich von Heinrich hilfe erwartet, einnimmt. Während Rudolf wieder gegen die Normannen reitet, unternimmt Heinrich (der dem falle k. Karls nur ein platonisches bedauern entgegen gebracht hatte, Wid. I.30) auf aufforderung herzog Giselberts und des erzbischofs Rotgar von Trier (so auch Cont. Reginonis 923) einen zug nach Lothringen, verwüstet das gebiet zwischen Rhein und Mosel. Flodoardi Ann. 923. Der zug ist bei Flodoard, auf dessen reihenfolge hier schon meistens verlass ist, in pragmatischem zusammenhang zu ende des iahres erzählt. Widukind berichtet I,33 nach dem Ungarneinfall von 924, aber in einem einschiebsel (Köpke Otton.Stud. 1,21), dass k. Karl Heinrichs hilfe durch reliquien des h. Desiderius zu erlangen suchte, gibt aber das resultat dieser bitte nicht an; nach c. 30 hat H. keineswegs diesen zug um Karls willen unternommen, W. spricht aber auch c. 33 nur von einem solchen zug über den Rhein, der recht wol iener von 925 sein könnte, wo gerade der graf Heribert die versöhnung Giselberts mit k. Rudolf herbeigeführt hatte (vgl. no 12a). Dass Karl für seine befreiung Lothringen anbot und Heinrich ihn wirklich befreite, wissen erst quellen des XI. iahrh. Thietmar I,23 (13) sonst im anschlusse an Widukind, Dudonis Hist. M. G. SS. 4,99, vgl.Waitz Heinrich I. 3 70. RI II,1 n. 10a, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_1_0_2_1_1_36_10a (Abgerufen am 16.08.2026). ===Belagerung von Metz=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10b 923 ..., Mittensem urbem Belagerung der stadt Metz; in seiner begleitung sind herzog Giselbert und erzbischof Ruotger von Trier; bischof Wigricus muss sich nach langem widerstand ergeben (s.no 10a). Cont. Reginonis 923; auch Zabern kam wieder in die hände der Deutschen. Flodoardi Ann.; Heinricus ..., quosdam optimates de regno Lotharii sibi infideles spontaneos recepit, Ann. Prum. 923 M. G. SS. 15,1292. RI II,1 n. 10b, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_2_0_2_1_1_37_10b (Abgerufen am 16.08.2026). ===Rückzug=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10c 923 ..., .... Rückzug mit reicher beute vor dem in Francien und Burgund aufgebotenen heere Rudolfs, nachdem er den Lothringern waffenstillstand bis zum 1. okt. 924 gewährt hatte. Flodoardi Ann. 923. Das ergebniss des zuges war die vereinigung des östlichen Lothringens mit Deutschland. Die trierer urkunden und herzog Giselbert zählen von da an nach den regierungsiahren Heinrichs (Beyer Mittelrhein. UB. 1, 228‒235), die Ann. Colon. breves und Aqu. M. G. SS. 16,730; 24,36 setzen Heinrichs tronbesteigung in dieses iahr. Der erzbischof von Trier wird nun in den urkunden Heinrichs als erzkanzler genannt (zuerst no 20), die bedeutung des herzogs Giselbert zeigt die sagenhafte erzählung Widukinds I,30: per (Isilberhtum) solum totum Lotharii regnum se habiturum arbitratus est. Einen vollen erfolg verhinderte die militärische kraft k. Rudolfs, vgl. auch Widukind I,30: Iudicavitque (Heinricus) abstinere quidem ab armis, verum potius arte superaturos speravit Lotharios und dazu Simson in N. A. 15,574; später knüpfte man im westen den verlust Lothringens an den wechsel der dynastie in Frankreich, vgl. Iocundi transl. s. Servatii c. 24 M. G. SS. 12, 99. RI II,1 n. 10c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_1_1_38_10c (Abgerufen am 16.08.2026). == Papst Johannes X. sendet Legaten nach Byzanz - Streit um Bulgarien == Johannes X. - RI II,5 n. 66 (923 Anfang) Nach Bekanntwerden der Verwüstung des oströmischen Reiches durch die Bulgaren sendet der Papst (Johannes X.) die Bischöfe Theophylakt und Carus als Legaten nach Byzanz. Diese stellen durch förmliche Verdammung der Tetragamie die Einheit zwischen der römischen und der byzantinischen Kirche wieder her und überbringen ein Papstschreiben an den Patriarchen Nikolaos, worin dieser aufgefordert wird, nochmals dem Bulgarenherrscher Simeon zu schreiben und die Legaten zu diesem weiterzuleiten. An Simeon richtet sich ein anderes Papstschreiben, worin dieser zum Frieden gemahnt wird. Die Legaten haben den Auftrag, ihn zu exkommunizieren, falls er sich allen Mahnungen verschließe. Patriarch Nikolaos schickt zwar den Papstbrief samt einem Begleitschreiben an Simeon, hält aber die päpstlichen Legaten angeblich aus Furcht, es könne ihnen von den Bulgaren etwas angetan werden, in Konstantinopel zurück. Überlieferung Erw.: Brief Nikolaos' an Simeon (Jenkins-Westerink, Nicholas Letters 192 ff., vgl. auch 539 n. 28; Grumel-Darrouzès, Reg. II 269 n. 756). Reg.: ‒ Lit.: Hergenröther, Photius III 690 ff.; V. N. Zlatarski, Pismata na carigradskija patriarch Nikolaja Mistika do bălgarskija car' Simeona (Sbornik za narodni umotvorenija, nauka i knižnina 10/1894, 390 f. u. 12/1895, 183 f.); Srebrnić in Dissertationes 141 f. u. 149 f.; Runciman, Bulgarian Empire 168; Venni, Giovanni 98 ff.; Jugie, Le schisme byz. 163 ff.; Every, Byz. Patriarchate 141; Boojama, Eastern Schism 131; Zimmermann, Dunkle Jh. 58 f.; Beck, Gesch. d. orth. Kirche 123; Zimmermann, Spliter Konzilien 10 ff. Kommentar Daß der Papst bei dieser Gelegenheit auch die alten Ansprüche Roms auf Bulgarien geltend machen wollte und deswegen die Legaten an der Weiterreise durch Nikolaos gehindert wurden, vermutete bereits Hergenröther III 690, während Zlatarski in Sbornik 12/1895, 184 eher daran denkt, Nikolaos habe befürchtet, Simeon könne die Annäherung Roms an Byzanz hintertreiben. Ob Johannes X. tatsächlich durch die Gesandtschaft die Tetragamie verdammen ließ, wie Nikolaos berichtet, ist fraglich; vgl. Hergenröther III 693 f. Die Datierung der Legation ergibt sich aus einer Notiz der Vita Euthymii (Karlin-Hayter 140), wonach der Tetragamiestreit im 10. Jahr des Kaisers Konstantin VII. Porphyrogennetos (Juni 922‒Juni 923) beendet wurde; vgl. Grumel. Die beiden Papstbriefe sind verloren und nur aus der Erwähnung im Schreiben des Patriarchen bekannt. Vgl. über die päpstlichen Maßnahmen auch Karlin-Hayter in Jb. österr. Byz. 19/1970, 100. RI II,5 n. 66, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_5_0_70_66 (Abgerufen am 16.08.2026). acwjqs6tk7rshrv117cbzffy9npe1p8 1111862 1111861 2026-08-16T08:16:40Z Methodios 23484 1111862 wikitext text/x-wiki == Ostern: Heinrich I. in Quedlinburg== Heinrich I. - RI II,1 n. 7c 923 apr. 6, Quitilingaburg Ostern nach den folgenden urkunden. RI II,1 n. 7c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-06_1_0_2_1_1_32_7c (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 8 923 apr. 7, Quitilingaburg bestätigt der kirche von Würzburg auf bitte des bischofs Thioto das von kaiser Ludwig dem b. Wolfgar verliehene erträgniss des von allen waaren in Würzburg zu entrichtenden zolles. Simon not. adv. Herigeri archiepi. summique capp. Or. mit ind. I München (A). Fries in Ludewig Wirtzb. Geschichtschr. 432 regest; M. Boica 28a,159 no 111 und *M. G. DD. 1,43 no 5 beide aus A. ‒ Wörtliche vorlage war der hier nicht erwähnte durch b. Thioto von k. Konrad erbetene appennis BM. 2046. vgl. Sickel in Mittheil. des Inst. f. öst. GF. 1,250, während die ältern urkk. unter diesem bischof verbrannten. RI II,1 n. 8, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-07_1_0_2_1_1_33_8 (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 9 923 apr. 8, Quitilingaburg bestätigt derselben auf bitte des bischofs Thioto und des grafen Bobbo laut den vorgelegten urkunden der k. Pippin, Karlman (beide deperd.), Ludwig (des Frommen vgl.BM. 743), Arnolf (BM. 1788) und Konrad (deperd., wahrscheinlich unmittelbare vorlage, vgl. M. G. DD. 1,43 und wieder = BM. 1788) den zehent der von den Ostfranken und Slaven an den fiskus zu zahlenden abgabe, welche in ihrer sprache stiora vel ostarstuopha heisst (vgl. Waitz VG. 3 2b,254 und wegen der schon aus der lage der gaue sich ergebenden beziehung derselben auch auf die deutschen bewohner Hirsch Heinrich II. 2,49) der ostfränkischen gaue: Waldsassen, Wingartweiba, Taubergau, Jagst-, Mulach-, Neckar-, Kocher-, Ran-, Iphi-, Hasagau, Grapfeld, Tullifeld, Saalegau, Gozfeld, Badanachgau, sowie den zehenten von den kammergütern zu Ingelheim, Reutfeld im Rangau, Ruodeshof im Volkfeld, Kreuznach, Nierstein und an 21 anderen orten. Simon canc. adv. Herigeri archicapp. Or. mit ind. I München. ‒ M. Boica 28a,161 no 112; Wirtemb. UB. 2,438 unvollst.; Bresslau Dipl. 83 no 61; *M. G. DD. 1,44 no 6. RI II,1 n. 9, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-08_1_0_2_1_1_34_9 (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 10 923 apr. 8, Quitilingaburg bestätigt derselben auf bitte des bischofs Thioto und des grafen Bobbo laut den vorgelegten urkunden der k. Ludwig (d. Fr. BM. 742), Ludwig (d. Deutschen vgl. die urk. Arnolfs BM. 1785 ‚avus‘, deperd.), Konrad (BM. no 2045 = vorlage) königschutz und immunität. Simon canc. adv. Herigeri archiepi. summique capp. Or. mit ind. I München (A). Vorburg Hist. rom. germ. primitiae 9, 514; aus A: M. Boica 28a, 163 no 113 regest zu iuli 8; Janssen und Stumpf, Böhmer zur Feier des 30. Geburtstages seiner Regesten 5; Stumpf Acta ined. 3 no 1; Bresslau Dipl. 85 no 62; *M. G. DD. 1,45 no 7. RI II,1 n. 10, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-08_2_0_2_1_1_35_10 (Abgerufen am 16.08.2026). ==Heinrich I. in Lothringen == Heinrich I. - RI II,1 n. 10a 923 ..., trans Rhenum Zug nach Lothringen. K. Robert fällt am 15. iuni bei Soissons in siegreichem kampf gegen Karl, welcher ihn mit lothringischen truppen (die bundesgenossenschaft Heinrichs erst in späteren französischen quellen, verzeichnet bei Waitz Heinrich I. 3 70.229, dazu auch Rodulfi Glabri Hist. I, 2. M. G. SS. 7,53) überfallen hatte, die Lothringer verlassen Karl, herzog Rudolf von Burgund wird zum nachfolger Roberts gewählt (iuli 13), Karl bald darauf von graf Heribert gefangen genommen (Flucht Ludwigs, des sohnes Karls, nach Deutschland meldet fälschlich Rodulfus Glaber Hist. I, 1). Rudolf kommt nach besuch Burgunds, und der Normandie auch nach Lothringen, wird dort von der grosszahl (a plurimis) als könig anerkannt, namentlich auch von b. Witgar von Metz, auf dessen bitten er den ganzen herbst Zabern im Elsass belagert und die feste, da die deutsche besatzung vergeblich von Heinrich hilfe erwartet, einnimmt. Während Rudolf wieder gegen die Normannen reitet, unternimmt Heinrich (der dem falle k. Karls nur ein platonisches bedauern entgegen gebracht hatte, Wid. I.30) auf aufforderung herzog Giselberts und des erzbischofs Rotgar von Trier (so auch Cont. Reginonis 923) einen zug nach Lothringen, verwüstet das gebiet zwischen Rhein und Mosel. Flodoardi Ann. 923. Der zug ist bei Flodoard, auf dessen reihenfolge hier schon meistens verlass ist, in pragmatischem zusammenhang zu ende des iahres erzählt. Widukind berichtet I,33 nach dem Ungarneinfall von 924, aber in einem einschiebsel (Köpke Otton.Stud. 1,21), dass k. Karl Heinrichs hilfe durch reliquien des h. Desiderius zu erlangen suchte, gibt aber das resultat dieser bitte nicht an; nach c. 30 hat H. keineswegs diesen zug um Karls willen unternommen, W. spricht aber auch c. 33 nur von einem solchen zug über den Rhein, der recht wol iener von 925 sein könnte, wo gerade der graf Heribert die versöhnung Giselberts mit k. Rudolf herbeigeführt hatte (vgl. no 12a). Dass Karl für seine befreiung Lothringen anbot und Heinrich ihn wirklich befreite, wissen erst quellen des XI. iahrh. Thietmar I,23 (13) sonst im anschlusse an Widukind, Dudonis Hist. M. G. SS. 4,99, vgl.Waitz Heinrich I. 3 70. RI II,1 n. 10a, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_1_0_2_1_1_36_10a (Abgerufen am 16.08.2026). ===Belagerung von Metz=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10b 923 ..., Mittensem urbem Belagerung der stadt Metz; in seiner begleitung sind herzog Giselbert und erzbischof Ruotger von Trier; bischof Wigricus muss sich nach langem widerstand ergeben (s.no 10a). Cont. Reginonis 923; auch Zabern kam wieder in die hände der Deutschen. Flodoardi Ann.; Heinricus ..., quosdam optimates de regno Lotharii sibi infideles spontaneos recepit, Ann. Prum. 923 M. G. SS. 15,1292. RI II,1 n. 10b, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_2_0_2_1_1_37_10b (Abgerufen am 16.08.2026). ===Rückzug=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10c 923 ..., .... Rückzug mit reicher beute vor dem in Francien und Burgund aufgebotenen heere Rudolfs, nachdem er den Lothringern waffenstillstand bis zum 1. okt. 924 gewährt hatte. Flodoardi Ann. 923. Das ergebniss des zuges war die vereinigung des östlichen Lothringens mit Deutschland. Die trierer urkunden und herzog Giselbert zählen von da an nach den regierungsiahren Heinrichs (Beyer Mittelrhein. UB. 1, 228‒235), die Ann. Colon. breves und Aqu. M. G. SS. 16,730; 24,36 setzen Heinrichs tronbesteigung in dieses iahr. Der erzbischof von Trier wird nun in den urkunden Heinrichs als erzkanzler genannt (zuerst no 20), die bedeutung des herzogs Giselbert zeigt die sagenhafte erzählung Widukinds I,30: per (Isilberhtum) solum totum Lotharii regnum se habiturum arbitratus est. Einen vollen erfolg verhinderte die militärische kraft k. Rudolfs, vgl. auch Widukind I,30: Iudicavitque (Heinricus) abstinere quidem ab armis, verum potius arte superaturos speravit Lotharios und dazu Simson in N. A. 15,574; später knüpfte man im westen den verlust Lothringens an den wechsel der dynastie in Frankreich, vgl. Iocundi transl. s. Servatii c. 24 M. G. SS. 12, 99. RI II,1 n. 10c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_1_1_38_10c (Abgerufen am 16.08.2026). == Papst Johannes X. sendet Legaten nach Byzanz - Streit um Bulgarien == Johannes X. - RI II,5 n. 66 (923 Anfang) Nach Bekanntwerden der Verwüstung des oströmischen Reiches durch die Bulgaren sendet der Papst (Johannes X.) die Bischöfe Theophylakt und Carus als Legaten nach Byzanz. Diese stellen durch förmliche Verdammung der Tetragamie die Einheit zwischen der römischen und der byzantinischen Kirche wieder her und überbringen ein Papstschreiben an den Patriarchen Nikolaos, worin dieser aufgefordert wird, nochmals dem Bulgarenherrscher Simeon zu schreiben und die Legaten zu diesem weiterzuleiten. An Simeon richtet sich ein anderes Papstschreiben, worin dieser zum Frieden gemahnt wird. Die Legaten haben den Auftrag, ihn zu exkommunizieren, falls er sich allen Mahnungen verschließe. Patriarch Nikolaos schickt zwar den Papstbrief samt einem Begleitschreiben an Simeon, hält aber die päpstlichen Legaten angeblich aus Furcht, es könne ihnen von den Bulgaren etwas angetan werden, in Konstantinopel zurück. Überlieferung Erw.: Brief Nikolaos' an Simeon (Jenkins-Westerink, Nicholas Letters 192 ff., vgl. auch 539 n. 28; Grumel-Darrouzès, Reg. II 269 n. 756). Reg.: ‒ Lit.: Hergenröther, Photius III 690 ff.; V. N. Zlatarski, Pismata na carigradskija patriarch Nikolaja Mistika do bălgarskija car' Simeona (Sbornik za narodni umotvorenija, nauka i knižnina 10/1894, 390 f. u. 12/1895, 183 f.); Srebrnić in Dissertationes 141 f. u. 149 f.; Runciman, Bulgarian Empire 168; Venni, Giovanni 98 ff.; Jugie, Le schisme byz. 163 ff.; Every, Byz. Patriarchate 141; Boojama, Eastern Schism 131; Zimmermann, Dunkle Jh. 58 f.; Beck, Gesch. d. orth. Kirche 123; Zimmermann, Spliter Konzilien 10 ff. Kommentar Daß der Papst bei dieser Gelegenheit auch die alten Ansprüche Roms auf Bulgarien geltend machen wollte und deswegen die Legaten an der Weiterreise durch Nikolaos gehindert wurden, vermutete bereits Hergenröther III 690, während Zlatarski in Sbornik 12/1895, 184 eher daran denkt, Nikolaos habe befürchtet, Simeon könne die Annäherung Roms an Byzanz hintertreiben. Ob Johannes X. tatsächlich durch die Gesandtschaft die Tetragamie verdammen ließ, wie Nikolaos berichtet, ist fraglich; vgl. Hergenröther III 693 f. Die Datierung der Legation ergibt sich aus einer Notiz der Vita Euthymii (Karlin-Hayter 140), wonach der Tetragamiestreit im 10. Jahr des Kaisers Konstantin VII. Porphyrogennetos (Juni 922‒Juni 923) beendet wurde; vgl. Grumel. Die beiden Papstbriefe sind verloren und nur aus der Erwähnung im Schreiben des Patriarchen bekannt. Vgl. über die päpstlichen Maßnahmen auch Karlin-Hayter in Jb. österr. Byz. 19/1970, 100. RI II,5 n. 66, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_5_0_70_66 (Abgerufen am 16.08.2026). oiov6rpx1s30ob7sixo0enqf6xoy2jp 1111863 1111862 2026-08-16T08:26:03Z Methodios 23484 /* Rückzug */ 1111863 wikitext text/x-wiki == Ostern: Heinrich I. in Quedlinburg== Heinrich I. - RI II,1 n. 7c 923 apr. 6, Quitilingaburg Ostern nach den folgenden urkunden. RI II,1 n. 7c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-06_1_0_2_1_1_32_7c (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 8 923 apr. 7, Quitilingaburg bestätigt der kirche von Würzburg auf bitte des bischofs Thioto das von kaiser Ludwig dem b. Wolfgar verliehene erträgniss des von allen waaren in Würzburg zu entrichtenden zolles. Simon not. adv. Herigeri archiepi. summique capp. Or. mit ind. I München (A). Fries in Ludewig Wirtzb. Geschichtschr. 432 regest; M. Boica 28a,159 no 111 und *M. G. DD. 1,43 no 5 beide aus A. ‒ Wörtliche vorlage war der hier nicht erwähnte durch b. Thioto von k. Konrad erbetene appennis BM. 2046. vgl. Sickel in Mittheil. des Inst. f. öst. GF. 1,250, während die ältern urkk. unter diesem bischof verbrannten. RI II,1 n. 8, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-07_1_0_2_1_1_33_8 (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 9 923 apr. 8, Quitilingaburg bestätigt derselben auf bitte des bischofs Thioto und des grafen Bobbo laut den vorgelegten urkunden der k. Pippin, Karlman (beide deperd.), Ludwig (des Frommen vgl.BM. 743), Arnolf (BM. 1788) und Konrad (deperd., wahrscheinlich unmittelbare vorlage, vgl. M. G. DD. 1,43 und wieder = BM. 1788) den zehent der von den Ostfranken und Slaven an den fiskus zu zahlenden abgabe, welche in ihrer sprache stiora vel ostarstuopha heisst (vgl. Waitz VG. 3 2b,254 und wegen der schon aus der lage der gaue sich ergebenden beziehung derselben auch auf die deutschen bewohner Hirsch Heinrich II. 2,49) der ostfränkischen gaue: Waldsassen, Wingartweiba, Taubergau, Jagst-, Mulach-, Neckar-, Kocher-, Ran-, Iphi-, Hasagau, Grapfeld, Tullifeld, Saalegau, Gozfeld, Badanachgau, sowie den zehenten von den kammergütern zu Ingelheim, Reutfeld im Rangau, Ruodeshof im Volkfeld, Kreuznach, Nierstein und an 21 anderen orten. Simon canc. adv. Herigeri archicapp. Or. mit ind. I München. ‒ M. Boica 28a,161 no 112; Wirtemb. UB. 2,438 unvollst.; Bresslau Dipl. 83 no 61; *M. G. DD. 1,44 no 6. RI II,1 n. 9, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-08_1_0_2_1_1_34_9 (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 10 923 apr. 8, Quitilingaburg bestätigt derselben auf bitte des bischofs Thioto und des grafen Bobbo laut den vorgelegten urkunden der k. Ludwig (d. Fr. BM. 742), Ludwig (d. Deutschen vgl. die urk. Arnolfs BM. 1785 ‚avus‘, deperd.), Konrad (BM. no 2045 = vorlage) königschutz und immunität. Simon canc. adv. Herigeri archiepi. summique capp. Or. mit ind. I München (A). Vorburg Hist. rom. germ. primitiae 9, 514; aus A: M. Boica 28a, 163 no 113 regest zu iuli 8; Janssen und Stumpf, Böhmer zur Feier des 30. Geburtstages seiner Regesten 5; Stumpf Acta ined. 3 no 1; Bresslau Dipl. 85 no 62; *M. G. DD. 1,45 no 7. RI II,1 n. 10, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-08_2_0_2_1_1_35_10 (Abgerufen am 16.08.2026). ==Heinrich I. in Lothringen == Heinrich I. - RI II,1 n. 10a 923 ..., trans Rhenum Zug nach Lothringen. K. Robert fällt am 15. iuni bei Soissons in siegreichem kampf gegen Karl, welcher ihn mit lothringischen truppen (die bundesgenossenschaft Heinrichs erst in späteren französischen quellen, verzeichnet bei Waitz Heinrich I. 3 70.229, dazu auch Rodulfi Glabri Hist. I, 2. M. G. SS. 7,53) überfallen hatte, die Lothringer verlassen Karl, herzog Rudolf von Burgund wird zum nachfolger Roberts gewählt (iuli 13), Karl bald darauf von graf Heribert gefangen genommen (Flucht Ludwigs, des sohnes Karls, nach Deutschland meldet fälschlich Rodulfus Glaber Hist. I, 1). Rudolf kommt nach besuch Burgunds, und der Normandie auch nach Lothringen, wird dort von der grosszahl (a plurimis) als könig anerkannt, namentlich auch von b. Witgar von Metz, auf dessen bitten er den ganzen herbst Zabern im Elsass belagert und die feste, da die deutsche besatzung vergeblich von Heinrich hilfe erwartet, einnimmt. Während Rudolf wieder gegen die Normannen reitet, unternimmt Heinrich (der dem falle k. Karls nur ein platonisches bedauern entgegen gebracht hatte, Wid. I.30) auf aufforderung herzog Giselberts und des erzbischofs Rotgar von Trier (so auch Cont. Reginonis 923) einen zug nach Lothringen, verwüstet das gebiet zwischen Rhein und Mosel. Flodoardi Ann. 923. Der zug ist bei Flodoard, auf dessen reihenfolge hier schon meistens verlass ist, in pragmatischem zusammenhang zu ende des iahres erzählt. Widukind berichtet I,33 nach dem Ungarneinfall von 924, aber in einem einschiebsel (Köpke Otton.Stud. 1,21), dass k. Karl Heinrichs hilfe durch reliquien des h. Desiderius zu erlangen suchte, gibt aber das resultat dieser bitte nicht an; nach c. 30 hat H. keineswegs diesen zug um Karls willen unternommen, W. spricht aber auch c. 33 nur von einem solchen zug über den Rhein, der recht wol iener von 925 sein könnte, wo gerade der graf Heribert die versöhnung Giselberts mit k. Rudolf herbeigeführt hatte (vgl. no 12a). Dass Karl für seine befreiung Lothringen anbot und Heinrich ihn wirklich befreite, wissen erst quellen des XI. iahrh. Thietmar I,23 (13) sonst im anschlusse an Widukind, Dudonis Hist. M. G. SS. 4,99, vgl.Waitz Heinrich I. 3 70. RI II,1 n. 10a, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_1_0_2_1_1_36_10a (Abgerufen am 16.08.2026). ===Belagerung von Metz=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10b 923 ..., Mittensem urbem Belagerung der stadt Metz; in seiner begleitung sind herzog Giselbert und erzbischof Ruotger von Trier; bischof Wigricus muss sich nach langem widerstand ergeben (s.no 10a). Cont. Reginonis 923; auch Zabern kam wieder in die hände der Deutschen. Flodoardi Ann.; Heinricus ..., quosdam optimates de regno Lotharii sibi infideles spontaneos recepit, Ann. Prum. 923 M. G. SS. 15,1292. RI II,1 n. 10b, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_2_0_2_1_1_37_10b (Abgerufen am 16.08.2026). ===Rückzug=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10c 923 ..., .... Rückzug mit reicher beute vor dem in Francien und Burgund aufgebotenen heere Rudolfs, nachdem er den Lothringern waffenstillstand bis zum 1. okt. 924 gewährt hatte. Flodoardi Ann. 923. Das ergebniss des zuges war die vereinigung des östlichen Lothringens mit Deutschland. Die trierer urkunden und herzog Giselbert zählen von da an nach den regierungsiahren Heinrichs (Beyer Mittelrhein. UB. 1, 228‒235), die Ann. Colon. breves und Aqu. M. G. SS. 16,730; 24,36 setzen Heinrichs tronbesteigung in dieses iahr. Der erzbischof von Trier wird nun in den urkunden Heinrichs als erzkanzler genannt (zuerst no 20), die bedeutung des herzogs Giselbert zeigt die sagenhafte erzählung Widukinds I,30: per (Isilberhtum) solum totum Lotharii regnum se habiturum arbitratus est. Einen vollen erfolg verhinderte die militärische kraft k. Rudolfs, vgl. auch Widukind I,30: Iudicavitque (Heinricus) abstinere quidem ab armis, verum potius arte superaturos speravit Lotharios und dazu Simson in N. A. 15,574; später knüpfte man im westen den verlust Lothringens an den wechsel der dynastie in Frankreich, vgl. Iocundi transl. s. Servatii c. 24 M. G. SS. 12, 99. RI II,1 n. 10c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_1_1_38_10c (Abgerufen am 16.08.2026). == 29. Juli: König Rudolf II. von Burgund schlägt Kaiser Berengar I. bei Fiorenzuola unweit von Piacenza== 29. Juli: König Rudolf II. von Burgund schlägt Kaiser Berengar I. bei Fiorenzuola unweit von Piacenza Berengar - Rudolf II. - RI I,3,2 n. 1388 923 Juli 17, Fiorenzuola d'Arda Schlacht zwischen Berengar und Rudolf: Das Heer Berengars behält in dem blutigen Treffen zunächst die Oberhand, wird dann aber durch die Truppen der im Hinterhalt liegenden abtrünnigen Grafen Bonifaz (von Bologna oder Modena) und Gariard überrascht und schließlich vernichtend geschlagen. Berengar gelingt die Flucht nach Verona. Überlieferung Liutprand, Antapodosis II, 65-66, ed. Becker, S. 66f.; vgl. Flodoard, Annales a. 923, ed. Lauer, S. 18f.; Konstantinos VII. Porphyr., De admin. imp. c. 26, edd. Moravcsik u. a., S. 111; Andreas Dandulus VIII. 10, ed. Pastorello, S. 169 (vgl. das Zitat in Reg. 1373, Kommentar). Kommentar Bischof Wido von Piacenza, der sich Dezember 922 noch in der Umgebung Rudolfs aufgehalten hatte (Reg. 1382), hatte sich nach dem Bericht Liutprands wieder Berengar angeschlossen, was Rudolf wegen der strategischen Bedeutung der den Po-Übergang an der Via Emilia deckenden Stadt Piacenza offensichtlich nicht hinnehmen konnte (noch ein Jahr zuvor hatte sich Rudolf südöstlich von Piacenza in Parma aufgehalten: Reg. 1381). So kommt es 16 km östlich von Piacenza bei Fiorenzuola d'Arda (Prov. Piacenza), einer wichtigen Etappenstation an der Via Emilia (vgl. Schrod, Reichsstrassen, S. 30f., 36), zur Schlacht, in der nach Flodoard 1500 Mann gefallen sein sollen; noch Liutprand führt den Mangel an Milites zu seiner Zeit darauf zurück. - Zum Grafen Bonifaz (von Bologna oder Modena, † 953), der Waldrada, die Schwester Rudolfs II. von Hochburgund geheiratet hatte (Reg. 1385), vgl. Hlawitschka, Franken, S. 156-158; zu Gariard, dem schon aus Reg. 1151 bekannten Vicegrafen, s. ebd. S. 183f.; Andenna, Grandi patrimoni, S. 206 m. Anm. 20. - Strittig ist, ob es nach der Niederlage Berengars zu einer förmlichen Aufteilung Italiens zwischen den beiden Rivalen gekommen ist, wie dies Konstantinos - in einem allerdings etwas wirren Bericht - behauptet; vgl. Poupardin, Bourgogne I, S. 45 Anm. 3. Eine Teilung nehmen an Hiestand, Byzanz, S. 140f.; Brühl, Deutschland, S. 330, 461 Anm. 3. - Vgl. noch Trog, Rudolf II., S. 57; Hartmann, Geschichte III/2, S. 191f.; Fasoli, Incursioni ungare, S. 139; Fasoli., I re d'Italia, S. 92f.; Mor, L'età feudale I, S. 77f.; Arnaldi, Berengario I, S. 25. RI I,3,2 n. 1388, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-07-17_1_0_1_3_2_1399_1388 (Abgerufen am 16.08.2026). == Papst Johannes X. sendet Legaten nach Byzanz - Streit um Bulgarien == Johannes X. - RI II,5 n. 66 (923 Anfang) Nach Bekanntwerden der Verwüstung des oströmischen Reiches durch die Bulgaren sendet der Papst (Johannes X.) die Bischöfe Theophylakt und Carus als Legaten nach Byzanz. Diese stellen durch förmliche Verdammung der Tetragamie die Einheit zwischen der römischen und der byzantinischen Kirche wieder her und überbringen ein Papstschreiben an den Patriarchen Nikolaos, worin dieser aufgefordert wird, nochmals dem Bulgarenherrscher Simeon zu schreiben und die Legaten zu diesem weiterzuleiten. An Simeon richtet sich ein anderes Papstschreiben, worin dieser zum Frieden gemahnt wird. Die Legaten haben den Auftrag, ihn zu exkommunizieren, falls er sich allen Mahnungen verschließe. Patriarch Nikolaos schickt zwar den Papstbrief samt einem Begleitschreiben an Simeon, hält aber die päpstlichen Legaten angeblich aus Furcht, es könne ihnen von den Bulgaren etwas angetan werden, in Konstantinopel zurück. Überlieferung Erw.: Brief Nikolaos' an Simeon (Jenkins-Westerink, Nicholas Letters 192 ff., vgl. auch 539 n. 28; Grumel-Darrouzès, Reg. II 269 n. 756). Reg.: ‒ Lit.: Hergenröther, Photius III 690 ff.; V. N. Zlatarski, Pismata na carigradskija patriarch Nikolaja Mistika do bălgarskija car' Simeona (Sbornik za narodni umotvorenija, nauka i knižnina 10/1894, 390 f. u. 12/1895, 183 f.); Srebrnić in Dissertationes 141 f. u. 149 f.; Runciman, Bulgarian Empire 168; Venni, Giovanni 98 ff.; Jugie, Le schisme byz. 163 ff.; Every, Byz. Patriarchate 141; Boojama, Eastern Schism 131; Zimmermann, Dunkle Jh. 58 f.; Beck, Gesch. d. orth. Kirche 123; Zimmermann, Spliter Konzilien 10 ff. Kommentar Daß der Papst bei dieser Gelegenheit auch die alten Ansprüche Roms auf Bulgarien geltend machen wollte und deswegen die Legaten an der Weiterreise durch Nikolaos gehindert wurden, vermutete bereits Hergenröther III 690, während Zlatarski in Sbornik 12/1895, 184 eher daran denkt, Nikolaos habe befürchtet, Simeon könne die Annäherung Roms an Byzanz hintertreiben. Ob Johannes X. tatsächlich durch die Gesandtschaft die Tetragamie verdammen ließ, wie Nikolaos berichtet, ist fraglich; vgl. Hergenröther III 693 f. Die Datierung der Legation ergibt sich aus einer Notiz der Vita Euthymii (Karlin-Hayter 140), wonach der Tetragamiestreit im 10. Jahr des Kaisers Konstantin VII. Porphyrogennetos (Juni 922‒Juni 923) beendet wurde; vgl. Grumel. Die beiden Papstbriefe sind verloren und nur aus der Erwähnung im Schreiben des Patriarchen bekannt. Vgl. über die päpstlichen Maßnahmen auch Karlin-Hayter in Jb. österr. Byz. 19/1970, 100. RI II,5 n. 66, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_5_0_70_66 (Abgerufen am 16.08.2026). 7vm4c5j2vh55m8adrl3jsnakhlzso3p 1111864 1111863 2026-08-16T08:30:16Z Methodios 23484 /* 29. Juli: König Rudolf II. von Burgund schlägt Kaiser Berengar I. bei Fiorenzuola unweit von Piacenza */ 1111864 wikitext text/x-wiki == Ostern: Heinrich I. in Quedlinburg== Heinrich I. - RI II,1 n. 7c 923 apr. 6, Quitilingaburg Ostern nach den folgenden urkunden. RI II,1 n. 7c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-06_1_0_2_1_1_32_7c (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 8 923 apr. 7, Quitilingaburg bestätigt der kirche von Würzburg auf bitte des bischofs Thioto das von kaiser Ludwig dem b. Wolfgar verliehene erträgniss des von allen waaren in Würzburg zu entrichtenden zolles. Simon not. adv. Herigeri archiepi. summique capp. Or. mit ind. I München (A). Fries in Ludewig Wirtzb. Geschichtschr. 432 regest; M. Boica 28a,159 no 111 und *M. G. DD. 1,43 no 5 beide aus A. ‒ Wörtliche vorlage war der hier nicht erwähnte durch b. Thioto von k. Konrad erbetene appennis BM. 2046. vgl. Sickel in Mittheil. des Inst. f. öst. GF. 1,250, während die ältern urkk. unter diesem bischof verbrannten. RI II,1 n. 8, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-07_1_0_2_1_1_33_8 (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 9 923 apr. 8, Quitilingaburg bestätigt derselben auf bitte des bischofs Thioto und des grafen Bobbo laut den vorgelegten urkunden der k. Pippin, Karlman (beide deperd.), Ludwig (des Frommen vgl.BM. 743), Arnolf (BM. 1788) und Konrad (deperd., wahrscheinlich unmittelbare vorlage, vgl. M. G. DD. 1,43 und wieder = BM. 1788) den zehent der von den Ostfranken und Slaven an den fiskus zu zahlenden abgabe, welche in ihrer sprache stiora vel ostarstuopha heisst (vgl. Waitz VG. 3 2b,254 und wegen der schon aus der lage der gaue sich ergebenden beziehung derselben auch auf die deutschen bewohner Hirsch Heinrich II. 2,49) der ostfränkischen gaue: Waldsassen, Wingartweiba, Taubergau, Jagst-, Mulach-, Neckar-, Kocher-, Ran-, Iphi-, Hasagau, Grapfeld, Tullifeld, Saalegau, Gozfeld, Badanachgau, sowie den zehenten von den kammergütern zu Ingelheim, Reutfeld im Rangau, Ruodeshof im Volkfeld, Kreuznach, Nierstein und an 21 anderen orten. Simon canc. adv. Herigeri archicapp. Or. mit ind. I München. ‒ M. Boica 28a,161 no 112; Wirtemb. UB. 2,438 unvollst.; Bresslau Dipl. 83 no 61; *M. G. DD. 1,44 no 6. RI II,1 n. 9, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-08_1_0_2_1_1_34_9 (Abgerufen am 16.08.2026). Heinrich I. - RI II,1 n. 10 923 apr. 8, Quitilingaburg bestätigt derselben auf bitte des bischofs Thioto und des grafen Bobbo laut den vorgelegten urkunden der k. Ludwig (d. Fr. BM. 742), Ludwig (d. Deutschen vgl. die urk. Arnolfs BM. 1785 ‚avus‘, deperd.), Konrad (BM. no 2045 = vorlage) königschutz und immunität. Simon canc. adv. Herigeri archiepi. summique capp. Or. mit ind. I München (A). Vorburg Hist. rom. germ. primitiae 9, 514; aus A: M. Boica 28a, 163 no 113 regest zu iuli 8; Janssen und Stumpf, Böhmer zur Feier des 30. Geburtstages seiner Regesten 5; Stumpf Acta ined. 3 no 1; Bresslau Dipl. 85 no 62; *M. G. DD. 1,45 no 7. RI II,1 n. 10, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-04-08_2_0_2_1_1_35_10 (Abgerufen am 16.08.2026). ==Heinrich I. in Lothringen == Heinrich I. - RI II,1 n. 10a 923 ..., trans Rhenum Zug nach Lothringen. K. Robert fällt am 15. iuni bei Soissons in siegreichem kampf gegen Karl, welcher ihn mit lothringischen truppen (die bundesgenossenschaft Heinrichs erst in späteren französischen quellen, verzeichnet bei Waitz Heinrich I. 3 70.229, dazu auch Rodulfi Glabri Hist. I, 2. M. G. SS. 7,53) überfallen hatte, die Lothringer verlassen Karl, herzog Rudolf von Burgund wird zum nachfolger Roberts gewählt (iuli 13), Karl bald darauf von graf Heribert gefangen genommen (Flucht Ludwigs, des sohnes Karls, nach Deutschland meldet fälschlich Rodulfus Glaber Hist. I, 1). Rudolf kommt nach besuch Burgunds, und der Normandie auch nach Lothringen, wird dort von der grosszahl (a plurimis) als könig anerkannt, namentlich auch von b. Witgar von Metz, auf dessen bitten er den ganzen herbst Zabern im Elsass belagert und die feste, da die deutsche besatzung vergeblich von Heinrich hilfe erwartet, einnimmt. Während Rudolf wieder gegen die Normannen reitet, unternimmt Heinrich (der dem falle k. Karls nur ein platonisches bedauern entgegen gebracht hatte, Wid. I.30) auf aufforderung herzog Giselberts und des erzbischofs Rotgar von Trier (so auch Cont. Reginonis 923) einen zug nach Lothringen, verwüstet das gebiet zwischen Rhein und Mosel. Flodoardi Ann. 923. Der zug ist bei Flodoard, auf dessen reihenfolge hier schon meistens verlass ist, in pragmatischem zusammenhang zu ende des iahres erzählt. Widukind berichtet I,33 nach dem Ungarneinfall von 924, aber in einem einschiebsel (Köpke Otton.Stud. 1,21), dass k. Karl Heinrichs hilfe durch reliquien des h. Desiderius zu erlangen suchte, gibt aber das resultat dieser bitte nicht an; nach c. 30 hat H. keineswegs diesen zug um Karls willen unternommen, W. spricht aber auch c. 33 nur von einem solchen zug über den Rhein, der recht wol iener von 925 sein könnte, wo gerade der graf Heribert die versöhnung Giselberts mit k. Rudolf herbeigeführt hatte (vgl. no 12a). Dass Karl für seine befreiung Lothringen anbot und Heinrich ihn wirklich befreite, wissen erst quellen des XI. iahrh. Thietmar I,23 (13) sonst im anschlusse an Widukind, Dudonis Hist. M. G. SS. 4,99, vgl.Waitz Heinrich I. 3 70. RI II,1 n. 10a, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_1_0_2_1_1_36_10a (Abgerufen am 16.08.2026). ===Belagerung von Metz=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10b 923 ..., Mittensem urbem Belagerung der stadt Metz; in seiner begleitung sind herzog Giselbert und erzbischof Ruotger von Trier; bischof Wigricus muss sich nach langem widerstand ergeben (s.no 10a). Cont. Reginonis 923; auch Zabern kam wieder in die hände der Deutschen. Flodoardi Ann.; Heinricus ..., quosdam optimates de regno Lotharii sibi infideles spontaneos recepit, Ann. Prum. 923 M. G. SS. 15,1292. RI II,1 n. 10b, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_2_0_2_1_1_37_10b (Abgerufen am 16.08.2026). ===Rückzug=== Heinrich I. - RI II,1 n. 10c 923 ..., .... Rückzug mit reicher beute vor dem in Francien und Burgund aufgebotenen heere Rudolfs, nachdem er den Lothringern waffenstillstand bis zum 1. okt. 924 gewährt hatte. Flodoardi Ann. 923. Das ergebniss des zuges war die vereinigung des östlichen Lothringens mit Deutschland. Die trierer urkunden und herzog Giselbert zählen von da an nach den regierungsiahren Heinrichs (Beyer Mittelrhein. UB. 1, 228‒235), die Ann. Colon. breves und Aqu. M. G. SS. 16,730; 24,36 setzen Heinrichs tronbesteigung in dieses iahr. Der erzbischof von Trier wird nun in den urkunden Heinrichs als erzkanzler genannt (zuerst no 20), die bedeutung des herzogs Giselbert zeigt die sagenhafte erzählung Widukinds I,30: per (Isilberhtum) solum totum Lotharii regnum se habiturum arbitratus est. Einen vollen erfolg verhinderte die militärische kraft k. Rudolfs, vgl. auch Widukind I,30: Iudicavitque (Heinricus) abstinere quidem ab armis, verum potius arte superaturos speravit Lotharios und dazu Simson in N. A. 15,574; später knüpfte man im westen den verlust Lothringens an den wechsel der dynastie in Frankreich, vgl. Iocundi transl. s. Servatii c. 24 M. G. SS. 12, 99. RI II,1 n. 10c, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_1_1_38_10c (Abgerufen am 16.08.2026). == 29. Juli: König Rudolf II. von Burgund schlägt Kaiser Berengar I. bei Fiorenzuola unweit von Piacenza== 29. Juli: König Rudolf II. von Burgund schlägt Kaiser Berengar I. bei Fiorenzuola unweit von Piacenza Berengar - Rudolf II. - RI I,3,2 n. 1388 923 Juli 17, Fiorenzuola d'Arda Schlacht zwischen Berengar und Rudolf: Das Heer Berengars behält in dem blutigen Treffen zunächst die Oberhand, wird dann aber durch die Truppen der im Hinterhalt liegenden abtrünnigen Grafen Bonifaz (von Bologna oder Modena) und Gariard überrascht und schließlich vernichtend geschlagen. Berengar gelingt die Flucht nach Verona. Überlieferung Liutprand, Antapodosis II, 65-66, ed. Becker, S. 66f.; vgl. Flodoard, Annales a. 923, ed. Lauer, S. 18f.; Konstantinos VII. Porphyr., De admin. imp. c. 26, edd. Moravcsik u. a., S. 111; Andreas Dandulus VIII. 10, ed. Pastorello, S. 169 (vgl. das Zitat in Reg. 1373, Kommentar). Kommentar Bischof Wido von Piacenza, der sich Dezember 922 noch in der Umgebung Rudolfs aufgehalten hatte (Reg. 1382), hatte sich nach dem Bericht Liutprands wieder Berengar angeschlossen, was Rudolf wegen der strategischen Bedeutung der den Po-Übergang an der Via Emilia deckenden Stadt Piacenza offensichtlich nicht hinnehmen konnte (noch ein Jahr zuvor hatte sich Rudolf südöstlich von Piacenza in Parma aufgehalten: Reg. 1381). So kommt es 16 km östlich von Piacenza bei Fiorenzuola d'Arda (Prov. Piacenza), einer wichtigen Etappenstation an der Via Emilia (vgl. Schrod, Reichsstrassen, S. 30f., 36), zur Schlacht, in der nach Flodoard 1500 Mann gefallen sein sollen; noch Liutprand führt den Mangel an Milites zu seiner Zeit darauf zurück. - Zum Grafen Bonifaz (von Bologna oder Modena, † 953), der Waldrada, die Schwester Rudolfs II. von Hochburgund geheiratet hatte (Reg. 1385), vgl. Hlawitschka, Franken, S. 156-158; zu Gariard, dem schon aus Reg. 1151 bekannten Vicegrafen, s. ebd. S. 183f.; Andenna, Grandi patrimoni, S. 206 m. Anm. 20. - Strittig ist, ob es nach der Niederlage Berengars zu einer förmlichen Aufteilung Italiens zwischen den beiden Rivalen gekommen ist, wie dies Konstantinos - in einem allerdings etwas wirren Bericht - behauptet; vgl. Poupardin, Bourgogne I, S. 45 Anm. 3. Eine Teilung nehmen an Hiestand, Byzanz, S. 140f.; Brühl, Deutschland, S. 330, 461 Anm. 3. - Vgl. noch Trog, Rudolf II., S. 57; Hartmann, Geschichte III/2, S. 191f.; Fasoli, Incursioni ungare, S. 139; Fasoli., I re d'Italia, S. 92f.; Mor, L'età feudale I, S. 77f.; Arnaldi, Berengario I, S. 25. RI I,3,2 n. 1388, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-07-17_1_0_1_3_2_1399_1388 (Abgerufen am 16.08.2026). == August - September, Pavia: König Rudolf beruft ein allgemeines Treffen nach Pavia ein - Zug nach Hochburgund== Berengar - Rudolf II. - RI I,3,2 n. 1390 923 (August - September), Pavia Rudolf, der seine Herrschaft (nach dem Sieg über Berengar) machtvoll gefestigt hat (regnum ... sibi potentissime subiugavit), beruft ein allgemeines Treffen nach Pavia ein (Papiamque concite veniens congregatisque omnibus). Dort verkündet er seine Absicht, seine Heimat Burgund aufzusuchen (Burgundiamque patriam veterem visere), woraufhin ihm die italischen Großen einen Treueid (?) leisten. Überlieferung Liutprand, Antapodosis II, 67, ed. Becker, S. 67f. Kommentar Die Gründe für die Rückkehr Rudolfs nach Hochburgund sind nicht bekannt; vgl. Trog, Rudolf II., S. 58. Daß die italischen Großen ihm vor seiner Abreise einen Treueid geleistet haben, ist aus den Worten des Königs zu folgern: vestrae me regnum Italicum fidei commendare, woraufhin die italischen Großen erwidert haben sollen: "Si bonum tibi videtur, praesto sumus" (Liutprand, a.a.O.). - Vgl. auch Poupardin, Bourgogne I, S. 47. RI I,3,2 n. 1390, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-08-00_1_0_1_3_2_1401_1390 (Abgerufen am 16.08.2026). == Papst Johannes X. sendet Legaten nach Byzanz - Streit um Bulgarien == Johannes X. - RI II,5 n. 66 (923 Anfang) Nach Bekanntwerden der Verwüstung des oströmischen Reiches durch die Bulgaren sendet der Papst (Johannes X.) die Bischöfe Theophylakt und Carus als Legaten nach Byzanz. Diese stellen durch förmliche Verdammung der Tetragamie die Einheit zwischen der römischen und der byzantinischen Kirche wieder her und überbringen ein Papstschreiben an den Patriarchen Nikolaos, worin dieser aufgefordert wird, nochmals dem Bulgarenherrscher Simeon zu schreiben und die Legaten zu diesem weiterzuleiten. An Simeon richtet sich ein anderes Papstschreiben, worin dieser zum Frieden gemahnt wird. Die Legaten haben den Auftrag, ihn zu exkommunizieren, falls er sich allen Mahnungen verschließe. Patriarch Nikolaos schickt zwar den Papstbrief samt einem Begleitschreiben an Simeon, hält aber die päpstlichen Legaten angeblich aus Furcht, es könne ihnen von den Bulgaren etwas angetan werden, in Konstantinopel zurück. Überlieferung Erw.: Brief Nikolaos' an Simeon (Jenkins-Westerink, Nicholas Letters 192 ff., vgl. auch 539 n. 28; Grumel-Darrouzès, Reg. II 269 n. 756). Reg.: ‒ Lit.: Hergenröther, Photius III 690 ff.; V. N. Zlatarski, Pismata na carigradskija patriarch Nikolaja Mistika do bălgarskija car' Simeona (Sbornik za narodni umotvorenija, nauka i knižnina 10/1894, 390 f. u. 12/1895, 183 f.); Srebrnić in Dissertationes 141 f. u. 149 f.; Runciman, Bulgarian Empire 168; Venni, Giovanni 98 ff.; Jugie, Le schisme byz. 163 ff.; Every, Byz. Patriarchate 141; Boojama, Eastern Schism 131; Zimmermann, Dunkle Jh. 58 f.; Beck, Gesch. d. orth. Kirche 123; Zimmermann, Spliter Konzilien 10 ff. Kommentar Daß der Papst bei dieser Gelegenheit auch die alten Ansprüche Roms auf Bulgarien geltend machen wollte und deswegen die Legaten an der Weiterreise durch Nikolaos gehindert wurden, vermutete bereits Hergenröther III 690, während Zlatarski in Sbornik 12/1895, 184 eher daran denkt, Nikolaos habe befürchtet, Simeon könne die Annäherung Roms an Byzanz hintertreiben. Ob Johannes X. tatsächlich durch die Gesandtschaft die Tetragamie verdammen ließ, wie Nikolaos berichtet, ist fraglich; vgl. Hergenröther III 693 f. Die Datierung der Legation ergibt sich aus einer Notiz der Vita Euthymii (Karlin-Hayter 140), wonach der Tetragamiestreit im 10. Jahr des Kaisers Konstantin VII. Porphyrogennetos (Juni 922‒Juni 923) beendet wurde; vgl. Grumel. Die beiden Papstbriefe sind verloren und nur aus der Erwähnung im Schreiben des Patriarchen bekannt. Vgl. über die päpstlichen Maßnahmen auch Karlin-Hayter in Jb. österr. Byz. 19/1970, 100. RI II,5 n. 66, in: Regesta Imperii Online, URI: https://www.regesta-imperii.de/id/0923-00-00_3_0_2_5_0_70_66 (Abgerufen am 16.08.2026). myypr4b5dlh175giinmhc9ngt3ugyce