Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.15 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 31995 1111949 1098667 2026-08-17T10:52:18Z Bocardodarapti 2041 1111949 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Metrischer Raum/Folge/Situation|SZ=,}} die gegen {{ Relationskette | x | \in | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiere| |Kontext=mr| |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{Folge| y}} |SZ=}} eine weitere Folge derart, dass die Folge der Abstände {{math|term= {{op:Abstand| x_n | y_n |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Nullfolge| |SZ= }} in {{math|term= \R |SZ=}} sei. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= {{Folge| y}} |SZ=}} gegen {{math|term= x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} liq7b6u5kgi2scqj429luskbvlxcc20 106 33418 1111873 790907 2026-08-16T13:12:22Z Bocardodarapti 2041 1111873 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|38| {{Zwischenüberschrift|Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} Es gibt homogene lineare Gleichungssysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor {{ Zusatz/Klammer |text=Störvektor| |ISZ=|ESZ= }} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine {{Stichwort|Störfunktion|SZ=}} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen. {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt}} }} 66s0740x8sndr491jioosu6mtgi41r4 0 33651 1111882 1102904 2026-08-16T13:48:45Z Bocardodarapti 2041 1111882 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition|| }} Die Ableitung ist selbst wieder ein Vektor in {{math|term= V |SZ=.}} Statt Ableitung spricht man auch vom {{Stichwort|Differentialquotienten|msw=Differentialquotient|SZ=}} in einem {{ Zusatz/Klammer |text=Zeit| |ISZ=|ESZ=- }}Punkt {{math|term= t |SZ=.}}{{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition|| }} Die Ableitung einer differenzierbaren Kurve ist damit selbst wieder eine Kurve. Wenn die Ableitung stetig ist, so nennt man die Kurve {{Stichwort|stetig differenzierbar|SZ=.}} Wenn die Ableitung selbst differenzierbar ist, so nennt man die Ableitung der Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangskurve. Das folgende Lemma zeigt, dass dieser Differenzierbarkeitsbegriff nichts wesentlich Neues ist, da er auf die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen zurückgeführt werden kann. {{ inputfaktbeweis |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt|Lemma|| }} {{{zusatz2|}}} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Kurve/(t^2-t^3,t sin t, e^(-t))/Beispiel|| }} {{{zusatz3|}}} Bei der Formulierung von Rechenregeln für differenzierbare Wege {{ Zusatz/Klammer |text=und allgemeiner differenzierbare Abbildungen in höherer Dimension| |ISZ=|ESZ= }} muss man etwas vorsichtiger sein als in der eindimensionalen Situation und insbesondere sicherstellen, dass die Verknüpfungen zusammenpassen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Man kann natürlich zwei Abbildungen {{ Abbildung |name= f,g | I | V || |SZ= }} nicht miteinander multiplizieren, sodass in der obigen Produktregel eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Funktion auftreten. Ebenso muss die Kettenregel mit Bedacht formuliert werden. Später werden wir noch eine allgemeinere Kettenregel kennenlernen. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Kettenregel/Fakt|Lemma|| }} In der vorstehenden Situation sollte man sich {{math|term= h |SZ=}} als eine Umparametrisierung der Zeit vorstellen. Die Bahn der Kurve bleibt erhalten, es ändert sich aber die Geschwindigkeit und eventuell die Orientierung, mit der die Bahn durchlaufen wird. Wenn {{ Abbildung |name=h | \R | \R | t | -t |SZ= }} die Negation ist, so wird die Kurve mit umgekehrter Zeit{{drucktrenn}}richtung durchlaufen. Die Aussage besagt in diesem Fall, dass die Ableitung der umgekehrten Kurve negiert werden muss. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt|Lemma| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3rhi22rgxcc4e0erv024nycd1tsa6ya 0 33920 1111868 1100032 2026-08-16T13:09:58Z Bocardodarapti 2041 1111868 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette |t | > | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| y |t^2-1}} || || || |SZ=. }} Um die Lösungen zu bestimmen, brauchen wir eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | g(t) || \frac{1}{t^2-1} || \frac{1}{(t-1)(t+1)} || \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1} || |SZ=. }} Aus der {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=R| |SZ= }} gelangt man zur Stammfunktion {{ Relationskette/display | G(t) || \frac{1}{2} {{op:ln|(t-1)|}} - \frac{1}{2} {{op:ln|(t+1)|}} || || || |SZ=. }} Daher sind die {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=gdg| |SZ= }} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/handlinks | c \cdot {{op:exp| {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t-1)|}} -{{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t+1)|}} |}} |}} || c {{op:Bruch| {{op:exp(| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t-1)|}} |}} | {{op:exp(| {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:ln|(t+1)|}} }} }} || c {{op:Bruch| \sqrt{ {{op:exp(| {{op:ln|(t-1)|}} |}} }| \sqrt{ {{op:exp(| {{op:ln|(t+1)|}} }} } }} || c \cdot \frac{\sqrt{t-1} }{\sqrt{t+1} } || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der homogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=y/(t^2-1) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hmrexi5c5n1ckuiovauscgqubzlw7jh 0 33942 1111866 1102985 2026-08-16T13:06:46Z Bocardodarapti 2041 1111866 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Differentialgleichungen sind ein fundamentaler Bestandteil der Mathematik und der Naturwissenschaften. Sie drücken eine Beziehung zwischen einer abhängigen Größe {{ Zusatz/Klammer |text=häufig {{mathlk|term= y(t) |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und der Änderung dieser Größe {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term= y'(t) |SZ=}} |ISZ=|ESZ= }} aus. Viele Gesetzmäßigkeiten in der Natur wie Bewegungsprozesse, Ablauf von chemischen Reaktionen, Wachstumsverhalten von Populationen werden durch Differentialgleichungen beschrieben. Hier besprechen wir nur solche Differentialgleichungen, die durch Integration gelöst werden können. {{{zusatz5|}}} {{ inputdefinition |Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Dabei ist {{ Relationskette | y' || f(t,y) || || || |SZ= }} erstmal nur ein formaler Ausdruck, dem wir aber sofort eine inhaltliche Interpretation geben. Das {{math|term= y |SZ=}} soll eine Funktion in einer Variablen repräsentieren und {{math|term= y'|SZ=}} ihre Ableitung. Dies wird präzisiert durch den Begriff der {{Stichwort|Lösung einer Differentialgleichung|SZ=.}} {{ inputdefinition |Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Statt Lösung sagt man auch {{Stichwort|Lösungsfunktion}} oder {{Stichwort|Lösungskurve|SZ=.}} Es sei betont, dass anders als bei vielen Gleichungen wie quadratische Gleichungen oder lineare Gleichungssysteme, wo die Lösung eine Zahl oder ein Vektor ist, die Lösungen von Differentialgleichungen Funktionen sind. Differentialgleichungen beschreiben häufig physikalische Prozesse, insbesondere Bewegungsprozesse. Daran soll auch die Notation erinnern, es steht {{math|term= t |SZ=}} für die Zeit und {{math|term= y |SZ=}} für den Ort. Dabei ist hier der Ort eindimensional, d.h. die Bewegung findet nur auf einer Geraden statt. Den Wert {{mathl|term= f(t,y) |SZ=}} sollte man sich als eine zu einem Zeit- und Ortspunkt vorgegebene Richtung auf der Ortsgeraden vorstellen. Eine Lösung ist dann eine Funktion {{ Abbildung/display |name=y |I| \R |t| y(t) |SZ=, }} die differenzierbar ist und deren Ableitung, vorgestellt als Momentangeschwindigkeit, zu jedem Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} mit dem durch {{mathl|term= f(t,y(t)) |SZ=}} gegebenen Richtungsvektor übereinstimmt. {{{zusatz4|Später}}} werden wir auch Bewegungen betrachten, die sich in der Ebene oder im Raum abspielen, und die durch ein entsprechendes Richtungsfeld gesteuert werden. {{{zusatz3|}}} Die Lösung einer Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht eindeutig, man muss noch Anfangsbedingungen festlegen. {{ inputdefinition |Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} {{ inputdefinition |Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Es gibt kein allgemeines Verfahren, eine Differentialgleichung bzw. ein Anfangswertproblem explizit zu lösen. Die Lösbarkeit hängt wesentlich von der gegebenen Funktion {{mathl|term= f(t,y) |SZ=}} ab. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljenll2frdmpw64enomu0vzo9dnlqpx 0 34022 1111876 1100392 2026-08-16T13:14:23Z Bocardodarapti 2041 1111876 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= p(t) |SZ=}} die Größe einer Population zu einem Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=.}} Wir setzen voraus, dass die Populationsentwicklung {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} ist; die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} {{mathl|term= p'(t) |SZ=}} repräsentiert dann das {{ Zusatz/Klammer |text=infinitesimale| |ISZ=|ESZ= }} Bevölkerungswachstum zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=.}} Den Quotienten {{ Relationskette/display | {{{r|r}}} (t) || \frac{p'(t)}{p(t)} || || || |SZ= }} nennt man die {{Stichwort|Wachstumsrate|SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=.}} Wir fragen uns, inwiefern man den Populationsverlauf aus der Wachstumsrate rekonstruieren kann. Die Wachstumsrate kann von der Zeit {{ Zusatz/Klammer |text=Jahreszeit, Nahrungsvorkommen, Entwicklung von anderen Populationen etc.| |ISZ=|ESZ= }} abhängen, aber auch von der aktuellen Populationsgröße {{math|term= p |SZ=.}} Die Zeitabhängigkeit der Wachstumsrate beruht auf äußeren Einflüssen, während die Abhängigkeit von der aktuellen Populationsgröße eine innere Dynamik ausdrückt. Sie beruht darauf, dass eine große Population sich hemmend auf die Fortpflanzung auswirkt. Wir beschränken uns auf eine Situation, wo die Wachstumsrate nur von der Populationsgröße abhängt, nicht aber von sonstigen Einflüssen. Dann wird die Wachstumsrate durch eine Funktion {{mathl|term= {{{w|w}}}(p) |SZ=}} beschrieben, und die Wachstumsrate zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} ist demnach durch {{ Relationskette | {{{r|r}}} (t) || {{{w|w}}}(p(t)) || || || || |SZ= }} gegeben. Die Wachstumsrate wirkt sich auf die Populationsentwicklung aus. Gemäß dem oben formulierten Zusammenhang gilt {{ Relationskette/display | p'(t) || p(t) \cdot {{{r|r}}} (t) || p(t) \cdot {{{w|w}}}(p(t)) || || |SZ=. }} Es liegt also eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |SZ= }} der Form {{ Relationskette/display |p' || p \cdot {{{w|w}}}(p) || || || |SZ= }} vor, die {{ Definitionslink |zeitunabhängig| |Kontext=| |SZ= }} ist, sodass insbesondere {{ Definitionslink |getrennte Variablen| |Kontext=| |SZ= }} vorliegen {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Funktion {{ Relationskette/k | h(p) || p \cdot {{{w|w}}}(p) || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{Stichwort|konstanter Wachstumsrate|msw=Konstante Wachstumsrate|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{{w|w}}}(p) || a || || || |SZ= }} liegt die Differentialgleichung {{ Relationskette |p' || ap || || || |SZ= }} vor, deren Lösungen die Funktionen {{mathl|term= ce^{at} |SZ=}} sind. Das bedeutet {{Stichwort|exponentielles Wachstum|msw=Exponentielles Wachstum|SZ=.}} Wenn wir die Wachstumsrate so ansetzen, dass es bei einer gewissen Populationsgröße {{math|term= {{{g|g}}} |SZ=}} kein Wachstum mehr gibt, und bei sehr kleiner Bevölkerung die Wachstumsrate maximal gleich {{math|term= s |SZ=}} ist, und dazwischen die Wachstumsrate {{ Definitionslink |linear| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=}} abhängt, so erhält man die Wachstumsrate {{ Relationskette/display | {{{w|w}}}(p) || s {{makl| 1 -\frac{1}{ {{{g|g}}} } p|}} || || || |SZ= }} und die Differentialgleichung {{ Relationskette/display |p' || sp {{makl| 1 -\frac{1}{ {{{g|g}}} }p|}} || sp -\frac{s}{g} p^2 || || |SZ=. }} Eine solche Differentialgleichung nennt man {{Stichwort|logistische Differentialgleichung|SZ=.}} Gemäß dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |SZ= }} müssen wir eine Stammfunktion zu {{ Relationskette/align | {{op:Bruch| 1 |s p {{makl| 1 - {{op:Bruch| 1 | {{{g|g}}} }} p|}} }} || {{op:Bruch| g |s}} \cdot {{op:Bruch| 1 |p(g-p)}} || {{op:Bruch| 1 |s}} {{makl| {{op:Bruch| 1 |p}} + {{op:Bruch| 1 |g-p}} |}} || |SZ= }} finden. Eine solche Stammfunktion ist {{ Relationskette/display | H(p) ||\frac{1}{s} ( {{op:ln| p |}} - {{op:ln| ({{{g|g}}} -p)|}}) || \frac{1}{s} {{op:ln|\frac{p}{ {{{g|g}}} - p}|}} || || |SZ=. }} Zur Berechnung der {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= H^{-1} |SZ=}} lösen wir die Gleichung {{ Relationskette/display |u || \frac{1}{s} {{op:ln|\frac{p}{{{{g|g}}}-p}|}} || || || |SZ= }} nach {{math|term= p |SZ=}} auf. Es ergibt sich {{ Relationskette/display | {{op:exp |(su)|}} || \frac{p}{ {{{g|g}}}-p} || || || |SZ= }} und daraus {{ Relationskette/display | {{{g|g}}} \cdot {{op:exp|(su)|}} || p+p \cdot {{op:exp|(su)|}} || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display |p ||\frac{ {{{g|g}}} \cdot {{op:exp|(su)|}} }{1+ {{op:exp|(su)|}} } || \frac{ {{{g|g}}} }{1+ {{op:exp|(-su)|}} } || || |SZ=. }} Da die Differentialgleichung zeitunabhängig ist, ist {{ Relationskette/display |p(t) || \frac{ {{{g|g}}} }{1+ {{op:exp|(- s t)|}} } || || || |SZ= }} eine Lösung. Bei {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |p(0) || {{op:Bruch| g | 2}} || || || |SZ=, }} für {{mathl|term= t \rightarrow + \infty|SZ=}} strebt die Lösung gegen {{math|term= g |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Grenzbevölkerung| |ISZ=|ESZ= }} und für {{mathl|term= t \rightarrow - \infty|SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der logistischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Logistische Differentialgleichung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kneprfnze6jh9eiv5nw6c0v28dzgj4w 0 34229 1111892 1099799 2026-08-16T17:00:15Z Bocardodarapti 2041 1111892 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung |name= f | \R^2 | \R || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f(x,y) | {{defeq}} | \begin{cases} \frac{ xy^3 } { x^2+y^6 } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) {{=}} (0,0) \, . \end{cases} || || |SZ= }} Für einen Vektor {{ Relationskette | v || (a,b) || || || |SZ= }} und einen reellen Parameter {{math|term= s |SZ=}} erhalten wir auf der Geraden {{math|term= \R v |SZ=}} die Funktion {{ Abbildung/display |name=f_v | \R | \R | s | f(sa,sb) {{=|}} \frac{ sas^3b^3 } { s^2 a^2 + s^6b^6 } {{=|}} \frac{ s^2 ab^3 } {a^2 + s^4 b^6} |SZ=. }} Für {{ Relationskette | a |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist der Nenner stets positiv und die Funktion {{math|term= f_v |SZ=}} ist stetig mit dem Wert {{math|term= 0 |SZ=}} bei {{ Relationskette | s || 0 || || || |SZ=, }} und als {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= s |SZ=}} differenzierbar. Für {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} ist die Funktion {{math|term= f_v |SZ=}} konstant {{math|term= = 0 |SZ=}} und damit ebenfalls differenzierbar. Also existieren in {{math|term= 0 |SZ=}} alle Richtungsableitungen zu {{math|term= f |SZ=.}} Die Funktion {{math|term= f |SZ=}} ist allerdings nicht stetig: Für die Folge {{mathl|term= {{makl| 1/n^3,1/n |}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die gegen {{ Relationskette/k | 0 || {{op:Zeilenvektor| 0 | 0}} || || || |SZ= }} konvergiert| |ISZ=|ESZ= }} gilt {{ Relationskette/display | f {{makl| {{op:Bruch| 1 | n^3 }} , {{op:Bruch| 1 | n }} |}} || {{op:Bruch| (1/n^3)(1/n^3) | (1/n^6) + (1/n^6) }} || {{op:Bruch| 1 | 2 }} || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette | f(0,0) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} cyrat08u7k0mf9c0znuydojfcbl8jgg 0 34849 1111947 1099503 2026-08-17T10:45:58Z Bocardodarapti 2041 1111947 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die in {{ Beispiellink || Beispielseitenname= Wachstum einer Population/Logistische Differentialgleichung/Beispiel |SZ= }} gefundenen Lösungen {{ Relationskette/display | y(t) || {{op:Bruch| g | 1+ {{op:exp| (-st) |}} }} || || || |SZ= }} der logistischen Differentialgleichung. {{ Aufzählung5/a |Skizziere{{n Sie}} diese Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=für geeignete {{ mathkor|term1= s |und|term2= g |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die Grenzwerte für {{ mathkor|term1= t \rightarrow \infty |und|term2= t \rightarrow - \infty |SZ=. }} |Studiere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Monotonieverhalten| |Kontext=R| |SZ= }} dieser Funktionen. |Für welche {{math|term= t |SZ=}} besitzt die Ableitung von {{math|term= y(t) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Maximum| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für die Funktion selbst bedeutet dies einen {{ Definitionslink |Wendepunkt| |Kontext=| |SZ=, }} man spricht auch von einem {{Stichwort|Vitalitätsknick|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=? }} |Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der logistischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Logistische Differentialgleichung |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nt3xdcasd7882jgvkxthna17e82wzgp 0 36353 1111922 1100140 2026-08-17T06:51:24Z Bocardodarapti 2041 1111922 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | \R^2 | \R^2 | (r, \alpha) | (r {{op:cos| \alpha |}} , r {{op:sin| \alpha |}} ) |SZ=, }} heißt {{Stichwort|Polarkoordinatenauswertung|SZ=.}} Sie ordnet einem Radius {{math|term= r |SZ=}} und einem Winkel {{math|term= \alpha |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein| |ISZ=|ESZ= }} denjenigen Punkt der Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=in kartesischen Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels {{ Zusatz/Klammer |text=gemessen von der {{math|term= x |SZ=-}}Achse aus gegen den Uhrzeigersinn| |ISZ=|ESZ= }} die Strecke {{math|term= r |SZ=}} zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt {{mathl|term= (r,\alpha) |SZ=}} {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| {{op:cos| \alpha |}} | - r {{op:sin| \alpha |}} | {{op:sin| \alpha |}} | r {{op:cos| \alpha |}} }} |SZ=. }} Diese Abbildung ist nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel {{math|term= \alpha |SZ=,}} {{ Definitionslink |periodisch| |Kontext=| |SZ= }} mit der Periode {{math|term= 2 \pi |SZ=}} ist. Bei {{ Relationskette | r || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Gs |text=unabhängig von {{math|term= \alpha |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} das Bild gleich {{mathl|term= (0,0) |SZ=.}} Ferner ist {{ Relationskette | \varphi (-r, \alpha + \pi ) ||\varphi (r, \alpha) || || || |SZ=. }} Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein. Die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} der Jacobi-Matrix ist {{ Relationskette/display | r {{makl| {{op:cos| \alpha |exp=2}} + {{op:sin| \alpha |exp=2}} |}} || r || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | r | \neq | 0 || || || |SZ= }} liegt also nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt |SZ= }} ein {{ Definitionslink |bijektives| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |totales Differential| |Kontext=| |SZ= }} vor. Nach dem {{ Faktlink |Satz über die lokale Umkehrabbildung|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |SZ= }} gibt es zu jedem Punkt {{mathl|term= ( r, \alpha ) |SZ=}} mit {{ Relationskette |r |\neq| 0 || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Relationskette | (r, \alpha) | \in | U_1 || || || |SZ= }} und eine bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi {{|}} _{U_1 } | U_1 | U_2 {{=|}} \varphi(U_1) || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | r | > | 0 || || || |SZ= }} kann man beispielsweise als offene Umgebung das {{ Definitionslink |offene Rechteck| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | U_1 || {]r- \delta, r+ \delta[} \times {]\alpha - \epsilon, \alpha+ \epsilon [} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | r | > | \delta | > | 0 || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | \pi | > | \epsilon | > | 0 || || |SZ= }} wählen. Das Bild davon, also {{math|term= U_2 |SZ=,}} ist der Schnitt des {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} Kreisringes zu den Radien {{ mathkor|term1= r-\delta |und|term2= r+ \delta |SZ= }} und dem {{ Zusatz/Klammer |text=offenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Kreissektor| |Kontext=| |SZ=, }} der durch die beiden Winkel {{ mathkor|term1= \alpha- \epsilon |und|term2= \alpha+ \epsilon |SZ= }} begrenzt ist. Man kann diese Abbildung zu einer {{ Definitionslink |bijektiven Abbildung| |Kontext=| |SZ=, }} und zwar zu einem {{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ=, }} auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu {{ Abbildung/display |name= |\R_+ \times {]- \pi, \pi[}| \R^2 \setminus {{Mengebed| (x,0) | x \leq 0}} |(r, \alpha) | (r {{op:cos| \alpha |}} , r {{op:sin| \alpha |}} ) |SZ=. }} Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der {{ Definitionslink |trigonometrischen Funktionen| |Kontext=| |SZ=, }} siehe insbesondere {{ Faktlink{{{opt1|}}} ||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Faktseitenname2= Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt |SZ=. }} Wenn man das offene Intervall {{mathl|term= ] -\pi , \pi[ |SZ=}} durch das halboffene Intervall {{mathl|term= ] -\pi, \pi] |SZ=}} ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen {{mathl|term= \R_+ \times ]-\pi, \pi] |SZ=}} und {{mathl|term= \R^2 \setminus \{ (0,0) \} |SZ=.}} Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polarkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkn1tsjw15r84xqgiln172zzfu3uoq1 0 36410 1111925 1100260 2026-08-17T06:54:53Z Bocardodarapti 2041 1111925 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R \times ( \R \setminus \{0\} ) |\R |(x,y)| {{op:Bruch| x | y}} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} dieser Funktion ist {{ Math/display|term= {{makl| {{op:Bruch| 1 | y}} , - {{op:Bruch| x | y^2}} |}} |SZ=, }} sodass die Funktion in jedem Punkt {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=rang| |SZ= }} ist und der {{ Faktlink |Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |SZ= }} anwendbar ist. In diesem Fall kann man die {{ Definitionslink |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} auch direkt bestimmen. Die Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| x | y}} || c || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |c | \in |\R || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette | x || cy || || || |SZ=, }} sodass die Fasern der Abbildung die {{Stichwort|punktierten Geraden|msw=Punktierte Gerade|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. ein Punkt ist rausgenommen| |ISZ=|ESZ= }} durch den Nullpunkt sind {{ Zusatz/Klammer |text=außer der {{math|term= x |SZ=-}}Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist| |ISZ=|ESZ=. }} Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach {{math|term= x |SZ=}} gegeben. Dass die Fasern unter dieser {{Stichwort|Divisionsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=punktierte| |ISZ=|ESZ= }} Geraden sind, ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern. Der {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |SZ= }} in {{ Relationskette | P || (x,y) || || || |SZ= }} wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} selbst {{ Definitionslink |aufgespannt| |Kontext=| |SZ=. }} Der Tangentialraum an {{math|term= P |SZ=}} ist hier also die Gerade, die durch {{math|term= P |SZ=}} und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} mit der Faser überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Divisionsabbildung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oz5k188fdjpkd9wp8i66sja315817k6 0 36461 1111923 1085790 2026-08-17T06:54:02Z Bocardodarapti 2041 1111923 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Den {{ Faktlink |Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt |SZ= }} kann man auch so formulieren: Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorräume| |SZ=, }} {{ Relationskette |G | \subseteq | V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |SZ= }} und es sei {{ Abbildung |name=\varphi | G | W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |a | \in | G || || || |SZ= }} ein Punkt, in dem das {{ Definitionslink |totale Differential| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|a}} |SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |SZ= }} sei, und es sei {{ Relationskette |V || E_1 \oplus E_2 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |direkte Summenzerlegung| |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} in Untervektorräume {{ mathkor|term1= E_1 |und|term2= E_2 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a || (a_1,a_2) || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} derart, dass {{ Relationskette | E_1 || {{op:Kern| {{op:Totales Differential| \varphi | a }} |}} || || || |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Totales Differential| \varphi | a}} {{!}}_{E_2 } |SZ=}} surjektiv {{ Zusatz/Klammer |text=und damit bijektiv| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=dadurch ist {{math|term= E_1 |SZ=,}} aber nicht {{math|term= E_2 |SZ=}} eindeutig festgelegt| |ISZ=|ESZ=. }} Dann gibt es offene Mengen {{ Relationskette | a_1 | \in | U_1 | \subseteq | E_1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a_2 | \in | U_2 | \subseteq | E_2 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | U_1 \times U_2 | \subseteq| G || || || || |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\theta | U_1 | U_2 || |SZ= }} derart, dass der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |SZ= }} von {{math|term= \theta|SZ=,}} also {{ Relationskette/display | \Gamma || {{Mengebed| (x,\theta (x))| x \in U_1 }} || || || |SZ=, }} mit der {{ Definitionslink |Faser| |SZ= }} über {{ Relationskette |b ||\varphi(a) || || || |SZ=, }} geschnitten mit {{mathl|term= U_1 \times U_2 |SZ=,}} also {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,v) \in U_1 \times U_2 | \varphi(x,v) {{=|}} b }} |SZ=, }} übereinstimmt. Sind auf {{ mathkor|term1= E_1 |und|term2= E_2 |SZ= }} jeweils {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |SZ= }} fixiert mit {{ Definitionslink |Koordinaten| |SZ= }} {{mathl|term= (x_1 {{kommadots|}} x_{n-m}) |SZ=}} bzw. {{mathl|term= (v_1 {{kommadots|}} v_{m}) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ mathkor/k|term1= n |und|term2= m |SZ= }} seien die Dimensionen von {{ mathkor/k|term1= V |und|term2= W |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} so wird lokal die Faser durch den Graphen von {{math|term= m |SZ=}} Funktionen {{mathl|term= \theta_1 {{kommadots|}} \theta_m |SZ=}} in den {{mathl|term= n-m|SZ=}} Variablen {{mathl|term= (x_1 {{kommadots|}} x_{n-m}) |SZ=}} gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen {{mathl|term= (v_1 {{kommadots|}} v_{m}) |SZ=}} {{Anführung|aufgelöst|SZ=,}} d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten {{mathl|term= (x_1 {{kommadots|}} x_{n-m}) |SZ=}} ausdrücken. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i70zd2kntplmhb5yjho63uuedpcs67a 0 38143 1111903 1101531 2026-08-16T17:31:25Z Bocardodarapti 2041 1111903 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Durch eine einfache {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |SZ= }} ist die Aussage äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Integral| -\infty|+\infty|Integrand= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} e^{- {{op:Bruch|t^2| 2}} } }} || 1 || || || |SZ=. }} Nennen wir dieses Integral {{math|term= I |SZ=.}} Nach {{Schalter{{{opt1|}}} | {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |SZ= }}| {{{zusatz1|zusatz1}}} |}} ist {{ Relationskette/display | I^2 || {{makl| {{op:Integral| -\infty|+\infty|Integrand= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} e^{- {{op:Bruch|t^2| 2}} } }} |}} \cdot {{makl| {{op:Integral| -\infty| +\infty|Integrand= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{2 \pi} }} e^{- {{op:Bruch|t^2| 2}} } }} |}} || {{op:Integralmaß| {{op:Bruch| 1 | 2 \pi }} e^{ - {{op:Bruch| x^2+y^2| 2}} } |\R^2| \lambda^2}} || || |SZ=. }} Durch Einführung von {{ Definitionslink |Polarkoordinaten| |SZ= }} {{ mathkor|term1= x= r {{op:cos| \theta|}} |und|term2= y= r {{op:sin| \theta|}} |SZ= }} ist dieses Integral nach {{ Faktlink{{{opt2|}}} ||Faktseitenname= Polarkoordinaten/Transformationsformel/Fakt |Faktseitenname2= Polarkoordinaten/Kompakte Teilmengen/Transformationsformel/Fakt |SZ= }} und {{Schalter{{{opt3|}}} |nach einer erneuten Anwendung von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |SZ= }}| {{{zusatz3|zusatz3}}} |}} gleich {{ Relationskette/align | \, || {{op:Bruch| 1 | 2 \pi}} {{op:Integralmaß|e^{- {{op:Bruch|r^2| 2}} } \cdot r | [0, 2 \pi] \times \R_{\geq 0} | \lambda^2|var=r,\theta }} || {{op:Bruch| 1 | 2 \pi}} {{makl| {{op:Integralmaß| 1 | [0, 2 \pi] | \lambda^1|var=\theta }} |}} {{makl| {{op:Integralmaß|e^{- {{op:Bruch|r^2| 2}} } \cdot r | \R_{\geq 0} | \lambda^1|var=r }} |}} || {{op:Integralmaß|e^{- {{op:Bruch|r^2| 2}} } \cdot r | \R_{\geq 0} | \lambda^1|var=r }} || {{op:Integral| 0 | \infty|Integrand= e^{- {{op:Bruch|r^2| 2}} } \cdot r | |r }} || {{op:Integralstamm| 0 | \infty|stamm =- e^{- {{op:Bruch|r^2| 2}} } | | }} || 1 |SZ=. }} Damit ist auch {{ Relationskette |I || 1 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02dwfdyyx8g6tomz7bnu171y1tqlk0w 0 39443 1111900 1100355 2026-08-16T17:28:06Z Bocardodarapti 2041 1111900 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll eine Straße in der Ebene der Breite {{math|term= 2a|SZ=}} asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve {{ Abbildung/display |name= | [0,s] |\R^2 | t | \psi(t) {{=|}} {{op:Spaltenvektor|f(t)|g(t)}} |SZ=, }} bestimmt ist. Dabei sei {{math|term= \psi|SZ=}} {{ Definitionslink |zweimal stetig differenzierbar| |Kontext=Kurve| |SZ= }} und {{ Definitionslink |bogenparametrisiert| |Kontext=Kurve| |SZ=, }} d.h. es sei {{ Relationskette | f'(t)^2 +g'(t)^2 || 1 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | [0,s] \times [-a,a] | \R^2 | (t,r) | {{op:Spaltenvektor| f(t) | g(t) }} + r {{op:Spaltenvektor| -g'(t) | f'(t) }} |SZ=, }} parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung {{math|term= \psi|SZ=}} injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll. Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| \varphi | (t,r)}} || {{op:Matrix22| f^{\prime} (t) - r g^{\prime \prime}(t) | - g'(t) | g^{\prime} (t) + r f^{\prime \prime}(t) | f'(t) }} || || || |SZ=. }} Die Determinante davon ist {{ Relationskette/align/handlinks | f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t) - r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || || || |SZ=. }} Daher ist die Asphaltfläche nach {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Integralmaß| {{op:Betrag| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} }} | [0,s] \times [-a,a] | \lambda^2}} |SZ=. }} Wenn wir weiter annehmen, dass {{ Relationskette/display | {{op:Betrag|g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t)|}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |a}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist| |ISZ=|ESZ=, }} so ist dieses Integral nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Integralmaß| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} | [0,s] \times [-a,a] | \lambda^2}} || 2a s - {{makl| {{op:Integral| -a| a |Integrand=r|| r}} |}} {{makl| {{op:Integral| 0 | s | Integrand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) || t }} |}} || 2a s - 0 \cdot {{makl| {{op:Integral| 0 | s |Integrand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) || t }} |}} || 2as || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Asphalt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oovtq0haqzz5m099r6j2gw04oueppf5 1111904 1111900 2026-08-16T17:33:16Z Bocardodarapti 2041 1111904 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es soll eine Straße in der Ebene der Breite {{math|term= 2a |SZ=}} asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve {{ Abbildung/display |name= | [0,s] | \R^2 | t | \psi(t) {{=|}} {{op:Spaltenvektor| f(t) | g(t) }} |SZ=, }} bestimmt ist. Dabei sei {{math|term= \psi |SZ=}} {{ Definitionslink |zweimal stetig differenzierbar| |Kontext=Kurve| |SZ= }} und {{ Definitionslink |bogenparametrisiert| |Kontext=Kurve| |SZ=, }} d.h. es sei {{ Relationskette | f'(t)^2 +g'(t)^2 || 1 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | [0,s] \times [-a,a] | \R^2 | (t,r) | {{op:Spaltenvektor| f(t) | g(t) }} + r {{op:Spaltenvektor| -g'(t) | f'(t) }} |SZ=, }} parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung {{math|term= \psi|SZ=}} injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll. Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| \varphi | (t,r)}} || {{op:Matrix22| f^{\prime} (t) - r g^{\prime \prime}(t) | - g'(t) | g^{\prime} (t) + r f^{\prime \prime}(t) | f'(t) }} || || || |SZ=. }} Die Determinante davon ist {{ Relationskette/align/handlinks | f'(t)f'(t) +g'(t)g'(t) - r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} || || || |SZ=. }} Daher ist die Asphaltfläche nach {{ Faktlink |Präwort=der|Transformationsformel|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Integralmaß| {{op:Betrag| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} }} | [0,s] \times [-a,a] | \lambda^2}} |SZ=. }} Wenn wir weiter annehmen, dass {{ Relationskette/display | {{op:Betrag|g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t)|}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |a}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist| |ISZ=|ESZ=, }} so ist dieses Integral nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Faktseitenname= Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |Faktseitenname2= Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Integralmaß| 1- r {{makl| g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) |}} | [0,s] \times [-a,a] | \lambda^2 }} || 2a s - {{makl| {{op:Integral| -a| a |Integrand=r|| r}} |}} {{makl| {{op:Integral| 0 | s | Integrand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) || t }} |}} || 2a s - 0 \cdot {{makl| {{op:Integral| 0 | s |Integrand= g^{\prime \prime}(t) f'(t) - f^{\prime \prime}(t) g'(t) || t }} |}} || 2as || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Asphalt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} egn01yy2utxbl25pg6sposd07tq7jpr 106 47066 1111931 1069701 2026-08-17T07:05:26Z Bocardodarapti 2041 1111931 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|53| Wir haben schon für verschiedene Differentialgleichungen gezeigt, dass eine Lösung existiert und durch eine Anfangswertbedingung eindeutig bestimmt ist. Der {{Stichwort|Satz von Picard-Lindelöf|SZ=}} beweist dies recht allgemein unter der Voraussetzung, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. {{Zwischenüberschrift|Lipschitz-Bedingung}} {{ inputbild |RLipschitz|jpeg| 230px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=[[w:Rudolf Lipschitz|Rudolf Lipschitz (1832-1903)]] |Autor= |Benutzer=Ahellwig |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Für den Satz von Picard-Lindelöf wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. {{:Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Textabschnitt|opt1=nichtvorgeführt}} Für ein lineares Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/display |v' || A(t) v + z(t) || || || |SZ= }} mit einer stetigen Matrix {{math|term=A(t)|SZ=}} sind die Bedingungen der vorstehenden Aussage erfüllt. Die {{math|term=i|SZ=-}}te Komponente des Vektorfelds besitzt ja die Gestalt {{ Relationskette/display |f_i(t, v_1 {{kommadots|}} v_n) || a_{i 1}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{i n}(t)v_n +z_i(t) || || || |SZ=. }} Daraus folgt, dass {{math|term=f_i|SZ=}} nach {{math|term=v_j|SZ=}} partiell ableitbar ist mit der stetigen Ableitung {{mathl|term= a_{ij}(t) |SZ=,}} so dass die Bedingungen erfüllt sind. {{Zwischenüberschrift|Differential- und Integralgleichungen}} Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve, das wir in Vorlesung 36 eingeführt haben, kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Picard-Lindelöf}} Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Picard-Lindelöf-Iteration}} Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf, den wir nicht vorgeführt haben, läuft über die äquivalente Integralgleichung und ist prinzipiell konstruktiv. Darauf beruht die {{Stichwort|Picard-Lindelöf-Iteration|SZ=,}} mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen. {{ inputbemerkung |Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Bemerkung|| }} Wir wenden dieses Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty/Aufgabe |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Zur Eindeutigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen}} Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen lokal, also auf einem gewissen Teilintervall, eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung gibt. Die folgende Aussage zeigt, dass eine Lösung dort, wo sie definiert ist, eindeutig bestimmt ist. Wir verwenden die folgende Zusammenhangseigenschaft eines reellen Intervalls {{math|term=J|SZ=,}} die aus dem Zwischenwertsatz folgt: Eine nichtleere Teilmenge {{ Relationskette |M |\subseteq|J || || || |SZ=, }} die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, muss gleich ganz {{math|term=J|SZ=}} sein. {{ inputfaktbeweis |Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt|Satz||opt1=2|zusatz1=Aus der Vorbemerkung || }} Das folgende Beispiel zeigt, dass ohne die Lipschitz-Bedingung die Lösung eines Anfangswertproblems nicht eindeutig bestimmt ist. In diesem Beispiel ist das Vektorfeld nach {{math|term=v|SZ=}} ableitbar, die Ableitung ist aber nicht stetig, so dass {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht anwendbar ist. {{ inputbeispiel |Differentialgleichung/Uneindeutigkeit/v' ist 3v^(2 durch3)/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Maximale Definitionsintervalle/Bemerkung|| }} }} 7s2fhvfi89xxxvkxejr2pgksranv17n 0 47522 1111914 1099827 2026-08-17T06:36:36Z Bocardodarapti 2041 1111914 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Wbridge2|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Rhdv |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein elektrisches Netzwerk {{ Zusatz/Klammer |text=ein Gleichstrom-Netzwerk| |ISZ=|ESZ= }} besteht aus mehreren miteinander verbundenen Drähten, die in diesem Zusammenhang die Kanten des Netzwerks genannt werden. In jeder Kante {{math|term= K_j |SZ=}} liegt ein bestimmter {{ Zusatz/Klammer |text=vom Material und der Kantenlänge abhängigen| |ISZ=|ESZ= }} Widerstand {{math|term= R_j |SZ=}} vor. Die Verbindungspunkte {{math|term= P_n |SZ=,}} in denen die Kanten zusammenlaufen, nennt man die Knoten des Netzwerks. Wenn an das Netzwerk {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. gewisse Kanten davon| |ISZ=|ESZ= }} eine Spannung angelegt wird, so fließt in jeder Kante ein bestimmter Strom {{math|term= I_j |SZ=.}} Es ist sinnvoll, für jede Kante eine Richtung zu fixieren, um die Fließrichtung des Stromes in dieser Kante unterscheiden zu können {{ Zusatz/Klammer |text=wenn der Strom in die entgegengesetzte Richtung fließt, so bekommt er ein negatives Vorzeichen| |ISZ=|ESZ=. }} Man spricht von gerichteten Kanten. In einem Knotenpunkt des Netzwerks fließen die Ströme der verschiedenen anliegenden Kanten zusammen, ihre Summe muss {{math|term= 0 |SZ=}} ergeben. Entlang einer Kante {{math|term= K_j |SZ=}} kommt es zu einem Spannungsabfall {{math|term= U_j |SZ=,}} der durch das Ohmsche Gesetz {{ Relationskette/display | U_j || R_j \cdot I_j || || |SZ= }} beschrieben wird. Unter einer Masche {{ Zusatz/Klammer |text=oder einem Zykel| |ISZ=|ESZ= }} des Netzwerks versteht man eine geschlossene gerichtete Verbindung von Kanten. Für eine solche Masche ist die Gesamtspannung {{math|term= 0 |SZ=,}} es sei denn, es wird {{Anführung|von außen}} eine Spannung angelegt. Wir listen diese {{Stichwort|Kirchhoffschen Regeln|msw=Kirchhoffsche Regeln|SZ=}} nochmal auf. {{ Aufzählung3 |In jedem Knoten ist die Summe der {{ Zusatz/Klammer |text=ein- und abfließenden| |ISZ=|ESZ= }} Ströme gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |Wenn in einer Masche eine Spannung {{math|term= V |SZ=}} angelegt wird, so ist die Summe der Spannungen gleich {{math|term= V |SZ=.}} }} Aus {{Anführung|physikalischen Gründen}} ist zu erwarten, dass bei einer angelegten Spannung in jeder Kante ein wohlbestimmter Strom fließt. In der Tat lässt sich dieser aus den genannten Gesetzmäßigkeiten berechnen, indem man diese in ein lineares Gleichungssystem übersetzt und dieses löst. In dem durch das Bild angegebenen Beispiel seien die Kanten {{mathl|term= K_1 {{kommadots|}} K_5 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Widerständen {{mathlk|term=R_1 {{kommadots|}} R_5 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von links nach rechts gerichtet, und die Verbindungskante {{math|term= K_0 |SZ=}} von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= C |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=an die die Spannung {{math|term= V |SZ=}} angelegt sei| |ISZ=|ESZ=, }} sei von unten nach oben gerichtet. Die vier Knotenpunkte und die drei Maschen {{ mathlist|term1= (A,D,B) ||term2= (D,B,C) |und|term3= (A,D,C) |SZ= }} führen auf das lineare Gleichungssystem {{ Zusatz/Klammer |text=einfließende Ströme gehen negativ und abfließende Ströme positiv ein; für die Maschen wählt man eine {{Anführung|Kreisrichtung|SZ=,}} im Beispiel nehmen wir den Uhrzeigersinn, und führen die gleichorientierten Spannungen positiv an| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= \begin{matrix} {{Zeile&6| I_0 |+ I_1 || -I_3 |}} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | || I_3 |+I_4| +I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| - I_0 ||+I_2 || -I_4| }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | -I_1 | -I_2 ||| -I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | R_1 I_1 ||+R_3 I_3 || -R_5 I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | | -R_2 I_2 || -R_4I_4|+R_5I_5 }} & = & 0 \\ {{Zeile&6| | -R_1I_1 |+R_2I_2 ||| }} & = & -V \, . \end{matrix} |SZ= }} Dabei sind die {{math|term= R_j |SZ=}} und {{math|term= V |SZ=}} vorgegebene Zahlen und die {{math|term= I_j |SZ=}} sind gesucht. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der elektrischen Netzwerke |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2hif8yyr8a174jgzmzmk3e1rrk3d2fj 10 47682 1111919 1055900 2026-08-17T06:42:47Z Bocardodarapti 2041 1111919 wikitext text/x-wiki <includeonly> {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex |#default=\begin{pmatrix} {{{1|}}} & {{{2|}}} & {{{3|}}} & {{{4|}}} & {{{5|}}} & {{{6|}}} \\ {{{7|}}} & {{{8|}}} & {{{9|}}} & {{{10|}}} & {{{11|}}} & {{{12|}}} \\ {{{13|}}} & {{{14|}}} & {{{15|}}}& {{{16|}}} & {{{17|}}} & {{{18|}}} \\ {{{19|}}} & {{{20|}}} & {{{21|}}} & {{{22|}}} & {{{23|}}} & {{{24|}}} \\ {{{25|}}} & {{{26|}}} & {{{27|}}} & {{{28|}}} & {{{29|}}} & {{{30|}}} \\ {{{31|}}} & {{{32|}}} & {{{33|}}} & {{{34|}}} & {{{35|}}} & {{{36|}}} \end{pmatrix} }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Theorie der Matrizen (kommutativer Ring)/Strukturvorlagen|Matrix]] </noinclude> amyfuzznzb1pgmt3kywcq1n6xj2nfcl 106 47967 1111872 792627 2026-08-16T13:12:09Z Bocardodarapti 2041 1111872 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|29| {{Zwischenüberschrift|Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} Es gibt homogene lineare Gleichungssysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor {{ Zusatz/Klammer |text=Störvektor| |ISZ=|ESZ= }} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine {{Stichwort|Störfunktion|SZ=}} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen. {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt}} }} lr84ixvuzievnzrzdhgdmk1ikehemqf 0 50853 1111915 1102827 2026-08-17T06:37:02Z Bocardodarapti 2041 1111915 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition|}} Es handelt sich dabei in der Tat um ein Ideal: Wenn {{ Relationskette | F(P) || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | G(P) || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | P | \in| T || || || |SZ= }} ist, so gilt dies auch für die Summe {{mathl|term= F+G }} und für jedes Vielfache {{math|term= HF |SZ=.}} Damit haben wir zwei Zuordnungen in entgegengesetzte Richtung: Einer Teilmenge im affinen Raum wird das Verschwindungsideal zugeordnet und einem Ideal im Polynomring das zugehörige Nullstellengebilde. Wir interessieren uns dafür, inwiefern sich Ideale und Nullstellengebilde entsprechen. {{ inputbeispiel |Affiner Raum/Verschwindungsideal zu leerer Menge und ganzem Raum/Beispiel|| }} {{inputbeispiel |Affine Varietäten/Affiner Raum/Verschwindungsideal zu Punkt/Beispiel|}} {{inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Verschwindungsideal/Antimonotonie/Fakt|Lemma||}} {{inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt|Lemma||}} {{inputbeispiel |Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Echt/Beispiel||}} {{inputfaktbeweis |Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt|Lemma|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qvmjbjk3m1yx97vd1dfwx4rh2mr31ly 0 50926 1111948 1097818 2026-08-17T10:46:45Z Bocardodarapti 2041 1111948 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} alle Lösungen der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || ty +t || || || |SZ= }} mit {{ Aufzählung2/a |dem {{ Faktlink |Präwort=|Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen|Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |SZ=, }} |dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für getrennte Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eji4r811o9f1acuvjbu3g9qkvv05bs8 0 52089 1111940 1103429 2026-08-17T07:19:50Z Bocardodarapti 2041 1111940 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein {{math|term= n |SZ=-}}dimensionaler {{ Zusatz/Klammer |text=achsenparalleler| |ISZ=|ESZ= }} Quader {{ Relationskette/display |Q || [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] {{timesdots|}} [a_n,b_n] | \subseteq| \R^n || || |SZ= }} hat nach Definition das {{math|term= n |SZ=-}}dimensionale Volumen {{ Relationskette/display | \lambda^n(Q) || (b_1-a_1) (b_2-a_2) \cdots (b_n-a_n) || || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} handelt es sich um die Streckenlänge, bei {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} um den Flächeninhalt eines Rechtecks, bei {{ Relationskette |n || 3 || || || |SZ= }} um das Volumen eines Quaders. Im Rahmen der Maßtheorie versucht man {{Anführung|möglichst vielen}} Teilmengen {{ Relationskette |T | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} ein sinnvolles Volumen {{ Zusatz/Klammer |text=ein Maß| |ISZ=|ESZ=, }} geschrieben {{Math/display|term=\lambda^n(T) |SZ=,}} zuzuordnen. Dies ist eine recht aufwändige Theorie, von der wir hier nur einige Prinzipien, Ergebnisse und Berechnungsansätze vorstellen können. Wir beschränken uns auf {{ Definitionslink |kompakte| |Kontext=R^n | |SZ=, }} also {{ Definitionslink |abgeschlossene| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkte| |Kontext=Metrik| |SZ= }} Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=diese stellen wir uns als einen {{Anführung|starren Körper}} vor| |ISZ=|ESZ=. }} Für den Subgraphen zu einer Funktion, also die Menge {{ Zusatz/Klammer |text=die in der Tat beschränkt und abgeschlossen ist| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y)| 0 \leq y \leq f(x)|a \leq x \leq b}} |SZ= }} zu einer stetigen Funktion {{ Abbildung/display |name=f |[a,b]|\R_{\geq 0} || |SZ= }} haben wir schon verwendet, dass der Flächeninhalt durch das bestimmte Integral der Funktion berechnet werden kann. Integration ist das wichtigste Hilfsmittel zur numerischen Bestimmung von allgemeinen Volumina. Wir besprechen nun einige wichtige Prinzipien von Volumina. {{Zwischenüberschrift|Überpflasterungseigenschaften}} Integrierbare Funktionen hatten wir über Ober- und Untersummen eingeführt. Für eine beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=kompakte| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge {{math|term= T |SZ=}} kann man das Volumen ebenfalls über Obersummen berechnen, wobei man Überpflasterungen von {{math|term= T |SZ=}} mit einer Familie von {{ Zusatz/Klammer |text=achsenparallelen| |ISZ=|ESZ= }} Quadern {{ mathbed|term= Q_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} betrachtet. {{ inputdefinition |Volumentheorie/Achsenparallele Überpflasterung/Definition|| }} Zu einer endlichen Überpflasterung {{ Zusatz/Klammer |text=bei der also die Indexmenge {{math|term= I |SZ=}} endlich ist| |ISZ=|ESZ= }} nennt man die Summe {{mathl|term= \sum_{i \in I} \lambda^n(Q_i) |SZ=}} die {{Stichwort|Quadersumme|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Quadervolumensumme|SZ=}} oder {{Stichwort|Gesamtvolumensumme|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der Überpflasterung. Eine wichtige Charakterisierung des Volumens einer kompakten Teilmenge ist, dass sie gleich dem {{ Definitionslink |Infimum| |Kontext=R| |SZ= }} über alle Quadersummen von Überpflasterungen ist. {{ inputfakt |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Endliche Überpflasterung/Fakt|Satz|| || }} Man könnte insbesondere die rechte Seite, also das Infimum über die Quadervolumensummen von Überpflasterungen, als Definition des Volumens ansetzen. Die Aussage gilt auch, wenn man mit beliebigen Quadern statt nur mit achsenparallelen Quadern arbeitet. Die Infimumseigenschaft bedeutet insbesondere, dass es zu jedem {{ Relationskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} eine Überpflasterung {{ mathbed|term= Q_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette/display | \sum_{i \in I} \lambda^n(Q_i) - \epsilon | \leq| \lambda^n(T) | \leq| \sum_{i \in I} \lambda^n(Q_i) || || |SZ= }} gibt, das wahre Volumen wird also beliebig genau durch Quadervolumensummen approximiert.{{{zusatz1|}}} Wir erwähnen einige weitere wichtige Eigenschaften des Volumens. Diese Eigenschaften werden natürlich von einer sinnvollen Volumentheorie erwartet, ihr Nachweis kann aber im Einzelnen schwierig sein. {{ inputfaktbeweis |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Disjunkte Vereinigung/Formel aus Überpflasterung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Produktmenge/Formel aus Überpflasterung/Fakt|Lemma|| }} Eine typische Produktmenge ist ein {{Stichwort|Zylinder|SZ=,}} also das Produkt aus einer Grundmenge {{ Relationskette | B | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} und einer Stecke, also einem Intervall {{ Relationskette | I | \subseteq | \R || || || |SZ=. }} Sein Volumen ist das Produkt aus dem Volumen der Grundmenge und der Streckenlänge. {{ inputfakt |R^n/Kompakte Teilmenge/In echtem Unterraum/Null/Fakt|Lemma|| }} Man beachte, dass dies eine Aussage über das {{math|term= n |SZ=-}}dimensionale Volumen ist, nicht über das {{math|term= k |SZ=-}}dimensionale Volumen als Teilmenge in {{ Relationskette | V | \cong | \R^k || || || |SZ=. }} Insbesondere besitzen einzelne Punkte im {{ mathbed|term= \R^n ||bedterm1= n\geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} das Volumen {{math|term= 0 |SZ=.}} Da sich jede Teilmenge aus seinen Einzelpunkten zusammensetzt, kann die obige Vereinigungsregel nicht für beliebige Vereinigungen gelten, d.h. die Gleichungskette {{ Relationskette/display | \lambda^n (T) || \lambda^n {{makl| \bigcup_{P \in T} \{P\} |}} || \sum_{P \in T} \lambda^n (\{P\}) || \sum_{P \in T} 0 || 0 |SZ= }} ist falsch {{ Zusatz/Klammer |text=andernfalls hätte jede Teilmenge das Volumen {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Teilmengen, deren Volumen {{math|term= 0 |SZ=}} ist, nennt man {{Stichwort|Nullmenge|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 91c2ly6sjaahcq0w6h7l5826vz0lm3f 0 52105 1111906 1103154 2026-08-16T18:00:57Z Bocardodarapti 2041 1111906 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |T | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{ Abbildung/display |name=f |T|\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R^n | |SZ=. }} Wir wollen das Integral {{mathl|term= \int_T f d \lambda^n |SZ=}} definieren, wofür man, wenn die Variablen des {{math|term= \R^n |SZ=}} mit {{mathl|term= x_1, x_2 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} bezeichnet werden, auch {{ Math/display|term= \int \int \ldots \int f(x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n) dx_1dx_2 \ldots dx_n |SZ= }} schreibt. Diese Schreibweise wird dann bevorzugt, wenn die jeweiligen Grenzen sinnvoll beschrieben werden können und so die Berechnung des Integrals auf die sukzessive Berechnung von {{math|term= n |SZ=}} Einzelintegralen {{ Zusatz/Klammer |text=in einer Variablen| |ISZ=|ESZ= }} zurückgeführt werden kann. Bei {{ Relationskette | n || 2 || || || |SZ= }} spricht man von einem {{Stichwort|Doppelintegral|SZ=}} und bei {{ Relationskette | n || 3 || || || |SZ= }} von einem {{Stichwort|Dreifachintegral|SZ=.}} Eine wichtige Interpretation des Integrals ist, dass {{math|term= f |SZ=}} eine {{Stichwort|Massenverteilung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Ladungsverteilung oder Temperaturverteilung| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Körper {{math|term= T |SZ=}} beschreibt. In diesem Fall ist das Integral gleich der Gesamtmasse des Körpers {{math|term= T |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | f || 1 || || || |SZ=, }} also bei einer konstanten Massenverteilung, erhält man über ein Integral das Volumen des Grundkörpers. Wir führen das Integral als {{mathl|term= (n+1) |SZ=-}}dimensionales Volumen des Subgraphen ein. {{ inputdefinition |Nichtnegative reellwertige Funktion auf Menge/Subgraph/Definition||M={{{M|T}}} }} {{ inputdefinition |Kompakte Teilmenge/Stetige nichtnegative Funktion/Integral als Volumen/Definition|| }} Damit wird der Integralbegriff auf den Volumenbegriff zurückgeführt. Für eine stetige, aber nicht notwendigerweise nichtnegative Funktion {{math|term= f |SZ=}} zerlegt man den Definitionsbereich in die beiden Teilmengen {{ mathkor|term1= T_{\geq 0} = {{Mengebed|P \in T|f(P) \geq 0}} |und|term2= T_{\leq 0} = {{Mengebed|P \in T|f(P) \leq 0}} |SZ=, }} die ebenfalls kompakt sind, und setzt {{ Relationskette/display | \int_T fd \lambda^n || \int_{T_{\geq 0} } f d \lambda^n - \int_{T_{\leq 0} }(- f) d \lambda^n || || || |SZ=. }} Ebenso kann man die positiven und negativen Funktionen {{ mathkor|term1= f_+ = {{op:min|f| 0}} |und|term2= f_- = {{op:min| -f| 0}} |SZ= }} einführen und das Integral als {{mathl|term= \int_T f_+ d \lambda^n - \int_T f_- d \lambda^n |SZ=}} ansetzen. Aus allgemeinen Volumenregeln ergeben sich die folgenden Integrationsregeln. {{ inputfakt |Kompakte Teilmenge/Stetige Funktion/Integrationsregeln/Fakt|Lemma|| || }} Die letzte Aussage ist auch ein Ansatz, um das Integral zu einer Funktion zu definieren, die nicht notwendigerweise stetig ist. Wenn es eine Zerlegung {{ Relationskette | T || \bigcup_{i \in I} T_i || || || |SZ= }} in endlich viele kompakte Teilmengen {{math|term= T_i |SZ=}} derart gibt, dass das Volumen der Durchschnitte {{mathl|term= T_i \cap T_j |SZ=}} für {{ Relationskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} jeweils {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Durchschnitte müssen also Nullmengen sein| |ISZ=|ESZ= }} und dass die {{ Definitionslink |Einschränkungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | f_i || f{{|}}_{T_i} || || || |SZ= }} stetig sind, so setzt man {{ Relationskette | \int_Tfd \lambda^n || \sum_{i \in I} \int_{T_i} f_i d \lambda^n || || || |SZ=. }} Eine solche Zerlegung ist auch bei stetigen Funktionen häufig sinnvoll. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ifdzjzxne7xq0g84mkgz2z5k4ey3x2p 1111908 1111906 2026-08-16T18:03:54Z Bocardodarapti 2041 1111908 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette | T | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{ Abbildung/display |name=f | T | \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R^n | |SZ=. }} Wir wollen das Integral {{mathl|term= \int_T f d \lambda^n |SZ=}} definieren, wofür man, wenn die Variablen des {{math|term= \R^n |SZ=}} mit {{mathl|term= x_1, x_2 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} bezeichnet werden, auch {{ Math/display|term= \int \int \ldots \int f {{makl| x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n |}} dx_1dx_2 \ldots dx_n |SZ= }} schreibt. Diese Schreibweise wird dann bevorzugt, wenn die jeweiligen Grenzen sinnvoll beschrieben werden können und so die Berechnung des Integrals auf die sukzessive Berechnung von {{math|term= n |SZ=}} Einzelintegralen {{ Zusatz/Klammer |text=in einer Variablen| |ISZ=|ESZ= }} zurückgeführt werden kann. Bei {{ Relationskette | n || 2 || || || |SZ= }} spricht man von einem {{Stichwort|Doppelintegral|SZ=}} und bei {{ Relationskette | n || 3 || || || |SZ= }} von einem {{Stichwort|Dreifachintegral|SZ=.}} Eine wichtige Interpretation des Integrals ist, dass {{math|term= f |SZ=}} eine {{Stichwort|Massenverteilung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Ladungsverteilung oder Temperaturverteilung| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Körper {{math|term= T |SZ=}} beschreibt. In diesem Fall ist das Integral gleich der Gesamtmasse des Körpers {{math|term= T |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | f || 1 || || || |SZ=, }} also bei einer konstanten Massenverteilung, erhält man über ein Integral das Volumen des Grundkörpers. Wir führen das Integral als {{mathl|term= (n+1) |SZ=-}}dimensionales Volumen des Subgraphen ein. {{ inputdefinition |Nichtnegative reellwertige Funktion auf Menge/Subgraph/Definition||M={{{M|T}}} }} {{ inputdefinition |Kompakte Teilmenge/Stetige nichtnegative Funktion/Integral als Volumen/Definition|| }} Damit wird der Integralbegriff auf den Volumenbegriff zurückgeführt. Für eine stetige, aber nicht notwendigerweise nichtnegative Funktion {{math|term= f |SZ=}} zerlegt man den Definitionsbereich in die beiden Teilmengen {{ mathkor|term1= T_{\geq 0} = {{Mengebed|P \in T|f(P) \geq 0}} |und|term2= T_{\leq 0} = {{Mengebed|P \in T|f(P) \leq 0}} |SZ=, }} die ebenfalls kompakt sind, und setzt {{ Relationskette/display | \int_T fd \lambda^n || \int_{T_{\geq 0} } f d \lambda^n - \int_{T_{\leq 0} }(- f) d \lambda^n || || || |SZ=. }} Ebenso kann man die positiven und negativen Funktionen {{ mathkor|term1= f_+ = {{op:max| f | 0 }} |und|term2= f_- = {{op:min| -f | 0 }} |SZ= }} einführen und das Integral als {{mathl|term= \int_T f_+ d \lambda^n - \int_T f_- d \lambda^n |SZ=}} ansetzen. Aus allgemeinen Volumenregeln ergeben sich die folgenden Integrationsregeln. {{ inputfakt |Kompakte Teilmenge/Stetige Funktion/Integrationsregeln/Fakt|Lemma|| }} Die letzte Aussage ist auch ein Ansatz, um das Integral zu einer Funktion zu definieren, die nicht notwendigerweise stetig ist. Wenn es eine Zerlegung {{ Relationskette | T || \bigcup_{i \in I} T_i || || || |SZ= }} in endlich viele kompakte Teilmengen {{math|term= T_i |SZ=}} derart gibt, dass das Volumen der Durchschnitte {{mathl|term= T_i \cap T_j |SZ=}} für {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} jeweils {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Durchschnitte müssen also Nullmengen sein| |ISZ=|ESZ= }} und dass die {{ Definitionslink |Einschränkungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | f_i || f{{|}}_{T_i} || || || |SZ= }} stetig sind, so setzt man {{ Relationskette | \int_Tfd \lambda^n || \sum_{i \in I} \int_{T_i} f_i d \lambda^n || || || |SZ=. }} Eine solche Zerlegung ist auch bei stetigen Funktionen häufig sinnvoll. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mvw8plft45gnuamc3hke2rym1e3bhsx 0 52512 1111884 1100428 2026-08-16T14:01:00Z Bocardodarapti 2041 1111884 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Zentralfeld| |Kontext=| |SZ= }} zur Funktion {{ Abbildung/display |name=g |\R \times \R \times \R \setminus \{0\} | \R |(t,x,y)|g(t,x,y) {{=|}} {{op:Bruch|t^2x^2| y}} |SZ=, }} also das Vektorfeld {{ Abbildung/display |name= F | \R \times \R \times \R \setminus \{0\}| \R^2 | (t,x,y) | {{op:Bruch| t^2x^2 | y }} \cdot {{op:Zeilenvektor| x | y |}} {{=|}} {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| t^2x^3 | y }} | t^2x^2 |}} |SZ=, }} und die Anfangsbedingung {{ Relationskette | v (0) || (4,-3) || || || || |SZ=. }} Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | z' || g(t,4z,-3z) \cdot z || {{op:Bruch| t^2 16z^2 | -3z}} \cdot z || -{{op:Bruch| 16 | 3}} t^2z^2 || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette | z(0) || 1 || || || |SZ= }} lösen. Dies ist eine {{ Definitionslink |Differentialgleichung mit getrennten Variablen| |Kontext=| |SZ=, }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist g(t)y^2/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | z(t) || {{op:Bruch| 1 | {{op:Bruch| 16| 9}} t^3 +1 }} || || || |SZ= }} die Lösung mit {{ Relationskette | z(0) || 1 || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | v(t) || {{op:Bruch| 1 | {{op:Bruch| 16 | 9 }} t^3 +1 }} {{op:Zeilenvektor| 4 | -3 }} || || || |SZ= }} die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Zentralfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f6vrdly8xeabgipmuov337b0pny4h5o 0 52547 1111885 1099724 2026-08-16T14:43:30Z Bocardodarapti 2041 1111885 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Anfangswertproblem| |Kontext=n| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| x | y}}' = {{op:Spaltenvektor|tx-y^2| xy-t^2}} \text{ mit } x(0)=0 \text{ und } y(0)=1 |SZ= }} und machen den Potenzreihenansatz {{ mathkor|term1= x(t) = \sum_{k= 0}^\infty a_k t^k |und|term2= y(t) = \sum_{k=0}^\infty b_k t^k |SZ=. }} Aufgrund der Anfangsbedingung ist {{ Mathkor/display|term1= a_0=0 |und|term2= b_0=1 |SZ=. }} Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenzreihengleichungen {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k a_k t^{k-1} || t {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} - {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}}^2 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k b_k t^{k-1} || {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}} - t^2 || || |SZ=, }} die wir gradweise auswerten. Für den Grad {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Potenzreihengleichungen| |ISZ=|ESZ= }} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= a_1 =- b_0^2 =-1 |und|term2= b_1 =a_0b_0 = 0 |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 2 a_2 = a_0 - 2b_0b_1 =0 |und|term2= 2 b_2 =a_0b_1+a_1b_0 = -1 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_2=0 |und|term2= b_2 = - {{op:Bruch| 1 | 2}} |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 2 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 3 a_3 = a_1 - 2b_0b_2-b_1^2 =-1+ 1 = 0 |und|term2= 3 b_3 =a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0 -1 =-1 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_3= 0 |und|term2= b_3 = - {{op:Bruch| 1 | 3}} |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 4 a_4 = a_2 - 2b_0b_3- 2 b_1b_2 = {{op:Bruch| 2 | 3}} |und|term2= 4 b_4 =a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1 +a_3b_0 = {{op:Bruch| 1| 2}} |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_4= {{op:Bruch| 1 | 6}} |und|term2= b_4 = {{op:Bruch| 1| 8}} |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 4 |SZ=}} ist demnach {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| -t + {{op:Bruch| 1 | 6}} t^4 | 1 - {{op:Bruch| 1 | 2}}t^2 - {{op:Bruch| 1 | 3}}t^3 + {{op:Bruch| 1| 8}} t^4 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h4jy0j7drmdd44x7j0cukcarma1bsah 0 52590 1111887 1100371 2026-08-16T14:48:37Z Bocardodarapti 2041 1111887 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |gewöhnliche Differentialgleichung| |Kontext=| |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | F(t,x,y) || {{op:Zeilenvektor| tx+t^3, y^2 }} || || || |SZ=. }} Dieses System ist {{ Definitionslink |entkoppelt| |Kontext=DG| |SZ= }} und besteht aus den beiden einzelnen Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=in jeweils einer Raumvariablen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= x'=t x+t^3 \text{ und } y'= y^2 |SZ=. }} Eine Lösung der linken Differentialgleichung ist {{ Relationskette | x(t) || -t^2-2 || || || |SZ=, }} eine Lösung der rechten ist {{ Relationskette | y(t) || -t^{-1} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| -t^2-2 | -t^{-1} | }} |SZ= }} eine Lösung zu {{math|term= F |SZ=.}} Wir betrachten nun die lineare Transformation {{ Relationskette/display | \varphi || {{op:Matrix22| 4 | 3 | -3 | -2 }} || || || |SZ= }} mit der inversen Matrix {{ Relationskette/display | \varphi^{-1} || {{op:Matrix22| -2 | -3 | 3 | 4 }} || || || |SZ=. }} Das transformierte Vektorfeld ist {{ Relationskette/align/drucklinks | G(t,u,v) || \varphi (F(t, \varphi^{-1}(u,v))) || \varphi (F(t,-2u-3v,3u+4v )) || \varphi (t(-2u-3v)+t^3, (3u+4v)^2 ) || \varphi (t(-2u-3v)+t^3, 9u^2+24uv+16v^2 ) || ( 4(t(-2u-3v)+t^3)+3 (9u^2+24uv+16v^2) , -3(t(-2u-3v)+t^3)-2 (9u^2+24uv+16v^2) ) || (-8tu-12tv+4t^3+27u^2+72uv+48v^2, 6tu+9tv-3t^3-18u^2-48uv-32v^2) |SZ=. }} Für die zu {{math|term= G |SZ=}} gehörende Differentialgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|u'|v'}} || G(t,u,v) || || || || |SZ= }} ist gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | \varphi ( {{op:Spaltenvektor| -t^2-2 | -t^{-1} |}} ) || {{op:Spaltenvektor| -4t^2-8-3t^{-1} | 3t^2+6+2t^{-1} |}} || || || |SZ= }} eine Lösung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ryd9efwtjdgukte1zn5u2t02pjz131z 0 52774 1111896 1102589 2026-08-16T17:12:24Z Bocardodarapti 2041 1111896 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ Relationskette | G | \subseteq | \R^n || || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | D | \subseteq |\R^m || || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |SZ=, }} und {{ Abbildung |name= {{{f|f}}} | G |\R^m || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= {{{g|g}}} | D | \R^k || |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} |Voraussetzung= derart, dass {{ Relationskette | {{{f|f}}}(G) | \subseteq | D || || || || |SZ= }} gilt. Es sei weiter angenommen, dass {{math|term= {{{f|f}}} |SZ=}} in {{ Relationskette | P | \in | G || || || |SZ= }} und {{math|term= {{{g|g}}} |SZ=}} in {{ Relationskette | {{{f|f}}}(P) | \in| D || || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} sind. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Abbildung |name= {{{h|h}}} = {{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} | G | U || |SZ= }} in {{math|term= P |SZ=}} differenzierbar und zwischen den {{ Definitionslink |Jacobi-Matrizen| |Kontext=R| |SZ= }} gilt die Beziehung {{ Relationskette/display | \operatorname{Jak}({{{h|h}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || || |SZ=, }} also ausgeschrieben {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Jacobimatrix| n | k | {{{h|h}}} | x | P}} || {{op:Jacobimatrix| m | k | {{{g|g}}} | y |f(P)}} \circ {{op:Jacobimatrix| n | m | {{{f|f}}} | x | P}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname=Die Kettenregel (Jacobimatrix) |Stichwort= |Abfrage= |MSW=Kettenregel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23o79chqo0xtak9z8icdleg34323pak 0 52777 1111897 1100351 2026-08-16T17:14:52Z Bocardodarapti 2041 1111897 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} |\R^3|\R^2 | {{op:Zeilenvektor| u | v |w}} | {{op:Zeilenvektor|uv^3w^2|u^2-v^2w}} |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{g|g}}} |\R^2|\R^3 | {{op:Zeilenvektor| x | y}} | {{op:Zeilenvektor| xy-y^2| {{op:cos| x |}} | x-y}} |SZ= }} illustrieren. Diese Abbildungen sind {{ Definitionslink |stetig partiell differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} und daher nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrizen| |Kontext=R| |SZ= }} zu diesen Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=in einem beliebigen Punkt {{ Relationskette/k | P || (u,v,w) | \in | \R^3 || || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/k |Q || (x,y) | \in | \R^2 || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} sind {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (f)_P || {{op:Matrix23| {{op:Partielle Ableitung|f_1 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | w | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | w | P}} |}} || {{op:Matrix23| v^3w^2| 3uv^2w^2 | 2uv^3w | 2u| -2vw | -v^2}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (g)_Q || {{op:Matrix32| {{op:Partielle Ableitung|g_1 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_1 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | y | Q}} |}} || {{op:Matrix32| y | x-2y | - {{op:sin| x |}} | 0 | 1 | -1}} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | g(f(u,v,w)) || {{op:Zeilenvektor| uv^3w^2 {{makl| u^2-v^2w |}}- {{makl| u^2-v^2w |}}^2 | {{op:cos| {{makl| uv^3w^2|}} |}} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || {{op:Zeilenvektor| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w | {{op:cos| {{makl|uv^3w^2 |}} }} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || || |SZ=, }} die zugehörige Jacobi-Matrix in {{ Relationskette |P ||(u,v,w) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display/handlinks | \operatorname {Jac} (g \circ f)_P || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w | 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u| 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte lineare Abbildung ist {{ Relationskette/align/drucklinks | \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ (uv^3w^2,u^2-v^2w)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || {{op:Matrix32| u^2-v^2w | uv^3w^2-2u^2+2v^2w | - {{op:sin(|uv^3w^2|}} | 0 | 1 | -1 }} \circ {{op:Matrix23| v^3w^2 | 3uv^2w^2 | 2uv^3w | 2u | -2vw | -v^2}} || {{op:Matrix33| {{makl| u^2-v^2w |}} v^3w^2 + {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2u | {{makl| u^2-v^2w |}} 3uv^2w^2 - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2vw | {{makl| u^2-v^2w |}} 2uv^3w - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u| 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w | 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | v^3w^2-2u | 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qydzf1fup3txj7gtr1hrjn31z97vhmt 1111898 1111897 2026-08-16T17:16:17Z Bocardodarapti 2041 1111898 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Faktlink |Präwort=|Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} |\R^3|\R^2 | {{op:Zeilenvektor| u | v |w}} | {{op:Zeilenvektor|uv^3w^2|u^2-v^2w}} |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{g|g}}} |\R^2|\R^3 | {{op:Zeilenvektor| x | y}} | {{op:Zeilenvektor| xy-y^2| {{op:cos| x |}} | x-y}} |SZ= }} illustrieren. Diese Abbildungen sind {{ Definitionslink |stetig partiell differenzierbar| |Kontext=R| |SZ= }} und daher nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrizen| |Kontext=R| |SZ= }} zu diesen Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=in einem beliebigen Punkt {{ Relationskette/k | P || (u,v,w) | \in | \R^3 || || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/k | Q || (x,y) | \in | \R^2 || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} sind {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (f)_P || {{op:Matrix23| {{op:Partielle Ableitung|f_1 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_1 | w | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | u | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | v | P}} | {{op:Partielle Ableitung|f_2 | w | P}} |}} || {{op:Matrix23| v^3w^2| 3uv^2w^2 | 2uv^3w | 2u| -2vw | -v^2}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \operatorname {Jac} (g)_Q || {{op:Matrix32| {{op:Partielle Ableitung|g_1 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_1 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_2 | y | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | x | Q}} | {{op:Partielle Ableitung|g_3 | y | Q}} |}} || {{op:Matrix32| y | x-2y | - {{op:sin| x |}} | 0 | 1 | -1}} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | g(f(u,v,w)) || {{op:Zeilenvektor| uv^3w^2 {{makl| u^2-v^2w |}}- {{makl| u^2-v^2w |}}^2 | {{op:cos| {{makl| uv^3w^2|}} |}} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || {{op:Zeilenvektor| u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w | {{op:cos| {{makl|uv^3w^2 |}} }} | uv^3w^2-u^2+v^2w }} || || |SZ=, }} die zugehörige Jacobi-Matrix in {{ Relationskette |P ||(u,v,w) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/align/netzlinks | \operatorname {Jac} (g \circ f)_P || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w | 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2|}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u| 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || || |SZ=. }} Die zusammengesetzte lineare Abbildung ist {{ Relationskette/align/netzlinks | \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ (uv^3w^2,u^2-v^2w)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || {{op:Matrix32| u^2-v^2w | uv^3w^2-2u^2+2v^2w | - {{op:sin(|uv^3w^2|}} | 0 | 1 | -1 }} \circ {{op:Matrix23| v^3w^2 | 3uv^2w^2 | 2uv^3w | 2u | -2vw | -v^2}} || {{op:Matrix33| {{makl| u^2-v^2w |}} v^3w^2 + {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2u | {{makl| u^2-v^2w |}} 3uv^2w^2 - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} 2vw | {{makl| u^2-v^2w |}} 2uv^3w - {{makl| uv^3w^2-2u^2+2v^2w |}} v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} |v^3w^2-2u| 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} || {{op:Matrix33| 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w | 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw | 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 | - v^3w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 3uv^2w^2 {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | - 2uv^3w {{op:sin| {{makl| uv^3w^2 |}} }} | v^3w^2-2u | 3uv^2w^2+2vw | 2uv^3w+v^2 }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6yfazs12cxkmv1w9fbmyv71y5fdz63w 0 52869 1111918 1100067 2026-08-17T06:41:40Z Bocardodarapti 2041 1111918 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ Abbildung/display |name=g | \R | \R | t | t |SZ=, }} und das {{ Definitionslink |Einheitsintervall| |SZ= }} {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} bestimmen, für welche {{math|term= n |SZ=}} Unterteilungspunkte {{ Relationskette | 0 | < | x_1 | <| \ldots | <| x_n | < | 1 |SZ= }} das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |SZ= }} der zugehörigen {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=(n+1) |SZ=-}}stufigen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |unteren Treppenfunktion| |SZ= }} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion {{ Relationskette/align/handlinks | f {{makl| x_1 {{kommadots|}} x_n |}} || x_1 {{makl| x_2-x_1 |}} +x_2 {{makl| x_3-x_2 |}} {{plusdots|}} x_{n-1} {{makl| x_n-x_{n-1} |}} + x_n {{makl| 1-x_n |}} || \sum_{i {{=|}} 1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} +x_n - \sum_{i {{=|}} 1}^n x_i^2 || || |SZ= }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} dieser Funktion sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_1 }} || x_2 -2x_1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_i }} || x_{i-1} +x_{i+1} -2x_i || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i || 2 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_n }} || x_{n-1} + 1 - 2x_n || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |SZ=, }} indem wir die partiellen Ableitungen gleich {{math|term= 0 |SZ=}} setzen. Die ersten {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen {{ Relationskette/display | x_i || i x_1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=.}} Dies zeigt man durch {{ Definitionslink |Induktion| |SZ=, }} der Induktionsanfang {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | i || 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist trivial, {{ Relationskette | i || 2 || || || |SZ= }} folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus {{ Relationskette/display | x_{i+1} || -x_{i-1} +2x_i || -(i-1)x_1 +2ix_1 || (i+1 ) x_1 || |SZ=. }} Aus der letzen Gleichung folgt schließlich {{ Relationskette/display | 0 || x_{n-1} +1 -2x_n || 1 +( n-1 -2n ) x_1 || 1 -(n+1) x_1 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | x_1 || {{op:Bruch| 1 | n+1 }} || || || |SZ=. }} Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom Punkt| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix66| -2 | 1 | 0 | \ldots | \ldots | 0 | 1 | -2 | 1 | 0 | \ldots | 0 | 0| 1 | -2| 1 | \ddots | 0 | \vdots | \ddots | \ddots | \ddots | \ddots | \vdots | 0 | \ldots | 0 | 1 | -2 | 1 | 0 | \ldots | \ldots | 0 | 1 | -2 |}} |SZ=. }} Diese Matrix ist {{ Definitionslink |negativ definit| |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Nr= |SZ=. }} Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |SZ= }} das Maximum vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ir242bwoppi6fy0r7c6l0bkqgyh2umd 1111920 1111918 2026-08-17T06:44:12Z Bocardodarapti 2041 1111920 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen für die Funktion {{ Abbildung/display |name=g | \R | \R | t | t |SZ=, }} und das {{ Definitionslink |Einheitsintervall| |SZ= }} {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} bestimmen, für welche {{math|term= n |SZ=}} Unterteilungspunkte {{ Relationskette | 0 | < | x_1 | <| \ldots | <| x_n | < | 1 |SZ= }} das {{ Definitionslink |Treppenintegral| |SZ= }} der zugehörigen {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=(n+1) |SZ=-}}stufigen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |unteren Treppenfunktion| |SZ= }} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion {{ Relationskette/align/handlinks | f {{makl| x_1 {{kommadots|}} x_n |}} || x_1 {{makl| x_2-x_1 |}} +x_2 {{makl| x_3-x_2 |}} {{plusdots|}} x_{n-1} {{makl| x_n-x_{n-1} |}} + x_n {{makl| 1-x_n |}} || \sum_{i {{=|}} 1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} +x_n - \sum_{i {{=|}} 1}^n x_i^2 || || |SZ= }} beschrieben. Die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |SZ= }} dieser Funktion sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_1 }} || x_2 -2x_1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_i }} || x_{i-1} +x_{i+1} -2x_i || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i || 2 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x_n }} || x_{n-1} + 1 - 2x_n || || || |SZ=. }} Wir bestimmen die {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |SZ=, }} indem wir die partiellen Ableitungen gleich {{math|term= 0 |SZ=}} setzen. Die ersten {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen {{ Relationskette/display | x_i || i x_1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=.}} Dies zeigt man durch {{ Definitionslink |Induktion| |SZ=, }} der Induktionsanfang {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | i || 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist trivial, {{ Relationskette | i || 2 || || || |SZ= }} folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus {{ Relationskette/display | x_{i+1} || -x_{i-1} +2x_i || -(i-1)x_1 +2ix_1 || (i+1 ) x_1 || |SZ=. }} Aus der letzten Gleichung folgt schließlich {{ Relationskette/display | 0 || x_{n-1} +1 -2x_n || 1 +( n-1 -2n ) x_1 || 1 -(n+1) x_1 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | x_1 || {{op:Bruch| 1 | n+1 }} || || || |SZ=. }} Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=unabhängig vom Punkt| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix66| -2 | 1 | 0 | \ldots | \ldots | 0 | 1 | -2 | 1 | 0 | \ldots | 0 | 0| 1 | -2| 1 | \ddots | 0 | \vdots | \ddots | \ddots | \ddots | \ddots | \vdots | 0 | \ldots | 0 | 1 | -2 | 1 | 0 | \ldots | \ldots | 0 | 1 | -2 |}} |SZ=. }} Diese Matrix ist {{ Definitionslink |negativ definit| |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt |Nr= |SZ=. }} Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |SZ= }} das Maximum vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ja2pmvl1ifo3hxyrtxkndka16rtwxen 0 53853 1111921 1111493 2026-08-17T06:48:01Z Bocardodarapti 2041 1111921 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^3 | \R^3 | (r, \theta,\varphi) | {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:sin|\varphi|}} {{op:sin|\theta|}} | r {{op:cos|\theta|}} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie {{mathlk|term= \R_{\geq 0} \times [0, \pi] \times [0,2 \pi] |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|Kugelkoordinatenauswertung|SZ=.}} Diese Abbildung bildet die {{Stichwort|Kugelkoordinaten|SZ=}} {{mathl|term= (r, \theta,\varphi) |SZ=}} auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} ab. {{ inputbild | 3D Spherical|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Andeggs |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die Bedeutung der Kugelkoordinaten ist folgendermaßen: {{math|term= r |SZ=}} ist der Abstand von {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} zum Nullpunkt. Bei {{ Relationskette | r || 1 || || || |SZ= }} definieren die beiden Winkel {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \theta |SZ= }} einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt {{math|term= \varphi |SZ=}} einen Punkt auf dem Einheitskreis in der {{mathl|term= x-y |SZ=-}}Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Äquator| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= \theta |SZ=}} bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis {{ Zusatz/Klammer |text=der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist| |ISZ=|ESZ=, }} wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | r || 1 || || || |SZ= }} und| |ISZ=|ESZ= }} einen festen Winkel {{math|term= \theta |SZ=}} parametrisiert {{math|term= \varphi |SZ=}} einen {{Stichwort|Breitenkreis|SZ=,}} wobei {{ Relationskette | \theta || {{op:Bruch| \pi| 2}} || || || |SZ= }} den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel {{math|term= \varphi |SZ=}} hingegen parametrisiert {{math|term= \theta |SZ=}} den oben angesprochenen Halbkreis, einen {{Stichwort|Längenkreis|SZ=.}} In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus {{mathl|term= [- {{op:Bruch| \pi| 2}}, {{op:Bruch| \pi| 2}} ] |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ= }} spricht man von nördlicher und südlicher Breite| |ISZ=|ESZ= }} und nimmt {{mathl|term= - {{op:sin| \theta |}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} der Abbildung ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:cos| \varphi |}} {{op:sin| \theta |}} | r {{op:cos| \varphi |}} {{op:cos| \theta |}} | -r {{op:sin| \varphi |}} {{op:sin| \theta|}} | {{op:sin| \varphi |}} {{op:sin|\theta |}} | r {{op:sin| \varphi |}} {{op:cos| \theta |}} | r {{op:cos| \varphi |}} {{op:sin| \theta |}} | {{op:cos| \theta |}} | -r {{op:sin| \theta |}} | 0}} |SZ= }} und die Determinante davon ist {{ Math/display|term= r^2 {{op:sin| \theta |}} |SZ=. }} D.h. bei {{ Relationskette | r |\neq| 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \theta |\notin| \Z \pi || || || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ= }} invertierbar und daher liegt {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |lokaler Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen {{mathl|term= \R_+ \times ]0, \pi[ \times [0, 2 \pi[ |SZ=}} und {{mathl|term= \R^3 \setminus {{Mengebed| (0,0,z) | z \in \R }} |SZ=}} vorliegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kugelkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dkfwbp13d2phi6xkl8ot3eh48i6ui7v 0 54042 1111941 1048388 2026-08-17T07:22:01Z Bocardodarapti 2041 1111941 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Abschätzung {{math|term= \leq|SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt |Nr=2 |SZ=. }} Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von {{mathl|term= T_1 \cup T_2 |SZ=}} gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit {{{zusatz1|}}} gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | d(P_1,P_2) | > | \epsilon || || || |SZ= }} für alle {{ mathkor|term1= P_1 \in T_1 |,|term2= P_2 \in T_2 |SZ=, }} ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, sodass diese zu {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens| |ISZ=|ESZ= }} einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader jeweils nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie {{mathl|term= \lambda^n {{makl| T_1 |}} + \lambda^n {{makl| T_2 |}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 30m825hwq46kjhn44i9fc25o6mjuooj 0 54065 1111907 1100119 2026-08-16T18:02:00Z Bocardodarapti 2041 1111907 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir berechnen den {{ Definitionslink |Schwerpunkt| |Kontext=| |SZ= }} der oberen Einheitshalbkugel, also von {{ Relationskette/display | T || {{Mengebed| (x,y,z) \in \R^3 | x^2+y^2+z^2 \leq 1 | z \geq 0 }} || || || |SZ=. }} Die {{math|term= x |SZ=-}} und die {{math|term= y |SZ=-}}Koordinaten müssen aus Symmetriegründen natürlich {{math|term= 0 |SZ=}} sein. Für die {{math|term= z |SZ=-}}Koordinate berechnen wir {{ Relationskette/align/drucklinks | \int_{-1}^1 \int_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2} } zdzdydx || \int_{-1}^1 \int_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| 1-x^2-y^2 |}} dydx || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{-1}^1 {{makl| {{makl| 1-x^2 |}} y - {{op:Bruch| 1 | 3}} y^3 |}} {{|}}_{- \sqrt{1-x^2} }^{ \sqrt{1-x^2} } dx || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{-1}^1 {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} - {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| 1-x^2|}} \sqrt{1-x^2} - {{makl| - {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} + {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} |}} dx || {{op:Bruch| 1 | 2}} \int_{-1}^1 {{op:Bruch| 4 | 3}} {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} dx || {{op:Bruch| 2 | 3}} \int_{-1}^1 {{makl| 1-x^2 |}} \sqrt{1-x^2} dx |SZ=. }} Wir führen die {{ Faktlink |Präwort=|Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Nr= |SZ= }} mit {{ Relationskette | x || {{op:sin| u |}} || || || |SZ= }} durch und erhalten {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Vorfaktor| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | \int_{ - {{op:Bruch| \pi| 2}} }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } {{makl| 1- {{op:sin| u |exp=2}} |}} {{op:cos| u |}} \cdot {{op:cos| u |}} du || \int_{ - {{op:Bruch| \pi| 2}} }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } {{makl| 1- {{op:sin| u |exp=2}} |}} {{makl| 1- {{op:sin| u |exp=2}} |}} du || \int_{ - {{op:Bruch| \pi| 2}} }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } 1- 2{{op:sin| u |exp=2}} + {{op:sin| u |exp=4}} du || 2 \int_{ 0 }^{ {{op:Bruch| \pi| 2}} } 1- 2{{op:sin| u |exp=2}} + {{op:sin| u |exp=4}} du || |SZ=. }} Unter Verwendung von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist dieses Integral gleich {{ Relationskette/display | 2 {{makl| {{op:Bruch| \pi| 2}} - 2 {{op:Bruch| \pi| 4}} + {{op:Bruch| 3 | 8}} \cdot {{op:Bruch| \pi| 2}} |}} || {{op:Bruch| 3 | 8}} \pi || || || |SZ=. }} Das Volumen der halben Einheitskugel ist {{ Beispiellink |Präwort=nach|| Beispielseitenname= Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip aus Kreisfläche/Beispiel |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| 2 | 3}} \pi |SZ=.}} Daher ist die {{math|term= z |SZ=-}}Koordinate des Schwerpunkts gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 2 | 3}} \cdot {{op:Bruch| 3 | 8}} \pi| {{op:Bruch| 2 | 3}} \pi |}} || {{op:Bruch| 3 | 8}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvhvqqt2bvi10ll503ho1i6fqyjpb55 0 59021 1111886 1094384 2026-08-16T14:43:54Z Bocardodarapti 2041 1111886 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir machen den Potenzreihenansatz {{ mathkor|term1= x(t) = \sum_{k= 0}^\infty a_k t^k |und|term2= y(t) = \sum_{k=0}^\infty b_k t^k |SZ=. }} Aufgrund der Anfangsbedingung ist {{ Mathkor/display|term1= a_0=1 |und|term2= b_0=0 |SZ=. }} Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenzreihengleichungen {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k a_k t^{k-1} || t^2 {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} - {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}} {{makl| \sum_{k{{=}}0}^\infty b_k t^k |}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty b_k t^k |}}^\prime || \sum_{k {{=|}} 1}^\infty k b_k t^{k-1} || t^3 + {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^\infty a_k t^k |}}^2 || || |SZ=, }} die wir gradweise auswerten. Für den Grad {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Potenzreihengleichungen| |ISZ=|ESZ= }} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= a_1 = - a_0 b_0 = 0 |und|term2= b_1 =a_0^2 = 1 |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 2 a_2 = -a_1b_0 - a_0b_1 = -1 |und|term2= 2 b_2 =2a_0a_1 = 0 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_2= - {{op:Bruch| 1| 2}} |und|term2= b_2 = 0 |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 2 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 3 a_3 = a_0 - a_0b_2-a_1b_1-a_2b_0 = 1 |und|term2= 3 b_3 = 2a_0 a_2+ a_1a_1 = -1 |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_3= {{op:Bruch| 1| 3}} |und|term2= b_3 = - {{op:Bruch| 1| 3}} |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} ergeben sich daraus die beiden Gleichungen {{ Mathkor/display|term1= 4 a_4 = a_1 - a_0b_3- a_1b_2-a_2b_1 -a_3b_0 = {{op:Bruch| 1| 3}} + {{op:Bruch| 1| 2}} = {{op:Bruch| 5| 6}} |und|term2= 4 b_4 =1 + 2a_0a_3 +2a_1a_2 =1 + {{op:Bruch| 2| 3}} = {{op:Bruch| 5| 3}} |SZ=, }} also ist {{ mathkor|term1= a_4= {{op:Bruch| 5| 24}} |und|term2= b_4 = {{op:Bruch| 5| 12}} |SZ=. }} Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung {{math|term= 4 |SZ=}} ist demnach {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 1 - {{op:Bruch| 1| 2}} t^2 + {{op:Bruch| 1| 3}} t^3 + {{op:Bruch| 5| 24}} t^4 |t - {{op:Bruch| 1| 3}}t^3 + {{op:Bruch| 5| 12}} t^4 }} |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ftbeefucm9mcxid9i4wsrpxp48dsr4b 106 60872 1111874 791100 2026-08-16T13:12:40Z Bocardodarapti 2041 1111874 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|29| {{Zwischenüberschrift|Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} Es gibt homogene lineare Gleichungssysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor {{ Zusatz/Klammer |text=Störvektor| |ISZ=|ESZ= }} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine {{Stichwort|Störfunktion|SZ=}} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen. {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt}} }} fonkla4c2ou9i0ul36cshpb7hmmlsah 106 60963 1111930 1069521 2026-08-17T07:05:12Z Bocardodarapti 2041 1111930 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|56| {{Zwischenüberschrift|Differential- und Integralgleichungen}} Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Picard-Lindelöf}} Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen. {{ inputfaktbeweis |Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Picard-Lindelöf-Iteration}} Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf ist prinzipiell konstruktiv. Darauf beruht die {{Stichwort|Picard-Lindelöf-Iteration|SZ=,}} mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen. {{ inputbemerkung |Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Konvergenz/Bemerkung|| }} Wir wenden dieses approximative Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty/Aufgabe |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel|| }} }} a5rj16lv4k18s19tsu10sj9dnpb5idu 0 64750 1111927 1102960 2026-08-17T06:56:33Z Bocardodarapti 2041 1111927 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |AHippoBird2200|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=PJ KAPDostie |Domäne= |Lizenz=CC-bysa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Extrema/Nebenbedingung/Teich/Nilpferd/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt|Satz|| }} Man beachte, dass dieser Satz nur ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema angibt, kein hinreichendes. Die auf dem Satz über implizite Abbildungen beruhende Existenz der Bijektion {{math|term= \psi |SZ=}} wird zwar im Beweis verwendet, sie muss aber nicht explizit bekannt sein, um die Kandidaten für lokale Extrema zu bestimmen. Eine explizite Bijektion kann aber helfen zu entscheiden, ob in den Kandidaten ein lokales Extremum vorliegt oder nicht. Wenn es nur endlich viele Kandidaten gibt, so kann man die Funktionswerte ausrechnen und auf diesem Weg zumindest die globalen Extrema finden. {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Hyperfläche/Fakt|Korollar|| }} Den Faktor {{math|term= \lambda |SZ=}} nennt man {{Stichwort|Lagrange-Multiplikator|msw=Lagrange-Multiplikator|SZ=.}} Diese Aussage legt folgendes Verfahren nahe, Kandidaten für lokale Extrema {{ Zusatz/Klammer |text=unter Nebenbedingung| |ISZ=|ESZ= }} zu finden: Man untersucht einfach, für welche {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= f |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} regulären Punkte {{ Relationskette | a | \in| M || || || |SZ= }} eine lineare Abhängigkeit zwischen {{mathl|term= {{op:Totales Differential|f|a}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Totales Differential|h|a}} |SZ=}} vorliegt. {{ inputbeispiel |Lokale Extrema/Nebenbedingung/Auf Kreis/x^3-y^2x/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Bedingung durch Linearform/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbeispiel |Extrema/Linearform/Preis/Monomiale Zielfunktion/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Linearform als Zielfunktion/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Extrema/Linearform/3x-2y+5z/x^2+y^2+z^4/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Glatt und kompakt/Jede Hyperebene als Tangentialraum/Fakt|Korollar|| }} Ohne die Kompaktheitsvoraussetzung und ohne die Regularitätsvoraussetzung ist die vorstehende Aussage nicht richtig, wie einfache Beispiele zeigen. {{ inputbeispiel |Hyperbel/x-Achse nicht Tangentialraum/Beispiel|| }} {{ inputbild |Astroid|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Joelholdsworth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Astroide/Kompakt/x-Achse kein Tangentialraum/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cv6658f0hn0bd0t3mb5yh0rp5zd70un 0 64775 1111929 1099738 2026-08-17T07:00:03Z Bocardodarapti 2041 1111929 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display |f(x,y) || {{makl| x^2+y^2-1 |}}^3+27 x^2y^2 || || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde, also {{ Relationskette/display | {{{Z|Z}}} || {{Mengebed| (x,y) \in \R^2 | f(x,y) {{=}} 0}} || || || |SZ=. }} Dieses nennt man eine {{Stichwort|Astroide|SZ= {{{zusatz1|}}}.}} Dieses Nullstellengebilde liegt innerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe und ist daher {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=n| |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | x}} || 3 {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 \cdot 2x + 54 xy^2 || 6 x {{makl| {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 + 9 y^2 |}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| f | y}} || 3 {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 \cdot 2y + 54 x^2y || 6 y {{makl| {{makl| x^2+y^2-1 |}}^2 + 9 x^2 |}} || || |SZ=. }} Beide partiellen Ableitungen verschwinden genau für die vier Punkte {{ Math/display|term= (0,1),\, (0,-1),\, (1,0),\, (-1,0) |SZ=, }} die alle zu {{math|term= {{{Z|Z}}} |SZ=}} gehören. Die {{math|term= x |SZ=-}}Achse {{mathl|term= \R(1,0) |SZ=}} tritt nicht als Tangente von {{math|term= {{{Z|Z}}} |SZ=}} auf. Die partielle Ableitung nach {{math|term= y |SZ=}} verschwindet nämlich nur bei {{ Relationskette | y || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | (x,y) || (0, \pm 1) || || || |SZ=, }} in diesen Fällen verschwinden aber bereits beide partielle Ableitungen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Astroide |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akh3612imbijdd8gyp9ojjtv29mruug 106 67765 1111875 791220 2026-08-16T13:12:49Z Bocardodarapti 2041 1111875 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|29| {{Zwischenüberschrift|Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} Es gibt homogene lineare Gleichungssysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor {{ Zusatz/Klammer |text=Störvektor| |ISZ=|ESZ= }} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine {{Stichwort|Störfunktion|SZ=}} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen. {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt}} }} o9ajjj7kz6hestwh6g0ovlqfomr06tp 0 69757 1111945 1098270 2026-08-17T10:43:17Z Bocardodarapti 2041 1111945 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von {{math|term= 20|SZ=}} Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von {{math|term= 90|SZ=}} Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von {{math|term= 10|SZ=}} Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von {{math|term= 10|SZ=}} Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Differentialgleichung/Inhomogen/Konstante affin-lineare Koeffizienten/Abkühlung/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} sei {{ Relationskette | d || {{op:Bruch| 1 | 500 }} || || || |SZ=, }} wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde. {{ Aufzählung3/a |Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird? |Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird? |Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8veovoz5jjvifsioi305ofdrv142r3q 0 79577 1111888 852195 2026-08-16T14:51:35Z Bocardodarapti 2041 1111888 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ=, }} {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05vh89h7w8e3unsqi7k8ztrfc4xmp9v 0 81070 1111890 1109332 2026-08-16T16:12:16Z Bocardodarapti 2041 1111890 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Typ/Definition|| }} Die Minkowski-Räume liefern ein einfaches Modell für die {{Stichwort|spezielle Relativitätstheorie|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die allgemeine Relativitätstheorie wird mathematisch durch pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten beschrieben, bei denen die hier besprochenen Minkowski-Räume die lokale Situation wiedergeben. Wichtige Stichworte sind Gravitation, Äquivalenzprinzip, Einsteinsche Feldgleichungen, gekrümmter Raum| |ISZ=.|ESZ=, }} man spricht auch von einem Einstein-Minkowski-Raum und die Bilinearform darauf heißt auch {{Stichwort|Minkowski-Form|SZ=}} oder {{Stichwort|Lorentz-Form|SZ=.}} Die klassische Raum-Zeit-Welt ist von der Form {{mathl|term= \R^3 \times \R |SZ=,}} wobei die dreidimensionale Komponente den Raum und die eindimensionale Komponente die Zeit repräsentiert. Darin ist grundsätzlich jede Bewegung von einem Punkt zu einem anderen möglich, solange der zweite Punkt zeitlich später als der erste Punkt ist. Entsprechend repräsentieren die Punkte in einem vierdimensionalen Minkowski-Raum die relativistischen Weltpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=die Ereignisse| |ISZ=|ESZ=; }} eine Trennung in Raum und Zeit ist Beobachter-abhängig; die Theorie liefert auch eine Definition, was ein Beobachter ist, siehe unten. Eine besondere Rolle spielt die Menge der Vektoren {{ Math/display|term= {{Mengebed|v \in V| {{op:Bilinearform|v|v}} {{=}} 0 }} |SZ=, }} die in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Lichtkegel|SZ=}} heißt. Gemeint ist damit die Menge aller Lichtstrahlen, die in einem Weltpunkt eingehen und ausgehen. Dieser Lichtkegel ist gemäß der speziellen Relativitätstheorie Beobachter-unabhängig {{ Zusatz/Klammer |text=absolut| |ISZ=|ESZ=, }} und eben dies wird durch die Minkowski-Räume modelliert. Man erlaubt grundsätzlich jede Dimension, die wesentlichen Phänomene sind schon bei {{ Relationskette | n || 2,3 || || || |SZ= }} sichtbar. Die bezüglich der Standardbasis des {{math|term= \R^n |SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| 1| 0| \cdots| 0| 0| 0| 1| 0| \cdots| 0|\vdots | \ddots| \ddots| \ddots|\vdots| 0| \cdots| 0| 1| 0| 0| 0| \cdots| 0| -1|}} |SZ= }} gegebene Minkowski-Form heißt {{Stichwort|Minkowski-Standard-Form|SZ=.}} Gemäß {{ Faktlink |Präwort=dem|Träg{{drucktrenn}}heitssatz von Sylvester|Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man jede Minkowski-Form bezüglich einer geeignet skalierten Orthogonalbasis {{ Zusatz/Klammer |text=einer {{Stichwort|Minkowski-Basis|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf diese Gestalt bringen. {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Verschiedene Vektoren/Definition|| }} Achtung, diesen Eigenschaften definieren keine Untervektorräume, die Summe von zwei raumartigen Vektoren muss im Allgemeinen nicht wieder raumartig sein. Nicht alle Vektoren bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=linearen| |ISZ=|ESZ= }} Bewegungsvorgänge in dieser Raum-Zeit-Licht-Welt sind für einen {{ Zusatz/Klammer |text=materiellen| |ISZ=|ESZ= }} Beobachter realisierbar, im Gegenteil gehört die folgende Einschränkung wesentlich zu diesem Weltmodell. {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Definition|| }} Der Begriff Beobachter suggeriert eine physikalische Interpretation; man kann sich darunter eine Person vorstellen, wichtig ist aber, dass dies keinen subjektiven Gehalt hat. Der Beobachter hat eine Uhr, einen Meterstab und einen Winkelmesser im Gepäck und jeder Beobachter, der die gleiche Bewegung durchführt, kommt zu den gleichen Messungen. Statt mit der Bedingung {{mathl|term= = -1 |SZ=}} wird ein Beobachtervektor häufig auch durch die Bedingung {{mathl|term= = -c |SZ=}} angesetzt, wobei {{math|term= c |SZ=}} die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese ist aber nur eine Umskalierung. Die zuletzt genannten Beobachtervektoren sind insbesondere zeitartig, da jeder Beobachter älter wird, die Zeit bewegt sich also auch für einen {{Anführung|räumlich ruhenden}} Beobachter. Die Gerade {{math|term= \R v |SZ=}} ist ein Untervektorraum der Dimension {{math|term= 1 |SZ=,}} auf dem die eingeschränkte Form negativ definit ist. Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} der dazu {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Minkowski-Form| |ISZ=|ESZ= }} senkrechte Untervektorraum. Dies ist ein dreidimensionaler Raum, auf dem die eingeschränkte Form positiv definit ist. Dieser Untervektorraum ist der Raum {{math|term= V_v |SZ=}} für diesen Beobachter {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= V_B |SZ=,}} wenn {{math|term= B |SZ=}} den Beobachter bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= \R v |SZ=}} ist seine Zeitachse. Für einen Beobachter besteht also eine Zerlegung des Gesamtraumes der Form {{mathl|term= \R \times \R^3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in Zeit und Raum| |ISZ=|ESZ=, }} nur hängt diese Zerlegung eben vom Beobachter ab. Man spricht auch von dem {{Stichwort|Bezugssystem|SZ=}} des Beobachters. Die positiv definite Einschränkung der Minkowski-Form auf seine Raumkomponente ist ein Skalarprodukt, mit dem der Beobachter Längen und Winkel misst und auch in seinem Raum eine Orthonormalbasis fixieren kann. Für einen Beobachter mit der erlaubten Vierergeschwindigkeit {{math|term= v |SZ=}} gibt es also insbesondere eine {{ Definitionslink |Orthogonalbasis| |Kontext=bilinear| |SZ= }} {{mathl|term= e_1,e_2,e_3,v |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Bilinearform|e_j |e_j}} || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bilinearform|v|v}} || - 1 || || || |SZ=. }} Bezüglich einer solchen Minkowski-Basis wird die Minkowski-Form einfach durch {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 1| 0| 0| 0| 0| 1| 0| 0| 0| 0| 1| 0| 0| 0| 0| -1|}} |SZ= }} als {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=| |SZ= }} beschrieben. Ein Großteil der relativistischen Phänomene zeigt sich in diesem Modell beim Basiswechsel von zwei solchen Basen {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem {{Stichwort|Wechsel des Bezugssystems|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} wobei der wesentliche Punkt der Wechsel der Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente ist. Wenn {{math|term= v |SZ=}} ein Beobachtervektor ist, so ist nach Definition auch {{math|term= -v |SZ=}} ein Beobachtervektor. Dieser Beobachter bewegt sich in die entgegengesetzte Zeitrichtung. Insgesamt zerfällt die Menge aller Beobachtervektoren in zwei Schalen, wobei wir eine als die Zukunftsschale auszeichnen. Ebenso zerfällt der Lichtkegel in zwei Kegel, den Zukunfts- und den Vergangenheitskegel. Zwei Beobachter heißen {{Stichwort|gleichgerichtet|msw=Gleichgerichtete Beobachter|SZ=,}} wenn sie der gleichen Schale angehören, also beide in die Zukunft {{ Zusatz/Klammer |text=oder in die Vergangenheit| |ISZ=|ESZ= }} weisen. {{ inputfaktbeweisverweis |Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Fakt|Lemma|| || }} Die Bedingung, dass die Beobachtergeschwindigkeiten {{ Relationskette | {{op:Bilinearform|v|v}} || -1 || || || |SZ= }} erfüllen müssen, ist eine große Einschränkung an mögliche Bewegungsvorgänge. Wenn eine Minkowski-Basis fixiert ist, so ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 |t}} |SZ=}} ein Beobachtervektor genau dann, wenn {{ Relationskette/display | y_1^2 + y_2^2+y_3^2 -t^2 || -1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{ Relationskette/k |t | \geq| 0 || || || |SZ=, }} das ergibt sich aus der Zukunftsrichtung| |ISZ=|ESZ= }} ist. {{ inputbeispiel |Minkowski-Raum/Bewegungsvorgang/Realisierung durch Skalierung/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Minkowski-Raum/Gleichzeitigkeit/Bemerkung|| }} Wir vergleichen nun Geschwindigkeiten von Beobachtern untereinander. {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeits(vektor)/Definition|| }} Der relative Geschwindigkeitsvektor ist ein Vektor. Beachte, dass nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Fakt |Nr=3 |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Bilinearform|v|w}} | \geq | 1 || || || |SZ= }} und daher die Relativgeschwindigkeit eine wohldefinierte nichtnegative reelle Zahl ist, die von oben durch {{math|term= 1 |SZ=}} beschränkt ist. Die Relativgeschwindigkeit ist symmetrisch in {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ=, }} hingegen ist {{ Relationskette/display | v_{CB} || - w - {{op:Bruch| 1| {{op:Bilinearform|v|w}} }} v || || || |SZ= }} im Allgemeinen von {{mathl|term= v_{BC} |SZ=}} verschieden. Da die Lichtgeschwindigkeit zu {{math|term= 1 |SZ=}} normiert ist, sollte man sich diese Relativgeschwindigkeiten klein vorstellen. Bei {{ Relationskette |v ||w || || || |SZ= }} ist die Relativgeschwindigkeit gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeit/Fakt|Lemma|| }} Das in der fünften Aussage des vorstehenden Lemmas formulierte Prinzip heißt {{Stichwort|Zeitdilatation|SZ=.}} Ein Beobachter beobachtet für einen weiteren Beobachter eine längere Zeit als dieser in seinem Bezugsystem. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kmnh22pk5l2suy9hfv3jqle6xxyy5bn 0 98672 1111889 1100078 2026-08-16T14:56:20Z Bocardodarapti 2041 1111889 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einem vierdimensionalen {{ Definitionslink |Standard-Minkowski-Raum| |Kontext=| |SZ= }} soll etwas vom Punkt {{ Relationskette | P || {{op:Spaltenvektor| p_1 | p_2 | p_3 | r}} || || || |SZ= }} zum Punkt {{ Relationskette | Q || {{op:Spaltenvektor| q_1 | q_2 | q_3 | s}} || || || |SZ= }} gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 | t }} | {{defeq|}} | {{op:Spaltenvektor| q_1 | q_2 | q_3 | s }} - {{op:Spaltenvektor| p_1 | p_2 | p_3 | r }} || || || |SZ= }} zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn {{mathl|term= y_1^2+y_2^2+y_3^2- t^2 |SZ=}} negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| z_1 |z_2 | z_3 | u }} || {{op:Bruch| 1 | \sqrt{ - {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 | t }} | {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 | t }} }} } }} {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 | t }} || || || |SZ= }} umskalieren. Es beschreibt dann {{ Math/display|term= x \longmapsto {{op:Spaltenvektor| p_1 | p_2 | p_3 | r }} + x {{op:Spaltenvektor| z_1 | z_2 | z_3 | u }} |SZ= }} einen Bewegungsvorgang, der für {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} startet und für {{ Relationskette | x || \sqrt{ - {{op:Bilinearform| {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 | t }} | {{op:Spaltenvektor| y_1 | y_2 | y_3 | t }} }} } || || || |SZ= }} im Punkt {{math|term= Q |SZ=}} endet und der physikalisch durchführbar ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 82rmruo57xwtlbg88htqdrjjf6ancsr 0 101478 1111910 1052222 2026-08-17T06:17:39Z Bocardodarapti 2041 1111910 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Cubic with double point|svg| 300px {{!}} {{!}} | |Zusname=Cubic_with_double_point |Autor= |Benutzer=Gunther |Domäne=de.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Das Polynom {{ Math/display|term= Y^2-X^3-X^2 |SZ= }} besitzt im {{math|term= \R^2 |SZ=}} ein Nullstellengebilde, das sich selbst transversal {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht tangential| |ISZ=|ESZ= }} überkreuzt. Die dabei entstehende Singularität sieht also mikroskopisch betrachtet aus wie der Kreuzungspunkt des Achsenkreuzes im {{math|term= \R^2 |SZ=,}} das ja die Nullstelle des Polynoms {{math|term= XY |SZ=}} ist. Es gibt aber einen erheblichen Unterschied: Der zugehörige Ring {{mathl|term= K[X,Y]/(XY) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= K |SZ=}} ein beliebiger Körper| |ISZ=|ESZ= }} ist kein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=es ist ja {{mathlk|term=XY=0 |SZ=,}} aber {{mathlk|term=X,Y \neq 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} während {{mathl|term= K[X,Y]/ {{makl| Y^2-X^3-X^2 |}} |SZ=}} ein Integritätsbereich ist. Letzteres beruht im Wesentlichen darauf, dass {{ Relationskette/display | X^3+X^2 || X^2(X+1) || || || |SZ= }} keine Quadratwurzel in {{math|term= K[X] |SZ=}} besitzt. Problematisch ist der Faktor {{mathl|term= X+1 |SZ=.}} Die {{ Zusatz/Klammer |text=Nicht| |ISZ=|ESZ=- }}Integrität bleibt auch erhalten, wenn man zur {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Kontext=| |SZ= }} am maximalen Ideal {{mathl|term= (X,Y) |SZ=}} übergeht. Wenn man hingegen die Situation reell oder komplex in einer kleinen {{math|term= \epsilon|SZ=-}}Umgebung des Nullpunktes ansieht, so besitzt {{ Relationskette | X^3+X^2 || X^2 (X+1) || || || |SZ= }} eine wohldefinierte Quadratwurzel, nämlich {{mathl|term= \sqrt{X+1} |SZ=.}} Reell bei {{ Relationskette | X | \leq | -1 || || || |SZ= }} ist dies nicht definiert, für betragsmäßig kleine {{math|term= X |SZ=}} ist dies aber unproblematisch. Mit einer solchen Wurzel ist dann {{ Relationskette/display | Y^2-X^2(X+1) || {{makl| Y-X \sqrt{X+1} |}} {{makl| Y+X\sqrt{X+1} |}} || || || |SZ=, }} und das beschreibende Polynom zerfällt in zwei Faktoren, die den beiden sich schneidenden Komponenten entsprechen. Es wäre wünschenswert, über eine algebraische Konstruktion zu verfügen, in der die verschiedenen Komponenten ebenfalls sichtbar werden. Dies leistet die Komplettierung, die eine besonders nahe/feine Beschreibung der Singularität bereitstellt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqyi0ydpol4yytrgauypztnobrdyufi 106 113925 1111870 1019792 2026-08-16T13:11:36Z Bocardodarapti 2041 1111870 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|32| {{ inputbild |Waeller32|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Vorli begleitet dich bei den Vorlesungen. Das hilft sehr, denn Vorli sorgt für eine gute Balance aus Energie und Entspannung. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir besprechen in dieser und der nächsten Vorlesung Lösungsverfahren für gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichungen {{ Relationskette/display |y' ||f(t,y) || || || |SZ=. }} wenn das Vektorfeld {{mathl|term= f(t,y) |SZ=}} eine bestimmte Form besitzt. Heute sprechen wir über sogenannte lineare Differentialgleichungen. {{Zwischenüberschrift|Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} Es gibt homogene lineare Gleichungssysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor {{ Zusatz/Klammer |text=Störvektor| |ISZ=|ESZ= }} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine {{Stichwort|Störfunktion|SZ=}} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen. {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt}} }} jkn7cb1fbv2gez7k21gnmvgfbzhxj1b 106 113948 1111932 1069748 2026-08-17T07:05:38Z Bocardodarapti 2041 1111932 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|56| Wir haben schon für verschiedene Differentialgleichungen gezeigt, dass eine Lösung existiert und durch eine Anfangswertbedingung eindeutig bestimmt ist. Der {{Stichwort|Satz von Picard-Lindelöf|SZ=}} beweist dies recht allgemein unter der Voraussetzung, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. {{Zwischenüberschrift|Lipschitz-Bedingung}} {{ inputbild |RLipschitz|jpeg| 230px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=[[w:Rudolf Lipschitz|Rudolf Lipschitz (1832-1903)]] |Autor= |Benutzer=Ahellwig |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Für den Satz von Picard-Lindelöf wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. {{:Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Textabschnitt|opt1=nichtvorgeführt}} Für ein lineares Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/display |v' || A(t) v + z(t) || || || |SZ= }} mit einer stetigen Matrix {{math|term=A(t)|SZ=}} sind die Bedingungen der vorstehenden Aussage erfüllt. Die {{math|term=i|SZ=-}}te Komponente des Vektorfelds besitzt ja die Gestalt {{ Relationskette/display |f_i(t, v_1 {{kommadots|}} v_n) || a_{i 1}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{i n}(t)v_n +z_i(t) || || || |SZ=. }} Daraus folgt, dass {{math|term=f_i|SZ=}} nach {{math|term=v_j|SZ=}} partiell ableitbar ist mit der stetigen Ableitung {{mathl|term= a_{ij}(t) |SZ=,}} so dass die Bedingungen erfüllt sind. {{Zwischenüberschrift|Differential- und Integralgleichungen}} Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve, das wir in Vorlesung 36 eingeführt haben, kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Picard-Lindelöf}} Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Picard-Lindelöf-Iteration}} Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf, den wir nicht vorgeführt haben, läuft über die äquivalente Integralgleichung und ist prinzipiell konstruktiv. Darauf beruht die {{Stichwort|Picard-Lindelöf-Iteration|SZ=,}} mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen. {{ inputbemerkung |Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Bemerkung|| }} Wir wenden dieses Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty/Aufgabe |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Zur Eindeutigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen}} Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen lokal, also auf einem gewissen Teilintervall, eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung gibt. Die folgende Aussage zeigt, dass eine Lösung dort, wo sie definiert ist, eindeutig bestimmt ist. Wir verwenden die folgende Zusammenhangseigenschaft eines reellen Intervalls {{math|term=J|SZ=,}} die aus dem Zwischenwertsatz folgt: Eine nichtleere Teilmenge {{ Relationskette |M |\subseteq|J || || || |SZ=, }} die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, muss gleich ganz {{math|term=J|SZ=}} sein. {{ inputfaktbeweis |Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt|Satz||opt1=2|zusatz1=Aus der Vorbemerkung || }} Das folgende Beispiel zeigt, dass ohne die Lipschitz-Bedingung die Lösung eines Anfangswertproblems nicht eindeutig bestimmt ist. In diesem Beispiel ist das Vektorfeld nach {{math|term=v|SZ=}} ableitbar, die Ableitung ist aber nicht stetig, so dass {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht anwendbar ist. {{ inputbeispiel |Differentialgleichung/Uneindeutigkeit/v' ist 3v^(2 durch3)/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Maximale Definitionsintervalle/Bemerkung|| }} }} p7q1f60e1jyfayuqfq0ovw6suijn9ht 0 119172 1111865 1109838 2026-08-16T13:05:47Z Bocardodarapti 2041 1111865 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |COVID-19-Germany|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Hbf878 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |COVID-19-Sweden|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Hbf878 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir versuchen, die Ausbreitung einer Virusinfektion wie bei den Wellen der Corona-Pandemie seit 2020 zu modellieren. Die Ausbreitung wird durch eine Funktion {{ Abbildung/display |name=y |\R|\R | t | y(t) |SZ=, }} beschrieben, wobei {{ Relationskette |t | \in |\R || || || |SZ= }} für die Zeit und {{mathl|term= y(t) |SZ=}} für die Gesamtanzahl der bis zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} Infizierten {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Genesenen| |ISZ=|ESZ= }} angibt. Dies ist zunächst eine empirische Funktion, die man aus verschiedenen Gründen auch gar nicht genau kennt, insbesondere, da nicht jeder getestet wird. Man kann stattdessen auch die Entwicklung der bestätigten Infizierten betrachten. Diese empirische Funktion wird durch die Daten, die jeden Tag das Robert-Koch-Institut übermittelt, beschrieben, und ist so gesehen zunächst eine Abbildung von einer Anfangsmenge der natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=die ersten {{math|term= 100 |SZ=}} Tage seit Ausbruch| |ISZ=|ESZ= }} in die natürlichen Zahlen, wobei jedem Tag die Anzahl der bis dahin Infizierten zugeordnet wird. Wenn man zu den Daten aus verschiedenen Ländern {{ Zusatz/Klammer |text=oder verschiedenen Wellen| |ISZ=|ESZ= }} den Verlauf skizziert, ergibt sich jeweils ein ähnliches Bild. Die Ausbreitung scheint einer Gesetzmäßigkeit zu folgen, die man in der {{Stichwort|mathematischen Modellierung|msw=Mathematische Modellierung|SZ=}} verstehen möchte. Das bedeutet {{ Zusatz/Klammer |text=in einem ersten Schritt| |ISZ=|ESZ=, }} dass man die empirische Funktion, also das vorliegende Datenmaterial, durch eine mathematische Funktion, also einen funktionalen Ausdruck, annähern möchte, um so den qualitativen und den quantitativen Verlauf der Ausbreitung zu verstehen und auch Extrapolationen {{ Zusatz/Klammer |text=Prognosen| |ISZ=|ESZ= }} formulieren zu können. Hierbei wird man den Definitionsbereich und den Wertebereich als die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Intervalle davon| |ISZ=|ESZ= }} und die Funktion als stetig oder differenzierbar ansetzen. Man kann mit verschiedenen Zeiteinheiten arbeiten und auch die Gesamtzahl absolut oder aber prozentual {{ Zusatz/Klammer |text=bezogen auf die Erdbevölkerung, ein Land, ... | |ISZ=|ESZ= }} angeben. So oder so ergibt sich, dass der Verlauf gut durch eine {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis| |SZ= }} beschrieben werden kann, also von der Bauart {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | t |b^t |SZ=, }} mit einer Basis {{ Relationskette |b | > | 1 || || || |SZ= }} ist. Welche Basis {{math|term= b |SZ=}} zu nehmen ist, hängt von der Skalierung und auch von länderspezifischen Gegebenheiten ab. Diese Basis ist äquivalent zum Verdoppelungszeitraum der Ausbreitung, man kann das eine aus dem anderen berechnen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Diese Modellierung ist bisher aber nur die Beobachtung einer Übereinstimmung einer mathematischen Funktionsklasse mit empirischen Funktionen. In einem zweiten Schritt kann man sich fragen, ob es {{Anführung|in der Natur der Sache liegt|SZ=,}} dass die Ausbreitung eines Virus exponentiell verläuft. Gibt es einen mathematischen Grund dafür, eine innere Dynamik, eine zu jedem Zeitpunkt gültige Gesetzmäßigkeit, die den Verlauf erklären kann? Die Antwort zu dieser Frage erfolgt im Rahmen der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen und beruht auf einer einfachen Beobachtung. Wir nehmen die Funktion {{math|term= y(t) |SZ=}} als differenzierbar an. Die Ableitung {{math|term= y'(t) |SZ=}} beschreibt dann den momentanen Zuwachs zu jedem Zeitpunkt, ist also ein Maß für die Neuansteckungen. Der naheliegende Ansatz ist nun zu sagen, dass zu jedem Zeitpunkt die Anzahl der Infizierten, also {{math|term= y(t) |SZ=,}} proportional zur Anzahl der Begegnungen zwischen Infizierten und Nichtinfizierten ist und damit proportional zur Anzahl der Neuinfektionen, also zu {{math|term= y'(t) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für Einschränkungen zu dieser Überlegung siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt zur Beziehung {{ Relationskette/display | y'(t) || c y(t) || || || |SZ= }} mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor {{math|term= c |SZ=,}} der ein Maß für die Ansteckungswahrscheinlichkeit ist und vom Virus, der Saison, vom Abstandsverhalten der Bevölkerung u. Ä. abhängt. Wir haben also eine Beziehung zwischen der gesuchten Funktion und ihrer Ableitung, die in jedem Moment gilt und für die Ausbreitung eines Virus charakteristisch sein sollte. Ein solcher Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung heißt eine {{Stichwort|gewöhnliche Differentialgleichung|SZ=.}} Wenn eine solche Differentialgleichung vorliegt, fragt man sich, welche Funktionen {{math|term= y(t) |SZ=}} diese Gleichung erfüllen. Dies ist im Allgemeinen schwierig. Im vorliegenden Fall lässt sich direkt durch Ableiten bestätigen, dass die Funktionen {{ Relationskette/display | y(t) || a e^{ct} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a | \in |\R || || || |SZ= }} Lösungen sind. Der Vorfaktor {{math|term= a |SZ=}} ist dabei durch {{ Relationskette/display | y(0) || a || || || |SZ= }} festgelegt, also durch den Wert der Funktion zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=,}} und das {{math|term= c |SZ=}} im Exponenten ist direkt der Proportionalitätsfaktor aus der Differentialgleichung. Wegen {{ Relationskette/display | a e^{ct} || e^{ {{op:ln| a |}} } e^{ct} || e^{ {{op:ln| a |}} + ct} || || |SZ= }} ist der Vorfaktor {{math|term= a |SZ=}} im Wesentlichen eine Verschiebung im Zeitargument, und {{math|term= c |SZ=}} kann man durch eine Umskalierung der Zeit zu {{math|term= 1 |SZ=}} normieren. Man kann nun sogar zeigen, dass die Exponentialfunktionen die einzigen Funktionen sind, die diese Differentialgleichung erfüllen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Charakterisierung durch Ableitung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Differentialgleichung/y' ist cy/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies bedeutet, dass eine Virusausbreitung durch den Faktor {{math|term= c |SZ=}} und den Wert an einem einzigen Zeitpunkt eindeutig bestimmt ist. Dies ist ein Spezialfall des Satzes, dass ein Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung besitzt, von dem wir verschiedene Varianten kennenlernen werden. Kommen wir nun zu einigen Einschränkungen der oben formulierten Modellierung. Zunächst ist klar, dass die Exponentialfunktion zu jeder Basis {{ Relationskette | b | > | 1 || || || |SZ= }} gegen unendlich geht, es aber nur endlich viele Menschen gibt. Also kann irgendwas nicht stimmen. Der Punkt ist, dass in unserer Modellierung die Anzahl der Infizierten zur Anzahl der Begegnungen von Infizierten mit der Gesamtbevölkerung proportional ist, aber nicht mit der Anzahl der Begegnungen mit den Nichtinfizierten. Dieser Unterschied ist zu Beginn der Ausbreitung unerheblich, da zu Beginn die Gesamtbevölkerung nahezu vollständig nicht infiziert ist. Im Verlauf der Epidemie, wenn sich der Durchseuchungsgrad erhöht, wird es zunehmend wahrscheinlicher, dass sich Infizierte und Infizierte begegnen, was zu keiner Neuansteckung führt. Ferner haben wir ignoriert, dass die Genesenen nicht mehr andere Leute anstecken können. Hier muss man den Unterschied zwischen infiziert und akut infiziert berücksichtigen. Dieser Unterschied ist für den Anfangsverlauf der Ausbreitung ebenfalls unerheblich, spielt aber im späteren Verlauf eine wichtige Rolle. Die Neuansteckung ist also proportional zur Anzahl der akut Infizierten, dies ist die Differenz zwischen der Gesamtinfiziertenzahl und der Gesamtinfiziertenzahl vor einem gewissen Genesungszeitraum {{math|term= d |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei Corona ca. {{math|term= 2-3 |SZ=}} Wochen| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt auf die Bedingung {{ Relationskette/display | y'(t) || c (y(t) - y(t-d)) || || || |SZ=, }} man spricht von einer {{Stichwort|Differentialgleichung mit Verzögerung|SZ=,}} was wir nicht behandeln werden. Für den ersten Zeitraum der Länge {{math|term= d |SZ=}} nach Ausbruch spielt der Korrekturterm aber keine Rolle. Schließlich ist der Faktor {{math|term= c |SZ=}} keine Konstante, sondern wird durch politische Maßnahmen und Verhaltensregeln beeinflusst. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=ay |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9msp4f8yw87i5imdhwr4wzbfqncu1hq 0 119478 1111946 1097089 2026-08-17T10:44:21Z Bocardodarapti 2041 1111946 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die konstanten Lösungen der {{ Definitionslink |gewöhnlichen Differentialgleichung| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y' || {{op:Bruch| {{op:sin(| {{op:cos| t |}} |}} - e^{ t^5 }| ( t^{14} +8) e^{-t^2} + \sqrt{t^2+ \pi} |}} {{makl| y^2+3y-5 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7n8jp62hqpiw0802y6q97lxdhns0ez 0 121452 1111893 1015693 2026-08-16T17:05:56Z Bocardodarapti 2041 1111893 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Benennung der Dimensionen und der Indizes bei höherdimensionalen Abbildungen und insbesondere bei der Jacobimatrix ist ein gewisses Problem, was auch schon in der linearen Algebra auftritt. Für eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^\text{Dimension des ersten Raumes} | \R^\text{Dimension des zweiten Raumes} || |SZ= }} ist es naheliegend, die erste Dimension links mit einem im Alphabet früheren Buchstaben als die zweite Dimension zu bezeichnen, also etwa {{ Abbildung |name= |\R^a| \R^b || |SZ= }} oder {{ Abbildung |name= |\R^d| \R^e || |SZ= }} oder {{ Abbildung |name= |\R^m | \R^n || |SZ=. }} Diese Reihenfolge überträgt sich sinnvollerweise auf Objekte, die mit dem ersten bzw. dem zweiten Raum verbunden sind, man spricht dann von der Standardbasis {{ mathbed|term= e_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq a ||bedterm2= |SZ=, }} links und der Standardbasis {{ mathbed|term= e_j ||bedterm1= 1 \leq j \leq b ||bedterm2= |SZ=, }} rechts, bezeichnet die Variablen links mit {{ mathbed|term= x_i ||bedterm1= 1 \leq i \leq a ||bedterm2= |SZ=, }} und rechts mit {{ mathbed|term= y_j ||bedterm1= 1 \leq j \leq b ||bedterm2= |SZ=, }} und die Komponentenfunktionen zu {{math|term= \varphi|SZ=}} bezeichnet man mit {{ mathbed|term= \varphi_j ||bedterm1= 1 \leq j \leq b ||bedterm2= |SZ=. }} Diese Bezeichnungsphilosophie beißt sich allerdings mit den Bezeichnungen für Matrizen. Bei einer Matrix sagt man die Anzahl der Zeilen zuerst und dann die Anzahl der Spalten, man spricht von einer Zeilenanzahl x Spaltenanzahl-Matrix und gemäß dieser Reihenfolge werden auch die Einträge benannt. Der Eintrag {{mathl|term= a_{3,5} |SZ=}} ist in der dritten Zeile und der fünften Spalte der Matrix. Nun wird aber eine lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben, deren Spaltenanzahl wegen {{Anführung|Zeile mal Spalte}} mit der Dimension des ersten Raumes übereinstimmt. Hier liegen also verschiedene Reihenfolgen vor, und dies ist der Grund, warum eine gewählte Bezeichnung nie völlig überzeugend ist. Bei einer partiell differenzierbaren Abbildung sollten die Bezeichnungen für die Indizes der Komponentenfunktionen zu den Bezeichnungen der Jacobimatrix passen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Matrizen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rnh67xseo1zipv0x6gnam57prtifxd2 0 121853 1111895 1101426 2026-08-16T17:11:17Z Bocardodarapti 2041 1111895 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir fixieren ein {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=R| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=}} und auf {{math|term= W |SZ=}} und wählen eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V |SZ=.}} Sei {{ Relationskette | v || \sum_{i {{=|}} 1}^n a_iv_i || || || |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball| 0 | 1 }} |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Norm| v |}}^2 || \sum_{i {{=|}} 1}^n a_i^2 | \leq | 1 || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| a_i ||}} | \leq | 1 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | {{op:Norm| L(v)|}} || {{op:Norm| L {{makl| \sum_{i {{=|}} 1}^n a_iv_i |}} |}} || {{op:Norm| \sum_{i {{=|}} 1}^n a_i L {{makl| v_i |}} |}} | \leq | \sum_{i {{=|}} 1}^n {{op:Betrag| a_i |}} {{op:Norm| L {{makl| v_i |}} |}} | \leq | \sum_{i {{=|}} 1}^n {{op:Norm| L {{makl| v_i |}} |}} |SZ=. }} Das heißt, dass die Beschränktheit mit {{ Relationskette/display | b | {{defeq|}} | \sum_{i {{=|}} 1}^n {{op:Norm| L {{makl| v_i |}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qi0wd8czgl6bw5whcvwynldmuvi78ff 106 129254 1111936 1069976 2026-08-17T07:13:09Z Bocardodarapti 2041 1111936 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblattgestaltung|43| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/3 0 0 -5/2 -11/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Superpositionsprinzip/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstant/Komplexer Eigenvektor/Reelle Lösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Lösung auf Punktauswertung/Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Basiswechsel/Anfangsdaten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Anfangswertproblem/Linear/3 -4 0 2/5 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/2 3 0 7/5 -4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Lineares Differentialgleichungssystem/Lösungsraum/1 -3 4 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/2 1 3 4/Anfangswertproblem 2 7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/1 2 3 5/Anfangswertproblem -4 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialgleichungssystem/(u,v)' ist (-v,u)/Lösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialgleichungssystem/(u,v)'_ist_(v,u)/Allgemeine_Lösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Obere Dreiecksgestalt/Nulleinträge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben löse man mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/Fakt |Nr= |SZ=, }} man spricht vom {{Stichwort|Ansatz vom Typ der rechten Seite|msw=|SZ=.}} {{ inputaufgabekommentar |Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Polygonzugverfahren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In eine Potenzreihe kann man nicht zur Zahlen einsetzen, sondern auch quadratische Matrizen, wobei die Potenzen als Matrixpotenzen zu interpretieren sind, und sich fragen, ob die entstehenden Folgen im Raum der Matrizen konvergieren. {{ inputaufgabe |Matrix/Exponentialabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Exponentialmatrix/Lösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Verwende{{n Sie}}, dass die Ableitung der Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R| {{op:Matq|d|K=\R|}} \cong \R^{d^2} |t|{{op:exp(|tM|}} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= M \cdot {{op:exp(|tM|}} |SZ=}} ist. }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Exponentialmatrix/Lösung/Eigenvektor/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Exponentialmatrix/Flussabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/2 3 2 0 2 5 0 0 3/1 0 -1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Lösungsraum/3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Jordanblock/Fundamentallösung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Allgemeine Lösung/1 1 0 1/t^2+e^t t/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} mvsxzbioj6ahxfugnj2o40h6c2biebj 106 129275 1111867 1019669 2026-08-16T13:08:20Z Bocardodarapti 2041 1111867 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|32| Wir besprechen in dieser und der nächsten Vorlesung Lösungsverfahren für gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichungen {{ Relationskette/display | y' || f(t,y) || || || |SZ=, }} wenn das Vektorfeld {{mathl|term= f(t,y) |SZ=}} eine bestimmte Form besitzt. Heute sprechen wir über sogenannte lineare Differentialgleichungen. {{Zwischenüberschrift|Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} Es gibt homogene lineare Gleichungsysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor {{ Zusatz/Klammer |text=Störvektor| |ISZ=|ESZ= }} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine {{Stichwort|Störfunktion|SZ=}} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen. {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt}} }} pufjyr19argiz0p7uut5rt4e2islvd2 1111871 1111867 2026-08-16T13:11:52Z Bocardodarapti 2041 1111871 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|32| Wir besprechen in dieser und der nächsten Vorlesung Lösungsverfahren für gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichungen {{ Relationskette/display | y' || f(t,y) || || || |SZ=, }} wenn das Vektorfeld {{mathl|term= f(t,y) |SZ=}} eine bestimmte Form besitzt. 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Eine Folge im {{math|term= \R^2 |SZ=}} ist beispielsweise durch {{ Math/display|term= x_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|n|}} | {{op:sin|n|}} }},\, n \in \N |SZ=. }} Es handelt sich um eine Folge, die sich auf dem Einheitskreis bewegt, und zwar dreht sich der Punkt um die Bogenlänge {{math|term=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also um ca. {{mathlk|term= 57,3 |SZ=}} Grad| |ISZ=|ESZ=. }} Die Folgenglieder nähern sich also nicht untereinander an, sodass keine Konvergenz zu erwarten ist. Bei der Folge {{ Math/display|term= y_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|n}} {{op:cos|n|}} | {{op:Bruch|1|n}} {{op:sin|n|}} }},\, n \in \N |SZ=, }} bewegen sich die Glieder auf einer {{Anführung|gedachten Spirale|SZ=.}} Die Punkte drehen sich nach wie vor um den gleichen Winkel, allerdings wird der Abstand zum Nullpunkt immer kleiner, sodass man Konvergenz gegen {{math|term=0|SZ=}} erwarten kann. {{:Metrischer Raum/Folge/Einführung/Textabschnitt|}} Für eine konvergente reelle Folgen {{mathl|term= {{Folge|x|}} |SZ=}} haben wir im ersten Semester die Eigenschaft kennengelernt, dass wenn sämtliche Folgenglieder {{math|term= \geq a |SZ=}} sind, dass dann auch der Limes {{math|term= \geq a |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{Anführung|{{math|term=>|SZ=}}|}} gilt das nicht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Hinrichtung der folgenden Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung dieses Sachverhalts. {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Berührpunkte}} {{ inputbild |Neighborhood edge|png| 180px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Neighborhood_edge |Autor= |Benutzer=Zasdfgbnm |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition|| }} Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} Berührpunkte des offenen Intervalls {{mathl|term= ]0,1[ |SZ=}} oder {{math|term= 0 |SZ=}} ist ein Berührpunkt von {{math|term= \R \setminus \{0\} |SZ=.}} Oft ist {{math|term= T |SZ=}} der Definitionsbereich einer Abbildung {{math|term= f |SZ=}} in einen weiteren metrischen Raum {{math|term= N |SZ=}} und man fragt sich, ob es eine sinnvolle Fortsetzung von {{math|term= f|SZ=}} in einen Berührpunkt {{ Relationskette | P |\notin| T || || || |SZ= }} gibt. Siehe insbesondere die 37. Vorlesung. }} edq876mcmmwgcyix6l1fssf2o6g8kzj 1111879 1111878 2026-08-16T13:21:40Z Bocardodarapti 2041 1111879 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|35| {{Zwischenüberschrift|Metrische Räume}} {{:Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Teilmengen in metrischen Räumen}} {{:Metrischer Raum/Offene und abgeschlossene Teilmengen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Folgen in metrischen Räumen}} Wir besprechen die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum. Eine Folge im {{math|term= \R^2 |SZ=}} ist beispielsweise durch {{ Math/display|term= x_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|n|}} | {{op:sin|n|}} }},\, n \in \N |SZ=. }} Es handelt sich um eine Folge, die sich auf dem Einheitskreis bewegt, und zwar dreht sich der Punkt um die Bogenlänge {{math|term=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also um ca. {{mathlk|term= 57,3 |SZ=}} Grad| |ISZ=|ESZ=. }} Die Folgenglieder nähern sich also nicht untereinander an, sodass keine Konvergenz zu erwarten ist. Bei der Folge {{ Math/display|term= y_n = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|n}} {{op:cos|n|}} | {{op:Bruch|1|n}} {{op:sin|n|}} }}, \, n \in \N |SZ=, }} bewegen sich die Glieder auf einer {{Anführung|gedachten Spirale|SZ=.}} Die Punkte drehen sich nach wie vor um den gleichen Winkel, allerdings wird der Abstand zum Nullpunkt immer kleiner, sodass man Konvergenz gegen {{math|term= 0 |SZ=}} erwarten kann. {{:Metrischer Raum/Folge/Einführung/Textabschnitt|}} Für eine konvergente reelle Folge {{mathl|term= {{Folge|x|}} |SZ=}} haben wir im ersten Semester die Eigenschaft kennengelernt, dass wenn sämtliche Folgenglieder {{math|term= \geq a |SZ=}} sind, dass dann auch der Limes {{math|term= \geq a |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{Anführung|{{math|term= > |SZ=}}|}} gilt das nicht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Hinrichtung der folgenden Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung dieses Sachverhalts. {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Berührpunkte}} {{ inputbild |Neighborhood edge|png| 180px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Neighborhood_edge |Autor= |Benutzer=Zasdfgbnm |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition|| }} Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} Berührpunkte des offenen Intervalls {{mathl|term= ]0,1[ |SZ=}} oder {{math|term= 0 |SZ=}} ist ein Berührpunkt von {{math|term= \R \setminus \{0\} |SZ=.}} Oft ist {{math|term= T |SZ=}} der Definitionsbereich einer Abbildung {{math|term= f |SZ=}} in einen weiteren metrischen Raum {{math|term= N |SZ=}} und man fragt sich, ob es eine sinnvolle Fortsetzung von {{math|term= f|SZ=}} in einen Berührpunkt {{ Relationskette | P |\notin| T || || || |SZ= }} gibt. Siehe insbesondere die 37. Vorlesung. }} 5pdgjgn0c84r4x810s0077rmhp2zagp 106 129280 1111880 1070114 2026-08-16T13:45:48Z Bocardodarapti 2041 1111880 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|37| {{Zwischenüberschrift|Differenzierbare Kurven}} {{:Differenzierbare Kurve/Motivation/Einführung/Textabschnitt}} Um einen Limes bilden zu können, brauchen wir, wie schon im Eindimensionalen, eine Metrik {{ Zusatz/Klammer |text=eine Abstandsfunktion| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.}} Wir werden daher euklidische Vektorräume betrachten, also reelle endlichdimensionale Vektorräume, für die ein Skalarprodukt erklärt ist. Ein Skalarprodukt auf {{math|term= V |SZ=}} definiert über {{ Relationskette/display | {{op:Norm|v|}} | {{defeq|}} | \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v|v}} } || || || |SZ= }} eine Norm und über {{ Relationskette/display | d(u,v) | {{defeq|}} | {{op:Norm|u-v|}} || || || |SZ= }} eine Metrik. Für einen Vektor {{math|term= v |SZ=,}} der bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Koordinaten {{ Relationskette/display | v || {{makl| v_1 {{kommadots|}} v_n |}} || || || |SZ= }} gegeben ist, lautet die Formel für die Norm {{ Relationskette/display | {{op:Norm|v|}} || \sqrt{ v_1^2 {{plusdots|}} v_n^2 } || || || || |SZ=. }} Da es auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} und damit eine dadurch induzierte bijektive lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^n | V | e_i | v_i |SZ=, }} gibt, gibt es auch auf jedem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ein Skalarprodukt und damit eine euklidische Metrik. Diese hängt jedoch von der gewählten Basis ab. Allerdings hängen die offenen Mengen{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Menge der offenen Mengen eines metrischen Raumes wird als {{Stichwort|Topologie|SZ=}} bezeichnet. Wesentliche Begriffe wie Konvergenz und Stetigkeit hängen nur von der Topologie ab| |ISZ=.|ESZ=, }} der Konvergenzbegriff und Grenzwerteigenschaften nicht von einer solchen Wahl ab, wie das folgende Lemma zeigt. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt|Lemma|| }} Für uns bedeutet das, dass die im Folgenden zu entwickelnden Differenzierbarkeitsbegriffe nicht vom gewählten Skalarprodukt abhängen. Mit etwas mehr Aufwand kann man auch zeigen, dass eine beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise euklidische| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=|msw=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/R/Norm/Definition |SZ= }} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ebenfalls die gleiche Topologie definiert, und man genauso gut mit einer beliebigen Norm arbeiten könnte. Zunächst müssen wir den Grenzwertbegriff für Abbildungen, den wir im Reellen in der zehnten Vorlesung eingeführt haben, zwischen metrischen Räumen erweitern. {{ inputdefinition |Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition|f=g| }} Statt mit abgeschlossenen Ballumgebungen kann man auch mit offenen Ballumgebungen arbeiten. Eine alternative Bedingung ist, dass für jede Folge {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} aus {{math|term= T |SZ=,}} die gegen {{math|term= a |SZ=}} konvergiert, die Bildfolge {{mathl|term= {{Folge|glied= f(x_n)}} |SZ=}} gegen {{math|term= b |SZ=}} konvergiert. Diese Definition werden wir hier hauptsächlich in der Situation {{ Relationskette | M || I || || || |SZ= }} ein reelles Intervall, {{ Relationskette | T || I \setminus \{t \} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | a || t || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | L || V || || || |SZ= }} ein euklidischer Vektorraum und den Differenzenquotienten {{ Abbildung/display |name= g | t' | {{op:Bruch| f(t')-f(t) | t'-t }} || |SZ= }} anwenden. Dieser ist für {{ Relationskette | t' || t || || || |SZ= }} nicht definiert, wir suchen aber dennoch einen sinnvollen Wert für ihn. {{:Differenzierbare Kurven/Vektorraum/2/Textabschnitt|zusatz1= &nbsp;In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Nr= |SZ= }} werden wir noch eine allgemeinere Kettenregel kennenlernen.}} {{ inputbeispiel |Kurve/Bewegung im Raum/Projektion auf Ebene/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} eaq6q8ogu0xa65ef0ujq2c5jrug5g4e 106 129289 1111891 1018513 2026-08-16T16:30:06Z Bocardodarapti 2041 1111891 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|46| {{:Differentialrechnung/Höherdimensional/Hinführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Richtungsableitung}} Wir stellen uns vor, wir sind an einem Ort im Gebirge und entschließen uns, in eine bestimmte Richtung, beispielsweise nach Nordwest zu gehen, egal was kommen mag. Damit machen wir sämtliche Steigungen und Abhänge mit, die das Gebirge uns in dieser vorgegebenen Richtung bietet. Dabei lernen wir nur den Höhenverlauf des Gebirges entlang dieses linearen Ausschnitts kennen. Durch die gewählte Richtung bewegen wir uns auf dem Graphen zu einer Funktion in einer einzigen Variablen, nämlich einer Variablen der Grundgeraden. Dies ist die Grundidee der {{Stichwort|Richtungsableitung |SZ=.}} {{ inputdefinition |Richtungsableitung/Punkt/Definition|adj=euklidische| }} Der Ausdruck {{ Math/display|term= {{op:Bruch| f(P+sv)-f(P) | s }} |SZ= }} heißt wieder {{Stichwort|Differenzenquotient|msw=|SZ=.}} Die Existenz von {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung| f | P | v }} }} hängt nur von der Abbildung {{ Abbildung |name=h | I | W | s | f(P+sv) |SZ=, }} ab {{ Zusatz/Klammer |text=wobei das Intervall {{ Relationskette/k | I || {{op:Offener Ball| 0 | \delta }} || || || |SZ= }} so gewählt ist, dass {{ Relationskette/k | s | \in | {{op:Offener Ball| 0 | \delta }} || || || |SZ= }} auch {{ Relationskette/k | P+sv | \in | G || || || |SZ= }} impliziert| |ISZ=|ESZ=. }} Mit dieser Hilfsabbildung {{math|term= h |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | h'(0) || {{op:Funktionslimes|s|0, s \neq 0}} {{op:Bruch|h(s) - h(0) |s}} || {{op:Funktionslimes|s|0, s \neq 0}} {{op:Bruch|f(P + sv)-f(P)|s}} || (D_vf)(P) || |SZ=, }} wobei links die Ableitung zu einer Kurve steht. Die Richtungsableitung in einem Punkt und in eine Richtung ist selbst ein Vektor in {{math|term= W |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | W || \R || || || |SZ= }} ist die Richtungsableitung eine reelle Zahl. {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/R/x^2y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/R/Lineare Abbildung/Beispiel|| }} Typischerweise berechnet man die Richtungsableitung nicht über eine direkte Grenzwertbetrachtung, sondern über die Hilfsfunktion {{ Relationskette | h(t) || f(P+tv) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den nächsten Vorlesungen werden wir noch den Zusammenhang zu partiellen Ableitungen kennenlernen, der ebenfalls für Berechnungen gut geeignet ist| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/R/x^2-xy^2+sin(xy)/Punkt (3,4), Richtung (2,-5)/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Richtungsableitung/R/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Im Rahmen der Theorie des totalen Differentials wird die Frage beantwortet, wie sich die Richtungsableitungen zu verschiedenen Richtungen zueinander verhalten. Wenn im Werteraum eine Basis gegeben ist, so kann man die Richtungsableitung komponentenweise bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Richtungsableitung/R/Basis/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote }} Aufgrund dieses Lemmas muss man vor allem die Richtungsableitung für den Fall verstehen, wo der Wertebereich gleich {{math|term= \R |SZ=}} ist. Das folgende einfache Beispiel zeigt, dass durchaus alle Richtungsableitungen existieren können, die Abbildung selbst aber noch nicht einmal stetig sein muss. {{ inputbeispiel |Differenzierbarkeit/Partielle Differenzierbarkeit ist schwach/Beispiel|| }} Im vorstehenden Beispiel besteht kein enger Zusammenhang zwischen den Richtungsableitungen in verschiedene Richtungen. Wir werden später sehen, dass unter stärkeren Voraussetzungen die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= |V|W |v| {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} |SZ=, }} linear ist. Im Allgemeinen möchte man nicht nur in einem einzigen Punkt {{ Relationskette | P |\in| V || || || |SZ= }} ableiten können, sondern in jedem Punkt, was durch die folgende naheliegende Definition präzisiert wird. {{ inputdefinition |Euklidische Räume/Richtungsableitung/Jeder Punkt/Definition|| }} Die Richtungsableitung zu einem fixierten Vektor ist also vom selben Typ wie die Ausgangsabbildung. {{Zwischenüberschrift|Polynomiale Funktionen}} {{ inputbeispiel |R^n/x_1...x_n/Richtungsableitung/Beispiel|| }} In den Aufgaben werden wir sehen, dass die Richtungsableitung zu einer polynomialen Funktion in jede Richtung existiert und selbst wieder polynomial ist. Dies wird sich auch einfach im Rahmen des totalen Differentials ergeben. }} azpg7ucxjksb2xee16y0vldaiskusnn 106 129292 1111894 1070151 2026-08-16T17:10:06Z Bocardodarapti 2041 1111894 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|49| {{Zwischenüberschrift|Die Kettenregel}} Die Eleganz des totalen Differentials wird in der folgenden allgemeinen Version der Kettenregel deutlich. Sie besagt, dass bei einer Verknüpfung von differenzierbaren Abbildungen das totale Differential {{ Zusatz/Klammer |text=also die lineare Approximation| |ISZ=|ESZ= }} gleich der Verknüpfung der einzelnen totalen Differentiale ist. Der Beweis verwendet an einer Stelle, dass das Bild einer abgeschlossenen Kugel unter einer linearen Abbildung {{math|term= L|SZ=}} beschränkt ist, d.h. dass es ein {{ Relationskette | b |\in| \R || || || |SZ= }} gibt mit {{ Relationskette/display | {{op:Norm| L(v) |}} |\leq|b || || || |SZ= }} für alle {{math|term= v |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Norm| v |}} |\leq| 1 || || || || |SZ=. }} Diese Aussage gilt sogar für jede stetige Abbildung, wir werden sie hier aber nur für eine lineare Abbildung beweisen. {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/R/Bild/Einheitskugel/Beschränkt/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweishier |Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt|Satz||Beweistext={{:Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt/Beweis2|opt=Text}} }} {{ inputfaktbeweis |Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Standardbasen und Jacobimatrix/Fakt|Korollar|| }} Bei der vorstehenden Aussage kann man mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} häufig direkt auf die totale Differenzierbarkeit schließen. {{ inputbeispiel |Totales Differential/R/Kettenregel/(uv^3w^2,u^2-v^2w) und (xy-y^2,cos x,x-y)/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Kettenregel/R/Kurve und lineare Abbildung/Bemerkung||f=\gamma| }} {{ inputbemerkung |Kettenregel/R/Vektor und linearer Weg/Richtungsableitung/Bemerkung|| }} Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht. {{ inputbeispiel |Differenzierbarkeit/R/Partielle Ableitungen hängen von Koordinaten ab/Beispiel|| }} }} t1291wwy65cp29b3nrrbu5x8zdmv6z8 106 129293 1111899 1018519 2026-08-16T17:18:33Z Bocardodarapti 2041 1111899 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|50| {{:Polynom/R/Mehrere Variablen/Höhere partielle Ableitung/Direkt/Einführung zu Taylor-Polynom/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Taylor-Formel - Vorbereitungen}} {{:Taylor-Entwicklung/R/Polynom/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=}} {{:Richtungsableitungen/Multiindexschreibweise/Notation/Textabschnitt}} Bevor wir die Taylor-Formel beweisen, die das lokale Verhalten einer Funktion in einer {{Anführung|kleinen}} offenen Ballumgebung eines Punktes beschreibt, wenden wir uns dem lokalen Verhalten in dem Punkt längs einer fixierten Richtung zu, wofür wir die Taylor-Formel in einer Variablen zur Verfügung haben. Zu einer Funktion {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |G |\subseteq|V || || || |SZ=, }} {{math|term= V|SZ=}} euklidischer Vektorraum| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |G|\R || |SZ= }} ist die Differenzierbarkeit im Punkt {{ Relationskette |P |\in|G || || || |SZ= }} in Richtung {{ Relationskette |v |\in|V || || || |SZ= }} äquivalent zur Differenzierbarkeit der Funktion {{ Abbildung/display |name=h |I|\R |t|h(t) {{=|}} f(P+tv) |SZ=, }} für {{ Relationskette |t ||0 || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= I |SZ=}} ein geeignetes reelles Intervall ist. Wir werden zunächst zeigen, dass eine entsprechende Beziehung auch für höhere Ableitungen gilt. D.h. die höheren Ableitungen von {{math|term= h|SZ=}} können als eine Kombination der höheren partiellen Ableitungen auf der durch {{mathl|term= P+\R v |SZ=}} gegebenen Geraden ausgerechnet werden. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt|Satz|| }} {{ inputdefinition |Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition||zusatz1=Fußnote }} Es liegt also ein Polynom in den {{ Zusatz/Klammer |text=verschobenen| |ISZ=|ESZ= }} Variablen {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} vor. Der Punkt {{math|term= P |SZ=}} heißt {{Stichwort|Entwicklungspunkt|msw=|SZ=.}} Wenn {{math|term= P|SZ=}} der Nullpunkt ist, so schreibt man in der Regel {{math|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder große {{math|term= X_i |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} statt {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Dies ist im Normalfall unproblematisch, da man ja in die partiellen Ableitungen schon die Koordinaten eingesetzt hat. Wenn {{ Relationskette |P || (a_1 {{kommadots|}} a_n) || || || |SZ= }} ist, so schreibt man meistens {{mathl|term= x_i-a_i |SZ=}} statt {{mathl|term= v_i |SZ=,}} wobei die {{math|term= x_i |SZ=}} die Standardkoordinaten des {{math|term= \R^n |SZ=}} bezeichnen. Man spricht auch vom {{Stichwort|Taylor-Polynom der Ordnung|SZ=}} {{math|term= k|SZ=}} oder einfach vom {{math|term= k |SZ=-}}ten Taylor-Polynom. Das {{math|term=0|SZ=-te}} Taylor-Polynom ist das konstante Polynom, das durch den Funktionswert {{mathl|term= f(P) |SZ=}} gegeben ist, das {{math|term=1|SZ=-te}} Taylor-Polynom ist die lineare Approximation von {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} und das {{math|term=2|SZ=-te}} Taylor-Polynom ist die {{Stichwort|quadratische Approximation|SZ=}} von {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Polynom/Mehrere Variablen/Taylorpolynom/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |(x,y) nach (sin x)e^y-3xy/Taylor-Polynom im Nullpunkt/Bis dritter Ordnung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote }} {{Zwischenüberschrift|Die Taylor-Formel}} {{ inputfaktbeweis |Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt|Satz|| }} {{Fußnotenliste}} }} 2kem29rmojlvrznwkyqfcmuvodvi9em 106 129294 1111917 1069774 2026-08-17T06:38:34Z Bocardodarapti 2041 1111917 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|51| {{Zwischenüberschrift|Extrema}} Zu einer reellwertigen Funktion {{ Abbildung/display |name=f |G|\R || |SZ= }} auf einer offenen Menge {{ Relationskette |G |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} interessieren wir uns, wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich, für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der {{ Zusatz/Klammer |text=höheren| |ISZ=|ESZ= }} Ableitungen {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existieren| |ISZ=|ESZ= }} erkennen kann. Wir verallgemeinern zuerst die relevanten Definitionen auf die Situation, wo der Definitionsbereich ein beliebiger metrischer Raum ist. {{:Extrema/R^n/Erste Beispiele/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Der Gradient}} Wenn eine Funktion {{ Abbildung |name=f |V|\R || |SZ= }} total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von {{ mathkor|term1= V |nach|term2= \R |SZ=, }} also eine {{ Definitionslink |Linearform| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette |G |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} ist, so bilden die partiellen Ableitungen von {{ Abbildung/display |name=f |G|\R || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | P |\in| G || || || |SZ= }} eine Matrix mit einer einzigen Zeile, die bei stetigen partiellen Ableitungen {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso auch als ein {{math|term= n |SZ=-}}Tupel in {{math|term= \R |SZ=}} und damit als einen Vektor in {{math|term= \R^n |SZ=}} auffassen. Vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition|| }} Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab, was schon für den Gradienten zu einer Linearform gilt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Linearform/Gradient/Abhängig von Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | V || \R^n || || || |SZ=, }} versehen mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel |SZ=, }} ist der Gradient einfach gleich {{ Relationskette/display | {{op:Gradient|f|P}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1 |P}}|\vdots| {{op:Partielle Ableitung|f|x_n |P}} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Reellwertige Funktion auf R^3/Einschränkung auf Ebene/Gradient/Koordinantenfrei/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt|Satz|| }} Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den steilsten Anstieg hat. In die entgegengesetzte Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor. {{ inputbeispiel |Rechteck/Ein Eckpunkt/Umfang und Flächeninhalt/Gradient/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Lokale Extrema von Funktionen in mehreren Variablen}} {{:Reellwertige Funktion/Lokale Extrema/Notwendiges Kriterium/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Hesse-Form}} Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen Fall muss man sich die zweiten Ableitungen anschauen, wobei die Situation natürlich dadurch wesentlich verkompliziert wird, dass es zu je zwei Richtungsvektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} eine zweite Richtungsableitung {{ Relationskette | D_{vw} || D_v D_w || || || || |SZ= }} gibt. Die zweite Richtungsableitung wird dadurch handhabbar, dass man sie in die sogenannte Hesse-Form bzw. Hesse-Matrix zusammenfasst. {{:Hesse-Form und Matrix/Textabschnitt}} Die Hesse-Form zu einem festen Punkt {{math|term= P|SZ=}} ordnet also zwei Vektoren eine reelle Zahl zu, und sie ist durch ihre Hesse-Matrix vollständig beschrieben. Damit ordnet sie sich in das Konzept von symmetrischen Bilinearformen ein.}} afyustd75axnota30ou6iutw6dmy32t 106 129299 1111933 1069775 2026-08-17T07:05:54Z Bocardodarapti 2041 1111933 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|56| Wir haben schon für verschiedene Differentialgleichungen gezeigt, dass eine Lösung existiert und durch eine Anfangswertbedingung eindeutig bestimmt ist. Der {{Stichwort|Satz von Picard-Lindelöf|SZ=}} beweist dies recht allgemein unter der Voraussetzung, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. {{Zwischenüberschrift|Lipschitz-Bedingung}} {{ inputbild |RLipschitz|jpeg| 230px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=[[w:Rudolf Lipschitz|Rudolf Lipschitz (1832-1903)]] |Autor= |Benutzer=Ahellwig |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Für den Satz von Picard-Lindelöf wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. {{:Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Textabschnitt|opt1=nichtvorgeführt}} Für ein lineares Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/display |v' || A(t) v + z(t) || || || |SZ= }} mit einer stetigen Matrix {{math|term=A(t)|SZ=}} sind die Bedingungen der vorstehenden Aussage erfüllt. Die {{math|term=i|SZ=-}}te Komponente des Vektorfelds besitzt ja die Gestalt {{ Relationskette/display |f_i(t, v_1 {{kommadots|}} v_n) || a_{i 1}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{i n}(t)v_n +z_i(t) || || || |SZ=. }} Daraus folgt, dass {{math|term=f_i|SZ=}} nach {{math|term=v_j|SZ=}} partiell ableitbar ist mit der stetigen Ableitung {{mathl|term= a_{ij}(t) |SZ=,}} so dass die Bedingungen erfüllt sind. {{Zwischenüberschrift|Differential- und Integralgleichungen}} Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve, das wir in Vorlesung 36 eingeführt haben, kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Picard-Lindelöf}} Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Picard-Lindelöf-Iteration}} Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf, den wir nicht vorgeführt haben, läuft über die äquivalente Integralgleichung und ist prinzipiell konstruktiv. Darauf beruht die {{Stichwort|Picard-Lindelöf-Iteration|SZ=,}} mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen. {{ inputbemerkung |Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Bemerkung|| }} Wir wenden dieses Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty/Aufgabe |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Zur Eindeutigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen}} Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen lokal, also auf einem gewissen Teilintervall, eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung gibt. Die folgende Aussage zeigt, dass eine Lösung dort, wo sie definiert ist, eindeutig bestimmt ist. Wir verwenden die folgende Zusammenhangseigenschaft eines reellen Intervalls {{math|term=J|SZ=,}} die aus dem Zwischenwertsatz folgt: Eine nichtleere Teilmenge {{ Relationskette |M |\subseteq|J || || || |SZ=, }} die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, muss gleich ganz {{math|term=J|SZ=}} sein. {{:Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Textabschnitt|}} }} 6h71410qc6zv8b7bex5wednsvr9vi1q 106 129300 1111935 1052625 2026-08-17T07:10:02Z Bocardodarapti 2041 1111935 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|57| {{Zwischenüberschrift|Gradientenfelder}} {{ inputbild |Gradient field|png| 500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Gradient_field |Text= |Autor= |Benutzer=Christophe.Finot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{:Vektorfelder/Gradientenfelder/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Wegintegrale und Gradientenfelder}} Eine offene Teilmenge {{ Relationskette | U |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} heißt {{Stichwort|(weg-)zusammenhängend|msw=wegzusammenhängend|SZ=,}} wenn man je zwei Punkte {{ Relationskette | P,Q |\in| U || || || |SZ= }} durch einen stetigen Weg miteinander verbinden kann. {{:Wegintegral/Vektorfeld/Gradientenfeld/Textabschnitt |zusatz1=Fußnote |zusatz3=Fußnote }} {{Zwischenüberschrift|Die Integrabilitätsbedingung}} {{:Wegintegral/Vektorfeld/Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} 28az3focnkzt10j0dyrq1ho8n92a2za 106 129302 1111905 1052626 2026-08-16T17:59:06Z Bocardodarapti 2041 1111905 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|59| {{Zwischenüberschrift|Mehrfache Integrale}} {{:Mehrfache Integrale/Kompakte Teilmengen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Fubini}} {{ inputbild |Volume under surface|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Volume_under_surface |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Ein besonders einfacher Fall liegt vor, wenn {{ Relationskette | T || [a,b] \times [c,d] || || || |SZ= }} ein Rechteck ist. Diese Situation wird durch den {{Stichwort|Satz von Fubini|SZ=}} abgedeckt. {{:Kompakte Teilmengen/Integration/Fubini/Textabschnitt |zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=das haben wir nicht bewiesen| |ISZ=|ESZ=. }}}} {{Zwischenüberschrift|Mehrfachintegrale über stetig berandeten Gebieten}} Wir betrachten nun Mehrfachintegrale über komplizierteren Teilmengen {{math|term= T |SZ=,}} wobei zunächst {{math|term= T |SZ=}} eine kompakte Teilmenge im {{math|term= \R^2 |SZ=}} sei. Eine handhabbare Klasse von Teilmengen sind diejenigen, die {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest stückweise| |ISZ=|ESZ= }} durch stetige Funktionen in einer Variablen berandet sind. Die Grundversion sieht dabei folgendermaßen aus: Es sei {{ Relationskette | I || [a,b] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |SZ= }} und es seien {{ Abbildung/display |name= g,h | I | \R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |stetige Funktionen| |Kontext=R| |SZ= }} mit {{ Relationskette | g(x) | \leq | h(x) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | [a,b] || || || |SZ=. }} Diese zwei Funktionen {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ihre Graphen| |ISZ=|ESZ= }} legen dann ein Flächenstück {{math|term= T |SZ=}} fest, nämlich {{ Relationskette/display/handlinks | T || {{mengebed| (x,y) | a \leq x \leq b | g(x) \leq y \leq h(x) }} || || || |SZ=. }} Man spricht von einem {{Stichwort|stetig berandeten Flächenstück|msw=Stetig berandetes Flächenstück|SZ=.}} Das Integral über {{math|term= T|SZ=}} zu einer stetigen Funktion {{ Abbildung |name= f | T | \R || |SZ= }} kann man folgendermaßen berechnen. {{ inputfaktbeweis |Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt|Satz|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das haben wir nicht bewiesen| |ISZ=|ESZ= }}| }} {{ inputbeispiel |Doppelintegral/Oberer Halbkreis/x^2y+xy^3/Beispiel|| }} Natürlich können die begrenzenden Funktionen auch von {{math|term= y|SZ=}} abhängen. Allgemeiner kann man häufig ein komplizierteres Flächenstück durch Einführung eines {{Anführung|Gitters}} in Flächenstücke zerlegen, die zu diesem Grundtyp gehören. In diesem Fall erhält man das Gesamtintegral durch Aufsummieren der Teilintegrale. Wir betrachten nun dreidimensionale Bereiche {{math|term= T |SZ=}} und Integrale darüber. Eine typische Situation ist dabei wieder, dass {{math|term= T |SZ=}} durch stetige Funktionen berandet wird, und zwar in der folgenden Weise: Es sei {{ Relationskette | I || [a,b] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Abbildung/display |name=g,h | I | \R || |SZ= }} seien zwei stetige Funktionen mit {{ Relationskette | g(x) | \leq | h(x) || || || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=p,q | {{mengebed| (x,y) | x \in I | g(x) \leq y \leq h(x) }} | \R || |SZ= }} seien zwei stetige Funktionen mit {{ Relationskette | p(x,y) |\leq| q(x,y) || || || || |SZ=. }} Diese Funktionen begrenzen dann den Bereich {{ Relationskette/display/handlinks | T || {{mengebed| (x,y,z) | x \in I | g(x) \leq y \leq h(x)| p(x,y) \leq z \leq q(x,y)}} || || || |SZ=. }} Eine stetige Funktion {{ Abbildung |name=f | T | \R || |SZ= }} kann man integrieren, indem man die berandenden Funktionen als Integrationsgrenzen verarbeitet. {{ inputfaktbeweishier |Körper/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt|Satz|| ||Beweistext=Dies folgt ebenfalls aus dem Cavalieri-Prinzip. }} Häufig lässt man dabei die Klammern weg, da die Integralzeichen und das Integrationssymbol {{math|term= du |SZ=}} als Klammerung ausreichen. Ein Mehrfachintegral ist von innen nach außen zu lesen und zu berechnen. Die einzelnen Integrale sind dabei, abgesehen davon, dass sie von zusätzlichen unbestimmten Parametern abhängen, gewöhnliche eindimensionale Integrale. {{ inputbeispiel |Körper/T ist Subgraph zu Funktion über Rechteck/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Schwerpunkt}} {{:Integrationstheorie/Schwerpunkt/Einführung/Textabschnitt|}} }} jny5pbcs4azhdjq3xtfbwmih1e57blu 106 129303 1111902 1069776 2026-08-16T17:29:38Z Bocardodarapti 2041 1111902 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|60| {{Zwischenüberschrift|Die Transformationsformel für Integrale}} Wir kommen zur {{Stichwort/Faktname|Transformationsformel für Integrale|SZ=,}} wofür wir noch eine Bezeichnung einführen. {{ inputdefinition |Total differenzierbar/Jacobi-Determinante/Definition|| }} Wir betrachten die Jacobi-Determinante als eine auf {{math|term= G |SZ=}} definierte reellwertige Funktion {{mathl|term= P \mapsto J(\varphi)(P) = J(P) {{defeq}} {{op:Determinante| {{op:Totales Differential| \varphi | P }} |}} |SZ=.}} Bei einer stetig partiell differenzierbaren Abbildung ist sie stetig, da dann die Einträge in der Jacobi-Matrix stetige Funktionen sind. Bei einer linearen Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | \R^n | \R^n || |SZ= }} stimmt das totale Differential in jedem Punkt mit {{math|term= \varphi |SZ=}} selbst überein, und daher ist die Jacobi-Determinante konstant. In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir gesehen, dass die Determinante der linearen Abbildung das Verhältnis zwischen dem Volumen von Bild und Urbild festlegt. Eine wesentliche Verallgemeinerung von dieser Beziehung wird durch die beiden folgenden Aussagen gegeben. {{ inputfaktbeweishier |Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt|Satz|| |Beweistext=Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.| }} Häufig startet man auch mit einer kompakten Teilmenge {{ Relationskette | S |\subseteq| G || || || |SZ= }} und setzt {{ Relationskette | T || \varphi(S) || || || |SZ=. }} Es kann auch auf {{math|term= S |SZ=}} eine stetige Funktion {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} definiert sein, dann muss man {{ Relationskette | f || \tilde{f} \circ \varphi^{-1} || || || |SZ= }} setzen. Da ein Diffeomorphismus vorausgesetzt wird, ist die Aussage dieses Satzes grundsätzlich symmetrisch. {{ inputfaktbeweis |Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt|Korollar|| }} {{Zwischenüberschrift|Beispiele zur Transformationsformel}} {{:Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Einige Beispiele/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Volumentreue Abbildungen}} In einer früheren Vorlesung haben wir über {{ Definitionslink |Isometrien| |Kontext=| |SZ= }} gesprochen, also lineare Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen, die das Skalarprodukt und insbesondere die Norm respektieren. Aufgrund von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist die Determinante einer Isometrie auf dem {{math|term=\R^n |SZ=}} gleich {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ=, }} so dass sich {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt |Nr= |SZ= }} das Volumen von beliebigen kompakten Teilmengen {{ Relationskette | T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} unter der Abbildung nicht ändert, d.h. es ist stets {{ Relationskette | \lambda^n(\varphi(T)) || \lambda^n(T) || || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Diffeomorphismus/Volumentreu/Über Determinante/Definition|| }} Im ebenen Fall spricht man natürlich von {{Stichwort|flächentreu|SZ=.}} Für einen volumentreuen Diffeomorphismus ist {{ Relationskette/display | \lambda^n(\varphi(T)) || \lambda^n(T) || || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Flächentreue Abbildung/Dreiecks-Polynome/Beispiel|| }} }} r8n4o02xwm73h625r33f5hucyjg1l4e 106 130362 1111937 700749 2026-08-17T07:13:35Z Bocardodarapti 2041 1111937 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|43|20|Kurs=|}} ipwewmt500zkvplrx75p754dhw5pnso 0 130464 1111881 1102902 2026-08-16T13:47:21Z Bocardodarapti 2041 1111881 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |ComplexSinInATimeAxe|gif| 350px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} | |Text=Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen. |Autor=Nashev |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= I |SZ=}} ein reelles Intervall, {{math|term= V |SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{ Abbildung/display |name= f | I | V || |SZ= }} eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine {{Stichwort|Kurve|SZ=}} oder einen {{Stichwort|Weg|SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Häufig stellt man sich dabei {{math|term= I |SZ=}} als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum {{math|term= V |SZ=}} vor. Jedem Zeitpunkt {{ Relationskette | t | \in | I || || || |SZ= }} wird also ein Ortspunkt {{ Relationskette | f(t) | \in | V || || || |SZ= }} zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem {{math|term= V |SZ=,}} also {{ Relationskette | V | \cong| \R || || || |SZ=, }} ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei {{ Relationskette | V | \cong | \R^2 || || || |SZ= }} ist der Graph eine Teilmenge von {{ Relationskette | \R \times \R^2 || \R^3 || || || || |SZ=. }} Häufig skizziert man bei einer Kurve bei {{ Relationskette | V || \R^2 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | V || \R^3 || || || |SZ= }} nur das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von der {{Stichwort|Bahn|SZ=}} oder der {{Stichwort|Spur|SZ=}} der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt. Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die {{Anführung|Geschwindigkeit}} zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag {{ Zusatz/Klammer |text=oder Norm| |ISZ=|ESZ=, }} sondern auch deren Richtung {{ Zusatz/Klammer |text=die Sprechweisen sind uneinheitlich| |ISZ=|ESZ=. }} Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} und Radius {{math|term= r |SZ=,}} bei der eine volle Kreisumdrehung die Zeit {{math|term= a |SZ=}} benötigt, die zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (r,0) |SZ=}} startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch {{ Abbildung/display |name= | \R | \R^2 | t | {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos| {{op:Bruch| 2 \pi | a |}} t |}} |r {{op:sin| {{op:Bruch| 2 \pi | a |}} t|}}}} |SZ=, }} beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} {{Stichwort|tangential|SZ=}} an den Ortspunkt auf dem Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=und steht senkrecht zum Ortsvektor| |ISZ=|ESZ=. }} Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich. Die Vorstellung der {{Stichwort|Momentangeschwindigkeit|SZ=}} wird durch den Begriff der {{Stichwort|differenzierbaren Kurve|msw=Differenzierbare Kurve|SZ=}} und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten {{ Relationskette | t |<| t' || || || |SZ= }} den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor {{ Zusatz/Klammer |text=die wir den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| f(t') - f(t) | t'-t |}} | \in | V || || || |SZ= }} zu betrachten und davon den Limes für {{mathl|term= t' \rightarrow t |SZ=}} zu bestimmen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9unby3iwvjhi9tmqza100tc5s9vipfr 0 130622 1111877 1100651 2026-08-16T13:15:59Z Bocardodarapti 2041 1111877 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Animasjon lysrefleksjon|gif| 230px {{!}} right {{!}} | | |Text= |Autor= |Benutzer=Ingvald Straume |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |orthogonalen Komplement| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement| U |}} |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | E || P+U || || || |SZ= }} ein affiner Unterraum und {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | v |\neq| 0 || || || |SZ=, }} ein Vektor und {{ Relationskette | G || Q + \R v || || || |SZ= }} die Gerade durch einen Punkt {{math|term= Q |SZ=}} mit dem Richtungsvektor {{math|term= v |SZ=.}} Man denke bei {{math|term= E |SZ=}} an eine fixierte Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=eine Bande| |ISZ=|ESZ= }} in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei {{math|term= v |SZ=}} an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung {{ Abbildung |name= |\R|V | t | Q+tv |SZ=, }} gegeben. {{ inputbild |Light matter reflection|svg| 230px {{!}} right {{!}} | | |Text= |Autor= |Benutzer=Kdkeller |Domäne= |Lizenz=CC BY 3.0 |Bemerkung= }} Wenn die Bewegung auf {{math|term= E |SZ=}} trifft, so wird die Bewegung nach dem {{Stichwort|Reflexionsgesetz|SZ=}} reflektiert, dabei gilt die Beziehung {{Stichwort|Einfallswinkel |SZ=}} ist gleich {{Stichwort|Ausfallswinkel|SZ=.}} Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können {{ Relationskette | P || Q || || || |SZ= }} annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor {{math|term= v |SZ=}} besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/R/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} eine eindeutige Zerlegung {{ Relationskette/display | v || u+w || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | u | \in | U || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | w | \in | {{op:Orthogonales Komplement| U |}} || || || |SZ=. }} Der Vektor {{math|term= w |SZ=}} wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente {{math|term= u |SZ=}} und in die Lotkomponente {{math|term= w |SZ=.}} Der Ausfallsvektor {{math|term= v^* |SZ=}} ist dann gleich {{mathl|term= u-w |SZ=,}} es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| v |u}} || {{op:Skalarprodukt|u+w|u}} || {{op:Skalarprodukt| u |u}} || {{op:Skalarprodukt|u-w|u}} || {{op:Skalarprodukt|{v^*}|u}} || |SZ=. }} Ein Vektor, der zu {{math|term= U |SZ=}} gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf {{math|term= U |SZ=}} steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte {{ Zusatz/Klammer |text=ungebremste| |ISZ=|ESZ= }} Bewegung ist durch {{ Relationskette/display | \gamma(t) || \begin{cases} P+t(u+w) \text{ für } t \leq 0 \, , \\ P+t(u-w) \text{ für } t \geq 0 \, , \end{cases} || || || |SZ= }} gegeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Reflexionstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4qy5q0p9dum7jucs9lcddqj1d6ka1o 106 131078 1111869 991716 2026-08-16T13:10:56Z Bocardodarapti 2041 1111869 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|29| Wir besprechen in dieser und der nächsten Vorlesung Lösungsverfahren für gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichungen {{ Relationskette/display | y' || f(t,y) || || || |SZ=. }} wenn das Vektorfeld {{mathl|term= f(t,y) |SZ=}} eine bestimmte Form besitzt. Heute sprechen wir über sogenannte lineare Differentialgleichungen. {{Zwischenüberschrift|Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}} Es gibt homogene lineare Gleichungssysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor {{ Zusatz/Klammer |text=Störvektor| |ISZ=|ESZ= }} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine {{Stichwort|Störfunktion|SZ=}} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen. {{:Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt}} }} fxast2f09sd0yt18etz2xv795nsz3mk 0 137231 1111916 1103383 2026-08-17T06:37:27Z Bocardodarapti 2041 1111916 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt|Lemma|| || }} Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine nicht ausgeartete Bilinearform gibt, beispielsweise ein Skalarprodukt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Wendet man dies auf die Linearform an, die durch das totale Differential zu einer differenzierbaren Funktion {{ Abbildung |name=f |V|\R || |SZ= }} gegeben ist, so gelangt man zum Begriff des Gradienten. {{ inputdefinition |Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition|| }} Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab. Bei {{ Relationskette |V || \R^n || || || |SZ=, }} versehen mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel |SZ=, }} ist der Gradient einfach gleich {{ Relationskette/display | {{op:Gradient|f|P}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f| x_1 |P}}|\vdots| {{op:Partielle Ableitung|f| x_n |P}} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Reellwertige Funktion auf R^3/Einschränkung auf Ebene/Gradient/Koordinantenfrei/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt|Satz|| }} Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetzte Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor. {{ inputbeispiel |Rechteck/Ein Eckpunkt/Umfang und Flächeninhalt/Gradient/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5kwe6ebeywusight6037g4eqnkljmse 106 149878 1111934 888169 2026-08-17T07:07:33Z Bocardodarapti 2041 1111934 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Analysis/Standardkurs|}} |}} 1km5m3rhnue3ncyipowijvyduwrjms6 106 164479 1111911 1008153 2026-08-17T06:24:24Z Bocardodarapti 2041 1111911 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Kommutative Algebra/Teil III/Vorlesungsgestaltung|62| {{Zwischenüberschrift|Potenzreihenringe}} {{:Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Einführung/Textabschnitt}} {{:Komplettierung/Restklassenring/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Potenzreihenring/2/Abwechselnde Potenzen/Neilsche Parabel/Beispiel|| }} Bei einer einzigen Potenzreihe in endlich vielen Variablen gibt es nur endlich viele Monome im Träger mit minimalem Exponenten. Deshalb kann man diese stets als eine endliche Summe von Monomen mal Einheit schreiben. }} 1nfgsdqiryam94srtxpyy5l24s3t6jv 106 165528 1111938 1012091 2026-08-17T07:13:47Z Bocardodarapti 2041 1111938 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|43|16|Kurs=|}} e36cb7zvl8yjyfh5qbt0824mnbxjkhc 0 167325 1111901 1073788 2026-08-16T17:28:24Z Bocardodarapti 2041 1111901 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung6/a |Es sind {{mathl|term= 1,2,4,5,7,8 |SZ=}} Einheiten, da sie teilerfremd zu {{math|term= 3 |SZ=}} sind, und {{mathl|term= 0,3,6 |SZ=}} sind nilpotent, da ihr Quadrat gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. |Für einen Monoidhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \pi |\N|R || |SZ= }} muss {{ Relationskette | \pi (0) || 1 || || || |SZ= }} sein und {{math|term= \pi |SZ=}} ist durch den Wert an der Stelle {{math|term= 1 |SZ=}} eindeutig festgelegt, und dabei ist jedes {{math|term= \pi(1) |SZ=}} möglich. Daher gibt es {{math|term= 9 |SZ=}} Elemente in {{mathl|term= {{Mormon| \N | R}} |SZ=.}} |Es sei {{ Relationskette | \rho(2) | \in | R || || || |SZ= }} eine Einheit. Die einzige Möglichkeit ist {{ Relationskette/display | \pi(1) || \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1} || || || |SZ= }} zu setzen, da ja {{ Relationskette/display | \rho(3) || \pi(3) || \pi(2) \cdot \pi (1) || \rho(2) \cdot \pi(1) || || |SZ= }} gelten muss {{ Zusatz/Klammer |text=für alle anderen Zahlen ist ja {{math|term= \pi |SZ=}} durch {{math|term= \rho |SZ=}} festgelegt| |ISZ=|ESZ=. }} Wir müssen zeigen, dass dadurch ein Monoidhomomorphismus von {{math|term= \N |SZ=}} nach {{math|term= R |SZ=}} festgelegt ist. Wir müssen also {{ Relationskette/display | \pi (i+j) || \pi(i) \cdot \pi(j) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i,j | \in | \N || || || |SZ= }} zeigen. Dies ist für {{ Relationskette | i || 0 || || || |SZ= }} und für {{ Relationskette | i,j | \geq | 2 || || || |SZ= }} klar, da ja {{math|term= \rho |SZ=}} ein Homomorphismus ist. Es sei also {{ Relationskette | i || 1 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | j || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | \pi (1) \cdot \pi(1) || \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1} \cdot \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1} || \rho(3+3) \cdot \rho(2+2)^{-1} \cdot \rho(2)^{-1} \cdot \rho(2) || \rho(6) \cdot \rho (6)^{-1} \cdot \rho(2) || \rho(2) || \pi(2) |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | j | \geq| 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | \pi (1) \cdot \pi(j) || \pi (1) \cdot \rho(j) || \rho(3) \cdot \rho(2)^{-1} \cdot \rho(j) || \rho (3 + j ) \cdot \rho(2)^{-1} || \rho (1 + j ) \cdot \rho(2) \cdot \rho(2)^{-1} || \rho(1+j) || \pi(1+j) |SZ=. }} |Wenn {{mathl|term= \pi(1) |SZ=}} eine Einheit ist, so besteht das ganze Bild nur aus Einheiten und {{math|term= \pi |SZ=}} ist auf {{math|term= M \setminus \{0\} |SZ=}} nicht die Nullfunktion. Wenn dagegen {{ Relationskette | \pi(1) || 0,3,6 || || || |SZ= }} ist, so ist zunächst {{ Relationskette | \pi(2) || 0 || || || |SZ= }} und damit ist auch {{ Relationskette | \pi(i) || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i | \geq| 2 || || || |SZ=. }} |Nach Teil (c) kommen nur {{math|term= \rho |SZ=}} mit {{math|term= \rho(2) |SZ=}} nilpotent in Frage. Es ist dann auch {{math|term= \rho(3) |SZ=}} nilpotent. Wäre nämlich {{math|term= \rho(3) |SZ=}} eine Einheit, so auch {{ Relationskette | \rho(3+3) || \rho(6) || \rho(2+2+2) || || |SZ= }} und damit auch {{math|term= \rho(2) |SZ=.}} Wenn man für {{math|term= \rho(2) |SZ=}} und {{math|term= \rho(3) |SZ=}} beliebige nilpotente Elemente aus {{math|term= R |SZ=}} vorgibt, so muss {{ Relationskette | \rho(n) || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | n | \geq | 4 || || || |SZ= }} sein, da man {{ Relationskette | n || 2i+3j || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | i+j | \geq | 2 || || || |SZ= }} schreiben kann. Eine solche Vorgabe von nilpotenten Werten liefert umgekehrt einen Monoidhomomorphimus von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= R |SZ=.}} Ein solcher Morphismus besitzt nur bei {{ Relationskette | \rho(2) || \rho(3) || 0 || || |SZ= }} eine Fortsetzung nach {{math|term= \N |SZ=;}} die {{math|term= 8 |SZ=}} anderen Kombinationen besitzen keine Fortsetzung. |Es gibt {{ Relationskette | 6+8+1 || 15 || || || |SZ= }} Elemente in {{mathl|term= {{Mormon| M | R}} |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} eykabqblc7blyk91sgxxo9z6k3t8m27 0 170237 1111909 1099676 2026-08-17T05:44:14Z C.Koltzenburg 13981 1111909 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. Unabhängig vom Ort Ihrer FSP finden Sie ganz unten weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables") und ich wünsche Ihnen viel Spaß dabei :) '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (in der FSP 20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Anamnesefragen|Anamnesefragen, nach Grammatik sortiert: Mit "haben", mit "sein", mit Dativ, z.B. "Ist Ihnen übel?", "Ist Ihnen schwindelig?", "Ist/ war Ihnen schwarz vor Augen?"]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (in der FSP 20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] * [[Patientenvorstellungen/ Beispielformulierungen|in Patient*innenvorstellungen aus Stichworten Sätze machen: Allergien/ Unverträglichkeiten, Noxen, Sozialanamnese, Familienanamnese)]] * [[Patientenvorstellungen/ Redemittel|Redemittel: wie reagieren, wenn man eine OA-Frage nicht beantworten kann?]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt '''Weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables"/ Spiele)''' * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2135919/c1-med/fachbegriffe je 9 Fachbegriffe, in 3 Formaten] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2002334/c1-med/med-gr-wortst%C3%A4mme griechische Wortstämme in Fachbegriffen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1930130/c1-med/med-adj Adjektive Fachsprache <--> Deutsch] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1408413/c1-med/med-diverse Fachbegriffe/ Endungen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4454149/c1-med/med-vor-und-nachsilben Fachbegriffe: Vor- und Nachsilben] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1513300/c1-med/med-artikel-k%C3%B6rper richtiger Artikel: Anatomie, Nomen im Klinikalltag] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4417174/c1-med/med-adjektive-in-s%C3%A4tzen Adjektiv-Deklination im 1. Satz des Anamneseberichts] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1339694/c1-med/med-synonyme Synonyme trainieren (schwierig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1474102/c1-med/med-ins "schon", "noch", "erst" & Co., in 2 Formaten: 1. den richtigen Partikel einfügen, 2. "unjumble": Wörter in Anamnesefragen in die richtige Reihenfolge bringen (wichtig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2045350/c1-med/med-mit-oder-bei "mit" oder "bei"? (Denken Deutsch von Englisch herkommend? Dann sind dies die richtigen Spiele für Sie!)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4609954/c1-med/vor-co "vorher" =/= "früher" & Co.] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2857226/c1-med/ TOC zu den 11 Paketen] g0z35dpx0198esethk0x9t570nkrl9k 1111924 1111909 2026-08-17T06:54:50Z C.Koltzenburg 13981 1111924 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. Unabhängig vom Ort Ihrer FSP finden Sie ganz unten weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables") und ich wünsche Ihnen viel Spaß dabei :) '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (In einer FSP haben Sie 20 Minuten Zeit dafür.) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Anamnesefragen|Anamnesefragen, nach Grammatik sortiert: Mit "haben", mit "sein", mit Dativ, z.B. "Ist Ihnen übel?", "Ist Ihnen schwindelig?", "Ist/ war Ihnen schwarz vor Augen?"]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (In einer FSP haben Sie 20 Minuten Zeit dafür.) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' ( (In einer FSP haben Sie 15-20 Minuten Zeit dafür.) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] * [[Patientenvorstellungen/ Beispielformulierungen|in Patient*innenvorstellungen aus Stichworten Sätze machen: Allergien/ Unverträglichkeiten, Noxen, Sozialanamnese, Familienanamnese)]] * [[Patientenvorstellungen/ Redemittel|Redemittel: wie reagieren, wenn man eine OA-Frage nicht beantworten kann?]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive "ANKI BaWü" (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt '''Weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables"/ Spiele)''' * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2135919/c1-med/fachbegriffe je 9 Fachbegriffe, in 3 Formaten] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2002334/c1-med/med-gr-wortst%C3%A4mme griechische Wortstämme in Fachbegriffen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1930130/c1-med/med-adj Adjektive Fachsprache <--> Deutsch] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1408413/c1-med/med-diverse Fachbegriffe/ Endungen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4454149/c1-med/med-vor-und-nachsilben Fachbegriffe: Vor- und Nachsilben] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1513300/c1-med/med-artikel-k%C3%B6rper richtiger Artikel: Anatomie, Nomen im Klinikalltag] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4417174/c1-med/med-adjektive-in-s%C3%A4tzen Adjektiv-Deklination im 1. Satz des Anamneseberichts] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1339694/c1-med/med-synonyme Synonyme trainieren (schwierig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1474102/c1-med/med-ins "schon", "noch", "erst" & Co., in 2 Formaten: 1. den richtigen Partikel einfügen, 2. "unjumble": Wörter in Anamnesefragen in die richtige Reihenfolge bringen (wichtig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2045350/c1-med/med-mit-oder-bei "mit" oder "bei"? (Denken Deutsch von Englisch herkommend? Dann sind dies die richtigen Spiele für Sie!)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4609954/c1-med/vor-co "vorher" =/= "früher" & Co.] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2857226/c1-med/ TOC zu den 11 Paketen] k5jd13sq3meftrcs57orxhwjv0s585j 1111926 1111924 2026-08-17T06:56:32Z C.Koltzenburg 13981 1111926 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. Unabhängig vom Ort Ihrer FSP finden Sie ganz unten weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables") und ich wünsche Ihnen viel Spaß dabei :) '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (In einer FSP haben Sie 20 Minuten Zeit dafür.) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Anamnesefragen|Anamnesefragen, nach Grammatik sortiert: Mit "haben", mit "sein", mit Dativ, z.B. "Ist Ihnen übel?", "Ist Ihnen schwindelig?", "Ist/ war Ihnen schwarz vor Augen?"]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (In einer FSP haben Sie 20 Minuten Zeit dafür.) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (In einer FSP haben Sie 15-20 Minuten Zeit dafür.) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] * [[Patientenvorstellungen/ Beispielformulierungen|in Patient*innenvorstellungen aus Stichworten Sätze machen: Allergien/ Unverträglichkeiten, Noxen, Sozialanamnese, Familienanamnese)]] * [[Patientenvorstellungen/ Redemittel|Redemittel: wie reagieren, wenn man eine OA-Frage nicht beantworten kann?]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive "ANKI BaWü" (fett markiert)''' * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt '''Weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables"/ Spiele)''' * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2135919/c1-med/fachbegriffe je 9 Fachbegriffe, in 3 Formaten] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2002334/c1-med/med-gr-wortst%C3%A4mme griechische Wortstämme in Fachbegriffen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1930130/c1-med/med-adj Adjektive Fachsprache <--> Deutsch] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1408413/c1-med/med-diverse Fachbegriffe/ Endungen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4454149/c1-med/med-vor-und-nachsilben Fachbegriffe: Vor- und Nachsilben] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1513300/c1-med/med-artikel-k%C3%B6rper richtiger Artikel: Anatomie, Nomen im Klinikalltag] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4417174/c1-med/med-adjektive-in-s%C3%A4tzen Adjektiv-Deklination im 1. Satz des Anamneseberichts] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1339694/c1-med/med-synonyme Synonyme trainieren (schwierig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1474102/c1-med/med-ins "schon", "noch", "erst" & Co., in 2 Formaten: 1. den richtigen Partikel einfügen, 2. "unjumble": Wörter in Anamnesefragen in die richtige Reihenfolge bringen (wichtig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2045350/c1-med/med-mit-oder-bei "mit" oder "bei"? (Denken Deutsch von Englisch herkommend? Dann sind dies die richtigen Spiele für Sie!)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4609954/c1-med/vor-co "vorher" =/= "früher" & Co.] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2857226/c1-med/ TOC zu den 11 Paketen] kmo69fkbfmve2o2nk2y9237103oi1r7 1111928 1111926 2026-08-17T06:57:54Z C.Koltzenburg 13981 1111928 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. Unabhängig vom Ort Ihrer FSP finden Sie ganz unten weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables") und ich wünsche Ihnen viel Spaß dabei :) '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (In einer FSP haben Sie 20 Minuten Zeit dafür.) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Anamnesefragen|Anamnesefragen, nach Grammatik sortiert: Ja-/Nein-Fragen "haben", mit "sein", mit Dativ, z.B. "Ist Ihnen übel?", "Ist Ihnen schwindelig?", "Ist/ war Ihnen schwarz vor Augen?" bzw. W-Fragen, inklusive: "Seit wann... ?/ Vor wie viel Stunden ...?)]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (In einer FSP haben Sie 20 Minuten Zeit dafür.) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (In einer FSP haben Sie 15-20 Minuten Zeit dafür.) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] * [[Patientenvorstellungen/ Beispielformulierungen|in Patient*innenvorstellungen aus Stichworten Sätze machen: Allergien/ Unverträglichkeiten, Noxen, Sozialanamnese, Familienanamnese)]] * [[Patientenvorstellungen/ Redemittel|Redemittel: wie reagieren, wenn man eine OA-Frage nicht beantworten kann?]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive "ANKI BaWü" (fett markiert)''' * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt '''Weitere Trainingsmöglichkeiten ("clickables"/ Spiele)''' * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2135919/c1-med/fachbegriffe je 9 Fachbegriffe, in 3 Formaten] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2002334/c1-med/med-gr-wortst%C3%A4mme griechische Wortstämme in Fachbegriffen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1930130/c1-med/med-adj Adjektive Fachsprache <--> Deutsch] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1408413/c1-med/med-diverse Fachbegriffe/ Endungen] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4454149/c1-med/med-vor-und-nachsilben Fachbegriffe: Vor- und Nachsilben] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1513300/c1-med/med-artikel-k%C3%B6rper richtiger Artikel: Anatomie, Nomen im Klinikalltag] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4417174/c1-med/med-adjektive-in-s%C3%A4tzen Adjektiv-Deklination im 1. Satz des Anamneseberichts] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1339694/c1-med/med-synonyme Synonyme trainieren (schwierig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/1474102/c1-med/med-ins "schon", "noch", "erst" & Co., in 2 Formaten: 1. den richtigen Partikel einfügen, 2. "unjumble": Wörter in Anamnesefragen in die richtige Reihenfolge bringen (wichtig)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2045350/c1-med/med-mit-oder-bei "mit" oder "bei"? (Denken Deutsch von Englisch herkommend? Dann sind dies die richtigen Spiele für Sie!)] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/4609954/c1-med/vor-co "vorher" =/= "früher" & Co.] * [https://wordwall.net/teacher/6117705/folder/2857226/c1-med/ TOC zu den 11 Paketen] lxxuxqgbwxhb2kjnsl8jlzqlxazwlft 106 172417 1111912 1110935 2026-08-17T06:26:10Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Konvexkombination von Randwegen */ 1111912 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t2.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t2]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_F} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_F}(t_1,t_2) & = & w_1 + (\gamma_1 (t_1) - w_1) + (\gamma_4 (t_2)-w_1) \\ & & & & = & \gamma_1 (t_1) + \gamma_4 (t_2) - w_1 \\ \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Randweg und Integrale == Die obigen Randwege können auch weitere orientierte Flächen generieren, die eine andere Spur als Bildfläche enthalten. Das Integral über die folgende [[orientierte Fläche]], das über die gleichen Wege <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> aus dem obigen Beispiel erzeugt wird, hat zwar die gleichen Eckpunkte des Integrationsweges <math>w_1,w_2,w_3,w_4 </math> wie die orientierte Fläche <math>\gamma_{_F}</math>, dennoch ist die <math>Spur(\gamma_{_F}) \not= Spur(\gamma_{_\Box})</math>. Ferner können in der folgenden [[orientierte Fläche]] Punkte in der Spur von <math>\gamma_{_\Box}</math> liegen, die nicht der von <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> berandeten Fläche enthalten sein kann. === Definition - Konvexkombination von Randwegen === Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_K} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Integrallemma für verschobene Randwege == === Aufgabe - Geogebra === Erzeugen Sie analog zu den obigen Beispielanimationen mit Schiebereglern für <math>t_1 \in [0,1]</math> und <math>t_2 \in [0,1]</math> in [[Geogebra]]. Erzeugen Sie Randwege aus folgenden [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und visualisieren Sie den Punkt <math>\gamma_{_ \Box}(t_1,t_2)</math> in Abhängigkeit von den Schiebereglern für <math>t_1</math> und <math>t_2</math>: * '''Konvexkombination''' 3. Ordnung mit Hilfspunkten <math>\widehat{w_1},\widehat{w_2}</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_2</math> für <math>\gamma_1</math>: * '''Konvexkombination''' 2. Ordnung mit einem Hilfspunkt <math>\widehat{w_3}</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_4</math> für <math>\gamma_4</math>: * '''Verschiebung''' der Konvexkombination 3. Ordnung <math>\gamma_1</math> um den Vektor <math>w_2-w_1</math>, der <math>\gamma_1</math> auf eine Konvexkombination 3. Ordung <math>\gamma_3</math> zwischen <math>w_4</math> und <math>w_3</math> verschiebt. * '''Verschiebung''' Konvexkombination 2. Ordnung <math>\gamma_4</math> um <math>w_4-w_1</math>, der <math>\gamma_4</math> eine Konvexkombination 2. Ordung <math>\gamma_2</math> zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> verschiebt. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 5ajzwtisg4qnzfyknen9052s1ta06n4 106 172579 1111883 2026-08-16T13:53:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111883 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Analysis/Standardkurs|}} |}} 1km5m3rhnue3ncyipowijvyduwrjms6 0 172580 1111913 2026-08-17T06:33:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111913 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= WIr betrachten die Potenzreihe {{ Relationskette/display | F || X^2+Y^3+X^4+Y^5+X^6+Y^7 \ldots || || || |SZ= }} in {{mathl|term= K[[X,Y]] |SZ=.}} Dies kann man schreiben als {{ Relationskette/display | F || X^2 {{makl| 1+X^2+X^4+ \ldots |}} +Y^3 {{makl| 1+Y^2+Y^4+ \ldots |}} || || || |SZ=. }} Die Faktoren auf der rechten Seite sind dabei Einheiten, unter schwachen Bedingungen an {{math|term= K |SZ=}} kann man daraus Wurzeln ziehen. Wir wählen eine Quadratwurzel {{math|term= G |SZ=}} von {{mathl|term= 1+X^2+X^4+ \ldots |SZ=}} und eine dritte Wurzel {{math|term= H |SZ=}} von {{mathl|term= 1+Y^2+Y^4+ \ldots |SZ=.}} Dann kann man {{ mathkor|term1= U=XG |und|term2= V=YH |SZ= }} als neue Potenzreihenvariablen nehmen und erhält eine Isomorphie mit {{mathl|term= K[[U,V]] / {{makl| U^2+V^3 |}} |SZ=.}} Insebsondere liegt eine Komplettierung einer {{math|term= K |SZ=-}}Algebra vom endlichen Typ vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} g8u010e8lp41n2kh2ujk4ycdtbxd7ds 106 172581 1111939 2026-08-17T07:15:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111939 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|43|12|Kurs=|}} qj0f08wpxswxvt5gevhl98z6bp2qmqu 106 172582 1111942 2026-08-17T10:29:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111942 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Körper- und Galoistheorie/Standardkurs|}} |}} kckm5xksb582ntttrnqnt9m3y50pgf4 106 172583 1111943 2026-08-17T10:32:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111943 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Körper- und Galoistheorie/Standardkurs|}} |}} kckm5xksb582ntttrnqnt9m3y50pgf4 106 172584 1111944 2026-08-17T10:33:33Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1111944 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Lineare Algebra/Standardkurs|}} |}} stibfpm8g73k2k2eemtd10a9owk2go8