Wikilibros eswikibooks https://es.wikibooks.org/wiki/Portada MediaWiki 1.45.0-wmf.8 first-letter Medio Especial Discusión Usuario Usuario discusión Wikilibros Wikilibros discusión Archivo Archivo discusión MediaWiki MediaWiki discusión Plantilla Plantilla discusión Ayuda Ayuda discusión Categoría Categoría discusión TimedText TimedText talk Módulo Módulo discusión 0 38326 423026 421554 2025-07-04T22:28:49Z Rehernan 55364 423026 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemática Universitaria|Álgebra Abstracta]] 66hf80h4ppu7zxbcujqxmhc1sxu5gw1 0 51263 423027 421557 2025-07-04T23:05:58Z Rehernan 55364 423027 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude> <noinclude> {{navegar|libro=Álgebra Abstracta |actual=Operaciones |anterior=Introducción |siguiente=Estructuras }} </noinclude> === CAPÍTULO 2 LAS OPERACIONES === == Introducción == En este capítulo, iniciaremos nuestros estudios del Álgebra con las abstracciones de las operaciones usuales. Analizaremos, es decir, consideraremos en forma aislada cada una de las propiedades usuales, para ver claramente las consecuencias de las suposiciones de cada una de esas propiedades. Igualmente, para elementos o subconjuntos destacables. Cuando estudiamos a los números enteros, nos encontramos con las operaciones de suma, resta y multiplicación. Dichas operaciones poseen varias propiedades interesantes. Hay, además, números y subconjuntos destacados respecto a esas operaciones. Igualmente, tenemos operaciones en los Racionales, Reales y Complejos. Presentaremos nociones que son abstracciones de esas operaciones y de sus propiedades. Al analizar las propiedades de las operaciones y de elementos destacados como el 0, respecto a la suma, o el 1, respecto a la multiplicación, podremos ver las consecuencias lógicas de la existencia de esas propiedades y elementos. == Definiciones y Ejemplos == La noción general de operación que veremos es una simple abstracción de las operaciones usuales en los conjuntos numéricos. Consideremos las operaciones de suma, resta y multiplicación. ¿Qué tienen en común esas operaciones? Las tres operaciones mencionadas hacen esencialmente lo siguiente: asocian a un par ordenado de números, otro número. La diferencia entre esas operaciones reside en el valor asociado. Por ejemplo, al par (5, 3), la suma asocia el 8, mientras que resta asocia el 2 y la multiplicación el 15. Esa observación es la base para la definición abstracta de operación que daremos a continuación. {{DefRht|Operación| Una operación en un conjunto <math>E</math> es una función : <math> \begin{array}{rccl} \circledcirc : & E \times E & \longrightarrow & E \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a \circledcirc b \end{array} </math> }} Es decir, una operación en un conjunto <math>E</math> es la asignación a cada par ordenado de elementos de E, de un único elemento de E. Cuando <math> \circledcirc </math> es una operación, es costumbre denotar el valor de la función <math> \circledcirc </math> en la pareja (x, y) como <math> x \circledcirc y </math>, en lugar de <math> \circledcirc(x,y) </math>, como es lo usual para las funciones. Simbolizamos a las operaciones por símbolos tales como <math> +, -, \cdot, \div</math>, etc. Usamos <math> \ast </math> para indicar una operación cualquiera. Muchas veces, por simplicidad, escribiremos ''ab'' o <math>a \cdot b</math> en lugar de ''a * b''. {{Ejmpl|Ejemplo 1.1}} En el conjunto de los Enteros, <math>\mathbb Z</math>, tenemos tres operaciones: la suma, la resta y la multiplicación. En el conjunto de los (números) Racionales y los Reales tenemos también operaciones de suma, resta y multiplicación. {{Ejmpl|Ejemplo 1.2}} Sigue de la definición dada de operación que la resta NO es una operación en el conjunto de los números naturales, ya que no siempre es posible asignar un número natural a la resta de dos números naturales. Por ejemplo, 3 - 5 no es un número natural. Aunque lo anterior es diferente a lo usado cotidianamente, la diferencia permite hacer un trabajo lógicamente más simple Como no hay división por cero en los Reales, la división tampoco es, de acuerdo a la definición dada una operación en dicho conjunto. {{Ejmpl|Ejemplo 1.3}} Sea <math>X</math> un conjunto no vacío y consideremos el conjunto <math>F(X, \R)</math> formado por todas las funciones de ese conjunto en los Reales. Para esas funciones se definen una suma, resta y multiplicación de la siguiente manera. <center> <math> \begin{matrix} f + g & : & x \mapsto f(x) + g(x), \\ f - g & : & x \mapsto f(x) - g(x), \\ f \cdot g & : & x \mapsto f(x) \cdot g(x). \end{matrix} </math></center> Este ejemplo aparece en cursos elementales con la restricción de que se supone que X es un subconjunto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplo 1.4}} Sea <math>X</math> un conjunto no vacío y sea <math>F(X,X)</math> el conjunto formado por todas las funciones de <math>X</math> en si mismo. La ''composición'' de funciones <math>(f,g)\mapsto f \circ g</math> es una operación en <math>F(X,X)</math>. {{Ejmpl|Ejemplo 1.5}} Sea <math>X</math> un conjunto no vacío y sea <math>\mathbb{P}(X)</math>, el conjunto formado por todos los subconjuntos de <math>X</math>. La (re)unión e intersección de subconjuntos son operaciones en <math>\mathbb{P}(X).</math>. {{DefRht|Magma| Llamamos '''magma''' a un conjunto E provisto de una operación.}} Cuando queramos identificar al conjunto y a la operación, describiremos al magma como un pareja formada por el conjunto y la operación, <math>\langle E,*\rangle</math>. Por ejemplo, los Enteros con la suma (<math>\langle{\Z,+}\rangle</math>) y los Enteros con la multiplicación (<math>\langle{\Z, \cdot}\rangle</math>), son ejemplos diferentes de magmas. === Propiedades Especiales === Las propiedades familiares de asociatividad, conmutatividad y distributividad de las operaciones numéricas se pueden definir para un operación cualquiera. Sin embargo, notemos de partida, que no siempre las operaciones tienen esas propiedades. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Tipos de Operaciones)</span> Decimos que una operación * en un conjunto <math>E</math> es: <ol type="a"> <li> '''Asociativa''', si, para todo <math>a, b, c</math> en <math>E</math>, se cumple que: <center><math> a \ast (b \ast c) = (a \ast b) \ast c.</math></center> <li> '''Conmutativa''', si, para todo <math>a, b</math> en <math>E</math>, se cumple que: <center><math>a \ast b = b \ast a.</math></center> <li> '''Distributiva''' respecto a otra operación <math>\oplus</math>, si, para todo ''a, b'' y ''c'' en <math>E</math>, se cumple que: <center><math>a \ast (b \oplus c) = (a \ast b) \oplus (a \ast c), \text{ y } (b \oplus c) * a = (b * a) \oplus (c * a).</math></center> </ol> </div> {{Ejmpl|Ejemplo 1.6}} La suma y la multiplicación usual en los conjuntos numéricos son operaciones asociativas y conmutativas. Además, la multiplicación es distributiva respecto a la suma. ---- ''Significado de la Conmutatividad.'' Una operación es conmutativa, cuando el orden en que se realiza la operación no afecta al resultado. La resta, en los Enteros, no es conmutativa ya que, por ejemplo, tenemos que <math> 5 - 3 = 2</math> y <math>3 - 5 = -2</math>, y <math>2 \neq -2</math>. ---- ''Significado de la Asociatividad.'' La asociatividad nos sirve, cuando está presente, para evaluar el resultado de aplicar la operación a más de dos elementos. En tal situación, debemos agrupar elementos en grupos de a dos para poder evaluar (eso proviene de que nuestras operaciones son binarias, o sea que asocian a dos elementos un tercer elemento). La asociatividad nos dice que podemos agrupar como queramos para la evaluación, sin cambiar el orden de aparición, y el resultado no cambiará. La resta no es asociativa, ya que ''5 - (3 - 2) = 5 - 1 = 4'', mientras que ''(5 - 3) - 2 = 2 - 2 = 0''. Esto nos dice que la expresión ''5 - 3 - 2'' es ambigua, porque el valor de esa expresión dependerá de como agrupemos los operandos. Al contrario, <math>5 + 3 + 2</math> no es ambigua, ya que <math>5 + (3 + 2) = 5 + 5 = 10</math> y <math>(5 + 3) + 2 = 8 + 2 = 10</math>. En general, cuando una operación * es asociativa, para evaluar una expresión tal como <math>a * b * c</math>, lo podremos hacer agrupando como queramos, ya que ambas posibilidades, <math>a * (b * c)</math> y <math>(a * b) * c</math>, producirán el mismo valor. Por esa razón, cuando la operación es asociativa, podemos eliminar los paréntesis. {{Ejmpl|Ejemplo 1.7}} Definamos una operación <math>\oplus</math> en los Enteros, por <math>a\oplus b:= a+b+ab</math>. Probaremos que <math>\oplus</math> es asociativa y conmutativa. ''Resolución''. Sean a, b y c números enteros cualesquiera. Tenemos que <center><math> \begin{array}{rcl} a \oplus (b \oplus c) &=& a \oplus (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) \\ & = & a + b + c + bc + ab + ac + abc. \end{array} </math></center> Por su parte, <center><math>\begin{array}{rcl} (a \oplus b) \oplus c &=& (a + b + ab) \oplus c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c \\ &=& a + b + ab + c + ac + bc + abc.\end{array} </math></center> Comparando las dos expansiones, concluimos que <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c. </math> Es decir que la operación <math>\oplus</math> es asociativa. Veamos ahora la conmutatividad. <math>a\oplus b = a+b+ab</math> y <math>b \oplus a = b+a+ba.</math> Luego, <math>a \oplus b = b \oplus a</math>, o sea que la operación <math>\oplus</math> es conmutativa. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 1.8}}Sea <math>\Z^2</math> el conjunto formado por todos los pares ordenados de números enteros. Definamos una operación <math>\oplus</math> en <math>\Z^2</math> por <center><math>(m,n) \oplus (p,q) := (ac+2bd, ad+bc).</math></center> <ol> <li> Evaluate <math>(3,-1) \oplus (5,2)</math>. <center><math> (3,-1) \oplus (5,2) = (3*5 + 2 *(-1)*2, 3*2+(-1)*5) = (11,1). </math></center> <li> Verificar que <math>\oplus</math> is asociativa. Sean <math>\alpha = (a_1,a_2)</math>, <math>\beta = (b_1,b_2)</math> y <math>\gamma=(c_1,c_2)</math> tres elementos cualesquiera de <math>\Z^2</math>. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha + (\beta + \gamma) &=& (a_1,a_2) + ((b_1,b_2) + (c_1,c_2)) \\ &=& (a_1,a_2) + (b_1c_1 + 2 b_2c_2, b_1c_2+b_2c_1) \\ &=&(a_1(b_1c_1 + 2 b_2c_2) + 2a_2(b_1c_2+b_2c_1), \\ & &\qquad a_1(b_1c_2+b_2c_1)+a_2(b_1c_1 + 2 b_2c_2)) \\ &=&(a_1b_1c_1 +2a_1b_2c_2+2a_2b_1c_2+2a_2b_2c_1, \\ & &\qquad a_1b_1c_2+a_1b_2c_1+2a_2b_1c_1+2a_2b_2c_2). \end{array} </math></center> <br /> <center><math> \begin{array}{rcl} (\alpha + \beta) + \gamma &=& ((a_1,a_2) + (b_1,b_2)) + (c_1,c_2) \\ &=& (a_1b_1+2a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1) + (c_1,c_2)\\ &=&((a_1b_1+2a_2b_2)c_1+2(a_1b_2+a_2b_1)c_2, \\ & & \qquad(a_1b_1+2a_2b_2)c_2 + (a_1b_2+a_2b_1)c_1) \\ &=& (a_1b_1c_1 + 2a_2b_2c_1 + 2a_1b_2c_2 + 2a_2b_1c_2, \\ & &\qquad a_1b_1c_2 +2a_2b_2c_2 + a_1b_2c_1 + a_2b_1c_1)\\ \end{array} </math> </center> Lo que prueba la asociatividad. <li> Veamos ahora que <math>\oplus</math> es conmutativa. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha + \beta &:=& (a_1,a_2) \oplus (a_2,b_2) = (a_1+b_1,a_2+b_2)\\ \beta+\alpha &:=& (a_2,b_2) \oplus (a_1,b_1)=(a_2+b_2, a_1+b_1) \end{array} </math></center> Como la suma de enteros es conmutativa, los pares ordenados a la derecha son iguales, lo que prueba la conmutatividad. </ol> <hr> ==== Ejercicios ==== <ol> <li> Dar tres ejemplos de operaciones asociativas. <li> Dar dos ejemplos de operaciones no asociativas. <li> Definir la operación <math> \odot </math> en los Enteros por <math>a \odot b := a + b + 1</math>. Evaluar <math>3 \odot 5</math>, <math>2 \odot 0</math>, <math> -2 \odot 1</math>. ¿Es <math> \odot </math> asociativa? ¿conmutativa? <li> Suponer que la operación <math>*</math> no es asociativa. Entonces, la expresión <math>a*b*c</math> tiene dos interpretaciones posibles. ¿Cuántas interpretaciones posibles tiene la expresión <math>a*b*c*d</math>? <li> Suponer que la operación <math>*</math> es asociativa. Verificar que todas las interpretaciones posibles de la expresión <math>a*b*c*d</math> (ver el ejercicio anterior) producen el mismo valor. </ol> == Los Elementos Destacados == Algunos elementos de un magma tienen propiedades especiales respecto a la operación. Veremos, en esta sección, las nociones de elementos neutros, invertibles y cancelables, que son abstracciones de ciertas propiedades numéricas. === Elementos Neutros === En muchas situaciones, hallamos elementos de un conjunto que tienen propiedades especiales respecto a una operación. Pensemos, por ejemplo, en el rol del 0 en la suma o en el rol del 1 en la multiplicación. ¿Qué tiene en común esos elementos? Simplemente, que cuando se operan con cualquier otro elemento, siempre producen el otro elemento. Es decir, que para todo número <math>a</math> se cumple que <math>a + 0 = 0 + a = a</math> y que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math> En forma abstracta, llamaremos ''neutro'' a un elemento con esa propiedad. {{DefRht|Elemento Neutro| Sea E un magma con operación *. Decimos que un elemento <math>e</math> de <math>E</math> es un neutro respecto a la operación *, si, para todo <math>a \in E</math> se cumple que <center><math> a*e = a = e*a. </math></center> Cuando haya un neutro para una operación, diremos que la operación ''tiene'' o ''admite'' un neutro.}} {{Ejmpl|Ejemplo 2.1}} En los conjuntos numéricos, el 0 es un neutro para la suma y el 1 es un neutro para la multiplicación. ---- Siempre que tenemos elementos destacados, cabe preguntarse ¿cuántos elementos de ese tipo hay? Los ejemplos del 0 y del 1, nos hacen sospechar que tales elementos son únicos. Lo que probaremos que es válido de forma general, o sea, para una operación cualquiera. Supongamos entonces que <math>e</math> y <math>e^\prime</math> fueran ambos neutros para una misma operación <math>\ast</math>. Para obtener una respuesta, calcularemos de dos maneras diferentes a <math>e*e'</math>. Como <math>e'</math> es neutro, tenemos que <math>e * e'= e</math>. Pero como <math>e</math> es neutro, tenemos que <math>e * e'= e'</math>. Luego <math> e = e'</math>. Hemos así probado, nuestro primer resultado abstracto. <b>Proposición 1. (Unicidad de Neutros)</b> <i> Cuando una operación tiene un neutro, dicho neutro es único.</i> A menos que se diga lo contrario, <math>\mathbf e</math> será la notación preferida para denotar a un elemento neutro cualquiera. {{Ejmpl|Ejemplo}} Consideremos la operación <math>\oplus</math> en los Enteros definida por <math>a \oplus b = a + b + ab</math>. Vimos en el ejemplo 1.7 que esta operación era asociativa y conmutativa. Aquí, trataremos de determinar si tiene o no un elemento neutro. Supongamos que tuviera elemento neutro, digamos <math>e</math> Entonces, para cualquier número entero <math>a</math> tendríamos que <center><math> \begin{array}{lrcl} & a \oplus e & = & a \\ \implies& a + e + ae & = & a \\ \implies& e(1+a) & = & 0 \\ \implies& e & = & 0. \end{array} </math></center> Donde hemos supuesto que <math>1 +a \neq 0</math> Verifiquemos <center><math>a \oplus 0 = a + 0 + a0 = a.</math></center> Es decir que 0 es efectivamente un neutro para la operación <math>\oplus</math> === Los Elementos Invertibles === Cuando trabajamos con la suma de los números enteros, tenemos asociado a cada número <math>a</math> el número <math>-a</math> que es un número con la propiedad de que sumado con el original nos da el neutro. Los recíprocos tienen propiedades análogas respecto a la multiplicación de los números reales, ya que multiplicados con el número original producen el neutro multiplicativo 1. Generalizaremos lo anterior en la siguiente definición. <!-- <ref>Algunos autores llaman elementos ''simetrizable''a los elementos ''invertibles''</ref>. --> {{DefRht|Elemento Invertible| Sea <math><E,*></math> un magma con neutro <math>e</math> Decimos que un elemento <math>a</math> de <math>E</math> es '''invertible''' (respecto a la operación), ssi, hay un elemento <math>b</math>, al que llamamos un '''inverso''' de <math>a</math>, y que es tal que <center><math>a * b = b* a = e.</math></center>}} <b>Observación.</b><i> El neutro es su propio inverso.</i> <br> :Sea * una operación en el conjunto <math>E</math> con neutro <math>e</math>. Como <math>e * e = e</math> tenemos que el elemento neutro es invertible y que es su propio inverso. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 2.2}} Consideremos la suma en el conjunto de los números naturales positivos. La operación es asociativa y conmutativa, pero no tiene neutro, ya que el 0 no está en ese conjunto. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 2.3 (Los Enteros)}} La '''Suma''' en los Enteros tiene neutro 0 y cada elemento <math>a</math> tiene un inverso respecto a la suma, <math>(-a)</math>, ya que <math>a+(-a) = (-a)+a =0</math> La '''Multiplicación''' tiene neutro 1 y los únicos elementos invertibles son <math>1</math> y <math>-1</math>---ya que <math>1</math> es el neutro y <math>(-1)(-1)=1</math> . <hr> Probaremos, a continuación, que cuando la operación sea asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso. <b>Proposición 2. (Unicidad de los Inversos) </b> <i> Cuando la operación es asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.</i> <ul> <i> Demostración </i> Sean <math>b</math> y <math>b'</math> inversos de <math>a</math> Se tiene entonces que <center><math>b = b * e = b * (a * b') = (b * a) * b'= e * b' = b'. </math></center>Lo que prueba la proposición. {{QED}} </ul> <hr> La proposición tiene la siguiente interesante consecuencia.<br /> <b> Corolario 2.1. </b> <i>Cuando para cierta operación con neutro, hay un elemento que tiene al menos dos inversos diferentes, la operación no puede ser asociativa. </i> <hr> :Como cada elemento invertible tiene un único inverso, hablaremos de '''el''' inverso del elemento. Cuando <math>a</math> tenga inverso, simbolizaremos dicho inverso por <math>a^{-1}.</math> <hr> La proposición anterior tiene los siguientes importantes corolarios <br /> '''Corolario 2.2. '''<i>Sea * una operación asociativa en un conjunto E. <ol type = "a"> <li> Sea <math>a</math> un elemento invertible. Entonces, su inverso también tine inverso, que es el elemento original <math>a.</math> Es decir, <center><math>(a^{-1})^{-1} = a.</math></center> <li> Sean <math>a, b</math> elementos invertibles, entonces su producto <math> a * b</math> también es invertible y se cumple que <center><math>(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}.</math></center></i> <small>(Notemos el cambio de orden en el lado derecho) Es decir que el inverso de un producto de dos elementos invertibles es invertible y su inverso es el producto de los inversos de los factores pero con el orden cambiado.</i> </small></ol> <ul> <i> Demostración. </i> Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos invertibles. <ol type = "a"> <li> Como <math>a^{-1} *a = e</math> y <math>a * a^{-1} = e</math> vemos que <math>a</math> es un inverso de <math>a^{-1}</math> Por la unicidad de los inversos, <math>a</math> debe ser \textbf{el} inverso de <math>a^{-1}</math>. <li> Se tiene que <center><math> \begin{array}{rcl} (a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) &=& a *(b * b^{-1}) * a^{-1} = a *e*a^{-1} a = a*a^{-1} = e \\ (b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) &=& b^{-1} *(a * a^{-1}) * b^{-1} = b^{-1} *e*b = b^{-1}*b = e. \end{array} </math></center> Por la unicidad de los inversos, tenemos el resultado. <ol> {{QED}} </ul> <hr> '''Interrogante.''' ¿Por qué fue necesario suponer asociatividad en la proposición anterior? <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 2.4}} Recordemos la operación <math>\oplus </math> definida en los Enteros por <math>a\oplus~b=a+ab+ab</math> Vimos anteriormente que esa operación es asociativa, conmutativa y tiene neutro 0. Nos preguntamos ahora, ¿cuáles elementos tienen inverso respecto a esa operación? ''Resolución.'' Supongamos que <math>a</math> es un número entero con inverso <math>x</math> respecto a <math>\oplus</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & a \oplus x & = & 0 \\ \implies & a + x + ax & = & 0 \\ \implies & x(1+a) & = & -a \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>a</math> tendrá inverso, ssi, podemos dividir por <math>1+a</math> en los Enteros. Es decir, ssi, <math>1+a = 1</math> o <math>1+a=-1</math> Por lo que <math>a = 0</math> o <math>a = -2</math> son los únicos posibles elementos invertibles, y sus inversos serían, respectivamente, 0 y <math>-2</math> Como <math>0</math> es el neutro, sabíamos que tenía inverso y que era él mismo. Verifiquemos el caso de <math>-2,</math> <center><math>(-2) \oplus (-2) = (-2 ) + (-2) + (-2)(-2) = 0.</math></center> Luego, los únicos elementos invertibles respecto a <math>\oplus</math> son el neutro y <math>-2</math>. <hr> === Los Elementos Cancelables === En los números Enteros, la relación <math>3x = 3y</math> implica que <math>x=y</math>, a pesar de que no hay división por 3 en los enteros. Esa cancelación del 3 se generaliza en la siguiente definición, que habla de cancelación por la izquierda o derecha, ya que las operaciones no son necesariamente conmutativas. {{DefRht|Elementos Cancelables| Sea <E, *> un magma. Decimos que un elemento <math>a</math> es cancelable por la '''izquierda''', ssi, para todo x,y en E se cumple que <center><math>a*x = a*y \implies x = y.</math></center> Decimos que un elemento a es ''cancelable por la '''derecha''''', ssi, para todo x, y de E, se cumple que <center><math>x*a = y*a \implies x = y.</math></center> Decimos simplemente que un elemento es '''cancelable''', cuando lo sea tanto por la derecha como por la izquierda.}} {{Ejmpl|Ejemplo 2.5}} En los Enteros, con respecto a la multiplicación, todos los elementos no nulos son cancelables. ---- Probaremos, a continuación, que cuando un elemento es invertible, ese elemento es cancelable. El recíproco de lo anterior no es cierto como lo muestra el ejemplo de la multiplicación en los Enteros. '''Proposición 3. (Invertibles son cancelables) '''<i> Cada elemento invertible respecto a una operación asociativa es cancelable. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <math>a</math> un elemento invertible con inverso, digamos, <math>b.</math> Entonces <center><math> \begin{array}{rcl} a * x = a* y &\implies & b*(a*x)=b*(a*y) \implies (b*a)*x = (b*a) * y \\ & \implies& e * x = e * y \implies x = y, \quad \text{y} \\ x * a = y * a &\implies& (x *a)*b = (y * a) * b \implies x*(a* b) = y*(a * b) \\ & \implies & x * e = y * e\implies x = y.\end{array}</math></center>{{QED}} </ul> ---- {{Ejmpl|Ejemplo 2.6}} Volvemos a examinar la operación <math>\oplus</math> del ejemplo 1.8, para determinar elementos cancelables respecto a esa operación. ''Resolución'': Sean <math>a</math>, <math>x</math>, <math>y</math> enteros cualesquiera. <center><math> \begin{array}{lrcl} & a \oplus x & = & a \oplus y \\ \implies & a + x + ax & = & a + y + ay \\ \implies & (1+a)x & = & (1+a)y. \end{array}</math></center>Lo que implica que <math>x=y</math> cuando <math>1+ a \neq 0</math> Es decir que todos los elementos diferentes de <math>-1</math> son cancelables. ---- === Convenios de notación === Podemos simbolizar una operación de muchas maneras diferentes, pero hay algunas maneras que usamos más frecuentemente. Por ejemplo, las sumas se simbolizan usando <math>+</math> o algo parecido, <math>\oplus</math>. Cuando usemos <math>+</math> hablaremos de la ''notación aditiva''. Usaremos preferentemente la notación aditiva cuando la operación sea conmutativa. Por su parte, la multiplicación se denota por <math>\cdot</math> o nada y diremos que estamos usando la ''notación'' ''multiplicativa''. Cuando queramos insistir en la abstracción, usaremos la notación <math>\ast</math> La siguiente tabla resume los convenios notacionales acerca de esas notaciones. <center> {| class="wikitable" |- ! Si la operación es !! +!! <math>\cdot</math> !! * |- | la notación es || Aditiva || Multiplicativa || General |- | el neutro es || 0 || 1 || e |- | el inverso es || -a || <math>a^{-1}</math> ||<math>a^{-1}</math> |- | || opuesto aditivo || recíproco || inverso |} </center> '''Observaciones.''' <ol> <li> (Terminología) Algunos autores llaman ''leyes de composición'' a las operaciones, elementos simetrizables a los invertibles. <li> Nuestra definición de operación es aquella de una operación ''binaria'' porque asocia a dos elementos del conjunto un valor. Como esas será, en la práctica, la única forma de operación que usaremos, hemos omitido el apellido. Sin embargo podemos definir operaciones con otra cantidad de argumentos. Véase, por ejemplo, el apéndice sobre la [[../Estructuras Algebraicas|Teoría de Estructuras Algebraicas]]. <li> Nuestra definición de operación es aquella de una operación ''interna''. Hay otra clase operaciones llamadas ''externas'' en un conjunto E, que son funciones <math>A \times E \rightarrow E</math>, donde A usualmente tiene también una estructura algebraica. El ejemplo típico de operación externa es el producto de un escalar (número) por una matriz, o de una constante (número) por una función. </ol> ---- === Ejemplo: ''F(X,X)'' === Sea X un conjunto no vacío. Simbolizamos por <math>F(X,X)</math> al conjunto formado por todas las funciones del conjunto X en si mismo. La composición de funciones es una operación en ese conjunto. Este es un ejemplo importante, que reaparecerá varias veces en el futuro. Ilustra un conjunto con una operación donde hay elementos cancelables que no son invertibles o que son cancelables por la izquierda, pero no por la derecha, etc. * La composición<ref name = "Apen">Ver Apéndice sobre Funciones.</ref> de funciones define una operación asociativa en F(X,X). * La función identidad <math>1_X</math> que envía cada elemento de X en si mismo, es un neutro para la composición. En F(X,X) tenemos funciones inyectivas, suprayectivas, y biyectivas. Se sabe por resultados generales <ref name="Apen"/> que: * Las funciones inyectivas son cancelables por la izquierda. :<small> Recordemos que una función <math>f:X\rightarrow Y</math> es inyectiva, ssi, para todo <math>x</math>, <math>y</math>,\\ <math>f(x)=f(y)</math> implica que <math>x=y</math>. Supongamos que <math>f, g, h :X \rightarrow X</math> son 0funciones tales que <math>f \circ g=f \circ h</math> y que <math>f</math> es inyectiva. Entonces, para todo <math>x</math>, <math>y</math> en <math>X</math> <center><math>(f \circ g)(x)= (f \circ h)(y) \implies f(g(x))=f(h(x)) \implies g(x) =h(x)</math></center>. : Por lo que <math>f=g</math> (toman el mismo valor para cualquier elemento de <math>X</math>). </small> <br /> * Las funciones suprayectivas son cancelables por la derecha. :<small> Recordemos que una función <math>f:X\rightarrow Y</math> es suprayectiva, ssi, para todo <math>y</math> en<math>Y</math>, hay un <math>x</math> en <math>X</math> tal que<math>f(x)=y</math> . Supongamos que <math>f, g, h :X \rightarrow X</math> son funciones tales que <math>g \circ f=h \circ f</math> y que <math>f</math> es suprayectiva. Entonces, para todo <math>y</math> en <math>X</math> hay un <math>x</math> en<math>X</math> tal que <math>y=f(x)</math>. :Luego, <math>g(f(x)) =h(f(x)) \implies g(y)=h(y)</math>. Por lo que<math>g=h.</math> </small> * Las funciones biyectivas, por ser inyectivas y suprayectivas son cancelables por izquierda y derecha. De hecho, son invertibles. ---- === Ejemplo. Los Enteros Módulo <i>m</i> === Sea <math> m</math> un número entero positivo. Llamamos <i>enteros módulo <math> m</math></i> al conjunto denotado por <math> \Z_m</math> y que está formado por los enteros, pero sujeto a la condición <math> m=0</math>. Las operaciones de suma, resta y multiplicación son aquellas de los enteros son aquellas de los enteros, pero computadas usando la condición indicada. Por ejemplo, cuando <math> m=5</math>, se tiene que <math> 2+2=4</math>, <math> 2+3=5=0</math>, <math> 2+6=5+1=1</math>, etc. Además, se tiene que <math> 12=7=2</math>, ya que <math> 12 = 7 + 5 =7 = 5 + 2=2</math>. Sea <math> x</math> un entero cualquiera, dividiendo por <math> m</math> se obtiene un cociente <math> q</math> y un residuo <math> r</math>, <math> 0 \le r <m</math>, tal que <math>x = qm +r.</math> Por lo que en <math>\Z_m= r</math>. Es decir que en <math> \Z_m</math> hay solamente tantos elementos como residuos en la división por <math> m</math>, o sea <math> 0,1,2,\dots , m-1</math>. Las operaciones de <math> \Z_m</math>, por ser las operaciones en los enteros, son asociativas, conmutativas, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma Notemos, que <math>x + (m-x) = m=0</math>, lo que implica que cada elemento <math>x</math> de <math> \Z_m</math> tiene un opuesto aditivo. En <math>\Z_5</math>, el elemento 2 tiene inverso multiplicativo 3, ya que <math>2 \cdot 3 = 6 =1</math>. Como se verá en ejemplos y ejercicios posteriores, no siempre elementos de <math> \Z_m</math> tienen recíprocos. Por ejemplo en <math>Z_4</math>, <math>2*0=0</math>, <math>2*1=2</math>, <math>2*2=0</math>, <math> 2*3=2</math>, lo que muestra que <math> 2</math> no tiene inverso multiplicativo. === Ejercicios === <ol> <li> Sea <math>\Q[\sqrt{5}]</math> el conjunto de números reales de la forma <math>p+q\sqrt{5}</math>, donde <math>p</math> y <math>q</math> son números racionales. Probar que la suma y el producto de dos números de esa forma son de la misma forma. Probar que <math>p+q\sqrt{5}</math>. tiene un recíproco de la misma forma, cuando <math>p</math> y <math>q</math> no son ambos nulos.<li> (Enteros módulo <math>m</math>) <ol type="a"> <li> En <math>\Z_6</math>, con la multiplicación. ¿Cuáles elementos tienen recíprocos? <li> En <math>\Z_5</math>, con la multiplicación ¿cuáles elementos tienen recíprocos? </ol> <li> Probar que si para un elemento <math>x</math> de un magma <math>E</math> se cumple que <math>x^2=e</math>, donde <math>e</math> es un neutro. Entonces, <math>x</math> es invertible. <li> Sea <math>E</math> un magma asociativo con neutro <math>e</math>. Suponer además que <math>x</math> y <math>y</math> son elementos invertibles del magma. No suponga conmutatividad. Simplificar las siguientes expresiones. <ol type="a"> <li> <math>(x^{-1}y)^{-1}. </math> <li> <math>(xyx^{-1})^{-1}. </math> <li> <math>(yxy^{-1})^2. </math>. </ol> <li> Sea <math>E</math> un magma asociativo, pero no conmutativo. Sean <math>x</math>, <math>y</math> y <math>z</math> elementos invertibles de <math>E</math>. ¿Cuál es el inverso de <math>xyz</math>? </ol> == Las Partes Cerradas == {{DefRht|Cerraduras| Sea E un magma. Decimos que un subconjunto <math>S</math> de <math>E</math> es: <ul> <li> <b>cerrado</b> respecto a la operación cuando el producto de dos elementos de <math>S</math> está siempre en <math>S</math>. <li> '''cerrado''' respecto a tomar neutro, cuando contiene al neutro. <li> '''cerrado''' respecto a tomar inversos, cuando para cada <math>x \in S</math>, el recíproco de <math>x</math>, también está en <math>S</math>. }} </ol> {{Ejmpl|Ejemplo 3.1}} Sea <math><\R, \cdot></math> el magma multiplicativo de los Reales y sea <math>S</math> el conjunto de los reales positivos, <math>{\mathbb R}^+</math>. Los positivos son cerrados respecto a la multiplicación, al neutro y a tomar recíprocos (inversos multiplicativos). ---- {{Ejmpl|Operación Restringida}} Cuando un conjunto es cerrado respecto a una operación, dicha operación define por restricción una operación en el conjunto cerrado. Aunque, en rigor, la operación restringida es una operación diferente a la operacíón en todo el conjunto, ya que como función se han cambiado su dominio y codominio, es tradicional usar la misma notación para la operación restringida. ---- {{Ejmpl|Ejemplo 3.2}} Sea S el conjunto formado por todos los números complejos de la forma <math>m + n \sqrt{-5}</math> donde <math>m</math> y <math>n</math>. Sean <math>z= m +n \sqrt{-5}</math> y <math> w =p + q \sqrt{-5} </math> elementos de S. <ol> <li> Probaremos que con respecto a la adición S es cerrado respecto a la operación, al neutro y a los opuestos aditivos. <ol type="i"> <li> <math>z+w = (m+p) + (n+q)\sqrt{-5}</math>. Como la suma de enteros es un entero, tenemos que z + w es un elemento de S, lo que prueba la cerradura respecto a la suma, <li> Como <math> 0 = 0 + 0 \sqrt{-5}</math>, el neutro es un elemento de S <li> El opuesto aditivo de Z es <math>(-m) + (-n)\sqrt{-5}</math>, que también es un elemento de S. </ol> <li> Probaremos que S es cerrado respecto a la multiplicación y al neutro multiplicativo1; pero, veremos que no es cerrado respecto a tomar recíprocos. <ol type="i"> <li> Como <math>zw = (m+n\sqrt{-5})(p+q\sqrt{-5}= (mp + 5nq) + (mq + np)\sqrt{-5}</math>, los productos de elementos en S están en S, o sea que S es cerrado respecto a la multiplicación. <li> Como <math>1 = 1 + 0 \sqrt{-5}</math>, el neutro 1 está en S. <li> Como <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) = 6</math>, el recíproco de <math>1 + \sqrt{-5}</math> es igual a <center><math>\frac{1}{6} - \frac{1}{6} \sqrt{-5},</math></center> que no está en S. </li> </ol> </ol> ---- '''Proposición 4. '''<i> Cuando la intersección de dos partes cerradas no es vacia, dicha intersección es una parte cerrada. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sean <math>S</math> y <math>T</math> partes cerradas respecto a una operación <math>*</math>. Sean <math>x</math>, <math>y</math> elementos de <math>S \cap T</math>. Como <math>x,y</math> están en <math>S</math>, su producto está en <math>S</math>. Análogamente, su producto está en <math>T</math>. Luego, el producto está en <math>S \cap T</math>. <br /> {{QED}} </ul> ---- == Tablas de Operaciones == Cuando el conjunto donde actúa una operación es finito y con relativamente pocos elementos, podemos presentar a la operación como una tabla de la operación, que es un arreglo como el siguiente. <center><math> \begin{array}{c|cccc} * & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{array} </math></center> El producto b * c se obtiene en la intersección de la fila que contiene a b con la columna que contiene a c. En esta tabla, b * c = a. Notemos que la fila y columna de e reproducen la fila y tabla de elementos del conjunto, lo que indica que e es neutro. Veamos como buscar en la tabla si un elemento tiene inverso, digamos que buscamos el inverso de b. Nos movemos por la fila del b hasta hallar el neutro. Si no hallamos un neutro, eso significa que no hay inverso. En este caso hallamos e (neutro en este caso) en la columna del b, lo que nos dice que b * b = e. Por lo que b^-1 = b. En general, si hallamos x * y = e ( e neutro), antes de concluir sobre inversos, debemos chequear y * x (a menos que haya conmutatividad u otra situación especial, no hay nada que indique que y * x = x* y = e). Cuando la tabla, como en este caso, es simétrica respecto a la diagonal principal (desde izquierda arriba a derecha abajo), tenemos que la operación es conmutativa. {{Ejmpl|Ejemplo 4.1. (Las tablas de <math>\Z_6</math>)}} Sabemos que <math>\Z_6</math> tiene solamente seis elementos, a saber {{Eqn|<math>\Z_6 = \{0,1,2,3,4,5\}.</math>}} Presentamos las tablas de la operaciones como ejemplos de tablas finitas. Queda de asignación verificar la corrección de las mismas. <center><math> \begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} </math></center> Mirando a la tabla de suma o por simple computación) vemos que 2 + 4 =0, o sea que -2 = 4. ¿Qué otros elementos tienen opuestos aditivos? En la tabla de multiplicación vemos que 5*5 = 1, o sea que 1/5 =5. ¿Qué otros elementos tiene recíproco? Finalmente, observemos que {1,5} es un subconjunto cerrado para la multiplicación. ---- == Productos Múltiples, Potencias == Los lectores seguramente han visto anteriormente sumatorias de números, <center><math>\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + \dots + a_n.</math></center> '''Operaciones Generalizadas.''' Supongamos que tenemos un magma <math><E,*></math> y una sucesión <math>a_1, a_2, \ldots,a_n</math> de elementos de ''E''. Supongamos que queremos hallar el producto de todos ellos. En el texto, hemos aprovechado la experiencia manipulativa de los lectores para no preocuparnos demasiado de ese asunto. La situación es que, por definición, nuestra operación es binaria por lo que no hay como hallar, sin un convenio previo, el producto de una sucesión con más de dos elementos. Si tuviéramos tres elementos, digamos ''a'', ''b'' y ''c'', podríamos formar producto con los tres de una de las siguientes maneras {{Eqn|<math>a * (b*c), \quad (a*b)*c</math>}} Notemos que los paréntesis se usan para agrupar dos a la vez. Cuando la operación es asociativa, ambas expresiones representan al mismo elemento. Pero, si la operación no fuera asociativa, ¿cuál de las dos sería el producto de esos tres elementos? Cuando hay cuatro elementos, hay muchas más posibilidades de agrupamientos, dos a la vez. Definiremos una noción análoga a las sumatorias para un producto de una sucesión cualquiera. {{DefRht|Producto Generalizado| Sea <E,*> un magma y sea <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math>. Llamamos '''producto''' de los elementos de la sucesión (en el orden indicado) al elemento de E, denotado por <math>\prod_{i=1}^n a_i</math> y definido como <center><math>a_1 * a_2*\dots*a_n=\prod_{i=1}^n a_i := \begin{cases} a_1 & \text{si } n = 1 \\ (\prod_{i=1}^k a_i)*a_{k+1}& \text{si } n = k+1 \end{cases}</math></center> }} Es fácil ver, por inducción, de que efectivamente se ha definido un elemento de ''E''. Sigue de la definición que <ul> <li> (<math>n=2</math>) <math>a_1*a_2 = (a_1)*a_2 = a_1 * a_2.</math> <li> (<math>n=3</math>) <math>a_1*a_2*a_3 := (a_1*a_2) * a_3.</math> <li> (<math>n=4</math>) <math>(a_1*a_2*a_3)* a_4 = ( (a_1*a_2) * a_3)*a_4.</math>. </ul> Notemos que la definición no requiere que la operación sea asociativa. Cuando la operación sea asociativa, se puede probar que podemos reagrupar como queramos los elementos de la sucesión. Por ejemplo, <center><math>a_1* \dots * a_5= a_1* (a_2 * a_3) * (a_4 * a_5) = a_1* (a_2 * a_3 * a_4) * a_5.</math></center> Cuando la operación sea además conmutativa, el producto multiple es el mismo para cualquier permutación (reordenamiento) de los índices. Cuando la operación tenga neutro <math>e</math>, se acuerda que <i>el producto de una sucesión vacía es igual al elemento neutro</i>. En notación aditiva, la definición anterior es la usual definición de ''sumatoria'' {{Eqn|<math>\sum_{i=1}^n a_i := \begin{cases} a_1 & \text{si } n = 1 \\ (\sum_{i=1}^k a_i) + a_{k+1} & \text{si } n = k+1. \end{cases}</math>}} ---- '''Asociatividad.''' Cuando la operación es asociativa, se puede probar que independiente de la manera que agrupemos los elementos de la sucesión--siempre y cuando, mantengamos el orden de aparición---el producto siempre es el mismo. :La demostración consiste en considerar particiones de [1,..,n] que preserven el orden y mostrar que el producto de <math>a_1, \dots, a_n</math> es igual al producto de los productos parciales. :Por ejemplo, en el caso <math>n=7</math> si tenemos 1,2|3,4,5|6,7. Entonces deberíamos probar que <math>\prod_{i=1}^3b_i = \prod_{i=1}^7 a_i</math>, donde <math>b_1=a_1*a_2,\quad b_2 = a_3*a_4* a_5,\quad b_3 = a_6*a7.</math> Es decir que <center><math>\underbrace{(a_1*a_2)}_{b_1} * \underbrace{(a_3*a_4*a_5)}_{b_2}* \underbrace{(a_6*a_7)}_{b_3} = \prod_{i=1}^7 a_i. </math></center> :La demostración formal procede por inducción sobre ''n''. Los lectores experimentados con este tipo de demostraciones puede intentarlo por su cuenta. La demostración formal se puede hallar en las referencias bibliográficas <ref>(BB) [[../Bibliografía|Bourbaki]]</ref>, <ref>(BB) [[../Bibliografía|Dubreil]]</ref> o <ref>(BB) [[../Bibliografía|Jacobson]]</ref>. También en la página [[Álgebra/Teoría de grupos/Grupos|Semigrupos, Monoides,...]] de WikiLibros, donde puede hallarse demostraciones tanto de la asociatividad como de la conmutatividad generalizadas. ---- Al igual que hay sumatorias de la forma <math>\sum_{i=5}^{20} a_i</math>, podemos definir productos multiples de sucesiones de elementos cuyos subíndices sean un subconjunto ordenado finito de <math>\N</math>. Dejaremos al cuidado de lectores y lectoras tales generalizaciones. En cursos primeros de matemáticas, se define la potencia natural de un número <math>a</math> como el producto de <math>a</math> consigo mismo <math>n</math> veces, denotado por <math>a^n</math>. Usando la definición de producto multiple definiremos <math>a^n</math> como el producto de <math>n</math> factores, todos ellos iguales a <math>a</math>. {{DefRht|Potencia| Sean <math>*</math> una operación en el conjunto <math>E</math>, <math>a</math> un elemento de <math>E</math>, y <math>n</math> un natural positivo. Definimos <math>a^n</math> como el producto <math>a_1*a_2* \dots *a_n</math>, cuando <math>a_1=a_2 = \cdots a_n =a</math>. Cuando la operación tiene neutro <math>e</math>, se define, además, <math>a^0:= e</math> }} <b>Observación.</b> Sigue de la definición que <math>a^1=a</math>, <math>a^{k+1} = a^k* a</math>. <b>Proposición ## (Propiedades de las Potencias) </b> <i> Sea <math>*</math> una operación asociativa en <math>E</math>, <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>E</math>, <math>m</math> y <math>n</math> naturales positivos. <ol type = "a"> <li> <math>a^{m+n} = a^m*a^n</math>. <li> <math>a^{mn} = (a^m)^n</math>. <li> Si <math>a*b=b*a</math>, <math>a*b^n = b^n *a</math>. <li> Si <math>a*b=b*a</math>, <math>(a*b)^m =a^m*b^m</math>. <li> Si la operación tiene neutro <math>e</math>, las relaciones anteriores son válidas para naturales cualesquiera. Además se cumple que <math>e^n=e</math>, para todo natural. </ol></i><br /> <i> Demostración </i> Aprovechando la observación anterior, usaremos inducción sobre <math>n</math> para las pruebas. <ol type = "a"> <li> (<math>n=1</math>) <math>a^{m+1}=a^m*a =a^m*a^1</math>. Suponiendo que <math>a^{m+k} =a^m*a^k</math><br \> <math>a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = (a^m*a^k)*a = a^m*(a^k*a) = a^m*a^{k+1}</math>. <li> <math>(a^m)^1=a^m =a^{m\cdot 1}</math>. Suponiendo que <math>(a^m)^k = a^{mk}</math>. <br \> <math>(a^m)^{k+1}= (a^m)^k*a^m = a^{mk}*a^m = a^{mk+m}=a^{m(k+1)}</math>. <li> <math>a*b^1=a*b = b*a = b^1*a</math>. Suponiendo que <math>a*b^k=b^k*a</math>,<br \> <math>a*b^{k+1}=a*(b^k*b) = (a*b^k)*b =(b^k*a)*b=b^k*(a*b)=b^k*(b*a)=(b^k*b)*a=b^{k+1}*a</math>. <li> <math>(a*b)^1 = a*b=a^1b^1</math>. Suponiendo que <math>(a*b)^k =a^k*b^k</math>, <math>(a*b)^{k+1}=(a*b)^k*(a*b) = (a^k*b^k)*(a*b) = a^k*(b^k*a)*b = a^k*(a*b^k)*b= (a^k*a)*(b^k*b)=a^{k+1}b^{k+1}</math>. <li> Ejercicio. </ol> {{QED}} <hr> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Completar los espacios en blanco <ol type = "a"> <li> Una operación en un conjunto ''E'' es una función de _________ en _____. <li> Un elemento neutro de una operación * de un conjunto ''E'' es un elemento ''e'' tal que para todo ''x'' en ''E se'' cumple que ______________ y ______________ . <li> Un elemento ''x'' es un inverso de un elemento ''y'', ssi, __________ y ________. <li> Un conjunto ''S'' es cerrado respecto a una operación, cuando para cada par ''x, y'' de elementos de ''S'' se cumple que __________________ <li> Cuando el orden de los operandos no altera el resultado (producto) de una operación, la operación es ________________. <li> Cuando la notación es aditiva, el neutro usualmente se simboliza por __. <li> Cuando la notación es aditiva, llamamos _____________ ______________ al inverso. </ol> <!-- 2 --> <li> ¿Cuáles de las siguientes especificaciones determinan una operación en el conjunto de los naturales positivos, <math>\N^+</math>? En caso afirmativo, determinar las propiedades de las operaciones y la existencia de neutro y de inversos. <ol type="a"> <li> <math> a \# b := \max\{x,y\}</math>. <li> <math> a \wedge b := </math> máximo común divisor de a y b. <li> <math> a \vee b := </math>mínimo común divisor de a y b. <li> <math> a \otimes b := \sqrt{a^2 + b^2}</math>. </ol> <li> Construir la tabla de <math>\Z_2</math> (enteros módulo 2) y <math>\Z_3</math> respecto a la suma. <li> Construir la tabla de <math> \Z_5</math> (enteros módulo 5) respecto a la multiplicación. Mirando la tabla determinar el neutro y los elementos que tienen recíproco. <li> Cada una de las siguientes tablas es una tabla de un operación asociativa. Examinando la tabla determinar si hay elementos neutros y cuáles elementos tienen inversos. <center> <math> \begin{array}{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & a & b & c \\ b & b & b & b & c \\ c & c & c & c & c \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{array} </math></center> <li> Escribir en forma precisa el procedimiento para determinar en una tabla de una operación <ol type="a"> <li> ¿cuál es el elemento neutro? <li> ¿cuáles elementos tienen inversos? </ol> <li> ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Enteros? <ol type="a"> <li> El subconjunto formado solamente por el 0, <math> \{0\}</math>. <li> Los múltiplos de 9. <li> Los múltiplos de 23. <li> Generalizar los ejercicios anteriores. <li> <math> \{1,0,-1\}</math>. <li> Los Enteros positivos. <li> Los Primos. </ol> <li> ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la multiplicación en los Enteros? <ol type = "a"> <li> Los números pares. <li> Los números impares. <li> Los múltiplos de 5. <li> Los Enteros positivos. <li> Los Enteros negativos. </ol> <li> ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Racionales? <ol type = "a"> <li> Los Racionales positivos. <li> Los Racionales negativos. <li> Los números de la forma <math>m/2^n</math>, donde m es un entero cualquiera y n es un número natural. <li> Los números de la forma <math> m/10^n</math> donde m es un entero positivo y n es natural. </ol> <li> Probar que el conjunto <math> \{1,-1, i, -i\}</math>, donde <math> i^2=-1</math>, es cerrado respecto a la multiplicación en los Complejos. Construya la tabla correspondiente a esa operación, <li> Sea A una parte cerrada respecto a una operación. Explicar por qué cuando operación es asociativa (resp.conmutativa), su restricción a A también lo será. <li> Sea <math>\Q[\sqrt{5}]</math> el conjunto formado por todos los números reales de la forma <math> p + q \sqrt{5}</math> donde <math> p</math> y <math> q</math> son racionales. Probar que <math>\Q[\sqrt{5}]</math> es cerrado respecto a la multiplicación en los Reales. <li> Sea X un conjunto y sea <math>\mathbb{P}(X)</math> el conjunto formado por todos los subconjuntos de X. Investigar si la unión e intersección de subconjuntos son operaciones y sus propiedades. <li> Sea E un magma. Decimos que dos elementos ''a'' y ''b'' permutan o conmutan entre si, ssi, ''ab = ba''. probar que si la operación es asociativa y ''a'' conmuta con ''b'' y ''c'', entonces, ''a'' conmuta con ''b * c''. <li> ¿Cuántas operaciones diferentes se pueden definir en un conjunto con dos elementos?, ¿cuántas son conmutativas? </ol> <!-- Final de los Ejercicios. --> == Notas == {{listaref}} <!--- abc --> <!-- 06-04-2015 --> [[Categoría: Álgebra Abstracta]] [[Categoría: Operaciones (Matemáticas)]] 1uopn6fxhvx26x0czq595yox333a5jx 0 53395 423028 421046 2025-07-04T23:11:22Z Rehernan 55364 423028 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude> <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Métricos |anterior=Espacios Normados |siguiente=Abiertos y Cerrados }} </noinclude> == Introducción == Un espacio métrico es básicamente un conjunto provisto con una (noción de) distancia, formalmente semejante a aquella de los espacios normados vistos en el capítulo anterior. Los espacios métricos son una abstracción de dichos espacios y de otras situaciones que irán apareciendo en este capítulo y los siguientes. Daremos primeramente una definición abstracta de espacio métrico, para luego examinar algunas de sus propiedades básicas. == Las Definiciones Básicas == <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Métrica, Distancia})</span> Una <b>métrica</b> o <b>distancia</b> en un conjunto E es una función d:E x E &rarr; <b>R</b> tal que para todo x, y, z en E se cumple que : D1 d(x,y) &ge; 0. (la distancia entre dos puntos nunca es negativa). : D2 d(x,y) = 0, ssi, x=y. : D3 d(x,y) = d(y,x). (simetría) : D4 d(x,y) &le; d(x,z) + d(z,x). (desigualdad triangular) </div> {{DefRht|Espacio Métrico| Un espacio métrico es un par <E,d> donde E es un conjunto no vacío y d es una distancia (métrica) en E.}} Cuando no haya riesgo de confusión sobre la distancia envuelta, podremos hablar simplemente del espacio métrico E, en vez de <E,d>. === Ejemplos de Espacios Métricos === <ol> <li> Los Reales, &#8477; con la distancia definida a partir del valor absoluto, d(s,t) := |s -t| . Nos referiremos a este espacio como la <b>línea real</b>. <li> Los diferentes espacios normados en <b>Rⁿ</b> con la distancia asociada con la norma. Este ejemplo muestra la necesidad de, algunas veces, de usar el par <E,d>, ya que puede haber diferentes métricas en un mismo conjunto. (<b>Convenio.</b>) Cuando no especifiquemos la norma o distancia de <b>Rⁿ</b>, siempre supondremos que se trata del espacio Euclídeo .</math> <li> Los Complejos y los <math>\mathbb{C}^n</math> con la métrica deducida de su norma hermitania. <li> En general, cualquier espacio normado tiene asociada una distancia que los hace un espacio métrico <li> (<b>Espacio Discreto</b>) Cualquier conjunto no vacío <math>X</math> admite trivialmente una métrica, definiendo para todo <math>x<</math>, <math>d(x,y)= \begin{cases} 0, & \text{si x=y}; \\ 1, &\text{ en caso contrario.} \end{cases}</math> Llamaremos <b>espacio discreto</b> a este espacio métrico. Los espacios discretos tienen importantes aplicaciones a pesar de su aparente carácter artificial. Algunas veces nos referiremos a este espacio como el espacio con la <i>métrica 0--1</i>. Notemos que esta métrica, en el caso de <math><\mathbb{R}^n</math>, no puede provenir de una norma, ya que tal norma no cumpliría la propiedad N3, <math>\|\alpha x\| =|\alpha| \|x\|</math> </ol> ==== Subespacios. ==== Sea <E,d> un espacio métrico y sea X un subconjunto no vacío de E . Si restringimos la metrica a X obtenemos un espacio métrico <X, d'>, donde d' es la restricción de d a X x X. Diremos que ese espacio es un <b>subespacio</b> (métrico) de E . <ul> <li> Cada intervalo (abierto, cerrado, acotado o no acotado) de la línea real es un espacio métrico que es un subespacio de la línea real <li> Los Racionales, <b>Q</b>, determinan un subespacio de los Reales. </ul> Notemos que estos ejemplos, aunque corresponden a subconjuntos de un espacio normado, no determinan un espacio normado. En ambos casos, la multiplicación de un escalar por un elemento del espacio puede acabar fuera del espacio. <hr> En general, las propiedades métricas o topológicas de subespacios pueden ser bastante diferentes de aquellas del espacio total. Por ejemplo, un intervalo [a,b] de los Reales es un espacio métrico acotado, mientras que el conjunto de los reales no lo es. Veamos, a continuación, una proposición simple, pero con una importante propiedad de las métricas. <b>Proposición 4.2.1.</b> <i> Sean x, y, z, w en E, entonces <center>|d(x, y) − d(z,w)| ≤ d(x, z) + d(y,w). </center> </i> <i> Demostración.</i> : Aplicando la desigualdad triangular, tenemos que :: (1) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), y :: (2) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w). :: (1) y (2) ⇒ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w) (*) :: (3) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w) ⇒ d(z,w) − d(z, y) ≤ d(y,w). :: (4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z,w) ⇒ d(x, y) = d(z,w) ≤ d(x, z). :: (3) y (4) ⇒ d(z,w) − d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y,w). (**) : De (*) y (**), concluimos que :: −d(x, z) − d(y,w) ≤ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w). : Lo que implica el resultado. {{QED}} <b>Corolario 4.2.2.</b> <i>Sean x, y, z puntos de un espacio métrico E. Entonces, |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).<br> Demostración. </i> Ejercicio. <hr> === Isometrías === <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Isometría)</span> Sean <E,d> y <E',d'> espacios métricos. Llamamos <b>isometría</b> de E en E' a una función biyectiva f de E en E' que preserva la distancia entre puntos. Esto es, para todo x, y en E, se cumple que: <center> d'(f(x), f(y)) = d(x, y) </center>. </div> <!--- Las traslaciones son isometrías en cualquier espacio normado. Ver ejercicios del capítulo [[../Espacios Normados|Espacios Normados]]. --> <b>Ejemplo 4.2.1.</b> Cuando d es una métrica en un espacio, k veces d es también una métrica. Ver ejercicio 2 al final de la sección. Sean E = <b>R²</b>, d la métrica euclídea y d′ = 6d. La función f :< E, d′ > → < E, d > tal que f(x, y) = (6x, 6y) es una isometría. ::d(f(x, y), f(u, v)) = d((6x, 6y), (6u, 6v)) = ||(6x − 6u, 6y − 6v)|| ::::: = 6||(x − u, y − v)|| = 6d((x, y), (u, v)) = d′((x, y), (u, v)). <b> Proposición 4.2.3. </b> <i> La composición de isometrías es una isometría. La inversa de una isometría es una isometría.</i> <i> Demostración. </i> : Sean f : E &rarr; E′ y g : E′ &rarr; E′′ isometrías. Entonces, para todo x, y en E se cumple que :: d(g(f(x)), g(f(y))) = d(f(x), f(y)) ya que g es isometría ::: = d(x, y) ya que f es isometría : Lo que prueba que la composición de una isometría. : Sea h la función inversa de f, entonces :: d(h(x′), h(y′)) = d′(f(h(x′)), f(h(y′)) = d′(x′, y′). : Lo que prueba que h es una isometría. {{QED}}<hr> <i>Observación 4.1. </i>(♠) En Geometría se denomina grupo de transformaciones de un espacio X a un subconjunto no vacío G de biyecciones del conjunto que es cerrado respecto a la composición (la composición de dos funciones de G está en G) y cerrado respecto a tomar inversos (la inversa de una función de G está en G). La proposición anterior aplicada al conjunto de isometrías de un espacio métrico E en si mismo, Iso(E), muestra que forman un grupo de transformaciones de E. Cuando E = <b>R²</b>, dicho grupo es el grupo de las congruencias o grupo Euclídeo de la Geometría plana clásica. <hr> <b>Traslaciones en un Espacio Normado.</b> Sean <math>E</math> un espacio normado y <math>a</math> un elemento de <math>E</math>. Llamamos <i>traslación por a</i>, a la función <math>t_a</math> de <math>E</math> en si mismo que envía cada punto <math>x</math> en <m>a+x</math>. <b>Proposición 4.2.4.</b><i> Las traslaciones son isometrías en cualquier espacio normado.</i><br> <ul><i> Demostración.</i> Sea t_a(x) = a + x, Entonces<br /> d(t_a(x), t_a(y)) = ||t_a(x) − t_a(y)|| = ||(a + x) − (a + y)||= ||x − y|| = d(x, y).</ul><hr> === Ejercicios 4.2 === <ol> <li> Sea <E,d> un espacio métrico. Sea d'(x,y) := kd(x,y) donde k es un número real positivo. Probar que d' es una métrica en E . <li> Sea x₁, x₂, ..., x_n una sucesión finita de puntos de un espacio métrico. Probar que <center>d(x₁,x_n) &le; d(x₁,x₂) + ... + d(x_n-1,x_n).</center> <li> Probar que la inversa de una isometría es una isometría. <li> (Geometría de <b>R²</b>) Probar que las funciones siguientes determinan isometrías del plano. <ol type="a"> <li> f(x,y) = (x+3, y-5) . <li> f(x,y) = (ax -by, ax+by) con a² + b² = 1 . </ol> <li> (Transporte de Estructura) Sea < E, d > un espacio métrico y sea f : X &rarr; E una función biyectiva. Para todo x, y en X definir <center>d′(x, y) := d(f(x), f(y)). </center> ¿Es d′ una métrica en X? En caso afirmativo, ¿qué tendría de especial la función <i>F</i>? <li> Sea h(x) = sen(x) + 2. La gráfica de g es el conjunto <center>X = {(x, y) ∈ R² : y = h(x)}. </center> [[Archivo:Fig04-05.jpg|center]] Sea f : X → <b>R</b> :: f(x, h(x)) = x. Probar que f es biyectiva. Definir una distancia en X, por d((x, h(x)), (y, h(y)) = |x − y|. ¿Es d una métrica en X? <!-- <li> Sea g : <b>R</b> → <b>R</b> tal que g(t) = t³. Verificar que g es una biyección. Sea E el espacio métrico definido por transporte de estructura usando g en <b>R</b>. es decir que d′(x, y) = |g(x) − g(y)|. Describir explícitamente los siguientes conjuntos. --> <li> Una <i>semejanza lineal</i> del plano <b>R²</b> de razón r es una transformación h_r del plano en si mismo, tal que h_r(x) = rx. <ol type = "a"> <li> Si r &ne; 0, h_r es biyectiva. <li> d(h_r(x), h_r(y)) = |r|d(x, y). </ol> <li> Sea f : E &rarr; E′ una isometría. <ol type = "a"> <li> La imagen por f de una bola abierta (resp. cerrada) es una bola del mismo typo y de igual radio. <li> La imagen de un conjunto de diámetro D tiene el mismo diámetro. La imagen de un conjunto acotado es acotado. <li> ¿Qué otras çosas"son preservadas por las isometrías? </ol> </ol> == Las Funciones Continuas == Las funciones continuas entre espacios métricos (y, posteriormente, entre espacios topológicos) constituyen la familia más importante de funciones a considerar desde el punto de vista de la proximidad. Una función continua será una función que <i>preserva</i> la proximidad. Los lectores deben haber encontrado esta noción en sus cursos de Cálculo, donde muchas veces es opacada por las nociones de funciones diferenciables o integrables. Se dice usualmente en los textos de Cálculo que una función de un subconjunto de los Reales en <b>R</b>, es continua en un número a, ssi, para todo &epsilon; > 0 hay un &delta; >0 tal que <!-- \label{eqn0401} --> <center> |x-a| < &delta; ==> |f(x) - f(a)| < &epsilon; (*) </center> Digamos, en primer lugar que la notación &epsilon;---&delta; es tradicional, se trata de un par de números reales denominados de esa manera por uso y costumbre. Cualquier otro par de símbolos serviría igual. Algunas veces la definición no aparece explícitamente de esa forma, sino que se dice que <math> \lim_{x \to a} f(x)= f(a),</math>. La transcripción a símbolos de la expresión con límites, es precisamente la ecuación (*). Lo que nos interesa aquí, es entender por qué esa ecuación representa una preservación de cercanía o proximidad de puntos. En primer lugar, y para conectarla con los espacios métricos, la escribiremos usando la noción de distancia en los Reales. Tenemos entonces que f es continua en a, ssi, para todo &epsilon; >0 hay un &delta; >0 tal que <!-- label{eqn0402} tag{**} --> {{Eqn|<math> d(x,a) < \delta \implies d(fx), f(a)) < \epsilon. </math>|**}} Decimos de manera más o menos informal que la ecuación anterior establece que podemos hacer la distancia entre f(x) y f(a) tan pequeña como queramos (menor que &epsilon; ), siempre y cuando tomemos la distancia entre x y a lo suficientemente pequeña (menor que &delta;) . La proximidad entre f(x) y f(a) está determinada por la distancia usada (espacio métrico) y por la elección de &epsilon;. La función <math>f</math> será continua en el punto <i>a</i>, cuando no importa que &epsilon; escojamos, siempre podremos hallar un valor &delta; tal que tomando los valores de x adecuados (con distancia a <i>a</i> menor que &delta;) podremos lograr que d(f(x), f(a)) sea menor que &epsilon;;. <b>Ejemplo 4.3.1. </b><br> Mostraremos el significado operacional de la definición de continuidad indicada, probando que la función f : R &rarr; R tal que f(x) = 3x + 4 es continua en x = 5. <i>Resolución.</i> Comenzaremos evaluando |f(x) − f(5)|.<br> |f(x) = f(5)| = |(3x + 4) − (3 ∗ 5 + 4)| = |3x − 3 ∗ 5| = 3|x − 5|. La expresión a la derecha es la clave para la demostración, ya que nos dice que si queremos que |f(x) − f(5)| < ε, bastará con hacer 3|x − 5| < ε, lo qual se logra tomando |x − 5| < ε/3. De esta manera, podemos hallar el valor adecuado de δ, que en este caso será cualquier número menor o igual a ε/3. En efecto, cuando |x − 5| < δ se cumplirá que |f(x) = f(5)| = 3|x − 5| < 3δ = 3 ∗ ε/3 = ε. Como el valor de ǫ era arbitrario, concluimos que f es continua en 5. <hr> <b>Ejemplo 4.3.2.</b><br> Probaremos, para tener un ejemplo más elaborado, que la función f(t) = t² es continua en 3. Resolución. Nuevamente empezamos acotando |f(x) − f(3)|. Tenemos que {{Eqn|<math> |f(x) - f(3)| = |x^2 - 3^2| = |x + 3| |x - 3|. </math>| 1}} No podemos proceder, sin embargo, de una manera tan simple como en el ejemplo anterior, debido al factor |x + 3|. Como interesa que pasa cerca de 3, limitaremos los valores de x a que |x − 3| < 1(Cualquier otro valor positivo serviría), o sea que 2 < x < 4. Usando la última relación, concluimos que 5 < x + 3 < 7, De donde, {{Eqn|<math> |f(x) - f(3)| = |x^2 - 3^2| = |x + 3| |x - 3| < 7|x - 3|. </math>|2}} Luego, si queremos que |f(x) − f(3)| < ε, bastará con que |x − 3| < ε/7, lo cual nos da una pista sobre el valor adecuado para δ, ε/7. Una vez obtenido lo anterior, procedemos a la demostración formal. Sea ǫ > 0 dado. Escojamos δ = mín{ε/7, 1} (debemos asegurarnos que el valor de δ sea menor que 1, en caso que ε/7 sea mayor que 1. Sigue entonces de la ecuación (2) que |f(x) - f(3)| < ε, lo que prueba la continuidad de f en 3. <hr> <b>Ejemplo 4.3.3.</b> Veamos ahora una función discontinua. Sea f : R &rarr; R tal que f(x) = 1, cuando x > 0, y f(x) = 0, cuando x ≤ 0. Veremos que f no puede ser continua en 0. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene números positivos, sea x₀ uno de ellos, entonces f(x₀)−f(0) = 1−0 = 1. Por lo que no importa que δ escojamos la distancia entre esas imágenes será igual a 1, por lo que no puede hacerse tan pequeña como queramos (por ejemplo 1/2). <hr> En el último ejemplo, la gráfica de la función tiene un “salto” en 0. El salto mide 1. Cualquier salto impide, por las mismas razones del ejemplo, la continuidad de la función. Por eso, a veces, hay quienes dicen que una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin tener que levantar el lápiz del papel Extenderemos la definición de función continua a una función entre espacios métricos. Daremos, a continuación, una definición formal de continuidad para completar nuestra discusión. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Continuidad)</span> Sea f :< E, d > &rarr; < E′,d′ > una función. <ul> <li> (Local) f es continua en un punto p de E, ssi, para todo ǫ > 0, podemos hallar un δ > 0 tal que : d(x, p) < δ ⇒ d′(f(x), f(p)). <li> (Global) f es continua en (el espacio) E, ssi, es continua en cada punto de E. </ul> </div> Siempre hay funciones continuas entre dos espacios métricos: las funciones constantes. <b>Proposición 4.3.1.</b> <i> Cada función constante de un espacio métrico en otro es continua en todo el espacio.</i> <i> Demostración. </i> : Sea f : E &rarr; E′ tal que para todo x en E, f(x) = b. Sea p un punto cualquiera de E. Como para todo x, se cumple que d(f(x), f(p)) = d′(b, b) = 0, vemos que para cualquier ε > 0, podemos usar cualquier δ > 0 y se tendrá que :: d(x, p) < δ ⇒ d′(f(x), f(p)) = 0 < ε. {{QED}} <hr> <b>Proposición 4.3.2. </b><i><br> Las isometrías son funciones continuas en todo el dominio. </i> <i>Demostración.</i> : Sea f : E &rarr; E′ una isometría. Como d′(f(x), f(a)) = d(x, a), dado un ε > 0, basta tomar δ = ε para que se cumpla la definición de continuidad en a. {{QED}} <hr> Dejaremos aquí, nuestra excursión a las funciones continuas, a las que dedicaremos un capítulo completo. ([[../Continuidad|Cap 6. Continuidad]].) Lo que más nos interesa de la definición, por ahora, es que nos servirá para motivar los conceptos de la próxima sección. === Ejercicios 4.3 === <ol> <li> Probar que en <b>R</b> las funciones siguientes son biyectivas y continuas. <ol type = "a"> <li> f : t &#8614; t + a. <li> g : t &#8614; at, a &ne; 0. <li> h : t &#8614; mt + n, m &ne; 0. </ol> <li> Sea f : E &rarr; E′ continua en p y g : E′ &rarr; E′′ continua en f(p). Probar que la composición g ◦ f es continua en p. <li> Sean a, b, c y d números reales tales que a < b y c < d. Probar que la función f : [a, b] → [c, d] tal que <center><math> f(t) = \frac{d-c}{b-a} (t-a) + c </math></center> es biyectiva y continua. <li> Sea f: E &rarr; E' una función continua. Sea A un subconjunto no vacío de E. Proanr que la restricción de f a A es continua. <li> Sean E un espacio métrico y 1_E la función identidad, 1_E(x) = x; probar que se trata de una función continua. </ol> == Bolas Abiertas, Cerradas y Esferas == Comenzamos en esta sección el estudio de la topología de un espacios métrico. Como parte de la definición de continuidad aparecen x tales que d(x,a) < &delta; . Por lo que interesa estudiar conjuntos que tienen esa propiedad. Si pensamos geométricamente, tal conjunto será semejante al "interior" de una circunferencia (en un plano) con centro a y radio &delta;. Generalizaremos las nociones anteriores a espacios métricos cualesquiera. <!--- \begin{figure}[ht] \input {./Figuras/Fig03-01} \caption{Bolas y esfera} \label{fig04-01} \end{figure} --> [[Archivo:Fig04-01.jpg|center|Bolas y Esferas]] {{DefRht|Bolas y Esferas| Sea E un espacio métrico, p un punto de E y r un número real positivo. <ul> <li> Llamamos<b> bola abierta</b> con <b>centro</b> p y <b>radio</b> r al subconjunto de E denotado por B_r(p) (o B(p:r)) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es menor que r . {{eqn|<math>B_r(p) := \{ x \in E: d(x,p) < r \}.</math>}} <li> Llamamos <b>bola cerrada</b> con <b>centro</b> p y <b>radio</b> r</b> al subconjunto de E denotado por Br[p](o B[p;r]) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es menor o igual que r . {{eqn|<math>B_r[p] := \{x \in E: d(x,a) \le r\}.</math>}} <li> Llamamos <b>esfera</b> de centro p y radio r al subconjunto de E denotado por S_rr(p) (o S(p;r)) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es igual a r . {{eqn|<math> S_r(p) := \{ x \in E: d(x,p) = r \}. </math>}} </ul> }} Claramente, B_r[p] = B_r(p) &cup; S_r(p). <ul><small> (&#9769;) Intuitivamente, una bola abierta contiene a todos los puntos vecinos próximos a su centro. ¿Cuán próximos?... depende del valor del radio. Cuando decimos que podemos escoger puntos "tan cerca como queramos" de un cierto punto, estamos hablando de los puntos de un bola abierta con centro en el punto y con un radio tan pequeño como queramos. </small> </ul> <hr> <b>Observación 4.2.</b> La terminología no es estándar. Algunos autores usan esferas en lugar de bolas. En situaciones planas, se usa también discos (abiertos y cerrados). Nosostros hablaremos, también, de la <b>r–vecindad</b> de un punto p, para referirnos a la bola de radio r y centro p. {{Ejmpl|Ejemplos 4.4.1}} <ol> <li> En el espacio euclídeo <b>R²</b>, las bolas abiertas son los interiores de los círculos con igual centro y radio. Por su parte, las bolas cerradas corresponden al círculo anterior, pero agregando la circunferencia correspondiente, que es la correspondiente esfera. En la geometría plana hablamos de círculo y circunferencia en vez de bola cerrada y esfera (que son más propios de espacios tridimensionales). <li> En la línea real, la bola abierta B_r(a) coincide con el intervalo abierto ]a-r,a+r[. Mientras que la bola cerrada de igual centro y radios es el intervalo cerrado [a-r,a+r]. La esfera S_r(a) es igual al conjunto {a-r, a+r}. </ol> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 4.4.2 (<b>Propiedad de Hausdorff</b>) }} Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Probar que hay bolas abiertas B₁ y B₂ que contienen a x y a y respectivamente y que son disjuntas entre si. <i>Resolución. </i> Un dibujo puede inspirarnos en la solución. [[Archivo:Fig04-02.jpg|center|250px|Propiedad de Hausdorff]] <center> Figura 4.2.</center> <!-- \input {./Figuras/fig0402} --> Vemos que parece que tomando como r=d(x,y)/3, las bolas de radio r y centros en x y y serán disjuntas. <ul><i>Demostración. </i> Como x &ne; y , d(x,y) es un número positivo, por lo que r= d(x,y)/3 también es un número positivo. Sean B₁=B_r(x) y B₂=B_r(y). Claramente, x &isin; B₁ , y &isin; B₂. Falta, tan solo, probar que dichas bolas son disjuntas. Supongamos que no y sea z un punto común a ambas bolas. Entonces, <center> 3r =d(x,y) &le; d(x,z) + d(z,y) < r + r = 2r. </center> Como es imposible que 3r < 2r , hemos obtenido una contradicción. Luego, nuestras bolas deben ser disjuntas. </ul>{{QED}} <hr> El último ejemplo muestra que buenos dibujos pueden ayudarnos a comprender la situación o a inspirarnos en las demostraciones. Sin embargo, solamente una demostración es la única garantía de que andamos pisando terreno firme. {{Ejmpl|Ejemplo 4.4.3}} Supongamos que X es un espacio discreto (métrica 0--1). ¿Cómo son las bolas abiertas o cerradas en X? La siguiente tabla muestra algunos resultados. <center><math> \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline r & B_r(a) & B_r[a] & S_r(a) \\ \hline\hline 1/2 & \{a\} & \{a\} & \emptyset \\ \hline 1 & \{a\} & X & X \setminus \{a\} \\ \hline 2 & X & X & \emptyset \\ \hline \hline \end{array} </math></center> <hr> === Bolas y Esferas en Subespacios === Usualmente, las "formas" más extrañas de bolas y esferas aparecen en los subespacios, aunque esperamos que el lector o lectora descubra que sus dibujos intuitivos son suficientemente buenos para guiar en una demostración. Sea E un espacio métrico y sea F un subespacio de E. Para precisión en la exposición, simbolizaremos por d_E y d_F a las distancias en E y F respectivamente, aunque si x,y están en F se cumple que d_F(x,y) = d_E(x,y), por definición de subespacio. Análogamente, simbolizaremos por B_E(p;r) y B_F(p;r) a las bolas abiertas en E y F respectivamente. Sea p un punto de F. Notemos que un punto x está en B_F(p;r), ssi, x está en F y d_F(p,r) < r, ssi, x está en F y d_E(x,p)<r. Es decir que <center> B_F(p;r) = B_E(p;r) &cap; F. </center> El razonamiento es general, por lo que hemos probado que las bolas abiertas de F son la intersección de una bola abierta de E (con igual centro y radio) con el subespacio F. Análogamente, para bolas cerradas y esferas, {{Ejmpl|Ejemplo 4.4.4}} Sea E = [0,2[ = {x &isin; <b>R</b>: 0 &le; x < 2}. Notemos que en el espacio métrico E con la distancia inducida de la distancia usual en los Reales, tenemos que <ul> <li> B₁(0) = [0,1) (bola abierta). <li> B₁[1] = [0,2[ (bola cerrada) <li> S₃(1) = &empty;. </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 4.4.5}} La métrica usada también afecta a las figuras, como se ilustra a continuación; donde podemos ver esferas de igual radio con igual centro, pero para diferentes métricas de <b>R²</b>. [[Archivo:Fig04-03.jpg|center|Esferas de Igual Radio, pero diferente norma|300px]] <center> Figura 4.3: Esferas. </center> <hr> <i>Observación. </i>El lenguaje de bolas y esferas proviene de la geometría de los espacios euclídeos usuales (Rn con la métrica euclídea). Tal préstamo puede ayudar a desarrollar nuestra intuición de situaciones más abstractas. Sin embargo, cabe advertir que la situación no es tan simple, como se pudo apreciar en el ejemplo 4.4.3 anterior. Situaciones semejantes se hallarán en la próxima sección y en la sección sobre espacios ultramétricos. Moraleja: es conveniente visualizar las relaciones y propiedades en el modelo euclídeo; pero, es absolutamente necesario probar la validez general de dichas visualizaciones. === Los Espacios de Funciones === Sea E el espacio de funciones reales acotadas definidas en el intervalo [a,b], o sea el espacio normado B([a,b], <b>R</b>) definido en la sección el espacio normado de todas las funciones acotadas definidas sobre el intervalo [a,b]. Ver la sección 4 del capítulo 3. Basado en dicha norma, tenemos una distancia definida por {{eqn|<math> d(f,g) = \sup\{|f(t) - g(t)| : t \in [a,b]\}. </math>}} Dada una función f por su gráfica, ¿cómo se ve gráficamente una bola de radio r con centro en la función f? [[Archivo:Fig04-04.jpg|center|250px]] <center>Figura 2.4: Bola abierta en un espacio de funciones.</center> <hr> Mirando a la figura vemos un dibujo de tal bola abierta. La linea continua es el centro de la bola y las líneas entrecortadas son la esfera. Una función está en la bola abierta, cuando su gráfica se ubique entre las dos líneas entrecortadas. === Ejercicios 4.4 === <ol> <li> Sean r₁, r₂ números reales tales que 0 < r₁< r₂. Probar que la bola abierta (resp. cerrada) de radio r₁ está contenida en la bola abierta (resp. cerrada) de radio r₂. <li> La distancia entre dos elementos de una misma bola abierta (resp. cerrada) de radio r es menor (resp. menor o igual) que 2r. <li> Sea B = B_r(a) . Probar que para todo punto p de B , hay una bola abierta con centro en p , totalmente contenida en B. <li> Sean B₁, B₂ bolas abiertas con intersección no vacía. Probar que dicha intersección contiene a una bola abierta. <li> Verificar las afirmaciones del ejemplo 4.4.3. </ol> == Productos de Espacios Métricos == Sean <E_i, d_i>, para i=1, ... , n, una familia de espacios métricos. Sea E el producto cartesiano de los E_i's. Los elementos de E son n-uplas (x₁, ... , x_i, ... , x_n) con x_i en E_i. ¿Podremos definir una estructura métrica en E relacionada con los factores? <br> La respuesta es afirmativa, y daremos dos posibles definiciones. <b>Definiciones de métricas productos.</b> {{eqn|<math> d_1((x_i),(y_i)) : = \max\{d_i(x_i,y_i): 1 \le i \le n\}. </math>|MP-1}} {{eqn|<math> d_2((x_i),(y_i)) : = \sum_{i=1}^n d_i(x_i,y_i) </math>|MP-2}} Queda de ejercicio, verificar que tenemos métricas. === Ejercicios 4.5. === <ol> <li> Verificar que las funciones MP--1 y MP--2 definidas en el texto, efectivamente proveen métricas al espacio producto. Discutir la relación entre esas definiciones y las métricas ciudad y máxima de <b>Rⁿ</b>. ¿Podría proveerse al espacio producto con una métrica análoga a la euclidiana? <li> Suponer que E es un espacio métrico con métrica <math>\rho</math>, que es la métrica discreta 0--1. Sea SE el conjunto formado por todas las sucesiones de elementos de E. Definir para dos sucesiones (x_n), (y_n), {{eqn|<math> d((x_n), (y_n)) = \sum_{n \ge 0} \frac{\rho(x_n,y_n)}{2^{n+1}}.</math>}} Verificar que <math>d</math> es una métrica en SE. ¿Es d discreta? </ol> == Algunas Nociones Métricas == Veremos, en esta sección, diversas nociones asociadas a subconjuntos de un espacio métrico. (Esta sección hace uso de las nociones de supremo e ínfimo, para un repaso ver la sección correpondiente del Capítulo [[../Números Reales|2 (Números Reales).]]. === Diámetro de un Conjunto === Llamamos <b>diámetro</b> de un subconjunto A de un espacio métrico E al número real <center> &delta;(A) := sup{ d(x, y): x, y &isin; A}. </center> Cuando A no sea vacío y el supremo anterior no exista, diremos que el conjunto tiene un <b>diámetro infinito</b> (+&infin;). (&#9769;) El diámetro de un conjunto mide lo más "ancho" del conjunto. <b>Conjunto Acotado. </b> Decimos que un subconjunto A de un espacio métrico es <b>acotado</b>, cuando su diámetro es finito. {{Ejmpl|Ejemplo 4.6.1}} Hallar el diámetro de A= ]0,1]. <i>Resolución. </i> Intuitivamente ese diámetro (que aquí coincidirá con el largo intuitivo del intervalo) debe ser 1. Daremos, sin embargo, una demostración formal de ese resultado, para ilustrar como trabajamos con las definiciones. Notemos que cuando x, y son elementos de A, se tiene que 0 < x < y &le; 1 implica que d(x,y)= |x-y| = y-x < 1-x. Considerando x=1/n, n > 1, vemos que d(x,y) = 1-1/n. Tales valores tienen supremo 1; lo que implica que el diámetro es 1.<hr> {{Ejmpl|Ejemplo 4.6.2}} Sea A igual la cinta {(x,y) &isin; <b>R²</b>: 1 < x &le; 5}. Hallar el diámetro de A . <i>Resolución. </i> Notemos que para todo número natural a = (3,0) y b=(3,n) son puntos de A y que <math> d(a,b) = \sqrt{(3-3)^2 + (0-n)^2} = n</math>. Como los naturales no son acotados superiormente, no hay un supremo finito para las distancias, luego tendremos que &delta;(A) = +&infin; . <hr> <b>Lema 4.6.1.</b> <i> Sean A,B subconjuntos de un espacio métrico.<br> Cuando A es un subconjunto de B se cumple que &delta;(A) &le; &delta;(B) . </i> <i>Demostración. </i> : Sean x, y puntos de A y, por lo tanto, de B . Luego, para todo x, y en A , d(x,y) &le; &delta;(B) --ya que &delta;(B) es una cota superior de esos valores. De donde, sup{d(x,y): x,y &isin; A} &le; &delta;(B) ---supremo es la menor cota superior. {{QED}} <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 4.6.3}} Sean B = B_r(a) y B'=B_r[a]. Entonces, &delta;(B) &le; &delta;(B') &le; 2r. <i>Resolución. </i> Sean x , y en B', entonces <center> d(x,y) &le; d(x,a)+d(a,y) &le; r + r = 2r. </center> Luego, &delta;(B') &le; 2r. La otra desigualdad sigue del lema anterior. <hr> Notemos que, al pasar, hemos probado que bolas, ya sean abiertas o cerradas son conjuntos acotados. <b>Lema 4.6.2. </b> <i>Un conjunto no vacío es acotado, ssi, está contenido en una bola (ya sea abierta o cerrada)</i> </b> <i> Demostración. </i> : Supongamos que el conjunto X fuera acotado, digamos que su diámetro fuera igual a m. Entonces, cuando a es un punto de X , se tiene para todo x en X que d(x,a) &le; m. Luego, X está contenido en B_m[a] &subset; B_2m(a). : El recíproco sigue del lema anterior y de que las bolas son conjuntos acotados. {{QED}} <hr> === Distancia entre conjuntos === Llamamos <b>distancia</b> entre subconjuntos A y B de un espacio métrico al número <center> d(A,B) := inf {d(x,y) : x &isin; A, y &isin; B}. </center> Cuando A = {a} escribimos d(a,B) y hablamos de distancia del punto a al conjunto B. {{Ejmpl|Ejemplo 4.6.4}} Hallar la distancia euclídea del punto p=(1,1) a la línea L con ecuación cartesiana x+y=1. <i>Resolución. </i> Sea s la distancia del punto p a un punto (x,y) de la línea L. Tenemos que :: m² = d((x,y), (1,1)))²= (x-1)² + (y-1)² = (x-1)² + (1-x-1)² ::: = x² - 2x + 1 + x² = 2x² - 2x + 1 = 2(x² - x + 1/4 + 1/2. ::: = 2(x - 1/2)² + 1/2 Por lo que, m² tiene como valor mínimo 1/2, luego la distancia buscada es <math>\scriptstyle1/\sqrt{2}</math>. <hr> === Ejercicios 4.6 === <ol> <li> Probar los siguientes enunciados. <ol type = "a"> <li> &delta;(A) = 0, ssi, A consiste de un único punto. </ol> <li> Hallar el diámetro de los siguientes conjuntos de la línea real. Después de intuir el resultado dar una prueba formal. <ol type = "a"> <li> ]a,b[), <li> [a,b], <li> {números primos}. </ol> <li> ¿Será cierto que &delta;(A &cap; B) &le; &delta;(A) + &delta; B ? En caso afirmativo, dar una prueba. En caso negativo, dar un contraejemplo. Cuando puede que pase en algunas situaciones, indicar las condiciones con prueba. <li> (Conjuntos Acotados) Probar lo siguiente: <ol> <li> Un conjunto contenido en un conjunto acotado, es un conjunto acotado. <li> La reunión de dos conjuntos acotados es un conjunto acotado. </ol> <li> (<b>Rⁿ</b> con la métrica euclídea) <ol> <li> Sea B (resp. B' ) la bola abierta (resp. cerrada) con centro en a y radio r . Probar que cuando la distancia de un punto a B' es s , entonces la distancia del punto a B también es s . <li> Hallar una fórmula para la distancia entre una bola de radio r₁ y una bola de radio r₂ . Analizar las posibles posiciones de los centros y valores de los radios. <li> (*) ¿Son válidos los resultados anteriores en un espacio discreto? </ol> <li> ¿Cierto o falso? Si cierto, dar una demostración o un ejemplo; en caso contrario, dar un contraejemplo? <ol type = "a"> <li> Un espacio métrico puede consistir de un único punto. <li> Las bolas abiertas siempre son distintas de las bolas cerradas. <li> Sea r < &rho;. La bola abierta (resp. cerrada) de radio r es diferente a la bola abierta (resp. cerrada) de radio &rho;. <li> Una esfera de radio positivo nunca es vacía. </ol> </ol> == Los Reales Extendidos, <b>R^#</b> == Definiremos una estructura de espacio métrico en los Reales extendidos, <b>R^#</b> = R ∪ {+∞,−∞}. <br /> Sea f : R &rarr; ]-1,1[ tal que <math> f(x) = \frac{x}{1 + |x|}</math> y sea g :]-1,1[ &rarr; tal que g(x) = x/(1 - |x|). Se tiene que <center><math> g(f(x)) = g(\frac{x}{1+|x|}= \frac{\frac{x}{1+|x|}}{1- \frac{|x|}{1-\frac{|x|}{1+|x|}}} = x. </math></center> Análogamente, g(f(x)) = x, lo que prueba que f y g son biyectivas. Extendamos f a F : R &rarr; [-1,1], poniendo F(x) = f(x) cuando x es un número real, F(+∞) = 1, y ¯ F(−∞) = −1. Claramente, F es también biyectiva. Por lo que la usaremos para definir una métrica d* en <b>R^#</b> por d(x, y) := |F(x) − F(y)|. La verificación de que d* es una métrica queda de ejercicio. Con respecto a esta métrica, la función F es una isometría. Notemos que, por ejemplo, d*(1,+∞) = |f(1)−f(+∞)| = 1/2 y que d*(−∞,+∞) = 2. Como [−1, 1] es acotado, tendremos que <b>R^#</b> es también acotado y que el subconjunto de los Reales también lo será. Naturalmente, la restricción de esta métrica a <b>R</b> es bastante diferente a la métrica usual, definida por su valor absoluto, de la línea real. ¿Cuáles son las vecindades de +∞ en <b>R^#</b>? Consideremos por ejemplo la bola abierta de radio 1/2 con centro en +∞. Tenemos que {{eqn|<math> B\#(+\infty,1/2) = \{x \in \mathbb{R} : 1 < x\} =]1,+\infty]</math>.}} === Ejercicios 4.6 === <ol> <li> Probar que una bola cerrada con radio mayor que 2 es igual a todos los Reales extendidos. <li> Describir las bolas abiertas centradas en +∞. <li> Idem. para las bolas centradas en −∞. </ol> == Espacios Ultramétricos == Describiremos, en esta sección, a unos espacios métricos cuya métrica satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular. Dichos espacios tienen interesantes aplicaciones en diversas áreas de matemáticas. Para nosotros servirán de ejemplos de espacios métricos con unas propiedades ``extrañas'', lo que quiere decir bastante diferente de lo que pasa en espacios euclídeos.Una <b>ultramétrica</b> en un conjunto E es una métrica que satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular. <center>d(x, y) ≤ máx {d(x, z), d(z, y).</center> Claramente, cada ultramétrica es una métrica. Un espacio ultramétrico es un espacio provisto de una ultramétrica. Antes de dar ejemplos, veremos algunas de las propiedades ``extrañas'' de los espacios ultramétricos. <b>Ejemplo 4.8.1.</b> <i> Todos los triángulos en un espacio ultramétrico son isósceles.</i> Es decir que dados tres puntos x, y, z, al menos dos de las distancias entre esos puntos son iguales. <i>Resolución.</i> Supongamos que hay al menos dosdistancias desiguales (el caso contrario es trivial), digamos que d(x, y) < d(x, z). Entonces, como d(y, z) ≤ máx{d(y, x), d(z, x)} concluimos que d(y, z) ≤ d(x, z). Por su parte, d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)} implica que d(x, z) ≤ d(y, z) (ya que es mayor que la otra alternativa). Luego, d(y, z) = d(x, z). <hr> Ejemplo 4.8.2. En un espacio ultramétrico, <i>cualquier punto de una bola abierta es centro de la bola</i>. <i>Resolución.</i> Sean B = B_r(x), y ∈ B. Probaremos que B_r(x) = B_r(y). Sea z ∈ B. Entonces, d(z, y) ≤ máx{d(z, x), d(x, y)} < r. Es decir que z ∈ B_r(y). Lo que prueba que B_r(x) ⊂ B_r(y). Comenzando con un punto en B_r(y) obtenemos la inclusión inversa. <hr> === Los valores absolutos p-ádicos en los Racionales === En esta sección veremos una familia de valores absolutos para los Racionales que tienen las mismas propiedades formales que el valor absoluto usual, pero con la propiedad adicional de que <center><math> |x+y| \le \max{|x|, |y|}. </math></center> la distancia deducida de tal valor absoluto es una ultramétrica. Sea p un número primo. Es sabido que dado un número primo cualquiera p, cada número entero z no nulo puede representarse como el producto una potencia del primo p con un número relativamente primo con p. <center><math> z = p^r m </math></center> con r &ge; 0 y m no divisble por p. Diremos que el entero no negativo r de la relación anterior es la p--ponderación de m y la denotaremos por ord_p(m). Extenderemos la p--ponderación a los racionales de la manera siguiente: si q=z/w, con z, w tales que ord_p(z) = m y ord_p(w) = n, entonces <center><math> ord_p(q) = ord_p(z) - ord_p(w) = m-n. </math></center> Notemos que si z = p^mx y w = pⁿx , el racional z/w = p^m-n (x/y) con x, y no divisibles por p. <b>Valor absoluto p--ádico.</b> Sea p un número primo y sea | <math>\cdot</math> |_p definido para un racional x como <center><math> |x|_p ;=p^{-ord_p(x)}, </math></center> cuando x &ne; 0, y |0|_p = 0. <b>Ejemplos 4.8.3.</b> Consideremos el caso cuando p = 5. <ol> <li> 35 = 5¹ * 7, luego, ord_p(35)=1, por lo que |35|₅ = 5^-1. <li> 1/25 = 5^-2, luego |1/25|₅ = 5\sup2</sup>. <li> 9 = 5^0 , luego |9|₅= 1. <li> 35/100 = (5 * 7)/ (5² * 4) = 5^-1 )7/4) , luego |35/100|,sub>5</sub> = 5¹. </ol> Notemos que para todo x, |x|_p es un número entero, que es una potencia de p cuando x no es nulo. Llamaremos a |x|_p , el valor absoluto p --ádico de <b>>Q</b>. El nombre de valor absoluto proviene de las propiedades mostradas en la siguiente proposición. Comparar con la propiedades del valor absoluto usual---que en este contexto llamaremos el valor absoluto proveniente del orden. <b>Proposición 4.8.1.(Propiedades del Valor Absoluto p --ádico)</b> <i>Sean x, y números racionales. <ol type="a" > <li> |x|_p &ge; 0. <li> |x|_p = 0 \iff x =0. <li> |-x|_p = |x|_p. <li> |x+y|_p &le; max{|x|_p, |y|_p }. <li> |xy|_p = |x|_p |y_p|. </ol></i> <ul><i> Demostración. </i> Los enunciados UVA1 al UVA3 son triviales. Las propiedades UVA4 y UVA5 ameritan demostraciones explícitas. Sean x, y racionales; si uno de ellos es nulo, los resultados son triviales. Supongamos que ord_p(x) = r y ord_p(y) = s , o sea que x=p^{r} (z/w) , y = p^s(u/v) con z , w , u , v , enteros no divisibles por p. Luego, |x|_p = p^{-r} y |y|_p = p^{-s}. (UV4) Sin perdida de generalidad, podemos suponer que r &le; s. Entonces, <center><math> x+y = p^{r}\frac{z}{w} + p^s\frac{u}{v} = p^r(\frac{z}{w} + p^{s-r}\frac{u}{v}). </math></center> Entonces, <center><math>\frac{z}{v} + p^{s-r}\frac{u}{v} = \frac{zv+ p^{s-r}uw}{vw} = \frac{q}{vw}</math></center> Claramente, p no divide a vw. Supongamos que ord_p(q) = e , con e &ge; 0. Entonces, ord_p(x+y) = r+e. Por lo que, <center><math>|x+y| = p^{-(r+e)} = p^{-r} p^{-e} \le p^{-r} = \max{p^{-r}, p^{-s}} = \max{|x|_p,|y|_p}.</math></center> Lo que prueba la afirmación. (UV5) Como <center><math> xy = p^r\frac{z}{w} \, p^s \frac{u}{v} =p^{rs} \frac{zu}{wv}, </math></center> con zu y wu no son divisibles por p , se tiene que |xy|_p= p^{-(r+s)} ; lo que prueba el resultado. </ul><hr> Notemos que la propiedad UV4 implica inmediatamente una desigualdad triangular, ya que <center><math>|x+y|_p \le |x|_p +|y|_p.</math></center> Lo que justifica la nomenclatura de valor absoluto. Asociaremos con este valor absoluto, la distancia p --ádica en <b>Q</b> , definida como d_{(p)}(x,y) = |x-y|_p. Como <center><math>d_{(p)}(x,y) = |x-y|_p = |(x-z)+(z-y)|_p \le \max{|x-z|_p, |z-y|_p},</math></center> vemos que se trata de una ultramétrica. <b>Observación 8.4. </b> Si llamamos valor absoluto en \Q a cualquier función que asigna a cada racional un número real que cumple las propiedades formales del valor absoluto, se sabe,por un teorema de Ostrowski, que los únicos valores absolutos en <b>Q</b> son esencialmente el valor absoluto usual (asociado al orden) y los p-ádicos de esta sección. Los Racionales provistos de un valor absoluto p--ádico son ejemplos de cuerpos llamados <i>no arquimedianos</i>, ya que se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 4.8.2. </b> <i>Sea p un número primo. Los Naturales como subconjunto de los Racionales no son acotados respecto al valor absoluto asociado al orden, pero son acotados respecto a las normas p--ádicas, ya que se cumple para todo n en <b>N</b> que |n|_p &le; 1. </i> <ul><i> Demostración. </i> Notemos que |0|_p= 0 y que |1|_p = 1. Supongamos que k &ge; 1 y que |k|_p &le; 1. Entonces, <center><math>|k+1|_p \le \max\{|k|_p, |1|_p\} \le 1.</math></center> El resultado sigue por inducción. </ul><hr> Se puede hallar, además de los Racionales con los valores absolutos p--ádicos, otros espacios ultramétricos, pero nuestra exploración de tales espacios acaba, por ahora, aquí, ya que nos interesaban principalmente como ejemplo de las consecuencias posibles de los axiomas de espacio métrico. === Ejercicios 4.8 === <b>A. Suponer que el primo p es igual a 5. </b> <ol> <li> Evaluar ord₅(100) , ord₅(-10!) , ord₅(20) , ord₅(15/23) . <li> Evaluar |100|₅ , |7-3|₅ , |750-625|₅ , |1/9 - (-1/6)|₅ . <li> Probar que un número entero z tiene |x|₅=1 , ssi, z no es divisible por 5. <li> Probar que un número entero z tiene |x|₅<1 , ssi, z es divisible por 5. <li>Probar que q=m/n , m y n relativamente primos, tiene |q|₅ >1 , ssi, n es divisible por 5 . <li> Si |x-a|₅ < |a|₅ entonces |x|₅ = |a|₅ . </ol> <b> B. Bolas abiertas, cerradas y esferas en <b>Q</b> con el valor absoluto 5 --ádico.</b> <ol> <li> Verificar que los valores posibles del valor absoluto 5 --ádico son las potencias enteras de 5 o 0. <li> Probar que B(0;8) = B(0,5) = B[0;1] . <li> Probar que S(0;8) es vacío. <li> Probar que el diámetro de B(0;1) es 1. </ol> <b>C. Suponer que E es un espacio ultramétrico. </b> <ol> <li> El diámetro de una bola es menor o igual que su radio. <li> Cuando dos bolas (abiertas o cerradas) tienen un punto en común, entonces una de ellas está contenida en la otra. <li> Cualquier punto de una bola cerrada es centro de la bola. </ol> == Ejercicios del Capítulo 4 == <ol> <li> Cuando un punto p pertenece a un conjunto A, entonces d(p,A) = 0. ¿Es válido el recíproco? <li>. Sea < E, d > un espacio métrico. Sea <math> d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}.</math> Probar que d′ es una distancia en E. (Sug. Para la desigualdad triangular, escriba lo que desea probar, luego expanda y simplifique.) Probar, además, que para todo x, y en E, d′(x, y) < 1. <li> Sea BS(<b>R</b>) el conjunto formado por todas las sucesiones acotadas en E. <ol type = "a" > <li> Probar que la suma término a término y el producto de constante por cada término proveen a BS(<b>R</b>) de una estructura de espacio vectorial (ver definición en el capítulo 3). <li> Definir d((x_n), (y_n)) := sup{d(x_n, y_n) : n ∈ N}. d en una métrica en BS(<b>R</b>). </ol> <li> Sea X un espacio métrico discreto y E un espacio métrico cualquiera, ¿cuándo una función f : X &rarr; E es continua? <li> Sea f : E &rarr; <b>R</b> una función continua en un punto p de E. <ol type = "a" > <li> f es acotada en una vecindad de p. <li> Si f(p) &ne; 0, hay una vecindad V de p tal que x en V implica que f(x) tiene igual signo que f(p). </ol> <li> Sea f: E &rarr; E' una isometría. <ol type = "a"> <li> La imagen por f de una bola abierto (resp. cerrada) es una bola del mismo typo y de igual radio. <li> La imagen de un conjunto de diámetro D tiene el mismo diámetro. <li> La imagen de un conjunto acotado es acotado. <li> ¿Qué otras "cosas" son preservadas por las isometrías? </ol> </ol> <!-- == Resumen == %Léxico: distancia, espacio métrico, subespacio métrico, norma. 04/14/16 || 05/02/16 || 09/25/16 --> <!-- 03/22/2018 Ortografía --> <!-- 03/24/2019 Ortografía + p--adicos --> [[Categoría:Espacios Métricos]] p15z1piblfoblteaz08hltk21lbiqyo 0 53419 423016 421035 2025-07-04T19:05:44Z Rehernan 55364 /* Los Reales */ 423016 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los mátemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math>\scriptstyle \N</math> o <b>N</b>. <center><math>\scriptstyle \N = {0,1,2 \dots }.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S= <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\scriptstyle \Z</math> o <b>Z</nb> está formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</i> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, caundo x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <B>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math>\scriptstyle \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. oo98ibheyiv4g6ti51pfingsus9jug0 423017 423016 2025-07-04T19:06:23Z Rehernan 55364 /* Los Reales */ 423017 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math>\scriptstyle \N</math> o <b>N</b>. <center><math>\scriptstyle \N = {0,1,2 \dots }.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S= <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\scriptstyle \Z</math> o <b>Z</nb> está formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</i> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, caundo x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <B>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math>\scriptstyle \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. 6g2s21ms7duwnqerds98kzkq9fz9oak 423018 423017 2025-07-04T19:12:47Z Rehernan 55364 /* Subconjuntos */ 423018 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math>\scriptstyle \N = {0,1,2 \dots }.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</i> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, caundo x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <B>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math>\scriptstyle \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. qj56wc4qsz0bs2wf9m9tsutnswqh5vf 423019 423018 2025-07-04T19:16:23Z Rehernan 55364 423019 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math>\scriptstyle \N = {0,1,2 \dots }.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</i> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math>\scriptstyle \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. 4jn1ixtlkmot1ms6ybld5jwwqwand35 423020 423019 2025-07-04T19:17:02Z Rehernan 55364 /* Subconjuntos */ 423020 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math>\scriptstyle \N = {0,1,2 \dots }.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</b> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math>\scriptstyle \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. t670tgamos4c7i4dh9qwa0u9cmjtfwx 0 54070 423021 421057 2025-07-04T21:42:06Z Rehernan 55364 423021 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Productos y Cocientes |anterior=Espacios Topológicos |siguiente=Conexos }} </noinclude> __TOC__<!--- \chapter{ESPACIOS PRODUCTOS Y COCIENTES}\label{chProductos} --> Capítulo ESPACIOS PRODUCTOS Y COCIENTES Recordemos que espacio quiere decir espacio topológico, a menos que se indique algo distinto. == Introducción == Este capítulo está dedicado a la construcción de nuevos espacios a partir de espacios dados. Una construcción básica es la de subespacio, que vimos en el capítulo anterior. En este capítulo, veremos en la sección 9.3 como proveer de topología a un producto cartesiano de espacios. Luego, veremos en la sección 9.4 como proveer de topología a un conjunto cociente de un espacio. Finalmente, en la sección 9.5, veremos algunas construcciones interesantes. == Los Espacios Productos == El producto cartesiano de conjuntos nos permite formar un conjunto a partir de dos o más conjuntos. Hemos vistos celdas en <b>R²</b> que son producto de dos intervalos reales. La representación gráfica de tal producto es un rectángulo con <i>lados</i> los intervalos factores. Tal representación nos es familiar y resulta adecuada y confiable para muchos aspectos. Consideremos sin embargo, la siguiente situación A ={a,b,c}, a, b, c arbitrarios, y B un segmento rectilíneo tal como [0,1] ¿cuál de las siguientes representaciones gráficas es la más adecuada? [[File:Fig09-00.jpg|center|Productos Cartesianos|300px]] La respuesta lógica es cualquiera de ellas, no hay nada que nos indique lo contrario. Simplemente, usos tradicionales pueden favorecer una de ellas. <b>Ejemplo 9.2.1 (Cilindro) </b> Si tomamos el producto cartesiano de la circunferencia unitaria <b>S</b>¹ del plano con un intervalo, digamos [0,1], queremos pensar tal producto como un cilindro (sin tapas). Ver la siguiente figura [[File:Cílndro-CP.jpg|center|Cílindro como producto cartesiano|300px]] <center>Figura 9.1: Cílindro como producto cartesiano</center> Sin embargo, las consideraciones anteriores nos dicen que va a depender de como se ubiquen los segmentos respecto a la circunferencia, queremos para un mismo ''y'' del segmento, los puntos (x₁,y) y (x₂,y) estén próximos cuando x₁ y x₂ lo estén en la circunferencia. En otras palabras, necesitamos una topología que <i>pegue</i> continuamente a los segmentos sobre la circunferencia. <hr> === El Producto Cartesiano de Conjuntos === Antes de introducir topología en un producto de espacios, revisaremos alguno hechos acerca del producto de conjuntos. Nos interesa considerar la generalización del producto de dos elementos a un producto de una familia cualquiera de conjuntos. Supongamos que tenemos una familia <ref>Suponemos a menos que se diga lo contrario que las familias no son vacías.</ref> de conjuntos (X_i), i &isin; I. Cuando uno de los X_i sea vacío el producto será el conjunto vacío. En caso contrario, llamamos <b>producto</b> (cartesiano) de los X_i's al conjunto denotado por <center><math> \prod_{i \in I} X_i</math></center> y definido como el conjunto formado por todas las familias (x_i), i &isin; I, tales que x_i, es un elemento de X_i <ref>Suponemos la existencia de tales familias. Formalmente, para un conjunto de índices arbitrario, tal suposición requiere de un axioma especial llamado <i>Axioma de Selección</i>.} Cada uno de los X_i's es un <i>factor</i> del producto. Si k está en I, y x=(x_i) es un elemento del producto, decimos que x_k es la <i>coordenada</i> o <i>componente</i> k (o k--ésima) de x. El producto anterior se presenta acompañado de una familia de funciones: las <i>proyecciones</i>, pr_i :X &rarr; X_i, que asocian a cada punto del producto, su i--ésima coordenada. Claramente, esta noción de producto es una generalización del producto cartesiano usual, ya que podemos considerar a un par (x₁, x₂) como una familia con conjunto de índices I = {1,2} tal que x_i está en X_i. El producto cartesiano tiene la siguiente propiedad universal. <b>Proposición (Propiedad Universal del Producto Cartesiano) </b></i> Sea (X_i), i &isin; I una familia de conjuntos no vacíos y sea X su producto, con las proyecciones pr_i. Sean Z un conjunto y f_i :Z &rarr; X_i, i &isin; I, una familia de funciones. Entonces, hay una única función f: Z &rarr; X tal que pr_i ◦ f = f_i (*). </i> [[File:Universal del Producto.jpg|center|Propiedad Universal del Producto]] <ul><i>Demostración. </i> Sigue de la relación (*) que tal f debe cumplir con f(z) = (f_i(z)) lo que muestra su unicidad y existencia. </ul> {{QED}} <hr> === Los Espacios Productos === Volvamos a la consideración del rectángulo R = [a,b] x [c,d] (o región rectangular, si se prefiere) que representamos gráficamente en la figura 9.2. [[File:Rectángulo.jpg|thumb|Figura 9.2: Región Rectangular]] Esa representación, que es estándar, tiene varios supuestos implícitos. En primer lugar, suponemos que el rectángulo R esta contenido en un plano. En segundo lugar hay una suposición de preservación de <i>cercanías</i>. Dos puntos, digamos (x₁,y₁) y (x₂,y₂) están próximos en la representación, cuando sus primeras coordenadas (x₁ y x₂) y sus segundas coordenadas (y₁ y y₂) lo están. Esto quiere decir que tenemos asociada a la imagen una topología. Puntos próximos en los factores, generan puntos próximos en el producto. Con esta idea en mente, veremos como, de forma general, podremos asociar una topología en el producto cartesiano de dos espacios topológicos que esté relacionada con la topología de los factores. La construcción que haremos tiene muchos usos en geometría y topología. <br> Sean X₁, X₂ espacios y sea X = X₁ x X₂. Sean pr_i : X₁ x X₂ &rarr; X_i, (x₁,x₂) &#8614; x_i, i=1,2. las proyecciones naturales del producto en sus factores. Las consideraciones intuitivas de la discusión anterior sugieren que debemos poner una topología en el producto de manera tal que esas funciones sean continuas. Naturalmente la topología discreta en el producto haría esas funciones continuas, pero no sería muy útil, ya que las proyecciones y cualquier otra función serían continuas; por lo que no habría una relación natural entre la topología de los factores y aquella del producto. Por lo que definiremos como <b>topología producto</b> a la topología menos fina entre las topologías que hacen que las proyecciones sean continuas. Es decir que las preimágenes de abiertos de los factores serán abiertos en el producto. Con esa definición, resulta que las <i>celdas</i> serían intersecciones de abiertos como los anteriores. En efecto, cuando U₁ y U₂ sean abiertos de X₁ y X₂ respectivamente, U₁ x U₂ es un abierto en X₁ x X₂, ya que <center><math>U_1 \times U_2 = (U_1 \times X_2) \cap (X_1 \times U_2) = pr_1^{-1}(U_1) \cap pr_1^{-1}(U_2).</math></center> La topología producto deberá tener, por lo tanto, a las preimágenes de los abiertos de los factores como una subbase. <br> La definición anterior de producto puede generalizarse fácilmente a una familia finita de espacios topológicos. ¿Qué pasa cuando tenemos una familia arbitraria (<X_i, T_i>), i &isin; I, de espacios topológicos? Siguiendo lo hecho con el producto cartesiano de dos conjuntos, definimos la siguiente topología producto general. {{DefRht|Topología Producto| Sea (X_i), i &isin; I, una familia no vacía de espacios no vacíos y sea X su producto de conjuntos. Llamamos <b>topología producto</b> de X a la topología menos fina tal que las proyecciones sean continuas. Llamamos <b>espacio topológico producto</b> de los X_i's a X provisto con esta topología. }} Sea X = &prod;_i X_I el espacio topológico producto de los X_i's. La definición implica lo siguiente. <ol> <li> Para cada abierto U de X_k, pr_k^-1(U) es abierto en X. Tales preimágenes, con k en I cualquiera, forman una <i>subbase</i> de la topología del producto. <li> Cada intersección <i>finita</i> de cada uno de esos abiertos se llama un <i>abierto básico</i>, porque forman una base de la topología producto. <li> Un abierto del producto es un producto &Pi;_{i &isin;}U_i, donde cada U_i es un abierto en X_i, igual a X_i, excepto por una <b>cantidad finita</b> de los U_i's. (Recordemos que solamente las intersecciones de finitos abiertos tienen garantía de ser abiertos.) <li> Cuando U es un abierto de X, se cumple que pr_i(U) (por la observación anterior) es un abierto de X_i; o sea que las proyecciones son funciones abiertas <li> Tomando complementos, resulta que un conjunto cerrado es un producto prod_i F_i donde los F_i son cerrados en X_i, iguales a X_i, excepto para una cantidad finita de los i. <li> Cuando tenemos un producto de una familia finita de conjuntos, un abierto del producto es un producto de abiertos de los factores. Análogamente para los conjuntos cerrados. </ol> <b>Proposición (Propiedad Universal del Producto Topológico)</b><i> Sea (X_i), i &isin; I, una familia de espacios topológicos y sea f_i :Z &rarr; X_i, i &isin; I, una familia de funciones continuas. Entonces, hay una única función continua f: Z &rarr; &prod;_i X_i tal que pr_i o f = f_i, para todo i.</i> [[File:Universal del Producto.jpg|thumb|Propiedad Universal del Producto]] <ul><i>Demostración. </i> La existencia y unicidad de f proviene de la propiedad universal del producto cartesiano de conjuntos. Solamente necesitamos probar que f es continua. Sea U un abierto tal que U = pr_i^-1(V), V un abierto de X_i---es decir que U es un abierto de la subbase que define al producto. Entonces, <center><math>f^{-1}(U) = f^{-1}( pr_i^{-1}(V))= ( pr_i \circ f)^{-1})(V) = f_i^{-1}(V).</math></center> Lo que prueba que f^-1(U) es un abierto. La continuidad de $f$ sigue, entonces, de la proposición 8.4.4 parte (a), que garantiza la continuidad cuando se la comprueba la continuidad para los abiertos de una subbase. </ul> {{QED}} <hr> <!--\label{coro0901} --> <b>Corolario 9.3.2 </b> <i>El producto topológico es único, excepto por homeomorfismo. </i> <ul><i>Demostración. </i> Sean P y P' productos topológicos de una familia X_i de espacios topológicos. Sigue de la proposición anterior aplicada a P como producto que hay una función continua f:P' &rarr; P tal que pr_if= { pr_i}'. Simétricamente, tenemos una función continua g: P &rarr; P' tal que { pr_i}'g = pr_i. De donde se deduce que <br /> pr_i fg = pr_i'g = pr_i Por la unicidad de la función anunciada por la proposición tenemos que fg=id_P. Análogamente, gf=id_P'. Luego, f y g son biyectivas, continuas, una inversa de la otra, por lo que son homeomorfismos. </ul> {{QED}} <hr> <b>Corolario 9.3.3 </b><i>Sea f: Z &rarr; X una función de un espacio en el producto X = prod_i X_i. Entonces, f es continua, ssi, la composición de f con cada proyección es continua. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. (Mirar la demostración de la proposición 6.5.5) </ul> {{QED}} <hr> === Producto de Funciones === Sean f_i : X_i &rarr; Y_i, i=1,2, un par de funciones. Llamamos producto cartesiano de esas funciones a la función de X₁ x X₂ &rarr; Y₁ x Y₂ denotada por f₁ x f₂ y tal que (f₁ x f₂) (x₁, x₂) := (f₁(x₁), f₂(x₂)). <b>Proposición 9.3.4 </b><i>El producto cartesiano de dos funciones continuas (resp. abiertas) es un función continua (resp. abierta). </i> <ul><i>Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> {{Caja| <center>Pregunta Fundamental</center> Cuando X y Y tienen una cierta propiedad topológica ¿qué podremos decir de su producto? }} === El Conjunto de Cantor === Presentamos en esta sección a un subconjunto muy interesante de los Reales, que usaremos para ejemplos y ejercicios más adelante. Resultará que el llamado "conjunto de Cantor'' será una extraordinaria figura plana, que por su estructura parecerá desafiar algunas de nuestras intuiciones geométricas preconcebidas---que están usualmente basadas en nuestras intuiciones preconcebidas a partir de los espacios Euclídeos de dimensiones 2 y 3. Presentaremos inicialmente tres objetos geométricos, que posteriormente veremos son homeomorfos entre sí. La primera versión es un producto infinito de espacios topológicos. <br> <b>Producto de Espacios Discretos.</b> Sea A_n = {0,2}, n &ge; 1, una familia de espacios, todos iguales entre si, con dos elementos y la topología discreta. Sea {{Eqn|<math>C_P = \prod_{n \ge 1} A_n. </math>}} <b>Expansiones Ternarias Especiales. </B>Sea {{Eqn|<math>C_3 = \{ \sum _{n \ge 1} \frac{a_i}{3^n} : a_i = 0,2 \}. </math>}} Podemos pensar a C₃ como las expansiones ternarias (es decir, usando 3 en lugar de 10) para las expansiones de los números reales en [0,1] donde la cifra 1 no aparece. Recordemos que en las expansiones decimales (base =10) se cumple que 0.9999 ... = 1, lo que permite exigir unicidad en la representación, cuando las expansiones decimales finitas se reemplazan usando la igualdad anterior, para tener siempre expansiones decimales infinitas no nulas para los racionales diferentes de 0. <center><math>1= 0.9999 \dots; \quad 1/2 = 0.5 = 0.49999 \dots 1/10 = 0.1 = 0.09999 \dots</math></center> Análogamente se tiene en expansión ternaria que 0.22222₃ =1 . En efecto, 0.2222 ... ₃ es una serie geométrica de razón 1/3 con termino inicial 2/3, por lo que su suma es igual a <center><math>\frac{2}{3} * \frac{1}{1- 1/3} = 1.</math></center> Adoptando el convenio anterior, reemplazaremos expansiones ternarias finitas o adonde aparezca unj 1, por expansiones infinitas con ... 2222 ...₃, excepto para el 0. Se tiene que C₃ representa a todos los números reales en [0,1] cuya expansión ternaria no contiene 1's. Notemos que la correspondencia <math>(a_n) \mapsto \sum_n (a_n/3^n)</math> es una biyección de C_P en C₃. <b>Presentación Gráfica. </b> Esta presentación es más fácil de visualizar. Se basa en el siguiente procedimiento de división de un intervalo cerrado: dividir al a intervalo cerrado en tres partes iguales, y eliminar el interior de los subintervalos del centro para quedarse con los intervalos cerrados de los extremos. Para la construcción empezamos con el intervalo [0,1] y aplicamos el prpcedimentyo a es intervalo. Continuamos aplicando reiteradamente a cada intervalo cerrado que vaya apareciendo. [[File:Conjunto de Cantor.jpg|center|Conjunto de Cantor]] <!--- \begin{figure}[ht] <center> &isin;put{./Figuras/fig0903}% %&isin;cludegraphics[bb=0 0 380 102, scale=1]{./Figuras/fig0903.jpg} </center> &cap; tion{Conjunto de Cantor} \label{fig0903} % \rotatebox[origin=c]{180}{text} \end{figure} --> El proceso comienza con el intervalo I = [0,1]. Aplicando el procedimiento descrito, obtenemos <center><math>F_1 =[0,1/3] \cup [2/3,1].</math></center> Dividamos cada uno de los intervalos de F₁ y formemos F₂ como arriba, o sea excluyendo el interior del subintervalo del centro. Es decir que, <center><math>F_2 = [0,1/9] \cup [2/9, 1/3] \cup [2/3, 7/9] \cup [8/9,1].</math></center> Continuando de esta manera, generamos una sucesión (F_n) de conjuntos cerrados en <b>R</b>. Llamamos <b>Conjunto de Cantor</b> a la intersección de todos los F_n y que simbolizaremos aquí por <math>\mathcal C</math>. ¿Qué podemos decir de <math>\mathcal C</math>? Después de todas las exclusiones,¿quedará algo? Observemos que los puntos de los extremos de los subintervalos son preservados en las sucesivas divisiones, así que 1/3, 1/9, ..., 1/3^n, ... son todos puntos de <math>\mathcal C</math>. No son los únicos puntos como se puede verificar. En F₁ están todos los números tales que la primera cifra de su expansión ternaria no es 1. Recordemos que 1/3 = 0.02222...₃. En F₂ se eliminan todos los números cuya segunda cifra en la expansión ternaria es 1. y así sucesivamente. Lo que muestra que este conjunto coincide con C₃ Como cada F_n es una reunión finita de intervalos cerrados, F_n es cerrado. Por lo que su intersección, <math>\mathcal C</math> es un subconjunto cerrado de [0,1] &sub; <b>R</b>. Sea &alpha; un punto de <math>\mathcal C</math>, entonces cualquier intervalo abierto centrado en &alpha; contiene números cuya expansión ternaria tiene al menos un 1, por lo que ese intervalo no puede estar contenido en <math>\mathcal C</math>. Es decir que el conjunto de Cantor no tiene puntos interiores (o sea que es nunca denso). Computemos el largo de la reunion de intervalos removidos, sumando los largos de los segmentos removidos. <center><math>L= \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{8}{3^4} +\dots.</math></center> La serie es geométrica con razón 2/3 y término inicial 1/3, luego <center><math>L = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 1.</math></center> Ese resultado implica que el largo de lo que queda, que debe ser igual al largo del segmento [0,1], o sea 1, menos el largo de lo removido, lo que nos dice que el largo del conjunto de Cantor debe ser 1-1=0. !!!!! <b>Cardinalidad. </b>La cantidad de elementos del conjunto de Cantor es infinita, como fue observado anteriormente. Sin embargo, se trata de un infinito comparable al de los Reales, que es mayor que el infinito de los Naturales. Para ver lo anterior, basta considerar cada expansión ternaria de un elemento de <math>\mathcal C</math> <center><math>0.a_1a_2a_3 \dots </math></center> y cambiar cada 2 que allí aparece por 1. El resultado son todas las expansiones binarias (base 2) de los números en [0,1], que muestra lo indicado. <b>Largo del Conjunto de Cantor}.</b> El Conjunto de Cantor es un subconjunto de los reales que contiene infinitos números entre 0 y 1, ambos extremos incluidos. Resulta natural preguntarse por su largo. Computaremos dicho largo, mirando al largo de su complemento, que restaremos de 1 (el largo del intervalo [0,1]). <br> Computemos el largo de la reunion de intervalos removidos, sumando los largos de los segmentos removidos. {{eqn|<math> L= \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{8}{3^4} +\dots.</math>}} La serie es geométrica con razón 2/3 y término inicial 1/3, luego {{eqn|<math> L = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 1. </math>}} El largo del Conjunto de Cantor debe ser igual al largo del segmento [0,1]---o sea 1---menos el largo de lo removido, o sea 1-1=0. !!!!! === Ejercicios 9.3 === Cuando Z = X x Y, pr_X, pr_Y denotan las proyecciones sobre X (Z &rarr; X) y sobre Y (Z &rarr; Y), respectivamente. <ol> <li> (Propiedades del Producto de Conjuntos) Sean A, A₁, A₂ &sub; X y B, B₁, B₂ &sub; Y. Se cumple que <ol type="a"> <li> (A₁ &cup; A₂) x B = (A₁ x B) &cup; (A₂ x B). <li> (A₁ &cup; A₂) x (B₁ &cup; B₂) = (A₁ x B₁) &cup; (A₁ x B₂) &cup; (A₂ x B₁) &cup; (A₂ x B₂). <li> (A₁ &cap; A₂) x B = (A₁ x B) &cap; (A₂ x B). <li> (A₁ x B₁) &cap; (A₂ x B₂) = (A₁ &cap; A₂) x (B₁ &cap; B₂). <li> (A₁ x B₁) \ (A₂ x B₂) = (A₁ \ A₂) x B₁ &cap; A₁ x (B₁ \ B₂). <li> (A x B)^c = A^c x Y &cup; X x B^c. </ol> <li> Sea A &sub; X, entonces pr_X^-1(A) = A x Y &sub; X x Y. <li> (Funciones y Producto Cartesiano) Sea f:X &rarr; Y. Llamamos <i>gráfico</i> de f al subconjunto &Gamma; _f de X x Y tal que <center><math> \Gamma_f := \{(x, f(x)) | x \in X\}.</math></center> <ol type="a"> <li> Un subconjunto Z de X x Y es el gráfico de una función X &rarr; Y, ssi, para todo a en X se cumple que Z &cap; {a} x Y contiene exactamente un punto. <li> Sea f:X &rarr; Y, A &sub; X, B &sub; Y. <ul> <li> f(A) = pr_Y ( &Gamma; _f &cap; (A x Y )) = pr_Y ( &Gamma; _f &cap; pr_X^-1 (A)). <li> f^-1(B) = pr_X( &Gamma; _f &cap; (X x B)). </ul> <li> La restricción de pr_X a &Gamma; _f es una biyección. <li> La restricción de pr_Y a &Gamma; _f es inyectiva, ssi, f es inyectiva. </ol> <li> Sea H la hipérbola {(x,y): xy=1}. Probar que H es cerrado en <b>R²</b>, pero que su proyección en el eje X no lo es. Es decir que las proyecciones canónicas no son funciones cerradas. <li> Sean X, Y y Z espacios topológicos. Probar los enunciados siguientes. <ol type="a"> <li> X x Y &cong; Y x X. <li> X x (Y x Z) &cong; (X x Y) x Z &cong; X x Y x Z. <li> X x {p} &cong; X. <li> X &cong; Y &rArr; X x Z &cong; Y x Z. </ol> <li> Probar que <b>Rⁿ</b> con la topología usual es homeomórfico con el producto de n copias de <b>R</b>. Análogamente, el cubo unitario <b>Iⁿ</b> (como subespacio de <b>Rⁿ</b>) es homeomorfo al producto de n copias del intervalo I=[0,1]. <li> Probar que f:X &rarr; Y es continua, ssi, la proyección de X x Y sobre X restringida a &Gamma;_f es continua. <li> Sea W &sub; X x Y. Si W es abierto entonces pr_X(W) es abierto. Concluir que las proyecciones son funciones abiertas. ¿Son funciones cerradas? <li> Sea Z = X x Y. Sean A &sub; X y B &sub; Y. <ol type="a"> <li> A x B es abierto en Z, ssi, A es abierto en X y B es abierto en Y. <li> A x B es cerrado en Z, ssi, A es cerrado en X y B es cerrado en Y. <li> Cl(A x B) = Cl(A) x Cl(B). <li> ¿Será cierto que Int(A x B) = Int(A) x Int(B)? <li> ¿Será cierto que Fr(A x B) = Fr(A) x Fr(B)? En caso negativo, hallar una fórmula para Fr(A x B)? </ol> <li> Los resultados del ejercicio anterior se pueden generalizar al producto cartesiano de una cantidad finita de espacios topológicos. ¿Cuáles, si alguna, se pueden generalizar a un producto arbitrario de espacios topológicos? <li> Probar que el producto de dos espacios Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea C el conjunto de Cantor. Probar que <ol type="a"> <li> C no interseca a ]1/2,2/3[. <li> C no interseca el intervalo <math> ]\frac{3s+1}{3^k} ,\frac{3s+2}{3^k}[</math> para cualquier par de enteros s y k. </ol> <li> Probar que el espacio de Cantor no es un espacio discreto, pero que su topología coincide con la topología producto (proyecciones son continuas). <li> El ejercicio anterior muestra que el producto de infinitos espacios discretos no es necesariamente discreto. ¿Qué pasa con un producto finito de espacios discretos? </ol> == Los Espacios Cocientes == === Conjuntos Cocientes === Sea X un conjunto no vacío y R una relación de equivalencia en X (o sea que es reflexiva, simétrica y transitiva). Llamamos <i>R--clase de equivalencia</i> o simplemente <i>clase de equivalencia</i> de un elemento x de X, al subconjunto de X denotado por [x] y que está formado por todos los y en X que son equivalentes (respecto a R) con X. Cada elemento de una clase de equivalencia se denomina un <i>representante</i> de la clase. <br> Las clases de equivalencia forman una partición de X, o sea una colección de subconjuntos no vacíos disjuntos entre si y cuya reunión es todo el conjunto. En efecto, como cada x está en [x] (reflexividad) se tiene que las clases de equivalencia no son vacías y que su reunión es igual a X. Supongamos que z fuera un elemento tanto de [x] como de [y]. Entonces, para todo w en [x] se cumple que w &sim; x, x &sim; z y z &sim; y, luego z &sim; y, o sea que w está en [y]. Conclusión, [x] &sub; [y]. Por la simetría de la situación, tenemos que [y] &sub; [x], por lo que concluimos que [x] = [y]. <br> Llamamos <b>partición}</b> de un conjunto X a una familia de subconjuntos no vacíos de X disjuntos dos a dos y cuya reunión es todo el conjunto. <br> Los resultados anteriores muestran que cada relación de equivalencia en un conjunto induce una partición del conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación. <br> Supongamos ahora que tenemos una partición <math>\mathcal P</math> de X. Esa partición define una relación de equivalencia en el conjunto de la manera siguiente. Dos elementos están relacionados cuando, y solo cuando, pertenecen al mismo subconjunto de la partición. Cada conjunto de la partición es entonces una clase de equivalencia respecto a esa relación. <hr> Sea X un conjunto cualquiera no vacío y R una relación de equivalencia. Llamamos <b>conjunto cociente</b> de X por la relación R al conjunto formado por todas las clases de equivalencias de R, al que denotamos por X/R. La función &nu; de X en X/R que asigna a cada x de X su clase de equivalencia se llama <b>suprayección canónica</b> o <b>natural</b>. o también la <b>función cociente</b>. <b>Ejemplo 9.4.1 </b> Sea f:X &rarr; Y un función cualquiera. Definimos una relación x &sim;_f y en X cuando f(x)= f(y). Es fácil ver que se trata de un relación de equivalencia que denotamos por &sim;_f o R_f. Las clases de equivalencia son las preimágenes f^-1(y), donde y está en f(X). Denotaremos al conjunto cociente por X/f. <hr> El conjunto cociente tiene la siguiente propiedad universal. <b>Proposición (Propiedad Universal del Conjunto Cociente) </b> Sea &sim; una relación de equivalencia en un conjunto X y sea <i>&nu;</i> : X &rarr; X/ &sim; la suprayección canónica. Sea f:X &rarr; Y una función compatible con la relación de equivalencia---es decir que x &sim; y &rArr; f(x) = f(y), o equivalentemente f es constante en las clases de equivalencia. Entonces, hay una única función inyectiva f^*: X/ &sim; &rarr; Y tal que f^* ° &nu; = f cuya imagen es f(X). Cuando la función f es suprayectiva, f^* es biyectiva. </i> [[File:Universal del Cociente.jpg|thumb|Propiedad Universal del Cociente]] <ul><i> Demostración. </i> En order de que f^* o &nu; = f, se debe cumplir que f^*([x]) = f(x). Solamente es necesario verificar que tal definición no depende del representante escogido en la clase [x]. Observemos que cuando y está en [x] se cumple, por las hipótesis, que f(y) = f(x), lo que prueba que f^* está bien definida. Notemos que f^*([x]) = f^*([y]) implica que f(x) = f(y). Lo que, a su vez, implica que [x]=[y]. Esto prueba la inyectividad de f^*. Claramente si f es suprayectiva, se tiene que para todo y en Y, hay un x en X con f(x)= y, lo que implica que f^*([x]]) = y, probando la suprayectividad de f^*. </ul> {{QED}} <hr> <b>Nomenclatura.</b> La función f^* se dice que es la función <i>deducida</i> de f por <i>paso al cociente</i>. <b>Ejemplo 9.4.2 </b>Sea g:X &rarr; Y un función <u>suprayectiva</u> cualquiera. El conjunto Y puede identificarse (como conjunto) con el conjunto cociente X/g. En efecto, por paso al cociente de g, se tiene que la función g^* :X/g &rarr; Y es una biyección. <hr> <b>Ejemplo 9.4.3 </b>Definamos una relación &sim;_<b>Z</b> en <b>R</b> tal que x &sim;_<b>Z</b> y , ssi, x-y es un número entero. Claramente, esa relación es de equivalencia. Denotaremos por <b>R</b>/<b>Z</b> al correspondiente conjunto cociente. Consideremos ahora a una función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> periódica con (menor) periodo igual a 1, o sea tal que para todo t se cumple que f(t+1) = f(t). Probaremos que x &sim;_f y &hArr; x &sim;_<b>Z</b> y. Debemos probar que para cualquier t, cuando m sea entero se cumplirá que f(t+m) = f(t) (*). Tal resultado es evidente si m=0 o m=1. Supongamos que m >0 y que se sabe que f(t+m) = f(t). Entonces, f(t+(m+1)) = f((t+m) + 1 ) = f(t+m) = f(t). Por inducción, tenemos entonces que la relación (*) es válida cuando m es positivo. Sea m <0, entonces f(t+m) = f(t+m + (-m)) = f(t); lo que concluye la prueba. Por lo tanto, las clases de equivalencia de ambas relaciones coinciden, por lo que sus conjunto cocientes coinciden? ¿Qué más podemos decir del conjunto cociente <b>R</b>/<b>Z</b> (= <b>R</b>/f)? Esperemos a estudiar la topología de la situación. <hr> === Cocientes Topológicos === Sea X un espacio. Una relación de equivalencia R en X o lo que es lo mismo una partición (a veces llamada <i>descomposición</i> en algunos textos de Topología) definen un conjunto cociente, X/ R y una suprayección <br> &nu;: X &rarr; X/R. Nuestro propósito es dotar a X/R con una topología que haga que la suprayección canónica sea continua. Claramente la topología indiscreta cumple con esa condición, pero no es la más interesante, ya que no refleja nada especial de la partición La respuesta adecuada será la topología cociente que definiremos a continuación. {{DefRht|Topología Cociente| Sean &nu;: X &rarr; X/R como arriba. Llamamos <b>topología cociente</b> a la topología más fina que hace que &nu; sea continua. Esto es, la topología que contiene a todas las otras topologías en que &nu; es continua. Esto implica, que un subconjunto U de X/R es abierto, ssi, su preimagen por &nu; es abierto en X. En tal situación decimos que X/R es el <b>espacio cociente</b> relativo a la relación R o también respecto a la función cociente &nu;. }} Es usual en Topología, llamar <b>identificación</b> a cualquier función f:X &rarr; Y entre espacios tal que la topalgia de Y sea tal que un subconjunto de A es abierto, ssi, f^-1(A) es abierto. Esto implica que f es continua y que la topología de Y coincide con la topología de X/f, o sea que Y &cong; X/f. La propiedad universal de los conjuntos cocientes produce una propiedad universal semejante para los espacios cocientes. <b>Proposición 9.4.2 (Propiedad Universal de los Espacios Cocientes) </b><i> Sea R una relación de equivalencia en el espacio topológico X. Sea &nu; la suprayección canónica sobre el espacio cociente X/R. Sea f:X &rarr; Y una función continua compatible con la relación R, o sea tal que x R y implica que f(x) = f(y). Entonces, hay una única función inyectiva <b>continua</b> f^* : X /R &rarr; Y tal que f = f^* o &nu;. Tal función es biyectiva cuando f es suprayectiva. </i> <ul><i> Demostración. </i> La existencia de la función f^* sigue de la propiedad universal de los conjuntos cocientes. Necesitamos tan sólo mostrar que se trata de una función continua. Sea V un abierto de Y y consideremos f^-1(V), como f es continua se trata de un abierto de X. Por la descomposición, f = f^* o &nu;, tenemos que <center><math>f^{-1}(V) = \nu^{-1}(f^*)^{-1}(V)).</math></center> Lo que muestra que {f^*}^-1(V) es abierto, probando la continuidad de f^*. </ul> {{QED}} <hr> Veremos, en ejemplos, que aunque f sea suprayectiva, la función f^* no es necesariamente un homomorfismo, a pesar de ser biyectiva. <b><i>Advertencia.</i></b> Las topologías cocientes pueden, a pesar de la simpleza de su definición, ser bastante patológicas. <b>Ejemplo 9.4.4 </b>Sean X = [0,2] &sub; <b>R</b>, Y={0,1} y sea f:X &rarr; <b>R</b> tal que f(x) = 0 si x está en [0,1[ y f(x) = 1 si x está en [1,2]. El espacio cociente X/f tiene dos elementos, la clase del 0 y la clase del 1. ¿Cómo es la topología de X/f. Como &nu;^-1([0]) = [0,1] se tiene que el conjunto que contiene solamente a la clase del 0 es un abierto en X/f. Vemos entonces que la clase del 1 es cerrado. Así que X/f tiene la topología de Sierpinski. Notemos que f^* es biyectiva, pero no es un homeomorfismo que Y (como subespacio de <b>R</b> tiene la topología discreta que es diferente de aquella de Sierpinski. Notemos que si f^* es la función obtenida de f por paso al cociente, se tiene que f*([0]) = 0 y f^*([1]) = 1; lo que muestra que f^* es biyectiva, pero no es un homeomorfismo por la diferencia de las topologías. <hr> El siguiente lema muestra que la condición sobre los abiertos de la topología cociente tiene una contrapartida equivalente con cerrados. <b>Lema 9.4.3 </b><i> Sea f:X &rarr; Y una función entre espacios cualesquiera. Las siguientes propiedades son equivalentes. <ol type="a"> <li> Un subconjunto A de Y es abierto en Y, ssi, f^-1(A) es abierto en X. <li> Un subconjunto A de Y es cerrado en Y, ssi, f^-1(F) es cerrado en X. </ol> </i> <ul><i>Demostración. </i> Para cualquier función f:X &rarr; Y y subconjunto Z de Y se cumple que <center><math>f^{-1}(Y \ Z) = X \ f^{-1}(Z).</math></center> De donde se obtiene en forma inmediata la equivalencia (a) &hArr; (b). </ul> {{QED}} <hr> La próxima proposición da condiciones para que una función biyectiva, obtenida por paso al cociente, sea un homeomorfismo. <b>Proposición 9.4.4</b> Sea f:X &rarr; Y una función suprayectiva que es abierta o cerrada .La función f^*: X/f &rarr; Y obtenida por paso al cociente de f es un homeomorfismo. Es decir que f es una identificación (función cociente) </i> <ul><i>Demostración. </i> Sea h= (f^*)^-1 y &nu;:X &rarr; X/f canónica. Observemos que para todo x en X, f^*(&nu;(x)) = f(x) implica que &nu;(x) = h(f(x)), o sea que &nu;= h o f. Sea U un abierto de X/f. Entonces, &nu;^-1(U) es abierto, pero entonces, f^-1(h^-1(U)) = &nu;^-1(U) es abierto, Como f es abierta, se tiene que f(f^-1(h^-1(U))) es abierto en Y, pero como f es suprayectiva, h^-1(U) = f(f^-1(h^-1(U))), lo que prueba que h es continua. Luego, f^* es un homeomorfismo. Razonamiento análogo para cuando f es cerrada. </ul> {{QED}} <hr> {{Caja|<center>Pregunta Fundamental</center> Cuando X tiene una cierta propiedad, ¿qué podemos decir de un espacio cociente de X?}} === Ejercicios 9.4 === <ol> <li> Probar que dada una relación de equivalencia R en un espacio X, el espacio cociente X/R es único, excepto por homeomorfos. Es decir que dos espacios cocientes para la misma relación son siempre homeomorfos. <li> Sea X un conjunto cualquiera no vacío. La relación de igualdad = es una relación de equivalencia en X. ¿Qué relación hay entre X y X /=? <li> Sea h : [0,1) &rarr; <b>S¹</b> tal que f(t) = (cos(2&pi; t), sen(2&pi; t). Probar que h es biyectiva, continua, pero noes un homeomorfismo. <li> Sea f:X &rarr; Y continua. Definir en X una relación &sim;_f por x &sim;_f y &harr; f(x) = f(y). Probar que &sim;_f es una relación de equivalencia y describir el espacio cociente. <li> Sea X = <b>R²</b> \ {(0,0)}. Definir relaciones R tal que (x,y) R (x',y'), ssi, hay un &alpha; >0 tal que x = &alpha; x', y = &alpha; y'. Probar que el espacio cociente es homeomorfo a una circunferencia. <li> Probar que <b>R²</b> &cong; <b>S</b>¹ x ]0, +&infin;[. <li> Sea f: <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(x) = x². Describir el espacio <b>R</b>/f (ver ejercicio anterior). <li> Sea f: <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(x) = sen(x). Describir el espacio <b>R</b>/f. </ol> }} Mirando al ejemplo 9.4.4, vemos que un espacio puede ser Hausdorff, pero su cociente no. == Construcción de Conjuntos == [[File:Möbius strip.jpg|thumb|Cinta de Moebius]] Gran parte de los ejemplos consiste en hacer todos los puntos de un subconjunto del espacio equivalentes entre si. Sea X un espacio y A un subconjunto de X. Consideremos la partición de X formada por A y por un conjunto de un elemento, para los elementos en el complemento de A. Llamamos <b>contracción</b> de X por A al espacio cociente correspondiente, al que denotaremos por X/A. <b>Ejemplo 9.5.1 </b>Consideración intuitiva: Sea X un intervalo cerrado de <b>R</b>, digamos [0,1]. Si pegamos 0 con 1, el resultado que se obtiene es una figura homeomórfica a una circunferencia. Más formal, "pegar" quiere decir que queremos ``identificar'' 0 con 1. ¿Cómo podemos hacerlo? Simplemente usando una relación de equivalencia donde haya una clase de equivalencia que contenga al 0 y al 1; es decir, haciendo una contracción con A={0,1}. La correspondiente partición sería tal que cada x &ne; 0,1 aporta {x} a la partición, y el único elemento con dos elementos es {0,1}, Sea R la relación definida por esa partición, entonces X/R contiene un punto por cada x &ne; 0,1 y un punto donde se identifican 0 y 1. Notemos que usando la terminología de contracciones, el espacio cociente es [0,1]/{0,1}. Busquemos una función continua suprayectiva f:[0,1] &rarr; <b>S</b><sup>1</sup> (<b>S</b><sup>1</sup> es la circunferencia unitaria) tal que f(0) = f(1) y f(x) = f(y) implica que x=y, cuando 0 < x, y <1. Si esa función es además abierta o cerrada, se tendría una identificación (proposición 9.4.4). Una posible función es f:[0,1] &rarr; <b>S</b><sup>1</sup> tal que f(t) = (cos(2&pi; t), sen(2&pi; t)). Claramente, f es una función continua suprayectiva tal que f(0) = f(1). Sea g:X/f &rarr; <b>S</b><sup>1</sup>, la función biyectiva que se obtiene al pasar f al cociente. Notemos que f es una función cerrada. Conjuntos cerrados básicos de X son [0,a] con 0 &le; a < 1 y [b,1] con 0 < b &le; 1. Entonces, claramente, f([0,a]), el arco desde P= (0,1) a Q=(cos(2&pi; a), sen(2&pi; a)) es un subconjunto cerrado de <b>S</b><sup>1</sup> (intersección de la bola cerrada con centro en el punto medio entre P y Q, de radio la mitad de la distancia de P a Q, con <b>S</b><sup>1</sup>. Análogamente, para el otro conjunto cerrado básico. Luego, por la proposición citada, g : X/f &rarr; <b>S</b><sup>1</sup> es un homeomorfismo. <hr> <b>Ejemplo 9.5.2. </b> Anteriormente, en el ejemplo 9.4.3, vimos que la relación x &sim;<sub><b>Z</b></sub> y, ssi, x-y es un número entero, producía un espacio cociente que al denotamos por <b>R</b>/Z. Considerando al espacio cociente <b>R</b>/ f con f(t) = (cos(2&pi; t), sen(2&pi; t)) y procediendo como en el ejemplo anterior, concluimos que <b>R</b>/<b>Z</b> &cong; <b>S</b><sup>1</sup>. <hr> <b>Ejemplo 9.5.3 </b> Sean X, Y espacios topológicos y sea Z = X x Y. Sea x<sub>0</sub> un punto de X, definamos una relación de equivalencia, por (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) R (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) &harr; y<sub>1</sub> = y<sub>2</sub>. Se puede observar que la clase de equivalencia de (x,y) consiste de todos los pares cuya segunda coordenada es igual a y. En la representación como ``rectángulo'' del producto cartesiano, se trata de segmentos paralelos (uno por cada y en Y) al eje de X. Se verifica que pr_Y : X x Y &rarr; Y es una identificación, o sea que Y es homeomorfo al correspondiente conjunto cociente. <hr> <b>Ejemplo 9.5.4 (Cilindro) </b> (Intuición) Consideremos un rectángulo y seleccionemos dos de sus lados opuestos. Cada línea paralela a uno de los lados no seleccionados corta a esos dos lados. Identifiquemos esos puntos de corte, o sea imaginemos que pegamos los lados opuestos haciendo corresponder tales puntos de corte. ¿Qué obtenemos? ... un tubo; formalmente llamado <i>cilindro</i> (sin tapas). [[File:Cilindro Cociente.jpg|center|Cílindro como espacio cociente|300px]] <center>Ficura 9.4:Cílindro como espacio cociente</center> Suponiendo un rectángulo R con vértices (1,0), (1,1), (-1,1) y (-1,0). Definamos una relación en R por (x,y) &sim; (x',y'), ssi, x = 1, x'=-1, y=y' o x =-1, x'=1, y=y', si x &neq; 1 o -1, (x,y) \sim (x',y') solamente cuando x = x', y = y'. R es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia son {(x,y)} cuando x &ne; ± 1, y arbitrario, y {(-1,y)(1,y)}, y cualquiera. Una (función) identificación posible es: h: R &rarr; C: (x,y) = (cos(&pi; x), sen(&pi; x),y) donde C = <b>S</b>¹ x [0,1] (cilindro). <hr> <b>Ejemplo 9.5.5 (Cinta (o banda) de Moebius) </b> Consideremos nuevamente un rectángulo y seleccionemos dos lados opuestos. Peguemos nuevamente los lados opuestos, pero después de girar por media vuelta uno de ellos. Mirar la figura. <!-- \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.5\textwidth} &isin;put {./Figuras/fig0906} \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\textwidth} &isin;put{./Figuras/fig0906b} \end{minipage} &cap; tion{Cinta de Moebius} \label{fig0906} \end{figure} --> [[File:Toro-EM.jpg|center|Toro como conjunto cociente|300px]] ¿Qué obtenemos? ... una superficie conocida como ``cinta de Moebius'''. Si la lectora o lector no tiene experiencia con este objeto, una experiencia interesante será construir en papel una cinta de Medius (empezar con un rectángulo mucho más largo que ancho: una cinta y pegar los lados menores después de una media vuelta). El resultado será un modelo concreto de la cinta de Moebius. Después de hecho lo anterior, como curiosidad, cortar por el centro de la cinta obtenida ¿qué pasa? Un aspecto importante de la cinta es que tiene una solamente una cara. <hr> <b>Ejemplo9.5.6 (Toro) </b> Una superficie muy interesante es aquella llamando <i>toro</i>, que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del latín ``torus'', que significa algo así como ``protuberancia''. [[File:Torus.png|center|Toto|300px]] <!-- [[File:Toro-EM.jpg|center|Toro como conjunto cociente|300px]] --> Objetos de la vida real que tienen forma de toro son las superficies de los flotadores o de una rosquilla. Topológicamente,un toro se define como el espacio producto <b>S</b><sup>1</sup> x <b>S</b><sup>1</sup>. Se puede, también, generarlo como espacio cociente de la manera indicada en la figura, empezando con un rectángulo, pegamos por lados opuestos, obteniendo un cilindro. Luego, pegamos las dos bocas del cilindro. <!-- Figura 9.7 \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.5\textwidth} &isin;put {./Figuras/fig0907a} \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\textwidth} &isin;put{./Figuras/fig0907b} \end{minipage} \caption{Toro} \label{fig0907} \end{figure} <hr> --> <b>Ejemplo 9.5.7 (Plano Proyectivo). </b> Sea X = <b>R<sup>3</sup></b> \ {(0,0,0)}. Definir una relación &sim; tal que (x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>) &sim; (y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>,y<sub>3</sub>), ssi, hay un número real &alpha; &ne; 0 tal que x<sub>i</sub> = &alpha; y<sub>i</sub>, i=1,2,3. Claramente, la relación &sim; es de equivalencia. El espacio cociente, se llama el <b>plano proyectivo</b> y se denota por <math>\mathbb {RP}_2</math>. Los puntos del plano proyectivo corresponden a líneas pasando por el origen y se simboliza por [x<sub>1</sub>:x<sub>2</sub>:x<sub>3</sub>] al punto que es la clase de equivalencia de (x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>). Un plano en <b>R<sup>3</sup></b> que pasa por el origen genera una <i>línea</i> del plano proyectivo. Sea <math>p: \mathbb{R}^3 \setminus\{(0,0,0)\} \rightarrow \mathbb{RP}_2</math> la función cociente natural. Para cada i = 1, 2, 3, sea <math>U_i = \{[x_1:x_2:x_3] : x_i \neq 0\}. </math> Se verifica que cada U<sub>i</sub> es un abierto homeomórfico a <b>R<sup>3</sup></b>. <hr> === Ejercicios 9.5 === <ol> <li> Sea C el cilindro <b>S</b><sup>1</sup> x I donde I=[0,1]. Definir una relación de equivalencia (x,y) R (x',y), ssi, y' = y = 1. Explicar por qué C/R puede ser llamado ``sombrero cónico''. <ol type="a"> <li> Probar que C/R es homeomorfo a un disco cerrado del plano. <li> Sea A = {(x,y): y=1}, mostrar que C/A = C/R. </ol> <li> Sea X el producto de una bola cerrada del plano con un intervalo cerrado, digamos <math>X = \mathbb{B}^2 \times [0,1]</math>. Si se define una relación R tal que (x,y,t) R (x',y',t'), ssi, t=t'=1, explicar por que podemos decir que el cociente X/R es un cono sólido. <math>\mathbb{B}^2</math> es la bola unitaria de \<b>R²</b>. <!-- %<li> Sean X₁ = <math>\mathbb{B}^3</math>⊂ <b>R³</b>, X₂ = B((0,0,1) ⊂ <b>R³</b> y X = X₁ ∪ X₂ definamos una relación en X por % (x,y,z) R (x',y',z') , ssi, x=x', y = y'. Verificar que R es una relación de equivalencia y que el conjunto cociente es homeomorfo a <b>S</b>^2, --> <li> Sea <b>Bⁿ</b> cualquier espacio homeomorfo a la bola de radio 1 y centro el origen de <b>Rⁿ</b>. Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b>. <ol> <li> Mostrar que podemos identificar <b>Sⁿ</b> con un subespacio de <b>Bⁿ⁺¹</b>. <li> Probar que <b>Bⁿ⁺¹</b>/<b>Sⁿ &cong; Sⁿ⁺¹</b>. </ol> <li> Probar que un toro y X = <b>S¹</b> x <b>S¹</b> son homeomorfos. </ol> == Ejercicios del capítulo 9 == <ol> <li> Sean X={0,1} con la topología discreta y sea Y = X x X con la topología producto. Listar todos los abiertos de Y. ¿Es Y un espacio discreto? <li> Sean X={0,1} el espacio de Sierpinski (topología = {&empty;,{0}, X}) y sea Y = X x X con la topología producto. Listar todos los abiertos de Y. <li> En el texto se indicó que el producto cartesiano de dos funciones continuas era continuo. Cuando se tiene una familia f_&alpha; : X_&alpha; &rarr; Y_&alpha; , &alpha; en I, donde I es un conjunto arbitrario, podemos definir de manera análoga un producto f = &prod;_&alpha;f_&alpha; tal que f ((x_&alpha; ))= (f_&alpha;(x_&alpha; )). Cuando las f_&alpha; son continuas, es f necesariamente continua? <li> Sea X_i, i &isin; I una familia de espacios topológicos discreto y sea X su producto topológico. ¿Es X necesariamente discreto? <li> Cuando g₁, g₂ son funciones abiertas, también lo es su producto g₁ x g₂. <li> Sea X un espacio cualquiera e I = [0,1] &sub; <b>R</b>. Sea A = {(x,1): x &isin; X } &sub; X x I. Sea C_X = X/A, el <i>cono basado</i> en X}. <ol type = "a "> <li> Si X= <b>Sⁿ</b> entonces C_X es homeomorfo a la bola cerrada de radio 1 y centro el origen, <b>Bⁿ⁺¹</b>, n &ge; 1. <li> Sea I² el cuadrado unitario de <b>R²</b>. ¿Cómo podría describirse C_X? <li> Escribir una relación de equivalencia R en X x I tal que C_X = X x I / R. </ol> <li> Sea X un espacio cualquiera. Se define una partición en X x I, donde I=[-1,1] &sub; <b>R</b>, integrada por N = {(x,1): x &isin; X}, S = {(x,-1): x &isin; X} y cada punto en el complemento de S &cup; N generando una clase con un único elemento. El conjunto cociente se denota por S_X y se llama la <i>suspensión</i> de X. <ol type="a"> <li> Si X= <b>S</b>¹ entonces S_X= <b>S²</b> la esfera unitaria de <b>R³</b> <li> Si Y fuera un triángulo ordinario (unión de tres segmentos), ¿cómo podríamos describir a S_Y? ¿Que relación hay entre S_Y y S_X. </ol> <li> (Homeomorfismos) <ol> <li> Probar que [0,1]/[1/4,3/4] &cong; [0,1]. <li> Describir el espacio cociente [0,1]/{1/3,1}. Comparar con una letra del alfabeto. <li> Si el punto medio del lado curvo se identifica con el punto medio del segmento rectilíneo de la letra <b>D</b>, ¿qué letra obtenemos? <li> Construir otros ejemplos análogos a las situaciones anteriores. </ol> <li> (Proyección Estereográfica) Sea S la esfera unitaria tridimensional (x² +y² +z² =1) pero sin su polo norte N = (0,0,1). Sea Y el plano z=0 Sea P un punto cualquiera de la esfera. La línea qua pasa por N y P corta el plano en un punto &pi;(P). Probar que &pi; es un homeomorfismo. </ol> [[Categoría:Espacios Métricos]] <!-- 14 de septiemebre de 2016 --> <!-- 1 de abril de 2019 --> iz0k63zdnk6h2jbrppl5i5bli8tvhww 0 54096 423023 421061 2025-07-04T21:44:53Z Rehernan 55364 423023 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Compactos |anterior=Conexos |siguiente=Separación }} </noinclude><!-- Capítulo 11 LOS ESPACIOS COMPACTOS -=--> Capítulo 11 LOS ESPACIOS COMPACTOS == Introducción== La compacidad es una propiedad muy importante de los espacios topológicos. Sin embargo, no resulta fácil dar una descripción intuitiva de la misma. La idea de compacto es de algo que cabe en un espacio pequeño. Para nosotros, topológicamente hablando, los espacios finitos serán espacios “pequeños”. Sin necesariamente mucha precisión, podemos decir que los conjuntos compactos serán espacios topológicamente semejantes a los conjuntos finitos. Una definición formal aparecerá más adelante. Por la importancia de los conjuntos compactos y de las nociones asociadas, hemos adoptado una estructura especial en este capítulo. Después de dar una definición general de la compacidad y ver algunas de sus propiedades generales, haremos un estudio detallado de la compacidad para subconjuntos de la línea real; en particular una serie de nociones equivalentes. Posteriormente, veremos la compacidad en los espacios normados <b>Rⁿ</b>. Luego, estudiaremos la noción en un espacio métrico cualquiera. Obviamente, cualquier propiedad de compactos en espacios métricos será valida para la línea real y los <b>Rⁿ</b>. Es decir que habrá resultados cuyas demostraciones podrán aparece tres veces, primeramente para línea real, luego para los espacios normados de dimensión finita y luego para los espacios métricos. ¿Por qué esta redundancia? En primer lugar, porque ilustra el desarrollo de la noción. En segundo lugar, veremos demostraciones diferentes para una misma propiedad, dependiendo del ambiente. Finalmente, podremos ver que las propiedades equivalentes o implicadas por la compacidad, no son las mismas para espacios generales que para los <b>Rⁿ</b>’s. Algunas propiedades importantes para los compactos de espacios <b>Rⁿ</b>—en particular, la línea real—como la característica de ser cerrados y acotados, no son válidas en general. Por esa razón, nuestra definición de compacidad será dada en términos de familias de abiertos (cubiertas) que contienen al espacio o conjunto en cuestión, ya que la experiencia muestra que es la más provechosa. == Cubiertas, subcubiertas == {{DefRht|Cubiertas, Subcubierta| Sea X un espacio topológico, A un subconjunto de X. Decimos que una familia <b><i>G</i></b> de subconjuntos de X es una <b>cubierta</b> o '''recubrimiento''' del conjunto A o que cubre al conjunto A, cuando la reunión de los conjuntos de la familia contiene al conjunto A. Una '''subcubierta''' G′ de una cubierta '''G''' de A es un subconjunto de '''G''' que también cubre a A. Decimos que se trata de una <b>cubierta abierta</b> cuando cada conjunto de la cubierta es un conjunto abierto.}} Notemos que una familia <b>G</b> de subconjuntos de un conjunto A será una cubierta de A, cuando para cada x de A hay un conjunto U en G que contiene a x. <b>Ejemplo 11.2.1. </b> Sea X = <b>R</b> y sea G la familia de intervalos ]z − 1, z + 1[, z en '''Z'''. Claramente G es una cubierta abierta de <b>R</b>. <b>Ejemplo 11.2.2. </b> Sea X = [0, 1], r un racional positivo, y sea G el conjunto de r–vecindades de puntos racionales de X. Claramente, G es una cubierta abierta de X. <b>Ejemplo 11.2.3. </b> Aunque las cubiertas abiertas serán aquella más interesantes para nosotros, podremos tener cubiertas de cerrados o de conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Consideremos a F = {[z − 1, z + 1] : z ∈ <b>Z</b>}, que es claramente una cubierta cerrada de <b>R</b>. Omitiendo en cada uno de esos conjuntos uno de los extremos, todavía tendremos una cubierta. <b>Ejemplo 11.2.4. </b> Sea X = {x₁, ... , x_n} un conjunto finito de un espacio topológico. Sea G = {G_i : i ∈ I} una cubierta abierta de X. Mostraremos que hay una subcubierta finita de G que cubre a X, independiente del tamaño del conjunto de índices I. En efecto, para cada k, k = 1, 2, . . . n, hay un abierto en G que denotaremos por G_k que contiene a x_k. Claramente la reunión de esos n abiertos cubre al conjunto X. === Ejercicios 11.2. === <ol> <li>Hallar la reunión y la intersección de cada una de las familias siguientes de subconjuntos de la línea real. <ol type="a"> <li> <math>(A_n)</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>A_n = [0,1/n)</math>. <li> <math>(B_n)</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>B_n = ]-1/n, 1/n[</math>. <li> <math>(C_n)</math>, <math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>C_n= [-1/n.1/n]</math>. </ol> <li> Sea <math>\mathcal{C}</math> una cubierta abierta de un espacio <math>X</math>. <ol type="a"> <li> Un subconjunto <math>A</math> de <math>X</math> es abierto, ssi, hay un <math>B \in \mathcal{C}</math> tal que <math>A \cup B</math> es abierto en <math>B</math>. <li> Una función <math>f:X \rightarrow Y</math> es continua, ssi, para cada <math>B \in \mathcal{C}</math>, la restricción de <math>f</math> a <math>B</math> es continua. <li> Dos topologías de <math>X</math> son iguales, ssi, inducen la misma topología relativa en cada <math>B \in \mathcal{C}</math>. </ol> </ol> == Los Espacios Compactos == Inspirados en el ejemplo de los conjuntos finitos (11.2.4), </b> daremos la siguiente definición de compacidad. {{DefRht|Espacios y Conjuntos Compactos| Decimos que espacio topológico es <b>compacto</b>, ssi, cada cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita. Un subconjunto de un espacio topológico es un subconjunto compacto cuando es un espacio compacto respecto a la topología relativa. }} <ul> <li> Los espacios finitos son compactos. <li> La línea real no es compacta. El cubrimiento del ejercicio 11.2.1 no tiene un subcubrimiento finito de <b>R</b>. </ul> La siguiente proposición sigue inmediatamente de la definición. <b>Proposición 11.3.1. </b><i> Sean X un espacio topológico y Y un subconjunto de X. Y es compacto, ssi, para todo familia de abiertos (en X) que cubren Y , hay una subfamilia finita de dicha familia que también lo cubre. </i> <hr> Antes de entrar en detalles de los espacios compactos, veremos condiciones duales para la compacidad, o sea en términos de cerrados. Consideremos una familia (F_i) de cerrados en un espacio compacto X tal que la intersección de sus miembros sea vacía. Entonces, el complemento de tal intersección será todo X. Como el complemento de la intersección de los F_i’s es la reunión de los complementos de los F_i’s, y tales complementos son abiertos, tenemos que determinan una cubierta abierta de X. Como X es compacto, hay una familia finita de tales abiertos cuya reunión será igual a todo X; por lo que sus complementos—que es una familia finita de los F_i’s—tendrá intersección vacía. Lo anterior, produce la siguiente caracterización de la compacidad. <b>Proposición 11.3.2. </b><i>En un espacio compacto, una familia de cerrados tiene intersección vacía, ssi, una subfamilia finita tiene intersección vacía. </i> <hr> Introduciremos una terminología que nos ayudará a escribir de manera más concisa algunas proposiciones. <b>Propiedad de la Intersección Finita. </b>Decimos que una familia de conjuntos tiene la propiedad de la intersección finita (PIF), cuando cada subfamilia finita tiene intersección no vacía. Usando esa terminología, sigue de la discusión anterior la siguiente proposición. <b>Proposición 11.3.3. </b><i>Un espacio topológico X es compacto, ssi, cada familia de cerrados en X que tiene la propiedad de la intersección finita, tiene intersección no vacía. </i> Algunas veces, resultará más cómodo esta versión de la compacidad para probar que un conjunto ees compacto. <hr> <b>Sucesiones Anidadas de conjuntos.</b> Sea X un conjunto. Una sucesión (A_n), n ∈<b>N</b>, de subconjuntos de X se llama <i>anidada</i>, ssi, para todo m, n en <b>N</b>.se cumple que m > n implica que A_m ⊂ A_n. Sea (A_n) una sucesión anidada de conjuntos no vacíos. Sean n_1 < n_2 < ... < n_k, Entonces, A_{n_k} esta contenido en cada uno de los A_{n_i} ’s anteriores,por lo que está contenido en su intersección. Hemos, así, probado el siguiente lema. <b>Lema 11.3.4. </b><i>Sea (A_n), n ∈ <b>N</b>, una sucesión anidada de subconjuntos no vacíos cualesquiera de un conjunto X, Entonces la familia de los A_n’s tiene la propiedad de intersección finita. </i> <hr> Aplicando el lema a una familia anidada de cerrados no vacíos en un espacio compacto, obtenemos la siguiente proposición. <b>Proposición 11.3.5 (Cerrados Anidados). </b><i>Sea (F_n), n ∈ <b>N</b>, una familia anidada de cerrados no vacíos de un espacio compacto X. Entonces, la intersección de los F_n no es vacía. </i> <hr> == Espacios y Conjuntos Compactos == Un subconjunto de un espacio compacto no necesita ser compacto. Por ejemplo, veremos, más adelante, que I = [0, 1] es compacto, pero su interior no lo es (ver ejercicio 5) sin embargo, los subconjunto cerrados siempre son compactos. <b>Proposición 11.4.1. </b><i>Cualquier subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea F un cerrado en el espacio compacto X. Sea (G_i) una cubierta abierta de F. Entonces, los G_i’s junto con el complemento de F cubren X. Como X es compacto, una familia finita de los G_i’s, eventualmente con F^c incluido, cubren a X y, por lo tanto, a F. Luego, F es compacto. </ul>{{QED}}<hr> La linea real no es compacta ya que la cubierta C = { ]n, n + 2[ : n ∈ <b>Z</b>} no tiene subcubierta finita posible. Por la misma razón, ni el intervalo abierto ]0,+∞[ ni el intervalo cerrado [0,+∞[ son compactos. La siguiente proposición muestra, sin embargo, que hay otrosintervalos que son compactos. <b>Proposición 11.4.2. </b></i>El intervalo [0, 1] de la línea real es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>Probaremos que cualquier cubrimiento de [0, 1] tiene un subcubrimiento finito. Sea (U_i), i∈I, un cubrimiento abierto de [0, 1]. Si I fuera finito no hay más que probar. Supongamos, por lo tanto, que I fuera infinito. Sea A el subconjunto de [0, 1] formado por todos los x en [0, 1] tales que hay un subcubrimiento finito de [0, x]. El conjunto A no es vacío porque al menos 0 está en A. Como, además, A está acotado superiormente por 1, tenemos que A tiene supremo, digamos s ≤ 1. Como [0, 1] es cerrado, s está en [0, 1]. Si s = 1, hemos probado la proposición. Suponer que s < 1. Entonces [0, s] está cubierto por una cantidad finita de los U_i’s. Al menos uno de ellos contiene a s, digamos U_k. Como <math>s</math> está en el interior de <math>[0,1]</math>, hay un intervalo abierto <math>]s-r,s+r[</math>, <math>r>0</math>, totalmente contenido en <math>U_\alpha \cap ]0,1[ \subset U_\alpha</math>. Pero, entonces [0, s + r/2] está totalmente contenido en el subcubrimiento finito y s + r/2 > s, lo que es un absurdo. Luego, s = 1, y la proposición está probada. </ul>{{QED}}<hr> <b>Teorema 11.4.3. </b><i>La imagen continua de un compacto es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea f : X &rarr; Y continua y sea K ⊂ X compacto. Sea (U_i) una cubierta abierta de f(K). Cada U_i = V_i ∩ f(K) donde V_i es un abierto de Y . La reunión de los V_i cubre a f(K), por lo que sus preimágenes f^-1(V_i) cubren K. Pero, como K es compacto una familia finita de esas preimágenes cubre a K. Como K ⊂ f^-1(V_i₁) ∪ ...∪ f^-1(V_{i_m}) implica que f(K) ⊂ V_i₁ ∪ ... V_{i_m}, tenemos la compacidad de f(K). </ul>{{QED}}<hr> <b>Corolario 11.4.4. </b><i>Compacidad es una propiedad topológica. Si X y Y son homeomórficos, se cumple que X es compacto, ssi, Y es compacto.</i> <b>Corolario 11.4.5. </b><i>Cualquier intervalo cerrado y acotado de la línea real es compacto. </i> <ul><i>Demostración. </i>El intervalo [0, 1], por la proposición 11.3.7, es compacto y como la función f : [0, 1] &rarr; [a, b] tal que f(t) = (b − a)t + a es biyectiva y continua, se tiene el resultado. </ul>{{QED}}<hr> <b>Corolario 11.4.6 (Intervalos Anidados). </b><i>Sea (J_n) una sucesión anidada de intervalos cerrados y acotados de <b>R</b>, entonces la intersección de los J_n’s no es vacía. Además, cuando la sucesión de los diámetros de los J_n tiende a 0, dicha intersección contiene solamente un punto. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul><hr> <b>Ejemplo 11.4.1. </b> Sea ϕ : [0, 1] &rarr; <b>R²</b> tal que ϕ(t) = (cos(2π t, sen(2π t)). La función ϕ es claramente continua, por lo que imagen <b>S¹</b>, la circunferencia unitaria es un subconjunto compacto de <b>R²</b>. <hr> <b>Proposición 11.4.7. </b><i>Cualquier subconjunto cerrado y acotado de <b>R</b> es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea F cerrado y acotado. Por ser acotado, hay un número M tal que F ⊂ [−M,M], Por el último corolario [−M,M] es compacto y, por la proposición 11.3.6, cualquier subconjunto cerrado de un compacto es compacto de <b>R²</b>. </ul>{{QED}}<hr> <b>Ejemplo 11.4.2. </b> Hay espacios donde un conjunto cerrado y acotado no es compacto. Consideremos al subespacio <b>Q</b> de <b>R</b> con la topología relativa y sea B = [0, 1] ∩ <b>Q</b>. B es cerrado y acotado en <b>Q</b>. Sea θ = √2/2 y sea F_n = [θ − 1/n, θ + 1/n], n ∈ <b>N</b>, n ≥ 4. Cada F_n es un cerrado en <b>R</b>, por lo que H_n = F_n ∩ B es un cerrado de B. Observando que m > n implica que H_m ⊂ H_n, vemos que la familia de los H_n’s es una familia de cerrados de B que tiene la propiedad de intersección finita. Peor, claramente, &cap;n F_n = {θ}, por lo que &cap;n H_n = &empty; (ya que θ no está en B). Luego, B no puede ser compacto. <hr> === La Compacidad en Espacios Hausdorff === Volvamos a espacio generales, pero suponiendo que son Hausdorff. Recordemos que llamamos espacio Hausdorff a un espacio topológico donde cualquier par de puntos distintos pueden separarse por abiertos disjuntos. Es decir, dados x, y, x &ne; y hay vecindades abiertas V_x y V_y tales que x ∈ V_x, y ∈ V_y y V_x ∩ V_y = &empty;. La siguiente proposición puede ser considerada como un recíproco parcial de la proposición 11.4.6. <b>Proposición 11.4.8. </b><i>Un subconjunto compacto de un espacio Hausdorff es cerrado.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea X un espacio topológico Hausdorff y sea A un subconjunto compacto de X. Si K = X o vacío, el resultado es trivial. Supongamos que &empty; &ne; K &ne; X y sea z un elemento del complemento de K. Como X es un espacio Hausdorff, para todo x en K podemos hallar una vecindad V_x de x y una vecindad U_x de z tales que V_x ∩ U_x = &empty;. Claramente, los V_x’s determinan una cubierta abierta de K. Como K es compacto una familia finita de ellos, digamos V_x₁, ... , V_{x_m} cubren a K. Sea U la intersección de los correspondientes U_{x_i}’s. Entonces, <div class="center"><math> U \cap V_{x_i} = (\bigcap_{j=1}^m U_{j} ) \cap V_{x_i} = \emptyset,</math></div> ya que <math>U_{x_i} \cap V_{x_i} = \emptyset.</math> Luego, <div class="center"><math>U \cap \bigcup_{j=1}^m V_{x_j} = \bigcup_j (U \cap V_{x_j}) = \emptyset.</math></div> Lo que implica que U ∩ K = &empty;, o sea que U ⊂ K^c. Es decir que K^c es abierto, por lo que K es cerrado. </ul>{{QED}}<hr> <b>Corolario 11.4.9. </b><i>En un espacio métrico, los conjuntos compactos son cerrados y acotados.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea E un espacio métrico y sea K un subconjunto compacto no vacío de E. (El caso vacío es trivial). Como espacios métricos son Hausdorff, sigue de la proposición que K es cerrado. Consideremos el cubrimiento de K formado por las bolas abiertas de radio 1 y centro en cada elemento de K. Dicha familia de abiertos cubre a K y, por ser K compacto, hay una familia finita de ellos que contiene a K. Como cada bola es acotada y la reunión finita de acotados es acotado y K está contenido en esa reunión tenemos que K es acotado. </ul>{{QED}}<hr> <b>Corolario 11.4.10. </b><i>Sea X un espacio Hausdorff compacto. Un subconjunto F de X es compacto, ssi, es cerrado. </i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>E</math> un espacio métrico y sea <math>K</math> un subconjunto compacto no vacío de <math>E</math>. (El caso vacío es trivial). Como espacios métricos son Hausdorff, sigue de la proposición que <math>K</math> es cerrado. Consideremos el cubrimiento de <math>K</math> formado por las bolas abiertas deradio 1 y centro en cada elemento de <math>K</math>. Dicha familia de abiertos cubre a <math>K</math> y, por ser <math>K</math> compacto, hay una familia finita de ellos que contiene a <math>K</math>. Como cada bola es acotada y la reunión finita de acotados es acotada y <math>K</math> está contenido en esa reunión tenemos que <math>K</math> es acotado. {{QED}}</ul> <hr> El siguiente ejemplo muestra que el converso del corolario anterior no es válido en general; lo que complicará el estudio de compactos en espacios métricos. <b>Ejemplo 11.4.3.</b><!--\label{ejemCANC}--> Espacio métrico donde un conjunto cerrado y acotado no es compacto. Sea <math>E</math> un espacio métrico discreto infinito. Claramente, <math>E</math> es cerrado y acotado, pero no es compacto. <hr> La siguiente proposición resultará, más adelante, útil para probar que ciertas funciones son homeomorfismos. <b>Proposición 11.4.11. </b><i>Sean X, Y espacios tales que X es compacto y Y es Hausdorff. Si f : X &rarr; Y es biyectiva y continua, entonces f es un homeomorfismo.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea f : X &rarr; Y biyectiva y continua. Probaremos que para cada abierto A de X, f(A) es abierto en Y , para eso es suficiente mostrar que cada cerrado F de X tiene una imagen f(F) cerrada en Y. Si F es vacío, su imagen es vacía y, en consecuencia es cerrada. Supongamos que F no es vacío, sigue, entonces, de la proposición 11.4.1 que F es compacto. Luego por el teorema 11.4.3, f(F) es compacto. Pero, un compacto en un espacio Hausdorff es cerrado (ver la proposición 11.4.8). </ul>{{QED}}<hr> <b>Terminología. </b>Los espacios compactos Hausdorff tienen muchas propiedades agradables. Además muchos de los espacios compactos interesantes son Hausdorff, por lo que hay varios autores (Bourbaki, Dixmier, por ejemplo) que incluyen la hipótesis de Hausdorff en la definición de compacto. En tales situaciones, se usan nombres tales como <i>cuasicompactos</i> para nuestros compactos. === Ejercicios 11.4 === <ol> <li> Explicar cuando un espacio no es compacto de acuerdo a la definición. <li> Explicar cuando un espacio no es compacto de acuerdo a la proposición 11.3.3. <li> Explicar cuando un espacio topológico discreto es compacto. Examinar, a continuación, un espacio topológico indiscreto. <li> Probar las afirmaciones no probadas en los ejemplos 11.2.1 y 11.2.4. <li> Probar que ]0, 1[ no es compacto. <li> Probar el corolario 11.3.11. <li> Sea X = <b>I²</b> el cuadrado unitario, {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1}. La familia C de bolas con centro en un punto del cuadrado y radio 1/10 cubre a X. Probar que hay una subcubierta finita de C que también lo cubre. <li> La reunión de una familia finitas de subconjuntos compacto es compacto. <li> Sea X un espacio infinito con la topología de complementos finitos. Entonces, X es compacto. <li> . Cuando el producto de espacios no vacíos es compacto, entonces, cada factor es compacto. El recíproco es válido, pero no es fácil de probar, ver más adelante el teorema de Tychonoff. <li> Sea X un espacio y B una base de la topología de X. Cada cubierta de X por abiertos de B tiene una subcubierta finita, ssi, X es compacto. <li> Sea X un espacio compacto y R una relación de equivalencia en X. Entonces, el espacio cociente X/R es compacto. <li> Sea S = [0, 1] ⊂ <b>R</b> pero provisto con la topología de complementos finitos, o sea que los cerrados de S son S o los subconjuntos finitos. Probar que en esta topología cualquier subespacio de S, en particular los subconjuntos abiertos, son compactos. ¿Por qué esto no contradice el resultado de la proposición 11.3.13? </ol> == La Línea Real == Antes de continuar un estudio general de la compacidad, examinaremos la compacidad donde todo comenzó: la línea real. Veremos varias equivalencias para la compacidad y algunas aplicaciones. Claramente, como la línea real es un espacio métrico no acotado, sigue del corolario 11.4.10, que no puede ser compacta. Como los intervalos abiertos son homeomórficos a la línea real, tenemos que los intervalos abiertos no pueden ser compactos. En el lado positivo, sabemos que los subconjuntos cerrados y acotados de <b>R</b> son compactos (ver la proposición 11.4.7). En el capítulo 1 insinuamos, mediante los teoremas B y C, que los intervalos cerrados y acotados eran algo especial—respecto a otro tipo de intervalos. La respuesta es que son compactos. Presentamos, usando tal noción, pruebas de tales teoremas. <b>Teorema B. (Acotamiento de Funciones) </b><i>Sea f : [a, b] &rarr; <b>R</b> una función continua, entonces hay un real positivo M tal que para todo x en [a, b] se cumple que −M ≤ f(x) ≤ M. En palabras, la función f es acotada. </i> <b>Teorema C. (Existencia de Máximos y Mínimos Absolutos) </b><i>Sea f : [a, b] &rarr; <b>R</b> una función continua entonces hay números c y d tales que a ≤ c, d ≤ b con f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), para todo x en [a, b]. En palabras, la función f alcanza máximos y mínimos absolutos. </i> <ul><i>Demostración. </i>Sea J = [a, b], por el teorema 11.5.3, la imagen de J por f es un subconjunto compacto de <b>R</b>, por lo tanto, cerrado y acotado (corolario 11.3.14). Lo que muestra en forma inmediata el teorema B. La acotación implica la existencia de un ínfimo, digamos c, y un supremo, digamos d, de f(J). Como f(J) es cerrado, tales números pertenecen a f(J), lo que prueba el teorema C. </ul>{{QED}}<hr> Un análisis de la prueba, muestra inmediatamente que los resultados de los teoremas mencionados son válidos si reemplazamos [a, b] por cualquier subconjunto compacto de <b>R</b>. <i>Observación 11.1. </i>Los resultados de los teoremas anteriores se usan (a veces, implícitamente) en el primer curso de Cálculo, especialmente cuando de trata de hallar máximos o mínimos. Una demostración usando solamente la axiomática de los Reales se puede hallar en [[Espacios Métricos/Bibliografía|Spivak [16]]]. El resultado de que una función continua es acotada se usa, en cursos de Cálculo, para probar que la existencia de la integral de funciones continuas. El resto de esta sección estará dedicado a estudiar propiedades equivalentes a la compacidad de subconjuntos de <b>R</b>. Tales propiedades están contenidos en el siguiente teorema, que resume muchos de los resultados del Análisis del siglo XIX. La demostración del teorema se hará a través de varios lemas, cuyas demostraciones serán interesantes por si mismas. La lectora o lector deberá estar atento a ver cuáles de esas propiedades se generalizan a <b>Rⁿ</b>, a espacios métricos cualesquiera y, finalmente, a espacios topológicos generales. <b>Teorema 11.5.1 (Teorema de la Compacidad en <b>R</b>). </b><i>Sea A un subconjunto no vacío de <b>R</b>. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) A es compacto. :(b) A es cerrado y acotado. :(c) Cada subconjunto infinito de A tiene un punto de acumulación en A. :(d) Cada sucesión de elementos de A tiene una subsucesión convergente. :(e) Cada función continua de A en <b>R</b> es acotada. </i> <hr> Antes de continuar con la discusión de esas propiedades introduciremos algunos nombres para las propiedades contenidas en el teorema. <b>Bolzano–Weierstrass. </b>Decimos que un subconjunto A de un espacio X (cualquiera) tiene la propiedad de Bolzano–Weierstrass o que es un espacio B–W, ssi, cada conjunto infinito de A tiene un punto de acumulación en A. Algunos autores llaman a esta propiedad <i>compacidad enumerable</i>. <b>Compacidad secuencial. </b>Un subconjunto A de un espacio X es <b>secuencialmente compacto</b>, ssi, cada sucesión de elementos de A tiene una subsucesión convergente en A. <b>Seudocompacidad. </b>Un subconjunto A de un espacio X es <b>seudocompacto</b> cuando toda función real continua definida en A es acotada. El teorema establece que cada una de esas propiedades es, en la línea real, equivalente a la compacidad. <hr> Como en cualquier espacio métrico un conjunto compacto es cerrado y acotado (ver corolario 11.4.10), sigue de la proposición 11.4.7 el siguiente resultado; <b>Proposición 11.5.2 (Teorema de Heine–Borel para la Línea Real). </b><i>Un subconjunto de la línea real es compacto, ssi, es cerrado y acotado.</i> Esta equivalencia de la compacidad será usada frecuentemente en lo que sigue. En el corolario 7.5.3, vimos que toda sucesión real acotada tiene una subsucesión convergente. Esto implica que cualquier conjunto infinito acotado (que contiene, por lo tanto, a una sucesión acotada) tiene un punto de acumulación. Esta propiedad es muy importante, por lo que la enunciaremos a continuación como una proposición, y daremos otra demostración de la misma. Tal demostración será útil en las generalizaciones.. <b>Proposición 11.5.3 (Bolzano–Weierstrass en <b>R</b>). </b><i>Todo subconjunto infinito y acotado de <b>R</b> tiene un punto de acumulación. </i> <ul><i>Demostración. </i>Sea A un conjunto infinito y acotado. Como A es acotado, está contenido en un intervalo cerrado y acotado, digamos [a, b]. La idea de la demostración es construir una sucesión anidada de intervalos cuyos diámetros tiendan a cero, tomar la intersección de tales conjuntos, que contendrá a un único elemento (ver corolario 11.4.6) y probar que ese único elemento es el punto de acumulación deseado. Sea J₀ = [a, b]. Dividamos en intervalo J₀ por su punto medio en dos subintervalos. Escogemos al subintervalo que contiene infinito puntos de A y le llamamos J₁. Al menos uno de ellos debe tener infinitos elementos, cuando ambos tengan infinitos elementos seleccionamos el subintervalo de la izquierda. Notemos que el diámetro de J₁ es igual a la mitad del diámetro de J₀, es decir que &delta;(J₁) = (b − a)/2. Supongamos construidos de la manera anterior, J₂, ... , J_k tales que :(i) J_k contiene infinitos puntos de A, :(ii) J_k ⊂ J_k−1 ⊂ ... ⊂ J₁ ⊂ J₀, y :(iii) δ(J_k) = (b − a)/2^k. (diámetro). Repitiendo el proceso anterior con J_k, obtendremos un J_k+1 ⊂ J_k que tiene infinitos puntos de A y cuyo diámetro es igual a la mitad del diámetro de J_k, es decir, igual a (b − a)/2^k+1. Por inducción, obtenemos la sucesión de intervalos anidada anunciada. Luego, por el corolario 11.4.6, tenemos que la intersección de todos los J_n’s contiene exactamente un punto, digamos z. Probaremos que z es un punto de acumulación de A. Sea V una vecindad de z, por definición de vecindad hay un r > 0 tal que la bola abierta B(z; r) está contenida en V . Como la sucesión (b − a)/2ⁿ &rarr; 0, hay un n tal que m ≥ n implica que (b − a)/2^m < 2r, lo que implica que el intervalo Jm que contiene a z, está contenido en B(z : r) ⊂ V . Por lo que V contiene un punto (de hecho infinitos puntos) de A diferentes de z. Luego, z es un punto de acumulación de A. </ul>{{QED}}<hr> <i>Observación 11.2. </i>Notemos que el subconjunto <b>N</b> de la línea real es infinito, pero no tiene punto de acumulación. Es decir que la condición de acotado es esencial. <b>Lema 11.5.4. </b><i>Un subconjunto infinito A de la línea real es compacto, ssi, tiene la propiedad de Bolzano–Weierstrass. </i> <ul><i>Demostración. </i>(⇒) Subconjuntos compactos son acotados, por lo que el la proposición 11.5.3 implica A tiene un punto de acumulación. Como conjuntos compactos son cerrados, dicho punto de acumulación está en el conjunto. <br> (&lArr;) Sea A un subconjunto de la línea real con la propiedad B-W. Si A es finito, trivialmente tenemos que A es cerrado y acotado, por lo tanto, compacto. Supongamos, entonces, que A es infinito. Probaremos que es cerrado y acotado. Sea z un punto de acumulación de A. Entonces, hay una sucesión (x_n) de puntos de A que convergen a z. Entonces, z es un punto de acumulación de {x_n : n ∈ N} ⊂ A. Por la hipótesis, z está en A, lo que implica que A es cerrado. Supongamos ahora que A no fuera acotado, digamos superiormente. Sea x₁ un punto cualquiera de A tal que x₁ > 1. Como A no está acotado superiormente, podemos hallar un x₂ > 2 tal que x₁ < x₂. Análogamente (por inducción), cuando hemos hallado x₁ < x₂ < ... < x_n con x_n > n, podremos hallar un x_n+1 tal que n + 1 < x_n+1. Por inducción, obtendremos una sucesión no acotada, por lo que el conjunto S de los términos de la sucesión así formada es infinito y no acotado. Por la hipótesis, debe haber un punto de acumulación de S, que será el límite de una subsucesión (y_n) de (x_n). Luego, por ser convergente, la sucesión (y_n) debe ser acotada (ver 7.2.8), pero por la generación de los x_n’s debe ser no acotada. Esta contradicción concluye la prueba. El caso acotado inferiormente queda de ejercicio. </ul>{{QED}}<hr> <b>Lema 11.5.5. </b >Un subconjunto de la línea real es compacto, ssi, es secuencialmente compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>Usaremos la caracterización de compacto como cerrado y acotado. (⇒) Sea A un conjunto compacto, o sea cerrado y acotado y sea (s_n) una sucesión en A. Por ser acotado A, hay un real m tal que <br /> A ⊂ [−m,m]. Consideremos al subconjunto S = {s_n} de A formado por los términos de la sucesión. Si S fuera finito, entonces hay al menos un término cuyo valor se repite infinitas veces, definiendo una subsucesión convergente. En caso contrario. la proposición 11.5.3 nos dice que hay un punto de acumulación de S, o que produce una sucesión de S convergente al punto de acumulación. Tal sucesión es la subsucesión deseada. (&lArr;) Sea A un conjunto secuencialmente compacto. Sea p un punto de acumulación de A. Sabemos que entonces hay una sucesión de números en A diferentes de p, que converge a p. Por la hipótesis, p está en A, o sea que A es cerrado. Supongamos que A no fuera acotado. Entonces, podremos hallar una sucesión (x_k) tal que |x_k| ≥ k. Tal sucesión no es acotada, lo mismo que cualquier subsucesión de ella, por lo tanto, no puede tener una subsucesión convergente a un punto de A. </ul>{{QED}}<hr> <b>Lema 11.5.6. </b><i>Un subconjunto A de <b>R</b> es compacto,ssi, cada función real continua definida en A es acotada.</i> <ul><i>Demostración. </i>(⇒) Ejercicio. (Sug.Mirar la prueba de los teoremas B y C; o usar el teorema 11.4.3.)<br> (&lArr;) Consideremos la función valor absoluto restringida a A. Como valor absoluto es una función continua, la hipótesis de seudocompacidad implica que es acotada. Luego, A es un conjunto acotado. Probaremos que también es cerrado. Supongamos que no, y sea z un punto de la clausura de A que no está en A. Entonces, para todo x en A, |x − z| > 0 y acotado. Lo que implica que la función x → 1/|x − z| es continua, pero no es acotada. Contradicción. Lo que prueba el resultado.. </ul>{{QED}}<hr> Con los lemas 11.5.4, 11.5.5 y 11.5.6 se concluye al prueba del teorema 11.5.1. ----- Notemos que las equivalencias fueron hechas en cada lema con la propiedad de cerrado y acotado. Podríamos haber adoptado otro esquema, como se sugiere en el siguiente esquema. [[File:Esquema-11.jpg|center|Equivalencias de Compacidad]] Dejaremos al cuidado del lector de tratar de producir una demostración siguiendo ese esquema, o cualquier otro para la parte cíclica de la derecha. Las equivalencias directa con la definición de compacto son usualmente complicadas. ¿Cuáles de las equivalencias pueden extenderse a <b>Rⁿ</b>? ¿a espacios métricos cualesquiera? ¿a espacios topológicos cualesquiera? ¿Cuáles de las equivalencias pueden extenderse a <b>Rⁿ</b>? ¿a espacios métricos cualesquiera? ¿ a espacios topológicos cualesquiera? === Ejercicios 11.5 === <ol> <li> Probar que los intervalos abiertos (acotados o no), así como los intervalos semiabiertos (acotados o no) no son conjuntos compactos. <li> Hallar un cubrimiento abierto del intervalo (0, 1) que no tenga recubrimiento finito. <li> Hallar un cubrimiento abierto de la línea real que no tenga recubrimiento finito. ¿Por qué esto implica que los intervalos abiertos no son compactos? <li> El Conjunto de Cantor es compacto. <li> Probar que la propiedad de intervalos encajados (ver corolario 11.4.6) implica la propiedad de Bolzano–Weierstrass (ver también a la proposición 11.5.3). <li> Sea f : [a, b] &rarr; [c, d] una función continua estrictamente creciente (x < y =⇒ f(x) < f(y)) tal que f(a) = c y f(b) = d. Probar que f es un homeomorfismo. <li> Suponga conocido que el cubo unitario <b>I²</b> de <b>R²</b es compacto (lo probaremos más adelante). Probar los siguientes enunciados.> :a) Cualquier “cuadrado ] − M,M[ × ] − M,M[, donde M es un real positivo cualquiera, es compacto. :b) La circunferencia y círculo con centro en el origen y radio 1 son conjuntos compactos. :c) Cualquier bola cerrada de <b>R²</b> es un conjunto compacto. <li> Probar que la propiedad de Bolzano–Weierstrass (proposicion 11.5.3) para <b>I²</b>. Es decir que cada subconjunto infinito A de <b>I²</b> tiene un punto de acumulación en A. </ol> == El Teorema de Tychonoff == La extensión del estudio de la compacidad a <b>Rⁿ</b> y otros espacios requiere relacionar la compacidad de un producto a la compacidad de los factores. Esto se logra con el teorema de Tychonoff, que es uno de los teoremas más famosos e importantes de la topología. <b>Teorema 11.6.1 (Tychonoff). </b><i>El producto de una familia cualquiera de conjuntos compactos es compacto.</i> El teorema, con la generalidad indicada, requiere para su demostración de algunas nociones avanzadas de la teoría de conjuntos (axioma de selección, lema de Tukey) que están fuera del alcance de este texto. Nos limitaremos, en consecuencia, al caso de una familia finita, lo que será suficiente para nuestros propósitos. Usaremos en la demostración el siguiente lema general. <b>Lema 11.6.2.</b><i> Sea X un espacio topológico y B = (B_i: i∈I) una base de los abiertos de X. Si cada cubierta de X por abiertos de B tiene una subcubierta finita, entonces X es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea (U_j), j en J, una cubierta abierta de X. Cada abierto de la cubierta es una reunion de abiertos de la base. Supongamos que U_j = &cup;_k B_j,k, con cada B_j,k es un abierto de la base y los base y los k’s están en un subconjunto K de I. Luego, <div class="center"><math>X \subset \bigcup_j U_j = \bigcup_j \bigcup_{j, k} B_{j,k}.</math></div> Lo que implica que los B_j,k’s determinan una cubierta de X. Por la hipótesis, dicha cubierta tiene una subcubierta finita, digamos C₁, C₂, ...C_m. Cada C_i es alguno de los B_j,k, por lo que está contenido en, digamos, U_j,k . Luego, <div class="center"><math> X \subset \bigcup_{j=1}^m C_j \subset \bigcup_{j=1}^m U_{j_k}. </math></div> Lo que muestra que la cubierta original tiene una subcubierta finita, es decir que X es compacto. </ul>{{QED}}<hr> <b>Teorema 11.6.3 (Teorema de Tychonoff finito). </b><i>El producto de una familia finita de espacios topológicos compactos es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>Probaremos que el producto de dos espacios compactos Z = X × Y es compacto. El resultado seguirá entonces por inducción. Usaremos el lema anterior para la demostración. Consideraremos la base de abiertos de Z consistente de los abiertos de la forma U ×V , donde U es un abierto de X y V un abierto de Y . Sea B = {U_i × V_i : i ∈ I} una cubierta de Z; probaremos que hay una subcubierta finita de B. Sea x₀ un punto de X y consideremos al subespacio {x₀} × Y de Z. Dicho subespacio es homeomórfico a Y ; por lo que es compacto. La familia B es una cubierta de tal subespacio, por lo que hay un subconjunto finito J_x₀ de I, tal que la familia C = (U_j × V_j), j ∈ J_x₀, es una subcubierta de {x₀} × Y . Sin perdida de generalidad, podemos suponer que cada elemento de esa subcubierta contiene a {x₀}×Y (si algún elemento de la subcubierta no contuviera a ese subespacio, lo podemos eliminar de la subcubierta, y el resultado continuaría cubriendo a {x₀} × Y ). Sea U_x₀ = &cup; {U_j : j ∈ J_x₀}. Entonces, tenemos que, para j en J_x₀, <div class="center"><math> \begin{array}{rcl} \{x_0\} \times Y & \subset &U_{x_0} \times Y = U_{x_0} \times \bigcup_j \{V_j: j \in J_{x_0} \} \\ &=& \bigcup_j \{U_{x_0} \times V_j \} \subset \bigcup_j (U_j \times V_j). \end{array} </math></div> Lo que muestra que la familia C es una cubierta abierta de U_x₀ × Y . Consideremos ahora la familia (U_x), x∈X, donde U_x se obtiene como arriba. Como X es compacto hay un subconjunto finito {x₁, x₂, ... , x_m} de X tal que U_x₁ ∪U_x₂ ∪...∪U_{x_m} cubre a X. Sea J = J_x₁ ∪J_x₂ ∪...∪J_{x_m}. J es un conjunto finito, por ser reunión de finitos. Sea (x, y) un punto de Z, entonces hay un k tal que x pertenece a U_{x_k} , 1 ≤ k ≤ m. Luego, (x, y) está en U_{x_k} × Y , conjunto que, por el trabajo inicial, está contenida en U_j × V_j, j ∈ J_{x_k}. Luego, la familia (U_j×V_j ), j∈J es una subcubierta finita de B. Lo que prueba queX×Y es compacto. Sea X_i, i = 1, ... , m una familia finita de espacios compactos. Sabemos que el teorema es válido cuando m = 2. Si el teorema fuera valido para productos de k compactos, entonces tendremos para k + 1 espacios compactos que <div class="center"><math>\prod_{i=1}^{k+1} X_i = (\prod_{i=1}^k X_i) \times X_{k+1}.</math></div> Como, por lo anterior, la expresión de la derecha es el producto de dos espacios compactos, se tiene que el teorema es válido para el producto de (k + 1) espacios compactos. Por inducción, tenemos el resultado. </ul>{{QED}}<hr> <i>Observación. </i> ¿Por qué la demostración dada para el producto de dos compactos no sirve para un producto general? Básicamente, porque los abiertos de las bases—en el caso general—no tienen la forma indicada en la prueba del caso finito. La demostración del teorema general requiere de un lema semejante al lema 11.5.2 con subbases en lugar de bases. Tal demostración aparece, entre otros, en [[Espacios Métricos/Bibliografía|Simmoms [15]]]. === Ejercicios 11.6 === 1. Probar que el cílindro y la cinta de Moebius son espacios compactos. == La Compacidad en <b>Rⁿ</b> == La teoría de los conjuntos compactos en <b>Rⁿ</b> es semejante a la teoría en a línea real, como veremos en esta sección. Esto se debe, en primer lugar, a que conjuntos cerrados y acotados son compactos. Nuestro primeros resultados, serán los análogos a aquellos en el corolario 11.4.5 y en la proposición 11.4.7. Aplicando el teorema de Tychonoff al cubo unitario <b>Iⁿ</b>, vemos que se trata de un conjunto compacto, ya que I = [0, 1] es compacto y<br /> <b>Iⁿ</b> = I × ... × I (n veces). En forma más general, tenemos el siguiente resultado. <b>Lema 11.7.1. </b><i>El cubo C(0;M) = {(x_i) ∈ <b>Rⁿ</b> : para todo i, − M ≤ x_i ≤ M} es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>C(0;M) = J × ... × J (n veces), donde J = [−M,M]. El resultado sigue del teorema de Tychonoff. </ul>{{QED}}<hr> Veremos que el teorema básico de la compacidad de <b>Rⁿ</b>, es totalmente análogo al teorema correspondiente (teorema 11.4.1) para la línea real. Dos resultados fueron importantes en las demostraciones del teorema mencionado. Veremos los correspondientes análogos para <b>Rⁿ</b>. <b>Proposición 11.7.2</b> (Teorema de Heine–Borel para <b>Rⁿ</b>). Un subconjunto de <b>Rⁿ</b> es compacto, ssi, es cerrado y acotado. <ul><i>Demostración. </i>Cualquier conjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y acotado. El enunciado recíproco, sigue de que un conjunto acotado está contenido en un cubo centrado en el origen, que es compacto. Por lo que un subconjunto cerrado de él, será compacto. </ul>{{QED}}<hr> <b>Proposición 11.7.3 (Bolzano–Weierstrass en <b>Rⁿ</b>). </b><i>Todo subconjunto infinito y acotado de <b>Rⁿ</b> tiene un punto de acumulación en A.</i> <ul><i>Demostración. </i>La idea de la demostración es análoga a aquella de la proposición 11.5.3. Sea A un conjunto infinito y acotado. Como es acotado, está contenido en un cubo cerrado, digamos C. La idea de la demostración es construir una sucesión anidada de intervalos cuyos diámetros tiendan a cero, tomar la intersección de tales conjuntos, que contendrá un único elemento y ver que ese único elemento es el punto de acumulación deseado. Ilustraremos la construcción para el caso n = 2. Sea A un conjunto infinito acotado de <b>Rⁿ</b>. Entonces, habrá un cuadrado C₀ centrado en el origen que contienea A. Dividiendo C₀ por líneas que pasa por los puntos medios de sus lados, obtendremos cuatro cuadrados cuya reunión es C₀, Al menos uno de ellos, digamos C₁ contiene infinitos puntos de A. Repitiendo con C₁ el procedimiento anterior, obtendremos C₂. Por inducción, obtenemos una sucesión anidada C_n de cerrados con diámetro tendiendo a cero. El resto de la prueba es idéntica al de la proposición citada. </ul>{{QED}}<hr> Las equivalencias de compacidad en <b>Rⁿ</b> son totalmente análogas a aquellas de la línea real, ya que tenemos el siguiente teorema. <b>Teorema 11.7.4 (Compacidad en <b>Rⁿ</b>). </b><i>Sea A un subconjunto no vacío de <b>Rⁿ</b>. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) A es compacto. :(b) A es cerrado y acotado. :(c) A es B–W (compacto enumerable). Cada subconjunto infinito de A tiene punto de acumulación en A. :(d) A es secuencialmente compacto. Cada sucesión de tos de A tiene una subsucesión convergente en A. :(e) A es seudocompacto. Cada función continua definida en A es acotada. </i><hr> La demostración de la proposición quedará de ejercicio. Básicamente, las demostraciones del teorema correspondiente para la línea real, se pueden extender al caso de <b>Rⁿ</b>. Además, en próxima sección probaremos esas equivalencias para espacios métricos cualesquiera, con la excepción de cerrado y acotado que no es válida en general. Vale la pena, para entender la riqueza de relaciones envueltas tratar de hacer las demostraciones con las herramientas que tenemos. <b>Sugerencias para las demostraciones.</b><br> <ol> <li> Cerrado y acotado implica B–W. Ver el lema 11.5.3. <li> B-W, ssi, secuencialmente compacto. Ver la proposición11.5.5 <li> Secuencialmentre compacto implica cerrado y acotado. Ver el lema 11.5.5. <li> Cerrado y acotado, ssi, seudocompacto. Ver el lema 11.5.6. </ol> <b>Ejemplo 11.7.1. </b>Cuando A un espacio seudocompacto, A es compacto (cerrado y acotado). <i>Resolución. </i>Consideremos la función || · || restringida a A. Como norma es una función continua, la hipótesis de seudocompacidad implica que es acotada. Luego, A es un conjunto acotado. Probaremos que también es cerrado. Supongamos que no, y sea z un punto de la clausura de A que no está en A. Entonces, para todo x en A, d(x, z) > 0 y acotado. Lo que implica que la función x &#8614; 1/d(x, z) es continua, pero no es acotada. Contradicción. Lo que prueba el resultado. <hr> === Aplicaciones === Usaremos los resultados anteriores para dirimir una antigua interrogante. Probaremos que los espacios normados de dimensión finita son topológicamente equivalente a los espacios euclídeos <b>Rⁿ</b>. <b>Proposición 11.7.5. </b><i>Todas las normas de <b>Rⁿ</b> son topológicamente equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Sea <b>N</b>.una norma cualquiera (o sea se cumple lo especificado en la definición 3.5) y sea || • || la norma euclídea usual. Probaremos que hay reales m y M tales que para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que <div class="center"> m||x|| ≤ N(x) ≤ M||x||. (*) </div> Sigue entonces de la proposición 8.5.4 que las normas serán equivalentes. Sea e₁, ... e_n la base canónica de <b>Rⁿ</b> y sea x = &sum;_i x_i e_i. Sea M = n máx{N(x) : 1 ≤ i ≤ n}. Como solamente el vector nulo tiene norma 0, se tiene que M es un número positivo. Además <div class="center"><math>N(x) = N\sum_i x_i e_i \le \sum_i |x_i| \, |N(e_i)| \le \frac{M}{n} \sum_i|x_i|.</math></div> Pero, como siempre se cumple que |x_i| &le; ||x||, concluimos que <div class="center"><math> N(x) \le \frac{M}{n} \sum_i |x_i| \le M ||x||. </math></div> En particular, N(x − y) ≤ M||x − y||, lo que implica que <b>N</b>.es una función continua de E en <b>R</b>. Sea S = <b>Sⁿ⁻¹</b> la esfera unitaria, que sabemos que es un conjunto compacto. Por lo que <b>N</b>.alcanza máximo y mínimo en S. Sea m dicho mínimo que será un número positivo, ya que ninguno de los vectores de la esfera es nulo. La relación es válida cuando x = 0. Suponiendo x &ne; 0, sea c = ||x||^-1. Entonces ||cx|| = 1, lo que implica N(cx) = |c|N(x) ≥ m, es decir que N(x) ≥ m/|c| = m||X||. </ul>{{QED}}<hr> <i>Observación 11.3. </i>El resultado anterior requiere esencialmente que el espacio normado sea de dimensión finita. === Ejercicio 11.7 === <ol> <li> Probar que cualquier bola cerrada y cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> son conjuntos compactos. <li> Probar que las celdas de <b>Rⁿ</b>, productos de intervalos cerrados de los factores, son conjuntos compactos. <li> Probar que conjuntos abiertos no vacíos de <b>Rⁿ</b> no son conjuntos compactos. </ol> == La Compacidad en los Espacios Métricos == Históricamente, la idea de la compacidad surgió de tratar de extender los teoremas clásicos del Análisis, teorema 11.7.4 de la sección anterior, a espacios métricos generales, especialmente a espacios de funciones. Queremos probar para espacios métricos cualesquiera el análogo al teorema citado. El mayor obstáculo para la extensión es que, en general, cerrado y acotado no implica compacto. Basta con considerar un espacio métrico discreto infinito E. Claramente es cerrado y acotado, pero no puede ser compacto, ya que la colección de {x}, x en E es una cubierta abierta de E que no admite subcubierta finita. Como nuestras pruebas para <b>Rⁿ</b> se basaban principalmente en las equivalencias de compacto con cerrado y acotado, necesitaremos nuevas pruebas. Debido a la generalidad, tendremos que proceder con bastante delicadeza, es decir con argumentos muy sutiles. La exposición está basada principalmente en el texto de Simmons. === Equivalencias de Compacidad === Probaremos, a continuación, las siguientes equivalencias. [[File:Equivalencias de Compacidad.jpg|center|300px]] Empezaremos con la siguiente equivalencia. <b>Proposición 11.8.1. </b><i>Un espacio métrico E tiene la propiedad B–W, ssi, es secuencialmente compacto. </i> <ul><i>Demostración. </i>Supondremos que el espacio E es secuencialmente compacto y probaremos B–W. Sea X un subconjunto infinito de E. Como X es infinito, podemos formar una sucesión (x_n) de puntos diferentes de X. Por la hipótesis, dicha sucesión tiene una subsucesión convergente a un punto de X. El límite de esa sucesión es un punto de acumulación de los términos de la subsucesión que forman un subconjunto de X, por lo que dicho límite es un punto de acumulación de X. Supongamos, ahora, que se cumple la propiedad de B–W. Sea (x_n) una sucesión en E. Consideremos al conjunto S = {x_n} formado por los términos de la sucesión. Si S es finito, un valor de los términos se repite infinitas veces, la subsucesión constante asociada con dicho valor es convergente. Si S es infinito, por la hipótesis, hay un punto de acumulación de S. Dicho punto es un punto de acumulación de S, por lo que podemos extraer una subsucesión que converge a dicho punto de acumulación. </ul><hr> <b>Proposición 11.8.2. </b><i>Cada espacio métrico compacto tiene la propiedad B–W.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea E un espacio métrico compacto y sea A un subconjunto infinito de A. Supongamos que A no tuviera un punto de acumulación. Entonces, para cada x de E, hay una bola abierta con centro en x que no contiene punto alguno de A, excepto x cuando x está en A. La reunión de esas bolas abiertas es una cubierta de E, por la compacidad de E hay una subfamilia finita que cubre a E y, en particular a A. Por lo que A debe ser finito. Esto contradice la hipótesis, luego A debe tener un punto de acumulación. </ul>{{QED}}<hr> Figura 11.1: Implicaciones en un Espacio Métrico Para completar nuestras equivalencias, bastará con probar que en cada espacio métrico secuencialmente compacto es compacto. Esto será establecido usando dos conceptos auxiliares, que son interesantes por si mismos, el número de Lebesgue de una cubierta de abiertos y la noción de espacio totalmente acotado. === Número de Lebesgue === Sea (G_i) una cubierta abierta de un espacio métrico E. Para cada x de X hay un abierto de la cubierta que contiene una r–vecindad de x. Si escogemos otro punto, y repetimos el mismo proceso, podremos hallar una r′–vecindad del nuevo punto totalmente contenida en un abierto de la cubierta. En general, el radio de la bola abierta conteniendo al punto variará de punto en punto. Sin embargo, en algunos casos, un mismo radio servirá para todos los puntos, como veremos más adelante. Tal situación merece un nombre especial. {{DefRht|Número de Lebesgue| Llamamos número de Lebesgue de una cubierta (G_i) de un espacio métrico E a un número λ, ssi, cada subconjunto de E cuyo diámetro es menor que λ está totalmente contenido en alguno de los abiertos de la cubierta. }} Necesitaremos el siguiente resultado para la prueba de la próxima proposición. <b>Lema 11.8.3. </b><i>Sea A un subconjunto de un espacio métrico E tal que δ(A) = r y tal que A ∩ B(x;r) &ne; &empty;. Entonces, A está contenido en B(x;2r).</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea y un elemento de A y z un elemento de la intersección. Entonces, d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) < r + r = 2r. </ul>{{QED}}<hr> [[Archivo:Implicaciones de Compacidad.jpg|center|300px]] <hr> <b>Proposición 11.8.4 (Lema de las Cubiertas de Lebesgue). </b><i>Cuando un espacio métrico es secuencialmente compacto, cada cubierta abierta del espacio tiene un número de Lebesgue. </i> <ul><i>Demostración. </i>Sea E un espacio métrico secuencialmente compacto y sea (G_i)i∈I una cubierta de E. Digamos que un conjunto es “grande” si no está contenido en un abierto de la familia. Si no hay conjuntos grandes, cualquier número positivo servirá como nuestro número de Lebesgue, a. Supongamos, ahora, que hubiera conjuntos “grandes” y sea a′ el ínfimo de sus diámetros. Claramente, 0 ≤ a′ ≤ +∞. Si a′ = +∞, cualquier número positivo servirá como nuestro λ. Si a′ > 0, entonces λ = a′ servirá para nuestra proposición. Veremos, a continuación, que si a = 0, obtendremos una contradicción. Como cada conjunto grande tiene al menos dos elementos, y a′ = 0, concluimos que para todo n > 0, hay un conjunto grande C_n tal que 0 < δ(C_n) < 1/n. Escojamos un punto x_n en cada C_n. Como E es secuencialmente contacto, la sucesión (x_n) tiene una subsucesión (y_n) convergente a un punto y de E. Tal punto está en uno de los elementos de la cubierta, digamos G_j , j ∈ I. Hay, por lo tanto, una r–vecindad de y totalmente contenida en G_j . Sea B la r/2–vecindad de y, como y_n &rarr; y, hay un n₁ tal que n ≥ n₁ implica que y_n está en B. Sea n0 tal que 1/n₀ < r/2 y n₀ ≥ n₁. Como δ(C_n₀) < 1/n₀ < r/2, concluimos, usando el lema previo, que C_n₀ ⊂ B(y;r) ⊂ G_j . Lo que contradice que C_n₀ fuera grande. Luego, a′ > 0. </ul>{{QED}}<hr> === ε–redes, Total Acotamiento === {{DefRht|ε–redes, Total Acotamiento| Sea E un espacio métrico. Un subconjunto A de E es una ε–red de E, ε > 0, ssi, A es finito y (B"(x)), x en A. es una cubierta de E. Decimos que E es totalmente acotado, ssi, para cada ε > 0 hay una ε–red de E.}} <b>Proposición 11.8.5. </b><i>Cada espacio secuencialmente compacto es totalmente acotado.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea E un espacio métrico secuencialmente compacto y sea ε > 0 dado. Escojamos un a₁ en E y consideremos la bola abierta B₁ = B(a;ε). Si X = B₁, entonces {a₁} es una ε–red para E. En caso contrario hay un a₂ fuera de B₁ y consideramos la ε–vecindad B₂ = B(a₂;ε). Si B₁ ∪ Bub><sub>2</s cubre a X, entonces {a₁, a₂} es un ε–red para E. Supongamos que hemos generado de esa manera a₁, a₂, ... a_k, donde B_i una ε- vecindad de a_i. Si la reunion B₁ ∪ ... ∪ B_k cubre a X, el conjunto {a₁, ... , a_k} es una ε–net para E. En caso contrario, hallamos un a_k+1 fuera de la reunión anterior y formamos B_k+1 como la ε–vecindad de a_k+1. Si ninguna reunión de los B_i’s así obtenidos cubre a E, habremos generado una sucesión (a_n) que no tiene subsucesión convergente (d(a_k+1, a_i) ≥ ε, para i ≤ k), lo cual contradice que E fuera secuencialmente compacto. Por lo que el proceso anterior debe finalizar en una cantidad finita de pasos, generando una ε–red para E. </ul>{{QED}}<hr> Usando las proposiciones anteriores, probaremos lo que nos resta de las equivalencias de la figura 11.1. <b>Proposición 11.8.6. </b><i>Cada espacio métrico secuencialmente compacto es compacto.</i> <ul><i>Demostración. </i>Sea E une espacio métrico secuencialmente compacto y sea (G_i) una cubierta abierta de E. Por la proposición 11.8.4 la cubierta tiene un número de Lebesgue λ. Sea r = λ/3 y sea A = {a₁, ... , a_m} una ε–red para E. Sea B_k la ε–vecindad de a_k. Entonces, (i) la reunión de los B_k cubre a E y (ii) el diámetro de cada B_i es menor que 2ε < λ. Luego, cada B_k está contenido en uno de los G_i, digamos G_{I_k} , 1 ≤ k ≤ m. Luego, la reunión de los B_k (que cubre a E) está contenida en la reunión de los G_{i_k}, que es, por lo tanto, una subcubierta finita de E. Conclusión, E es compacto. </ul>{{QED}}<hr> === Resumen === <b>Teorema 11.8.7 (Compacidad en Espacios Métricos). </b><i>Sea E un espacio métrico. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) E es compacto. :(b) E tiene la propiedad B–W. :(c) E es secuencialmente compacto. :(d) E es totalmente acotado y cada cubierta tiene un número de Lebesgue. </i><hr> === Ejercicios 11.8 === <ol> <li> Sea A un subconjunto compacto de un espacio métrico compacto. ¿Es necesariamente compacto el complemento de A? <li> Sea A un subconjunto compacto de un espacio métrico E y sea f : E &rarr; F una función continua en un espacio métrico E. Probar que si y es un punto de la frontera de f(A), hay un x en A tal que f(x) = y. <li> Un espacio métrico totalmente acotado es acotado. <li> Probar que, en los Reales, acotado y totalmente acotado son equivalentes. ¿Es eso cierto para <b>R²</b>? ¿para un espacio métrico cualquiera? <li> Considerar a los Reales con la métrico discreta 0–1. Probar que se trata de un espacio acotado que no es totalmente acotado. <li> Todo espacio compacto es seudocompacto, ¿será cierto que un espacio métrico seudocompacto es compacto? </ol> == Compacidad y Completitud == Hay interesantes relaciones entre la completitud (cada sucesión de Cauchy es convergente) y la compacidad, como veremos a continuación. <b>Proposición 11.9.1. </b><i>Sea E un espacio métrico. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) E es compacto. :(b) E es totalmente acotado y completo.</i> <ul><i> Demostración. </i>(a) ⇒ (b). Como E es compacto es totalmente acotado. Como es compacto es secuencialmente compacto, por lo que cada sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente; pero esto implica que la sucesión es convergente, por lo que el espacio es completo. <br> (b) ⇒ (a). (Simmons) Probaremos que E es secuencialmente compacto. Como E es completo, bastará con probar que cada sucesión tiene una subsucesión de Cauchy. Sea (x_1n) un sucesión tal que S₁ = {x_1n} es un conjunto infinito; para simplicidad de la exposición denotaremos la sucesión por su conjunto de términos (la razón del doble subscript se verá más adelante). Como E es totalmente acotado, hay un cubrimiento finito por bolas abiertas de radio 1/2. Luego, S₁ debe contener una subsucesión S₂ = {x₂₁, x₂₂, ... } que está contenida en una de esas bolas. Aplicando nuevamente el acotamiento total a bolas de radio 1/3, se ve que hay una subsucesión S₃ = {x_3n : n=1,2, ...} que está totalmente contenida en una bola de radio 1/3. Inductivamnete, continuamos hallamos S_k = {x_k1, x_k2, ... } totalmente contenido en una bola de radio 1/k, k = 4, 5, . . . . Sea <div class="center">S = {x₁₁, x₂₂, x₃₃, ... }.</div> La sucesión así definida es una subsucesión de S₁. La construcción de la sucesión muestra que es de Cauchy. </ul>{{QED}} <hr> <b>Corolario 11.9.2. </b><i>Un subconjunto cerrado de un espacio completo es compacto, ssi, es totalmente acotado.</i> <ul><i>Demostración. </i>Un subespacio cerrado de un espacio completo es completo.</ul>{{QED}}<hr> == La Continuidad Uniforme == La siguiente proposición establece una propiedad de las funciones continuas con dominio un compacto que tiene profundas consecuencias en Análisis y otras ramas de la matemática. Enunciaremos la proposición para discutir de forma más precisa su significado; la demostración aparecerá más tarde. <b>Proposición 11.10.1. </b><i>Sea f : E &rarr; F continua entre espacios métricos con E compacto. Entonces, para todo ǫ > 0 hay un δ > 0 tal que para todo x, y en E se cumple que <div class="center">d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε </div> </i> ¿Cuál es la diferencia con continuidad? Diremos que una función que satisface la propiedad de la proposición es uniformemente continua. Analizaremos a continuación cuál es la diferencia con la continuidad que hemos usado hasta ahora. La definición de continuidad para f : E &rarr; F, continua en cada punto de E, establece que para todo p de E, para todo ε > 0 hay un δ > 0 tal que para todo x se cumple que <div class="center">d(x, p) < δ ⇒ d(f(x), f(p)) < ε. </div> Aparte de una diferencia en notación, pareciera no haber demasiada diferencia. Para apreciar mejor lo diferente, escribiremos en forma simbólica total las definiciones y haremos semejantes las notaciones. Simbólicamente, tenemos <hr> <i>Continuidad.</i> ∀y ∈ E, ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ E, d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε. <br /> <i>Continuidad Uniforme.</i> ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y ∈ E, ∀x ∈ E, d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε. <hr> Observemos que no hay diferencia entorno a la implicación, la diferencia está en la posición del cuantificador referente a y. ¿Qué significa esto? En el caso de la continuidad, el δ que existe depende tanto del y como del ε, es decir que para puntos diferentes del espacio, pudiera ser que no habrá un δ que funciones con todos los puntos (y); mientras que en el caso de la continuidad uniforme podemos hallar un δ que funciona uniformemente con todos los puntos del espacio. La proposicion 11.6.6 establece que tal situación siempre sucede cuando el dominio de la función es compacto. <ul><i> Demostración de la proposición 11.9.1. </i>Sea f : <E, d₁> &rarr; <F, d₂₁> continua y sea ε > 0 dado. Para cada y de F, consideremos la bola abierta de radio ε/2 con centro en y. Las preimágenes (imagen inversa) de esas bolas forman un cubrimiento de E. Como E es compacto, es secuencialmente compacto, y tiene, por lo tanto, un número de Lebesgue del cubrimiento, digamos δ > 0. Si x y x′ son elementos de E tales que d₁(x, x′) < δ, entonces {x, x′} tiene diámetro menor que δ, por lo que está contenidos en una de las preimágenes de bolas usadas arriba; luego f(x) y f(x′) pertenecen a una de las bolas de radio ε/2, por lo que d₂₁(f(x), f(x′)) < ε. </ul>{{QED}}<hr> == La Compacidad en Espacios Topológicos == Las propiedades equivalentes de los teoremas de compacidad en espacios métricos no se pueden extender a espacios topológicos cualesquiera. La aparición de “acotado” en algunas de las equivalencias, sugieren claramente que tales equivalencias no hacen sentido en espacios topológicos arbitrarios. En el lado positivo, se tiene la siguiente cadena de implicaciones, cuyas demostraciones daremos más adelante. [[File:Fig11-03.jpg|center|Compacidad en Espacios Topológicos|350px]] Se puede hallar ejemplos que muestran que las implicaciones son estrictas. <b>Proposición 11.11.1. </b><i>Cualquier espacio compacto es B–W (compacto enumerable). </i> <ul><i> Demostración. </i>Sea X un espacio compacto y sea A un subconjunto finito de X. Supongamos que A no tiene punto de acumulación. Entonces, A y cualquier subconjunto de A, son cerrados. Como A es infinito, hay una sucesión (x_n) de puntos de A, diferentes entre si. Sea A_n = {x_k : k ≥ n}, n = 1, 2, . . . . Cada A_n es cerrado y la familia de los A_n es una secuencia anidada que tiene, por lo tanto, la propiedad de la intersección finita. Sin embargo, &cap; A_n es vacío, por lo que X no pude ser compacto; lo que contradice la hipótesis. Luego, A debe tener un punto de acumulación en X. </ul>{{QED}}<hr> <b>Proposición 11.11.2. </b><i>Cualquier espacio B–W (compacidad enumerable) es seudocompacto.</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea X un espacio con la propiedad de B–W. Supongamos que hay una función continua f : X → <b>R</b> que no es acotada. Sin perdida de generalidad supondremos que f no es acotada superiormente (en caso contrario, usar −f). Como n no es acotada superiormente, para todo n en N podremos hallar un x_n tal que f(x_n) > n. El conjunto S = {x_n : n ∈ N} contiene infinitos puntos, ya que en caso contrario, f(S) sería acotado, lo que contradice la definición de los x_n’s. Como el espacio X es B−W, el conjunto S tiene un punto de acumulación, digamos y en X. Sea z = f(y), como f es continua, z es un punto de acumulación de f(S). Sea m el menor entero tal que z < m. Por la definición de los x_n, hay solamente una cantidad finita de x_k tales que f(x_k)< m. Sea r el mínimo entre las distancias de esos f(x_k) a z, y de la distancia de z a m. Entonces, la r–vecindad de z no contiene puntos de f(S), lo que congradice su condición de punto de acumulación de ese conjunto. Luego, f dbe ser acotada. </ul>{{QED}} <hr> <b>Proposición 11.11.3. </b><i>Cualquier espacio secuencialmente compacto es B–W.</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea X un espacio secuencialmente compacto. Sea A un subconjunto infinito de X. Como X es infinito, podemos formar una sucesión (x_n) con los elementos de X. Por ser X secuencialmente compacto, hay una subsucesión y_{n_k>} de los (x_n) convergente a un punto y. Tal y es un punto de acumulación del conjunto de los y_{n_k>} y, por lo tanto, de los (x_n), o sea que y es un punto de acumulación de A. Luego, X es B–W. </ul>{{QED}} <hr> Una de las mayores dificultades con espacios topológicos arbotrarios reside en que sucesiones pueden tener más de un punto límite y que puntos de acumulación de un conjunto no son necesariamente límites de sucesiones de puntos del conjunto. === Ejercicios 11.11 === <ol> <li> Hallar un ejemplo de espacio topológico donde una sucesión tiene dos puntos límites diferentes. </ol> == Espacios Localmente Compactos == La línea real no es compacta, pero cada punto est;a contenido en un conjunto compacto, el punto a está contenido en ]a−r, a+r[. Esta situación es compartida por muchos de nuestros ejemplos importantes. {{DefRht|Relativamente y Localmente Compacto| Un subconjunto A de un espacio topológico X es relativamente compacto, ssi, su clausura es compacta. Un espacio Hausdorff es localmente compacto, ssi, cada punto del espacio tiene una vecindad relativamente compacta.}} <b>Ejemplos 11.12.1. </b> <ul> <li> Los espacios euclídeos <b>Rⁿ</b> son localmente compactos. <li> Cualquier espacio compacto es localmente compacto, todo el espacio es una vecindad compacta de cualquiera de sus puntos. <li> Un espacio discreto infinito es localmente compacto, pero no compacto; por ejemplo, los Naturales. </ul> <b>Proposición 11.12.1. </b><i>Sea X un espacio topológico. Los enunciados siguientes son equivalentes. <ol type="a"> <li> X es localmente compacto. <li> Para cada x en X y cada vecindad U de X, hay una vecindad abierta relativamente compacta V de x tal que V ⊂ Cl(V ) ⊂ U. <li> Para cada compacto C y abierto U ⊃ C hay un abierto relativamente compacto V tal que C ⊂ V ⊂ Cl(V ) ⊂ U. <li> X tiene una base que consiste de abiertos relativamente compactos. </ol> </i> <ul><i>Demostración. </i>(a) ⇒ (b). Para cada x hay una vecindad W tal que Cl(W) es compacta. Como se cumple que Cl(W) es un espacio regular (ver proposición 3.1 en capítulo 12), y Cl(W) ∩ U es una vecindad de x en Cl(W), hay una vecindad abierta G tal que contenido en Cl(W) tal que G ⊂ Cl_Cl(W)(G) ⊂ Cl(W) ∩ U. Por definición de topología relativa, G = H ∩ Cl(W), donde H es un abierto en X. Luego, V = H ∩ Cl(W) es la vecindad buscada. (b) ⇒ (c). Para cada c en C, sea V una vecindad de c relativamente compacta cuya clausura está contenida en U. Como C es compacto, una familia finita de tales vecindades cubre a C y su reunión es una vecindad de C que tiene clausura compacta. (c) ⇒ (d). Sea B la familia de todos los abiertos relativamente compactos. Como {x} es compacto, (c) implica que B es una base. (d) ⇒ (a). Trivial. </ul> {{QED}} <hr> <b>Proposición 11.12.2. </b><i>Sea f : X → Y , continua y abierta. Si X es localmente compacta entonces Y es localmente compacta. </i> <ul><i>Demostración. </i>Sea y en Y y sea x en X tal que f(x) = y. Sea U una vecindad abierta relativamente compacta de x. Como f es abierta, f(U) es una vecindad abierta de y. Como Cl(U) es compacta, también lo es f(Cl(U)), y como Cl(f(U)) ⊂ Cl(f(Cl(U)) = f(Cl(U)), tenemos que Cl(f(U)) es compacta. </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 11.12 === <ol> <li> Los Racionales como subespacio de los Reales no es localmente compacto. <li> Probar que una reunión finita de abiertos relativamente compactos es relativamente compacta. ¿Que se puede decir de su intersección? <li> Sea X relativamente compacto. Cualquier subespacio abierto o cerrado de X es también relativamente compacto. <li> El producto de espacios relativamente compactos es compacto. </ol> == Ejercicios del Capítulo 11 == <ol> <li> Sea A un conjunto compacto de un espacio métrico E. Cuando U es una vecindad abierta de A (o sea A ⊂ U), hay un número real positivo tal que {x ∈ X : d(x,A) < ε} esta contenido en U. <li> Sea A un subconjunto cerrado y conexo de <b>Rⁿ</b>. Sea V la r–vecindad de A. Probar que V es conexo por caminos. <li> Sea E un espacio métrico compacto. Cuando la clausura de cada bola abierta es la bola cerrada de igual centro y radio, se cumple que cada bola del espacio es conexa. <li> Sea A un subconjunto de <b>Rⁿ</b>. A es compacto, ssi, cada función continua con valores reales es acotada. <li> Sean F y G subconjuntos disjuntos de un espaciométrico E. Si F es cerrado y G compacto, entonces d(F,G) > 0. <li> Sea U un conjunto abierto que contiene un subconjunto compacto A de un espacio métrico E. Probar que hay un r > 0 tal que U contiene a V_r(A) = {x ∈ E : d(x,A) < r}. <li> Sea A un subconjunto cerrado y conexo de <b>Rⁿ</b>, y sea V una r–vecindad cerrada de A (V = {x ∈ <b>Rⁿ</b> : d(x < A) ≤ r}). Probar que V es conexa por caminos. <li> Sea E un espacio métrico compacto. Sea f : X &rarr; X continua tal que d(f(x), f(y)) < d(x, y) para todo x, y, x &ne; y. Entonces, f tiene un punto fijo único (o sea x tal que f(x) = x). <li> ¿Cuando la reunión de una familia de compactos es compacta en un espacio cualquiera? <ol> <!-- Compilado 24 de diciembre de 2016 --> <!-- 4 de abril de 2019 --> [[Categoría:Espacios Métricos]] pqaaa9800pxnyqautp3zos9ixz1r3o5 0 59223 423022 421105 2025-07-04T21:43:12Z Rehernan 55364 423022 wikitext text/x-wiki * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Prefacio|Prefacio]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Preliminares|Preliminares]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Introducción|Introducción]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Números Reales|Números Reales]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Normados|Espacios Normados]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Métricos|Espacios Métricos]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Conjuntos Abiertos y Cerrados|Conj.Abiertos y Cerrados]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Continuidad|Continuidad]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Sucesiones y Completitud|Sucesiones y Completitud]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Topológicos|Espacios Topológicos]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Productos y Cocientes|Espacios Productos y Cocientes?]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Conexos|Espacios Conexos]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Compactos|Espacios Compactos]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Separación|Prop.de Separación]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Topología de Matrices|Topología de Matrices]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Grupos Topológicos|Grupos Topológicos]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Grupos Matriciales|Grupos Matriciales]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Conjuntos|Conjuntos]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Funciones|Las Funciones]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Los Grupos|Nociones de Grupos]] ** [[Matemáticas/Espacios Métricos/Bibliografía|Bibliografía]] <noinclude>{{Renglóndoble|[[Matemáticas/Espacios Métricos/Texto para imprimir|'''Texto completo de este capítulo''']]|Esta página 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