Wikilibros eswikibooks https://es.wikibooks.org/wiki/Portada MediaWiki 1.45.0-wmf.8 first-letter Medio Especial Discusión Usuario Usuario discusión Wikilibros Wikilibros discusión Archivo Archivo discusión MediaWiki MediaWiki discusión Plantilla Plantilla discusión Ayuda Ayuda discusión Categoría Categoría discusión TimedText TimedText talk Módulo Módulo discusión 1 38508 423050 205471 2025-07-05T23:04:07Z Rehernan 55364 /* Fusión, Redirección, o Eliminación */ Respuesta 423050 wikitext text/x-wiki == Fusión, Redirección, o Eliminación == Considerando que ya existen libros en wikibooks específicos para áreas de la matemática como álgebra, cálculo y teoría de conjuntos sugiero que las páginas muy parecidas, presentes en varios libros, se fusionen, o que alguna redireccione a la otra y luego se elimine una de las dos. --[[Usuario:FedeBosio|FedeBosio]] ([[Usuario discusión:FedeBosio|discusión]]) 18:58 13 jun 2013 (UTC) :Cuando haya varias páginas sueltas la recomendacas veces, ión es valiosa. :Sin embargo cuando un libro, como este, consiste de varias páginas (capítulos) se debe mantener la integridad, ya que puede haber referencias cruzadas ``como vimos en el teorema XXXX''. Lasolución en este caso debeiera ser usar enlaces cruzados. :Otras veces aunque el tema tiene el mismos nombre, el nivel de exposición es diferentte. Por ejemplo, conjunto presentado gráficamente usando diagramas de Venn versus una exposición axiomática. :[[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 23:04 5 jul 2025 (UTC) guk9a0939ts0edrdl00o8hu5v4evthz 0 51263 423049 423027 2025-07-05T22:56:09Z Rehernan 55364 423049 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Álgebra Abstracta |actual=Operaciones |anterior=Introducción |siguiente=Estructuras }} </noinclude> === CAPÍTULO 2 LAS OPERACIONES === == Introducción == En este capítulo, iniciaremos nuestros estudios del Álgebra con las abstracciones de las operaciones usuales. Analizaremos, es decir, consideraremos en forma aislada cada una de las propiedades usuales, para ver claramente las consecuencias de las suposiciones de cada una de esas propiedades. Igualmente, para elementos o subconjuntos destacables. Cuando estudiamos a los números enteros, nos encontramos con las operaciones de suma, resta y multiplicación. Dichas operaciones poseen varias propiedades interesantes. Hay, además, números y subconjuntos destacados respecto a esas operaciones. Igualmente, tenemos operaciones en los Racionales, Reales y Complejos. Presentaremos nociones que son abstracciones de esas operaciones y de sus propiedades. Al analizar las propiedades de las operaciones y de elementos destacados como el 0, respecto a la suma, o el 1, respecto a la multiplicación, podremos ver las consecuencias lógicas de la existencia de esas propiedades y elementos. == Definiciones y Ejemplos == La noción general de operación que veremos es una simple abstracción de las operaciones usuales en los conjuntos numéricos. Consideremos las operaciones de suma, resta y multiplicación. ¿Qué tienen en común esas operaciones? Las tres operaciones mencionadas hacen esencialmente lo siguiente: asocian a un par ordenado de números, otro número. La diferencia entre esas operaciones reside en el valor asociado. Por ejemplo, al par (5, 3), la suma asocia el 8, mientras que resta asocia el 2 y la multiplicación el 15. Esa observación es la base para la definición abstracta de operación que daremos a continuación. {{DefRht|Operación| Una operación en un conjunto <math>E</math> es una función : <math> \begin{array}{rccl} \circledcirc : & E \times E & \longrightarrow & E \\ & (a,b) & \longmapsto & c = a \circledcirc b \end{array} </math> }} Es decir, una operación en un conjunto <math>E</math> es la asignación a cada par ordenado de elementos de E, de un único elemento de E. Cuando <math> \circledcirc </math> es una operación, es costumbre denotar el valor de la función <math> \circledcirc </math> en la pareja (x, y) como <math> x \circledcirc y </math>, en lugar de <math> \circledcirc(x,y) </math>, como es lo usual para las funciones. Simbolizamos a las operaciones por símbolos tales como <math> +, -, \cdot, \div</math>, etc. Usamos <math> \ast </math> para indicar una operación cualquiera. Muchas veces, por simplicidad, escribiremos ''ab'' o <math>a \cdot b</math> en lugar de ''a * b''. {{Ejmpl|Ejemplo 1.1}} En el conjunto de los Enteros, <math>\mathbb Z</math>, tenemos tres operaciones: la suma, la resta y la multiplicación. En el conjunto de los (números) Racionales y los Reales tenemos también operaciones de suma, resta y multiplicación. {{Ejmpl|Ejemplo 1.2}} Sigue de la definición dada de operación que la resta NO es una operación en el conjunto de los números naturales, ya que no siempre es posible asignar un número natural a la resta de dos números naturales. Por ejemplo, 3 - 5 no es un número natural. Aunque lo anterior es diferente a lo usado cotidianamente, la diferencia permite hacer un trabajo lógicamente más simple Como no hay división por cero en los Reales, la división tampoco es, de acuerdo a la definición dada una operación en dicho conjunto. {{Ejmpl|Ejemplo 1.3}} Sea <math>X</math> un conjunto no vacío y consideremos el conjunto <math>F(X, \R)</math> formado por todas las funciones de ese conjunto en los Reales. Para esas funciones se definen una suma, resta y multiplicación de la siguiente manera. <center> <math> \begin{matrix} f + g & : & x \mapsto f(x) + g(x), \\ f - g & : & x \mapsto f(x) - g(x), \\ f \cdot g & : & x \mapsto f(x) \cdot g(x). \end{matrix} </math></center> Este ejemplo aparece en cursos elementales con la restricción de que se supone que X es un subconjunto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplo 1.4}} Sea <math>X</math> un conjunto no vacío y sea <math>F(X,X)</math> el conjunto formado por todas las funciones de <math>X</math> en si mismo. La ''composición'' de funciones <math>(f,g)\mapsto f \circ g</math> es una operación en <math>F(X,X)</math>. {{Ejmpl|Ejemplo 1.5}} Sea <math>X</math> un conjunto no vacío y sea <math>\mathbb{P}(X)</math>, el conjunto formado por todos los subconjuntos de <math>X</math>. La (re)unión e intersección de subconjuntos son operaciones en <math>\mathbb{P}(X).</math>. {{DefRht|Magma| Llamamos '''magma''' a un conjunto E provisto de una operación.}} Cuando queramos identificar al conjunto y a la operación, describiremos al magma como un pareja formada por el conjunto y la operación, <math>\langle E,*\rangle</math>. Por ejemplo, los Enteros con la suma (<math>\langle{\Z,+}\rangle</math>) y los Enteros con la multiplicación (<math>\langle{\Z, \cdot}\rangle</math>), son ejemplos diferentes de magmas. === Propiedades Especiales === Las propiedades familiares de asociatividad, conmutatividad y distributividad de las operaciones numéricas se pueden definir para un operación cualquiera. Sin embargo, notemos de partida, que no siempre las operaciones tienen esas propiedades. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Tipos de Operaciones)</span> Decimos que una operación * en un conjunto <math>E</math> es: <ol type="a"> <li> '''Asociativa''', si, para todo <math>a, b, c</math> en <math>E</math>, se cumple que: <center><math> a \ast (b \ast c) = (a \ast b) \ast c.</math></center> <li> '''Conmutativa''', si, para todo <math>a, b</math> en <math>E</math>, se cumple que: <center><math>a \ast b = b \ast a.</math></center> <li> '''Distributiva''' respecto a otra operación <math>\oplus</math>, si, para todo ''a, b'' y ''c'' en <math>E</math>, se cumple que: <center><math>a \ast (b \oplus c) = (a \ast b) \oplus (a \ast c), \text{ y } (b \oplus c) * a = (b * a) \oplus (c * a).</math></center> </ol> </div> {{Ejmpl|Ejemplo 1.6}} La suma y la multiplicación usual en los conjuntos numéricos son operaciones asociativas y conmutativas. Además, la multiplicación es distributiva respecto a la suma. ---- ''Significado de la Conmutatividad.'' Una operación es conmutativa, cuando el orden en que se realiza la operación no afecta al resultado. La resta, en los Enteros, no es conmutativa ya que, por ejemplo, tenemos que <math> 5 - 3 = 2</math> y <math>3 - 5 = -2</math>, y <math>2 \neq -2</math>. ---- ''Significado de la Asociatividad.'' La asociatividad nos sirve, cuando está presente, para evaluar el resultado de aplicar la operación a más de dos elementos. En tal situación, debemos agrupar elementos en grupos de a dos para poder evaluar (eso proviene de que nuestras operaciones son binarias, o sea que asocian a dos elementos un tercer elemento). La asociatividad nos dice que podemos agrupar como queramos para la evaluación, sin cambiar el orden de aparición, y el resultado no cambiará. La resta no es asociativa, ya que ''5 - (3 - 2) = 5 - 1 = 4'', mientras que ''(5 - 3) - 2 = 2 - 2 = 0''. Esto nos dice que la expresión ''5 - 3 - 2'' es ambigua, porque el valor de esa expresión dependerá de como agrupemos los operandos. Al contrario, <math>5 + 3 + 2</math> no es ambigua, ya que <math>5 + (3 + 2) = 5 + 5 = 10</math> y <math>(5 + 3) + 2 = 8 + 2 = 10</math>. En general, cuando una operación * es asociativa, para evaluar una expresión tal como <math>a * b * c</math>, lo podremos hacer agrupando como queramos, ya que ambas posibilidades, <math>a * (b * c)</math> y <math>(a * b) * c</math>, producirán el mismo valor. Por esa razón, cuando la operación es asociativa, podemos eliminar los paréntesis. {{Ejmpl|Ejemplo 1.7}} Definamos una operación <math>\oplus</math> en los Enteros, por <math>a\oplus b:= a+b+ab</math>. Probaremos que <math>\oplus</math> es asociativa y conmutativa. ''Resolución''. Sean a, b y c números enteros cualesquiera. Tenemos que <center><math> \begin{array}{rcl} a \oplus (b \oplus c) &=& a \oplus (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) \\ & = & a + b + c + bc + ab + ac + abc. \end{array} </math></center> Por su parte, <center><math>\begin{array}{rcl} (a \oplus b) \oplus c &=& (a + b + ab) \oplus c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c \\ &=& a + b + ab + c + ac + bc + abc.\end{array} </math></center> Comparando las dos expansiones, concluimos que <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c. </math> Es decir que la operación <math>\oplus</math> es asociativa. Veamos ahora la conmutatividad. <math>a\oplus b = a+b+ab</math> y <math>b \oplus a = b+a+ba.</math> Luego, <math>a \oplus b = b \oplus a</math>, o sea que la operación <math>\oplus</math> es conmutativa. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 1.8}}Sea <math>\Z^2</math> el conjunto formado por todos los pares ordenados de números enteros. Definamos una operación <math>\oplus</math> en <math>\Z^2</math> por <center><math>(m,n) \oplus (p,q) := (ac+2bd, ad+bc).</math></center> <ol> <li> Evaluate <math>(3,-1) \oplus (5,2)</math>. <center><math> (3,-1) \oplus (5,2) = (3*5 + 2 *(-1)*2, 3*2+(-1)*5) = (11,1). </math></center> <li> Verificar que <math>\oplus</math> is asociativa. Sean <math>\alpha = (a_1,a_2)</math>, <math>\beta = (b_1,b_2)</math> y <math>\gamma=(c_1,c_2)</math> tres elementos cualesquiera de <math>\Z^2</math>. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha + (\beta + \gamma) &=& (a_1,a_2) + ((b_1,b_2) + (c_1,c_2)) \\ &=& (a_1,a_2) + (b_1c_1 + 2 b_2c_2, b_1c_2+b_2c_1) \\ &=&(a_1(b_1c_1 + 2 b_2c_2) + 2a_2(b_1c_2+b_2c_1), \\ & &\qquad a_1(b_1c_2+b_2c_1)+a_2(b_1c_1 + 2 b_2c_2)) \\ &=&(a_1b_1c_1 +2a_1b_2c_2+2a_2b_1c_2+2a_2b_2c_1, \\ & &\qquad a_1b_1c_2+a_1b_2c_1+2a_2b_1c_1+2a_2b_2c_2). \end{array} </math></center> <br /> <center><math> \begin{array}{rcl} (\alpha + \beta) + \gamma &=& ((a_1,a_2) + (b_1,b_2)) + (c_1,c_2) \\ &=& (a_1b_1+2a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1) + (c_1,c_2)\\ &=&((a_1b_1+2a_2b_2)c_1+2(a_1b_2+a_2b_1)c_2, \\ & & \qquad(a_1b_1+2a_2b_2)c_2 + (a_1b_2+a_2b_1)c_1) \\ &=& (a_1b_1c_1 + 2a_2b_2c_1 + 2a_1b_2c_2 + 2a_2b_1c_2, \\ & &\qquad a_1b_1c_2 +2a_2b_2c_2 + a_1b_2c_1 + a_2b_1c_1)\\ \end{array} </math> </center> Lo que prueba la asociatividad. <li> Veamos ahora que <math>\oplus</math> es conmutativa. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha + \beta &:=& (a_1,a_2) \oplus (a_2,b_2) = (a_1+b_1,a_2+b_2)\\ \beta+\alpha &:=& (a_2,b_2) \oplus (a_1,b_1)=(a_2+b_2, a_1+b_1) \end{array} </math></center> Como la suma de enteros es conmutativa, los pares ordenados a la derecha son iguales, lo que prueba la conmutatividad. </ol> <hr> ==== Ejercicios ==== <ol> <li> Dar tres ejemplos de operaciones asociativas. <li> Dar dos ejemplos de operaciones no asociativas. <li> Definir la operación <math> \odot </math> en los Enteros por <math>a \odot b := a + b + 1</math>. Evaluar <math>3 \odot 5</math>, <math>2 \odot 0</math>, <math> -2 \odot 1</math>. ¿Es <math> \odot </math> asociativa? ¿conmutativa? <li> Suponer que la operación <math>*</math> no es asociativa. Entonces, la expresión <math>a*b*c</math> tiene dos interpretaciones posibles. ¿Cuántas interpretaciones posibles tiene la expresión <math>a*b*c*d</math>? <li> Suponer que la operación <math>*</math> es asociativa. Verificar que todas las interpretaciones posibles de la expresión <math>a*b*c*d</math> (ver el ejercicio anterior) producen el mismo valor. </ol> == Los Elementos Destacados == Algunos elementos de un magma tienen propiedades especiales respecto a la operación. Veremos, en esta sección, las nociones de elementos neutros, invertibles y cancelables, que son abstracciones de ciertas propiedades numéricas. === Elementos Neutros === En muchas situaciones, hallamos elementos de un conjunto que tienen propiedades especiales respecto a una operación. Pensemos, por ejemplo, en el rol del 0 en la suma o en el rol del 1 en la multiplicación. ¿Qué tiene en común esos elementos? Simplemente, que cuando se operan con cualquier otro elemento, siempre producen el otro elemento. Es decir, que para todo número <math>a</math> se cumple que <math>a + 0 = 0 + a = a</math> y que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math> En forma abstracta, llamaremos ''neutro'' a un elemento con esa propiedad. {{DefRht|Elemento Neutro| Sea E un magma con operación *. Decimos que un elemento <math>e</math> de <math>E</math> es un neutro respecto a la operación *, si, para todo <math>a \in E</math> se cumple que <center><math> a*e = a = e*a. </math></center> Cuando haya un neutro para una operación, diremos que la operación ''tiene'' o ''admite'' un neutro.}} {{Ejmpl|Ejemplo 2.1}} En los conjuntos numéricos, el 0 es un neutro para la suma y el 1 es un neutro para la multiplicación. ---- Siempre que tenemos elementos destacados, cabe preguntarse ¿cuántos elementos de ese tipo hay? Los ejemplos del 0 y del 1, nos hacen sospechar que tales elementos son únicos. Lo que probaremos que es válido de forma general, o sea, para una operación cualquiera. Supongamos entonces que <math>e</math> y <math>e^\prime</math> fueran ambos neutros para una misma operación <math>\ast</math>. Para obtener una respuesta, calcularemos de dos maneras diferentes a <math>e*e'</math>. Como <math>e'</math> es neutro, tenemos que <math>e * e'= e</math>. Pero como <math>e</math> es neutro, tenemos que <math>e * e'= e'</math>. Luego <math> e = e'</math>. Hemos así probado, nuestro primer resultado abstracto. <b>Proposición 1. (Unicidad de Neutros)</b> <i> Cuando una operación tiene un neutro, dicho neutro es único.</i> A menos que se diga lo contrario, <math>\mathbf e</math> será la notación preferida para denotar a un elemento neutro cualquiera. {{Ejmpl|Ejemplo}} Consideremos la operación <math>\oplus</math> en los Enteros definida por <math>a \oplus b = a + b + ab</math>. Vimos en el ejemplo 1.7 que esta operación era asociativa y conmutativa. Aquí, trataremos de determinar si tiene o no un elemento neutro. Supongamos que tuviera elemento neutro, digamos <math>e</math> Entonces, para cualquier número entero <math>a</math> tendríamos que <center><math> \begin{array}{lrcl} & a \oplus e & = & a \\ \implies& a + e + ae & = & a \\ \implies& e(1+a) & = & 0 \\ \implies& e & = & 0. \end{array} </math></center> Donde hemos supuesto que <math>1 +a \neq 0</math> Verifiquemos <center><math>a \oplus 0 = a + 0 + a0 = a.</math></center> Es decir que 0 es efectivamente un neutro para la operación <math>\oplus</math> === Los Elementos Invertibles === Cuando trabajamos con la suma de los números enteros, tenemos asociado a cada número <math>a</math> el número <math>-a</math> que es un número con la propiedad de que sumado con el original nos da el neutro. Los recíprocos tienen propiedades análogas respecto a la multiplicación de los números reales, ya que multiplicados con el número original producen el neutro multiplicativo 1. Generalizaremos lo anterior en la siguiente definición. <!-- <ref>Algunos autores llaman elementos ''simetrizable''a los elementos ''invertibles''</ref>. --> {{DefRht|Elemento Invertible| Sea <math><E,*></math> un magma con neutro <math>e</math> Decimos que un elemento <math>a</math> de <math>E</math> es '''invertible''' (respecto a la operación), ssi, hay un elemento <math>b</math>, al que llamamos un '''inverso''' de <math>a</math>, y que es tal que <center><math>a * b = b* a = e.</math></center>}} <b>Observación.</b><i> El neutro es su propio inverso.</i> <br> :Sea * una operación en el conjunto <math>E</math> con neutro <math>e</math>. Como <math>e * e = e</math> tenemos que el elemento neutro es invertible y que es su propio inverso. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 2.2}} Consideremos la suma en el conjunto de los números naturales positivos. La operación es asociativa y conmutativa, pero no tiene neutro, ya que el 0 no está en ese conjunto. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 2.3 (Los Enteros)}} La '''Suma''' en los Enteros tiene neutro 0 y cada elemento <math>a</math> tiene un inverso respecto a la suma, <math>(-a)</math>, ya que <math>a+(-a) = (-a)+a =0</math> La '''Multiplicación''' tiene neutro 1 y los únicos elementos invertibles son <math>1</math> y <math>-1</math>---ya que <math>1</math> es el neutro y <math>(-1)(-1)=1</math> . <hr> Probaremos, a continuación, que cuando la operación sea asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso. <b>Proposición 2. (Unicidad de los Inversos) </b> <i> Cuando la operación es asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.</i> <ul> <i> Demostración </i> Sean <math>b</math> y <math>b'</math> inversos de <math>a</math> Se tiene entonces que <center><math>b = b * e = b * (a * b') = (b * a) * b'= e * b' = b'. </math></center>Lo que prueba la proposición. {{QED}} </ul> <hr> La proposición tiene la siguiente interesante consecuencia.<br /> <b> Corolario 2.1. </b> <i>Cuando para cierta operación con neutro, hay un elemento que tiene al menos dos inversos diferentes, la operación no puede ser asociativa. </i> <hr> :Como cada elemento invertible tiene un único inverso, hablaremos de '''el''' inverso del elemento. Cuando <math>a</math> tenga inverso, simbolizaremos dicho inverso por <math>a^{-1}.</math> <hr> La proposición anterior tiene los siguientes importantes corolarios <br /> '''Corolario 2.2. '''<i>Sea * una operación asociativa en un conjunto E. <ol type = "a"> <li> Sea <math>a</math> un elemento invertible. Entonces, su inverso también tine inverso, que es el elemento original <math>a.</math> Es decir, <center><math>(a^{-1})^{-1} = a.</math></center> <li> Sean <math>a, b</math> elementos invertibles, entonces su producto <math> a * b</math> también es invertible y se cumple que <center><math>(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}.</math></center></i> <small>(Notemos el cambio de orden en el lado derecho) Es decir que el inverso de un producto de dos elementos invertibles es invertible y su inverso es el producto de los inversos de los factores pero con el orden cambiado.</i> </small></ol> <ul> <i> Demostración. </i> Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos invertibles. <ol type = "a"> <li> Como <math>a^{-1} *a = e</math> y <math>a * a^{-1} = e</math> vemos que <math>a</math> es un inverso de <math>a^{-1}</math> Por la unicidad de los inversos, <math>a</math> debe ser \textbf{el} inverso de <math>a^{-1}</math>. <li> Se tiene que <center><math> \begin{array}{rcl} (a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) &=& a *(b * b^{-1}) * a^{-1} = a *e*a^{-1} a = a*a^{-1} = e \\ (b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) &=& b^{-1} *(a * a^{-1}) * b^{-1} = b^{-1} *e*b = b^{-1}*b = e. \end{array} </math></center> Por la unicidad de los inversos, tenemos el resultado. <ol> {{QED}} </ul> <hr> '''Interrogante.''' ¿Por qué fue necesario suponer asociatividad en la proposición anterior? <hr> {{Ejmpl|Ejemplo 2.4}} Recordemos la operación <math>\oplus </math> definida en los Enteros por <math>a\oplus~b=a+ab+ab</math> Vimos anteriormente que esa operación es asociativa, conmutativa y tiene neutro 0. Nos preguntamos ahora, ¿cuáles elementos tienen inverso respecto a esa operación? ''Resolución.'' Supongamos que <math>a</math> es un número entero con inverso <math>x</math> respecto a <math>\oplus</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & a \oplus x & = & 0 \\ \implies & a + x + ax & = & 0 \\ \implies & x(1+a) & = & -a \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>a</math> tendrá inverso, ssi, podemos dividir por <math>1+a</math> en los Enteros. Es decir, ssi, <math>1+a = 1</math> o <math>1+a=-1</math> Por lo que <math>a = 0</math> o <math>a = -2</math> son los únicos posibles elementos invertibles, y sus inversos serían, respectivamente, 0 y <math>-2</math> Como <math>0</math> es el neutro, sabíamos que tenía inverso y que era él mismo. Verifiquemos el caso de <math>-2,</math> <center><math>(-2) \oplus (-2) = (-2 ) + (-2) + (-2)(-2) = 0.</math></center> Luego, los únicos elementos invertibles respecto a <math>\oplus</math> son el neutro y <math>-2</math>. <hr> === Los Elementos Cancelables === En los números Enteros, la relación <math>3x = 3y</math> implica que <math>x=y</math>, a pesar de que no hay división por 3 en los enteros. Esa cancelación del 3 se generaliza en la siguiente definición, que habla de cancelación por la izquierda o derecha, ya que las operaciones no son necesariamente conmutativas. {{DefRht|Elementos Cancelables| Sea <E, *> un magma. Decimos que un elemento <math>a</math> es cancelable por la '''izquierda''', ssi, para todo x,y en E se cumple que <center><math>a*x = a*y \implies x = y.</math></center> Decimos que un elemento a es ''cancelable por la '''derecha''''', ssi, para todo x, y de E, se cumple que <center><math>x*a = y*a \implies x = y.</math></center> Decimos simplemente que un elemento es '''cancelable''', cuando lo sea tanto por la derecha como por la izquierda.}} {{Ejmpl|Ejemplo 2.5}} En los Enteros, con respecto a la multiplicación, todos los elementos no nulos son cancelables. ---- Probaremos, a continuación, que cuando un elemento es invertible, ese elemento es cancelable. El recíproco de lo anterior no es cierto como lo muestra el ejemplo de la multiplicación en los Enteros. '''Proposición 3. (Invertibles son cancelables) '''<i> Cada elemento invertible respecto a una operación asociativa es cancelable. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <math>a</math> un elemento invertible con inverso, digamos, <math>b.</math> Entonces <center><math> \begin{array}{rcl} a * x = a* y &\implies & b*(a*x)=b*(a*y) \implies (b*a)*x = (b*a) * y \\ & \implies& e * x = e * y \implies x = y, \quad \text{y} \\ x * a = y * a &\implies& (x *a)*b = (y * a) * b \implies x*(a* b) = y*(a * b) \\ & \implies & x * e = y * e\implies x = y.\end{array}</math></center>{{QED}} </ul> ---- {{Ejmpl|Ejemplo 2.6}} Volvemos a examinar la operación <math>\oplus</math> del ejemplo 1.8, para determinar elementos cancelables respecto a esa operación. ''Resolución'': Sean <math>a</math>, <math>x</math>, <math>y</math> enteros cualesquiera. <center><math> \begin{array}{lrcl} & a \oplus x & = & a \oplus y \\ \implies & a + x + ax & = & a + y + ay \\ \implies & (1+a)x & = & (1+a)y. \end{array}</math></center>Lo que implica que <math>x=y</math> cuando <math>1+ a \neq 0</math> Es decir que todos los elementos diferentes de <math>-1</math> son cancelables. ---- === Convenios de notación === Podemos simbolizar una operación de muchas maneras diferentes, pero hay algunas maneras que usamos más frecuentemente. Por ejemplo, las sumas se simbolizan usando <math>+</math> o algo parecido, <math>\oplus</math>. Cuando usemos <math>+</math> hablaremos de la ''notación aditiva''. Usaremos preferentemente la notación aditiva cuando la operación sea conmutativa. Por su parte, la multiplicación se denota por <math>\cdot</math> o nada y diremos que estamos usando la ''notación'' ''multiplicativa''. Cuando queramos insistir en la abstracción, usaremos la notación <math>\ast</math> La siguiente tabla resume los convenios notacionales acerca de esas notaciones. <center> {| class="wikitable" |- ! Si la operación es !! +!! <math>\cdot</math> !! * |- | la notación es || Aditiva || Multiplicativa || General |- | el neutro es || 0 || 1 || e |- | el inverso es || -a || <math>a^{-1}</math> ||<math>a^{-1}</math> |- | || opuesto aditivo || recíproco || inverso |} </center> '''Observaciones.''' <ol> <li> (Terminología) Algunos autores llaman ''leyes de composición'' a las operaciones, elementos simetrizables a los invertibles. <li> Nuestra definición de operación es aquella de una operación ''binaria'' porque asocia a dos elementos del conjunto un valor. Como esas será, en la práctica, la única forma de operación que usaremos, hemos omitido el apellido. Sin embargo podemos definir operaciones con otra cantidad de argumentos. Véase, por ejemplo, el apéndice sobre la [[../Estructuras Algebraicas|Teoría de Estructuras Algebraicas]]. <li> Nuestra definición de operación es aquella de una operación ''interna''. Hay otra clase operaciones llamadas ''externas'' en un conjunto E, que son funciones <math>A \times E \rightarrow E</math>, donde A usualmente tiene también una estructura algebraica. El ejemplo típico de operación externa es el producto de un escalar (número) por una matriz, o de una constante (número) por una función. </ol> ---- === Ejemplo: ''F(X,X)'' === Sea X un conjunto no vacío. Simbolizamos por <math>F(X,X)</math> al conjunto formado por todas las funciones del conjunto X en si mismo. La composición de funciones es una operación en ese conjunto. Este es un ejemplo importante, que reaparecerá varias veces en el futuro. Ilustra un conjunto con una operación donde hay elementos cancelables que no son invertibles o que son cancelables por la izquierda, pero no por la derecha, etc. * La composición<ref name = "Apen">Ver Apéndice sobre Funciones.</ref> de funciones define una operación asociativa en F(X,X). * La función identidad <math>1_X</math> que envía cada elemento de X en si mismo, es un neutro para la composición. En F(X,X) tenemos funciones inyectivas, suprayectivas, y biyectivas. Se sabe por resultados generales <ref name="Apen"/> que: * Las funciones inyectivas son cancelables por la izquierda. :<small> Recordemos que una función <math>f:X\rightarrow Y</math> es inyectiva, ssi, para todo <math>x</math>, <math>y</math>,\\ <math>f(x)=f(y)</math> implica que <math>x=y</math>. Supongamos que <math>f, g, h :X \rightarrow X</math> son 0funciones tales que <math>f \circ g=f \circ h</math> y que <math>f</math> es inyectiva. Entonces, para todo <math>x</math>, <math>y</math> en <math>X</math> <center><math>(f \circ g)(x)= (f \circ h)(y) \implies f(g(x))=f(h(x)) \implies g(x) =h(x)</math></center>. : Por lo que <math>f=g</math> (toman el mismo valor para cualquier elemento de <math>X</math>). </small> <br /> * Las funciones suprayectivas son cancelables por la derecha. :<small> Recordemos que una función <math>f:X\rightarrow Y</math> es suprayectiva, ssi, para todo <math>y</math> en<math>Y</math>, hay un <math>x</math> en <math>X</math> tal que<math>f(x)=y</math> . Supongamos que <math>f, g, h :X \rightarrow X</math> son funciones tales que <math>g \circ f=h \circ f</math> y que <math>f</math> es suprayectiva. Entonces, para todo <math>y</math> en <math>X</math> hay un <math>x</math> en<math>X</math> tal que <math>y=f(x)</math>. :Luego, <math>g(f(x)) =h(f(x)) \implies g(y)=h(y)</math>. Por lo que<math>g=h.</math> </small> * Las funciones biyectivas, por ser inyectivas y suprayectivas son cancelables por izquierda y derecha. De hecho, son invertibles. ---- === Ejemplo. Los Enteros Módulo <i>m</i> === Sea <math> m</math> un número entero positivo. Llamamos <i>enteros módulo <math> m</math></i> al conjunto denotado por <math> \Z_m</math> y que está formado por los enteros, pero sujeto a la condición <math> m=0</math>. Las operaciones de suma, resta y multiplicación son aquellas de los enteros son aquellas de los enteros, pero computadas usando la condición indicada. Por ejemplo, cuando <math> m=5</math>, se tiene que <math> 2+2=4</math>, <math> 2+3=5=0</math>, <math> 2+6=5+1=1</math>, etc. Además, se tiene que <math> 12=7=2</math>, ya que <math> 12 = 7 + 5 =7 = 5 + 2=2</math>. Sea <math> x</math> un entero cualquiera, dividiendo por <math> m</math> se obtiene un cociente <math> q</math> y un residuo <math> r</math>, <math> 0 \le r <m</math>, tal que <math>x = qm +r.</math> Por lo que en <math>\Z_m= r</math>. Es decir que en <math> \Z_m</math> hay solamente tantos elementos como residuos en la división por <math> m</math>, o sea <math> 0,1,2,\dots , m-1</math>. Las operaciones de <math> \Z_m</math>, por ser las operaciones en los enteros, son asociativas, conmutativas, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma Notemos, que <math>x + (m-x) = m=0</math>, lo que implica que cada elemento <math>x</math> de <math> \Z_m</math> tiene un opuesto aditivo. En <math>\Z_5</math>, el elemento 2 tiene inverso multiplicativo 3, ya que <math>2 \cdot 3 = 6 =1</math>. Como se verá en ejemplos y ejercicios posteriores, no siempre elementos de <math> \Z_m</math> tienen recíprocos. Por ejemplo en <math>Z_4</math>, <math>2*0=0</math>, <math>2*1=2</math>, <math>2*2=0</math>, <math> 2*3=2</math>, lo que muestra que <math> 2</math> no tiene inverso multiplicativo. === Ejercicios === <ol> <li> Sea <math>\Q[\sqrt{5}]</math> el conjunto de números reales de la forma <math>p+q\sqrt{5}</math>, donde <math>p</math> y <math>q</math> son números racionales. Probar que la suma y el producto de dos números de esa forma son de la misma forma. Probar que <math>p+q\sqrt{5}</math>. tiene un recíproco de la misma forma, cuando <math>p</math> y <math>q</math> no son ambos nulos.<li> (Enteros módulo <math>m</math>) <ol type="a"> <li> En <math>\Z_6</math>, con la multiplicación. ¿Cuáles elementos tienen recíprocos? <li> En <math>\Z_5</math>, con la multiplicación ¿cuáles elementos tienen recíprocos? </ol> <li> Probar que si para un elemento <math>x</math> de un magma <math>E</math> se cumple que <math>x^2=e</math>, donde <math>e</math> es un neutro. Entonces, <math>x</math> es invertible. <li> Sea <math>E</math> un magma asociativo con neutro <math>e</math>. Suponer además que <math>x</math> y <math>y</math> son elementos invertibles del magma. No suponga conmutatividad. Simplificar las siguientes expresiones. <ol type="a"> <li> <math>(x^{-1}y)^{-1}. </math> <li> <math>(xyx^{-1})^{-1}. </math> <li> <math>(yxy^{-1})^2. </math>. </ol> <li> Sea <math>E</math> un magma asociativo, pero no conmutativo. Sean <math>x</math>, <math>y</math> y <math>z</math> elementos invertibles de <math>E</math>. ¿Cuál es el inverso de <math>xyz</math>? </ol> == Las Partes Cerradas == {{DefRht|Cerraduras| Sea E un magma. Decimos que un subconjunto <math>S</math> de <math>E</math> es: <ul> <li> <b>cerrado</b> respecto a la operación cuando el producto de dos elementos de <math>S</math> está siempre en <math>S</math>. <li> '''cerrado''' respecto a tomar neutro, cuando contiene al neutro. <li> '''cerrado''' respecto a tomar inversos, cuando para cada <math>x \in S</math>, el recíproco de <math>x</math>, también está en <math>S</math>. }} </ol> {{Ejmpl|Ejemplo 3.1}} Sea <math><\R, \cdot></math> el magma multiplicativo de los Reales y sea <math>S</math> el conjunto de los reales positivos, <math>{\mathbb R}^+</math>. Los positivos son cerrados respecto a la multiplicación, al neutro y a tomar recíprocos (inversos multiplicativos). ---- {{Ejmpl|Operación Restringida}} Cuando un conjunto es cerrado respecto a una operación, dicha operación define por restricción una operación en el conjunto cerrado. Aunque, en rigor, la operación restringida es una operación diferente a la operacíón en todo el conjunto, ya que como función se han cambiado su dominio y codominio, es tradicional usar la misma notación para la operación restringida. ---- {{Ejmpl|Ejemplo 3.2}} Sea S el conjunto formado por todos los números complejos de la forma <math>m + n \sqrt{-5}</math> donde <math>m</math> y <math>n</math>. Sean <math>z= m +n \sqrt{-5}</math> y <math> w =p + q \sqrt{-5} </math> elementos de S. <ol> <li> Probaremos que con respecto a la adición S es cerrado respecto a la operación, al neutro y a los opuestos aditivos. <ol type="i"> <li> <math>z+w = (m+p) + (n+q)\sqrt{-5}</math>. Como la suma de enteros es un entero, tenemos que z + w es un elemento de S, lo que prueba la cerradura respecto a la suma, <li> Como <math> 0 = 0 + 0 \sqrt{-5}</math>, el neutro es un elemento de S <li> El opuesto aditivo de Z es <math>(-m) + (-n)\sqrt{-5}</math>, que también es un elemento de S. </ol> <li> Probaremos que S es cerrado respecto a la multiplicación y al neutro multiplicativo1; pero, veremos que no es cerrado respecto a tomar recíprocos. <ol type="i"> <li> Como <math>zw = (m+n\sqrt{-5})(p+q\sqrt{-5}= (mp + 5nq) + (mq + np)\sqrt{-5}</math>, los productos de elementos en S están en S, o sea que S es cerrado respecto a la multiplicación. <li> Como <math>1 = 1 + 0 \sqrt{-5}</math>, el neutro 1 está en S. <li> Como <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) = 6</math>, el recíproco de <math>1 + \sqrt{-5}</math> es igual a <center><math>\frac{1}{6} - \frac{1}{6} \sqrt{-5},</math></center> que no está en S. </li> </ol> </ol> ---- '''Proposición 4. '''<i> Cuando la intersección de dos partes cerradas no es vacia, dicha intersección es una parte cerrada. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sean <math>S</math> y <math>T</math> partes cerradas respecto a una operación <math>*</math>. Sean <math>x</math>, <math>y</math> elementos de <math>S \cap T</math>. Como <math>x,y</math> están en <math>S</math>, su producto está en <math>S</math>. Análogamente, su producto está en <math>T</math>. Luego, el producto está en <math>S \cap T</math>. <br /> {{QED}} </ul> ---- == Tablas de Operaciones == Cuando el conjunto donde actúa una operación es finito y con relativamente pocos elementos, podemos presentar a la operación como una tabla de la operación, que es un arreglo como el siguiente. <center><math> \begin{array}{c|cccc} * & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{array} </math></center> El producto b * c se obtiene en la intersección de la fila que contiene a b con la columna que contiene a c. En esta tabla, b * c = a. Notemos que la fila y columna de e reproducen la fila y tabla de elementos del conjunto, lo que indica que e es neutro. Veamos como buscar en la tabla si un elemento tiene inverso, digamos que buscamos el inverso de b. Nos movemos por la fila del b hasta hallar el neutro. Si no hallamos un neutro, eso significa que no hay inverso. En este caso hallamos e (neutro en este caso) en la columna del b, lo que nos dice que b * b = e. Por lo que b<sup>-1</sup> = b. En general, si hallamos x * y = e ( e neutro), antes de concluir sobre inversos, debemos chequear y * x (a menos que haya conmutatividad u otra situación especial, no hay nada que indique que y * x = x* y = e). Cuando la tabla, como en este caso, es simétrica respecto a la diagonal principal (desde izquierda arriba a derecha abajo), tenemos que la operación es conmutativa. {{Ejmpl|Ejemplo 4.1. (Las tablas de <math>\Z_6</math>)}} Sabemos que <math>\Z_6</math> tiene solamente seis elementos, a saber {{Eqn|<math>\Z_6 = \{0,1,2,3,4,5\}.</math>}} Presentamos las tablas de la operaciones como ejemplos de tablas finitas. Queda de asignación verificar la corrección de las mismas. <center><math> \begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} </math></center> Mirando a la tabla de suma o por simple computación) vemos que 2 + 4 =0, o sea que -2 = 4. ¿Qué otros elementos tienen opuestos aditivos? En la tabla de multiplicación vemos que 5*5 = 1, o sea que 1/5 =5. ¿Qué otros elementos tiene recíproco? Finalmente, observemos que {1,5} es un subconjunto cerrado para la multiplicación. ---- == Productos Múltiples, Potencias == Los lectores seguramente han visto anteriormente sumatorias de números, <center><math>\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + \dots + a_n.</math></center> '''Operaciones Generalizadas.''' Supongamos que tenemos un magma <math><E,*></math> y una sucesión <math>a_1, a_2, \ldots,a_n</math> de elementos de ''E''. Supongamos que queremos hallar el producto de todos ellos. En el texto, hemos aprovechado la experiencia manipulativa de los lectores para no preocuparnos demasiado de ese asunto. La situación es que, por definición, nuestra operación es binaria por lo que no hay como hallar, sin un convenio previo, el producto de una sucesión con más de dos elementos. Si tuviéramos tres elementos, digamos ''a'', ''b'' y ''c'', podríamos formar producto con los tres de una de las siguientes maneras {{Eqn|<math>a * (b*c), \quad (a*b)*c</math>}} Notemos que los paréntesis se usan para agrupar dos a la vez. Cuando la operación es asociativa, ambas expresiones representan al mismo elemento. Pero, si la operación no fuera asociativa, ¿cuál de las dos sería el producto de esos tres elementos? Cuando hay cuatro elementos, hay muchas más posibilidades de agrupamientos, dos a la vez. Definiremos una noción análoga a las sumatorias para un producto de una sucesión cualquiera. {{DefRht|Producto Generalizado| Sea <E,*> un magma y sea <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math>. Llamamos '''producto''' de los elementos de la sucesión (en el orden indicado) al elemento de E, denotado por <math>\prod_{i=1}^n a_i</math> y definido como <center><math>a_1 * a_2*\dots*a_n=\prod_{i=1}^n a_i := \begin{cases} a_1 & \text{si } n = 1 \\ (\prod_{i=1}^k a_i)*a_{k+1}& \text{si } n = k+1 \end{cases}</math></center> }} Es fácil ver, por inducción, de que efectivamente se ha definido un elemento de ''E''. Sigue de la definición que <ul> <li> (<math>n=2</math>) <math>a_1*a_2 = (a_1)*a_2 = a_1 * a_2.</math> <li> (<math>n=3</math>) <math>a_1*a_2*a_3 := (a_1*a_2) * a_3.</math> <li> (<math>n=4</math>) <math>(a_1*a_2*a_3)* a_4 = ( (a_1*a_2) * a_3)*a_4.</math>. </ul> Notemos que la definición no requiere que la operación sea asociativa. Cuando la operación sea asociativa, se puede probar que podemos reagrupar como queramos los elementos de la sucesión. Por ejemplo, <center><math>a_1* \dots * a_5= a_1* (a_2 * a_3) * (a_4 * a_5) = a_1* (a_2 * a_3 * a_4) * a_5.</math></center> Cuando la operación sea además conmutativa, el producto multiple es el mismo para cualquier permutación (reordenamiento) de los índices. Cuando la operación tenga neutro <math>e</math>, se acuerda que <i>el producto de una sucesión vacía es igual al elemento neutro</i>. En notación aditiva, la definición anterior es la usual definición de ''sumatoria'' {{Eqn|<math>\sum_{i=1}^n a_i := \begin{cases} a_1 & \text{si } n = 1 \\ (\sum_{i=1}^k a_i) + a_{k+1} & \text{si } n = k+1. \end{cases}</math>}} ---- '''Asociatividad.''' Cuando la operación es asociativa, se puede probar que independiente de la manera que agrupemos los elementos de la sucesión--siempre y cuando, mantengamos el orden de aparición---el producto siempre es el mismo. :La demostración consiste en considerar particiones de [1,..,n] que preserven el orden y mostrar que el producto de <math>a_1, \dots, a_n</math> es igual al producto de los productos parciales. :Por ejemplo, en el caso <math>n=7</math> si tenemos 1,2|3,4,5|6,7. Entonces deberíamos probar que <math>\prod_{i=1}^3b_i = \prod_{i=1}^7 a_i</math>, donde <math>b_1=a_1*a_2,\quad b_2 = a_3*a_4* a_5,\quad b_3 = a_6*a7.</math> Es decir que <center><math>\underbrace{(a_1*a_2)}_{b_1} * \underbrace{(a_3*a_4*a_5)}_{b_2}* \underbrace{(a_6*a_7)}_{b_3} = \prod_{i=1}^7 a_i. </math></center> :La demostración formal procede por inducción sobre ''n''. Los lectores experimentados con este tipo de demostraciones puede intentarlo por su cuenta. La demostración formal se puede hallar en las referencias bibliográficas <ref>(BB) [[../Bibliografía|Bourbaki]]</ref>, <ref>(BB) [[../Bibliografía|Dubreil]]</ref> o <ref>(BB) [[../Bibliografía|Jacobson]]</ref>. También en la página [[Álgebra/Teoría de grupos/Grupos|Semigrupos, Monoides,...]] de WikiLibros, donde puede hallarse demostraciones tanto de la asociatividad como de la conmutatividad generalizadas. ---- Al igual que hay sumatorias de la forma <math>\sum_{i=5}^{20} a_i</math>, podemos definir productos multiples de sucesiones de elementos cuyos subíndices sean un subconjunto ordenado finito de <math>\N</math>. Dejaremos al cuidado de lectores y lectoras tales generalizaciones. En cursos primeros de matemáticas, se define la potencia natural de un número <math>a</math> como el producto de <math>a</math> consigo mismo <math>n</math> veces, denotado por <math>a^n</math>. Usando la definición de producto multiple definiremos <math>a^n</math> como el producto de <math>n</math> factores, todos ellos iguales a <math>a</math>. {{DefRht|Potencia| Sean <math>*</math> una operación en el conjunto <math>E</math>, <math>a</math> un elemento de <math>E</math>, y <math>n</math> un natural positivo. Definimos <math>a^n</math> como el producto <math>a_1*a_2* \dots *a_n</math>, cuando <math>a_1=a_2 = \cdots a_n =a</math>. Cuando la operación tiene neutro <math>e</math>, se define, además, <math>a^0:= e</math> }} <b>Observación.</b> Sigue de la definición que <math>a^1=a</math>, <math>a^{k+1} = a^k* a</math>. <b>Proposición ## (Propiedades de las Potencias) </b> <i> Sea <math>*</math> una operación asociativa en <math>E</math>, <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>E</math>, <math>m</math> y <math>n</math> naturales positivos. <ol type = "a"> <li> <math>a^{m+n} = a^m*a^n</math>. <li> <math>a^{mn} = (a^m)^n</math>. <li> Si <math>a*b=b*a</math>, <math>a*b^n = b^n *a</math>. <li> Si <math>a*b=b*a</math>, <math>(a*b)^m =a^m*b^m</math>. <li> Si la operación tiene neutro <math>e</math>, las relaciones anteriores son válidas para naturales cualesquiera. Además se cumple que <math>e^n=e</math>, para todo natural. </ol></i><br /> <i> Demostración </i> Aprovechando la observación anterior, usaremos inducción sobre <math>n</math> para las pruebas. <ol type = "a"> <li> (<math>n=1</math>) <math>a^{m+1}=a^m*a =a^m*a^1</math>. Suponiendo que <math>a^{m+k} =a^m*a^k</math><br \> <math>a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = (a^m*a^k)*a = a^m*(a^k*a) = a^m*a^{k+1}</math>. <li> <math>(a^m)^1=a^m =a^{m\cdot 1}</math>. Suponiendo que <math>(a^m)^k = a^{mk}</math>. <br \> <math>(a^m)^{k+1}= (a^m)^k*a^m = a^{mk}*a^m = a^{mk+m}=a^{m(k+1)}</math>. <li> <math>a*b^1=a*b = b*a = b^1*a</math>. Suponiendo que <math>a*b^k=b^k*a</math>,<br \> <math>a*b^{k+1}=a*(b^k*b) = (a*b^k)*b =(b^k*a)*b=b^k*(a*b)=b^k*(b*a)=(b^k*b)*a=b^{k+1}*a</math>. <li> <math>(a*b)^1 = a*b=a^1b^1</math>. Suponiendo que <math>(a*b)^k =a^k*b^k</math>, <math>(a*b)^{k+1}=(a*b)^k*(a*b) = (a^k*b^k)*(a*b) = a^k*(b^k*a)*b = a^k*(a*b^k)*b= (a^k*a)*(b^k*b)=a^{k+1}b^{k+1}</math>. <li> Ejercicio. </ol> {{QED}} <hr> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Completar los espacios en blanco <ol type = "a"> <li> Una operación en un conjunto ''E'' es una función de _________ en _____. <li> Un elemento neutro de una operación * de un conjunto ''E'' es un elemento ''e'' tal que para todo ''x'' en ''E se'' cumple que ______________ y ______________ . <li> Un elemento ''x'' es un inverso de un elemento ''y'', ssi, __________ y ________. <li> Un conjunto ''S'' es cerrado respecto a una operación, cuando para cada par ''x, y'' de elementos de ''S'' se cumple que __________________ <li> Cuando el orden de los operandos no altera el resultado (producto) de una operación, la operación es ________________. <li> Cuando la notación es aditiva, el neutro usualmente se simboliza por __. <li> Cuando la notación es aditiva, llamamos _____________ ______________ al inverso. </ol> <!-- 2 --> <li> ¿Cuáles de las siguientes especificaciones determinan una operación en el conjunto de los naturales positivos, <math>\N^+</math>? En caso afirmativo, determinar las propiedades de las operaciones y la existencia de neutro y de inversos. <ol type="a"> <li> <math> a \# b := \max\{x,y\}</math>. <li> <math> a \wedge b := </math> máximo común divisor de a y b. <li> <math> a \vee b := </math>mínimo común divisor de a y b. <li> <math> a \otimes b := \sqrt{a^2 + b^2}</math>. </ol> <li> Construir la tabla de <math>\Z_2</math> (enteros módulo 2) y <math>\Z_3</math> respecto a la suma. <li> Construir la tabla de <math> \Z_5</math> (enteros módulo 5) respecto a la multiplicación. Mirando la tabla determinar el neutro y los elementos que tienen recíproco. <li> Cada una de las siguientes tablas es una tabla de un operación asociativa. Examinando la tabla determinar si hay elementos neutros y cuáles elementos tienen inversos. <center> <math> \begin{array}{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & a & b & c \\ b & b & b & b & c \\ c & c & c & c & c \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{array} </math></center> <li> Escribir en forma precisa el procedimiento para determinar en una tabla de una operación <ol type="a"> <li> ¿cuál es el elemento neutro? <li> ¿cuáles elementos tienen inversos? </ol> <li> ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Enteros? <ol type="a"> <li> El subconjunto formado solamente por el 0, <math> \{0\}</math>. <li> Los múltiplos de 9. <li> Los múltiplos de 23. <li> Generalizar los ejercicios anteriores. <li> <math> \{1,0,-1\}</math>. <li> Los Enteros positivos. <li> Los Primos. </ol> <li> ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la multiplicación en los Enteros? <ol type = "a"> <li> Los números pares. <li> Los números impares. <li> Los múltiplos de 5. <li> Los Enteros positivos. <li> Los Enteros negativos. </ol> <li> ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Racionales? <ol type = "a"> <li> Los Racionales positivos. <li> Los Racionales negativos. <li> Los números de la forma <math>m/2^n</math>, donde m es un entero cualquiera y n es un número natural. <li> Los números de la forma <math> m/10^n</math> donde m es un entero positivo y n es natural. </ol> <li> Probar que el conjunto <math> \{1,-1, i, -i\}</math>, donde <math> i^2=-1</math>, es cerrado respecto a la multiplicación en los Complejos. Construya la tabla correspondiente a esa operación, <li> Sea A una parte cerrada respecto a una operación. Explicar por qué cuando operación es asociativa (resp.conmutativa), su restricción a A también lo será. <li> Sea <math>\Q[\sqrt{5}]</math> el conjunto formado por todos los números reales de la forma <math> p + q \sqrt{5}</math> donde <math> p</math> y <math> q</math> son racionales. Probar que <math>\Q[\sqrt{5}]</math> es cerrado respecto a la multiplicación en los Reales. <li> Sea X un conjunto y sea <math>\mathbb{P}(X)</math> el conjunto formado por todos los subconjuntos de X. Investigar si la unión e intersección de subconjuntos son operaciones y sus propiedades. <li> Sea E un magma. Decimos que dos elementos ''a'' y ''b'' permutan o conmutan entre si, ssi, ''ab = ba''. probar que si la operación es asociativa y ''a'' conmuta con ''b'' y ''c'', entonces, ''a'' conmuta con ''b * c''. <li> ¿Cuántas operaciones diferentes se pueden definir en un conjunto con dos elementos?, ¿cuántas son conmutativas? </ol> <!-- Final de los Ejercicios. --> == Notas == {{listaref}} <!--- abc --> <!-- 06-04-2015 --> [[Categoría: Álgebra Abstracta]] [[Categoría: Operaciones (Matemáticas)]] 24xyft83cluf80kh621jdzq6unnvnxw 0 53419 423033 423020 2025-07-05T17:24:46Z Rehernan 55364 /* Los Reales */ 423033 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math> \N = {0,1,2 \dots }.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</b> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math>\scriptstyle \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. lzhpq9tfopxc6uj5axkomuuwwlavazj 423034 423033 2025-07-05T17:27:03Z Rehernan 55364 /* Subconjuntos */ 423034 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math> \N = \{0,1,2 \dots \}.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</b> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math>\scriptstyle \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. jjtmvymu6ojmsektd2ufgcqci73tajp 423035 423034 2025-07-05T17:34:54Z Rehernan 55364 /* Ejemplos */ 423035 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math> \N = \{0,1,2 \dots \}.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</b> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math> \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es < /br>una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,<b>R</b>) es B(X,<b>R</b>) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en <b>R</b> es acotada si hay un número real M (llamado cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X,<b>R</b>) es un subespacio vectorial de F(X,<b>R</b>). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. 254gbamhmbc1gnd74tv0tiyq52ccndg 423036 423035 2025-07-05T17:39:27Z Rehernan 55364 /* Ejemplos */ 423036 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math> \N = \{0,1,2 \dots \}.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</b> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math> \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,<b>R</b>) es B(X,<b>R</b>) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en <b>R</b> es acotada si hay un número real M (llamado cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X,<b>R</b>) es un subespacio vectorial de F(X,<b>R</b>). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. 0n3vag3749l54zji6lwwkm65l56dx4n 423037 423036 2025-07-05T17:44:29Z Rehernan 55364 /* Espacios Euclídeos */ 423037 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math> \N = \{0,1,2 \dots \}.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</b> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math> \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,<b>R</b>) es B(X,<b>R</b>) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en <b>R</b> es acotada si hay un número real M (llamado cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X,<b>R</b>) es un subespacio vectorial de F(X,<b>R</b>). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de <math>\R^n</math>. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. 3yhb7rjtrz95zjwdspyzr8wrj1n9575 423038 423037 2025-07-05T17:52:31Z Rehernan 55364 /* Espacios Vectoriales Normados */ 423038 wikitext text/x-wiki Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto. == Los Reales == Los matemáticos definen a los Reales como un <i>cuerpo ordenado completo</i>. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales. "Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la <b>tricotomía</b> que establece que <center>dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida<br> a &lt; b o a = b o a &gt; b. </center> Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo. <hr> === Subconjuntos === Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales: <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, simbolizados por <math> \N</math> o <b>N</b>. <center><math> \N = \{0,1,2 \dots \}.</math></center> La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción. <hr> <b>Propiedad de Inducción.</b> <br> Sea S un subconjunto de los Naturales tal que :(i) 0 está en S; y :(ii) k &isin; S ==> k+1 &isin; S. Entonces, S = <math>\scriptstyle \N</math>. <hr> Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción. <li> Los <b>Enteros</b> simbolizados por <math>\Z</math> o <b>Z</b> están formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales. <li> Los <b>Racionales</b> que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado. <li> Los <b>Irracionales</b> que son los reales que no son racionales. </ul> === Valor Absoluto === Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades. <center> |x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, cuando x = 0; y , |x| = -x, cuando x &lt; 0. </center> <b>Propiedades del Valor Absoluto.</b> Para todo a, b en <b>R</b> se cumple que <ol> <li> |x| &ge; 0. <li> |x|=0 <==> x =0. <li> |-x| = |x|. <li> |x+y| &le; |x|=|y|. <li> |xy| = |x| }y}. </ol> === La completitud de los Reales === Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el <i>axioma de completitud</i>. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación. ==== Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos ==== <ul> <li> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado superiormente</i></b>, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> x &le; M.</center> El número M se dice que es una <b>cota superior</b> de A. <br> Decimos que un subconjunto A de los reales está <b><i>acotado inferiormente</i></b>, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que <center> x &isin; A ==> m &le; a. </center> El número m se dice que es una <b>cota inferior</b> de A. Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente. Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores. <b>Supremo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A. Dualmente ternemos la noción de <b>Ínfimo de un conjunto</b> Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A. * Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]). <b>Axioma del Supremo</b> Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales. * Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma <i>N.a_1a_2a_3 ....</i> en el uso anglo sajón o <i> N,a_1a-2a_3...</i> en el uso español. * Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal. Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar. Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica: :x_0 = N, :x_1 = N+a_1/10, :x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100 :x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000 : etc. Dicha sucesión tiene la propiedad de que <center> x_0 &le; x_1 &le; x_2 &le; .... </center> y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma. {{Marco|<center>Axioma del Supremo</center> Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. }} Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos. <b>Propiedades Adicionales</b> <b>Proposición. </b> <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.</i> <i>Proof.</i> Supongamos que <b>N</b> fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(<b>N</b>). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales. {{QED}} Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales. <b>Propiedad Arquimedeana de los Reales</b><i> <ol type="a"> <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a. <li> Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a. </ol></i> <i> Proof.</i> <ol type="a"> <li> Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales. <li> Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n &ge; a; lo que implica que n &le; 1/a. Lo que contradice la parte a). </ol> {{QED}} == Espacios Vectoriales == === Definiciones y Ejemplos === Recordemos que llamamos <b>espacio vectorial real</b> a un trío <E,+,<math>\cdot</math>> donde <ul> <li> E es un conjunto cuyos elementos se llaman <b>vectores</b>; <li> + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una <i>suma</i> x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x. <li> <math>\cdot</math> es una función <math> \R \times E \rightarrow E </math>, llamada <i>multiplicación por escalares</i> que asocia a cada par (a,x) el vector denotado <math>a\cdot x</math> o simplemente <i>ax</i>, que tiene las siguientes propiedades: <ol type= "i"> <li> (a+b)x = ax + bx; <li> (ab)x = a(bx); <li> 1x = x ; <li> a(x+y) = ax + ay. </ol> </ul> Los <i>escalares</i> son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional. En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales. Un <b>subespacio vectorial</b> H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi, :(i) H no es vacío; :(ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares. <hr> === Ejemplos === <ul> <li> El ejemplo prototipo es <math> \R^n</math> cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que {{eqn|<math> (x_i)+(y_i):= (x_i+y_i)</math> <math> a(x_i) := (ax_i)</math>}} <li> Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,<b>R</b>) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R). <br /> Un subconjunto importante de F(X,<b>R</b>) es B(X,<b>R</b>) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en <b>R</b> es acotada si hay un número real M (llamado cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, <center><math>\begin{array}{rcl} |f(x) + g(x)| &\le & |f(x)| + |g(x)+ \le M_f + M_g, \text{ y}\\ |af(x)| & = &|a|\, |f(x)| \le |a| M_f. \end{array} </math></center> Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X,<b>R</b>) es un subespacio vectorial de F(X,<b>R</b>). </ol> === Espacios Euclídeos === Llamamos <b>espacio euclideo</b> a un espacio vectorial provisto de un <i>producto interior.</i> Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que: <ol> <li> <x+y|z> = <x|z>+<y|z>; <li> <ax|z> = a<x|z>; <li> <y|x> = <x|y>; y <li> Si x ≠ y entonces <x|x> =1. </ol> Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. {{Ejmpl|Ejemplo|Producto Interior Canónico}} En \Rn definimos un producto interior por {{eqn|<math>x \cdot y := x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. </math>}} <ul> <li> Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de <math>\R^n</math>. <li> Se prueba que respecto a una base <ref> Base es un conjunto de vectores que permite expresar cada vector del espacio como una combinación lineal de ellos.</ref> adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba. </ul> <hr> En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x <math>\cdot</math> x. <b>Proposición (Teorema del Binomio</b><i> Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que {{eqn|<math> (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2x \cdot y. </math>}} </i> <i> Proof. </i> <math>\begin{array}[t]{rcl} (x+y)^2 &= & (x+y) \cdot (x+y) = x\cdot(x+y) + y \cdot(x+y) \\ &=& x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y \\ &=& x^2 + y^2 + 2x \cdot y. \end{array}</math> {{QED}} <hr> Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición. <b>Proposición (Teorema de Pitágoras)</B><i> Si x y y son ortogonales, {{eqn|<math>||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y^2||.</math>}} </i> <hr> {{Marco|<b>Largo de un vector.</b> Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por <math>||x||</math> y definido como <center><math> ||x|| := \sqrt[2]{x \cdot x} = \sum_{i=1}^2 x_i^2. </math></center> }} Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i) <ol> <li> <math>||x|| \ge 0.</math> (radicales cuadráticos nunca son negativos). <li> <math>||x|| = 0, \iff x = 0. </math> <li> <math>||-x|| = ||x||.</math> <li> <math> |x_i| \le ||x||. </math> </ol> Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior. Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces, <center><math> \begin{array}{lrcl} & (tx+y)\cdot (tx+y) \ge 0 \\ \implies & t^2x^2 + 2tx\cdot y + y^2 \ge 0& & (*) \end{array} </math> </center> La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi, {{Eqn|<math>4(x\cdot y)^2 - 4 x^2 y^2 \le 0.</math>}} Por lo que {{eqn|<math> 4(x\cdot y)^2 \le 4 x^2 y^2,</math> lo que implica que <math>(x\cdot y)^2\le x^2y^2.</math>}} Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado. <b>Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz)</b> <i> Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que {{eqn|<math>|x \cdot y| \le ||x||\,||y||. </math>}} </i> Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente. <b>Proposición (Desigualdad de Minkowski).</b><i> Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que {{eqn|<math>||x+y|| \le ||x|| + ||y||.</math>}} </i> <i> Proof. </i> <center><math> \begin{array}{rclcl} ||x + y||^2 &=& ||x||^2 + ||y||^2 + 2x\cdot y &&\text{(Teorema del Binomio)} \\ &\le& ||x||^2 + ||y^2|| + 2 ||x|| \, ||y || && \text{(Cauchy--Schwartz)} \\ & = &(||x|| + ||y||)^2. \end{array} </math></center> Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado. {{QED}} <hr> === Espacios Vectoriales Normados === <b>Definición. (Norma, Espacio Normado)</b> Sea E un espacio vectorial. Llamamos <b>norma</b> a una función de E en los Reales que asigna a cada x de E un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}} <ol> <li> <math>||x|| \ge 0</math>. <li> <math>||x|| = 0</math>, ssi, x=0. <li> <math>||-x|| = ||x||</math>. <li> <math>||x+y|| <= ||x|| + ||y||</math>. (desigualdad triangular) </ol> Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }} También llamamos largo del vector x a la norma de x. Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales. {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Sea <math> E = \R^n</math> y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por {{eqn|<math> N_1(x) := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots |x_n| ^p}</math>}} Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo <ref>Kolgomorov</ref>) Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante. <li> Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\ {{eqn|<math> \{|f(x)|: x \in X\} </math>}} es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por {{eqn|<math>||f|| := \sup\{|f(x)|: x \in X \}. </math>}} Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que{{eqn|<math>|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||. </math>}} De donde, {{eqn|<math> ||f+g|| = \sup_{x \in X} (|f(x)| + |g(x)|) \le ||f||+ ||g||.</math> }} Luego, se tiene una norma. <hr> {{Marco|<b>Convenio notacional.</b> Denotaremos a un cuerpo finito con <math>q</math> elementos por <math>\mathbb{F}_q.</math> Si <math>p</math> es primo, <math>\mathbb{F}_p = \Z_p.</math>}} ==== La Norma Euclidea ==== La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea. Definamos para cada vector x = (x_i) de <math>\R^n</math>, {{eqn|<math>||x|| := \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}. </math>}} Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds {{Eqn|<math>(x_i)\cdot (y_i) = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n. </math>}} El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal. pl6pdpoccc15atgo3dfxvpmw7rcvufz 0 53421 423045 421031 2025-07-05T21:48:44Z Rehernan 55364 423045 wikitext text/x-wiki <!-- Prefacio --> <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Prefacio |anterior= |siguiente=Introducción}} </noinclude> __TOC__ === PREFACIO === == Presentación == Este texto es una introducción al estudio teórico de los espacios métricos y los espacios topológicos. Tales espacios son abstracciones naturales de algunas propiedades que aparecieron de los números reales y de las funciones en el desarrollo del Cálculo (infinitesimal). Varios de los resultados interesantes tenían como único fundamento una gráfica (ver el capítulo 1). Algunos matemáticos intuían relaciones entre algunos de esos resultados, pero no había una teoría que pudiera dar cuenta de los resultados y las conexiones. Cabe aquí mencionar que una fundamentación de los Reales no fue lograda hasta 1856 (Dedekind). A partir de allí, algunos trabajos previos de Bolzano y Cauchy empezaron a consolidarse en una teoría, que fue fuertemente impulsada por Weierstrass. A todo lo anterior, la invención de la teoría de conjuntos permitió una unificación del lenguaje de varias teorías. De allí en adelante, una pleyade de matemáticos inventó/descubrió lo que veremos en este texto. <br> La topología (análisis de posiciones relativas) tiene viejos antecedentes, inclusive en algunos resultados de la antigüedad. En tiempos modernos, se acredita a Euler con investigaciones en topología combinatoria (análisis de posiciones relativas en ciertas configuraciones independiente de la métrica). Las nociones actuales responden a los trabajos de muchos autores, pero se señalan a Hilbert, Riesz, Hausdorff y Poincaré como las figuras mas destacadas al comienzo del siglo XX. <br> La Topología (los Espacios Métricos son una parte de la Topología) puede estudiarse de diferentes puntos de vista. Una posibilidad es, recordando sus orígenes, orientar el estudio a algunos aspectos básicos del Análisis (Derivación e Integración). Otra posibilidad es atender aspectos mas cercanos a la geometría (como descripción de posibles concepciones de espacios y sus consecuencias). Esto ultimo será el punto de vista de este texto, por lo que hablaremos algunas veces de topogeometría; lo cual no quiere decir que no se atiendan temas relevantes al Análisis. En la literatura matemática, a veces se usa el nombre de <i>topología conjuntista para la mayor parte del contenido de este texto.</i> == Descripción de la Organización del Texto == Hemos procurado como estrategia de exposición, ir de lo particular a lo general o más abstracto, y dar abundantes ejemplos para ilustrar los conceptos y sus relaciones. El primer capítulo contiene algunos ejemplos de los teoremas clásicos que fueron la motivación para los desarrollos teóricos posteriores. Como la historia del tema comienza con los Reales, hemos dedicado el capítulo 2 a los aspectos relevantes de los mismos para nuestros estudio, continuando en el capítulo 3, con los espacios clásicos multidimensionales. Los espacios métricos son desarrollados en los capítulos 4 al 7. Por su parte, los espacios topológicos y sus propiedades principales aparecen en los capítulos 8 al 12. Finalmente, en los capítulos 13 al 15, aplicaremos lo anterior al estudio de aspectos geométricos interesantes de los espacios euclídeos. Hay además apéndices para referencia sobre conjuntos, funciones y grupos. <b>Requisitos</b> Los requisitos de este texto son variados. Ojalá, un buen curso de Cálculo con al menos un vistazo al Cálculo Vectorial (Cálculo de funciones de varias variables)y, un curso de Álgebra Lineal. Deseable es un curso adonde el estudiante haya usado razonamientos formales. Finalmente, pero de mucha importancia, es haber trabajado con conjuntos y sus propiedades, ojalá formalmente. No en vano, muchos llaman topología conjuntista a la mayoría de los aspectos de la topología que veremos. Posiblemente, por esa razón muchos textos de Topología comienzan con un extenso capítulo acerca de conjuntos. En este texto, adoptamos una posición optimista: esperamos que los lectores tengan un conocimiento aceptable de la teoría de conjuntos. Lo que suponemos conocido, lo hemos resumido en los apéndices A y B; por lo que exhortamos al lector a revisarlos. Si puede más o menos leerlos cómodamente, está listo para este texto. Como esos apéndices tienen carácter referencial son, necesariamente, incompletos. Por lo que no se debe intentar recordar todos los detalles, más importante es saber que están allí. Cuando un material de los apéndices sea necesario para el texto, la lectora o lector puede buscarlo en el correspondiente apéndice. Como cualquier texto de matemáticas, lo recomendable es una lectura inicial rápida de una o varias secciones o del capítulo para enterarse de lo tratado. Una segunda lectura debe ser lenta, reflexiva, con papel y lápiz a la mano, para revisar los detalles, intentar demostraciones y producir ejemplos. La producción y manejo de ejemplos es muy importante para el entendimiento de los conceptos y su alcance. La variedad de ejemplos para una noción es, de acuerdo a los psicólogos del aprendizaje, lo que consolida su comprensión. Las imágenes ayudan a entender los conceptos y los guían en la internalización de la nociones especialmente en este texto, que es un texto de una geometría especial, pero geometría al fin. Finalmente mencionaremos que hay una bibliografía conteniendo libros que hemos usado en la preparación de este texto. La mayoría de esos libros se pueden hallar gratis en la WEB. Además hemos agregado unas referencias a sitios en la WEB donde se puede hallar información histórica o recursos adicionales. Siempre resultará iluminante, ver las biografías de los matemáticos que contribuyeron al desarrollo del tema (ver en la Bibliografía sitios de la Web relevantes). == Convenios acerca de la notación y nomenclatura == Hemos procurado usar la notación y nomenclatura lo más estandarizada posible. Sin embargo, esto no siempre es posible, debido entre otros a diferentes usos por autores (especialmente en los conceptos topológicos) o al uso en diferentes países. Indicamos a continuación, algunos usos que pueden ser considerados especiales. <ul> <li> <b>Función</b> es cualquier asignación a cada elemento de un conjunto (dominio) de un elemento en otro conjunto (codominio). No usaremos nombres especiales como “aplicación”, “mapeo”, etc. cuyo uso es relativamente local, geográficamente hablando. Las funciones con valores reales se llamarán, a veces, <i>funciones numéricas</i>. Excepción: usualmente, en el contexto geométrico, una </i>transformació</i>n de un espacio será una función del espacio en si mismo. <li> Dados conjuntos A y B, llamamos <b>reunión</b> al conjunto denotado por A∪B. (Los miembros de un club se reúnen, no se unen). <li> Sea f una función de A en B (simbolizado como f : A → B) tal que f(x) = y—lo que simbolizaremos por<br> x &#8614; y, Algunas veces, escribiremos f : A → B :: x &#8614; f(x) para indicar lo anterior. <li> Usamos <b>N</b>, <b>Z</b>, <b>Q</b> y <b>R</b> para indicar los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales y reales, respectivamente. Usaremos el nombre de los elementos de uno de esos conjuntos en plural y con letra inicial mayúscula para referirnos al conjunto. Así, por ejemplo, los Reales, quiere decir el conjunto de números reales, etc. <li> Decimos que un conjunto A es <b>infinito</b>, cuando hay una función inyectiva de los Naturales en A. Es decir, cuando hay una sucesión infinita de elementos de A diferentes entre sí. <li> Algunas veces, por razones tipográficas, usaremos <b>a_i</b> para denotar a<sub>i</sub>. <li> Algunos párrafos están precedidos por los símbolos (♣) o (♠) para indicar el primero algo intuitivo y el segundo algo que requiere de un conocimiento previo (no contenido explícitamente en el texto), por ejemplo, resultados del Cálculo. </ul> [[Categoría:Espacios Métricos]] qdu1f6uj5s3cq5cjfv90xl1huma0rzf 0 53624 423040 421037 2025-07-05T18:07:47Z Rehernan 55364 423040 wikitext text/x-wiki <!-- Números Reales --> <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Números Reales |anterior=Introducción |siguiente=Espacios Normados }} </noinclude> === Capítulo 2 LOS NÚMEROS REALES === == Introducción == La historia de los espacios métricos empieza con los (números) Reales. Representamos intuitivamente a los Reales mediante la llamada <i>línea numérica</i>, equipada con la distancia entre números definida como el valor absoluto desu diferencia. Informalmente hablando, un espacio métrico será un conjunto provisto con una noción de distancia; los Reales con la distancia mencionada seránn el ejmeplo básico de espacio métrico (las definirionaes formales aparecerán en capítulos posteriores). Las propiedades de subconjuntos de los Reales y de las funciones definidas sobre ellos fueron generalizadas o abstraídas a las teorías de los espacios métricos y de los espacios topológicos. En este capítulo revisaremos las propiedades relevantes de los Reales. Recomendamos a los lectores que revisen lo expuesto, aunque será muy probable que lo hayan visto con anterioridad. Es muy importante que revisen las secciones dedicadas a la completitud, el axioma del supremo y sus consecuencias, especialmente cuando la palabra "supremo" les sea deconocida. El énfasis de la exposición será en aquellos aspectos útiles para el resto del texto. La segunda sección es un resumen muy breve de las propiedades generales de los Reales. La tercera sección presenta las consideraciones métricas de los Reales. En la cuarta sección, presentamos/revisamos la noción de <i>supremo</i>, que completa la presentación de la estructura de los Reales y que será muy importante en nuestro estudio. En las últimas secciones, veremos relaciones entre los Racionales y los Reales. == Los Números Reales == Formalmente, los Reales están caracterizados por las propiedades de sus operaciones, las propiedades del orden y la completitud. Revisaremos primeramente lo referente a las operaciones y al orden. === La Estructura de Cuerpo === En los Reales, <b>R</b>, hay definidas dos operaciones a las que llamamos adición (<math>+</math>) y multiplicación (*). Tales operaciones satisfacen los siguientes axiomas o postulados.<ref>Postulados son enunciados cuya validez aceptamos. En lugar de `<i>postulado</i> podremos decir <i>axiomas</i>. Los teoremas y las proposiciones son afirmaciones cuya validez debemos probar.</ref> <ul> <li> (Axiomas de la Adición) La adición es asociativa, conmutativa, tiene un neutro 0 (a+0=a) y cada número a tiene un opuesto aditivo -a tal que a + (-a) = 0. <li> (Axiomas de la Multiplicación) La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene neutro 1 (a*1=a) y cada número a &ne; 0 tiene un recíproco 1/a tal que a * (1/a) = 1). <li> (Axiomas MIxtos) La multiplicación es distributiva respecto a la adición. Los neutros 0 y 1 son diferentes. </ul> ::Cuando en un conjunto cualquiera K haya definidas operaciones con las propiedades anteriores, decimos que K tiene o posee con dichas operaciones una ''estructura de cuerpo'' o simplemente que K es un <b>cuerpo</b>. Por lo que, los postulados anteriores dicen que <b>R</b> es un cuerpo. <br> ::Otros cuerpos importantes que seguramente el lector conoce son los Racionales, <b>Q</b>, que es un subconjunto de los Reales y los Complejos, <b>C</b>, que contienen a los Reales. <br> En un cuerpo, se definen dos operaciones auxiliares: <i>substracción</i> y <i>división</i>. {{Eqn|<math>a-b := a+(-b), \qquad a \div b = a/b = a * (1/b).</math>}} Como es costumbre, escribiremos xy en lugar de x * y. Los Reales contienen algunos subconjuntos especiales que recordamos a continuación. <ul> <li> Los <b>Naturales</b>, <b>N</b>, caracterizado por ser el subconjunto más pequeño de los Reales que satisface las siguientes propiedades ::(i) 0 es un número natural; <ref>Hay dos versiones de Naturales dependiendo de la inclusión del 0 en los Naturales. La tendencia actual es a incluirlo. </ref> ::(ii) Si k es un número natural, también lo es k+1. <li> Los <b>Enteros</b>, <b>Z</b>, que está formado por los naturales y sus opuestos aditivos. <li> Los <b>Racionales</b>, <b>Q</b>, cuyos elementos son fracciones de enteros. </ul> === La Estructura de Cuerpo Ordenado === Tenemos para el orden los siguientes axiomas. <b>Axiomas del Orden.</b> Hay una relación "&le;" entre números reales, tal que <ul> <li> (i) Si (x &le; y) y (y &le; z) entonces (x &le; z) (transitividad). <li> (ii) (x &le; y) y (y &le; x) <==> x=y. <li> (iii) para todo x, y se cumple que (x &le; y) o que (y &le; x). <li> (iv) si (x &le; y) entonces (x + z &le; y + z). <li> (v) si (0 &le; x) y (0 &le; y) entonces (0 &le; xy). </ul> Cuando en un cuerpo hay una relación como la anterior, (llamada <i>relación de orden</i>), se dice que se trata de un <b>cuerpo ordenado</b>. Los Reales y los Racionales forman un cuerpo ordenado, mientras que los Complejos no. (Relaciones de orden asociadas) Asociada con la relación &le; tenemos "x < y" que quiere decir que (x &le; y) pero que (x &ne; y). Suponemos conocido por los lectores los significados de "x > y" y de "x &ge; y", así como la terminología acerca de positivos y negativos. <b>Notación de Intervalos.</b> Simbolizaremos los extremos abiertos de intervalos usando "]" para el extremo inferior y "[" para el extremo superior. Así, por ejemplo, ]3, 6[ = {x &isin; <b>R</b>: 3 < x < 6}. Usamos esta notación, para distinguir intervalos abiertos de pares ordenados. <hr> Hay una propiedad muy importante que aparecerá frecuentemente en nuestras discusiones. <center><i>(Tricotomía) Para todo a, b en <b>R</b>, se cumple una, y solo una, de las siguientes afirmaciones. {{eqn|<math> \begin{array}{ccc} a > b , \quad & a = b, \quad & a < b.\end{array}</math>}} </i></center> <B>Principio del Buen Orden (PBO)</b> Esta es una propiedad del orden referentes a los Enteros que establece que: :<i>Cualquier subconjunto de enteros no-negativos tiene un primer elemento, o sea un elemento que es menor o igual que cualquier otro elemento del conjunto.</i> === Ejercicios 2.2. === <ol> <li> Sean x, y tales que x < y, sea z = (x+y)/2. Probar que x < z < y. <li>(Demostraciones de que un número es igual a 0) <ol type="a"> <li> Si x + y = x entonces y = 0. <li> Si x + x = x entonces x = 0. <li> a ∗ 0 = 0. (aplicar lo anterior). </ol> <li> (Opuestos aditivos). <ol type="a"> <li> Si x + y = 0 entonces y = −x. <li> −(−x) = x (evaluar −x + x). <li> −(a + b) = −a + (−b.1 <li>(−a)b = −ab (evaluar ab + (−a)b). <li> (−a)(−b) = ab. </ol> <li> Hallar el conjunto solución de la siguientes inecuaciones. <ol type="a"> <li> 2x − 3 < 5. <li> x<sup>2</sup> + 12 ≤ 7x. </ol> <li> Probar que todo número natural se cumple que n ≥ 0 y si n 6= 0, n > 0. <li> Probar que para todo número natural n se cumple que n < 2n. </ol> == Nociones Métricas en los Reales == Llamaremos nociones métricas a nociones asociadas al valor absoluto, ya que dicho valor absoluto nos permite definir una distancia entre puntos de <b>R</b>. Recordemos, primeramente, la definición de valor absoluto. {{DefRht|Valor Absoluto| Llamamos <b>valor absoluto</b> de un número real x, al número real <math>|x|</math> tal que <math>|x|=x</math>, cuando <math>x \ge 0</math>; e igual a <math>-x</math>, en caso contrario.}} Notemos que para todo a, se cumple que -|a| &le; a &le; |a|. <b>Lema </b> <i> Sea a un número real positivo. Entonces, <ol type="a"> <li> |x|<a, ssi, -a < x < a. <li> |x|=a, ssi, x = <math>\scriptstyle\pm</math> a. <li> |x|>a, ssi, x < -a o x > a. </ol> </i> <i>Demostración. </i> :Probaremos (a) y el resto queda de ejercicio. Por tricotomía se tiene que x>0 o x=0 o x<0. :Supongamos que |x|< a (*). Si x es positivo, (*) es equivalente a x<a; si x=0, (*) es equivalente a 0<a; finalmente, si x es negativo, (*) es equivalente a -x<a, o sea que x>-a. Por lo tanto, (*) es equivalente a -a < x < a. <hr> <b>Proposición 2.3.2. (Propiedades Básicas del Valor Absoluto)</b><i> Para todo a, b reales se cumple: ::(VA1) |a| &ge; 0. ::(VA2) |a|=0, ssi, a=0. ::(VA3) |-a| = |a|. ::(VA4) |a+b| &le; |a|+|b|. ::(VA5) |ab| = |a| |b|. </i> <ul> <i>Demostración. </i> (VA1), (VA2) y (VA3) siguen en forma directa de la definición. (VA4) Sigue de la definición que (1) -|a| &le; a < |a| y que (2) -|b| &le; b &le; |b|. Sumando miembro a miembro en las desigualdades anteriores, obtenemos que ::-(|a|+|b|) &le; a + b &le; |a| + |b|. El resultado deseado sigue del lema. :(VA5) sigue de un análisis de casos de los signos de a y b. :<table border="0"> <tr> :Si a, b>0 entonces |ab| = ab = |a| |b|. </hr> <tr> :Si a= o b=0 el resultado es trivial. </hr> <tr> :Si a < 0 y b >0 entonces, |ab| = -a *b = |a| \, |b|. </hr> <tr> :Si a <0 y b<0 entonces |ab| = ab = (-a)(-b) = |a|\,|b|. </tr> {{QED}} </table> </ul> <hr> La noción de valor absoluto se usa en los cursos básicos para definir una distancia entre números reales a y b, por {{Caja|<center><math> d(a,b):= |a-b|. </math></center>}} <b>Proposición 2.3.3 (Propiedades de la Distancia).</b> <!-- \label{propVA-2-D} --> <i>Sean a,b,c reales. Se cumple: ::(D1) d(a,b) &ge; 0. ::(D2) d(a,b) = 0, ssi, a=b. ::(D3) d(b,a) = d(a,b). &nbsp; &nbsp; (Simetría) ::(D4) d(a,b) &le; d(a,c) + d(c,b). &nbsp;&nbsp;&nbsp;(Desigualdad Triangular) </i> <ul><i>Demostración. </i> Las demostraciones siguen directamente de las propiedades correspondientes del valor absoluto. :(D1) d(a,b) = |a-b| &ge; 0. (VA1) :(D2) d(a,b)=0 ,ssi, ax-b|=0, ssi, a-b=0, ssi, a=b. (VA2) :(D3) d(b,a) = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b| = d(a,b). (VA3) :(D4) d(a,b) = |a-b| = |(a-c) + (c-a)| &le; |a-c|+|c-b|=d(a,c) + d(c,b). (VA4) </ul>{{QED}} <hr> Lo que es importante es mirar siempre a |a-b| como indicando distancia del punto a al punto b. Esto permite visualizar expresiones que contienen valor absoluto. <b>Ejemplo 2.3.1.</b> <ol> <li> Hallar todos los x tales que |x-3| = |x + 5|.<br> <i>Resolución:</i> Reescribiendo la ecuación como |x-3| = |x -(-5)|, vemos que se trata de hallar un punto o puntos cuya distancia a 3 sea igual a su distancia a -5. Es fácil, entonces ver que la única solución posible es x=-1. <li> Hallar todos los x tales que |x-5| < 3.<br> <i>Resolución. </i> Buscamos x cuya distancia a 5 sea inferior a 3. Fácil de ver que se trata de los x tales que 2=5-3< x < 5+3= 8, o sea que el conjunto solución es el intervalo abierto ]2,8[. </ol> <hr> === Ejercicios 2.3 === <ol> <li> (Desigualdades) <ol type="a"> <li> Probar que para todo número real a, a<sup>2</sup> ≥ 0 y que a<sup>2</sup> = 0, ssi, a = 0. <li> Usar lo anterior para probar que |a| = √(a<sup>2</sup>). <li> Cuando a y b son números positivos o cero, entonces 2ab ≤ a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>.<br /> (Sug: Usar que (a − b)<sup>2</sup> ≥ 0) ¿Cuándo la desigualdad es igualdad? <li> Cuando a y b son números positivos o cero, entonces :√ab ≤ (a + b)/2. </ol> <li> Sabemos que |a + b| ≤ |a| + |b|. Investigar cuando se tiene la igualdad. <li> Probar que ||a| − |b|| ≤ |a − b|. (Sug. Usar que x = y + (x − y) y que y = x + (y − x).) </ol> == Completitud == Esta sección está dedicada al actor principal en el drama de los Reales: el <i>supremo</i>, Si la lectora o lector sabe lo que supremo e ínfimo significan, puede ir a mirar el Postulado del Supremo en la sección 2.4.2, el teorema 2.4.4 y sus corolarios. Si siente que está suficientemente familiarizada o familiarizado con esas nociones puede saltarse esta sección e ir al próximo capítulo. Siempre será posible volver a consultarlo. Suponemos conocido por los lectores que además de los números racionales (iguales a una fracción de enteros) hay otros que no lo son, los irracionales. Algunos irracionales famosos: <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, etc. Observamos anteriormente que tanto los Racionales como los Reales son cuerpos ordenados, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no pueden dar cuenta de los irracionales. Necesitaremos axioma o axiomas adicionales. Tales axiomas se llaman <i>axiomas de completitud</i>. Hay varias versiones posibles para lograr ese objetivo, como veremos más adelante. Revisaremos, primeramente, las bases intuitivas de la completación. Suponemos conocido que cada número real <math>\alpha</math> tiene una expansión decimal. Es decir, suponiendo que <math>\alpha \ge 0</math>, podemos hallar un entero positivo <math>M</math> y una sucesión infinita <math>(a_i)</math> de dígitos (decimales)---<math>0\le a_n\le 9</math>---tales que {{eqn|<math> \alpha = M + \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{10^2} + \dots + \frac{a_n}{10^n} + \cdots; </math>|1}} lo que usualmente se escribe abreviadamente como {{eqn|<math> \alpha = M.a_1a_2a_3 \ldots a_n \dots </math>|2}} donde llamamos <i>numeral decima</i>} a la expresión de la derecha. Lo anterior es más fácil escribirlo que explicarlo lógicamente, ¿cuál es el significado de un numeral decimal? La notación en (2) oculta el hecho de que se trata de una suma infinita. Podemos, además, preguntarnos, ¿cómo se obtiene el numeral digital asociado a un número real? ¿será siempre posible esa asociación? ¿dada una expansión decimal cualquiera hay un número real asociado? La búsqueda de una respuesta a esas preguntas, fue el origen de la teoría de los espacios métricos. Hemos intencionalmente llamado "numeral decimal" a la expresión en (2), para insinuar que no estamos seguro de que se trate de un número real. <b>Ejemplo 2.4.1.</b>. Antes de pasar adelante, para ilustrar que las consideraciones anteriores no son una cosa trivial, consideremos los numerales decimales siguientes: ::<math>\alpha = 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 \dots </math> ::<math>\beta = 0.1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 \dots </math> Las expresiones anteriores se han construido no--periódicas, porque se sabe que cuando tales expansiones son periódicas representan a números racionales. Si alguien supone que las consideraciones anteriores y otras posteriores son triviales, suponga que <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> representan números reales, y calcule <math>\alpha + \beta</math> y <math>\alpha * \beta</math>. \end{ejemplo} Supondremos conocido que cuando el numeral decimal es finito (a partir de un cierto subíndice todos los <math>a_i's</math> son nulos), entonces el numeral decimal representa a un número racional, ya que {{eqn|<math> M.a_1a_2 \dots a_k = M + \frac{a_1}{10} + \dots + \frac{a_k}{10^k}.</math>|3}} Sea <math>\alpha</math> un numeral decimal como en (2) y sea <math>\alpha_k</math> la truncación (eliminar la cola) del numeral después de la posición <math>k</math>), o sea que <math>\alpha_k</math> es lo que aparece en (3). Si ponemos que <math>\alpha_0 = M</math>, vemos que el numeral <math>\alpha</math> da origen a una sucesión <math>\alpha_0</math>, <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>, \ldots de números racionales tales que {{eqn|<math> \alpha_0 \le \alpha_1 \le \alpha_2 \le \cdots \le \alpha_k \le \cdots </math>|4}} Se puede, además, verificar que para todo <math>k</math> se cumple que <math>\alpha_k \le M+1</math>. ¿Define el numeral decimal o equivalentemente la sucesión en (4), a un número real? Si se piensa en la expansión decimal de un irracional, por ejemplo <math>\sqrt{2} = 1.41423561 \ldots</math>, vemos que no podemos obtener una respuesta lógicamente válida usando solamente los postulados de cuerpo ordenado. Este razonamiento heurístico muestra que necesitamos algo más: postulados de completitud. \medskip Una solución simple es postular que "<i>cada numeral decimal define a un número real</i>, lo que llamaremos la "<i>"completitud ingenua''</i>. Tal completitud es la que se usa en cursos primeros de matemáticas/ Una solución más formal requiere (entre otras opciones) la introducción de la noción de supremo. === Supremos, Ínfimos, Axioma del Supremo === Sea A un subconjunto de los Reales. <b>Cota Superior, Cota Inferior.</b> Decimos que un número real M es una <b>cota superior</b> del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que <center> x &isin; A &rArr; x &le; M.</center> Tenemos un concepto dual.<br> Decimos que un número real m es una <b>cota inferior</b> del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que <center> x &isin; A &rArr; m &le; x.</center> <b>Ejemplo 2.4.2.</b> Sea A=]0,1]. Entonces 1, 2, 100, etc. son cotas superiores de A, mientras que 0, -1, -5 son cotas inferiores de A. Notemos que cuando un conjunto tiene una cota <math>C</math>, digamos superior, cualquier número mayor que <math>C</math> es también una cota superior, por lo que cuando un conjunto tiene una cota superior, tiene infinitas cotas superiores. Dualmente, cuando un conjunto tiene una cota inferior, cualquier número inferior a esa cota, es también una cota inferior. Notemos, también, que las cotas pueden o no pertenecer al conjunto. <hr> <b>Conjunto Acotado.</b> Decimos que un subconjunto está acotado superiormente (resp. inferiormente) cuando haya una cota superior (resp. inferior) del conjunto. Un conjunto es acotado, ssi, es acotado superior e inferiormente. Usando la noción de cota definiremos supremo e ínfimo. {{DefRht|Supremo, Ínfimo| Sea A un subconjunto de los Reales. <ul> <li> Llamamos <b>supremo</b> de A a una cota superior que sea menor o igual que cualquier otra cota superior. <li> Llamamos <b>ínfimo</b> de A a una cota inferior que sea mayor o igual que cualquier otra cota inferior. </ul> }} <b>Proposición 2.4.1.</b><i> Cuando un conjunto tiene un supremo (resp. ínfimo) dicho supremo es único. </i><br> <ul><i>Demostración. </i> Sea S y S' supremos de un conjunto A. Aplicando la definición de supremo a S y viendo a S' como una cota superior, tenemos que S &le; S'. Invirtiendo los roles, se tiene que S' &le; S. Por lo que se concluye que S=S'. La parte del ínfimo queda de ejercicio. </ul>{{QED}} <hr> El supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores, mientras que el ínfimo es la mayor de sus coptas inferiores. <hr> <b>Notación.</b> Denotaremos el supremo de A (cuando exista) por <b>sup(A)</b> o <br> sup{x &isin; A}. Por su parte, <b>inf(A)</b> será el ínfimo de A. === Postulado del Supremo === Nuestro postulado simplemente asegura la existencia de supremos para ciertos conjuntos. <!-- \label{AxiomaSupremo} --> {{Caja| <center><b>Axioma del Supremo</b></center><br> <b>Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.</b>}} Sigue de forma inmediata que dado un numera decimal &alpha; el conjunto de las truncaciones <center>{&alpha;<sub>0</sub>, &alpha;<sub>1</sub>, ..., &alpha;<sub>k</sub>, ...}</center> es acotado superiormente (por &alpha;<sub>0</sub>+1), por lo que tiene un supremo; que será el número real representado por ese numeral. En breve, cada numeral decimal produce un número real. Para finalizar, digamos que se puede probar que hay a lo más un cuerpo ordenado completo (que cumpla con el axioma del supremo) y que hay una construcción comenzando con los llamados axiomas de Peano para los Naturales para construir desde cero a un cuerpo ordenado completo. Ver un desarrollo completo en WEB <ref>RAHT, <i>Fundamentos del Análisis, 2013</i> [https://app.box.com/s/5r19xfnlzfar53zf1gop]</ref>. Finalmente, podemos resumir nuestras suposiciones sobre los Reales en el siguiente enunciado {{Caja|<b>Los Reales son un cuerpo ordenado completo. </b>}} El siguiente resultado será usado frecuentemente. <b>Proposición 2.4.2.</b><i> Sea S = sup(A), A un conjunto no vacío. Entonces, para todo número real positivo &epsilon; hay un x de A tal que S-&epsilon; < x &le; S. </i> <ul> <i>Demostración. </i> En caso contrario, S-&epsilon; sería una cota superior de A menor que el supremo; lo que es imposible. </ul>{{QED}} <hr> <b>Proposición 2.4.3. </b><i> Sean A, B subconjuntos de <b>R</b> tales que A ⊂ B y B es acotado superiormente. Entonces, el supremo de A existe y es menor o igual que el supremo de B. </i> <ul><i> Demostración. </i> Por la hipótesis, cualquier cota superior de B es una cota superior de A, por lo que A es acotado superiormente; de donde sabemos, por el postulado del supremo, que A tiene un supremo. Como sup(B) es una cota superior de B, también lo es de A. Luego, sup(A) ≤ sup(B), ya que sup(A) es la menor cota superior de A. </ul> {{QED}} <hr> <b>Ejemplo 2.4.3.</b> <!-- \label{ejSupRad2}--> Este ejercicio servirá para mostrar que hay un número real positivo cuyo cuadrado es igual a 2. Es decir probaremos que &radic;2 es un número real. Sea A = {x &isin; <b>Q</b>: x &ge; 0, x<sup>2</sup> < 2}, es decir el conjunto de los racionales no negativos cuyo cuadrado es menor que 2. Probaremos que A tiene un supremo tal que su cuadrado es 2. <i>Resolución. </i> Como 1 es un racional positivo tal que 1<sup>2</sup><2, tenemos que A no es vacío. Notemos que todo x en A debe ser menor que 2, ya que en caso contrario, x &ge; 2 implica que x<sup>2</sup> &ge; 4. Por lo que 2, es una cota superior del conjunto A. Por el axioma del supremo, A tiene un supremo, digamos S. Probaremos que S<sup>2</sup>=2. Supongamos que S<sup>2</sup> < 2. Buscaremos un número 0<h<1 tal que (S+h)<sup>2</sup> < 2. La suposición de que h<1 implica que h<sup>2</sup><h. Tenemos, entonces que {{eqn|<math> (S+h)^2 = S^2 + 2sh + h^2 < S^2 + 2Sh + h = S^2 + (2S+1)h.</math>|*}} Resolviendo S<sup>2</sup> + (2S+1)h < 2, obtenemos que h < (2-S<sup>2</sup>)/(2S+1) Por lo que tomando un h satisfaciendo la última desigualdad y que, a la vez, sea menor que 1, obtendremos que (S+h)<sup>2</sup> < 2. Luego, S+h sería un elemento de A. Como S+h >S, esto es imposible, porque S es una cota superior de A. Por lo tanto, <math>\scriptstyle S^2 \nless 2</math>. Supongamos, ahora, que S<sup>2</sup> > 2. Buscaremos un k>0 tal que S-k sea cota superior de A. Si probamos lo anterior, tendríamos la contradicción de que habría una cota superior menor que el supremo. Por lo que S<sup>2</sup> &#8815; 2. Por tricotomía, se concluye que S<sup>2</sup>=2 (ya que no puede ser ni menor ni mayor que 2). Buscaremos un k > 0 tal que (S-k)<sup>2</sup> > 2. <center><math> (S-k)^2 = S^2 -2Sk + k^2 > S^2 - 2Sk > 2 \implies S^2-2 > 2Sk. </math></center> Tomando, k < (S<sup>2</sup> -2)/(2S), se tiene que (S - k)<sup>2</sup> >2. Si hubiera un x en A tal que x > S-k, entonces x<sup>2</sup>>(S-k)<sup>2</sup> >2, lo que no puede ser. Luego, para todo x en A, x &le; S-k, o sea S-k es una cota superior de A. Como esto es absurdo, concluimos que <math>\scriptstyle S^2 \ngtr 2</math>. <hr> === Consecuencias del Axioma del Supremo === Consideremos al conjunto de los Naturales, <b>N</b>, como subconjunto de los Reales. <b>Teorema 2.4.4. </b><i> Los Naturales no están acotados superiormente. </i> <ul><i>Demostración. </i> Supongamos que lo estuvieran. Como el conjunto no es vacío, tendría un supremo, digamos S. Consideremos al número S-1. Debe haber al menos un natural n tal que S-1< n &le; S, si no S no será la menor cota superior. Pero, S-1< n implica que S < n+1 y, como n+1 es un número natural, esto es imposible ya que S es una cota superior de <b>N</b>. Como hemos llegado a una contradicción, nuestra suposición inicial era falsa, por lo que se tiene lo dicho en la proposición. </ul>{{QED}} <hr> <b>Corolario 2.4.5 (Propiedad Arquimediana I). </b><i> Sea a un número real positivo. <br> Hay un número natural n tal que a < n. </i> <ul><i>Demostración. </i> Si no lo hubiera, a sería una cota superior de los naturales. </ul>{{QED}} <hr> <b>Corolario 2.4.6 (Propiedad Arquimediana II).</b> <i> Sea a un número real positivo. <br> Hay un número natural n tal que 1/n < a. </i> <ul><i>Demostración. </i> Si no lo hubiera, para todo n>0, se tendría que a&le;1/n, de donde n &le; 1/a, y 1/a sería una cota superior de los Naturales. </ul>{{QED}}<hr> Nos referiremos a los resultados de los corolarios como las <b>propiedades arquimedianas</b>. <hr> <b>Proposición 2.4.7. </b><i> Sea x un número real no negativo tal que para todo n en <b>N<sup>+</sup></b> (Naturales positivos)se cumple que 0 ≤ x < 1/n. <br> Entonces, x = 0. </i> <ul><i>Demostración. </i>Si x > 0, por la propiedad arquimediana habría un natural tal que 1/n < x. </ul> {{QED}} <hr> <b>Ejemplo 2.4.4. </b> Probar que el conjunto A = {2<sup>n</sup> : n natural positivo} no es acotado superiormente. <ul><i>Resolución. </i>Probaremos que para todo n ≥ 1, 2<sup>n</sup> > n. Por lo que si hubiera una cota superior para A, dicha cota sería una cota de los Naturales. Si n = 1 entonces 2<sup>1</sup> = 2 > 1. Suponer que tenemos para un k &ge; 1 que se cumple 2<sup>k</sup> &ge; k. <br> Entonces, 2<sup>k+1</sup> = 2 ∗ 2<sup>k</sup> > 2k = k +k ≥ k +1. El resultado sigue por inducción. </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 2.4 === <ol> <li> Probar los enunciados siguientes. <ol type="a"> <li> Sean A, B subconjuntos de R tales que A ⊂ B y B es acotado, entonces A es acotado. <li> Los intervalos con extremos finitos son acotados. <li> Un conjunto de números reales es acotado, ssi, está contenido en un intervalo cerrado acotado. </ol> <li> Hallar el supremo e ínfimo de cada conjunto, cuando existan. Probar sus afirmaciones. <ol type="a"> <li> A = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}. <li> B = N. <li> C = {1/n :n natural positivo}. <li> D = {x<sup>2</sup> − 4x + 7 : x ∈ R}. <li> E = {x<sup>2</sup> − 4x + 7 : −5 < x < 5}. </ol> <li> Hallar el supremos e ínfimo (cuando existan) de los siguientes conjuntos. <ol type="a"> <li> {x ∈ R : x<sup>2</sup> < 5}. <li> {x ∈ R : x<sup>2</sup> > 11}, <li> {0.3, 0.33, 0.333, . . .}. </ol> <li> Probar que todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado inferiormente tiene un ínfimo. <li> Sean A y B subconjuntos no vacíos de los Reales disjuntos y cuya reunión es R. Si para todo a en A y b en B se cumple que a ≤ b. Entonces, sup(A) = ínf(B) <li> Sea a < 0. Probar que hay un natural n tal que −n < a. <li> Sea a < 0. Probar que hay un natural n tal que a < −1/n. <li> Sean x, y números reales tales que para todo real positivo r se cumple que x ≥ y + r. <br />Entonces, x = y. <li> Sean A, B subconjuntos de <b>R</b>. Examinar la validez de los siguientes enunciados. <ol type="a"> <li> sup(A ∩ B) ≤ mín{sup(A), sup(B)}. <li> sup(A ∩ B) = mín{sup(A), sup(B)}. <li> sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}. <li> sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}. </ol> <li> Sea I<sub>n</sub> =]- 1/n, 1/n[, n ≥ 0. Sea I la intersección de todos los I<sub>n</sub>. Describir al conjunto I. <li> Sea A<sub>n</sub> =]0, n[, n ≥ 1 natural. ¿Cuál es la reunion de todos los A<sub>n</sub>? <li> Probar que el conjunto {10<sup>n</sup> : n ∈ <b>N</b>}, no es acotado superiormente. Hallar conclusiones semejantes a las propiedades arquimedianas para este conjunto. <li> Probar que la reunión de los intervalos ]−n, n[, n natural es igual a todo <b>R</b>. </ol> == Aproximaciones Racionales de Números Reales == <!-- \label{secAproxRacionales}--> <b>Parte Entera.</b> Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados superiormente, habrá un número entero n tal que a < n. Por el Principio del Buen Orden, hay un menor entero positivo con esa propiedad. Llamando m+1 a ese entero, tendremos que se cumple que m &le; a < m+1. Llamamos <b>parte entera</b> del número <i>a</i> al entero m. La noción se puede extender a los números negativos y al cero, como lo haremos en la siguiente definición. {{DefRht|Parte Entera| Llamamos <b>parte entera</b> de un número real a, al mayor entero que es menor o igual que el número. Notación: <math> \textsf{pe}(a)</math>. }} Observemos que se cumple que <math> \textsf{pe}(a)\le a < \textsf{pe}(a) + 1</math>. La desigualdad de la izquierda es igualdad, ssi, a es un número entero. <br /> Ejemplo 2.5.1. ⌊5⌋ = 5, ⌊&pi; = 3⌋, ⌊-3.5⌋ = −4. La noción es bastante clara, solamente para mantener la logicidad de esta exposición, debemos probar que cada número real a tiene una parte entera. Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados superiormente, habrá un número entero positivo n tal que a < n. Por el Principio del Buen Orden habrá un menor entero positivo con esa propiedad. Llamando m+1 a ese entero, tendremos que m ≤ a < m+1. Tal m es precisamente la parte entera de a. Cuando a = 0 su parte entera es 0. ¿Qué pasa cuando a es negativo? Si a es entero, coincide con su parte entera. Si a no es entero es fácil verificar (ejercicio) que su parte entera es igual a -⌊-a⌋ -1. === Densidad de los Racionales === Sea <math>\alpha</math> un número real cualquiera y sea <math>n</math> un número entero positivo. Sea <math>m</math> la parte entera de <math>n\alpha</math>. Por lo que tenemos que <math>m \le n\alpha < m+1</math>, de donde {{eqn|<math>\frac{m}{n} \le \alpha < \frac{m+1}{n}.</math>}} Sigue de lo anterior que {{eqn|<math>|\alpha -\frac{m}{n}| = \alpha - \frac{m}{n} < \frac{m+1}{n} - \frac{m}{n} = \frac{1}{n}.</math>}} Es decir que la distancia de <math>\alpha</math> a <math>m/n</math> es inferior a <math>1/n</math>, por lo que decimos que <math>m/n</math> es una <i>aproximación raciona</i>} al número real <math>\alpha</math> con un error de a lo más <math>1/n</math> (<math>|\alpha-m/n| <1/n)</math> . Lo anterior tiene la siguiente importante consecuencia. <b>Proposición 2.5.1 (Densidad de los Racionales).</b><i> Sea a un número real. Entonces, para todo r>0, hay un racional q tal que |a-q|<r. </i><br> <ul> <i>Demostración. </i> Sea r >0 dado. Por la propiedad arquimediana, podemos hallar un n tal que 1/n <r y, en consecuencia, tal que <br> |a-m/n|<1/n < r. </ul>{{QED}} <hr> En otras palabras, dado un número real a, podemos hallar un número racional q que está tan cerca de a como queramos. “Como queramos” quiere decir que podemos escoger r > 0 arbitrariamente pequeño. Este es un resultado de tipo topológico, ya que nos habla de proximidad de puntos de un conjunto. Esta propiedad se conoce como la <b>densidad</b> de los Racionales en los Reales. La densidad de los Racionales en los Reales tiene una gran cantidad de aplicaciones, entre ellas la posibilidad de computar con los Reales aproximándolos por Racionales. Otra interesante aplicación está contenida en la siguiente proposición. <b>Proposición 2.5.2.</b><i> Entre dos números reales, siempre hay un número racional. </i> <ul><i>Demostración. </i> Sean a, b números reales tales que a < b. Sea c = (a+b)/2, el punto medio entre a y b. Sea r = (b-a)/2 (= |c-a| =|c-b|). Entonces, en ]c-r,c+r[, hay un racional q. Luego <center><math> \begin{array}{lcl} \scriptstyle |q-c|< r &\iff &\scriptstyle c-r < q < c+ r \\ &\iff & \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} < q < \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\\ &\iff& \scriptstyle a < q < b. \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> == Los Reales Extendidos == Los lectores seguramente habrán encontrado, anteriormente, los símbolos ±∞ de manera informal. Algunas veces, especialmente calculando límites en infinito, podía ser conveniente tratar a ±∞ como “números”. Mostraremos en esta sección como formalmente hacer lo anterior, mediante la introducción de los Reales Extendidos. Se trata de un conjunto denotado por <b>R<sup>#</sup></b> y que estará formado por todos los reales (ordinarios) y los símbolos +∞ y −∞. Para nosotros, los Reales Extendidos nos servirán para ilustrar nociones métricas y topológicas que veremos más adelante. A continuación, extenderemos (aunque sea parcialmente) las operaciones de R y el orden de R, a <b>R<sup>#</sup></b>. <center> <b>R<sup>#</sup> := R ∪ {+∞,-∞}.</b> </center> === Extensión de las Operaciones === Suponemos válidas para <b>R<sup>#</sup></b> la asociatividad y la conmutatividad de la suma y la multiplicación. Igualmente, la distributividad de la multiplicación. Supondremos, además, lo siguiente: para cada número real a se cumple: <center> {| class="wikitable" | +∞ ± a = +∞ || +∞∗ a = +∞, a > 0 |- | -∞ ± a = −∞ || +∞∗ a = +∞, a < 0 |- | || −∞∗ a = −∞, a > 0 |- | || −∞∗ a = +∞, a < 0 |- | +∞+∞ = +∞ || +∞∗ +∞ = +∞ |- | −∞−∞ = −∞ ||−∞∗ −∞ = +∞ |} </center> Además, <b> −∞ < a < +∞. </b> El resto de las combinaciones psobles queda indefinido. Definiremos también que |+∞| = |-∞| = +∞; y, agregaremos el siguiente convenio <center> sup(∅) := +-∞, ınf(∅) = +∞. </center> Cualquier subconjunto no vacío de <b>R<sup>#</sup></b> tiene como cota superior a +∞; además cuando se trate de un subconjunto no acotado en R, esa sera su única cota superior, es decir que será su supremo. Análogas observaciones para −∞. Cuando A sea vacío, su supremo será −∞ (Notemos que cuando A es vacío, para todo real a se cumple que x ∈ A =⇒ x &le; a (Un condicional es siempre válido cuando su antecedente es falso). Análogamente,ınf(∅) = +∞. Sigue de lo anterior, que cualquier subconjunto de <b>R<sup>#</sup></b> tiene supremo e ínfimo. <b>Proposición 2.6.1.</b> <i> Sean A y B subconjuntos no vacíos de <b>R<sup>#</sup></b> tales que A &subset; B. Entonces <center> ınf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B). </center></i> <i> <ul>Demostración.</i> Ejercicio. </ul><hr> === Ejercicios 2.6. === <ol> <li> Probar la proposición 2.6.1. <li> Hallar en <b>R<sup>#</sup></b> el conjunto solución de <ol type = "a"> <li> |x| < 5. <li> |x| > 5. <li> |x| < +∞. <li> |x| > +∞. </ol> </ol> == Ejercicios del Capítulo 2 == <ol> <li> Sea α un número real cualquiera y sea A =]-∞, α[= {x ∈ <b>R</b> : x < α}. Probar que <ol type="a"> a) Si x está en A y y < x entonces y está en A. <br> b) El conjunto A no es ni vacío ni igual a <b>R</b>. <br> c) Si x está en A hay un y en A que es mayor que x. </ol> <li> Hallar sup(A) e ínf(A) para cada uno de los siguientes conjuntos. <ol type="a"> <li> A = {x ∈ R : x<sup>2</sup> - 4x < 21}. <br> <li> A = {x ∈ R : x<sup>2</sup> < 5}. <br> <li> A = {x ∈ R : x<sup>2</sup> > 11}. <br> <li> A = {2 + 1/n : n ∈ N}. </ol> <li> Sea A ⊂ <b>R</b>. s es un supremo de A, ssi, s es una cota superior de A y para todo ε > 0 hay x en A tal que x > s - ε. <li> Sea A ⊂ <b>R</b>. m es un ínfimo de A, ssi, s es una cota inferior de A y para todo ε > 0 hay x en A tal que x − ε < m. <li> Investigar la validez de los siguientes enunciados. <ol type="a"> <li> Para todo número real x > 0 hay un número irracional y tal que 0 < y < x. <br> <li> Para todo número real x > 0 hay un número irracional y tal que y < x. </ol> <li> Sea A un conjunto no vacío acotado superiormente de los Reales. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son acotados superiormente? En caso afirmativo, cuál es la relación entre su supremo y el supremo de A. <ol type="a"> <li> 5A = {5a : a ∈ A}. <li> A + b = {a + b : a ∈ A}, b número real cualquiera. <br> <li> A<sup>2</sup> = {a<sup>2</sup> : a ∈ A}. </ol> <li> Sean A y B subconjuntos acotados superiormente de los Reales. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son acotados superiormente. En caso afirmativo, cuál es la relación entre su supremo y los supremos de A y de B. Repetir para los ínfimos. <ol type="a"> <li> A ∗ B = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. <br> <li> −A = {-a : a ∈ A}. <br> <li> A ∪ B. <br> <li> A ∩ B. </ol> <li> Sea f : [0, 1] &rarr; [a, b], a < b, tal que f(t) = (b − a)t + a. Probar que <ol type="a"> <li> f es biyectiva con imagen [a, b]. <br> <li> La restricción de f a ]0, 1[ tiene como imagen a ]a, b[. </ol> <li> (Biyecciones entre intervalos reales) <ol type="a"> <li> Probar que si A = [a, b] y B = [c, d], a < b y c < d, hay una función biyectiva de A en B. Además, dicha función se puede escoger de modo que preserve el orden (s, t ⇒ f(s) < f(t)). <br> <li>(♠) Sea f : <b>R</b> → <b>R</b> tal que f(t) = arctan(t). Probar que f es biyectiva con imagen ]-π/2, π/2[.a) 5A = {5a : a ∈ A}. </ol> </ol> == Referencias == [[Categoría:Espacios Métricos]] <!-- 24 Septiembre, 2016 --> <!-- Final 7 de noviembre de 2016 ---> <!-- 23 de marzo de 2018 --> pgvmnj3way1i567smkr4w4awe5lyk9n 0 59223 423043 423030 2025-07-05T21:30:33Z Rehernan 55364 423043 wikitext text/x-wiki * [[Matemáticas /Espacios Métricos/Prefacio|Prefacio]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Preliminares|Preliminares]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Introducción|Introducción]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Números Reales|Números Reales]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Normados|Espacios Normados]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Métricos|Espacios Métricos]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Conjuntos Abiertos y Cerrados|Conj.Abiertos y Cerrados]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Continuidad|Continuidad]] * [[Matemáticas/Espacios Métricos/Sucesiones y Completitud|Sucesiones y Completitud]] * [[Matemáticas/Espacios 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Todas las ramas de la psicología pueden tener un componente de investigación. La investigación en psicología se lleva a cabo en amplio acuerdo con los estándares del método científico, abarcando modalidades estadísticas, etológicas, cualitativas y cuantitativas para generar y evaluar hipótesis explicativas con respecto a los fenómenos psicológicos. Cuando la ética de la investigación y el estado de desarrollo en un determinado dominio de investigación lo permitan, la investigación podrá llevarse a cabo mediante protocolos experimentales. La psicología tiende a ser ecléctica y recurre al conocimiento científico de otros campos para ayudar a explicar y comprender los fenómenos psicológicos. La investigación psicológica cualitativa utiliza un amplio espectro de métodos de observación, incluida la investigación-acción, la etografía, las estadísticas exploratorias, las entrevistas estructuradas y la observación participante, para permitir la recopilación de información rica que la experimentación clásica no puede alcanzar. La investigación en psicología humanista suele realizarse mediante métodos etnográficos, históricos e historiográficos. La prueba de diferentes aspectos de la función psicológica es un área importante de la psicología contemporánea. Predominan los métodos psicométricos y estadísticos, incluyendo diversas pruebas estandarizadas muy conocidas, así como aquellas creadas ad hoc según lo requiera la situación o el experimento. Los psicólogos académicos pueden centrarse exclusivamente en la investigación y la teoría psicológica, con el objetivo de promover la comprensión psicológica en un área particular, mientras que otros psicólogos pueden trabajar en psicología aplicada para implementar dicho conocimiento para un beneficio inmediato y práctico. Sin embargo, estos enfoques no son mutuamente excluyentes y la mayoría de los psicólogos participarán tanto en la investigación como en la aplicación de la psicología en algún momento de su carrera. La psicología clínica, entre muchas de las diversas disciplinas de la psicología, tiene como objetivo desarrollar en los psicólogos en ejercicio el conocimiento y la experiencia con métodos de investigación y experimentales que continuarán desarrollando y empleando al tratar a personas con problemas psicológicos o utilizar la psicología para ayudar. otros. Cuando un área de interés requiere una formación específica y conocimientos especializados, especialmente en áreas aplicadas, las asociaciones de psicología normalmente establecen un órgano de gobierno para gestionar las necesidades de formación. Del mismo modo, podrán establecerse requisitos para las titulaciones universitarias en psicología, de modo que los estudiantes adquieran conocimientos adecuados en una serie de áreas. Además, las áreas de la psicología práctica, donde los psicólogos ofrecen tratamiento a otros, pueden requerir que los psicólogos también estén autorizados por los organismos reguladores gubernamentales. La psicología cuantitativa implica la aplicación del análisis estadístico a la investigación psicológica y el desarrollo de enfoques estadísticos novedosos para medir y explicar el comportamiento humano. Es un campo joven (sólo recientemente se han creado programas de doctorado en psicología cuantitativa) y está compuesto en términos generales por los subcampos de psicometría y psicología matemática. La psicometría es el campo de la psicología que se ocupa de la teoría y técnica de la medición psicológica, que incluye la medición de conocimientos, habilidades, actitudes, intereses, logros en un grado o curso particular y rasgos de personalidad (Carl Dellomos, 2009). La medición de estos fenómenos no observables es difícil y gran parte de la investigación y el conocimiento acumulado en esta disciplina se han desarrollado en un intento de definir y cuantificar adecuadamente dichos fenómenos. La investigación psicométrica normalmente implica dos tareas de investigación principales, a saber: (i) la construcción de instrumentos y procedimientos de medición; y (ii) el desarrollo y perfeccionamiento de enfoques teóricos de medición. ==Enfoques en la investigación en psicología== ===Nomotético (enfoque cuantitativo)=== Este enfoque se utiliza básicamente en estadística inferencial y descriptiva como medio del método científico de investigación para analizar, presentar e interpretar los datos recopilados por el investigador a través de instrumentos estandarizados u objetivos (por ejemplo, pruebas psicológicas). El término “nomotético” proviene de la palabra griega “nomos” que significa “ley”. Los psicólogos que adoptan este enfoque se preocupan principalmente por estudiar lo que compartimos con los demás. Es decir en establecer leyes o generalizaciones. (Carl Dellomos, 2009) ===Idiográfico (enfoque cualitativo)=== Este enfoque tiende a no utilizar estadísticas inferenciales o descriptivas, sino que utiliza métodos cualitativos de recopilación de datos, como entrevistas, diarios y otros materiales escritos, obtenidos o proporcionados por los encuestados esperados o anticipados de una investigación en particular. El término “idiográfico” proviene de la palabra griega “idios” que significa “propio” o “privado”. Los psicólogos interesados en este aspecto de la experiencia buscan descubrir qué nos hace únicos a cada uno de nosotros. A pesar de la importancia de nuestra individualidad genética, partiendo de la biología, la distinción entre lo nomotético y lo idiográfico a menudo se equipara con dos tipos de ciencia: las ciencias naturales que se ocupan del descubrimiento de las leyes de la naturaleza y las ciencias sociales que se ocupan de los significados individuales. Podemos examinar estas diferencias más a fondo viendo cómo se relacionan con la teoría de la personalidad (Carl Dellomos, 2009). Ambos enfoques fueron introducidos por Gordon Allport. (Carl Dellomos, 2009) ==Diseños de investigación== Aunque existen muchos tipos diferentes de diseños de investigación en psicología, los estudios pueden clasificarse en descriptivos, correlacionales y experimentales. El método de recopilación de datos también varía, con el autoinforme en un extremo del espectro y la observación naturalista en el otro. ===Estudios Descriptivos=== Los estudios que no prueban relaciones específicas entre variables se denominan estudios descriptivos. En este método de investigación se observan y miden comportamientos o atributos generales o específicos, sin respeto entre sí. Estos estudios son generalmente el diseño elegido para irrumpir en nuevas áreas, ya que la enorme pero a menudo no concluyente cantidad de información recopilada puede utilizarse para futuras hipótesis. Un ejemplo de tal estudio sería el de un investigador que indaga sobre la calidad de las instituciones de salud mental. Esto se haría mediante observación o mediciones de varios criterios, en contraposición a relaciones entre variables. Alternativamente, el estudio podría realizarse sin ningún criterio específico en mente. ===Estudios correlacionales=== Este método de análisis estadístico muestra la relación entre dos variables. Por ejemplo, las investigaciones han demostrado que la dependencia del alcohol se correlaciona con la depresión. Es decir, cuanto más alcohol consumen las personas, más deprimidas se vuelven. Por otro lado, también podría ser al revés: cuanto más deprimidas están las personas, más probabilidades hay de que consuman alcohol. Los atributos de las correlaciones incluyen fuerza y dirección. La dirección puede ser positiva (ambas variables aumentan o disminuyen juntas), negativa (una variable aumenta mientras la otra disminuye) o no relacionada (una relación aleatoria entre variables). La fuerza de una correlación varía de -1 a +1, donde un 0 no refleja ninguna relación entre las variables. Un estudio correlacional sirve sólo para describir/predecir el comportamiento y no para explicarlo. Esto es así porque se podría demostrar que una tercera variable causa la aparición de una de las variables. Además, sólo los experimentos pueden probar la causalidad. ===Estudios experimentales=== Los experimentos son generalmente los estudios más precisos y tienen mayor peso debido a su poder concluyente. Son particularmente eficaces para probar hipótesis sobre relaciones de causa y efecto entre variables. Una hipótesis es una predicción de cómo se relaciona una variable con otra. Hay dos tipos de hipótesis, nulas y direccionales. La nula es una predicción de que no habrá ningún cambio en la variable dependiente cuando el investigador cambie la variable independiente. La hipótesis direccional establece que el cambio en la variable independiente inducirá un cambio en la variable dependiente. En un experimento verdadero, todas las variables se mantienen constantes excepto la variable independiente, que se manipula. Por tanto, cualquier cambio en los grupos experimentales puede atribuirse únicamente a la acción de la variable independiente. A esto se le llama ser objetivo. Por ejemplo, en un experimento para comprobar si la música mejora la memoria de las personas, tendríamos una hoja de papel con diez palabras no relacionadas para que las personas las memorizaran. El grupo de control no tendría música de fondo, mientras que el grupo experimental tendría algo de música de fondo. Debido a que como investigadores nos hemos adherido al método científico y hemos mantenido todas las variables lo más constantes posible, si el grupo experimental reporta una mejor memorización de palabras, entonces podríamos suponer que la música tuvo un efecto sobre la memoria. Sin embargo, debemos asegurarnos de hacer todo lo posible para garantizar que se elimine cualquier diferencia controlable entre los dos grupos para garantizar que ninguna variable de confusión interfiera con el experimento. Hay dos formas principales de seleccionar o muestrear a los sujetos en un experimento: aleatoria y estratificada. En un muestreo aleatorio cada persona tiene las mismas posibilidades de ser elegida. Esto significa que si el 80% de la población de la que se toma la muestra es cristiana, entonces el 80% de la muestra será cristiana. Si el investigador quisiera que todas las religiones estuvieran representadas por igual, emplearía un muestreo estratificado. Por ejemplo, el experimento podría realizarse sólo con mujeres, o en grupos mixtos con números iguales de cada sexo, para eliminar la posibilidad de resultados sesgados de que un género tenga mejor memoria promedio que el otro. Se deben tomar medidas para asegurarse de que no haya sesgo del experimentador. Dos formas comunes de sesgo son las características de la demanda y los efectos de las expectativas. Si un investigador espera ciertos resultados de un experimento e influye en la respuesta del sujeto, esto se denomina características de demanda. Si el experimentador interpreta inadvertidamente que la información es la esperada en su hipótesis, se denomina efecto de expectativa. Para contrarrestar el sesgo del experimentador, se puede mantener a los sujetos desinformados sobre las intenciones del experimento, lo que se denomina simple ciego. Si las personas que recopilan la información y los sujetos que la brindan se mantienen desinformados, entonces se llama doble ciego. También se debe informar del experimento para que otros investigadores puedan repetirlo. Si un experimento no es repetible, no tendrá mucho peso en la comunidad científica. Para que un experimento sea repetible, el investigador debe hacer que las variables sean mensurables, a esto se le llama ser empírico. Ya sea que se investigue en humanos o en animales, el experimento debe ser ético. Cuando los sujetos son seres humanos, se les debe informar de qué se trata el estudio, dar su consentimiento para participar en él, ser interrogados posteriormente y su información también debe mantenerse confidencial. ===Observación naturalista=== Los investigadores estudian organismos en sus entornos o hábitats naturales sin intentar manipular ni controlar nada. En este método, el investigador observa el comportamiento en estudio en su entorno natural mientras intenta evitar influir en él o controlarlo. Las observaciones se realizan en un entorno naturalista sin ninguna preparación o participación del investigador. Por tanto, el comportamiento se observa en lugares públicos, calles, hogares y escuelas. Observar la respuesta de personas de otras culturas en el mismo entorno es una forma de proporcionar información para la investigación transcultural. ===Autoinformes=== Este método incluye pruebas, cuestionarios y entrevistas. Todos hacen lo mismo, dan al sujeto un estímulo, es decir, la pregunta, y obtienen una respuesta. La ventaja de utilizarlos es la capacidad de recopilar grandes cantidades de datos de forma económica y rápida. Esto permite a un psicólogo comparar los resultados de una persona o de un grupo de personas con los de miles de personas más. La desventaja es que no siempre dicen cuál es la respuesta del sujeto sino que lo que el sujeto dice es la respuesta.88 0djjdtzs0p07di976805lq4kv85rsgj 423042 423041 2025-07-05T19:00:30Z Quinlan83 116036 Revertido el cambio de [[Special:Contributions/148.230.236.164|148.230.236.164]] ([[User talk:148.230.236.164|disc.]]) a la última edición de [[User:CJunks|CJunks]] 411559 wikitext text/x-wiki La psicología de la investigación abarca el estudio del comportamiento para su uso en entornos académicos y contiene numerosas áreas de psicología anormal, psicología biológica, psicología cognitiva, psicología comparada, psicología del desarrollo, psicología de la personalidad, psicología social y otras. Todas las ramas de la psicología pueden tener un componente de investigación. La investigación en psicología se lleva a cabo en amplio acuerdo con los estándares del método científico, abarcando modalidades estadísticas, etológicas, cualitativas y cuantitativas para generar y evaluar hipótesis explicativas con respecto a los fenómenos psicológicos. Cuando la ética de la investigación y el estado de desarrollo en un determinado dominio de investigación lo permitan, la investigación podrá llevarse a cabo mediante protocolos experimentales. La psicología tiende a ser ecléctica y recurre al conocimiento científico de otros campos para ayudar a explicar y comprender los fenómenos psicológicos. La investigación psicológica cualitativa utiliza un amplio espectro de métodos de observación, incluida la investigación-acción, la etografía, las estadísticas exploratorias, las entrevistas estructuradas y la observación participante, para permitir la recopilación de información rica que la experimentación clásica no puede alcanzar. La investigación en psicología humanista suele realizarse mediante métodos etnográficos, históricos e historiográficos. La prueba de diferentes aspectos de la función psicológica es un área importante de la psicología contemporánea. Predominan los métodos psicométricos y estadísticos, incluyendo diversas pruebas estandarizadas muy conocidas, así como aquellas creadas ad hoc según lo requiera la situación o el experimento. Los psicólogos académicos pueden centrarse exclusivamente en la investigación y la teoría psicológica, con el objetivo de promover la comprensión psicológica en un área particular, mientras que otros psicólogos pueden trabajar en psicología aplicada para implementar dicho conocimiento para un beneficio inmediato y práctico. Sin embargo, estos enfoques no son mutuamente excluyentes y la mayoría de los psicólogos participarán tanto en la investigación como en la aplicación de la psicología en algún momento de su carrera. La psicología clínica, entre muchas de las diversas disciplinas de la psicología, tiene como objetivo desarrollar en los psicólogos en ejercicio el conocimiento y la experiencia con métodos de investigación y experimentales que continuarán desarrollando y empleando al tratar a personas con problemas psicológicos o utilizar la psicología para ayudar. otros. Cuando un área de interés requiere una formación específica y conocimientos especializados, especialmente en áreas aplicadas, las asociaciones de psicología normalmente establecen un órgano de gobierno para gestionar las necesidades de formación. Del mismo modo, podrán establecerse requisitos para las titulaciones universitarias en psicología, de modo que los estudiantes adquieran conocimientos adecuados en una serie de áreas. Además, las áreas de la psicología práctica, donde los psicólogos ofrecen tratamiento a otros, pueden requerir que los psicólogos también estén autorizados por los organismos reguladores gubernamentales. La psicología cuantitativa implica la aplicación del análisis estadístico a la investigación psicológica y el desarrollo de enfoques estadísticos novedosos para medir y explicar el comportamiento humano. Es un campo joven (sólo recientemente se han creado programas de doctorado en psicología cuantitativa) y está compuesto en términos generales por los subcampos de psicometría y psicología matemática. La psicometría es el campo de la psicología que se ocupa de la teoría y técnica de la medición psicológica, que incluye la medición de conocimientos, habilidades, actitudes, intereses, logros en un grado o curso particular y rasgos de personalidad (Carl Dellomos, 2009). La medición de estos fenómenos no observables es difícil y gran parte de la investigación y el conocimiento acumulado en esta disciplina se han desarrollado en un intento de definir y cuantificar adecuadamente dichos fenómenos. La investigación psicométrica normalmente implica dos tareas de investigación principales, a saber: (i) la construcción de instrumentos y procedimientos de medición; y (ii) el desarrollo y perfeccionamiento de enfoques teóricos de medición. ==Enfoques en la investigación en psicología== ===Nomotético (enfoque cuantitativo)=== Este enfoque se utiliza básicamente en estadística inferencial y descriptiva como medio del método científico de investigación para analizar, presentar e interpretar los datos recopilados por el investigador a través de instrumentos estandarizados u objetivos (por ejemplo, pruebas psicológicas). El término “nomotético” proviene de la palabra griega “nomos” que significa “ley”. Los psicólogos que adoptan este enfoque se preocupan principalmente por estudiar lo que compartimos con los demás. Es decir en establecer leyes o generalizaciones. (Carl Dellomos, 2009) ===Idiográfico (enfoque cualitativo)=== Este enfoque tiende a no utilizar estadísticas inferenciales o descriptivas, sino que utiliza métodos cualitativos de recopilación de datos, como entrevistas, diarios y otros materiales escritos, obtenidos o proporcionados por los encuestados esperados o anticipados de una investigación en particular. El término “idiográfico” proviene de la palabra griega “idios” que significa “propio” o “privado”. Los psicólogos interesados en este aspecto de la experiencia buscan descubrir qué nos hace únicos a cada uno de nosotros. A pesar de la importancia de nuestra individualidad genética, partiendo de la biología, la distinción entre lo nomotético y lo idiográfico a menudo se equipara con dos tipos de ciencia: las ciencias naturales que se ocupan del descubrimiento de las leyes de la naturaleza y las ciencias sociales que se ocupan de los significados individuales. Podemos examinar estas diferencias más a fondo viendo cómo se relacionan con la teoría de la personalidad (Carl Dellomos, 2009). Ambos enfoques fueron introducidos por Gordon Allport. (Carl Dellomos, 2009) ==Diseños de investigación== Aunque existen muchos tipos diferentes de diseños de investigación en psicología, los estudios pueden clasificarse en descriptivos, correlacionales y experimentales. El método de recopilación de datos también varía, con el autoinforme en un extremo del espectro y la observación naturalista en el otro. ===Estudios Descriptivos=== Los estudios que no prueban relaciones específicas entre variables se denominan estudios descriptivos. En este método de investigación se observan y miden comportamientos o atributos generales o específicos, sin respeto entre sí. Estos estudios son generalmente el diseño elegido para irrumpir en nuevas áreas, ya que la enorme pero a menudo no concluyente cantidad de información recopilada puede utilizarse para futuras hipótesis. Un ejemplo de tal estudio sería el de un investigador que indaga sobre la calidad de las instituciones de salud mental. Esto se haría mediante observación o mediciones de varios criterios, en contraposición a relaciones entre variables. Alternativamente, el estudio podría realizarse sin ningún criterio específico en mente. ===Estudios correlacionales=== Este método de análisis estadístico muestra la relación entre dos variables. Por ejemplo, las investigaciones han demostrado que la dependencia del alcohol se correlaciona con la depresión. Es decir, cuanto más alcohol consumen las personas, más deprimidas se vuelven. Por otro lado, también podría ser al revés: cuanto más deprimidas están las personas, más probabilidades hay de que consuman alcohol. Los atributos de las correlaciones incluyen fuerza y dirección. La dirección puede ser positiva (ambas variables aumentan o disminuyen juntas), negativa (una variable aumenta mientras la otra disminuye) o no relacionada (una relación aleatoria entre variables). La fuerza de una correlación varía de -1 a +1, donde un 0 no refleja ninguna relación entre las variables. Un estudio correlacional sirve sólo para describir/predecir el comportamiento y no para explicarlo. Esto es así porque se podría demostrar que una tercera variable causa la aparición de una de las variables. Además, sólo los experimentos pueden probar la causalidad. ===Estudios experimentales=== Los experimentos son generalmente los estudios más precisos y tienen mayor peso debido a su poder concluyente. Son particularmente eficaces para probar hipótesis sobre relaciones de causa y efecto entre variables. Una hipótesis es una predicción de cómo se relaciona una variable con otra. Hay dos tipos de hipótesis, nulas y direccionales. La nula es una predicción de que no habrá ningún cambio en la variable dependiente cuando el investigador cambie la variable independiente. La hipótesis direccional establece que el cambio en la variable independiente inducirá un cambio en la variable dependiente. En un experimento verdadero, todas las variables se mantienen constantes excepto la variable independiente, que se manipula. Por tanto, cualquier cambio en los grupos experimentales puede atribuirse únicamente a la acción de la variable independiente. A esto se le llama ser objetivo. Por ejemplo, en un experimento para comprobar si la música mejora la memoria de las personas, tendríamos una hoja de papel con diez palabras no relacionadas para que las personas las memorizaran. El grupo de control no tendría música de fondo, mientras que el grupo experimental tendría algo de música de fondo. Debido a que como investigadores nos hemos adherido al método científico y hemos mantenido todas las variables lo más constantes posible, si el grupo experimental reporta una mejor memorización de palabras, entonces podríamos suponer que la música tuvo un efecto sobre la memoria. Sin embargo, debemos asegurarnos de hacer todo lo posible para garantizar que se elimine cualquier diferencia controlable entre los dos grupos para garantizar que ninguna variable de confusión interfiera con el experimento. Hay dos formas principales de seleccionar o muestrear a los sujetos en un experimento: aleatoria y estratificada. En un muestreo aleatorio cada persona tiene las mismas posibilidades de ser elegida. Esto significa que si el 80% de la población de la que se toma la muestra es cristiana, entonces el 80% de la muestra será cristiana. Si el investigador quisiera que todas las religiones estuvieran representadas por igual, emplearía un muestreo estratificado. Por ejemplo, el experimento podría realizarse sólo con mujeres, o en grupos mixtos con números iguales de cada sexo, para eliminar la posibilidad de resultados sesgados de que un género tenga mejor memoria promedio que el otro. Se deben tomar medidas para asegurarse de que no haya sesgo del experimentador. Dos formas comunes de sesgo son las características de la demanda y los efectos de las expectativas. Si un investigador espera ciertos resultados de un experimento e influye en la respuesta del sujeto, esto se denomina características de demanda. Si el experimentador interpreta inadvertidamente que la información es la esperada en su hipótesis, se denomina efecto de expectativa. Para contrarrestar el sesgo del experimentador, se puede mantener a los sujetos desinformados sobre las intenciones del experimento, lo que se denomina simple ciego. Si las personas que recopilan la información y los sujetos que la brindan se mantienen desinformados, entonces se llama doble ciego. También se debe informar del experimento para que otros investigadores puedan repetirlo. Si un experimento no es repetible, no tendrá mucho peso en la comunidad científica. Para que un experimento sea repetible, el investigador debe hacer que las variables sean mensurables, a esto se le llama ser empírico. Ya sea que se investigue en humanos o en animales, el experimento debe ser ético. Cuando los sujetos son seres humanos, se les debe informar de qué se trata el estudio, dar su consentimiento para participar en él, ser interrogados posteriormente y su información también debe mantenerse confidencial. ===Observación naturalista=== Los investigadores estudian organismos en sus entornos o hábitats naturales sin intentar manipular ni controlar nada. En este método, el investigador observa el comportamiento en estudio en su entorno natural mientras intenta evitar influir en él o controlarlo. Las observaciones se realizan en un entorno naturalista sin ninguna preparación o participación del investigador. Por tanto, el comportamiento se observa en lugares públicos, calles, hogares y escuelas. Observar la respuesta de personas de otras culturas en el mismo entorno es una forma de proporcionar información para la investigación transcultural. ===Autoinformes=== Este método incluye pruebas, cuestionarios y entrevistas. Todos hacen lo mismo, dan al sujeto un estímulo, es decir, la pregunta, y obtienen una respuesta. La ventaja de utilizarlos es la capacidad de recopilar grandes cantidades de datos de forma económica y rápida. Esto permite a un psicólogo comparar los resultados de una persona o de un grupo de personas con los de miles de personas más. La desventaja es que no siempre dicen cuál es la respuesta del sujeto sino que lo que el sujeto dice es la respuesta. bhhjqa5py2831jj5azd55unhyldipiy 0 63562 423032 423031 2025-07-05T17:21:21Z Rehernan 55364 423032 wikitext text/x-wiki <!-- Prefacio --> __TOC__ === Prefacio === == Presentación == Este texto es una introducción al estudio teórico de los espacios métricos y los espacios topológicos. Tales espacios son abstracciones naturales de algunas propiedades que aparecieron de los números reales y de las funciones en el desarrollo del Cálculo (infinitesimal). Varios de los resultados interesantes tenían como único fundamento una gráfica (ver el capítulo 1). Algunos matemáticos intuían relaciones entre algunos de esos resultados, pero no había una teoría que pudiera dar cuenta de los resultados y las conexiones. Cabe aquí mencionar que una fundamentación de los Reales no fue lograda hasta 1856 (Dedekind). A partir de allí, algunos trabajos previos de Bolzano y Cauchy empezaron a consolidarse en una teoría, que fue fuertemente impulsada por Weierstrass. A todo lo anterior, la invención de la teoría de conjuntos permitió una unificación del lenguaje de varias teorías. De allí en adelante, una pleyade de matemáticos inventó/descubrió lo que veremos en este texto. <br> La topología (análisis de posiciones relativas) tiene viejos antecedentes, inclusive en algunos resultados de la antigüedad. En tiempos modernos, se acredita a Euler con investigaciones en topología combinatoria (análisis de posiciones relativas en ciertas configuraciones independiente de la métrica). Las nociones actuales responden a los trabajos de muchos autores, pero se señalan a Hilbert, Riesz, Hausdorff y Poincaré como las figuras mas destacadas al comienzo del siglo XX. <br> La Topología (los Espacios Métricos son una parte de la Topología) puede estudiarse de diferentes puntos de vista. Una posibilidad es, recordando sus orígenes, orientar el estudio a algunos aspectos básicos del Análisis (Derivación e Integración). Otra posibilidad es atender aspectos mas cercanos a la geometría (como descripción de posibles concepciones de espacios y sus consecuencias). Esto ultimo será el punto de vista de este texto, por lo que hablaremos algunas veces de topogeometría; lo cual no quiere decir que no se atiendan temas relevantes al Análisis. En la literatura matemática, a veces se usa el nombre de <i>topología conjuntista para la mayor parte del contenido de este texto.</i> == Descripción de la Organización del Texto == Hemos procurado como estrategia de exposición, ir de lo particular a lo general o más abstracto, y dar abundantes ejemplos para ilustrar los conceptos y sus relaciones. El primer capítulo  contiene algunos ejemplos de los teoremas clásicos que fueron la motivación para los desarrollos teóricos posteriores. Como la historia del tema comienza con los Reales, hemos dedicado el capítulo 2 a los aspectos relevantes de los mismos para nuestros estudio, continuando en el capítulo 3, con los espacios clásicos multidimensionales. Los espacios métricos son desarrollados en los capítulos 4 al 7. Por su parte, los espacios topológicos y sus propiedades principales aparecen en los capítulos 8 al 12. Finalmente, en los capítulos 13 al 15, aplicaremos lo anterior al estudio de aspectos geométricos interesantes de los espacios euclídeos. Hay además apéndices para referencia sobre conjuntos, funciones y grupos. <b>Requisitos</b> Los requisitos de este texto son variados. Ojalá, un buen curso de Cálculo con al menos un vistazo al Cálculo Vectorial (Cálculo de funciones de varias variables)y, un curso de Álgebra Lineal. Deseable es un curso adonde el estudiante haya usado razonamientos formales. Finalmente, pero de mucha importancia, es haber trabajado con conjuntos y sus propiedades, ojalá formalmente. No en vano, muchos llaman topología conjuntista a la mayoría de los aspectos de la topología que veremos. Posiblemente, por esa razón muchos textos de Topología comienzan con un extenso capítulo acerca de conjuntos. En este texto, adoptamos una posición optimista: esperamos que los lectores tengan un conocimiento aceptable de la teoría de conjuntos. Lo que suponemos conocido, lo hemos resumido en los apéndices A y B; por lo que exhortamos al lector a revisarlos. Si puede más o menos leerlos cómodamente, está listo para este texto. Como esos apéndices tienen carácter referencial son, necesariamente, incompletos. Por lo que no se debe intentar recordar todos los detalles, más importante es saber que están allí. Cuando un material de los apéndices sea necesario para el texto, la lectora o lector puede buscarlo en el correspondiente apéndice. Como cualquier texto de matemáticas, lo recomendable es una lectura inicial rápida de una o varias secciones o del capítulo para enterarse de lo tratado. Una segunda lectura debe ser lenta, reflexiva, con papel y lápiz a la mano, para revisar los detalles, intentar demostraciones y producir ejemplos. La producción y manejo de ejemplos es muy importante para el entendimiento de los conceptos y su alcance. La variedad de ejemplos para una noción es, de acuerdo a los psicólogos del aprendizaje, lo que consolida su comprensión. Las imágenes ayudan a entender los conceptos y los guían en la internalización de la nociones especialmente en este texto, que es un texto de una geometría especial, pero geometría al fin. Finalmente mencionaremos que hay una bibliografía conteniendo libros que hemos usado en la preparación de este texto. La mayoría de esos libros se pueden hallar gratis en la WEB. Además hemos agregado unas referencias a sitios en la WEB donde se puede hallar información histórica o recursos adicionales. Siempre resultará iluminante, ver las biografías de los matemáticos que contribuyeron al desarrollo del tema (ver en la Bibliografía sitios de la Web relevantes). ==  Convenios acerca de la notación y nomenclatura  == Hemos procurado usar la notación y nomenclatura lo más estandarizada posible. Sin embargo, esto no siempre es posible, debido entre otros a diferentes usos por autores (especialmente en los conceptos topológicos) o al uso en diferentes países. Indicamos a continuación, algunos usos que pueden ser considerados especiales. <ul> <li> <b>Función</b> es cualquier asignación a cada elemento de un conjunto (dominio) de un elemento en otro conjunto (codominio). No usaremos nombres especiales como “aplicación”, “mapeo”, etc. cuyo uso es relativamente local, geográficamente hablando. Las funciones con valores reales se llamarán, a veces, <i>funciones numéricas</i>. Excepción: usualmente, en el contexto geométrico, una </i>transformació</i>n de un espacio será una función del espacio en si mismo. <li> Dados conjuntos A y B, llamamos <b>reunión</b> al conjunto denotado por A∪B. (Los miembros de un club se reúnen, no se unen). <li> Sea f una función de A en B (simbolizado como f : A → B) tal que f(x) = y—lo que simbolizaremos por<br>  x &#8614; y, Algunas veces, escribiremos f : A → B :: x &#8614; f(x) para indicar lo anterior. <li> Usamos <b>N</b>, <b>Z</b>, <b>Q</b> y <b>R</b> para indicar los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales y reales, respectivamente. Usaremos el nombre de los elementos de uno de esos conjuntos en plural y con letra inicial mayúscula para referirnos al conjunto. Así, por ejemplo, los Reales, quiere decir el conjunto de números reales, etc. <li> Decimos que un conjunto A es <b>infinito</b>, cuando hay una función inyectiva de los Naturales en A. Es decir, cuando hay una sucesión infinita de elementos de A diferentes entre sí.      <li> Algunas veces, por razones tipográficas, usaremos <b>a_i</b> para denotar a<sub>i</sub>. <li> Algunos párrafos están precedidos por los símbolos (♣) o (♠) para indicar el primero algo intuitivo y el segundo algo que requiere de un conocimiento previo (no contenido explícitamente en el texto), por ejemplo, resultados del Cálculo. </ul>  [[Categoría:Espacios Métricos]] 06o6rhgpwb9jpvjhrxhzdxa02mdw3fy 1 63563 423039 2025-07-05T18:03:21Z Rehernan 55364 Página creada con «Primera ~~~` ~~~~» 423039 wikitext text/x-wiki Primera [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]])` [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 18:03 5 jul 2025 (UTC) 9uzpo3aeem2ak32majk9p7t0z7yebqk 1 63564 423044 2025-07-05T21:40:38Z Rehernan 55364 Sección nueva: /* Redundancia de la Pagina */ 423044 wikitext text/x-wiki == Redundancia de la Pagina == Esta página contiene material que aparece en los otros capítulos [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 21:40 5 jul 2025 (UTC) 19nbngosjx1gj1921qql3bax09vub9b 1 63565 423048 2025-07-05T22:54:42Z Rehernan 55364 Sección nueva: /* Consistencia */ 423048 wikitext text/x-wiki == Consistencia == Matemáticas Universitarias/Älgbra Abstracta es un libro consistentee de varias páginas, por lo que debe mantenerse su organización. Cuando haya material repetido en otras páginas, enlaces mutuos pueden ayudar a la lectura. No hay una única maera de organizar un material. [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 22:54 5 jul 2025 (UTC) 5kmnowgsfmblolgbxhr3tdqdgetkxzc 1 63566 423051 2025-07-05T23:14:41Z Rehernan 55364 Sección nueva: /* Definición */ 423051 wikitext text/x-wiki == Definición == En la exposición se dice que ``'''Conjunto''' es la reunión de conjuntos diferenciales entre sí que se denominan elemento de conjunto En la exposición se presentan dos niveles incompatibles en mi opinion. LA ``definición'' indicada parece ser circular conjunto es ... reunión de conjuntos.. Luego se usa diagramas de Venn para ilustrar el concepto y posteriormente hay una definción de unión. Dependiendo el nível matemático deseado de la exposición, hay dos soluciones: <ul> <li> una exposición informal, basada en intuiciones como la primera parte <li> una presentación formal donde los conceptos deconjunto y pertenencia son conceptos no definidos y su signoficada seguirá de los axiomas y definiciones posteriores. [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 23:14 5 jul 2025 (UTC) preh9b1qn243ikb1vj9t3d4jwa0fc16