Wikilibros eswikibooks https://es.wikibooks.org/wiki/Portada MediaWiki 1.45.0-wmf.9 first-letter Medio Especial Discusión Usuario Usuario discusión Wikilibros Wikilibros discusión Archivo Archivo discusión MediaWiki MediaWiki discusión Plantilla Plantilla discusión Ayuda Ayuda discusión Categoría Categoría discusión TimedText TimedText talk Módulo Módulo discusión 0 38326 423165 423026 2025-07-08T21:45:20Z Rehernan 55364 423165 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemática Universitaria|Álgebra Abstracta]] pqg79yq2q2hyq3oh53ccipfcer8ljz2 423166 423165 2025-07-08T21:46:16Z Rehernan 55364 423166 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemática Universitaria|Álgebra Abstracta]] j3cn0v5rijxabmhij0htmym2myn7rut 423167 423166 2025-07-08T21:47:37Z Rehernan 55364 /* Algunos convenios */ 423167 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemáticas Universitaria|Álgebra Abstracta]] lmlvcmph9xdse8ca7ofmoxv6qk1haz5 423168 423167 2025-07-08T21:51:21Z Rehernan 55364 /* Capítulo 1 INTRODUCCIÓN */ 423168 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === del {{Libro\Matemáticas Universitarias/Algebra Abstracta/Introducción]] {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemáticas Universitaria|Álgebra Abstracta]] rumkos7ob0jcsrca4spa4fmno4y5etg 423169 423168 2025-07-08T21:52:01Z Rehernan 55364 /* Capítulo 1 INTRODUCCIÓN */ 423169 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === del {{Libro\Matemáticas Universitarias/Algebra Abstracta/Introducción}} {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemáticas Universitaria|Álgebra Abstracta]] cya41ujmpbydtvzfebsczdew8nm9lfx 423170 423169 2025-07-08T21:52:28Z Rehernan 55364 /* Capítulo 1 INTRODUCCIÓN */ 423170 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === del {{Libro|Matemáticas Universitarias/Algebra Abstracta/Introducción}} {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemáticas Universitaria|Álgebra Abstracta]] d2z2skjgzqvyfe7vagtx17005hf7gxu 423171 423170 2025-07-08T21:54:05Z Rehernan 55364 /* Algunos convenios */ 423171 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === del {{Libro|Matemáticas Universitarias/Algebra Abstracta/Introducción}} {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemáticas Universitariaa]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] lp4912ui1qhz4r4irec6lgzv8vo23oe 423172 423171 2025-07-08T21:54:37Z Rehernan 55364 /* Algunos convenios */ 423172 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === del {{Libro|Matemáticas Universitarias/Algebra Abstracta/Introducción}} {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] 6wse4e2xr70xn9lrkzmlun4tqr5x6sj 423173 423172 2025-07-08T21:57:27Z Rehernan 55364 /* Algunos convenios */ 423173 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Unversitarias/Álgebra Abstracta |actual=Introducción |anterior= |siguiente=Operaciones }} </noinclude> === Capítulo 1 INTRODUCCIÓN === del {{Libro|Matemáticas Universitarias/Algebra Abstracta/Introducción}} {{Caja| " Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " <br> :::Nicolas Bourbaki. }} == ¿Qué es el Álgebra Abstracta? == El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa. Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto. Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones. Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones. ¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas ''álgebras'' a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento . Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos). == Organización del libro == El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes. La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales). La tercera parte está dedicada a las estructuras de <i>anillo</i> y <i>cuerpo</i>, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos. Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto. Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes. En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia * {{cita web| título= MacTutor History of Mathematics archive| url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html| idioma=inglés}} Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea. == Sugerencias para el estudio == Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida. <ul> <li> Las <i>definiciones</i> son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado. <li> Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los <i>axiomas</i> son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las <i>proposiciones</i>, <i>corolarios</i> y <i>teoremas</i> son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones). <br /> <li> En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las <i>hipótesis</i> (los supuestos) y la <i>tesis</i> (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo. <br /> <li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos. <br /> <li> Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho. </ul> == Algunos convenios == Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos. <center> {| class="wikitable" |- | <math>\N</math> || El conjunto de los números naturales. |- | <math>\N^+</math> || El conjunto de los naturales positivos. |- | <math>\Z</math> || El conjunto de los enteros. |- | <math>\Q</math> || El conjunto de los racionales. |- | <math>\R</math> || El conjunto de los reales. |- | <math>\Complex</math> || El conjunto de complejos. |- | <math>\Z_m</math> || El conjunto de los enteros módulo <math>m.</math> |} </center> En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, <math>\N</math>, como los <i>Naturales</i>; igualmente para los otros conjuntos numéricos. Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice [[../Funciones|Las Funciones]], mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice [[../Relaciones|Las Relaciones]]. <hr> Preparado por [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 21:57 8 jul 2025 (UTC) [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] 0ssaqyqklekqnow91u2izshhchhnuym 0 42713 423175 421563 2025-07-08T22:15:05Z Rehernan 55364 /* Estructuras con una Operación */ 423175 wikitext text/x-wiki <!-- <noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude> --> <noinclude> {{navegar|libro=Álgebra Abstracta |actual=Estructuras |anterior=Operaciones |siguiente=Grupos }} </noinclude> == Introducción == Cuando a un conjunto lo proveemos de una o más operaciones, obtenemos una ''estructura algebraica''. En este capítulo, veremos algunas de las estructuras clásicas con una o dos operaciones. Las estructuras se clasifican por la cantidad de operaciones que aparecen en la estructura, las propiedades de esas operaciones, la existencia de elementos o subconjuntos destacados y las relaciones (de orden u otras) entre los elementos del conjunto base. Presentaremos diversos tipos de estructuras con ejemplos de cada uno de esos tipos. Resultará importante familiarizarse con esos ejemplos, ya que nos referiremos a la mayoría de ellos en capítulos posteriores. === Estructuras Algebraicas === Una '''Estructura Algebraica''' o '''Sistema Algebraico''' es un lista de la forma <E, p₁, p₂, ...> donde E es un conjunto (llamado el ''conjunto base'' o <i>portador</i> de la estructura) y p₁, p₂, ... son los parámetros de la estructura. Dichos parámetros son usualmente operaciones en E, incluyendo operaciones externas (operaciones tales como la multiplicación por constante de una función, o escalar por matriz). También puede haber relaciones entre los elementos de E. ::<small>Las operaciones pueden ser de varios tipos. Además de las operaciones vistas en el capítulo anterior, que son operaciones binarias porque tienen dos operandos, hay operaciones unarias, ternarias, etc. </small> El Álgebra Abstracta es el estudio de las diferentes estructuras---definiciones, propiedades, relaciones entre ellas, etc--- independiente de la naturaleza de los elementos del conjunto base. Como veremos en el texto, varios conjuntos diferentes sirven de conjunto base de una misma estructura. A medida que avancemos en el texto, discutiremos más detalles acerca de las estructuras. Una discusión más detallada puede hallarse en el apéndice sobre la [[../Estructuras Algebraicas|Teoría de Estructuras Algebraicas]]. == Estructuras con una Operación == [[Archivo:AL Grupo.svg|derecha|280px]] Nuestro estudio empezará con estructuras muy simples ya que la lista de parámetros incluye solamente a una operación. Veremos las estructuras de magma, semigrupos, monoides y grupos. <ref> Además, han surgido recientemente otras estructuras con una operación tales como grupoides, lazos, etc.</ref> [[Archivo:Estructuras_Algebraicas.jpg|centrada|300px]] === Definición de Magma === La estructura algebraica más simple que consideraremos, magma, fue introducida en el capítulo anterior. Recordaremos a continuación su definición. {{DefRht|Magma| Llamamos '''magma''' a un par '''<E,*>''' donde E es un conjunto no vacío y <math>*</math> es una operación en el conjunto. }} {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Los Enteros con la suma, <math>< \Z, +></math>, o con la multiplicación, <math><\Z, \cdot> </math>. <li> Los Racionales, los Reales, los Complejos con respecto a la suma y también a la multiplicación. <li> Los Enteros con la resta. </ol> ---- Sea <E,*> un magma. Cuando no haya ambigüedad acerca de la operación de un magma, podremos hablar simplemente del magma E. Otras veces, podremos hablar del magma E con la operación *. === Definiciones de Semigrupo, Monoide y Grupo === {{DefRht|Semigrupo, Monoide, Grupos| * Un '''semigrupo''' es un magma con operación asociativa. * Un '''monoide''' es un semigrupo con elemento neutro. * Un '''grupo''' es un monoide cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación. }} :<ul list-style-type="circle"> <li>Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es '''conmutativo''' (o '''abeliano''') cuando la operación es conmutativa.<ref> Abeliano, en honor al matemático noruego N.H. Abel (1802--1829). </ref> <li>Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es '''finito''', cuando el conjunto base lo es. <li> Decimos que un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es '''aditivo''' (resp. '''multiplicativo''') cuando la operación se denote como una suma (resp. multiplicación). Usualmente, cuando la operación es conmutativa se denota aditivamente. </ul> {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> Los Enteros con la resta forman un magma que no es un semigrupo, ya que la resta no es asociativa. <li> Los Naturales positivos con la suma forman un semigrupo (la suma es asociativa) que no es un monoide, ya que el neutro 0 no está en el conjunto. <li> Los Naturales con la suma forman un monoide que no es grupo, ya que los opuestos aditivos de los naturales positivos no están en el conjunto. <li> Los Enteros con la suma forman un grupo abeliano. <li> Los Racionales, Los Reales y los Complejos, con la suma determinan grupos abelianos. <li> Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos. </ol> ---- Observaciones acerca de las estructuras y de la terminología asociada. <ul> <li> En rigor, debiéramos decir, por ejemplo, que <math><\Z,+></math> "tiene o posee una estructura de grupo", o que es una "instancia de la estructura de grupo", pero simplemente decimos <math><\Z,+></math> es un grupo o hablamos del grupo (aditivo) de los Enteros. <li> En rigor, deberíamos especificar a un monoide como (que tiene) una estructura <math><M,*,e></math> para indicar la existencia del neutro <i>e</i>. Igualmente, un grupo debiera especificarse como <math><G,*,e, x \mapsto x^{-1} ></math> para indicar que hay, además, inversos para cada elemento. Sin embargo, cuando no haya riesgo de confusión mencionamos solamente el conjunto, la operación y el tipo de estructura. <li> (Descendientes, Ascendientes, Subyacentes) Observemos que hemos definido a las estructuras magma, semigrupos, monoides y grupos, como que cada una es un caso especial de la anterior. Decimos que una estructura es ''descendiente'' de una segunda estructura, cuando sea un caso especial de la otra. En tal situación, decimos que la segunda estructura es un ''ascendiente'' de la primera. Por ejemplo, las estructuras de semigrupos, monoides y grupos son descendientes de la estructura de magma. Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda. Por ejemplo, el grupo <math><\Z,+></math>, o sea, <math><\Z,+,0, x \mapsto -x></math> tiene una estructura subyacente de monoide <math><\Z,+,0></math> (nos olvidamos de los opuestos aditivos). También tiene una estructura subyacente de semigrupo, <math><\Z,+></math>. Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda. <li> (Herencia) La razón de llamar descendientes a las estructuras especiales es para señalar que las propiedades de una estructura son heredadas por sus descendientes. <br /> En Álgebra Abstracta, se prefiere siempre enunciar y probar los enunciados en la estructura más general posible, para que sirva para todos sus descendientes. </ul> ---- Sigue de la observaciones anteriores que todas las propiedades de magmas probadas en el capítulo anterior son válidas para semigrupos, monoides y grupos. === Propiedades de Monoides === Un monoide puede contener elementos invertibles, aunque no sea un grupo. Por ejemplo, los Enteros no nulos con la multiplicación forman un monoide que no es grupo, ya que los enteros diferentes de 1, -1 no tienen recíprocos. Sin embargo, 1 y -1 tienen inversos que son ellos mismos. Esto implica que el conjunto U = {1,-1} determina con la multiplicación un grupo. La situación es bastante general, como lo muestra la siguiente proposición. '''Proposición 1. (Grupo de invertibles de un Monoide)''' <i> Sea <M,*> un monoide y sea U_M el conjunto formado por todos los elementos de M que son invertibles. Entonces < U_M, *> es un grupo. <ul> <i> Demostración: </i> Como el producto de invertibles es invertible, U_M es cerrado respecto a la operación, por lo que la restricción de la operación a U_M define allí una operación. El neutro siempre es invertible, por lo que el neutro es un elemento de U_M. Finalmente, los inversos de elementos invertibles son invertibles, por lo que cada elemento de U_M tiene inverso en U_M. Es decir que < U_M, *> es efectivamente un grupo.</i> {{QED}} </ul> ---- {{Ejmpl|Ejemplos}} <ul> <li> Los Reales con la multiplicación forman un monoide cuyo grupo de invertibles esta determinado por los Reales no nulos. Igualmente, para los Racionales y los Complejos. <li> Las matrices cuadradas con la multiplicación forman un monoide, cuyo grupo de invertibles, está formado por las matrices invertibles. </ul> === Orden de un Elemento === {{DefRht|Orden de un Elemento| Sea <math>M</math> un monoide (o grupo) con neutro <math>e</math> y <math>a</math> un elemento de <math>M</math>, Cuando haya un número natural positivo <math>n</math> tal que <math>a^n=e</math>, llamaremos '''orden''' de <math>e</math> al menor entero positivo con esa propiedad. Cuando el conjunto de potencias de un elemento consista de elementos diferentes entre si, diremos que el elemento tiene orden infinito. Notación: <math>o(a)</math>.}} {{Ejmpl|Ejemplos}} <ol> <li> El número imaginario <math>i</math> es tal que <math>i^2=-1,\quad i^3 = -i, \quad i^4 =1</math>. Por lo que su orden es 4. <li> En un grupo aditivo, los múltiplos son las potencias. Por lo que un elemento ''a'' tiene orden finito n, cuando ''na = 0''. En los Enteros, no hay números ''n'' positivos tales que <math>n \cdot 1</math>, por lo que el orden de 1 es infinito. En los Enteros módulo m, todos los elementos tienen orden finito respecto a la adición. </ol> '''Proposición 2.''' '' Sea a un elemento de un monomio M con <math>o(a)=n</math>, o sea, tal que hay un entero positivo n tal que <math>a^n = e.</math> Entonces, a es invertible con inverso <math>a^{n-1}.</math>'' <ul> <i> Demostración: </i> <math>a*a^{n-1} = a^n = e = a^{n-1}* e.</math> {{QED}} </ul> ---- {{Ejmpl|Ejemplos}} <ul> <li> En los Enteros <math>(-1)^2=1</math> Luego, <math>-1</math> es invertible y su inverso es <math>(-1)^{2-1} = (-1)^1=-1</math>, <li> E los Entremos módulo 5, se tiene que <math>2^4=16=1</math>. Luego, 2 tiene recíproco allí. Su recíproco es <math>2^3 = 8 = 3.</math> acta]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría: Álgebra Abstracta]] </ul> == Ejemplos == El Álgebra Abstracta como su nombre lo indica tiene su origen en la abstracción de propiedades de ejemplos existentes. Esta (relativamente larga sección, quiere mostrar algunos de esos ejemplos). Es importante que los lectores se familiaricen con ellos. Deben procurar, además, identificar las nociones vistas en el capítulo anterior: elementos neutros, invertibles, cancelables, partes cerradas. === Los Sistemas Numéricos === Nuestros sistemas numéricos son los Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos. A ellos siempre agregaremos los Enteros módulo cierto número. Los principales resultados que el lector deberá examinar cuidadosamente para ver la validez de lo afirmado. <ul> <li> <X, +> es un grupo abeliano, cuando <math>X = \Z, \Q, \R, \Complex.</math> <br /> Las relaciones de inclusión entre esos conjuntos producen subestructuras. (cuya definición formal veremos posteriormente). Como se trata de la misma operación, el mismo neutro y los mismos opuestos, decimos que los Enteros son un subgrupo aditivo de los Racionales (y de los Reales y de los Complejos). Igualmente, los Racionales son un subgrupo de los Reales y Racionales. Finalmente Los Reales forman un subgrupo de los Complejos. <li> <X^*, <math>\cdot</math>> es un grupo abeliano cuando <math> X = \Q, \R , \Complex.</math> X^* indica los elementos no nulos de X. <li> Los Enteros módulo m son un grupo respecto a la adición. Con respecto a la multiplicación, sus elementos no nulos, en general, forman un monoide. </ul> === El Grupo Simétrico === En el capitulo "[[../Operaciones|Las Operaciones]]" destacamos al ejemplo <math>F(X, X)</math> formado por todas las funciones de <math>X</math> en si mismo. Vimos que dicho conjunto con la composición de funciones tiene una estructura de monoide. Por lo tanto, de acuerdo a la proposición 1, los elementos invertibles de dicho conjunto determinan con la composición un grupo al que llamamos el '''grupo simétrico''' de <math>X</math> y que denotamos por <math>\textsf{S}_X</math>. Notemos que los elementos invertibles de <math>F(X,X)</math> son las funciones biyectivas de <math>X</math> en si mismo. Se puede verifica que cuando el conjunto <math>X</math> tiene más de dos elementos, dicho grupo no es conmutativo. Cuando <math>X=I_n := \{1,2, \dots, n\}</math> es el conjunto formado por los primeros <math>n</math> números naturales positivos, denotamos a <math>\textsf{S}_X</math> por <math>\textsf{S}_n</math> y le llamamos grupo de las '''permutaciones de n símbolos''' o '''grupo simétrico de grado n'''. Una permutación, en este contexto, es una función biyectiva de cualquier conjunto finito en si mismo. <b> Grupo de Permutaciones</b> En forma general, llamamos grupo de permutaciones a un grupo G, tal que G es un subconjunto de algún <math>\textsf{S}_n</math>. Históricamente, estos fueron los primeros grupos estudiados. ''Representación matricial de permutaciones.'' Cuando <math>f</math> sea una función de I_n en si mismo, escribiremos la tabla de valores de la función de la siguiente manera <center><math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & ... &n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math> </center> Por ejemplo, todas las biyecciones de <math>I_3</math> en si mismo son: <center><math>\scriptstyle \begin{matrix} f_0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} & f_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} & f_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ [5mm] f_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} & f_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} & f_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} </math></center> Las permutaciones están asociadas, usualmente, con reordenamientos. Mirando a la segunda fila, vemos porque llamamos permutaciones a esas funciones. La siguiente tabla muestra los resultados de la composición de esas funciones, es decir la tabla del grupo. ---- <center> La tabla de S_3.</center> <center> <math>\begin{array}{c|cccccc} \circ & f_0 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 \\ \hline f_0 & f_0 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 \\ f_1 & f_1 & f_0 & f_4 & f_5 & f_2 & f_3 \\ f_2 &f_2 & f_3 & f_0 & f_1 & f_5 & f_4 \\ f_3 & f_3 & f_2 & f_5& f_4 & f_0 & f_1 \\ f_4 & f_4 & f_5 & f_1 & f_0 & f_3 & f_2 \\ f_5 & f_5 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 \end{array} </math></center> Mirando la falta de simetría respecto a la diagonal principal, vemos que la operación no es conmutativa. Claramente, f₀ es la identidad (como función) que es el neutro del grupo. ¿Cómo obtuvimos los resultados? Simplemente por composición de funciones. Veamos el cómputo de <math>f_2 \circ f_3</math> <math> f_2(f_3(1)) = f_2(2) = 1, \quad f_2(f_3(2)) = f_2(3)) = 3, \quad f_2(f_3)) = 2. </math> Luego, el producto es igual a f₁ ---- ¿Cuántos elementos tiene <math>\textsf{S}_n</math>? Razonando como reordenamiento de I_n, vemos que debemos ubicar los n elementos de ese conjunto en n posiciones. Tenemos ''n'' posibilidades para la primera posición, ''(n-1)'' para la segunda, ''(n-2)'' para la tercera, etc. Luego, {{Caja|<math>|S_n|= n * (n-1) * \cdots 2 * 1 = n !</math>}} ---- === Las Matrices 2 x 2 === Denotamos por <math>M_2(\R)</math> al conjunto formado por todas las matrices 2 x 2 con entradas o componentes números reales. Hay operaciones de suma y producto de matrices que recordamos a continuación. <center><math>\begin{array}{lcl} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a +x & b + y \\ c + z & d + w \end{bmatrix} \\ [5mm] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a x+ bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw \end{bmatrix} \end{array}</math></center> Dichas operaciones tienen las propiedades que indicaremos a continuación. La verificación de la validez de las mismas queda al cuidado de los lectores. <ol> <li> La suma de matrices es asociativa, conmutativa, tiene neutro <math>\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0\end{bmatrix}</math> y cada matriz A tiene opuesto aditivo -A. Lo que nos dice que las matrices con la suma determinan un grupo abeliano. <li> La multiplicación de matrices es asociativa, pero no conmutativa. Tiene neutro <math> I =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>. Por lo que las matrices con la multiplicación determinan un monoide. Las matrices con la multiplicación no determinan un grupo, porque no todas las matrices no nulas tienen inverso. En, efecto se sabe que únicamente las matrices con determinante no nulo son invertibles. Se sabe que si la matriz <math>A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math> tiene determinante (ad- bc) no nulo, su inversa es <center> <math> A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}</math> </ol> Las matrices invertibles determinan un grupo ya que el producto de invertibles es invertible con inversa igual al producto de las inversas de los factores, pero con orden invertido. <center><math>(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1};</math></center> y la inversa de una matriz invertible tiene como inversa a la matriz original. Dicho grupo se llama '''grupo lineal''' (de dimensión 2) sobre los Reales y se denota por <math>GL_2(\R)</math>. === Ejercicios === <ol> <li> Verificar la validez de las afirmaciones sobre las propiedades de las operaciones con matrices. <li>Para cada uno de los siguientes conjuntos de matrices, investigar si son cerrados respecto a la multiplicación, si la identidad pertenece al conjunto y si el inverso de cada elemento en el conjunto pertenece al conjunto <math>\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}: a,b \in \R</math> <center><math> \begin{array}{rcl} B &=& \{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}: a,b \in \R\}. \\ T &=& \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & (1/a) \end{bmatrix}: a \in \R\}. \\ U &=& \{\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : a \in \R\}. \end{array} </math></center> <li> Sea <math>GL_2(\Q)</math> el subconjunto formado por todas las matrices invertibles cuyas entradas son todas números racionales. Probar que dicho conjunto con la multiplicación tiene una estructura de grupo. <li> Sea <math>\mathcal{C} </math> el conjunto de matrices de la forma <center><math>\begin{bmatrix} a & - b \\ b & a \end{bmatrix}. </math></center> Probar que las matrices no nulas de <math>\mathcal{C} </math> forman un grupo con la multiplicación. </ol> == Los Enteros módulo m == En esta sección, construiremos de manera formal el conjunto de los Enteros módulo <math>m</math>, así como sus operaciones de adición y multiplicación. Esta construcción servirá de modelo más adelante en la construcción de los llamados grupos cocientes. {{DefRht|Congruencia módulo ''m'' en los Enteros| Sea m un entero positivo. Decimos que dos enteros x, y son congruentes módulo ''m'', ssi, ''x - y'' es un múltiplo de'''m''}} <p>Notación: <math>x \equiv_m y \quad</math> o <math>\quad x \equiv y \pmod{m}.</math></p> Claramente, esa relación es reflexiva y simétrica. Probaremos la transitividad. <center><math> x \equiv_m y, y \equiv_m z \implies x - y = sm, y-z = tm,\ s,t \in \Z.</math> </center> Luego <math>x - z = x-y + y-x = sm + tm = (s+t)m</math>, lo que prueba la transitividad. Nos referiremos a esta relación como la ''congruencia módulo m''. Supongamos que tenemos una relación de equivalencia en un conjunto $X$. Llamando clase de equivalencia de un elemento $x$ al subconjunto formado por todos los elementos relacionados con $x$ y que denotamos por $x$, se sabe que dichas clases forman una \text it{partición} del conjunto $X$. Es decir que son disjuntas dos a dos y que su (re)unión es todo $X$. Ver los detalles en el apéndice \ref{chRelaciones}. Las clases de equivalencia con respecto a la relación de congruencia se llaman también <b>clases de congruencia</b>. La clase de congruencia módulo <math>m</math> de un número <math>x</math> está formado por todos aquellos números <math>y</math> tales que <math>y -x</math> es un múltiplo de <math>m</math>, o sea tales que <math>y=x =km</math>, para algún <math>m</math>. Simbolizaremos por <math>\mathbf{\Z_m}</math> al conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo <math>m</math> y diremos que sus elementos son los \textit{enteros módulo <math>m</math>}. Cada elemento de una clase es un \textit{representante} de la clase. Simbolizaremos por <code><math>\Z_m</math></code> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo ''m'' y diremos que sus elementos son los '' Enteros módulo m''. Cada elemento de una clase es un ''representante'' de la clase. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros módulo 2)}} En este caso dos elementos son equivalentes, o lo que es lo mismo definen la misma clase de equivalencia cuando su diferencia es un múltiplo de 2 (o sea un número par). Por lo que la clase del 0, [0] está formado por todos los ''x'' tales que ''x - 0=x'' es un número par, por lo que la clase del 0 está formada por todos los números enteros pares. <center><math>[x] = \{ 0, 2, -2, 4, -4, \dots \}.</math></center> Por su parte, la clase del 1, está formada por enteros cuya diferencia con 1 sea par, o sea los impares. <center><math>[1] =\{1, -1, 3, -3, \dots\}.</math> </center> Luego, <math>\Z_2 = \{[0], [1]\}</math> , ---- {{Ejmpl| Ejemplo (Enteros módulo 5)}} En este caso, dos números son equivalentes cuando su diferencia es un múltiplo de 5. Construyamos las clases de equivalencia. La clase del 0 está formado por todos aquellos números cuya diferencia con 0 es un múltiplo de 5, o sea todos los múltiplos de 5. <center> <math>[0] = \{0, \pm 5, \pm 10, \pm 15, ...\}.</math> </center> Busquemos ahora la clase de equivalencia del 1. Como <math>x \equiv_5 1</math> , ssi, <math>x =1 +5s</math> , ssi, <math>x = 1 + 5s</math> . La clase del [1] estará formada por todos los enteros que son 1 más que un múltiplo de 5. <center> <math>[1] = \{1, 6, -4, 11, -9, 16, -14, ....\}</math> </center> Análogamente, obtenemos que :::<math>[2] = \{2, 7, -3, 12, -8, 17,-13, ... \} </math> :::<math>[3] = \{3, 8, -2, 13, -7, 18, ...\}</math> :::<math>[4] = \{4, 9,-1, 14, -6,19, ...\}</math> Notemos que <math>[5] = [0]</math> , <math>[6] = [1]</math> etc. Es decir que hay solamente cinco clases diferentes. {{Caja|<math>\Z_5 = \{ [0], [1],[2], [3], [4]\}.</math>}} ---- {{Ejmpl|Operaciones en <math>\Z_m</math>}} Queremos definir operaciones de suma y multiplicación en <math>\Z_m</math> por <center><math>[x]+[y] := [x+y] \qquad [x] \cdot[y] = [x \cdot y].</math></center> Es decir que la suma de la clase de ''x'' con la clase de ''y'' sea la clase de ''x+y'' y análogamente para la multiplicación. Hay, sin embargo, un problema con tal definición. La suma (y, lo mismo, el producto) se obtienen sumado (resp. multiplicando) dos <code>representantes</code>, uno de cada clase; por lo que resulta natural preguntar, ¿qué pasaría si escogiéramos otras representantes? La siguiente proposición no asegurará que no importa los representantes que escojamos, siempre obtendremos el mismo resultado. '''Proposición 3. (Compatibilidad con las operaciones)'''<i> Sean ''a, b, c, d'' números enteros tales que <math>a \equiv_m b</math> y <math>c \equiv_m d.</math> Entonces,}} <ol type = "a"> <li> <math> a + c \equiv_m b +d </math>. <li> <math> ac \equiv_m bd </math> </ol> </i> <ul> <i> Demostración. </i> Tenemos que <math> a \equiv b \implies a - b = s m</math>, para algún <math>s</math>. <math> c \equiv d \implies c - d = t m</math>, para algún <math>t</math>. Luego, como <math>(a+c) - (b +d) = (a-b) + (c-d) = sm + tm =(s+t)m</math> tenemos que <math>a+c \equiv_m b + d</math>, lo que prueba la parte a. Para la multiplicación, tenemos que: <center><math> ac - bd = ac -bc + bc - bd = (a-b)c + b(c-d) = sm c + btm = (sc + bt) m. </math></center> Es decir que <math>ac \equiv_m bd</math>. {{QED}} </ul> ---- '''Corolario.''' ''Suponer que <math>[a] = [b]</math> y que <math>[c] = [d].</math> Entonces,'' <center><math> [a+c] = [b+d]</math> y <math> [ac] = [bd].</math></center> ==== El grupo aditivo de los Enteros módulo m ==== Veremos que <math>\Z_m</math> con suma forman un grupo abeliano. Necesitamos verificar que la suma es asociativa, conmutativa, con neutro y que cada elemento tiene un opuesto aditivo. Sean <math>a, b, c</math> números enteros. <center><math> \begin{array}{rcl} [a] + ([b] + [c]) &=& [a] + [b+c] = [a+b+c] \\ ([a]+[b])+[c] &=& [a+b]+[c] = [a+b+c] \end{array} </math></center> Lo que prueba la asociatividad. <math> [a]+[b] = [a+b] = [b+a] = [b] + [a] </math>, lo prueba conmutatividad. Claramente, <math>[a] + [0] = [a]</math>, lo que muestra que la clase del 0 es el elemento neutro. Finalmente, para cada <math>a</math>, tenemos que <math>[a] +[m-a] = [m]=[0] </math>, lo que prueba que <math>[m-a] = -[a].</math> Es decir cada elemento tiene un opuesto. Esto concluye la prueba. ==== El monoide multiplicativo de los Enteros módulo m ==== Veremos que los Enteros módulo ''m'' con la multiplicación forman un monoide. La asociatividad y la conmutatividad se prueban de manera análoga al caso de la suma. Además, <math>[a][1]=[a\cdot 1]=[a]</math>, por lo que [1] es un neutro. ---- Se puede verificar que cuando ''m'' es un número primo, <math>\Z_m^*</math>, los elementos no nulos de <math>\Z_m</math>, forman un grupo abeliano respecto a la multiplicación. Cuando ''m'' es compuesto aparecen unas ''cosas raras'' en la multiplicación. Por ejemplo, en <math>\Z_6</math>, la clase del 2 y la clase del 3 son distintas de la clase del 0, ya que ninguno de ellos es un múltiplo de 6, pero <math>[2] \cdot [3] =[6]= [0]</math>. Dos elementos no nulos al multiplicarse producen el elemento nulo. ---- === Ejercicios === <ol> <li> Construir las tablas de operaciones (adición y multiplicación) de <math>\Z_{10}</math> Usar la tabla para evaluar las expresiones siguientes. <table style="width:75%"> <tr> <td> a. [7]+ [2] <td> b. [8]*[5] <td> c. -([3]*[6]) </tr> <tr> <td> d. 1/[3] <td> e. 1/[5] <td> f. 1/[7] </tr> </table> <li> Hallar los cuadrados y los cubos de todos los elementos de <math>\Z{10}</math>. <li> Hallar los recíprocos de todos los elementos no nulos de <math>\Z_[13]</math>. <li> Resolver la ecuación <math>x^2 + [3]x + [15]=0</math> en <math>\Z_{11}</math>. <li> Resolver en <math>\Z_5</math>, el sistema de ecuaciones <center><math> \begin{array}{rcrcl} 3x &+& 2y &=& 3 \\ 2x &+ & y &=& 0 \end{array}</math></center> </ol> == Estructuras algebraicas con dos operaciones == Las estructuras con dos operaciones, que veremos a continuación, puede que tengan un sabor más familiar. Por ahora, sin embargo, su aparición se debe a que nos proveen de ejemplos de las estructuras con una operación. Las estructuras con dos operaciones se verán detalladamente en capítulos posteriores. <div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" > '''Definición (Anillos, Cuerpos)''' Un '''anillo''' es un trío <math><A,+,\cdot></math> tales que <ol type="i"> <li> <math><A,+></math> es un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo). <li> <math><A,\cdot></math> es un semigrupo (semigrupo multiplicativo del anillo. <li> La multiplicación es distributiva respecto a la adición. {{Eqn|<math>a(b+c)=ab+ac\qquad</math> y <math>(b+c)a=ba +ca</math>,}} </ol> Un '''anillo con identidad''' es un anillo con un neutro 1 para la multiplicación (llamado identidad del anillo). Un '''anillo conmutativo con identidad''' es un anillo con la multiplicación conmutativo y con un neutro 1 (llamado identidad del anillo) Un '''cuerpo''' es un anillo conmutativo con identidad donde cada elemento no nulo tiene recíproco. </div> Los Enteros son un ejemplo de anillo conmutativo con identidad. Los Racionales, Reales y Complejos serán, por ahora, nuestros ejemplos de cuerpos. <b>Proposición 4.</b> '' Cuando p es un número primo, los Enteros módulo p son un cuerpo.'' <ul> <i> Demostración: </i> Vimos anteriormente que para cualquier <math>m</math> los Enteros módulo m está provisto de operaciones de suma y multiplicación definidas por {{Eqn|<math>[x]+[y]=[x+y]\quad \text{ y } \quad [x]\, [y] = [xy]</math>.}} Es fácil ver que con esas operaciones, <math>\Z_m</math> es un anillo conmutativo con identidad. Probaremos que cuando ''p'' es un número primo, los elementos no nulos de <math>\Z_p</math>. El resultado sigue de la identidad de Bezout para los números enteros que establece que el máximo común divisor de dos números se puede expresar como una combinación lineal de los números <ref>Ver apéndice sobre Sistemas Numéricos</ref>. Si <math>[a]</math> es un elemento no nulo de <math>\Z_p</math>, el número ''a'' no pude ser n múltiplo de p, por lo que el máximo común divisor de a y p debe ser 1. Luego, por la identidad de Bezout, hay enteros x, y tales que {{Eqn|<math> ax + py =1 </math>|*}} Pasando a clases de equivalencias, tenemos que <center><math>\begin{array}{lrcl} & ax + py &=& 1 \\ \implies & [ax + py] &=& [1] \\ \implies & [ax] + [py] &=& [1] \\ \implies & [a]\,[x] + [p] [y] &=& [1] \\ \implies & [a]\, [x] &=& 1. \end{array}</math></center> Lo que muestra que <math>[a]</math> tiene a <math>[x]</math> como recíproco. {{QED} </ul> ---- === Matrices con entradas en un anillo === Queremos aumentar nuestro caudal de ejemplos, definiendo matrices con entradas en un anillo con identidad o cuerpo cualquiera. Notemos que las definiciones de suma y multiplicación de matrices con entradas reales lo único que requieren de los Reales es que se pueden sumar y multiplicar. Como esto pasa en cualquier anillo, podemos considerar matrices cuyas entradas pertenecen a un anillo cualquiera. Sea A un anillo con identidad o un cuerpo. Simbolizaremos por <math>M_2(A)</math> el conjunto de todas las matrices 2 x 2 cuyas entradas son elementos de A. Es un ejercicio largo, pero fácil, probar que <math<M_2(A)</math> con esas propiedades determina un anillo con identidad. El anillo no es conmutativo. Se define el determinante de <math>A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math> como es usual, esto es <math>\det(A) = ad -bc</math>. Se verifica que {{Eqn|<math> \det(AB) = \det(A) \det(B).</math>}} Sea K un cuerpo, por <math>GL_2(K)</math> simbolizamos al grupo de matrices invertibles con entradas en K. Cuando K sea los enteros módulo p, p primo, <math>GL_2(\Z_p)</math> es un grupo finito, que se prueba que tiene <math>(p^2-1)(p^2-p)</math> elementos. === Ejercicios === <ol> <li> Probar que <math>\Z_m</math> es un anillo conmutativo con identidad. <li> Probar que cuando m no es un número primo, en <math>Z_m</math> hay elementos no nulos <math>[x], [y]</math> tales que <math>[x][y]=[0]</math> <li> Probar que las matrices 2 x 2 con coeficientes en un anillo conmutativo con identidad determinan un anillo con identidad, pero que no es conmutativo. <li> Sea <math>A = \begin{bmatrix} a& b \\ c & d \end{bmatrix}</math>. Probar o verificar las siguientes afirmaciones. <ol type = "a"> <li> Si una de las filas o una de las columnas de la matriz es 0 0 , entonces el determinante es cero. <li> Si hay un número p tal que c = pa y d = cb entonces el determinante de la matriz es cero. <li> Si el determinante de A es cero, probar que hay un número p tal que c=pa y d = pb. </ol> <li> Usar el ejercicio anterior para hallar la formula para la cantidad de elementos de <math>GL_2(\Z_p)</math>, p primo. (Sugerencia. Cualquier par de elementos que no sean ambos nulos sirven para la primera fila. ¿Cuántos pares de elementos hay que no sean ambos nulos? La segunda fila no puede ser un múltiplo de la primera, por lo que hay que tomar un par de elementos que no sea un múltiplo de la primera fila ¿cuántos de esos pares hay?) </ol> == Estructuras con una operación externa == Presentaremos, como ilustración, algunas estructuras donde aparece una operación externa. <div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" > <b>Definición (Módulo, Espacio vectorial, Álgebra)</b> <ul> <li> Sea ''A'' un anillo con identidad. Llamamos '''A--módulo''' a un grupo abeliano <E,+> provisto de una operación externa {{Eqn|<math> \bullet :A \times E \longrightarrow E::(\alpha,x) \mapsto \alpha \bullet x.</math>}} que es compatible con la estructura de grupo abeliano. Es decir que <ol type="i"> <li> <math>(\alpha + \beta)\bullet x = \alpha \bullet x + \beta \bullet x</math>. <li> <math>(\alpha \beta)\bullet x = \alpha \bullet (\beta \bullet x)</math> <li> <math>1 \bullet x = x </math>. <li> <math>\alpha\bullet(x+y) =\alpha \bullet x + \alpha \bullet y</math>. </ol> Los elementos del anillo se dice que son los escalares y los de E los vectores. La operación externa se llama ''multiplicación por escalar'' y usualmente, cuando no hay riesgo de confusión, se omite el símbolo de la operación. <li> Un '''Espacio vectorial sobre un cuerpo K''', es un K-módulo (o sea los escalares forman un cuerpo). <li> Un '''Álgebra sobre un anillo (o cuerpo) A''' es un A-modulo E provisto de una multiplicación tal que <math><E,+,\cdot></math> es un anillo y se cumple que <math>\alpha(a\cdot b) = (\alpha a) \cdot b = a \cdot (\alpha B)</math>. <ul> </div> Los principales ejemplos que posiblemente el lector debe conocer: * El <i>álgebra de polinomios</i>, la multiplicación por constantes es la operación externa. * El <i>álgebra de matrices</i>, la operación externa es la multiplicación por escalar (por constante). * El <i>plano cartesiano</i> es un <i>espacio vectorial</i> sobre <math>\R</math>> los elementos del plano son pares ordenados de números reales, la suma se hace coordenada a coordenada y la multiplicación por escalar, es multiplicar cada coordenada por el escalar. {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} (x_1,x_2) + (y_1,y_2) &:= & (x_1+ y_1, x_2 + y_2) \\ \alpha(x_1,x_2) &:= & (\alpha x_1, \alpha x_2) \end{array}</math>.}} Claramente, las definiciones anteriores se pueden extender a <math>\R^n</math> (Espacio vectorial d dimensión n). ---- El álgebra de polinomios tiene un capítulo en este texto. Espacios vectoriales, Algebras son materias de un curso de Álgebra Lineal. Módulos generales se estudian en cursos avanzados de Álgebra Lineal o de Álgebra Conmutativa. Una introducción a esos temas se puede hallar en Wikipedia:[[w:Vector|Vector]] o [[w:Espacio Vectorial|Espacio Vectorial]] == Ejercicios del Capítulo == <ol type="1"> <li>(Potencias Naturales en un Semigrupo.) Probar que para todo ''a'', <math> b</math> elementos de <math> S, </math>,y <math>m</math>, <math>n</math> naturales, se cumple que <ol type = "a"> <li> <math> a^{m+n} = a^m a^n.</math> <li> <math> (a^m)^n = a^{mn}.</math> <li> Si <math> ab = ba</math> entonces <math> (ab)^n = a^n b^n.</math> </ol> <li> (Potencias en un Monoide.) Si <math>S</math> tiene un neutro <math>e,</math> entonces definimos <math> a^0 :=e.</math> Probar que con estas definiciones, se continúan cumpliendo las propiedades del ejercicio 1. <li> (Potencias Negativas.) Sea ''<M,*>'' un monoide y sea ''a'' un elemento invertible de cualquiera de ''S.'' Como ''S'' es un monoide, '' aⁿ '' está definido, según los ejercicios anteriores, para todo <math>n \ge 0.</math> Cuando ''a'' es invertible, podemos además definir potencias con exponentes negativos. Supongamos que ''a''' es el inverso de ''a</i > y <i>n'' un número entero positivo. Entonces, {{Eqn|<math>a^{-n} := (a')^{n}</math>}} <ol type = "a"> <li> Probar que ''a'' elevado a -1 es igual al inverso de a; lo que prueba que la notación ''a^-1'' no es ambigua. <li> Probar que para todo ''m, n '' enteros se cumplen las relaciones del ejercicio 1. </ol> <li> Sea <i>S</i> un semigrupo con neutro <math>e.</math> Sea ''a'' un elemento de <math>S</math> tal que <math> a^n=e</math> y 12. es el menor entero positivo con esa propiedad. Probar las siguientes afirmaciones. <ol type = "a"> <li> Hay elementos <math>b,</math> <math>c</math> y <math> d </math> tales que <math>b^4=c^3=d^2=e.</math> <li> Si <math>m</math> es un múltiplo de 12, entonces <math> a^m=e.</math> <li> Si el residuo de la división de un entero positivo <i>m</i> por 12 es <i>r</i>, entonces <math>a^m = a^r</math> <li> Expresar <math>a^{-1}, a^{-2}</math> como potencias positivas de <i>a</i>. </ol> <li> (Subgrupos del grupo <math>\textsf{GL}_2(\R)</math>).<br /> Sea <math> \alpha = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ ) & - \sen(120 ^\circ ) \\ \sen(120 ^\circ ) & \ \cos(120^\circ ) \end{bmatrix},</math> una rotación por 120 grados, y sea <math>\beta= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math>, la reflexión entorno al eje X. Probar las afirmaciones siguientes. <ol type = "a"> <li> <math>\alpha^3 = {I},</math>, <math>\beta^2 = {I},</math> y <math> \beta \alpha \beta^{-1} = \alpha^2.</math>. <li> Sea <math>H = \{{I}, \alpha, \alpha^2\}</math>. H es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación de matrices (construir la tabla de operaciones), y que cada elemento de <math> H</math> es invertible. Es decir que H es un grupo respecto a la multiplicación de matrices. <li> Sea <math> G= \{{I}, \alpha, \alpha^2,\beta, \alpha\beta , \alpha\beta^2\}</math>. G es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación y cada elemento de G tiene inverso en G. Luego G es un grupo respecto a la multiplicación de matrices. </ol> == Comentarios == La evolución del Álgebra desde el estudio de ecuaciones polinómicas al estudio de las estructuras fue lenta. Primeramente, se estudiaron instancias de forma separada, para posteriormente darse cuenta que eran ejemplos de algo más abstracto. La observación de que el Álgebra trata más de las propiedades de las operaciones que de los números en que se opera fue explícitamente observado por la llamada Escuela de Algebristas ingleses, alrededor del 1840. Finalmente, en la década de los 40 del siglo XX, Bourbaki (seudónimo de un grupo ilustre de matemáticos) trajo a primer plano del Álgebra la noción que el Álgebra se trataba del estudio de las estructuras. == Notas == {{listaref}} <!-- 06-04-2015 --> <!--- abc --> [[Categoría:Álgebra Abstracta]] [[Categoría:Estructuras Algebraicas]] f4by2zqiqf38ffcn3ussng2l8cqshhk 0 42730 423184 421567 2025-07-08T23:02:38Z Rehernan 55364 423184 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Álgebra Abstracta |actual=Grupos |anterior=Estructuras |siguiente=Homomorfismos }} </noinclude> == Introducción == Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación. Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema. En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores. [[Archivo:AL Grupo.svg|centrado|400px]] == Definiciones y Ejemplos == {{DefRht|Grupo| Un '''Grupo''' es una estructura algebraica <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> tal que: ::(i) '''G''' es un conjunto, ::(ii) '''*''' es una operación asociativa en G; ::(iii) '''e''' es un elemento neutro para la operación *; ::(iv) <math> x \mapsto x' </math> es una función de <math>G</math> en <math>G</math> que asigna a cada elemento <math>x</math> un elemento <math> x'</math> que es un inverso de <math> x</math> respecto a la operación. }} Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros <ref>Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.</ref> de la estructura, podemos hablar del grupo ''<G,*>'' o del grupo ''G'' con la operación * o, simplemente del grupo ''G''. '''Nomenclatura.''' <ul> <li> Decimos que un grupo es '''abeliano'''<ref>En honor a N. H. Abel (1802-1829)</ref> o '''conmutativo''' cuando la operación es conmutativa. <li> Llamamos '''orden''' del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por <math>|G|.</math> <li> Decimos que el grupo G es '''finito''' cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo '''infinito'''. </ul> === Ejemplos de Grupos Numéricos === Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico. <ol> <li> <i>Los Enteros con la Adición.</i><br /> Se trata del grupo <math>\scriptstyle <\Z, +, 0, x \mapsto -x></math> que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante. ---------------------------------------------------------------------------------- Otros ejemplos numéricos posibles son: <li> Los ''grupos aditivos'' de los Racionales, los Reales y los Complejos. <li> Los ''grupos multiplicativos'' de <small><math>\Q^*,\ \R^*,\ \Complex^*</math></small> (Racionales, Reales, Complejos no nulos). <li>El grupo ''aditivo'' de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera. <li> El grupo ''multiplicativo'' de los Enteros módulo ''p'', cuando ''p'' es un entero primo. </ol> :Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos. '''Ejemplos de Grupos no conmutativos'''. <ol> <li> El Grupo Simétrico, <b>S<sub>n</sub ></b>. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto <br /> <i>I_n = {1, 2, ... , n}</i> en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando <i>n >2</i>, el grupo no es conmutativo. <li> (<i>Grupo Lineal de dimensión 2</i>), <math>GL_2(\R)</math>) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles. :Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo [[Álgebra Abstracta/Estructuras|Semigrupos, Monoides y Grupos]]. </ol> <hr> === Ejemplos de Grupos definidos por Tablas === Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña. {{Ejmpl|Ejemplo}} Consideremos el subconjunto <math>U= \{1,-1,i, -i\}</math> de los complejos, donde ''i² = -1''. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto. <center><math> \begin{array}{r|rrrr} \cdot\ & 1 & -1 & i & -i \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i \\ -1& -1& 1 & -i & i \\ i & i & -i & -1& 1 \\ -i & -i & i & 1 & -1 \end{array} </math></center> Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de ''U'' tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en ''U''. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano. Notemos que cada elemento de ''U'' aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman ''cuadrados latinos''. Las tablas anteriores se denominan ''tablas de Cayley'' (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo). {{Ejmpl|Grupos definidos por tablas}} Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo. : <math> (C_{1,a}) \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (C_{2,a}) \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{3,a}) \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \\ \end{array} \qquad </math> : <math> (C_{4,a})_1 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_2 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & a & e \\ c & c & b & e & a \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_3 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & c & e & b \\ b & b & e & c & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> : <math> (\text{Klein})_1 \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_2 \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que <math> e \,</math> es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso. *En <math> (C_{4,a})_3 </math> tenemos que <math> e^{-1}=e,\ a^{-1} = c,\ b^{-1} = b \text{ y } c^{-1}=a. </math> *En el grupo de '''Klein''' <ref>Felix Klein (1802)</ref> tenemos que cada elemento es su propio inverso. Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos. El grupo ''U'', visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación <math>x*x = e</math> tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que ''U'' y <math>C_{4,a}</math> son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos <math>C_{4,a}</math> y de Klein son diferentes grupos. <!-- --> <div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" >''Moraleja'': lo importante no es como se denotan o que son los elementos del conjunto del grupo, sino las propiedades de las operaciones del mismo.</div> El grupo <b>C_2,a</b> es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar <math>e,</math> y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar <math>a.</math> La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con <math>a*a.</math> Hay solamente dos posibilidades <math> a*a=e \text{ o } a*a = a.</math> Observemos que si <math>a*a=a,</math> multiplicando por el inverso de ''a'' en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego, <math> a*a = e,</math> lo que nos dice que <math> a^{-1} = a. </math> <hr> == Propiedades Básicas == En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega. === Propiedades del Neutro === * ''El neutro es único''. :<small> Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.</small> Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto ''E'', ssi, para todo ''a'' en ''E'' se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento ''e'' cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro. *''Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e''. :<small>Sea a' un inverso de a. Entonces, :<math> a*x=a \implies a'*(a * x) = a'*a \implies (a'*a)*x =a'*a \implies e*x = e \implies x = e.</math><br /> :Análogamente para el otro caso.</small> *(Corolario). ''Si x * x = x entonces x = e''. :Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro. === Propiedades de los Inversos === *''Cada elemento tiene un único inverso''. :Suponer que y, y' son inversos de x Entonces, <center><math> y = y * e = y * (x * y') = (y * x) * y' = e * y' = y'.</math></center> Como hay un único inverso, podemos hablar de '''el''' inverso de x, al que denotaremos usualmente por <math> x^{-1}.</math> Por definición, un elemento ''y'' es un inverso de ''x'', ssi, ''x * y = e'' y ''y * x = e''. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que ''y'' es el inverso de ''x''. *''Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a^-1.'' :''a * x = e ==> a^-1*(a * x) = a^-1* e ==> (a^-1 * a)* x = a^-1 ==> x = a^-1''. :Análogamente el otro caso. :Luego, para mostrar que ''b'' es un inverso de ''a'', basta con verificar que ''a * b = e'' (o que ''b*a = e''). *''El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a^-1)^-1=a.'' :<small>Como ''a * a^-1 = e'', el resultado sigue de lo dicho arriba.</small> *''El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)^-1 = b^-1*a^-1.'' ::''(a*b) * (b^-1*a^-1)=a*(b*b^-1)*a^-1 = a*a^-1 = e'', se tiene el resultado. === Propiedades Cancelativas === '''Proposición 1. (Leyes de Cancelación)''' ''Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:'' :(a) (Cancelación por la izquierda) ''a*b = a*c ==> b = c''. :(b) (Cancelación por la derecha) ''b*a = c * a ==> b = c.'' ''Demostración:'' Basta en (a) premultiplicar por a^-1 o en (b) posmultiplicar por a^-1. === Ecuaciones en un grupo === <b> Proposición 2.</b> <i>Sea <math>G</math> un grupo. Para todo a, b en G se cumple que <ol type = "a"> <li> La ecuación ''a * x = b'' tiene solución única (''x = a^-1*b''). <li> La ecuación ''x * a = b'' tiene solución única (''x = b * a^-1'').'' </ol></i> <ul> ''Demostración:'' <math> a*x = b \implies a^{-1}*(a *x) = a^{-1}*b \implies x = a^{-1}*b.</math> :Análogamente el otro caso. {{QED}} </ul> <hr> <div style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1.5ex;"> <center> '''Convenio'''. </center> Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por "<math>\mathbf \cdot</math>" o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos. </div> === Propiedades Heredadas === Sea <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el ''semigrupo subyacente'' del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente. Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas. <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo. <li> Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de ''x'', ssi, <i>x'* x = e</i> (resp. <i> x * x'= e</i>). <li> Resolver la ecuación <math> x*a*b*x*c = x*b*a </math> en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad? <li> Sea ''G'' un grupo y ''Z(G)'' el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. {{Eqn|<math> Z(G) := \{ x \in G| \text{para todo } g \in G, xg = gx \}.</math>}} Probar que ''Z(G)'' es una parte cerrada de ''G'' que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos. <li> Sea ''G'' un grupo y <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> elementos del grupo. Probar que: {{Eqn|<math>(a_1*a_2* \dots * a_n)^{-1} = a_n^{-1} * \cdots * a_2^{-1} * a_1^{-1}</math>}} <li> Sea ''G'' un grupo y ''a'' un elemento de ''G''. Sea <math>L_a</math> (resp. <math>R_a</math>) la función de ''G'' en si mismo tal que <math>L_a(g) = a*g </math> (resp. <math>R_a(g) =ga</math>). Probar que <math>L_a</math> (multiplicación por la izquierda de ''a'') y <math>R_a</math> (multiplicación por la derecha de ''a'') son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de <math>L_a</math> (resp. de <math>R_a</math>)?. <li> Sea S un semigrupo donde las funciones <math>L_a</math> y <math>R_a</math> definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que <math>S</math> es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.) <li> Sea <math><S,*></math> un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que: <ol type="i"> <li> hay un elemento <math>e_L</math> tal que para todo <math>a</math> en <math>S'</math> se cumple que <math>e_L*a = a,</math> y <li> para cada <math>'A</math> de <math>S</math> hay un <math>a'</math> tal que <math>a' a = e_L.</math> </ol> Probar que <math><S.*></math> es un grupo. (Sug. Probar primero que <math>a * a' =e_L,</math> evaluando adecuadamente <math>a * a' * a * a'</math>) <li> Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento). <li> Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de ''a'' es una parte cerrada de G respecto a la operación. </ol><hr> == Potencias en un Grupo == Sea ''G'' un grupo con neutro ''e''. Sea ''a'' un elemento de ''G''. Para todo número natural ''n'', la enésima potencia de ''a'' es, intuitivamente, el producto de ''a'' consigo mismo ''n'' veces. Formalmente, se define la potencia ''n''--ésima recursivamente por: {{Caja|<math> a^0 := e, \quad a^{n+1} := a ^n *a. </math> }} Notemos que <math>\scriptstyle a^1 = a^{0+1} = a^0*a = e* a = a, \quad a^2 = a^{1+1} = a^1*a = a*a,\quad a^3= a^{2 + 1}=a^2*a = (a*a) * a ,</math> etc. {{PropRht|Propiedades de Potencias|Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).}} <ol type = "a"> <li> <math> a^{m+n}=a^m * a^n.</math> <li> <math> a^{mn} = (a^m)^n.</math> <li> si <math>a*b = b*a</math> entonces <math>(a*b)^n = a^n b^n.</math> </ol> :''Demostración de (a):'' (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera :(n=0) <math>a^{m+0} = a^m = a^m * e = a^m*a^0. </math> :Supongamos el resultado válido cuando <math>n=k, k \ge 0.</math> Entonces, :<center><math>a^{m+(k+1)}= a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = a^m*a^k = a^m *a^{k+1}</math></center> :El resto se prueba de manera semejante. <hr> Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que <center><math> \text{ d. } \quad a^{-n} := (a^{-1})^n.</math></center> Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que <center><math> (a^{m})^n =((a^{-1})^{-m}) ^n = (a^{-1})^{-mn} =a^{mn}</math></center> ==== Notación aditiva ==== Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo ''n'' veces, es un '''múltiplo''' del elemento. <center><math> ma = a + a+ \cdots + a \quad \text{(n veces)}. .</math></center> Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son: ::(a) <math> (m+n)a = ma + na .</math> ::(b) <math> (mn)a = m(na).</math> ::(c) si <math> a+b = b+a</math> entonces <math>m(a+b) = ma + mb.</math> ::(d) <math> (-n)(a) = n(-a).</math> === Orden de un Elemento === El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo [[../Estructuras|Estructuras]]. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo <math>n</math> tal que <math>a^n=e.</math> Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea <math>a</math> un elemento de un monoide con neutro <math>e,</math> la definición de potencia con exponente natural <math>n</math> hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión <math>(a^n),</math> <math>n</math> en <math>\N.</math> <center><math> e=a^0,\ a,\ a^2,\ \dots \ a^n,\ \dots.</math></center> Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de <math>a</math> es infinito y escribimos <math>o(a) = +\infty.</math> Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que <math>a^s = a^r</math> con <math>s > r.</math> ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término <math>r</math>--ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con <math>r=2, s=7,</math> se tiene la sucesión <center><math> e, a, a^2, a^3 ,a^4, a^5, a^6, a^2, a^3, a^4, a^5 , a^6 , a^2 , \dots </math></center> Por ejemplo, en <math>\Z_{10},</math> con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos <math>x</math> en lugar de <math>[x]</math>). <center><math> 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 , \dots</math></center> Recordemos que <math>\Z_{10}</math> con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que <math>a^s= a^r,</math> <math>s>r</math>? Si <math>a^s = a^r,</math> multiplicando por el inverso de <math>a^r,</math> se tiene que <math>a^s(a^r)^{1} = e,</math> o sea que <math>a^{s-r}= e.</math> Es decir, que tenemos un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que <math>a</math> tiene orden finito. <b>Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo <math>G</math>) </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo con neutro <math>e.</math> Entonces, para todo <math>a</math> en <math>G</math> se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes: <ol type="a"> <li>hay un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> Entonces, decimos que <math>a</math> tiene orden finito que es igual al menor entero positivo con esa propiedad. <li> para todo par de enteros positivos o cero, <math>r,</math> <math>s,</math> <math>r\ne s</math> implica que <math>a^r \neq a^s.</math> Decimos que <math>a</math> tiene orden infinito. </ol></i> Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito. <b>Corolario 3.1. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito con orden <math>|G| =n.</math> Cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito y <math>o(a) \le |G|.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Consideremos la sucesión finita <math>e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}, a^n </math> que tiene <math>n+1</math> términos. Como solamente hay <math>n</math> elementos en <math>G,</math> dos de esos términos deben coincidir. De donde sigue la finitud del orden de <math>a</math> y la relación indicada. </i> {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplos}}<ol> <li> En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos) <math>o(0) = 1, \quad o(1)=6, \quad, o(2)=3, \quad, o(3)=2,\quad o(4) =3, \quad o(5)= 6</math> <li> En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito. <li> En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario <math>i</math> tiene orden 4. </ol> Notemos que cuando <math>o(a)=n,</math> entonces para cualquier múltiplo de <math>n,</math> digamos <math>kn</math> se cumple que <math>a^{kn} = (a^n)^k = e^k = e.</math> La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado. <b>Proposición 4. </b> <i> Sea <math>a</math> un elemento de un grupo <math>G.</math> Sea <math>m</math> un entero positivo tal que <math>a^m=e.</math> Entonces el orden de <math>a</math> es un divisor de <math>m.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <math>n=o(a).</math> Por definición, <math>n</math> es el menor entero positivo con esa propiedad. Dividiendo <math>m</math> por <math>n</math>, obtenemos un cociente <math>q</math> y un residuo <math>r</math> tales que {{Eqn|<center><math>m = qn + r, \quad 0 \le r <n.</math> |*}} Entonces, <math>a^r = a^{m -qn} = a^m (a^{n})^{-q} = e.</math> Como <math>r < n,</math>, concluimos que <math>r=0</math>. Es decir, por (*), que <math>m</math> es un múltiplo de <math>n.</math> {{QED}} </ul> <hr> === Grupos Cíclicos === {{DefRht|Grupo Cíclico| Llamamos <b>grupo cíclico</b> a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un '''generador''' del grupo.}} Escribiremos <math>G = \langle a \rangle</math>, cuando ''G'' sea un grupo cíclico con generador ''a''. Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que <center><math>a^{r} a^{s} = a^{r+s}, \quad a^0=e, </math></center> * <em>Los grupos cíclicos son grupos abelianos. </em>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^s = a^r+s = a^s+r = a^sa^r.) * <em>El inverso de a^r es a^-r.</em> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^-r = a^r+(-r) = a⁰ =e.) Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos. '''Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.)''' Como para todo número entero m se cumple que <math> m = 1\cdot m,</math> vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de <math>\Z,</math> por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador. {{Ejmpl|Ejemplo (Los Números Pares con la Suma)}} Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por <math>2\Z.</math> Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2, <math>\scriptstyle 2\Z = \langle 2 \rangle.</math> {{Ejmpl|Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo)}} Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto <math>m\Z</math> formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo <i>m</i>. <center><math> m\Z = \{0, \pm m, \pm 2m, \ldots \}</math></center>. La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de ''m''. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de ''m''. El opuesto aditivo de ''mx'' es ''m(-x)''. Luego, <math> < m\Z,+> </math> es un grupo cíclico con generador <i>m</i>. Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo <math> \Z,+,0, x \mapsto -x></math> se dice que es un ''subgrupo'' de los Enteros con la suma. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad)}} Llamamos <b>raíz n-ésima de la unidad</b> a cualquier número complejo <math>z</math> tal que <math> z^n=1.</math> Consideremos el caso <math> n=12</math> y sea <center><math>\zeta = e^{(2\pi/12)} = \cos (\pi/6) + i \sen(\pi/6).</math></center> <ul> <li> Recordando la relación de Moivre que establece que <math> (\cos(\theta) + i\sen(\theta))^r = \cos(r\theta) + i \sen(r\theta ),</math> tenemos que <center><math> \zeta^{12} = \cos(12\pi/6) + i\sen(12\pi/6) = 1.</math></center> Es decir que <math>\zeta</math> es una 12--ésima raíz de la unidad. <li> Usando Moivre, tenemos que <math> \zeta^k = \cos(k\pi/6) + i\sen(k\pi/6).</math> <li> Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima <center><math> (\zeta^k)^{12} = \zeta^{12k} = (\zeta^{12})^k = 1^k =1.</math></center> <li> <em>Hay solamente <math>\scriptstyle n</math> raíces diferentes de la unidad: <math> 1, \theta, \theta^2, \dots, \theta^{n-1}.</math></center> </em> </ul> Sea <math>m</math> un entero cualquiera, la división por <math>n</math>, nos produce <math>q</math> y <math>r</math> tales que <math>m=qn + r</math>, con <math>0 \le r < n.</math> Luego <math>\theta^m = \theta^{qn+r} = \theta^{qn} \theta^r = \theta^r.</math> Lo que prueba que hay <math>n</math> raíces de la unidad: <math>\theta^r, r = 0, 1, 2, \dots, n-1.</math> Simbolizaremos por <math> U_n(\Complex)</math> al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad. <math> U_n(C)</math> es un grupo cíclico con <math>n</math> elementos. Observemos que <math> U_4(\Complex)</math> es nuestro viejo conocido <math> \langle i \rangle = \{1,-1, i, -i \}.</math> <hr> {{Caja|(Existencia de Grupos Cíclicos). El ejemplo de las raíces de la unidad muestra que para todo número entero positivo <math>n</math>, hay un grupo cíclico con exactamente <math>n</math> elementos, <math> U_n(\Complex).</math>}} === Ejercicios === <ol> <li> Sean <math>\alpha = e^{i(\pi/6)} = \cos(\pi/6) + i \rm{sen}(\pi/6)</math> una raíz sexta de la unidad. Sean <math>\beta = \alpha^2</math> y <math>\gamma= \alpha^3.</math> Hallar los ordenes de <math> \alpha,\quad \beta,\quad \gamma, \quad \beta\gamma</math> . <li> (Orden de un producto) Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un grupo abeliano <G>. Si <math>o(a)=3</math> y <math>o(b)=5,</math> probar que <math>o(ab)=15.</math> ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa? <li> En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de <math>\Z_3.</math> Hallar el orden de cada una en el grupo lineal <math>GL_2(\Z_3)</math> {{Eqn|<math>\text{a. } \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \quad \quad \text{ b. } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. </math >}} </ol> == Grupos definidos por Generadores == Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como <center><math> G = \langle a,b, ... | r_1(a,b,...), r_2(a,b,.. ), ... \rangle </math></center> que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i> Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores. {{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{ tales que } 0 \le i,j,k, ...</math>}} Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina <i>cadenas</i> a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto). <!-- Mayores detalles en el apéndice XXX. --> {{Ejmpl| Ejemplo (Grupo Cíclico Finito)}} Sea <math>\textsf{C}_{n,a} := \langle a | a^n =e \rangle.</math> donde <i>n</i> es un natural positivo. Los elementos de C_n,a son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de <i>a</i>. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya <i>n</i> de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay <i>n</i> letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número <i>n</i> es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que {{Eqn|<math> C_{n,a} = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}} Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden <i>n</i>; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos <math> C_{n}</math> para el grupo cíclico de orden <math>n</math>. Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo <ref> [[../Grupos Cíclicos| Los grupos cíclicos]]</ref>. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupos Diedrales)}} Llamamos '''grupo diedral''' de orden 2n, <math>n \ge 3</math> al grupo denotado por <math>D_{2n}</math> y definido como {{Eqn|<math>\textsf{D}_{2n} := \langle a,b : a^n = e, b^2 = e, bab = a^{n-1}\rangle.</math>}} Notemos que los elementos de <math>D_{2n}</math> son productos de expresiones de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i,j.</math> La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes. Supongamos, para concretizar, que <i>n = 3</i>. Entonces. <math>bab=a^2</math> implica que <i>ba = a²b</i>. Por lo que <ul> <li> <i>aba = a a²b = b.</i> <li> <i>aababaab = aa(ba)baab = aaa²bbaab =a⁴b²aab =aaab = b</i>. </ul> Lueego, los elementos de <math>D_{2n}</math> son los productos de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i<n,\quad j=0,1.</math> Es decir que {{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.,</math>}} o sea que tiene 2n elementos. Además, como {{Eqn|<math> a^i b^j b^{2-j} a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = a^ia^{n-1} = e</math>}} Cada elementos es invertible. Es decir que <math>D_{2n}</math> es un grupo. Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de <math>n</math> lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre [[../Grupos Generados|Grupos Generados]]. <hr> </ol> === Ejercicios === <ol> <li> Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos <i>a¹=a</i> como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de <i>a⁰</i>), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo. <li> Construir las tablas de <math>C_{n,a}</math> para ''n = 2, 3, 4, 5.'' En cada caso identificar los inversos de los elementos. <li> Sea G = C_12,a = <a | a¹²=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5. <li> Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos. <li> Probar que cuando ''a'' conmuta (o permuta) con ''b'' (''ab=ba'') se cumple que: <ol type = "a"> <li> ''a'' conmuta con cualquier potencia natural de ''b'', <math>ab^n = b^n a.</math> <li> ''a'' conmuta con el inverso de ''b''. <li> el inverso de ''a'' conmuta con cualquier potencia entera de ''b''. </ol> <li> Sea <math>G=<a,b : a^2 = b^2 = e, ba = ab></math>. no Probar que G es el grupo de Klein. <li> Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral <math>D_{8}</math>. <li> Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que <math>(ab)^2 = abab.</math> <li> Sea <math>G = \langle a, b | a^m = e, b^n=e \rangle.</math> Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando <math>m,n >1.</math> </ol> == Producto de Grupos == Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea <math>G = H \times K</math> el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada, <center><math>(x,y) \cdot (z,w) = (x * z, y \# w),</math></center> {{PropRht|Grupo Producto|Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.}} ''Demostración: '' Tenemos que {{Eqn|<math> \begin{array}{rcl} (x,y)\cdot((z,w)\cdot (u,v)) & = & (x,y) \cdot (z * u, w \# v) = (x * z * u, y \# w *\# v) \\ ((x,y)\cdot(z,w)) \cdot (u,v) & = & (x*z, y* w) \cdot (u, v) = (x * z * u, y \# w \# v). \end{array}</math>}} Lo que prueba la asociatividad. Sean e_H y e_K los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (e_H, e_K). Entonces, <math> e \cdot (x,y) = (e_H * x, e_K \# y) = (x,y).</math> De forma similar se prueba que <math>(x,y) \cdot e = (x,y).</math> Por lo que e es neutro respecto a la operación. Finalmente, <math>(x,y) \cdot (x^{-1}, y^{-1}) = (x * x^{-1}, y \# y^{-1}) = (e_H, e_K). .</math> Análogamente, <math>(x^{-1}, y^{-1}) \cdot (x,y) = e.</math> ----------------------------------------------- {{DefRht|Producto de Grupos| Llamamos '''producto''' de los grupos H y K al grupo <math>G=H \times K</math> provisto de la operación por coordenadas.}} Cuando la notación es aditiva, podemos llamar ''suma'' al producto. {{Ejmpl|El grupo aditivo <math> \R^2 </math>}} Consideremos al grupo aditivo de los Reales. <math>\R^2</math> es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo. <math>\R^2</math> es un grupo abeliano con operación <center><math>(x,y) + (z,w) = (x+z, y+w).</math></center> (Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.) En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por <i>G²</i>. Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo <i>n</i> veces, denotamos al producto resultante por <i>Gⁿ</i>; sus elementos son n--uplas de elementos de <i>G</i>. --------------------------------------------------------- ==== Ejercicios ==== <ol> <li> Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K. <li> Construir la tabla de <i>C_2,a x C_2,b</i>. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein. <li> Sean C_3,a y C_4,b grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C_3,a x C_4.b es cíclico con generador (a,b). <li> Sean C_4,a y C_2,b grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C_4,a x C_2,b no es cíclico. <li> Construir las tablas de <math> C_{8,a}, \quad C_{4,a} \times C_{2,b}\quad \text{ y }\quad C_{2,a} \times C_{2,b} \times C_{2,c}</math> </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que <math>a^n=e.</math> <li> En un grupo G, para elementos g y x definir <math>x^g := g x g^{-1}.</math> (Conjugado de ''x'' por ''g''). Probar que se cumplen las siguientes relaciones. <ol type ="a"> <li> x^g y ^g = (xy)^g. <li>(x^g)^-1 = (x^-1)^g. <li> (x^g)ⁿ = (xⁿ)^g. </ol> <li> Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico <b>S₃</b>. Ver la definición en el capítulo [[../Estructuras|Las Estructuras]]. <li> (Grupos de Transformaciones) Sea <i>X</i> un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de <i>X</i> es un grupo <i>G</i> tal que sus elementos son elementos del grupo <math>S_{X}</math> (Funciones biyectivas de ''X" en si mismo). <ol type="a"> <li>Sea <i>x</i> en <i>X</i> y sea <math>G_x</math> el conjunto formado por todas las transformaciones <i>f</i> de <i>G</i> que fijan el punto <i>x</i>, es decir que <i>f(x) = x.</i> Probar que <math>G_x</math> es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen. <li> Dado un subconjunto <math>Y</math> de <i>X</i>, el conjunto <math>G_Y</math> denota a las biyecciones de <i>G</i> que dejan fijo globalmente a <i>Y</i>, Es decir, <math>G_Y := \{ f \in G : f(Y) = Y\} .</math> Probar que <math>G_Y</math> es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje <i>X</i>, deja al eje <i>Y</i> fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de <i>X</i> puntualmente, o sea punto a punto. </ol> <li> Sea <math>G = \Z_{15}^*</math> (el grupo multiplicativo de los invertibles en <math>\Z_{15}</math>). Probar que <math>G \cong C_2 \times C_4.</math> Concluir que <math>\Z_{15}^*</math> no es un grupo cíclico. <li> Considerar el grupo <math>G = C_2 \times C_2 \times C_2.</math> Probar que el orden de <i>G</i> es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en <i>G</i>. Concluir de lo anterior que <i>G</i> no puede ser cíclico. <li> Sea <i>G = <nowiki><a></nowiki></i> un grupo cíclico de orden impar. Probar que <i>a</i> aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo. <li> Probar que el grupo multiplicativo <math><\Q^*, \cdot></math> no es cíclico. <li> Sea <math>\mathbb{T},</math> el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que <math>\mathbb{T}</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces <i>n</i>--ésimas de la unidad.) <li> Sea <math>G = <a,b| a^n=e, ba = e >.</math> Probar que G es finito y cíclico. <li> ¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos? <li> Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que <ol type="i"> <li> <math>\det(AB) = \det(A)\det(B),</math> <li> <math>\det(I_n)=1\quad ,</math> donde (<math>I_n</math> es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y <li>una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero. </ol> <ol type="a"> <li> Las matrices diagonales con la suma de matrices. <li> Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices. <li> Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o <math>-1,</math> con la multiplicación'on. <li> Las matrices triangulares superiores con la suma. <li> Las matrices triangulares superiores con la multiplicación. <li> Las matrices con determinante positivo con la multiplicación. <li> Las matrices cuyo determinante es 1 o <math>-1</math> con la multiplicación. </ol> <li> Sea <math>G=GL_2(\R)</math> el grupo de las matrices invertibles. Sea <math>G^+</math> el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que <math>G^+</math> es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones.. <li> Sea ''G'' un grupo y ''H'' un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo. <li> Sea <math>H</math> el conjunto formado por todos los números reales excepto <math>-1.</math> Definir * en <math>S</math> por <math>a * b = a + b + ab.</math> <ol type = "a"> <li> Probar que <math><S, *></math> es un grupo. . <li> Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation <math>2 * x * 5 = 3</math> en <math>S.</math> </ol> <li> Sea <math>G</math> un grupo finito. Probar que cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito. <br> (Considerar <math>e, a, a ^ ,\dots , a^n</math> donde <math>n=|G|</math>), <li> Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir <math>a * b = |a|b</math> <ol type = "a"> <li> Muestre que * es asociativa. <li> Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha <li> ¿Es <math>T</math> un grupo? </ol> <li> Sea <math>G</math> tal que para todo <math>a</math> se cumple que <math>a^2=e.</math> Probar que <math>G</math> es abeliano. (Sugerencia: considerar <math>(ab)^2=e.</math> ) <li> Probar que si, en un grupo< se cumple que <math>(ab)^2 = a^2b^2</math> entonces, <math>ba=ab.</math> <li> Sea <math>G</math> un grupo y suponga que <math>ab=e,</math> Pruebe que también <math>ba=e.</math> <li> Sea <math>G = \{a,b: a^4 = b^2 = e,\quad b ab^{-1} = a^3 \}..</math> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type="a"> <li> <math>ba = a^3b.</math> <li> Todos los elementos de <math>G</math> son de la forma <math>a^{i}b^j,</math> <math>0 \le i \le 3</math> y <math>j=0,1.</math> Concluir que el orden de <math>G</math> es 8. <li> El orden <math>a^kb</math> es 2, para cualquier valor de <math>k.</math> <li> Determinar todos los subgrupos de <math>G.</math> Indicar cuántos de ellos son cíclicos. </ol> <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden par. Probar que si un elemento <math>a</math> de <math>G</math> aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces. <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2s</math> con <math>s</math> impar. Probar que <math>G</math> tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2. </ol> == Comentarios == La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría. <i>Resolución de ecuaciones</i>. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois <ref>Louis Evariste Galois (1811-1832)</ref>, asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente. <i>Aritmética modular</i>. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos. <i>Geometría</i> Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, <i>Erlargen Programm</i>, 1872. <i>Otras fuentes</i>. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales). <!-- Ver por ejemplo, [[http://www.fisicafundamental.net/simetrias/grupos.html|Grupos]].--> Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones. <ul> <li> [[w:Grupo (matemática)|Grupos (matemática)]] <li> [[w:Teoría de Grupos|Teoría de Grupos]] <li> [[w:Teoría geométrica de grupos|Teoría geométrica de grupos]] <!-- == Referencias == --> == Notas == <!-- abc --> <!-- 06-04- 2015 --> [[Categoría:Libros]] [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] [[Categoría: Grupo (matemáticas)]] ct6vx631rz9s5lrahcbpvzz4vaic5rx 423185 423184 2025-07-08T23:04:07Z Rehernan 55364 /* Notas */ 423185 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Álgebra Abstracta |actual=Grupos |anterior=Estructuras |siguiente=Homomorfismos }} </noinclude> == Introducción == Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación. Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema. En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores. [[Archivo:AL Grupo.svg|centrado|400px]] == Definiciones y Ejemplos == {{DefRht|Grupo| Un '''Grupo''' es una estructura algebraica <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> tal que: ::(i) '''G''' es un conjunto, ::(ii) '''*''' es una operación asociativa en G; ::(iii) '''e''' es un elemento neutro para la operación *; ::(iv) <math> x \mapsto x' </math> es una función de <math>G</math> en <math>G</math> que asigna a cada elemento <math>x</math> un elemento <math> x'</math> que es un inverso de <math> x</math> respecto a la operación. }} Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros <ref>Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.</ref> de la estructura, podemos hablar del grupo ''<G,*>'' o del grupo ''G'' con la operación * o, simplemente del grupo ''G''. '''Nomenclatura.''' <ul> <li> Decimos que un grupo es '''abeliano'''<ref>En honor a N. H. Abel (1802-1829)</ref> o '''conmutativo''' cuando la operación es conmutativa. <li> Llamamos '''orden''' del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por <math>|G|.</math> <li> Decimos que el grupo G es '''finito''' cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo '''infinito'''. </ul> === Ejemplos de Grupos Numéricos === Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico. <ol> <li> <i>Los Enteros con la Adición.</i><br /> Se trata del grupo <math>\scriptstyle <\Z, +, 0, x \mapsto -x></math> que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante. ---------------------------------------------------------------------------------- Otros ejemplos numéricos posibles son: <li> Los ''grupos aditivos'' de los Racionales, los Reales y los Complejos. <li> Los ''grupos multiplicativos'' de <small><math>\Q^*,\ \R^*,\ \Complex^*</math></small> (Racionales, Reales, Complejos no nulos). <li>El grupo ''aditivo'' de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera. <li> El grupo ''multiplicativo'' de los Enteros módulo ''p'', cuando ''p'' es un entero primo. </ol> :Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos. '''Ejemplos de Grupos no conmutativos'''. <ol> <li> El Grupo Simétrico, <b>S<sub>n</sub ></b>. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto <br /> <i>I_n = {1, 2, ... , n}</i> en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando <i>n >2</i>, el grupo no es conmutativo. <li> (<i>Grupo Lineal de dimensión 2</i>), <math>GL_2(\R)</math>) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles. :Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo [[Álgebra Abstracta/Estructuras|Semigrupos, Monoides y Grupos]]. </ol> <hr> === Ejemplos de Grupos definidos por Tablas === Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña. {{Ejmpl|Ejemplo}} Consideremos el subconjunto <math>U= \{1,-1,i, -i\}</math> de los complejos, donde ''i² = -1''. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto. <center><math> \begin{array}{r|rrrr} \cdot\ & 1 & -1 & i & -i \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i \\ -1& -1& 1 & -i & i \\ i & i & -i & -1& 1 \\ -i & -i & i & 1 & -1 \end{array} </math></center> Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de ''U'' tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en ''U''. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano. Notemos que cada elemento de ''U'' aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman ''cuadrados latinos''. Las tablas anteriores se denominan ''tablas de Cayley'' (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo). {{Ejmpl|Grupos definidos por tablas}} Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo. : <math> (C_{1,a}) \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (C_{2,a}) \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{3,a}) \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \\ \end{array} \qquad </math> : <math> (C_{4,a})_1 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_2 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & a & e \\ c & c & b & e & a \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_3 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & c & e & b \\ b & b & e & c & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> : <math> (\text{Klein})_1 \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_2 \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que <math> e \,</math> es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso. *En <math> (C_{4,a})_3 </math> tenemos que <math> e^{-1}=e,\ a^{-1} = c,\ b^{-1} = b \text{ y } c^{-1}=a. </math> *En el grupo de '''Klein''' <ref>Felix Klein (1802)</ref> tenemos que cada elemento es su propio inverso. Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos. El grupo ''U'', visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación <math>x*x = e</math> tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que ''U'' y <math>C_{4,a}</math> son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos <math>C_{4,a}</math> y de Klein son diferentes grupos. <!-- --> <div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" >''Moraleja'': lo importante no es como se denotan o que son los elementos del conjunto del grupo, sino las propiedades de las operaciones del mismo.</div> El grupo <b>C_2,a</b> es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar <math>e,</math> y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar <math>a.</math> La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con <math>a*a.</math> Hay solamente dos posibilidades <math> a*a=e \text{ o } a*a = a.</math> Observemos que si <math>a*a=a,</math> multiplicando por el inverso de ''a'' en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego, <math> a*a = e,</math> lo que nos dice que <math> a^{-1} = a. </math> <hr> == Propiedades Básicas == En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega. === Propiedades del Neutro === * ''El neutro es único''. :<small> Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.</small> Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto ''E'', ssi, para todo ''a'' en ''E'' se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento ''e'' cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro. *''Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e''. :<small>Sea a' un inverso de a. Entonces, :<math> a*x=a \implies a'*(a * x) = a'*a \implies (a'*a)*x =a'*a \implies e*x = e \implies x = e.</math><br /> :Análogamente para el otro caso.</small> *(Corolario). ''Si x * x = x entonces x = e''. :Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro. === Propiedades de los Inversos === *''Cada elemento tiene un único inverso''. :Suponer que y, y' son inversos de x Entonces, <center><math> y = y * e = y * (x * y') = (y * x) * y' = e * y' = y'.</math></center> Como hay un único inverso, podemos hablar de '''el''' inverso de x, al que denotaremos usualmente por <math> x^{-1}.</math> Por definición, un elemento ''y'' es un inverso de ''x'', ssi, ''x * y = e'' y ''y * x = e''. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que ''y'' es el inverso de ''x''. *''Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a^-1.'' :''a * x = e ==> a^-1*(a * x) = a^-1* e ==> (a^-1 * a)* x = a^-1 ==> x = a^-1''. :Análogamente el otro caso. :Luego, para mostrar que ''b'' es un inverso de ''a'', basta con verificar que ''a * b = e'' (o que ''b*a = e''). *''El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a^-1)^-1=a.'' :<small>Como ''a * a^-1 = e'', el resultado sigue de lo dicho arriba.</small> *''El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)^-1 = b^-1*a^-1.'' ::''(a*b) * (b^-1*a^-1)=a*(b*b^-1)*a^-1 = a*a^-1 = e'', se tiene el resultado. === Propiedades Cancelativas === '''Proposición 1. (Leyes de Cancelación)''' ''Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:'' :(a) (Cancelación por la izquierda) ''a*b = a*c ==> b = c''. :(b) (Cancelación por la derecha) ''b*a = c * a ==> b = c.'' ''Demostración:'' Basta en (a) premultiplicar por a^-1 o en (b) posmultiplicar por a^-1. === Ecuaciones en un grupo === <b> Proposición 2.</b> <i>Sea <math>G</math> un grupo. Para todo a, b en G se cumple que <ol type = "a"> <li> La ecuación ''a * x = b'' tiene solución única (''x = a^-1*b''). <li> La ecuación ''x * a = b'' tiene solución única (''x = b * a^-1'').'' </ol></i> <ul> ''Demostración:'' <math> a*x = b \implies a^{-1}*(a *x) = a^{-1}*b \implies x = a^{-1}*b.</math> :Análogamente el otro caso. {{QED}} </ul> <hr> <div style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1.5ex;"> <center> '''Convenio'''. </center> Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por "<math>\mathbf \cdot</math>" o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos. </div> === Propiedades Heredadas === Sea <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el ''semigrupo subyacente'' del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente. Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas. <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo. <li> Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de ''x'', ssi, <i>x'* x = e</i> (resp. <i> x * x'= e</i>). <li> Resolver la ecuación <math> x*a*b*x*c = x*b*a </math> en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad? <li> Sea ''G'' un grupo y ''Z(G)'' el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. {{Eqn|<math> Z(G) := \{ x \in G| \text{para todo } g \in G, xg = gx \}.</math>}} Probar que ''Z(G)'' es una parte cerrada de ''G'' que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos. <li> Sea ''G'' un grupo y <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> elementos del grupo. Probar que: {{Eqn|<math>(a_1*a_2* \dots * a_n)^{-1} = a_n^{-1} * \cdots * a_2^{-1} * a_1^{-1}</math>}} <li> Sea ''G'' un grupo y ''a'' un elemento de ''G''. Sea <math>L_a</math> (resp. <math>R_a</math>) la función de ''G'' en si mismo tal que <math>L_a(g) = a*g </math> (resp. <math>R_a(g) =ga</math>). Probar que <math>L_a</math> (multiplicación por la izquierda de ''a'') y <math>R_a</math> (multiplicación por la derecha de ''a'') son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de <math>L_a</math> (resp. de <math>R_a</math>)?. <li> Sea S un semigrupo donde las funciones <math>L_a</math> y <math>R_a</math> definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que <math>S</math> es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.) <li> Sea <math><S,*></math> un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que: <ol type="i"> <li> hay un elemento <math>e_L</math> tal que para todo <math>a</math> en <math>S'</math> se cumple que <math>e_L*a = a,</math> y <li> para cada <math>'A</math> de <math>S</math> hay un <math>a'</math> tal que <math>a' a = e_L.</math> </ol> Probar que <math><S.*></math> es un grupo. (Sug. Probar primero que <math>a * a' =e_L,</math> evaluando adecuadamente <math>a * a' * a * a'</math>) <li> Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento). <li> Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de ''a'' es una parte cerrada de G respecto a la operación. </ol><hr> == Potencias en un Grupo == Sea ''G'' un grupo con neutro ''e''. Sea ''a'' un elemento de ''G''. Para todo número natural ''n'', la enésima potencia de ''a'' es, intuitivamente, el producto de ''a'' consigo mismo ''n'' veces. Formalmente, se define la potencia ''n''--ésima recursivamente por: {{Caja|<math> a^0 := e, \quad a^{n+1} := a ^n *a. </math> }} Notemos que <math>\scriptstyle a^1 = a^{0+1} = a^0*a = e* a = a, \quad a^2 = a^{1+1} = a^1*a = a*a,\quad a^3= a^{2 + 1}=a^2*a = (a*a) * a ,</math> etc. {{PropRht|Propiedades de Potencias|Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).}} <ol type = "a"> <li> <math> a^{m+n}=a^m * a^n.</math> <li> <math> a^{mn} = (a^m)^n.</math> <li> si <math>a*b = b*a</math> entonces <math>(a*b)^n = a^n b^n.</math> </ol> :''Demostración de (a):'' (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera :(n=0) <math>a^{m+0} = a^m = a^m * e = a^m*a^0. </math> :Supongamos el resultado válido cuando <math>n=k, k \ge 0.</math> Entonces, :<center><math>a^{m+(k+1)}= a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = a^m*a^k = a^m *a^{k+1}</math></center> :El resto se prueba de manera semejante. <hr> Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que <center><math> \text{ d. } \quad a^{-n} := (a^{-1})^n.</math></center> Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que <center><math> (a^{m})^n =((a^{-1})^{-m}) ^n = (a^{-1})^{-mn} =a^{mn}</math></center> ==== Notación aditiva ==== Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo ''n'' veces, es un '''múltiplo''' del elemento. <center><math> ma = a + a+ \cdots + a \quad \text{(n veces)}. .</math></center> Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son: ::(a) <math> (m+n)a = ma + na .</math> ::(b) <math> (mn)a = m(na).</math> ::(c) si <math> a+b = b+a</math> entonces <math>m(a+b) = ma + mb.</math> ::(d) <math> (-n)(a) = n(-a).</math> === Orden de un Elemento === El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo [[../Estructuras|Estructuras]]. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo <math>n</math> tal que <math>a^n=e.</math> Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea <math>a</math> un elemento de un monoide con neutro <math>e,</math> la definición de potencia con exponente natural <math>n</math> hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión <math>(a^n),</math> <math>n</math> en <math>\N.</math> <center><math> e=a^0,\ a,\ a^2,\ \dots \ a^n,\ \dots.</math></center> Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de <math>a</math> es infinito y escribimos <math>o(a) = +\infty.</math> Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que <math>a^s = a^r</math> con <math>s > r.</math> ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término <math>r</math>--ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con <math>r=2, s=7,</math> se tiene la sucesión <center><math> e, a, a^2, a^3 ,a^4, a^5, a^6, a^2, a^3, a^4, a^5 , a^6 , a^2 , \dots </math></center> Por ejemplo, en <math>\Z_{10},</math> con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos <math>x</math> en lugar de <math>[x]</math>). <center><math> 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 , \dots</math></center> Recordemos que <math>\Z_{10}</math> con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que <math>a^s= a^r,</math> <math>s>r</math>? Si <math>a^s = a^r,</math> multiplicando por el inverso de <math>a^r,</math> se tiene que <math>a^s(a^r)^{1} = e,</math> o sea que <math>a^{s-r}= e.</math> Es decir, que tenemos un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que <math>a</math> tiene orden finito. <b>Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo <math>G</math>) </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo con neutro <math>e.</math> Entonces, para todo <math>a</math> en <math>G</math> se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes: <ol type="a"> <li>hay un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> Entonces, decimos que <math>a</math> tiene orden finito que es igual al menor entero positivo con esa propiedad. <li> para todo par de enteros positivos o cero, <math>r,</math> <math>s,</math> <math>r\ne s</math> implica que <math>a^r \neq a^s.</math> Decimos que <math>a</math> tiene orden infinito. </ol></i> Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito. <b>Corolario 3.1. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito con orden <math>|G| =n.</math> Cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito y <math>o(a) \le |G|.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Consideremos la sucesión finita <math>e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}, a^n </math> que tiene <math>n+1</math> términos. Como solamente hay <math>n</math> elementos en <math>G,</math> dos de esos términos deben coincidir. De donde sigue la finitud del orden de <math>a</math> y la relación indicada. </i> {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplos}}<ol> <li> En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos) <math>o(0) = 1, \quad o(1)=6, \quad, o(2)=3, \quad, o(3)=2,\quad o(4) =3, \quad o(5)= 6</math> <li> En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito. <li> En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario <math>i</math> tiene orden 4. </ol> Notemos que cuando <math>o(a)=n,</math> entonces para cualquier múltiplo de <math>n,</math> digamos <math>kn</math> se cumple que <math>a^{kn} = (a^n)^k = e^k = e.</math> La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado. <b>Proposición 4. </b> <i> Sea <math>a</math> un elemento de un grupo <math>G.</math> Sea <math>m</math> un entero positivo tal que <math>a^m=e.</math> Entonces el orden de <math>a</math> es un divisor de <math>m.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <math>n=o(a).</math> Por definición, <math>n</math> es el menor entero positivo con esa propiedad. Dividiendo <math>m</math> por <math>n</math>, obtenemos un cociente <math>q</math> y un residuo <math>r</math> tales que {{Eqn|<center><math>m = qn + r, \quad 0 \le r <n.</math> |*}} Entonces, <math>a^r = a^{m -qn} = a^m (a^{n})^{-q} = e.</math> Como <math>r < n,</math>, concluimos que <math>r=0</math>. Es decir, por (*), que <math>m</math> es un múltiplo de <math>n.</math> {{QED}} </ul> <hr> === Grupos Cíclicos === {{DefRht|Grupo Cíclico| Llamamos <b>grupo cíclico</b> a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un '''generador''' del grupo.}} Escribiremos <math>G = \langle a \rangle</math>, cuando ''G'' sea un grupo cíclico con generador ''a''. Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que <center><math>a^{r} a^{s} = a^{r+s}, \quad a^0=e, </math></center> * <em>Los grupos cíclicos son grupos abelianos. </em>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^s = a^r+s = a^s+r = a^sa^r.) * <em>El inverso de a^r es a^-r.</em> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^-r = a^r+(-r) = a⁰ =e.) Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos. '''Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.)''' Como para todo número entero m se cumple que <math> m = 1\cdot m,</math> vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de <math>\Z,</math> por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador. {{Ejmpl|Ejemplo (Los Números Pares con la Suma)}} Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por <math>2\Z.</math> Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2, <math>\scriptstyle 2\Z = \langle 2 \rangle.</math> {{Ejmpl|Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo)}} Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto <math>m\Z</math> formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo <i>m</i>. <center><math> m\Z = \{0, \pm m, \pm 2m, \ldots \}</math></center>. La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de ''m''. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de ''m''. El opuesto aditivo de ''mx'' es ''m(-x)''. Luego, <math> < m\Z,+> </math> es un grupo cíclico con generador <i>m</i>. Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo <math> \Z,+,0, x \mapsto -x></math> se dice que es un ''subgrupo'' de los Enteros con la suma. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad)}} Llamamos <b>raíz n-ésima de la unidad</b> a cualquier número complejo <math>z</math> tal que <math> z^n=1.</math> Consideremos el caso <math> n=12</math> y sea <center><math>\zeta = e^{(2\pi/12)} = \cos (\pi/6) + i \sen(\pi/6).</math></center> <ul> <li> Recordando la relación de Moivre que establece que <math> (\cos(\theta) + i\sen(\theta))^r = \cos(r\theta) + i \sen(r\theta ),</math> tenemos que <center><math> \zeta^{12} = \cos(12\pi/6) + i\sen(12\pi/6) = 1.</math></center> Es decir que <math>\zeta</math> es una 12--ésima raíz de la unidad. <li> Usando Moivre, tenemos que <math> \zeta^k = \cos(k\pi/6) + i\sen(k\pi/6).</math> <li> Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima <center><math> (\zeta^k)^{12} = \zeta^{12k} = (\zeta^{12})^k = 1^k =1.</math></center> <li> <em>Hay solamente <math>\scriptstyle n</math> raíces diferentes de la unidad: <math> 1, \theta, \theta^2, \dots, \theta^{n-1}.</math></center> </em> </ul> Sea <math>m</math> un entero cualquiera, la división por <math>n</math>, nos produce <math>q</math> y <math>r</math> tales que <math>m=qn + r</math>, con <math>0 \le r < n.</math> Luego <math>\theta^m = \theta^{qn+r} = \theta^{qn} \theta^r = \theta^r.</math> Lo que prueba que hay <math>n</math> raíces de la unidad: <math>\theta^r, r = 0, 1, 2, \dots, n-1.</math> Simbolizaremos por <math> U_n(\Complex)</math> al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad. <math> U_n(C)</math> es un grupo cíclico con <math>n</math> elementos. Observemos que <math> U_4(\Complex)</math> es nuestro viejo conocido <math> \langle i \rangle = \{1,-1, i, -i \}.</math> <hr> {{Caja|(Existencia de Grupos Cíclicos). El ejemplo de las raíces de la unidad muestra que para todo número entero positivo <math>n</math>, hay un grupo cíclico con exactamente <math>n</math> elementos, <math> U_n(\Complex).</math>}} === Ejercicios === <ol> <li> Sean <math>\alpha = e^{i(\pi/6)} = \cos(\pi/6) + i \rm{sen}(\pi/6)</math> una raíz sexta de la unidad. Sean <math>\beta = \alpha^2</math> y <math>\gamma= \alpha^3.</math> Hallar los ordenes de <math> \alpha,\quad \beta,\quad \gamma, \quad \beta\gamma</math> . <li> (Orden de un producto) Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un grupo abeliano <G>. Si <math>o(a)=3</math> y <math>o(b)=5,</math> probar que <math>o(ab)=15.</math> ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa? <li> En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de <math>\Z_3.</math> Hallar el orden de cada una en el grupo lineal <math>GL_2(\Z_3)</math> {{Eqn|<math>\text{a. } \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \quad \quad \text{ b. } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. </math >}} </ol> == Grupos definidos por Generadores == Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como <center><math> G = \langle a,b, ... | r_1(a,b,...), r_2(a,b,.. ), ... \rangle </math></center> que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i> Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores. {{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{ tales que } 0 \le i,j,k, ...</math>}} Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina <i>cadenas</i> a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto). <!-- Mayores detalles en el apéndice XXX. --> {{Ejmpl| Ejemplo (Grupo Cíclico Finito)}} Sea <math>\textsf{C}_{n,a} := \langle a | a^n =e \rangle.</math> donde <i>n</i> es un natural positivo. Los elementos de C_n,a son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de <i>a</i>. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya <i>n</i> de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay <i>n</i> letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número <i>n</i> es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que {{Eqn|<math> C_{n,a} = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}} Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden <i>n</i>; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos <math> C_{n}</math> para el grupo cíclico de orden <math>n</math>. Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo <ref> [[../Grupos Cíclicos| Los grupos cíclicos]]</ref>. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupos Diedrales)}} Llamamos '''grupo diedral''' de orden 2n, <math>n \ge 3</math> al grupo denotado por <math>D_{2n}</math> y definido como {{Eqn|<math>\textsf{D}_{2n} := \langle a,b : a^n = e, b^2 = e, bab = a^{n-1}\rangle.</math>}} Notemos que los elementos de <math>D_{2n}</math> son productos de expresiones de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i,j.</math> La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes. Supongamos, para concretizar, que <i>n = 3</i>. Entonces. <math>bab=a^2</math> implica que <i>ba = a²b</i>. Por lo que <ul> <li> <i>aba = a a²b = b.</i> <li> <i>aababaab = aa(ba)baab = aaa²bbaab =a⁴b²aab =aaab = b</i>. </ul> Lueego, los elementos de <math>D_{2n}</math> son los productos de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i<n,\quad j=0,1.</math> Es decir que {{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.,</math>}} o sea que tiene 2n elementos. Además, como {{Eqn|<math> a^i b^j b^{2-j} a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = a^ia^{n-1} = e</math>}} Cada elementos es invertible. Es decir que <math>D_{2n}</math> es un grupo. Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de <math>n</math> lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre [[../Grupos Generados|Grupos Generados]]. <hr> </ol> === Ejercicios === <ol> <li> Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos <i>a¹=a</i> como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de <i>a⁰</i>), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo. <li> Construir las tablas de <math>C_{n,a}</math> para ''n = 2, 3, 4, 5.'' En cada caso identificar los inversos de los elementos. <li> Sea G = C_12,a = <a | a¹²=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5. <li> Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos. <li> Probar que cuando ''a'' conmuta (o permuta) con ''b'' (''ab=ba'') se cumple que: <ol type = "a"> <li> ''a'' conmuta con cualquier potencia natural de ''b'', <math>ab^n = b^n a.</math> <li> ''a'' conmuta con el inverso de ''b''. <li> el inverso de ''a'' conmuta con cualquier potencia entera de ''b''. </ol> <li> Sea <math>G=<a,b : a^2 = b^2 = e, ba = ab></math>. no Probar que G es el grupo de Klein. <li> Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral <math>D_{8}</math>. <li> Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que <math>(ab)^2 = abab.</math> <li> Sea <math>G = \langle a, b | a^m = e, b^n=e \rangle.</math> Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando <math>m,n >1.</math> </ol> == Producto de Grupos == Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea <math>G = H \times K</math> el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada, <center><math>(x,y) \cdot (z,w) = (x * z, y \# w),</math></center> {{PropRht|Grupo Producto|Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.}} ''Demostración: '' Tenemos que {{Eqn|<math> \begin{array}{rcl} (x,y)\cdot((z,w)\cdot (u,v)) & = & (x,y) \cdot (z * u, w \# v) = (x * z * u, y \# w *\# v) \\ ((x,y)\cdot(z,w)) \cdot (u,v) & = & (x*z, y* w) \cdot (u, v) = (x * z * u, y \# w \# v). \end{array}</math>}} Lo que prueba la asociatividad. Sean e_H y e_K los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (e_H, e_K). Entonces, <math> e \cdot (x,y) = (e_H * x, e_K \# y) = (x,y).</math> De forma similar se prueba que <math>(x,y) \cdot e = (x,y).</math> Por lo que e es neutro respecto a la operación. Finalmente, <math>(x,y) \cdot (x^{-1}, y^{-1}) = (x * x^{-1}, y \# y^{-1}) = (e_H, e_K). .</math> Análogamente, <math>(x^{-1}, y^{-1}) \cdot (x,y) = e.</math> ----------------------------------------------- {{DefRht|Producto de Grupos| Llamamos '''producto''' de los grupos H y K al grupo <math>G=H \times K</math> provisto de la operación por coordenadas.}} Cuando la notación es aditiva, podemos llamar ''suma'' al producto. {{Ejmpl|El grupo aditivo <math> \R^2 </math>}} Consideremos al grupo aditivo de los Reales. <math>\R^2</math> es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo. <math>\R^2</math> es un grupo abeliano con operación <center><math>(x,y) + (z,w) = (x+z, y+w).</math></center> (Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.) En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por <i>G²</i>. Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo <i>n</i> veces, denotamos al producto resultante por <i>Gⁿ</i>; sus elementos son n--uplas de elementos de <i>G</i>. --------------------------------------------------------- ==== Ejercicios ==== <ol> <li> Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K. <li> Construir la tabla de <i>C_2,a x C_2,b</i>. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein. <li> Sean C_3,a y C_4,b grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C_3,a x C_4.b es cíclico con generador (a,b). <li> Sean C_4,a y C_2,b grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C_4,a x C_2,b no es cíclico. <li> Construir las tablas de <math> C_{8,a}, \quad C_{4,a} \times C_{2,b}\quad \text{ y }\quad C_{2,a} \times C_{2,b} \times C_{2,c}</math> </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que <math>a^n=e.</math> <li> En un grupo G, para elementos g y x definir <math>x^g := g x g^{-1}.</math> (Conjugado de ''x'' por ''g''). Probar que se cumplen las siguientes relaciones. <ol type ="a"> <li> x^g y ^g = (xy)^g. <li>(x^g)^-1 = (x^-1)^g. <li> (x^g)ⁿ = (xⁿ)^g. </ol> <li> Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico <b>S₃</b>. Ver la definición en el capítulo [[../Estructuras|Las Estructuras]]. <li> (Grupos de Transformaciones) Sea <i>X</i> un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de <i>X</i> es un grupo <i>G</i> tal que sus elementos son elementos del grupo <math>S_{X}</math> (Funciones biyectivas de ''X" en si mismo). <ol type="a"> <li>Sea <i>x</i> en <i>X</i> y sea <math>G_x</math> el conjunto formado por todas las transformaciones <i>f</i> de <i>G</i> que fijan el punto <i>x</i>, es decir que <i>f(x) = x.</i> Probar que <math>G_x</math> es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen. <li> Dado un subconjunto <math>Y</math> de <i>X</i>, el conjunto <math>G_Y</math> denota a las biyecciones de <i>G</i> que dejan fijo globalmente a <i>Y</i>, Es decir, <math>G_Y := \{ f \in G : f(Y) = Y\} .</math> Probar que <math>G_Y</math> es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje <i>X</i>, deja al eje <i>Y</i> fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de <i>X</i> puntualmente, o sea punto a punto. </ol> <li> Sea <math>G = \Z_{15}^*</math> (el grupo multiplicativo de los invertibles en <math>\Z_{15}</math>). Probar que <math>G \cong C_2 \times C_4.</math> Concluir que <math>\Z_{15}^*</math> no es un grupo cíclico. <li> Considerar el grupo <math>G = C_2 \times C_2 \times C_2.</math> Probar que el orden de <i>G</i> es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en <i>G</i>. Concluir de lo anterior que <i>G</i> no puede ser cíclico. <li> Sea <i>G = <nowiki><a></nowiki></i> un grupo cíclico de orden impar. Probar que <i>a</i> aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo. <li> Probar que el grupo multiplicativo <math><\Q^*, \cdot></math> no es cíclico. <li> Sea <math>\mathbb{T},</math> el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que <math>\mathbb{T}</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces <i>n</i>--ésimas de la unidad.) <li> Sea <math>G = <a,b| a^n=e, ba = e >.</math> Probar que G es finito y cíclico. <li> ¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos? <li> Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que <ol type="i"> <li> <math>\det(AB) = \det(A)\det(B),</math> <li> <math>\det(I_n)=1\quad ,</math> donde (<math>I_n</math> es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y <li>una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero. </ol> <ol type="a"> <li> Las matrices diagonales con la suma de matrices. <li> Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices. <li> Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o <math>-1,</math> con la multiplicación'on. <li> Las matrices triangulares superiores con la suma. <li> Las matrices triangulares superiores con la multiplicación. <li> Las matrices con determinante positivo con la multiplicación. <li> Las matrices cuyo determinante es 1 o <math>-1</math> con la multiplicación. </ol> <li> Sea <math>G=GL_2(\R)</math> el grupo de las matrices invertibles. Sea <math>G^+</math> el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que <math>G^+</math> es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones.. <li> Sea ''G'' un grupo y ''H'' un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo. <li> Sea <math>H</math> el conjunto formado por todos los números reales excepto <math>-1.</math> Definir * en <math>S</math> por <math>a * b = a + b + ab.</math> <ol type = "a"> <li> Probar que <math><S, *></math> es un grupo. . <li> Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation <math>2 * x * 5 = 3</math> en <math>S.</math> </ol> <li> Sea <math>G</math> un grupo finito. Probar que cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito. <br> (Considerar <math>e, a, a ^ ,\dots , a^n</math> donde <math>n=|G|</math>), <li> Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir <math>a * b = |a|b</math> <ol type = "a"> <li> Muestre que * es asociativa. <li> Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha <li> ¿Es <math>T</math> un grupo? </ol> <li> Sea <math>G</math> tal que para todo <math>a</math> se cumple que <math>a^2=e.</math> Probar que <math>G</math> es abeliano. (Sugerencia: considerar <math>(ab)^2=e.</math> ) <li> Probar que si, en un grupo< se cumple que <math>(ab)^2 = a^2b^2</math> entonces, <math>ba=ab.</math> <li> Sea <math>G</math> un grupo y suponga que <math>ab=e,</math> Pruebe que también <math>ba=e.</math> <li> Sea <math>G = \{a,b: a^4 = b^2 = e,\quad b ab^{-1} = a^3 \}..</math> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type="a"> <li> <math>ba = a^3b.</math> <li> Todos los elementos de <math>G</math> son de la forma <math>a^{i}b^j,</math> <math>0 \le i \le 3</math> y <math>j=0,1.</math> Concluir que el orden de <math>G</math> es 8. <li> El orden <math>a^kb</math> es 2, para cualquier valor de <math>k.</math> <li> Determinar todos los subgrupos de <math>G.</math> Indicar cuántos de ellos son cíclicos. </ol> <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden par. Probar que si un elemento <math>a</math> de <math>G</math> aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces. <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2s</math> con <math>s</math> impar. Probar que <math>G</math> tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2. </ol> == Comentarios == La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría. <i>Resolución de ecuaciones</i>. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois <ref>Louis Evariste Galois (1811-1832)</ref>, asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente. <i>Aritmética modular</i>. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos. <i>Geometría</i> Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, <i>Erlargen Programm</i>, 1872. <i>Otras fuentes</i>. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales). <!-- Ver por ejemplo, [[http://www.fisicafundamental.net/simetrias/grupos.html|Grupos]].--> Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones. <ul> <li> [[w:Grupo (matemática)|Grupos (matemática)]] <li> [[w:Teoría de Grupos|Teoría de Grupos]] <li> [[w:Teoría geométrica de grupos|Teoría geométrica de grupos]] <!-- == Referencias == --> == Notas == <!-- abc --> <!-- 06-04- 2015 --> [[Categoría:Libros]] [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] <!---[[Categoría: Grupo (matemáticas)]] --> sykvyh30cayw1s89zneg4cc0vjx7n73 423186 423185 2025-07-08T23:06:58Z Rehernan 55364 /* Grupos definidos por Generadores */ 423186 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Álgebra Abstracta |actual=Grupos |anterior=Estructuras |siguiente=Homomorfismos }} </noinclude> == Introducción == Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación. Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema. En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores. [[Archivo:AL Grupo.svg|centrado|400px]] == Definiciones y Ejemplos == {{DefRht|Grupo| Un '''Grupo''' es una estructura algebraica <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> tal que: ::(i) '''G''' es un conjunto, ::(ii) '''*''' es una operación asociativa en G; ::(iii) '''e''' es un elemento neutro para la operación *; ::(iv) <math> x \mapsto x' </math> es una función de <math>G</math> en <math>G</math> que asigna a cada elemento <math>x</math> un elemento <math> x'</math> que es un inverso de <math> x</math> respecto a la operación. }} Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros <ref>Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.</ref> de la estructura, podemos hablar del grupo ''<G,*>'' o del grupo ''G'' con la operación * o, simplemente del grupo ''G''. '''Nomenclatura.''' <ul> <li> Decimos que un grupo es '''abeliano'''<ref>En honor a N. H. Abel (1802-1829)</ref> o '''conmutativo''' cuando la operación es conmutativa. <li> Llamamos '''orden''' del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por <math>|G|.</math> <li> Decimos que el grupo G es '''finito''' cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo '''infinito'''. </ul> === Ejemplos de Grupos Numéricos === Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico. <ol> <li> <i>Los Enteros con la Adición.</i><br /> Se trata del grupo <math>\scriptstyle <\Z, +, 0, x \mapsto -x></math> que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante. ---------------------------------------------------------------------------------- Otros ejemplos numéricos posibles son: <li> Los ''grupos aditivos'' de los Racionales, los Reales y los Complejos. <li> Los ''grupos multiplicativos'' de <small><math>\Q^*,\ \R^*,\ \Complex^*</math></small> (Racionales, Reales, Complejos no nulos). <li>El grupo ''aditivo'' de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera. <li> El grupo ''multiplicativo'' de los Enteros módulo ''p'', cuando ''p'' es un entero primo. </ol> :Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos. '''Ejemplos de Grupos no conmutativos'''. <ol> <li> El Grupo Simétrico, <b>S<sub>n</sub ></b>. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto <br /> <i>I_n = {1, 2, ... , n}</i> en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando <i>n >2</i>, el grupo no es conmutativo. <li> (<i>Grupo Lineal de dimensión 2</i>), <math>GL_2(\R)</math>) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles. :Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo [[Álgebra Abstracta/Estructuras|Semigrupos, Monoides y Grupos]]. </ol> <hr> === Ejemplos de Grupos definidos por Tablas === Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña. {{Ejmpl|Ejemplo}} Consideremos el subconjunto <math>U= \{1,-1,i, -i\}</math> de los complejos, donde ''i² = -1''. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto. <center><math> \begin{array}{r|rrrr} \cdot\ & 1 & -1 & i & -i \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i \\ -1& -1& 1 & -i & i \\ i & i & -i & -1& 1 \\ -i & -i & i & 1 & -1 \end{array} </math></center> Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de ''U'' tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en ''U''. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano. Notemos que cada elemento de ''U'' aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman ''cuadrados latinos''. Las tablas anteriores se denominan ''tablas de Cayley'' (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo). {{Ejmpl|Grupos definidos por tablas}} Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo. : <math> (C_{1,a}) \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (C_{2,a}) \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{3,a}) \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \\ \end{array} \qquad </math> : <math> (C_{4,a})_1 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_2 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & a & e \\ c & c & b & e & a \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_3 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & c & e & b \\ b & b & e & c & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> : <math> (\text{Klein})_1 \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_2 \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que <math> e \,</math> es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso. *En <math> (C_{4,a})_3 </math> tenemos que <math> e^{-1}=e,\ a^{-1} = c,\ b^{-1} = b \text{ y } c^{-1}=a. </math> *En el grupo de '''Klein''' <ref>Felix Klein (1802)</ref> tenemos que cada elemento es su propio inverso. Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos. El grupo ''U'', visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación <math>x*x = e</math> tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que ''U'' y <math>C_{4,a}</math> son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos <math>C_{4,a}</math> y de Klein son diferentes grupos. <!-- --> <div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" >''Moraleja'': lo importante no es como se denotan o que son los elementos del conjunto del grupo, sino las propiedades de las operaciones del mismo.</div> El grupo <b>C_2,a</b> es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar <math>e,</math> y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar <math>a.</math> La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con <math>a*a.</math> Hay solamente dos posibilidades <math> a*a=e \text{ o } a*a = a.</math> Observemos que si <math>a*a=a,</math> multiplicando por el inverso de ''a'' en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego, <math> a*a = e,</math> lo que nos dice que <math> a^{-1} = a. </math> <hr> == Propiedades Básicas == En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega. === Propiedades del Neutro === * ''El neutro es único''. :<small> Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.</small> Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto ''E'', ssi, para todo ''a'' en ''E'' se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento ''e'' cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro. *''Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e''. :<small>Sea a' un inverso de a. Entonces, :<math> a*x=a \implies a'*(a * x) = a'*a \implies (a'*a)*x =a'*a \implies e*x = e \implies x = e.</math><br /> :Análogamente para el otro caso.</small> *(Corolario). ''Si x * x = x entonces x = e''. :Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro. === Propiedades de los Inversos === *''Cada elemento tiene un único inverso''. :Suponer que y, y' son inversos de x Entonces, <center><math> y = y * e = y * (x * y') = (y * x) * y' = e * y' = y'.</math></center> Como hay un único inverso, podemos hablar de '''el''' inverso de x, al que denotaremos usualmente por <math> x^{-1}.</math> Por definición, un elemento ''y'' es un inverso de ''x'', ssi, ''x * y = e'' y ''y * x = e''. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que ''y'' es el inverso de ''x''. *''Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a^-1.'' :''a * x = e ==> a^-1*(a * x) = a^-1* e ==> (a^-1 * a)* x = a^-1 ==> x = a^-1''. :Análogamente el otro caso. :Luego, para mostrar que ''b'' es un inverso de ''a'', basta con verificar que ''a * b = e'' (o que ''b*a = e''). *''El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a^-1)^-1=a.'' :<small>Como ''a * a^-1 = e'', el resultado sigue de lo dicho arriba.</small> *''El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)^-1 = b^-1*a^-1.'' ::''(a*b) * (b^-1*a^-1)=a*(b*b^-1)*a^-1 = a*a^-1 = e'', se tiene el resultado. === Propiedades Cancelativas === '''Proposición 1. (Leyes de Cancelación)''' ''Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:'' :(a) (Cancelación por la izquierda) ''a*b = a*c ==> b = c''. :(b) (Cancelación por la derecha) ''b*a = c * a ==> b = c.'' ''Demostración:'' Basta en (a) premultiplicar por a^-1 o en (b) posmultiplicar por a^-1. === Ecuaciones en un grupo === <b> Proposición 2.</b> <i>Sea <math>G</math> un grupo. Para todo a, b en G se cumple que <ol type = "a"> <li> La ecuación ''a * x = b'' tiene solución única (''x = a^-1*b''). <li> La ecuación ''x * a = b'' tiene solución única (''x = b * a^-1'').'' </ol></i> <ul> ''Demostración:'' <math> a*x = b \implies a^{-1}*(a *x) = a^{-1}*b \implies x = a^{-1}*b.</math> :Análogamente el otro caso. {{QED}} </ul> <hr> <div style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1.5ex;"> <center> '''Convenio'''. </center> Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por "<math>\mathbf \cdot</math>" o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos. </div> === Propiedades Heredadas === Sea <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el ''semigrupo subyacente'' del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente. Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas. <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo. <li> Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de ''x'', ssi, <i>x'* x = e</i> (resp. <i> x * x'= e</i>). <li> Resolver la ecuación <math> x*a*b*x*c = x*b*a </math> en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad? <li> Sea ''G'' un grupo y ''Z(G)'' el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. {{Eqn|<math> Z(G) := \{ x \in G| \text{para todo } g \in G, xg = gx \}.</math>}} Probar que ''Z(G)'' es una parte cerrada de ''G'' que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos. <li> Sea ''G'' un grupo y <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> elementos del grupo. Probar que: {{Eqn|<math>(a_1*a_2* \dots * a_n)^{-1} = a_n^{-1} * \cdots * a_2^{-1} * a_1^{-1}</math>}} <li> Sea ''G'' un grupo y ''a'' un elemento de ''G''. Sea <math>L_a</math> (resp. <math>R_a</math>) la función de ''G'' en si mismo tal que <math>L_a(g) = a*g </math> (resp. <math>R_a(g) =ga</math>). Probar que <math>L_a</math> (multiplicación por la izquierda de ''a'') y <math>R_a</math> (multiplicación por la derecha de ''a'') son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de <math>L_a</math> (resp. de <math>R_a</math>)?. <li> Sea S un semigrupo donde las funciones <math>L_a</math> y <math>R_a</math> definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que <math>S</math> es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.) <li> Sea <math><S,*></math> un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que: <ol type="i"> <li> hay un elemento <math>e_L</math> tal que para todo <math>a</math> en <math>S'</math> se cumple que <math>e_L*a = a,</math> y <li> para cada <math>'A</math> de <math>S</math> hay un <math>a'</math> tal que <math>a' a = e_L.</math> </ol> Probar que <math><S.*></math> es un grupo. (Sug. Probar primero que <math>a * a' =e_L,</math> evaluando adecuadamente <math>a * a' * a * a'</math>) <li> Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento). <li> Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de ''a'' es una parte cerrada de G respecto a la operación. </ol><hr> == Potencias en un Grupo == Sea ''G'' un grupo con neutro ''e''. Sea ''a'' un elemento de ''G''. Para todo número natural ''n'', la enésima potencia de ''a'' es, intuitivamente, el producto de ''a'' consigo mismo ''n'' veces. Formalmente, se define la potencia ''n''--ésima recursivamente por: {{Caja|<math> a^0 := e, \quad a^{n+1} := a ^n *a. </math> }} Notemos que <math>\scriptstyle a^1 = a^{0+1} = a^0*a = e* a = a, \quad a^2 = a^{1+1} = a^1*a = a*a,\quad a^3= a^{2 + 1}=a^2*a = (a*a) * a ,</math> etc. {{PropRht|Propiedades de Potencias|Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).}} <ol type = "a"> <li> <math> a^{m+n}=a^m * a^n.</math> <li> <math> a^{mn} = (a^m)^n.</math> <li> si <math>a*b = b*a</math> entonces <math>(a*b)^n = a^n b^n.</math> </ol> :''Demostración de (a):'' (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera :(n=0) <math>a^{m+0} = a^m = a^m * e = a^m*a^0. </math> :Supongamos el resultado válido cuando <math>n=k, k \ge 0.</math> Entonces, :<center><math>a^{m+(k+1)}= a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = a^m*a^k = a^m *a^{k+1}</math></center> :El resto se prueba de manera semejante. <hr> Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que <center><math> \text{ d. } \quad a^{-n} := (a^{-1})^n.</math></center> Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que <center><math> (a^{m})^n =((a^{-1})^{-m}) ^n = (a^{-1})^{-mn} =a^{mn}</math></center> ==== Notación aditiva ==== Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo ''n'' veces, es un '''múltiplo''' del elemento. <center><math> ma = a + a+ \cdots + a \quad \text{(n veces)}. .</math></center> Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son: ::(a) <math> (m+n)a = ma + na .</math> ::(b) <math> (mn)a = m(na).</math> ::(c) si <math> a+b = b+a</math> entonces <math>m(a+b) = ma + mb.</math> ::(d) <math> (-n)(a) = n(-a).</math> === Orden de un Elemento === El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo [[../Estructuras|Estructuras]]. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo <math>n</math> tal que <math>a^n=e.</math> Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea <math>a</math> un elemento de un monoide con neutro <math>e,</math> la definición de potencia con exponente natural <math>n</math> hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión <math>(a^n),</math> <math>n</math> en <math>\N.</math> <center><math> e=a^0,\ a,\ a^2,\ \dots \ a^n,\ \dots.</math></center> Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de <math>a</math> es infinito y escribimos <math>o(a) = +\infty.</math> Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que <math>a^s = a^r</math> con <math>s > r.</math> ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término <math>r</math>--ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con <math>r=2, s=7,</math> se tiene la sucesión <center><math> e, a, a^2, a^3 ,a^4, a^5, a^6, a^2, a^3, a^4, a^5 , a^6 , a^2 , \dots </math></center> Por ejemplo, en <math>\Z_{10},</math> con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos <math>x</math> en lugar de <math>[x]</math>). <center><math> 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 , \dots</math></center> Recordemos que <math>\Z_{10}</math> con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que <math>a^s= a^r,</math> <math>s>r</math>? Si <math>a^s = a^r,</math> multiplicando por el inverso de <math>a^r,</math> se tiene que <math>a^s(a^r)^{1} = e,</math> o sea que <math>a^{s-r}= e.</math> Es decir, que tenemos un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que <math>a</math> tiene orden finito. <b>Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo <math>G</math>) </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo con neutro <math>e.</math> Entonces, para todo <math>a</math> en <math>G</math> se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes: <ol type="a"> <li>hay un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> Entonces, decimos que <math>a</math> tiene orden finito que es igual al menor entero positivo con esa propiedad. <li> para todo par de enteros positivos o cero, <math>r,</math> <math>s,</math> <math>r\ne s</math> implica que <math>a^r \neq a^s.</math> Decimos que <math>a</math> tiene orden infinito. </ol></i> Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito. <b>Corolario 3.1. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito con orden <math>|G| =n.</math> Cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito y <math>o(a) \le |G|.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Consideremos la sucesión finita <math>e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}, a^n </math> que tiene <math>n+1</math> términos. Como solamente hay <math>n</math> elementos en <math>G,</math> dos de esos términos deben coincidir. De donde sigue la finitud del orden de <math>a</math> y la relación indicada. </i> {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplos}}<ol> <li> En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos) <math>o(0) = 1, \quad o(1)=6, \quad, o(2)=3, \quad, o(3)=2,\quad o(4) =3, \quad o(5)= 6</math> <li> En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito. <li> En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario <math>i</math> tiene orden 4. </ol> Notemos que cuando <math>o(a)=n,</math> entonces para cualquier múltiplo de <math>n,</math> digamos <math>kn</math> se cumple que <math>a^{kn} = (a^n)^k = e^k = e.</math> La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado. <b>Proposición 4. </b> <i> Sea <math>a</math> un elemento de un grupo <math>G.</math> Sea <math>m</math> un entero positivo tal que <math>a^m=e.</math> Entonces el orden de <math>a</math> es un divisor de <math>m.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <math>n=o(a).</math> Por definición, <math>n</math> es el menor entero positivo con esa propiedad. Dividiendo <math>m</math> por <math>n</math>, obtenemos un cociente <math>q</math> y un residuo <math>r</math> tales que {{Eqn|<center><math>m = qn + r, \quad 0 \le r <n.</math> |*}} Entonces, <math>a^r = a^{m -qn} = a^m (a^{n})^{-q} = e.</math> Como <math>r < n,</math>, concluimos que <math>r=0</math>. Es decir, por (*), que <math>m</math> es un múltiplo de <math>n.</math> {{QED}} </ul> <hr> === Grupos Cíclicos === {{DefRht|Grupo Cíclico| Llamamos <b>grupo cíclico</b> a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un '''generador''' del grupo.}} Escribiremos <math>G = \langle a \rangle</math>, cuando ''G'' sea un grupo cíclico con generador ''a''. Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que <center><math>a^{r} a^{s} = a^{r+s}, \quad a^0=e, </math></center> * <em>Los grupos cíclicos son grupos abelianos. </em>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^s = a^r+s = a^s+r = a^sa^r.) * <em>El inverso de a^r es a^-r.</em> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^-r = a^r+(-r) = a⁰ =e.) Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos. '''Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.)''' Como para todo número entero m se cumple que <math> m = 1\cdot m,</math> vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de <math>\Z,</math> por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador. {{Ejmpl|Ejemplo (Los Números Pares con la Suma)}} Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por <math>2\Z.</math> Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2, <math>\scriptstyle 2\Z = \langle 2 \rangle.</math> {{Ejmpl|Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo)}} Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto <math>m\Z</math> formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo <i>m</i>. <center><math> m\Z = \{0, \pm m, \pm 2m, \ldots \}</math></center>. La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de ''m''. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de ''m''. El opuesto aditivo de ''mx'' es ''m(-x)''. Luego, <math> < m\Z,+> </math> es un grupo cíclico con generador <i>m</i>. Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo <math> \Z,+,0, x \mapsto -x></math> se dice que es un ''subgrupo'' de los Enteros con la suma. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad)}} Llamamos <b>raíz n-ésima de la unidad</b> a cualquier número complejo <math>z</math> tal que <math> z^n=1.</math> Consideremos el caso <math> n=12</math> y sea <center><math>\zeta = e^{(2\pi/12)} = \cos (\pi/6) + i \sen(\pi/6).</math></center> <ul> <li> Recordando la relación de Moivre que establece que <math> (\cos(\theta) + i\sen(\theta))^r = \cos(r\theta) + i \sen(r\theta ),</math> tenemos que <center><math> \zeta^{12} = \cos(12\pi/6) + i\sen(12\pi/6) = 1.</math></center> Es decir que <math>\zeta</math> es una 12--ésima raíz de la unidad. <li> Usando Moivre, tenemos que <math> \zeta^k = \cos(k\pi/6) + i\sen(k\pi/6).</math> <li> Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima <center><math> (\zeta^k)^{12} = \zeta^{12k} = (\zeta^{12})^k = 1^k =1.</math></center> <li> <em>Hay solamente <math>\scriptstyle n</math> raíces diferentes de la unidad: <math> 1, \theta, \theta^2, \dots, \theta^{n-1}.</math></center> </em> </ul> Sea <math>m</math> un entero cualquiera, la división por <math>n</math>, nos produce <math>q</math> y <math>r</math> tales que <math>m=qn + r</math>, con <math>0 \le r < n.</math> Luego <math>\theta^m = \theta^{qn+r} = \theta^{qn} \theta^r = \theta^r.</math> Lo que prueba que hay <math>n</math> raíces de la unidad: <math>\theta^r, r = 0, 1, 2, \dots, n-1.</math> Simbolizaremos por <math> U_n(\Complex)</math> al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad. <math> U_n(C)</math> es un grupo cíclico con <math>n</math> elementos. Observemos que <math> U_4(\Complex)</math> es nuestro viejo conocido <math> \langle i \rangle = \{1,-1, i, -i \}.</math> <hr> {{Caja|(Existencia de Grupos Cíclicos). El ejemplo de las raíces de la unidad muestra que para todo número entero positivo <math>n</math>, hay un grupo cíclico con exactamente <math>n</math> elementos, <math> U_n(\Complex).</math>}} === Ejercicios === <ol> <li> Sean <math>\alpha = e^{i(\pi/6)} = \cos(\pi/6) + i \rm{sen}(\pi/6)</math> una raíz sexta de la unidad. Sean <math>\beta = \alpha^2</math> y <math>\gamma= \alpha^3.</math> Hallar los ordenes de <math> \alpha,\quad \beta,\quad \gamma, \quad \beta\gamma</math> . <li> (Orden de un producto) Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un grupo abeliano <G>. Si <math>o(a)=3</math> y <math>o(b)=5,</math> probar que <math>o(ab)=15.</math> ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa? <li> En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de <math>\Z_3.</math> Hallar el orden de cada una en el grupo lineal <math>GL_2(\Z_3)</math> {{Eqn|<math>\text{a. } \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \quad \quad \text{ b. } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. </math >}} </ol> == Grupos definidos por Generadores == <noinclude> Página creada y preparada por Rehernan</noinclude> Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como <center><math> G = \langle a,b, ... | r_1(a,b,...), r_2(a,b,.. ), ... \rangle </math></center> que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i> Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores. {{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{ tales que } 0 \le i,j,k, ...</math>}} Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina <i>cadenas</i> a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto). <!-- Mayores detalles en el apéndice XXX. --> {{Ejmpl| Ejemplo (Grupo Cíclico Finito)}} Sea <math>\textsf{C}_{n,a} := \langle a | a^n =e \rangle.</math> donde <i>n</i> es un natural positivo. Los elementos de C_n,a son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de <i>a</i>. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya <i>n</i> de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay <i>n</i> letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número <i>n</i> es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que {{Eqn|<math> C_{n,a} = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}} Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden <i>n</i>; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos <math> C_{n}</math> para el grupo cíclico de orden <math>n</math>. Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo <ref> [[../Grupos Cíclicos| Los grupos cíclicos]]</ref>. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupos Diedrales)}} Llamamos '''grupo diedral''' de orden 2n, <math>n \ge 3</math> al grupo denotado por <math>D_{2n}</math> y definido como {{Eqn|<math>\textsf{D}_{2n} := \langle a,b : a^n = e, b^2 = e, bab = a^{n-1}\rangle.</math>}} Notemos que los elementos de <math>D_{2n}</math> son productos de expresiones de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i,j.</math> La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes. Supongamos, para concretizar, que <i>n = 3</i>. Entonces. <math>bab=a^2</math> implica que <i>ba = a²b</i>. Por lo que <ul> <li> <i>aba = a a²b = b.</i> <li> <i>aababaab = aa(ba)baab = aaa²bbaab =a⁴b²aab =aaab = b</i>. </ul> Lueego, los elementos de <math>D_{2n}</math> son los productos de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i<n,\quad j=0,1.</math> Es decir que {{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.,</math>}} o sea que tiene 2n elementos. Además, como {{Eqn|<math> a^i b^j b^{2-j} a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = a^ia^{n-1} = e</math>}} Cada elementos es invertible. Es decir que <math>D_{2n}</math> es un grupo. Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de <math>n</math> lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre [[../Grupos Generados|Grupos Generados]]. <hr> </ol> === Ejercicios === <ol> <li> Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos <i>a¹=a</i> como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de <i>a⁰</i>), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo. <li> Construir las tablas de <math>C_{n,a}</math> para ''n = 2, 3, 4, 5.'' En cada caso identificar los inversos de los elementos. <li> Sea G = C_12,a = <a | a¹²=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5. <li> Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos. <li> Probar que cuando ''a'' conmuta (o permuta) con ''b'' (''ab=ba'') se cumple que: <ol type = "a"> <li> ''a'' conmuta con cualquier potencia natural de ''b'', <math>ab^n = b^n a.</math> <li> ''a'' conmuta con el inverso de ''b''. <li> el inverso de ''a'' conmuta con cualquier potencia entera de ''b''. </ol> <li> Sea <math>G=<a,b : a^2 = b^2 = e, ba = ab></math>. no Probar que G es el grupo de Klein. <li> Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral <math>D_{8}</math>. <li> Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que <math>(ab)^2 = abab.</math> <li> Sea <math>G = \langle a, b | a^m = e, b^n=e \rangle.</math> Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando <math>m,n >1.</math> </ol> == Producto de Grupos == Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea <math>G = H \times K</math> el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada, <center><math>(x,y) \cdot (z,w) = (x * z, y \# w),</math></center> {{PropRht|Grupo Producto|Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.}} ''Demostración: '' Tenemos que {{Eqn|<math> \begin{array}{rcl} (x,y)\cdot((z,w)\cdot (u,v)) & = & (x,y) \cdot (z * u, w \# v) = (x * z * u, y \# w *\# v) \\ ((x,y)\cdot(z,w)) \cdot (u,v) & = & (x*z, y* w) \cdot (u, v) = (x * z * u, y \# w \# v). \end{array}</math>}} Lo que prueba la asociatividad. Sean e_H y e_K los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (e_H, e_K). Entonces, <math> e \cdot (x,y) = (e_H * x, e_K \# y) = (x,y).</math> De forma similar se prueba que <math>(x,y) \cdot e = (x,y).</math> Por lo que e es neutro respecto a la operación. Finalmente, <math>(x,y) \cdot (x^{-1}, y^{-1}) = (x * x^{-1}, y \# y^{-1}) = (e_H, e_K). .</math> Análogamente, <math>(x^{-1}, y^{-1}) \cdot (x,y) = e.</math> ----------------------------------------------- {{DefRht|Producto de Grupos| Llamamos '''producto''' de los grupos H y K al grupo <math>G=H \times K</math> provisto de la operación por coordenadas.}} Cuando la notación es aditiva, podemos llamar ''suma'' al producto. {{Ejmpl|El grupo aditivo <math> \R^2 </math>}} Consideremos al grupo aditivo de los Reales. <math>\R^2</math> es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo. <math>\R^2</math> es un grupo abeliano con operación <center><math>(x,y) + (z,w) = (x+z, y+w).</math></center> (Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.) En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por <i>G²</i>. Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo <i>n</i> veces, denotamos al producto resultante por <i>Gⁿ</i>; sus elementos son n--uplas de elementos de <i>G</i>. --------------------------------------------------------- ==== Ejercicios ==== <ol> <li> Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K. <li> Construir la tabla de <i>C_2,a x C_2,b</i>. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein. <li> Sean C_3,a y C_4,b grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C_3,a x C_4.b es cíclico con generador (a,b). <li> Sean C_4,a y C_2,b grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C_4,a x C_2,b no es cíclico. <li> Construir las tablas de <math> C_{8,a}, \quad C_{4,a} \times C_{2,b}\quad \text{ y }\quad C_{2,a} \times C_{2,b} \times C_{2,c}</math> </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que <math>a^n=e.</math> <li> En un grupo G, para elementos g y x definir <math>x^g := g x g^{-1}.</math> (Conjugado de ''x'' por ''g''). Probar que se cumplen las siguientes relaciones. <ol type ="a"> <li> x^g y ^g = (xy)^g. <li>(x^g)^-1 = (x^-1)^g. <li> (x^g)ⁿ = (xⁿ)^g. </ol> <li> Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico <b>S₃</b>. Ver la definición en el capítulo [[../Estructuras|Las Estructuras]]. <li> (Grupos de Transformaciones) Sea <i>X</i> un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de <i>X</i> es un grupo <i>G</i> tal que sus elementos son elementos del grupo <math>S_{X}</math> (Funciones biyectivas de ''X" en si mismo). <ol type="a"> <li>Sea <i>x</i> en <i>X</i> y sea <math>G_x</math> el conjunto formado por todas las transformaciones <i>f</i> de <i>G</i> que fijan el punto <i>x</i>, es decir que <i>f(x) = x.</i> Probar que <math>G_x</math> es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen. <li> Dado un subconjunto <math>Y</math> de <i>X</i>, el conjunto <math>G_Y</math> denota a las biyecciones de <i>G</i> que dejan fijo globalmente a <i>Y</i>, Es decir, <math>G_Y := \{ f \in G : f(Y) = Y\} .</math> Probar que <math>G_Y</math> es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje <i>X</i>, deja al eje <i>Y</i> fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de <i>X</i> puntualmente, o sea punto a punto. </ol> <li> Sea <math>G = \Z_{15}^*</math> (el grupo multiplicativo de los invertibles en <math>\Z_{15}</math>). Probar que <math>G \cong C_2 \times C_4.</math> Concluir que <math>\Z_{15}^*</math> no es un grupo cíclico. <li> Considerar el grupo <math>G = C_2 \times C_2 \times C_2.</math> Probar que el orden de <i>G</i> es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en <i>G</i>. Concluir de lo anterior que <i>G</i> no puede ser cíclico. <li> Sea <i>G = <nowiki><a></nowiki></i> un grupo cíclico de orden impar. Probar que <i>a</i> aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo. <li> Probar que el grupo multiplicativo <math><\Q^*, \cdot></math> no es cíclico. <li> Sea <math>\mathbb{T},</math> el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que <math>\mathbb{T}</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces <i>n</i>--ésimas de la unidad.) <li> Sea <math>G = <a,b| a^n=e, ba = e >.</math> Probar que G es finito y cíclico. <li> ¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos? <li> Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que <ol type="i"> <li> <math>\det(AB) = \det(A)\det(B),</math> <li> <math>\det(I_n)=1\quad ,</math> donde (<math>I_n</math> es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y <li>una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero. </ol> <ol type="a"> <li> Las matrices diagonales con la suma de matrices. <li> Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices. <li> Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o <math>-1,</math> con la multiplicación'on. <li> Las matrices triangulares superiores con la suma. <li> Las matrices triangulares superiores con la multiplicación. <li> Las matrices con determinante positivo con la multiplicación. <li> Las matrices cuyo determinante es 1 o <math>-1</math> con la multiplicación. </ol> <li> Sea <math>G=GL_2(\R)</math> el grupo de las matrices invertibles. Sea <math>G^+</math> el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que <math>G^+</math> es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones.. <li> Sea ''G'' un grupo y ''H'' un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo. <li> Sea <math>H</math> el conjunto formado por todos los números reales excepto <math>-1.</math> Definir * en <math>S</math> por <math>a * b = a + b + ab.</math> <ol type = "a"> <li> Probar que <math><S, *></math> es un grupo. . <li> Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation <math>2 * x * 5 = 3</math> en <math>S.</math> </ol> <li> Sea <math>G</math> un grupo finito. Probar que cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito. <br> (Considerar <math>e, a, a ^ ,\dots , a^n</math> donde <math>n=|G|</math>), <li> Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir <math>a * b = |a|b</math> <ol type = "a"> <li> Muestre que * es asociativa. <li> Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha <li> ¿Es <math>T</math> un grupo? </ol> <li> Sea <math>G</math> tal que para todo <math>a</math> se cumple que <math>a^2=e.</math> Probar que <math>G</math> es abeliano. (Sugerencia: considerar <math>(ab)^2=e.</math> ) <li> Probar que si, en un grupo< se cumple que <math>(ab)^2 = a^2b^2</math> entonces, <math>ba=ab.</math> <li> Sea <math>G</math> un grupo y suponga que <math>ab=e,</math> Pruebe que también <math>ba=e.</math> <li> Sea <math>G = \{a,b: a^4 = b^2 = e,\quad b ab^{-1} = a^3 \}..</math> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type="a"> <li> <math>ba = a^3b.</math> <li> Todos los elementos de <math>G</math> son de la forma <math>a^{i}b^j,</math> <math>0 \le i \le 3</math> y <math>j=0,1.</math> Concluir que el orden de <math>G</math> es 8. <li> El orden <math>a^kb</math> es 2, para cualquier valor de <math>k.</math> <li> Determinar todos los subgrupos de <math>G.</math> Indicar cuántos de ellos son cíclicos. </ol> <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden par. Probar que si un elemento <math>a</math> de <math>G</math> aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces. <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2s</math> con <math>s</math> impar. Probar que <math>G</math> tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2. </ol> == Comentarios == La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría. <i>Resolución de ecuaciones</i>. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois <ref>Louis Evariste Galois (1811-1832)</ref>, asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente. <i>Aritmética modular</i>. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos. <i>Geometría</i> Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, <i>Erlargen Programm</i>, 1872. <i>Otras fuentes</i>. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales). <!-- Ver por ejemplo, [[http://www.fisicafundamental.net/simetrias/grupos.html|Grupos]].--> Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones. <ul> <li> [[w:Grupo (matemática)|Grupos (matemática)]] <li> [[w:Teoría de Grupos|Teoría de Grupos]] <li> [[w:Teoría geométrica de grupos|Teoría geométrica de grupos]] <!-- == Referencias == --> == Notas == <!-- abc --> <!-- 06-04- 2015 --> [[Categoría:Libros]] [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] <!---[[Categoría: Grupo (matemáticas)]] --> 3jdkku6tb24hbfmjlht315fqlvam634 423187 423186 2025-07-08T23:11:07Z Rehernan 55364 423187 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitas/Álgebra Abstracta |actual=Grupos |anterior=Estructurerias |siguiente=Homomorfismos }} </noinclude> == Introducción == Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación. Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema. En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores. [[Archivo:AL Grupo.svg|centrado|400px]] == Definiciones y Ejemplos == {{DefRht|Grupo| Un '''Grupo''' es una estructura algebraica <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> tal que: ::(i) '''G''' es un conjunto, ::(ii) '''*''' es una operación asociativa en G; ::(iii) '''e''' es un elemento neutro para la operación *; ::(iv) <math> x \mapsto x' </math> es una función de <math>G</math> en <math>G</math> que asigna a cada elemento <math>x</math> un elemento <math> x'</math> que es un inverso de <math> x</math> respecto a la operación. }} Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros <ref>Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.</ref> de la estructura, podemos hablar del grupo ''<G,*>'' o del grupo ''G'' con la operación * o, simplemente del grupo ''G''. '''Nomenclatura.''' <ul> <li> Decimos que un grupo es '''abeliano'''<ref>En honor a N. H. Abel (1802-1829)</ref> o '''conmutativo''' cuando la operación es conmutativa. <li> Llamamos '''orden''' del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por <math>|G|.</math> <li> Decimos que el grupo G es '''finito''' cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo '''infinito'''. </ul> === Ejemplos de Grupos Numéricos === Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico. <ol> <li> <i>Los Enteros con la Adición.</i><br /> Se trata del grupo <math>\scriptstyle <\Z, +, 0, x \mapsto -x></math> que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante. ---------------------------------------------------------------------------------- Otros ejemplos numéricos posibles son: <li> Los ''grupos aditivos'' de los Racionales, los Reales y los Complejos. <li> Los ''grupos multiplicativos'' de <small><math>\Q^*,\ \R^*,\ \Complex^*</math></small> (Racionales, Reales, Complejos no nulos). <li>El grupo ''aditivo'' de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera. <li> El grupo ''multiplicativo'' de los Enteros módulo ''p'', cuando ''p'' es un entero primo. </ol> :Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos. '''Ejemplos de Grupos no conmutativos'''. <ol> <li> El Grupo Simétrico, <b>S<sub>n</sub ></b>. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto <br /> <i>I_n = {1, 2, ... , n}</i> en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando <i>n >2</i>, el grupo no es conmutativo. <li> (<i>Grupo Lineal de dimensión 2</i>), <math>GL_2(\R)</math>) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles. :Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo [[Álgebra Abstracta/Estructuras|Semigrupos, Monoides y Grupos]]. </ol> <hr> === Ejemplos de Grupos definidos por Tablas === Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña. {{Ejmpl|Ejemplo}} Consideremos el subconjunto <math>U= \{1,-1,i, -i\}</math> de los complejos, donde ''i² = -1''. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto. <center><math> \begin{array}{r|rrrr} \cdot\ & 1 & -1 & i & -i \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i \\ -1& -1& 1 & -i & i \\ i & i & -i & -1& 1 \\ -i & -i & i & 1 & -1 \end{array} </math></center> Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de ''U'' tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en ''U''. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano. Notemos que cada elemento de ''U'' aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman ''cuadrados latinos''. Las tablas anteriores se denominan ''tablas de Cayley'' (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo). {{Ejmpl|Grupos definidos por tablas}} Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo. : <math> (C_{1,a}) \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (C_{2,a}) \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{3,a}) \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \\ \end{array} \qquad </math> : <math> (C_{4,a})_1 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_2 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & a & e \\ c & c & b & e & a \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_3 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & c & e & b \\ b & b & e & c & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> : <math> (\text{Klein})_1 \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_2 \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que <math> e \,</math> es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso. *En <math> (C_{4,a})_3 </math> tenemos que <math> e^{-1}=e,\ a^{-1} = c,\ b^{-1} = b \text{ y } c^{-1}=a. </math> *En el grupo de '''Klein''' <ref>Felix Klein (1802)</ref> tenemos que cada elemento es su propio inverso. Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos. El grupo ''U'', visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación <math>x*x = e</math> tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que ''U'' y <math>C_{4,a}</math> son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos <math>C_{4,a}</math> y de Klein son diferentes grupos. <!-- --> <div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" >''Moraleja'': lo importante no es como se denotan o que son los elementos del conjunto del grupo, sino las propiedades de las operaciones del mismo.</div> El grupo <b>C_2,a</b> es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar <math>e,</math> y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar <math>a.</math> La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con <math>a*a.</math> Hay solamente dos posibilidades <math> a*a=e \text{ o } a*a = a.</math> Observemos que si <math>a*a=a,</math> multiplicando por el inverso de ''a'' en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego, <math> a*a = e,</math> lo que nos dice que <math> a^{-1} = a. </math> <hr> == Propiedades Básicas == En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega. === Propiedades del Neutro === * ''El neutro es único''. :<small> Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.</small> Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto ''E'', ssi, para todo ''a'' en ''E'' se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento ''e'' cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro. *''Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e''. :<small>Sea a' un inverso de a. Entonces, :<math> a*x=a \implies a'*(a * x) = a'*a \implies (a'*a)*x =a'*a \implies e*x = e \implies x = e.</math><br /> :Análogamente para el otro caso.</small> *(Corolario). ''Si x * x = x entonces x = e''. :Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro. === Propiedades de los Inversos === *''Cada elemento tiene un único inverso''. :Suponer que y, y' son inversos de x Entonces, <center><math> y = y * e = y * (x * y') = (y * x) * y' = e * y' = y'.</math></center> Como hay un único inverso, podemos hablar de '''el''' inverso de x, al que denotaremos usualmente por <math> x^{-1}.</math> Por definición, un elemento ''y'' es un inverso de ''x'', ssi, ''x * y = e'' y ''y * x = e''. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que ''y'' es el inverso de ''x''. *''Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a^-1.'' :''a * x = e ==> a^-1*(a * x) = a^-1* e ==> (a^-1 * a)* x = a^-1 ==> x = a^-1''. :Análogamente el otro caso. :Luego, para mostrar que ''b'' es un inverso de ''a'', basta con verificar que ''a * b = e'' (o que ''b*a = e''). *''El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a^-1)^-1=a.'' :<small>Como ''a * a^-1 = e'', el resultado sigue de lo dicho arriba.</small> *''El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)^-1 = b^-1*a^-1.'' ::''(a*b) * (b^-1*a^-1)=a*(b*b^-1)*a^-1 = a*a^-1 = e'', se tiene el resultado. === Propiedades Cancelativas === '''Proposición 1. (Leyes de Cancelación)''' ''Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:'' :(a) (Cancelación por la izquierda) ''a*b = a*c ==> b = c''. :(b) (Cancelación por la derecha) ''b*a = c * a ==> b = c.'' ''Demostración:'' Basta en (a) premultiplicar por a^-1 o en (b) posmultiplicar por a^-1. === Ecuaciones en un grupo === <b> Proposición 2.</b> <i>Sea <math>G</math> un grupo. Para todo a, b en G se cumple que <ol type = "a"> <li> La ecuación ''a * x = b'' tiene solución única (''x = a^-1*b''). <li> La ecuación ''x * a = b'' tiene solución única (''x = b * a^-1'').'' </ol></i> <ul> ''Demostración:'' <math> a*x = b \implies a^{-1}*(a *x) = a^{-1}*b \implies x = a^{-1}*b.</math> :Análogamente el otro caso. {{QED}} </ul> <hr> <div style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1.5ex;"> <center> '''Convenio'''. </center> Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por "<math>\mathbf \cdot</math>" o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos. </div> === Propiedades Heredadas === Sea <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el ''semigrupo subyacente'' del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente. Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas. <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo. <li> Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de ''x'', ssi, <i>x'* x = e</i> (resp. <i> x * x'= e</i>). <li> Resolver la ecuación <math> x*a*b*x*c = x*b*a </math> en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad? <li> Sea ''G'' un grupo y ''Z(G)'' el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. {{Eqn|<math> Z(G) := \{ x \in G| \text{para todo } g \in G, xg = gx \}.</math>}} Probar que ''Z(G)'' es una parte cerrada de ''G'' que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos. <li> Sea ''G'' un grupo y <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> elementos del grupo. Probar que: {{Eqn|<math>(a_1*a_2* \dots * a_n)^{-1} = a_n^{-1} * \cdots * a_2^{-1} * a_1^{-1}</math>}} <li> Sea ''G'' un grupo y ''a'' un elemento de ''G''. Sea <math>L_a</math> (resp. <math>R_a</math>) la función de ''G'' en si mismo tal que <math>L_a(g) = a*g </math> (resp. <math>R_a(g) =ga</math>). Probar que <math>L_a</math> (multiplicación por la izquierda de ''a'') y <math>R_a</math> (multiplicación por la derecha de ''a'') son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de <math>L_a</math> (resp. de <math>R_a</math>)?. <li> Sea S un semigrupo donde las funciones <math>L_a</math> y <math>R_a</math> definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que <math>S</math> es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.) <li> Sea <math><S,*></math> un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que: <ol type="i"> <li> hay un elemento <math>e_L</math> tal que para todo <math>a</math> en <math>S'</math> se cumple que <math>e_L*a = a,</math> y <li> para cada <math>'A</math> de <math>S</math> hay un <math>a'</math> tal que <math>a' a = e_L.</math> </ol> Probar que <math><S.*></math> es un grupo. (Sug. Probar primero que <math>a * a' =e_L,</math> evaluando adecuadamente <math>a * a' * a * a'</math>) <li> Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento). <li> Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de ''a'' es una parte cerrada de G respecto a la operación. </ol><hr> == Potencias en un Grupo == Sea ''G'' un grupo con neutro ''e''. Sea ''a'' un elemento de ''G''. Para todo número natural ''n'', la enésima potencia de ''a'' es, intuitivamente, el producto de ''a'' consigo mismo ''n'' veces. Formalmente, se define la potencia ''n''--ésima recursivamente por: {{Caja|<math> a^0 := e, \quad a^{n+1} := a ^n *a. </math> }} Notemos que <math>\scriptstyle a^1 = a^{0+1} = a^0*a = e* a = a, \quad a^2 = a^{1+1} = a^1*a = a*a,\quad a^3= a^{2 + 1}=a^2*a = (a*a) * a ,</math> etc. {{PropRht|Propiedades de Potencias|Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).}} <ol type = "a"> <li> <math> a^{m+n}=a^m * a^n.</math> <li> <math> a^{mn} = (a^m)^n.</math> <li> si <math>a*b = b*a</math> entonces <math>(a*b)^n = a^n b^n.</math> </ol> :''Demostración de (a):'' (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera :(n=0) <math>a^{m+0} = a^m = a^m * e = a^m*a^0. </math> :Supongamos el resultado válido cuando <math>n=k, k \ge 0.</math> Entonces, :<center><math>a^{m+(k+1)}= a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = a^m*a^k = a^m *a^{k+1}</math></center> :El resto se prueba de manera semejante. <hr> Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que <center><math> \text{ d. } \quad a^{-n} := (a^{-1})^n.</math></center> Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que <center><math> (a^{m})^n =((a^{-1})^{-m}) ^n = (a^{-1})^{-mn} =a^{mn}</math></center> ==== Notación aditiva ==== Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo ''n'' veces, es un '''múltiplo''' del elemento. <center><math> ma = a + a+ \cdots + a \quad \text{(n veces)}. .</math></center> Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son: ::(a) <math> (m+n)a = ma + na .</math> ::(b) <math> (mn)a = m(na).</math> ::(c) si <math> a+b = b+a</math> entonces <math>m(a+b) = ma + mb.</math> ::(d) <math> (-n)(a) = n(-a).</math> === Orden de un Elemento === El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo [[../Estructuras|Estructuras]]. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo <math>n</math> tal que <math>a^n=e.</math> Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea <math>a</math> un elemento de un monoide con neutro <math>e,</math> la definición de potencia con exponente natural <math>n</math> hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión <math>(a^n),</math> <math>n</math> en <math>\N.</math> <center><math> e=a^0,\ a,\ a^2,\ \dots \ a^n,\ \dots.</math></center> Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de <math>a</math> es infinito y escribimos <math>o(a) = +\infty.</math> Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que <math>a^s = a^r</math> con <math>s > r.</math> ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término <math>r</math>--ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con <math>r=2, s=7,</math> se tiene la sucesión <center><math> e, a, a^2, a^3 ,a^4, a^5, a^6, a^2, a^3, a^4, a^5 , a^6 , a^2 , \dots </math></center> Por ejemplo, en <math>\Z_{10},</math> con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos <math>x</math> en lugar de <math>[x]</math>). <center><math> 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 , \dots</math></center> Recordemos que <math>\Z_{10}</math> con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que <math>a^s= a^r,</math> <math>s>r</math>? Si <math>a^s = a^r,</math> multiplicando por el inverso de <math>a^r,</math> se tiene que <math>a^s(a^r)^{1} = e,</math> o sea que <math>a^{s-r}= e.</math> Es decir, que tenemos un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que <math>a</math> tiene orden finito. <b>Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo <math>G</math>) </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo con neutro <math>e.</math> Entonces, para todo <math>a</math> en <math>G</math> se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes: <ol type="a"> <li>hay un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> Entonces, decimos que <math>a</math> tiene orden finito que es igual al menor entero positivo con esa propiedad. <li> para todo par de enteros positivos o cero, <math>r,</math> <math>s,</math> <math>r\ne s</math> implica que <math>a^r \neq a^s.</math> Decimos que <math>a</math> tiene orden infinito. </ol></i> Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito. <b>Corolario 3.1. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito con orden <math>|G| =n.</math> Cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito y <math>o(a) \le |G|.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Consideremos la sucesión finita <math>e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}, a^n </math> que tiene <math>n+1</math> términos. Como solamente hay <math>n</math> elementos en <math>G,</math> dos de esos términos deben coincidir. De donde sigue la finitud del orden de <math>a</math> y la relación indicada. </i> {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplos}}<ol> <li> En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos) <math>o(0) = 1, \quad o(1)=6, \quad, o(2)=3, \quad, o(3)=2,\quad o(4) =3, \quad o(5)= 6</math> <li> En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito. <li> En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario <math>i</math> tiene orden 4. </ol> Notemos que cuando <math>o(a)=n,</math> entonces para cualquier múltiplo de <math>n,</math> digamos <math>kn</math> se cumple que <math>a^{kn} = (a^n)^k = e^k = e.</math> La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado. <b>Proposición 4. </b> <i> Sea <math>a</math> un elemento de un grupo <math>G.</math> Sea <math>m</math> un entero positivo tal que <math>a^m=e.</math> Entonces el orden de <math>a</math> es un divisor de <math>m.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <math>n=o(a).</math> Por definición, <math>n</math> es el menor entero positivo con esa propiedad. Dividiendo <math>m</math> por <math>n</math>, obtenemos un cociente <math>q</math> y un residuo <math>r</math> tales que {{Eqn|<center><math>m = qn + r, \quad 0 \le r <n.</math> |*}} Entonces, <math>a^r = a^{m -qn} = a^m (a^{n})^{-q} = e.</math> Como <math>r < n,</math>, concluimos que <math>r=0</math>. Es decir, por (*), que <math>m</math> es un múltiplo de <math>n.</math> {{QED}} </ul> <hr> === Grupos Cíclicos === {{DefRht|Grupo Cíclico| Llamamos <b>grupo cíclico</b> a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un '''generador''' del grupo.}} Escribiremos <math>G = \langle a \rangle</math>, cuando ''G'' sea un grupo cíclico con generador ''a''. Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que <center><math>a^{r} a^{s} = a^{r+s}, \quad a^0=e, </math></center> * <em>Los grupos cíclicos son grupos abelianos. </em>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^s = a^r+s = a^s+r = a^sa^r.) * <em>El inverso de a^r es a^-r.</em> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^-r = a^r+(-r) = a⁰ =e.) Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos. '''Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.)''' Como para todo número entero m se cumple que <math> m = 1\cdot m,</math> vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de <math>\Z,</math> por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador. {{Ejmpl|Ejemplo (Los Números Pares con la Suma)}} Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por <math>2\Z.</math> Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2, <math>\scriptstyle 2\Z = \langle 2 \rangle.</math> {{Ejmpl|Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo)}} Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto <math>m\Z</math> formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo <i>m</i>. <center><math> m\Z = \{0, \pm m, \pm 2m, \ldots \}</math></center>. La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de ''m''. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de ''m''. El opuesto aditivo de ''mx'' es ''m(-x)''. Luego, <math> < m\Z,+> </math> es un grupo cíclico con generador <i>m</i>. Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo <math> \Z,+,0, x \mapsto -x></math> se dice que es un ''subgrupo'' de los Enteros con la suma. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad)}} Llamamos <b>raíz n-ésima de la unidad</b> a cualquier número complejo <math>z</math> tal que <math> z^n=1.</math> Consideremos el caso <math> n=12</math> y sea <center><math>\zeta = e^{(2\pi/12)} = \cos (\pi/6) + i \sen(\pi/6).</math></center> <ul> <li> Recordando la relación de Moivre que establece que <math> (\cos(\theta) + i\sen(\theta))^r = \cos(r\theta) + i \sen(r\theta ),</math> tenemos que <center><math> \zeta^{12} = \cos(12\pi/6) + i\sen(12\pi/6) = 1.</math></center> Es decir que <math>\zeta</math> es una 12--ésima raíz de la unidad. <li> Usando Moivre, tenemos que <math> \zeta^k = \cos(k\pi/6) + i\sen(k\pi/6).</math> <li> Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima <center><math> (\zeta^k)^{12} = \zeta^{12k} = (\zeta^{12})^k = 1^k =1.</math></center> <li> <em>Hay solamente <math>\scriptstyle n</math> raíces diferentes de la unidad: <math> 1, \theta, \theta^2, \dots, \theta^{n-1}.</math></center> </em> </ul> Sea <math>m</math> un entero cualquiera, la división por <math>n</math>, nos produce <math>q</math> y <math>r</math> tales que <math>m=qn + r</math>, con <math>0 \le r < n.</math> Luego <math>\theta^m = \theta^{qn+r} = \theta^{qn} \theta^r = \theta^r.</math> Lo que prueba que hay <math>n</math> raíces de la unidad: <math>\theta^r, r = 0, 1, 2, \dots, n-1.</math> Simbolizaremos por <math> U_n(\Complex)</math> al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad. <math> U_n(C)</math> es un grupo cíclico con <math>n</math> elementos. Observemos que <math> U_4(\Complex)</math> es nuestro viejo conocido <math> \langle i \rangle = \{1,-1, i, -i \}.</math> <hr> {{Caja|(Existencia de Grupos Cíclicos). El ejemplo de las raíces de la unidad muestra que para todo número entero positivo <math>n</math>, hay un grupo cíclico con exactamente <math>n</math> elementos, <math> U_n(\Complex).</math>}} === Ejercicios === <ol> <li> Sean <math>\alpha = e^{i(\pi/6)} = \cos(\pi/6) + i \rm{sen}(\pi/6)</math> una raíz sexta de la unidad. Sean <math>\beta = \alpha^2</math> y <math>\gamma= \alpha^3.</math> Hallar los ordenes de <math> \alpha,\quad \beta,\quad \gamma, \quad \beta\gamma</math> . <li> (Orden de un producto) Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un grupo abeliano <G>. Si <math>o(a)=3</math> y <math>o(b)=5,</math> probar que <math>o(ab)=15.</math> ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa? <li> En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de <math>\Z_3.</math> Hallar el orden de cada una en el grupo lineal <math>GL_2(\Z_3)</math> {{Eqn|<math>\text{a. } \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \quad \quad \text{ b. } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. </math >}} </ol> == Grupos definidos por Generadores == <noinclude> Página creada y preparada por Rehernan</noinclude> Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como <center><math> G = \langle a,b, ... | r_1(a,b,...), r_2(a,b,.. ), ... \rangle </math></center> que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i> Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores. {{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{ tales que } 0 \le i,j,k, ...</math>}} Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina <i>cadenas</i> a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto). <!-- Mayores detalles en el apéndice XXX. --> {{Ejmpl| Ejemplo (Grupo Cíclico Finito)}} Sea <math>\textsf{C}_{n,a} := \langle a | a^n =e \rangle.</math> donde <i>n</i> es un natural positivo. Los elementos de C_n,a son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de <i>a</i>. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya <i>n</i> de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay <i>n</i> letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número <i>n</i> es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que {{Eqn|<math> C_{n,a} = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}} Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden <i>n</i>; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos <math> C_{n}</math> para el grupo cíclico de orden <math>n</math>. Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo <ref> [[../Grupos Cíclicos| Los grupos cíclicos]]</ref>. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupos Diedrales)}} Llamamos '''grupo diedral''' de orden 2n, <math>n \ge 3</math> al grupo denotado por <math>D_{2n}</math> y definido como {{Eqn|<math>\textsf{D}_{2n} := \langle a,b : a^n = e, b^2 = e, bab = a^{n-1}\rangle.</math>}} Notemos que los elementos de <math>D_{2n}</math> son productos de expresiones de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i,j.</math> La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes. Supongamos, para concretizar, que <i>n = 3</i>. Entonces. <math>bab=a^2</math> implica que <i>ba = a²b</i>. Por lo que <ul> <li> <i>aba = a a²b = b.</i> <li> <i>aababaab = aa(ba)baab = aaa²bbaab =a⁴b²aab =aaab = b</i>. </ul> Lueego, los elementos de <math>D_{2n}</math> son los productos de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i<n,\quad j=0,1.</math> Es decir que {{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.,</math>}} o sea que tiene 2n elementos. Además, como {{Eqn|<math> a^i b^j b^{2-j} a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = a^ia^{n-1} = e</math>}} Cada elementos es invertible. Es decir que <math>D_{2n}</math> es un grupo. Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de <math>n</math> lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre [[../Grupos Generados|Grupos Generados]]. <hr> </ol> === Ejercicios === <ol> <li> Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos <i>a¹=a</i> como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de <i>a⁰</i>), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo. <li> Construir las tablas de <math>C_{n,a}</math> para ''n = 2, 3, 4, 5.'' En cada caso identificar los inversos de los elementos. <li> Sea G = C_12,a = <a | a¹²=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5. <li> Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos. <li> Probar que cuando ''a'' conmuta (o permuta) con ''b'' (''ab=ba'') se cumple que: <ol type = "a"> <li> ''a'' conmuta con cualquier potencia natural de ''b'', <math>ab^n = b^n a.</math> <li> ''a'' conmuta con el inverso de ''b''. <li> el inverso de ''a'' conmuta con cualquier potencia entera de ''b''. </ol> <li> Sea <math>G=<a,b : a^2 = b^2 = e, ba = ab></math>. no Probar que G es el grupo de Klein. <li> Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral <math>D_{8}</math>. <li> Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que <math>(ab)^2 = abab.</math> <li> Sea <math>G = \langle a, b | a^m = e, b^n=e \rangle.</math> Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando <math>m,n >1.</math> </ol> == Producto de Grupos == Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea <math>G = H \times K</math> el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada, <center><math>(x,y) \cdot (z,w) = (x * z, y \# w),</math></center> {{PropRht|Grupo Producto|Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.}} ''Demostración: '' Tenemos que {{Eqn|<math> \begin{array}{rcl} (x,y)\cdot((z,w)\cdot (u,v)) & = & (x,y) \cdot (z * u, w \# v) = (x * z * u, y \# w *\# v) \\ ((x,y)\cdot(z,w)) \cdot (u,v) & = & (x*z, y* w) \cdot (u, v) = (x * z * u, y \# w \# v). \end{array}</math>}} Lo que prueba la asociatividad. Sean e_H y e_K los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (e_H, e_K). Entonces, <math> e \cdot (x,y) = (e_H * x, e_K \# y) = (x,y).</math> De forma similar se prueba que <math>(x,y) \cdot e = (x,y).</math> Por lo que e es neutro respecto a la operación. Finalmente, <math>(x,y) \cdot (x^{-1}, y^{-1}) = (x * x^{-1}, y \# y^{-1}) = (e_H, e_K). .</math> Análogamente, <math>(x^{-1}, y^{-1}) \cdot (x,y) = e.</math> ----------------------------------------------- {{DefRht|Producto de Grupos| Llamamos '''producto''' de los grupos H y K al grupo <math>G=H \times K</math> provisto de la operación por coordenadas.}} Cuando la notación es aditiva, podemos llamar ''suma'' al producto. {{Ejmpl|El grupo aditivo <math> \R^2 </math>}} Consideremos al grupo aditivo de los Reales. <math>\R^2</math> es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo. <math>\R^2</math> es un grupo abeliano con operación <center><math>(x,y) + (z,w) = (x+z, y+w).</math></center> (Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.) En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por <i>G²</i>. Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo <i>n</i> veces, denotamos al producto resultante por <i>Gⁿ</i>; sus elementos son n--uplas de elementos de <i>G</i>. --------------------------------------------------------- ==== Ejercicios ==== <ol> <li> Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K. <li> Construir la tabla de <i>C_2,a x C_2,b</i>. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein. <li> Sean C_3,a y C_4,b grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C_3,a x C_4.b es cíclico con generador (a,b). <li> Sean C_4,a y C_2,b grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C_4,a x C_2,b no es cíclico. <li> Construir las tablas de <math> C_{8,a}, \quad C_{4,a} \times C_{2,b}\quad \text{ y }\quad C_{2,a} \times C_{2,b} \times C_{2,c}</math> </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que <math>a^n=e.</math> <li> En un grupo G, para elementos g y x definir <math>x^g := g x g^{-1}.</math> (Conjugado de ''x'' por ''g''). Probar que se cumplen las siguientes relaciones. <ol type ="a"> <li> x^g y ^g = (xy)^g. <li>(x^g)^-1 = (x^-1)^g. <li> (x^g)ⁿ = (xⁿ)^g. </ol> <li> Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico <b>S₃</b>. Ver la definición en el capítulo [[../Estructuras|Las Estructuras]]. <li> (Grupos de Transformaciones) Sea <i>X</i> un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de <i>X</i> es un grupo <i>G</i> tal que sus elementos son elementos del grupo <math>S_{X}</math> (Funciones biyectivas de ''X" en si mismo). <ol type="a"> <li>Sea <i>x</i> en <i>X</i> y sea <math>G_x</math> el conjunto formado por todas las transformaciones <i>f</i> de <i>G</i> que fijan el punto <i>x</i>, es decir que <i>f(x) = x.</i> Probar que <math>G_x</math> es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen. <li> Dado un subconjunto <math>Y</math> de <i>X</i>, el conjunto <math>G_Y</math> denota a las biyecciones de <i>G</i> que dejan fijo globalmente a <i>Y</i>, Es decir, <math>G_Y := \{ f \in G : f(Y) = Y\} .</math> Probar que <math>G_Y</math> es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje <i>X</i>, deja al eje <i>Y</i> fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de <i>X</i> puntualmente, o sea punto a punto. </ol> <li> Sea <math>G = \Z_{15}^*</math> (el grupo multiplicativo de los invertibles en <math>\Z_{15}</math>). Probar que <math>G \cong C_2 \times C_4.</math> Concluir que <math>\Z_{15}^*</math> no es un grupo cíclico. <li> Considerar el grupo <math>G = C_2 \times C_2 \times C_2.</math> Probar que el orden de <i>G</i> es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en <i>G</i>. Concluir de lo anterior que <i>G</i> no puede ser cíclico. <li> Sea <i>G = <nowiki><a></nowiki></i> un grupo cíclico de orden impar. Probar que <i>a</i> aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo. <li> Probar que el grupo multiplicativo <math><\Q^*, \cdot></math> no es cíclico. <li> Sea <math>\mathbb{T},</math> el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que <math>\mathbb{T}</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces <i>n</i>--ésimas de la unidad.) <li> Sea <math>G = <a,b| a^n=e, ba = e >.</math> Probar que G es finito y cíclico. <li> ¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos? <li> Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que <ol type="i"> <li> <math>\det(AB) = \det(A)\det(B),</math> <li> <math>\det(I_n)=1\quad ,</math> donde (<math>I_n</math> es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y <li>una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero. </ol> <ol type="a"> <li> Las matrices diagonales con la suma de matrices. <li> Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices. <li> Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o <math>-1,</math> con la multiplicación'on. <li> Las matrices triangulares superiores con la suma. <li> Las matrices triangulares superiores con la multiplicación. <li> Las matrices con determinante positivo con la multiplicación. <li> Las matrices cuyo determinante es 1 o <math>-1</math> con la multiplicación. </ol> <li> Sea <math>G=GL_2(\R)</math> el grupo de las matrices invertibles. Sea <math>G^+</math> el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que <math>G^+</math> es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones.. <li> Sea ''G'' un grupo y ''H'' un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo. <li> Sea <math>H</math> el conjunto formado por todos los números reales excepto <math>-1.</math> Definir * en <math>S</math> por <math>a * b = a + b + ab.</math> <ol type = "a"> <li> Probar que <math><S, *></math> es un grupo. . <li> Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation <math>2 * x * 5 = 3</math> en <math>S.</math> </ol> <li> Sea <math>G</math> un grupo finito. Probar que cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito. <br> (Considerar <math>e, a, a ^ ,\dots , a^n</math> donde <math>n=|G|</math>), <li> Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir <math>a * b = |a|b</math> <ol type = "a"> <li> Muestre que * es asociativa. <li> Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha <li> ¿Es <math>T</math> un grupo? </ol> <li> Sea <math>G</math> tal que para todo <math>a</math> se cumple que <math>a^2=e.</math> Probar que <math>G</math> es abeliano. (Sugerencia: considerar <math>(ab)^2=e.</math> ) <li> Probar que si, en un grupo< se cumple que <math>(ab)^2 = a^2b^2</math> entonces, <math>ba=ab.</math> <li> Sea <math>G</math> un grupo y suponga que <math>ab=e,</math> Pruebe que también <math>ba=e.</math> <li> Sea <math>G = \{a,b: a^4 = b^2 = e,\quad b ab^{-1} = a^3 \}..</math> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type="a"> <li> <math>ba = a^3b.</math> <li> Todos los elementos de <math>G</math> son de la forma <math>a^{i}b^j,</math> <math>0 \le i \le 3</math> y <math>j=0,1.</math> Concluir que el orden de <math>G</math> es 8. <li> El orden <math>a^kb</math> es 2, para cualquier valor de <math>k.</math> <li> Determinar todos los subgrupos de <math>G.</math> Indicar cuántos de ellos son cíclicos. </ol> <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden par. Probar que si un elemento <math>a</math> de <math>G</math> aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces. <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2s</math> con <math>s</math> impar. Probar que <math>G</math> tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2. </ol> == Comentarios == La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría. <i>Resolución de ecuaciones</i>. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois <ref>Louis Evariste Galois (1811-1832)</ref>, asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente. <i>Aritmética modular</i>. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos. <i>Geometría</i> Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, <i>Erlargen Programm</i>, 1872. <i>Otras fuentes</i>. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales). <!-- Ver por ejemplo, [[http://www.fisicafundamental.net/simetrias/grupos.html|Grupos]].--> Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones. <ul> <li> [[w:Grupo (matemática)|Grupos (matemática)]] <li> [[w:Teoría de Grupos|Teoría de Grupos]] <li> [[w:Teoría geométrica de grupos|Teoría geométrica de grupos]] <!-- == Referencias == --> == Notas == <!-- abc --> <!-- 06-04- 2015 --> [[Categoría:Libros]] [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] <!---[[Categoría: Grupo (matemáticas)]] --> t0e9tuuirglotthuz7zq6wup38l1je5 423188 423187 2025-07-08T23:12:09Z Rehernan 55364 423188 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Grupos |anterior=Estructurerias |siguiente=Homomorfismos }} </noinclude> == Introducción == Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación. Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema. En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores. [[Archivo:AL Grupo.svg|centrado|400px]] == Definiciones y Ejemplos == {{DefRht|Grupo| Un '''Grupo''' es una estructura algebraica <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> tal que: ::(i) '''G''' es un conjunto, ::(ii) '''*''' es una operación asociativa en G; ::(iii) '''e''' es un elemento neutro para la operación *; ::(iv) <math> x \mapsto x' </math> es una función de <math>G</math> en <math>G</math> que asigna a cada elemento <math>x</math> un elemento <math> x'</math> que es un inverso de <math> x</math> respecto a la operación. }} Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros <ref>Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.</ref> de la estructura, podemos hablar del grupo ''<G,*>'' o del grupo ''G'' con la operación * o, simplemente del grupo ''G''. '''Nomenclatura.''' <ul> <li> Decimos que un grupo es '''abeliano'''<ref>En honor a N. H. Abel (1802-1829)</ref> o '''conmutativo''' cuando la operación es conmutativa. <li> Llamamos '''orden''' del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por <math>|G|.</math> <li> Decimos que el grupo G es '''finito''' cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo '''infinito'''. </ul> === Ejemplos de Grupos Numéricos === Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico. <ol> <li> <i>Los Enteros con la Adición.</i><br /> Se trata del grupo <math>\scriptstyle <\Z, +, 0, x \mapsto -x></math> que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante. ---------------------------------------------------------------------------------- Otros ejemplos numéricos posibles son: <li> Los ''grupos aditivos'' de los Racionales, los Reales y los Complejos. <li> Los ''grupos multiplicativos'' de <small><math>\Q^*,\ \R^*,\ \Complex^*</math></small> (Racionales, Reales, Complejos no nulos). <li>El grupo ''aditivo'' de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera. <li> El grupo ''multiplicativo'' de los Enteros módulo ''p'', cuando ''p'' es un entero primo. </ol> :Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos. '''Ejemplos de Grupos no conmutativos'''. <ol> <li> El Grupo Simétrico, <b>S<sub>n</sub ></b>. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto <br /> <i>I_n = {1, 2, ... , n}</i> en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando <i>n >2</i>, el grupo no es conmutativo. <li> (<i>Grupo Lineal de dimensión 2</i>), <math>GL_2(\R)</math>) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles. :Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo [[Álgebra Abstracta/Estructuras|Semigrupos, Monoides y Grupos]]. </ol> <hr> === Ejemplos de Grupos definidos por Tablas === Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña. {{Ejmpl|Ejemplo}} Consideremos el subconjunto <math>U= \{1,-1,i, -i\}</math> de los complejos, donde ''i² = -1''. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto. <center><math> \begin{array}{r|rrrr} \cdot\ & 1 & -1 & i & -i \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i \\ -1& -1& 1 & -i & i \\ i & i & -i & -1& 1 \\ -i & -i & i & 1 & -1 \end{array} </math></center> Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de ''U'' tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en ''U''. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano. Notemos que cada elemento de ''U'' aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman ''cuadrados latinos''. Las tablas anteriores se denominan ''tablas de Cayley'' (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo). {{Ejmpl|Grupos definidos por tablas}} Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo. : <math> (C_{1,a}) \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (C_{2,a}) \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{3,a}) \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \\ \end{array} \qquad </math> : <math> (C_{4,a})_1 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_2 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & a & e \\ c & c & b & e & a \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_3 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \\ \end{array} \qquad (C_{4,a})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & c & e & b \\ b & b & e & c & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> : <math> (\text{Klein})_1 \begin{array}[t]{c|c} & e \\ \hline e & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_2 \begin{array}[t]{c|cc} & e & a \\ \hline e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \qquad (\text{Klein})_4 \begin{array}[t]{c|cccc} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \end{array} </math> Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que <math> e \,</math> es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso. *En <math> (C_{4,a})_3 </math> tenemos que <math> e^{-1}=e,\ a^{-1} = c,\ b^{-1} = b \text{ y } c^{-1}=a. </math> *En el grupo de '''Klein''' <ref>Felix Klein (1802)</ref> tenemos que cada elemento es su propio inverso. Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos. El grupo ''U'', visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación <math>x*x = e</math> tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que ''U'' y <math>C_{4,a}</math> son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos <math>C_{4,a}</math> y de Klein son diferentes grupos. <!-- --> <div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" >''Moraleja'': lo importante no es como se denotan o que son los elementos del conjunto del grupo, sino las propiedades de las operaciones del mismo.</div> El grupo <b>C_2,a</b> es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar <math>e,</math> y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar <math>a.</math> La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con <math>a*a.</math> Hay solamente dos posibilidades <math> a*a=e \text{ o } a*a = a.</math> Observemos que si <math>a*a=a,</math> multiplicando por el inverso de ''a'' en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego, <math> a*a = e,</math> lo que nos dice que <math> a^{-1} = a. </math> <hr> == Propiedades Básicas == En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega. === Propiedades del Neutro === * ''El neutro es único''. :<small> Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.</small> Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto ''E'', ssi, para todo ''a'' en ''E'' se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento ''e'' cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro. *''Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e''. :<small>Sea a' un inverso de a. Entonces, :<math> a*x=a \implies a'*(a * x) = a'*a \implies (a'*a)*x =a'*a \implies e*x = e \implies x = e.</math><br /> :Análogamente para el otro caso.</small> *(Corolario). ''Si x * x = x entonces x = e''. :Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro. === Propiedades de los Inversos === *''Cada elemento tiene un único inverso''. :Suponer que y, y' son inversos de x Entonces, <center><math> y = y * e = y * (x * y') = (y * x) * y' = e * y' = y'.</math></center> Como hay un único inverso, podemos hablar de '''el''' inverso de x, al que denotaremos usualmente por <math> x^{-1}.</math> Por definición, un elemento ''y'' es un inverso de ''x'', ssi, ''x * y = e'' y ''y * x = e''. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que ''y'' es el inverso de ''x''. *''Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a^-1.'' :''a * x = e ==> a^-1*(a * x) = a^-1* e ==> (a^-1 * a)* x = a^-1 ==> x = a^-1''. :Análogamente el otro caso. :Luego, para mostrar que ''b'' es un inverso de ''a'', basta con verificar que ''a * b = e'' (o que ''b*a = e''). *''El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a^-1)^-1=a.'' :<small>Como ''a * a^-1 = e'', el resultado sigue de lo dicho arriba.</small> *''El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)^-1 = b^-1*a^-1.'' ::''(a*b) * (b^-1*a^-1)=a*(b*b^-1)*a^-1 = a*a^-1 = e'', se tiene el resultado. === Propiedades Cancelativas === '''Proposición 1. (Leyes de Cancelación)''' ''Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:'' :(a) (Cancelación por la izquierda) ''a*b = a*c ==> b = c''. :(b) (Cancelación por la derecha) ''b*a = c * a ==> b = c.'' ''Demostración:'' Basta en (a) premultiplicar por a^-1 o en (b) posmultiplicar por a^-1. === Ecuaciones en un grupo === <b> Proposición 2.</b> <i>Sea <math>G</math> un grupo. Para todo a, b en G se cumple que <ol type = "a"> <li> La ecuación ''a * x = b'' tiene solución única (''x = a^-1*b''). <li> La ecuación ''x * a = b'' tiene solución única (''x = b * a^-1'').'' </ol></i> <ul> ''Demostración:'' <math> a*x = b \implies a^{-1}*(a *x) = a^{-1}*b \implies x = a^{-1}*b.</math> :Análogamente el otro caso. {{QED}} </ul> <hr> <div style="background: white; border: 1px solid black; padding: 1.5ex;"> <center> '''Convenio'''. </center> Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por "<math>\mathbf \cdot</math>" o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos. </div> === Propiedades Heredadas === Sea <math><G,*,e,x \mapsto x'></math> un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el ''semigrupo subyacente'' del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente. Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas. <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo. <li> Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de ''x'', ssi, <i>x'* x = e</i> (resp. <i> x * x'= e</i>). <li> Resolver la ecuación <math> x*a*b*x*c = x*b*a </math> en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad? <li> Sea ''G'' un grupo y ''Z(G)'' el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. {{Eqn|<math> Z(G) := \{ x \in G| \text{para todo } g \in G, xg = gx \}.</math>}} Probar que ''Z(G)'' es una parte cerrada de ''G'' que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos. <li> Sea ''G'' un grupo y <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> elementos del grupo. Probar que: {{Eqn|<math>(a_1*a_2* \dots * a_n)^{-1} = a_n^{-1} * \cdots * a_2^{-1} * a_1^{-1}</math>}} <li> Sea ''G'' un grupo y ''a'' un elemento de ''G''. Sea <math>L_a</math> (resp. <math>R_a</math>) la función de ''G'' en si mismo tal que <math>L_a(g) = a*g </math> (resp. <math>R_a(g) =ga</math>). Probar que <math>L_a</math> (multiplicación por la izquierda de ''a'') y <math>R_a</math> (multiplicación por la derecha de ''a'') son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de <math>L_a</math> (resp. de <math>R_a</math>)?. <li> Sea S un semigrupo donde las funciones <math>L_a</math> y <math>R_a</math> definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que <math>S</math> es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.) <li> Sea <math><S,*></math> un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que: <ol type="i"> <li> hay un elemento <math>e_L</math> tal que para todo <math>a</math> en <math>S'</math> se cumple que <math>e_L*a = a,</math> y <li> para cada <math>'A</math> de <math>S</math> hay un <math>a'</math> tal que <math>a' a = e_L.</math> </ol> Probar que <math><S.*></math> es un grupo. (Sug. Probar primero que <math>a * a' =e_L,</math> evaluando adecuadamente <math>a * a' * a * a'</math>) <li> Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento). <li> Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de ''a'' es una parte cerrada de G respecto a la operación. </ol><hr> == Potencias en un Grupo == Sea ''G'' un grupo con neutro ''e''. Sea ''a'' un elemento de ''G''. Para todo número natural ''n'', la enésima potencia de ''a'' es, intuitivamente, el producto de ''a'' consigo mismo ''n'' veces. Formalmente, se define la potencia ''n''--ésima recursivamente por: {{Caja|<math> a^0 := e, \quad a^{n+1} := a ^n *a. </math> }} Notemos que <math>\scriptstyle a^1 = a^{0+1} = a^0*a = e* a = a, \quad a^2 = a^{1+1} = a^1*a = a*a,\quad a^3= a^{2 + 1}=a^2*a = (a*a) * a ,</math> etc. {{PropRht|Propiedades de Potencias|Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).}} <ol type = "a"> <li> <math> a^{m+n}=a^m * a^n.</math> <li> <math> a^{mn} = (a^m)^n.</math> <li> si <math>a*b = b*a</math> entonces <math>(a*b)^n = a^n b^n.</math> </ol> :''Demostración de (a):'' (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera :(n=0) <math>a^{m+0} = a^m = a^m * e = a^m*a^0. </math> :Supongamos el resultado válido cuando <math>n=k, k \ge 0.</math> Entonces, :<center><math>a^{m+(k+1)}= a^{(m+k)+1} = a^{m+k}*a = a^m*a^k = a^m *a^{k+1}</math></center> :El resto se prueba de manera semejante. <hr> Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que <center><math> \text{ d. } \quad a^{-n} := (a^{-1})^n.</math></center> Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que <center><math> (a^{m})^n =((a^{-1})^{-m}) ^n = (a^{-1})^{-mn} =a^{mn}</math></center> ==== Notación aditiva ==== Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo ''n'' veces, es un '''múltiplo''' del elemento. <center><math> ma = a + a+ \cdots + a \quad \text{(n veces)}. .</math></center> Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son: ::(a) <math> (m+n)a = ma + na .</math> ::(b) <math> (mn)a = m(na).</math> ::(c) si <math> a+b = b+a</math> entonces <math>m(a+b) = ma + mb.</math> ::(d) <math> (-n)(a) = n(-a).</math> === Orden de un Elemento === El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo [[../Estructuras|Estructuras]]. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo <math>n</math> tal que <math>a^n=e.</math> Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea <math>a</math> un elemento de un monoide con neutro <math>e,</math> la definición de potencia con exponente natural <math>n</math> hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión <math>(a^n),</math> <math>n</math> en <math>\N.</math> <center><math> e=a^0,\ a,\ a^2,\ \dots \ a^n,\ \dots.</math></center> Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de <math>a</math> es infinito y escribimos <math>o(a) = +\infty.</math> Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que <math>a^s = a^r</math> con <math>s > r.</math> ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término <math>r</math>--ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con <math>r=2, s=7,</math> se tiene la sucesión <center><math> e, a, a^2, a^3 ,a^4, a^5, a^6, a^2, a^3, a^4, a^5 , a^6 , a^2 , \dots </math></center> Por ejemplo, en <math>\Z_{10},</math> con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos <math>x</math> en lugar de <math>[x]</math>). <center><math> 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 , \dots</math></center> Recordemos que <math>\Z_{10}</math> con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que <math>a^s= a^r,</math> <math>s>r</math>? Si <math>a^s = a^r,</math> multiplicando por el inverso de <math>a^r,</math> se tiene que <math>a^s(a^r)^{1} = e,</math> o sea que <math>a^{s-r}= e.</math> Es decir, que tenemos un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que <math>a</math> tiene orden finito. <b>Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo <math>G</math>) </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo con neutro <math>e.</math> Entonces, para todo <math>a</math> en <math>G</math> se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes: <ol type="a"> <li>hay un entero positivo <math>t</math> tal que <math>a^t=e.</math> Entonces, decimos que <math>a</math> tiene orden finito que es igual al menor entero positivo con esa propiedad. <li> para todo par de enteros positivos o cero, <math>r,</math> <math>s,</math> <math>r\ne s</math> implica que <math>a^r \neq a^s.</math> Decimos que <math>a</math> tiene orden infinito. </ol></i> Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito. <b>Corolario 3.1. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito con orden <math>|G| =n.</math> Cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito y <math>o(a) \le |G|.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Consideremos la sucesión finita <math>e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}, a^n </math> que tiene <math>n+1</math> términos. Como solamente hay <math>n</math> elementos en <math>G,</math> dos de esos términos deben coincidir. De donde sigue la finitud del orden de <math>a</math> y la relación indicada. </i> {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplos}}<ol> <li> En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos) <math>o(0) = 1, \quad o(1)=6, \quad, o(2)=3, \quad, o(3)=2,\quad o(4) =3, \quad o(5)= 6</math> <li> En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito. <li> En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario <math>i</math> tiene orden 4. </ol> Notemos que cuando <math>o(a)=n,</math> entonces para cualquier múltiplo de <math>n,</math> digamos <math>kn</math> se cumple que <math>a^{kn} = (a^n)^k = e^k = e.</math> La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado. <b>Proposición 4. </b> <i> Sea <math>a</math> un elemento de un grupo <math>G.</math> Sea <math>m</math> un entero positivo tal que <math>a^m=e.</math> Entonces el orden de <math>a</math> es un divisor de <math>m.</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <math>n=o(a).</math> Por definición, <math>n</math> es el menor entero positivo con esa propiedad. Dividiendo <math>m</math> por <math>n</math>, obtenemos un cociente <math>q</math> y un residuo <math>r</math> tales que {{Eqn|<center><math>m = qn + r, \quad 0 \le r <n.</math> |*}} Entonces, <math>a^r = a^{m -qn} = a^m (a^{n})^{-q} = e.</math> Como <math>r < n,</math>, concluimos que <math>r=0</math>. Es decir, por (*), que <math>m</math> es un múltiplo de <math>n.</math> {{QED}} </ul> <hr> === Grupos Cíclicos === {{DefRht|Grupo Cíclico| Llamamos <b>grupo cíclico</b> a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un '''generador''' del grupo.}} Escribiremos <math>G = \langle a \rangle</math>, cuando ''G'' sea un grupo cíclico con generador ''a''. Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que <center><math>a^{r} a^{s} = a^{r+s}, \quad a^0=e, </math></center> * <em>Los grupos cíclicos son grupos abelianos. </em>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^s = a^r+s = a^s+r = a^sa^r.) * <em>El inverso de a^r es a^-r.</em> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(a^ra^-r = a^r+(-r) = a⁰ =e.) Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos. '''Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.)''' Como para todo número entero m se cumple que <math> m = 1\cdot m,</math> vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de <math>\Z,</math> por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador. {{Ejmpl|Ejemplo (Los Números Pares con la Suma)}} Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por <math>2\Z.</math> Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2, <math>\scriptstyle 2\Z = \langle 2 \rangle.</math> {{Ejmpl|Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo)}} Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto <math>m\Z</math> formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo <i>m</i>. <center><math> m\Z = \{0, \pm m, \pm 2m, \ldots \}</math></center>. La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de ''m''. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de ''m''. El opuesto aditivo de ''mx'' es ''m(-x)''. Luego, <math> < m\Z,+> </math> es un grupo cíclico con generador <i>m</i>. Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo <math> \Z,+,0, x \mapsto -x></math> se dice que es un ''subgrupo'' de los Enteros con la suma. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad)}} Llamamos <b>raíz n-ésima de la unidad</b> a cualquier número complejo <math>z</math> tal que <math> z^n=1.</math> Consideremos el caso <math> n=12</math> y sea <center><math>\zeta = e^{(2\pi/12)} = \cos (\pi/6) + i \sen(\pi/6).</math></center> <ul> <li> Recordando la relación de Moivre que establece que <math> (\cos(\theta) + i\sen(\theta))^r = \cos(r\theta) + i \sen(r\theta ),</math> tenemos que <center><math> \zeta^{12} = \cos(12\pi/6) + i\sen(12\pi/6) = 1.</math></center> Es decir que <math>\zeta</math> es una 12--ésima raíz de la unidad. <li> Usando Moivre, tenemos que <math> \zeta^k = \cos(k\pi/6) + i\sen(k\pi/6).</math> <li> Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima <center><math> (\zeta^k)^{12} = \zeta^{12k} = (\zeta^{12})^k = 1^k =1.</math></center> <li> <em>Hay solamente <math>\scriptstyle n</math> raíces diferentes de la unidad: <math> 1, \theta, \theta^2, \dots, \theta^{n-1}.</math></center> </em> </ul> Sea <math>m</math> un entero cualquiera, la división por <math>n</math>, nos produce <math>q</math> y <math>r</math> tales que <math>m=qn + r</math>, con <math>0 \le r < n.</math> Luego <math>\theta^m = \theta^{qn+r} = \theta^{qn} \theta^r = \theta^r.</math> Lo que prueba que hay <math>n</math> raíces de la unidad: <math>\theta^r, r = 0, 1, 2, \dots, n-1.</math> Simbolizaremos por <math> U_n(\Complex)</math> al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad. <math> U_n(C)</math> es un grupo cíclico con <math>n</math> elementos. Observemos que <math> U_4(\Complex)</math> es nuestro viejo conocido <math> \langle i \rangle = \{1,-1, i, -i \}.</math> <hr> {{Caja|(Existencia de Grupos Cíclicos). El ejemplo de las raíces de la unidad muestra que para todo número entero positivo <math>n</math>, hay un grupo cíclico con exactamente <math>n</math> elementos, <math> U_n(\Complex).</math>}} === Ejercicios === <ol> <li> Sean <math>\alpha = e^{i(\pi/6)} = \cos(\pi/6) + i \rm{sen}(\pi/6)</math> una raíz sexta de la unidad. Sean <math>\beta = \alpha^2</math> y <math>\gamma= \alpha^3.</math> Hallar los ordenes de <math> \alpha,\quad \beta,\quad \gamma, \quad \beta\gamma</math> . <li> (Orden de un producto) Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un grupo abeliano <G>. Si <math>o(a)=3</math> y <math>o(b)=5,</math> probar que <math>o(ab)=15.</math> ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa? <li> En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de <math>\Z_3.</math> Hallar el orden de cada una en el grupo lineal <math>GL_2(\Z_3)</math> {{Eqn|<math>\text{a. } \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \quad \quad \text{ b. } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. </math >}} </ol> == Grupos definidos por Generadores == <noinclude> Página creada y preparada por Rehernan</noinclude> Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como <center><math> G = \langle a,b, ... | r_1(a,b,...), r_2(a,b,.. ), ... \rangle </math></center> que leemos como que "G es el grupo generado por <i>a,b,c, </i> que satisfacen las restricciones <i>r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."</i> Formalmente, lo anterior significa que el conjunto <i>G</i> consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores. {{Eqn|<math>a^ib^jc^k \cdots \quad \text{ tales que } 0 \le i,j,k, ...</math>}} Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina <i>cadenas</i> a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto). <!-- Mayores detalles en el apéndice XXX. --> {{Ejmpl| Ejemplo (Grupo Cíclico Finito)}} Sea <math>\textsf{C}_{n,a} := \langle a | a^n =e \rangle.</math> donde <i>n</i> es un natural positivo. Los elementos de C_n,a son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de <i>a</i>. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya <i>n</i> de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay <i>n</i> letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número <i>n</i> es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que {{Eqn|<math> C_{n,a} = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}.</math>}} Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden <i>n</i>; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos <math> C_{n}</math> para el grupo cíclico de orden <math>n</math>. Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo <ref> [[../Grupos Cíclicos| Los grupos cíclicos]]</ref>. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupos Diedrales)}} Llamamos '''grupo diedral''' de orden 2n, <math>n \ge 3</math> al grupo denotado por <math>D_{2n}</math> y definido como {{Eqn|<math>\textsf{D}_{2n} := \langle a,b : a^n = e, b^2 = e, bab = a^{n-1}\rangle.</math>}} Notemos que los elementos de <math>D_{2n}</math> son productos de expresiones de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i,j.</math> La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes. Supongamos, para concretizar, que <i>n = 3</i>. Entonces. <math>bab=a^2</math> implica que <i>ba = a²b</i>. Por lo que <ul> <li> <i>aba = a a²b = b.</i> <li> <i>aababaab = aa(ba)baab = aaa²bbaab =a⁴b²aab =aaab = b</i>. </ul> Lueego, los elementos de <math>D_{2n}</math> son los productos de la forma <math>a^ib^j</math> con <math>0 \le i<n,\quad j=0,1.</math> Es decir que {{Eqn|<math> D_{2n} = \{e,a, ... , a^{n_1}, b, ab, ..., a^{n-1}\}.,</math>}} o sea que tiene 2n elementos. Además, como {{Eqn|<math> a^i b^j b^{2-j} a^{n-i} = a^i b^2 a^{n-1} = a^ia^{n-1} = e</math>}} Cada elementos es invertible. Es decir que <math>D_{2n}</math> es un grupo. Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de <math>n</math> lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre [[../Grupos Generados|Grupos Generados]]. <hr> </ol> === Ejercicios === <ol> <li> Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos <i>a¹=a</i> como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de <i>a⁰</i>), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo. <li> Construir las tablas de <math>C_{n,a}</math> para ''n = 2, 3, 4, 5.'' En cada caso identificar los inversos de los elementos. <li> Sea G = C_12,a = <a | a¹²=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5. <li> Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos. <li> Probar que cuando ''a'' conmuta (o permuta) con ''b'' (''ab=ba'') se cumple que: <ol type = "a"> <li> ''a'' conmuta con cualquier potencia natural de ''b'', <math>ab^n = b^n a.</math> <li> ''a'' conmuta con el inverso de ''b''. <li> el inverso de ''a'' conmuta con cualquier potencia entera de ''b''. </ol> <li> Sea <math>G=<a,b : a^2 = b^2 = e, ba = ab></math>. no Probar que G es el grupo de Klein. <li> Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral <math>D_{8}</math>. <li> Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que <math>(ab)^2 = abab.</math> <li> Sea <math>G = \langle a, b | a^m = e, b^n=e \rangle.</math> Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando <math>m,n >1.</math> </ol> == Producto de Grupos == Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea <math>G = H \times K</math> el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada, <center><math>(x,y) \cdot (z,w) = (x * z, y \# w),</math></center> {{PropRht|Grupo Producto|Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.}} ''Demostración: '' Tenemos que {{Eqn|<math> \begin{array}{rcl} (x,y)\cdot((z,w)\cdot (u,v)) & = & (x,y) \cdot (z * u, w \# v) = (x * z * u, y \# w *\# v) \\ ((x,y)\cdot(z,w)) \cdot (u,v) & = & (x*z, y* w) \cdot (u, v) = (x * z * u, y \# w \# v). \end{array}</math>}} Lo que prueba la asociatividad. Sean e_H y e_K los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (e_H, e_K). Entonces, <math> e \cdot (x,y) = (e_H * x, e_K \# y) = (x,y).</math> De forma similar se prueba que <math>(x,y) \cdot e = (x,y).</math> Por lo que e es neutro respecto a la operación. Finalmente, <math>(x,y) \cdot (x^{-1}, y^{-1}) = (x * x^{-1}, y \# y^{-1}) = (e_H, e_K). .</math> Análogamente, <math>(x^{-1}, y^{-1}) \cdot (x,y) = e.</math> ----------------------------------------------- {{DefRht|Producto de Grupos| Llamamos '''producto''' de los grupos H y K al grupo <math>G=H \times K</math> provisto de la operación por coordenadas.}} Cuando la notación es aditiva, podemos llamar ''suma'' al producto. {{Ejmpl|El grupo aditivo <math> \R^2 </math>}} Consideremos al grupo aditivo de los Reales. <math>\R^2</math> es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo. <math>\R^2</math> es un grupo abeliano con operación <center><math>(x,y) + (z,w) = (x+z, y+w).</math></center> (Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.) En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por <i>G²</i>. Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo <i>n</i> veces, denotamos al producto resultante por <i>Gⁿ</i>; sus elementos son n--uplas de elementos de <i>G</i>. --------------------------------------------------------- ==== Ejercicios ==== <ol> <li> Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K. <li> Construir la tabla de <i>C_2,a x C_2,b</i>. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein. <li> Sean C_3,a y C_4,b grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C_3,a x C_4.b es cíclico con generador (a,b). <li> Sean C_4,a y C_2,b grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C_4,a x C_2,b no es cíclico. <li> Construir las tablas de <math> C_{8,a}, \quad C_{4,a} \times C_{2,b}\quad \text{ y }\quad C_{2,a} \times C_{2,b} \times C_{2,c}</math> </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que <math>a^n=e.</math> <li> En un grupo G, para elementos g y x definir <math>x^g := g x g^{-1}.</math> (Conjugado de ''x'' por ''g''). Probar que se cumplen las siguientes relaciones. <ol type ="a"> <li> x^g y ^g = (xy)^g. <li>(x^g)^-1 = (x^-1)^g. <li> (x^g)ⁿ = (xⁿ)^g. </ol> <li> Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico <b>S₃</b>. Ver la definición en el capítulo [[../Estructuras|Las Estructuras]]. <li> (Grupos de Transformaciones) Sea <i>X</i> un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de <i>X</i> es un grupo <i>G</i> tal que sus elementos son elementos del grupo <math>S_{X}</math> (Funciones biyectivas de ''X" en si mismo). <ol type="a"> <li>Sea <i>x</i> en <i>X</i> y sea <math>G_x</math> el conjunto formado por todas las transformaciones <i>f</i> de <i>G</i> que fijan el punto <i>x</i>, es decir que <i>f(x) = x.</i> Probar que <math>G_x</math> es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen. <li> Dado un subconjunto <math>Y</math> de <i>X</i>, el conjunto <math>G_Y</math> denota a las biyecciones de <i>G</i> que dejan fijo globalmente a <i>Y</i>, Es decir, <math>G_Y := \{ f \in G : f(Y) = Y\} .</math> Probar que <math>G_Y</math> es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje <i>X</i>, deja al eje <i>Y</i> fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de <i>X</i> puntualmente, o sea punto a punto. </ol> <li> Sea <math>G = \Z_{15}^*</math> (el grupo multiplicativo de los invertibles en <math>\Z_{15}</math>). Probar que <math>G \cong C_2 \times C_4.</math> Concluir que <math>\Z_{15}^*</math> no es un grupo cíclico. <li> Considerar el grupo <math>G = C_2 \times C_2 \times C_2.</math> Probar que el orden de <i>G</i> es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en <i>G</i>. Concluir de lo anterior que <i>G</i> no puede ser cíclico. <li> Sea <i>G = <nowiki><a></nowiki></i> un grupo cíclico de orden impar. Probar que <i>a</i> aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo. <li> Probar que el grupo multiplicativo <math><\Q^*, \cdot></math> no es cíclico. <li> Sea <math>\mathbb{T},</math> el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que <math>\mathbb{T}</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces <i>n</i>--ésimas de la unidad.) <li> Sea <math>G = <a,b| a^n=e, ba = e >.</math> Probar que G es finito y cíclico. <li> ¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos? <li> Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que <ol type="i"> <li> <math>\det(AB) = \det(A)\det(B),</math> <li> <math>\det(I_n)=1\quad ,</math> donde (<math>I_n</math> es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y <li>una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero. </ol> <ol type="a"> <li> Las matrices diagonales con la suma de matrices. <li> Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices. <li> Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o <math>-1,</math> con la multiplicación'on. <li> Las matrices triangulares superiores con la suma. <li> Las matrices triangulares superiores con la multiplicación. <li> Las matrices con determinante positivo con la multiplicación. <li> Las matrices cuyo determinante es 1 o <math>-1</math> con la multiplicación. </ol> <li> Sea <math>G=GL_2(\R)</math> el grupo de las matrices invertibles. Sea <math>G^+</math> el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que <math>G^+</math> es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones.. <li> Sea ''G'' un grupo y ''H'' un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo. <li> Sea <math>H</math> el conjunto formado por todos los números reales excepto <math>-1.</math> Definir * en <math>S</math> por <math>a * b = a + b + ab.</math> <ol type = "a"> <li> Probar que <math><S, *></math> es un grupo. . <li> Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation <math>2 * x * 5 = 3</math> en <math>S.</math> </ol> <li> Sea <math>G</math> un grupo finito. Probar que cada elemento <math>a</math> de <math>G</math> tiene orden finito. <br> (Considerar <math>e, a, a ^ ,\dots , a^n</math> donde <math>n=|G|</math>), <li> Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir <math>a * b = |a|b</math> <ol type = "a"> <li> Muestre que * es asociativa. <li> Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha <li> ¿Es <math>T</math> un grupo? </ol> <li> Sea <math>G</math> tal que para todo <math>a</math> se cumple que <math>a^2=e.</math> Probar que <math>G</math> es abeliano. (Sugerencia: considerar <math>(ab)^2=e.</math> ) <li> Probar que si, en un grupo< se cumple que <math>(ab)^2 = a^2b^2</math> entonces, <math>ba=ab.</math> <li> Sea <math>G</math> un grupo y suponga que <math>ab=e,</math> Pruebe que también <math>ba=e.</math> <li> Sea <math>G = \{a,b: a^4 = b^2 = e,\quad b ab^{-1} = a^3 \}..</math> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type="a"> <li> <math>ba = a^3b.</math> <li> Todos los elementos de <math>G</math> son de la forma <math>a^{i}b^j,</math> <math>0 \le i \le 3</math> y <math>j=0,1.</math> Concluir que el orden de <math>G</math> es 8. <li> El orden <math>a^kb</math> es 2, para cualquier valor de <math>k.</math> <li> Determinar todos los subgrupos de <math>G.</math> Indicar cuántos de ellos son cíclicos. </ol> <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden par. Probar que si un elemento <math>a</math> de <math>G</math> aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces. <!-- Grupos --> <li> Sea <math>G</math> un grupo de orden <math>2s</math> con <math>s</math> impar. Probar que <math>G</math> tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2. </ol> == Comentarios == La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría. <i>Resolución de ecuaciones</i>. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois <ref>Louis Evariste Galois (1811-1832)</ref>, asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente. <i>Aritmética modular</i>. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos. <i>Geometría</i> Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, <i>Erlargen Programm</i>, 1872. <i>Otras fuentes</i>. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales). <!-- Ver por ejemplo, [[http://www.fisicafundamental.net/simetrias/grupos.html|Grupos]].--> Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones. <ul> <li> [[w:Grupo (matemática)|Grupos (matemática)]] <li> [[w:Teoría de Grupos|Teoría de Grupos]] <li> [[w:Teoría geométrica de grupos|Teoría geométrica de grupos]] <!-- == Referencias == --> == Notas == <!-- abc --> <!-- 06-04- 2015 --> [[Categoría:Libros]] [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] <!---[[Categoría: Grupo (matemáticas)]] --> c1cco0ucgjci3viroqgfks1zcrum8yi 0 51293 423189 421571 2025-07-08T23:16:00Z Rehernan 55364 423189 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Homomorfismos |anterior=Grupos |siguiente=Subgrupos }} </noinclude> == Introducción == Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C_4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U₄ = U₄(<math> \Complex</math>). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente afirmativa, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que de la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C_4,a como U₄ son grupos cíclicos con generadores ''a'' e ''i'' respectivamente y que tenemos el siguiente pareo. <center><math> \begin{array}{lcl} C_4 && U_4 \\ \hline a & \leftrightarrow & i \\ a^2 & \leftrightarrow & i^2=-1\\ a^3 & \leftrightarrow & i^3 = -i \\ a^4 = e & \leftrightarrow & i^4 = 1 \end{array} </math></center> El pareo hace que el ''algebra'' de ambos grupos luzca bastante similar. La manera de comparar dos grupos será la noción de homomorfismo, la cual formalizará la noción de semejanza de dos grupos. En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías (<i>iguales formas</i>como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que serán funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo. == Definiciones == <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="definicion"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Homomorfismo de Grupos)</span> Sean <math><G,*,e,x \mapsto x^{-1}> </math> y <math><G', *', e', x \mapsto x'> </math> grupos.<br /> Un '''homomorfismo''' del grupo G en el grupo G' es una función <math>f:G \rightarrow G' </math> tal que <ol type="i"> <li> <math> f</math> permuta con las operaciones: <math> f(x * y) = f(x) *'f(y).</math> <li> <math>f</math> envía neutro en neutro: <math>f(e) = e'</math> <li> <math>f</math> envía inversos en inversos: <math>f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.</math> </ol> <b>Tipos de Homomorfismos </b><br /> Un homomorfismo <math>f:G \rightarrow G'</math> es un: <ul> <li> '''monomorfismo''', cuando <math>f</math> es inyectiva. <li> '''supramorfismo''', cuando <math>f</math> es suprayectiva. <li> '''isomorfismo''', uando <math>f</math> es biyectiva. <li> '''endomorfismo''', cuando es un homomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. <li> '''automorfismo''', cuando es un isomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. </ul> Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son '''isomorfos''' y escribimos <math>G \cong G'</math>. Decimos que un grupo H es una <b>imagen homomórfica</b> de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H. </div> {{Ejmpl|Ejemplo Clásico de Homomorfismo}} El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el <i>logaritmo</i> que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. <math>\ln:<\R^+,\cdot> \rightarrow <\R, +> </math> ya que <ol type = "i"> <li> <math>\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y) </math>, <li> <math>\ln(1) = 0</math>, y <li> <math>\ln(1/x) = - \ln(x)</math>. </ol>Además, se trata de un isomorfismo, ya que el logaritmo es una función biyectiva, ya que tiene a la función exponencial como inversa. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Homomorfismo trivial)}} Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un homomorfismo que llamaremos el <i>homomorfismo trivial</i> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Los grupos U₄ y C₄ son isomorfos)}} Sea f la función que envía <math> a^k</math> en <math>i^k</math>. Como todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores tenemos que <center><math> \begin{array}{ll} (i) & f(a^m a^n) = f(a^{m+n}) = i^{m+n} = i^m i^n = f(a^m)f(a^n). \\ (ii)& f(e) = f(a^4) = i^4= 1. \\ (iii) & f(a^{-1}) = i^{-1} = f(a)^{-1} \end{array} </math></center> Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son isomorfos. <hr> {{Ejmpl| Endomorfismo aditivo de <math>\Z</math>}} Sea <math> f : <\Z,+> \rightarrow <\Z, +></math> tal que <math>f(x) = 5x.</math> Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que <math> \begin{array}{ll} (i) & f(x+y) = 5(x+y) = 5x + 5y = f(x) = f(y)\\ (ii) & f(0) = 0; \text{ y} \\ (iii) & f(-x) = 5(-x) = -5x = -f(x). \end{array}</math> Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en sí mismo) que es inyectivo, pero no suprayectivo. <hr> == Propiedades de los Homomorfismos == La definición dada de homomorfismo arriba, es la definición general de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice [[../Estructuras Algebraicas|La teoría de las Estructuras Algebraicas.]]</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos. <b>Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa)</b>. <i> Sean <math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que <math>f(x * y)= f(x) *' f(y).</math>'' </i> <ul><i> Demostración: </i> La condición es claramente necesaria. Veamos que es suficiente. Observemos que <math>f(e) = f(e * e) = f(e) *'f(e) </math>, lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x * x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math> :Lo que prueba la proposición. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}} La función <math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero <math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>m</i> es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y {{Eqn|<math> \nu(x+y)= [x+y] = [x] + [y] = \nu(x)+\nu(y) </math>}} {{QED}} <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Determinante de Matrices)}} La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B).</math></center> Por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles <b>GL</b>₂<math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}} Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H \times K</math>. Sea <math>pr_H:G \longrightarrow H</math> tal que <math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada). <math>pr_H</math> es un supramorfismo, ya que {{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 = pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}} Resultado análogo para la segunda proyección. <hr> <b>Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) </b><i> La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean <math>f:G_1 \longrightarrow G_2</math> y <math>g: G_2 \longrightarrow G_3</math> homomorfismos. Entonces. <center><math> \begin{array}{rcl} (g \circ f)(xy) &=& g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\ &=& (g\circ f)(x)(g\circ f)(y). \end{array}</math></center> {{QED}} </ul><hr> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de <math>g</math>. Probaremos que para todo <math>n</math> natural, <math>f(x^n) = f(x)^n</math>. Si <math>n=0</math>, <math>f(x^n) = f(x^0) =f(e) = e'= f(x)^0</math>. Suponiendo el resultado para valores menores de n, tenemos <math>f(x^n)=f(x^{n-1}x) = f(x^{n-1})f(x) = (f(x))^{n-1}f(x) = f(x)^n.</math> <b>Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) </b> <i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que</i> <math>f(x^n) = f(x)^n.</math></i> <ul> <i> Demostración: </i> La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de <i>n</i>. Sea <i>n > 0</i>, entonces {{Eqn|<math>f(x^{-n}) =f((x^{-1})^n) = f(x^{-1})^n = (f(x)^{-1})^n = f(x)^{-n}, </math>}} {{QED}} </ul> <hr> <b>Corolario 3.1.</b><i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <i>n=o(x)</i>. Entonces, <i>xⁿ = e </i>, lo que implica que <math>f(x)^n)=f(x^n) =f(e) = e'</math>. Por lo que <i>n</i> es un múltiplo de <i>o(f(x))</i>. {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? <math>\R</math> es el grupo aditivo de los Reales y <math>\R^*</math> el grupo multiplicativo de los Reales no nulos. <ol type = "a"> <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t + 2</math>. <li> <math>f: \R^* \longrightarrow \R^*:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto t^2</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto |t|</math>. </ol> <li> Sea <math>G=H \times K</math>. Sea <math>\iota_H: H \longrightarrow G</math> tal que <math>\iota_H(h)=(h,e_K)</math>. Probar que <math>\iota_H</math> es un monomorfismo de grupos. Definir un <math>\iota_K</math> y enunciar y probar un resultado análogo. </ol> == Isomorfismos de Grupos == Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que <math> G \cong G'</math> significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva. <ul> <li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>x' = f(x), y' = f(y)</i> que <i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>. Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo. <li> Si tenemos isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo. </ul> <hr> Al pasar, hemos probado la siguiente proposición. <br> <b>Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i> <ol type = "a"> <li> La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> </i> <hr> <b>Observaciones. </b> El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación. Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones. {{Caja|<center>'''La Clasificación de Grupos'''</center> El objetivo central de la teoría de grupos es la clasificación de los mismos. Esto es determinar todos los posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.}} Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro. Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo que decimos que hay un único grupo con un elemento. {{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}} Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos. Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean <i>G={e,a}</i> y <i>H = {e',a'}</i> donde los elementos neutros son <i>e</i> y <i>e'</i> respectivamente. Sea <i>g</i> la función de <i>G</i> en <i>H</i> tal que <i>g(e)=e'</i> y <i>g(a) = a'</i>. Entonces, <center><math> \begin{array}{l} g(e*e) = g(e)= e'= ee' =g(e)g(e)\\ g(e*a) = g(a) = e'g(a) = g(e) g(a) \\ g(a*e) = g(a) = g(a)e' = g(a)g(e) \\ g(a*a) = g(e) = e' = bb = g(a)g(a). \end{array} </math></center> Lo que prueba que <i>g</i> es un isomorfismo. <hr> Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean <math>f:G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <i>x</i> un elemento de <i>G</i>, entonces tenemos, por un corolario anterior, que <math>o(f(x)|o(x)</math>. como <math>x = f^{-1}(f(x))</math> y <math>f^{-1}</math> es un homomorfismo, tenemos que <math>o(x)|o(f(x))</math>. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante. {{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}} Los grupos cíclicos de orden 4, <b>C₄</b> y <b>K</b> (grupo de Klein), vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C₄ hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos. <hr> ==== Isomorfismo de Grupos Cíclicos ==== Nuestra próxima proposición formaliza algo que podíamos haber intuido. <b>Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos)</b> <i> Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean G=C__n,a y H = C__n,b. Definamos f:G en H por ''f(a^k) = b^k''. Se tiene entonces que <center><math>f(a^ja^k) = f(a^{j+k})= b^{j+k} = b^jb^k = f(a^j)f(b^k) = f(a^j)f(a^k).</math></center> Lo que prueba que f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que <math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que <math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que <math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>. Si <math> k \neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que <math>n</math>. Lo que es imposible, ya que porque por las hipótesis <math>n</math> es el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego <math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la prueba. {{QED}} </ul><hr> ==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ==== Recordemos que el grupo simétrico, <math>\textsf{S}_X</math>, es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto <math>X</math> en sí mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico. Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y'' conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow Y</math> la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f: S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en <math>S_X</math>, asociamos la función <math>S_f(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> de ''Y'' en sí mismo. [[Archivo:IsoGruposSimetricos.jpg|derecha|200px]] Como <math>S_f(\sigma)</math> es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de <i>Y</i> en <i>Y</i>, o sea de un elemento de <math>S_Y</math>. Veamos, ahora, que <math>S_f</math> es un homomorfismo.<center><math> S_f(\sigma )S_f(\tau) =f \sigma f^{-1} \circ f \tau) f^{-1} = f (\sigma \tau) f^{-1} = S_f(\sigma \tau ). </math></center> Claramente, la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de <math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de <math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos. <b>Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos)</b> <i> Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.</i> <b>Corolario 6.1. </b><i> El grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_n</math> el grupo simétrico de <math>I_n =\{1, 2, \dots,n\}</math>. </i> === El Grupo de Automorfismos de un Grupo === Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en sí mismo. Sea ''G'' un grupo, por ''Aut(G)'' denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que ''Aut(G'') con la composición de funciones forman un grupo, contenido en <math>\textsf{S}_G</math>. {{Ejmpl|Automorfismos de <math>C_n=c_{n,a}</math>}} Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como <math>a</math> es un generador del grupo, su imagen <math<f(a)</math>debe ser un generador del grupo. <ul> <li> (n=5) Es fácil ver por inspección, que los generadores de <math>C_5</math> son <math>a^i</math> para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que <math>f_i (a) = a^i</math> para <math>i=1,2,3,4</math>. Observemos que <math>f_1(a) = a</math> implica que <math>f_1(a^j) =f_1(a)^j = a^j</math>, es decir que <math>f_1=id</math>, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente tabla para <math>\rm{Aut}(C_5).</math> {{Eqn|<math>\begin{array}{c|cccc} & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ \hline f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f_2 & f_2 & f_4 & f_1 & f_3 \\ f_3 & f_3 & f_1 & f_4 & f_2 \\ f_4 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 \end{array}</math>}} Lo que prueba que <math>\rm{Aut}(C_5) \cong C_4.</math> <li> (n=6) En <math>C_6</math> hay solo dos generadores, <math>a</math> y <math?a^5</math>.. Por lo que hay solamente dos automorfismos: <math>id: a \mapsto a</math> y <math>\sigma: a \mapsto a^5</math>. Por lo que <math>\rm{Aut}(C_6) \cong C_2.</math> </ul> <hr> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea <i>P</i> el subconjunto de <math>\Z</math> formado por todos los enteros pares. Probar que la función <math>x \mapsto 2x</math> es un homomorfismo de grupos desde <math>\Z</math> en <i>P</i> ¿Es un isomorfismo? <li> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> Para todo <i>a</i> de <i>G</i> y <i>n</i> entero se cumple que <math>f(a)^n = f(a^n)</math>. <li> Para todo <i>a</i>, <i>b</i> en <i>G</i>, si <i>a</i> conmuta con <i>b</i> en <i>G</i>, lo mismo pasa con sus imágenes en <i>H</i>. <li> Si <i>a</i> es conjugado con <i>b</i> en <i>G</i>, entonces <i>f(a)</i> es conjugado con <i>f(b)</i> en <i>H</i>. <li> Si hay un <i>a</i> en <i>G</i> tal que <i>aⁿ=e</i> para algún <i>n</i> natural, hay un elemento de <i>H</i> con la misma propiedad. </ol> <li> Sea <math>H</math> una imagen homomórfica de <math>G</math>. Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> Si <i>G</i> es abeliano, <i>H</i> también lo es. <li> Si <i>G</i> es cíclico, <i>H</i> también lo es. </ol> <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que para cada <i>n</i> natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación <math>x^n=e</math> en <i>G</i>, es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en <i>H</i>. <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que la inversa de <math>f</math>, <math>f^{-1} : H \longrightarrow G</math> es un isomorfismo. <li> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> La composición de monomorfismos es un monomorfismo. <li> La composición de supramorfismos es un supramorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> <li> ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos? <li> Sea <math>G = (\Q \times \Q) \setminus\{(0,0)\}</math> (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación <math>\otimes</math> en <i>G</i> por <math>(a,b) \otimes (c,d) := (ac - 5bd, ad +bc).</math> Sea <i>f</i> la función de <i>G</i> en el grupo multiplicativo de los complejos, <math>\Complex^*</math> tal que <math>f(a,b) = a + ib\sqrt{5}</math>, donde <math>i^2=-1</math>. Probar que <i>G</i> es un grupo abeliano y que <i>f</i> es un monomorfismo de grupos. <li> Sean <math>G = H \times K</math> un producto de grupos . Sean <math>pr_1: G \longrightarrow H</math> y <math>pr_2: G \longrightarrow K</math> tales que <i>pr₁(h,k) = h</i> y <i>pr₂(h,k) = k</i>. Probar que las proyecciones <i>pr₁</i> y <i>pr₂</i> son supramorfismos. <li> Sean <math>f: K \longrightarrow G</math> y <math>g: K \longrightarrow H</math> homomorfismos de grupos. Sea <math>\varphi: K \longrightarrow G \times H</math> tal que <math>\varphi(x) = (f(x), g(x))</math>. Probar que <math>\varphi</math> es un homomorfismo de grupos. <li> Sean <i>G</i>, <i>H</i> y <i>K</i> grupos. Probar que <ol type= "a"> <li> <math>G \times H \cong H \times G</math>. <li> <math>G \times (H \times K) \cong (G \times H) \times K</math>. <li> <math>G \times \epsilon \cong G</math>, donde <math>\epsilon</math> es el grupo trivial con un elemento. </ol> <li> Sea <i><G,*></i> un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de <math>G \times G</math> en <i>G</i> es un homomorfismo de grupos, ssi, <i>G</i> es abeliano. <li> Probar que <math>\Z_2 \oplus \Z_2</math> es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a <math>\Z_4</math>. <li> Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos. <li> (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad <ol type="a"> <li> Sea <math>f:\Q \longrightarrow \Q</math> tal que <i>f(q) = aq</i>, donde <i>a</i> es un número racional fijo. Probar que <i>f</i> es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando <math>a \neq 0</math>. <li> Sea <math>\varphi: \Q \longrightarrow \Q</math> un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que <math>\varphi(q) = aq</math>, donde <math>a = \varphi(1)</math>. </ol> <li> Sea <i>G</i> un grupo de orden par. Probar que siempre <i>G</i> contiene un elemento de orden 2. <li> Hallar los homomorfismos de <math>\Z_8</math> en sí mismo. ¿Cuántos de ellos son isomorfismos? <li> Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe. <table> <tr> <td width = 5 %> a. <td width=35%> <math>\Z_2 \longrightarrow \Z_4</math>. <td width = 5 %> b. <td width = 35 %><math>\Z_2 \longrightarrow \Z_5. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> c. <td width=35%> <math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_4 </math>. <td width = 5 %> d. <td width = 35 %><math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_5 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> e. <td width=55%> <math>\Z \longrightarrow S_3 </math>. <td width = 5 %> f. <td width = 55 %><math>\Z \longrightarrow D_8 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> g. <td width=35%> <math>Z \times Z \longrightarrow 2\Z</math>. <td width = 5 %> h. <td width = 35 %> <math>2\Z \longrightarrow \Z \times \Z. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> i. <td width=35%> <math>S_3 \longrightarrow S_4 </math>. <td width = 5 %> j. <td width = 35 %><math>C_{25} \longrightarrow C_{30} </math>. </tr> </table> <li> (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides. </ol> <!-- == Comentarios == == Referencias == --- abc 06-04-2015 Orto 03-29-2021 --> == Notas == {{Listaref}} [[Categoría:Libros]]arias]] [[categoría:Matemáticas Universit [[Categoría:Álgebra Abstracta]] [[Categoría:Homomorfismo de Grupos]] 2numcmxedzxhcp4l67anzu88s97pzpc 423190 423189 2025-07-08T23:16:52Z Rehernan 55364 /* Notas */ 423190 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Homomorfismos |anterior=Grupos |siguiente=Subgrupos }} </noinclude> == Introducción == Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C_4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U₄ = U₄(<math> \Complex</math>). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente afirmativa, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que de la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C_4,a como U₄ son grupos cíclicos con generadores ''a'' e ''i'' respectivamente y que tenemos el siguiente pareo. <center><math> \begin{array}{lcl} C_4 && U_4 \\ \hline a & \leftrightarrow & i \\ a^2 & \leftrightarrow & i^2=-1\\ a^3 & \leftrightarrow & i^3 = -i \\ a^4 = e & \leftrightarrow & i^4 = 1 \end{array} </math></center> El pareo hace que el ''algebra'' de ambos grupos luzca bastante similar. La manera de comparar dos grupos será la noción de homomorfismo, la cual formalizará la noción de semejanza de dos grupos. En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías (<i>iguales formas</i>como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que serán funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo. == Definiciones == <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="definicion"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Homomorfismo de Grupos)</span> Sean <math><G,*,e,x \mapsto x^{-1}> </math> y <math><G', *', e', x \mapsto x'> </math> grupos.<br /> Un '''homomorfismo''' del grupo G en el grupo G' es una función <math>f:G \rightarrow G' </math> tal que <ol type="i"> <li> <math> f</math> permuta con las operaciones: <math> f(x * y) = f(x) *'f(y).</math> <li> <math>f</math> envía neutro en neutro: <math>f(e) = e'</math> <li> <math>f</math> envía inversos en inversos: <math>f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.</math> </ol> <b>Tipos de Homomorfismos </b><br /> Un homomorfismo <math>f:G \rightarrow G'</math> es un: <ul> <li> '''monomorfismo''', cuando <math>f</math> es inyectiva. <li> '''supramorfismo''', cuando <math>f</math> es suprayectiva. <li> '''isomorfismo''', uando <math>f</math> es biyectiva. <li> '''endomorfismo''', cuando es un homomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. <li> '''automorfismo''', cuando es un isomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. </ul> Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son '''isomorfos''' y escribimos <math>G \cong G'</math>. Decimos que un grupo H es una <b>imagen homomórfica</b> de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H. </div> {{Ejmpl|Ejemplo Clásico de Homomorfismo}} El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el <i>logaritmo</i> que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. <math>\ln:<\R^+,\cdot> \rightarrow <\R, +> </math> ya que <ol type = "i"> <li> <math>\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y) </math>, <li> <math>\ln(1) = 0</math>, y <li> <math>\ln(1/x) = - \ln(x)</math>. </ol>Además, se trata de un isomorfismo, ya que el logaritmo es una función biyectiva, ya que tiene a la función exponencial como inversa. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Homomorfismo trivial)}} Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un homomorfismo que llamaremos el <i>homomorfismo trivial</i> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Los grupos U₄ y C₄ son isomorfos)}} Sea f la función que envía <math> a^k</math> en <math>i^k</math>. Como todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores tenemos que <center><math> \begin{array}{ll} (i) & f(a^m a^n) = f(a^{m+n}) = i^{m+n} = i^m i^n = f(a^m)f(a^n). \\ (ii)& f(e) = f(a^4) = i^4= 1. \\ (iii) & f(a^{-1}) = i^{-1} = f(a)^{-1} \end{array} </math></center> Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son isomorfos. <hr> {{Ejmpl| Endomorfismo aditivo de <math>\Z</math>}} Sea <math> f : <\Z,+> \rightarrow <\Z, +></math> tal que <math>f(x) = 5x.</math> Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que <math> \begin{array}{ll} (i) & f(x+y) = 5(x+y) = 5x + 5y = f(x) = f(y)\\ (ii) & f(0) = 0; \text{ y} \\ (iii) & f(-x) = 5(-x) = -5x = -f(x). \end{array}</math> Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en sí mismo) que es inyectivo, pero no suprayectivo. <hr> == Propiedades de los Homomorfismos == La definición dada de homomorfismo arriba, es la definición general de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice [[../Estructuras Algebraicas|La teoría de las Estructuras Algebraicas.]]</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos. <b>Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa)</b>. <i> Sean <math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que <math>f(x * y)= f(x) *' f(y).</math>'' </i> <ul><i> Demostración: </i> La condición es claramente necesaria. Veamos que es suficiente. Observemos que <math>f(e) = f(e * e) = f(e) *'f(e) </math>, lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x * x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math> :Lo que prueba la proposición. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}} La función <math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero <math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>m</i> es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y {{Eqn|<math> \nu(x+y)= [x+y] = [x] + [y] = \nu(x)+\nu(y) </math>}} {{QED}} <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Determinante de Matrices)}} La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B).</math></center> Por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles <b>GL</b>₂<math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}} Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H \times K</math>. Sea <math>pr_H:G \longrightarrow H</math> tal que <math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada). <math>pr_H</math> es un supramorfismo, ya que {{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 = pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}} Resultado análogo para la segunda proyección. <hr> <b>Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) </b><i> La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean <math>f:G_1 \longrightarrow G_2</math> y <math>g: G_2 \longrightarrow G_3</math> homomorfismos. Entonces. <center><math> \begin{array}{rcl} (g \circ f)(xy) &=& g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\ &=& (g\circ f)(x)(g\circ f)(y). \end{array}</math></center> {{QED}} </ul><hr> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de <math>g</math>. Probaremos que para todo <math>n</math> natural, <math>f(x^n) = f(x)^n</math>. Si <math>n=0</math>, <math>f(x^n) = f(x^0) =f(e) = e'= f(x)^0</math>. Suponiendo el resultado para valores menores de n, tenemos <math>f(x^n)=f(x^{n-1}x) = f(x^{n-1})f(x) = (f(x))^{n-1}f(x) = f(x)^n.</math> <b>Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) </b> <i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que</i> <math>f(x^n) = f(x)^n.</math></i> <ul> <i> Demostración: </i> La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de <i>n</i>. Sea <i>n > 0</i>, entonces {{Eqn|<math>f(x^{-n}) =f((x^{-1})^n) = f(x^{-1})^n = (f(x)^{-1})^n = f(x)^{-n}, </math>}} {{QED}} </ul> <hr> <b>Corolario 3.1.</b><i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <i>n=o(x)</i>. Entonces, <i>xⁿ = e </i>, lo que implica que <math>f(x)^n)=f(x^n) =f(e) = e'</math>. Por lo que <i>n</i> es un múltiplo de <i>o(f(x))</i>. {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? <math>\R</math> es el grupo aditivo de los Reales y <math>\R^*</math> el grupo multiplicativo de los Reales no nulos. <ol type = "a"> <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t + 2</math>. <li> <math>f: \R^* \longrightarrow \R^*:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto t^2</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto |t|</math>. </ol> <li> Sea <math>G=H \times K</math>. Sea <math>\iota_H: H \longrightarrow G</math> tal que <math>\iota_H(h)=(h,e_K)</math>. Probar que <math>\iota_H</math> es un monomorfismo de grupos. Definir un <math>\iota_K</math> y enunciar y probar un resultado análogo. </ol> == Isomorfismos de Grupos == Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que <math> G \cong G'</math> significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva. <ul> <li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>x' = f(x), y' = f(y)</i> que <i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>. Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo. <li> Si tenemos isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo. </ul> <hr> Al pasar, hemos probado la siguiente proposición. <br> <b>Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i> <ol type = "a"> <li> La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> </i> <hr> <b>Observaciones. </b> El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación. Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones. {{Caja|<center>'''La Clasificación de Grupos'''</center> El objetivo central de la teoría de grupos es la clasificación de los mismos. Esto es determinar todos los posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.}} Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro. Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo que decimos que hay un único grupo con un elemento. {{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}} Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos. Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean <i>G={e,a}</i> y <i>H = {e',a'}</i> donde los elementos neutros son <i>e</i> y <i>e'</i> respectivamente. Sea <i>g</i> la función de <i>G</i> en <i>H</i> tal que <i>g(e)=e'</i> y <i>g(a) = a'</i>. Entonces, <center><math> \begin{array}{l} g(e*e) = g(e)= e'= ee' =g(e)g(e)\\ g(e*a) = g(a) = e'g(a) = g(e) g(a) \\ g(a*e) = g(a) = g(a)e' = g(a)g(e) \\ g(a*a) = g(e) = e' = bb = g(a)g(a). \end{array} </math></center> Lo que prueba que <i>g</i> es un isomorfismo. <hr> Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean <math>f:G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <i>x</i> un elemento de <i>G</i>, entonces tenemos, por un corolario anterior, que <math>o(f(x)|o(x)</math>. como <math>x = f^{-1}(f(x))</math> y <math>f^{-1}</math> es un homomorfismo, tenemos que <math>o(x)|o(f(x))</math>. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante. {{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}} Los grupos cíclicos de orden 4, <b>C₄</b> y <b>K</b> (grupo de Klein), vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C₄ hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos. <hr> ==== Isomorfismo de Grupos Cíclicos ==== Nuestra próxima proposición formaliza algo que podíamos haber intuido. <b>Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos)</b> <i> Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean G=C__n,a y H = C__n,b. Definamos f:G en H por ''f(a^k) = b^k''. Se tiene entonces que <center><math>f(a^ja^k) = f(a^{j+k})= b^{j+k} = b^jb^k = f(a^j)f(b^k) = f(a^j)f(a^k).</math></center> Lo que prueba que f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que <math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que <math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que <math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>. Si <math> k \neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que <math>n</math>. Lo que es imposible, ya que porque por las hipótesis <math>n</math> es el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego <math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la prueba. {{QED}} </ul><hr> ==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ==== Recordemos que el grupo simétrico, <math>\textsf{S}_X</math>, es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto <math>X</math> en sí mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico. Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y'' conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow Y</math> la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f: S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en <math>S_X</math>, asociamos la función <math>S_f(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> de ''Y'' en sí mismo. [[Archivo:IsoGruposSimetricos.jpg|derecha|200px]] Como <math>S_f(\sigma)</math> es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de <i>Y</i> en <i>Y</i>, o sea de un elemento de <math>S_Y</math>. Veamos, ahora, que <math>S_f</math> es un homomorfismo.<center><math> S_f(\sigma )S_f(\tau) =f \sigma f^{-1} \circ f \tau) f^{-1} = f (\sigma \tau) f^{-1} = S_f(\sigma \tau ). </math></center> Claramente, la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de <math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de <math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos. <b>Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos)</b> <i> Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.</i> <b>Corolario 6.1. </b><i> El grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_n</math> el grupo simétrico de <math>I_n =\{1, 2, \dots,n\}</math>. </i> === El Grupo de Automorfismos de un Grupo === Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en sí mismo. Sea ''G'' un grupo, por ''Aut(G)'' denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que ''Aut(G'') con la composición de funciones forman un grupo, contenido en <math>\textsf{S}_G</math>. {{Ejmpl|Automorfismos de <math>C_n=c_{n,a}</math>}} Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como <math>a</math> es un generador del grupo, su imagen <math<f(a)</math>debe ser un generador del grupo. <ul> <li> (n=5) Es fácil ver por inspección, que los generadores de <math>C_5</math> son <math>a^i</math> para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que <math>f_i (a) = a^i</math> para <math>i=1,2,3,4</math>. Observemos que <math>f_1(a) = a</math> implica que <math>f_1(a^j) =f_1(a)^j = a^j</math>, es decir que <math>f_1=id</math>, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente tabla para <math>\rm{Aut}(C_5).</math> {{Eqn|<math>\begin{array}{c|cccc} & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ \hline f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f_2 & f_2 & f_4 & f_1 & f_3 \\ f_3 & f_3 & f_1 & f_4 & f_2 \\ f_4 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 \end{array}</math>}} Lo que prueba que <math>\rm{Aut}(C_5) \cong C_4.</math> <li> (n=6) En <math>C_6</math> hay solo dos generadores, <math>a</math> y <math?a^5</math>.. Por lo que hay solamente dos automorfismos: <math>id: a \mapsto a</math> y <math>\sigma: a \mapsto a^5</math>. Por lo que <math>\rm{Aut}(C_6) \cong C_2.</math> </ul> <hr> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea <i>P</i> el subconjunto de <math>\Z</math> formado por todos los enteros pares. Probar que la función <math>x \mapsto 2x</math> es un homomorfismo de grupos desde <math>\Z</math> en <i>P</i> ¿Es un isomorfismo? <li> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> Para todo <i>a</i> de <i>G</i> y <i>n</i> entero se cumple que <math>f(a)^n = f(a^n)</math>. <li> Para todo <i>a</i>, <i>b</i> en <i>G</i>, si <i>a</i> conmuta con <i>b</i> en <i>G</i>, lo mismo pasa con sus imágenes en <i>H</i>. <li> Si <i>a</i> es conjugado con <i>b</i> en <i>G</i>, entonces <i>f(a)</i> es conjugado con <i>f(b)</i> en <i>H</i>. <li> Si hay un <i>a</i> en <i>G</i> tal que <i>aⁿ=e</i> para algún <i>n</i> natural, hay un elemento de <i>H</i> con la misma propiedad. </ol> <li> Sea <math>H</math> una imagen homomórfica de <math>G</math>. Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> Si <i>G</i> es abeliano, <i>H</i> también lo es. <li> Si <i>G</i> es cíclico, <i>H</i> también lo es. </ol> <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que para cada <i>n</i> natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación <math>x^n=e</math> en <i>G</i>, es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en <i>H</i>. <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que la inversa de <math>f</math>, <math>f^{-1} : H \longrightarrow G</math> es un isomorfismo. <li> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> La composición de monomorfismos es un monomorfismo. <li> La composición de supramorfismos es un supramorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> <li> ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos? <li> Sea <math>G = (\Q \times \Q) \setminus\{(0,0)\}</math> (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación <math>\otimes</math> en <i>G</i> por <math>(a,b) \otimes (c,d) := (ac - 5bd, ad +bc).</math> Sea <i>f</i> la función de <i>G</i> en el grupo multiplicativo de los complejos, <math>\Complex^*</math> tal que <math>f(a,b) = a + ib\sqrt{5}</math>, donde <math>i^2=-1</math>. Probar que <i>G</i> es un grupo abeliano y que <i>f</i> es un monomorfismo de grupos. <li> Sean <math>G = H \times K</math> un producto de grupos . Sean <math>pr_1: G \longrightarrow H</math> y <math>pr_2: G \longrightarrow K</math> tales que <i>pr₁(h,k) = h</i> y <i>pr₂(h,k) = k</i>. Probar que las proyecciones <i>pr₁</i> y <i>pr₂</i> son supramorfismos. <li> Sean <math>f: K \longrightarrow G</math> y <math>g: K \longrightarrow H</math> homomorfismos de grupos. Sea <math>\varphi: K \longrightarrow G \times H</math> tal que <math>\varphi(x) = (f(x), g(x))</math>. Probar que <math>\varphi</math> es un homomorfismo de grupos. <li> Sean <i>G</i>, <i>H</i> y <i>K</i> grupos. Probar que <ol type= "a"> <li> <math>G \times H \cong H \times G</math>. <li> <math>G \times (H \times K) \cong (G \times H) \times K</math>. <li> <math>G \times \epsilon \cong G</math>, donde <math>\epsilon</math> es el grupo trivial con un elemento. </ol> <li> Sea <i><G,*></i> un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de <math>G \times G</math> en <i>G</i> es un homomorfismo de grupos, ssi, <i>G</i> es abeliano. <li> Probar que <math>\Z_2 \oplus \Z_2</math> es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a <math>\Z_4</math>. <li> Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos. <li> (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad <ol type="a"> <li> Sea <math>f:\Q \longrightarrow \Q</math> tal que <i>f(q) = aq</i>, donde <i>a</i> es un número racional fijo. Probar que <i>f</i> es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando <math>a \neq 0</math>. <li> Sea <math>\varphi: \Q \longrightarrow \Q</math> un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que <math>\varphi(q) = aq</math>, donde <math>a = \varphi(1)</math>. </ol> <li> Sea <i>G</i> un grupo de orden par. Probar que siempre <i>G</i> contiene un elemento de orden 2. <li> Hallar los homomorfismos de <math>\Z_8</math> en sí mismo. ¿Cuántos de ellos son isomorfismos? <li> Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe. <table> <tr> <td width = 5 %> a. <td width=35%> <math>\Z_2 \longrightarrow \Z_4</math>. <td width = 5 %> b. <td width = 35 %><math>\Z_2 \longrightarrow \Z_5. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> c. <td width=35%> <math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_4 </math>. <td width = 5 %> d. <td width = 35 %><math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_5 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> e. <td width=55%> <math>\Z \longrightarrow S_3 </math>. <td width = 5 %> f. <td width = 55 %><math>\Z \longrightarrow D_8 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> g. <td width=35%> <math>Z \times Z \longrightarrow 2\Z</math>. <td width = 5 %> h. <td width = 35 %> <math>2\Z \longrightarrow \Z \times \Z. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> i. <td width=35%> <math>S_3 \longrightarrow S_4 </math>. <td width = 5 %> j. <td width = 35 %><math>C_{25} \longrightarrow C_{30} </math>. </tr> </table> <li> (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides. </ol> <!-- == Comentarios == == Referencias == --- abc 06-04-2015 Orto 03-29-2021 --> == Notas == {{Listaref}} [[Categoría:Libros]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] [[Categoría:Homomorfismo de Grupos]] hka6jvtm20nqmod91o65zl3896nby96 423191 423190 2025-07-08T23:17:40Z Rehernan 55364 /* Notas */ 423191 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Homomorfismos |anterior=Grupos |siguiente=Subgrupos }} </noinclude> == Introducción == Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C_4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U₄ = U₄(<math> \Complex</math>). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente afirmativa, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que de la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C_4,a como U₄ son grupos cíclicos con generadores ''a'' e ''i'' respectivamente y que tenemos el siguiente pareo. <center><math> \begin{array}{lcl} C_4 && U_4 \\ \hline a & \leftrightarrow & i \\ a^2 & \leftrightarrow & i^2=-1\\ a^3 & \leftrightarrow & i^3 = -i \\ a^4 = e & \leftrightarrow & i^4 = 1 \end{array} </math></center> El pareo hace que el ''algebra'' de ambos grupos luzca bastante similar. La manera de comparar dos grupos será la noción de homomorfismo, la cual formalizará la noción de semejanza de dos grupos. En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías (<i>iguales formas</i>como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que serán funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo. == Definiciones == <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="definicion"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Homomorfismo de Grupos)</span> Sean <math><G,*,e,x \mapsto x^{-1}> </math> y <math><G', *', e', x \mapsto x'> </math> grupos.<br /> Un '''homomorfismo''' del grupo G en el grupo G' es una función <math>f:G \rightarrow G' </math> tal que <ol type="i"> <li> <math> f</math> permuta con las operaciones: <math> f(x * y) = f(x) *'f(y).</math> <li> <math>f</math> envía neutro en neutro: <math>f(e) = e'</math> <li> <math>f</math> envía inversos en inversos: <math>f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.</math> </ol> <b>Tipos de Homomorfismos </b><br /> Un homomorfismo <math>f:G \rightarrow G'</math> es un: <ul> <li> '''monomorfismo''', cuando <math>f</math> es inyectiva. <li> '''supramorfismo''', cuando <math>f</math> es suprayectiva. <li> '''isomorfismo''', uando <math>f</math> es biyectiva. <li> '''endomorfismo''', cuando es un homomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. <li> '''automorfismo''', cuando es un isomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. </ul> Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son '''isomorfos''' y escribimos <math>G \cong G'</math>. Decimos que un grupo H es una <b>imagen homomórfica</b> de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H. </div> {{Ejmpl|Ejemplo Clásico de Homomorfismo}} El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el <i>logaritmo</i> que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. <math>\ln:<\R^+,\cdot> \rightarrow <\R, +> </math> ya que <ol type = "i"> <li> <math>\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y) </math>, <li> <math>\ln(1) = 0</math>, y <li> <math>\ln(1/x) = - \ln(x)</math>. </ol>Además, se trata de un isomorfismo, ya que el logaritmo es una función biyectiva, ya que tiene a la función exponencial como inversa. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Homomorfismo trivial)}} Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un homomorfismo que llamaremos el <i>homomorfismo trivial</i> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Los grupos U₄ y C₄ son isomorfos)}} Sea f la función que envía <math> a^k</math> en <math>i^k</math>. Como todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores tenemos que <center><math> \begin{array}{ll} (i) & f(a^m a^n) = f(a^{m+n}) = i^{m+n} = i^m i^n = f(a^m)f(a^n). \\ (ii)& f(e) = f(a^4) = i^4= 1. \\ (iii) & f(a^{-1}) = i^{-1} = f(a)^{-1} \end{array} </math></center> Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son isomorfos. <hr> {{Ejmpl| Endomorfismo aditivo de <math>\Z</math>}} Sea <math> f : <\Z,+> \rightarrow <\Z, +></math> tal que <math>f(x) = 5x.</math> Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que <math> \begin{array}{ll} (i) & f(x+y) = 5(x+y) = 5x + 5y = f(x) = f(y)\\ (ii) & f(0) = 0; \text{ y} \\ (iii) & f(-x) = 5(-x) = -5x = -f(x). \end{array}</math> Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en sí mismo) que es inyectivo, pero no suprayectivo. <hr> == Propiedades de los Homomorfismos == La definición dada de homomorfismo arriba, es la definición general de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice [[../Estructuras Algebraicas|La teoría de las Estructuras Algebraicas.]]</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos. <b>Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa)</b>. <i> Sean <math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que <math>f(x * y)= f(x) *' f(y).</math>'' </i> <ul><i> Demostración: </i> La condición es claramente necesaria. Veamos que es suficiente. Observemos que <math>f(e) = f(e * e) = f(e) *'f(e) </math>, lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x * x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math> :Lo que prueba la proposición. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}} La función <math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero <math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>m</i> es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y {{Eqn|<math> \nu(x+y)= [x+y] = [x] + [y] = \nu(x)+\nu(y) </math>}} {{QED}} <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Determinante de Matrices)}} La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B).</math></center> Por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles <b>GL</b>₂<math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}} Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H \times K</math>. Sea <math>pr_H:G \longrightarrow H</math> tal que <math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada). <math>pr_H</math> es un supramorfismo, ya que {{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 = pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}} Resultado análogo para la segunda proyección. <hr> <b>Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) </b><i> La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean <math>f:G_1 \longrightarrow G_2</math> y <math>g: G_2 \longrightarrow G_3</math> homomorfismos. Entonces. <center><math> \begin{array}{rcl} (g \circ f)(xy) &=& g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\ &=& (g\circ f)(x)(g\circ f)(y). \end{array}</math></center> {{QED}} </ul><hr> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de <math>g</math>. Probaremos que para todo <math>n</math> natural, <math>f(x^n) = f(x)^n</math>. Si <math>n=0</math>, <math>f(x^n) = f(x^0) =f(e) = e'= f(x)^0</math>. Suponiendo el resultado para valores menores de n, tenemos <math>f(x^n)=f(x^{n-1}x) = f(x^{n-1})f(x) = (f(x))^{n-1}f(x) = f(x)^n.</math> <b>Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) </b> <i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que</i> <math>f(x^n) = f(x)^n.</math></i> <ul> <i> Demostración: </i> La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de <i>n</i>. Sea <i>n > 0</i>, entonces {{Eqn|<math>f(x^{-n}) =f((x^{-1})^n) = f(x^{-1})^n = (f(x)^{-1})^n = f(x)^{-n}, </math>}} {{QED}} </ul> <hr> <b>Corolario 3.1.</b><i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <i>n=o(x)</i>. Entonces, <i>xⁿ = e </i>, lo que implica que <math>f(x)^n)=f(x^n) =f(e) = e'</math>. Por lo que <i>n</i> es un múltiplo de <i>o(f(x))</i>. {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? <math>\R</math> es el grupo aditivo de los Reales y <math>\R^*</math> el grupo multiplicativo de los Reales no nulos. <ol type = "a"> <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t + 2</math>. <li> <math>f: \R^* \longrightarrow \R^*:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto t^2</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto |t|</math>. </ol> <li> Sea <math>G=H \times K</math>. Sea <math>\iota_H: H \longrightarrow G</math> tal que <math>\iota_H(h)=(h,e_K)</math>. Probar que <math>\iota_H</math> es un monomorfismo de grupos. Definir un <math>\iota_K</math> y enunciar y probar un resultado análogo. </ol> == Isomorfismos de Grupos == Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que <math> G \cong G'</math> significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva. <ul> <li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>x' = f(x), y' = f(y)</i> que <i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>. Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo. <li> Si tenemos isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo. </ul> <hr> Al pasar, hemos probado la siguiente proposición. <br> <b>Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i> <ol type = "a"> <li> La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> </i> <hr> <b>Observaciones. </b> El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación. Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones. {{Caja|<center>'''La Clasificación de Grupos'''</center> El objetivo central de la teoría de grupos es la clasificación de los mismos. Esto es determinar todos los posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.}} Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro. Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo que decimos que hay un único grupo con un elemento. {{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}} Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos. Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean <i>G={e,a}</i> y <i>H = {e',a'}</i> donde los elementos neutros son <i>e</i> y <i>e'</i> respectivamente. Sea <i>g</i> la función de <i>G</i> en <i>H</i> tal que <i>g(e)=e'</i> y <i>g(a) = a'</i>. Entonces, <center><math> \begin{array}{l} g(e*e) = g(e)= e'= ee' =g(e)g(e)\\ g(e*a) = g(a) = e'g(a) = g(e) g(a) \\ g(a*e) = g(a) = g(a)e' = g(a)g(e) \\ g(a*a) = g(e) = e' = bb = g(a)g(a). \end{array} </math></center> Lo que prueba que <i>g</i> es un isomorfismo. <hr> Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean <math>f:G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <i>x</i> un elemento de <i>G</i>, entonces tenemos, por un corolario anterior, que <math>o(f(x)|o(x)</math>. como <math>x = f^{-1}(f(x))</math> y <math>f^{-1}</math> es un homomorfismo, tenemos que <math>o(x)|o(f(x))</math>. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante. {{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}} Los grupos cíclicos de orden 4, <b>C₄</b> y <b>K</b> (grupo de Klein), vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C₄ hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos. <hr> ==== Isomorfismo de Grupos Cíclicos ==== Nuestra próxima proposición formaliza algo que podíamos haber intuido. <b>Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos)</b> <i> Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean G=C__n,a y H = C__n,b. Definamos f:G en H por ''f(a^k) = b^k''. Se tiene entonces que <center><math>f(a^ja^k) = f(a^{j+k})= b^{j+k} = b^jb^k = f(a^j)f(b^k) = f(a^j)f(a^k).</math></center> Lo que prueba que f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que <math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que <math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que <math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>. Si <math> k \neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que <math>n</math>. Lo que es imposible, ya que porque por las hipótesis <math>n</math> es el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego <math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la prueba. {{QED}} </ul><hr> ==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ==== Recordemos que el grupo simétrico, <math>\textsf{S}_X</math>, es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto <math>X</math> en sí mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico. Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y'' conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow Y</math> la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f: S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en <math>S_X</math>, asociamos la función <math>S_f(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> de ''Y'' en sí mismo. [[Archivo:IsoGruposSimetricos.jpg|derecha|200px]] Como <math>S_f(\sigma)</math> es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de <i>Y</i> en <i>Y</i>, o sea de un elemento de <math>S_Y</math>. Veamos, ahora, que <math>S_f</math> es un homomorfismo.<center><math> S_f(\sigma )S_f(\tau) =f \sigma f^{-1} \circ f \tau) f^{-1} = f (\sigma \tau) f^{-1} = S_f(\sigma \tau ). </math></center> Claramente, la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de <math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de <math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos. <b>Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos)</b> <i> Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.</i> <b>Corolario 6.1. </b><i> El grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_n</math> el grupo simétrico de <math>I_n =\{1, 2, \dots,n\}</math>. </i> === El Grupo de Automorfismos de un Grupo === Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en sí mismo. Sea ''G'' un grupo, por ''Aut(G)'' denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que ''Aut(G'') con la composición de funciones forman un grupo, contenido en <math>\textsf{S}_G</math>. {{Ejmpl|Automorfismos de <math>C_n=c_{n,a}</math>}} Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como <math>a</math> es un generador del grupo, su imagen <math<f(a)</math>debe ser un generador del grupo. <ul> <li> (n=5) Es fácil ver por inspección, que los generadores de <math>C_5</math> son <math>a^i</math> para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que <math>f_i (a) = a^i</math> para <math>i=1,2,3,4</math>. Observemos que <math>f_1(a) = a</math> implica que <math>f_1(a^j) =f_1(a)^j = a^j</math>, es decir que <math>f_1=id</math>, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente tabla para <math>\rm{Aut}(C_5).</math> {{Eqn|<math>\begin{array}{c|cccc} & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ \hline f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f_2 & f_2 & f_4 & f_1 & f_3 \\ f_3 & f_3 & f_1 & f_4 & f_2 \\ f_4 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 \end{array}</math>}} Lo que prueba que <math>\rm{Aut}(C_5) \cong C_4.</math> <li> (n=6) En <math>C_6</math> hay solo dos generadores, <math>a</math> y <math?a^5</math>.. Por lo que hay solamente dos automorfismos: <math>id: a \mapsto a</math> y <math>\sigma: a \mapsto a^5</math>. Por lo que <math>\rm{Aut}(C_6) \cong C_2.</math> </ul> <hr> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea <i>P</i> el subconjunto de <math>\Z</math> formado por todos los enteros pares. Probar que la función <math>x \mapsto 2x</math> es un homomorfismo de grupos desde <math>\Z</math> en <i>P</i> ¿Es un isomorfismo? <li> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> Para todo <i>a</i> de <i>G</i> y <i>n</i> entero se cumple que <math>f(a)^n = f(a^n)</math>. <li> Para todo <i>a</i>, <i>b</i> en <i>G</i>, si <i>a</i> conmuta con <i>b</i> en <i>G</i>, lo mismo pasa con sus imágenes en <i>H</i>. <li> Si <i>a</i> es conjugado con <i>b</i> en <i>G</i>, entonces <i>f(a)</i> es conjugado con <i>f(b)</i> en <i>H</i>. <li> Si hay un <i>a</i> en <i>G</i> tal que <i>aⁿ=e</i> para algún <i>n</i> natural, hay un elemento de <i>H</i> con la misma propiedad. </ol> <li> Sea <math>H</math> una imagen homomórfica de <math>G</math>. Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> Si <i>G</i> es abeliano, <i>H</i> también lo es. <li> Si <i>G</i> es cíclico, <i>H</i> también lo es. </ol> <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que para cada <i>n</i> natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación <math>x^n=e</math> en <i>G</i>, es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en <i>H</i>. <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que la inversa de <math>f</math>, <math>f^{-1} : H \longrightarrow G</math> es un isomorfismo. <li> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> La composición de monomorfismos es un monomorfismo. <li> La composición de supramorfismos es un supramorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> <li> ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos? <li> Sea <math>G = (\Q \times \Q) \setminus\{(0,0)\}</math> (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación <math>\otimes</math> en <i>G</i> por <math>(a,b) \otimes (c,d) := (ac - 5bd, ad +bc).</math> Sea <i>f</i> la función de <i>G</i> en el grupo multiplicativo de los complejos, <math>\Complex^*</math> tal que <math>f(a,b) = a + ib\sqrt{5}</math>, donde <math>i^2=-1</math>. Probar que <i>G</i> es un grupo abeliano y que <i>f</i> es un monomorfismo de grupos. <li> Sean <math>G = H \times K</math> un producto de grupos . Sean <math>pr_1: G \longrightarrow H</math> y <math>pr_2: G \longrightarrow K</math> tales que <i>pr₁(h,k) = h</i> y <i>pr₂(h,k) = k</i>. Probar que las proyecciones <i>pr₁</i> y <i>pr₂</i> son supramorfismos. <li> Sean <math>f: K \longrightarrow G</math> y <math>g: K \longrightarrow H</math> homomorfismos de grupos. Sea <math>\varphi: K \longrightarrow G \times H</math> tal que <math>\varphi(x) = (f(x), g(x))</math>. Probar que <math>\varphi</math> es un homomorfismo de grupos. <li> Sean <i>G</i>, <i>H</i> y <i>K</i> grupos. Probar que <ol type= "a"> <li> <math>G \times H \cong H \times G</math>. <li> <math>G \times (H \times K) \cong (G \times H) \times K</math>. <li> <math>G \times \epsilon \cong G</math>, donde <math>\epsilon</math> es el grupo trivial con un elemento. </ol> <li> Sea <i><G,*></i> un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de <math>G \times G</math> en <i>G</i> es un homomorfismo de grupos, ssi, <i>G</i> es abeliano. <li> Probar que <math>\Z_2 \oplus \Z_2</math> es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a <math>\Z_4</math>. <li> Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos. <li> (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad <ol type="a"> <li> Sea <math>f:\Q \longrightarrow \Q</math> tal que <i>f(q) = aq</i>, donde <i>a</i> es un número racional fijo. Probar que <i>f</i> es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando <math>a \neq 0</math>. <li> Sea <math>\varphi: \Q \longrightarrow \Q</math> un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que <math>\varphi(q) = aq</math>, donde <math>a = \varphi(1)</math>. </ol> <li> Sea <i>G</i> un grupo de orden par. Probar que siempre <i>G</i> contiene un elemento de orden 2. <li> Hallar los homomorfismos de <math>\Z_8</math> en sí mismo. ¿Cuántos de ellos son isomorfismos? <li> Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe. <table> <tr> <td width = 5 %> a. <td width=35%> <math>\Z_2 \longrightarrow \Z_4</math>. <td width = 5 %> b. <td width = 35 %><math>\Z_2 \longrightarrow \Z_5. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> c. <td width=35%> <math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_4 </math>. <td width = 5 %> d. <td width = 35 %><math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_5 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> e. <td width=55%> <math>\Z \longrightarrow S_3 </math>. <td width = 5 %> f. <td width = 55 %><math>\Z \longrightarrow D_8 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> g. <td width=35%> <math>Z \times Z \longrightarrow 2\Z</math>. <td width = 5 %> h. <td width = 35 %> <math>2\Z \longrightarrow \Z \times \Z. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> i. <td width=35%> <math>S_3 \longrightarrow S_4 </math>. <td width = 5 %> j. <td width = 35 %><math>C_{25} \longrightarrow C_{30} </math>. </tr> </table> <li> (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides. </ol> <!-- == Comentarios == == Referencias == --- abc 06-04-2015 Orto 03-29-2021 --> == Notas == {{Listaref}} [[Categoría:Libros]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] <!-- [[Categoría:Homomorfismo de Grupos]] --> mupjrddjyxcpnfkowpc40vaqk0xwxyu 423192 423191 2025-07-08T23:21:22Z Rehernan 55364 423192 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Homomorfismos |anterior=Grupos |siguiente=Subgrupos }} </noinclude> == Introducción == Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C_4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U₄ = U₄(<math> \Complex</math>). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente afirmativa, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que de la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C_4,a como U₄ son grupos cíclicos con generadores ''a'' e ''i'' respectivamente y que tenemos el siguiente pareo. <center><math> \begin{array}{lcl} C_4 && U_4 \\ \hline a & \leftrightarrow & i \\ a^2 & \leftrightarrow & i^2=-1\\ a^3 & \leftrightarrow & i^3 = -i \\ a^4 = e & \leftrightarrow & i^4 = 1 \end{array} </math></center> El pareo hace que el ''algebra'' de ambos grupos luzca bastante similar. La manera de comparar dos grupos será la noción de homomorfismo, la cual formalizará la noción de semejanza de dos grupos. En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías (<i>iguales formas</i>como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que serán funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo. == Definiciones == <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="definicion"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Homomorfismo de Grupos)</span> Sean <math><G,*,e,x \mapsto x^{-1}> </math> y <math><G', *', e', x \mapsto x'> </math> grupos.<br /> Un '''homomorfismo''' del grupo G en el grupo G' es una función <math>f:G \rightarrow G' </math> tal que <ol type="i"> <li> <math> f</math> permuta con las operaciones: <math> f(x * y) = f(x) *'f(y).</math> <li> <math>f</math> envía neutro en neutro: <math>f(e) = e'</math> <li> <math>f</math> envía inversos en inversos: <math>f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.</math> </ol> <b>Tipos de Homomorfismos </b><br /> Un homomorfismo <math>f:G \rightarrow G'</math> es un: <ul> <li> '''monomorfismo''', cuando <math>f</math> es inyectiva. <li> '''supramorfismo''', cuando <math>f</math> es suprayectiva. <li> '''isomorfismo''', uando <math>f</math> es biyectiva. <li> '''endomorfismo''', cuando es un homomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. <li> '''automorfismo''', cuando es un isomorfismo de <math>G</math> en sí mismo. </ul> Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son '''isomorfos''' y escribimos <math>G \cong G'</math>. Decimos que un grupo H es una <b>imagen homomórfica</b> de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H. </div> {{Ejmpl|Ejemplo Clásico de Homomorfismo}} El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el <i>logaritmo</i> que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. <math>\ln:<\R^+,\cdot> \rightarrow <\R, +> </math> ya que <ol type = "i"> <li> <math>\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y) </math>, <li> <math>\ln(1) = 0</math>, y <li> <math>\ln(1/x) = - \ln(x)</math>. </ol>Además, se trata de un isomorfismo, ya que el logaritmo es una función biyectiva, ya que tiene a la función exponencial como inversa. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Homomorfismo trivial)}} Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un homomorfismo que llamaremos el <i>homomorfismo trivial</i> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Los grupos U₄ y C₄ son isomorfos)}} Sea f la función que envía <math> a^k</math> en <math>i^k</math>. Como todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores tenemos que <center><math> \begin{array}{ll} (i) & f(a^m a^n) = f(a^{m+n}) = i^{m+n} = i^m i^n = f(a^m)f(a^n). \\ (ii)& f(e) = f(a^4) = i^4= 1. \\ (iii) & f(a^{-1}) = i^{-1} = f(a)^{-1} \end{array} </math></center> Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son isomorfos. <hr> {{Ejmpl| Endomorfismo aditivo de <math>\Z</math>}} Sea <math> f : <\Z,+> \rightarrow <\Z, +></math> tal que <math>f(x) = 5x.</math> Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que <math> \begin{array}{ll} (i) & f(x+y) = 5(x+y) = 5x + 5y = f(x) = f(y)\\ (ii) & f(0) = 0; \text{ y} \\ (iii) & f(-x) = 5(-x) = -5x = -f(x). \end{array}</math> Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en sí mismo) que es inyectivo, pero no suprayectivo. <hr> == Propiedades de los Homomorfismos == La definición dada de homomorfismo arriba, es la definición general de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice [[../Estructuras Algebraicas|La teoría de las Estructuras Algebraicas.]]</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos. <b>Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa)</b>. <i> Sean <math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que <math>f(x * y)= f(x) *' f(y).</math>'' </i> <ul><i> Demostración: </i> La condición es claramente necesaria. Veamos que es suficiente. Observemos que <math>f(e) = f(e * e) = f(e) *'f(e) </math>, lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x * x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math> :Lo que prueba la proposición. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}} La función <math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero <math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>m</i> es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y {{Eqn|<math> \nu(x+y)= [x+y] = [x] + [y] = \nu(x)+\nu(y) </math>}} {{QED}} <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Determinante de Matrices)}} La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B).</math></center> Por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles <b>GL</b>₂<math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz. <hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}} Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H \times K</math>. Sea <math>pr_H:G \longrightarrow H</math> tal que <math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada). <math>pr_H</math> es un supramorfismo, ya que {{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 = pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}} Resultado análogo para la segunda proyección. <hr> <b>Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) </b><i> La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean <math>f:G_1 \longrightarrow G_2</math> y <math>g: G_2 \longrightarrow G_3</math> homomorfismos. Entonces. <center><math> \begin{array}{rcl} (g \circ f)(xy) &=& g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\ &=& (g\circ f)(x)(g\circ f)(y). \end{array}</math></center> {{QED}} </ul><hr> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de <math>g</math>. Probaremos que para todo <math>n</math> natural, <math>f(x^n) = f(x)^n</math>. Si <math>n=0</math>, <math>f(x^n) = f(x^0) =f(e) = e'= f(x)^0</math>. Suponiendo el resultado para valores menores de n, tenemos <math>f(x^n)=f(x^{n-1}x) = f(x^{n-1})f(x) = (f(x))^{n-1}f(x) = f(x)^n.</math> <b>Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) </b> <i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que</i> <math>f(x^n) = f(x)^n.</math></i> <ul> <i> Demostración: </i> La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de <i>n</i>. Sea <i>n > 0</i>, entonces {{Eqn|<math>f(x^{-n}) =f((x^{-1})^n) = f(x^{-1})^n = (f(x)^{-1})^n = f(x)^{-n}, </math>}} {{QED}} </ul> <hr> <b>Corolario 3.1.</b><i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x. </i> <ul> <i> Demostración: </i> Sea <i>n=o(x)</i>. Entonces, <i>xⁿ = e </i>, lo que implica que <math>f(x)^n)=f(x^n) =f(e) = e'</math>. Por lo que <i>n</i> es un múltiplo de <i>o(f(x))</i>. {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? <math>\R</math> es el grupo aditivo de los Reales y <math>\R^*</math> el grupo multiplicativo de los Reales no nulos. <ol type = "a"> <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t + 2</math>. <li> <math>f: \R^* \longrightarrow \R^*:: t \mapsto 3t</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto t^2</math>. <li> <math>f:\R^* \longrightarrow \R^* :: t \mapsto |t|</math>. </ol> <li> Sea <math>G=H \times K</math>. Sea <math>\iota_H: H \longrightarrow G</math> tal que <math>\iota_H(h)=(h,e_K)</math>. Probar que <math>\iota_H</math> es un monomorfismo de grupos. Definir un <math>\iota_K</math> y enunciar y probar un resultado análogo. </ol> == Isomorfismos de Grupos == Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que <math> G \cong G'</math> significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva. <ul> <li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>x' = f(x), y' = f(y)</i> que <i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>. Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo. <li> Si tenemos isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo. </ul> <hr> Al pasar, hemos probado la siguiente proposición. <br> <b>Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i> <ol type = "a"> <li> La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> </i> <hr> <b>Observaciones. </b> El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación. Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones. {{Caja|<center>'''La Clasificación de Grupos'''</center> El objetivo central de la teoría de grupos es la clasificación de los mismos. Esto es determinar todos los posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.}} Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro. Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo que decimos que hay un único grupo con un elemento. {{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}} Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos. Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean <i>G={e,a}</i> y <i>H = {e',a'}</i> donde los elementos neutros son <i>e</i> y <i>e'</i> respectivamente. Sea <i>g</i> la función de <i>G</i> en <i>H</i> tal que <i>g(e)=e'</i> y <i>g(a) = a'</i>. Entonces, <center><math> \begin{array}{l} g(e*e) = g(e)= e'= ee' =g(e)g(e)\\ g(e*a) = g(a) = e'g(a) = g(e) g(a) \\ g(a*e) = g(a) = g(a)e' = g(a)g(e) \\ g(a*a) = g(e) = e' = bb = g(a)g(a). \end{array} </math></center> Lo que prueba que <i>g</i> es un isomorfismo. <hr> Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean <math>f:G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <i>x</i> un elemento de <i>G</i>, entonces tenemos, por un corolario anterior, que <math>o(f(x)|o(x)</math>. como <math>x = f^{-1}(f(x))</math> y <math>f^{-1}</math> es un homomorfismo, tenemos que <math>o(x)|o(f(x))</math>. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante. {{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}} Los grupos cíclicos de orden 4, <b>C₄</b> y <b>K</b> (grupo de Klein), vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C₄ hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos. <hr> ==== Isomorfismo de Grupos Cíclicos ==== Nuestra próxima proposición formaliza algo que podíamos haber intuido. <b>Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos)</b> <i> Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.</i> <ul><i> Demostración: </i> Sean G=C__n,a y H = C__n,b. Definamos f:G en H por ''f(a^k) = b^k''. Se tiene entonces que <center><math>f(a^ja^k) = f(a^{j+k})= b^{j+k} = b^jb^k = f(a^j)f(b^k) = f(a^j)f(a^k).</math></center> Lo que prueba que f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que <math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que <math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que <math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>. Si <math> k \neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que <math>n</math>. Lo que es imposible, ya que porque por las hipótesis <math>n</math> es el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego <math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la prueba. {{QED}} </ul><hr> ==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ==== Recordemos que el grupo simétrico, <math>\textsf{S}_X</math>, es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto <math>X</math> en sí mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico. Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y'' conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow Y</math> la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f: S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en <math>S_X</math>, asociamos la función <math>S_f(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> de ''Y'' en sí mismo. [[Archivo:IsoGruposSimetricos.jpg|derecha|200px]] Como <math>S_f(\sigma)</math> es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de <i>Y</i> en <i>Y</i>, o sea de un elemento de <math>S_Y</math>. Veamos, ahora, que <math>S_f</math> es un homomorfismo.<center><math> S_f(\sigma )S_f(\tau) =f \sigma f^{-1} \circ f \tau) f^{-1} = f (\sigma \tau) f^{-1} = S_f(\sigma \tau ). </math></center> Claramente, la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de <math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de <math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos. <b>Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos)</b> <i> Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.</i> <b>Corolario 6.1. </b><i> El grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_n</math> el grupo simétrico de <math>I_n =\{1, 2, \dots,n\}</math>. </i> === El Grupo de Automorfismos de un Grupo === Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en sí mismo. Sea ''G'' un grupo, por ''Aut(G)'' denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que ''Aut(G'') con la composición de funciones forman un grupo, contenido en <math>\textsf{S}_G</math>. {{Ejmpl|Automorfismos de <math>C_n=c_{n,a}</math>}} Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como <math>a</math> es un generador del grupo, su imagen <math<f(a)</math>debe ser un generador del grupo. <ul> <li> (n=5) Es fácil ver por inspección, que los generadores de <math>C_5</math> son <math>a^i</math> para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que <math>f_i (a) = a^i</math> para <math>i=1,2,3,4</math>. Observemos que <math>f_1(a) = a</math> implica que <math>f_1(a^j) =f_1(a)^j = a^j</math>, es decir que <math>f_1=id</math>, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente tabla para <math>\rm{Aut}(C_5).</math> {{Eqn|<math>\begin{array}{c|cccc} & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ \hline f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f_2 & f_2 & f_4 & f_1 & f_3 \\ f_3 & f_3 & f_1 & f_4 & f_2 \\ f_4 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 \end{array}</math>}} Lo que prueba que <math>\rm{Aut}(C_5) \cong C_4.</math> <li> (n=6) En <math>C_6</math> hay solo dos generadores, <math>a</math> y <math?a^5</math>.. Por lo que hay solamente dos automorfismos: <math>id: a \mapsto a</math> y <math>\sigma: a \mapsto a^5</math>. Por lo que <math>\rm{Aut}(C_6) \cong C_2.</math> </ul> <hr> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sea <i>P</i> el subconjunto de <math>\Z</math> formado por todos los enteros pares. Probar que la función <math>x \mapsto 2x</math> es un homomorfismo de grupos desde <math>\Z</math> en <i>P</i> ¿Es un isomorfismo? <li> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> Para todo <i>a</i> de <i>G</i> y <i>n</i> entero se cumple que <math>f(a)^n = f(a^n)</math>. <li> Para todo <i>a</i>, <i>b</i> en <i>G</i>, si <i>a</i> conmuta con <i>b</i> en <i>G</i>, lo mismo pasa con sus imágenes en <i>H</i>. <li> Si <i>a</i> es conjugado con <i>b</i> en <i>G</i>, entonces <i>f(a)</i> es conjugado con <i>f(b)</i> en <i>H</i>. <li> Si hay un <i>a</i> en <i>G</i> tal que <i>aⁿ=e</i> para algún <i>n</i> natural, hay un elemento de <i>H</i> con la misma propiedad. </ol> <li> Sea <math>H</math> una imagen homomórfica de <math>G</math>. Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> Si <i>G</i> es abeliano, <i>H</i> también lo es. <li> Si <i>G</i> es cíclico, <i>H</i> también lo es. </ol> <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que para cada <i>n</i> natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación <math>x^n=e</math> en <i>G</i>, es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en <i>H</i>. <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que la inversa de <math>f</math>, <math>f^{-1} : H \longrightarrow G</math> es un isomorfismo. <li> Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a"> <li> La composición de monomorfismos es un monomorfismo. <li> La composición de supramorfismos es un supramorfismo. <li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol> <li> ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos? <li> Sea <math>G = (\Q \times \Q) \setminus\{(0,0)\}</math> (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación <math>\otimes</math> en <i>G</i> por <math>(a,b) \otimes (c,d) := (ac - 5bd, ad +bc).</math> Sea <i>f</i> la función de <i>G</i> en el grupo multiplicativo de los complejos, <math>\Complex^*</math> tal que <math>f(a,b) = a + ib\sqrt{5}</math>, donde <math>i^2=-1</math>. Probar que <i>G</i> es un grupo abeliano y que <i>f</i> es un monomorfismo de grupos. <li> Sean <math>G = H \times K</math> un producto de grupos . Sean <math>pr_1: G \longrightarrow H</math> y <math>pr_2: G \longrightarrow K</math> tales que <i>pr₁(h,k) = h</i> y <i>pr₂(h,k) = k</i>. Probar que las proyecciones <i>pr₁</i> y <i>pr₂</i> son supramorfismos. <li> Sean <math>f: K \longrightarrow G</math> y <math>g: K \longrightarrow H</math> homomorfismos de grupos. Sea <math>\varphi: K \longrightarrow G \times H</math> tal que <math>\varphi(x) = (f(x), g(x))</math>. Probar que <math>\varphi</math> es un homomorfismo de grupos. <li> Sean <i>G</i>, <i>H</i> y <i>K</i> grupos. Probar que <ol type= "a"> <li> <math>G \times H \cong H \times G</math>. <li> <math>G \times (H \times K) \cong (G \times H) \times K</math>. <li> <math>G \times \epsilon \cong G</math>, donde <math>\epsilon</math> es el grupo trivial con un elemento. </ol> <li> Sea <i><G,*></i> un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de <math>G \times G</math> en <i>G</i> es un homomorfismo de grupos, ssi, <i>G</i> es abeliano. <li> Probar que <math>\Z_2 \oplus \Z_2</math> es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a <math>\Z_4</math>. <li> Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos. <li> (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad <ol type="a"> <li> Sea <math>f:\Q \longrightarrow \Q</math> tal que <i>f(q) = aq</i>, donde <i>a</i> es un número racional fijo. Probar que <i>f</i> es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando <math>a \neq 0</math>. <li> Sea <math>\varphi: \Q \longrightarrow \Q</math> un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que <math>\varphi(q) = aq</math>, donde <math>a = \varphi(1)</math>. </ol> <li> Sea <i>G</i> un grupo de orden par. Probar que siempre <i>G</i> contiene un elemento de orden 2. <li> Hallar los homomorfismos de <math>\Z_8</math> en sí mismo. ¿Cuántos de ellos son isomorfismos? <li> Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe. <table> <tr> <td width = 5 %> a. <td width=35%> <math>\Z_2 \longrightarrow \Z_4</math>. <td width = 5 %> b. <td width = 35 %><math>\Z_2 \longrightarrow \Z_5. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> c. <td width=35%> <math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_4 </math>. <td width = 5 %> d. <td width = 35 %><math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_5 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> e. <td width=55%> <math>\Z \longrightarrow S_3 </math>. <td width = 5 %> f. <td width = 55 %><math>\Z \longrightarrow D_8 </math>. </tr> <tr> <td width = 5 %> g. <td width=35%> <math>Z \times Z \longrightarrow 2\Z</math>. <td width = 5 %> h. <td width = 35 %> <math>2\Z \longrightarrow \Z \times \Z. </math> </tr> <tr> <td width = 5 %> i. <td width=35%> <math>S_3 \longrightarrow S_4 </math>. <td width = 5 %> j. <td width = 35 %><math>C_{25} \longrightarrow C_{30} </math>. </tr> </table> <li> (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides. </ol> <!-- == Comentarios == == Referencias == --- abc 06-04-2015 Orto 03-29-2021 --> == Notas == {{Listaref}} [[Categoría:Libros]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta]] <!-- [[Categoría:Homomorfismo de Grupos]] --> s3qzumq4cqji0mro1xxfwla1zptpryx 0 51364 423176 421614 2025-07-08T22:28:32Z Rehernan 55364 423176 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol> <i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <b>Zm</b> === <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') <math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Álgebra Abstracta]][[Categoría:Divisibilidad]] 53wp79o93ipe5jskx0o38qe4iq53xvn 423177 423176 2025-07-08T22:30:51Z Rehernan 55364 /* La Estructura de los Zm */ 423177 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol> <i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <b>Zm</b> ===<math>\Z_m</math> <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') <math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Álgebra Abstracta]][[Categoría:Divisibilidad]] kelsdiiw6xq527gmfa2rut1q4vrt1nr 423178 423177 2025-07-08T22:36:50Z Rehernan 55364 /* Asociados */ 423178 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol></i> <i>Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <b>Zm</b> ===<math>\Z_m</math> <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') <math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Álgebra Abstracta]][[Categoría:Divisibilidad]] 87if18z50fmt07wee7z12keba94plnw 423179 423178 2025-07-08T22:40:12Z Rehernan 55364 /* Comentarios */ 423179 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol></i> <i>Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <b>Zm</b> ===<math>\Z_m</math> <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') <math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] 1hezy7k7pkcr9jisdsy9zvuv6cpxnvv 423180 423179 2025-07-08T22:47:18Z Rehernan 55364 /* Ideales Principales */ 423180 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol></i> <i>Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <math>\Z_m</math>=== <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') <math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] i4trlv4y6ymz8jxzy6vdzo8i5w5bd4r 423181 423180 2025-07-08T22:55:01Z Rehernan 55364 /* El Cuerpo de Fracciones de un Dominio */ 423181 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol></i> <i>Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <math>\Z_m</math>=== <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') </math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] 4y0rlabwf4h3pykj8wnbd485gfehwad 423182 423181 2025-07-08T22:56:24Z Rehernan 55364 /* Comentarios */ 423182 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol></i> <i>Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <math>\Z_m</math>=== <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') </math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] 51ymovbmbvymwmtmnncfvigo2rj3wzm 423183 423182 2025-07-08T22:58:03Z Rehernan 55364 423183 wikitext text/x-wiki [[Categoría:Álgebra Abstracta]]<noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Álgebra Abstracta |actual=Divisibilidad |anterior=Los Ideales |siguiente=Anillo de Polinomios }} </noinclude> == Introducción == En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad. Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio. {{Marco|<b>Convenio</b>. Todos nuestros <b>anillos</b> serán <b>conmutativos con identidad</b>, a menos se diga explícitamente lo contrario. }} == La Divisibilidad == En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales. {{DefRht|Divisores, Unidades, Asociados| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ul> <li> Decimos que un elemento no nulo <math>a</math> <b>divide</b> a <math>b,</math> ssi, hay un elemento <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Simbólicamente <math>a|b.</math> <li> Decimos que un elemento <math>u</math> de <math>D</math> es una <b>unidad</b>, ssi, <math>u</math> es un divisor de la identidad. <li> Decimos que los elementos <math>a</math> y <math>b</math> son <b>asociados</b>, ssi, hay una unidad <math>u</math> tal que <math>a = bu.</math> </ul>}} <b>Observaciones.</b> <ol> <li> Cuando <math>a</math> divide a <math>b,</math> podemos también decir alguna de las siguientes expresiones. <ul> <li> <math>a</math> es un factor de <math>b.</math> <li> <math>a</math> des un divisor de <math>b.</math> <li> <math>b</math> es un múltiplo de <math>a.</math> <li> <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ul> <li> Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden. <li> Un <i>divisor de cero</i> es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0. </ol> <hr> La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad. <b>Proposición 1. </b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Para todo <math>a,</math> <math>b,</math> <math>c</math> en <math>A</math> se cumple que <ol type="a"> <li> Cualquier elemento <math>a</math> es divisible por 1, <math>1|a.</math> <li> Cualquier elemento es divisible por sí mismo, <math>a|a.</math> <li> Cero es divisible por cualquier elemento, <math>a|0.</math> <li> La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si <math>a|b</math> y <math>b|c</math> entonces <math>a|c.</math> <li> Si <math>a|b</math> y <math>a|c</math> entonces <math>a|(b+c).</math> <li> Si <math>a|b</math> entonces <math>a|cb.</math> </ol></i> <ul><i> Demostración: </i> Ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> === Unidades === Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad. Observemos que cuando <math>u</math> es una unidad, como <math>u|1,</math> <math>u</math> es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, <math>1</math> y <math>-1</math> son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad. {{Ejmpl|Ejemplo (Enteros de Gauss)}} Sea <math>A = \Z[i] = \{a +bi: a, b \in \Z, i^2 = -1\}.</math> Sabemos de ejemplos anteriores que <math>A</math> es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de <math>\Complex,</math> es un dominio de integridad. Además de <math>1</math> y <math>-1,</math> también son unidades <math>i</math> y <math>-i,</math> ya que <math>i(-i)=1.</math> Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo. <hr> Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por <math>A^*</math> o <math>U(A).</math> Como las unidades son los elementos invertibles, <math>U(A)</math> es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que <math>U(A)</math> tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo. === Asociados === Sea <math>a</math> un asociado de <math>b</math> , digamos que <math>a = bu,</math> donde <math>u</math> es una unidad. Sea <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Entonces, <center><math>a=bu \implies av = (bu)v = b(uv) = b.</math></center> lo que prueba que <math>b</math> está asociado con <math>a.</math> Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia. La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella. <b>Proposición 2.</b> <i> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con Identidad. Sean <math>a</math> y <math>b</math> elementos de <math>A</math> tales que <math>a|b.</math> <ol> <li> Cualquier asociado de <math>a</math> divide a <math>b.</math> <li> Cualquier asociado de <math>b</math> es divisible por <math>a.</math> </ol></i> <i>Demostración: </i> Supongamos que <math>x</math> es tal <math>ax=b</math> Sea <math>a = cu,</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>b=ax=(cu)x = c(ux),</math> lo que prueba que <math>c</math> divide a <math>b.</math> Sea <math>d = bu</math> con <math>u</math> unidad. Entonces, <math>d=bu = (ax)u = a(xu),</math> lo que prueba que <math>a</math> divide a <math>d.</math> {{QED}} </ul> <hr> Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue: <ul><i>Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos elementos de un anillo <math>A</math> (conmutativo con identidad). Un elemento <math>d</math> es un MCD de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, <ol> <li> <math>d</math> es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y <li> <math>d</math> es divisible por cualquier otro divisor común. </ol></i> </ul> Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de <b>un</b> MCD y no de <i>el</i> MCD. {{Ejmpl|Ejemplo}} En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de <math>MCD,</math> se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a <math>-2</math> (el asociado a 2). <hr> La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, <i>excepto por asociados</i> o <i> modulo asociados.</i> En el caso de los Enteros como <math>a</math> y <math>-a</math> son los únicos asociados con <math>a,</math> podemos, usando el orden, escoger el positivo. Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas: <ul> <li> (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad. <li> (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos. </ul> Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán. {{DefRht|Elementos Irreducibles, Primos| Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. <ol> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] <li> Un elemento <math>a</math> de <math>A</math> es <b>irreducible</b> (en <math>A</math>), ssi, <math>a</math> no es nulo ni es una unidad y <math>a=xy</math> implica que <math>x</math> o <math>y</math> es una unidad. <li> Un elemento <math>p</math> de <math>A</math> es <b>primo</b> (en <math>A</math>), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando <math>p|ab</math> entonces <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> </ol> }} Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad. <b>Observaciones. </B> <ol> <li> En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores. <li> En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales. <li> Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante. </ol> <hr> === La Aritmética en un Dominio === La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales. <b>Proposición 3.</b> <i> Sea <math>D</math> un dominio, entonces <ol type="a"> <li> Si <math>a|b</math> y <math>b|a</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Si <math>a|b</math> hay un único elemento <math>c</math> tal que <math>b=ac.</math> Escribiremos que <math>c=b/a.</math> </ol> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="a"> <li> Como <math>a|b</math> hay un <math>x</math> tal que <math>ax=b.</math> Análogamente, <math>b|a</math> implica que hay un <math>y</math> tal que <math>a=by.</math> Luego, como <math>a=by \implies a = axy,</math> se tiene que <math>a1 = axy,</math> cancelando <math>a</math> se tiene que <math>xy=1,</math> por lo que <math>x</math> y <math>y</math> son unidades. De donde el resultado. <li> Si <math>b=ac = ac',</math> por cancelación <math>c=c'.</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 4. (Primos son Irreducibles)</b> <i> Si <math>p</math> es un elemento primo de un dominio <math>D,</math> <math>p</math> es irreducible. </i> <ul><i>Demostración: </i> Sea <math>p</math> un elemento primo de <math>D.</math> Supongamos que <math>p=ab.</math> Luego, por definición de elemento primos se tiene que <math>p|a</math> o <math>p|b.</math> Luego para <math>a</math> o <math>b,</math> digamos <math>a</math> se cumple que <math>a|p</math> y que <math>p|a.</math> Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que <math>p</math> y <math>a</math> son asociados. Luego hay una unidad <math>u</math> tal que <math>p=au.</math> Como <math>p=ab,</math> por cancelación se tiene que <math>b=u,</math> o sea que <math>b</math> es una unidad. {{QED}} </ul><hr> {{Ejmpl|Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo)}} Sea <math>D = \Z[\sqrt{-5}] = \{a + b i \sqrt{5} : a,b \in \Z, \quad i^2=-1\}.</math> Sabemos que <math>D</math> es un dominio, ya que es un subanillo de <math>\Complex.</math> Primeramente, determinaremos las unidades de <math>D.</math> Para <math>z</math> en <math>D,</math> recordemos que llamamos <i>norma</i> de <math>z,</math> al número denotado por <math>N(z)</math> y definido como <math>N(z) := z\, \overline{z},</math> donde <math>\bar{z}</math> es el conjugado de <math>z</math> como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada <math>a+bi \sqrt{5}</math> en <math>D,</math> se cumple que <math>N(a+bi\sqrt{5}) = (a+bi\sqrt{5})\overline(a-bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2.</math> Por lo que la norma de un elemento de <math>D</math> es un número entero. Se cumple, además, que <center><math>N(zw) = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z} \, \overline{w}= z\bar{z} \, w\bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Supongamos que <math>u=a+bi\sqrt{5}</math> fuera una unidad de <math>D.</math> Se tendría, entonces, que hay un <math>v</math> tal que <math>uv=1.</math> Por lo que <math>N(u)N(v) =N(uv) = N(1)=1.</math> Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando <math>u=a+bi</math> es una unidad, tenemos que <math>N(u) = u \bar{u} = a^2 + 5b^2=1,</math> por lo que se cumplirá que <math>a^2 = 1</math> y <math>b^2=0.</math> Luego, <math>1</math> y <math>-1</math> son las únicas unidades de <math>D.</math> Probaremos ahora que <math>3</math> es irreducible. Suponiendo que <math>3 = zw,</math> tomando conjugados tenemos que <math>3 = \bar{z} \bar{w}.</math> Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que <center><math>9 = z\bar{z} w \bar{w} = N(z)N(w).</math></center> Luego <math>N(z) = z\bar{z} = a^2+5 b^2 </math> es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible <math>a^2=3</math> con <math>a</math> entero y <math>b>0</math> implica que <math>N(z) \ge 5,</math> la alternativa <math>N(z)=3</math> es imposible. Luego <math>N(z) = 1</math> o <math>N(z) = 9.</math> Claramente, <math>N(z)=1</math> implica <math>z \bar {z} = 1,</math> lo que dice que <math>z</math> es un unidad. Si <math>N(z) = 9,</math> <math>z</math> no es unidad, pero entonces <math>N(w) = 1,</math> por que <math>w</math> una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible. Observemos ahora que <math>(1 + 2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{5}) = 21 = 3 * 7.</math> Como, obviamente <math>3</math> no divide a <math>1+2\sqrt{-5}</math> o a su conjugado, <math>3</math> no puede ser primo. <hr> === Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo === Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad. {{DefRht|MCD, MCM| Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D</math> y al menos uno de ellos no es nulo. <ol> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcd (máximo común divisor) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un divisor común de <math>a</math> y <math>b,</math> y es divisible por cualquier otro factor común. Notación <math>\text{mcd}\{a,b\}.</math> <li> Un elemento <math>d</math> es un mcm (mínimo común múltiplo) de <math>a</math> y <math>b,</math> ssi, es un múltiplo común de <math>a</math> y <math>b,</math> y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación <math>\text{mcm}\{a,b\}.</math> </ol> }} <b>Observaciones. </b> <ol> <li> Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades. <li> Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm. </ol> <hr> Se tiene la siguiente proposición. <b>Proposición 5.</b> <i> <!-- propmcd --> Sea <math>D</math> un dominio y sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos no nulos de <math>D.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>a</math> y <math>b</math> tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que <math>ab = \text{mcd}\{a,b\} \text{mcm}\{a,b\}.</math> <li> Si existe <math>\text{mcm}</math> entonces <math>\text{mcd} = ab/\text{mcm}.</math> </ol> </i> <ul><I> Demostración: </i> Ejercicio. </i> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Probar la proposición 1. <!-- propBasicaDivisibilidad --> <li> Sean <math>a,b,d</math> elementos de un anillo <math>A.</math> Sea <math>d</math> tal que <math>d|a</math> y <math>d|b</math> Probar que para todo <math>x,</math> <math>y</math> en <math>A,</math> <math>d|(ax+by).</math> <li> Sean <math>(x_i)</math> <math>1 \le i \le r</math> una familia de elementos de un anillo <math>A</math> y <math>d</math> un divisor común de los elementos de la familia. Probar que <math>d</math> divide cualquier combinación lineal de los <math>a_i</math>'s con coeficientes en <math>a,</math> o sea que <math>d</math> es un divisor de <center><math> \sum_{i-1}^n a_ix_i,</math></center> para todo <math>a_i</math>'s en <math>A.</math> <li> Probar que si <math>a</math> y <math>b</math> son elementos de un dominio de integridad y <math>\text{mcd}(a,b) = d,</math> entonces <math>\text{mcd}(a/d,b/d) =1.</math> <li> Probar la proposición 5. <!-- \ref{propMCD}. --> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{-m}]</math> donde <math>m</math> es un entero positivo. Probar que si <math>u</math> es una unidad, entonces su conjugado <math>\overline{z}</math> también lo es. <li> Sea <math>\Z[i]</math> el dominio de los Enteros de Gauss. <ol type="a"> <li> Probar que <math>(1+i)</math> es un factor de <math>2,</math> de <math>1+3i</math> y de <math>7-3i.</math> <li> Hallar otros tres factores de 2 en <math>\Z[i].</math> </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>D_p = \{a/b \in \Q: \text{mcd}(a,b)=1,\ b=p^k \text{ para algún }k \ge 0 \}.</math> Probar que <math>D_p</math> es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de <math>D_p.</math> Probar que cada primo en <math>D_p</math> es irreducible. <li> Sea <math>D = \{a + b \sqrt{5} \in \Complex: a, b \in \Z\}.</math> Sea <math>J=\langle 2 \rangle.</math> Construir la tabla de la adición y multiplicación de <math>D/J.</math> Hallar ideales de <math>D/J.</math> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> Verificar que; <ol type="a"> <li> <math>a+b\sqrt{7}=c+d\sqrt{7},</math> ssi, <math>a=b</math> y <math>c=d.</math> <li> <math>a +b\sqrt{7}</math> es una unidad, ssi, <math>a^2 - 7b^2=1.</math> <li> <math>8 \pm 3\sqrt{7}</math> y <math>-8 \pm 3\sqrt{7}</math> son unidades de <math>D.</math> <li> <math>127 -48 \sqrt{7}</math> es una unidad. <li> <math>1 +\sqrt{7}</math> es asociado de <math>29 + 11 \sqrt{7}.</math> <li> <math> (11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt7) = 9 = 3*3.</math> (¿Qué pasa con la factorización única?) </ol> <li> Sea <math>D= \{ a + b\sqrt{7} : a, b \in \Z\}</math> y sea <math>N(a+b\sqrt{7}) = a^2- 7b^2.</math> <ol type="a"> <li> Si <math>x,</math> <math>y</math> están en <math>D,</math> <math>N(x,y) = N(x)N(y).</math> <li> La ecuación <math>x^2-7y^2=3</math> no tiene soluciones enteras. <li> No hay elemento <math>x</math> de <math>D</math> tal que <math>N(x) = 3.</math> <li> Un entero no nulo <math>m</math> divide a <math>x=a+b\sqrt{7},</math> ssi, <math>n</math> divide a <math>a</math> y a <math>b.</math> </ol> </ol> == Ideales Principales == En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales. A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos. <b>Proposición 8. </b> <i> <!-- propIdealPrimoPrincipal --> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>I</math> un ideal principal no nulo, digamos que <math>I=\langle a \rangle ,</math> <math>a \neq 0.</math> El ideal <math>I</math> es un ideal primo en <math>A,</math> ssi, <math>a</math> es un elemento primo de <math>A.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> (<math>\Rightarrow</math>) Supongamos que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. Si <math>a|bc</math> se tiene que <math>bc,</math> por ser un múltiplo de <math>a,</math> es un elemento de <math>\langle a \rangle .</math> Por ser primo el ideal, tenemos que <math>b</math> o <math>c</math> están en <math>\langle a \rangle .</math> Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de <math>a,</math> o sea que <math>a</math> divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. (<math>\Leftarrow</math>) Sea <math>a</math> primo y sean <math>bc</math> en <math>\langle a \rangle .</math> Eso implica que <math>a|bc,</math> por lo que <math>a|b</math> o <math>b|c.</math> Es decir que <math>b</math> está en <math>\langle a \rangle </math> o <math>c</math> está en <math>\langle a \rangle .</math> Lo que prueba que <math>\langle a \rangle </math> es un ideal primo. {{QED}} </ul> <hr> {{Ejmpl|Ejemplo}}Los ideales <math>pZ</math> de <math>\Z</math> con <math>p</math> primo, son ideales primos. <hr> === La Estructura de los <math>\Z_m</math>=== <i>Convenio</i>. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo <math>\Z_m</math>. Así, <math>x</math> en <math>\Z_m</math> denotará la clase de <math>x</math> (<math>[x]</math>) . Los anillos <math>\Z_m</math> proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si <math>m</math> es primo, <math>\Z_m</math> es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0. Sabemos, también, que cuando <math>m=rs</math> con <math>\text{mcd}(r,s)=1</math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_r \oplus \Z_s.</math></center> Por inducción, cuando <math>m=p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} </math> entonces <center><math>\Z_m \cong \Z_{p_1^{r_1}} \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}.</math></center> <b>Las Unidades de <math>\Z_m.</math> </b> Recordemos que vimos anteriormente que un elemento <math>[a]</math> es invertible, ssi, <math>\text{mcd}(a,m)=1.</math> El cardinal de <math>\Z_m^*=U(\Z_m)</math> es <math>\varphi(m),</math> donde <math>\varphi</math> es la función de Euler. Vimos también que, con <math>m</math> como en la discusión anterior que <center><math>\Z_m^* = \Z_{p_1^{r_1}}^* \oplus \dots \oplus \Z_{p_k^{r+k}}^*.</math></center> La discusión anterior reduce el problema de la estructura de <math>\Z_m</math> a considerar el caso donde <math>m</math> es una potencia de un primo. {{Ejmpl|Ejemplo}} Sea <math>m=p^3</math> donde <math>p</math> es un número primo. Consideremos el anillo cociente <math>A=\Z/ \langle p^3 \rangle = \Z_{p^3}.</math> Observemos que <math>\text{mcd}(a,p^3)=1</math> implica que <math>\text{mcd}(a,p)=1.</math> Por lo que las unidades de <math>A</math> corresponden a números que no son divisibles por <math>p.</math> Luego, un elemento <math>x</math> de <math>A</math> es un divisor de cero, ssi, <math>p|x.</math> Luego, los divisores de cero en <math>A</math> son: <center><math>p,2p,, \dots, (p-1)p,[p*p, (p+1)p , \ldots, (p^2-1)].</math></center> Luego, hay <math>p^2-1</math> divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que <math>\varphi(p^3) = (p^3 -1) - (p^2 - 1) = p^3-p^2 = p^2(p-1).</math> Sea <math>J</math> un ideal propio de <math>A.</math> Como <math>J</math> no puede contener unidades, los elementos de <math>J</math> serán múltiplos de <math>[p].</math> Observemos que si <math>J = \langle p \rangle</math> se tiene que <math>J</math> es maximal, ya que fuera de <math>J</math> todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que <math>\langle p \rangle</math> es el único ideal maximal de <math>A.</math> Sea <math>K</math> un ideal propiamente contenido en <math>J.</math> Sea <math>r,</math> <math>1 < r < p^2</math> tal que <math>r</math> es minimal respecto a que <math>[rp]</math> está contenido en <math>K.</math> Si <math>1 < r < p</math> o <math>p < r < p^2</math> , se tiene que <math>r</math> es una unidad, por lo que <math>r^{-1}rpp = p</math> y <math>K</math> coincidiría con <math>J.</math> Luego, <math>K=\langle pp \rangle = \langle p^2 \rangle.</math> Es decir que, tenemos una cadena de ideales, <center><math>\{0\} \subset K = \langle p^2 \rangle \subset J = \langle p \rangle \subset A= \Z_{p^3}.</math></center> <hr> <b>Proposición 9. </b> <i> <!-- propEstrucZm} --> Sea <math>m=p^k,</math> <math>k \le 1</math> y <math>p</math> es un entero primo. Si <math>k=1,</math> <math>\Z_p</math> es un cuerpo. Las unidades de <math>\Z_m</math> forman un grupo de orden <math>p^{k-1}(p-1)</math> y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad <math>p^{k-1}</math> que está generado por <math>p.</math> Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma <math>\langle p^s \rangle,</math> <math>s >1.</math> </i> <ul> <I> Demostración: </i> Ejercicio {{QED}} </ul> <hr> === Ejercicios === <ol> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{12}</math> <li> Hallar los ideales maximales y primos de <math>\Z_{27},</math> <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z_{20}</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal primo de <math>\Z \times \Z</math> que no sea maximal. <li> Hallar un ideal propio de <math>\Z \times \Z</math> que no sea primo. <li> ¿Cierto o falso? <ol type="a"> <li> Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal. <li> Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo. <li> La intersección de dos ideales primos es un ideal primo. </ol> <li> Sea <math>p</math> un entero primo y sea <math>A = \{a/b \in \Q : a,b \in \Z, \quad p \nmid b \}.</math> <ol type="a"> <li> Probar que <math>A</math> es un subanillo de <math>\Q,</math> pero no es un subcuerpo de <math>\Q.</math> <li> Hallar las unidades de <math>A,</math> <li> Probar que todos los ideales de <math>A</math> son principales y de la forma <math>\langle p^k\rangle,</math> <math>k \ge 1.</math> <li> Describir <math>A/\langle p \rangle.</math> </ol> <li> Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal. <li> Probar la proposición 9. <!-- Estructura de Zm -->. <li> Probar que cada elemento de <math>\Z_{p^r}</math> que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero). <li> Verificar que <math>\Z_{10}/2\Z</math> es un cuerpo. <li> Verificar que <math>\Z_{20}/2\Z</math> no es un cuerpo. <li> ¿Cuáles son todos los ideales de <math>\Z_m,</math> <math>m</math> cualquiera? (Sug. Probar que si <math>J</math> es un ideal <math>\Z_m</math> entonces <math>I = \{x : [x] \in J\}</math> es un ideal de <math>\Z</math> que contiene a <math>\langle m \rangle = m\Z.</math>) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de <math>\Z_{12}.</math> Buscar los ideales primos y maximales entre ellos. <li> Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal. <li> Probar que un ideal <math>M</math> en un anillo <math>A</math> es maximal, ssi, <math>A/M</math> es simple (no tiene ideales propios). <li> Sean <math>I,</math> <math>J</math> ideales de un anillo <math>A</math> y sea <math>P</math> un ideal primo de <math>A.</math> Probar que <math>IJ \subset P</math> implica que <math>I \subset P</math> o <math>J \subset P.</math> </ol> == El Cuerpo de Fracciones de un Dominio == Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros. Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio <math>D,</math> es posible hallar un cuerpo <math>K</math> que estará formado por las ''fracciones'' de elementos de <math>D,</math> que se llamará, por lo tanto, el <i>cuerpo de fracciones</i> de <math>D.</math> Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división. El problema es como inventar fracciones cuando no hay división. Sea <math>{\mathcal{D}} = D \times D^*</math> , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de <math>D,</math> donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción. Introduciremos una relación <math>\sim</math> en <math>D \times D^*,</math> que resultará ser de equivalencia. <ul><i>Sean <math>(x,y),</math> <math>(x',y')</math> elementos de <math>D \times D^*.</math> <center><math> (x,y) \sim (x',y') \iff xy' = yx'.</math></center> </i></ul> {{Ejmpl|Lema A}} <i>La relación <math>\sim</math> es una relación de equivalencia en <math>D \times D^*.</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type="i"> <li> Reflexividad. Como <math>xy=yx,</math> se tiene que <math>(x,y) \sim (x,y).</math> <li> Simetría. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y') </math>. Entonces, <math>xy'=yx',</math> de donde <math>x'y=y'x.</math> Es decir, <math>(x',y') \sim (x,y).</math> <li> Transitividad. Supongamos que <math>(x,y) \sim (x',y')</math> y <math> (x',y') \sim (x'',y'').</math> Entonces, se cumple que <center><math> xy' = yx' , \qquad x'y'' = y'x''. </math></center> Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos: <center><math> xy'x'y'' = yx'y'x''. </math></center> Es decir, <math>x'y'xy'' = x'y'yx'',</math> de donde cancelando <math>x'y'</math> en ambos lados, obtendremos que <math>xy''=yx''.</math> Lo que es equivalente a afirmar que <center><math>(x,y) \sim (x'',y''). </math></center> </ol> {{QED}} </ul><hr> La proposición anterior implica que <math>\sim</math> divide <math>D \times D^*</math> en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> <b>Notación. </b> Sea <math>k := (D \times D^*)/\sim,</math> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de <math>\sim.</math> Simbolizaremos por <math>[a,b]</math> la clase de equivalencia de <math>(a,b),</math> o sea al conjunto formado por todos los elementos de <math>{\mathcal A}</math> equivalentes con <math>(a,b).</math> Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto <math>D \times D^*.</math> Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a. <b>Lema B.</b> <i> Sean <math>a,b,c</math> elementos de <math>D</math> tales que <math>ab \neq 0.</math> Entonces, <math>\begin{matrix} \text{a. } & [ca, cb] = [a,b] \quad & \quad& \text{b. } & [0,b] = [0,1].\quad & \quad& \text{c. } & [a,a] = [1,1]. \end{matrix}</math> </i> <ul><i> Demostración: </i> <ol type= "a"> <li> <math>(ca)n = (cb)a.</math> <li> <math>[0,b] = [0 \cdot b, 1\cdot b] = [0,1].</math> <li> <math>[a,a] = [1 \cdot a, 1 \cdot a] = [1,1].</math> </ol> {{QED}} </ul> <hr> Introduciremos operaciones en <math>k</math> mediante las siguientes definiciones. <center> <math>\quad [a,b] + [c,d] = [ad+bc, bd]. </math> <br> <math>\quad [a,b] \cdot [c,d] = [ac,bd].</math> </center> {{Ejmpl|Lema C}}<i> Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos. </i> <ul><i> Demostración: </i> Supongamos que <math>(a,b) \sim (a',b')</math> y que <math>(c,d) \sim (c',d').</math> Debemos verificar que <math>[a,b]+[c,d] = [a',b']+[c',d']</math> y que <math>[a,b]\cdot [c,d] = [a',b'] \cdot [c',d'].</math> Es decir que, para la adición, se cumple que <math>[ad+bc, bd] = [a'd'+b'c', b'd'].</math> Como <center><math>(ad+bc)b'd'=adb'd'+bcb'd'=ab'dd'+cd'bb'= a'bdd'+c'dbb'= (a'd'+b'c')bd,</math></center> obtenemos el resultado deseado. Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que <math>[ac,bd]=[a'c',b'd'].</math> Como <math>acb'd'=a'bc'd=a'bc'd = bd a 'c ',</math> se tiene el resultado. {{QED}} </ul> <hr> <b>Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de <math>k</math>)</b> <br> <i> <math><k,+,\cdot></math> tiene una estructura de cuerpo. </i> <ul><i> Demostración: </i> (<math><k,+></math> es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en <math>k.</math> Como <math>[a,b]+[0,1] = [a \cdot 1 + b \cdot 0, b \cdot 1] = [a,b]</math> se concluye que <math>[0,1]</math> es un neutro respecto a la adición. Como <math>[a,b] + [-a,b] = [ab+b(-a), b^2] = [0,b^2]=[0,1] ,</math> concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean <math>\alpha=[a,b],</math> <math>\beta = [c,d]</math> y <math>\gamma = [e,f]</math> elementos de <math>k.</math> Entonces, <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha+(\beta+\gamma) & = & [a,b] + [cf+de, df] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \quad \text{y} \\ (\alpha+\beta)+\gamma & = & [ad+bc, bd]+[e,f] \\ & = & [adf+bcf+bde, bdf] \end{array}</math></center> Lo que prueba la asociatividad. <li> <math><k, \cdot ></math> es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma. <center><math>\begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) & = & [a,b] \cdot [ce, df] = [ace, bdf] \quad \text{y,} \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma & = &[ac, bd]+[e,f] = [ace, bdf], \end{array}</math></center> lo que prueba la asociatividad. La conmutatividad sigue directamente de la definición. Como <math>[a,b] \cdot [1,1] = [a,b],</math> concluimos que <math>[1,1]</math> es una identidad. Como <math>[a,b]=[0,1],</math> ssi, <math>a=0.</math> Sigue que cuando <math>[a,b] \neq [0,1],</math> se tiene que <math>a \neq 0,</math> y por lo tanto, que <math>[b,a]</math> es un elemento de <math>k.</math> Además se cumple que <center><math>[a,b] \cdot [b,a] = [ab,ab] = [1,1].</math></center> Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad. <center><math> \begin{array}{rcl} \alpha \cdot (\beta + \gamma) & = & [a,b] \cdot [cf+de, df] = [acf+ade, bdf] \quad\text{y,} \\ \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma & = & [ac, bd]+[ae,bf] = [abcf+abde, b^2df] \\ & = & [b(acf+aed), b(bdf)] = [acf+aed, bdf] \end{array}</math></center> lo que prueba la distributividad. {{QED}} </ul> <hr> Veremos, ahora, que hay un subanillo de <math>k</math> que es isomorfo a <math>A.</math> Identificando <math>A</math> con ese subanillo de <math>k,</math> consideraremos a <math>A</math> un subconjunto de <math>k.</math> Sea <math>f:A \longrightarrow k</math> tal que envía cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> en el elemento <math>[a,1]</math> de <math>k.</math> Tenemos, en primer lugar que, cuando <math>[a,1] = [b,1],</math> se cumple que <math>a \cdot 1 = 1 \cdot b,</math> o sea que <math>a=b.</math> Es decir que se trata de una función inyectiva. Además, tenemos que <center><math>\begin{array}{rcl} f(a) + f(b) &=& [a,1]+[b,1] = [a \cdot 1 + 1 \cdot b, 1 \cdot 1]= [a+b,1] = f(a+b) \quad y \\ f(a)f(b) &=& [a,1] \cdot [b,1] = [ab,1] =f(ab). \end{array}</math></center> Lo que prueba que <math>f</math> es un homomorfismo inyectivo de <math>D,</math> cuya imagen (que será un subanillo de <math>k</math> es, por lo tanto, isomorfa a <math>D</math> como anillos con identidad, ya que <math>f(1) = [1,1].</math> Identificaremos a <math>D</math> con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador'' 1. La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de <math>k</math> de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que <math>[a,b] = [a,1][1,b]= a[1,b]</math> y como <math>[1,b] = [b,1]^{-1} = b^{-1},</math> tenemos que <center><math> [a,b]= ab^{-1} = \frac{a}{b}. </math></center> Los elementos de <math>D</math> se identifican con las fracciones de denominador 1. {{DefRht|Cuerpo de Fracciones| Llamaremos <b>cuerpo de fracciones</b> de un dominio <math>D</math> al cuerpo <math>k</math> construido arriba. El elemento <math>[a,b]</math> se escribirá siempre como una fracción <center><math>\frac{a}{b} \quad \text{ o }\quad a /b.</math></center> Los elementos de <math>D</math> son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones. }} El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal. <br /> <b>Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) </b> <i> <!-- propUniversalCuerpoFracciones --> Sea <math>D</math> un dominio de integridad y sea <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera y sea <math>f:D \longrightarrow L</math> un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos <math>\widetilde{f}:K_D \longrightarrow L</math> que coincide con <math>f</math> para los elementos de <math>D.</math> Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama. </i> <center> [[Archivo:CuerpoFracciones.jpg|150px|centered]] </center> <!-- figura --> <ul> <i> Demostración: </i> Recordemos que en un cuerpo, la fracción <math>a/b</math> está definida como <math>ab^{-1}.</math> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de <math>D.</math> Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que <center><math>\widetilde{f}(a/b) = \widetilde{f}(ab^{-1}) = \widetilde{f}(a) \widetilde{f}(b)^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)/f(b).</math></center> Usando la última relación, <math>\widetilde{f}(a/b) = f(a)/f(b)</math> como definición para <math>\widetilde{f},</math> donde la primer fracción es en <math>K_D</math> y la segunda en <math>L,</math> se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos. Sea <math>c/d=a/b,</math> entonces <math>ad=bc,</math> por lo que <math>f(a)f(d) = f(b)f(c).</math> Por lo tanto, <math>f(a)/f(b) = f(c) /f(d)</math>; lo que implica que <math>\widetilde{f}</math> está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio. {{QED}} </ul> <hr> <b> Corolario 11.1. </b> <i>Sea <math>D</math> un dominio y <math>K_D</math> su cuerpo de fracciones. Sea <math>L</math> un cuerpo cualquiera que contiene a <math>D,</math> entonces <math>K_D</math> es isomorfo a un subcuerpo de <math>L</math> que contiene a <math>D,</math> </i> <ul> <i> Demostración: </i> Aplicar la proposición a la inclusión canónica <math>D \hookrightarrow L.</math> {{QED}} </ul> <hr> En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo. Cualquier cuerpo <math>L</math> de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, <math>\Q,</math> que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo. === Ejercicios === <ol> <li> Completar la demostración de la proposición 11. <!-- \ref{propUniversalCuerpoFracciones}. --> <li> Probar que el cuerpo de fracciones de <math>\Z[\sqrt{13}]=\{a+b\sqrt{13}:a,b \in \Z\}</math> es <math>K=\Q[\sqrt{13}] = \{ x + y\sqrt{13} : x , y \in \Q\}.</math> Determinar cuáles de los siguientes números están en <math>K.</math> En caso afirmativo expresarlos en la forma <math>a + b \sqrt{13},</math> <math>a</math> y <math>b</math> racionales. <br /> <math> \begin{matrix} a. & \dfrac{1}{1-\sqrt{13}}. & b. & \sqrt{53}. \\ c. & \dfrac{5-\sqrt{13}}{2+\sqrt{13}}. & d. & (2+\sqrt{3})^{-2}. \\ \end{matrix}</math> <li> Sea <math>D = \Z[\sqrt{m}]=\{x+y\sqrt{m}: x,y \in \Z\},</math> <math>m</math> entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que <math>D</math> es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones. <li> Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros. <li> Probar que no hay un número racional <math>x</math> tal que <math>x^2 = 2.</math> (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo <math>\Z.</math>) <li> ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo? </ol> == Ejercicios del Capítulo == <ol> <li> Sean <math>a,</math> <math>b</math> elementos de un dominio. Probar que <math>\langle a \rangle = \langle b \rangle,</math> ssi, <math>a</math> y <math>b</math> son asociados. <li> Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia. <li> Sea <math>D=\Z[i]</math> el dominio de los enteros de Gauss y sea <math>N(z) = z \overline{z}</math> la norma de <math>D</math>. <ol type="a"> <li> Probar que 5 no es irreducible en <math>D.</math> Sugerencia <math>5 = (2+i)(2-i),</math> por lo que no puede ser un elemento primo de <math>D.</math> <li> Probar que 3 es irreducible en <math>D.</math> <li> Probar que un número entero primo <math>p</math> que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos <math>p=a^2 +b^2</math> no puede ser irreducible en <math>D.</math> <li> Sea <math>\pi</math> un elemento primo de <math>D.</math> Probar que su conjugado también es primo. </ol> <li> Sea <math>D=\Z[\sqrt{2}],</math> probar que <math>\sqrt{3}</math> no está en <math>D.</math> Sea <math>E= D[\sqrt{3}] = \{\alpha + \beta\sqrt{3}: \alpha, \beta \in D\}.</math> Probar que <math>E</math> es un dominio de integridad, que cada elemento de <math>E</math> puede escribirse de una única manera como <center><math>a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}, \quad a,b,c,d, \in \Z.</math></center> Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de <math>E.</math> <li> Sea <math>\langle M,\cdot,e \rangle</math> un monoide cancelativo, es decir que <math>ax=ay \implies x=y.</math> Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo <math>G</math> que contiene una copia de <math>M</math> y donde cada elemento de <math>M</math> es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es <math>\langle \N, +, 0 \rangle,</math> el grupo será <math>\Z</math>) </ol> == Comentarios == <noinclude Autor=Rehernan </noinclude> Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]]. <!-- abc --> <!-- 05-31-2015 --> [[Categoría:Libros ]] [[Categoría:Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Álgebra Abstracta|*]] bljmsghbe1htjbhsn7nreqhxz6ix48n 0 63351 423164 421558 2025-07-08T18:09:01Z Rehernan 55364 423164 wikitext text/x-wiki #REDIRECCIÓN [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Operaciones]] [[Categoría:Copia]] 26zxvfacx8lefe1krcr4meqx7b1wk32 1 63580 423174 2025-07-08T21:59:52Z Rehernan 55364 Sección nueva: /* Libro Organizado */ 423174 wikitext text/x-wiki == Libro Organizado == Capítulo 1 de Matematicas Universitarias/Álgebra Abstracta [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 21:59 8 jul 2025 (UTC) fbbu3d3cqbi2k4zvq0ss6p0ze4apch2