Wikilibros eswikibooks https://es.wikibooks.org/wiki/Portada MediaWiki 1.45.0-wmf.9 first-letter Medio Especial Discusión Usuario Usuario discusión Wikilibros Wikilibros discusión Archivo Archivo discusión MediaWiki MediaWiki discusión Plantilla Plantilla discusión Ayuda Ayuda discusión Categoría Categoría discusión TimedText TimedText talk Módulo Módulo discusión 0 36477 423210 386858 2025-07-10T18:54:21Z Rehernan 55364 423210 wikitext text/x-wiki Enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o conclusión, que es consecuencia de la hipótesis. Una proposición es un enunciado que puede ser válido o falso. Ejemplos <ol> <li> "Madrid es la capital de España" <li> "Roma está en Asia" <li> "2 +3 =5" <li> "2+3 =8" </ol> r1er1l6pg36xi7xujpq4a1c7irckn6o 423211 423210 2025-07-10T19:12:57Z Rehernan 55364 423211 wikitext text/x-wiki Una proposición es un enunciado que puede ser válido o falso. Ejemplos <ol> <li> "Madrid es la capital de España" <li> "Roma está en Asia" <li> "2 +3 =5" <li> "2+3 =8" </ol> Lógicamente hablando, o sea en términos de válido o falso, las proposiciones se pueden clasificar como axiomas o teoremas dependiendo como aceptamos su validez. La validez de lops axiomas se aceptan como punto de partida de una teoría. La válidez de los teoremas requiere una demostración. En la presentación de textos se usan los vocablos "teoremas", "proposición", "corolario", "escolio" como sinónimos lógicos de teoreema En teoremas de la forma `"si P entonces Q", donde P y Q son proposiciones, se llama hipótesis a P y tésis a Q. 3h3uwu1z4fmsk1yqw6tkpqb8xeirj7z 423212 423211 2025-07-10T19:17:07Z Rehernan 55364 423212 wikitext text/x-wiki Una proposición es un enunciado que puede ser válido o falso. Ejemplos <ol> <li> "Madrid es la capital de España" <li> "Roma está en Asia" <li> "2 +3 =5" <li> "2+3 =8" </ol> Lógicamente hablando, o sea en términos de válido o falso, las proposiciones se pueden clasificar como ''axiomas'' o ''teoremas'' dependiendo como aceptamos su validez. La validez de los axiomas se acepta sin demostración como punto de partida de una teoría. La válidez de los teoremas requiere una demostración. En la presentación de textos se usan los vocablos "teoremas", "proposición", "corolario", "escolio" como sinónimos lógicos de teoreema En teoremas de la forma "si P entonces Q", donde P y Q son proposiciones, se llama hipótesis a P y tésis a Q. jxvvcvw5cylzbgixhd2y3g075mvvy1h 423213 423212 2025-07-10T19:20:06Z Rehernan 55364 423213 wikitext text/x-wiki Una proposición es un enunciado que puede ser válido o falso. Ejemplos <ol> <li> "Madrid es la capital de España" <li> "Roma está en Asia" <li> "2 +3 =5" <li> "2+3 =8" </ol> Lógicamente hablando, o sea en términos de válido o falso, las proposiciones se pueden clasificar como ''axiomas'' o ''teoremas'' dependiendo como aceptamos su validez. La validez de los axiomas se acepta sin demostración como punto de partida de una teoría. La válidez de los teoremas requiere una demostración. En la presentación de textos se usan los vocablos "teoremas", "proposición", "corolario", "escolio" como sinónimos lógicos de teorema Por su parte,"postulado" es un sinónimo de axioma. En teoremas de la forma "si P entonces Q", donde P y Q son proposiciones, se llama hipótesis a P y tésis a Q. dlmggikitzw8ysz3vrmcyskvtc28xlv 423214 423213 2025-07-10T19:22:07Z Rehernan 55364 423214 wikitext text/x-wiki Una proposición es un enunciado que puede ser válido o falso. Ejemplos <ol> <li> "Madrid es la capital de España" <li> "Roma está en Asia" <li> "2 +3 =5" <li> "2+3 =8" </ol> Lógicamente hablando, o sea en términos de válido o falso, las proposiciones se pueden clasificar como ''axiomas'' o ''teoremas'' dependiendo como aceptamos su validez. La validez de los axiomas se acepta sin demostración como punto de partida de una teoría. La válidez de los teoremas requiere una demostración. En la presentación de textos se usan los vocablos "teoremas", "proposición", "corolario", "lema", "escolio" como sinónimos lógicos de teorema Por su parte,"postulado" es un sinónimo de axioma. En teoremas de la forma "si P entonces Q", donde P y Q son proposiciones, se llama hipótesis a P y tésis a Q. 38ezyrih0bsghadjulg23w8bmjjajoj 0 36478 423209 386860 2025-07-10T18:47:30Z Rehernan 55364 423209 wikitext text/x-wiki Axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración. (Definición Alternativa) Axioma es una proposición que se acepta como válida al iicio de una teoría matemática. La noción opuesta es "teorema" que es una proposición cuya validez debe probarse. my0zgtis3b5yczaazla4jfaa6ntnsfv 0 36482 423215 386873 2025-07-10T19:28:13Z Rehernan 55364 423215 wikitext text/x-wiki Corolario o consecuencia es un teorema cuya validez sigue directa y simplemente de otro ya demostrado. Mirar [[Matemáticas/Definiciones/Proposición| la definición de proposición]]. i528kfmsedgz3qqjizx6vpzgtixsjg3 4 37341 423228 420020 2025-07-10T23:17:43Z Rehernan 55364 /* Haz tus pruebas bajo esta sección */ 423228 wikitext text/x-wiki {{ZDP}} == Haz tus pruebas bajo esta sección == <font color=#FF0000 DEMO </font> <ref>Matemáricas Universitarias/Espacios Métricos</ref> irmzfrip8xqcw0qw4nlxsgmlwerqm2g 423229 423228 2025-07-10T23:19:50Z Rehernan 55364 /* Haz tus pruebas bajo esta sección */ 423229 wikitext text/x-wiki {{ZDP}} == Haz tus pruebas bajo esta sección == <font color=#FF0000 DEMO </font> <ref>[[Matemáricas Universitarias/Espacios Métricos|Espacios Topológicos]] Métricos</ref> e5g636aew53awiaookpl8nw1xmvxnse 423230 423229 2025-07-10T23:56:30Z MABot 20834 Bot: limpieza automática de la zona de pruebas 423230 wikitext text/x-wiki {{ZDP}} == Haz tus pruebas bajo esta sección == d027jr3fcxw7xrz6bee0yg2gw5bo3un 0 41271 423218 394294 2025-07-10T21:39:57Z Rehernan 55364 423218 wikitext text/x-wiki == Definición == Una factorización consiste en escribir una expresión algebraica como el producto de dos o más expresiones algebraicas, llamadas factores de la expresión original.. Para ello, primero se debe identificar qué tipo de factorización tenemos que realizar. == Primero caso: Cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común == En este caso se deben reconocer el factor numérico y luego el factor literal, para proceder a escribir la expresión original como el producto de factores, considerando los siguientes pasos: a) Para encontrar el factor numérico, se busca el mayor número que está contenido en todos los factores numéricos que aparecen en la expresión. b) El factor literal es la expresión algebraica formada por el producto de todas las variables literales que aparecen en cada uno de los términos, elevadas a la menor potencia con la que aparecen. === Ejemplo === Queremos factorizar la expresión <math> 9xy^2+6y^4-12y^3z+2y </math>. '''Sol:''' [[File:Factorización Factor Común.webm|thumb|center|<center>Ejemplo Factor Común</center>]] == Segundo caso: Cuando el factor común es un polinomio == Este caso se produce cuando el factor común no es un monomio, si no que es una expresión algebraica con más de un término. === Ejemplo === Queremos factorizar la expresión <math> a^2+ab+ax+bx </math> '''Sol:''' [[File:Factorización por agrupación 1.webm|thumb|center|<center>Factorización por agrupación</center>]] == Tercer caso: cuando la expresión es un cuadrado perfecto == Decimos que una expresión algebraica es un '''cuadrado perfecto''' cuando éste es el producto de dos factores iguales. Por ejemplo, el término <math> 9x^2 </math> es un cuadrado perfecto, pues <math> 9x^2=(3x)(3x) </math>. Nos interesa reconocer un trinomio como cuadrado perfecto. Esto pasa cuando el trinomio es el cuadrado perfecto de un binomio, lo que se conoce como '''cuadrado de un binomio'''. La forma genérica de un cuadrado de binomio es la siguiente: <math> (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2 </math> Un trinomio ordenado, con relación a una variable, es un cuadrado perfecto cuando los términos primero y tercero son cuadrados perfectos, y cuando el segundo término es el doble del producto de las raíces de esos cuadrados perfectos. === Ejemplo === Queremos factorizar la expresión <math> a^2-10ab+25b^2 </math> '''Sol:''' [[File:Factorización Cuadrado de Binomio 1.webm|thumb|center|<center>Factorización por Cuadrado de Binomio</center>]] == Cuarto caso: cuando la expresión es una diferencia de cuadrados perfectos == Un binomio es una suma por diferencia cuando tiene la forma <math> a^2-b^2 </math>. Esta expresión algebraica, que es un producto notable, puede ser factorizada de la forma <center> <math> a^2-b^2=(a+b)(a-b) </math> </center> === Ejemplo === Queremos factorizar la expresión <math> 25-36x^2 </math> '''Sol:''' [[File:Factorización Suma por Diferencia 1.webm|thumb|center|<center>Diferencia de Cuadrados Perfectos</center>]] == Quinto caso: cuando el trinomio es de la forma <math> x^2+(a+b)x+ab </math> == Esta factorización funciona cuando se cumplen las siguientes condiciones a) El coeficiente del primero término es <math> 1 </math>. b) El primer término es una letra cualquier elevada al cuadrado. c) El segundo término tiene la misma letra que el primero, con exponente <math> 1 </math>. d) El tercer término es independiente de la letra que aparece en los primeros dos términos, y es una cantidad cualquier, positiva o negativa. e) Además, se cumple lo siguiente: el coeficiente del segundo término es la suma de dos términos, cuyo producto es el tercer término. La factorización bajo estas condiciones está dada por <center> <math> x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) </math> </center> === Ejemplo === Queremos factorizar el trinomio <math> x^2+7x+10 </math> '''Sol:''' [[File:Factorización Trinomio 1.webm|thumb|center|<center>Factorización Trinomio de la Forma</center>]] == Caso seis: cuando el binomio es una suma o diferencia de cubos perfectos == Este producto notable se conoce por la forma <math> x^3\pm y^3 </math>, y se factoriza de la siguiente manera: <center> <math> x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) </math> </center> === Ejemplo === Queremos factorizar la expresión <math> 27x^3-125y^3z^9 </math> '''Sol:''' [[File:Factorización Diferencia de cubos 1.webm|thumb|center|<center>Diferencia de Cubos Perfectos</center>]] == Ejercicios Propuestos == Revisar y desarrollar la siguiente lista de [[Álgebra/Capítulos a reubicar/Ejercicios Propuestos de Casos de Factorización]]. 9op04d9pfh59x4iualaurhf66eni7e5 0 52915 423208 421354 2025-07-10T16:53:19Z Ruta.62 120621 /* Ejemplo */ 423208 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{+ÍndiceSección}}</noinclude> Las funciones permiten a los programadores dividir el código en módulos. La mayoría de las funciones tienen una lista de parámetros que proveen los medios para comunicar información entre funciones. El acercamiento de Divide y Vencerás hace el desarrollo de un programa más manejable. Otra motivación es la reutilización de código. Python ofrece una serie de sentencias en ocasiones llamadas funciones predefinidas para realizar una tarea. Python también permite que los programadores escriban funciones personalizadas. def nombre-de-la-funcion ( lista-de-parámetros ): lógica de la función nombre-de-la-función es un identificador valido y lista-de-parámetros es una lista de nombres de parámetros separados por coma y que es recibida por nombre-de-la-función. Si una función no recibe ningún valor, la lista de parámetros esta vacía pero los paréntesis siempre son necesarios. Cuando una función complete su tarea, la función retorna el control a quien realiza la llamada. Existen varias formas de retornar el control al punto desde el cual lo función fue llamada. Si la función no retorna un resultado explícitamente, el control se retorna cuando la última línea indentada es alcanzada o después de la ejecución de la sentencia return. En cualquiera de los casos la función retorna None, un valor de Python que representa null. Si la función retorna un resultado, la sentencia return expression retorna el valor de la expresión a quien realiza la llamada. == Ejemplo == Podemos ver un ejemplo de una función, donde pasando la puntuación como parámetro nos devuelve la calificación correspondiente. <syntaxhighlight lang="python" line="1"> def nota(p): '''\ Presenta las calificaciones académicas según la puntuación (p). ''' if p < 5: return('Insuficiente (IN)') elif 5 <= p < 7: return('Aprobado (AP)') elif 7 <= p < 9: return('Notable (NT)') elif 9 <= p < 10: return('Sobresaliente (SB)') else: return('Matrícula de HONOR (MDH)') </syntaxhighlight> Para utilizar la función: <syntaxhighlight lang="python"> >>> nota(5.26) 'Aprobado (AP)' </syntaxhighlight> == Referencias == {{listaref}} == Véase también == <noinclude>{{Python}}</noinclude> kqz6t0klsjskq2atiddp3cqsz4ama7w 0 53315 423217 407523 2025-07-10T21:34:34Z Rehernan 55364 423217 wikitext text/x-wiki == Teoría de conjuntos == {| border="1" cellspacing="0" width="100%" |- bgcolor="#a0e0a0" ! width="10%" | Símbolo ! Nombre ! se lee como ! Categoría |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:25px"><math>\{ , \}</math></h3> | delimitadores de [[conjunto]] || el conjunto de ... | [[teoría de conjuntos]] |- | colspan="3" | {<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>} significa: el conjunto consistente de <var>a</var>, <var>b</var>, y <var>c</var> |- | colspan="3" | '''N'''&nbsp;= {0,1,2,...} |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:18px"><math>\{ : \}</math><br /><math>\{ | \}</math></h3> | notación constructora de conjuntos | el conjunto de los elementos ... tales que ... | [[teoría de conjuntos]] |- | colspan="3" | {''x''&nbsp;: ''P''(''x'')} significa: el conjunto de todos los ''x'' para los cuales ''P''(''x'') es verdadera. {''x''&nbsp;| ''P''(''x'')} es lo mismo que {''x''&nbsp;: ''P''(''x'')}. |- | colspan="3" | {''n''&nbsp;∈ '''N'''&nbsp;: ''n''²&nbsp;<&nbsp;20}&nbsp;= {0,1,2,3,4} |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:20px"><math>\emptyset</math><br /><math>{}</math></h3> | [[conjunto vacío]] || conjunto vacío | [[teoría de conjuntos]] |- | ="3" | {} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa. |- | colspan="3" | {''n''&nbsp;∈ '''N'''&nbsp;: 1&nbsp;< ''n''²&nbsp;< 4}&nbsp;= {} |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:24px"><math>\in</math><br /><math>\notin</math></h3> | pertenencia de conjuntos | en; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a | [[teoría de conjuntos]] |- | colspan="3" | ''a''&nbsp;∈ ''S'' significa: ''a'' es elemento del conjunto ''S''; ''a''&nbsp;∉ ''S'' significa: ''a'' no es elemento del conjunto ''S'' |- | colspan="3" | (1/2)⁻¹&nbsp;∈ '''N'''; 2⁻¹&nbsp;∉ '''N''' |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:25px"><math>\subseteq \!</math><br /><math>\subset</math></h3> | [[subconjunto]] || es subconjunto de | [[teoría de conjuntos]] |- | colspan="3" | ''A''&nbsp;⊆ ''B'' significa: cada elemento de ''A'' es también elemento de ''B''<br />''A''&nbsp;⊂ ''B'' significa: <var>A</var>&nbsp;⊆ <var>B</var> pero ''A''&nbsp;≠ ''B'' |- | colspan="3" | ''A''&nbsp;∩ ''B'' ⊆ ''A''; '''Q'''&nbsp;⊂ '''R''' |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:30px"><math>\cup</math></h3> | [[unión de conjuntos]] || la unión de ... y ...; unión | [[teoría de conjuntos]] |- | colspan="3" | ''A'' ∪ ''B'' significa: el conjunto que contiene todos los elementos de ''A'' y también todos aquellos de ''B'', pero ningún otro. |- | colspan="3" | ''A'' ⊆ ''B''&nbsp;&nbsp;⇔&nbsp; ''A''&nbsp;∪ ''B''&nbsp;= ''B'' |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:30px"><math>\cap</math></h3> | [[intersección de conjuntos]] | la intersección de ... y ...; intersección | [[teoría de conjuntos]] |- | colspan="3" | ''A''&nbsp;∩ ''B'' significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que ''A'' y ''B'' tienen en común. |- | colspan="3" | {''x''&nbsp;∈ '''R'''&nbsp;: ''x''²&nbsp;= 1}&nbsp;∩ '''N'''&nbsp;= {1} |- | rowspan="3" bgcolor="#d0f0d0" align="center" | <h3 STYLE="font-size:30px"><math>\backslash</math></h3> | [[diferencia de conjuntos]] || menos; sin | [[teoría de conjuntos]] |- | colspan="3" | ''A''&nbsp;\ ''B'' significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de ''A'' que no se encuentran en ''B'' |- | colspan="3" | {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2} |} 2kvgtfqfstbmiks13c8u6ijrwleqch0 0 56067 423231 423203 2025-07-11T10:33:10Z Lymantria 69917 /* Aplicaciones extra */ rm spam 423231 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{+ÍndiceSección}} </noinclude> Deepin tiene varias aplicaciones para la administración, entretenimiento y más. De forma básica, están las aplicaciones de gestor de archivos, música, películas, imágenes y navegador web. Se complementan con videojuegos, captura de pantalla, editor de texto, terminal, entre otros === Aplicaciones originales === * Deepin Installer: La aplicación para instalar Deepin. Viene incluido para su posterior instalación. * Deepin Boot Maker: Aplicación para tener una unidad USB o DVD para instalar Deepin. * File Manager: También "gestor de archivos". Análogo al Explorador de Windows. * Deepin AppStore: Tienda de aplicaciones. * Deepin Voice Recorder: Grabación de voz para apuntes. * Deepin Screenshot: Para realizar capturas de pantallas o pantallazos. * Deepin Screen Recorder: Grabación de pantalla. * Deepin Terminal: Terminal o consola. Es análogo al DOS o al símbolo del sistema. * Deepin Image Viewer: Visor de imágenes. * Deepin Movie: Reproductor multimedia * Deepin Cloud Print: Servicio para impresión en línea. * Deepin Cloud Scan: Servicio para escaneo en línea * Deepin OpenSymbol: Aplicación que renderiza caracteres emoji o caracteres especiales. * Deepin Music: Reproductor de música. * Deepin Calendar: Calendario. * Deepin Remote Assistance: Servicio de asistencia remota. Análogo a TeamViewer. * Deepin Manual: Manual de usuario. * Deepin Emacs: Aplicación para desarrolladores. Opcional. * User Feedback: Enlace a la página de comentarios. === Aplicaciones extra === Esta es la lista de aplicaciones incluidas en la instalación de Deepin. * Spotify: Servicio propietario de música en línea. * Crossover: Basado en Wine (Wine is not a emulator), actúa de intérprete de aplicaciones Windows para ser traducidas a Linux. * WPS: Suite de documentos. Incluyen compatibilidad con Microsoft Office. WPS son las siglas de Writer, Sheet y Presentation. * GParter: Administrador de particiones. * Chrome: Navegador web de Google. * Aplicación del controlador. === Juegos en Deepin === Opcionalmente puedes jugar con la cuenta de Steam. Los juegos pueden variar, hay 3500 en [http://www.muylinux.com/2017/05/26/steam-3-500-juegos-linux/ mayo de 2017]. Otros juegos lo puedes descargar desde Deepin Store. Recuerda que necesitarás instalar controladores adicionales, como los de Nvidia o AMD. === Lectura adicional === * [https://www.deepin.org/en/original/deepin-installer/ Lista de aplicaciones Deepin] * [https://www.deepin.org/en/deliver-applications/ Solicitud para aplicaciones nuevas] ;Vídeos * [https://www.youtube.com/watch?v=rRPaND2dtVw Vistazo de aplicaciones en Deepin 15.4.1] * [https://www.youtube.com/watch?v=4mn4NeYMc9o Probando juegos de Deepin] <noinclude> {{Deepin}} </noinclude> mifkb6fkzfmgwyq19kz8pyul08trmtd 4 61837 423207 421847 2025-07-10T16:40:20Z Ruta.62 120621 /* Evolvente del círculo */ 423207 wikitext text/x-wiki {{hoja suelta}} Podemos ver algunas funciones típicas en 2D y la forma de representarlas con Scilab: == Giros y simetrías de una curva == Partiendo de una función que define una curva, se pueden obtener giros de 90 grados y simetrías, partiendo de las coordenadas iniciales. [[archivo:Scilab 110.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> clf; esc=10; plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Función."); t=0:0.3:7; x=4*t y=10*t-t^2; plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> Partiendo de esta función como ejemplo, podemos rotarla 90 grados en sentido horario, con la siguiente instrucción: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (y,-x,'r'); </syntaxhighlight> Que se puede teclear directamente desde la consola o añadiendola con SciNotes al scripts. Para girar 180 grados: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (-x,-y,'r'); </syntaxhighlight> por ultimo para girar 270 grados: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (-y,x,'r'); </syntaxhighlight> {| | [[archivo:Scilab 111.png|280px]] | [[archivo:Scilab 112.png|280px]] | [[archivo:Scilab 113.png|280px]] |} La simetría de la la función respecto al eje x, se hace con la siguiente instrucción: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (x,-y,'b'); </syntaxhighlight> La simetría respecto del eje y se hace: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (-x,y,'b'); </syntaxhighlight> {| | [[archivo:Scilab 115.png|280px]] | [[archivo:Scilab 116.png|280px]] |} La simetría respecto a la primera diagonal, la bisectriz del primer y tercer cuadrante, se obtiene: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (y,x,'b'); </syntaxhighlight> y la simetría respecto a la segunda diagonal, la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, es: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (-y,-x,'b'); </syntaxhighlight> {| | [[archivo:Scilab 117.png|280px]] | [[archivo:Scilab 118.png|280px]] |} == Espiral de Arquímedes == Consideramos la [[w:espiral de Arquímedes|espiral de Arquímedes]] la curva plana que cumple la relación, en coordenadas polares: : <math> r= b \; \alpha </math> Dode '''r''' es el radio, '''b''' es una costante y '''<math> \alpha </math>''' es el ángulo. En coordenadas cartesianas tendríamos: : <math> \begin{array}{l} x= r \; \cos(\alpha) \\ y= r \; \sin(\alpha) \end{array} \quad \longrightarrow \quad \begin{array}{l} x= b \; \alpha \; \cos(\alpha) \\ y= b \; \alpha \; \sin(\alpha) \end{array} </math> [[archivo:Scilab 121.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); esc=20; b=%pi; n=3; //rotaciones plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Espiral de Arquímedes"); k=0:0.01:n*2*%pi; x=b*k.*cos(k); y=b*k.*sin(k); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> == Evolvente del círculo == La [[w:Evolvente|evolvente del círculo]] es una curva plana que se obtiene al desenrollar un hilo de una circunferencia, sus ecuaciones cartesianas son: : <math> \begin{array}{l} x= r \;( \cos(\alpha) + \alpha \; \sin(\alpha) )\\ y= r \;( \sin(\alpha) - \alpha \; \cos(\alpha) ) \end{array} </math> [[archivo:Scilab 122.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); r=1; //radio de la directriz esc=2; plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-4*esc,2*esc],"c"); // eje y xtitle ("Evolvente del círculo"); k=0:0.01:2*%pi; plot (r*cos(k),r*sin(k),"b") // circunferencia directriz k=0:0.01:2*%pi; x=r*(cos(k)+k.*sin(k)); y=r*(sin(k)-k.*cos(k)); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> == Espiral de Fermat == La [[w:Espiral de Fermat|espiral de Fermat]] es una curva plana de ecuación en coordenadas polares es: : <math> r= \sqrt{\alpha} </math> Donde '''r''' es el radio y '''<math> \alpha </math>''' es el ángulo. En coordenadas cartesianas tendríamos: : <math> \begin{array}{l} x= r \; \cos(\alpha) \\ y= r \; \sin(\alpha) \end{array} \quad \longrightarrow \quad \begin{array}{l} x= \sqrt{\alpha} \; \cos(\alpha) \\ y= \sqrt{\alpha} \; \sin(\alpha) \\ \end{array} </math> [[archivo:Scilab 123.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); esc=2; n=3; //rotaciones plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Espiral de Fermat"); k=0:0.01:n*2*%pi; x=sqrt(k).*cos(k); y=sqrt(k).*sin(k); plot (x,y,'g'); plot (-x,-y,'g'); </syntaxhighlight> Dado que la raíz cuadrada puede tomar valores positivos y negativos, en realidad estamos representando dos funciones o la espiral se representa en dos trazos: : <syntaxhighlight lang="scilab"> plot (x,y,'g'); plot (-x,-y,'g'); </syntaxhighlight> == Cocleoide == La [[w:Cocleoide|cocleoide]] es una curva en forma de caracol similar a un [[w:Estrofoide|estrofoide]] que se puede representar por la ecuación polar: : <math> r= a \; \frac{\sen (\alpha)}{\alpha} </math> Donde '''a''' es una variable de escala, que no deforma la curva. [[archivo:Scilab 029.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); esc=0.2; a=1; n=10; //revoluciones plot ([-0.4,1.2],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-0.2,1],"c"); // eje y xtitle ("Cocleoide: a= "+string(a)+".","eje x","eje y"); k=0:0.01:2*n*%pi; r=a*sin(k)./k x=r.*cos(k); y=r.*sin(k); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> == Cicloide == La [[w:Cicloide|cicloide]] es un curva que se obtiene con el trazo de un punto de una circunferencia (generatriz) cuando rueda sin deslizar sobre una recta: [[archivo:Scilab 130.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); g=6; //radio de la generatriz t=6; //radio de la traza esc=10; plot ([-2*esc,6*esc],[0,0],"b"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Cicloide: g= "+string(g)+", t= "+string(t)+"."); k=0:0.01:2*%pi; plot (g.*cos(k),g.*sin(k)+g,"r") // circunferencia generatriz k=-%pi:0.01:3*%pi; x=g*k-t.*sin(k); y=g-t.*cos(k); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> Con la superposición de varias cicloides se puede obtener, por ejemplo, la figura de un puente atirantado: [[archivo:Scilab 131.png|centrado|800px]] Esta figura es la superposición de cicloides de generatriz de radio g=6 y con radio de traza t= 6 hasta 0, con t=0 se obtiene una recta, que corresponde al centro de la generatriz al deslizarse sobre la recta. == Epicicloide == La [[w:Epicicloide|epicicloide]] es una curva plana que se obtiene por la traza de un punto una circunferencia (generatriz) que rueda sin deslizar sobre otra circunferencia fija (directriz). [[archivo:Scilab 132.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); d=8; //radio de la directriz g=8; //radio de la generatriz t=8; //radio de la traza n=1; //rotaciones esc=10; plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Epicicloide: "+string(d)+", "+string(g)+", "+string(t)+"."); k=0:0.01:2*%pi; plot (d.*cos(k),d.*sin(k),"b"); // circunferencia directriz plot (g.*cos(k),g.*sin(k)+g+d,"r"); // circunferencia generatriz //a=0:0.01:n*2*%pi; b=a*d/g; b=0:0.01:n*2*%pi; a=b*g/d; x=(d+g).*sin(a)-t.*sin(a+b); y=(d+g).*cos(a)-t.*cos(a+b); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> En la figura se puede ver una epicicloide con radio de la directriz de 8, radio de la generatriz de 8, y radio de traza de 8, este caso particular con los tres valores iguales de epicicloide se denomina [[w:Cardioide|cardioide]]. == Hipocicloide == la [[w:Hipocicloide|hipocicloide]] es una curva plana formada por el trazo de un punto de una circunferencia (generatriz) que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia (directriz), de mayor radio que la generatriz. [[archivo:Scilab 133.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); // d>g d=20; //radio de la directriz, g=15; //radio de la generatriz, t=7; //radio de la traza n=4; //rotaciones esc=10; plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Hipocicloide: "+string(d)+", "+string(g)+", "+string(t)+"."); k=0:0.01:2*%pi; plot (d.*cos(k),d.*sin(k),"b"); // circunferencia directriz plot (g.*cos(k),g.*sin(k)-g+d,"r"); // circunferencia generatriz //a=0:0.01:n*2*%pi; b=a*d/g; b=0:0.01:n*2*%pi; a=b*g/d; x=(d-g).*sin(a)-t.*sin(b-a); y=(d-g).*cos(a)+t.*cos(b-a); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> == Pericicloide == La [[w:Pericicloide|pericicloide]] es una curva plana generada por el trazo de un punto de una circunferencia (generatriz) que rueda sin deslizar en otra circunferencia (directriz) inscrita en la generatriz. [[archivo:Scilab 134.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); // d<g d=8; //radio de la directriz g=16; //radio de la generatriz t=16; //radio de la traza n= 1; //rotaciones esc=10; plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Pericicloide: "+string(d)+", "+string(g)+", "+string(t)+"."); k=0:0.01:2*%pi; plot (d.*cos(k),d.*sin(k),"b"); // circunferencia directriz plot (g.*cos(k),g.*sin(k)-g+d,"r"); // circunferencia generatriz //a=0:0.01:n*2*%pi; b=a*d/g; b=0:0.01:n*2*%pi; a=b*g/d; x=(d-g).*sin(a)+t.*sin(a-b); y=(d-g).*cos(a)+t.*cos(a-b); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> En la figura se puede ver una pericicloide con un radio de generatriz doble que el radio de la directriz, y la curva obtenida es un cardioide que también puede trazarse con una epicicloide. == Gaussiana == La [[w:Función gaussiana|gaussiana]] (también, campana de Gauss o curva de Gauss), llamada así en honor a Carl Friedrich Gauss, es una función definida por la expresión: : <math> f(x) = a \, e^{{\frac{-(x-b)^2}{2 c^2}}} </math> [[Archivo:Scilab 144.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(1); // abre pantalla de graficos clf(1); // limpia pantalla de graficos plot ([-8,8],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-4,8],"c"); // eje y a=5; // valor del punto más alto de la campana b=1; // posición del centro de la campana c=2; // ancho de la campana xtitle ("Gaussiana: a="+string(a)+", b="+string(b)+", c="+string(c)+"."); x=-8:0.01:8; y=a*exp((-(x-b).^2)/(2*c^2)); plot (x,y,'r'); plot ([-8,8],[a,a],"g"); plot ([b,b],[0,a],"g"); plot ([b-c,b-c],[0,a],"g"); plot ([b+c,b+c],[0,a],"g"); </syntaxhighlight> == Superelipse == la [[w:Superelipse|superelipse]] es una generalización de la elipse. [[archivo:Scilab 141.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); esc=1; a=2; b=2; n=0.5; plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Superelepse: a="+string(a)+", b="+string(b)+", n="+string(n)+"."); t=linspace (0,%pi/2,100); x=a.*(cos(t)).^(2/n); y=b.*(sin(t)).^(2/n); plot (x,y,'b'); plot (x,-y,'b'); plot (-x,-y,'b'); plot (-x,y,'b'); </syntaxhighlight> Esta función se traza por cuadrantes por simetría del primer cuadrante. == Superfórmula == La [[w:Superfórmula|Superfórmula]] : <math> r (\alpha) = \left[ \left| \cfrac{cos\left(\cfrac{m \; \alpha}{4}\right)}{a} \right| ^{n_{2}} + \left| \cfrac{sin\left(\cfrac{m \; \alpha}{4}\right)}{b} \right| ^{n_{3}} \right] ^{-\frac{1}{n_{1}}} </math> [[archivo:Scilab 142.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); esc=1; a=5; b=1; m=1; n1=2; n2=1; n3=1; plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Superfórmula: a="+string(a)+", b="+string(b)+", m="+string(m)+", n1="+string(n1)+", n2="+string(n2)+", n3="+string(n3)+"."); t=linspace (0,4*%pi,100); r=(abs(cos(m*t/4)/a).^n2+abs(sin(m*t/4)/b).^n3).^(-1/n1); x=r.*cos(t); y=r.*sin(t); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> == Curva mariposa == Una representación curiosa es la [[w:Curva mariposa (trascendente)|curva mariposa]] que tiene por ecuación polar: : <math> r(\alpha) = e^{\cos(\alpha)} - 2 \cos(4 \alpha) - \sin^5 \left ( \frac{\alpha}{2 n} \right ) </math> Donde '''n''' es un número entero. [[archivo:Scilab 143.png|derecha|280px]] : <syntaxhighlight lang="scilab" line="1"> // 'b'-blue, 'c'-cyan, 'g'-green, 'k'-blak, // 'm'-magenta, 'r'-red, 'w'-white, 'y'-yelow. scf(0); clf(0); esc=2; n=4; //rotaciones plot ([-4*esc,4*esc],[0,0],"c"); // eje x plot ([0,0],[-3*esc,3*esc],"c"); // eje y xtitle ("Curva mariposa."); t=-2*n*%pi:.01:2*n*%pi; r=exp(cos(t))-2*cos(4*t)-(sin(t/2/n)).^5; y=r.*cos(t); x=r.*sin(t); plot (x,y,'g'); </syntaxhighlight> Notese: que los valores de '''x''' e '''y''' están permutados, de modo que la mariposa sea simétrica respecto al ''eje y'', si se toman los valores de '''x''' e '''y''' en el sentido normal la mariposa seria simétrica respecto al ''eje x''. == Enlaces externos == * [https://help.scilab.org/ Ayuda en línea de Scilab - Inglés] == Referencias == {{listaref}} [[Categoría:Manual de Scilab]] stur1ivoacfd7i5eob37k227xvgu6u9 0 63069 423204 419824 2025-07-10T15:56:39Z Ruta.62 120621 Corrijo 423204 wikitext text/x-wiki La conjugación verbal permite los siguientes tiempos: : 1.) Tiempos simples. : 1.1.) Formas no personales. :: 1.1.1.) Infinitivo simples. :: 1.1.2.) Gerundio simples. :: 1.1.3.) Participio simples. : 1.2.) Formas personales. : 1.2.1.) Modo indicativo. :: 1.2.1.1.) Presente de indicativo. :: 1.2.1.2.) Pretérito imperfecto de indicativo. :: 1.2.1.3.) Pretérito perfecto simple. :: 1.2.1.4.) Futuro simple de indicativo. :: 1.2.1.5.) Condicional simple. : 1.2.2.) Modo subjuntivo. :: 1.2.2.1.) Presente de subjuntivo. :: 1.2.2.2.) Pretérito imperfecto de subjuntivo. :: 1.2.2.3.) Futuro simple de subjuntivo. : 1.2.3.) Modo imperativo. :: 1.2.2.1) Presente de imperativo. : 2.) Tiempos compuestos. : 2.1.) Formas no personales. :: 2.1.1.) Infinitivo compuesto. :: 2.1.2.) Gerundio compuesto. :: 2.1.3.) Participio compuesto. : 2.2.) Formas personales. : 2.2.1.) Modo indicativo. :: 2.2.1.1.) Pretérito perfecto compuesto de indicativo. :: 2.2.1.2.) Pretérito pluscuamperfecto de indicativo. :: 2.2.1.3.) Pretérito anterior. :: 2.2.1.4.) Futuro compuesto de indicativo. :: 2.2.1.5.) Condicional compuesto. : 2.2.2.) Modo subjuntivo. :: 2.2.2.1.) Pretérito perfecto compuesto de subjuntivo. :: 2.2.2.2.) Pretérito pluscuamperfecto de subjuntivo. :: 2.2.2.3.) Futuro compuesto de subjuntivo. == Referencias == {{listaref}} [[Categoría:Conjugación verbal]] epmtbt7r63jsd52hqougs3qanhdzb3v 423205 423204 2025-07-10T16:22:15Z Ruta.62 120621 | Pretérito perfecto/* Referencias */ 423205 wikitext text/x-wiki La conjugación verbal permite los siguientes tiempos: : 1.) Tiempos simples. : 1.1.) Formas no personales. :: 1.1.1.) Infinitivo simples. :: 1.1.2.) Gerundio simples. :: 1.1.3.) Participio simples. : 1.2.) Formas personales. : 1.2.1.) Modo indicativo. :: 1.2.1.1.) Presente de indicativo. :: 1.2.1.2.) Pretérito imperfecto de indicativo. :: 1.2.1.3.) Pretérito perfecto simple. :: 1.2.1.4.) Futuro simple de indicativo. :: 1.2.1.5.) Condicional simple. : 1.2.2.) Modo subjuntivo. :: 1.2.2.1.) Presente de subjuntivo. :: 1.2.2.2.) Pretérito imperfecto de subjuntivo. :: 1.2.2.3.) Futuro simple de subjuntivo. : 1.2.3.) Modo imperativo. :: 1.2.2.1) Presente de imperativo. : 2.) Tiempos compuestos. : 2.1.) Formas no personales. :: 2.1.1.) Infinitivo compuesto. :: 2.1.2.) Gerundio compuesto. :: 2.1.3.) Participio compuesto. : 2.2.) Formas personales. : 2.2.1.) Modo indicativo. :: 2.2.1.1.) Pretérito perfecto compuesto de indicativo. :: 2.2.1.2.) Pretérito pluscuamperfecto de indicativo. :: 2.2.1.3.) Pretérito anterior. :: 2.2.1.4.) Futuro compuesto de indicativo. :: 2.2.1.5.) Condicional compuesto. : 2.2.2.) Modo subjuntivo. :: 2.2.2.1.) Pretérito perfecto compuesto de subjuntivo. :: 2.2.2.2.) Pretérito pluscuamperfecto de subjuntivo. :: 2.2.2.3.) Futuro compuesto de subjuntivo. == Formas personales == :{| class="wikitable" ! colspan=3 | <u>Tiempos simples.</u> ! colspan=2 | <u>Tiempos compuestos.</u> |- ! Modo indicativo. ! Modo subjuntivo. ! Modo imperativo. ! Modo indicativo. ! Modo subjuntivo. |- | Presente. | Presente. | Presente. | | |- | Pretérito imperfecto. | Pretérito imperfecto. | | | |- | Pretérito perfecto. | | | Pretérito perfecto. | Pretérito perfecto. |- | | | | Pretérito pluscuamperfecto. | Pretérito pluscuamperfecto. |- | | | | Pretérito anterior. | |- | Futuro. | Futuro. | | Futuro. | Futuro. |- | Condicional. | | | Condicional. | |} == Referencias == {{listaref}} [[Categoría:Conjugación verbal]] 9lfq3l57lxaxzn33hjrvsmt4xetdkd5 423206 423205 2025-07-10T16:26:30Z Ruta.62 120621 /* Formas personales */ 423206 wikitext text/x-wiki La conjugación verbal permite los siguientes tiempos: : 1.) Tiempos simples. : 1.1.) Formas no personales. :: 1.1.1.) Infinitivo simples. :: 1.1.2.) Gerundio simples. :: 1.1.3.) Participio simples. : 1.2.) Formas personales. : 1.2.1.) Modo indicativo. :: 1.2.1.1.) Presente de indicativo. :: 1.2.1.2.) Pretérito imperfecto de indicativo. :: 1.2.1.3.) Pretérito perfecto simple. :: 1.2.1.4.) Futuro simple de indicativo. :: 1.2.1.5.) Condicional simple. : 1.2.2.) Modo subjuntivo. :: 1.2.2.1.) Presente de subjuntivo. :: 1.2.2.2.) Pretérito imperfecto de subjuntivo. :: 1.2.2.3.) Futuro simple de subjuntivo. : 1.2.3.) Modo imperativo. :: 1.2.2.1) Presente de imperativo. : 2.) Tiempos compuestos. : 2.1.) Formas no personales. :: 2.1.1.) Infinitivo compuesto. :: 2.1.2.) Gerundio compuesto. :: 2.1.3.) Participio compuesto. : 2.2.) Formas personales. : 2.2.1.) Modo indicativo. :: 2.2.1.1.) Pretérito perfecto compuesto de indicativo. :: 2.2.1.2.) Pretérito pluscuamperfecto de indicativo. :: 2.2.1.3.) Pretérito anterior. :: 2.2.1.4.) Futuro compuesto de indicativo. :: 2.2.1.5.) Condicional compuesto. : 2.2.2.) Modo subjuntivo. :: 2.2.2.1.) Pretérito perfecto compuesto de subjuntivo. :: 2.2.2.2.) Pretérito pluscuamperfecto de subjuntivo. :: 2.2.2.3.) Futuro compuesto de subjuntivo. == Formas no personales. == :{| class="wikitable" ! <u>Tiempos simples.</u> ! <u>Tiempos compuestos.</u> |- | Infinitivo. | Infinitivo. |- | Gerundio. | Gerundio. |- | Participio. | |} == Formas personales == :{| class="wikitable" ! colspan=3 | <u>Tiempos simples.</u> ! colspan=2 | <u>Tiempos compuestos.</u> |- ! Modo indicativo. ! Modo subjuntivo. ! Modo imperativo. ! Modo indicativo. ! Modo subjuntivo. |- | Presente. | Presente. | Presente. | | |- | Pretérito imperfecto. | Pretérito imperfecto. | | | |- | Pretérito perfecto. | | | Pretérito perfecto. | Pretérito perfecto. |- | | | | Pretérito pluscuamperfecto. | Pretérito pluscuamperfecto. |- | | | | Pretérito anterior. | |- | Futuro. | Futuro. | | Futuro. | Futuro. |- | Condicional. | | | Condicional. | |} == Referencias == {{listaref}} [[Categoría:Conjugación verbal]] d0zbeq3rt0mbvq9j6vconiizo6iama3 0 63251 423221 423114 2025-07-10T22:45:09Z Rehernan 55364 /* Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS */ 423221 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Topológicos |anterior=Sucesiones |siguiente=Productos y Cocientes }} </noinclude> __TOC__ _NOEDITSECTION === Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS === (Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos) == Introducción == Hemos analizado, en los capítulos anteriores, las posiciones relativas de puntos y conjuntos usando métricas. Hay, sin embargo, situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias. Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados, de acumulación, continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto. Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2. == Las Definiciones Básicas == <!-- sec0802--> {{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que: :(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ; :(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ; :(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T . Un espacio topológico es un par <X, '''T''' > donde T es una topología de X. Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }} <!--ejEspTop --> <b>Ejemplos 8.2.1. </b> <ol> <li> Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la <i>topología inducida</i> por la métrica. En particular, llamamos <b>línea real</b> a los Reales <b>R</b> con la métrica usual. <li> Llamamos espacio topológico <b>discreto</b> a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto. <li> Llamamos espacio topológico <b>indiscreto</b> aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío. <li> Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener algunas aplicaciones interesantes. </ol> <b>Convenios.</b> Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto. Cuando digamos que una función f : X &rarr; Y es continua, implícitamente suponemos que X y Y son espacios (topológicos). <!-- 8.2.1. --> === Los Puntos y los Conjuntos Especiales === La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para comparaciones y futuras referencias. {{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una <b>vecindad</b> de un conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto que contenga a A (resp. a p). }} Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5. {{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado, ssi, su complemento es abierto. }} {{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X. <ul> <li> El punto p es <b>interior</b> de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A. <li> El punto p es <b>exterior</b> a A, ssi, es interior al complemento de A. <li> El punto p es de <b>clausura</b> de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A. <li> El punto p es de <b>frontera</b> de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento. <li> El punto p es de <b>acumulación</b> de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p. <li> El punto p de A es <b>aislado</b> en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p. </ul> }} {{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico. <ul> <li> El <b>interior</b> de A (Int(A) o A^o) es el conjunto de puntos interiores de A. <li> El <b>exterior</b> de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A. <li> La <b>clausura</b> de A (Cl(A) o A^--) es el conjunto de puntos de la clausura de A. <li> La <b>frontera</b> de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A. </ul>}} Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio: :a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc. :b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1. Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio, diremos que el espacio es <b>metrizable</b>. Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de su topología recuperar la métrica? La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los <b>Rⁿ</b>. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos). <i>Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)</i>. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos <math>\mathcal F</math> tal que: :(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en <math>\mathcal F</math> , :(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math> , y :(iii) la reunión de dos conjuntos en <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math>; tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en <math>\mathcal F</math>. === Espacios Hausdorff === Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X con p &ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V . Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos. Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos. <!-- 8.2.3. --> === Subespacios === Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá una topología relacionada con la topología de X? La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = <b>R</b> y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto motiva la siguiente proposición. <b>Proposición 8.2.1. </b><I> Sean <X, T> un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T_Y := {U &cap; Y : U &isin; T }. Entonces, T_Y es una topología en el conjunto Y .</i> <ul><i> Demostración. </i> Claramente, el conjunto vacío (&empty; = &empty; &cap; Y ) y Y = X &cap; Y están en T_Y. Sea (U_i), i &isin; I, una familia de conjuntos de <i>T</i>_Y . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V_i de X tal que U_i = V_i &cap; Y. Entonces, <math>V = \bigcup_{i \in I} V_i</math> es un abierto de X y como {{Eqn|<math>U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,</math>}} tenemos que <math>U = \bigcup_{i} U_i</math> está en T_Y. Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que: {{Eqn|<math> W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y, </math>}} lo que prueba que W está en T_Y. En conclusión, T_Y es una topología. </ul> {{QED}} <hr> {{DefRht|Subespacio|. Sean <X, T > un espacio topológico, Y un subconjunto de X y T_Y la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico <Y, T_Y > es un <b>subespacio</b> (topológico) de <X, T >. Llamamos <b>topología relativa</b> de Y (respecto a X) a la topología T_Y . }} Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando, decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su topología es la topología relativa. <hr> Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el recíproco no es válido, en general. <b>Proposición 8.2.2. </b><i>Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio </ul> <hr> <!-- 8.2.4.--> === Ejercicios 8.2 === <ol> <li> Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de X. Probar que :a) El interior de A &cap; B es igual a Int(A) &cap; Int(B) :b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A. :c) La clausura de A &cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B. :d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. :e) Si A &sub; B entonces Int(A) &sub; Int(B) y Cl(A) &sub; Cl(B). :f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A. :g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera. :h) El interior de A es A \ Fr(A). :i) Fr(Cl(A)) &sub; Fr(A) y Fr(Int A) &sub; Fr(A). :j) Fr(A &cup;B) &sub; Fr(A) &cup; Fr(B). <li> Sea X = [0,&infin;[ &sub; <b>R.</b> Sea T = {&empty;,X} &cup; {[a,+&infin;]: a &ge; 0}. Probar que T es una topología de X. <li> (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. <br> Probar que T_p = {&empty;} &cup; {A &sub; X : p &isin; A} es una topología de X. <li> (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. Probar que T<math>_{\neg\ p}</math> = {X} &cup; {A &sub; X : p &notin; A} es una topología de X. <li> (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito. Probar que T = {&empty;} &cup; {A &sub; X : X \ A es finito } es una topología de X. <li> Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío. <li> (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&empty;,X, {a}}. :a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''. :b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}. <li> ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff? :a) Los Reales. :b) Un espacio discreto. :c) Un espacio indiscreto. :d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior). : e) Un espacio métrico cualquiera. <li> Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &sub; Y . Probar que la topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología relativa de Z como subespacio de X. <li> Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &cap; B. Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en X. <li> Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado. <li> Probar que la topología usual de <b>R</b> coincide con la topología relativa como subespacio de <b>R²</b> con su topología usual. <li> Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X. <!-- <li> Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías? --> <li> Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea <b>N^♯</b> = <b>N</b> ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de <b><N^♯</b> cuyo complemento es finito.Probar que: :a) T es una topología en <b>N^♯</b>, y que :b) la topología de <b>N</b> como subespacio de <b>N^♯</b> es diferente de la topología de <b>N</b> como subespacio de la línea real. <!-- 8.3. --> == Funciones Continuas y Homeomorfismos == === Funciones Continuas === La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global. {{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios topológicos. Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi, para cada abierto V de Y, su preimagen, f^-1(V), es un abierto en X. }} Notemos que si T_X y T_Y son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función <math>f* : T_Y \rightarrow T_X</math>, <math>f^*(U)= f^{-1}(U)</math>; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos. <ul> <li> Las funciones constantes son continuas. <li> Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i^-1(V ) = V &cap; Y.) <li> Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba). Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones. </ul> <!-- propo0803 --> <b>Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). </b><i>La composición de funciones continuas es continua.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sean f : X &rarr; Y y g : Y &rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g^-1(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)^-1(W) = f^-1(g^-1(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición. (Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.) </ul> {{QED}} <hr> Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades. <!-- lema0801 --> <b>Lema 8.3.2. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) La función f es continua. :(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f^-1(W) es una vecindad de p. </i> <ul><i>Demostración. </i> <br>[(a) &rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &isin; V &sub; W. Luego, f^-1(W) contiene a f^-1(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f^-1(W) es una vecindad de p.<br> [(b) &rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f^-1(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de x tal que U &sub; f^-1(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U₀ tal que x &isin; U₀ &sub; U &sub; f^-1(V ). Lo que prueba que f es continua. </ul>{{QED}} <hr> <!-- lema0802 --> <b>Lema 8.3.3. </b> </i>Sean f : X &rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)).</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &cap; A &ne; &empty;. Luego, f(U n A) &ne; &empty;. Como, {{Eqn|<math> \emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),</math>}} tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A). </ul>{{QED}} <hr> <!-- propo0802 --> <b>Proposición 8.3.4. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) f es continua. :(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f^-1(V ), es abierto en X. :(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f^-1(W), es cerrado en X. :(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)). </i> <ul><i> Demostración. </i>La definición de continuidad da la equivalencia (a) &lArr;&rArr; (b). La equivalencia (b) &hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.<br> [(d) &rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W₀ = f^-1(W). Entonces, f(Cl(W₀)) &sub; Cl(f(W₀) )= Cl(f(f^-1(W) ) &sub; Cl(W) = W. Lo que implica que Cl(W₀) &sub; f^-1(W) = W₀, lo que implica que W₀ es cerrado.<br> [(a) &rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo. </ul> {{QED}} <hr> <b>Observación 8.2. </b>Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que no es abierto (es cerrado). Para otro ejemplo consideremos la función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1]. Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &#8614; 1/t de X = <b>R</b> \ 0 en Y = <b>R</b> envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&infin; 0[ &cup; ]0,+&infin;[ que no es cerrado en <b>R.</b> === Los Homeomorfismos === Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más. <b>Ejemplo 8.3.1. </b> Sea <b>R_discreto</b> el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de <b>R_discreto</b> en <b>R</b>, t &#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en <b>R</b> es un abierto en <b>R</b>_discreto—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de <b>R</b> son abiertos. <hr> {{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &rarr; Y tal que su inversa también es continua. <br> Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos que los espacios X y Y son homeomorfos y escribiremos que X &cong; Y. }} Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión “función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos. <b>Ejemplo 8.3.2. </b>Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &#8614; t + a y t &#8614; bt, b &ne; 0 son funciones de <b>R</b> en <b>R</b> continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos <hr> <b>Ejemplo 8.3.3 (&spades; Cálculo ). </b>Sea f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f : t &#8614; t³, f es biyectiva con inversa <math>t \mapsto \sqrt[3]{t}</math>. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos. <hr> <b>Ejemplo 8.3.4. </b> Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio. <hr> === Significado de los Homeomorfismos === La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc. Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología. Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos. <b>Propiedad Topológica. </b> Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad. Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores. <br> <b>Propiedad Hereditaria.</b> Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos. Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.) <b>Propiedad Invariante. </b> Sea f : X &rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad. Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no. <b>Proposición 8.3.5. (Propiedades de "es homemorfo con")</b><i> Sean X, Y y Z espacios topológicos. <br> Se cumple que: :(a) X &cong; X. :(b) X &cong; Y implica que Y &cong; X. :(c) X &cong; Y y Y &cong; Z entonces X &cong; Z. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos. <b>Proposición 8.3.6. </b><i>Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. </i> <ul><i> Demostración. </i>Basta con probar que ]a, b[ &cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua. </ul>{{QED}} <hr> Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1. Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica. El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante. <b>Ejemplo 8.3.5 (&spades; Cálculo). </b>La función f : <b>R</b> &rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos. Notemos que mientras que <b>R</b> es un espacio métrico completo, el intervalo abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que no es topológica. <hr> <b>Ejemplo 8.3.6. </b> Sean E = {(x, y, z) : x²+y²+z² = 1, z &ge; 0} y F = {(x, y, z) &isin; <b>R³</b> : x² + y² = 1, z = 0}. E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de <b>R³</b> y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa <math>(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) </math>. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos. Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de <b>R³</b> (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios. <hr> <b>Proposición 8.3.7. </b><i>Dos bolas cerradas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son homeomorfas.</i> <ul><i> Demostración. </i> Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t_a es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t_-a(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h_r, r > 0, la función que envía cada punto p en <i>rp</i>. Como <center>||h_r(p) - h_r(q)|| = r||p - q||, </center> vemos que h_r es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h_1/r. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h_r(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B. </ul>{{QED}} Análogamente, se verifica que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios. <hr> <b>Convenio. </b> Denotaremos por <b>Bⁿ</b> a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de <b>Rⁿ</b>. Topológicamente, <b>Bⁿ</b> representa a todas las bolas cerradas de <b>Rⁿ</b>. Por su parte, denotaremos por <b>Sⁿ</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b> (que es homeomorfa a todas las esferas en <b>Rⁿ⁺¹</b>). <hr> === Funciones Abiertas y Cerradas === Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados. Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales. {{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada) f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ). }} Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada. Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado). Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas. === Ejercicios 8.3 === <ol> <li> Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua. <li> Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es continua. <li> Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua. Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva, ¿debe necesariamente ser un homeomorfismo? <li> Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. <li> (<b>R²</b>) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x² + y² = 1}. <li> (<b>R²</b>) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario <b>I²</b> = {(x, y) : 0 &le; x , y \le 1}. <li> Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b> (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a <b>S^n-1</b>. <li> Sea <b>Sⁿ</b>, n > 0, la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b>. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que <center><math> \mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}</math></center> Sean <center><math>\begin{array}{rcl} \mathbb{S}_{+}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} >0\} \text{ (hemisferio norte),} \\ \mathbb{S}_{-}^{n} &:= & \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} <0\}, \text{ y} \\ \mathbb{S}_{0}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}. \end{array}</math></center> Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> <math>\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.</math> <li> <math>\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.</math> </ol> <li> Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x < 1/2, y f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es. <li> Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta. <li> Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo. <li> Una función f : X &rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &sub; Int(f(A)). <li> Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una propiedad topológica. <li> En un espacio normado son homeomorfismos :a) las traslaciones (x &#8614; a + x); :b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &#8614; &alpha; x). :c) las simetrías alrededor de un punto c (x &#8614; 2c - x). <li> Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas. <li> (&spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías. </ol> == Topologías de un Conjunto == Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades. Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión. En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación. {{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T₁ y T₂ topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T₁ es menos fina que T₂, cuando cada abierto de T₁ sea un abierto de T₂ (o sea cuando T₁ &sub; T₂). }} <b>Nomenclatura. </b> Cuando T₁ es menos fina que T₂, también se dice que: <ul> <li> T₂ es más fina que T₁; <li> T₁ es más débil que T₂; <li> T₂ es más fuerte que T₁. </ul> En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto. Sean T₁, T₂ dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T₁ n T₂ es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías. Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U_i)i &isin; I, una familia de abiertos de <i>T</i> . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T₁ como en T₂, por lo que su reunión estará tanto en T₁ como en T₂ y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado. <br> El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías, (T_k), k &isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que la reunión estará en T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que dicha intersección estará en T . <!-- propo0801 --> <b>Proposición 8.4.1. </b><i>La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. </i> <hr> <b>Topología Generada por Familias de Subconjuntos.</b> Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea <math><S></math> la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que <math><S></math> es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S. <!-- prop080400 --> <b>Proposición 8.4.2. </b><i>Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = <math><S>.</math> </i> <ul><li>Demostración. </i>Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío. </ul> <hr> <b>Subbase.</b> Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S. <b>Base.</b> Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un <b> abierto básico</b> es un abierto de una base. Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio. La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases. Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base <math>\mathcal{B}</math> para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en <math>\mathcal{B}</math> tal que A &sub; U. <b>Ejemplo 8.4.1. </b> En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto. <hr> <b>Ejemplo 8.4.2. (<b>R²</b>)</b> Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y). Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos. Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de <b>R²</b> y para cada punto p del abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano. <hr> <b>Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).</b> <ul> <li> Cada topología es una base de ella misma. <li> Cada base es una subbase. <li> La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base. </ul> <hr> <!-- prop0811 --> <b>Proposición 8.4.3. </b><i>Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &isin;V &sub; U.</i> <ul><li> Demostración. </i>Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V_i) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V_i; lo que prueba la necesidad de la condición. Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío, entonces para cada x de U sea V_x el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V_x, x &isin; U. </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0812 --> <b>Proposición 8.4.4. </b><i>Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera entre espacios. Entonces :(a) f es continua &hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto. :(b) f es abierta &hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto. </i> <ul><li>Demostración. </i>Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos: <center><math>\begin{array}{rcl} f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) & \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i). \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 8.4 === <ol> <li> Probar la proposición 8.4.2. <li> (Bases) Sea X un espacio topológico. :a) ¿Siempre hay una base para la topología de X? :b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas? :c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales? <li> Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía, su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de <b>R</b> consiste de ... <li> Sea f : X &rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por transporte de estructura. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y. Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad. <li> Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad. <li> Hallar tres bases diferentes para la topología usual de <b>R²</b>. <li> Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados. </ol> == Métricas Equivalentes == El espacio vectorial <b>Rⁿ</b> puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en <b>Rⁿ</b>. ¿Cómo comparan esas topologías? <b>Métricas y Normas Equivalentes.</b> Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) <b>equivalentes</b>, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología. Por extensión de la terminología, diremos que una norma N₁ de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N₂, cuando la topología inducida por N₁ sea más fina que aquella inducida por N₂, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E₁ &rarr; E₂ donde E_i es el espacio con norma N_i, i = 1, 2, sea continua. <b>Lema 8.5.1. </b><i>Sea E un espacio vectorial y sea E_i el espacio E con norma ||•||_i, i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||₂ &le; a||x||₁ entonces ||•||₁ es más fina que ||•||₂. <ul><li>Demostración. </i>Basta probar que cada bola abierta de E₂ es abierto en E₁.Supongamos que ||x - p||₂ < r. Entonces, cuando ||x - p||₁ < r/a se tiene que <br> <center>||x - p||₂ &le; a||x - p||₁ < a(r/a) = r.</center> Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||₁. Esto implica lo pedido. </ul>{{QED}} <hr> Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de <b>Rⁿ</b>(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima). [[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]] <center>Figura 8.1</center> La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad, euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1. Formalmente, tenemos lo siguiente. <!-- lema0804 --> <b>Lema 8.5.2. </b><i>Para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que :(a) ||x||_max &le; ||x||_e &le; &radic;(n)||x||_max, :(b) ||x||_max &le; ||x||_c &le; n||x||_max. </i> <ul><i> Demostración. </i>Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x_i) y M = ||x||_max = máx{|x_i| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x_j|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &le; |x_i| = M. Tenemos, entonces, que {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &\le & \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\ &\le& \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M. \end{array}</math>}} </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0804 --> <b>Proposición 8.5.3. </b><i>Las normas ciudad, euclídea y maxima de <b>Rⁿ</b>son equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Directo de los lemas anteriores. {{QED}} </ul> Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son equivalentes. <hr> <b>Proposición 8.5.4. </b><i>Dos normas ||·||₁ y ||·||₂ son equivalentes, cuando hay reales a y b positivos tales que </i> <center> a ||·||₁ ≤ ||·||₂ ≤ b || · ||₁. </center> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul> <hr> === Ejercicios 8.5 === <ol> <li> Completar la demostración del lema 8.5.2. <li> Probar la proposición 8.5.4. <li> Sea <E, d> un espacio métrico y sea d' : E × E &rarr; <b>R</b> tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d. </ol> <hr> == Las Sucesiones == Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos. La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;"> Definición. </span> Sea X un espacio topológico, s=(s_{_n}) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s_n) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s_n's. </div> A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas. Observemos, por ejemplo, que si <math>X</math> tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de <math>X</math> tiene como punto límite a cualquier elemento de <math>X</math>. Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1) <b>Proposición 8.6.1 </b><i>En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.</i> <br /> <b>Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).</b><i> Sea <math>X</math> un espacio topológico y <math>A</math> un subconjunto de <math>X</math>. Si <math>p</math> es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes <math>(x_n)</math> de <math>A</math>, entonces <math>p</math> está en <math>\overline{A}</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Por definición de límite, cada vecindad <math>U</math> de <math>p</math> contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de <math>A</math> diferente de <math>p</math>. {{QED}}</ul> <hr> <b>Proposición 8.6.3.</b> <i> Sea <math>f : X \rightarrow Y</math> una función continua. Entonces, para cada sucesión <math>(x_m)</math> de <math>X</math>, si <math>(x_n)</math> converge a <math>p</math> (no necesariamente único), entonces <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(p)</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>V</math> una vecindad de <math>f(p)</math>. Como <math>f</math> es continua en <math>p</math>, hay una vecindad <math>U</math> de <math>p</math> tal que <math>f(U)</math> está contenido en <math>V</math>. Como casi todos los <math>x_n</math> están en <math>U</math>, casi todos los <math>f(x_n)</math> están en <math>V</math>. {{QED}}</ul> <hr> <i>Observación 8.3. </i>Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando <math>X</math> es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto). <hr> === Ejercicios 8.6 === <ol> <li> Explicar el significado del enunciado "<math>p</math> no es un punto límite de la sucesión <math>(x_n)</math>". <li> Sean <math>(x_n)</math> una sucesión de un espacio <math>X</math>. Sea <math>\phi</math> una biyección de <math>\N</math> en si mismo y sea <math>y_n=\phi(x_n)</math>. Probar que si <math>x_n</math> converge a <math>p</math>, también lo hace <math>y_n</math>. Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión. <li> Probar la proposición 8.6.4. </ol> == Ejercicios del capítulo 8 == <ol> <li> Probar que A = {(x, y) : 2 < x < 5} es un abierto de <b>R²</b>. <li> Probar que C = {(x, y) : 2 < x < 5,-1 < y < -1} es un abierto de <b>R²</b>. <li> (T₁–topología de <b>R</b>) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de <b>R</b> con respecto a la cual <b>R</b> no es Hausdorff. Denotaremos por R_T₁ a los Reales con esta topología. ¿Es id : <b>R</b> &rarr; R_T₁ continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo? <li> (Funciones Abiertas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta. :b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua. :c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta.. <li> (Funciones Cerradas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada. :b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua. Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada. <li> Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &cup; {p}, donde p no está en X. <br> Sea T* = {&empty;} &cup; {A &cup;{p} : A &isin; T }. Probar que T* es una topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*. <li> Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada. <li> Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &isin; X, una familia no vacía de subconjuntos de X tales que para cada x de X se cumple que: :(1) x está en cada conjunto de V{x}; :(2) si A está en V{x} y B &sub; A, entonces B está en V{x}; :(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}. :(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}. :(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B. Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el conjunto de vecindades de x. <li> Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ? </ol> [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Espacios Métricos]] [[Categoría:Espacios Topológicos]] <!-- 9 de noviembre de 2016 Final --> <!-- 30 de marzo de 2019 --> <!-- 27 de diciembre de 2020 --> <!-- 27 de Diciembre del 2020 --> rce34vslrbvvz6x3i9e7ua3ovv3mv5o 423222 423221 2025-07-10T22:46:21Z Rehernan 55364 423222 wikitext text/x-wiki NOEDITSECTIONS <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Topológicos |anterior=Sucesiones |siguiente=Productos y Cocientes }} </noinclude> __TOC__ _ === Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS === (Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos) == Introducción == Hemos analizado, en los capítulos anteriores, las posiciones relativas de puntos y conjuntos usando métricas. Hay, sin embargo, situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias. Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados, de acumulación, continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto. Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2. == Las Definiciones Básicas == <!-- sec0802--> {{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que: :(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ; :(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ; :(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T . Un espacio topológico es un par <X, '''T''' > donde T es una topología de X. Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }} <!--ejEspTop --> <b>Ejemplos 8.2.1. </b> <ol> <li> Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la <i>topología inducida</i> por la métrica. En particular, llamamos <b>línea real</b> a los Reales <b>R</b> con la métrica usual. <li> Llamamos espacio topológico <b>discreto</b> a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto. <li> Llamamos espacio topológico <b>indiscreto</b> aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío. <li> Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener algunas aplicaciones interesantes. </ol> <b>Convenios.</b> Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto. Cuando digamos que una función f : X &rarr; Y es continua, implícitamente suponemos que X y Y son espacios (topológicos). <!-- 8.2.1. --> === Los Puntos y los Conjuntos Especiales === La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para comparaciones y futuras referencias. {{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una <b>vecindad</b> de un conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto que contenga a A (resp. a p). }} Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5. {{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado, ssi, su complemento es abierto. }} {{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X. <ul> <li> El punto p es <b>interior</b> de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A. <li> El punto p es <b>exterior</b> a A, ssi, es interior al complemento de A. <li> El punto p es de <b>clausura</b> de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A. <li> El punto p es de <b>frontera</b> de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento. <li> El punto p es de <b>acumulación</b> de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p. <li> El punto p de A es <b>aislado</b> en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p. </ul> }} {{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico. <ul> <li> El <b>interior</b> de A (Int(A) o A^o) es el conjunto de puntos interiores de A. <li> El <b>exterior</b> de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A. <li> La <b>clausura</b> de A (Cl(A) o A^--) es el conjunto de puntos de la clausura de A. <li> La <b>frontera</b> de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A. </ul>}} Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio: :a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc. :b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1. Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio, diremos que el espacio es <b>metrizable</b>. Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de su topología recuperar la métrica? La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los <b>Rⁿ</b>. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos). <i>Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)</i>. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos <math>\mathcal F</math> tal que: :(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en <math>\mathcal F</math> , :(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math> , y :(iii) la reunión de dos conjuntos en <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math>; tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en <math>\mathcal F</math>. === Espacios Hausdorff === Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X con p &ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V . Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos. Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos. <!-- 8.2.3. --> === Subespacios === Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá una topología relacionada con la topología de X? La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = <b>R</b> y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto motiva la siguiente proposición. <b>Proposición 8.2.1. </b><I> Sean <X, T> un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T_Y := {U &cap; Y : U &isin; T }. Entonces, T_Y es una topología en el conjunto Y .</i> <ul><i> Demostración. </i> Claramente, el conjunto vacío (&empty; = &empty; &cap; Y ) y Y = X &cap; Y están en T_Y. Sea (U_i), i &isin; I, una familia de conjuntos de <i>T</i>_Y . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V_i de X tal que U_i = V_i &cap; Y. Entonces, <math>V = \bigcup_{i \in I} V_i</math> es un abierto de X y como {{Eqn|<math>U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,</math>}} tenemos que <math>U = \bigcup_{i} U_i</math> está en T_Y. Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que: {{Eqn|<math> W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y, </math>}} lo que prueba que W está en T_Y. En conclusión, T_Y es una topología. </ul> {{QED}} <hr> {{DefRht|Subespacio|. Sean <X, T > un espacio topológico, Y un subconjunto de X y T_Y la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico <Y, T_Y > es un <b>subespacio</b> (topológico) de <X, T >. Llamamos <b>topología relativa</b> de Y (respecto a X) a la topología T_Y . }} Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando, decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su topología es la topología relativa. <hr> Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el recíproco no es válido, en general. <b>Proposición 8.2.2. </b><i>Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio </ul> <hr> <!-- 8.2.4.--> === Ejercicios 8.2 === <ol> <li> Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de X. Probar que :a) El interior de A &cap; B es igual a Int(A) &cap; Int(B) :b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A. :c) La clausura de A &cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B. :d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. :e) Si A &sub; B entonces Int(A) &sub; Int(B) y Cl(A) &sub; Cl(B). :f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A. :g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera. :h) El interior de A es A \ Fr(A). :i) Fr(Cl(A)) &sub; Fr(A) y Fr(Int A) &sub; Fr(A). :j) Fr(A &cup;B) &sub; Fr(A) &cup; Fr(B). <li> Sea X = [0,&infin;[ &sub; <b>R.</b> Sea T = {&empty;,X} &cup; {[a,+&infin;]: a &ge; 0}. Probar que T es una topología de X. <li> (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. <br> Probar que T_p = {&empty;} &cup; {A &sub; X : p &isin; A} es una topología de X. <li> (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. Probar que T<math>_{\neg\ p}</math> = {X} &cup; {A &sub; X : p &notin; A} es una topología de X. <li> (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito. Probar que T = {&empty;} &cup; {A &sub; X : X \ A es finito } es una topología de X. <li> Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío. <li> (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&empty;,X, {a}}. :a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''. :b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}. <li> ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff? :a) Los Reales. :b) Un espacio discreto. :c) Un espacio indiscreto. :d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior). : e) Un espacio métrico cualquiera. <li> Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &sub; Y . Probar que la topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología relativa de Z como subespacio de X. <li> Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &cap; B. Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en X. <li> Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado. <li> Probar que la topología usual de <b>R</b> coincide con la topología relativa como subespacio de <b>R²</b> con su topología usual. <li> Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X. <!-- <li> Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías? --> <li> Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea <b>N^♯</b> = <b>N</b> ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de <b><N^♯</b> cuyo complemento es finito.Probar que: :a) T es una topología en <b>N^♯</b>, y que :b) la topología de <b>N</b> como subespacio de <b>N^♯</b> es diferente de la topología de <b>N</b> como subespacio de la línea real. <!-- 8.3. --> == Funciones Continuas y Homeomorfismos == === Funciones Continuas === La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global. {{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios topológicos. Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi, para cada abierto V de Y, su preimagen, f^-1(V), es un abierto en X. }} Notemos que si T_X y T_Y son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función <math>f* : T_Y \rightarrow T_X</math>, <math>f^*(U)= f^{-1}(U)</math>; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos. <ul> <li> Las funciones constantes son continuas. <li> Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i^-1(V ) = V &cap; Y.) <li> Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba). Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones. </ul> <!-- propo0803 --> <b>Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). </b><i>La composición de funciones continuas es continua.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sean f : X &rarr; Y y g : Y &rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g^-1(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)^-1(W) = f^-1(g^-1(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición. (Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.) </ul> {{QED}} <hr> Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades. <!-- lema0801 --> <b>Lema 8.3.2. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) La función f es continua. :(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f^-1(W) es una vecindad de p. </i> <ul><i>Demostración. </i> <br>[(a) &rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &isin; V &sub; W. Luego, f^-1(W) contiene a f^-1(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f^-1(W) es una vecindad de p.<br> [(b) &rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f^-1(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de x tal que U &sub; f^-1(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U₀ tal que x &isin; U₀ &sub; U &sub; f^-1(V ). Lo que prueba que f es continua. </ul>{{QED}} <hr> <!-- lema0802 --> <b>Lema 8.3.3. </b> </i>Sean f : X &rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)).</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &cap; A &ne; &empty;. Luego, f(U n A) &ne; &empty;. Como, {{Eqn|<math> \emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),</math>}} tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A). </ul>{{QED}} <hr> <!-- propo0802 --> <b>Proposición 8.3.4. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) f es continua. :(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f^-1(V ), es abierto en X. :(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f^-1(W), es cerrado en X. :(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)). </i> <ul><i> Demostración. </i>La definición de continuidad da la equivalencia (a) &lArr;&rArr; (b). La equivalencia (b) &hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.<br> [(d) &rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W₀ = f^-1(W). Entonces, f(Cl(W₀)) &sub; Cl(f(W₀) )= Cl(f(f^-1(W) ) &sub; Cl(W) = W. Lo que implica que Cl(W₀) &sub; f^-1(W) = W₀, lo que implica que W₀ es cerrado.<br> [(a) &rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo. </ul> {{QED}} <hr> <b>Observación 8.2. </b>Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que no es abierto (es cerrado). Para otro ejemplo consideremos la función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1]. Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &#8614; 1/t de X = <b>R</b> \ 0 en Y = <b>R</b> envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&infin; 0[ &cup; ]0,+&infin;[ que no es cerrado en <b>R.</b> === Los Homeomorfismos === Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más. <b>Ejemplo 8.3.1. </b> Sea <b>R_discreto</b> el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de <b>R_discreto</b> en <b>R</b>, t &#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en <b>R</b> es un abierto en <b>R</b>_discreto—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de <b>R</b> son abiertos. <hr> {{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &rarr; Y tal que su inversa también es continua. <br> Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos que los espacios X y Y son homeomorfos y escribiremos que X &cong; Y. }} Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión “función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos. <b>Ejemplo 8.3.2. </b>Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &#8614; t + a y t &#8614; bt, b &ne; 0 son funciones de <b>R</b> en <b>R</b> continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos <hr> <b>Ejemplo 8.3.3 (&spades; Cálculo ). </b>Sea f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f : t &#8614; t³, f es biyectiva con inversa <math>t \mapsto \sqrt[3]{t}</math>. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos. <hr> <b>Ejemplo 8.3.4. </b> Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio. <hr> === Significado de los Homeomorfismos === La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc. Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología. Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos. <b>Propiedad Topológica. </b> Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad. Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores. <br> <b>Propiedad Hereditaria.</b> Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos. Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.) <b>Propiedad Invariante. </b> Sea f : X &rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad. Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no. <b>Proposición 8.3.5. (Propiedades de "es homemorfo con")</b><i> Sean X, Y y Z espacios topológicos. <br> Se cumple que: :(a) X &cong; X. :(b) X &cong; Y implica que Y &cong; X. :(c) X &cong; Y y Y &cong; Z entonces X &cong; Z. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos. <b>Proposición 8.3.6. </b><i>Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. </i> <ul><i> Demostración. </i>Basta con probar que ]a, b[ &cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua. </ul>{{QED}} <hr> Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1. Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica. El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante. <b>Ejemplo 8.3.5 (&spades; Cálculo). </b>La función f : <b>R</b> &rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos. Notemos que mientras que <b>R</b> es un espacio métrico completo, el intervalo abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que no es topológica. <hr> <b>Ejemplo 8.3.6. </b> Sean E = {(x, y, z) : x²+y²+z² = 1, z &ge; 0} y F = {(x, y, z) &isin; <b>R³</b> : x² + y² = 1, z = 0}. E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de <b>R³</b> y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa <math>(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) </math>. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos. Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de <b>R³</b> (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios. <hr> <b>Proposición 8.3.7. </b><i>Dos bolas cerradas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son homeomorfas.</i> <ul><i> Demostración. </i> Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t_a es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t_-a(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h_r, r > 0, la función que envía cada punto p en <i>rp</i>. Como <center>||h_r(p) - h_r(q)|| = r||p - q||, </center> vemos que h_r es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h_1/r. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h_r(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B. </ul>{{QED}} Análogamente, se verifica que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios. <hr> <b>Convenio. </b> Denotaremos por <b>Bⁿ</b> a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de <b>Rⁿ</b>. Topológicamente, <b>Bⁿ</b> representa a todas las bolas cerradas de <b>Rⁿ</b>. Por su parte, denotaremos por <b>Sⁿ</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b> (que es homeomorfa a todas las esferas en <b>Rⁿ⁺¹</b>). <hr> === Funciones Abiertas y Cerradas === Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados. Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales. {{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada) f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ). }} Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada. Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado). Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas. === Ejercicios 8.3 === <ol> <li> Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua. <li> Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es continua. <li> Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua. Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva, ¿debe necesariamente ser un homeomorfismo? <li> Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. <li> (<b>R²</b>) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x² + y² = 1}. <li> (<b>R²</b>) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario <b>I²</b> = {(x, y) : 0 &le; x , y \le 1}. <li> Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b> (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a <b>S^n-1</b>. <li> Sea <b>Sⁿ</b>, n > 0, la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b>. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que <center><math> \mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}</math></center> Sean <center><math>\begin{array}{rcl} \mathbb{S}_{+}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} >0\} \text{ (hemisferio norte),} \\ \mathbb{S}_{-}^{n} &:= & \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} <0\}, \text{ y} \\ \mathbb{S}_{0}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}. \end{array}</math></center> Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> <math>\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.</math> <li> <math>\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.</math> </ol> <li> Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x < 1/2, y f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es. <li> Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta. <li> Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo. <li> Una función f : X &rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &sub; Int(f(A)). <li> Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una propiedad topológica. <li> En un espacio normado son homeomorfismos :a) las traslaciones (x &#8614; a + x); :b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &#8614; &alpha; x). :c) las simetrías alrededor de un punto c (x &#8614; 2c - x). <li> Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas. <li> (&spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías. </ol> == Topologías de un Conjunto == Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades. Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión. En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación. {{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T₁ y T₂ topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T₁ es menos fina que T₂, cuando cada abierto de T₁ sea un abierto de T₂ (o sea cuando T₁ &sub; T₂). }} <b>Nomenclatura. </b> Cuando T₁ es menos fina que T₂, también se dice que: <ul> <li> T₂ es más fina que T₁; <li> T₁ es más débil que T₂; <li> T₂ es más fuerte que T₁. </ul> En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto. Sean T₁, T₂ dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T₁ n T₂ es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías. Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U_i)i &isin; I, una familia de abiertos de <i>T</i> . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T₁ como en T₂, por lo que su reunión estará tanto en T₁ como en T₂ y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado. <br> El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías, (T_k), k &isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que la reunión estará en T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que dicha intersección estará en T . <!-- propo0801 --> <b>Proposición 8.4.1. </b><i>La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. </i> <hr> <b>Topología Generada por Familias de Subconjuntos.</b> Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea <math><S></math> la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que <math><S></math> es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S. <!-- prop080400 --> <b>Proposición 8.4.2. </b><i>Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = <math><S>.</math> </i> <ul><li>Demostración. </i>Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío. </ul> <hr> <b>Subbase.</b> Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S. <b>Base.</b> Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un <b> abierto básico</b> es un abierto de una base. Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio. La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases. Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base <math>\mathcal{B}</math> para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en <math>\mathcal{B}</math> tal que A &sub; U. <b>Ejemplo 8.4.1. </b> En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto. <hr> <b>Ejemplo 8.4.2. (<b>R²</b>)</b> Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y). Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos. Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de <b>R²</b> y para cada punto p del abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano. <hr> <b>Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).</b> <ul> <li> Cada topología es una base de ella misma. <li> Cada base es una subbase. <li> La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base. </ul> <hr> <!-- prop0811 --> <b>Proposición 8.4.3. </b><i>Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &isin;V &sub; U.</i> <ul><li> Demostración. </i>Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V_i) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V_i; lo que prueba la necesidad de la condición. Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío, entonces para cada x de U sea V_x el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V_x, x &isin; U. </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0812 --> <b>Proposición 8.4.4. </b><i>Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera entre espacios. Entonces :(a) f es continua &hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto. :(b) f es abierta &hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto. </i> <ul><li>Demostración. </i>Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos: <center><math>\begin{array}{rcl} f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) & \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i). \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 8.4 === <ol> <li> Probar la proposición 8.4.2. <li> (Bases) Sea X un espacio topológico. :a) ¿Siempre hay una base para la topología de X? :b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas? :c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales? <li> Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía, su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de <b>R</b> consiste de ... <li> Sea f : X &rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por transporte de estructura. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y. Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad. <li> Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad. <li> Hallar tres bases diferentes para la topología usual de <b>R²</b>. <li> Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados. </ol> == Métricas Equivalentes == El espacio vectorial <b>Rⁿ</b> puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en <b>Rⁿ</b>. ¿Cómo comparan esas topologías? <b>Métricas y Normas Equivalentes.</b> Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) <b>equivalentes</b>, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología. Por extensión de la terminología, diremos que una norma N₁ de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N₂, cuando la topología inducida por N₁ sea más fina que aquella inducida por N₂, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E₁ &rarr; E₂ donde E_i es el espacio con norma N_i, i = 1, 2, sea continua. <b>Lema 8.5.1. </b><i>Sea E un espacio vectorial y sea E_i el espacio E con norma ||•||_i, i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||₂ &le; a||x||₁ entonces ||•||₁ es más fina que ||•||₂. <ul><li>Demostración. </i>Basta probar que cada bola abierta de E₂ es abierto en E₁.Supongamos que ||x - p||₂ < r. Entonces, cuando ||x - p||₁ < r/a se tiene que <br> <center>||x - p||₂ &le; a||x - p||₁ < a(r/a) = r.</center> Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||₁. Esto implica lo pedido. </ul>{{QED}} <hr> Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de <b>Rⁿ</b>(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima). [[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]] <center>Figura 8.1</center> La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad, euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1. Formalmente, tenemos lo siguiente. <!-- lema0804 --> <b>Lema 8.5.2. </b><i>Para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que :(a) ||x||_max &le; ||x||_e &le; &radic;(n)||x||_max, :(b) ||x||_max &le; ||x||_c &le; n||x||_max. </i> <ul><i> Demostración. </i>Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x_i) y M = ||x||_max = máx{|x_i| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x_j|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &le; |x_i| = M. Tenemos, entonces, que {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &\le & \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\ &\le& \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M. \end{array}</math>}} </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0804 --> <b>Proposición 8.5.3. </b><i>Las normas ciudad, euclídea y maxima de <b>Rⁿ</b>son equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Directo de los lemas anteriores. {{QED}} </ul> Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son equivalentes. <hr> <b>Proposición 8.5.4. </b><i>Dos normas ||·||₁ y ||·||₂ son equivalentes, cuando hay reales a y b positivos tales que </i> <center> a ||·||₁ ≤ ||·||₂ ≤ b || · ||₁. </center> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul> <hr> === Ejercicios 8.5 === <ol> <li> Completar la demostración del lema 8.5.2. <li> Probar la proposición 8.5.4. <li> Sea <E, d> un espacio métrico y sea d' : E × E &rarr; <b>R</b> tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d. </ol> <hr> == Las Sucesiones == Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos. La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;"> Definición. </span> Sea X un espacio topológico, s=(s_{_n}) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s_n) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s_n's. </div> A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas. Observemos, por ejemplo, que si <math>X</math> tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de <math>X</math> tiene como punto límite a cualquier elemento de <math>X</math>. Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1) <b>Proposición 8.6.1 </b><i>En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.</i> <br /> <b>Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).</b><i> Sea <math>X</math> un espacio topológico y <math>A</math> un subconjunto de <math>X</math>. Si <math>p</math> es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes <math>(x_n)</math> de <math>A</math>, entonces <math>p</math> está en <math>\overline{A}</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Por definición de límite, cada vecindad <math>U</math> de <math>p</math> contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de <math>A</math> diferente de <math>p</math>. {{QED}}</ul> <hr> <b>Proposición 8.6.3.</b> <i> Sea <math>f : X \rightarrow Y</math> una función continua. Entonces, para cada sucesión <math>(x_m)</math> de <math>X</math>, si <math>(x_n)</math> converge a <math>p</math> (no necesariamente único), entonces <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(p)</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>V</math> una vecindad de <math>f(p)</math>. Como <math>f</math> es continua en <math>p</math>, hay una vecindad <math>U</math> de <math>p</math> tal que <math>f(U)</math> está contenido en <math>V</math>. Como casi todos los <math>x_n</math> están en <math>U</math>, casi todos los <math>f(x_n)</math> están en <math>V</math>. {{QED}}</ul> <hr> <i>Observación 8.3. </i>Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando <math>X</math> es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto). <hr> === Ejercicios 8.6 === <ol> <li> Explicar el significado del enunciado "<math>p</math> no es un punto límite de la sucesión <math>(x_n)</math>". <li> Sean <math>(x_n)</math> una sucesión de un espacio <math>X</math>. Sea <math>\phi</math> una biyección de <math>\N</math> en si mismo y sea <math>y_n=\phi(x_n)</math>. Probar que si <math>x_n</math> converge a <math>p</math>, también lo hace <math>y_n</math>. Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión. <li> Probar la proposición 8.6.4. </ol> == Ejercicios del capítulo 8 == <ol> <li> Probar que A = {(x, y) : 2 < x < 5} es un abierto de <b>R²</b>. <li> Probar que C = {(x, y) : 2 < x < 5,-1 < y < -1} es un abierto de <b>R²</b>. <li> (T₁–topología de <b>R</b>) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de <b>R</b> con respecto a la cual <b>R</b> no es Hausdorff. Denotaremos por R_T₁ a los Reales con esta topología. ¿Es id : <b>R</b> &rarr; R_T₁ continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo? <li> (Funciones Abiertas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta. :b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua. :c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta.. <li> (Funciones Cerradas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada. :b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua. Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada. <li> Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &cup; {p}, donde p no está en X. <br> Sea T* = {&empty;} &cup; {A &cup;{p} : A &isin; T }. Probar que T* es una topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*. <li> Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada. <li> Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &isin; X, una familia no vacía de subconjuntos de X tales que para cada x de X se cumple que: :(1) x está en cada conjunto de V{x}; :(2) si A está en V{x} y B &sub; A, entonces B está en V{x}; :(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}. :(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}. :(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B. Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el conjunto de vecindades de x. <li> Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ? </ol> [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Espacios Métricos]] [[Categoría:Espacios Topológicos]] <!-- 9 de noviembre de 2016 Final --> <!-- 30 de marzo de 2019 --> <!-- 27 de diciembre de 2020 --> <!-- 27 de Diciembre del 2020 --> azqc23k9tk6xuxhkq0i0rcn9k5he7aj 423223 423222 2025-07-10T22:58:38Z Rehernan 55364 /* Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS */ 423223 wikitext text/x-wiki NOEDITSECTIONS <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Topológicos |anterior=Sucesiones |siguiente=Productos y Cocientes }} </noinclude> __TOC__ _ __NOEDITSECTION_ === Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS === (Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos) == Introducción == Hemos analizado, en los capítulos anteriores, las posiciones relativas de puntos y conjuntos usando métricas. Hay, sin embargo, situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias. Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados, de acumulación, continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto. Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2. == Las Definiciones Básicas == <!-- sec0802--> {{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que: :(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ; :(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ; :(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T . Un espacio topológico es un par <X, '''T''' > donde T es una topología de X. Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }} <!--ejEspTop --> <b>Ejemplos 8.2.1. </b> <ol> <li> Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la <i>topología inducida</i> por la métrica. En particular, llamamos <b>línea real</b> a los Reales <b>R</b> con la métrica usual. <li> Llamamos espacio topológico <b>discreto</b> a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto. <li> Llamamos espacio topológico <b>indiscreto</b> aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío. <li> Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener algunas aplicaciones interesantes. </ol> <b>Convenios.</b> Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto. Cuando digamos que una función f : X &rarr; Y es continua, implícitamente suponemos que X y Y son espacios (topológicos). <!-- 8.2.1. --> === Los Puntos y los Conjuntos Especiales === La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para comparaciones y futuras referencias. {{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una <b>vecindad</b> de un conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto que contenga a A (resp. a p). }} Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5. {{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado, ssi, su complemento es abierto. }} {{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X. <ul> <li> El punto p es <b>interior</b> de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A. <li> El punto p es <b>exterior</b> a A, ssi, es interior al complemento de A. <li> El punto p es de <b>clausura</b> de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A. <li> El punto p es de <b>frontera</b> de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento. <li> El punto p es de <b>acumulación</b> de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p. <li> El punto p de A es <b>aislado</b> en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p. </ul> }} {{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico. <ul> <li> El <b>interior</b> de A (Int(A) o A^o) es el conjunto de puntos interiores de A. <li> El <b>exterior</b> de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A. <li> La <b>clausura</b> de A (Cl(A) o A^--) es el conjunto de puntos de la clausura de A. <li> La <b>frontera</b> de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A. </ul>}} Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio: :a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc. :b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1. Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio, diremos que el espacio es <b>metrizable</b>. Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de su topología recuperar la métrica? La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los <b>Rⁿ</b>. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos). <i>Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)</i>. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos <math>\mathcal F</math> tal que: :(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en <math>\mathcal F</math> , :(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math> , y :(iii) la reunión de dos conjuntos en <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math>; tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en <math>\mathcal F</math>. === Espacios Hausdorff === Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X con p &ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V . Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos. Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos. <!-- 8.2.3. --> === Subespacios === Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá una topología relacionada con la topología de X? La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = <b>R</b> y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto motiva la siguiente proposición. <b>Proposición 8.2.1. </b><I> Sean <X, T> un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T_Y := {U &cap; Y : U &isin; T }. Entonces, T_Y es una topología en el conjunto Y .</i> <ul><i> Demostración. </i> Claramente, el conjunto vacío (&empty; = &empty; &cap; Y ) y Y = X &cap; Y están en T_Y. Sea (U_i), i &isin; I, una familia de conjuntos de <i>T</i>_Y . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V_i de X tal que U_i = V_i &cap; Y. Entonces, <math>V = \bigcup_{i \in I} V_i</math> es un abierto de X y como {{Eqn|<math>U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,</math>}} tenemos que <math>U = \bigcup_{i} U_i</math> está en T_Y. Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que: {{Eqn|<math> W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y, </math>}} lo que prueba que W está en T_Y. En conclusión, T_Y es una topología. </ul> {{QED}} <hr> {{DefRht|Subespacio|. Sean <X, T > un espacio topológico, Y un subconjunto de X y T_Y la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico <Y, T_Y > es un <b>subespacio</b> (topológico) de <X, T >. Llamamos <b>topología relativa</b> de Y (respecto a X) a la topología T_Y . }} Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando, decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su topología es la topología relativa. <hr> Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el recíproco no es válido, en general. <b>Proposición 8.2.2. </b><i>Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio </ul> <hr> <!-- 8.2.4.--> === Ejercicios 8.2 === <ol> <li> Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de X. Probar que :a) El interior de A &cap; B es igual a Int(A) &cap; Int(B) :b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A. :c) La clausura de A &cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B. :d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. :e) Si A &sub; B entonces Int(A) &sub; Int(B) y Cl(A) &sub; Cl(B). :f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A. :g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera. :h) El interior de A es A \ Fr(A). :i) Fr(Cl(A)) &sub; Fr(A) y Fr(Int A) &sub; Fr(A). :j) Fr(A &cup;B) &sub; Fr(A) &cup; Fr(B). <li> Sea X = [0,&infin;[ &sub; <b>R.</b> Sea T = {&empty;,X} &cup; {[a,+&infin;]: a &ge; 0}. Probar que T es una topología de X. <li> (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. <br> Probar que T_p = {&empty;} &cup; {A &sub; X : p &isin; A} es una topología de X. <li> (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. Probar que T<math>_{\neg\ p}</math> = {X} &cup; {A &sub; X : p &notin; A} es una topología de X. <li> (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito. Probar que T = {&empty;} &cup; {A &sub; X : X \ A es finito } es una topología de X. <li> Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío. <li> (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&empty;,X, {a}}. :a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''. :b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}. <li> ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff? :a) Los Reales. :b) Un espacio discreto. :c) Un espacio indiscreto. :d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior). : e) Un espacio métrico cualquiera. <li> Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &sub; Y . Probar que la topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología relativa de Z como subespacio de X. <li> Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &cap; B. Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en X. <li> Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado. <li> Probar que la topología usual de <b>R</b> coincide con la topología relativa como subespacio de <b>R²</b> con su topología usual. <li> Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X. <!-- <li> Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías? --> <li> Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea <b>N^♯</b> = <b>N</b> ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de <b><N^♯</b> cuyo complemento es finito.Probar que: :a) T es una topología en <b>N^♯</b>, y que :b) la topología de <b>N</b> como subespacio de <b>N^♯</b> es diferente de la topología de <b>N</b> como subespacio de la línea real. <!-- 8.3. --> == Funciones Continuas y Homeomorfismos == === Funciones Continuas === La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global. {{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios topológicos. Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi, para cada abierto V de Y, su preimagen, f^-1(V), es un abierto en X. }} Notemos que si T_X y T_Y son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función <math>f* : T_Y \rightarrow T_X</math>, <math>f^*(U)= f^{-1}(U)</math>; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos. <ul> <li> Las funciones constantes son continuas. <li> Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i^-1(V ) = V &cap; Y.) <li> Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba). Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones. </ul> <!-- propo0803 --> <b>Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). </b><i>La composición de funciones continuas es continua.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sean f : X &rarr; Y y g : Y &rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g^-1(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)^-1(W) = f^-1(g^-1(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición. (Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.) </ul> {{QED}} <hr> Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades. <!-- lema0801 --> <b>Lema 8.3.2. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) La función f es continua. :(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f^-1(W) es una vecindad de p. </i> <ul><i>Demostración. </i> <br>[(a) &rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &isin; V &sub; W. Luego, f^-1(W) contiene a f^-1(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f^-1(W) es una vecindad de p.<br> [(b) &rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f^-1(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de x tal que U &sub; f^-1(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U₀ tal que x &isin; U₀ &sub; U &sub; f^-1(V ). Lo que prueba que f es continua. </ul>{{QED}} <hr> <!-- lema0802 --> <b>Lema 8.3.3. </b> </i>Sean f : X &rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)).</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &cap; A &ne; &empty;. Luego, f(U n A) &ne; &empty;. Como, {{Eqn|<math> \emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),</math>}} tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A). </ul>{{QED}} <hr> <!-- propo0802 --> <b>Proposición 8.3.4. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) f es continua. :(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f^-1(V ), es abierto en X. :(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f^-1(W), es cerrado en X. :(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)). </i> <ul><i> Demostración. </i>La definición de continuidad da la equivalencia (a) &lArr;&rArr; (b). La equivalencia (b) &hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.<br> [(d) &rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W₀ = f^-1(W). Entonces, f(Cl(W₀)) &sub; Cl(f(W₀) )= Cl(f(f^-1(W) ) &sub; Cl(W) = W. Lo que implica que Cl(W₀) &sub; f^-1(W) = W₀, lo que implica que W₀ es cerrado.<br> [(a) &rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo. </ul> {{QED}} <hr> <b>Observación 8.2. </b>Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que no es abierto (es cerrado). Para otro ejemplo consideremos la función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1]. Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &#8614; 1/t de X = <b>R</b> \ 0 en Y = <b>R</b> envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&infin; 0[ &cup; ]0,+&infin;[ que no es cerrado en <b>R.</b> === Los Homeomorfismos === Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más. <b>Ejemplo 8.3.1. </b> Sea <b>R_discreto</b> el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de <b>R_discreto</b> en <b>R</b>, t &#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en <b>R</b> es un abierto en <b>R</b>_discreto—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de <b>R</b> son abiertos. <hr> {{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &rarr; Y tal que su inversa también es continua. <br> Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos que los espacios X y Y son homeomorfos y escribiremos que X &cong; Y. }} Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión “función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos. <b>Ejemplo 8.3.2. </b>Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &#8614; t + a y t &#8614; bt, b &ne; 0 son funciones de <b>R</b> en <b>R</b> continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos <hr> <b>Ejemplo 8.3.3 (&spades; Cálculo ). </b>Sea f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f : t &#8614; t³, f es biyectiva con inversa <math>t \mapsto \sqrt[3]{t}</math>. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos. <hr> <b>Ejemplo 8.3.4. </b> Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio. <hr> === Significado de los Homeomorfismos === La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc. Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología. Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos. <b>Propiedad Topológica. </b> Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad. Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores. <br> <b>Propiedad Hereditaria.</b> Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos. Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.) <b>Propiedad Invariante. </b> Sea f : X &rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad. Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no. <b>Proposición 8.3.5. (Propiedades de "es homemorfo con")</b><i> Sean X, Y y Z espacios topológicos. <br> Se cumple que: :(a) X &cong; X. :(b) X &cong; Y implica que Y &cong; X. :(c) X &cong; Y y Y &cong; Z entonces X &cong; Z. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos. <b>Proposición 8.3.6. </b><i>Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. </i> <ul><i> Demostración. </i>Basta con probar que ]a, b[ &cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua. </ul>{{QED}} <hr> Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1. Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica. El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante. <b>Ejemplo 8.3.5 (&spades; Cálculo). </b>La función f : <b>R</b> &rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos. Notemos que mientras que <b>R</b> es un espacio métrico completo, el intervalo abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que no es topológica. <hr> <b>Ejemplo 8.3.6. </b> Sean E = {(x, y, z) : x²+y²+z² = 1, z &ge; 0} y F = {(x, y, z) &isin; <b>R³</b> : x² + y² = 1, z = 0}. E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de <b>R³</b> y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa <math>(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) </math>. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos. Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de <b>R³</b> (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios. <hr> <b>Proposición 8.3.7. </b><i>Dos bolas cerradas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son homeomorfas.</i> <ul><i> Demostración. </i> Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t_a es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t_-a(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h_r, r > 0, la función que envía cada punto p en <i>rp</i>. Como <center>||h_r(p) - h_r(q)|| = r||p - q||, </center> vemos que h_r es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h_1/r. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h_r(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B. </ul>{{QED}} Análogamente, se verifica que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios. <hr> <b>Convenio. </b> Denotaremos por <b>Bⁿ</b> a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de <b>Rⁿ</b>. Topológicamente, <b>Bⁿ</b> representa a todas las bolas cerradas de <b>Rⁿ</b>. Por su parte, denotaremos por <b>Sⁿ</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b> (que es homeomorfa a todas las esferas en <b>Rⁿ⁺¹</b>). <hr> === Funciones Abiertas y Cerradas === Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados. Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales. {{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada) f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ). }} Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada. Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado). Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas. === Ejercicios 8.3 === <ol> <li> Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua. <li> Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es continua. <li> Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua. Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva, ¿debe necesariamente ser un homeomorfismo? <li> Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. <li> (<b>R²</b>) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x² + y² = 1}. <li> (<b>R²</b>) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario <b>I²</b> = {(x, y) : 0 &le; x , y \le 1}. <li> Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b> (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a <b>S^n-1</b>. <li> Sea <b>Sⁿ</b>, n > 0, la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b>. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que <center><math> \mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}</math></center> Sean <center><math>\begin{array}{rcl} \mathbb{S}_{+}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} >0\} \text{ (hemisferio norte),} \\ \mathbb{S}_{-}^{n} &:= & \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} <0\}, \text{ y} \\ \mathbb{S}_{0}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}. \end{array}</math></center> Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> <math>\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.</math> <li> <math>\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.</math> </ol> <li> Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x < 1/2, y f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es. <li> Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta. <li> Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo. <li> Una función f : X &rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &sub; Int(f(A)). <li> Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una propiedad topológica. <li> En un espacio normado son homeomorfismos :a) las traslaciones (x &#8614; a + x); :b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &#8614; &alpha; x). :c) las simetrías alrededor de un punto c (x &#8614; 2c - x). <li> Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas. <li> (&spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías. </ol> == Topologías de un Conjunto == Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades. Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión. En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación. {{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T₁ y T₂ topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T₁ es menos fina que T₂, cuando cada abierto de T₁ sea un abierto de T₂ (o sea cuando T₁ &sub; T₂). }} <b>Nomenclatura. </b> Cuando T₁ es menos fina que T₂, también se dice que: <ul> <li> T₂ es más fina que T₁; <li> T₁ es más débil que T₂; <li> T₂ es más fuerte que T₁. </ul> En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto. Sean T₁, T₂ dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T₁ n T₂ es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías. Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U_i)i &isin; I, una familia de abiertos de <i>T</i> . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T₁ como en T₂, por lo que su reunión estará tanto en T₁ como en T₂ y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado. <br> El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías, (T_k), k &isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que la reunión estará en T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que dicha intersección estará en T . <!-- propo0801 --> <b>Proposición 8.4.1. </b><i>La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. </i> <hr> <b>Topología Generada por Familias de Subconjuntos.</b> Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea <math><S></math> la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que <math><S></math> es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S. <!-- prop080400 --> <b>Proposición 8.4.2. </b><i>Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = <math><S>.</math> </i> <ul><li>Demostración. </i>Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío. </ul> <hr> <b>Subbase.</b> Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S. <b>Base.</b> Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un <b> abierto básico</b> es un abierto de una base. Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio. La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases. Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base <math>\mathcal{B}</math> para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en <math>\mathcal{B}</math> tal que A &sub; U. <b>Ejemplo 8.4.1. </b> En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto. <hr> <b>Ejemplo 8.4.2. (<b>R²</b>)</b> Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y). Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos. Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de <b>R²</b> y para cada punto p del abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano. <hr> <b>Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).</b> <ul> <li> Cada topología es una base de ella misma. <li> Cada base es una subbase. <li> La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base. </ul> <hr> <!-- prop0811 --> <b>Proposición 8.4.3. </b><i>Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &isin;V &sub; U.</i> <ul><li> Demostración. </i>Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V_i) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V_i; lo que prueba la necesidad de la condición. Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío, entonces para cada x de U sea V_x el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V_x, x &isin; U. </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0812 --> <b>Proposición 8.4.4. </b><i>Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera entre espacios. Entonces :(a) f es continua &hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto. :(b) f es abierta &hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto. </i> <ul><li>Demostración. </i>Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos: <center><math>\begin{array}{rcl} f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) & \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i). \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 8.4 === <ol> <li> Probar la proposición 8.4.2. <li> (Bases) Sea X un espacio topológico. :a) ¿Siempre hay una base para la topología de X? :b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas? :c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales? <li> Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía, su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de <b>R</b> consiste de ... <li> Sea f : X &rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por transporte de estructura. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y. Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad. <li> Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad. <li> Hallar tres bases diferentes para la topología usual de <b>R²</b>. <li> Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados. </ol> == Métricas Equivalentes == El espacio vectorial <b>Rⁿ</b> puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en <b>Rⁿ</b>. ¿Cómo comparan esas topologías? <b>Métricas y Normas Equivalentes.</b> Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) <b>equivalentes</b>, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología. Por extensión de la terminología, diremos que una norma N₁ de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N₂, cuando la topología inducida por N₁ sea más fina que aquella inducida por N₂, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E₁ &rarr; E₂ donde E_i es el espacio con norma N_i, i = 1, 2, sea continua. <b>Lema 8.5.1. </b><i>Sea E un espacio vectorial y sea E_i el espacio E con norma ||•||_i, i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||₂ &le; a||x||₁ entonces ||•||₁ es más fina que ||•||₂. <ul><li>Demostración. </i>Basta probar que cada bola abierta de E₂ es abierto en E₁.Supongamos que ||x - p||₂ < r. Entonces, cuando ||x - p||₁ < r/a se tiene que <br> <center>||x - p||₂ &le; a||x - p||₁ < a(r/a) = r.</center> Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||₁. Esto implica lo pedido. </ul>{{QED}} <hr> Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de <b>Rⁿ</b>(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima). [[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]] <center>Figura 8.1</center> La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad, euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1. Formalmente, tenemos lo siguiente. <!-- lema0804 --> <b>Lema 8.5.2. </b><i>Para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que :(a) ||x||_max &le; ||x||_e &le; &radic;(n)||x||_max, :(b) ||x||_max &le; ||x||_c &le; n||x||_max. </i> <ul><i> Demostración. </i>Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x_i) y M = ||x||_max = máx{|x_i| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x_j|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &le; |x_i| = M. Tenemos, entonces, que {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &\le & \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\ &\le& \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M. \end{array}</math>}} </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0804 --> <b>Proposición 8.5.3. </b><i>Las normas ciudad, euclídea y maxima de <b>Rⁿ</b>son equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Directo de los lemas anteriores. {{QED}} </ul> Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son equivalentes. <hr> <b>Proposición 8.5.4. </b><i>Dos normas ||·||₁ y ||·||₂ son equivalentes, cuando hay reales a y b positivos tales que </i> <center> a ||·||₁ ≤ ||·||₂ ≤ b || · ||₁. </center> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul> <hr> === Ejercicios 8.5 === <ol> <li> Completar la demostración del lema 8.5.2. <li> Probar la proposición 8.5.4. <li> Sea <E, d> un espacio métrico y sea d' : E × E &rarr; <b>R</b> tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d. </ol> <hr> == Las Sucesiones == Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos. La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;"> Definición. </span> Sea X un espacio topológico, s=(s_{_n}) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s_n) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s_n's. </div> A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas. Observemos, por ejemplo, que si <math>X</math> tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de <math>X</math> tiene como punto límite a cualquier elemento de <math>X</math>. Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1) <b>Proposición 8.6.1 </b><i>En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.</i> <br /> <b>Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).</b><i> Sea <math>X</math> un espacio topológico y <math>A</math> un subconjunto de <math>X</math>. Si <math>p</math> es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes <math>(x_n)</math> de <math>A</math>, entonces <math>p</math> está en <math>\overline{A}</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Por definición de límite, cada vecindad <math>U</math> de <math>p</math> contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de <math>A</math> diferente de <math>p</math>. {{QED}}</ul> <hr> <b>Proposición 8.6.3.</b> <i> Sea <math>f : X \rightarrow Y</math> una función continua. Entonces, para cada sucesión <math>(x_m)</math> de <math>X</math>, si <math>(x_n)</math> converge a <math>p</math> (no necesariamente único), entonces <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(p)</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>V</math> una vecindad de <math>f(p)</math>. Como <math>f</math> es continua en <math>p</math>, hay una vecindad <math>U</math> de <math>p</math> tal que <math>f(U)</math> está contenido en <math>V</math>. Como casi todos los <math>x_n</math> están en <math>U</math>, casi todos los <math>f(x_n)</math> están en <math>V</math>. {{QED}}</ul> <hr> <i>Observación 8.3. </i>Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando <math>X</math> es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto). <hr> === Ejercicios 8.6 === <ol> <li> Explicar el significado del enunciado "<math>p</math> no es un punto límite de la sucesión <math>(x_n)</math>". <li> Sean <math>(x_n)</math> una sucesión de un espacio <math>X</math>. Sea <math>\phi</math> una biyección de <math>\N</math> en si mismo y sea <math>y_n=\phi(x_n)</math>. Probar que si <math>x_n</math> converge a <math>p</math>, también lo hace <math>y_n</math>. Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión. <li> Probar la proposición 8.6.4. </ol> == Ejercicios del capítulo 8 == <ol> <li> Probar que A = {(x, y) : 2 < x < 5} es un abierto de <b>R²</b>. <li> Probar que C = {(x, y) : 2 < x < 5,-1 < y < -1} es un abierto de <b>R²</b>. <li> (T₁–topología de <b>R</b>) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de <b>R</b> con respecto a la cual <b>R</b> no es Hausdorff. Denotaremos por R_T₁ a los Reales con esta topología. ¿Es id : <b>R</b> &rarr; R_T₁ continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo? <li> (Funciones Abiertas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta. :b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua. :c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta.. <li> (Funciones Cerradas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada. :b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua. Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada. <li> Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &cup; {p}, donde p no está en X. <br> Sea T* = {&empty;} &cup; {A &cup;{p} : A &isin; T }. Probar que T* es una topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*. <li> Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada. <li> Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &isin; X, una familia no vacía de subconjuntos de X tales que para cada x de X se cumple que: :(1) x está en cada conjunto de V{x}; :(2) si A está en V{x} y B &sub; A, entonces B está en V{x}; :(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}. :(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}. :(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B. Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el conjunto de vecindades de x. <li> Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ? </ol> [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Espacios Métricos]] [[Categoría:Espacios Topológicos]] <!-- 9 de noviembre de 2016 Final --> <!-- 30 de marzo de 2019 --> <!-- 27 de diciembre de 2020 --> <!-- 27 de Diciembre del 2020 --> 6jtc8s0umnk41kduoxmy4lkrioy5c94 423224 423223 2025-07-10T22:59:29Z Rehernan 55364 423224 wikitext text/x-wiki _NOEDITSECTION_ <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Topológicos |anterior=Sucesiones |siguiente=Productos y Cocientes }} </noinclude> __TOC__ _ __NOEDITSECTION_ === Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS === (Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos) == Introducción == Hemos analizado, en los capítulos anteriores, las posiciones relativas de puntos y conjuntos usando métricas. Hay, sin embargo, situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias. Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados, de acumulación, continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto. Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2. == Las Definiciones Básicas == <!-- sec0802--> {{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que: :(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ; :(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ; :(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T . Un espacio topológico es un par <X, '''T''' > donde T es una topología de X. Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }} <!--ejEspTop --> <b>Ejemplos 8.2.1. </b> <ol> <li> Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la <i>topología inducida</i> por la métrica. En particular, llamamos <b>línea real</b> a los Reales <b>R</b> con la métrica usual. <li> Llamamos espacio topológico <b>discreto</b> a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto. <li> Llamamos espacio topológico <b>indiscreto</b> aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío. <li> Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener algunas aplicaciones interesantes. </ol> <b>Convenios.</b> Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto. Cuando digamos que una función f : X &rarr; Y es continua, implícitamente suponemos que X y Y son espacios (topológicos). <!-- 8.2.1. --> === Los Puntos y los Conjuntos Especiales === La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para comparaciones y futuras referencias. {{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una <b>vecindad</b> de un conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto que contenga a A (resp. a p). }} Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5. {{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado, ssi, su complemento es abierto. }} {{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X. <ul> <li> El punto p es <b>interior</b> de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A. <li> El punto p es <b>exterior</b> a A, ssi, es interior al complemento de A. <li> El punto p es de <b>clausura</b> de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A. <li> El punto p es de <b>frontera</b> de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento. <li> El punto p es de <b>acumulación</b> de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p. <li> El punto p de A es <b>aislado</b> en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p. </ul> }} {{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico. <ul> <li> El <b>interior</b> de A (Int(A) o A^o) es el conjunto de puntos interiores de A. <li> El <b>exterior</b> de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A. <li> La <b>clausura</b> de A (Cl(A) o A^--) es el conjunto de puntos de la clausura de A. <li> La <b>frontera</b> de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A. </ul>}} Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio: :a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc. :b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1. Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio, diremos que el espacio es <b>metrizable</b>. Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de su topología recuperar la métrica? La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los <b>Rⁿ</b>. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos). <i>Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)</i>. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos <math>\mathcal F</math> tal que: :(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en <math>\mathcal F</math> , :(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math> , y :(iii) la reunión de dos conjuntos en <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math>; tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en <math>\mathcal F</math>. === Espacios Hausdorff === Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X con p &ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V . Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos. Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos. <!-- 8.2.3. --> === Subespacios === Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá una topología relacionada con la topología de X? La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = <b>R</b> y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto motiva la siguiente proposición. <b>Proposición 8.2.1. </b><I> Sean <X, T> un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T_Y := {U &cap; Y : U &isin; T }. Entonces, T_Y es una topología en el conjunto Y .</i> <ul><i> Demostración. </i> Claramente, el conjunto vacío (&empty; = &empty; &cap; Y ) y Y = X &cap; Y están en T_Y. Sea (U_i), i &isin; I, una familia de conjuntos de <i>T</i>_Y . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V_i de X tal que U_i = V_i &cap; Y. Entonces, <math>V = \bigcup_{i \in I} V_i</math> es un abierto de X y como {{Eqn|<math>U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,</math>}} tenemos que <math>U = \bigcup_{i} U_i</math> está en T_Y. Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que: {{Eqn|<math> W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y, </math>}} lo que prueba que W está en T_Y. En conclusión, T_Y es una topología. </ul> {{QED}} <hr> {{DefRht|Subespacio|. Sean <X, T > un espacio topológico, Y un subconjunto de X y T_Y la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico <Y, T_Y > es un <b>subespacio</b> (topológico) de <X, T >. Llamamos <b>topología relativa</b> de Y (respecto a X) a la topología T_Y . }} Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando, decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su topología es la topología relativa. <hr> Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el recíproco no es válido, en general. <b>Proposición 8.2.2. </b><i>Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio </ul> <hr> <!-- 8.2.4.--> === Ejercicios 8.2 === <ol> <li> Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de X. Probar que :a) El interior de A &cap; B es igual a Int(A) &cap; Int(B) :b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A. :c) La clausura de A &cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B. :d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. :e) Si A &sub; B entonces Int(A) &sub; Int(B) y Cl(A) &sub; Cl(B). :f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A. :g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera. :h) El interior de A es A \ Fr(A). :i) Fr(Cl(A)) &sub; Fr(A) y Fr(Int A) &sub; Fr(A). :j) Fr(A &cup;B) &sub; Fr(A) &cup; Fr(B). <li> Sea X = [0,&infin;[ &sub; <b>R.</b> Sea T = {&empty;,X} &cup; {[a,+&infin;]: a &ge; 0}. Probar que T es una topología de X. <li> (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. <br> Probar que T_p = {&empty;} &cup; {A &sub; X : p &isin; A} es una topología de X. <li> (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. Probar que T<math>_{\neg\ p}</math> = {X} &cup; {A &sub; X : p &notin; A} es una topología de X. <li> (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito. Probar que T = {&empty;} &cup; {A &sub; X : X \ A es finito } es una topología de X. <li> Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío. <li> (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&empty;,X, {a}}. :a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''. :b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}. <li> ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff? :a) Los Reales. :b) Un espacio discreto. :c) Un espacio indiscreto. :d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior). : e) Un espacio métrico cualquiera. <li> Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &sub; Y . Probar que la topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología relativa de Z como subespacio de X. <li> Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &cap; B. Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en X. <li> Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado. <li> Probar que la topología usual de <b>R</b> coincide con la topología relativa como subespacio de <b>R²</b> con su topología usual. <li> Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X. <!-- <li> Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías? --> <li> Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea <b>N^♯</b> = <b>N</b> ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de <b><N^♯</b> cuyo complemento es finito.Probar que: :a) T es una topología en <b>N^♯</b>, y que :b) la topología de <b>N</b> como subespacio de <b>N^♯</b> es diferente de la topología de <b>N</b> como subespacio de la línea real. <!-- 8.3. --> == Funciones Continuas y Homeomorfismos == === Funciones Continuas === La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global. {{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios topológicos. Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi, para cada abierto V de Y, su preimagen, f^-1(V), es un abierto en X. }} Notemos que si T_X y T_Y son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función <math>f* : T_Y \rightarrow T_X</math>, <math>f^*(U)= f^{-1}(U)</math>; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos. <ul> <li> Las funciones constantes son continuas. <li> Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i^-1(V ) = V &cap; Y.) <li> Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba). Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones. </ul> <!-- propo0803 --> <b>Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). </b><i>La composición de funciones continuas es continua.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sean f : X &rarr; Y y g : Y &rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g^-1(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)^-1(W) = f^-1(g^-1(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición. (Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.) </ul> {{QED}} <hr> Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades. <!-- lema0801 --> <b>Lema 8.3.2. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) La función f es continua. :(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f^-1(W) es una vecindad de p. </i> <ul><i>Demostración. </i> <br>[(a) &rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &isin; V &sub; W. Luego, f^-1(W) contiene a f^-1(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f^-1(W) es una vecindad de p.<br> [(b) &rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f^-1(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de x tal que U &sub; f^-1(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U₀ tal que x &isin; U₀ &sub; U &sub; f^-1(V ). Lo que prueba que f es continua. </ul>{{QED}} <hr> <!-- lema0802 --> <b>Lema 8.3.3. </b> </i>Sean f : X &rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)).</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &cap; A &ne; &empty;. Luego, f(U n A) &ne; &empty;. Como, {{Eqn|<math> \emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),</math>}} tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A). </ul>{{QED}} <hr> <!-- propo0802 --> <b>Proposición 8.3.4. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) f es continua. :(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f^-1(V ), es abierto en X. :(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f^-1(W), es cerrado en X. :(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)). </i> <ul><i> Demostración. </i>La definición de continuidad da la equivalencia (a) &lArr;&rArr; (b). La equivalencia (b) &hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.<br> [(d) &rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W₀ = f^-1(W). Entonces, f(Cl(W₀)) &sub; Cl(f(W₀) )= Cl(f(f^-1(W) ) &sub; Cl(W) = W. Lo que implica que Cl(W₀) &sub; f^-1(W) = W₀, lo que implica que W₀ es cerrado.<br> [(a) &rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo. </ul> {{QED}} <hr> <b>Observación 8.2. </b>Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que no es abierto (es cerrado). Para otro ejemplo consideremos la función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1]. Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &#8614; 1/t de X = <b>R</b> \ 0 en Y = <b>R</b> envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&infin; 0[ &cup; ]0,+&infin;[ que no es cerrado en <b>R.</b> === Los Homeomorfismos === Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más. <b>Ejemplo 8.3.1. </b> Sea <b>R_discreto</b> el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de <b>R_discreto</b> en <b>R</b>, t &#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en <b>R</b> es un abierto en <b>R</b>_discreto—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de <b>R</b> son abiertos. <hr> {{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &rarr; Y tal que su inversa también es continua. <br> Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos que los espacios X y Y son homeomorfos y escribiremos que X &cong; Y. }} Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión “función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos. <b>Ejemplo 8.3.2. </b>Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &#8614; t + a y t &#8614; bt, b &ne; 0 son funciones de <b>R</b> en <b>R</b> continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos <hr> <b>Ejemplo 8.3.3 (&spades; Cálculo ). </b>Sea f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f : t &#8614; t³, f es biyectiva con inversa <math>t \mapsto \sqrt[3]{t}</math>. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos. <hr> <b>Ejemplo 8.3.4. </b> Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio. <hr> === Significado de los Homeomorfismos === La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc. Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología. Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos. <b>Propiedad Topológica. </b> Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad. Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores. <br> <b>Propiedad Hereditaria.</b> Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos. Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.) <b>Propiedad Invariante. </b> Sea f : X &rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad. Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no. <b>Proposición 8.3.5. (Propiedades de "es homemorfo con")</b><i> Sean X, Y y Z espacios topológicos. <br> Se cumple que: :(a) X &cong; X. :(b) X &cong; Y implica que Y &cong; X. :(c) X &cong; Y y Y &cong; Z entonces X &cong; Z. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos. <b>Proposición 8.3.6. </b><i>Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. </i> <ul><i> Demostración. </i>Basta con probar que ]a, b[ &cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua. </ul>{{QED}} <hr> Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1. Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica. El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante. <b>Ejemplo 8.3.5 (&spades; Cálculo). </b>La función f : <b>R</b> &rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos. Notemos que mientras que <b>R</b> es un espacio métrico completo, el intervalo abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que no es topológica. <hr> <b>Ejemplo 8.3.6. </b> Sean E = {(x, y, z) : x²+y²+z² = 1, z &ge; 0} y F = {(x, y, z) &isin; <b>R³</b> : x² + y² = 1, z = 0}. E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de <b>R³</b> y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa <math>(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) </math>. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos. Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de <b>R³</b> (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios. <hr> <b>Proposición 8.3.7. </b><i>Dos bolas cerradas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son homeomorfas.</i> <ul><i> Demostración. </i> Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t_a es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t_-a(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h_r, r > 0, la función que envía cada punto p en <i>rp</i>. Como <center>||h_r(p) - h_r(q)|| = r||p - q||, </center> vemos que h_r es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h_1/r. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h_r(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B. </ul>{{QED}} Análogamente, se verifica que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios. <hr> <b>Convenio. </b> Denotaremos por <b>Bⁿ</b> a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de <b>Rⁿ</b>. Topológicamente, <b>Bⁿ</b> representa a todas las bolas cerradas de <b>Rⁿ</b>. Por su parte, denotaremos por <b>Sⁿ</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b> (que es homeomorfa a todas las esferas en <b>Rⁿ⁺¹</b>). <hr> === Funciones Abiertas y Cerradas === Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados. Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales. {{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada) f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ). }} Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada. Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado). Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas. === Ejercicios 8.3 === <ol> <li> Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua. <li> Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es continua. <li> Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua. Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva, ¿debe necesariamente ser un homeomorfismo? <li> Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. <li> (<b>R²</b>) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x² + y² = 1}. <li> (<b>R²</b>) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario <b>I²</b> = {(x, y) : 0 &le; x , y \le 1}. <li> Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b> (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a <b>S^n-1</b>. <li> Sea <b>Sⁿ</b>, n > 0, la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b>. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que <center><math> \mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}</math></center> Sean <center><math>\begin{array}{rcl} \mathbb{S}_{+}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} >0\} \text{ (hemisferio norte),} \\ \mathbb{S}_{-}^{n} &:= & \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} <0\}, \text{ y} \\ \mathbb{S}_{0}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}. \end{array}</math></center> Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> <math>\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.</math> <li> <math>\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.</math> </ol> <li> Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x < 1/2, y f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es. <li> Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta. <li> Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo. <li> Una función f : X &rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &sub; Int(f(A)). <li> Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una propiedad topológica. <li> En un espacio normado son homeomorfismos :a) las traslaciones (x &#8614; a + x); :b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &#8614; &alpha; x). :c) las simetrías alrededor de un punto c (x &#8614; 2c - x). <li> Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas. <li> (&spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías. </ol> == Topologías de un Conjunto == Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades. Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión. En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación. {{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T₁ y T₂ topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T₁ es menos fina que T₂, cuando cada abierto de T₁ sea un abierto de T₂ (o sea cuando T₁ &sub; T₂). }} <b>Nomenclatura. </b> Cuando T₁ es menos fina que T₂, también se dice que: <ul> <li> T₂ es más fina que T₁; <li> T₁ es más débil que T₂; <li> T₂ es más fuerte que T₁. </ul> En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto. Sean T₁, T₂ dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T₁ n T₂ es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías. Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U_i)i &isin; I, una familia de abiertos de <i>T</i> . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T₁ como en T₂, por lo que su reunión estará tanto en T₁ como en T₂ y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado. <br> El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías, (T_k), k &isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que la reunión estará en T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que dicha intersección estará en T . <!-- propo0801 --> <b>Proposición 8.4.1. </b><i>La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. </i> <hr> <b>Topología Generada por Familias de Subconjuntos.</b> Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea <math><S></math> la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que <math><S></math> es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S. <!-- prop080400 --> <b>Proposición 8.4.2. </b><i>Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = <math><S>.</math> </i> <ul><li>Demostración. </i>Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío. </ul> <hr> <b>Subbase.</b> Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S. <b>Base.</b> Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un <b> abierto básico</b> es un abierto de una base. Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio. La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases. Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base <math>\mathcal{B}</math> para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en <math>\mathcal{B}</math> tal que A &sub; U. <b>Ejemplo 8.4.1. </b> En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto. <hr> <b>Ejemplo 8.4.2. (<b>R²</b>)</b> Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y). Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos. Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de <b>R²</b> y para cada punto p del abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano. <hr> <b>Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).</b> <ul> <li> Cada topología es una base de ella misma. <li> Cada base es una subbase. <li> La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base. </ul> <hr> <!-- prop0811 --> <b>Proposición 8.4.3. </b><i>Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &isin;V &sub; U.</i> <ul><li> Demostración. </i>Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V_i) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V_i; lo que prueba la necesidad de la condición. Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío, entonces para cada x de U sea V_x el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V_x, x &isin; U. </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0812 --> <b>Proposición 8.4.4. </b><i>Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera entre espacios. Entonces :(a) f es continua &hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto. :(b) f es abierta &hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto. </i> <ul><li>Demostración. </i>Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos: <center><math>\begin{array}{rcl} f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) & \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i). \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 8.4 === <ol> <li> Probar la proposición 8.4.2. <li> (Bases) Sea X un espacio topológico. :a) ¿Siempre hay una base para la topología de X? :b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas? :c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales? <li> Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía, su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de <b>R</b> consiste de ... <li> Sea f : X &rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por transporte de estructura. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y. Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad. <li> Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad. <li> Hallar tres bases diferentes para la topología usual de <b>R²</b>. <li> Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados. </ol> == Métricas Equivalentes == El espacio vectorial <b>Rⁿ</b> puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en <b>Rⁿ</b>. ¿Cómo comparan esas topologías? <b>Métricas y Normas Equivalentes.</b> Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) <b>equivalentes</b>, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología. Por extensión de la terminología, diremos que una norma N₁ de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N₂, cuando la topología inducida por N₁ sea más fina que aquella inducida por N₂, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E₁ &rarr; E₂ donde E_i es el espacio con norma N_i, i = 1, 2, sea continua. <b>Lema 8.5.1. </b><i>Sea E un espacio vectorial y sea E_i el espacio E con norma ||•||_i, i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||₂ &le; a||x||₁ entonces ||•||₁ es más fina que ||•||₂. <ul><li>Demostración. </i>Basta probar que cada bola abierta de E₂ es abierto en E₁.Supongamos que ||x - p||₂ < r. Entonces, cuando ||x - p||₁ < r/a se tiene que <br> <center>||x - p||₂ &le; a||x - p||₁ < a(r/a) = r.</center> Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||₁. Esto implica lo pedido. </ul>{{QED}} <hr> Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de <b>Rⁿ</b>(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima). [[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]] <center>Figura 8.1</center> La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad, euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1. Formalmente, tenemos lo siguiente. <!-- lema0804 --> <b>Lema 8.5.2. </b><i>Para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que :(a) ||x||_max &le; ||x||_e &le; &radic;(n)||x||_max, :(b) ||x||_max &le; ||x||_c &le; n||x||_max. </i> <ul><i> Demostración. </i>Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x_i) y M = ||x||_max = máx{|x_i| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x_j|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &le; |x_i| = M. Tenemos, entonces, que {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &\le & \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\ &\le& \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M. \end{array}</math>}} </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0804 --> <b>Proposición 8.5.3. </b><i>Las normas ciudad, euclídea y maxima de <b>Rⁿ</b>son equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Directo de los lemas anteriores. {{QED}} </ul> Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son equivalentes. <hr> <b>Proposición 8.5.4. </b><i>Dos normas ||·||₁ y ||·||₂ son equivalentes, cuando hay reales a y b positivos tales que </i> <center> a ||·||₁ ≤ ||·||₂ ≤ b || · ||₁. </center> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul> <hr> === Ejercicios 8.5 === <ol> <li> Completar la demostración del lema 8.5.2. <li> Probar la proposición 8.5.4. <li> Sea <E, d> un espacio métrico y sea d' : E × E &rarr; <b>R</b> tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d. </ol> <hr> == Las Sucesiones == Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos. La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;"> Definición. </span> Sea X un espacio topológico, s=(s_{_n}) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s_n) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s_n's. </div> A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas. Observemos, por ejemplo, que si <math>X</math> tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de <math>X</math> tiene como punto límite a cualquier elemento de <math>X</math>. Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1) <b>Proposición 8.6.1 </b><i>En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.</i> <br /> <b>Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).</b><i> Sea <math>X</math> un espacio topológico y <math>A</math> un subconjunto de <math>X</math>. Si <math>p</math> es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes <math>(x_n)</math> de <math>A</math>, entonces <math>p</math> está en <math>\overline{A}</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Por definición de límite, cada vecindad <math>U</math> de <math>p</math> contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de <math>A</math> diferente de <math>p</math>. {{QED}}</ul> <hr> <b>Proposición 8.6.3.</b> <i> Sea <math>f : X \rightarrow Y</math> una función continua. Entonces, para cada sucesión <math>(x_m)</math> de <math>X</math>, si <math>(x_n)</math> converge a <math>p</math> (no necesariamente único), entonces <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(p)</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>V</math> una vecindad de <math>f(p)</math>. Como <math>f</math> es continua en <math>p</math>, hay una vecindad <math>U</math> de <math>p</math> tal que <math>f(U)</math> está contenido en <math>V</math>. Como casi todos los <math>x_n</math> están en <math>U</math>, casi todos los <math>f(x_n)</math> están en <math>V</math>. {{QED}}</ul> <hr> <i>Observación 8.3. </i>Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando <math>X</math> es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto). <hr> === Ejercicios 8.6 === <ol> <li> Explicar el significado del enunciado "<math>p</math> no es un punto límite de la sucesión <math>(x_n)</math>". <li> Sean <math>(x_n)</math> una sucesión de un espacio <math>X</math>. Sea <math>\phi</math> una biyección de <math>\N</math> en si mismo y sea <math>y_n=\phi(x_n)</math>. Probar que si <math>x_n</math> converge a <math>p</math>, también lo hace <math>y_n</math>. Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión. <li> Probar la proposición 8.6.4. </ol> == Ejercicios del capítulo 8 == <ol> <li> Probar que A = {(x, y) : 2 < x < 5} es un abierto de <b>R²</b>. <li> Probar que C = {(x, y) : 2 < x < 5,-1 < y < -1} es un abierto de <b>R²</b>. <li> (T₁–topología de <b>R</b>) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de <b>R</b> con respecto a la cual <b>R</b> no es Hausdorff. Denotaremos por R_T₁ a los Reales con esta topología. ¿Es id : <b>R</b> &rarr; R_T₁ continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo? <li> (Funciones Abiertas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta. :b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua. :c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta.. <li> (Funciones Cerradas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada. :b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua. Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada. <li> Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &cup; {p}, donde p no está en X. <br> Sea T* = {&empty;} &cup; {A &cup;{p} : A &isin; T }. Probar que T* es una topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*. <li> Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada. <li> Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &isin; X, una familia no vacía de subconjuntos de X tales que para cada x de X se cumple que: :(1) x está en cada conjunto de V{x}; :(2) si A está en V{x} y B &sub; A, entonces B está en V{x}; :(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}. :(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}. :(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B. Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el conjunto de vecindades de x. <li> Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ? </ol> [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Espacios Métricos]] [[Categoría:Espacios Topológicos]] <!-- 9 de noviembre de 2016 Final --> <!-- 30 de marzo de 2019 --> <!-- 27 de diciembre de 2020 --> <!-- 27 de Diciembre del 2020 --> ez7xh3zu4i50hyh0fhzvbzfy14eey2f 423225 423224 2025-07-10T23:01:13Z Rehernan 55364 /* Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS */ 423225 wikitext text/x-wiki _NOEDITSECTION_ <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Topológicos |anterior=Sucesiones |siguiente=Productos y Cocientes }} </noinclude> __TOC__ _ __NOEDITSECTION_ __TOC__ === Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS === (Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos) == Introducción == Hemos analizado, en los capítulos anteriores, las posiciones relativas de puntos y conjuntos usando métricas. Hay, sin embargo, situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias. Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados, de acumulación, continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto. Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2. == Las Definiciones Básicas == <!-- sec0802--> {{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que: :(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ; :(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ; :(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T . Un espacio topológico es un par <X, '''T''' > donde T es una topología de X. Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }} <!--ejEspTop --> <b>Ejemplos 8.2.1. </b> <ol> <li> Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la <i>topología inducida</i> por la métrica. En particular, llamamos <b>línea real</b> a los Reales <b>R</b> con la métrica usual. <li> Llamamos espacio topológico <b>discreto</b> a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto. <li> Llamamos espacio topológico <b>indiscreto</b> aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío. <li> Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener algunas aplicaciones interesantes. </ol> <b>Convenios.</b> Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto. Cuando digamos que una función f : X &rarr; Y es continua, implícitamente suponemos que X y Y son espacios (topológicos). <!-- 8.2.1. --> === Los Puntos y los Conjuntos Especiales === La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para comparaciones y futuras referencias. {{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una <b>vecindad</b> de un conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto que contenga a A (resp. a p). }} Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5. {{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado, ssi, su complemento es abierto. }} {{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X. <ul> <li> El punto p es <b>interior</b> de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A. <li> El punto p es <b>exterior</b> a A, ssi, es interior al complemento de A. <li> El punto p es de <b>clausura</b> de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A. <li> El punto p es de <b>frontera</b> de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento. <li> El punto p es de <b>acumulación</b> de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p. <li> El punto p de A es <b>aislado</b> en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p. </ul> }} {{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico. <ul> <li> El <b>interior</b> de A (Int(A) o A^o) es el conjunto de puntos interiores de A. <li> El <b>exterior</b> de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A. <li> La <b>clausura</b> de A (Cl(A) o A^--) es el conjunto de puntos de la clausura de A. <li> La <b>frontera</b> de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A. </ul>}} Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio: :a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc. :b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1. Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio, diremos que el espacio es <b>metrizable</b>. Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de su topología recuperar la métrica? La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los <b>Rⁿ</b>. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos). <i>Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)</i>. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos <math>\mathcal F</math> tal que: :(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en <math>\mathcal F</math> , :(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math> , y :(iii) la reunión de dos conjuntos en <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math>; tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en <math>\mathcal F</math>. === Espacios Hausdorff === Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X con p &ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V . Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos. Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos. <!-- 8.2.3. --> === Subespacios === Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá una topología relacionada con la topología de X? La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = <b>R</b> y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto motiva la siguiente proposición. <b>Proposición 8.2.1. </b><I> Sean <X, T> un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T_Y := {U &cap; Y : U &isin; T }. Entonces, T_Y es una topología en el conjunto Y .</i> <ul><i> Demostración. </i> Claramente, el conjunto vacío (&empty; = &empty; &cap; Y ) y Y = X &cap; Y están en T_Y. Sea (U_i), i &isin; I, una familia de conjuntos de <i>T</i>_Y . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V_i de X tal que U_i = V_i &cap; Y. Entonces, <math>V = \bigcup_{i \in I} V_i</math> es un abierto de X y como {{Eqn|<math>U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,</math>}} tenemos que <math>U = \bigcup_{i} U_i</math> está en T_Y. Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que: {{Eqn|<math> W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y, </math>}} lo que prueba que W está en T_Y. En conclusión, T_Y es una topología. </ul> {{QED}} <hr> {{DefRht|Subespacio|. Sean <X, T > un espacio topológico, Y un subconjunto de X y T_Y la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico <Y, T_Y > es un <b>subespacio</b> (topológico) de <X, T >. Llamamos <b>topología relativa</b> de Y (respecto a X) a la topología T_Y . }} Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando, decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su topología es la topología relativa. <hr> Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el recíproco no es válido, en general. <b>Proposición 8.2.2. </b><i>Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio </ul> <hr> <!-- 8.2.4.--> === Ejercicios 8.2 === <ol> <li> Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de X. Probar que :a) El interior de A &cap; B es igual a Int(A) &cap; Int(B) :b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A. :c) La clausura de A &cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B. :d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. :e) Si A &sub; B entonces Int(A) &sub; Int(B) y Cl(A) &sub; Cl(B). :f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A. :g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera. :h) El interior de A es A \ Fr(A). :i) Fr(Cl(A)) &sub; Fr(A) y Fr(Int A) &sub; Fr(A). :j) Fr(A &cup;B) &sub; Fr(A) &cup; Fr(B). <li> Sea X = [0,&infin;[ &sub; <b>R.</b> Sea T = {&empty;,X} &cup; {[a,+&infin;]: a &ge; 0}. Probar que T es una topología de X. <li> (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. <br> Probar que T_p = {&empty;} &cup; {A &sub; X : p &isin; A} es una topología de X. <li> (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. Probar que T<math>_{\neg\ p}</math> = {X} &cup; {A &sub; X : p &notin; A} es una topología de X. <li> (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito. Probar que T = {&empty;} &cup; {A &sub; X : X \ A es finito } es una topología de X. <li> Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío. <li> (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&empty;,X, {a}}. :a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''. :b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}. <li> ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff? :a) Los Reales. :b) Un espacio discreto. :c) Un espacio indiscreto. :d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior). : e) Un espacio métrico cualquiera. <li> Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &sub; Y . Probar que la topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología relativa de Z como subespacio de X. <li> Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &cap; B. Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en X. <li> Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado. <li> Probar que la topología usual de <b>R</b> coincide con la topología relativa como subespacio de <b>R²</b> con su topología usual. <li> Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X. <!-- <li> Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías? --> <li> Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea <b>N^♯</b> = <b>N</b> ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de <b><N^♯</b> cuyo complemento es finito.Probar que: :a) T es una topología en <b>N^♯</b>, y que :b) la topología de <b>N</b> como subespacio de <b>N^♯</b> es diferente de la topología de <b>N</b> como subespacio de la línea real. <!-- 8.3. --> == Funciones Continuas y Homeomorfismos == === Funciones Continuas === La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global. {{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios topológicos. Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi, para cada abierto V de Y, su preimagen, f^-1(V), es un abierto en X. }} Notemos que si T_X y T_Y son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función <math>f* : T_Y \rightarrow T_X</math>, <math>f^*(U)= f^{-1}(U)</math>; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos. <ul> <li> Las funciones constantes son continuas. <li> Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i^-1(V ) = V &cap; Y.) <li> Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba). Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones. </ul> <!-- propo0803 --> <b>Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). </b><i>La composición de funciones continuas es continua.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sean f : X &rarr; Y y g : Y &rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g^-1(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)^-1(W) = f^-1(g^-1(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición. (Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.) </ul> {{QED}} <hr> Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades. <!-- lema0801 --> <b>Lema 8.3.2. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) La función f es continua. :(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f^-1(W) es una vecindad de p. </i> <ul><i>Demostración. </i> <br>[(a) &rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &isin; V &sub; W. Luego, f^-1(W) contiene a f^-1(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f^-1(W) es una vecindad de p.<br> [(b) &rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f^-1(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de x tal que U &sub; f^-1(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U₀ tal que x &isin; U₀ &sub; U &sub; f^-1(V ). Lo que prueba que f es continua. </ul>{{QED}} <hr> <!-- lema0802 --> <b>Lema 8.3.3. </b> </i>Sean f : X &rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)).</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &cap; A &ne; &empty;. Luego, f(U n A) &ne; &empty;. Como, {{Eqn|<math> \emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),</math>}} tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A). </ul>{{QED}} <hr> <!-- propo0802 --> <b>Proposición 8.3.4. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) f es continua. :(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f^-1(V ), es abierto en X. :(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f^-1(W), es cerrado en X. :(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)). </i> <ul><i> Demostración. </i>La definición de continuidad da la equivalencia (a) &lArr;&rArr; (b). La equivalencia (b) &hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.<br> [(d) &rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W₀ = f^-1(W). Entonces, f(Cl(W₀)) &sub; Cl(f(W₀) )= Cl(f(f^-1(W) ) &sub; Cl(W) = W. Lo que implica que Cl(W₀) &sub; f^-1(W) = W₀, lo que implica que W₀ es cerrado.<br> [(a) &rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo. </ul> {{QED}} <hr> <b>Observación 8.2. </b>Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que no es abierto (es cerrado). Para otro ejemplo consideremos la función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1]. Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &#8614; 1/t de X = <b>R</b> \ 0 en Y = <b>R</b> envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&infin; 0[ &cup; ]0,+&infin;[ que no es cerrado en <b>R.</b> === Los Homeomorfismos === Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más. <b>Ejemplo 8.3.1. </b> Sea <b>R_discreto</b> el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de <b>R_discreto</b> en <b>R</b>, t &#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en <b>R</b> es un abierto en <b>R</b>_discreto—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de <b>R</b> son abiertos. <hr> {{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &rarr; Y tal que su inversa también es continua. <br> Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos que los espacios X y Y son homeomorfos y escribiremos que X &cong; Y. }} Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión “función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos. <b>Ejemplo 8.3.2. </b>Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &#8614; t + a y t &#8614; bt, b &ne; 0 son funciones de <b>R</b> en <b>R</b> continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos <hr> <b>Ejemplo 8.3.3 (&spades; Cálculo ). </b>Sea f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f : t &#8614; t³, f es biyectiva con inversa <math>t \mapsto \sqrt[3]{t}</math>. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos. <hr> <b>Ejemplo 8.3.4. </b> Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio. <hr> === Significado de los Homeomorfismos === La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc. Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología. Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos. <b>Propiedad Topológica. </b> Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad. Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores. <br> <b>Propiedad Hereditaria.</b> Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos. Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.) <b>Propiedad Invariante. </b> Sea f : X &rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad. Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no. <b>Proposición 8.3.5. (Propiedades de "es homemorfo con")</b><i> Sean X, Y y Z espacios topológicos. <br> Se cumple que: :(a) X &cong; X. :(b) X &cong; Y implica que Y &cong; X. :(c) X &cong; Y y Y &cong; Z entonces X &cong; Z. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos. <b>Proposición 8.3.6. </b><i>Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. </i> <ul><i> Demostración. </i>Basta con probar que ]a, b[ &cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua. </ul>{{QED}} <hr> Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1. Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica. El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante. <b>Ejemplo 8.3.5 (&spades; Cálculo). </b>La función f : <b>R</b> &rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos. Notemos que mientras que <b>R</b> es un espacio métrico completo, el intervalo abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que no es topológica. <hr> <b>Ejemplo 8.3.6. </b> Sean E = {(x, y, z) : x²+y²+z² = 1, z &ge; 0} y F = {(x, y, z) &isin; <b>R³</b> : x² + y² = 1, z = 0}. E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de <b>R³</b> y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa <math>(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) </math>. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos. Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de <b>R³</b> (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios. <hr> <b>Proposición 8.3.7. </b><i>Dos bolas cerradas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son homeomorfas.</i> <ul><i> Demostración. </i> Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t_a es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t_-a(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h_r, r > 0, la función que envía cada punto p en <i>rp</i>. Como <center>||h_r(p) - h_r(q)|| = r||p - q||, </center> vemos que h_r es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h_1/r. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h_r(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B. </ul>{{QED}} Análogamente, se verifica que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios. <hr> <b>Convenio. </b> Denotaremos por <b>Bⁿ</b> a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de <b>Rⁿ</b>. Topológicamente, <b>Bⁿ</b> representa a todas las bolas cerradas de <b>Rⁿ</b>. Por su parte, denotaremos por <b>Sⁿ</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b> (que es homeomorfa a todas las esferas en <b>Rⁿ⁺¹</b>). <hr> === Funciones Abiertas y Cerradas === Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados. Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales. {{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada) f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ). }} Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada. Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado). Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas. === Ejercicios 8.3 === <ol> <li> Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua. <li> Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es continua. <li> Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua. Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva, ¿debe necesariamente ser un homeomorfismo? <li> Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. <li> (<b>R²</b>) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x² + y² = 1}. <li> (<b>R²</b>) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario <b>I²</b> = {(x, y) : 0 &le; x , y \le 1}. <li> Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b> (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a <b>S^n-1</b>. <li> Sea <b>Sⁿ</b>, n > 0, la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b>. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que <center><math> \mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}</math></center> Sean <center><math>\begin{array}{rcl} \mathbb{S}_{+}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} >0\} \text{ (hemisferio norte),} \\ \mathbb{S}_{-}^{n} &:= & \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} <0\}, \text{ y} \\ \mathbb{S}_{0}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}. \end{array}</math></center> Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> <math>\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.</math> <li> <math>\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.</math> </ol> <li> Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x < 1/2, y f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es. <li> Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta. <li> Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo. <li> Una función f : X &rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &sub; Int(f(A)). <li> Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una propiedad topológica. <li> En un espacio normado son homeomorfismos :a) las traslaciones (x &#8614; a + x); :b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &#8614; &alpha; x). :c) las simetrías alrededor de un punto c (x &#8614; 2c - x). <li> Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas. <li> (&spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías. </ol> == Topologías de un Conjunto == Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades. Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión. En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación. {{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T₁ y T₂ topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T₁ es menos fina que T₂, cuando cada abierto de T₁ sea un abierto de T₂ (o sea cuando T₁ &sub; T₂). }} <b>Nomenclatura. </b> Cuando T₁ es menos fina que T₂, también se dice que: <ul> <li> T₂ es más fina que T₁; <li> T₁ es más débil que T₂; <li> T₂ es más fuerte que T₁. </ul> En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto. Sean T₁, T₂ dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T₁ n T₂ es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías. Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U_i)i &isin; I, una familia de abiertos de <i>T</i> . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T₁ como en T₂, por lo que su reunión estará tanto en T₁ como en T₂ y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado. <br> El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías, (T_k), k &isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que la reunión estará en T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que dicha intersección estará en T . <!-- propo0801 --> <b>Proposición 8.4.1. </b><i>La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. </i> <hr> <b>Topología Generada por Familias de Subconjuntos.</b> Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea <math><S></math> la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que <math><S></math> es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S. <!-- prop080400 --> <b>Proposición 8.4.2. </b><i>Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = <math><S>.</math> </i> <ul><li>Demostración. </i>Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío. </ul> <hr> <b>Subbase.</b> Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S. <b>Base.</b> Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un <b> abierto básico</b> es un abierto de una base. Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio. La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases. Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base <math>\mathcal{B}</math> para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en <math>\mathcal{B}</math> tal que A &sub; U. <b>Ejemplo 8.4.1. </b> En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto. <hr> <b>Ejemplo 8.4.2. (<b>R²</b>)</b> Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y). Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos. Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de <b>R²</b> y para cada punto p del abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano. <hr> <b>Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).</b> <ul> <li> Cada topología es una base de ella misma. <li> Cada base es una subbase. <li> La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base. </ul> <hr> <!-- prop0811 --> <b>Proposición 8.4.3. </b><i>Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &isin;V &sub; U.</i> <ul><li> Demostración. </i>Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V_i) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V_i; lo que prueba la necesidad de la condición. Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío, entonces para cada x de U sea V_x el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V_x, x &isin; U. </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0812 --> <b>Proposición 8.4.4. </b><i>Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera entre espacios. Entonces :(a) f es continua &hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto. :(b) f es abierta &hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto. </i> <ul><li>Demostración. </i>Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos: <center><math>\begin{array}{rcl} f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) & \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i). \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 8.4 === <ol> <li> Probar la proposición 8.4.2. <li> (Bases) Sea X un espacio topológico. :a) ¿Siempre hay una base para la topología de X? :b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas? :c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales? <li> Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía, su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de <b>R</b> consiste de ... <li> Sea f : X &rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por transporte de estructura. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y. Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad. <li> Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad. <li> Hallar tres bases diferentes para la topología usual de <b>R²</b>. <li> Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados. </ol> == Métricas Equivalentes == El espacio vectorial <b>Rⁿ</b> puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en <b>Rⁿ</b>. ¿Cómo comparan esas topologías? <b>Métricas y Normas Equivalentes.</b> Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) <b>equivalentes</b>, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología. Por extensión de la terminología, diremos que una norma N₁ de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N₂, cuando la topología inducida por N₁ sea más fina que aquella inducida por N₂, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E₁ &rarr; E₂ donde E_i es el espacio con norma N_i, i = 1, 2, sea continua. <b>Lema 8.5.1. </b><i>Sea E un espacio vectorial y sea E_i el espacio E con norma ||•||_i, i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||₂ &le; a||x||₁ entonces ||•||₁ es más fina que ||•||₂. <ul><li>Demostración. </i>Basta probar que cada bola abierta de E₂ es abierto en E₁.Supongamos que ||x - p||₂ < r. Entonces, cuando ||x - p||₁ < r/a se tiene que <br> <center>||x - p||₂ &le; a||x - p||₁ < a(r/a) = r.</center> Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||₁. Esto implica lo pedido. </ul>{{QED}} <hr> Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de <b>Rⁿ</b>(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima). [[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]] <center>Figura 8.1</center> La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad, euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1. Formalmente, tenemos lo siguiente. <!-- lema0804 --> <b>Lema 8.5.2. </b><i>Para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que :(a) ||x||_max &le; ||x||_e &le; &radic;(n)||x||_max, :(b) ||x||_max &le; ||x||_c &le; n||x||_max. </i> <ul><i> Demostración. </i>Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x_i) y M = ||x||_max = máx{|x_i| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x_j|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &le; |x_i| = M. Tenemos, entonces, que {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &\le & \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\ &\le& \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M. \end{array}</math>}} </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0804 --> <b>Proposición 8.5.3. </b><i>Las normas ciudad, euclídea y maxima de <b>Rⁿ</b>son equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Directo de los lemas anteriores. {{QED}} </ul> Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son equivalentes. <hr> <b>Proposición 8.5.4. </b><i>Dos normas ||·||₁ y ||·||₂ son equivalentes, cuando hay reales a y b positivos tales que </i> <center> a ||·||₁ ≤ ||·||₂ ≤ b || · ||₁. </center> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul> <hr> === Ejercicios 8.5 === <ol> <li> Completar la demostración del lema 8.5.2. <li> Probar la proposición 8.5.4. <li> Sea <E, d> un espacio métrico y sea d' : E × E &rarr; <b>R</b> tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d. </ol> <hr> == Las Sucesiones == Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos. La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;"> Definición. </span> Sea X un espacio topológico, s=(s_{_n}) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s_n) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s_n's. </div> A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas. Observemos, por ejemplo, que si <math>X</math> tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de <math>X</math> tiene como punto límite a cualquier elemento de <math>X</math>. Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1) <b>Proposición 8.6.1 </b><i>En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.</i> <br /> <b>Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).</b><i> Sea <math>X</math> un espacio topológico y <math>A</math> un subconjunto de <math>X</math>. Si <math>p</math> es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes <math>(x_n)</math> de <math>A</math>, entonces <math>p</math> está en <math>\overline{A}</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Por definición de límite, cada vecindad <math>U</math> de <math>p</math> contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de <math>A</math> diferente de <math>p</math>. {{QED}}</ul> <hr> <b>Proposición 8.6.3.</b> <i> Sea <math>f : X \rightarrow Y</math> una función continua. Entonces, para cada sucesión <math>(x_m)</math> de <math>X</math>, si <math>(x_n)</math> converge a <math>p</math> (no necesariamente único), entonces <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(p)</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>V</math> una vecindad de <math>f(p)</math>. Como <math>f</math> es continua en <math>p</math>, hay una vecindad <math>U</math> de <math>p</math> tal que <math>f(U)</math> está contenido en <math>V</math>. Como casi todos los <math>x_n</math> están en <math>U</math>, casi todos los <math>f(x_n)</math> están en <math>V</math>. {{QED}}</ul> <hr> <i>Observación 8.3. </i>Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando <math>X</math> es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto). <hr> === Ejercicios 8.6 === <ol> <li> Explicar el significado del enunciado "<math>p</math> no es un punto límite de la sucesión <math>(x_n)</math>". <li> Sean <math>(x_n)</math> una sucesión de un espacio <math>X</math>. Sea <math>\phi</math> una biyección de <math>\N</math> en si mismo y sea <math>y_n=\phi(x_n)</math>. Probar que si <math>x_n</math> converge a <math>p</math>, también lo hace <math>y_n</math>. Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión. <li> Probar la proposición 8.6.4. </ol> == Ejercicios del capítulo 8 == <ol> <li> Probar que A = {(x, y) : 2 < x < 5} es un abierto de <b>R²</b>. <li> Probar que C = {(x, y) : 2 < x < 5,-1 < y < -1} es un abierto de <b>R²</b>. <li> (T₁–topología de <b>R</b>) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de <b>R</b> con respecto a la cual <b>R</b> no es Hausdorff. Denotaremos por R_T₁ a los Reales con esta topología. ¿Es id : <b>R</b> &rarr; R_T₁ continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo? <li> (Funciones Abiertas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta. :b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua. :c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta.. <li> (Funciones Cerradas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada. :b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua. Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada. <li> Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &cup; {p}, donde p no está en X. <br> Sea T* = {&empty;} &cup; {A &cup;{p} : A &isin; T }. Probar que T* es una topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*. <li> Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada. <li> Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &isin; X, una familia no vacía de subconjuntos de X tales que para cada x de X se cumple que: :(1) x está en cada conjunto de V{x}; :(2) si A está en V{x} y B &sub; A, entonces B está en V{x}; :(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}. :(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}. :(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B. Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el conjunto de vecindades de x. <li> Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ? </ol> [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Espacios Métricos]] [[Categoría:Espacios Topológicos]] <!-- 9 de noviembre de 2016 Final --> <!-- 30 de marzo de 2019 --> <!-- 27 de diciembre de 2020 --> <!-- 27 de Diciembre del 2020 --> 8ypx831ubeqlwiiewilklee860o9exa 423226 423225 2025-07-10T23:03:58Z Rehernan 55364 423226 wikitext text/x-wiki <noinclude>_NOEDITSECTION_</noinclude> <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Topológicos |anterior=Sucesiones |siguiente=Productos y Cocientes }} </noinclude> __NOEDITSECTION__ __TOC__ === Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS === (Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos) == Introducción == Hemos analizado, en los capítulos anteriores, las posiciones relativas de puntos y conjuntos usando métricas. Hay, sin embargo, situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias. Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados, de acumulación, continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto. Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2. == Las Definiciones Básicas == <!-- sec0802--> {{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que: :(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ; :(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ; :(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T . Un espacio topológico es un par <X, '''T''' > donde T es una topología de X. Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }} <!--ejEspTop --> <b>Ejemplos 8.2.1. </b> <ol> <li> Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la <i>topología inducida</i> por la métrica. En particular, llamamos <b>línea real</b> a los Reales <b>R</b> con la métrica usual. <li> Llamamos espacio topológico <b>discreto</b> a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto. <li> Llamamos espacio topológico <b>indiscreto</b> aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío. <li> Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener algunas aplicaciones interesantes. </ol> <b>Convenios.</b> Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto. Cuando digamos que una función f : X &rarr; Y es continua, implícitamente suponemos que X y Y son espacios (topológicos). <!-- 8.2.1. --> === Los Puntos y los Conjuntos Especiales === La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para comparaciones y futuras referencias. {{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una <b>vecindad</b> de un conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto que contenga a A (resp. a p). }} Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5. {{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado, ssi, su complemento es abierto. }} {{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X. <ul> <li> El punto p es <b>interior</b> de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A. <li> El punto p es <b>exterior</b> a A, ssi, es interior al complemento de A. <li> El punto p es de <b>clausura</b> de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A. <li> El punto p es de <b>frontera</b> de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento. <li> El punto p es de <b>acumulación</b> de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p. <li> El punto p de A es <b>aislado</b> en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p. </ul> }} {{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico. <ul> <li> El <b>interior</b> de A (Int(A) o A^o) es el conjunto de puntos interiores de A. <li> El <b>exterior</b> de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A. <li> La <b>clausura</b> de A (Cl(A) o A^--) es el conjunto de puntos de la clausura de A. <li> La <b>frontera</b> de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A. </ul>}} Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio: :a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc. :b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1. Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio, diremos que el espacio es <b>metrizable</b>. Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de su topología recuperar la métrica? La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los <b>Rⁿ</b>. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos). <i>Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)</i>. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos <math>\mathcal F</math> tal que: :(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en <math>\mathcal F</math> , :(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math> , y :(iii) la reunión de dos conjuntos en <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math>; tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en <math>\mathcal F</math>. === Espacios Hausdorff === Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X con p &ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V . Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos. Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos. <!-- 8.2.3. --> === Subespacios === Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá una topología relacionada con la topología de X? La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = <b>R</b> y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto motiva la siguiente proposición. <b>Proposición 8.2.1. </b><I> Sean <X, T> un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T_Y := {U &cap; Y : U &isin; T }. Entonces, T_Y es una topología en el conjunto Y .</i> <ul><i> Demostración. </i> Claramente, el conjunto vacío (&empty; = &empty; &cap; Y ) y Y = X &cap; Y están en T_Y. Sea (U_i), i &isin; I, una familia de conjuntos de <i>T</i>_Y . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V_i de X tal que U_i = V_i &cap; Y. Entonces, <math>V = \bigcup_{i \in I} V_i</math> es un abierto de X y como {{Eqn|<math>U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,</math>}} tenemos que <math>U = \bigcup_{i} U_i</math> está en T_Y. Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que: {{Eqn|<math> W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y, </math>}} lo que prueba que W está en T_Y. En conclusión, T_Y es una topología. </ul> {{QED}} <hr> {{DefRht|Subespacio|. Sean <X, T > un espacio topológico, Y un subconjunto de X y T_Y la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico <Y, T_Y > es un <b>subespacio</b> (topológico) de <X, T >. Llamamos <b>topología relativa</b> de Y (respecto a X) a la topología T_Y . }} Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando, decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su topología es la topología relativa. <hr> Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el recíproco no es válido, en general. <b>Proposición 8.2.2. </b><i>Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio </ul> <hr> <!-- 8.2.4.--> === Ejercicios 8.2 === <ol> <li> Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de X. Probar que :a) El interior de A &cap; B es igual a Int(A) &cap; Int(B) :b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A. :c) La clausura de A &cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B. :d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. :e) Si A &sub; B entonces Int(A) &sub; Int(B) y Cl(A) &sub; Cl(B). :f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A. :g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera. :h) El interior de A es A \ Fr(A). :i) Fr(Cl(A)) &sub; Fr(A) y Fr(Int A) &sub; Fr(A). :j) Fr(A &cup;B) &sub; Fr(A) &cup; Fr(B). <li> Sea X = [0,&infin;[ &sub; <b>R.</b> Sea T = {&empty;,X} &cup; {[a,+&infin;]: a &ge; 0}. Probar que T es una topología de X. <li> (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. <br> Probar que T_p = {&empty;} &cup; {A &sub; X : p &isin; A} es una topología de X. <li> (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. Probar que T<math>_{\neg\ p}</math> = {X} &cup; {A &sub; X : p &notin; A} es una topología de X. <li> (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito. Probar que T = {&empty;} &cup; {A &sub; X : X \ A es finito } es una topología de X. <li> Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío. <li> (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&empty;,X, {a}}. :a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''. :b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}. <li> ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff? :a) Los Reales. :b) Un espacio discreto. :c) Un espacio indiscreto. :d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior). : e) Un espacio métrico cualquiera. <li> Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &sub; Y . Probar que la topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología relativa de Z como subespacio de X. <li> Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &cap; B. Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en X. <li> Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado. <li> Probar que la topología usual de <b>R</b> coincide con la topología relativa como subespacio de <b>R²</b> con su topología usual. <li> Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X. <!-- <li> Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías? --> <li> Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea <b>N^♯</b> = <b>N</b> ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de <b><N^♯</b> cuyo complemento es finito.Probar que: :a) T es una topología en <b>N^♯</b>, y que :b) la topología de <b>N</b> como subespacio de <b>N^♯</b> es diferente de la topología de <b>N</b> como subespacio de la línea real. <!-- 8.3. --> == Funciones Continuas y Homeomorfismos == === Funciones Continuas === La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global. {{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios topológicos. Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi, para cada abierto V de Y, su preimagen, f^-1(V), es un abierto en X. }} Notemos que si T_X y T_Y son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función <math>f* : T_Y \rightarrow T_X</math>, <math>f^*(U)= f^{-1}(U)</math>; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos. <ul> <li> Las funciones constantes son continuas. <li> Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i^-1(V ) = V &cap; Y.) <li> Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba). Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones. </ul> <!-- propo0803 --> <b>Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). </b><i>La composición de funciones continuas es continua.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sean f : X &rarr; Y y g : Y &rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g^-1(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)^-1(W) = f^-1(g^-1(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición. (Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.) </ul> {{QED}} <hr> Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades. <!-- lema0801 --> <b>Lema 8.3.2. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) La función f es continua. :(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f^-1(W) es una vecindad de p. </i> <ul><i>Demostración. </i> <br>[(a) &rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &isin; V &sub; W. Luego, f^-1(W) contiene a f^-1(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f^-1(W) es una vecindad de p.<br> [(b) &rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f^-1(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de x tal que U &sub; f^-1(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U₀ tal que x &isin; U₀ &sub; U &sub; f^-1(V ). Lo que prueba que f es continua. </ul>{{QED}} <hr> <!-- lema0802 --> <b>Lema 8.3.3. </b> </i>Sean f : X &rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)).</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &cap; A &ne; &empty;. Luego, f(U n A) &ne; &empty;. Como, {{Eqn|<math> \emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),</math>}} tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A). </ul>{{QED}} <hr> <!-- propo0802 --> <b>Proposición 8.3.4. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) f es continua. :(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f^-1(V ), es abierto en X. :(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f^-1(W), es cerrado en X. :(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)). </i> <ul><i> Demostración. </i>La definición de continuidad da la equivalencia (a) &lArr;&rArr; (b). La equivalencia (b) &hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.<br> [(d) &rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W₀ = f^-1(W). Entonces, f(Cl(W₀)) &sub; Cl(f(W₀) )= Cl(f(f^-1(W) ) &sub; Cl(W) = W. Lo que implica que Cl(W₀) &sub; f^-1(W) = W₀, lo que implica que W₀ es cerrado.<br> [(a) &rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo. </ul> {{QED}} <hr> <b>Observación 8.2. </b>Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que no es abierto (es cerrado). Para otro ejemplo consideremos la función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1]. Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &#8614; 1/t de X = <b>R</b> \ 0 en Y = <b>R</b> envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&infin; 0[ &cup; ]0,+&infin;[ que no es cerrado en <b>R.</b> === Los Homeomorfismos === Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más. <b>Ejemplo 8.3.1. </b> Sea <b>R_discreto</b> el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de <b>R_discreto</b> en <b>R</b>, t &#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en <b>R</b> es un abierto en <b>R</b>_discreto—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de <b>R</b> son abiertos. <hr> {{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &rarr; Y tal que su inversa también es continua. <br> Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos que los espacios X y Y son homeomorfos y escribiremos que X &cong; Y. }} Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión “función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos. <b>Ejemplo 8.3.2. </b>Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &#8614; t + a y t &#8614; bt, b &ne; 0 son funciones de <b>R</b> en <b>R</b> continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos <hr> <b>Ejemplo 8.3.3 (&spades; Cálculo ). </b>Sea f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f : t &#8614; t³, f es biyectiva con inversa <math>t \mapsto \sqrt[3]{t}</math>. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos. <hr> <b>Ejemplo 8.3.4. </b> Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio. <hr> === Significado de los Homeomorfismos === La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc. Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología. Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos. <b>Propiedad Topológica. </b> Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad. Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores. <br> <b>Propiedad Hereditaria.</b> Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos. Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.) <b>Propiedad Invariante. </b> Sea f : X &rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad. Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no. <b>Proposición 8.3.5. (Propiedades de "es homemorfo con")</b><i> Sean X, Y y Z espacios topológicos. <br> Se cumple que: :(a) X &cong; X. :(b) X &cong; Y implica que Y &cong; X. :(c) X &cong; Y y Y &cong; Z entonces X &cong; Z. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos. <b>Proposición 8.3.6. </b><i>Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. </i> <ul><i> Demostración. </i>Basta con probar que ]a, b[ &cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua. </ul>{{QED}} <hr> Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1. Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica. El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante. <b>Ejemplo 8.3.5 (&spades; Cálculo). </b>La función f : <b>R</b> &rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos. Notemos que mientras que <b>R</b> es un espacio métrico completo, el intervalo abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que no es topológica. <hr> <b>Ejemplo 8.3.6. </b> Sean E = {(x, y, z) : x²+y²+z² = 1, z &ge; 0} y F = {(x, y, z) &isin; <b>R³</b> : x² + y² = 1, z = 0}. E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de <b>R³</b> y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa <math>(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) </math>. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos. Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de <b>R³</b> (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios. <hr> <b>Proposición 8.3.7. </b><i>Dos bolas cerradas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son homeomorfas.</i> <ul><i> Demostración. </i> Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t_a es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t_-a(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h_r, r > 0, la función que envía cada punto p en <i>rp</i>. Como <center>||h_r(p) - h_r(q)|| = r||p - q||, </center> vemos que h_r es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h_1/r. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h_r(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B. </ul>{{QED}} Análogamente, se verifica que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios. <hr> <b>Convenio. </b> Denotaremos por <b>Bⁿ</b> a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de <b>Rⁿ</b>. Topológicamente, <b>Bⁿ</b> representa a todas las bolas cerradas de <b>Rⁿ</b>. Por su parte, denotaremos por <b>Sⁿ</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b> (que es homeomorfa a todas las esferas en <b>Rⁿ⁺¹</b>). <hr> === Funciones Abiertas y Cerradas === Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados. Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales. {{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada) f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ). }} Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada. Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado). Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas. === Ejercicios 8.3 === <ol> <li> Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua. <li> Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es continua. <li> Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua. Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva, ¿debe necesariamente ser un homeomorfismo? <li> Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. <li> (<b>R²</b>) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x² + y² = 1}. <li> (<b>R²</b>) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario <b>I²</b> = {(x, y) : 0 &le; x , y \le 1}. <li> Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b> (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a <b>S^n-1</b>. <li> Sea <b>Sⁿ</b>, n > 0, la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b>. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que <center><math> \mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}</math></center> Sean <center><math>\begin{array}{rcl} \mathbb{S}_{+}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} >0\} \text{ (hemisferio norte),} \\ \mathbb{S}_{-}^{n} &:= & \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} <0\}, \text{ y} \\ \mathbb{S}_{0}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}. \end{array}</math></center> Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> <math>\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.</math> <li> <math>\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.</math> </ol> <li> Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x < 1/2, y f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es. <li> Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta. <li> Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo. <li> Una función f : X &rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &sub; Int(f(A)). <li> Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una propiedad topológica. <li> En un espacio normado son homeomorfismos :a) las traslaciones (x &#8614; a + x); :b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &#8614; &alpha; x). :c) las simetrías alrededor de un punto c (x &#8614; 2c - x). <li> Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas. <li> (&spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías. </ol> == Topologías de un Conjunto == Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades. Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión. En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación. {{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T₁ y T₂ topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T₁ es menos fina que T₂, cuando cada abierto de T₁ sea un abierto de T₂ (o sea cuando T₁ &sub; T₂). }} <b>Nomenclatura. </b> Cuando T₁ es menos fina que T₂, también se dice que: <ul> <li> T₂ es más fina que T₁; <li> T₁ es más débil que T₂; <li> T₂ es más fuerte que T₁. </ul> En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto. Sean T₁, T₂ dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T₁ n T₂ es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías. Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U_i)i &isin; I, una familia de abiertos de <i>T</i> . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T₁ como en T₂, por lo que su reunión estará tanto en T₁ como en T₂ y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado. <br> El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías, (T_k), k &isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que la reunión estará en T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que dicha intersección estará en T . <!-- propo0801 --> <b>Proposición 8.4.1. </b><i>La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. </i> <hr> <b>Topología Generada por Familias de Subconjuntos.</b> Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea <math><S></math> la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que <math><S></math> es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S. <!-- prop080400 --> <b>Proposición 8.4.2. </b><i>Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = <math><S>.</math> </i> <ul><li>Demostración. </i>Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío. </ul> <hr> <b>Subbase.</b> Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S. <b>Base.</b> Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un <b> abierto básico</b> es un abierto de una base. Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio. La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases. Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base <math>\mathcal{B}</math> para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en <math>\mathcal{B}</math> tal que A &sub; U. <b>Ejemplo 8.4.1. </b> En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto. <hr> <b>Ejemplo 8.4.2. (<b>R²</b>)</b> Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y). Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos. Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de <b>R²</b> y para cada punto p del abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano. <hr> <b>Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).</b> <ul> <li> Cada topología es una base de ella misma. <li> Cada base es una subbase. <li> La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base. </ul> <hr> <!-- prop0811 --> <b>Proposición 8.4.3. </b><i>Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &isin;V &sub; U.</i> <ul><li> Demostración. </i>Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V_i) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V_i; lo que prueba la necesidad de la condición. Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío, entonces para cada x de U sea V_x el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V_x, x &isin; U. </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0812 --> <b>Proposición 8.4.4. </b><i>Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera entre espacios. Entonces :(a) f es continua &hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto. :(b) f es abierta &hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto. </i> <ul><li>Demostración. </i>Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos: <center><math>\begin{array}{rcl} f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) & \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i). \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 8.4 === <ol> <li> Probar la proposición 8.4.2. <li> (Bases) Sea X un espacio topológico. :a) ¿Siempre hay una base para la topología de X? :b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas? :c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales? <li> Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía, su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de <b>R</b> consiste de ... <li> Sea f : X &rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por transporte de estructura. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y. Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad. <li> Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad. <li> Hallar tres bases diferentes para la topología usual de <b>R²</b>. <li> Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados. </ol> == Métricas Equivalentes == El espacio vectorial <b>Rⁿ</b> puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en <b>Rⁿ</b>. ¿Cómo comparan esas topologías? <b>Métricas y Normas Equivalentes.</b> Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) <b>equivalentes</b>, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología. Por extensión de la terminología, diremos que una norma N₁ de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N₂, cuando la topología inducida por N₁ sea más fina que aquella inducida por N₂, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E₁ &rarr; E₂ donde E_i es el espacio con norma N_i, i = 1, 2, sea continua. <b>Lema 8.5.1. </b><i>Sea E un espacio vectorial y sea E_i el espacio E con norma ||•||_i, i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||₂ &le; a||x||₁ entonces ||•||₁ es más fina que ||•||₂. <ul><li>Demostración. </i>Basta probar que cada bola abierta de E₂ es abierto en E₁.Supongamos que ||x - p||₂ < r. Entonces, cuando ||x - p||₁ < r/a se tiene que <br> <center>||x - p||₂ &le; a||x - p||₁ < a(r/a) = r.</center> Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||₁. Esto implica lo pedido. </ul>{{QED}} <hr> Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de <b>Rⁿ</b>(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima). [[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]] <center>Figura 8.1</center> La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad, euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1. Formalmente, tenemos lo siguiente. <!-- lema0804 --> <b>Lema 8.5.2. </b><i>Para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que :(a) ||x||_max &le; ||x||_e &le; &radic;(n)||x||_max, :(b) ||x||_max &le; ||x||_c &le; n||x||_max. </i> <ul><i> Demostración. </i>Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x_i) y M = ||x||_max = máx{|x_i| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x_j|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &le; |x_i| = M. Tenemos, entonces, que {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &\le & \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\ &\le& \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M. \end{array}</math>}} </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0804 --> <b>Proposición 8.5.3. </b><i>Las normas ciudad, euclídea y maxima de <b>Rⁿ</b>son equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Directo de los lemas anteriores. {{QED}} </ul> Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son equivalentes. <hr> <b>Proposición 8.5.4. </b><i>Dos normas ||·||₁ y ||·||₂ son equivalentes, cuando hay reales a y b positivos tales que </i> <center> a ||·||₁ ≤ ||·||₂ ≤ b || · ||₁. </center> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul> <hr> === Ejercicios 8.5 === <ol> <li> Completar la demostración del lema 8.5.2. <li> Probar la proposición 8.5.4. <li> Sea <E, d> un espacio métrico y sea d' : E × E &rarr; <b>R</b> tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d. </ol> <hr> == Las Sucesiones == Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos. La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;"> Definición. </span> Sea X un espacio topológico, s=(s_{_n}) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s_n) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s_n's. </div> A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas. Observemos, por ejemplo, que si <math>X</math> tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de <math>X</math> tiene como punto límite a cualquier elemento de <math>X</math>. Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1) <b>Proposición 8.6.1 </b><i>En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.</i> <br /> <b>Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).</b><i> Sea <math>X</math> un espacio topológico y <math>A</math> un subconjunto de <math>X</math>. Si <math>p</math> es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes <math>(x_n)</math> de <math>A</math>, entonces <math>p</math> está en <math>\overline{A}</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Por definición de límite, cada vecindad <math>U</math> de <math>p</math> contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de <math>A</math> diferente de <math>p</math>. {{QED}}</ul> <hr> <b>Proposición 8.6.3.</b> <i> Sea <math>f : X \rightarrow Y</math> una función continua. Entonces, para cada sucesión <math>(x_m)</math> de <math>X</math>, si <math>(x_n)</math> converge a <math>p</math> (no necesariamente único), entonces <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(p)</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>V</math> una vecindad de <math>f(p)</math>. Como <math>f</math> es continua en <math>p</math>, hay una vecindad <math>U</math> de <math>p</math> tal que <math>f(U)</math> está contenido en <math>V</math>. Como casi todos los <math>x_n</math> están en <math>U</math>, casi todos los <math>f(x_n)</math> están en <math>V</math>. {{QED}}</ul> <hr> <i>Observación 8.3. </i>Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando <math>X</math> es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto). <hr> === Ejercicios 8.6 === <ol> <li> Explicar el significado del enunciado "<math>p</math> no es un punto límite de la sucesión <math>(x_n)</math>". <li> Sean <math>(x_n)</math> una sucesión de un espacio <math>X</math>. Sea <math>\phi</math> una biyección de <math>\N</math> en si mismo y sea <math>y_n=\phi(x_n)</math>. Probar que si <math>x_n</math> converge a <math>p</math>, también lo hace <math>y_n</math>. Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión. <li> Probar la proposición 8.6.4. </ol> == Ejercicios del capítulo 8 == <ol> <li> Probar que A = {(x, y) : 2 < x < 5} es un abierto de <b>R²</b>. <li> Probar que C = {(x, y) : 2 < x < 5,-1 < y < -1} es un abierto de <b>R²</b>. <li> (T₁–topología de <b>R</b>) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de <b>R</b> con respecto a la cual <b>R</b> no es Hausdorff. Denotaremos por R_T₁ a los Reales con esta topología. ¿Es id : <b>R</b> &rarr; R_T₁ continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo? <li> (Funciones Abiertas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta. :b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua. :c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta.. <li> (Funciones Cerradas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada. :b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua. Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada. <li> Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &cup; {p}, donde p no está en X. <br> Sea T* = {&empty;} &cup; {A &cup;{p} : A &isin; T }. Probar que T* es una topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*. <li> Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada. <li> Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &isin; X, una familia no vacía de subconjuntos de X tales que para cada x de X se cumple que: :(1) x está en cada conjunto de V{x}; :(2) si A está en V{x} y B &sub; A, entonces B está en V{x}; :(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}. :(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}. :(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B. Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el conjunto de vecindades de x. <li> Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ? </ol> [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Espacios Métricos]] [[Categoría:Espacios Topológicos]] <!-- 9 de noviembre de 2016 Final --> <!-- 30 de marzo de 2019 --> <!-- 27 de diciembre de 2020 --> <!-- 27 de Diciembre del 2020 --> qz7dyayhw4keilw2jghaolmr7aowrsf 423227 423226 2025-07-10T23:05:40Z Rehernan 55364 423227 wikitext text/x-wiki <!-- noinclude>_NOEDITSECTION_</noinclude> --> <noinclude> {{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos |actual=Espacios Topológicos |anterior=Sucesiones |siguiente=Productos y Cocientes }} </noinclude> __NOEDITSECTION__ __TOC__ === Capítulo 8 ESPACIOS TOPOLÓGICOS === (Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos) == Introducción == Hemos analizado, en los capítulos anteriores, las posiciones relativas de puntos y conjuntos usando métricas. Hay, sin embargo, situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias. Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados, de acumulación, continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto. Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2. == Las Definiciones Básicas == <!-- sec0802--> {{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que: :(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ; :(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ; :(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T . Un espacio topológico es un par <X, '''T''' > donde T es una topología de X. Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }} <!--ejEspTop --> <b>Ejemplos 8.2.1. </b> <ol> <li> Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la <i>topología inducida</i> por la métrica. En particular, llamamos <b>línea real</b> a los Reales <b>R</b> con la métrica usual. <li> Llamamos espacio topológico <b>discreto</b> a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto. <li> Llamamos espacio topológico <b>indiscreto</b> aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío. <li> Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener algunas aplicaciones interesantes. </ol> <b>Convenios.</b> Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto. Cuando digamos que una función f : X &rarr; Y es continua, implícitamente suponemos que X y Y son espacios (topológicos). <!-- 8.2.1. --> === Los Puntos y los Conjuntos Especiales === La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para comparaciones y futuras referencias. {{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una <b>vecindad</b> de un conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto que contenga a A (resp. a p). }} Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5. {{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado, ssi, su complemento es abierto. }} {{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X. <ul> <li> El punto p es <b>interior</b> de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A. <li> El punto p es <b>exterior</b> a A, ssi, es interior al complemento de A. <li> El punto p es de <b>clausura</b> de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A. <li> El punto p es de <b>frontera</b> de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento. <li> El punto p es de <b>acumulación</b> de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p. <li> El punto p de A es <b>aislado</b> en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p. </ul> }} {{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico. <ul> <li> El <b>interior</b> de A (Int(A) o A^o) es el conjunto de puntos interiores de A. <li> El <b>exterior</b> de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A. <li> La <b>clausura</b> de A (Cl(A) o A^--) es el conjunto de puntos de la clausura de A. <li> La <b>frontera</b> de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A. </ul>}} Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio: :a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc. :b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1. Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio, diremos que el espacio es <b>metrizable</b>. Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de su topología recuperar la métrica? La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los <b>Rⁿ</b>. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos). <i>Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)</i>. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos <math>\mathcal F</math> tal que: :(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en <math>\mathcal F</math> , :(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math> , y :(iii) la reunión de dos conjuntos en <math>\mathcal F</math> está en <math>\mathcal F</math>; tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en <math>\mathcal F</math>. === Espacios Hausdorff === Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X con p &ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V . Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos. Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos. <!-- 8.2.3. --> === Subespacios === Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá una topología relacionada con la topología de X? La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = <b>R</b> y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto motiva la siguiente proposición. <b>Proposición 8.2.1. </b><I> Sean <X, T> un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T_Y := {U &cap; Y : U &isin; T }. Entonces, T_Y es una topología en el conjunto Y .</i> <ul><i> Demostración. </i> Claramente, el conjunto vacío (&empty; = &empty; &cap; Y ) y Y = X &cap; Y están en T_Y. Sea (U_i), i &isin; I, una familia de conjuntos de <i>T</i>_Y . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V_i de X tal que U_i = V_i &cap; Y. Entonces, <math>V = \bigcup_{i \in I} V_i</math> es un abierto de X y como {{Eqn|<math>U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,</math>}} tenemos que <math>U = \bigcup_{i} U_i</math> está en T_Y. Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que: {{Eqn|<math> W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y, </math>}} lo que prueba que W está en T_Y. En conclusión, T_Y es una topología. </ul> {{QED}} <hr> {{DefRht|Subespacio|. Sean <X, T > un espacio topológico, Y un subconjunto de X y T_Y la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico <Y, T_Y > es un <b>subespacio</b> (topológico) de <X, T >. Llamamos <b>topología relativa</b> de Y (respecto a X) a la topología T_Y . }} Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando, decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su topología es la topología relativa. <hr> Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el recíproco no es válido, en general. <b>Proposición 8.2.2. </b><i>Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. </i> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio </ul> <hr> <!-- 8.2.4.--> === Ejercicios 8.2 === <ol> <li> Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de X. Probar que :a) El interior de A &cap; B es igual a Int(A) &cap; Int(B) :b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A. :c) La clausura de A &cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B. :d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. :e) Si A &sub; B entonces Int(A) &sub; Int(B) y Cl(A) &sub; Cl(B). :f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A. :g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera. :h) El interior de A es A \ Fr(A). :i) Fr(Cl(A)) &sub; Fr(A) y Fr(Int A) &sub; Fr(A). :j) Fr(A &cup;B) &sub; Fr(A) &cup; Fr(B). <li> Sea X = [0,&infin;[ &sub; <b>R.</b> Sea T = {&empty;,X} &cup; {[a,+&infin;]: a &ge; 0}. Probar que T es una topología de X. <li> (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. <br> Probar que T_p = {&empty;} &cup; {A &sub; X : p &isin; A} es una topología de X. <li> (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p un punto de X. Probar que T<math>_{\neg\ p}</math> = {X} &cup; {A &sub; X : p &notin; A} es una topología de X. <li> (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito. Probar que T = {&empty;} &cup; {A &sub; X : X \ A es finito } es una topología de X. <li> Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío. <li> (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&empty;,X, {a}}. :a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''. :b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}. <li> ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff? :a) Los Reales. :b) Un espacio discreto. :c) Un espacio indiscreto. :d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior). : e) Un espacio métrico cualquiera. <li> Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &sub; Y . Probar que la topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología relativa de Z como subespacio de X. <li> Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &cap; B. Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en X. <li> Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff. <li> Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado. <li> Probar que la topología usual de <b>R</b> coincide con la topología relativa como subespacio de <b>R²</b> con su topología usual. <li> Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X. <!-- <li> Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías? --> <li> Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea <b>N^♯</b> = <b>N</b> ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de <b><N^♯</b> cuyo complemento es finito.Probar que: :a) T es una topología en <b>N^♯</b>, y que :b) la topología de <b>N</b> como subespacio de <b>N^♯</b> es diferente de la topología de <b>N</b> como subespacio de la línea real. <!-- 8.3. --> == Funciones Continuas y Homeomorfismos == === Funciones Continuas === La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global. {{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios topológicos. Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi, para cada abierto V de Y, su preimagen, f^-1(V), es un abierto en X. }} Notemos que si T_X y T_Y son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función <math>f* : T_Y \rightarrow T_X</math>, <math>f^*(U)= f^{-1}(U)</math>; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos. <ul> <li> Las funciones constantes son continuas. <li> Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i^-1(V ) = V &cap; Y.) <li> Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba). Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones. </ul> <!-- propo0803 --> <b>Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). </b><i>La composición de funciones continuas es continua.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sean f : X &rarr; Y y g : Y &rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g^-1(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)^-1(W) = f^-1(g^-1(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición. (Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.) </ul> {{QED}} <hr> Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades. <!-- lema0801 --> <b>Lema 8.3.2. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) La función f es continua. :(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f^-1(W) es una vecindad de p. </i> <ul><i>Demostración. </i> <br>[(a) &rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &isin; V &sub; W. Luego, f^-1(W) contiene a f^-1(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f^-1(W) es una vecindad de p.<br> [(b) &rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f^-1(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de x tal que U &sub; f^-1(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U₀ tal que x &isin; U₀ &sub; U &sub; f^-1(V ). Lo que prueba que f es continua. </ul>{{QED}} <hr> <!-- lema0802 --> <b>Lema 8.3.3. </b> </i>Sean f : X &rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)).</i> <ul><i> Demostración. </i>Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &cap; A &ne; &empty;. Luego, f(U n A) &ne; &empty;. Como, {{Eqn|<math> \emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),</math>}} tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A). </ul>{{QED}} <hr> <!-- propo0802 --> <b>Proposición 8.3.4. </b><i> Sea f : X &rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes. :(a) f es continua. :(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f^-1(V ), es abierto en X. :(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f^-1(W), es cerrado en X. :(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &sub; Cl(f(A)). </i> <ul><i> Demostración. </i>La definición de continuidad da la equivalencia (a) &lArr;&rArr; (b). La equivalencia (b) &hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.<br> [(d) &rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W₀ = f^-1(W). Entonces, f(Cl(W₀)) &sub; Cl(f(W₀) )= Cl(f(f^-1(W) ) &sub; Cl(W) = W. Lo que implica que Cl(W₀) &sub; f^-1(W) = W₀, lo que implica que W₀ es cerrado.<br> [(a) &rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo. </ul> {{QED}} <hr> <b>Observación 8.2. </b>Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que no es abierto (es cerrado). Para otro ejemplo consideremos la función f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1]. Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &#8614; 1/t de X = <b>R</b> \ 0 en Y = <b>R</b> envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&infin; 0[ &cup; ]0,+&infin;[ que no es cerrado en <b>R.</b> === Los Homeomorfismos === Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más. <b>Ejemplo 8.3.1. </b> Sea <b>R_discreto</b> el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de <b>R_discreto</b> en <b>R</b>, t &#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en <b>R</b> es un abierto en <b>R</b>_discreto—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de <b>R</b> son abiertos. <hr> {{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &rarr; Y tal que su inversa también es continua. <br> Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos que los espacios X y Y son homeomorfos y escribiremos que X &cong; Y. }} Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión “función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos. <b>Ejemplo 8.3.2. </b>Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &#8614; t + a y t &#8614; bt, b &ne; 0 son funciones de <b>R</b> en <b>R</b> continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos <hr> <b>Ejemplo 8.3.3 (&spades; Cálculo ). </b>Sea f : <b>R</b> &rarr; <b>R</b> tal que f : t &#8614; t³, f es biyectiva con inversa <math>t \mapsto \sqrt[3]{t}</math>. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos. <hr> <b>Ejemplo 8.3.4. </b> Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio. <hr> === Significado de los Homeomorfismos === La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc. Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología. Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos. <b>Propiedad Topológica. </b> Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad. Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores. <br> <b>Propiedad Hereditaria.</b> Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos. Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.) <b>Propiedad Invariante. </b> Sea f : X &rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad. Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no. <b>Proposición 8.3.5. (Propiedades de "es homemorfo con")</b><i> Sean X, Y y Z espacios topológicos. <br> Se cumple que: :(a) X &cong; X. :(b) X &cong; Y implica que Y &cong; X. :(c) X &cong; Y y Y &cong; Z entonces X &cong; Z. </i> <ul><i> Demostración. </i> Ejercicio. </ul> <hr> Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos. <b>Proposición 8.3.6. </b><i>Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. </i> <ul><i> Demostración. </i>Basta con probar que ]a, b[ &cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua. </ul>{{QED}} <hr> Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1. Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica. El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante. <b>Ejemplo 8.3.5 (&spades; Cálculo). </b>La función f : <b>R</b> &rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos. Notemos que mientras que <b>R</b> es un espacio métrico completo, el intervalo abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que no es topológica. <hr> <b>Ejemplo 8.3.6. </b> Sean E = {(x, y, z) : x²+y²+z² = 1, z &ge; 0} y F = {(x, y, z) &isin; <b>R³</b> : x² + y² = 1, z = 0}. E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de <b>R³</b> y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa <math>(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) </math>. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos. Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de <b>R³</b> (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios. <hr> <b>Proposición 8.3.7. </b><i>Dos bolas cerradas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son homeomorfas.</i> <ul><i> Demostración. </i> Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t_a es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t_-a(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h_r, r > 0, la función que envía cada punto p en <i>rp</i>. Como <center>||h_r(p) - h_r(q)|| = r||p - q||, </center> vemos que h_r es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h_1/r. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h_r(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B. </ul>{{QED}} Análogamente, se verifica que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios. <hr> <b>Convenio. </b> Denotaremos por <b>Bⁿ</b> a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de <b>Rⁿ</b>. Topológicamente, <b>Bⁿ</b> representa a todas las bolas cerradas de <b>Rⁿ</b>. Por su parte, denotaremos por <b>Sⁿ</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b> (que es homeomorfa a todas las esferas en <b>Rⁿ⁺¹</b>). <hr> === Funciones Abiertas y Cerradas === Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados. Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales. {{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada) f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ). }} Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada. Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado). Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas. === Ejercicios 8.3 === <ol> <li> Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua. <li> Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es continua. <li> Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua. Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva, ¿debe necesariamente ser un homeomorfismo? <li> Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo. <li> (<b>R²</b>) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x² + y² = 1}. <li> (<b>R²</b>) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario <b>I²</b> = {(x, y) : 0 &le; x , y \le 1}. <li> Sea <b>S^n-1</b> la esfera unitaria de <b>Rⁿ</b> (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de <b>Rⁿ</b> es homeomorfa a <b>S^n-1</b>. <li> Sea <b>Sⁿ</b>, n > 0, la esfera unitaria de <b>Rⁿ⁺¹</b>. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que <center><math> \mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}</math></center> Sean <center><math>\begin{array}{rcl} \mathbb{S}_{+}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} >0\} \text{ (hemisferio norte),} \\ \mathbb{S}_{-}^{n} &:= & \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} <0\}, \text{ y} \\ \mathbb{S}_{0}^{n} &:=& \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}. \end{array}</math></center> Probar las afirmaciones siguientes. <ol type="a"> <li> <math>\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.</math> <li> <math>\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.</math> </ol> <li> Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x < 1/2, y f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es. <li> Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta. <li> Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo. <li> Una función f : X &rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &sub; Int(f(A)). <li> Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una propiedad topológica. <li> En un espacio normado son homeomorfismos :a) las traslaciones (x &#8614; a + x); :b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &#8614; &alpha; x). :c) las simetrías alrededor de un punto c (x &#8614; 2c - x). <li> Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas. <li> (&spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías. </ol> == Topologías de un Conjunto == Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades. Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión. En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación. {{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T₁ y T₂ topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T₁ es menos fina que T₂, cuando cada abierto de T₁ sea un abierto de T₂ (o sea cuando T₁ &sub; T₂). }} <b>Nomenclatura. </b> Cuando T₁ es menos fina que T₂, también se dice que: <ul> <li> T₂ es más fina que T₁; <li> T₁ es más débil que T₂; <li> T₂ es más fuerte que T₁. </ul> En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto. Sean T₁, T₂ dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T₁ n T₂ es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías. Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U_i)i &isin; I, una familia de abiertos de <i>T</i> . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T₁ como en T₂, por lo que su reunión estará tanto en T₁ como en T₂ y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado. <br> El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías, (T_k), k &isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que la reunión estará en T . Si U = (U_i), i &isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T_k, por lo que dicha intersección estará en T . <!-- propo0801 --> <b>Proposición 8.4.1. </b><i>La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. </i> <hr> <b>Topología Generada por Familias de Subconjuntos.</b> Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea <math><S></math> la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que <math><S></math> es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S. <!-- prop080400 --> <b>Proposición 8.4.2. </b><i>Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = <math><S>.</math> </i> <ul><li>Demostración. </i>Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío. </ul> <hr> <b>Subbase.</b> Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S. <b>Base.</b> Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un <b> abierto básico</b> es un abierto de una base. Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio. La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases. Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base <math>\mathcal{B}</math> para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en <math>\mathcal{B}</math> tal que A &sub; U. <b>Ejemplo 8.4.1. </b> En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto. <hr> <b>Ejemplo 8.4.2. (<b>R²</b>)</b> Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y). Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos. Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de <b>R²</b> y para cada punto p del abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano. <hr> <b>Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).</b> <ul> <li> Cada topología es una base de ella misma. <li> Cada base es una subbase. <li> La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base. </ul> <hr> <!-- prop0811 --> <b>Proposición 8.4.3. </b><i>Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &isin;V &sub; U.</i> <ul><li> Demostración. </i>Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V_i) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V_i; lo que prueba la necesidad de la condición. Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío, entonces para cada x de U sea V_x el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V_x, x &isin; U. </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0812 --> <b>Proposición 8.4.4. </b><i>Sea f : X &rarr; Y una función cualquiera entre espacios. Entonces :(a) f es continua &hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto. :(b) f es abierta &hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto. </i> <ul><li>Demostración. </i>Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos: <center><math>\begin{array}{rcl} f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) & \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i). \end{array}</math></center> </ul>{{QED}} <hr> === Ejercicios 8.4 === <ol> <li> Probar la proposición 8.4.2. <li> (Bases) Sea X un espacio topológico. :a) ¿Siempre hay una base para la topología de X? :b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas? :c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales? <li> Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía, su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de <b>R</b> consiste de ... <li> Sea f : X &rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por transporte de estructura. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y. Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad. <li> Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2. <li> Sea f : X &rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad. <li> Hallar tres bases diferentes para la topología usual de <b>R²</b>. <li> Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados. </ol> == Métricas Equivalentes == El espacio vectorial <b>Rⁿ</b> puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en <b>Rⁿ</b>. ¿Cómo comparan esas topologías? <b>Métricas y Normas Equivalentes.</b> Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) <b>equivalentes</b>, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología. Por extensión de la terminología, diremos que una norma N₁ de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N₂, cuando la topología inducida por N₁ sea más fina que aquella inducida por N₂, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E₁ &rarr; E₂ donde E_i es el espacio con norma N_i, i = 1, 2, sea continua. <b>Lema 8.5.1. </b><i>Sea E un espacio vectorial y sea E_i el espacio E con norma ||•||_i, i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||₂ &le; a||x||₁ entonces ||•||₁ es más fina que ||•||₂. <ul><li>Demostración. </i>Basta probar que cada bola abierta de E₂ es abierto en E₁.Supongamos que ||x - p||₂ < r. Entonces, cuando ||x - p||₁ < r/a se tiene que <br> <center>||x - p||₂ &le; a||x - p||₁ < a(r/a) = r.</center> Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||₁. Esto implica lo pedido. </ul>{{QED}} <hr> Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de <b>Rⁿ</b>(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima). [[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]] <center>Figura 8.1</center> La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad, euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1. Formalmente, tenemos lo siguiente. <!-- lema0804 --> <b>Lema 8.5.2. </b><i>Para todo x en <b>Rⁿ</b> se cumple que :(a) ||x||_max &le; ||x||_e &le; &radic;(n)||x||_max, :(b) ||x||_max &le; ||x||_c &le; n||x||_max. </i> <ul><i> Demostración. </i>Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x_i) y M = ||x||_max = máx{|x_i| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x_j|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &le; |x_i| = M. Tenemos, entonces, que {{Eqn|<math>\begin{array}{rcl} M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &\le & \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\ &\le& \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M. \end{array}</math>}} </ul>{{QED}} <hr> <!-- prop0804 --> <b>Proposición 8.5.3. </b><i>Las normas ciudad, euclídea y maxima de <b>Rⁿ</b>son equivalentes. </i> <ul><i>Demostración. </i>Directo de los lemas anteriores. {{QED}} </ul> Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de <b>Rⁿ</b> son equivalentes. <hr> <b>Proposición 8.5.4. </b><i>Dos normas ||·||₁ y ||·||₂ son equivalentes, cuando hay reales a y b positivos tales que </i> <center> a ||·||₁ ≤ ||·||₂ ≤ b || · ||₁. </center> <ul><i>Demostración. </i>Ejercicio. </ul> <hr> === Ejercicios 8.5 === <ol> <li> Completar la demostración del lema 8.5.2. <li> Probar la proposición 8.5.4. <li> Sea <E, d> un espacio métrico y sea d' : E × E &rarr; <b>R</b> tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d. </ol> <hr> == Las Sucesiones == Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos. La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos. <div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem"> <span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;"> Definición. </span> Sea X un espacio topológico, s=(s_{_n}) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s_n) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s_n's. </div> A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas. Observemos, por ejemplo, que si <math>X</math> tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de <math>X</math> tiene como punto límite a cualquier elemento de <math>X</math>. Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1) <b>Proposición 8.6.1 </b><i>En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.</i> <br /> <b>Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).</b><i> Sea <math>X</math> un espacio topológico y <math>A</math> un subconjunto de <math>X</math>. Si <math>p</math> es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes <math>(x_n)</math> de <math>A</math>, entonces <math>p</math> está en <math>\overline{A}</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Por definición de límite, cada vecindad <math>U</math> de <math>p</math> contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de <math>A</math> diferente de <math>p</math>. {{QED}}</ul> <hr> <b>Proposición 8.6.3.</b> <i> Sea <math>f : X \rightarrow Y</math> una función continua. Entonces, para cada sucesión <math>(x_m)</math> de <math>X</math>, si <math>(x_n)</math> converge a <math>p</math> (no necesariamente único), entonces <math>f(x_n)</math> converge a <math>f(p)</math>.</i> <ul><i>Demostración. </i> Sea <math>V</math> una vecindad de <math>f(p)</math>. Como <math>f</math> es continua en <math>p</math>, hay una vecindad <math>U</math> de <math>p</math> tal que <math>f(U)</math> está contenido en <math>V</math>. Como casi todos los <math>x_n</math> están en <math>U</math>, casi todos los <math>f(x_n)</math> están en <math>V</math>. {{QED}}</ul> <hr> _NOEDITSECTION_ <i>Observación 8.3. </i>Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando <math>X</math> es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto). <hr> === Ejercicios 8.6 === <ol> <li> Explicar el significado del enunciado "<math>p</math> no es un punto límite de la sucesión <math>(x_n)</math>". <li> Sean <math>(x_n)</math> una sucesión de un espacio <math>X</math>. Sea <math>\phi</math> una biyección de <math>\N</math> en si mismo y sea <math>y_n=\phi(x_n)</math>. Probar que si <math>x_n</math> converge a <math>p</math>, también lo hace <math>y_n</math>. Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión. <li> Probar la proposición 8.6.4. </ol> == Ejercicios del capítulo 8 == <ol> <li> Probar que A = {(x, y) : 2 < x < 5} es un abierto de <b>R²</b>. <li> Probar que C = {(x, y) : 2 < x < 5,-1 < y < -1} es un abierto de <b>R²</b>. <li> (T₁–topología de <b>R</b>) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de <b>R</b> con respecto a la cual <b>R</b> no es Hausdorff. Denotaremos por R_T₁ a los Reales con esta topología. ¿Es id : <b>R</b> &rarr; R_T₁ continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo? <li> (Funciones Abiertas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta. :b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua. :c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta.. <li> (Funciones Cerradas) :a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada. :b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua. Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada. <li> Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &cup; {p}, donde p no está en X. <br> Sea T* = {&empty;} &cup; {A &cup;{p} : A &isin; T }. Probar que T* es una topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*. <li> Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada. <li> Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &isin; X, una familia no vacía de subconjuntos de X tales que para cada x de X se cumple que: :(1) x está en cada conjunto de V{x}; :(2) si A está en V{x} y B &sub; A, entonces B está en V{x}; :(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}. :(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}. :(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B. Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el conjunto de vecindades de x. <li> Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ? </ol> [[Categoría: Matemáticas Universitarias]] [[Categoría:Espacios Métricos]] [[Categoría:Espacios Topológicos]] <!-- 9 de noviembre de 2016 Final --> <!-- 30 de marzo de 2019 --> <!-- 27 de diciembre de 2020 --> <!-- 27 de Diciembre del 2020 --> s7bp6h4zif6m1ze5567aamoe07oi3fa 1 63583 423216 2025-07-10T21:25:47Z Rehernan 55364 Sección nueva: /* Teoría de Conjuntos */ 423216 wikitext text/x-wiki == Teoría de Conjuntos == Un nombre más adecuado para la página sería Lenguaje de Conjuntos, ya que no Un nombre más adecuado para la página sería '''Lenguaje de Conjuntos''', ya que no aparece casi nada de "teoría". [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 21:25 10 jul 2025 (UTC) 4hqgcsdcwl33oo9y8hnsmflhs6x98ry 1 63584 423219 2025-07-10T22:14:23Z Rehernan 55364 Sección nueva: /* Parádoja */ 423219 wikitext text/x-wiki == Parádoja == Aunque sea una presentacción intuitiva, cabría mencionar que los conjuntos no pueden residir en el aire, que las definiciones de por comprensión, usada posteriormente en la dedinición de operaciones, presuponen la existencia de un conjunto de todos los conjuntos. La existencia de tal conjunto es la fuente de parádojas (contradicciones lógicas). No resulta muy complicado presental la contrucción de conjuntos por comprensión como Dados conjunto \math A /math> y una propiedad P de los elementos de A, {<math>{x \in A: P}</math>} es el(sub)conjunto de <math>A</math> formado por .... [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 22:14 10 jul 2025 (UTC) qbgpdr4e819p3gy67o63udjsp6p0esq 1 63585 423220 2025-07-10T22:20:51Z Rehernan 55364 Sección nueva: /* Relevancia */ 423220 wikitext text/x-wiki == Relevancia == ¿Cuál es sla relación con el tema de Lógica, que en el resto del Libro es lógica matemática? [[Usuario:Rehernan|Rehernan]] ([[Usuario discusión:Rehernan|discusión]]) 22:20 10 jul 2025 (UTC) hlbf69l6pbvrl41g5w5tbd274kjd7o2